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数学物理方法输运方程我们要解决的是一个数学物理问题，具体来说是输运方程。
输运方程是描述物质在空间和时间中的分布如何随时间变化的偏微分方程。
假设我们有一个物质在二维空间中的分布，并且这个物质会随时间变化。
我们可以用一个函数来表示这个物质在每个点的浓度，记为 f(x, y, t)，其中x 和 y 是空间坐标，t 是时间。
输运方程的一般形式是：∂f/∂t = ∂/∂x(D_x f) + ∂/∂y(D_y f) + ∂/∂z(D_z f)其中 D_x, D_y, D_z 是扩散系数，描述了物质在各个方向上的扩散速度。
在这个问题中，我们只考虑在 x 方向上的输运，所以方程简化为：∂f/∂t = D_x ∂/∂x(f)现在我们要来解这个方程，找出 f(x, y, t) 的具体形式。
解这个输运方程，我们可以得到物质在空间和时间中的分布。
具体来说，我们需要找到一个函数 f(x, y, t)，满足以下条件：1. f(x, y, 0) = f0(x, y)，即在 t=0 时，物质在空间的分布是已知的。
2. 方程∂f/∂t = D_x ∂/∂x(f) 在整个空间和时间上成立。
为了解这个方程，我们可以使用有限差分法、有限元法、谱方法等数值方法。
这些方法可以帮助我们找到 f(x, y, t) 的近似解，从而了解物质在空间和时间中的分布如何随时间变化。
需要注意的是，输运方程是一个偏微分方程，其解可能存在奇异性和不稳定性。
因此，在求解过程中需要特别注意数值方法的稳定性和精度。
同时，扩散系数 D_x 的取值也会影响解的形状和性质。
综上所述，解输运方程是数学物理中的一个重要问题，它可以帮助我们了解物质在空间和时间中的分布如何随时间变化。
通过使用数值方法，我们可以找到方程的近似解，从而为实际应用提供有价值的参考。
输运方程本征值
无外源时，输运方程可以写成 0'1(,)(,')(;',') (,',',)''
t E v t
E f E E E t dE d φφφφ∞Ω∂=−⋅∇−Σ∂+Σ→→∫∫Ωr r r ΩΩr ΩΩ （1）
(,,,)E t φφ=r Ω其中
简记为
1(,) '''''t E f d dE v t
φφφφ∂=−⋅∇−Σ+Σ∂∫∫Ωr Ω （2） 注意：积分中的f 是广义指示函数（或转移函数），散射源和裂变源
都包括在内。
把与时间无关的线性算符记为L ，则无外源输运方程（２）
可以简记为
1v t φφ∂=∂L （3） 分离变量，令 (,,,)(,,) ()E t E T t φϕ=r Ωr Ω ，
代入（2），并用(,,) ()E T t ϕr Ω除两边，得到：
{}
''''' T
v f d dE T T ϕϕϕϕ∂−⋅∇−Σ+ΣΩ=∫∫Ω
左边是时间的函数，右边是位置，能量，方向的函数，两者怎能相等？只有两者都等于一个常数时才可能．故
{} ''''' T
v f d dE T T ϕϕϕλϕ
∂−⋅∇−Σ+ΣΩ==∫∫Ω 这就把原方程分离成了两个方程
T T
λ∂= （4） ） v λ
ϕϕ=L (5a)
（4）的解是
0 t T T e λ= (6)
其中的λ是方程（5）的本征值。
这样我们就把求解与时间
有关输运方程的问题转化为求解定态方程（5）的本征值与
本征函数问题。
容易看出，方程（5）与定态输运方程的差别是其总截面
Σ增加了v
λ；当0λ=时，两者没有差别。
当0λ>时， 相当于俘获截面增大（因为积分号中的散射与裂变截面未
变，只能是俘获截面增大）。
物理上是相应于一个超临界
系统，为了使其变成稳态，可以人为地加大其俘获截面。
由于这虚拟俘获
v λ符合1v
律，必然会造成能谱的吸收硬 化（算出的能谱比实际能谱硬），这是λ本征值的特点。
也可以采用k 本征值，此时方程为
'
111''''
()''''4
t s f v t f dE d E dE d k ϕϕϕϕχνϕπ
∂+⋅∇+Σ∂=Σ+Σ∫∫∫∫ΩΩΩ （上式中将散射源和裂变源和分开写出，是因为要对裂
变源进行人为调整）
采用k 本征值，超临界时候，k >1,人为压低了裂变，使得
能谱变软 (算出的能谱比实际能谱软)。
除了λ本征值和k 本征值之外，常用的还有γ本征值。
关于各种本征值 与相应的本征函数的讨论，可参考杜书华《输运问题的计算机模拟》一书的
第三章。
注：许多文献中把本文中的λ特征值称为α本征值。
