艺术生高考数学复习学案(1-36)

高中艺术生数学课教案教学内容：平面几何教学目标：1.掌握平面图形的基本概念；2.能够运用平面几何知识解决实际问题；3.培养学生的空间想象能力。

教学重点：1.平面图形的性质和特点；2.平面几何知识的运用。

教学难点：1.空间想象能力的培养；2.实际问题的解决方法。

教学准备：1.教学用图形卡片；2.黑板和彩色粉笔；3.计算器。

教学步骤：一、导入活动（5分钟）1.利用教学用图形卡片展示不同的平面图形，让学生猜测图形的名称和性质；2.让学生描述某个平面图形的特点，引出平面图形的基本概念。

二、知识讲解（15分钟）1.讲解平行四边形、正方形、长方形等平面图形的性质和特点；2.讲解平面几何知识的基本概念和应用。

三、示范演练（20分钟）1.教师出示一道平面几何题目，让学生利用所学知识解答；2.学生进行个人或小组讨论，解答问题；3.教师进行讲解并解答疑问。

四、实践应用（15分钟）1.让学生在实际场景中应用平面几何知识，解决问题；2.学生进行操作和计算，展示解决问题的方法和过程。

五、课堂总结（5分钟）1.总结本节课学到的知识和技能；2.引导学生思考平面几何在日常生活中的应用。

六、作业布置（5分钟）1.布置相关练习题，巩固所学知识；2.鼓励学生多思考，勇于尝试解决问题。

教学反思：本节课通过导入活动引起学生兴趣，激发学习动力；知识讲解和示范演练让学生掌握了平面几何知识和解题方法；实践应用培养了学生的实际问题解决能力。

通过本节课的教学，学生不仅掌握了平面几何知识，还提升了空间想象能力和实践能力。

§84数系的扩张与复数的四则运算⑴【考点及要求】了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法及复数相等的充要条件。

理解复数代数形式的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则运算。

【基础知识】1.数的扩展：数系扩展的脉络是： → → ，用集合符号表示为 ⊆ ⊆ ，实际上前者是后者的真子集.2.复数的概念及分类：⑴概念：形如(,)a bi a b R +∈的数叫做 ，其中a b 与分别为它的 和 .⑵分类：①若(,)a bi a b R +∈为实数，则 ，②若(,)a bi a b R +∈为虚数，则 ，③若(,)a bi a b R +∈为纯虚数，则 ；⑶复数相等：若复数(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈⇔ ； ⑷共轭复数：(,,,)a bi c di a b c d R ++∈⇔与共轭 ；3.复数的加、减、乘、除去处法则：设12|||2(z z z a a ---=12｜z ｜|为正常数,2a<|z -z|） 则 ⑴加法： 12()()z z a bi c di +=+++＝ ； ⑵减法： 12()()z z a bi c di -=+-+＝ ； ⑶乘法： 12()()z z a bi c di ∙=+∙+＝ ；⑷乘方： mnz z ∙= ；()m nz = ；12()n z z ∙= ；⑸除法：12z a bi z c di +==+12z a bi z c di+==+ ＝ ； 4.复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 ， 叫做实轴， 叫做虚轴；实轴上的点表示 ，除原点外，虚轴上的点都表示 . 5.复数的模：向量OZ 的模叫做复数(,)z a bi a b R =+∈的 （或 ），记作 （或 ），即||||z a bi =+＝ ；复数模的性质：⑴121212||||||||||z z z z z z -≤±≤+；⑵2222||||||||z z z z z z ====∙； 6. 常见的结论： ⑴4411nn i +=4n+24n+34n+4n n+1n+2n+3的运算律：i，i ＝i,i =-1,i =-i,i =1,i +i +i +i =0；⑵2(1)i ±= ；11i i +=- ；11ii-=+ ；⑶1,22ωω-±3设＝则＝ ；2ω＝ ；21ωω++＝ ； 【基本训练】1．若i b i i a -=⋅-)2(，其中,,a b R i ∈是虚数单位，则22a b +等于 ． 2．设复数121,2()z i z x i x R =+=+∈，若12z z 为实数，则x 等于 ． 3．若cos sin (z i i θθ=+是虚数单位），则使21z =-的θ值可能是 ． 4．22)1(1)1(1i ii i -+++-等于______________. 5．已知复数032z i =+，复数z 满足025z i z z -∙=，则复数z = _______________. 6．i 是虚数单位，23482348i i i i i +++++ = ____________.【典型例题】例1．已知：复数z =)()65()67(22R a i a a a a ∈--++-，试求实数a 分别取什么值时，复数z 分别为： ⑴实数；⑵虚数；⑶纯虚数；⑷复数z 在复平面上对应的点在x 轴上方；练习：复数z 的实部和虚部都为整数，且满足z + z 10是实数，1 < z + z10≤6，求复数z.例2.计算下列各题： ⑴ 54)31()22(i i -+ ⑵2007)12(321,32i ii -+++- ⑶ )125)(1()32)(32(i i i i ---+ ⑷iii i 2332)11(6-++-+【课堂检测】1．下列命题中：⑴两个复数一定不能比较大小；⑵z m ni =+，当且仅当0,0m n =≠时，z 为虚数；⑶如果22120z z +=，则120z z ==；⑷如果123,,z z z C ∈，则221223()()0z z z z -+-≥，其中正确的的命题的个数是 ． 2．3321ii ++＝_____； 2005)11(i i -+ = ______；复数4)11(i +＝________； 复数z =i-11的共轭复数是______；3．已知复数z =,2321i +-则2320081z z z z +++++= ．4．若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b = ______________. 5．设)()11()11()(Z n ii i i n f nn ∈--+-+=，则集合中的元素个数为 ．6．已知复数1z i =+，如果i z z baz z -=+-++1122，求实数a 、b 的值.§84 数系的扩张与复数的四则运算⑵【基础训练】1．若复数2(1)(1)z m m m i =++-是纯虚数，则实数m 的值为 ． 2．复数z =111-++-ii在复平面内所对应的点在 ． 3．若u =,2321i +-v =,2321i --给出下列命题⑴1uv =;⑵33v u +2=;⑶111=+v u ;⑷2u v =其中正确的命题是 ．4．如果1z 、2z C ∈且满足1212||||||1z z z z ==-=，则12||z z += ． 【典型例题】例3．设z 为虚数，zz 1+=ω是实数，且21<<-ω， ⑴求||z 的值及z 的实部的取值范围； ⑵设zz u +-=11，求证：u 为纯虚数；⑶求2u -ω的最小值．练习：设x 、y 是实数，且ii y i x 315211-=---，求x y +的值.例4. 若关于x 的方程22(3)0x t t tx i +++=有纯虚数根，求实数t 的值和该方程的根.练习：关于x 的方程2(2)10,()x i x mi m R -+++=∈有一实根为n ，设复数(2)(12)z m i ni =+-,求m 、n 的值及复数z 的值．例5．设关于x 的方程2(tan )(2)0x i x i θ-+-+=.（1）若方程有实数根，求锐角θ和方程的实根； （2）证明：对任意()2k k Z πθπ≠+∈，方程无纯虚数根.练习：已知关于t 的方程2(2)2()0,(,)t i t xy x y i x y R ++++-=∈.（1）当方程有实根时，求点(,)x y 的轨迹方程； （2）若方程有实根，求此实根的取值范围.【课堂小结】【课堂检测】 1．复数ii+1在复平面上对应的点位于第_______象限. 2．复数(m 2– 3m – 4) + (m 2– 5m – 6)i 表示的点在虚轴上，则实数m 的值是___________. 3．若复数z 满足|z| - z =i2110-，则z = _____________. 4．若复数z 满足方程220z +=，则3z = _______；5．若关于x 的一元二次实系数方程20x px q ++=有一根为1(i i +为虚数单位），则q = ．6．设286z i =+，求310016z z z--的值.【课堂作业】1．已知复数z 1、z 2满足|z 1| = |z 2| = 1，且z 1 + z 2 = i ，求z 1、z 2 .2．已知复数z 满足|z – (4 – 5i)| = 1，求|z + i|的最大值与最小值.3．已知复数z 、w 满足w = iz+2，(1+3i)z 为纯虚数，|w| = 52，求w.4．已知()23,()63f z z z i f z i i =+-+=-. 求()f z -.5．已知关于x 的方程x 2– (6 +i)x + 9 + ai = 0（a ∈R ）有实数根b. （1）求实数a 、b 的值；（2）若复数z 满足|z - a – bi| - 2|z| = 0，求z 为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的值.§85 复数的几何意义⑴【考点及要求】了解复数的代数表示法及几何意义；理解复数及复数加、减运算的几何意义，并能根据几何意义解决简单问题。

椭圆[考试要求]1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e ＝ca ，且e ∈(0,1)a ，b ，c 的关系 c 2＝a 2－b 2[常用结论]1．点P (x 0，y 0)和椭圆的位置关系 (1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔2．焦点三角形如图，椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．设r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中：(1)当r 1＝r 2，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大； (2)，当|y 0|＝b ，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .(3)a －c ≤|PF 1|≤a ＋c .(4)|PF 1|＝a ＋ex 0，|PF 2|＝a －ex 0. (5)当PF 2⊥x 轴时，点P 的坐标为.(6)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ.3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边长，a 2＝b 2＋c 2.4．已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a .5．椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦AB (AB 不平行于对称轴)的中点，则有6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长设直线l 与圆锥曲线C 的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若直线l 斜率为k ，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].当直线l 的斜率不存在时，|AB |＝|y 1－y 2|.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )(4)关于x ，y 的方程mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、教材习题衍生1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10D [依椭圆的定义知：|PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10.]2．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．(3,4)∪(4,5)[由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k ＞0，k －3＞0，5－k ≠k －3.解得3＜k ＜5且k ≠4.]3．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1 [设P (x P ，y P )，x P ＞0，由题意知|F 1F 2|＝2. 则S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|y P |＝1，解得|y P |＝1. 代入椭圆的方程，得x 2P 5＋14＝1，解得x P ＝152， 因此点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1.] 第1课时 椭圆及其性质考点一 椭圆的定义及其应用椭圆定义的应用类型及方法(1)探求轨迹：确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．(2)应用定义转化：涉及焦半径的问题，常利用|PF 1|＋|PF 2|＝2a 实现等量转换．(3)焦点三角形问题：常把正、余弦定理同椭圆定义相结合，求焦点、三角形的面积等问题．[典例1] (1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1B ．x 248＋y 264＝1C.x248－y264＝1 D．x264＋y248＝1(2)如图，椭圆x2a2＋y24＝1(a＞2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2的面积为()A．233B．332C．334D．433(3)设F1，F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________．(1)D(2)D(3)－5[(1)设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为x264＋y248＝1.(2)由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|2＝4a2－16，由余弦定理得4a2－16＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，即4a2－16＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝163，∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin 60°＝433，故选D.(3)由题意知，点M在椭圆外部，且|PF1|＋|PF2|＝10，则|PM|－|PF1|＝|PM|－(10－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－10≥|F2M|－10(当且仅当点P，M，F2三点共线时等号成立)．又F2(3,0)，则|F2M|＝(6－3)2＋(4－0)2＝5.∴|PM |－|PF 1|≥－5，即|PM |－|PF 1|的最小值为－5.]点评：解答本例(3)的关键是差式(|PM |－|PF 1|)转化为和式(|PM |＋|PF 2|－10)．而转化的依据为|PF 1|＋|PF 2|＝2a .[跟进训练]1．已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为( )A.x 212＋y 211＝1 B ．x 236－y 235＝1 C.x 23－y 22＝1D ．x 23＋y 22＝1D [由题意得|P A |＝|PB |，∴|P A |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝r ＝23＞|AF |＝2，∴点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝1，∴b ＝2， ∴动点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1，故选D.]2．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.3 [法一：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2， 所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，所以b ＝3.法二：∵PF 1⊥PF 2，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴S △PF 1F 2＝b 2tan 45°＝9，∴b 2＝9，∴b ＝3.] 考点二 求椭圆的标准方程待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤[典例2] (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________． (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．(3)已知中心在坐标原点的椭圆过点A (－3,0)，且离心率e ＝53，则椭圆的标准方程为________．(1)y 210＋x 26＝1 (2)y 220＋x 24＝1 (3)x 29＋y 24＝1或y 2814＋x 29＝1 [(1)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n ＞0，m ≠n )．由⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110. ∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1.(2)法一：椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4. 由椭圆的定义知， 2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4， ∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.法二：∵所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同， ∴其焦点在y 轴上， 且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． ∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2， 故a 2－b 2＝16.①又点(3，－5)在所求椭圆上， ∴(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1， 则5a 2＋3b 2＝1.②由①②得b 2＝4，a 2＝20， ∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.(3)若焦点在x 轴上，由题知a ＝3，因为椭圆的离心率e ＝53，所以c ＝5，b ＝2，所以椭圆方程是x 29＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝3，a 2－c 2＝9，又离心率e ＝c a ＝53，解得a 2＝814，所以椭圆方程是y 2814＋x29＝1.]点评：利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )的形式．[跟进训练]1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B ．x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1D ．x 29＋y 25＝1D [由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝12，所以a ＝3.因为椭圆的离心率e ＝c a ＝23，所以c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1，故选D.]2．(2020·通州模拟)设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点是同一个正三角形的顶点，焦点与椭圆上的点的最短距离为3，则这个椭圆的方程为________，离心率为________．x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 12 [焦点与椭圆的最短距离为a －c ＝3， a ＝2c ，∴c ＝3，a ＝23，b ＝3， ∴椭圆方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1. 离心率e ＝c a ＝12.]考点三 椭圆的几何性质1.求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，转化为e 的关系式，常用方法如下：(1)直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝ca 求解．(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝1－b2a2求解．(3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.2．利用椭圆几何性质求值或范围的思路(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求解．椭圆中的基本量a，b，c[典例3－1]嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100千米，远月点与月球表面距离为400千米，已知月球的直径约为3 476千米，对该椭圆有四个结论：①焦距长约为300千米；②长轴长约为3988千米；③两焦点坐标约为(±150,0)；④离心率约为75 994.则上述结论正确的是()A．①②④B．①③④C．①④D．②③④C[设该椭圆的半长轴长为a，半焦距长为c. 依题意可得月球半径约为12×3 476＝1 738，a－c＝100＋1 738＝1 838，a＋c＝400＋1 738＝2 138，2a＝1 838＋2 138＝3 976，a＝1 988，c ＝2 138－1 988＝150，椭圆的离心率约为e ＝c a ＝1501 988＝75994，可得结论①④正确，②错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以③错误．故选C.]点评：探求椭圆的长轴、短轴、焦距等问题，只要抓住题设中的信息，直译解方程即可．离心率[典例3－2] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32B ．2－ 3C ．3－12D ．3－1(2)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．(1)D (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 [(1)由题设知∠F 1PF 2＝90°，∠PF 2F 1＝60°，|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c .由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即3c ＋c ＝2a ，所以(3＋1)c ＝2a ，故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝23＋1＝3－1.故选D. (2)若存在点P ，则∠F 1BF 2≥90°(B 为短轴端点)，即b ≤c ＜a ，即b 2≤c 2，∴a 2－c 2≤c 2，∴a 2≤2c 2，∴22≤e ＜1.]点评：与几何图形有关的离心率问题，常借助勾股定理、正(余)弦定理求解；对于(2)这种探索性问题常采用临界点法求解．与椭圆有关的最值(范围问题)[典例3－3] (1)(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)(2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，若P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A ．2B ．3C ．6D ．8(1)A (2)C [(1)由题意知，当M 在短轴顶点时，∠AMB 最大．①如图1，当焦点在x 轴，即m ＜3时，a ＝3，b ＝m ，tan α＝3m≥tan 60°＝3，∴0＜m ≤1.图1 图2②如图2，当焦点在y 轴，即m ＞3时，a ＝m ，b ＝3，tan α＝m 3≥tan 60°＝3，∴m ≥9. 综上，m 的取值范围(0,1]∪[9，＋∞)，故选A.(2)由题意知，O (0,0)，F (－1,0)，设P (x ，y )，则OP→＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋y 2＋x .又∵x 24＋y 23＝1，∴y 2＝3－34x 2，∴OP →·FP →＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2. ∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP →·FP→有最大值6.] 点评：本例(1)的求解恰恰应用了焦点三角形中张角最大的情形，借助该临界点，然后数形结合求解；本例(2)的求解采用了先建模，再借助椭圆中变量x 的有界性解模的思路．1．(2021·全国统一考试模拟演练)椭圆x 2m 2＋1＋y 2m 2＝1(m ＞0)的焦点为F 1，F 2，上顶点为A ，若∠F 1AF 2＝π3，则m ＝( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2C [a 2＝m 2＋1，b 2＝m 2，则c 2＝a 2－b 2＝1，由题意b ＝3c ，则b 2＝3c 2＝3＝m 2，又m ＞0，则m ＝ 3.]2．(2020·攀枝花模拟)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过椭圆上的点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，若四边形F 1F 2PQ 为菱形，则该椭圆的离心率为( )A ．2－12 B ．3－12C ．2－1D ．3－1B [由题意，F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 因为四边形F 1F 2PQ 为菱形，所以P (2c ，3c )，将点P 坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1可得：4c 2a 2＋3c 2b 2＝1，整理得4c 4－8a 2c 2＋a 4＝0，所以4e 4－8e 2＋1＝0，因0＜e ＜1，故e ＝3－12.]。

艺考生高中数学教案
主题：数列的概念与性质
目标：通过本节课的学习，学生能够了解数列的概念、性质以及常见的数列类型，并能够应用数列的知识解决相关问题。

教学时间：1课时
教学地点：教室
教学目标：
1. 理解数列的基本概念和性质；
2. 掌握等差数列和等比数列的定义和性质；
3. 能够解决基础的数列相关问题。

教学内容：
1. 数列的概念和表示方法；
2. 数列的前n项和及通项公式；
3. 等差数列和等比数列的定义和性质；
4. 数列问题的解决方法。

教学步骤：
1. 引入：通过一个生活中的例子引入数列的概念，让学生理解数列是一组按照特定规律排列的数的集合。

2. 探究：学生自行探究等差数列和等比数列的定义和性质，教师引导学生思考数列之间的规律和关系，并帮助学生总结归纳。

3. 练习：学生进行相关习题练习，加深对等差数列和等比数列的理解和应用能力。

4. 总结：通过课堂讨论和总结，梳理数列的概念、常见性质和解题方法。

5. 作业：布置相关练习作业，巩固学生的学习成果。

教学资源：
1. 数学教材；
2. 习题练习册；
3. 多媒体教学设备。

评估方式：
1. 课堂练习成绩；
2. 学生表现和参与度；
3. 作业完成情况。

教学反思：
1. 教学设计是否合理和完整；
2. 学生理解和掌握程度；
3. 学生的学习兴趣和参与度。

扩展拓展：
1. 数列在生活中的应用；
2. 更复杂的数列类型和问题。

教案编写人：（姓名）
以上为本节课的高中数学教案范本，希望对您有所帮助！。

§1集合（1）【基础知识】集合中元素与集合之间的关系：文字描述为 和 符号表示为 和常见集合的符号表示：自然数集 正整数集 整数集有理数集 实数集集合的表示方法1 2 3集合间的基本关系：1相等关系：_________A B B A ⊆⊆⇔且 2子集：A 是B 的子集，符号表示为______或B A ⊇ 3 真子集：A 是B 的真子集，符号表示为_____或____不含任何元素的集合叫做 ，记作 ，并规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的【基本训练】1．下列各种对象的全体，可以构成集合的是(1)某班身高超过1.8m 的女学生； （2）某班比较聪明的学生；（3）本书中的难题 （4）使232x x -+最小的x 的值2． 用适当的符号(,,,,)∈∉=⊂⊃填空：___;Q π {}3.14____Q ； *___;N N {}{}21,____21,x x k k Z x x k k z =+∈=-∈3．用描述法表示下列集合： 由直线1y x =+上所有点的坐标组成的集合；4．若A B B ⋂=，则____A B ；若A B B ⋃=则_____;_____A B A B A B ⋂⋃5．集合{}{}35,A x x B x x a =-<=<，且A B ⊆，则a 的围是【典型例题讲练】例1 设集合11,,,2442k k M x x k Z N x x k Z ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则_______M N练习： 设集合11,,,3663k k P x x k Z Q x x k Z ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则______P Q 例2已知集合{}2210,,A x ax x x R a =++=∈为实数。

（1） 若A 是空集，求a 的取值围；（2） 若A 是单元素集，求a 的取值围；（3） 若A 中至多只有一个元素，求a 的取值围； 练习：已知数集1,,a P b b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，数集{}20,,Q a b b =+，且P Q =，求,a b 的值【【课堂小结】集合的概念及集合元素的三个特性【课堂检测】1． 设全集,U R =集合{}1M x x =>，{}21P x x =>，则______M P2． 集合{}{}2320,10,P x x x Q x mx =-+==-=若P Q ⊇，则实数m 的值是3．已知集合A 有n 个元素，则集合A 的子集个数有 个，真子集个数有 个4．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2m }．若B A ⊆，则实数m ＝ ．5．已知含有三个元素的集合2{,,1}{,,0},b a a a b a =+求20042005a b +的值.§2集合（2）【典型例题讲练】例3 已知集合{}23100A x x x =--≤(1) 若{},121B A B x m x m ⊆=+≤≤-，数m 的取值围。

一、集合与简易逻辑：一、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征： ， ， 。

（2）集合与元素的关系用符号 ， 表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、实数集 。

（4）集合的表示法： ， ， 。

注意：区分集合中元素的形式：如：}12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C }12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==； }12|)',{(2++==x x y y x F ；},12|{2xy z x x y z G =++== （5）空集是指不含任何元素的集合。

（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。

如：}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值。

二、集合间的关系及其运算（1）符号“∉∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；符号“⊄⊂,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。

（2）_}__________{_________=B A ；____}__________{_________=B A ； _}__________{_________=A C U（3）对于任意集合B A ,，则：①A B B A ___；A B B A ___；B A B A ___；②⇔=A B A ；⇔=A B A ；⇔=U B A C U ；⇔=φB A C U ；③=B C A C U U ； )(B A C U =；（4）①若n 为偶数，则=n ；若n 为奇数，则=n ；②若n 被3除余0，则=n ；若n 被3除余1，则=n ；若n 被3除余2，则=n ；三、集合中元素的个数的计算：（1）若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。

艺术生高考数学复习资料1、1、1任意角一、【学习目标】1、将00—3600的角推广到任意角；2、理解任意角、象限角、终边相同的角的概念和含义；3、理解象限角集合、终边相同角集合、轴线角集合.<1>什么是角？角是怎么定义的？结论：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 如图所示，一条射线的端点是O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB，形成一个角∠α，射线OA、OB分别是角α的始边和终边.注意：为了简单起见，在不引起混淆的前提下，∠α可以简记为α.<2>什么是正角？什么是负角？什么是零度角？结论：按逆时针方向旋转形成的角是正角.按顺时针方向旋转所形成的角叫负角.一条射线没有做任何旋转，我们称为零角.<3>什么是任意角？结论：这样，我们把角分为了正角、负角、零度角，我们就把角的概念推广到了任意角. 如图所示.图1中的角是一个正角，它等于750；图2中的正角为2100，负角为-1500，-6600.<1>什么是象限角？结论：我们常在直角坐标系内讨论角，为了讨论问题方便，我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.例如，图中的300角、-1200角分别是第一象限角和第三象限角.<2>将角按照上述方法放在直角坐标系中，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应.反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？（终边相同的角.）结论：不难发现，在图中，如果-320的终边是OB，那么3280，-3920……角的终边都是OB，并且与-32角终边相同的这些角都可以表示成-32的角与k个（k∈Z）周角的和，如3280=-320+3600（这里k=1），-3920=-320-3600（这里k=-1）.设S={β|β=-32+k360，k∈Z }，则3280，-3920都是S的元素，-320也是S 的元素，这里k=0.因此所有与-320角终边相同的角，连同-320在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素显然与-320角终边相同.一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S={β|β=α+k3600，k∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.注意：①α为任意角；②k3600与α之间是“+”号，k3600-α可以理解为k3600+（-α）.③相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，中边相同的角有无数个，它们相差3600的整数倍；④k∈Z这一条件必不可少.练习一：教材例1、例2、例3例1.例1、在0360︒︒~X 围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：0360︒︒－是指0360β︒︒≤<）例2、写出终边在y 轴上的角的集合.例3、写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α︒-≤720︒<的元素β写出来.练习二：教材第5页练习（1）、（2）(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.(2)(回答)今天是星期三那么7()k k Z ∈天后的那一天是星期几?7()k k Z ∈天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?练习三：教材第5页练习（3）、（4）、（5）. 【教学效果】：理解象限角、轴线角的概念. 3、知识点引申 <1>象限角集合第一象限角的集合为：{x|k3600<x<k3600+900，k ∈Z}; 第二象限角的集合为：{x|k3600+900<x<k3600+1800，k ∈Z} 第三象限角的集合为：{x|k3600+1800<x<k3600+2700，k ∈Z} 第四象限角的集合为：{x|k3600+2700<x<k3600+3600，k ∈Z} <2>轴线角的集合终边落在x 轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=k3600，k ∈Z} 终边落在x 轴的非正半轴上的角的集合为{x|x=k3600+1800，k ∈Z} 终边落在x 轴上的角的集合为{x|x=k1800，k ∈Z}终边落在y 轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=k3600+900，k ∈Z} 终边落在y 轴的非正半轴上的角的集合为{x|x=k3600—900，k ∈Z} 终边落在y 轴上的角的集合为{x|x=k1800+900，k ∈Z}【教学效果】：理解轴线角、象限角的集合，对以后的学习是很有用的.1、1、2弧度制一、【学习目标】1、理解弧度的概念，会熟练的进行角度与弧度的转换；2、能用弧度表示终边相同角的角；3、熟记并能熟练应用弧长公式、扇形面积公式. <1>什么叫角度制，请简要复述之.结论：角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等. <2>什么叫做弧度制，请简要复述之.结论：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).如图所示：<3>半径为r 的圆的圆心与圆点重合，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，交圆于点A ，终边与圆交于点B.请在下列表格中 填空.结论：我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.<4>如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少?结论：角α的弧度数的绝对值是：r l /=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 角的正负主要由角的旋转方向来决定 <5>熟记下列特殊角的弧度数：00，300，450，600，900，1200，1350，1500，1800，2100，2250，2400，2700，3000，3150，3300，3600 结论：角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.例1、按照下列要求,把'6730︒化成弧度:精确值；精确到0.001的近似值. 例2、将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001). 例4、利用计算器比较sin1.5和sin850的大小.注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=,另外注意计算器计算非特殊角的方法.<6>利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1)l R α=; (2)20.5S R α=; (3)0.5S lR =.其中R 是半径,l 是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积. 训练题1、已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的中心角是多少？（2或4）2、已知扇形的周长为10cm ，面积为4cm 2，求扇形圆心角的弧度数.3、已知扇形的圆心角为72，半径等于200，求扇形的面积.4、与-15600终边相同的角的集合中，最小正角是多少？最大负角是多少？绝对值最小的角是多少？任意角的三角函数教学目的：1、 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，；2、 掌握三角函数值的符号的确定方法；3、 记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）； 教学重点、难点重点：三角函数的定义，各三角函数值在每个象限的符号，特殊角的三角函数值难点：对三角函数的自变量的多值性的理解，三角函数的求值中符号的确定 教学过程： 一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b asinA cosA tanA c c b=== ． 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

如何有效的对高三艺体生进行数学复习摘要：艺体生是高三学生中一个非常重要的群体。

他们在高三既要通过专业测试，又要复习所有高中阶段的文化课。

因专业培训和考试导致艺术考生在高三上学期基本无法在学校完成复习，下学期返校后的复习时间也被各种模拟考试切割的七零八落。

因此，这一部分特殊的考生如何在有限的时间提高复习效率，取得好的成绩便成为一个新的课题。

关键词：如何有效高三艺体生数学复习中图分类号：g63 文献标识码：a 文章编号：1673-9795（2013）04（c）-0165-01作为一名多年担任艺术班教学的数学教师，我认为占提高艺体生文化分空间最大的一科——数学对提高总成绩有着至关重要的作用！艺术生数学基础较差，学习能力较弱，为他们量身定制好的教学方法，使艺术生能接受数学，进而学好数学是关键。

结合自身教学实践，就如何做好高中艺体生的数学复习谈几点认识。

1 研究考试说明，试做高考题高三艺体生真正的学习文化课的时间是下学期不到三个月的时间。

在短短三个月时间里要像文化生那样按照复习资料全部复习一遍是不可能的。

这就需要我们合理安排时间、认真研究高考说明。

我认为首先应先通篇阅读考试说明，这样对高考内容有了大致的了解，这一过程也有稳定学生心态的作用。

其次学生可以试做一套高考题，最好是去年的。

这样学生对高考难度及自身水平有了正确的了解，方便自己制定合适的目标。

2 确定目标，稳定心态艺体生回校时间正处于而三轮复习的时候，时间紧迫，且任务繁重，学生不知如何下手，并处于紧张、恐惧、浮躁的状态。

艺体生普遍数学基础差，每个人的状况不同，因此有着显著的差异。

在短时间内提高数学成绩是不太容易的。

教师要制定出一套复习方案，应在保证学生原有水平基础上对其有所提高，确保艺术生得到正常的发挥，并在条件允许的情况下有更好的突破。

要让学生知道艺体生高考文化分数要求相对纯文化生还是要低一些，不需要像纯文化生全部都掌握，只要确定目标尽量把会的分都得到即可。

三、平面向量1．基本概念：向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。

2． 加法与减法的代数运算：(1)n n n A A A A A A A A 113221=+++- ．(2)若a =（11,y x ）,b =（22,y x ）则a ±b =（2121,y y x x ±±）． 向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

以向量AB =a 、AD =b 为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量AC =a +b ,=b －a ,=a －b且有︱︱－︱︱≤︱±︱≤︱︱+︱︱．向量加法有如下规律：＋=＋(交换律); +(+c )=(+ )+c （结合律）; +0= ＋(－)=0.3．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量。

(1)︱λa ︱=︱λ︱·︱a ︱;(2) 当λ＞0时，λ与的方向相同；当λ＜0时，λ与的方向相反；当λ=0时，λ=0．(3)若=（11,y x ），则λ·=（11,y x λλ）． 两个向量共线的充要条件：(1) 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b =λa ． (2) 若=（11,y x ）,b =（22,y x ）则∥b 01221=-⇔y x y x ． 平面向量基本定理：若e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使得a =1λe 1+ 2λe 2．4．P 分有向线段21P P 所成的比：设P 1、P 2是直线l 上两个点，点P 是l 上不同于P 1、P 2的任意一点，则存在一个实数λ使P P 1=λ2P P ，λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比。

当点P 在线段21P P 上时，λ＞0；当点P 在线段21P P 或12P 的延长线上时，λ＜0； 分点坐标公式：若P P 1=λ2P P ；21,,P P P 的坐标分别为（11,y x ）,（y x ,）,（22,y x ）；则⎩⎨⎧++=++=λλλλ112121x x x y y y （λ≠－1）， 中点坐标公式：⎩⎨⎧+=+=222121x x x y y y ．5． 向量的数量积： （1）向量的夹角：已知两个非零向量与b ，作=, =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量与b 的夹角。

高三艺术生数学知识点在高三阶段，作为艺术生的学生们需要加强对数学知识点的掌握，以应对高考数学的考试要求。

以下是一些高三艺术生需要重点复习的数学知识点。

1. 高中数学基础知识回顾在开始复习高三数学知识点之前，艺术生需要回顾和巩固高中数学的基础知识，包括数列、函数、图形的性质、三角函数、概率等内容。

2. 复数与向量复数是艺术生需要重点关注的数学知识点之一，包括复数的定义、运算法则、共轭复数以及与实数的关系。

此外，向量也是需要掌握的重要内容，涉及向量的表示方法、运算法则、数量积和向量积等。

3. 函数与导数函数与导数是高考数学中的重点内容，艺术生需要重点关注函数的性质、图像与变化规律、三角函数的图像与性质。

同时，导数的概念、性质、常用函数的导数以及导数的应用也是需要掌握的内容。

4. 三角函数与解三角形艺术生需要熟悉三角函数的定义、性质、常用角的三角函数值以及三角函数的图像与变化规律。

此外，解三角形的方法、定理等也需要重点复习。

5. 数列与数学归纳法数列是高考数学中的常考点，艺术生需要熟悉数列的定义、性质、通项公式、数列的极限以及等差数列、等比数列等特殊数列的特点。

同时，数学归纳法作为证明数列等式的重要方法也需要掌握。

6. 概率与统计概率与统计是高考数学考试中的一大模块，艺术生需要掌握概率的基本概念、性质，包括事件的计算、概率的计算、条件概率以及排列组合等内容。

同时，统计学的基本概念、统计量的计算、直方图、折线图、频率分布表等图表的解读也需要重点复习。

7. 解析几何解析几何是高考数学中的难点之一，艺术生需要熟悉平面直角坐标系、曲线的方程与性质、直线与圆的相交情况、双曲线与抛物线等内容。

8. 数学证明数学证明是高考数学考试中的重要环节，艺术生需要掌握证明的基本方法与思路，包括直接证明、间接证明、递推证明、反证法等常用证明方法。

总之，高三艺术生在备战高考数学中，需要全面复习数学的基础知识，并重点关注复数与向量、函数与导数、三角函数与解三角形、数列与数学归纳法、概率与统计、解析几何以及数学证明等知识点。

艺术生高中数学讲解教案
目标：学生能够理解几何中的艺术结构，掌握相关数学知识和技能
教学重点：平面几何的基本概念，几何图形的构造和性质
教学难点：抽象的几何结构和艺术形式的联系
教学内容：
1.引入：讲解几何和艺术之间的联系，介绍几何结构在艺术中的应用
2.讲解：通过讲解平面几何的基本概念，如点、线、面，以及几何图形的构造和性质，引
导学生理解几何结构在艺术中的表现形式
3.示范：展示一些艺术作品，分析其中的几何结构和构图原则，让学生感受几何艺术的美
感
4.练习：让学生通过练习几何题目，加深对几何结构的理解和掌握相关数学技能
5.总结：通过总结本节课的内容，强调几何结构与艺术作品之间的联系，并鼓励学生发现
和欣赏几何艺术中的美感
教学方法：讲授相结合、示范引导、练习巩固
教学工具：教学PPT、绘图工具、相关几何图形实物
扩展思考：要求学生通过观察周围的艺术作品，思考其中可能涉及的几何结构和构图原则，培养学生对艺术和数学的综合性思维能力
作业布置：让学生自选一个艺术作品，并分析其中的几何结构和构图原则，写一份结合数
学和艺术的分析报告
评价方式：以学生的作业表现和课堂表现为主要评价依据，注重学生对几何结构与艺术作
品之间联系的理解和应用能力。

艺术生年度高考数学复习学案(doc 91页)更多企业学院：《中小企业管理全能版》183套讲座+89700份资料《总经理、高层管理》49套讲座+16388份资料《中层管理学院》46套讲座+6020份资料《国学智慧、易经》46套讲座《人力资源学院》56套讲座+27123份资料《各阶段员工培训学院》77套讲座+ 324份资料《员工管理企业学院》67套讲座+ 8720份资料《工厂生产管理学院》52套讲座+ 13920份资料《财务管理学院》53套讲座+ 17945份资料《销售经理学院》56套讲座+ 14350份资料《销售人员培训学院》72套讲座+ 4879份资料更多企业学院：《中小企业管理全能版》183套讲座+89700份资料《总经理、高层管理》49套讲座+16388份资料《中层管理学院》46套讲座+6020份资料《国学智慧、易经》46套讲座《人力资源学院》56套讲座+27123份资料《各阶段员工培训学院》77套讲座+ 324份资料《员工管理企业学院》67套讲座+ 8720份资料《工厂生产管理学院》52套讲座+ 13920份资料《财务管理学院》53套讲座+ 17945份资料《销售经理学院》56套讲座+ 14350份资料《销售人员培训学院》72套讲座+ 4879份资料§37平面向量 1 (1)【考点及要求】1．解掌握平面向量的概念；2．握平面向量的线性运算．【基础知识】1．向量的概念（向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量）；2．向量的加法与减法（法则、几何意义）；3．实数与向量的积（定义、运算律、两个向量共线定理）；4．平面向量基本定理.【基本训练】1．判断下列命题是否正确：⑴两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；（）⑵若四边形ABCD是平行四边形，则=；（）⑶若∥，∥，则∥；（）⑷若与是共线向量，则A、B、C、D四点共线；（）⑸若++=，则A、B、C三点共线；（）2．若ABCD为正方形，E是CD的中点，且=，=，则等于（）A．+ B．C．+ D．3．设M为△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是（）A．++ B．++C．++ D．3+4．已知C是线段AB上一点，=（＞0）．若=，=，请用，表示．O A DBC M N【典型例题讲练】例1、如图所示，OADB 是以向量=，=为边的平行四边形，又BM=BC ，CN=CD ．试用，表示，，．变式: 平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点，已知AM→＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.例2设两个非零向量、不是平行向量（1）如果=+，=2+8，=3()，求证A 、B 、D 三点共线；（2）试确定实数的值，使+和+是两个平行向量．变式: 已知、不共线，= a+b．求证：A、P、B 三点共线的充要条件是a+b=1．【课堂小结】向量是既有大小又有方向的量,应用概念解题,注意数形结合；能够从图形和代数式两个角度理解向量的加减以及数乘运算。