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第9章 中子输运方程-分布的平衡

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fluent UDF第九章

fluent UDF第九章

第九章本章扼要介绍了FLUENT中用户自定义标量及它们的用法。

∙9.1 介绍∙9.2 理论∙9.3 UDS的定义，求解，后处理9.1 介绍FLUENT可以用求解诸如质量组分之类标量方程的相同方法来求解任意的用户自定义标量 (UDS)。

在某些类型的应用中，如燃烧模拟或是等离子增强表面反应（plasma-enhanced surface reaction）的模拟中，还需引入新的标量输运方程。

用户自定义标量可被用于磁流体动力(MHD)模拟中。

在MHD中，导电流体（conducting fluid）的流体将会产生磁场，此磁场可以用户自定义标量来求解。

磁场造成的对流体的阻尼（a resistance to the flow），可用用户自定义的源项来模拟。

书中4.3.12和4.3.13介绍了用 UDFs来定义标量输运方程的例子。

to customize scalar transport equations.9.2 理论对于一个任意的标量，FLUENT可求解方程(9.2.1)此处和是用户为N个标量方程中的每一个方程定义的扩散系数和源项。

对于稳态的情况，根据计算对流通量的方法的不同，FLUENT可求解以下的三种方程之一：∙如果对流通量不用计算，则FLUENT可解方程(9.2.2)此处和是用户为N个标量方程中的每一个方程定义的扩散系数和源项。

∙如果以质量流率来计算对流通量，FLUENT可解方程(9.2.3)∙如果选择一个用户自定义函数来计算对流通量，FLUENT可解方程(9.2.4)此处是用户定义的流率。

!!在FLUENT中，用户自定义函数只可在流体区域内求解，而不能在固体区域内求解。

9.3 UDS的定义，求解，后处理定义，求解，后处理用户自定义标量的步骤概括如下。

注意UDFs 在多相流体和单项流体中应用的重要不同在于，如果是单相的情况（an individual phase），用户需要提供用户自定义的标量通量函数。

第八章 等离子体中的输运过程

第八章 等离子体中的输运过程

方程左边的第二项（ u 的二次项），这时速度分布各项异性很弱。无磁场时它具有形式
mα
∂uα ∂t
=
zαeE −
1 n
grad(nTα ) + mα
δuα δt
（8-2）
对于电子 α = e 和 ze = −1，对于离子 α = i 和 zi = 1。碰撞项只考虑带电粒子同中性粒子
的碰撞
mα
δuα δt
在弱电离等离子体中带电粒子与中性离子的碰撞频率远大于带电粒子之间的碰撞频
率。带电粒子的定向运动由一级矩方程描述。在稳态条件下
Zα
eE
+
Zα
e
[uα
×B
]−
grad(nTα n
)
+
m
δuα δt
=0
(8-45)
碰撞摩擦力为
m
δuα δt
= −µαaναauα
(8-46)
这里假定了带电粒子的定向速度远大于中性粒子的定向速度。将(8-46)式代入(8-45)式后，得
+
div(nu)
=
δn δt
对定态情形, 设 ∂n / ∂t = 0 , 得
(8-27)
DA∇2n
+
δn δt
=
0
(8-28)
在柱对称的等离子体中密度只依赖于半径
DA
1 r
d dr
(r
dn dr
)
+
δn δt
=
0
(8-29)
碰撞项决定单位体积内的电离和复合过程效率。首先讨论最简单的情况，这时直接电离是显
(8-31)
为了使密度在边界（r=a）处等于零，贝赛尔函数在这一点应该是零点。贝赛尔函数零点的

《核物理》中子通量热中子通量的空间分布

《核物理》中子通量热中子通量的空间分布

¡ D是中子通量的扩散系数，有长度量纲。D0是通用的 ¡ 这就是斐克定律，它是简单扩散理论的基本假设。
N p = ∫ n p dV
V
7
n p = − D∇ 2 Φ
这就是泄漏率。8
第五章 3、简单中子与物质的相互作用 扩散理论和扩散方程
第五章 中子与物质的相互作用 一、中子通量的空间分布
3）单位时间单位体积中子的产生率 ¡ 单位时间单位体积中子的产生率S表示。于是中 子守恒定律方程为
数值模拟方法两种。
3
n a = Σ a vn
4
第五章 中子与物质的相互作用 1）单位时间单位体积介质 里中子的吸收数
第五章 3、简单中子与物质的相互作用 扩散理论和扩散方程
乘积vn为每平方厘米面积内每秒通过 的中子数，称为中子通量，用Φ表示 。也就是1cm3内 所有中子在1s时间 内所走距离的总和，因此也称做轨迹 长度。
∫
4π
r r r r 1 r r v′n (r ， v′， Ω′，t ) dW (v′Ω′ → vΩ ) + s (r ， v， Ω ，t ) λ s (v′)
¡ 波尔兹曼迁移方程，它是全部中子迁移的理论基础，
是研究一切中子分布问题的依据。
¡ 波尔兹曼方程的求解主要有数值求解法和Monte Carlo
第五章 4、无限中子与物质的相互作用 均匀介质中点源的扩散方程解 ¡ 假设同位素点源每秒放出一个中子，取球形坐标
）均为0，这样扩散方程进一步变为
系，点源位于原点处，这样中子分布就是球对称 的。 空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变 换关系为 z P(r,φ,θ)
D∇ 2 Φ − Σ a Φ = 0
¡脉冲中子C/O能谱测井就是通过测量和分析非

中子输运方程和扩散方程区别

中子输运方程和扩散方程区别

中子输运方程和扩散方程区别摘要：1.中子输运方程和扩散方程的定义与含义2.中子输运方程和扩散方程的物理背景与应用领域3.中子输运方程和扩散方程的数学表达式及求解方法4.中子输运方程和扩散方程的区别与联系5.泄漏迭代法在求解中子扩散方程中的应用正文：一、中子输运方程和扩散方程的定义与含义中子输运方程和扩散方程都是物理学中描述粒子传输过程的方程。

中子输运方程主要应用于中子在物质中的输运过程，而扩散方程则广泛应用于粒子在各种介质中的扩散现象。

二、中子输运方程和扩散方程的物理背景与应用领域中子输运方程主要用于研究中子在核反应堆中的传输过程，对于核反应堆的设计、仿真和安全验证具有重要意义。

扩散方程则广泛应用于粒子在气体、液体和固体等介质中的扩散现象，如气体分子的扩散、污染物在环境中的扩散等。

三、中子输运方程和扩散方程的数学表达式及求解方法中子输运方程的数学表达式通常是基于积分形式的，描述了中子在物质中的输运过程。

求解方法主要有常微分方程求解法、有限元法等。

而扩散方程的数学表达式则是基于偏微分方程的，描述了粒子在介质中的扩散现象。

求解方法包括经典数值解法、有限差分法等。

四、中子输运方程和扩散方程的区别与联系中子输运方程和扩散方程在物理背景、应用领域和数学表达式上都有所区别，但它们都是描述粒子传输过程的方程，具有一定的联系。

在实际应用中，可以根据问题的具体特点选择合适的方程进行求解。

五、泄漏迭代法在求解中子扩散方程中的应用泄漏迭代法是一种求解中子扩散方程的有效方法，通过迭代计算可以逐步逼近中子扩散方程的解。

该方法在核反应堆物理计算等领域具有广泛的应用，对于提高计算精度和效率具有重要意义。

总结：中子输运方程和扩散方程是描述粒子传输过程的两种重要方程，它们在物理背景、应用领域和数学表达式上有所区别，但也具有一定的联系。

在实际应用中，可以根据问题的具体特点选择合适的方程进行求解。

第9章反应堆动力学

第9章反应堆动力学

=>0时 方程（9-25）中只有
ω1为正值，其余为负值。 中子周期将按T1 1/1增长。
T 11/0.018 5秒 2 5
无缓发时T=0.1秒 =<0时
所有项均指数衰减。
阶段扰动下相对中子密度水平随时间变化的曲线
9.4 反应堆周期
9.4.1 反应堆周期 引入反应性的阶跃变化后,中子密度立即发生急剧变化。
假定中子通量密度 (r,t) 和先驱核浓度 Ci (r,t) 可以用空间
形状因子 (r) , gi (r) 与时间相关的幅函数 n (t ) 和 Ci (t) 的乘积
来表示:
(r,t)n(t)(r)
Ci(r,t)Ci(t)gi(r) 若堆芯偏离临界状态不远,并且先驱核的浓度分布具有与
中子通量密度分布相同的分布函数, 将以上表达式带入反应堆
它是一个关于ω 的7次代数方程,在给定的反应堆特性参数下, 由它可以确定出7个可能的ω值。但求解直接该方程却非常 困难。可以用图解法研究方程的根的分布却非常方便。
=>0时：有6个负根和1个正根。 =<0时：有7个负根。
在反应性阶跃变化的情况下，点堆模型动态方程（9-18） 和（9-19）是线性的， 所以方程的一般解由ω 的所有7个解所形成的
keff1kL 2B2 1v fL/2B 2a l11/L2aBv2 1lL2B2
定义中子每代时间
l /keff
以上方程可以改写为：
dd(n t)t(t )n(t)i 61iC i(t)
dd i(C t)t in (t)iC i(t) i 1 ,2 , ,6
便可确定周期Ｔ。反之，它是由测量得到的反应堆周期来确
定反应性的理论依据。
式中右端第一项是表示瞬发中子的作用，而第二项则表示

工程物理学中的输运现象和热力学平衡

工程物理学中的输运现象和热力学平衡

工程物理学中的输运现象和热力学平衡工程物理学是应用物理学的一个分支，它是以物理学原理为基础，研究各种物质在现实工程中的应用问题。

其中，输运现象和热力学平衡是工程物理学中非常重要的概念。

一、输运现象输运现象指的是物质在空间中的传输过程，通常包括扩散、迁移和传热等现象。

在工程中，我们经常需要处理涉及到物质输运现象的问题。

例如，在材料科学与工程领域中，研究材料的扩散性质，发展新的材料和制造方法；又例如，在环境科学与工程领域中，研究污染物在水和大气中的传输与转化过程，制定相应的污染控制政策。

扩散是一种随机的过程，它通常被描述为物质在单位时间和单位面积上发生的传输量。

在物理学中，扩散常常被描述为浓度梯度的驱动下的物质输运过程。

扩散系数不但取决于物质的本身性质，同时也取决于环境因素，如温度、湿度等等。

对于液态系统中的扩散过程，我们通常使用弗克定律来描述；而对于气体系统中的扩散过程，我们通常使用菲克定律来描述。

此外，有些情况下，扩散会被其它输运过程所支配，如对流、电迁移或热迁移等。

另一种输运现象是迁移，它指的是特定物质在介质中的运动。

与扩散不同，迁移通常与化学反应直接相关。

例如，在自然界中腐殖质迁移对环境恢复和土壤肥力很重要，而在核污染等重大环境事件中，放射性物质的迁移也成为近些年来研究的热点之一。

传热则是指热量从高温区传向低温区的过程。

传热常常被描述为热传导、辐射和对流的综合效应。

其中，热传导是指热量通过物质内部的传导作用传输；而辐射则是指热能通过电磁波辐射传输；对流则是指通过流体本身的运动将热量从一处传到另一处。

二、热力学平衡热力学平衡是物质系统所处的一种状态，表现为系统各部分的物理量不再改变，系统处于一定的稳定状态。

它是热力学第二定律的基础之一。

在工程物理学中，我们常常研究物质系统的热力学平衡，以优化系统的效率和稳定性。

物质系统的平衡状态通常需要满足一些平衡条件。

例如在液体-气体界面上，表面张力要满足传播角度的最小化，才能使体系达到表面平衡状态。

第10章 中子输运方程-中子慢化

22.54 中子与物质的相互作用及应用（2004年春季）第十讲 （2004年3月9日）中子慢化_______________________________________________________________________________ 参考文献：J. R. Lamarsh, Introduction to Nuclear Reactor Theory(Addison-Wesley, Reading, 1966)下面我们将注意力转移到中子能量慢化的问题上——从快中子到热中子能区的慢化。

正如我们所能想到的，描述慢化过程的方程可以通过对第9章的方程(9.5)进行简化而得到。

消除通量对空间位置的依赖性方法有两种。

一个是将输运方程对大系统进行积分并假设系统体积是无穷大，3()(,)E r E d φφ=∫r (10.1)3ˆ()SJd r n J dS ∇⋅=⋅→∫∫0 (10.2) 另一种方法是设想一个“点反应堆”(,)()()r E E r φφδ= (10.3) 再对空间进行积分(同时应用斐克定律)，222221()()02ikx dx x dx dke dkk k x x δδπ+∞+∞+∞+∞−∞−∞−∞−∞∂∂==−∂∂∫∫∫∫= (10.4) 无论用何种方式，都可以得到与(9.18)等价的方程，∫→Σ+=Σ)()()()()()(''''E E F E E dE E S E E S t φφ (10.5)这就是无限介质的中子慢化方程。

在(10.5)中，我们已经将外部中子源与裂变中子源合并为S(E)。

在不需要特别指定散射核F 的情况下，具有和(10.5)式形式相同的方程也可应用于热中子区，这时中子的上散射必须考虑。

那时的能量平衡问题应被称作中子的热化(这将是后面某讲要讨论的问题)。

在第6章中我们已经推导了在质心系中，弹性散射、靶核静止以及各向同性散射的条件下的能量转移核（见第6讲），这里将应用它对式(10.5)进行研究。

pdf输运方程

pdf输运方程
PDF（概率密度函数）输运方程是描述粒子在流体中输运过程的数学方程。

它在许多研究领域都有广泛的应用，如等离子体物理、气体动力学、海洋学等。

PDF输运方程的基本形式如下：
$$
\frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla f = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial}{\partial \mathbf{u}} \cdot \nabla f\right) + \frac{1}{2} \left(\frac{\partial f}{\partial \mathbf{u}} \cdot \nabla \right) -f \nabla \cdot \mathbf{u} + \frac{\sigma}{Re} \nabla^2 f
$$
其中，
- $f$ 是粒子数的概率密度函数；
- $\mathbf{u}$ 是流体的速度；
- $\nabla$ 是梯度算子；
- $t$ 是时间；
- $\sigma$ 是散射系数；
- $Re$ 是雷诺数，反映了流体运动的湍流程度。

这个方程描述了粒子在流体中由于扩散、湍流扩散和剪切输运等因素引起的输运过程。

通过对该方程进行求解，可以得到粒子在流体中的浓度分布，从而为相关领域的研究提供理论依据。

需要注意的是，PDF输运方程的具体形式可能会因应用场景和模型假设而有所不同，上述公式仅为一种常见形式。

在实际问题中，可能需要根据具体条件对公式进行修正和拟合。

线性源近似的中子输运方程特征线解法


Ｌｉ ａ ｏ ｒ ｅ Ａｐｐ ｏ ｉ ａ ｉ ｎ Ｓ ｈｅ ｅ ｆ ｒ Ｍ ｅ ｈ ｄ ｏ ａ ａ ｔ ｒｓ ｉｓ ｎｅ ｒ Ｓ ｕ ｃ ｒ ｘ ｍ ｔｏ ｃ ｍ ｏ ｔ ｏ ｆ Ｃｈ ｒ ｃ ｅ ｉ ｔｃ
ＴＡＮＧ Ｃｈｕｎ ｔ ｏ —ａ
（ ａｎｇｈ ｕｃｅ Ｓｈ ａｉＮ ｌ ａｒＥｎｇｉ ｅ ｒ ｎ Ｒｅ ｅ ｒ ｈ ａｎｄ Ｄ ｅ ｉ Ｉ ｔｔ ｔ ｎ ｅ ｉ ｇ ｓ ａ ｃ ｓｇｎ ｎｓｉｕ ｅ，Ｓｈａｎ ｇｈａｉ２ ２３ ００ ３， Ｃｈｉ ａ） ｎ
ｉｓ ｏ ｒ ｓ ｏｎｄ ｎ ｍｏ ｆｃ ｔｏｎ ｏ ｎｅ ｔｖｅ ｏ ｒ ｅ ｉｔ ｉ ｔｏ ｗｅ ｅ ｔ ｃ ｒ ｅ ｐ ｉｇ ｄｉｉａ ｉ ｆ ｒ ｇａ ｉ ｓ ｕ ｃ ｄ ｓ ｒｂｕ ｉ ｎ ｒ ｐｒ ｐｏ ｅ ． Ｔｈｅ ｏ ｓｄ
ＯＥ ＣＤ／ ＮＥＡ Ｇ７ Ｍ ＯＸ Ｄ ｅ ｃ ｍａ ｋ ａ ｄ ａｓ ｌ— ｅ ｉ ｅ Ｃ５ 一 ２ ｂ ｎ ｈ ｒ ｎ ｅｆｄ ｆ ｄ ＢＷ Ｒ ｉ ｉ ｏ ｅ ｐ ｏ ｌ ｍ ｒ ｎ ｍ ｎ － ｒ ｒ ｂ ｅ ｗｅ ｅ ｃ
Ａｂｓｒ ｃ ： Ｍ ｅ ｈｏ ｏｆ ｈａ ａ ｔ ｒ ｓ ｉｓ （ ＯＣ） ｆ ｓ ｌ ｉ ｎ ｕｔ ｏ ｔａ ｐｏ ｔ ｑｕ ｔｏ ｔａ ｔ ｔ ｄ ｃ ｒ ｃ ｅ ｉｔｃ Ｍ ｏｒ ｏ ｖ ｎｇ ｅ ｒ ｎ ｒ ｎｓ ｒ ｅ ａ ｉｎ
ｂ ｓ ｄ ｏ ｕ ｔ ｕｃ ｕｒ ｄ ａ ｅ ｎ ｎｓ ｒ ｔ ｅ ｍ ｅ ｈ ｈａ ｌｅ ｄ ｃ ｍ ｅ ｎｅ ｏ ｔ ｅ ｕｎｄ ｍ ｅ ｔ ｌ ｅ ｈ ｄｓ ｏ ｓ ｓ ａ ｒ ａ ｙ ｂｅ ｏ ｏ ｆ ｈ ｆ ａ ｎ ａ ｍ ｔ ｏ ｆ ｒ
ｉ ａ ｏ ｈ ｒ ｂ ｓｃ ａ ｓ ｍ ｐ ｉ ｎ ｆ ｒ Ｍ ０Ｃ． Ａ ｉ ｅ ｒ ｓ ｕ ｃ （ ） ｃ ａ ａ ｔ ｒｓ ｉｓ ｓ ｈ ｍｅ ａ ｄ ｓ ｎ ｔ ｅ ａ ｉ ｓ ｕ ｔｏ ｏ ｌ ａ ｏ ｒ ｅ ＬＳ ｎ ｈ ｒ ｃ ｅ ｉｔｃ ｃ ｅ ｎ

第3章中子扩散理论.ppt

所对应的立体角方向运动的概率是：cosq dA 4 r 2
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第3章 中子扩散理论
单位时间内，在微元体dV中发生散射后向
微元面dA方向运动的中子数为：
cosq dAdV s(r) 4 r 2
这些中子实际能到达微元面dA的概率为：
exp(tr )
体物理等的发展提出并进一步推动了辐 射输运理论的研究； 4. Von Neumann 和 Ulam等开发了第一个用 概率论方法（Monte Carlo方法）计算中 子链式反应的程序；
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第3章 中子扩散理论
2. 中子状态的描述
中子状态：位置矢量
第3章 中子扩散理论
中子流密度：J D
上式中被 J 称为被称为中子流密度（简称 中子流） ；
中子流密度是一个向量； 其方向是通量场的负梯度方向； 其数值等于垂直于梯度方向的单位面积上
每秒穿过的净中子数目； 单位：中子/cm2. s
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单位时间在微元体dV中发生散射后，能到
达微元面dA的中子数为：
s(r
)
exp
(

t
r
)
cosq dAdV 4 r 2
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第3章 中子扩散理论
假设2：介质为弱吸收介质
单位时间内，在微元体dV中发生散射后向
微元面dA方向运动的中子数为：

z



s
3Fra bibliotek D扩散系数： D s
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下面给出输运方程的简要推导，通过推导我们会知道它只是一种平衡关系。当然你也可 以进行更加精细的推导，包括量子力学公式，但是我们认为这对于理解输运方程的基本物理 概念是不必要的。中子“数密度”定义如下：
n(r, v, t)d 3rd 3v ≡ 在时间 t ， r 处体元 d 3 r ，速度在 v 处 d 3 v 内， 中子的期望值
和 φ (r) = ∫φ(r, E)dE
(9.17)
这是研究中子扩散的起点。为了简单起见，今后将不再标出上划线，但是(9.16)式的原型应 该牢记。我们在第 10 章会再次研究这个方程的不同解法，包括对于边界条件的处理。注意 到(9.16)反映的仍然是一个平衡关系——从一个体元流入和流出的差值(扩散)与同一个体 元中产生和吸收的差值所形成的平衡。
Ⅱ. 中子输运方程——介绍
中子输运方程是在研究中子在介质中相互作用和迁移时最基本的方程。对于结构——速 度相空间中的中子，这个方程及方程的解是一个随时间变化的分布函数。得到这个分布函数 就可以解决在反应堆理论中几乎所有感兴趣的问题。但是，通常并不需要知道分布函数本身， 知道在相空间中的坐标如速度方向、能量或位置的积分就已经足够了。
(9.20)
F (E' Ω' → E, Ω) = F (Ω' → Ω)δ (E − E0 )
(9.21)
f (E) = Σ , 常数
(9.23)
这里δ ( x) 是狄拉克 δ 函数——它的值在 x ≠ 0 处皆为 0，在 x = 0 的值是无穷大(当被积分 区域包括这个点时， δ 函数的积分等于 1)。以下是 δ ( x) 函数的一些性质：
(2) 散射
∫∫∫ ΣS (E' )φ(r, E', Ω', t)d 3rdE'dΩ'∆tF (E'Ω' → EΩ)dEdΩ
(9.3)
V ,E' ,Ω'
式中，F (E' Ω' → EΩ)dEdΩ＝一个中子从(E',Ω' )散射到能量在E处dE内，方向
在Ω处dΩ内的条件概率。损失也来自两个方面，一个是碰撞，另一个是流出。
(9.8)
J+ (r, E,t) = ∫ nˆ ⋅ Ωφ(r, E, Ω ,t)dΩ nˆ⋅Ω / ≥0
(9.9)
同样，相反的方向可以表示为
J− (r, E,t) = ∫ −(nˆ ⋅ Ω)φ(r, E, Ω ,t)dΩ
nˆ⋅Ω / ≥0
我们可以定义
KG J (r,
E,
t
)
为，
（9.10）
∫ nˆ ⋅ J (r, E,t) = J+ (r, E,t) − J− (r, E,t) = nˆ ⋅ K Ωφ(r, E,Ω,t)dΩ Ω
对于稳定态问题，我们可以简单地假设中子分布以及外部的中子源都是时不变的。这样 式(9.5)中左半部分就等于 0；剩下的部分是时间独立的中子输运方程。待研究的问题有两
类，一类存在外部源另一类不存在外部源。前一种情况对应于次临界反应堆系统，这时需要 有外部源的存在来维持堆内中子密度的稳定。而第二种情况描述了处于临界状态的反应堆， 它的中子密度在没有外部源的时候也是稳定的。
中子输运方程是含有 7 个未知变量的微——积分方程。由于无论是作为边界值问题或是 初始值问题，我们都很难对它直接求解，因此在反应堆理论中，所有遇到的方程都是在原输 运方程的基础上做了某种程度近似。
中子流量 “流量”(current)常被用来表示流向某个特定方向的粒子流；它频繁地出现在粒子的
散射以及输运过程的讨论中。为了精确，首先定义中子通量φ ，正如上文所述，它是中子输
假设我们不关心中子的运动方向，那么式(9.5)可以对 Ω 进行积分。在稳定态且没有外
部源的情况下，可以得到
∫ ∫ −∇⋅ J (r, E) + dE'Σs(E')φ(r, E')F(E' → E) +vf (E) dE'Σ f (E')φ(r, E') − Σt (E)φ(r, E)
(9.13)
上式应用了式(9.6)。方程描述了中子的空间和能量分布。由于含有两个未知变量“中子通 量”和“净流量”，这并不是一个封闭方程。为了进一步简化，通常使用关于扩散的斐克定 律(Fick’law)来对中子通量和中子流量的关系做近似，其中斐克定律描述为
J = −D∇φ
（9.14）
这样就可以推导出处于稳态下的大体积系统的扩散方程
∫ ∫ [D∇2 − Σt ]φ(r, E) + vf (E) dE'Σ f (E' )φ(r, E' ) + dE'Σs (E' )φ(r, E' )F (E' → E) = 0
（9.15）
这是一个与能量有关的扩散方程，但仍然无法求解。既然方程也描述了中子慢化的过程，那 么就可以考虑进一步的简化。
设想一个体积为 V 表面为 S 的子系统，那么在时间间隔 ∆t 内，体积 V 内，能量在 E 处 dE 内，方向在 Ω 处 dΩ 内中子数的变化可以表示为：
∫ [n(r, E,Ω,t + ∆t) − n(r, E,Ω,t)]d 3rdEdΩ = 增量 − 损失
V
其中，增量来自两种贡献。
(9.1)
(1) 裂变和外部中子源
G
G
为了计算方便，通常使用标量 E 和一个二维的矢量 Ω 来代替矢量变量 v ，这样
v = (vx , vy , vz ) → (v,θ ,ϕ ) → (E,θ ,ϕ ) 。因此， d 3v = v2dvdΩ ，而 dΩ = sinθdθdϕ 。这
样，就可以得到
n(r, v, t)d 3rd 3v ≡ n(r, E,Ω, t)d 3rdEdΩ = 在时间t，r处体元d3r， 飞行方向在Ω处dΩ，能量在E处dE内，中子数目的期望值
f
( E )φ ( r,
E ' , Ω' , t)
+
S(r, E,Ω,t)
(9.5)
∫+ dE'dΩ'Σs (E' )φ(r, E',Ω',t)F (E'Ω' → EΩ) − Σt (E)φ(r, E,Ω,t) − Ω ⋅ ∇φ(r, E,Ω,t) E '，Ω‘
方程(9.5)就是均匀（各向同性）介质中的中子输运方程。对于非均匀体系，我们可以
到目前为止，可以从两个方面进行进一步的简化。一个是通过对能量 E 进行积分从而将 其消除。这样的结果就是如下的中子扩散问题
D∇2φ (r) + [vΣ f − Σa ]φ (r) = 0
(9.16)
式中的上划线表示了两种不同的能量积分结果，一个是有效平均通量截面，另一个是积分通 量
Σ = ∫ dEΣ(E)φ(r, E) ∫ dEφ(r, E)
运方程的解。既然流量和通量使用同样的量纲，那么二者的区别到底是什么？令
由于粒子通量为
J (r, E,t) ≡ ∫G Ωφ(r, E,Ω,t)dΩ Ω = ∫G vn(r, E,Ω,t)dΩ Ω
（9.6）
vn(r, E,Ω, t)dEdΩ∆tdAcosθ = 能量在 E 处 dE 内，飞行方向在 Ω 处 dΩ 内，
(9.11)
这与式(9.6)是统一的，于是我们可以得到如下解释
nˆ ⋅ J (r, E,t)dEdA∆t = 能量在E处dE内，在时间间隔∆t内，由dA的"-"法线 方向进入"+"法线方向通过dA的“净”中子数。 （9.12）
nˆ ⋅ J 与 J + 的差别在于“净”这个字。
问题分类
中子分布函数包含 7 个变量，3 个是中子的位置，3 个是中子的速度或是 1 个能量加 2 个运动方向，最后一个变量是时间。通过对某个或某几个变量进行积分，或将某些变量如能 量设为指定值，可以得到简化的分布函数。这样做之后，就可以将输运问题分解为一些更为 简单的问题，比如中子慢化、中子扩散、中子热化、以及同速中子的输运，而每个问题又可 以通过进一步的近似方法来进行分别研究。这些单独的问题不仅在物理上分别有所侧重，也 可以互相联系起来，从而有助于理解中子输运的本质。
S
V
∫ 失”相加，除以 ∆t ，并且取极限 ∆t → 0 ，我们可以将平衡方程(9.1)写成 [] = 0 的形式。
V
既然 V 是系统中的任意部分，则欲使任意 V 时积分都为 0，被积函数[]必须恒等于 0。因此
可以得到，
∫ ∂n(r, E,Ω,t) ∂t
=
vf (E) 4π
G E' ,Ω'
dE 'd Ω'Σ
所损失掉的能量 E，用 Σt 来表示，与通过裂变产生的中子能量，以及从其它能量散射到 E
的中子的能量是平衡的。我们将在下一讲讨论(9.18)的不同解。
除了(9.16)和(9.18)以外，通过(9.5)还可以推导出另两个等式。假设所有的中子都只 有单一的能量 Eo，则可以等价地写出
φ(r, E,Ω) = φ(r,Ω)δ (E − E0 )
(3) 碰撞
(4) 净流出量
∫ Σt (E)φ(r, E,Ω,t)d 3rdEdΩ∆t
V
∫ Ω ⋅ nˆvn(rS , E,Ω,t)dsdEdΩ∆t = ∫ d 3rΩ ⋅ ∇φ(r, E,Ω,t)dEdΩ∆t
S
V
(9.4)
∫ ∫ 式中 nˆ 是 rs 处的外法线方向，并且应用了散度定理 d s ⋅ F = d 3r∇ ⋅ F 。将“增加”与“损
∫a+εδ (x − a)dx = 1，
简单的令 Σ(E ) → Σ(r, E ) 。可以看出这是一个线性方程，因为我们已经忽略了中子——中