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第一章 光的干涉1 波长为500nm 的绿光照射在间距为0.022cm 的双缝上，在距离180cm 处的光屏上形成干涉条纹，求两个亮条纹之间的距离。
若改用波长700nm 的红光照射此双缝，两个亮条纹之间的距离又为多少？计算这两种光第二级亮条纹位置的距离。
解：本题是杨氏双缝干涉实验， 其光路、装置如图。
由干涉花样亮条纹的分布规律：λdr j y 0= （j=0、±1、±2、…）得亮条纹间距： λdr y 0=∆ (1) 其中：λ=500nm 和700nm 、d=0.022mm 、r 0=180cm 代入公式(1)计算得到:当λ=500nm 时,两个亮条纹之间的距离:cm y 409.0=∆ 当λ=700nm 时,两个亮条纹之间的距离: cm y 573.0='∆ 第2 级亮条纹的位置:λdr jy 02= 2=j (2) 当λ=500nm 时: cm y 819.02=当λ=700nm 时: cm y 146.12=' 两种光第二级亮条纹位置间的距离: cm y y y 327.0222=-'=∆2 在杨氏实验装置中，光源的波长为640nm ，两缝间距为0.4mm ，光屏离双缝的距离为50cm ，试求：（1）光屏上第一亮条纹和中央亮条纹之间距离；（2）若P 点距离中央亮条纹0.1mm ，则两束光P 点的相位差；（3）P 点的光强度与中央亮条纹的强度之比。
解: (1) 由: λdr jy 0= （1）， 已知：λ=640nm ，d=0.4mm ，r 0 = 50cm ，j=1代入公式（1）解得，第一亮纹到中央亮纹的距离：y=0.8mm(2)两束光传播到P 点的光程差为：12r y dr r =-=δ位相差为：022r dy λπδλπϕ==∆代入数据：λ=640nm 、d=0.4mm 、r 0=50cm 、y=0.1mm 得到两束光在P 点的相位差：4/πϕ=∆（3）在中央亮条纹的位置上，两光的相位差为：0=∆ϕ 光强度为：2204)cos 1(2A A I =∆+=ϕP 点的光强度为：2224.3)4/cos 1(2)cos 1(2A A A I p =+=∆+=πϕ 两条纹光强度之比为：2:7.1:0=I I p3 把折射率为1.5的玻璃片插入杨氏双缝的一束光中，光屏上原来第五级亮条纹所在的位置变为中央亮条纹，求插入的玻璃片的厚度。
第十四章光学参考答案三、计算题1. 在一双缝实验中，缝间距为5.0mm ，缝离屏1.0m ，在屏上可见到两个干涉花样。
一个由480nmλ=的光产生，另一个由'600nm λ=的光产生。
问在屏上两个不同花样第三级干涉条纹间的距离是多少? 解： 对于nm 480=λ的光，第三级条纹的位置：λ3d D x =对于nm 600'=λ的光，第三级条纹的位置：'3dD 'x λ= 那么：)'(3dDx 'x x λλ∆-=-=，m 102.7x 5-⨯=∆。
2. 双缝干涉实验装置如图所示, 双缝与屏之间的距离D =120cm, 两缝之间的距离d =0.50mm, 用波长λ=5000 Å的单色光垂直照射双缝。
(1) 求原点O (零级明条纹所在处)上方的第五级明条纹的坐标。
(2) 如果用厚度e =1.0×10-2mm, 折射率n =1.58的透明薄膜覆盖在图中的s 1缝后面, 求上述第五级明条纹的坐标x '。
解： (1)光程差λδk D dxr r ==-=12 dD k x k λ=因k=5有mm x 65=(2)光程差)(12ne e r r +--=δ λk e n Ddx e n r r =--=---=)1(')1(12 有dDe n k x ])1(['-+=λ 因k =5, 有mm x 9.19'5=3. 在双缝干涉实验中，单色光源S 0到两缝S 1、S 2的距离分 别为l 1、l 2，并且123,l l λλ-=为入射光的波长，双缝之间的距离为d ，双缝到屏幕的距离为D ，如图，求： (1) 零级明纹到屏幕中央O 点的距离；(2) 相邻明条纹间的距离。
解： 两缝发出的光在相遇点的位相差：λπδϕϕϕ∆22010+-=根据给出的条件：λλπϕϕ322010⋅-=-s 1 s 2屏dDOx所以，λπδπϕ∆26+-=明条纹满足：πϕ∆k 2=，πλπδπk 226=+-，λδ)3k (+=明条纹的位置：δdD x=，λ)3k (dDx+=令0k =，得到零级明条纹的位置：λdD3x 0=，零级明条纹在O 点上方。
3.1 证明反射定律符合费马原理。
证明：设两个均匀介质的分界面是平面，它们的折射率为n 1和n 2。
光线通过第一介质中指定的A 点后到达同一介质中指定的B 点。
为了确定实际光线的路径，通过A,B 两点作平面垂直于界面，'OO 是它们的交线，则实际光线在界面上的反射点C 就可由费马原理来确定，如下图所示。
(1)反证法：如果有一点'C 位于线外，则对应于'C ，必可在'OO 线上找到它的垂足''C .由于''AC 'AC >,''BC 'BC >,故光线B AC'总是大于光程B ''AC 而非极小值，这就违背了费马原理，故入射面和反射面在同一平面内得证。
(2)在图中建立坐XOY 坐标系，则指定点A,B 的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），未知点C 的坐标为（x ，0）。
C 点是在'A 、'B 之间的，光程必小于C 点在''B A 以外的相应光程，即21v x x <<，于是光程ACB 为y x x n y x x n CB n AC n ACB n 2211221221111)()(+-++-=+=根据费马原理，它应取极小值，即0)(1=n dxd0)sin (sin )()()()()()(21112222211212111=-='-'=+---+--=i i n B C C A n y x x x x n y x x x x n ACB n dx d 所以当11'i i =，取的是极值，符合费马原理。
3.2 根据费马原理可以导出在近轴条件下，从物点发出并会聚倒像点的所有光线的光程都相等。
由此导出薄透镜的物象公式。
解：略3.3 眼睛E 和物体PQ 之间有一块折射率为1.5的玻璃平板(见题3.3图),平板的厚度d 为30cm 。
光学习题参考答案1-1解：（B 点是A 点的像）由等光程原理，对透镜而言，光程 AOB ADB l l =显然ADBACB l l <1.2 解：（1）：由图1-2知， 所以，光程为： （2） 从而得出：所以，满足以上条件的角度为实际光线。
1-3解：由题意知，经过镜具 的出射光为平行光， 又由折射定律得， 则有又由等光程原理得(cos )r f n AD f n r f θ=+=+-1-4 解：参看课本16P 图1-13考虑三角形PSC ，有122211()2()cos PS x R R x R R θ⎡⎤=++-+⎣⎦，当θ很小时，2111()2x R R PS x x θ+≈+；同理有2222()2x R R SQ x x θ-≈-；此时的1x 和2x 均表示线段长度的大小，没考虑符号问题。
则根据等光程原理1212n PS n SQ n PO n OQ +=+得出2212111222112212()()22x R R x R R n x n n x n n x n x x x θθ+-++-=+；则有212121n n n n R x x -=+；考虑符号ABS法则，凡是光线和主轴交点在顶点左方的，线段长度为负，上式变为212121n n n n R x x -=-。
物体通过透镜成像，就是由物体发出的光束在它的两个球面上相继折射的结果。
设在透镜主光轴上有一点物P ，它经过第一球面成像于1P ，1P 可看作第二球面的物，再经第二球面成像于2P ，它就是P 点经透镜所成的像。
按照上面所讲的逐次成像原理，设透镜的折射率为n ，S 为物距，'S 为像距，''S 为物点经过左半球面折射后所成的像。
对左半球面而言，取1x S =;"2112=S ;R=R ;1;x n n n ==,上式变为''111S n n R S-=-同理，对右半球面，有'''211Sn nR S -=-，将两式相加即可得到'121111(1)()S n S R R -=--1-5解（1）由等光程原理得AC nBD =minsinsin22AD nAD αδα+⇒=1.6 解：在半径相差dr 的两球面为所以，光程为 所以，当满足时，ds 最小，从而光程取最小值为由 0d d θϕ==知，光线在介质中传播不改变方向，即经过O 点和任意点A 的光线为直线。
1. 试确定下面两列光波E 1=A 0[e x cos （wt-kz ）+e y cos （wt-kz-π/2）] E 2=A 0[e x sin （wt-kz ）+e y sin （wt-kz-π/2）] 的偏振态。
解 ：E 1 =A 0[e x cos(wt-kz)+e y cos(wt-kz-π/2)]=A 0[e x cos(wt-kz)+e y sin(wt-kz)] 为左旋圆偏振光E 2 =A 0[e x sin(wt-kz)+e y sin(wt-kz-π/2)]=A 0[e x sin(wt-kz)+e y cos(wt-kz)] 为右旋圆偏振光2. 为了比较两个被自然光照射的表面的亮度，对其中一个表面直接进行观察，另一个表面通过两块偏振片来观察。
两偏振片透振方向的夹角为60°。
若观察到两表面的亮度相同，则两表面的亮度比是多少？已知光通过每一块偏振片后损失入射光能量的10%。
解∶∵亮度比 = 光强比设直接观察的光的光强为I 0,入射到偏振片上的光强为I ，则通过偏振片系统的光强为I'：I'=(1/2)I (1-10%)cos 2600∙(1-10%) 因此：∴ I 0/ I = 0.5×(1-10%)cos 2600∙(1-10%) = 10.125%.3. 两个尼科耳N 1和N 2的夹角为60°，在他们之间放置另一个尼科耳N 3，让平行的自然光通过这个系统。
假设各尼科耳对非常光均无吸收，试问N 3和N 1 的偏振方向的夹角为何值时，通过系统的光强最大？设入射光强为I 0，求此时所能通过的最大光强。
解：201I I()()()()有最大值时，亦可得令注：此时透过的最大光强为，须使欲使I I d d d dI I I II I I II I II I 20cos cos 2329434323060cos 30cos 2302602cos cos 2cos cos 2cos 2222max22232213θααθαααθααθααθαα==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⋅⋅=-=====∴-=-===4. 在两个理想的偏振片之间有一个偏振片以匀角速度ω绕光的传播方向旋转（见题5.4图），若入射的自然光强为I 0，试证明透射光强为I =16πI 0（1-cos4ωt ）.解: I = 12I 0 cos 2ωt cos 2（2π-ωt ） = 12 I 0cos 2ωtsin 2 ωt = 18 I 0 1-cos4t2ω= I 0（1-cos4ωt ） `题5. 线偏振光入射到折射率为1.732的玻璃片上，入射角是60°，入射光的电失量与入射面成30°角。
光学习题参考答案1-1解：（B 点是A 点的像）由等光程原理，对透镜而言，光程 AOB ADB l l =显然ADBACB l l <AOB ACB l l ⇒<1.2 解：（1）：由图1-2知，12OP OP ==所以，光程为：12l OP OP =+= （2）00dld θ==从而得出：00cos 0,sin 0θθ==或所以，30,,,22ππθπ=满足以上条件的角度为实际光线。
1-3解：由题意知，经过镜具 的出射光为平行光， 又由折射定律得，//MN AC则有ABScos r f AD θ=+ c o s A D r f θ⇒=-又由等光程原理得(cos )r f nAD f n r f θ=+=+-(1)1cos f n r n θ-⇒=-1-4 解：参看课本16P 图1-13考虑三角形PSC ，有122211()2()cos PS x R R x R R θ⎡⎤=++-+⎣⎦，当θ很小时，2111()2x R R PS x x θ+≈+；同理有2222()2x R R SQ x x θ-≈-；此时的1x 和2x 均表示线段长度的大小，没考虑符号问题。
则根据等光程原理1212n PS n SQ n PO n OQ +=+得出2212111222112212()()22x R R x R R n x n n x n n x n x x x θθ+-++-=+；则有212121n n n n R x x -=+；考虑符号法则，凡是光线和主轴交点在顶点左方的，线段长度为负，上式变为212121n n n n R x x -=-。
物体通过透镜成像，就是由物体发出的光束在它的两个球面上相继折射的结果。
设在透镜主光轴上有一点物P ，它经过第一球面成像于1P ，1P 可看作第二球面的物，再经第二球面成像于2P ，它就是P 点经透镜所成的像。
按照上面所讲的逐次成像原理，设透镜的折射率为n ，S 为物距，'S 为像距，''S 为物点经过左半球面折射后所成的像。
1λ第十二章 习题及答案１。
双缝间距为１mm ，离观察屏１m ，用钠灯做光源，它发出两种波长的单色光 =589.0nm 和2λ=589.6nm ，问两种单色光的第10级这条纹之间的间距是多少？ 解：由杨氏双缝干涉公式，亮条纹时：dDm λα=（m=0, ±1, ±2···） m=10时，nm x 89.511000105891061=⨯⨯⨯=-，nm x 896.511000106.5891062=⨯⨯⨯=- m x x x μ612=-=∆２。
在杨氏实验中，两小孔距离为1mm ，观察屏离小孔的距离为50cm ，当用一片折射率1.58的透明薄片帖住其中一个小孔时发现屏上的条纹系统移动了0.5cm ，试决定试件厚度。
21r r l n =+∆⋅22212⎪⎭⎫⎝⎛∆-+=x d D r 22222⎪⎭⎫⎝⎛∆++=x d D r x d x d x d r r r r ∆⋅=⎪⎭⎫⎝⎛∆--⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=+-222))((221212mm r r d x r r 2211210500512-=⨯≈+⋅∆=-∴ ,mm l mm l 2210724.110)158.1(--⨯=∆∴=∆-3.一个长30mm 的充以空气的气室置于杨氏装置中的一个小孔前，在观察屏上观察到稳定的干涉条纹系。
继后抽去气室中的空气，注入某种气体，发现条纹系移动了２５个条纹，已知照明光波波长λ=656.28nm,空气折射率为000276.10=n 。
试求注入气室内气体的折射率。
0008229.10005469.0000276.1301028.6562525)(600=+=⨯⨯=-=-∆-n n n n n l λ４。
垂直入射的平面波通过折射率为n 的玻璃板，透射光经透镜会聚到焦点上。
玻璃板的厚度沿着C 点且垂直于图面的直线发生光波波长量级的突变d,问d 为多少时焦点光强是玻璃板无突变时光强的一半。
