线性代数期中考试试卷精选文档

一．计算题（共50分）1．（6分）设200111313A⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）TAA，（2）T A A.2. （6分）计算行列式100 010 000 5432 xxxx+.3.（6分）计算行列式12222 22222 2232222212 2222nn-.《线性代数》课程期中考试卷学院＿＿＿年级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师：试卷类型：（A卷）4. （6分）设1231212011311042025k A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()3R A =,求k .. 5.（6分）设123,,,,αβγγγ都是4维列向量，矩阵123,,,5,A αγγγ==矩阵123,,,2B βγγγ==-，求2A B +.6. （10分）设A,B,C,D 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，A 是可逆矩阵. 如果分块矩阵110,,0E A B E A B P Q R CA E C D E --⎡⎤-⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， （1）计算PQR,（2）证明矩阵Q 可逆的充分必要条件是1D CA B --是可逆的.7（10分）已知矩阵11101123351Aa⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵11101023151Baa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦等价，确定常数a的取值范围.二. （10分）证明cos112cos1cos12cos112cosnD nααααα==.三.（15分）设A,B,C 为4阶矩阵，满足1132TA BC AB --+=，其中0100101100101101,0001111010000111B C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 求A .四. （20分）设1012,2,211aαβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若,T TA Bαββα==，求解方程22A x Bxγ=+.五.(5分) 设 []12,,,n A ααα=是n 阶矩阵，满足T A A E =且1A =，又[]12,,,Tn c c c β=满足1T n βα=，证明[]121,,,,n B αααβ-=可逆，并求B .二． 计算题（共50分）1．（6分）设200111313A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）T AA ，（2）T A A . 解（1）T AA =4264228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，（2）T A A =14484228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。

2009至2010第 2 学期 课程名称 线性代数 信电学院期中考试试卷参考答案考试性质： 闭卷 考试时间 120 分钟说明：在本卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，()R A 表示矩阵A 的秩。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．A; 2．A; 3．D; 4．D; 5. A; 6．C; 7．D; 8．C ． 9. D; 10.A二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11，21)(-n n ; 12．35-; 13．A nλ; 14． A -; 15．⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1716213213012; 16．.91；17. 1; 18. 1 ; 19. 1123324411233442,a a a a a a a a -. 20. 1;三、证明题（本大题共3小题，每小题10分，共计30分）21. 已知TTA ααββ=+，Tα为α的转置，T β为β的转置.（1）求证2≤)(A R ；（2）若,αβ线性相关，则2<)(A R . 证明： (1) 因为)1()1)(()()1)(()()1)(()(分分分分2≤+≤+≤+=βαββααββααR R R R R A R T T T T ，所以2≤)(A R （5分）。

(2) 由于,αβ线性相关，不妨设k αβ=（2分）. 于是())1()()()1)(()()(分分2112<≤≤=+=+=βββββββααR R k R R A R T T T T ，即2<)(A R （3分）。

22、设向量组4321,,,ββββ线性无关,且43214432134321243211,,,ββββαββββαββββαββββα+---=-+--=--+-=---=证明向量组432,,,1αααα线性无关. 证明：[][]1234123411111111,,,,,,11111111ααααββββ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦ …………………2分 111111110,11111111P P P ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=≠⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦设可逆 …………………2分 [][]112341234,,,,,,P ββββαααα-=,12341234,,,,,,,ββββαααα即可由线性表示 …………………2分 12341234,,,,,,.ααααββββ向量组与等价 …………………2分 1234,,,,αααα由等价的向量组秩相等所以线性无关. ………2分23. 设矩阵2221212n na a aA a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,Tn X x x =，T B ),,,(001 =，求证()1n A n a =+.证明： 记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立(1分)． 当2n =时，2222132a D a aa==，结论成立（2分）． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a aD aD a a-=-（3分）21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+（3分）故 ||(1)nA n a =+（1分）.四、解答题（共30分）24. 问λ取何值时, 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x ，(1)有唯一解; (2)无解;(3)有无穷多个解，并在无穷多个解时，求方程组的通解.解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21111111λλλλλB⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011 ~λλλλλλλλλλr. ……………………………2分 (1)要使方程组有唯一解, 必须R (A )=3. 因此当λ≠1且λ≠-2时方程组有唯一解.……2分(2)要使方程组无解, 必须R (A )<R (B ), 故(1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2≠0. 因此λ=-2时, 方程组无解. …………………………………………………2分 (3)要使方程组有有无穷多个解, 必须R (A )=R (B )<3, 故 (1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2=0.因此当λ=1时, 方程组有无穷多个解.这时原来方程组等价于1231x x x ++=，所以原方程通解为 12123111100010x x c c x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12,c c 为常数。

线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵Aの秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误の是（）A.η1+η2是Ax=0の一个解B.12η1+12η2是Ax=bの一个解C.η1-η2是Ax=0の一个解D.2η1-η2是Ax=bの一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确の是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是Aの属于特征值λの特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是Aの特征值C.Aの2个不同の特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是Aの3个互不相同の特征值，α1，α2，α3依次是Aの属于λ1，λ2，λ3の特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵Aの特征方程の3重根，Aの属于λ0の线性无关の特征向量の个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误の是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.Aの行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同の特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵の为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确の答案写在每小题の空格内。

线性代数期中考试试卷E班级 学号 姓名 成绩 一、判断下列各题是否正确(每小题3分共15分)1．若A 、B 都是n 阶方阵，则||||AB BA =。

( ) 2．若矩阵A 、B 的乘积O AB =，则一定有O A =或O B =。

( ) 3．设A 为n 阶反对称阵，若n 为偶数，则||0A ≠。

( ) 4．若n 阶行列式D 中非零元素的个数小于n ，则0D =。

( ) 5．任意n 阶方阵都可以表示一系列的初等矩阵的乘积。

( ) 二、选择题（每小题3分共15分）1．设A 、B 、C 均为n 阶方阵，若由AB AC =能推出B C =，则A 应满足下列条件中的( )。

A ．A O ≠；B ．A O =；C ．||0A ≠；D ．||0A =。

2．设32214514r s a a a a a 是五阶行列式D 中的项，则下列中,r s 的值及该项的符号均对的是( )。

A ．3,5r s ==，符号为正；B ．3,5r s ==，符号为负；C ．5,2r s ==，符号为正；D ．5,3r s ==，符号为负。

3．设D 为n 阶行列式，则D 为零的充分必要条件是( )。

A ．D 中有两行(列)的对应元素成比例；B ．D 中有一行(列)的所有元素均为零；C ．D 中有一行(列)的所有元素均可以化为零；D ．D 中有一行(列)的所有元素的代数余子式均为零。

4．设A 是反对称阵，k 为正整数，则k A =( )。

A ．不是对称矩阵就是反对称矩阵，两者必居其一；B ．必为反对称阵；C ．必为对称阵；D ．既不是反对称矩阵也不是对称矩阵。

5．设A 、B 均为n 阶可逆矩阵，则下列等式中成立的是( )。

A ．AB BA I ==； B ．1111()()kAB k B A k R ----=∈；C ．11,A A B B --==；D ．111||||A B BA ---=。

三、计算题(每小题10分共50分)1．. 求多项式()x a a a a x aa f x aax a--=-的根。

线性代数期中考试试题+答案.⼀、填空题（共30分，每填对⼀空得3分）1、函数23u xy z =在点(1,1,1)P 处沿⽅向(1,2,3)有最⼤⽅向导数，最⼤⽅向导数等于．2、设arctan x y z x y -=+，则 z x ?=?22y x y+， 22z x ?=?()2222xyx y -+．.3、函数(,)z z x y =由⽅程230zx y z e ++-=确定；则 z x ?=?21z x e -， z y ?=?231z y e -．4、微分⽅程d 2d y xy x=的通解为2x y ce =；0d ()d yx y x xx -=>的通解为 ln y x x cx =+．.5、设函数(,)f x y 连续，(,)(,)d d Df x y xy f u v u v =+??，其中D 由直线0y =，1x =和y x =所围，则(,)d d Df u v u v =??14，(,)f x y =14xy +．⼆、单项选择题（共20分，每题4分）=+，则点=的全微分d d dz f x yO(D) ．(0,0)(A) 不是(,)f x y的连续点；(B) 不是(,)f x y的极值点；(C) 是(,)f x y的极⼤值点；(D) 是(,)f x y的极⼩值点．..2、设函数(,)f x y =，则 (B) ．(A) (0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在； (B) (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在； (C) (0,0)x f '和(0,0)y f '都存在； (D) (0,0)x f '和(0,0)y f '都不存在．.3、设积分域D ：221x y +≤，221sin()d d DI x y x y =+??，332sin()d d DI x y x y =+??，443sin()d d DI x y x y =+??，则 (B) ． (A) 123I I I >>； (B) 132I I I >>； (C) 213I I I >>； (D) 231I I I >>．.4、设函数()f u 连续，D ={}22(,)2x y x y y +≤，则()d d D．(A)11d ()d x f xy y -??； (B) 2002d ()d y f xy x ??；(C) 2sin 20d (sin cos )d f r r πθθθθ??； (D)2sin 2d (sin cos )d r f r r πθθθθ??．.5、函数(,)f x y 在点(0,0)O 处可微的⼀个充分条件是 (D) ． (A) (,)(0,0)lim(,)(0,0)x y f x y f →=；(B) 0(,0)(0,0)lim 0x f x f x →-=, 0(0,)(0,0)lim 0y f y f y→-=；(C) 0lim (,0)(0,0)x x x f x f →''= 且 0lim (0,)(0,0)y y y f y f →''=；(D) (,)(0,0)(,)(0,0)0x y f x y f →-=．.三、（10分）求微分⽅程 2(34)xy y x e ''-=+ 通解．解特征⽅程 210λ-=，特征根 121,1λλ=-=；------2分对应的齐次⽅程的通解 12x xy c e c e -=+ -----5分设原⽅程的特解* 2()xy ax b e =+并代⼊原⽅程，解得: *2xy xe = -----9分原⽅程的通解: 212xxxy c e c e xe -=++ -----10分四、（10分）求曲线L：2226x y zx y z++=++=在点(1,2,1)P-处的切线和法平⾯⽅程．解对x求导，得2220 10x yy zzy z''++=?''在点(1,2,1)P-处，211y zy z''-+=-''+=-，得0y'=，1z'=-------6分切线⽅程：121101x y z-+-==------8分法平⾯⽅程：0x z-=-----10分..五、（10分）计算⼆重积分 2(3)d d DI x y x y =+??，其中D ：221x y +≤．22(96)d d (9)d d DDI x y xy x y x y x y =++=+（奇偶性+对称性）-------2分2222221(9)(9)d d 5()d d 2D Dx y x y x y x y x y ??=+++=+ （轮换对称性） -------4分213055d d 2r r πθπ==?------10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯26x y z +-=的最近点、最远点．解点(,,)x y z 到平⾯的距离26x y z +--，---2分设 2222(,,,)(26)(21)L x y z x y z x y z λλ=+--+++-------2分.令 2224(26)402(26)202(26)20210xyz L x y z x L x y z y L x y z z L x y z λλλλ'=+--+=??'=+--+=??'=-+--+=??'=++-=? ------6分解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P -- -----10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯∏：26x y z +-=的最近点、最远点．解令 0000(,,)P x y z S ∈, 椭球⾯S 过0P 切平⾯⽅程1000:2 1.x x y y z z ∏++=令12//∏∏，有:0002211x y z ==-， (1)⼜： 22221x y z ++=， (2)解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P --.定理设0000(,,)P x y z S ∈，⽽S 为实⼆次曲⾯22222 2 A x B xy C x z Dy E y z F z +++++2 2 20,G x H y I z J ++++=若 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + G,Bx 0 + Dy 0 + Ez 0 + H, Cx 0 + Ey 0 + Fz 0 + I ,不全为零, P 0 称为S 的寻常点. 则⼆次曲⾯S 在0000(,,)P x y z 处的切平⾯⽅程为:()()()00000000 A x x B x y xy C x z x z Dy y E y z y z +++++++()()()0000 0.F z z G x x H y y I z z J ++++++++=.七、（10分）设函数()f u 在(0,)+∞内⼆阶连续可微，(1)0f =，(1)1f '=，且z f =满⾜22220z zx y+=，求()f u ．解u =，则()z xf u x u'=，222232()()z y x f u f u x u u ?'''=+?； ()z y f u y u'=，222232()()z x y f u f u y u u ?'''=+?. --4分.代⼊原⽅程并化简，得 1()()0f u f u u'''+=，即()()(())0u f u f u u f u '''''+==， ------5分从⽽ 1()u f u c '=。

线性代数期终考试卷一、 试卷一1)填空题（每小题4分，共20分）（1）设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300220111,则A T A= （2）在分块矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡O C B O 中，已知1-B 、1-C 存在，则=-1A（3）设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963042321，B 为三阶非零矩阵，满足AB=O ，则r(B)= （4）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡3152X=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1264，则X= （5）三次代数方程321842184211111x x x--=0的根是2）选择题（每小题3分，共15分）（1）设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231332221131211a a a a a a a a a ,B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a P 1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010，P 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101010001，则必有（ ） (A)AP 1P 2=B (B)AP 2P 1=B(C)P 1P 2A=B (D)P 2P 1A=B(2)设A 是三阶矩阵，A*是其转置伴随矩阵，又k 为常数k ≠0,1±，则(kA)*=( ) (A)kA* (B)k 2A* (C)k 3A* (D)31A* (3)若r(A)=r<n,则n 元线性代数方程Ax=b ( ) （A ） 又无穷多个解 (B)有唯一解 (C)无解 (D)不一定有解(4)下列说法中正确的是（ ）(A ）对向量组kαα,,1Λ，若有全不为零的数k c c ,,1Λ使011=++k k c c ααΛ，则k αα,,1Λ线性无关(B) 若有全不为零的数k c c ,,1Λ使011≠++k k c c ααΛ，则kαα,,1Λ线性无关(C)若向量组kαα,,1Λ线性相关，則其中每个向量皆可由其余向量线性表示 (D)任何n+2个n 维向量必线性相关(5)矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100的特征值是（ ） (A)1，1，0 (B)-1，1，1 (C)1，1，1 (D) 1，-1，-13）（每小题6分，共12分）（1）计算行列式D= ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+y y x x1111111111111111 （2）已知q 1=T⎥⎦⎤⎢⎣⎡313131,q 2=T⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21021，求q 3，使Q=[]321q q q为正交阵。

2017-20181 线性代数一、填空题（每小题4分，共20分）1．四阶行列式中含有441221a a a 的项为__________；2．设1221304012107301---=D ,则D 的代数余子式=23A ； 3． 设 1112131111121321222321212223313233313132333403434a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a a a --=≠--=--，则 _________； 4．设A 为3阶方阵，且4A =，则*126A A --=_______________；5．已知()()()T T T123=1,-2,-1,1=2,0,,0=-4,5,2t ααα-，，0,，且3α能由12, αα线性表示，则t =______________；二、选择题（每小题4分，共20分）1.设n 阶方阵A 满足220A A E --=，则必有（ ）A. 2A E =B. A E =-C. A 不可逆D. A E -可逆 2.行列式01221≠--k k 的充分不必要条件是（）（A ）-1k ≠（B ）3k ≠（C ）3k -1k ≠≠且（D ）3k -1k ≠≠或3.设A , B 均为n 阶方阵，则下列正确的是（ ）A. B A B A +=+B. BA AB =C. BA AB =D. 111)(---+=+B A B A4. 两个n 阶初等矩阵的乘积一定为 （ ）（A ）初等矩阵；（B ） 单位矩阵；（C ） 可逆阵；（D ） 不可逆阵。

5.向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是 ；)A s ααα,,,21 均不为零向量)B s ααα,,,21 中任意两个向量对应分量不成比例)C s ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余1-s 个向量线性表出)D s ααα,,,21 中有一部分线性无关期中考试试题 学期 学年三．（13分）（1计算行列式D=ab b b ba b b b b a b bb b a（2）计算行列式D= y y x x-+-+1111111111111111四．（10分）设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=4321,6063324208421221b A ，求矩阵A 及矩阵),(b A B =的秩。

一． 计算题（共50分）1．（6分）设211,()3323A f x x x -⎡⎤==-+⎢⎥⎣⎦,计算()f A .2. （6分）计算4阶行列式0000a b a aa b A b a a ab a =.3. （6分）设,A B 都是n 阶矩阵，且2A AB E -=，求3BA AB A -+的秩.《线性代数》课程期中考试卷学院＿＿＿年级＿＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师： 试卷类型：（A 卷）4.（6分）计算行列式11 222211n nn na ba ba bc dc dcd.5.（6分）设A是m阶可逆矩阵，B是n阶可逆矩阵，问O ACB O⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是否为可逆矩阵？若可逆，求其逆矩阵.6.（10分）求111211132373aaA-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的秩.7（10分）设1315011,130424210aA baa-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，线性方程组AX b=有解，求常数a的值.二. （10分）计算112312231233123(0,1,2,,)nnn in na a a aa a a aA a a a a i na a a aλλλλλ++=+≠=+.三.（15分）已知矩阵10202-1010A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦和010110011B⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.若矩阵X和Y满足：2,()X X Y E A X Y B E +=+=，求Y.四. （20分）设1102,2,211aαβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若3T TX Xαββγβ=+，求此方程组的通解.五.(5分) 设A 为反对称矩阵()TA A =-，（I ）证明对任意n 维列向量α恒有0TA αα=.（II ）证明对任意非零常数c ，矩阵A cE +恒可逆，其中E 为n 阶单位矩阵.。

试卷答案及提示一、试卷一答案及提示1）（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1451551111；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--11B C ；（3）1；（4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-80232；（5）1，2，－2 2）（1）C ；（2）B ；（3）D ；（4）D ；（5）B3)（1）22y x ；（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=121613q 4）1-≠a 时，β可唯一表示成4321,,,αααα的线性组合，这时43210111212ααααβ⋅+++++++-=a a a a 5）0=+y x 。

提示：12,1=λ，要使A 可对角化必须1)(=-I A r ，求得0=+y x 。

6）（1）无解。

因为0))()()()()((111134241423131234244332333222231211≠------=a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，故)()(A r b A r ≠ 。

（2）2)(=A r ，3=n ，1)(dim =A N ，故通解)(,111202)(112R t t t x ∈⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+-=ξξξ7）（1）2=a 。

提示：321λλλ=A ，即10521303002=••=a a 。

（2）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2102121021010Q（3）q 为正定二次型，因为特征值全大于零。

8）提示：取j i e y e x ==,，由0=Ay x T 可求得),,2,1,,,2,1(0n j n i a ij ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==。

二、试卷二答案及提示1) (1)I ；（2）0；（3）63；（4）a ＝2，b ＝－1；（5）0 2）（1）C; (2)C; (3)B; (4)C; (5)D3)01≠≠b a 且时，方程组有唯一解；0=b 时，方程组无解；211≠=b a 且时，方程组无解；211＝且b a =时，方程组有无穷多解，解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=222101t x ，（)R t ∈。

线性代数期中测验一、 选择题1.设行列式==1111034222,1111304zy x zy x 则行列式（ ） A.32 B.1C.2D.38 2.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ ）A.m-nB.n-mC.m+nD.-（m+n ）3.设3阶方阵A 的行列式为2，则12A -=( ) A.-1 B.14-C.14D.1 4.设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵,且行列式|A |=1，|B |=-2，则行列式||B |A |之值为（ ）A.-8B.-2C.2D.85.已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211333a a a a a a a a a ，P =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100030001，Q =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100013001，则B =（ ） A.P A B.AP C.QA D.AQ6.已知A 是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ）A.若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩（A ）=2B.若A 中存在2阶子式不为0，则秩（A ）=2C.若秩（A ）=2，则A 中所有3阶子式都为0D.若秩（A ）=2，则A 中所有2阶子式都不为07．设A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321，则|2A *|=（ ）A.-8 B.-4C.4 D.8 8.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi (i=1,2,3)为A 的列向量，若|B |=|[α1+2α2，α2，α3]|=6，则|A |=（ ）A.-12 B.-6 C.6 D.129.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有A. α1，α2，α3，α4线性无关B. α1，α2，α3，α4线性相关C. α1可由α2，α3，α4线性表示D. α1不可由α2，α3，α4线性表示10．若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则R (A )=（ ）A ．2 B. 3 C ．4 D ．511.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( )A. α1, α2,β线性无关B. β不能由α1, α2线性表示C. β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一D. β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一12.设A 为3阶实对称矩阵,A 的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( )A.0B.1C.2D.313．设α1，α2，α3，α4，α5是四维向量，则( )A ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性无关B ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性相关C ．α5一定可以由α1，α2，α3，α4线性表出D ．α1一定可以由α2，α3，α4，α5线性表出二、 填空题1.设行列式304222,532D =-其第3行各元素的代数余子式之和为__________.2.设方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，且数0,λ<则λ=__________.3.行列式111123149=___________.4．设A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101，k 为正整数，则A k = ． 5．设2阶可逆矩阵A 的逆矩阵A -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则矩阵A =__________． 6．设同阶方阵A ，B 的行列式分别为-3，5，则det （AB ）=_________.7．三元方程x 1+x 2+x 3=0的结构解是________.8.齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-=++0320321321x x x x x x 的基础解系所含解向量的个数为________________. 9.设A 为n 阶矩阵，B 为n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax =0的解，则|A |=__________________.10.已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关,则数k=_________.三、 解答题1.求行列式D=.0120101221010210的值2.计算行列式D =333222c c b b a a c b a cb a +++的值。

一、填空题（每小题5分，共30分）1、三阶方阵A=1230 0 0 0 0 0λλλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（其中1230 λλλ≠）的逆矩阵A -1 = 。

2、已知A= 3 5 01-1 -2 02 0 0 2⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，A*是矩阵A 的伴随矩阵，则 (A*)-1 = 。

3、n 阶方阵A ，B 满足A+B=AB ，则B-E 可逆且（B-E ）-1 = 。

4、A 为三阶方阵， 1A =，则 1*(2) A A -- =________ 。

5、A 为n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对调得到矩阵B ，则 AB -1 = 。

6、111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，121111132221212332313133 a a a a B a a a a a a a a +⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭，10 1 01 0 00 0 1P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2 1 0 10 1 00 0 1P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则B = 。

（用12,,A P P 表示B ）答案：1、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 0 /10 1/ 0 1/ 0 0 123λλλ 2、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2 0 0 0 2- 1-0 5 3 2 3、A-E 4、-1/8 5、E n (i,j ) 6、A P 2P 1二、（30分）1、计算行列式123410123110125D =--- （10分）解：7014101231107-25D =---327 1 4 (1)(1) 1 1 2 7 -2 -5+=-- 6 0 21 1 2 9 0 -1=226 2(1)-249 -1+=-=2、计算行列式D n = a a a b a a b aa b a a b a a a----(a ≠-b ) (10分)解：将第2、3、…、n 列同时加到第一列，并提取公因子，得n 1 a a b 1 a b aD [(n 1)a b] .................................1 b a a 1 a a a--=---0 0 0 -b-a 0 0 -b-a 0[(n 1)a b] .................................0 -b-a 0 0 1 a a a=--n(n 1)n 1n 12(1)(1)(b a)[(n 1)a b]---=--+--(n 1)(n 2)n 12(1)(a b)[(n 1)a b]-+-=-+--3、求下列矩阵的逆矩阵（10分）11000130000020********001A ⎛⎫⎪- ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭答案： 341400014140000012000001200001-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎪- ⎪ ⎪⎝⎭三、（40分）1. 已知011111010A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，112113B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且满足AX +B =X ，用初等变换法求X （10分） 解：由AX +B =X 知 B =X -AX =(E -A )X()100011111010111101001010011E A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭且10E A -=≠所以E -A 可逆，由此得1()XE A B -=-()111111012101113E A B ---⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎪⎝⎭010121012101113---⎛⎫⎪−−→-⎪⎪⎝⎭ 010121002200101---⎛⎫ ⎪−−→⎪ ⎪⎝⎭ 100220101200101⎛⎫ ⎪−−→ ⎪⎪⎝⎭2、已知矩阵A =0 1 01 2 00 0 -1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，A *是矩阵A 的伴随矩阵，若矩阵B 满足（B-E ）-1 =A *-E ， 求矩阵B 。

2019~2020年第一学期《线性代数》期中考试专业 学号 姓名一、单选题（每题3分,共15分）⑴ 如果四阶行列式中每一列的四个元素之和等于0，则行列式的值为 A ．1 B. 4 C. 0 D. 不能确定⑵ 若三阶行列式D=1321321321-=z z z y y y x x x ，则三阶行列式=---------321321321222222z z z y y y x x x （ ） A ． 8- B ．8 C ．4- D ．4⑶ 若矩阵()()(),,,m n ij n l ij lm ijc C b B a A ⨯⨯⨯===则下列运算中（ ）无意义。

A ． ABCB ．BCAC ．A+BCD ．BC A T+ (4) 设A 为n 阶方阵，且2A A =，则（ ）成立（A ）0A =； （B ）若A 不可逆则0A = （C ）A E = （D ）若A 可逆则A E =(5) n 阶方阵A 经过若干次初等变换后化为矩阵B ，则 .A. 必有||||B A =；B. 必有||||B A ≠；C. 若0||=A 则必有0||=B ；D. 若0||>A 则必有0||>B . 二、填空题（每题3分,共15分）（1） 若矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=241241A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=253121B ，则积ABC =的元素=12c （2） =⎪⎪⎭⎫⎝⎛53001(3) 已知四阶行列式D 中第二行上元素分别是4201，，，-，第三行上的元素的余子式分别为421，，，a ，则=a ⑷ 已知二阶方阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2131A ，则二阶方阵A 的逆矩阵=-1A ⑸ 已知线性方程组B AX =，其中系数矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1201A ，若⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210X 为它的解，则常数项矩阵=B三、利用行列式的性质计算下列各行列式：（每题10分，共20分）1．2164729541732152-----2．111111111111-----+---xx x x x x x四、计算下列n 阶行列式：（每题10分，共20分）1．ab b a a b a b a 00000000000000002．abab b a b aD n=2五、问μλ、取何值时，齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+μ+=+μ+=++λ0200321321321x x x x x x x x x 有非零解？（10分）六、求解下列矩阵方程： （10分）=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--X 30230241⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-312七 证明下列等式：（每题10分，共20分） 1．A B A B B A 1111)()(----+=+2．若A 是n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，证明1*-=n AA。

⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎪2017-2018 第一学期 线代期中试卷一、填空题（每小题 5 分，共 35 分）x a a1. 行列式 ax a = ．a a x 2. 已知一 个 三 阶 行 列 式 的 第 二 行 元 素 全 为 1 ，第 三 行 的 余 子 式 分 别 为 a ,a +1,a + 2，则a =.2 - 13 ． 设 D = 3 0 -14 - ， A i j 为 D 的 (i , j ) 元 的 代 数 余 子 式 ， 则-2A 12 - 4A 22 + 2A 32 =. 4．设 A , B 为 3 阶方阵， A = 1, B = -2, ，则 (2A )*(2B )-1 =. ⎛ 1 2 4 ⎫5．设 A -1 = 0 3 5 ⎪ ，则 A * = ．0 0 6 ⎪ 6.设 A = (α1, 2α2,α3), B = (α1, 4α3,α3) ，其中α1,α2,α3 都是 3 维列向量，已知 A = 2 ， 则 A + B = ．⎛ 2 2 0 ⎫ 7. 已知 A = 3 4 0 ⎪ ，那么 A -1 = . 0 0 5 ⎪ 二、选择题（每小题 5 分，共计 25 分） 1. 设 A , B ,C 为n 阶方阵，且 ABC = E ，则下列等式必成立的是（）(A ) ) BCA =E(B ) BAC = E (C ) ACB = E (D ) CBA = E2、设 A , B 为n 阶方阵，且 AB = O ，则必有（）．( A ) A = O 或 B = O(B ) | A | + | B |= 0(C ) 若 A ≠ O ，则 B = O(D ) 若| A |≠ 0 ，则 B = O⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎪ 1 2 3 2 ⎛ a 11 a 12 a 13 ⎫ ⎛ a 21 a 22 a 23 ⎫ ⎛ 0 1 0 ⎫ 3. 设 A = a a a ⎪ ， B = a a a ⎪ ， P = 1 0 0 ⎪ ， 21 22 23 ⎪ 11 12 13 ⎪ 1 ⎪ a a a ⎪ a + a a + a a + a ⎪ 0 0 1 ⎪⎝ 31 32 33 ⎭ ⎝ 31 11 32 12 33 13 ⎭ ⎝ ⎭⎛ 1 0 0 ⎫P = 0 1 0 ⎪ ， 1 0 1 ⎪ 则必有（）．( A ) AP 1P 2 = B(B ) AP 2P 1 = B (C ) P 1P 2 A = B (D )P 2 P 1 A = B⎛ 1 0 0⎫⎛ 1 1 0 ⎫ 4. 设 A = 0 2 0⎪ ， B = 1 2 2 ⎪ ， C = AB -1 ，则矩阵C -1 中第三行、第二列的元 ⎪ 0 0 3⎪ ⎪ 0 1 3 ⎪ 素是( )． (A ) ) 12 (B ) 13 (C ) 1 (D ) 3 25.以下结论正确的是( )( A )若方阵 A 的行列式 A = 0 , 则 A = 0 (B ) 若 A 为对称矩阵, 则 A 2 也是对称矩阵 (C )若 A 2 = 0 , 则 A = 0 (D ) 对n 阶方阵 A , B , 有(A + B )(A - B ) = A 2 - B 2⎧x + ax + a 2 x = d , ⎪ 1 2 3 三、（10 分）解方程组⎨ x + bx + b 2 x = d , 其中a , b , c 互异． ⎪ x + cx + c 2 x = d .⎩ 12 3 ⎛ 0 2 -1⎫ 四、（10 分）求 A = 1 1 2 ⎪ 的逆矩阵． -1 -1 -1⎪⎝ ⎭T ⎛ 1 1 ⎫T五、（10 分）已知α = (1, 2,3) , β = 1, , ⎪ , 若A = αβT ,求A 2017.⎝ 2 3 ⎭六、（10 分）设n 阶方阵 A 满足方程 A 3 + A 2 - 2A - 2E = 0 ，证明 A 及 E - A 都可逆，并求 A -1 及(E - A )-1 ．。

2010—2011学年第一学期线性代数期中考试试卷2010.11Part 1．Multiple-choice test ( 3 points/each)1. Let A= 2222011100010001and ij A be the cofactor of the (i, j) entry. Then,1n ij i j A ==∑________A .2 B. 1 C. 0 D. -22. If all the solutions of the system of equations 0AX = are solutions of 0BX =, then rank(A)_____rank(B)A. =B. ≥ C .not deteremined D. ≤3. A sufficient and necessary condition under which the homogeneous linear equations 0AX = has nonzero solutions is _______A. rank(A)<n-1B. rank(A)= n-1C. rank(A) ≤n-1D. rank(A)=n4. Let12,,s ααα (A) 12,,t βββ (B)be two vector sets and suppose that (B) can be linearly expressed by the vector set (A). If ________,then the vector set (B) must be linearly dependent.A. s>tB. s<tC. s t ≥D. s t ≤5. Let 1213A ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 1012B ⎛⎫= ⎪⎝⎭, which one of the following is right?________ A. AB=BA B. 222()2A B A AB B +=++C. 22()()A B A B A B +-=- D. none of the above is right6. Assume that A and B are square matrices with the same size, if 0AB =, then_________A. 0A =or 0B =B. 0A =and 0B =C. ||0A = or ||0B =D. none of the above is right7.Determine which one of the following sets form subspaces of 2R ?___________ A. {}1212(,)|0T x x x x = B. {}1212(,)|T x x x x =C. {}121122(,)|T x x x x x x =D. {}1212(,)|0T x x x x +=8. Let A be an n n ⨯matrix and 0322=--I A A . Then 1)(--I A =___________A )(4I A - B.)(41I A -. C. I 21± D. not determined Part 2． Sutmnmy completion ( 3 points/each)1. Let ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-403212221 and ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11a α. If },{ααA is a linear dependent set, then a= _________.2. For any n n ⨯ matrix A , let B be an n n ⨯ matrix, when B equals _______, we have AB BA =.3. Given the vectors 123(3,2,4),(3,2,4),(6,4,8)T T T x x x =-=--=--, the dimension of Span 123(,,)x x x is _________.4. If ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a c b c a 0,0,0 is a basis for 3R . Then c b a ,, satisfies ________. 5. Let )(ij a A = be a 33⨯ orthogonal matrix and 111=a and T b )0,0,1(=. Give all solutions for the linear system of b Ax = in vector form. ______________.6. If 142031121101X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭, then X equals ___________. 7. The rank of the matrix A= 1001120131041451⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭equals___________. 8. The coordinator of a vector T )3,4,3(=ξ with respect to the basis T T T ),1,1,1(,)1,1,0(,)0,1,1(===γβα in 3R is _______________. Part 3. CALCULATE (5 points/each)1. Discuss the following system and give all solutions in vector form whenever thesystem has infinite many solutions.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++00003321432143214321ax bx bx bx bx ax bx bx bx bx ax bx bx bx bx ax . 2. Find 23,,k A A A , if 101A λ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 3. Let 423110123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,2AB A B =+. Find B4. Let two subspaces }211,311,201{⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a span U and⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,412,321a a span V Determined a such that U=V and V U ≠5. Determine the nullspace of each of the following matrices. (a) 12312463--⎛⎫ ⎪--⎝⎭(6) 111222311105-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪---⎝⎭6. Consider a nonhomogeneous system of linear equations 12312321232222x x x x x x x x x λλ-++=-⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩What value does λ take on such that the system has a solution? Part 4. PROVE1. Let {}...,,,21k ααα.is a basis for the homogneeous linear system 0=Ax . If 0≠βA , then the set }{ββαβαβα,,,,21+++k is a linear independent set. (7 points)2. (1) Let A be an n n ⨯ matrix, the elements of A are real numbers.Prove:0AX = and 0T A AX = have the same solutions. (4 points)(2). Prove that )()(A rank AA rank T =. (4 points)3. Suppose a system of fundamental solutions of the system 0s n A X ⨯= is 1,,r n αα+ ,in other words, { 1,,r n αα+ } is a basis for null space of sn A . .we expand them to the base of n R :1,,n αα , let 1(,,)r B αα= . Prove: rank of AB = the number of columns of AB . (7 points)。