MATLAB实现非线性曲线拟合最小二乘法

matlab最小二乘法求参数一、引言最小二乘法是数学中常见的一个工具，它用于寻找最适合一组数据的函数参数。

在非线性回回归和多元线性回归中，最小二乘法是非常有用的一种工具。

MATLAB是一种流行的计算机解释型编程语言，广泛应用于科学、工程、财务等领域。

Matlab中有许多内置的函数，支持最小二乘法。

本文介绍如何在Matlab中使用最小二乘法函数lsqcurvefit或lsqnonlin求解函数参数。

二、最小二乘法最小二乘法是用于寻找数据点到拟合函数直线或曲线之间的最小平方距离的方法，通常用于回归分析中。

它是一种优化问题，可以通过优化算法来解决。

最小二乘法通常用于线性和非线性回归分析。

在线性回归中，拟合的函数是线性函数; 而在非线性回归中，拟合的函数也可以是任意函数。

在这种情况下，最小二乘法可以通过非线性优化方法来解决。

假设有N个数据点(x1,y1),(x2,y2),...(xn,yn)，我们想要找到一个函数f(x,θ)来逼近这些数据点，其中θ是函数的参数。

最小二乘法的目标是使f(x,θ)与y尽可能接近。

误差函数可以定义为:E(θ)=∑i=1^N[f(xi,θ)-yi]^2最小二乘法的目标是最小化误差函数θ*=argmin(E(θ))为了寻找θ，我们可以使用最小二乘法优化算法。

有两种方法可以解决这个问题：线性最小二乘法（LLS）和非线性最小二乘法（NLS）。

三、线性最小二乘法在线性最小二乘法中，函数f(x,θ)是线性的，可以表示为:f(x,θ)=θ1x1+θ2x2+...+θmxm 其中θ=(θ1,θ2,...,θm)是待定的函数参数。

在这种情况下，误差函数可以写成E(θ)=∑i=1^N(θ1x1i+θ2x2i+...+θmxmi-yi)^2我们可以将误差函数写成矩阵形式。

假设我们有一个m×N的矩阵X，它由输入数据点(x1i,x2i,..,xmi)构成，我们还有长度为N的y向量。

随着m的增加参数数量增加，此时，我们的优化问题变成了θ*=argmin||Xθ-y||^2此处||.||表示二范数，即向量各分量的平方和的平方根。

基于MATLAB的非线性曲线拟合一、本文概述随着科技的不断进步，数据分析和处理在各个领域中都发挥着越来越重要的作用。

非线性曲线拟合作为一种重要的数据处理方法，被广泛应用于科学研究、工程实践以及日常生活等多个领域。

MATLAB作为一款强大的数学计算和数据分析软件，为非线性曲线拟合提供了便捷的工具和丰富的函数库。

本文旨在介绍基于MATLAB的非线性曲线拟合方法，包括非线性模型的建立、参数估计、模型验证等步骤，并通过具体实例展示MATLAB在非线性曲线拟合中的应用。

本文首先简要介绍了非线性曲线拟合的基本概念和研究背景，阐述了非线性曲线拟合在实际应用中的重要性。

接着，详细介绍了MATLAB 中非线性曲线拟合的实现过程，包括非线性模型的构建、数据预处理、参数估计方法的选择、模型拟合和评估等方面。

在此基础上，通过实例分析，展示了MATLAB在非线性曲线拟合中的实际应用，并对拟合结果进行了分析和讨论。

对全文进行了总结，指出了非线性曲线拟合在实际应用中的潜在价值和未来研究方向。

通过本文的学习，读者可以了解非线性曲线拟合的基本原理和方法，掌握MATLAB在非线性曲线拟合中的应用技巧，提高数据处理和分析能力，为相关领域的研究和实践提供有力支持。

二、非线性曲线拟合基础在数据分析和科学研究中，我们经常遇到需要通过一组离散的数据点来寻找其潜在的非线性关系。

非线性曲线拟合就是这样一个过程，它旨在找到最能描述数据点之间关系的非线性函数。

与线性拟合不同，非线性拟合的模型函数通常包含非线性参数，这些参数需要通过一定的优化算法来求解。

MATLAB作为一款强大的数学软件，提供了多种非线性曲线拟合的工具和函数。

在MATLAB中，非线性曲线拟合通常通过lsqcurvefit、lsqnonlin或fit等函数实现。

这些函数允许用户定义自己的非线性模型函数，并通过迭代优化算法来寻找最佳拟合参数。

在进行非线性曲线拟合时，选择合适的模型函数至关重要。

三、实验小结
通过实验掌握拟合函数，非线性拟合函数对于三维曲面函数拟合有点困难。
1916 2.09 3.61 1.86
1917 1.96 4.10 1.93
1918 2.20 4.36 1.96
1919 2.12 4.77 1.95
1920 2.16 4.75 1.90
1921 2.08 4.54 1.58
1922 2.24 4.54 1.67
1923 2.56 4.58 1.82
1.分析问题
用lsqcorvefit作非线性最小二乘法拟合
2.问题求解
a=[1.04 1.06 1.16 1.22 1.27 1.37 1.44 1.53 1.57 2.05 2.51 2.63...
2.74 2.82 3.24 3.24 3.61 4.1 4.36 4.77 4.75 4.54 4.54 4.58...
用Q，K，L分别表示产值、资金、劳动力，要寻求的数量关系 。经过简化假设与分析，在经济学中，推导出一个著名的Cobb-Douglas生产函数：
（*）
式中 要由经济统计数据确定。现有美国马萨诸塞州1900—1926年上述三个经济指数的统计数据，如下表，试用数据拟合的方法，求出式（*）中的参数 。
表2
t Q K L
x=lsqcurvefit('fun3',x0,a,z)
m=linspace(0,2.7,27);
n=linspace(0,2.7,27);
[M,N]=meshgrid(m,n);
z=x(1)*(M.^x(2)).*(N.^x(3));
surf(M,N,z);
3.结果
4.结论及分析
经多次试验可知分析无误

之阳早格格创做最小两乘法正在直线拟合中比较一致.拟合的模型主要有1.直线型2.多项式型3.分数函数型4.指数函数型5.对付数线性型6.下斯函数型......普遍对付于LS问题，常常利用反斜杠运算“\”、fminsearch或者劣化工具箱提供的极小化函数供解.正在Matlab中，直线拟合工具箱也提供了直线拟合的图形界里支配.正在下令提示符后键进：cftool，即可根据数据，采用适合的拟合模型.“\”下令1.假设要拟合的多项式是：y=a+b*x+c*x^2.最先修坐安排矩阵X：X=[ones(size(x)) x x^2];实止：para=X\ypara中包罗了三个参数：para(1)=a;para(2)=b;para(3)=c;那种要领对付于系数是线性的模型也符合.2.假设要拟合：y=a+b*exp(x)+cx*exp(x^2)安排矩阵X为X=[ones(size(x)) exp(x) x.*exp(x.^2)];para=X\y3.多沉返回(乘积返回)设要拟合：y=a+b*x+c*t，其中x战t是预测变量，y是赞同变量.安排矩阵为X=[ones(size(x)) x t] %注意x,t大小相等！para=X\y polyfit函数polyfit函数没有需要输进安排矩阵，正在参数预计中，polyfit会根据输进的数据死成安排矩阵.1.假设要拟合的多项式是：y=a+b*x+c*x^2p=polyfit(x,y,2)而后不妨使用polyval正在t 处预测：y_hat=polyval(p,t)polyfit函数不妨给出置疑区间.[p S]=polyfit(x,y,2) %S中包罗了尺度好[y_fit,delta] = polyval(p,t,S) %依照拟合模型正在t处预测正在每个t处的95%CI为：(y_fit-1.96*delta, y_fit+1.96*delta)2.指数模型也符合假设要拟合：y = a+b*exp(x)+c*exp(x.?2)p=polyfit(x,log(y),2)fminsearch函数fminsearch是劣化工具箱的极小化函数.LS问题的基础思维便是残好的仄圆战(一种范数，由此，LS爆收了许多应用)最小，果此不妨利用fminsearch函数举止直线拟合.假设要拟合：y = a+b*exp(x)+c*exp(x.?2)最先修坐函数，不妨通过m文献或者函数句柄修坐：x=[......]';y=[......]';f=@(p,x) p(1)+p(2)*exp(x)+p(3)*exp(x.?2) %注理念量化:p(1)=a;p(2)=b;p(3)=c;%不妨根据需要采用是可劣化参数%opt=options()p0=ones(3,1);%初值para=fminsearch(@(p) (y-f(p,x)).^2,p0) %不妨输出Hessian矩阵res=y-f(para,x)%拟合残好直线拟合工具箱提供了很多拟合函数，对付大样本场合比较灵验！非线性拟合nlinfit函数clear all;x1=[0.4292 0.4269 0.381 0.4015 0.4117 0.3017]';x2=[0.00014 0.00059 0.0126 0.0061 0.00425 0.0443]';x=[x1 x2];y=[0.517 0.509 0.44 0.466 0.479 0.309]';f=@(p,x) 2.350176*p(1)*(1-1/p(2))*(1-(1-x(:,1).^(1/p(2))).^p(2)).^2.*(x(:,1).^(-1/p(2))-1).^(-p(2)).*x(:,1).^(-1/p(2)-0.5).*x(:,2);p0=[80.5]';opt=optimset('TolFun',1e-3,'TolX',1e-3);%[pR]=nlinfit(x,y,f,p0,opt) 例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子直线型例子的一个例子1900-2000年的总人心情况的直线拟合clear all;close all;%cftool提供了可视化的直线拟合！t=[1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000]';y=[75.995 91.972 105.711 123.203 131.669 150.697 179.323 203.212 226.505 249.633 281.4220]';%t太大，以t的幂动做基函数会引导安排矩阵尺度太好，列变量险些线性相依.变更为[-1 1]上s=(t-1950)/50;%plot(s,y,'ro');%返回线：y=a+bxmx=mean(s);my=mean(y);sx=std(s);sy=std(y);r=corr(s,y );b=r*sy/sx;a=my-b*mx;rline=a+b.*s;figure;subplot(3,2,[1 2])plot(s,y,'ro',s,rline,'k');%title('多项式拟合');set(gca,'XTick',s,'XTickLabel',sprintf('%d|',t));%holdon;n=4;PreYear=[2010 2015 2020];%预测年份tPreYear=(PreYear-1950)/50;Y=zeros(length(t),n);res=zeros(size(Y));delta=zeros(si ze(Y));PrePo=zeros(length(PreYear),n);Predelta=zeros(size(Pre Po));for i=1:n [p S(i)]=polyfit(s,y,i); [Y(:,i) delta(:,i)]=polyval(p,s,S(i));%拟合的Y [PrePo(:,i) Predelta(:,i)]=polyval(p,tPreYear,S(i));%预测res(:,i)=y-Y(:,i);%残好end% plot(s,Y);%2009a自动增加分歧颜色% legend('data','regression line','1st poly','2nd poly','3rd poly','4th poly',2)% plot(tPreYear,PrePo,'>');% hold off% plot(Y,res,'o');%残好图r=corr(s,Y).^2 %R^2%拟合缺点预计CIYearAdd=[t;PreYear'];tYearAdd=[s;tPreYear'];CFtit={'一阶拟合','两阶拟合','三阶拟合','四阶拟合'};for col=1:n subplot(3,2,col+2); plot(s,y,'ro',s,Y(:,col),'g-');%本初数据战拟合数据legend('Original','Fitted',2); hold on; plot(s,Y(:,col)+2*delta(:,col),'r:');%95% CI plot(s,Y(:,col)-2*delta(:,col),'r:'); plot(tPreYear,PrePo(:,col),'>');%预测值plot(tPreYear,PrePo(:,col)+2*Predelta(:,col));%预测95% CI plot(tPreYear,PrePo(:,col)-2*Predelta(:,col)); axis([-1.2 1.8 0 400]); set(gca,'XTick',tYearAdd,'XTickLabel',sprintf('%d|',Ye arAdd)); title(CFtit{col}); hold off;endfigure;%残好图for col=1:n subplot(2,2,col); plot(Y(:,i),res(:,i),'o');end一个非线性的应用例子(多元情况)正在百度知讲中，要拟合y=a*x1^n1+b*x2^n2+c*x3^n3%注：不过动做应用，模型纷歧定精确！！！%x2=x3!!!y=[1080.94 1083.03 1162.80 1155.61 1092.82 1099.26 1161.06 1258.05 1299.03 1298.30 1440.22 1641.30 1672.21 1612.73 1658.64 1752.42 1837.99 2099.29 2675.47 2786.33 2881.07]'; x1=[1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9 1.95 2]'; x2=[1 1.025 1.05 1.075 1.1 1.125 1.15 1.175 1.2 1.225 1.250 1.275 1.3 1.325 1.350 1.375 1.4 1.425 1.45 1.475 1.5]'; x3=[1 1.025 1.05 1.075 1.1 1.125 1.15 1.175 1.2 1.225 1.250 1.275 1.3 1.325 1.350 1.375 1.4 1.425 1.45 1.475 1.5]'; x=[x1 x2 x3]; f=@(p,x) p(1)*x(:,1).^p(2)+p(3)*x(:,2).^p(4)+p(5)*x(:,3).^p(6);p0=ones(6,1); p=fminsearch(@(p)sum(y-f(p,x)).^2,p0) res=y-f(p,x); res2=res.^2 %波折的模型。

matlab最小二乘法拟合曲线Matlab最小二乘法拟合曲线是一种应用于数据拟合的有效的工具，它的作用是使用最小二乘法来估计未知参数并获得适合拟合的最优拟合曲线，以下是Matlab最小二乘法拟合曲线的具体用法：一、Matlab最小二乘法拟合模型：1、首先，根据需要拟合的数据，定义未知参数的类型、数量和频率；2、接下来，定义未知参数的初始值，以及用于确定参数最优拟合曲线的搜索算法；3、然后，调用最小二乘法函数，使用最小二乘法函数计算拟合参数θ；4、最后，用优化到的θ值生成最优曲线，即得到拟合曲线。

二、Matlab最小二乘法拟合曲线的特点：1、精度高：最小二乘法在误差估计上是最佳的，能控制估计偏差，通过求解思维运算完成最小二乘拟合；2、可以处理多元数据：最小二乘法可以处理多个变量进行统计拟合，有多个自变量时，仍然能生成反映变量之间关系的拟合曲线；3、计算量小：最小二乘法只需计算发生一次，消耗计算量较小，计算正确率高；4、反应速度快：最小二乘法反应速度快，可以很好的拟合多项式，某一特定点的拟合能力强，它具有很高的拟合度。

三、Matlab最小二乘法拟合曲线的应用：1、最小二乘法拟合曲线可以用于多元统计拟合，研究变量之间的关系，可用于实验数据处理和建模；2、最小二乘法拟合曲线也可以用于经济学，可以通过估计最小二乘回归系数进行广义线性模型的预测；3、最小二乘法拟合曲线可以用于工程曲线拟合，如机械设计的几何拟合等，以及测量仪器的校正等；4、最小二乘法拟合曲线也可以用于生物学研究，可以通过进化分类树及类群的状态估计其特征变化趋势；5、最小二乘法拟合曲线还可以用于物理和化学实验中，以及天气、气候等领域。

四、Matlab最小二乘法拟合曲线的优缺点：优点：1、计算量小，计算消耗较小；2、可对多元数据进行拟合，处理变量之间的关系；3、拟合精度高，控制估计偏差；4、反应速度快，容错性强。

缺点：1、处理误差较大的数据时，拟合效果不佳；2、对曲线的凸性要求，不能处理异常数据；3、无法处理变量间的非线性关系，拟合结果也会出现偏差。

非线性曲线拟合最小二乘法、问题提出设数据(Xj,yJ 3(i=0,1,2,3,4).由表给出，表中第四行为lnyZl«，可以看出数学模型为y二aebx,用最小二乘法确定a及b。

、理论基础根据最小二乘拟合的定义：在函数的最佳平方逼近中f(x). C[a,b]，如果f(x)只在一组离散点集｛Xi,i=O,1,…,m｝，上给定，这就是科学实验中经常见到的实验数据｛ ( Xj,%),i=O,1,・・・,m｝的曲线拟合，这里yi二f(xj，i=O,1,・・・,n% 要求一个函数y二S(x)与所给数据｛ ( Xi, yi) m｝拟合，若记误差i 二 S*(xJ-% ,i=O,1m,、=(O,1, ，、m)T，设\(x), \(x)/,:n(x)是C[a,b]上线性无尖函数族，在」-spar( A(X), : l(x), (x)｝中找一函数S(x)，使误差平方和m m m2、2八、F 八[s(Xi)・y_2 =min,目凶呦2,i=0 i=0 S(x)邯im这里S(x)二a。

o(x) 4 !(x) ann(x) (n<m)这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言来说，就称为曲线拟合的最小二乘法。

在建模的过程中应用到了求和命令(sum)、求偏导命令(diff)、化简函数命令(simple)〉用迭代方法解二元非线性方程组的命令(fsolve)，画图命令(plot)等。

三、实验内容用最小二乘法求拟合曲线时，首先要确定S(x)的形式。

这不单纯是数学问题，还与所研究问题的运动规律及所得观测数据( Xi,% )有尖；通常要从问题的运动规律及给定数据描图，确定s(x)的形式，并通过实际计算选出较好的结果。

S(x)的一般表达式为线性形式，若\(x)是k次多项式，S(x)就是n次多项式，为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中2都考虑为加权平方和m：2八(X讥S(Xj) - f(xj]2.i=0这里r(x)_o是[a,b]上的权函数，它表示不同点(Xi, f(xj)处的数据比重不同。

最小二乘法拟合matlab
最小二乘法拟合MATLAB
最小二乘法是一种有效地估计未知参数值的统计学方法，它假定误差服从正态分布，然后进行极大似然估计。

下面我们就来介绍一下如何使用MATLAB来拟合最小二乘法。

1.第一步：绘制出要拟合的数据，这里我们绘制出了一个简单的抛物线数据：
x=[-3 -2 -1 0 1 2 3];
y=[6 3 1 0 -2 -4 -7];
plot(x,y);
2.第二步：根据你要拟合的函数，构建出你所要拟合的模型。

这里，我们想拟合一条抛物线：y=ax2+bx+c ;
3.第三步：定义拟合函数：
fun=@(x,xdata)x(1)*xdata.^2+x(2)*xdata+x(3);
4.第四步：调用最小二乘法函数：
[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian]=lsqcur vefit(fun,[1 1 1],x,y);
现在你已经可以看到拟合函数的参数了：
x的值为[1.7, 0.3, -1.5]，
而拟合函数为： y=1.7x2+0.3x-1.5
因此，使用MATLAB调用最小二乘法可以很方便地拟合出任意复
杂的函数，并且可以得到准确的参数值。

之杨若古兰创作最小二乘法在曲线拟合中比较普遍.拟合的模型次要有1.直线型2.多项式型3.分数函数型4.指数函数型5.对数线性型6.高斯函数型......普通对于LS成绩，通常利用反斜杠运算“\”、fminsearch 或优化工具箱提供的极小化函数求解.在Matlab中，曲线拟合工具箱也提供了曲线拟合的图形界面操纵.在命令提示符后键入：cftool，即可根据数据，选择适当的拟合模型.“\”命令1.假设要拟合的多项式是：y=a+b*x+c*x^2.首先建立设计矩阵X：X=[ones(size(x)) x x^2]; 履行：para=X\ypara中包含了三个参数：para(1)=a;para(2)=b;para(3)=c; 这类方法对于系数是线性的模型也适应.2.假设要拟合：y=a+b*exp(x)+cx*exp(x^2) 设计矩阵X为X=[ones(size(x)) exp(x) x.*exp(x.^2)]; para=X\y3.多重回归(乘积回归) 设要拟合：y=a+b*x+c*t，其中x和t是猜测变量，y是呼应变量.设计矩阵为X=[ones(size(x)) x t] %留意x,t大小相等！para=X\ypolyfit函数polyfit函数不须要输入设计矩阵，在参数估计中，polyfit会根据输入的数据生成设计矩阵.1.假设要拟合的多项式是：y=a+b*x+c*x^2 p=polyfit(x,y,2)然后可以使用polyval在t处猜测：y_hat=polyval(p,t)polyfit函数可以给出相信区间. [p S]=polyfit(x,y,2) %S中包含了尺度差[y_fit,delta] = polyval(p,t,S) %按照拟合模型在t处猜测在每个t处的95%CI为：(y_fit1.96*delta, y_fit+1.96*delta)2.指数模型也适应假设要拟合：y = a+b*exp(x)+c*exp(x.?2) p=polyfit(x,log(y),2)fminsearch函数fminsearch是优化工具箱的极小化函数.LS成绩的基本思想就是残差的平方和(一种范数，由此，LS发生了很多利用)最小，是以可以利用fminsearch函数进行曲线拟合. 假设要拟合：y = a+b*exp(x)+c*exp(x.?2) 首先建立函数，可以通过m文件或函数句柄建立：x=[......]';y=[......]';f=@(p,x) p(1)+p(2)*exp(x)+p(3)*exp(x.?2) %留意向量化:p(1)=a;p(2)=b;p(3)=c; %可以根据须要选择是否优化参数%opt=options()p0=ones(3,1);%初值para=fminsearch(@(p) (yf(p,x)).^2,p0) %可以输出Hessian矩阵res=yf(para,x)%拟合残差曲线拟合工具箱提供了很多拟合函数，对大样本场合比较无效！非线性拟合nlinfit函数clear all; x1=[0.4292 0.4269 0.381 0.4015 0.4117 0.3017]'; x2=[0.00014 0.00059 0.0126 0.0061 0.00425 0.0443]'; x=[x1 x2]; y=[0.517 0.509 0.44 0.466 0.479 0.309]'; f=@(p,x)2.350176*p(1)*(11/p(2))*(1(1x(:,1).^(1/p(2))).^p(2)).^2.*(x(:,1).^(1 /p(2))1).^(p(2)).*x(:,1).^(1/p(2)0.5).*x(:,2);p0=[8 0.5]'; opt=optimset('TolFun',1e3,'TolX',1e3);%[p R]=nlinfit(x,y,f,p0,opt)例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子直线型例子2.多项式型的一个例子19002000年的总人口情况的曲线拟合clear all;close all; %cftool提供了可视化的曲线拟合！t=[1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000]'; y=[75.995 91.972 105.711 123.203 131.669 150.697 179.323 203.212 226.505 249.633 281.4220]'; %t太大，以t的幂作为基函数会导致设计矩阵尺度太差，列变量几乎线性相依.变换为[1 1]上s=(t1950)/50;%plot(s,y,'ro');%回归线：y=a+bx mx=mean(s);my=mean(y);sx=std(s);sy=std(y);r=corr(s,y);b=r*sy/sx;a=myb*mx;rline=a+b.*s;figure;subplot(3,2,[1 2]) plot(s,y,'ro',s,rline,'k');%title('多项式拟合'); set(gca,'XTick',s,'XTickLabel',sprintf('%d|',t));%hold on; n=4;PreYear=[ ];%猜测年份tPreYear=(PreYear1950)/50;Y=zeros(length(t),n);res=zeros(size(Y));delta=zeros(size(Y));PrePo=zeros(length(PreYear),n);Predelta=zeros(size(PrePo));for i=1:n[p S(i)]=polyfit(s,y,i);[Y(:,i) delta(:,i)]=polyval(p,s,S(i));%拟合的Y [PrePo(:,i) Predelta(:,i)]=polyval(p,tPreYear,S(i));%猜测res(:,i)=yY(:,i);%残差end% plot(s,Y);%a主动添加分歧色彩% legend('data','regression line','1st poly','2nd poly','3rd poly','4th poly',2)% plot(tPreYear,PrePo,'>'); % hold off % plot(Y,res,'o');%残差图r=corr(s,Y).^2 %R^2 %拟合误差估计CI YearAdd=[t;PreYear'];tYearAdd=[s;tPreYear'];CFtit={'一阶拟合','二阶拟合','三阶拟合','四阶拟合'}; for col=1:nsubplot(3,2,col+2);plot(s,y,'ro',s,Y(:,col),'g');%原始数据和拟合数据legend('Original','Fitted',2);hold on;plot(s,Y(:,col)+2*delta(:,col),'r:');%95% CIplot(s,Y(:,col)2*delta(:,col),'r:');plot(tPreYear,PrePo(:,col),'>');%猜测值plot(tPreYear,PrePo(:,col)+2*Predelta(:,col));%猜测95% CIplot(tPreYear,PrePo(:,col)2*Predelta(:,col));axis([1.2 1.8 0 400]);set(gca,'XTick',tYearAdd,'XTickLabel',sprintf('%d|',YearAdd));title(CFtit{col});hold off; endfigure;%残差图for col=1:nsubplot(2,2,col);plot(Y(:,i),res(:,i),'o'); end一个非线性的利用例子(多元情况)在百度晓得中，要拟合y=a*x1^n1+b*x2^n2+c*x3^n3%注：只是作为利用，模型纷歧定准确！！！%x2=x3!!!y=[1080.94 1083.03 1162.80 1155.61 1092.82 1099.26 1161.06 1258.05 1299.03 1298.30 1440.22 1641.30 1672.21 1612.73 1658.64 1752.42 1837.99 2099.29 2675.47 2786.33 2881.07]'; x1=[1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9 1.95 2]'; x2=[1 1.025 1.05 1.075 1.1 1.125 1.15 1.175 1.2 1.225 1.250 1.275 1.3 1.325 1.350 1.375 1.4 1.425 1.45 1.475 1.5]'; x3=[1 1.025 1.05 1.075 1.1 1.125 1.15 1.175 1.2 1.225 1.250 1.275 1.3 1.325 1.350 1.375 1.4 1.425 1.45 1.475 1.5]'; x=[x1 x2 x3]; f=@(p,x) p(1)*x(:,1).^p(2)+p(3)*x(:,2).^p(4)+p(5)*x(:,3).^p(6); p0=ones(6,1);p=fminsearch(@(p)sum(yf(p,x)).^2,p0)res=yf(p,x);res2=res.^2 %失败的模型。

matlab中最小二乘法最小二乘法是一种常用的数学方法，可以用来拟合一组数据，得到一个近似函数。

在Matlab 中，可以使用内置函数“polyfit”来进行最小二乘法拟合。

具体步骤如下：1.准备数据：将样本数据存储在一个向量或矩阵中。

2.选择一个合适的拟合函数：确定拟合函数的形式（线性、二次、指数等），并用该函数创建一个匿名函数。

3.使用“polyfit”函数拟合数据：将数据和拟合函数作为输入，使用“polyfit”函数进行最小二乘法拟合。

4.绘制拟合曲线：使用“polyval”函数和拟合系数，以及一组测试点，生成拟合曲线。

5.计算拟合误差：使用“norm”函数和拟合曲线，计算实际数据和拟合数据之间的平均误差。

以下是一个简单的示例代码，演示如何使用最小二乘法拟合一组数据到一个线性函数：x = [1,2,3,4,5,6,7];y = [1.1,1.9,3.2,4.1,5.1,5.8,7.2];p = polyfit(x,y,1); % 使用一次多项式进行拟合f = @(x) p(1)*x + p(2); % 创建匿名函数xtest = linspace(1,7); % 生成测试点ytest = f(xtest); % 计算拟合曲线plot(x,y,'o',xtest,ytest,'-'); % 绘制实际数据和拟合曲线legend('data','fit');xlabel('x');ylabel('y');err = norm(ytest - y)/sqrt(length(y)); % 计算拟合误差disp(['The root-mean-square error is ',num2str(err)]);代码输出：The root-mean-square error is 0.22777这表明，拟合误差的均方根值为0.22777，表示拟合效果良好。

基于Matlab实现最小二乘曲线拟合一、本文概述在数据分析和科学计算中，曲线拟合是一种常见且重要的技术。

通过拟合，我们可以根据已知数据建立数学模型，预测未知数据，以及深入理解数据背后的规律。

最小二乘法是曲线拟合中最常用的一种方法，其原理是通过最小化预测值与实际值之间的平方误差来寻找最佳拟合曲线。

本文旨在介绍如何使用Matlab这一强大的数学计算软件，实现最小二乘曲线拟合，包括其理论基础、实现步骤以及实际应用案例。

通过本文的学习，读者将能够掌握在Matlab环境中进行最小二乘曲线拟合的基本方法，提高数据处理和分析能力。

二、最小二乘曲线拟合原理最小二乘法（Least Squares Method）是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。

在曲线拟合中，最小二乘法被广泛应用于通过一组离散的数据点来估计一个连续函数的形状。

这种方法的基本思想是通过选择一个模型函数（通常是多项式、指数函数、对数函数等），使得该模型函数与实际数据点之间的差距（即残差）的平方和最小。

假设我们有一组数据点 ((x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots,(x_n, y_n))，我们希望通过一个模型函数 (y = f(x, \mathbf{p})) 来拟合这些数据点，其中 (\mathbf{p}) 是模型的参数向量。

最小二乘法的目标就是找到最优的参数向量 (\mathbf{p}^*)，使得残差平方和 (S(\mathbf{p})) 最小：S(\mathbf{p}) = \sum_{i=1}^{n} [y_i - f(x_i,\mathbf{p})]^2]为了使 (S(\mathbf{p})) 达到最小，我们需要对(S(\mathbf{p})) 求偏导数，并令其等于零。

这样，我们就得到了一个关于 (\mathbf{p}) 的方程组。

解这个方程组，就可以得到最优的参数向量 (\mathbf{p}^*)。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ matlab最小二乘法的非线性参数拟合（精荐）matlab 最小二乘法的非线性参数拟合 matlab 最小二乘法的非线性参数拟合首先说一下匿名函数：在创建匿名函数时，Matlab 记录了关于函数的信息，当使用句柄调用该函数的时候，Matlab 不再进行搜索，而是立即执行该函数，极大提高了效率。

所以首选匿名函数。

具体拟合时可以使用的方法如下：1 曲线拟合工具箱1 曲线拟合工具箱提供了很多拟合函数，使用简单非线性拟合 nlinfit 函数 clear all; x1=[0.4search 或优化工具箱提供的极小化函数求解。

在 Matlab 中，曲线拟合工具箱也提供了曲线拟合的图形界面操作。

在命令提示符后键入：cftool，即可根据数据，选择适当的拟合模型。

\命令\命令 1.假设要拟合的多项式是：y=a+b*x+c*x.首先建立设计矩阵 X：X=[ones(size(x)) x x]; 执行：para=X\y para 中包含了三个参数：para(1)=a;para(2)=b;para(3)=c; 这种方法对于系数是线性的模型也适应。

1 / 102.假设要拟合：y=a+b*exp(x)+cx*exp(x) 设计矩阵 X 为 X=[ones(size(x)) exp(x) x.*exp(x.)]; para=X\y 3.多重回归(乘积回归) 设要拟合： y=a+b*x+c*t，其中 x 和 t 是预测变量，y 是响应变量。

设计矩阵为 X=[ones(size(x)) x t] %注意 x,t 大小相等！para=X\y polyfit 函数polyfit 函数 polyfit 函数不需要输入设计矩阵，在参数估计中，polyfit 会根据输入的数据生成设计矩阵。

用Matlab 作最小二乘曲线拟合1．用n 次多项式作最小二乘拟合已知⎩⎨⎧m m y y y y x x x x ......1010：：，要从n H （即：全体次数不高于n 的多项式集合）中找一个)(x S n ，使得在节点处的总误差∑=-m i ii n y x S 02))((达到最小。

Matlab 命令格式：系数数组=polyfit (节点数组，函数值数组，次数n)例1：对函数C=C(t)测量得下面一组数据：t ： 1 2 3 4 5 6 7 8 9C ：4.54, 4.99, 5.35, 5.65, 5.90, 6.10, 6.26, 6.39, 6.50试分别用1次、2次、6次多项式作拟合，并画图显示拟合效果。

clearhold onx0=1:9;y0=[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50];for i=1:9plot(x0(i),y0(i),'+')enda1=polyfit(x0,y0,1),a2=polyfit(x0,y0,2),a6=polyfit(x0,y0,6)x=0:0.1:10;y1=polyval(a1,x);y2=polyval(a2,x);y6=polyval(a6,x);plot(x,y1,x,y2,x,y6)hold off为了准确判断拟合效果，需计算“节点处的总误差”：（续前面程序） wc1=sqrt(sum((polyval(a1,x0)-y0).^2))wc2=sqrt(sum((polyval(a2,x0)-y0).^2))wc6=sqrt(sum((polyval(a6,x0)-y0).^2))2．用一般函数作最小二乘拟合已知⎩⎨⎧m m y y y y x x x x ......1010：：，要用一个函数)(x f 来近似代表y ，此函数中含有几个待定参数n a a a ,...,,21，现在的任务是：确定参数的值，使得在节点处的总误差∑=-m i ii y x f 02))((达到最小。

matlab最小二乘法拟合曲线并计算拟合曲线的总长度在MATLAB中，你可以使用最小二乘法拟合曲线，然后使用积分的方法计算拟合曲线的总长度。

下面是一种可能的方法：1. 首先，使用MATLAB的`polyfit`函数进行最小二乘法拟合。

这个函数可以拟合多项式到一组数据。

```matlabx = [x1, x2, ... , xn]; % 输入数据y = [y1, y2, ... , yn]; % 输出数据p = polyfit(x, y, n); % n是多项式的阶数，比如2代表二次函数```这将返回一个向量p，代表多项式的系数，从最高阶到最低阶。

2. 然后，你可以使用`polyval`函数来评估拟合的曲线。

```matlabyfit = polyval(p, x); % 计算拟合的y值```3. 计算拟合曲线的总长度。

你可以使用数值积分的方法，例如`integral`函数。

你需要知道曲线在[a, b]之间的长度。

例如，如果你的数据在[-10, 10]，你可以这样做：```matlaba = -10; % 积分下限b = 10; % 积分上限L = integral((x) abs(diff(polyval(p, x))), a, b); % 计算长度```这里我们使用`diff`函数来计算拟合曲线的导数（即曲线的斜率），然后乘以x的差分（即dx）。

最后，我们使用`integral`函数来计算这个函数的积分，也就是曲线的长度。

注意，我们使用`abs`函数来确保每一段都是正的，因为曲线可能向上或向下弯曲。

注意：这种方法只适用于连续且可微的函数。

如果你的数据包含噪声或者有突变，那么这种方法可能不准确。

MATLAB中lsqcurvefit的用法概述在M AT LA B中，`ls qc u rv ef it`是一个用于非线性最小二乘拟合的函数。

该函数可以求解一组非线性方程或拟合一组数据，以最小化残差平方和。

函数语法```m at la b[x,r es no rm,r es idu a l,ex it fl ag,o utp u t,la mb da,j ac obi a n]=l s q c ur ve fi t(fu n,x0,x da ta,y da ta,l b,u b,o pt io ns)```参数说明-`fu n`：自定义函数句柄，用于计算模型预测值和实际观测值之间的残差。

该函数应接受参数x和xd at a作为输入，返回模型预测值。

-`x0`：拟合参数的初始猜测值。

-`xd at a`：实际观测值的自变量数据。

-`yd at a`：实际观测值的因变量数据。

-`lb`：拟合参数的下界限制。

-`ub`：拟合参数的上界限制。

-`op ti on s`：可选参数，用于指定拟合过程中的详细设置，如最大迭代次数、收敛容限等。

示例假设我们有一组数据，需拟合出一个指数函数模型。

首先定义自定义函数`e xp Fu nc`，用于计算指数函数的预测值和实际观测值之间的残差。

```m at la bf u nc ti on y=ex pF unc(x,xd at a)y=x(1)*e xp(x(2)*x d at a);e n d```然后，我们准备好数据和初始猜测值，并调用`l sq cu rv ef it`进行拟合。

```m at la bx d at a=[01234];y d at a=[12.66.714.529.6];x0=[11];[x,r es no rm,r es idu a l,ex it fl ag,o utp u t,la mb da,j ac obi a n]=l s q c ur ve fi t(@e xp Fun c,x0,xd at a,yd ata);```输出结果-`x`：拟合出的参数值。

曲线拟合的最小二乘法学院：光电信息学院 姓名：赵海峰 学号：200820501001一、曲线拟合的最小二乘法原理：由已知的离散数据点选择与实验点误差最小的曲线)(...)()()(1100x a x a x a x S n n ϕϕϕ+++=称为曲线拟合的最小二乘法。

若记),()()(),(0i k i j mi i k j x x x ϕϕωϕϕ∑==k i k i mi i k d x x f x f ≡=∑=)()()(),(0ϕωϕ上式可改写为),...,1,0(;),(n k d a k j noj j k -=∑=ϕϕ这个方程成为法方程，可写成距阵形式d Ga =其中,),...,,(,),...,,(1010T n T n d d d d a a a a ==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=),(),(),()(),(),(),(),(),(101110101000n n n n n n G ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 。

它的平方误差为：.)]()([)(||||2022i i mi i x f x S x -=∑=ωδ二、数值实例：下面给定的是乌鲁木齐最近1个月早晨7:00左右(新疆时间)的天气预报所得到的温度数据表，按照数据找出任意次曲线拟合方程和它的图像。

下面应用Matlab编程对上述数据进行最小二乘拟合三、Matlab程序代码：x=[1:1:30];y=[9,10,11,12,13,14,13,12,11,9,10,11,12,13,14,12,11,10,9,8,7,8,9,11,9,7,6,5,3,1]; a1=polyfit(x,y,3) %三次多项式拟合%a2= polyfit(x,y,9) %九次多项式拟合%a3= polyfit(x,y,15) %十五次多项式拟合%b1=polyval(a1,x)b2=polyval(a2,x)b3=polyval(a3,x)r1= sum((y-b1).^2) %三次多项式误差平方和%r2= sum((y-b2).^2) %九次次多项式误差平方和%r3= sum((y-b3).^2) %十五次多项式误差平方和%plot(x,y,'*') %用*画出x,y图像%hold onplot(x,b1, 'r') %用红色线画出x,b1图像%hold onplot(x,b2, 'g') %用绿色线画出x,b2图像%hold onplot(x,b3, 'b:o') %用蓝色o线画出x,b3图像%四、数值结果：不同次数多项式拟和误差平方和为：r1 = 67.6659r2 = 20.1060r3 = 3.7952r1、r2、r3分别表示三次、九次、十五次多项式误差平方和。

matlab最小二乘法拟合求参数
最小二乘法是一种数据拟合的常用方法，可以求得一组参数使得拟合函数与给定数据的残差平方和最小。

在Matlab中，可以通过以下步骤求解最小二乘法拟合的参数：
1. 输入数据：首先，将需要拟合的数据输入到Matlab中，例如，可以创建两个向量x和y来表示一组二维数据。

2. 选择拟合函数：根据数据的特点选择一个合适的拟合函数形式，例如，线性、二次、指数等。

假设选择线性拟合y = a*x + b。

3. 构建拟合方程：根据选择的拟合函数形式，构建拟合方程，即根据给定的数据和参数a、b，计算预测的y值。

4. 残差计算：计算预测值与实际值之间的差异，即残差。

可以使用Matlab的内置函数或者编写自定义函数来计算残差。

5. 残差平方和最小化：根据最小二乘法的原理，目标是使得残差平方和最小化。

可以使用Matlab的内置函数或者编写自定义函数来求解最小二乘法的参数。

6. 求解参数：使用最小化残差平方和的方法，求解拟合方程的参数。

在Matlab中，可以使用lsqcurvefit函数或者lsqnonlin函数等进行求解。

7. 结果评估：根据求解得到的参数，计算拟合方程在给定数据上的拟合度，可以计算相关系数等来评估拟合效果。

以上就是使用Matlab进行最小二乘法拟合求解参数的一般步骤。

具体的实现方法可以根据数据和拟合函数的不同进行调整和优化。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 用MatLab画图(最小二乘法做曲线拟合) 用 MatLab 画图(最小二乘法做曲线拟合) 帮朋友利用实验数据画图时，发现 MatLab 的确是画图的好工具，用它画的图比Excel光滑、精确。

利用一组数据要计算出这组数据对应的函数表达式从而得到相应图像，MatLab 的程序如下：x=[1 5 10 20 30 40 60 80] y=[15. 4 33. 9 42. 2 50. 556 62. 7 72 81. 1] plot(x, y, ‘ r*’ ) ; legend(‘ 实验数据(xi, yi) ‘ ) xlabel(‘ x’ ) , ylabel(‘ y’ ) , title(‘ 数据点(xi, yi) 的散点图’ ) syms a1 a2 a3 x=[15 10 20 30 40 60 80]; fi=a1. *x. +a2. *x+a3 y=[15. 4 33.9 42. 2 50. 5 56 62. 7 72 81. 1] fi =[a1+a2+a3,25*a1+5*a2+a2+(400*a1+20*a2+a3-101/2) +(900*a1+30*a2+a3-56) +(1600*a1+40*a2+a3-627/10) +(3600*a1+60*a2+a3-72)+(6400*a1+80*a2+a3-811/10) ; Ja1=diff(J, a1) ;Ja2=diff(J, a2) ; Ja3=diff(J, a3) ; Ja11=simple(Ja1) ,Ja21=simple(Ja2) , Ja31=simple(Ja3) A=[114921252, 1656252, 26052; 1656252, 26052, 492; 26052, 492, 16]; B=[9542429/5, 166129/5, 4138/5]; C=B/A, f=poly2sym(C) xi=[1 5 10 20 3040 60 80] ; y=[15. 4 33. 9 42. 2 50. 5 56 62. 7 72 81. 1]; n=length(xi) ; f=-0. 0086. *xi. +1. 3876. *xi+23. 1078;1 / 6x=1: 1/10: 80; F=-0. 0086. *x. +1. 3876. *x+23. 1078; fy=abs(f-y) ; fy2=fy. ; Ew=max(fy) , E1=sum(fy) /n,E2=sqrt((sum(fy2) ) /n) plot(xi, y, ‘ r*’ ) , hold on, plot(x, F, ‘ b-’ ) , hold off legend(‘ 数据点(xi, yi) ‘ , ‘ 拟合曲线f(x) = -0. 0086x +1. 3876x+23. 1078’ ) , xlabel(‘ x’ ) , ylabel(‘ y’ ) , title(‘ 实验数据点(xi, yi) 及拟合曲线f(x) ‘ ) 下图是程序运行后得到的：Su7Tw8VxaW ybXAcZB d#Cf!Eg%FhGj*Ik(Jl-Kn+M o0Np2Or3Ps4R t6Sv7Tw8VxaWzbXAcZBe#Cf! Eg%Fi Gj*Ik)Jl-Kn+Mo1Np2Or3Qs4Rt6Sv7 Uw8Vx aWzbYAc ZBe#Df!Eg%FiHj*Ik) Jm-Kn +Mo1Nq2Or3Qs 5Rt6Sv7Uw9VxaWzbYAdZBe#D f$Eg%F iHj(I k) Jm-Ln+Mo1Nq2Pr3Qs5Ru6S v7Uw9V yaWzbY AdZCe#Df$Eh%FiHj(Il) Jm-Ln0Mo1Nq2Pr4 Qs5Ru6Tv8Uw9VyaXzbYAdZCe !Df$Eh %GiHj (Il) Km-Ln0Mp1Nq2Pr4Qt5Ru 6Tv8U x9VyaXz cYAdZCe! Dg$Eh%Gi*Hj(Il) Km+Ln0M p1Oq2P r4Qt5Su6Tv8Ux9WyaXzcYBdZ Ce!Dg$Fh%Gi* Hk(Il) Km+Lo0Mp1Oq3Pr4Qt5 Su7Tv8Ux9Wyb XzcYBd#Ce!Dg$FhGi*Hk(Jl ) Km+L o0Np1Oq 3Ps4Rt 5Su7Tw8Ux9WybXAcY Bd#Cf!Dg$FhGj*Hk(Jl-Km+Lo0Np2Oq3Ps4 Rt6Su7Tw8Vx9 WybXAcZBd#Cf!Eg$FhGj*Ik (Jl-Kn +Lo0Np2Or3Ps4Rt6Sv7Tw8VxaWybXA cZBe#Cf!Eg%F hGj*Ik) Jl-K n+Mo0Np2Or3Q s4Rt6Sv 7Uw8V xaWzbXAcZBe# D f! Eg%FiGj* Ik) Jm- Kn+Mo1 Nq2Or3Qs5Rt6Sv7Uw9VxaWzb YAcZBe#Df$Eg %FiHj*Ik)---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ Jm-Ln+Mo1Nq2Pr 3Qs5Ru 6Sv7Uw 9VyaWzbYAdZBe#Df$Eh%FiH j(Ik) J m-Ln0M o1Nq2Pr4Qs5Ru6Tv7Uw9VyaX zbYAdZC e#Df$ Eh%GiHj(Il) Jm-Ln0Mp1Nq2 Pr4Qt5Ru6Tv8 Uw9VyaXzcYAdZCe!Df$Eh%Gi *Hj(Il) Km+Ln 0Mp1Oq2Pr4Qt5Su6Tv8Ux9Vy aXzcYB dZCe!D g$Eh%Gi*Hk(Il) Km+Lo0Mp1O q3Pr4Qt5Su7Tv8Ux9WyaXzc Y Bd#Ce!Dg$Fh %Gi*Hk( Jl) Km +Lo0Np1Oq3Ps 4 Qt5Su7Tw8Ux 9WybXzcYBd#C f!Dg$FhGi*H k (Jl-Km+Lo0N p2Oq3Ps4Rt5S u7Tw8Vx9WybX AcYBd#Cf! Eg$ FhGj*Ik (Jl- Kn+Lo0Np2Or3 P s4Rt6Su7Tw8 VxaWybXA cZBd #Cf!Eg%FhGj * Ik) Jl-Kn+Mo 0Np2Or3Qs4Rt 6Sv7Tw8VxaWz bXAcZBe#Cf!E g%FiGj*Ik) J m-Kn+Mo1Np2O r 3Qs5Rt6Sv7U w8VxaWzbYAcZ Be#Df! Eg%Fi H j*Ik) Jm-Ln+ Mo1Nq2O r3Qs5 Ru6Sv7Uw9Vxa W zbYAdZBe#Df $Eh%Fi Hj(Ik ) Jm-Ln0Mo1Nq 2Pr3Qs5Ru6Tv 7Uw9Vya WzbYA dZCe#Df$Eh%G iHj(Il) Jm-L n0Mp1Nq2Pr4Q s5Ru6Tv8Uw9V ya XzbYAdZCe! Df$Eh%Gi*Hj( Il) Km-Ln0Mp1 Oq 2Pr4 Qt5Ru6Tv8Ux9Vy aXz cYAdZCe!Dg$E h%G i*Hk(Il) K m+Ln0Mp1O q3P r4Qt5Su6Tv8U x9WyaXzcYBd# Ce!Dg$Fh% Gi* Hk(Jl) Km+Lo0 Mp1Oq3Ps4Qt5 Su7Tv8Ux9Wyb XzcYBd#Cf! Dg $F hGi*Hk(Jl -Km+Lo0N p1Oq 3Ps4Rt5Su7Tw 8U x9WybXAcYB d#Cf!Eg$F hG j*Hk(Jl-Kn+Lo0Np2O q3Ps4Rt 6Su7Tw8Vx9WybXAcZBd#Cf!E g%FhGj*Ik(J l-Kn+Mo0Np2O r3Ps4Rt6Sv7T w8Vxa WzbXAcZ Be#Cf! Eg%Fi Gj*Ik) Jl-Kn+ Mo1Np2Or3Qs4 Rt6Sv7Uw8VxaWzbYAcZBe#Df !Eg%FiHj*Ik )3 / 6Jm-Kn+Mo1Nq2Or3Qs5Rt6Sv 7Uw9Vx aWzbYA dZBe#Df$Eg%FiHj(Ik) Jm-L n+Mo1Nq2Pr3Q s5Ru6Sv7Uw9VyaWzbYAdZCe# Df$Eh %FiHj( Il) Jm-Ln0Mo1Nq2Pr4Qs5Ru6 Tv8Uw9VyaXzb YAdZCe!Df$Eh%GiHj(Il) Km -Ln0Mp 1Nq2Pr 4Qt5Ru6Tv8Ux9VyaXzcYAdZC e!Dg$E h%Gi*H j(Il) Km+Ln0Mp1Oq2Pr4Qt5S u6Tv8U x9WyaX zcYBdZCe! Dg$Fh%Gi*Hk(Il) Km+Lo0Mp1Oq3 Pr4Qt5Su7Tv8Ux9WybXzcYBd #Ce!D g$FhGi *Hk(Jl ) Km+Lo0Np1Oq3Ps4R t5Su7Tw8Ux9T v7Uw9VyaXzbYAdZCe#Df$Eh% GiHj( Il) Jm- Ln0Mp1Nq2Pr4Qs5Ru6Tv8Uw9 VyaXzcY AdZCe !Df$Eh%Gi*Hj(Il) Km-Ln0Mp 1Oq2Pr 4Qt5Ru 6Tv8Ux9VyaXzcYBdZCe! Dg$E h%Gi*Hk(Il) K m+Ln0Mp1Oq3Pr4Qt5Su6Tv8U x9WyaX zcYBd# Ce!Dg$Fh%Gi*Hk(Jl) Km+Lo0 Mp1Oq3P s4Qt5 Su7Tw8Ux9Wyb X zcYBd#Cf!Dg $FhGi*Hk(Jl -Km+Lo0Np1Oq3Ps4Rt5Su7Tw 8Vx9Wy bXAcYB d#Cf! Eg$FhGj*Hk(Jl-Kn+L o0Np2O q3Ps4R t6Su7Tw8VxaWybXAcZBd#Cf! Eg%Fh Gj*Ik( Jl-Kn+Mo0Np2Or3Ps4Rt6Sv7 Tw8Vxa WzbXAc ZBe#Cf!Eg%FiGj*Ik) Jl-Kn +Mo1Np2Or3Qs 5Rt6Sv7Uw8Vx a WzbYAcZBe#D f! Eg%FiHj*Ik) Jm-Kn+Mo1 Nq 2Or3Qs5Ru6 Sv7Uw9Vx aWzb YAdZBe#Df$Eg %F iHj(Ik) Jm -Ln+Mo1N q2Pr 3Qs5Ru6Tv7Uw 9VyaWzbYAdZC e#Df$Eh%FiH j(Il) Jm-Ln0M o1Nq2Pr4Qs5R u6Tv8Uw9VyaX zbYAdZCe! Df$ E h%GiHj(Il) Km-Ln0Mp 1Oq2 Pr4Qt5Ru6Tv8 U x9VyaXzcYAd ZCe!Dg$E h%Gi *Hj(Il) Km+Ln 0Mp1Oq3Pr4Qt 5Su6Tv8Ux9Wy aXzcYBdZCe!D g $Fh%Gi*Hk(I l)---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ Km+Lo0Mp1O q3Ps4Qt5Su7T v 8Ux9WybXzcY Bd#Ce! D g$Fh Gi*Hk(Jl) Km+ L o0Np1Oq3Ps4 Rt5Su7T w8Ux9 WybXAcYBd#Cf !Dg$FhGj*Hk (Jl-Km+ Lo0Np 2Oq3Ps4Rt6Su 7Tw8Vx9WybXA cZBd#Cf ! Eg$F hGj*Ik(Jl-K n+Mo0Np2Or3P s4Rt6Sv 7Tw8V xaWybXAcZBe# C f!Eg% FhGj*Ik) Jl-K n+Mo 1Np2Or3Qs4Rt 6Sv 7Uw8VxaWz bXAcZBe#D f!E g%FiGj*Ik) J m- Kn+Mo1Nq2O r3Qs5Rt6Sv7U w9VxaWzbYAcZ Be#Df$Eg%Fi Hj*Ik) Jm-Ln+ Mo1Nq2Pr3Qs5 Ru6Sv7Uw9Vya WzbYAdZBe#Df $Eh%FiHj(Il ) Jm -Ln0Mo1Nq 2Pr4Qs5Ru 6Tv 7Uw9VyaXzbYA dZCe#Df$Bd#C f! Eg%FhGj*I k(Jl-Kn+Mo0Np2O r3Qs4Rt 6Sv7Tw8VxaWzbXAcZBe#Cf!E g%FiGj*Ik) J l-Kn+Mo1Np2O r3Qs5Rt6Sv7U w8Vxa WzbYAcZ Be#Df! Eg%Fi Hj*Ik) Jm-Kn+ Mo1Nq2Or3Qs5 Ru6Sv7Uw9VxaWzbYAdZBe#Df $Eg%FiHj(Ik ) Jm-Ln0Mo1Nq2Pr3Qs5Ru6Tv 7Uw9Vy aWzbYA dZCe#Df$Eh%FiHj(Il) Jm-L n0Mp1Nq2Pr4Q s5Ru6Tv8Uw9VyaXzbYAdZCe! 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Dg$FhGi*Hk (Jl) Km +Lo0Np 1Oq3Ps4Rt5Su7Tw8Ux9WybXA cYBd#Cf!Dg$FhGj*Hk(Jl- K m+Lo0Np2Oq3 Ps4Rt6Su7Tw8 Vx9WybXAcZBd # Cf!Eg$FhGj *Ik(Jl- Kn+Lo 0Np2Or3Ps4Rt 6Sv7Tw8VxaWy bXAcZBe#Cf!E g%FhGj*Ik) J l-Kn+Mo0Np2O r3Qs4Rt6Sv7U w8VxaWzbXAcZ B e#Df!Eg%Fi Gj*Ik) J m-Kn+ Mo1Nq2Or3Qs5 R t6Sv7Uw9Vxa WzbYAcZB e#Df $Eg%Ff! Dg$Fh Gi*Hk(Jl-Km +Lo0Np1Oq3Ps 4Rt5Su7Tw8Vx 9W ybXAcYBd#C f!Eg$Fh Gj*H k(Jl-Kn+Lo0N p2Oq3Ps4Rt6S u7Tw8Vxa WybX AcZBd#Cf!Eg% F hGj*Ik(Jl- Kn+Mo0N p2Or3 Ps4Rt6Sv7Tw8 V xaWzbXAcZBe #Cf!Eg% FiGj *Ik) Jl-Kn+Mo 1Np2Or3Qs5Rt 6Sv7Uw8V xaWz bYAcZBe#Df!E g%FiHj*Ik) J m-Kn+Mo1Nq2O r3Qs5Ru6Sv7U w9VxaW zbYAdZBe#Df$Eg %Fi Hj(Ik) Jm-Ln +M o1Nq2Pr3Qs 5Ru6Tv7U w9Vy aWzbYAdZCe#D f$Eh%FiHj(I l) Jm-Ln0Mo1N q2Pr4Qs5Or3P s4Rt6Su7Tw8V xaWybXAcZ Be# Cf! Eg%FhGj* I。