中山大学《线性代数》期中考试卷答案

一．计算题（共50分）1．（6分）设200111313A⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）TAA，（2）T A A.2. （6分）计算行列式100 010 000 5432 xxxx+.3.（6分）计算行列式12222 22222 2232222212 2222nn-.《线性代数》课程期中考试卷学院＿＿＿年级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师：试卷类型：（A卷）4. （6分）设1231212011311042025k A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()3R A =,求k .. 5.（6分）设123,,,,αβγγγ都是4维列向量，矩阵123,,,5,A αγγγ==矩阵123,,,2B βγγγ==-，求2A B +.6. （10分）设A,B,C,D 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，A 是可逆矩阵. 如果分块矩阵110,,0E A B E A B P Q R CA E C D E --⎡⎤-⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， （1）计算PQR,（2）证明矩阵Q 可逆的充分必要条件是1D CA B --是可逆的.7（10分）已知矩阵11101123351Aa⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵11101023151Baa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦等价，确定常数a的取值范围.二. （10分）证明cos112cos1cos12cos112cosnD nααααα==.三.（15分）设A,B,C 为4阶矩阵，满足1132TA BC AB --+=，其中0100101100101101,0001111010000111B C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 求A .四. （20分）设1012,2,211aαβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若,T TA Bαββα==，求解方程22A x Bxγ=+.五.(5分) 设 []12,,,n A ααα=是n 阶矩阵，满足T A A E =且1A =，又[]12,,,Tn c c c β=满足1T n βα=，证明[]121,,,,n B αααβ-=可逆，并求B .二． 计算题（共50分）1．（6分）设200111313A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）T AA ，（2）T A A . 解（1）T AA =4264228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，（2）T A A =14484228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。

2011级材料 学院《线性代数》期中考试试卷时间：120分钟 满分：100分一、单项选择题 (共10小题，每小题3分，共30分)1. 在下列构成5阶行列式展开式的各项中，取“－”的为 ( )(A) 5144322315a a a a a (B) 5344322511a a a a a (C) 3442155321a a a a a (D) 2544133251a a aa a2. 已知矩阵34 6 2 4 2 1 6 3 1 1 2 3- 0 21 1 1 1 1 =A ，则.)(=A r；1 )(A；2 )(B；3 )(C5 )(D3. 设四阶行列式111201110011111------=x D ，则其中x 的一次项的系数为 ( )(A) 1 (B) －1 (C) 2 (D) －24. 行列式0=nD 的一个必要条件是 ( )(A) D n 中各行元素之和等于零 (B) D n 中有一行(列)元素全为零(C) D n 中有两行(列)元素对应成比例 (D) 系数行列式为D n 的齐次线性方程组有非零解5. 设A , B 皆为n 阶方阵，且A 可逆，则下列运算一定正确的是 ( ) (A)kk kBA AB =)( (B)AA -=- (C)))((22A B A B AB-+=- (D)1**1)()(--=A A6. 设A , B 皆为n 阶方阵，则必有 ( )(A)BAAB = (B)AB B A -=- (C)BA B A +=+ (D)BA B A ⋅=⋅7. 设分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=231A AO AA ，其中的子块A 1, A 2为方阵，O 为零矩阵，若A 可逆，则 ( )(A) A 1可逆，A 2不一定可逆 (B) A 2可逆，A 1不一定可逆 (C) A 1,A 2都可逆(D) A 1,A 2都不一定可逆 8. 用初等矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01100001左乘矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=642113112A ，相当于对A 进行如下何种初等变换( )(A)21r r ↔ (B)32r r ↔ (C)21c c ↔ (D)32c c ↔9. 设A 为5×3矩阵，且2)(=A R ，下三角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=424212347437221P ，则)(PA R 等于 ( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 10. 非齐次线性方程组bx A=⨯55在以下哪种情形下有无穷多解. ( )(A)5),( ,4)(==b A A R R (B)4),( ,3)(==b A A R R (C)4),( ,4)(==b A A R R (D)5),( ,5)(==b A A R R二、填空题 (共5小题，每空3分，共15分)1. 设x 1,x 2,x 3,x 4是四次方程0234=+++c bxaxx的根，则行列式=0752340000014321x x x x ________.2. 若n 阶下三角行列式1111111111=nD)2(≥n ，则所有．．元素的代数余子式之和等于_____.3. 设A , B 皆为n 阶方阵，2=A ，3=B，则=-1*3BA_____.4. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=004300002000010A ，则=-1A.5. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a212221212111A ，且02121≠n n b b b a aa ，则________)(=A R .三、计算题 (共5小题，每小题6分，共30分)1.yy x x x y y xyy x =+++x2. 设五次多项式1111111111111111111111111)(+++++=x x x x x x f ，求：①x 5的系数；②x 4的系数；③常数项.3. 设四阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1612841296386424321A ，求A 99=__________4. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21110001A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=322154B ，利用矩阵的初等变换．．．．．．．求矩阵X ，使得AX =B .5. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=k k 12115210611A 的秩等于2，求k 的值.四、证明题 (共2小题，每小题6分，共12分)1. 已知TTA ααββ=+，Tα为α的转置，Tβ为β的转置.（1）求证2≤)(A R ；（2）若,αβ线性相关，则2<)(A R .2. 设A 为n 阶矩阵，且AA =2，证明：n R R =-+)()(A E A .五、解答题 (13分)用克莱姆法则解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x xx x x x x x x x x x x x x x一、单项选择题 (10×3=30分) 1. (D)；解：选项(A)和(B)的行标排列为标准次序，列标排列的逆序数分别为8和4(偶排列)；选项(C)的行标、列标排列都不是标准次序，调整相乘元素的次序，使行标排列为标准次序，则列标排列的逆序数为6(偶排列)；选项(D)的列标排列为标准次序，行标排列的逆序数分别为7(奇排列)，故选项(D)正确。

线性代数期中考试试题+答案.⼀、填空题（共30分，每填对⼀空得3分）1、函数23u xy z =在点(1,1,1)P 处沿⽅向(1,2,3)有最⼤⽅向导数，最⼤⽅向导数等于．2、设arctan x y z x y -=+，则 z x ?=?22y x y+， 22z x ?=?()2222xyx y -+．.3、函数(,)z z x y =由⽅程230zx y z e ++-=确定；则 z x ?=?21z x e -， z y ?=?231z y e -．4、微分⽅程d 2d y xy x=的通解为2x y ce =；0d ()d yx y x xx -=>的通解为 ln y x x cx =+．.5、设函数(,)f x y 连续，(,)(,)d d Df x y xy f u v u v =+??，其中D 由直线0y =，1x =和y x =所围，则(,)d d Df u v u v =??14，(,)f x y =14xy +．⼆、单项选择题（共20分，每题4分）=+，则点=的全微分d d dz f x yO(D) ．(0,0)(A) 不是(,)f x y的连续点；(B) 不是(,)f x y的极值点；(C) 是(,)f x y的极⼤值点；(D) 是(,)f x y的极⼩值点．..2、设函数(,)f x y =，则 (B) ．(A) (0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在； (B) (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在； (C) (0,0)x f '和(0,0)y f '都存在； (D) (0,0)x f '和(0,0)y f '都不存在．.3、设积分域D ：221x y +≤，221sin()d d DI x y x y =+??，332sin()d d DI x y x y =+??，443sin()d d DI x y x y =+??，则 (B) ． (A) 123I I I >>； (B) 132I I I >>； (C) 213I I I >>； (D) 231I I I >>．.4、设函数()f u 连续，D ={}22(,)2x y x y y +≤，则()d d D．(A)11d ()d x f xy y -??； (B) 2002d ()d y f xy x ??；(C) 2sin 20d (sin cos )d f r r πθθθθ??； (D)2sin 2d (sin cos )d r f r r πθθθθ??．.5、函数(,)f x y 在点(0,0)O 处可微的⼀个充分条件是 (D) ． (A) (,)(0,0)lim(,)(0,0)x y f x y f →=；(B) 0(,0)(0,0)lim 0x f x f x →-=, 0(0,)(0,0)lim 0y f y f y→-=；(C) 0lim (,0)(0,0)x x x f x f →''= 且 0lim (0,)(0,0)y y y f y f →''=；(D) (,)(0,0)(,)(0,0)0x y f x y f →-=．.三、（10分）求微分⽅程 2(34)xy y x e ''-=+ 通解．解特征⽅程 210λ-=，特征根 121,1λλ=-=；------2分对应的齐次⽅程的通解 12x xy c e c e -=+ -----5分设原⽅程的特解* 2()xy ax b e =+并代⼊原⽅程，解得: *2xy xe = -----9分原⽅程的通解: 212xxxy c e c e xe -=++ -----10分四、（10分）求曲线L：2226x y zx y z++=++=在点(1,2,1)P-处的切线和法平⾯⽅程．解对x求导，得2220 10x yy zzy z''++=?''在点(1,2,1)P-处，211y zy z''-+=-''+=-，得0y'=，1z'=-------6分切线⽅程：121101x y z-+-==------8分法平⾯⽅程：0x z-=-----10分..五、（10分）计算⼆重积分 2(3)d d DI x y x y =+??，其中D ：221x y +≤．22(96)d d (9)d d DDI x y xy x y x y x y =++=+（奇偶性+对称性）-------2分2222221(9)(9)d d 5()d d 2D Dx y x y x y x y x y ??=+++=+ （轮换对称性） -------4分213055d d 2r r πθπ==?------10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯26x y z +-=的最近点、最远点．解点(,,)x y z 到平⾯的距离26x y z +--，---2分设 2222(,,,)(26)(21)L x y z x y z x y z λλ=+--+++-------2分.令 2224(26)402(26)202(26)20210xyz L x y z x L x y z y L x y z z L x y z λλλλ'=+--+=??'=+--+=??'=-+--+=??'=++-=? ------6分解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P -- -----10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯∏：26x y z +-=的最近点、最远点．解令 0000(,,)P x y z S ∈, 椭球⾯S 过0P 切平⾯⽅程1000:2 1.x x y y z z ∏++=令12//∏∏，有:0002211x y z ==-， (1)⼜： 22221x y z ++=， (2)解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P --.定理设0000(,,)P x y z S ∈，⽽S 为实⼆次曲⾯22222 2 A x B xy C x z Dy E y z F z +++++2 2 20,G x H y I z J ++++=若 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + G,Bx 0 + Dy 0 + Ez 0 + H, Cx 0 + Ey 0 + Fz 0 + I ,不全为零, P 0 称为S 的寻常点. 则⼆次曲⾯S 在0000(,,)P x y z 处的切平⾯⽅程为:()()()00000000 A x x B x y xy C x z x z Dy y E y z y z +++++++()()()0000 0.F z z G x x H y y I z z J ++++++++=.七、（10分）设函数()f u 在(0,)+∞内⼆阶连续可微，(1)0f =，(1)1f '=，且z f =满⾜22220z zx y+=，求()f u ．解u =，则()z xf u x u'=，222232()()z y x f u f u x u u ?'''=+?； ()z y f u y u'=，222232()()z x y f u f u y u u ?'''=+?. --4分.代⼊原⽅程并化简，得 1()()0f u f u u'''+=，即()()(())0u f u f u u f u '''''+==， ------5分从⽽ 1()u f u c '=。

--线性代数期中温习答案一、选择题（1）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④. [ B ] 【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但① ②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③ 与 ④，迅速排除不正确的选项.【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).(2) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 bAx =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.[ B ]【分析】 要肯定基础解系含向量的个数, 实际上只要肯定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解】 因为基础解系含向量的个数=)(A r n -, 而且⎪⎩⎪⎨⎧-<-===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r按照已知条件,0*≠A 于是)(A r 等于n 或1-n . 又b Ax =有互不相等的解, 即解不惟一, 故1)(-=n A r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).（3）设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列互换得B,再把B 的第2列加到第3列得C, 则知足AQ=C 的可逆矩阵Q 为(A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010. (B) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010. (C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010. (D) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110. [ D ]【分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对A 作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q 即为此两个初等矩阵的乘积。

2012《线性代数》期中考试试卷及答案详解一、单项选择题 (每小题4分，共20分) 1. 下列各式中，哪个是5阶行列式det (a ij )的项( B )(A) 5541342312a a a a a (B) 2451421533a a a a a (C) 4124335215a a a a a (D) 5433451122a a a a a解 根据n 阶行列式的定义，行列式的算式中，每一项都是不同行、不同列的n 个数的乘积，并且带有符号：(1) 若行标排列是标准排列，则该项的符号取决于列标排列的逆序数的奇偶性；(2) 若列标排列是标准排列，则符号取决于行标排列的逆序数的奇偶性；(3) 若行标、列标排列都不是标准排列，则符号取决于行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性(或者，交换一般项中的元素，使行标成为标准排列，再根据列标排列的逆序数判断).题中每个选项都是5阶行列式不同行、不同列的5个数的乘积，因此，需进一步判断各项是否带有正确的符号.选项(A)错误。

其行标排列是标准排列，列标排列的逆序数为t (23415)=3, 故，列标排列为奇排列，(或者，由于将列标排列23415变成标准排列12345需要进行奇数次对换，也可得23415为奇排列)。

所以选项(A)缺少“-”.选项(B)正确。

其行标和列标排列都不是标准排列，方法一：行标排列和列标排列的逆序数之和t (31452)+t (35214)=4+6=10，得符号为“+”；方法二，交换相乘的元素，使行标成为标准排列，得a 15a 24a 33a 42a 51，此时列标排列54321为偶排列，故取“+”.同理，选项(C)和(D)错误，都应带“-”.2. 已知n 阶行列式D =1，将D 逆时针旋转90o ，得行列式D ~，则D ~的值为( C )(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (n -1)/2 (D) (-1)n /2解 将D 逆时针旋转90o ，相当于对D 先作转置(这不会改变行列式的值)，再作上下翻转[即交换n (n -1)/2次相邻行的位置，每次交换都改变行列式的符号]，因此，应选(C).参见“行列式的性质”布置的思考题，或者教材习题一第7题的解答.3. n 阶行列式D n =0的必要条件是( D )(A) 有一行(列)元素全为零 (B) 有两行(列)元素对应成比例 (C) 各列元素之和皆为零(D) 以D n 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解解 选项(A)(B)(C)都是D n =0的充分条件(但不是必要条件). 只有选项(D)为充分必要条件.4. 已知A , B 均为n 阶方阵，E 是n 阶单位矩阵，则下列命题中正确的是( D ) (A) 若AB ，则A B(B) 若(A -E )(B -E )=O ，则A =E 或B =E (C) A 2-B 2=( A +B )( A -B ) (D) A 2-E =( A +E )( A -E )解 答案为(D).选项(A)错误，反例：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1112B 选项(B)错误。

一．（填空题（每小题3分，共15分）1． 令12123,11,4503A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪==-⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭则AB =______________，B A =______________.2．设3133321,313i D M =是D 中元素()31,2,3i a i =的余子式13233323M M M ++=__________.3. 已知n 阶矩阵A ,若A 满足 2350A A E -+=（E为n 阶单位矩 阵）， 那 么()15A E --=_________.4．令385121A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，若PA 为行最简型矩阵，则可逆矩阵P =__________.5．若四元线性方程组12233441,,,x x a x xb x xc x x d+=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩有解，则常数a ，b ，c ，d 满足条件是___________.厦门大学《线性代数》课程期中考试卷学院＿＿＿年级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师： 试卷类型：（A 卷） 2010.11.20二． 选择题（每小题3分，共15分）1. 设A 为5阶矩阵，且3,A=则2A -=____________.（1）523⨯ （2）523-⨯ （3）532⨯ （4）532-⨯2. 设A 是n （n>2）阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则______________. （1）()*1*n A A A -= （2）()*2*n A AA -=（3）()*1*n A AA +=（4）()*2*n A AA +=3. 设A 、B 均为n 阶矩阵，且()2AB E=，则下列命题错误的是______________. （1）()2BA E= （2）1A B -= （3）1B ABA -=（4）()()R A R B =4.设1221,12a A a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭记A 的秩2，则a =__________（1）-2 （2）-1 （3）1 （4）35. 设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组()0AB x =________.（1）当m n >时必有无穷多解 （2）当m n <时必有无穷多解 （3）当m n <时仅有唯一解 （4） 当m n >时仅有唯一解三．解答题1．（14分）试计算下列行列式的值：（1）1234567897541088578;112324566789D=--（2）012111220000,0n n nna b b b c a D c a c a +=其中120.n a a a ≠ 2．（10分）设()(),1,2,,,1,1,,1,TTT A n αβαβ=== 其中试求矩阵3.A3．（14分）设A 为m 阶可逆矩阵，B 为n 阶可逆矩阵，证明：m+n 阶矩阵O A D BO ⎛⎫=⎪⎝⎭是可逆矩阵，并求D 的逆矩阵和伴随矩阵. 4.(10分)求满足条件2TA A E =（2阶单位矩阵）的所有2阶方阵A.5.(12分)当a 为何值时，四元线性方程组123412341234232,340,233x x x x x x x x x x x x a-+-=⎧⎪--+=⎨⎪-+-+=⎩无解？有解？在有解时求其通解（一般解）。

线性代数期中考试试卷H班级 学号 姓名 成绩 一、填空题(每小题3分共15分)1．已知4阶行列式D 中的第3行元素为3,3,1,1--,其对应的余子式的值为1,2,5,4，则行列式D = 。

2．211203101311112x x ----的展开式中2x 的系数为 。

3．已知,A B 均为n 阶方阵且B O ≠，若AB O =，则||A = 。

4．设123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()321B =，k 是正整数，若P AB =，则k P = 。

5．设A 是n 阶方阵，且||2A =，则1*|4|A A --= 。

二、选择题（每小题3分共15分）1．0001002003004000=( )。

A ．24-； B ．24； C ．0； D ．12。

2．设,A B 为同阶方阵，且AB O =，则( )。

A ．A O =；B ．B O =；C ．||,||A B 中至少有一个为0；D ．,A B 中至少有一个为O 。

3．设111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，212223111213311132123313a a a B a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭，1010100001P ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，2100010101P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则( )。

A ．12APPB =； B ．21AP P B =；C ．12PP A B =；D ．21P PA B =。

4．设D 为n 行列式，则D ( )写成n 个n 阶行列式之和。

A ．一定能；B ．不一定能；C ．不能；D ．只能。

5．设111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

111212122212n n n n nn A A A A A A B A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中ij A 是||A 中元素ij a 的代数余子式(,1,2,,)i j n =，若||1A =，则下列等式不成立的是( )。

试卷答案及提示一、试卷一答案及提示1）（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1451551111；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--11B C ；（3）1；（4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-80232；（5）1，2，－2 2）（1）C ；（2）B ；（3）D ；（4）D ；（5）B3)（1）22y x ；（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=121613q 4）1-≠a 时，β可唯一表示成4321,,,αααα的线性组合，这时43210111212ααααβ⋅+++++++-=a a a a 5）0=+y x 。

提示：12,1=λ，要使A 可对角化必须1)(=-I A r ，求得0=+y x 。

6）（1）无解。

因为0))()()()()((111134241423131234244332333222231211≠------=a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，故)()(A r b A r ≠ 。

（2）2)(=A r ，3=n ，1)(dim =A N ，故通解)(,111202)(112R t t t x ∈⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+-=ξξξ7）（1）2=a 。

提示：321λλλ=A ，即10521303002=••=a a 。

（2）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2102121021010Q（3）q 为正定二次型，因为特征值全大于零。

8）提示：取j i e y e x ==,，由0=Ay x T 可求得),,2,1,,,2,1(0n j n i a ij ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==。

二、试卷二答案及提示1) (1)I ；（2）0；（3）63；（4）a ＝2，b ＝－1；（5）0 2）（1）C; (2)C; (3)B; (4)C; (5)D3)01≠≠b a 且时，方程组有唯一解；0=b 时，方程组无解；211≠=b a 且时，方程组无解；211＝且b a =时，方程组有无穷多解，解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=222101t x ，（)R t ∈。

一、填空题（每小题5分，共30分）1、三阶方阵A=1230 0 0 0 0 0λλλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（其中1230 λλλ≠）的逆矩阵A -1 = 。

2、已知A= 3 5 01-1 -2 02 0 0 2⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，A*是矩阵A 的伴随矩阵，则 (A*)-1 = 。

3、n 阶方阵A ，B 满足A+B=AB ，则B-E 可逆且（B-E ）-1 = 。

4、A 为三阶方阵， 1A =，则 1*(2) A A -- =________ 。

5、A 为n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对调得到矩阵B ，则 AB -1 = 。

6、111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，121111132221212332313133 a a a a B a a a a a a a a +⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭，10 1 01 0 00 0 1P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2 1 0 10 1 00 0 1P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则B = 。

（用12,,A P P 表示B ）答案：1、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 0 /10 1/ 0 1/ 0 0 123λλλ 2、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2 0 0 0 2- 1-0 5 3 2 3、A-E 4、-1/8 5、E n (i,j ) 6、A P 2P 1二、（30分）1、计算行列式123410123110125D =--- （10分）解：7014101231107-25D =---327 1 4 (1)(1) 1 1 2 7 -2 -5+=-- 6 0 21 1 2 9 0 -1=226 2(1)-249 -1+=-=2、计算行列式D n = a a a b a a b aa b a a b a a a----(a ≠-b ) (10分)解：将第2、3、…、n 列同时加到第一列，并提取公因子，得n 1 a a b 1 a b aD [(n 1)a b] .................................1 b a a 1 a a a--=---0 0 0 -b-a 0 0 -b-a 0[(n 1)a b] .................................0 -b-a 0 0 1 a a a=--n(n 1)n 1n 12(1)(1)(b a)[(n 1)a b]---=--+--(n 1)(n 2)n 12(1)(a b)[(n 1)a b]-+-=-+--3、求下列矩阵的逆矩阵（10分）11000130000020********001A ⎛⎫⎪- ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭答案： 341400014140000012000001200001-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎪- ⎪ ⎪⎝⎭三、（40分）1. 已知011111010A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，112113B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且满足AX +B =X ，用初等变换法求X （10分） 解：由AX +B =X 知 B =X -AX =(E -A )X()100011111010111101001010011E A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭且10E A -=≠所以E -A 可逆，由此得1()XE A B -=-()111111012101113E A B ---⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎪⎝⎭010121012101113---⎛⎫⎪−−→-⎪⎪⎝⎭ 010121002200101---⎛⎫ ⎪−−→⎪ ⎪⎝⎭ 100220101200101⎛⎫ ⎪−−→ ⎪⎪⎝⎭2、已知矩阵A =0 1 01 2 00 0 -1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，A *是矩阵A 的伴随矩阵，若矩阵B 满足（B-E ）-1 =A *-E ， 求矩阵B 。

2011《线性代数》期中考试试卷及答案详解一、单项选择题 (每小题4分，共20分)1. 在下列构成5阶行列式展开式的各项中，取“+”的为⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) 5345342112a a a a a (B) 2554134231a a a a a (C) 2534511342a a a a a (D) 4223155134a a a a a解 答案为(C).根据行列式的定义，对于行列式的一般项，若行标排列是标准排列，则符号取决于列标排列的逆序数的奇偶性；若列标排列是标准排列，则符号取决于行标排列的逆序数的奇偶性；若行标、列标排列都不是标准排列，则符号取决于行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性(或者，交换一般项中的元素，使行标成为标准排列，再根据列标排列的逆序数判断)选项(A)的行标排列是标准排列，列标排列的逆序数为t (21453)=3，故(A)取“-”。

选项(B)的列标排列是标准排列，行标排列的逆序数为t (34152)=5，故 (B)取“-”。

选项(C)行标和列标排列都不是标准排列，方法一：行标和列标排列的逆序数之和t (41532)+t (23145)=6+2=8，得符号为“+”；方法二，交换相乘的元素，使行标成为标准排列，得a 13a 25a 34a 42a 51，此时列标排列的逆序数为t (35421)=8，故取“+”。

同理可得，(D)应取“-”。

2.设n 阶行列式D =1，将D 上下翻转得D~，则D~的值为⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) -1 (B) (-1)n(C) (-1)n /2(D) (-1)n (n -1)/2解 答案为(D).参见教材习题一第7题的解答。

3. 设A , B 均为n 阶方阵，下列结论正确的是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) 若A ≠B ，则∣A ∣≠∣B ∣ (B) 若AB =O ，则A =O 或B =O (C) A 2-B 2=( A +B )( A -B ) (D) ∣AB ∣=∣BA ∣ 解 答案为(D).选项(A)错误，反例：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10011112, 但1011112=。

2018-2019第一学期理科高等代数期中模拟试题答案与评分标准：一、1、0=r .2、4. 前4行每行乘上1/2加到最后一行。

3、F k k T∈=,)1,....,1,1(η.4、3.1,cos ,cos 2x x 线性无关，x x x x 222cos 21)2cos(,cos 1sin -=-=。

5、4.二、1、A2、D. 其余3项系数和为1；D 是导出方程组的一个解。

3、C. 显见两者都是子空间且其交集为零子空间（并非空集）。

4、D.5、B. (1)显然错；（2）错，反例0,021≠=αα; (3),(4)正确。

三、答案: 极大线性无关部分组321,,ααα ，秩为3答题概要：把4321,,,αααα写成列向量排成矩阵，作初等行变换化为阶梯形（6分），从阶梯形矩阵看出那些列向量构成极大线性无关部分组，并且求秩（4分）四、解题概要：写出增广矩阵，作初等变换化为阶梯形(4分）系数矩阵与增广矩阵的秩都是2。

求原方程组的特解T )0,0,0,6,4(0-=γ（3分）求导出方程组的基础解系123(1,-2,1,0,0),(1,-2,0,1,0),(5,-6,0,0,1)T T T ηηη===通解为F k k k k k k ∈+++3213322110,,,ηηηγ(8分）五、对矩阵),,,(2121ββαα进行初等行变换得121,,βαα线性无关，（3分）且 1212767879βααβ++-=，（3分）故21V V +维数为3，21V V ⋂维数为1，（2分） 2121767879ββααγ+-=+-=是21V V ⋂的一组基。

（2分）六、证明：假设21V V ⊆不成立，证明必有21V V ⊇。

由假设必有向量21,V v V v ∉∈. 对任意2V w ∈，由于21,V V w v ⋃∈且21V V ⋃是子空间，所以21V V w v ⋃∈+即1V w v ∈+或2V w v ∈+。

（5分）若2V w v ∈+，则2)()(V w w v v ∈-++=与2V v ∉矛盾。

线性代数试卷及答案6套．试卷(一): 一． 填空题（每小题4分，共20分）1．已知正交矩阵P 使得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=200010001AP P T ，则.________)(2006=+P A E A P T2．设A 为n 阶方阵，n λλ,,1 为A 的n 个特征值，则 ._________)det(2=A 3．设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有无数多个解的充分必要条件是：._________4．若向量组T T T t )3,2,(,)1,3,2(,)2,4,0(===γβα的秩为2,则._____=t5．,27859453251151)(32--=x x x x D 则0)(=x D 的全部根为:_________.二． 选择题 （每小题4分，共20分）1.行列式001010100 ---的值为( ).A. 1B. -1C. 2)1()1(--n n D. 2)1()1(+-n n2. 对矩阵n m A ⨯施行一次行变换相当于( ).A. 左乘一个m 阶初等矩阵B. 右乘一个m 阶初等矩阵C. 左乘一个n 阶初等矩阵D. 右乘一个n 阶初等矩阵 3. 若A 为n m ⨯矩阵,{},,0|,)(n R X AX X M n r A r ∈==<= 则( ). A. M 是m 维向量空间 B. M 是n 维向量空间 C. M 是r m -维向量空间 D. M 是r n -维向量空间 4. 若n 阶方阵A 满足,,02=A 则下列命题哪一个成立 ( ).A. 0)(=A rB. 2)(n A r =C. 2)(n A r ≥D. 2)(nA r ≤5. 若A 是n 阶正交矩阵,则下列命题哪一个不成立( ). A. 矩阵T A 为正交矩阵 B. 矩阵1-A 为正交矩阵 C. 矩阵A 的行列式是1± D. 矩阵A 的特征值是1±三. 解下列各题（每小题6分,共30分）1. 若A 为3阶正交矩阵, *A 为A 的伴随矩阵, 求).det(*A2. 计算行列式.111111111111aa a a 3. 设,,100002020B A AB A -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=求矩阵.B4. 求向量组,)2,1,2,1(1T =α,)2,1,0,1(2T =α,)0,0,1,1(3T =αT )4,2,1,1(4=α的一个 最大无关组.5. 求向量T )1,2,1(=ω在基,)1,1,1(T =α,)1,1,0(T =βT )1,1,1(-=γ下的坐标. 四. (12分) 求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--+=+++-=++-+631052372322543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x的通解(用基础解系与特解表示).五.(12分) 用正交变换化下列二次型为标准型, 并写出正交变换矩阵3123222132122),,(x x x x x x x x x f -++= 六. 证明题(6分)设r ξξξβ ,,,021≠是线性方程组β=AX 对应的齐次线性方程组的一个 基础解系,η是线性方程组β=AX 的一个解, 求证ηηξηξηξ,,,,21+++r 线性无关.试卷（二）：一．计算下列各题：（每小题6分，共30分）（1）,180380162176380162225379162（2）求,3222E A A ++其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3112A（3）已知向量组T T T t ),2,1(,)3,3,2(,)3,2,0(321-===ααα线性相关,求.t (4) 求向量T )4,2,1(-=α在基T T T )1,2,1(,)1,1,0(,)1,0,1(321-===ααα下的坐标.(5) 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5321A , 求A 的特征值.二.(8分) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200002130A ,且,B A AB T +=求矩阵B.三. (8分) 计算行列式: 100200300321x c b a四. (8分) 设有向量组,)6,0,2,3,3(,)7,2,0,1,1(,)5,2,1,0,1(,)3,2,1,1,0(4321T T T T -=--===αααα 求该向量组的秩以及它的一个最大线性无关组.五. (8分) 求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系.⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+-=-+-+.18257,432,1042354315432154321x x x x x x x x x x x x x x六. (8分) 求出把二次型323121232221222)(x x x x x x x x x a f -++++=化为标准形的正交变换,并求出使f 为正定时参数a 的取值范围.七. (10分) 设三阶实对称矩阵A 的特征值为3(二重根)、4(一重根),T )2,2,1(1=α是A 的属于特征值4的一个特征向量,求.A 八. (10分) 当b a ,为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,233,1032,4321321321x bx x x bx x x x ax 有惟一解、无穷多解、无解?九．(10分) (每小题5分,共10分) 证明下列各题(1) 设A 是可逆矩阵, ,~B A 证明B 也可逆, 且.~11--B A (2) 设βα,是非零1⨯n 向量,证明α是n n ⨯矩阵T αβ的特征向量.试卷(三):一. 填空题（共20分）1. 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有唯一解的充分必要条件是：2. 已知E 为单位矩阵, 若可逆矩阵P 使得11223,P AP P A P E --+= 则当E A -可逆时, 3A =3. 若t 为实数, 则向量组α=（0，4，t ），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3+t ）的秩为:4. 若A 为2009阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 则*A =5. 设A 为n 阶方阵，12,,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则1ni i i i E A λ=-∑ =二. 选择题（共20分）1. 如果将单位矩阵E 的第i 行乘k 加到第j 行得到的矩阵为)),(,(k i j P 将矩阵n m A ⨯的第i 列乘k 加到第j 列相当于把A ：A, 左乘一个));(,(k j i P B ，右乘一个));(,(k j i PC ． 左乘一个));(,(k i j PD ，右乘一个)).(,(k i j P2. 若A 为m ×n 矩阵，B 是m 维非零列向量，()min{,}r A r m n =<。

扬州大学试题纸( 2008－2009学年第 二 学期)学院 08级 课程 线性代数 期中试卷 班级 学号 姓名一. 填空题(3618''⨯=)1．设三阶矩阵()()2121,,,3,2,γγβγγα==B A ，其中21,,,γγβα均为三维列向量，且2,18==B A ，则=-B A 2设A 为n 阶方阵，且2=A ，则()=-*TT A A A 133．四阶行列式中，含有2413a a 的项有 . 4．设向量()()a ,6,4,5,3,2-=-=βα 线性相关，则=a .5．已知向量组321,,ααα线性无关，而向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组43214,3,2,αααα的一个极大无关组为6．设A 是34⨯的非零矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=937251B ，如果O AB =（零矩阵），则秩（A ）= ..二. 单项选择题(3618''⨯=)1．设B A ,同为n 阶方阵，则 成立， ( ) (A) B A B A +=+ (B) BA AB =(C)BA AB = (D) ()111---+=+B A B A___________ 系____________ 班级_____________ 学号____________ 姓名_____________--------------------------------------装---------------------------------------订-------------------------------------------线-----------------------------------------------2．设A 是n m ⨯矩阵且n m <，则对于线性方程组B AX =，下列结论正确的是 （ ）(A)0=AX 仅有零解 (B) 0=AX 有非零解 (C) B AX =有惟一解 (D) B AX =有无穷多解 3．设向量组321,,:αααI 与向量组21,:ββII 等价，则必有 （ A ） (A)向量组I 线性相关 (B) 向量组II 线性无关 (C) 向量组I 的秩大于向量组II 的秩 (D) 3α不能由21,ββ线性表示4．设A 为2阶可逆矩阵，且已知 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-432121A ，则 =A （ ）(A) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43212 (B) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛432121 (C) 143212-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ (D) 1432121-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 5．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=500043200101A ，则A 中 （ ）(A) 所有2阶子式都不为零 (B)所有2阶子式都为零(C) 所有3阶子式都不为零 (D)至少有一个3阶子式不为零 6．设321,,ααα是四元非齐次线性方程组b AX =的三个解向量，且秩)(A =3，()()T T 3,2,1,0,4,3,2,1321=+=ααα，c 表示任意常数，则线性方程组b AX =的通解=X （ ） (A)()()TTc 1,1,1,14,3,2,1+ (B) ()()TTc 3,2,1,04,3,2,1+(C) ()()TTc 5,4,3,24,3,2,1+ (D) ()()TTc 6,5,4,34,3,2,1+三. 计算题(6530''⨯=)1．计算下列行列式的值1111112113114111 =630003200301041113000301032004111=----=---2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111111111A ，矩阵X 满足X A X A 21+=-*，求X（教材78页23）3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-5230121011A ，求A 的伴随矩阵*A4．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0004300002000010A ，求1-A5．已知矩阵A 与B 等价，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11210321,221320101x B A ，求x四.解答题(8324''⨯=)1．求a 的值，使向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,02,12321αααa a 线性相关。

珠海校区2009年度第一学期《线性代数》期中考试卷姓名： 专业： 学号： 成绩：一，填空题（每题3分，共24分）1. 在5阶行列式中，含有a i3a 34a51且带有负号的项是 ______________________12. 设 A 是 3 阶方阵，| A |= 1/3，贝U |（ 3A ）- + 2A*| = ___________________，计算下列行列式（每题8分，共16分）3.6. 7.已知矩阵 已知矩阵1-12 \的秩为，则AB18.若 A = diag( 1 ,2 ,3 ,4 ),则 A二判断题（每题2分，共10分）1. 任一 n 阶对角阵必可与同阶的方阵交换。

（） 2. n 阶行列式中副对角线上元素的乘积a n1a n-1,2…玄伯 总是带负号的（ ） 3. 若A 为n 阶方阵，则（A*） T = （ IA ）* （ ） 4. 设A , B 为n 阶方阵，则有 （AB ） 3= A ’B 3（）5.设A 与B 为同型矩阵 ，则A~B 的充要条件是R (A ) =R ( B )-2 -1 1 -1D 4 =-2 2 4 8-2 1 1 1-2 -2 48/-1 -1 0四.已知 A = -1 0 1\ 2 2 10 1 0 - …0 01 0 1 - …0 0 D n =0 1 0 - …0 00 00 - 010 0 0 - …1 0且 AB = A-2B ,求 B .-1 2 -1 1 的秩及一个最高阶非零子式(8分)3 1 /六.设A 为n 阶方阵,且A + 2A -E = 0 .证明A + 2E 可逆，并求(A + 2E )-1. (8分)七. 设 P -1A P = K , B = A + E ,其中 P 1 1 \ , K =0 0 ''、、 \ 1 2\ 0 1求 f ( B ) =B 2( £+B+2E ) .( 10分)/ ( 1 -k )为 + 2x 2 -2x 3 = 1八. 设I 2x 1 + ( 4-k )>2 -4x 3 = 2 ，问k 为何值时，此方程组有惟一解-2x 1 -4x 2 + (4 -k )x 3 = -k -2无解,或有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解•( 10分).答案:D 4 = 48 ; Dn:对Dn 以第一列拆分.可得：Dn 二-Q-2又可知D1 = 0 ; D2 = -1 .由数学归纳法可得：Dn = ( -1 )(n-2)/2D2= (-1) n/2 当 n 为偶数时；Dn = 0 当 n 为奇数时 四•具体做法,回顾课本第二章相关例题/ 9 6-2 B =10 7 -2 1 \-12 -8 3 /3 -18 ; / 1 1 4. (c-x)(b-x)(a-x)(a-b)(b-c)(a-c)5. \ -3 0 \； 6 . 2 ;7. 5/J8. diag( 1 ,12 ,1/3,1/4 );1. wrong 2 . wrong3.right 4. Wrong5.right1. -a 13a 22a 34a 45a 512.3/ 3 -1 五•求矩阵A =10五.做法，运用行变换• 得R ( A ) = 3 ; 最高阶非零子式可以： 3-1 -41'1 0 -1-1 4 3六.原式子可以转化为：(A +2E ) ( A-2A +6E ) -13E = 0 . 即.下面的都知道了吧•自己说下••行等变换后观察• 1. R (A )= R( A , b )=3即得最终k 不等于0且k 不等于9时，有惟一解. 2. R (A )< R( A , b )即得最终k = 9时，方程组无解，3. R (A )= R( A , b ) < 3 ,方程组有无数多个解. 此时,通解为X =PS :没有详细解答，有不懂的要自动去问同学哈.把不懂的补上去，后面的内 容挺烦人的•具体做法.参照课本第45~46页.具体做法•参照课本第75~76页 f ( B ) =-24 28(-56 60。

2023-2024学年广东省广州市中山大学附中高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的． 1．已知a ，b ∈R ，a ﹣2i ＝（b ﹣i ）i ，若z ＝a +bi ，则z 的虚部是（ ） A ．2B ．1C ．﹣2iD ．2i2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cosA =45，B =π3，b =5√3，则a ＝（ ）A ．6B ．√6C ．8D ．2√23．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6+a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．114．函数y =ln|x|x 2+2的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，在平行四边形ABCD 中，M 是边CD 的中点，N 是AM 的一个三等分点（|AN |＜|NM |），若存在实数λ和μ，使得BN →=λAB →+μAD →，则λ+μ＝（ ）A ．54B ．12C ．−12D ．−546．已知函数f （x ）满足f （x +3）＝﹣f （x ），当x ∈[﹣3，0）时，f （x ）＝2x +sin πx3，则f （2023）＝（ ）A ．14−√32B ．−14C ．34D ．−14+√327．已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，−π2＜φ＜π2)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π6，且关于点(5π18，0)对称，则φ的值为（ ） A ．π12B ．π6C ．π4D ．π38．给定函数f （x ）＝（x +1）e x ﹣a （a ∈R ），若函数f （x ）恰有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜−1e 2B ．a ≥0C ．−1e 2＜a ＜0 D ．a ＞−1e 2二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列命题中正确的是（ ） A ．若a →=b →，则3a →＞2b →B ．BC →−BA →−DC →−AD →=0→C ．若向量a →，b →是非零向量，则|a →|+|b →|=|a →+b →|⇔a →与b →方向相同 D ．向量a →与b →(b →≠0→)共线的充要条件是：存在唯一的实数λ，使a →=λb →10．已知向量m →=(2cos 2x ，√3)，n →=(1，sin2x)，设函数f(x)=(m →⋅n →)，则下列关于函数y ＝f （x ）的性质的描述正确的是（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）的图象关于点(5π12，0)对称 C ．f （x ）的图象关于直线x =π6对称D ．f （x ）的图象可以由y ＝2sin2x 的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位得到11．已知数列{a n }满足a 1+2a 2+⋯+2n−1a n =n ⋅2n+1，则（ ） A ．a n ＝2n +2B ．{a n }的前n 项和为n （n +3）C ．{（﹣1）n a n }的前100项和为﹣100D ．{|a n ﹣10|}的前20项和为28412．已知函数f(x)=x 2+2x−2e x，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）有极小值B ．函数f （x ）在x ＝1处切线的斜率为4C ．当k ∈(−2e 2，6e 2)时，f （x ）＝k 恰有三个实根 D ．若x ∈[0，t ]时，f(x)max =6e 2，则t 的最小值为2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{a n }满足a 1＝2，a 2+a 4＝a 6，则公差d ＝ ． 14．已知向量a →与b →的夹角为2π3，且|a →|=10，b →=(3，4)，则a →在b →方向上的投影向量的坐标为 ．15．已知sin(α−β)=13，cosαsinβ=16，则cos （2α+2β）＝ ．16．已知函数f （x ）={2−|x|，(x ≤2)(x −2)2，(x ＞2)，函数g （x ）＝b ﹣f （2﹣x ），若函数y ＝f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，则实数b 的取值范围为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cosA =45．（1）求sin 2B+C2+cos2A 的值． （2）若△ABC 的面积S ＝3，且b ＝2，求△ABC 的外接圆半径R ． 18．（12分）已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n +1＝2a n +n ﹣1． （1）证明数列{a n +n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）若数列{b n }满足b n =2n−1a n +n，求数列{b n }的前n 项和S n ． 19．（12分）如图，五面体P ﹣ABCD 中，CD ⊥平面P AD ，ABCD 为直角梯形，∠BCD =π2，PD ＝BC ＝CD =12AD ，AP ⊥PD ．（1）若E 为AP 的中点，求证：BE ∥平面PCD ； （2）求二面角P ﹣AB ﹣C 的余弦值．20．（12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，规定成绩为80分及以上者晋级成功，否则晋级失败． （1）求图中a 的值；（2）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为能否晋级成功与性别有关；（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．21．（12分）已知函数f （x ）＝x 3﹣x ，g （x ）＝2x ﹣3． （Ⅰ）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f （x ）在[0，2]上的最大值；（Ⅲ）求证：存在唯一的x 0，使得f （x 0）＝g （x 0）．22．（12分）已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2+x 2b2=1（a ＞b ＞0）的一个焦点，C 1与C 2的公共弦长为2√6． （1）求椭圆C 2的方程；（2）过点F 作斜率为k 的直线l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向． （i ）当直线l 绕点F 旋转时，判断△OAB 的形状； （ii ）若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．2023-2024学年广东省广州市中山大学附中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的． 1．已知a ，b ∈R ，a ﹣2i ＝（b ﹣i ）i ，若z ＝a +bi ，则z 的虚部是（ ） A ．2B ．1C ．﹣2iD ．2i解：a ﹣2i ＝（b ﹣i ）i ＝1+bi ，则{a =1b =−2，故z ＝1﹣2i ，z =1+2i ，其虚部为2．故选：A ．2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cosA =45，B =π3，b =5√3，则a ＝（ ）A ．6B ．√6C ．8D ．2√2解：由cosA =45得sinA =35．由正弦定理a sinA =b sinB得a =bsinA sinB =5√3×35√32=6．故选：A ．3．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6+a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11解：在等比数列{a n }中，由a 5a 6+a 4a 7＝18，得2a 1a 10＝18， ∴a 1a 10＝9，又a 1a m ＝9， ∴a 1a 10＝a 1a m ，则m ＝10． 故选：C ． 4．函数y =ln|x|x 2+2的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．解：函数y ＝f （x ）=ln|x|x 2+2的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f （﹣x ）=ln|−x|(−x)2+2=ln|x|x 2+2=f （x ），故函数是偶函数，故排除选项AC ； 当x ∈（0，1）时，y ＜0，故排除选项D ． 故选：B ．5．如图，在平行四边形ABCD 中，M 是边CD 的中点，N 是AM 的一个三等分点（|AN |＜|NM |），若存在实数λ和μ，使得BN →=λAB →+μAD →，则λ+μ＝（ ）A ．54B ．12C ．−12D ．−54解：根据题意，BN →=AN →−AB →，又N 是AM 的一个三等分点（|AN |＜|NM |），所以AN →=13AM →，则BN →=13AM →−AB →=13（AD →+DM →）−AB →；由于在平行四边形ABCD 中，M 是边CD 的中点，有DM →=12AB →， 所以BN →=13（AD →+12AB →）−AB →=−56AB →+13AD →，所以λ+μ=−56+13=−12．故选：C ．6．已知函数f （x ）满足f （x +3）＝﹣f （x ），当x ∈[﹣3，0）时，f （x ）＝2x +sin πx3，则f （2023）＝（ ）A ．14−√32B ．−14C ．34D ．−14+√32解：由已知，令x ＝﹣2，可得f （1）＝﹣f （﹣2）； 由f （x +3）＝﹣f （x ），可得f （x +6）＝﹣f （x +3）＝f （x ）， 即函数f （x ）的周期为6；则f （2023）＝f （6×337+1）＝f （1）＝﹣f （﹣2）＝﹣[2﹣2+sin （−2π3）]＝﹣（14−√32）=−14+√32， 故选：D ．7．已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，−π2＜φ＜π2)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π6，且关于点(5π18，0)对称，则φ的值为（ ） A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3解：由f （x ）＝2sin （ωx +φ）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π6，则T =π3，所以ω＝6，f （x ）＝2sin （6x +φ）， 又因为其关于点(5π18，0)对称， f(5π18)=0，即sin(5π3+φ)=0， 则5π3+φ=kπ(k ∈Z)，解得φ=−5π3+kπ，k ∈Z ， 且−π2＜φ＜π2，所以k =2，φ=π3．D 正确．故选：D ．8．给定函数f （x ）＝（x +1）e x ﹣a （a ∈R ），若函数f （x ）恰有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜−1e 2B ．a ≥0C ．−1e 2＜a ＜0 D ．a ＞−1e 2解：f ′（x ）＝（x +2）e x ，∴x ＜﹣2时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；x ＞﹣2时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， ∴x ＝﹣2时，f （x ）取最小值−1e 2−a ， ∵x →﹣∞时，f （x ）→﹣a ；x →+∞时，f （x ）→+∞，∴要使f （x ）有两个零点，需满足{−1e 2−a ＜0a ＜0，解得−1e2＜a ＜0．故选：C ．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列命题中正确的是（ ） A ．若a →=b →，则3a →＞2b →B ．BC →−BA →−DC →−AD →=0→C ．若向量a →，b →是非零向量，则|a →|+|b →|=|a →+b →|⇔a →与b →方向相同 D ．向量a →与b →(b →≠0→)共线的充要条件是：存在唯一的实数λ，使a →=λb →解：对于A ，因为向量不能比较大，所以由a →=b →，不能得出3a →＞2b →，选项A 错误；对于B ，因为BC →−BA →−DC →−AD →=AC →−DC →−AD →=（AC →−AD →）−DC →=DC →−DC →=0→，所以选项B 正确；对于C ，向量a →，b →是非零向量时，|a →|+|b →|=|a →+b →|⇔a →与b →方向相同，选项C 正确；对于D ，根据向量的共线定理知，a →与b →(b →≠0→)共线的充要条件是：存在唯一的实数λ，使a →=λb →，选项D 正确． 故选：BCD ．10．已知向量m →=(2cos 2x ，√3)，n →=(1，sin2x)，设函数f(x)=(m →⋅n →)，则下列关于函数y ＝f （x ）的性质的描述正确的是（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）的图象关于点(5π12，0)对称 C ．f （x ）的图象关于直线x =π6对称D ．f （x ）的图象可以由y ＝2sin2x 的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位得到解：由于向量m →=(2cos 2x ，√3)，n →=(1，sin2x)，函数f(x)=(m →⋅n →)= 2cos 2x +√3 sin2x ＝cos2x +√3sin2x +1＝2sin （2x +π6）+1，故函数f （x ）的最小正周期为2π2=π，故A 正确．令x =5π12，求得f （x ）＝1，可得f （x ）的图象关于点（5π12，1）对称，故B 错误． 令x =π6，求得f （x ）＝3，为最大值，可得f （x ）的图象关于直线x =π6对称，故C 正确．把y ＝2sin2x 的图象向左平移π6个单位，可得y ＝2sin （2x +π3）的图象，再向上平移1个单位得到y ＝2sin（2x +π3）+1的图象，故D 错误．故选：AC ．11．已知数列{a n }满足a 1+2a 2+⋯+2n−1a n =n ⋅2n+1，则（ ） A ．a n ＝2n +2B ．{a n }的前n 项和为n （n +3）C ．{（﹣1）n a n }的前100项和为﹣100D ．{|a n ﹣10|}的前20项和为284解：选项A ，因为a 1+2a 2+⋯+2n−1a n =n ⋅2n+1， 所以当n ＝1时，a 1＝4；所以当n ≥2时，a 1+2a 2+…+2n ﹣2a n ﹣1＝（n ﹣1）•2n ，两式相减得，2n ﹣1a n ＝（n +1）•2n ，所以a n ＝2n +2（n ≥2），当n ＝1时，a 1＝4，满足上式，所以a n ＝2n +2，即选项A 正确；选项B ，因为a n ＝2n +2，所以数列{a n }是首项为4，公差为2的等差数列， 所以{a n }的前n 项和为n(a 1+a n )2=n(4+2n+2)2=n （n +3），即选项B 正确；选项C ，设{（﹣1）n a n }的前100项和为S 100，则S 100＝﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣…﹣a 99+a 100＝﹣4+6﹣8+10﹣…﹣200+202＝2+2+…+2＝2×1002=100，即选项C 错误；选项D ，令a n ﹣10＝2n +2﹣10≥0，则n ≥4，所以数列{a n ﹣10}的前3项为负数，从第4项开始为非负数， 设数列{a n ﹣10}的前n 项和为T n ，则T n ＝n （n +3）﹣10n ＝n 2﹣7n ，所以数列{|a n ﹣10|}的前20项和为﹣T 3+（T 20﹣T 3）＝T 20﹣2T 3＝（202﹣7•20）﹣2（32﹣7•3）＝284，即选项D 正确． 故选：ABD ． 12．已知函数f(x)=x 2+2x−2e x，则下列结论正确的是（ ） A ．函数f （x ）有极小值B ．函数f （x ）在x ＝1处切线的斜率为4C ．当k ∈(−2e 2，6e 2)时，f （x ）＝k 恰有三个实根 D ．若x ∈[0，t ]时，f(x)max =6e 2，则t 的最小值为2 解：∵函数f(x)=x 2+2x−2e x， ∴f ′（x ）=−x 2+4e x，f ′（x ）＞0⇒﹣2＜x ＜2， f ′（x ）＜0⇒x ＞2或x ＜﹣2，∴f （x ）在（﹣∞，﹣2）递减，在（﹣2，2）递增，在（2，+∞）递减， ∴函数f （x ）有极小值，故A 正确； 又f ′（0）＝4，∴函数f （x ）在x ＝0处切线的斜率为4，故B 错误； 又f （﹣2）＝﹣2e 2，f （2）=6e 2，且当x ＞2时，f （x ）＞0， 当x →﹣∞时，f （x ）→+∞，当x →+∞时，f （x ）→0， 画出函数y ＝f （x ）的图像，如图示：∴当k ∈(−2e 2，6e 2)时，f （x ）＝k 可能有一个实根、两个实根、三个根，故C 错误； 由图知，若x ∈[0，t ]时，f max (x)=6e 2， 则t ≥2，故t 的最小值是2，故D 正确． 故选：AD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{a n }满足a 1＝2，a 2+a 4＝a 6，则公差d ＝ 2 ． 解：在等差数列{a n }中，由a 1＝2，a 2+a 4＝a 6， 得2a 1+4d ＝a 1+5d ，即4+4d ＝2+5d ，得d ＝2． 故答案为：2．14．已知向量a →与b →的夹角为2π3，且|a →|=10，b →=(3，4)，则a →在b →方向上的投影向量的坐标为 （﹣3，﹣4） ．解：由b →=（3，4），可得|b →|＝5， 由定义，a →在b →方向上的投影向量为： a →⋅b→|b →|⋅b→|b →|=10×5×(−12)5⋅15⋅(3，4)=（﹣3，﹣4）．故答案为：（﹣3，﹣4）．15．已知sin(α−β)=13，cosαsinβ=16，则cos （2α+2β）＝ 19 ．解：已知sin(α−β)=13，cosαsinβ=16，则sinαcosβ−cosαsinβ=13，cos αsin β=16，即sinαcosβ=12，则sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=12+16=23， 则cos （2α+2β）=1−2sin 2(α+β)=1−2×49=19． 故答案为：19．16．已知函数f （x ）={2−|x|，(x ≤2)(x −2)2，(x ＞2)，函数g （x ）＝b ﹣f （2﹣x ），若函数y ＝f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，则实数b 的取值范围为 （74，2） ．解：∵f （x ）={2−|x|，x ≤2(x −2)2，x ＞2，∴f （2﹣x ）={2−|2−x|，x ≥0x 2，x ＜0，∵函数y ＝f （x ）﹣g （x ）恰好有四个零点，∴方程f （x ）﹣g （x ）＝0有四个解，即f （x ）+f （2﹣x ）﹣b ＝0有四个解， 即函数y ＝f （x ）+f （2﹣x ）与y ＝b 的图象有四个交点，y ＝f （x ）+f （2﹣x ）={x 2+x +2，x ＜02，0≤x ≤2x 2−5x +8，x ＞2，作函数y ＝f （x ）+f （2﹣x ）与y ＝b 的图象如下，，f （12）+f （2−12）＝f （52）+f （2−52）=74，结合图象可知，74＜b ＜2，故答案为：（74，2）．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cosA =45．（1）求sin 2B+C2+cos2A 的值． （2）若△ABC 的面积S ＝3，且b ＝2，求△ABC 的外接圆半径R ． 解：（1）因为cosA =45，所以sin 2B+C 2+cos2A =1−cos(B+C)2+2cos 2A ﹣1=12（1+cos A ）+2cos 2A ﹣1=12（1+45）+2×1625−1=5950； （2）因为b ＝2，cosA =45，所以sin A =√1−cos 2A =35，所以△ABC 的面积S =12bc sin A =12×2×c ×35=3，解得c ＝5，所以由余弦定理可得a =√b 2+c 2−2bccosA =√22+52−2×2×5×45=√13， 所以由正弦定理可得△ABC 的外接圆半径R =a 2sinA =√132×35=5√136． 18．（12分）已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n +1＝2a n +n ﹣1． （1）证明数列{a n +n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）若数列{b n }满足b n =2n−1a n +n，求数列{b n }的前n 项和S n ． （1）证明：由题意：a n+1+n+1a n +n=2a n +n−1+n+1a n +n=2a n +2n a n +n=2（常数），且a 1+1＝2≠0，则数列{a n +n }是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以a n =2×2n−1−n =2n −n ． （2）解：由（1）可得：b n =2n−1a n +n =2n−12n ， 则S n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n =121+322+523+⋯+2n−12n ， 两边同乘12得：12S n =122+323+524+⋯+2n−32n +2n−12n+1，作差得12S n=121+222+223+⋯+22n−2n−12n+1=12+12(1−12n−1)1−12−2n−12n+1=32−2n+32n+1，所以S n=3−2n+3 2n．19．（12分）如图，五面体P﹣ABCD中，CD⊥平面P AD，ABCD为直角梯形，∠BCD=π2，PD＝BC＝CD=12AD，AP⊥PD．（1）若E为AP的中点，求证：BE∥平面PCD；（2）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值．（1）证明：取PD的中点F，连接EF，CF，∵E，F分别是P A，PD的中点，∴EF∥AD且EF=12 AD；∵BC=12AD，BC∥AD，∴EF∥BC且EF＝BC；∴BE∥CF．又BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD，∴BE∥平面PCD；（2）解：方法一、以P为坐标原点，PD，P A所在直线分别为x轴和y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC＝1，则P（0，0，0），A（0，√3，0），D（1，0，0），C（1，0，1），B（12，√32，1），PA →=（0，√3，0），AB →=（12，−√32，1），AD →=（1，−√3，0）．设平面P AB 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅PA →=√3y =0n →⋅AB →=12x −√32y +z =0，取x ＝2，得n →=（2，0，﹣1）．同理可求平面ABD 的一个法向量为m →=（3，√3，0）． cos ＜n →，m →＞=n →⋅m →|n →|⋅|m →|=6√5×√12=√155． 平面ABD 和平面ABC 为同一个平面， ∴二面角P ﹣AB ﹣C 的余弦值为√155； 方法二、以D 为坐标原点，DA ，DC 所在直线分别为x 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC ＝1，则P （12，√32，0），A （2，0，0），D （0，0，0），C （0，0，1），B （1，0，1），PA →=（32，−√32，0），AB →=（﹣1，0，1），设平面P AB 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅PA →=32x −√32y =0n →⋅AB →=−x +z =0，取y =√3，得n →=（1，√3，1）．易知平面ABC 的一个法向量为m →=（0，1，0）． ∴cos ＜n →，m →＞=n →⋅m→|n →|⋅|m →|=√3√5=√155． ∴二面角P ﹣AB ﹣C 的余弦值为√155． 20．（12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，规定成绩为80分及以上者晋级成功，否则晋级失败． （1）求图中a 的值；（2）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为能否晋级成功与性别有关；（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．（1）因为频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，所以10（2a+0.020+0.030+0.040）＝1，解得a＝0.005；（2）易知晋级成功的频率为0.20+0.05＝0.25，所以晋级成功的人数为100×0.25＝25，列联表如下：此时K2=100×(16×41−34×9)225×75×50×50≈2.613＞2.072，所以有90%的把握认为能否晋级成功与性别有关；（3）由（2）知晋级失败的频率为1−0.25=0.75=3 4，将频率视为概率，若从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，此人晋级失败的概率为3 4，此时X∼B(4，34 )，则P(X=0)=C40(34)0(14)4=1256，P(X=1)=C41(34)1(14)3=364，P(X=2)=C42(34)2(14)2=27128，P(X=3)=C43(34)3(14)1=2764，P(X=4)=C44(34)4(14)0=81256，所以X的分布列为：故E(X)=4×34=3．21．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣x，g（x）＝2x﹣3．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，2]上的最大值；（Ⅲ）求证：存在唯一的x0，使得f（x0）＝g（x0）．解：（Ⅰ）由f（x）＝x3﹣x，得f'（x）＝3x2﹣1，所以f'（1）＝2，又f（1）＝0…（3分）所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣0＝2（x﹣1），即：2x﹣y﹣2＝0．（Ⅱ）令f'（x）＝0，得x=±√33．…f（x）与f'（x）在区间[0，2]的情况如下：…（7分）因为f（0）＝0，f（2）＝6，所以函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为6．（Ⅲ）证明：设h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝x 3﹣3x +3， 则h '（x ）＝3x 2﹣3＝3（x ﹣1）（x +1）令h '（x ）＝0，得x ＝±1．h （x ）与h '（x ）随x 的变化情况如下：则h （x ）的增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），减区间为（﹣1，1）．又h （1）＝1＞0，h （﹣1）＞h （1）＞0，所以函数h （x ）在（﹣1，+∞）没有零点， 又h （﹣3）＝﹣15＜0，所以函数h （x ）在（﹣∞，﹣1）上有唯一零点x 0．综上，在（﹣∞，+∞）上存在唯一的x 0，使得f （x 0）＝g （x 0）．22．（12分）已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2+x 2b2=1（a ＞b ＞0）的一个焦点，C 1与C 2的公共弦长为2√6． （1）求椭圆C 2的方程；（2）过点F 作斜率为k 的直线l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向． （i ）当直线l 绕点F 旋转时，判断△OAB 的形状； （ii ）若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率． 解：（1）依题意，a 2＝b 2+1，①又C 1与C 2的公共弦长为2√6，且C 1与C 2都关于y 轴对称， 所以公共点的横坐标为±√6， 代入x 2＝4y 可得纵坐标为32，所以公共点的坐标为(±√6，32)，则94a 2+6b 2=1，②联立①②得a 2＝9，b 2＝8， 故C 2的方程为y 29+x 28=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），（i ）设直线l 的方程为y ＝kx +1， 联立{y =kx +1x 2=4y，消去y 得x 2﹣4kx ﹣4＝0， 则Δ＝16（k 2+1）＞0，由根与系数的关系可知，x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝﹣4，则OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+1)(kx 2+1)=(k 2+1)x 1x 2+k(x 2+x 2)+1=−3＜0， 所以∠AOB ＞π2，△AOB 为钝角三角形．（ii ）因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |， 所以AC →=BD →，从而x 3﹣x 1＝x 4﹣x 2，即x 1﹣x 2＝x 3﹣x 4， 所以(x 1+x 2)2−4x 1x 2=(x 3+x 4)2−4x 3x 4， 联立{y =kx +1y 29+x 28=1，消去y 得（8k 2+9）x 2+16kx ﹣64＝0，则Δ＝162k 2+4•64（8k 2+9）＞0， 由根与系数的关系可知，x 3+x 4=−16k 8k 2+9，x 3x 4=−648k 2+9， 所以16(k 2+1)=(−16k 8k 2+9)2−4×−648k 2+9，即k =±√64， 所以直线l 的斜率为±√64．。