1-1 第一章 晶体的结构(布拉伐格子、原胞)

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准晶体： 准晶体：1984年Shechtman等人用快速冷却方法制备的
AlMn准晶体，用XRD测得一种介于晶体和非晶体结构之间的 物质结构。
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最简单、最常见的晶格结构
简单立方结构单元 原子的正方堆积
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体心立方结构单元 体心立方堆积
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空间点阵——晶体的数学抽象 晶体的数学抽象 空间点阵
• 将固体理想化，简化，抽象化 将固体理想化，简化， • 晶体：完全相同的基本结构单元（基元）规则地、重复地、 晶体：完全相同的基本结构单元（基元）规则地、重复地、 以完全相同的方式在空间排列而成
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体心立方： 体心立方：Body-centred cubic（bcc） （ ）
a ˆ ˆ ˆ a1 = (−i + j + k ) 2 a ˆ ˆ ˆ a 2 = (i − j + k ) 2 a ˆ ˆ ˆ a3 = (i + j − k ) 2 j
i 是否Bravais格子？ 格子？ 是否 格子
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a1 a2 a3
k
bcc基矢的另一种选取： a = aˆ i 1 a = aˆ j
2
a ˆ ˆ ˆ a3 = (i + j + k ) 2
P
格点P的位矢：
a3 a1 a2
P = −a1 − a2 + 2a3
i
j k
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面心立方
a ˆ ˆ a1 = ( j + k ) 2 a ˆ ˆ a1 = (k + i ) 2 a ˆ ˆ a 3 = (i + j) 2
考 ： 布 拉 伐 格 子 ? ? ? ?
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思
例：Honeycomb structure（蜂巢结构） （蜂巢结构）
f a b
e d c
考 ： 布 拉 伐 格 子 ? ? ? ? 判断根据： 判断根据：能否用 基矢表示所有的点 并且只有这些点？ 并且只有这些点27 ？
思
一些重要的例子： 一些重要的例子：
k
a3
a2
j i
a1
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体心立方： 体心立方：Body-centred cubic
a3 a2 a1
k j i
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面心立方： 面心立方：Face-centred cubic
a3 a2 a1
k j i
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配位数
• 离某一粒子最近的粒子，称为该粒子的最近邻 离某一粒子最近的粒子， • 配位数：最近邻的粒子数，描写粒子排列紧密 配位数：最近邻的粒子数， 的程度 • 最大配位数 最大配位数=12（密堆积）！？ （密堆积）！？ • Kepler填装问题：如何排列使空隙最小 填装问题： 填装问题
给出的所有端点的集合组成布拉伐格子， 给出的所有端点的集合组成布拉伐格子，这里 布拉伐格子
a1, a2, a3: 基矢（可以有多种选择，一般选择最短） 可以有多种选择，一般选择最短） l1, l2, l3: 整数
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二维布拉伐格子 二维布拉伐格子 布拉伐
M P
a2
Q
a1
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易混淆：简单格子、 易混淆：简单格子、复式格子
• 简单格子：基元中只含有一个原子的晶体=布 简单格子：基元中只含有一个原子的晶体 拉伐格子 • 复式格子：基元中含有一个以上的原子的晶体 复式格子： 相同或不同原子） （相同或不同原子）
复式格子可以看成由几个布拉伐格子套构而成 复式格子可以看成由几个布拉伐格子套构而成 布拉伐
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原胞
• 最小的重复单元，包含一个格点 最小的重复单元， • 用格矢平移原胞，将填满整个空间，没有遗漏， 用格矢平移原胞，将填满整个空间，没有遗漏， 也没有重叠 • 选取方法可以不只是一种，但体积相同 选取方法可以不只是一种， • 三维 • 二维 • 一维
描写晶体的对称性
• 点对称性 点对称性——周期性 周期性 • 不同空间
r空间（实空间） 空间（实空间） 布拉伐格子 布拉伐格子 原胞
k空间(相空间) 空间(相空间) 倒格子 布里渊区 布里渊区
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晶格和晶体结构
• 布拉伐格子，晶格 格子，
• 重要的例子 • 原胞 • 晶体结构
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布拉伐格子 布拉伐格子
j
a1 a2 a3
k
i
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简单六角（hc）
a
a1 = aˆ i
a3
c
a2 a1
a ˆ a 2 = (i + 3ˆ) j 2 ˆ a 3 = ck
j
k i
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结晶学原胞） 晶胞（结晶学原胞）
• 结晶学上常用的重复单元 • 反映点阵对称性 • 原胞体积的整数倍
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简单立方： 简单立方：Simple cubic (sc)
4
多晶体： 多晶体：由两个以上的同种或异种单晶组成的结晶物质。
其中各单晶通过晶界结合在一起的。多晶由成千上万的晶粒构 成，晶粒的尺寸大多在厘米级至微米级范围内变化，多晶没有 单晶所特有的各向异性特征。
液晶：一些晶体当加热至某一温度时转变为介于固体与液体 液晶：
之间的物质，在一维或二维方向上具有长程有序。当继续加热 至温度时，转变为液体。
第一章、晶体的结构
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晶体特征
• 物理：固定熔点，长程有序，解理性 物理：固定熔点，长程有序， • 几何：凸多面体，晶棱平行，晶面面积、夹角 几何：凸多面体，晶棱平行，晶面面积、 守恒
2
3
非晶体： 非晶体：在微米量级范围内，三维空间方向上原子无序排
列构成的固体，非晶态固体又叫做过冷液体，它们在凝结过程 中不经过结晶（即有序化）的阶段，非晶体中原子（分子）间 的结合是无规则的。 Be2O3晶体内部结构 Be2O3玻璃内部结构
简单立方结构： 简单立方结构：sc 面心立方结构： 面心立方结构：fcc 体心立方结构： 体心立方结构：bcc 简单六角结构： 简单六角结构：sh
• • • •
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简单立方： 简单立方：Simple cubic (sc)
a1 = aˆ i a = aˆ j
2
wk.baidu.com
k
ˆ a 3 = ak
j i
a3
a2 a1
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二维Kepler填装问题 填装问题 二维
1892年被挪威数学家 1892年被挪威数学家 Axel Thue证明。 证明。 证明 三维的证明？？？？ 三维的证明？？？？ 上限： 上限：77.97%(1958) 77.84%(1988) 密堆积： 密堆积：74.04% 绝大多数数学家相信而所有物理学家都知道
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密堆积
Up Down
六角密排 ABAB… 立方密排 ABCABC 40 …
思考题：分析下列结构是否布拉伐格子？请画出原胞并给出基矢。 •底心立方（简立方上下面中心各加一点） •侧心立方（简立方四个侧面中心各加一点） •棱心立方（简立方十二个棱中心各加一点）
习
题
41
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最小重复单元
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原胞的多重选择
思考：有没有一种原胞，它的选取是唯一的？ 思考：有没有一种原胞，它的选取是唯一的？
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Wigner-Seitz原胞 原胞
• 以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面， 以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面， 这些中垂面所包含最小体积 最小体积的区域 这些中垂面所包含最小体积的区域 • 对称性原胞，与基矢的选择无关，与相应的布 对称性原胞，与基矢的选择无关， 拉伐格子有完全相同的对称性
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晶格
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原胞的选取
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• 结点 格点 ：代表基元的几何点 结点(格点 代表基元的几何点 格点)： • 点阵(格子 ：结点的总和 点阵 格子)： 格子
晶体结构= 点阵+ 基元
结构 具体
用没有大小的 几何点来代表 基元， 基元，这种点 在空间排列成 阵列——点阵 阵列 点阵
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• 基元平移（没有转动）地放在点阵 基元平移（没有转动） 晶体结构， 上 晶体结构，基元将填满所有空 没有重叠， 间，没有重叠，也没有遗漏 • 思考：基元形状？ 思考：基元形状？
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例子：二维 例子：二维Wigner-Seitz原胞 原胞
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原胞体积
Ω = a1 • (a 2 × a 3 )
a3
a2 a1
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原胞
• 可以只有一个原子 • 多个原子：如金刚石 多个原子： • 十几个、上百个、成千个原子，如碳管、生物 十几个、上百个、成千个原子，如碳管、 晶体
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例：二维六方格子
• 晶体周期性的数学抽象
• 布拉伐格子：一个无限的分立的列阵。无论 布拉伐格子 一个无限的分立的列阵。 无限的分立的列阵
从这个列阵中的那一点去观察， 从这个列阵中的那一点去观察，其周围点的分 布和排列方位都是完全相同的 • 由矢量（格矢） 由矢量（格矢） • Rl=l1a1 + l2a2 + l3a3