输运方程

SST模型（Shear Stress Transport Model）是一种用于湍流模拟的数学模型，它是基于雷诺平均的Navier-Stokes方程的扩展。

SST模型结合了两种不同的湍流模型：k-ε模型和k-ω模型。

在SST模型中，通过引入一个新的变量来控制湍流边界层和自由层的湍流特性。

该变量称为turbulent viscosity ratio（湍流粘度比），它用于根据流场的湍流强度来选择k-ε模型或k-ω模型的预测方程。

在边界层附近，SST模型使用k-ω模型来模拟近壁区的湍流现象，而在自由层中使用k-ε模型来模拟远离壁面的湍流。

Fluent是ANSYS公司开发的一种流体力学（CFD）软件，它可以用于求解各种流动问题。

在Fluent中，可以使用SST模型作为湍流模型来模拟流体流动。

通过设置边界条件、网格划分和其他参数，可以对流动进行数值模拟，并获得流场的速度、压力和湍流特性等信息。

总而言之，SST模型是一种用于湍流模拟的数学模型，而Fluent是一个流体力学软件，可以使用SST模型来模拟流体流动并求解相应的输运方程。

粘性流体运动的基本性质包括：运动的有旋性，旋涡的扩散性，能量的耗散性。

1、粘性流体运动的涡量输运方程为了讨论旋涡在粘性流体流动中的性质和规律，推导涡量输运方程是必要的。

推导过程如下：其Lamb型方程是：引入广义牛顿内摩擦定理：Lamb型方程变为：对上式两边取旋度，得到：整理后得到：这是最一般的涡量输运方程。

该式清楚地表明：流体的粘性、非正压性和质量力无势，是破坏旋涡守恒的根源。

在这三者中，最常见的是粘性作用。

由于：（1）如果质量力有势、流体正压、且无粘性，则涡量方程简化为：这个方程即为Helmholtz涡量守恒方程。

（2）如果质量力有势，流体为不可压缩粘性流体，则涡量输运方程变为：张量形式为。

（3）对于二维流动，上式简化为：2、粘性流体运动的有旋性理想流体运动可以是无旋的，也可以是有旋的。

但粘性流体运动一般总是有旋的。

用反证法可说明这一点。

对于不可压缩粘性流体，其运动方程组为：根据场论知识，有：代入上式，得到：如果流动无旋，则：这与不可压缩理想流体的方程组完全相同，粘性力的作用消失，说明粘性流体流动与理想流体流动完全相同，且原方程的数学性质也发生了变化，由原来的二阶偏微分方程组变成一阶偏微分方程组。

但问题出在固壁边界上。

在粘性流体中，固壁面的边界条件是：不穿透条件和不滑移条件，即：。

要求降阶后的方程组同时满足这两个边界条件一般是不可能的。

这说明粘性流体流动一般总是有旋的。

但也有特例。

如果固壁的切向速度正好等于固壁面处理想流体的速度，也就是固壁面与理想流体质点不存在相对滑移，这时不滑移条件自动满足，这样理想流体方程自动满足固壁面边界条件。

说明在这种情况下，粘性流体流动可以是无涡的。

但一般情况下，固壁面与理想流体质点总是存在相对滑移的，受流体粘性的作用，必然要产生旋涡。

由此可得出结论：粘性流体旋涡是由存在相对运动的固壁面与流体的粘性相互作用产生的。

3、粘性流体旋涡的扩散性粘性流体中，旋涡的大小不仅可以随时间产生、发展、衰减、消失，而且还会扩散，涡量从强度大的地方向强度小的地方扩散，直至旋涡强度均衡为止。

第5章 非稳态问题的求解方法1.1 通用输运方程()()()()()t t f q Γv tφφρφρφφ,grad div div =++-=∂∂ ( 5-1 )5.1 显式Euler 方法考虑1D, 定速度，常物性，无源项的特例22xx u t ∂∂Γ+∂∂-=∂∂φρφφ ( 5-2 ) 时间向前，空间中心差分，得FD 与FV 相同形式代数方程()t x x u nin i n i n i n i nin i∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆-+Γ+∆--+=-+-++21111122φφφρφφφφ( 5-3 ) 可写成()ni n i n i n i c d c d d 1112221-++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=φφφφ ( 5-4 ) 其中()xtu c and x t d ∆∆=∆Γ∆=2ρ ( 5-5 ) d 表示时间步长与特征扩散时间()Γ∆/2ξρ的比。

后者代表一个扰动由于扩散通过∆x 一段距离所需时间。

c 表示时间步长与特性对流传递时间x u ∆/的比。

后者代表一个扰动由于对流通过∆x 一段距离所需时间。

c 成为Courant number, 为CFD 中一个关键的参数。

此格式为时间为1阶精度，空间为2阶精度。

方程（4）内的系数在某些条件下，可能会是负值。

用矩阵表示：n n A φφ=+1 ( 5-6 )观察函数：()∑---=-=in i ni n n 211φφφφε( 5-7 )如果系数矩阵A 的本征值中有大于1，则ε随着n 的增加而增加。

如果本征值全部小于1，则ε是递减的。

一般本征值很难求得，对于本特例，它的解可用复数形式表示ji n n j e ασφ= ( 5-8 )其中，α为波数，可取任意值。

∙ 无条件发散：φn 无条件随n 增加→|σ|>1 ∙无条件稳定：φn 无条件随n 降低→|σ|<1代入差分方程，得到本征值为：()αασsin 2cos 21c i d +1-+= ( 5-9 )考虑特殊情况，∙ 无扩散：d=0, →σ >0, 无条件发散，充分条件∙无对流：c=0, →当cos α= -1时，σ最大，→d<1/2，无条件收敛，充分条件从另一个稳定条件考虑，要求系数矩阵A 的所有系数为正，可得到类似稳定性条件：（充分条件）d c d 2and 5.0<<( 5-10 )第一个条件要求()Γ∆<∆22x t ρ ( 5-11 )表示，每当∆x 减少一半，时间步长需减少到1/4. 第二个条件要求2Pe or2<<Γ∆cell xu ρ ( 5-12 )这同前述的用1D 稳态对流/扩散问题的CDS 要求是一致的。

热输运方程热输运方程是描述物质内部热传导过程的数学模型。

它是通过研究物质内部的热传导现象和热平衡状态来建立的。

热输运方程在热力学、物理学、工程学等领域有广泛的应用。

热输运方程最早由法国数学家约瑟夫·傅里叶在19世纪初提出。

它的基本形式是一维热传导方程，可以用来描述物质内部温度的分布和变化。

热输运方程的一般形式如下：∂T/∂t = α∇²T其中，T是物质的温度分布，t是时间，α是热扩散系数，∇²是拉普拉斯算子。

热输运方程的含义是，物质内部的温度分布随时间的变化率等于热扩散系数与温度分布的二阶梯度之积。

简单来说，热输运方程描述了热量从高温区域传递到低温区域的过程。

热输运方程的解析解很难求得，通常需要借助数值计算方法进行求解。

常见的数值方法有有限差分法、有限元法和边界元法等。

这些方法可以将热输运方程离散化，转化为一个差分方程或代数方程组，然后利用计算机进行求解。

热输运方程的应用十分广泛。

在工程领域，热输运方程可以用来分析热传导问题，如热传导材料的导热性能、热传感器的设计和热管的热传输等。

在热力学研究中，热输运方程可以用来描述物质的热平衡状态和温度分布。

在物理学领域，热输运方程可以用来研究物质的热传导行为和温度的演化过程。

热输运方程的研究也有一些扩展和改进。

例如，考虑非线性热传导、辐射传热、相变等因素时，可以将热输运方程进行修正。

此外，还可以将热输运方程与其他方程相结合，如流体力学方程、传热方程等，来研究复杂的热力学问题。

热输运方程是描述物质内部热传导过程的重要数学模型。

它在多个领域有广泛的应用，为研究热传导问题和热平衡状态提供了有效的工具。

通过对热输运方程的研究和求解，可以深入理解物质的热传导行为，为相关工程和科学研究提供支持。

我们首先考虑不可压缩流体的平均运动动能方程。

平均运动动能方程的推导：
1.定义：流体的动能为21ρv2，其中ρ是流体的密度，v是流速。

2.动量守恒定律：对于不可压缩流体，动量守恒定律为∂t∂ρv+∇⋅(ρv v)=0。

3.速度的散度：v=v(x,t)，则v⋅∇v=∂xi∂vi+vi∂xj∂vi。

4.应用散度定理：∫∇⋅(ρv v)dV=∫ρv v⋅d S。

5.积分：对整个流体体积进行积分，得到dtd∫21ρv2dV=−∫ρv(v⋅∇)v dV。

6.化简：由于是不可压缩流体，ρ为常数，因此dtd∫21ρv2dV=−∫(v⋅∇)(ρv2)dV。

7.应用散度定理：由于ρ为常数，所以∫(v⋅∇)(ρv2)dV=0。

8.结论：因此，不可压缩流体的平均运动动能方程为dtd∫21ρv2dV=0，即动能为常数。

接下来考虑雷诺应力输运方程的推导。

雷诺应力输运方程的推导：
1.定义：雷诺应力为τij=−pδij+2μsij，其中p是压力，μ是动力粘度，sij是应变率。

2.雷诺方程：对于不可压缩流体，雷诺方程为∂t∂vi+vj∂xj∂vi=−ρ1∂xi∂p+ν∂xj2∂2vi。

3.应变率：sij=21(∂xj∂vi+∂xi∂vj)。

4.应用散度定理：对整个流体体积进行积分，得到dtd∫τij dV=−∫sij(v⋅∇)vidV+∫(v⋅∇)(μsij)dV。

5.化简：由于是不可压缩流体，化简后得到dtd∫τij dV=−2∫(v⋅∇)(μsij)dV。

6.结论：因此，雷诺应力输运方程为dtd∫τij dV=−2∫(v⋅∇)(μsij)dV。