专题09 指数函数-2021年高考数学一轮复习专题讲义附真题及解析
- 格式:pdf
- 大小:1.37 MB
- 文档页数:12
题目高中数学复习专题讲座指数函数、对数函数问题 高考要求指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一,本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题 重难点归纳(1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题 此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性质并能灵活应用(2)综合性题目 此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力(3)应用题目 此类题目要求考生具有较强的建模能力 典型题例示范讲解例1已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点,分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点(1)证明 点C 、D 和原点O 在同一条直线上; (2)当BC 平行于x 轴时,求点A 的坐标命题意图 本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识,考查学生的分析能力和运算能力知识依托 (1)证明三点共线的方法 k OC =k OD (2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想,只要得到方程(1),即可求得A 点坐标错解分析 不易考虑运用方程思想去解决实际问题技巧与方法 本题第一问运用斜率相等去证明三点共线;第二问运用方程思想去求得点A 的坐标(1)证明 设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,由题意知 x 1>1,x 2>1,则A 、B 纵坐标分别为log 8x 1,log 8x 2 因为A 、B 在过点O 的直线上,所以228118log log x x x x =,点C 、D 坐标分别为(x 1,log 2x 1),(x 2,log 2x 2), 由于log 2x 1=2log log 818x ===2log log log ,log 38282218x x x 3log 8x 2, 所以OC 的斜率 k 1=118212log 3log x x x x =, OD 的斜率 k 2=228222log 3log x x x x =, 由此可知 k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一条直线上(2)解 由BC 平行于x 轴知 log 2x 1=log 8x 2即 log 2x 1=31log 2x 2,代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2得x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1, 由于x 1>1知log 8x 1≠0,∴x 13=3x 1又x 1>1,∴x 1=3,则点A 的坐标为(3,log 83)例2在xOy 平面上有一点列P 1(a 1,b 1),P 2(a 2,b 2),…,P n (a n ,b n )…,对每个自然数n 点P n 位于函数y =2000(10a )x(0<a <1)的图象上,且点P n ,点(n ,0)与点(n +1,0)构成一个以P n 为顶点的等腰三角形(1)求点P n 的纵坐标b n 的表达式;(2)若对于每个自然数n ,以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形,求a 的取值范围;(3)设C n =lg(b n )(n ∈N *),若a 取(2)中确定的范围内的最小整数,问数列{C n }前多少项的和最大?试说明理由命题意图 本题把平面点列,指数函数,对数、最值等知识点揉合在一起,构成一个思维难度较大的综合题目,本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力知识依托 指数函数、对数函数及数列、最值等知识错解分析 考生对综合知识不易驾驭,思维难度较大,找不到解题的突破口技巧与方法 本题属于知识综合题,关键在于读题过程中对条件的思考与认识,并会运用相关的知识点去解决问题解 (1)由题意知 a n =n +21,∴b n =2000(10a )21n(2)∵函数y =2000(10a )x(0<a <10)递减, ∴对每个自然数n ,有b n >b n +1>b n +2则以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n +2+b n +1>b n ,即(10a )2+(10a)-1>0, 解得a <-5(1+2)或a >5(5-1) ∴5(5-1)<a <10(3)∵5(5-1)<a <10,∴a =7∴b n =2000(107)21+n 数列{b n }是一个递减的正数数列,对每个自然数n ≥2,B n =b n B n -1于是当b n ≥1时,B n <B n -1,当b n <1时,B n ≤B n -1,因此数列{B n }的最大项的项数n 满足不等式b n ≥1且b n +1<1,由b n =2000(107)21+n ≥1得 n ≤20 8 ∴n =20例3设f (x )=log 2xx -+11,F (x )=x-21+f (x ) (1)试判断函数f (x )的单调性,并用函数单调性定义,给出证明;(2)若f (x )的反函数为f -1(x ),证明 对任意的自然数n (n ≥3),都有f -1(n )>1+n n ; (3)若F (x )的反函数F -1(x ),证明 方程F -1(x )=0有惟一解解 (1)由xx-+11>0,且2-x ≠0得F (x )的定义域为(-1,1), 设-1<x 1<x 2<1,则 F (x 2)-F (x 1)=(122121x x ---)+(11222211log 11log x x x x -+--+) )1)(1()1)(1(log )2)(2(212122112x x x x x x x x -++-+---=,∵x 2-x 1>0,2-x 1>0,2-x 2>0,∴上式第2项中对数的真数大于1 因此F (x 2)-F (x 1)>0,F (x 2)>F (x 1),∴F (x )在(-1,1)上是增函数(2)证明 由y =f (x )=xx -+11log 2得 2y =1212,11+-=-+y y x x x ,∴f -1(x )=1212+-x x ,∵f (x )的值域为R ,∴f --1(x )的定义域为R当n ≥3时,f -1(n )>1221111221112121+>⇔+->+-⇔+>+-⇔+n n n n n n n n n n 用数学归纳法易证2n >2n +1(n ≥3),证略(3)证明 ∵F (0)=21,∴F -1(21)=0,∴x =21是F -1(x )=0的一个根 假设F -1(x )=0还有一个解x 0(x 0≠21),则F -1(x 0)=0,于是F (0)=x 0(x 0≠21) 这是不可能的,故F -1(x )=0有惟一解学生巩固练习1 定义在(-∞,+∞)上的任意函数f (x )都可以表示成一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )之和,如果f (x )=lg(10x +1),其中x ∈(-∞,+∞),那么( )A g (x )=x ,h (x )=lg(10x +10-x +2)B g (x )=21[lg(10x +1)+x ],h (x )= 21[lg(10x +1)-x ] C g (x )=2x ,h (x )=lg(10x +1)-2xD g (x )=-2x ,h (x )=lg(10x +1)+2x2 当a >1时,函数y =log a x 和y =(1-a )x 的图象只可能是( )3 已知函数f (x )=⎩⎨⎧<<--≥)02()(log )0( 22x x x x 则f --1(x -1)=_________4 如图,开始时,桶1中有a L 水,t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y 1=ae -nt ,那么桶2中水就是y 2=a -ae -nt ,假设过5分钟时,桶1和桶2的水相等,则再过_________分钟桶1a 5 设函数f (x )=log a (x -3a )(a >0且a ≠1),当点P (x ,y )是函数y =f (x )图象上的点时,点Q (x -2a ,-y )是函数y =g (x )图象上的点(1)写出函数y =g (x )的解析式;(2)若当x ∈[a +2,a +3]时,恒有|f (x )-g (x )|≤1,试确定a 的取值范围 6 已知函数f (x )=log a x (a >0且a ≠1),(x ∈(0,+∞)),若x 1,x 2∈(0,+∞),判断21[f (x 1)+f (x 2)]与f (221x x +)的大小,并加以证明 y 2=a-ae -nty 1=ae -nt桶2桶17 已知函数x ,y 满足x ≥1,y ≥1 log a 2x +log a 2y =log a (ax 2)+log a (ay 2)(a >0且a ≠1),求log a (xy )的取值范围8 设不等式2(log 21x )2+9(log 21x )+9≤0的解集为M ,求当x ∈M 时函数f (x )=(log 22x )(log 28x )的最大、最小值参考答案1 解析 由题意 g (x )+h (x )=lg(10x +1) ①又g (-x )+h (-x )=lg(10-x +1) 即-g (x )+h (x )=lg(10-x +1) ②由①②得 g (x )=2x ,h (x )=lg(10x +1)2x 答案 C2 解析 当a >1时,函数y =log a x 的图象只能在A 和C 中选,又a >1时,y =(1-a )x 为减函数答案 B3 解析 容易求得f --1(x )=⎩⎨⎧<-≥)1(2)1( log 2x x x x,从而 f -1(x -1)=⎩⎨⎧<-≥--).2( ,2)2(),1(log 12x x x x答案 ⎩⎨⎧<-≥--)2( ,2)2(),1(log 12x x x x4 解析 由题意,5分钟后,y 1=ae-nt,y 2=a -ae-nt,y 1=y 2∴n =51l n 2 设再过t 分钟桶1中的水只有8a , 则y 1=ae -n (5+t )=8a ,解得t =10答案 105 解 (1)设点Q 的坐标为(x ′,y ′),则x ′=x -2a ,y ′=-y 即x =x ′+2a ,y =-y ′ ∵点P (x ,y )在函数y =log a (x -3a )的图象上,∴-y ′=log a (x ′+2a -3a ),即y ′=log aax -21,∴g (x )=log a x -1 (2)由题意得x -3a =(a +2)-3a =-2a +2>0;a x -1=aa -+)3(1>0,又a >0且a ≠1,∴0<a <1,∵|f (x )-g (x )|=|log a (x -3a )-log aax -1| =|log a (x 2-4ax +3a 2)|·|f (x )-g (x )|≤1,∴-1≤log a (x 2-4ax +3a 2)≤1,∵0<a <1,∴a +2>2a f (x )=x 2-4ax +3a 2在[a +2,a +3]上为减函数, ∴μ(x )=log a (x 2-4ax +3a 2)在[a +2,a +3]上为减函数,从而[μ(x )]max =μ(a +2)=log a (4-4a ),[μ(x )]mi n =μ(a +3)=log a (9-6a ),于是所求问题转化为求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-<<1)44(log 1)69(log 10a a a aa 的解由log a (9-6a )≥-1解得0<a ≤12579-, 由log a (4-4a )≤1解得0<a ≤54, ∴所求a 的取值范围是0<a6 解 f (x 1)+f (x 2)=log a x 1+log a x 2=log a x 1x 2,∵x 1,x 2∈(0,+∞),x 1x 2≤(221x x +)2(当且仅当x 1=x 2时取“=”号), 当a >1时,有log a x 1x 2≤log a (221x x +)2,∴21log a x 1x 2≤log a (221x x +),21(log a x 1+log a x 2)≤log a 221x x +, 即21[f (x 1)+f (x 2)]≤f (221x x +)(当且仅当x 1=x 2时取“=”号) 当0<a <1时,有log a x 1x 2≥log a (221x x +)2,∴21(log a x 1+log a x 2)≥log a 221x x +,即21[f (x 1)+f (x 2)]≥f (221x x +)(当且仅当x 1=x 2时取“=”号)7 解 由已知等式得 log a 2x +log a 2y =(1+2log a x )+(1+2log a y ), 即(log a x -1)2+(log a y -1)2=4,令u =log a x ,v =log a y ,k =log a xy ,则(u -1)2+(v -1)2=4(uv ≥0),k =u +v 在直角坐标系uOv 内,圆弧(u -1)2+(v -1)2=4(uv ≥0)与平行直线系v =-u +k 有公共点, 分两类讨论(1)当u ≥0,v ≥0时,即a >1时,结合判别式法与代点法得1+3≤k ≤2(1+2);(2)当u ≤0,v ≤0,即0<a <1时,同理得到2(1-2)≤k ≤1-综上,当a >1时,log a xy 的最大值为2+22,最小值为1+3;当0<a <1时,log a xy 的最大值为1-3,最小值为2-8 解 ∵2(21log x )2+9(21log x )+9≤0∴(221log x +3)( 21log x +3)≤0 ∴-3≤21log x 23 即21log (21)-3≤21log x ≤21log (21)23-∴(21)23-≤x ≤(21)-3,∴22≤x ≤8即M ={x |x ∈[22,8]}又f (x )=(log 2x -1)(log 2x -3)=log 22x -4log 2x +3=(log 2x -2)2-1∵22≤x ≤8,∴23≤log 2x ≤3 ∴当log 2x =2,即x =4时y mi n =-1;当log 2x =3,即x =8时,y max =0课前后备注。
第五节 指数与指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景.(2)理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.(3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点. (4)知道指数函数是一类重要的函数模型.1.指数幂的概念(1)根式的概念:根式的概念 符号表示 备注如果① x n =a ,那么x 叫做a 的n 次方根n>1且n ∈N *当n 为奇数时,正数的n 次方根是一个② 正数 ,负数的n 次方根是一个③ 负数 √a n0的n 次方根是0当n 为偶数时,正数的n 次方根有④ 两个 ,它们互为⑤ 相反数±√a n负数没有偶次方根(2)两个重要公式:√a n n ={ ⑥ a ,n 为奇数,|a|={⑦ a (a ≥0),⑧ -a (a <0),n 为偶数; (√a n)n =⑨ a (注意a 必须使√a n有意义). 2.有理数指数幂 (1)分数指数幂的表示: (i)正数的正分数指数幂:a m n=⑩ √a m n(a>0,m,n ∈N *,n>1). (ii)正数的负分数指数幂: a -m n=1a m n=√a mn(a>0,m,n ∈N *,n>1).(iii)0的正分数指数幂是 0 ,0的负分数指数幂无意义. (2)有理数指数幂的运算性质: (i)a r a s = a r+s (a>0,r,s ∈Q). (ii)(a r )s = a rs (a>0,r,s ∈Q). (iii)(ab)r = a r b r (a>0,b>0,r ∈Q). 3.指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域 R 值域(0,+∞) 性质过定点 (0,1)当x>0时, y>1 ; 当x<0时,当x>0时, 0<y<1 ; 当x<0时, y>10<y<1 在(-∞,+∞)上是 单调增函数在(-∞,+∞)上是 单调减函数▶提醒 (1)当指数函数的底数a 的大小不确定时,需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论.(2)指数函数的图象恒过点(0,1),(1,a),(-1,1a ),依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象.指数函数的图象与底数大小的关系.下图是指数函数(1)y=a x ,(2)y=b x ,(3)y=c x ,(4)y=d x 的图象,底数a,b,c,d 与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=a x (a>0,且a ≠1)的图象越高,底数越大.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”). (1)√a n n与(√a n)n 都等于a(n ∈N *).( ) (2)函数y=23x 与y=2x+1都不是指数函数.( ) (3)若a m <a n (a>0,且a ≠1),则m<n.( ) (4)当a<0时,(a 2)32=a 3.()(5)函数y=21+2x 是减函数.( ) (6)函数y=11+3的值域是(0,1).( )答案 (1)✕ (2)✕ (3)✕ (4)✕ (5)√ (6)√2.函数f(x)=2|x-1|的大致图象是( )答案 B 3.函数y=√1-(12)1x的定义域是.答案 (0,+∞)4.已知函数f(x)=a x-2+2的图象恒过定点A,则点A 的坐标为 . 答案 (2,3)5.若指数函数f(x)=(a-2)x 为减函数,则实数a 的取值范围为 . 答案 (2,3)指数幂的运算命题方向一 根式与指数幂典例1 (1)3√a ·√a 45(a>0)的值是( )A.1B.aC.a 15D.a 1710(2)化简:√3-2√2+√(1-√2)33+√(1-√2)44+√5-2√6= . (3)1.5-13×(-76)0+814×√24+(√23×√3)6-√(-23)23= .答案 (1)D (2)√3-1 (3)110命题方向二 化简求值典例2 化简下列各式: (1)(235)+2-2×(214)-12-(0.01)0.5;(2)56a 13b -2·(-3a -12b -1)÷(4a 23b -3)12;(3)(a 23b -1-12a -12b 13√56.解析(1)原式=1+14×(49)12-(1100)12=1+14×23-110=1+16-110=1615.(2)原式=-52a -16b -3÷(4a 23·b -3)12=-54a -16b -3÷(a 13b -32) =-54a -12b -32=-54·√3=-5√ab 4ab =-54a -12b -32.(3)原式=a -13b 12a -12b 13a 16b 56=a-13-12-16·b12+13-56=1a .规律总结指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先进行指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数的,先确定符号;底数是小数的,先化成分数;底数是带分数的, 先化成假分数.(4)若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. ▶提醒 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数,形式力求统一. 1-1 化简:(1)(√23×√3)6+(-2 018)0-4×(1649)-12+√(3-π)44 ; (2)a 32-1a+a 12+1-a+a 12a 12+1+a -1a 12-1;(3)√a 13√a 12√a (a>0).解析 (1)(√23×√3)6+(-2 018)0-4×(1649)-12+√(3-π)44=108+1-7+π-3=99+π . (2)原式=(a 12-1)·(a+a 12+1)a+a 12+1-a 32-a+a-a12-a32+a12-a+1a-1=a12-1-1-aa-1=a12.(3)a>0,√a 13√a12√a=√a13√a12·a12=√a13·√a=√a13·a12=√a56=a512.指数函数的图象及应用典例3(1)函数f(x)=-3|x|+1的大致图象是()(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是.(3)若函数y=a x-m+n-3(a>0且a≠1)的图象恒过定点(3,2),则m+n=.答案(1)A(2)[-1,1](3)7解析(1)因为函数f(x)=-3|x|+1,所以f(-x)=-3|-x|+1=-3|x|+1=f(x),即函数为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除B,D.当x=0时,f(0)=-30+1=0,即函数图象过原点,故排除C.故选A.(2)作出曲线|y|=2x+1(如图),要使该曲线与直线y=b没有公共点,只需-1≤b≤1.◆探究(变条件)本例(2)中若曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共点,求b的取值范围.解析曲线y=|2x-1|与直线y=b如图所示.由图象可得,b的取值范围是(0,1).方法技巧应用指数函数图象的4个技巧(1)画指数函数y=a x(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1,1a).(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足,则排除.(3)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时,应注意分类讨论.(4)有关指数方程、不等式问题往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.2-1(1)函数y=a x-a-1(a>0,且a≠1)的图象可能是()(2)已知函数f(x)=a x-2+7(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,若定点P在幂函数g(x)的图象上,则幂函数g(x)的图象是()(3)若关于x的方程|a x-1|=2a(a>0,且a≠1)有两个不等实根,则a的取值范围是.)答案(1)D(2)D(3)(0,12解析(2)由题意知,f(2)=a2-2+7=8,定点P(2,8),设幂函数g(x)=xα,将P(2,8)代入得2α=8,故α=3,即g(x)=x3,故选D.(3)方程|a x-1|=2a(a>0,且a≠1)有两个不等实根转化为函数y=|a x-1|的图象与y=2a的图象有两个交点.当0<a<1时,如图①,所以0<2a<1,即0<a<1;2当a>1时,如图②,而y=2a>1,不符合要求.所以0<a<12.指数函数的性质及应用命题方向一 比较指数幂的大小典例4 (1)已知a=(12)23,b=2-43,c=(12)12,则下列关系式中正确的是()A.c<a<bB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c(2)设a=0.230.32,b=20.01,c=0.320.23,则a,b,c 的大小关系为 . 答案 (1)B (2)a<c<b 解析(1)b=(12)43,而函数y=(12)x在R上为减函数,43>23>12,所以(12)43<(12)23<(12)12,即b<a<c.(2)0.230.32<0.230.23<0.320.23<1<20.01,所以a<c<b.命题方向二 解简单指数型不等式典例5 (1)已知函数f(x)=(12)x,则不等式f(a 2-4)>f(3a)的解集为( ) A.(-4,1) B .(-1,4) C.(1,4) D.(0,4) (2)已知(13)3x+1>91-x ,则x 的取值范围是 .(3)已知4x -2x+1-8<0,则x 的取值范围是 . 答案 (1)B (2)(-∞,-3) (3)(-∞,2)命题方向三 指数函数性质的综合应用典例6 (1)函数f(x)=(12)-x 2+2x的值域为( )A.(-∞,12] B.(0,12]C.[12,+∞) D.[2,+∞)(2)函数f(x)=e x -1e +1(e 为自然对数的底数)的值域为( ) A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,1)D.(-1,0)∪(0,1)(3)若函数y=√2+x -x 2的定义域为A,则函数y=4x -2x+1(x ∈A)的值域为 . 答案 (1)C (2)A (3)[-1,8] 解析 (2)f(x)=e x -1e x +1=1+-2e x +1,因为e x >0,所以e x +1>1,所以-2<-2e x +1<0,所以-1<1+-2e x +1<1,即f(x)的值域为(-1,1),所以选A.(3)由2+x-x 2≥0,解得-1≤x ≤2,所以A=[-1,2].函数y=4x -2x+1= 22x -2·2x =(2x -1)2-1,x ∈[-1,2],则12≤2x ≤4,当2x =1,即x=0时,y min =-1;当2x =4,即x=2时,得y max =8,所以-1≤y ≤8.所以函数y=4x -2x+1(x ∈A)的值域是[-1,8]. 典例7 (1)函数f(x)=(12)-x 2+2x+1的单调减区间为 .(2)已知奇函数f(x)=a-2e x +1(a ∈R,e 为自然对数的底数). (i)判断f(x)的单调性(不用证明);(ii)若对任意实数x, f(x)>m 2-4m+2恒成立,求实数m 的取值范围. 答案 (1)(-∞,1] 解析 (1)设u=-x 2+2x+1, ∵y=(12)u为减函数,∴函数y=(12)-x 2+2x+1的减区间即函数u=-x 2+2x+1的增区间.又u=-x 2+2x+1的增区间为(-∞,1], ∴所求减区间为(-∞,1].(2)(i)f(x)是R 上的单调递增函数. (ii)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴a-2e -x +1=-a+2e x +1,∴2a=2,∴a=1,∴f(x)=1-2e x +1,令t=e x +1,∵e x >0, ∴t>1,又g(t)=1-2t 在(1,+∞)上为增函数,∴-1<g(t)<1,即-1<f(x)<1,当f(x)>m 2-4m+2对任意实数x 恒成立时, 有m 2-4m+2≤-1,即m 2-4m+3≤0,∴1≤m ≤3,故实数m 的取值范围是[1,3]. 规律总结(1)利用指数函数的性质比较大小或解不等式,最重要的是“同底”原则.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断. 3-1 不等式(12)x 2+ax<(12)2x+a -2恒成立,则a 的取值范围是 .答案 (-2,2) 3-2 求函数f(x)=3√x2-5x+4的定义域、值域及单调区间.解析 解不等式x 2-5x+4≥0,得x ≤1或x ≥4,所以函数y=f(x)的定义域为(-∞,1]∪[4,+∞).因为2-5x +4≥0,∴f(x)=3√x2-5x+4≥30=1,则函数y=f(x)的值域为[1,+∞).令u=2-5x +4,由二次函数的性质可知,u=√x 2-5x +4在区间(-∞,1]上单调递减,在区间[4,+∞)上单调递增,y=3u 为增函数,故函数y=f(x)的单调递减区间为(-∞,1],单调递增区间为[4,+∞).A 组 基础题组1.已知a>0,√a 23=( )A.a 12B.a 32C.a 23D.a 13答案 D2.若3<a<4,则化简√(3-a)2+√(4-a)44的结果是( ) A.7-2a B.2a-7 C.1 D.-1 答案 C 3.设y 1=40.9,y 2=80.48,y 3=(12)-1.5,则( )A.y 3>y 1>y 2B.y 2>y 1>y 3C.y 1>y 2>y 3D.y 1>y 3>y 2答案 D4.设2x =8y+1,9y =3x-9,则x+y 的值为( ) A.18B.21C.24D.27答案 D 5.设a 12-a -12=m,则a 2+1a=( )A.m 2-2B.2-m 2C.m 2+2D.m 2答案 C 将a 12-a -12=m 两边平方得,(a 12-a -12)2=m 2,即a-2+a -1=m 2,所以a+a -1=m 2+2,即a+1a =m 2+2⇒a 2+1a=m 2+2.故选C.6.函数f(x)=51-|2x+4|的单调递增区间为( ) A.[-2,+∞) B.[-32,+∞) C.(-∞,-32] D.(-∞,-2]答案 D 由题意知,函数f(x)的定义域为R,设u=g(x)=1-|2x+4|,则g(x)={-2x -3,x >-2,2x +5,x ≤-2,则g(x)在(-2,+∞)上单调递减,在(-∞,-2]上单调递增,因为y=5u 在R 上单调递增,所以根据复合函数的单调性,可得函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-2]. 7.已知函数f(x)=3x -3-x ,则f(x)( ) A.是偶函数,且在R 上是增函数 B.是奇函数,且在R 上是增函数 C.是偶函数,且在R 上是减函数 D.是奇函数,且在R 上是减函数答案 B 函数f(x)的定义域为R, f(-x)=3-x-(13)-x =(13)x-3x =-f(x),∴函数f(x)是奇函数.又y=3x 在R 上是增函数,函数y=(13)x在R 上是减函数,∴函数f(x)=3x-(13)x在R 上是增函数. 8.函数f(x)=(12)x 2+2x+3值域为( )A.[14,+∞) B.(-∞,14] C.(0,14] D.[0,14]答案 C 令t=x 2+2x+3,则t=(x+1)2+2≥2,y=(12)t为减函数,所以y ≤(12)2=14,结合y=(12)t>0,可得C 选项.9.函数y=2x2x +1(x ∈R)的值域为( ) A.(0,+∞) B.(0,1) C.(1,+∞)D.(0,12)答案 B y=2x2x +1=2x +1-12x +1=1-12x +1,∵0<12x +1<1,∴-1<-12x +1<0, ∴0<1-12x +1<1,即0<y<1,即函数的值域为(0,1),故选B.10.对不同的a>0且a ≠1,函数f(x)=a 4-2x +3的图象必过一个定点A,则点A 的坐标是 . 答案 (2,4)解析 根据指数函数的图象恒过定点(0,1),可令4-2x=0,得x=2,∴f(2)=a 0+3=4,∴点A 的坐标是(2,4).11.若关于x 的方程22x -2x+1+a=0在[0,1]内有解,则实数a 的取值范围是 . 答案 [0,1]解析 由22x -2x+1+a=0得a=2x+1-22x ,令2x =t,则a=2t-t 2=-(t-1)2+1,∵x ∈[0,1],∴t ∈[1,2],∴当t=1时,a 取得最大值1,当t=2时,a 取得最小值0, ∴0≤a ≤1.12.已知函数f(x)=10x -10-x10x +10-x . (1)判断函数的奇偶性;(2)证明: f(x)在定义域内是增函数; (3)求f(x)的值域.解析 (1)因为f(x)的定义域为R, 且f(-x)=10-x -10x10-x +10x =-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)证明:f(x)=10x -10-x 10x +10-x =102x -1102x +1=1-2102x +1, 任取x 1,x 2∈R,且x 2>x 1,则 f(x 2)-f(x 1)=(1-2102x 2+1)-(1-2102x 1+1) =2×102x 2-102x 1(102x 2+1)(102x 1+1).因为x 2>x 1,所以102x 2-102x 1>0,又102x 2+1>0,102x 1+1>0,所以f(x 2)-f(x 1)>0,即f(x 2)>f(x 1),所以函数f(x)在定义域内是增函数. (3)令y=f(x),由y=10x -10-x 10x +10-x ,解得102x=1+y 1-y,因为102x >0,所以-1<y<1,即函数f(x)的值域是(-1,1).B 组 提升题组1.已知函数f(x)=|2x -1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是( ) A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b ≥0,c>0 C.2-a <2cD.2a +2c <2答案 D 作出函数f(x)=|2x -1|的图象,如图中实线所示,因为a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),所以结合图象知f(a)<1,a<0,0<f(c)<1,0<c<1,∴0<2a <1,1<2c <2,∴f(a)=|2a -1|=1-2a , f(c)=|2c -1|=2c -1. 又f(a)>f(c),即1-2a >2c -1, ∴2a +2c <2,故选D.2.已知函数f(x)=1e +1-12,则f(x)是( ) A.奇函数,且在R 上是增函数 B.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 C.奇函数,且在R 上是减函数 D.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数答案 C f(x)的定义域为R,关于原点对称, f(-x)=1e -x +1-12 =e xe x +1-12,有f(-x)+f(x)=0,所以f(x)是奇函数,又易知f(x)是减函数.故选C.3.设a>0,且a ≠1,函数y=a 2x +2a x -1在[-1,1]上的最大值是14,则实数a 的值为 . 答案 13或3解析 令t=a x (a>0,且a ≠1),则原函数化为y=f(t)=(t+1)2-2(t>0). ①当0<a<1,x ∈[-1,1]时,t=a x ∈[a,1a ],此时f(t)在[a,1a ]上为增函数.所以f(t)max =f (1a )=(1a +1)2-2=14.所以(1a +1)2=16,解得a=-15 (舍去)或a=13. ②当a>1,x ∈[-1,1]时,t=a x ∈[1a ,a],此时f(t)在[1a ,a]上是增函数.所以f(t)max =f(a)=(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5(舍去). 综上可得a=13或3.4.已知函数f(x)=2|x-2|-1在区间[0,m]上的值域为[0,3],则实数m 的取值范围是 . 答案 [2,4]解析 函数f(x)=2|x-2|-1的图象的对称轴为x=2,且在(-∞,2]上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,由函数f(x)=2|x-2|-1在区间[0,m]上的值域为[0,3],知0≤m-2≤2,即m ∈[2,4]. 5.已知函数f(x)=1-42a x +a (a>0,且a ≠1)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数. (1)求a 的值; (2)求函数f(x)的值域;(3)当x ∈(0,1]时,tf(x)≥2x -2恒成立,求实数t 的取值范围. 解析 (1)因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,所以f(-x)=-f(x). 即1-42a -x +a =-1+42a x +a , 所以a=2. (2)记y=f(x), 即y=2x -12x +1,所以2x =1+y1-y .由2x >0,得1+y1-y >0,解得-1<y<1.所以f(x)的值域为(-1,1). (3)由tf(x)≥2x-2得t2x -t2x +1≥2x -2,即(2x )2-(t+1)2x +t-2≤0. 令u=2x ,因为x ∈(0,1], 所以u ∈(1,2].即当u ∈(1,2]时,u 2-(t+1)u+t-2≤0恒成立. 所以{12-(t +1)×1+t -2≤0,22-(t +1)×2+t -2≤0,解得t ≥0.故t 的取值范围是[0,+∞).快乐分享,知识无界!感谢您的下载!由Ruize收集整理!。
考点9:指数函数【思维导图】【常见考法】考法一:定义辨析1.下列函数:①2yx ;②()2x y =-;③12x y +=;④()1x y a =-(1a >且2a ≠).其中,指数函数的个数是 。
2.若函数1((2)x y x a =-是自变量)是指数函数,则a 的取值范围是 。
3.若函数21()(33)()22x f x a a a =-++-是指数函数,则实数a 的值为_________.考法二:定义域1.函数f(x)=的定义域为 。
2.函数()422x x f x =--______________.3.设函数f (x )x 44-,则函数f (x 4)的定义域为 。
4. 函数y 1x a -的定义域是(-∞,0],则a 的取值范围为 。
5.已知f (x )2x 2ax a 31+--的定义域为R ,则实数a 的取值范围是______.考法三:单调性1.函数2212x x y --+=-的单调递增区间为 。
2.函数243()2x x f x --=的单调减区间为 。
3.已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则不等式()24(3)f a f a ->的解集为 。
4.若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是 。
5.,,则,,的大小关系为 。
6.已知3413a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12c π=,则a b c 、、 的大小关系 。
7.0.81.1512log 2,2,,2a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭已知则a b c 、、的大小关系是 。
考法四:值域1.设函数()()121x f x x R =∈+,则它的值域为 。
2.函数221()2x x y -+=的值域是 。
3.函数1425x x y +=--在[1,2]上值域为 。
4.已知实数0a >且1a ≠,若函数6,2(),2x x x f x a x -≤⎧=⎨>⎩的值域为[4,)+∞,则a 的取值范围是 。
【考点预测】1.指数及指数运算(1)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题09指数与指数函数根式的定义:一般地,如果n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中(1n >,)n N *∈,n 称为根指数,a 称为根底数.(2)根式的性质:当n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数.当n 为偶数时,正数的n 次方根有两个,它们互为相反数.(3)指数的概念:指数是幂运算(0)n a a ≠中的一个参数,a 为底数,n 为指数,指数位于底数的右上角,幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类①正整数指数幂()n n a a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈个;②零指数幂01(0)a a =≠;③负整数指数幂1(0nn aa a-=≠,)n N *∈;④0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.(5)有理数指数幂的性质①+(0m n m n a a a a >=,m ,)n Q ∈;②()(0m n m n a a a >=,m ,)n Q ∈;③()(0mm mab a a b >=,0b >,)m Q ∈(0mn a a >=,m ,)n Q ∈.2.指数函数⑥既不是奇函数,也不是偶函数【方法技巧与总结】1.指数函数常用技巧(1)当底数大小不定时,必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论.(2)当01a <<时,x →+∞,0y →;a 的值越小,图象越靠近y 轴,递减的速度越快.当1a >时x →+∞,0y →;a 的值越大,图象越靠近y 轴,递增速度越快.(3)指数函数x y a =与1()xy a=的图象关于y 轴对称.【题型归纳目录】题型一:指数运算及指数方程、指数不等式题型二:指数函数的图像及性质题型三:指数函数中的恒成立问题题型四:指数函数的综合问题【典例例题】题型一:指数运算及指数方程、指数不等式例1.(2022·四川凉山·三模(文))计算:)2ln31e 1lg 4lg 0.254-⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭______.例2.(2022·河北邯郸·一模)不等式10631x x x --≥的解集为___________.例3.(2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测(理))甲、乙两人解关于x 的方程220x x b c -+⋅+=,甲写错了常数b ,得到的根为2x =-或x =217log 4,乙写错了常数c ,得到的根为0x =或1x =,则原方程的根是()A .2x =-或2log 3x =B .1x =-或1x =C .0x =或2x =D .1x =-或2x =例4.(2022·全国·高三专题练习(文))已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,()4322x x f x a =-⨯+.则关于x 的不等式()6f x ≤-的解集为()A .(,2]-∞-B .(,1]-∞-C .[)()2,00,2- D .[)()2,02,-⋃+∞例5.(2022·全国·高三专题练习)化简:(1)126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭(2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0,b >0).(3)312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.【方法技巧与总结】利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =,()f x a b >,()f x a b <的形式常用“化同底”转化,再利用指数函数单调性解决;或用“取对数”的方法求解.形如20xx a Ba C ++=或2)00(x x a Ba C ++ 的形式,可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.题型二:指数函数的图像及性质例6.(2022·浙江绍兴·模拟预测)函数2()()-+=-x xx m f x a a ,的图象如图所示,则()A .0,01<<<m aB .0,1<>m aC .0,01m a ><<D .0,1>>m a 例7.(2022·全国·高三专题练习)函数()21xf x m =--恰有一个零点,则m 的取值范围是()A .()1,+∞B .{}()01,∞⋃+C .{}[)01,∞⋃+D .[)1,+∞例8.(2022·四川省泸县第二中学模拟预测(文))函数()11e xf x -=+,下列关于函数()f x 的说法错误的是()A .函数()f x 的图象关于原点对称B .函数()f x 的值域为()0,1C .不等式()12f x >的解集是()0,∞+D .()f x 是增函数例9.(2022·河南·三模(文))已知()1f x -为定义在R 上的奇函数,()10f =,且()f x 在[)1,0-上单调递增,在[)0,∞+上单调递减,则不等式()250xf -<的解集为()A .()22,log 6B .()()2,12,log 6-∞⋃C .()2log 6,+∞D .()()21,2log 6,⋃+∞例10.(2022·新疆阿勒泰·三模(理))函数11x y a -=+图象过定点A ,点A 在直线()31,0mx ny m n +=>>上,则121m n+-最小值为___________.例11.(2022·北京·高三专题练习)已知()212221x x xf x a +=+-+(其中a R ∈且a 为常数)有两个零点,则实数a 的取值范围是___________.例12.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()22x x f x k -=+⋅(k 为常数,k ∈R )是R 上的奇函数.(1)求实数k 的值;(2)若函数()y f x =在区间[]1,m 上的值域为15,4n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求m n +的值.【方法技巧与总结】解决指数函数有关问题,思路是从它们的图像与性质考虑,按照数形结合的思路分析,从图像与性质找到解题的突破口,但要注意底数对问题的影响.题型三:指数函数中的恒成立问题例13.(2022·北京·高三专题练习)设()f x 是定义在R 上的偶函数,且当0x ≤时,()2xf x -=,若对任意的[],1x m m ∈+,不等式()()2f x f x m -≥恒成立,则正数m 的取值范围为()A .m 1≥B .1mC .01m <<D .01m <≤例14.(2022·北京·高三专题练习)已知函数()33x xf x -=-.(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数;(2)若对任意[]1,1x ∈-,()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立,求实数m 的取值范围.例15.(2022·全国·高三专题练习(文))已知函数()3(21xf x a a =-+为实常数).(1)讨论函数()f x 的奇偶性,并说明理由;(2)当()f x 为奇函数时,对任意[]1,6x ∈,不等式()2xuf x ≥恒成立,求实数u 的最大值.例16.(2022·全国·高三专题练习(文))已知函数1()421x x f x a +=-+ .(1)若函数()f x 在[0x ∈,2]上有最大值8-,求实数a 的值;(2)若方程()0f x =在[1x ∈-,2]上有解,求实数a 的取值范围.例17.(2022·全国·高三专题练习)已知函数2()f x x =,1()2xg x m⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)当[1,3]x ∈-时,求()f x 的值域;(2)若对[]0,2x ∀∈,()1g x 成立,求实数m 的取值范围;(3)若对[]10,2x ∀∈,2[1,3]x ∃∈-,使得12()()g x f x 成立,求实数m 的取值范围.【方法技巧与总结】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法:(1)函数法:讨论参数范围,借助函数单调性求解;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域或最值问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.题型四:指数函数的综合问题例18.(2022·天津河西·二模)已知定义在R 上的函数()f x 满足:①()2()0f x f x -+=;②()()20f x f x ---=;③在[]1,1-上的解析式为()[](]πcos ,1,021,0,1x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨⎪-∈⎩,则函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为()A .3B .4C .5D .6例19.(2022·北京·二模)若函数()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩的定义域和值域的交集为空集,则正数a 的取值范围是()A .(]0,1B .()0,1C .()1,4D .()2,4例20.(2022·甘肃省武威第一中学模拟预测(文))已知函数()4sin 22x x f x =++,则124043202220222022f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.例21.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()f x 的定义域为R ,满足()()121f x f x +=-,且当(]1,1x ∈-时,()12x f x -=,则()2020f =______.例22.(2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测)已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩,则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________.例23.(2022·江西·二模(文))设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩,若()1f 是函数()f x 的最大值,则实数a 的取值范围为_______.【过关测试】一、单选题1.(2022·北京通州·模拟预测)已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则()f x ()A .是偶函数,且在R 是单调递增B .是奇函数,且在R 是单调递增C .是偶函数,且在R 是单调递减D .是奇函数,且在R 是单调递减2.(2022·安徽淮南·二模(理))1947年,生物学家Max Kleiber 发表了一篇题为《body size and metabolicrate 》的论文,在论文中提出了一个克莱伯定律:对于哺乳动物,其基础代谢率与体重的34次幂成正比,即340F c M =,其中F 为基础代谢率,M 为体重.若某哺乳动物经过一段时间生长,其体重为原来的10倍,则基础代谢率1.7783≈)()A .5.4倍B .5.5倍C .5.6倍D .5.7倍3.(2022·陕西·西安中学模拟预测(文))英国著名数学家布鲁克-泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世.在数学中,泰勒级数用无限连加式来表示一个函数,泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数,并建立了如下指数函数公式:23e 126!nxx x x x n =+++++++ ,其中R,N x n ∈∈的近似值为(精确到0.01)()A .1.63B .1.64C .1.65D .1.664.(2022·河南洛阳·二模(文))已知函数()()1331,1log 52,1x x f x x x +⎧-≥⎪=⎨-+-<⎪⎩,且()2f m =-,则()6f m +=()A .26B .16C .-16D .-265.(2022·四川成都·三模(理))若函数()9x f x =0x ,则()0091xx -=().A .13B .1CD .26.(2022·河南·开封高中模拟预测(文))若关于x 的不等式()221xxa x ⋅>+∈R 有实数解,则实数a 的取值范围是()A .()1,+∞B .()2,+∞C .[)1,+∞D .[)2,+∞7.(2022·四川·内江市教育科学研究所三模(理))已知函数()f x 满足:对任意x ∈R ,1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当[1,0)x ∈-时,()31x f x =-,则()3log 90=f ()A .19B .19-C .1727D .1727-8.(2022·上海宝山·二模)关于函数131()(22xx f x x =-⋅和实数,m n 的下列结论中正确的是()A .若3m n -<<,则()()f m f n <B .若0m n <<,则()()f m f n <C .若()()f m f n <,则22m n <D .若()()f m f n <,则33m n <二、多选题9.(2022·湖南·模拟预测)在同一直角坐标系中,函数x y a =与()log 2a y x =-的图象可能是()A .B .C .D .10.(2022·全国·模拟预测)已知0a b >>,下列选项中正确的为()A 1=,则1a b -<B .若221a b -=,则1a b -<C .若22=1a b -,则1a b -<D .若22log log 1a b -=,则1a b -<11.(2022·广东肇庆·模拟预测)若a b >,则下列不等式中正确的有()A .0a b ->B .22a b>C .ac bc>D .22a b >12.(2022·全国·模拟预测)已知函数14sin ,01()2,1x x x f x x x -<≤⎧=⎨+>⎩,若存在三个实数,使得()()()123f x f x f x ==,则()A .123x x x ++的取值范围为()2,3B .()23x f x 的取值范围为5,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C .123x x x 的取值范围为51,362⎛⎫⎪⎝⎭D .()13x f x 的取值范围为1,23⎛⎫⎪⎝⎭三、填空题13.(2022·安徽淮北·一模(理))2log142-⎛⎫++= ⎪⎝⎭___________.14.(2022·四川·模拟预测(理))已知两个条件:①,,()()()a b f a b f a f b ∈+=⋅R ;②()f x 在(0,)+∞上单调递减.请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________.15.(2022·河南·模拟预测(文))函数()1423x x f x +=-+在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦的值域为______.16.(2022·山西·二模(理))已知函数()322x xx f x -=-给出下列结论:①()f x 是偶函数;②()f x 在()0, +上是增函数;③若0t >,则点()(),t f t 与原点连线的斜率恒为正.其中正确结论的序号为______.四、解答题17.(2022·全国·高三专题练习)由于突发短时强降雨,某小区地下车库流入大量雨水.从雨水开始流入地下车库时进行监测,已知雨水流入过程中,地下车库积水量y (单位:3m )与时间t (单位:h )成正比,雨停后,消防部门立即使用抽水机进行排水,此时y 与t 的函数关系式为25ty k ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭(k 为常数),如图所示.(1)求y 关于t 的函数关系式;(2)已知该地下车库的面积为25602m ,当积水深度小于等于0.05m 时,小区居民方可入内,那么从消防部门开始排水时算起,至少需要经过几个小时以后,小区居民才能进入地下车库?18.(2022·全国·高三专题练习)(1)计算:1294⎛⎫- ⎪⎝⎭(﹣9.6)0﹣22327283--⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(2)已知1122a a-+=3,求22112a a a a --++++的值.19.(2022·全国·高三专题练习)已知a >0,且a ≠1,若函数y =|ax -2|与y =3a 的图象有两个交点,求实数a 的取值范围.20.(2022·全国·高三专题练习)设函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数;(1)若()10f >,判断()f x 的单调性并求不等式(2)(4)0f x f x ++->的解集;(2)若()312f =,且22()4()x xg x a a f x -=+-,求()g x 在[1,)+∞上的最小值.21.(2022·北京·高三专题练习)定义在D 上的函数()f x ,如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立,则称()f x 是D 上的有界函数,其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x x f x a =+⋅-.(1)当2a =-时,求函数()f x 在()0,∞+上的值域,并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔(2)若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数,求实数a 的取值范围.22.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠.(1)设12,2a b ==,求方程()2f x =的根;(2)设12,2a b ==,若对任意x ∈R ,不等式()()26f x f x m ≥-恒成立,求实数m 的最大值;(3)若01,1a b <<>,函数()()2g x f x =-有且只有1个零点,求ab 的值.。
2021年高考数学一轮复习《指数及指数函数》精选练习一、选择题1.当2-x 有意义时,化简x 2-4x +4-x 2-6x +9的结果为( )A.2x -5B.-2x -1C.-1D.5-2x2.计算(2n +1)2×(12)2n +14n ×8-2(n ∈N *)的结果是( )A.164B.22n +5C.2n 2-2n +6 D.(12)2n -73.已知x 2+x -2=22,且x>1,则x 2-x -2的值为( )A.2或-2B.-2C. 6D.24.下列各式中错误的是( ) A.21153151(1)a a a a --⋅⋅=>B.()269463(,0)a b a b a b ---⋅=⋅> C.12211133342423424(,0)x y x y x y y x y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D.113324115324153(,,0)525a b cac a b c a b c ---=->5.若2<a<3,化简442)3()2(a a -+-的结果是( )A.5-2aB.2a-5C.1D.-16.当x -2有意义时,化简964422+--+-x x x x 的结果是( )A.2x-5B.-2x-1C.-1D.5-2x7.将322-化简成不含根号的式子是( ) A.212- B.512- C.312- D.322-8.设m a a =--2121,则a a 12+等于( )A.m 2-2B.2-m 2C.m 2+2D.m 29.若f(x)=-x 2+2ax 与g(x)=(a +1)1-x 在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是() A.(0.5,1] B.(0,0.5] C.[0,1] D.(0,1]10.函数y=16-4x 的值域是( )A.[0,+∞)B.[0,4]C.[0,4)D.(0,4)11.函数y=2x -8的定义域为( )A.(-∞,3)B.(-∞,3]C.(3,+∞)D.[3,+∞)12.若函数f(x)=2x+12x -a 是奇函数,则使f(x)>3成立的x 的取值范围为( )A.(-∞,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)13.已知a=30.2,b=0.2-3,c=(-3)0.2,则a ,b ,c 的大小关系为( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.b >c >a14.函数y=|2x -1|的大致图象是( )15.已知f(x)=a -x (x>0且a ≠1),且f(-2)>f(-3),则a 的取值范围是( )A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,1)D.(0,1)16.函数f(x)=a x -3+1(a>0,且a ≠1)的图象恒过定点P ,则定点P 的坐标为() A.(3,3) B.(3,2) C.(3,6) D.(3,7)17.已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax 2-x(a ∈R),若f[g(1)]=1,则a=( )A.1B.2C.3D.-118.函数y=2x2x +1的值域是( )A.(0,1)B.(0,1]C.(0,+∞)D.[0,+∞)19.函数f(x)=3-x -1的定义域、值域分别是( )A.定义域是R ,值域是RB.定义域是R ,值域是(0,+∞)C.定义域是R ,值域是(-1,+∞)D.以上都不对20.函数y=xax|x|(0<a<1)的图象的大致形状是( )二、填空题21.函数y=a x(-2≤x ≤3)的最大值为2,则a=________.22.已知函数f(x)满足f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧f (x +2),x<0,2x ,x ≥0,则f(-7.5)的值为________. 23.已知集合A={x|1≤2x<16},B={x|0≤x<3,x ∈N},则A ∩B=________.24.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f(x)=1-2-x ,则不等式f(x)<-12的解集是______. 25.函数f(x)=a 2x -3a x +2(a>0,且a ≠1)的最小值为________.26.若函数f(x)=a x (a >0,a ≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m ,且函数g(x)=(1-4m)x 2在[0,+∞)上是增函数,则a=________.27.若函数y=a 2x +2a x -1(a >0且a ≠1)在[-1,1]上的最大值为14,则a 的值为________.28.已知函数f(x)=22x +1+ax ,则f(2 022)+f(-2 022)=________. 29.若函数f(x)=⎩⎪⎨⎪2-x (x ≥2),则f(-3)的值为________. 30.当x ∈[-1,1]时,函数f(x)=3x -2的值域为________.31.若f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ a x ,x>1,⎝ ⎛⎭⎪⎫4-a 2x +2,x ≤1是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围为________. 32.已知f(x)=x 2,g(x)=(0.5)x -m.若对任意x 1∈[-1,3],总存在x 2∈[0,2],使得f(x 1)≥g(x 2)成立,则实数m 的取值范围是____________________.33.若函数f(x)= 2x 2+2ax -a -1的定义域为R ,则a 的取值范围是________.34.函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎪⎫4-a 2x +2,x ≤1a x ,x>1在R 上单调递增,则实数a 取值范围为________.35.函数f(x)=错误!未找到引用源。
指数及指数函数高考复习题1若点(a,9)在函数y =3x的图象上,则tana π6的值为( )A .0 B.33C .1 D. 3 2函数164x y =-的值域是 ( )(A )[0,)+∞ (B )[0,4] (C )[0,4) (D )(0,4)3设232555322555a b c ===(),(),(),则a ,b ,c 的大小关系是( )(A )a >c >b (B )a >b >c (C )c >a >b (D )b >c >a4下列四类函数中,个有性质“对任意的x >0,y >0,函数f (x )满足f (x +y )=f (x )f (y )”的是 ( )(A )幂函数 (B )对数函数 (C )指数函数 (D )余弦函数5.化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果( )A .a 6B .a -C .a 9-D .29a6已知函数()f x 满足:x ≥4,则()f x =1()2x ;当x <4时()f x =(1)f x +,则2(2log 3)f +=( )A.124 B.112 C.18 D.387. 不等式4x -3·2x +2<0的解集是( )A .{x |x <0}B .{x |0<x <1}C .{x |1<x <9}D .{x |x >9}8.若关于x 的方程|a x-1|=2a (a >0,a ≠1)有两个不等实根,则a 的取值范围是( )A .(0,1)∪(1,+∞) B.(0,1) C .(1,+∞) D.(0,12)9(理)函数y =|2x-1|在区间(k -1,k +1)内不单调,则k 的取值范围是( )A .(-1,+∞)B .(-∞,1)C .(-1,1)D .(0,2)10(理)若函数y =2|1-x |+m 的图象与x 轴有公共点,则m 的取值范围是( )A .m ≤-1B .-1≤m <0C .m ≥1D .0<m ≤111.函数f (x )=x 12 -(12)x的零点个数为( )A .0B .1C .2D .312(理)已知函数⎩⎨⎧>≤--=-7,7,3)3()()6(x a x x a x f x 若数列{a n }满足a n =f (n )(n ∈N *),且{a n }是递增数列,则实数a 的取值范围是( )A .[94,3)B .(94,3) C .(2,3) D .(1,3)13.设函数f (x )=|2x-1|的定义域和值域都是[a ,b ](b >a ),则a +b 等于( )A .1B .2C .3D .414.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=1),1(log 1,)21()(2x x x x f x,则f (x )≤12的解集为________. 15.若函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=0,10,)31()(x xx x f x则不等式|f (x )|≥13的解集为________. 16.函数y =a x +2012+2011(a >0且a ≠1)的图象恒过定点________.17.设f (x )是定义在实数集R 上的函数,满足条件y =f (x +1)是偶函数,且当x ≥1时,f (x )=2x-1,则f (23)、f (32)、f (13)的大小关系是________.18.若定义运算a *b =⎩⎪⎨⎪⎧aa <b ,b a ≥b ,则函数f (x )=3x *3-x的值域是________.19.定义区间[x 1,x 2]的长度为x 2-x 1,已知函数f (x )=3|x |的定义域为[a ,b ],值域为[1,9],则区间[a ,b ]的长度的最大值为______,最小值为______.20.设函数f(x)=,求使f(x)≥2 的x 的取值范围.21.(文)(2011·上海吴淞中学月考)已知函数f (x )=a ·2x +a -22x+1是奇函数.(1)求a 的值;(2)判断函数f (x )的单调性,并用定义证明;(3)求函数的值域.22.(文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ∈(0,1)时,f (x )=2x4x +1.(1)求f (x )在(-1,1)上的解析式; (2)证明:f (x )在(0,1)上是减函数.[]的值,求实数上的最大值是在函数且设a a a y a a x x 141,1-12,10.232-+=≠24.已知f (x )=aa 2-1(a x -a -x)(a >0且a ≠1).(1)判断f (x )的奇偶性; (2)讨论f (x )的单调性; (3)当x ∈[-1,1]时,f (x )≥b 恒成立,求b 的取值范围.指数及指数函数高考复习题答案1[答案] D[解析] 由点(a,9)在函数y =3x图象上知3a=9,即a =2,所以tan a π6=tan π3= 3. 2解析:[)40,0164161640,4x x x >∴≤-<∴-∈3.A 【解析】25y x =在0x >时是增函数,所以a c >,2()5xy =在0x >时是减函数,所以c b >。
[练案9]第六讲指数与指数函数A组基础巩固一、单选题1.化简:(a错误!b错误!)·(3a错误!b错误!)÷(错误!a错误!b错误!)等于( C )A.6a B.-aC.9a D.9a2[解析] 原式=错误!×a错误!b错误!=9a。
故选C。
2.(2020·海南中学模拟)已知函数f(x)=4+2a x-1(a>1且a≠1)的图象恒过点P,则点P的坐标是( A )A.(1,6) B.(1,5)C.(0,5) D.(5,0)[解析] 当x=1时,f(1)=6,与a无关,所以函数f(x)=4+2a x -1的图象恒过点P(1,6).故选A。
3.(2020·德州一模)已知a=(错误!)错误!,b=(错误!)错误!,c=(错误!)错误!,则( D )A.a<b〈c B.c〈b<aC.c<a〈b D.b〈c〈a[解析] 因为y=(错误!)x在R上为减函数,错误!〉错误!,所以b〈c.又因为y=x错误!在(0,+∞)上为增函数,错误!>错误!,所以a>c,所以b<c 〈a。
故选D。
4.(2020·山东菏泽联考)函数y=(错误!)2x-x2的值域为( A ) A.[错误!,+∞)B.(-∞,错误!]C.(0,错误!] D.(0,2][解析] 设t=2x-x2,t≤1,所以y=(错误!)t,t≤1,所以y∈[错误!,+∞),故选A.5.(2020·辽宁模拟)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,0≠1)满足f (1)=错误!,则f(x)的单调递减区间是( B )A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.[-2,+∞)D.(-∞,-2][解析]由f(1)=错误!得a2=错误!.又a>0,所以a=错误!,因此f(x)=(错误!)|2x-4|。
因为y=|2x-4|在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递减区间是[2,+∞).故选B.二、多选题6.(2020·河北保定调研改编)函数y=(a2-4a+4)a x是指数函数,则a的值不可以是(ACD )A.4 B.3C.2 D.1[解析] 由指数函数的定义知a2-4a+4=1且a≠1,解得a=3,故选A、C、D。
精品题库试题文数1.(河北省衡水中学2021届高三下学期二调)已知都是概念在R上的函数,,,且,且,.假设数列的前n 项和大于62,那么n的最小值为()[解析] 1.因为,因此为增函数,即,因为,因此,解得,,,,得,最小值为6.2.(吉林省实验中学2021届高三年级第一次模拟考试) 已知函数,那么使函数有零点的实数的取值范围是()A.B.C.D.[解析] 2.当时,由,得,因此,当时,由,得,而为增函数,因此,综上得或.3.(吉林省长春市2021届高中毕业班第二次调研测试) 已知命题:函数的图象恒过定点;命题:假设函数为偶函数,那么函数的图像关于直线对称,那么以下命题为真命题的是A.B.C.D.[解析] 3.的图象恒过,那么为假命题;假设函数为偶函数,即的图象关于轴对称,的图象即图象整体向左平移一个单位取得,因此的图象关于直线对称,那么为假命题;参考四个选项可知,选.4.(山东省潍坊市2021届高三3月模拟考试) 函数与(且) 在同一直角坐标系下的图象可能是[解析] 4.为偶函数,排除A项,当时,的周期,排除C项,当时,的周期,排除B项.5.(成都市2021届高中毕业班第一次诊断性检测)计算1og5+所得的结果为(A) (B) 2(C) (D) 1[解析] 5.原式6.(天津七校联考高三数学(文)学科试卷)已知集合,,那么()A. B. C. D.[解析] 6. 由,得,因此,7.(2021天津市滨海新区五所重点学校高三联考,5,5分) 设,,,那么的大小关系是()[解析] 7. ,,,因此.8.(2021年湖北七市高三4月联合考试,8,5分) 概念:函数的概念域为D, 若是关于任意的,存在唯一的,使得(其中c为常数)成立,那么称函数在D上的几何均值为c,那么以下函数在其概念域上的“几何均值” 能够为2的是()A. B.C. (e为自然对数的底)D.[解析] 8.A中,,那么,当时,,因此A不是;B中,,那么,当时,,因此现在不存在,因此B不是;C中,,那么,因此,因此,因此关于任意的,存在唯一的,因此C是;D中,,那么,当时,,因此0=2,因此现在不存在,因此D不是.9.(2021北京海淀区5月模拟卷,2,5分) 已知,,,那么的大小关系为()A. B. C. D.[解析] 9.,由于,因此,因此,因此.10.(2021年辽宁五校协作体高三第二次模拟,2,5分) 函数的图象必然过点()A.(1,1)B.(1,2)C.(2,0)D.(2, -1)[解析] 10.令,得,因此当时,,因此函数的图象必然过点(1,2).11.(2021年天津市高三第六次联考,5,5分) 设,,,那么()A. B. C. D.[解析] 11. ,,由于,因此,因此,因此.12.(2021山东,5,5分). 函数f(x) =+的概念域为()A. (-3,0]B. (-3,1]C. (-∞, -3) ∪(-3,0]D. (-∞, -3) ∪(-3,1][解析] 12.由题意知解得-3< x≤0, 因此函数f(x) 的概念域为(-3,0]. 应选A.13.(重庆市杨家坪中学2021届高三下学期第一次月考) 方程的实数解为______.[解析] 13.因为,因此或(舍),得,即.14.(江西省红色六校2021届高三第二次联考) 概念在R上的奇函数知足:当时,,那么在R上,函数零点的个数为.[解析] 14.因为为上的奇函数,因此,当时,令,得,同一坐标系下作出与的图像,由图象可知两函数只有一个交点,即当时,为增函数,因此只有一个零点,依照对称性函数在时只有一个零点,因此一共3个零点.15.(重庆南开中学高2021级高三1月月考)实数知足,那么的最大值是。
2021届高考数学总复习第9讲:指数与指数函数[最新考纲] 1.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景,理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,3,10,12,13的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型.1.根式(1)n次方根的概念①若x n=a,则x叫做a的n次方根,其中n>1且n∈N*.式子na叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.②a的n次方根的表示:(2)根式的性质①(na)n=a(n∈N*,n>1).2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂:amn=na m(a>0,m,n∈N*,且n>1);②负分数指数幂:a-m n==(a >0,m ,n ∈N *,且n >1);③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义. (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s =a r +s (a >0,r ,s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a >0,r ,s ∈Q ); ③(ab )r =a r b r (a >0,b >0,r ∈Q ). 3.指数函数的图象与性质y =a xa >10<a <1图象定义域 R 值域(0,+∞) 性质过定点(0,1)当x >0时,y >1; 当x <0时,0<y <1 当x >0时,0<y <1; 当x <0时,y >1 在R 上是增函数在R 上是减函数[常用结论]1.指数函数图象的画法画指数函数y =a x (a >0,且a ≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a ),(0,1),⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,1a . 2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y =a x ,(2)y =b x ,(3)y =c x ,(4)y =d x 的图象,底数a ,b ,c ,d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b >0.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的图象越高,底数越大.3.指数函数y=a x(a>0,a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分a>1与0<a<1来研究.一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)na n=(na)n=a. ()(2)(-1)24=(-1)12=-1. ()(3)函数y=(a>1)的值域是(0,+∞).()(4)若a m<a n(a>0且a≠1),则m<n. ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改编1.若函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)的图象经过点P⎝⎛⎭⎪⎫2,12,则f(-1)=________.2[由题意知12=a2,所以a=22,所以f(x)=⎝⎛⎭⎪⎫22x,所以f(-1)=⎝⎛⎭⎪⎫22-1= 2.]2.化简416x8y4(x<0,y<0)=________.[答案]-2x2y3.已知,则a,b,c的大小关系是________.考点1指数幂的运算指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先算指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.。
指数及指数函数高考复习题1若点(a,9)在函数y =3x的图象上,则tana π6的值为( )A .0 B.33C .1 D. 3 2函数164x y =-的值域是 ( )(A )[0,)+∞ (B )[0,4] (C )[0,4) (D )(0,4)3设232555322555a b c ===(),(),(),则a ,b ,c 的大小关系是( )(A )a >c >b (B )a >b >c (C )c >a >b (D )b >c >a4下列四类函数中,个有性质“对任意的x >0,y >0,函数f (x )满足f (x +y )=f (x )f (y )”的是 ( )(A )幂函数 (B )对数函数 (C )指数函数 (D )余弦函数5.化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果( )A .a 6B .a -C .a 9-D .29a6已知函数()f x 满足:x ≥4,则()f x =1()2x;当x <4时()f x =(1)f x +,则2(2log 3)f +=( )A.124 B.112 C.18 D.387. 不等式4x -3·2x +2<0的解集是( )A .{x |x <0}B .{x |0<x <1}C .{x |1<x <9}D .{x |x >9}8.若关于x 的方程|a x-1|=2a (a >0,a ≠1)有两个不等实根,则a 的取值范围是( )A .(0,1)∪(1,+∞) B.(0,1) C .(1,+∞) D.(0,12)9(理)函数y =|2x-1|在区间(k -1,k +1)内不单调,则k 的取值范围是( )A .(-1,+∞)B .(-∞,1)C .(-1,1)D .(0,2)10(理)若函数y =2|1-x |+m 的图象与x 轴有公共点,则m 的取值范围是( )A .m ≤-1B .-1≤m <0C .m ≥1D .0<m ≤111.函数f (x )=x 12 -(12)x的零点个数为( )A .0B .1C .2D .312(理)已知函数⎩⎨⎧>≤--=-7,7,3)3()()6(x ax x a x f x 若数列{a n }满足a n =f (n )(n ∈N *),且{a n }是递增数列,则实数a 的取值范围是( )A .[94,3)B .(94,3) C .(2,3) D .(1,3)13.设函数f (x )=|2x-1|的定义域和值域都是[a ,b ](b >a ),则a +b 等于( )A .1B .2C .3D .414.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=1),1(log 1,)21()(2x x x x f x,则f (x )≤12的解集为________.15.若函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=0,10,)31()(x xx x f x则不等式|f (x )|≥13的解集为________. 16.函数y =a x +2012+2011(a >0且a ≠1)的图象恒过定点________.17.设f (x )是定义在实数集R 上的函数,满足条件y =f (x +1)是偶函数,且当x ≥1时,f (x )=2x-1,则f (23)、f (32)、f (13)的大小关系是________.18.若定义运算a *b =⎩⎪⎨⎪⎧aa <b ,b a ≥b ,则函数f (x )=3x *3-x的值域是________.19.定义区间[x 1,x 2]的长度为x 2-x 1,已知函数f (x )=3|x |的定义域为[a ,b ],值域为[1,9],则区间[a ,b ]的长度的最大值为______,最小值为______.20.设函数f(x)=,求使f(x)≥2 的x 的取值范围.21.(文)(2011·上海吴淞中学月考)已知函数f (x )=a ·2x +a -22x+1是奇函数.(1)求a 的值;(2)判断函数f (x )的单调性,并用定义证明;(3)求函数的值域.22.(文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ∈(0,1)时,f (x )=2x4x +1.(1)求f (x )在(-1,1)上的解析式; (2)证明:f (x )在(0,1)上是减函数.[]的值,求实数上的最大值是在函数且设a a a y a a x x 141,1-12,10.232-+=≠24.已知f (x )=aa 2-1(a x -a -x)(a >0且a ≠1). (1)判断f (x )的奇偶性; (2)讨论f (x )的单调性; (3)当x ∈[-1,1]时,f (x )≥b 恒成立,求b 的取值范围.指数及指数函数高考复习题答案1[答案] D[解析] 由点(a,9)在函数y =3x图象上知3a=9,即a =2,所以tan a π6=tan π3= 3. 2解析:[)40,0164161640,4x x x >∴≤-<∴-∈3.A 【解析】25y x =在0x >时是增函数,所以a c >,2()5xy =在0x >时是减函数,所以c b >。
考点测试9 指数与指数函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题,分值5分,中等难度 考纲研读1.了解指数函数模型的实际背景2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算3.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点4.体会指数函数是一类重要的函数模型一、基础小题 1.设2x=8y +1,9y=3x -9,则x +y 的值为( )A .18B .21C .24D .27答案 D 解析 因为2x=8y +1=23(y +1),所以x =3y +3,因为9y =3x -9=32y,所以x -9=2y ,解得x =21,y =6,所以x +y =27.2.化简(a >0,b >0)的结果是( )A.b aB .abC .a 2b D .a b答案 D 解析 原式==ab -1=ab .故选D.3.若f (x )=(2a -3)a x为指数函数,则f (x )在定义域内( ) A .为增函数 B .为减函数 C .先增后减 D .先减后增答案 A解析 由指数函数的定义知2a -3=1,解得a =2,所以f (x )=2x,所以f (x )在定义域内为增函数.故选A.4.已知,则( )A .b <a <cB .a <b <cC .b <c <aD .c <a <b答案 A 解析 a =,由2<3得a <c ,由23>25,得a >b ,故c >a >b .故选A.5.当x >0时,函数f (x )=(a 2-1)x的值总大于1,则实数a 的取值范围是( ) A .1<a <2B .-1<a <1C .a >2或a <- 2D .-2<a < 2答案 C解析 ∵x >0时,f (x )=(a 2-1)x 的值总大于1,∴a 2-1>1,即a 2>2.∴a >2或a <- 2.故选C.6.下列函数中,在(0,+∞)内单调递减的是( ) A .y =22-xB .y =x -11+xC .D .y =-x 2+2x +a答案 A解析 根据题意,依次分析选项:对于A ,y =22-x=4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x,在(0,+∞)内单调递减,符合题意;对于B ,y =x -1x +1=1-2x +1,在(0,+∞)内单调递增,不符合题意;对于C ,y ==log 2x ,在(0,+∞)内单调递增,不符合题意;对于D ,y =-x 2+2x +a =-(x -1)2+a +1,在(0,1)内单调递增,不符合题意.故选A.7.已知函数f (x )满足对一切x ∈R ,f (x +2)=-1f x都成立,且当x ∈(1,3]时,f (x )=2-x,则f (2019)=( )A.14 B .18 C .116 D .132答案 B解析 由已知条件f (x +2)=-1f x可得f (x )=-1fx -2,故f (x +2)=f (x -2),易得f (x )是周期为4的周期函数,∴f (2019)=f (3+504×4)=f (3),∵当x ∈(1,3]时,f (x )=2-x ,∴f (3)=2-3=18,即f (2019)=18.故选 B.8.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x ∈R ,用[x ]表示不超过x 的最大整数,则y =[x ]称为高斯函数.例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函数f (x )=2x+31+2x +1,则函数y =[f (x )]的值域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,3 B .(0,2] C .{0,1,2} D .{0,1,2,3}答案 C解析 因为f (x )=2x+31+2x +1=121+2x +1+521+2x +1=12+521+2x +1,2x +1>0,所以0<11+2x +1<1,所以12<12+521+2x +1<3,即12<f (x )<3,所以y =[f (x )]的值域为{0,1,2},故选C. 9.下列说法中,正确的是( ) ①任取x ∈R 都有3x >2x;②当a >1时,任取x ∈R 都有a x >a -x; ③y =(3)-x是增函数; ④y =2|x |的最小值为1;⑤在同一坐标系中,y =2x 与y =2-x的图象关于y 轴对称. A .①②④ B .④⑤ C .②③④ D .①⑤答案 B解析 ①中令x =-1,则3-1<2-1,故①错误;②中当x <0时,a x <a -x,故②错误;③中y =(3)-x =⎝⎛⎭⎪⎫33x ,∵0<33<1,∴y =⎝ ⎛⎭⎪⎫33x为减函数,故③错误;④中x =0时,y 取最小值1,故④正确;⑤由函数图象变换,可知y =2x与y =2-x的图象关于y 轴对称,故⑤正确.故选B.10.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且满足f (x )=f (2-x ),当x ∈[0,1]时,f (x )=4x-1,则在(1,3)上,f (x )≤1的解集是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1,32 B .⎣⎢⎡⎦⎥⎤32,52 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,3 D .[2,3)答案 C解析 ∵0≤x ≤1时,f (x )=4x-1,∴f (x )在区间[0,1]上是增函数,又f (x )是奇函数,∴f (x )在区间[-1,1]上是增函数.∵f (x )=f (2-x ),∴函数f (x )的图象关于直线x =1对称,∴f (x )在区间(1,3)上是减函数,又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=1,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=1,∴在区间(1,3)上不等式f (x )≤1的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,3,故选C.11.求值:=________.答案14380解析 原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3+0.1=104-1+116+18+110=14380.12.已知max{a ,b }表示a ,b 两数中的最大值.若f (x )=max{e |x |,e |x -2|},则f (x )的最小值为________.答案 e解析 由题意得,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧e |x |,x ≥1,e |x -2|,x <1.当x ≥1时,f (x )=e |x |=e x≥e(当x =1时,取等号);当x <1时,f (x )=e|x -2|=e2-x>e.故f (x )的最小值为f (1)=e.二、高考小题13.(2019·全国卷Ⅰ)已知a =log 20.2,b =20.2,c =0.20.3,则( ) A .a <b <c B .a <c <b C .c <a <b D .b <c <a答案 B解析 因为a =log 20.2<0,b =20.2>1,0<c =0.20.3<1,所以a <c <b .故选B. 14.(2017·全国卷Ⅰ)设x ,y ,z 为正数,且2x=3y=5z,则( ) A .2x <3y <5z B .5z <2x <3y C .3y <5z <2x D .3y <2x <5z答案 D解析 令t =2x =3y =5z,∵x ,y ,z 为正数,∴t >1.则x =log 2t =lg t lg 2,同理,y =lg t lg 3,z =lg t lg 5.∴2x -3y =2lg t lg 2-3lg t lg 3=lg t 2lg 3-3lg 2lg 2×lg 3=lg t lg 9-lg 8lg 2×lg 3>0,∴2x >3y .又2x -5z =2lg t lg 2-5lg t lg 5=lg t 2lg 5-5lg 2lg 2×lg 5=lg t lg 25-lg 32lg 2×lg 5<0,∴2x<5z ,∴3y <2x <5z .故选D.15.(2018·上海高考)已知常数a >0,函数f (x )=2x2x +ax 的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ,65,Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ,-15.若2p +q=36pq ,则a =________.答案 6解析 由已知条件知f (p )=65,f (q )=-15,所以⎩⎪⎨⎪⎧2p2p+ap =65, ①2q 2q+aq =-15, ②①+②,得2p2q +aq +2q2p+ap2p +ap 2q+aq=1, 整理得2p +q=a 2pq ,又2p +q=36pq ,∴36pq =a 2pq ,又pq ≠0,∴a 2=36,∴a =6或a =-6,又a >0,∴a =6. 16.(2015·江苏高考)不等式<4的解集为________.答案 {x |-1<x <2} 解析 不等式<4可转化为<22,利用指数函数y =2x 的性质可得,x 2-x <2,解得-1<x <2,故所求解集为{x |-1<x <2}.17.(2015·福建高考)若函数f (x )=2|x -a |(a ∈R )满足f (1+x )=f (1-x ),且f (x )在[m ,+∞)上单调递增,则实数m 的最小值等于________.答案 1解析 因为f (1+x )=f (1-x ),所以函数f (x )的图象关于直线x =1对称,所以a =1.函数f (x )=2|x -1|的图象如图所示.因为函数f (x )在[m ,+∞)上单调递增,所以m ≥1,所以实数m 的最小值为1.三、模拟小题18.(2020·河北张家口摸底)化简的结果为( )A .-4aB .4aC .11aD .4ab答案 B解析 原式==4ab 0=4a ,故选B.19.(2019·湖北八校联考)若,则函数y =2x的值域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18,2 B .⎣⎢⎡⎦⎥⎤18,2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,18 D .[2,+∞)答案 B 解析 因为=24-2x ,则x 2+1≤4-2x 即x 2+2x -3≤0,所以-3≤x ≤1.所以18≤y ≤2.20.(2019·沧州模拟)已知函数f (x )=e x -1-e-x +1,则下列说法正确的是( )A .函数f (x )的最小正周期是1B .函数f (x )是单调递减函数C .函数f (x )的图象关于直线x =1轴对称D .函数f (x )的图象关于(1,0)中心对称 答案 D解析 函数f (x )=ex -1-e-x +1,即f (x )=ex -1-1e x -1,可令t =e x -1,即有y =t -1t,由y =t -1t在t >0时单调递增,t =e x -1在R 上单调递增,可得f (x )在R 上为增函数,则A ,B 均错误;由f (2-x )=e1-x-ex -1,可得f (x )+f (2-x )=0,即有f (x )的图象关于点(1,0)对称,则C 错误,D 正确.故选D.21.(2020·湖南衡阳高三摸底考试)设函数f (x )在(-∞,1]上有定义,对于给定的实数K ,定义f K (x )=⎩⎪⎨⎪⎧f x,f x ≤K ,K ,f x >K .给出函数f (x )=2x +1-4x,若对于任意x ∈(-∞,1],恒有f K (x )=f (x ),则( )A .K 的最大值为0B .K 的最小值为0C .K 的最大值为1D .K 的最小值为1答案 D解析 根据题意可知,对于任意x ∈(-∞,1],若恒有f K (x )=f (x ),则f (x )≤K 在x ≤1时恒成立,即f (x )的最大值小于或等于K 即可.令2x =t ,则t ∈(0,2],f (t )=-t 2+2t =-(t -1)2+1,可得f (t )的最大值为1,所以K ≥1,故选D.22.(2019·江苏省镇江市期末)已知函数f (x )=12x -2x ,则满足f (x 2-5x )+f (6)>0的实数x 的取值范围是________.答案 (2,3)解析 根据题意,函数f (x )=12x -2x ,f (-x )=12-x -2-x=-⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -2x =-f (x ),即f (x )为奇函数,又由y =12x 在R 上为减函数,y =-2x在R 上为减函数,则f (x )在R 上为减函数,则f (x 2-5x )+f (6)>0⇒f (x 2-5x )>-f (6)⇒f (x 2-5x )>f (-6)⇒x 2-5x <-6,解得2<x <3,即x 的取值范围为(2,3).23.(2019·浦东新区模拟)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 4x 2+16,x ≥2,⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x -a |,x <2,若对任意的x 1∈[2,+∞),都存在唯一的x 2∈(-∞,2),满足f (x 1)=f (x 2),则实数a 的取值范围为________.答案 [-2,6)解析 当x 1∈[2,+∞)时, x 14x 21+16=14x 1+16x 1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0,116.当x 2∈(-∞,2)时,(1)若a ≥2,则f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x -a |=⎝ ⎛⎭⎪⎫12a -x 在(-∞,2)上是单调递增函数,所以f (x 2)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,⎝ ⎛⎭⎪⎫12a -2.若满足题目要求,则⎝ ⎛⎦⎥⎤0,116⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫0,⎝ ⎛⎭⎪⎫12a -2,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a -2>116=⎝ ⎛⎭⎪⎫124,∴a -2<4,a <6.又a ≥2,所以a ∈[2,6).(2)若a <2,则f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x -a |=⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12a -x,x <a ,⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -a,a ≤x <2.如果f (x )在(-∞,a )上是单调递增函数, 此时f (x 2)∈(0,1);如果f (x )在[a,2)上是单调递减函数,此时f (x 2)∈⎝ ⎛⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122-a ,1.若满足题目要求,则116≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122-a,∴a ≥-2,又a <2,所以a ∈[-2,2).综上,a ∈[-2,6).一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型. 二、模拟大题1.(2019·兰州模拟)已知函数.(1)若a =-1,求f (x )的单调区间; (2)若f (x )有最大值3,求实数a 的值; (3)若f (x )的值域是(0,+∞),求实数a 的值. 解 (1)当a =-1时,,令g (x )=-x 2-4x +3,由于g (x )在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而指数函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减,所以f (x )在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数f (x )的单调递增区间是(-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2).(2)令g (x )=ax 2-4x +3,f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x ),由于f (x )有最大值3,所以g (x )应有最小值-1,因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0,3a -4a=-1,解得a =1,即当f (x )有最大值3时,实数a 的值等于1. (3)由指数函数的性质知,要使的值域为(0,+∞),则应使g (x )=ax 2-4x +3的值域为R ,因此只能a =0(因为若a ≠0,则g (x )为二次函数,其值域不可能为R ).故a 的值为0.2.(2020·河南洛阳高三阶段考试)已知函数f (x )=a |x +b |(a >0,a ≠1,b ∈R ).(1)若f (x )为偶函数,求实数b 的值;(2)若f (x )在区间[2,+∞)上是增函数,试求实数a ,b 应满足的条件. 解 (1)因为f (x )为偶函数,所以对任意的x ∈R ,都有f (-x )=f (x ),即a|x +b |=a|-x +b |,|x +b |=|-x +b |,解得实数b =0.(2)记h (x )=|x +b |=⎩⎪⎨⎪⎧x +b ,x ≥-b ,-x -b ,x <-b .①当a >1时,f (x )在区间[2,+∞)上是增函数,即h (x )在区间[2,+∞)上是增函数, 所以-b ≤2,b ≥-2.②当0<a <1时,f (x )在区间[2,+∞)上是增函数,即h (x )在区间[2,+∞)上是减函数,但h (x )在区间[-b ,+∞)上是增函数,故不存在a ,b 的值,使f (x )在区间[2,+∞)上是增函数.所以f (x )在区间[2,+∞)上是增函数时,实数a ,b 应满足的条件为a >1且b ≥-2. 3.(2019·渭南模拟)已知定义域为R 的函数f (x )=-2x+b2x +1+a 是奇函数.(1)求实数a ,b 的值;(2)若对任意的t ∈R ,不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0恒成立,求实数k 的取值范围. 解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (0)=0,即-1+b2+a =0,解得实数b =1,所以f (x )=-2x+12x +1+a.又由f (1)=-f (-1)知-2+14+a =--12+11+a ,解得实数a =2.(2)由(1)知f (x )=-2x+12x +1+2=-12+12x +1,由上式易知f (x )在R 上为减函数,又因为f (x )是奇函数,从而不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0等价于f (t 2-2t )<-f (2t 2-k )=f (-2t 2+k ).因为f (x )是R 上的减函数, 所以由上式推得t 2-2t >-2t 2+k . 即对一切t ∈R 有3t 2-2t -k >0, 从而Δ=4+12k <0,解得k <-13.故实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-13. 4.(2020·山东枣庄高三摸底考试)已知函数f (x )=e x+a ·e -x,x ∈R . (1)当a =1时,证明:f (x )为偶函数;(2)若f (x )在[0,+∞)上单调递增,求实数a 的取值范围;(3)若a =1,求实数m 的取值范围,使m [f (2x )+2]≥f (x )+1在R 上恒成立. 解 (1)证明:当a =1时,f (x )=e x+e -x,定义域(-∞,+∞)关于原点对称,而f (-x )=e -x +e x =f (x ),所以f (x )为偶函数.因为x 1<x 2,函数y =e x 为增函数,所以,则,又因为f (x )在[0,+∞)上单调递增,所以f (x 1)<f (x 2),故f (x 1)-f (x 2)<0, 所以对任意的0≤x 1<x 2恒成立,所以a ≤1.故实数a 的取值范围为(-∞,1].(3)由(1)(2)知函数f (x )=e x +e -x在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,所以其最小值f (0)=2,且f (2x )=e 2x+e-2x=(e x +e -x )2-2,设t =e x +e -x,则t ∈[2,+∞),1t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12,则不等式m [f (2x )+2]≥f (x )+1恒成立, 等价于m ·t 2≥t +1,即m ≥t +1t 2恒成立, 而t +1t 2=1t 2+1t =⎝ ⎛⎭⎪⎫1t +122-14, 当且仅当1t =12,即t =2时t +1t 2取得最大值34,故m ≥34.因此实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34,+∞.。
§2.6 指数与指数函数考试要求 1.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握指数幂的运算性质. 2.通过实例,了解指数函数的实际意义,会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质,并能简单应用.知识梳理 1.根式(1)如果x n =a ,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N *. (2)式子na 叫做根式,其中n 叫做根指数,a 叫做被开方数. (3)(na )n =a .当n 为奇数时,na n =a ,当n 为偶数时,na n =|a |=⎩⎪⎨⎪⎧a ,a ≥0,-a ,a <0.2.分数指数幂正数的正分数指数幂,m na =na m (a >0,m ,n ∈N *,n >1). 正数的负分数指数幂,m n a-=1m na=1na m(a >0,m ,n ∈N *,n >1).0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质a r a s =a r +s ;(a r )s =a rs ;(ab )r =a r b r (a >0,b >0,r ,s ∈R ). 4.指数函数及其性质(1)概念:函数y =a x (a >0,且a ≠1)叫做指数函数,其中指数x 是自变量,函数的定义域是R ,a 是底数.(2)指数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域R值域 (0,+∞)性质过定点(0,1),即x =0时,y =1当x >0时,y >1;当x <0时, 0<y <1当x <0时,y >1; 当x >0时, 0<y <1在(-∞,+∞)上是增函数 在(-∞,+∞)上是减函数常用结论1.指数函数图象的关键点(0,1),(1,a ),⎝⎛⎭⎫-1,1a . 2.如图所示是指数函数(1)y =a x ,(2)y =b x ,(3)y =c x ,(4)y =d x 的图象,则c >d >1>a >b >0,即在第一象限内,指数函数y =a x (a >0且a ≠1)的图象越高,底数越大.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)4(-4)4=-4.( × )(2)2a ·2b =2ab .( × )(3)函数y =3·2x 与y =2x +1都不是指数函数.( √ ) (4)若a m <a n (a >0,且a ≠1),则m <n .( × ) 教材改编题1.化简()34235⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的结果为( )A .5 B. 5 C .- 5 D .-5答案 B解析 原式=34325=32435⎛⎫⎪⎝⎭=23345⨯=125= 5. 2.函数f (x )=a x -1+2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点________. 答案 (1,3)3.已知a =1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭,b =1435-⎛⎫ ⎪⎝⎭,c =3432-⎛⎫⎪⎝⎭,则a ,b ,c 的大小关系是________.答案 c <b <a解析 ∵y =⎝⎛⎭⎫35x是R 上的减函数, ∴1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭>1435-⎛⎫⎪⎝⎭>⎝⎛⎭⎫350,即a >b >1, 又c =3432-⎛⎫⎪⎝⎭<⎝⎛⎭⎫320=1, ∴c <b <a .题型一 指数幂的运算例1 (1)(2022·沧州联考)()()()311213324140.1ab a b ----⎛⎫⎪⎝⎭⋅⋅a >0,b >0)=________.答案 85解析 原式=33322233222410a b a b--⋅=85. (2)若12x +12x -=3(x >0),则33222232x x x x --+-+-=________. 答案 13解析 由12x +12x-=3,两边平方,得x +x -1=7, 再平方得x 2+x -2=47, ∴x 2+x -2-2=45.32x +32x -=312x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+312x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1122x x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭(x -1+x -1) =3×(7-1)=18.∴33222232x x x x --+-+-=13.教师备选 (2022·杭州模拟)332211423a b ab b a b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭a >0,b >0)的结果是( )A.b aB.a bC.a 2bD.b 2a 答案 B解析332211423a babb a b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭113632411113342a b a ba b a b -⋅⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭=3111111226333ab+-++--=ab -1=a b.思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加. ②运算的先后顺序.(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.跟踪训练1 (1)已知a >01132a a a ( )A .712a B .512a C .56a D .13a答案 B解析 原式=111322a a a ⋅=1132a a ⋅=1526a⨯=512a .(2)计算:238-⎝⎛⎭⎫780+4(3-π)4+()1622=________.答案 π+8 解析 原式=()2332-1+|3-π|+23=4-1+π-3+8=π+8.题型二 指数函数的图象及应用例2 (1)(多选)已知实数a ,b 满足等式2 021a =2 022b ,下列等式可以成立的是( ) A .a =b =0 B .a <b <0 C .0<a <b D .0<b <a答案 ABD解析 如图,观察易知,a <b <0或0<b <a 或a =b =0,故选ABD.(2)若函数f (x )=|2x -2|-b 有两个零点,则实数b 的取值范围是________. 答案 (0,2)解析 在同一平面直角坐标系中画出y =|2x -2|与y =b 的图象,如图所示.∴当0<b <2时,两函数图象有两个交点,从而函数f (x )=|2x -2|-b 有两个零点. ∴b 的取值范围是(0,2). 教师备选在同一直角坐标系中,指数函数y =⎝⎛⎭⎫b a x,二次函数y =ax 2-bx 的图象可能是( )答案 B解析 指数函数y =⎝⎛⎭⎫b a x的图象位于x 轴上方,据此可区分两函数图象.二次函数y =ax 2-bx =(ax -b )x ,有零点ba,0.A ,B 选项中,指数函数y =⎝⎛⎭⎫b a x 在R 上单调递增,故ba >1,故A 错误,B 正确. C ,D 选项中,指数函数y =⎝⎛⎭⎫b a x 在R 上单调递减,故0<b a<1,故C ,D 错误. 思维升华 (1)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. (2)有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解. 跟踪训练2 (1)(2022·吉林模拟)已知函数f (x )=(x -a )(x -b )(其中a >b )的图象如图所示,则函数g (x )=a x +b 的图象是( )答案 A解析 由图象可知,b <-1,0<a <1, 所以函数g (x )=a x +b 是减函数, g (0)=1+b <0,所以选项A 符合.(2)(2022·哈尔滨模拟)若存在正数x 使e x (x +a )<1成立,则a 的取值范围是( ) A .(-∞,+∞) B .(-∞,1) C.⎝⎛⎭⎫-∞,1e -1 D .(-∞,-1)答案 B解析 由题设知,∃x >0使x +a <e -x 成立, 令y =x +a ,y 1=e -x , ∴x >0时有y 1=e -x ∈(0,1), 而y =x +a ∈(a ,+∞),∴当a <1时,∃x >0,使得e x (x +a )<1成立. 题型三 指数函数的性质及应用 命题点1 比较指数式的大小例3 (1)(2022·永州模拟)若a =0.30.7,b =0.70.3,c =1.20.3,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a >b >c B .c >b >a C .b >c >a D .a >c >b答案 B解析 ∵函数y =0.3x 在R 上是减函数, ∴0<0.30.7<0.30.3<0.30=1,又∵幂函数y =x 0.3在(0,+∞)上单调递增, 0.3<0.7, ∴0<0.30.3<0.70.3, ∴0<a <b <1,而函数y =1.2x 是R 上的增函数, ∴c =1.20.3>1.20=1,∴c >b >a .(2)(2020·全国Ⅱ)若2x -2y <3-x -3-y ,则( ) A .ln(y -x +1)>0 B .ln(y -x +1)<0 C .ln|x -y |>0 D .ln|x -y |<0答案 A解析 设函数f (x )=2x -3-x .因为函数y =2x 与y =-3-x 在R 上均单调递增,所以f (x )在R 上单调递增. 原式等价于2x -3-x <2y -3-y ,即f (x )<f (y ),所以x <y ,即y -x >0,所以A 正确,B 不正确. 因为|x -y |与1的大小关系不能确定,所以C ,D 不正确. 命题点2 解简单的指数方程或不等式例4 (1)(2022·长岭模拟)已知y =4x -3·2x +3的值域为[1,7],则x 的取值范围是( ) A .[2,4] B .(-∞,0) C .(0,1)∪[2,4] D .(-∞,0]∪[1,2] 答案 D解析 ∵y =4x -3·2x +3的值域为[1,7], ∴1≤4x -3·2x +3≤7. ∴-1≤2x ≤1或2≤2x ≤4. ∴x ≤0或1≤x ≤2.(2)当0<x <12时,方程a x =1x (a >0且a ≠1)有解,则实数a 的取值范围是______.答案 (4,+∞)解析 依题意,当x ∈⎝⎛⎭⎫0,12时,y =a x 与y =1x 有交点,作出y =1x的图象,如图,所以121,2,a a >⎧⎪⎨⎪>⎩解得a >4.命题点3 指数函数性质的综合应用 例5 已知函数f (x )=2|2x -m |(m 为常数),若f (x )在区间[2,+∞)上单调递增,则m 的取值范围是________. 答案 (-∞,4]解析 令t =|2x -m |,则t =|2x -m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2,+∞上单调递增,在区间⎝⎛⎦⎤-∞,m2上单调递减.而y =2t 是增函数,所以要使函数f (x )=2|2x -m |在[2,+∞)上单调递增,则有m2≤2,即m ≤4,所以m 的取值范围是(-∞,4]. 教师备选1.(多选)下列各式比较大小正确的是( )A .1.72.5>1.73B.3423122-⎛⎫⎪>⎝⎭C .1.70.3>0.93.1 D.34232334⎛⎫<⎛⎫⎝⎪⎪⎭⎝⎭ 答案 BCD解析 ∵y =1.7x 为增函数,∴1.72.5<1.73,故A 不正确; 432-=4312⎛⎫⎪⎝⎭,y =⎝⎛⎭⎫12x 为减函数, ∴23431212⎛⎫>⎛⎫ ⎝⎪⎪⎭⎝⎭=432-,故B 正确; ∵1.70.3>1,而0.93.1∈(0,1), ∴1.70.3>0.93.1,故C 正确;∵y =⎝⎛⎭⎫23x 为减函数,∴34232323⎛⎫<⎛⎫ ⎝⎪⎪⎭⎝⎭, 又y =23x 在(0,+∞)上单调递增,∴22332334⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴223334333422⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭,故D 正确. 2.(2022·泸州模拟)已知函数f (x )=e x -1e x ,若f (a -2)+f (a 2)≤0,则实数a 的取值范围是______.答案 [-2,1]解析 因为f (x )=e x -1e x ,定义域为R ,f (-x )=e -x -1e -x =1e x -e x =-f (x ),所以f (x )=e x -1ex 为奇函数.又因为f (x )=e x -1e x 在R 上为增函数,所以f (a -2)+f (a 2)≤0⇒f (a -2) ≤-f (a 2)⇒f (a -2)≤f (-a 2), 即a -2≤-a 2,a 2+a -2≤0, 解得-2≤a ≤1.思维升华 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式,最重要的是“同底”原则,比较大小还可以借助中间量.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 跟踪训练3 (1)设m ,n ∈R ,则“m <n ”是“⎝⎛⎭⎫12m -n>1”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件 答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫12m -n>1,即⎝⎛⎭⎫12m -n >⎝⎛⎭⎫120,∴m -n <0,∴m <n .故“m <n ”是“⎝⎛⎭⎫12m -n >1”的充要条件.(2)已知函数f (x )=24313ax x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭,若f (x )有最大值3,则a 的值为________. 答案 1解析 令g (x )=ax 2-4x +3,则f (x )=⎝⎛⎭⎫13g (x ),∵f (x )有最大值3,∴g (x )有最小值-1,则⎩⎨⎧ a >0,3a -4a =-1,解得a=1. 课时精练1.(2022·佛山模拟)已知a =432,b =254,c =135,则() A .c <b <a B .a <b <cC .b <a <cD .c <a <b答案 A解析 因为a =432=234,b =254,所以a =234>254=b ,因为b =254=()16154=1154096,c =135=()15155=1153125,则b >c .综上所述,a >b >c .2.若函数f (x )=a x -b 的图象如图所示,则( )A .a >1,b >1B .a >1,0<b <1C .0<a <1,b >1D .0<a <1,0<b <1答案 D解析 根据图象,函数f (x )=a x -b 是单调递减的,所以指数函数的底数a ∈(0,1),根据图象的纵截距,令x =0,y =1-b ∈(0,1),解得b ∈(0,1),即a ∈(0,1),b ∈(0,1).3.(2022·福建三明一中检测)函数f (x )=a x (a >0,a ≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍,则a 的值是( )A.12或 2B.12或2C.12D .2 答案 B解析 当a >1时,函数单调递增,f (x )max =2f (x )min ,∴f (2)=2f (1),∴a 2=2a ,∴a =2;当0<a <1时,函数单调递减,f (x )max =2f (x )min ,∴f (1)=2f (2),∴a =2a 2,∴a =12, 综上所述,a =2或a =12. 4.(2020·新高考全国Ⅰ)基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I (t )=e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律,指数增长率r 与R 0,T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28,T =6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )A .1.2天B .1.8天C .2.5天D .3.5天答案 B解析 由R 0=1+rT ,R 0=3.28,T =6,得r =R 0-1T =3.28-16=0.38. 由题意,累计感染病例数增加1倍,则I (t 2)=2I (t 1),即20.38e t =10.382e t ,所以()210.38e t t -=2,即0.38(t 2-t 1)=ln 2,所以t 2-t 1=ln 20.38≈0.690.38≈1.8. 5.(多选)(2022·潍坊模拟)已知函数y =a x (a >0且a ≠1)的图象如图所示,则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是( )答案 ABD解析 由图可得a 1=2,即a =2,y =a -x =⎝⎛⎭⎫12x 单调递减,且过点(-1,2),故A 正确;y =x -a =x -2为偶函数,在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,故B 正确;y =a |x |=2|x |=⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ,x ≥0,2-x ,x <0为偶函数,结合指数函数图象可知C 错误;y =|log a x |=|log 2x |,根据“上不动、下翻上”可知D 正确.6.(多选)如果函数y =a 2x +2a x -1(a >0,a ≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,则a 的值为() A.13 B .2C .3 D.12答案 AC解析 令a x =t ,则y =a 2x +2a x -1=t 2+2t -1=(t +1)2-2.当a >1时,因为x ∈[-1,1],所以t ∈⎣⎡⎦⎤1a ,a ,又函数y =(t +1)2-2在⎣⎡⎦⎤1a ,a 上单调递增,所以y max =(a +1)2-2=14,解得a =3(负值舍去).当0<a <1时,因为x ∈[-1,1],所以t ∈⎣⎡⎦⎤a ,1a ,又函数y =(t +1)2-2在⎣⎡⎦⎤a ,1a 上单调递增,则y max =⎝⎛⎭⎫1a +12-2=14,解得a =13 (负值舍去).综上知a =3或a =13.7.已知a >0,b >0,则12323651a a b b ab -⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ =______. 答案 1 解析 12323651a a b b ab-⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ =()121121332156a b a b ab --⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ =111133221566a b a ba b -⋅⋅⋅⋅=111115236326a b --+-⋅=1.8.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-⎝⎛⎭⎫12x ,a ≤x <0,-x 2+2x ,0≤x ≤4的值域是[-8,1],则实数a 的取值范围是________. 答案 [-3,0)解析 当0≤x ≤4时,f (x )∈[-8,1],当a ≤x <0时,f (x )∈⎣⎡⎭⎫-12a ,-1, 所以⎣⎡⎭⎫-12a ,-1[-8,1], 即-8≤-12a <-1,即-3≤a <0. 所以实数a 的取值范围是[-3,0).9.已知函数f (x )=b ·a x (其中a ,b 为常数,且a >0,a ≠1)的图象经过点A (1,6),B (3,24).(1)求f (x )的解析式;(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x +⎝⎛⎭⎫1b x -m ≥0在(-∞,1]上恒成立,求实数m 的取值范围.解 (1)因为f (x )的图象过点A (1,6),B (3,24),所以⎩⎪⎨⎪⎧b ·a =6,b ·a 3=24.所以a 2=4, 又a >0,所以a =2,b =3.所以f (x )=3·2x .(2)由(1)知a =2,b =3,则当x ∈(-∞,1]时, ⎝⎛⎭⎫12x +⎝⎛⎭⎫13x -m ≥0恒成立, 即m ≤⎝⎛⎭⎫12x +⎝⎛⎭⎫13x 在(-∞,1]上恒成立.又因为y =⎝⎛⎭⎫12x 与y =⎝⎛⎭⎫13x 在(-∞,1]上均单调递减,所以y =⎝⎛⎭⎫12x +⎝⎛⎭⎫13x 在(-∞,1]上也单调递减,所以当x =1时,y =⎝⎛⎭⎫12x +⎝⎛⎭⎫13x 有最小值56,所以m ≤56,即m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤-∞,56. 10.已知定义域为R 的函数f (x )=a x -(k -1)a -x (a >0且a ≠1)是奇函数.(1)求实数k 的值;(2)若f (1)<0,判断函数f (x )的单调性,若f (m 2-2)+f (m )>0,求实数m 的取值范围. 解 (1)∵f (x )是定义域为R 的奇函数,∴f (0)=a 0-(k -1)a 0=1-(k -1)=0,∴k =2,经检验k =2符合题意,所以k =2.(2)f (x )=a x -a -x (a >0且a ≠1),∵f (1)<0,∴a -1a<0,又a >0,且a ≠1, ∴0<a <1,而y =a x 在R 上单调递减,y =a -x 在R 上单调递增,故由单调性的性质可判断f (x )=a x -a -x 在R 上单调递减,不等式f (m 2-2)+f (m )>0可化为f (m 2-2)>f (-m ),∴m 2-2<-m ,即m 2+m -2<0,解得-2<m <1,∴实数m 的取值范围是(-2,1).11.已知0<a <b <1,则( )A .()11ba ->(1-a )bB .(1-a )b >()21ba - C .(1+a )a >(1+b )bD .(1-a )a >(1-b )b答案 D解析 因为0<a <1,所以0<1-a <1,所以y =(1-a )x 是减函数,又0<b <1,所以1b >b ,b >b 2, 所以()11b a -<(1-a )b ,(1-a )b <()21b a -, 所以A ,B 均错误;又1<1+a <1+b ,所以(1+a )a <(1+b )a <(1+b )b ,所以C 错误;因为0<1-b <1-a <1,所以(1-a )a >(1-a )b >(1-b )b ,所以D 正确.12.(多选)(2022·南京模拟)若直线y =2a 与函数y =|a x -1|(a >0,且a ≠1)的图象有两个公共点,则a 的取值可以是( )A.14B.13C.12D .2 答案 AB解析 ①当a >1时,由图象得0<2a <1,∴0<a <12, ∵a >1,∴此种情况不存在;②当0<a <1时,由图象得0<2a <1,∴0<a <12, ∵0<a <1,∴0<a <12.13.(2022·大连模拟)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的美誉,用其名字命名的“高斯函数”:设x ∈R ,用[x ]表示不超过x 的最大整数,则y =[x ]称为高斯函数,也称取整函数,例如:[-3.7]=-4,[2.3]=2.已知f (x )=e x -1e x +1-12,则函数y =[f (x )]的值域为( )A .{0}B .{-1,0}C .{-2,-1,0}D .{-1,0,1}答案 C解析 f (x )=e x -1e x +1-12=e x +1-2e x +1-12 =-2e x +1+12, ∵e x >0,∴e x +1>1,∴0<2e x +1<2,∴-2<-2e x +1<0, ∴f (x )∈⎝⎛⎭⎫-32,12, ∴[f (x )]为-2或-1或0.14.(2022·宁波模拟)对于函数f (x ),若在定义域内存在实数x 0满足f (-x 0)=-f (x 0),则称函数f (x )为“倒戈函数”.设f (x )=3x +m -1(m ∈R ,m ≠0)是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”,则实数m 的取值范围是________.答案 ⎣⎡⎭⎫-23,0 解析 ∵f (x )=3x +m -1是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”,∴存在x 0∈[-1,1]满足f (-x 0)=-f (x 0),∴03x -+m -1=-03x -m +1,∴2m =-03x --03x +2,构造函数y =-03x --03x +2,x 0∈[-1,1],令t =03x ,t ∈⎣⎡⎦⎤13,3,y =-1t-t +2=2-⎝⎛⎭⎫t +1t 在⎣⎡⎦⎤13,1上单调递增, 在(1,3]上单调递减,∴t =1取得最大值0,t =13或t =3取得最小值-43,y ∈⎣⎡⎦⎤-43,0, ∴-43≤2m <0, ∴-23≤m <0.15.(2022·重庆南开中学月考)定义在R 上的函数f (x )单调递增,且对∀x ∈R ,有f (f (x )-2x )=3,则f (log 43)=________.答案 3+1解析 根据题意,对∀x ∈R ,有f (f (x )-2x )=3,又∵f (x )是定义在R 上的增函数,∴在R 上存在常数a 使得f (a )=3,∴f (x )=2x +a ,∴f (a )=2a +a =3,解得a =1,∴f (x )=2x +1,∴f (log 43)=34log 2+1=3+1.16.(2022·上海模拟)已知函数f (x )=2x +a ·2-x (a 为常数,a ∈R ).(1)讨论函数f (x )的奇偶性;(2)当f (x )为偶函数时,若方程f (2x )-k ·f (x )=3在x ∈[0,1]上有实根,求实数k 的取值范围. 解 (1)∵函数f (x )=2x +a ·2-x 的定义域为x ∈R ,又∵f (-x )=2-x +a ·2x ,∴①当f (-x )=f (x ),即2-x +a ·2x =2x +a ·2-x 时,可得a =1,即当a =1时,函数f (x )为偶函数;②当f (-x )=-f (x ),即2-x +a ·2x =-(2x +a ·2-x )=-2x -a ·2-x 时,可得a =-1,即当a =-1时,函数f (x )为奇函数.(2)由(1)可得,当函数f (x )为偶函数时,a =1,即f (x )=2x +2-x ,f (2x )=22x +2-2x =(2x +2-x )2-2,由题可得,(2x +2-x )2-2-k (2x +2-x )=3⇔(2x +2-x )2-k (2x +2-x )-5=0,令t =2x +2-x ,则有t 2-kt -5=0,∵x ∈[0,1],∴2x ∈[1,2],根据对勾函数的性质可知,2x +2-x ∈⎣⎡⎦⎤2,52, 即t ∈⎣⎡⎦⎤2,52, 方程t 2-kt -5=0在t ∈⎣⎡⎦⎤2,52上有实数根, 则k =t 2-5t =t -5t, 令φ(t )=t -5t, ∴φ(t )在⎣⎡⎦⎤2,52上单调递增, 且φ(2)=-12,φ⎝⎛⎭⎫52=12, ∴-12≤k ≤12, ∴实数k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤-12,12.。
指数与指数函数建议用时:45分钟一、选择题1.设a >0,将表示成分数指数幂的形式,其结果是( )a 2a ·3a 2C .故选C.]2.已知函数f (x )=4+2a x -1的图像恒过定点P ,则点P 的坐标是( )A .(1,6)B .(1,5)C .(0,5)D .(5,0)A [由于函数y =a x 的图像过定点(0,1),当x =1时,f (x )=4+2=6,故函数f (x )=4+2a x -1的图像恒过定点P (1,6).]3.设a =0.60.6,b =0.61.5,c =1.50.6,则a ,b ,c 的大小关系是( )A .a <b <c B .a <c <b C .b <a <cD .b <c <aC [y =0.6x 在R 上是减函数,又0.6<1.5,∴0.60.6>0.61.5.又y =x 0.6为R 上的增函数,∴1.50.6>0.60.6,∴1.50.6>0.60.6>0.61.5,即c >a >b .]4.函数y =(0<a <1)的图像的大致形状是( )xax|x |A BC DD [函数的定义域为{x |x ≠0},所以y ==Error!当x >0时,函数是指xax|x |数函数y =a x ,其底数0<a <1,所以函数递减;当x <0时,函数y =-a x 的图像与指数函数y =a x (0<a <1)的图像关于x 轴对称,所以函数递增,所以应选D.]5.已知函数f (x )=Error!则函数f (x )是( )A .偶函数,在[0,+∞)上单调递增B .偶函数,在[0,+∞)上单调递减C .奇函数,且单调递增D .奇函数,且单调递减C [易知f (0)=0,当x >0时,f (x )=1-2-x ,-f (x )=2-x -1,此时-x <0,则f (-x )=2-x -1=-f (x );当x <0时,f (x )=2x -1,-f (x )=1-2x ,此时,-x >0,则f (-x )=1-2-(-x )=1-2x =-f (x ).即函数f (x )是奇函数,且单调递增,故选C.]二、填空题6.若函数f (x )=a |2x -4|(a >0,a ≠1)满足f (1)=,则f (x )的单调递减区间是19________.[2,+∞) [由f (1)=得a 2=,1919所以a =或a =-(舍去),即f (x )=|2x -4|.1313(13)由于y =|2x -4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f (x )在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减.]7.不等式2-x 2+2x >x +4的解集为________.(12)(-1,4) [原不等式等价为2-x 2+2x >2-x -4,又函数y =2x 为增函数,∴-x 2+2x >-x -4,即x 2-3x -4<0,∴-1<x <4.]8.若直线y 1=2a 与函数y 2=|a x -1|(a >0且a ≠1)的图像有两个公共点,则a 的取值范围是________. [(数形结合法)当0<a <1时,作出函数y 2=|a x -1|的图像,由图像可知0<2a <1,∴0<a <;12同理,当a >1时,解得0<a <,与a >1矛盾.12综上,a 的取值范围是.]三、解答题9.已知函数f (x )=ax 2-4x +3.(13)(1)若a =-1,求f (x )的单调区间;(2)若f (x )有最大值3,求a 的值;(3)若f (x )的值域是(0,+∞),求a 的值.[解] (1)当a =-1时,f (x )=-x 2-4x +3,(13)令u =-x 2-4x +3=-(x +2)2+7.则u 在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而y =u 在R 上单调递减,所以f (x )在(-∞,-2)上单调递减,在(13)(-2,+∞)上单调递增,即函数f (x )的单调递增区间是(-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2).(2)令h (x )=ax 2-4x +3,则f (x )= h (x ),由于f (x )有最大值3,所以h (x )应(13)有最小值-1.因此必有Error!解得a =1,即当f (x )有最大值3时,a 的值为1.(3)由f (x )的值域是(0,+∞)知,函数y =ax 2-4x +3的值域为R ,则必有a =0.10.已知函数f (x )=b ·a x (其中a ,b 为常量,且a >0,a ≠1)的图像经过点A (1,6),B (3,24).(1)求f (x )的表达式;(2)若不等式x +x -m ≥0在(-∞,1]上恒成立,求实数m 的取值范(1a )(1b )围.[解] (1)因为f (x )的图像过A (1,6),B (3,24),所以Error!所以a 2=4,又a >0,所以a =2,b =3.所以f (x )=3·2x .(2)由(1)知a =2,b =3,则x ∈(-∞,1]时,x +x -m ≥0恒成立,即(12)(13)m ≤x+x在(-∞,1]上恒成立.(12)(13)又因为y =x与y =x均为减函数,所以y =x+x也是减函数,所以(12)(13)(12)(13)当x =1时,y =x +x 有最小值.所以m ≤.即m 的取值范围是.(12)(13)56561.已知a ,b ∈(0,1)∪(1,+∞),当x >0时,1<b x <a x ,则( )A .0<b <a <1 B .0<a <b <1C .1<b <aD .1<a <bC [∵当x >0时,1<b x ,∴b >1.∵当x >0时,b x <a x ,∴当x >0时,x >1.(ab )∴>1,∴a >b .∴1<b <a ,故选C.]ab 2.设f (x )=e x,0<a <b ,若p =f (),q =f ,r =,则下列关ab (a +b2)f (a )f (b )系式中正确的是( )A .q =r <pB .p =r <qC .q =r >pD .p =r >q C [∵0<a <b ,∴>,又f (x )=e x 在(0,+∞)上为增函数,∴fa +b2ab >f (),即q >p .又r ===e=q ,故q =r >p .故选C.](a +b2)ab f (a )f (b )e a e b 3.已知函数f (x )=a x (a >0,a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大,则a 的a2值为________.或 [当0<a <1时,a -a 2=,1232a2∴a =或a =0(舍去).12当a >1时,a 2-a =,a2∴a =或a =0(舍去).32综上所述,a =或.]12324.已知定义域为R 的函数f (x )=是奇函数.-2x +b 2x +1+a(1)求a ,b 的值;(2)若对任意的t ∈R ,不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0恒成立,求k 的取值范围.[解] (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (0)=0,即=0,解-1+b2+a 得b =1,所以f (x )=.-2x +12x +1+a 又由f (1)=-f (-1)知=-,-2+14+a -12+11+a 解得a =2.(2)由(1)知f (x )==-+,-2x +12x +1+21212x +1由上式易知f (x )在R 上为减函数,又因为f (x )是奇函数,从而不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0等价于f (t 2-2t )<-f (2t 2-k )=f (-2t 2+k ).因为f (x )是R 上的减函数,由上式推得t 2-2t >-2t 2+k .即对一切t ∈R 有3t 2-2t -k >0,从而Δ=4+12k <0,解得k <-.13故k 的取值范围为.(-∞,-13)1.设y =f (x )在(-∞,1]上有定义,对于给定的实数K ,定义f K (x )=Error!给出函数f (x )=2x +1-4x ,若对于任意x ∈(-∞,1],恒有f K (x )=f (x ),则( )A .K 的最大值为0B .K 的最小值为0C .K 的最大值为1D .K 的最小值为1D [根据题意可知,对于任意x ∈(-∞,1],若恒有f K (x )=f (x ),则f (x )≤K 在x ≤1上恒成立,即f (x )的最大值小于或等于K 即可.令2x =t ,则t ∈(0,2],f (t )=-t 2+2t =-(t -1)2+1,可得f (t )的最大值为1,所以K ≥1,故选D.]2.已知函数f (x )=-+3(-1≤x ≤2).14x λ2x -1(1)若λ=,求函数f (x )的值域;32(2)若函数f (x )的最小值是1,求实数λ的值.[解] (1)f (x )=-+314x λ2x -1=2x -2λ·x +3(-1≤x ≤2).(12)(12)设t =x,得g (t )=t 2-2λt +3.(12)(14≤t ≤2)当λ=时,g (t )=t 2-3t +332=2+.(t -32)34(14≤t ≤2)所以g (t )max=g =,g (t )min =g=.(14)3716(32)34所以f (x )max =,f (x )min =,371634故函数f (x )的值域为.[34,3716](2)由(1)得g (t )=t 2-2λt +3=(t -λ)2+3-λ2,(14≤t ≤2)①当λ≤时,g (t )min=g =-+,14(14)λ24916令-+=1,得λ=>,不符合,舍去;λ2491633814②当<λ≤2时,g (t )min =g (λ)=-λ2+3,14令-λ2+3=1,得λ=;2(λ=-2<14,不符合,舍去)③当λ>2时,g (t )min =g (2)=-4λ+7,令-4λ+7=1,得λ=<2,不符合,舍去.32综上所述,实数λ的值为.2。
第 1 页 共 5 页2021年新高考数学总复习第9讲:指数函数1.【多选题】下列结论中正确的是( )A .当a<0时,(a 2)32=a 3B.na n =|a|(n>1,n ∈N *,n 为偶数)C .函数f(x)=(x -2)12-(3x -7)0的定义域是{x|x ≥2且x ≠73}D .若5a =0.3,0.7b =0.8,则ab>0 答案 BC解析(a 2)32>0,a 3<0,故A 错,∵0<5a <1,0<0.7b <1,∴a<0,b>0,∴ab<0.故D 错.2.当x>0时,函数f(x)=(a 2-1)x 的值总大于1,则实数a 的取值范围是( ) A .1<|a|<2 B .|a|<1 C .|a|> 2 D .|a|< 2答案 C3.若函数f(x)=⎝⎛⎭⎫a +1e x -1cosx 是奇函数,则常数a 的值等于( )A .-1B .1C .-12D.12答案 D4.【多选题】下列函数中值域为正实数集的是( ) A .y =5-xB .y =⎝⎛⎭⎫131-xC .y =⎝⎛⎭⎫12x-1D .y =3|x|答案 AB5.(2017·北京)已知函数f(x)=3x -⎝⎛⎭⎫13x,则f(x)( )A .是奇函数,且在R 上是增函数B .是偶函数,且在R 上是增函数C .是奇函数,且在R 上是减函数D .是偶函数,且在R 上是减函数答案 A解析 ∵f(-x)=3-x-⎝⎛⎭⎫13-x =⎝⎛⎭⎫13x -3x =-[3x -⎝⎛⎭⎫13x]=-f(x),∴f(x)为奇函数.又函数y 1。