2020届 艺考生 高考数学 抓分 题型复习 讲义(含答案)

第1节 集 合最新考纲核心素养 考情聚焦1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．3.在具体情境中，了解全集与空集的含义．4.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．5.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集．6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．7.能使用Venn 图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用1.集合的基本概念，形成直观想象和提升数学运算的素养．2.集合间的基本关系，提升逻辑推理和数学运算的素养．3.集合的基本运算，形成直观想象，提升逻辑推理和发展数学运算的素养集合的概念及运算的考查以集合的运算为主，其中交、并、补集的运算以及两集合包含关系的考查是高考的热点；题型多以选择题或填空题的形式出现，一般难度不大，属低档题型，通常与函数、方程、不等式等知识结合，也常出现新情景设置题，考查考生函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想的运用以及对新情景设置题的阅读理解能力1．集合的基本概念(1)集合元素的性质：确定性、无序性、互异性． (2)元素与集合的关系①属于，记为∈；②不属于，记为∉. (3)常见数集的记法集合 自然数集正整数集 整数集 有理数集实数集符号NN *(或N ＋)ZQR(4)集合的表示方法：①列举法；②描述法；③图示法． 2．集合间的基本关系 关系自然语言符号语言Venn 图A B或B A{x|x∈A，且x∈1.A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.2．若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)∅＝{0}．()(2)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集．()(3)a在集合A中，可用符号表示为a⊆A.()(4)N⊆N*⊆Z.()(5)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝{x|x∈R}．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×[小题查验]1．若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是()A ．{a }⊆AB ．a ⊆AC ．{a }∈AD ．a ∉A解析：D [由题意知A ＝{0,1,2,3}，由a ＝22，知a ∉A .] 2．(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}解析：B [A ＝{x |x 2－x －2>0}＝{x |x <－1或x >2}， ∴∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.]3．(2017·全国Ⅲ卷)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：B [由题意可得：圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝⎛⎭⎫22，22，⎝⎛⎭⎫－22，－22，所以A ∩B 中有两个元素．故选B.]4．(2019·全国Ⅲ卷)已知集合A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∩B ＝( )A ．{－1,0,1}B ．{0,1}C ．{－1,1}D ．{0,1,2} 解析：A [本题考查了集合交集的求法，是基础题．由题意得，B ＝{x |－1≤x ≤1}，则A ∩B ＝{－1,0,1}．故选A.]5．(人教A 版教材习题改编)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{2,4,5}，B ＝{1,3,5,7}，则A ∩(∁U B )＝___________________________.答案：{2,4}考点一 集合的基本概念(自主练透)[题组集训]1．(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4解析：A [∵x 2＋y 2≤3，∴x 2≤3，∵x ∈Z ，∴x ＝－1,0,1， 当x ＝－1时，y ＝－1,0,1； 当x ＝0时，y ＝－1,0,1； 当x ＝1时，y ＝－1,0,1； 所以共有9个，选A.]2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A.92B.98 C ．0D ．0或98解析：D [若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的取值为0或98.]3．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去．当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.答案：－324．已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n ) 2019＝________.解析：由M ＝N 知⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m ，log 2n ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2.∴(m －n )2019＝－1或0. 答案：－1或01．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．考点二 集合间的基本关系(师生共研)[典例] (1)已知集合A ＝{x |ax ＝1}, B ＝{x |x 2－1＝0}，若A ⊆B ，则a 的取值构成的集合是( )A ．{－1}B ．{1}C ．{－1,1}D ．{－1,0,1}(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________________________________________________________________________．[解析] (1)由题意，得B ＝{－1,1}， 因为A ⊆B ，所以当A ＝∅时，a ＝0；当A ＝{－1}时，a ＝－1；当A ＝{1}时，a ＝1. 又A 中至多有一个元素，所以a 的取值构成的集合是{－1,0,1}．故选D. (2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4. [答案] (1)D (2){m | m ≤4} [互动探究]本例(1)中若A ＝{x |ax >1(a ≠0)}，B ＝{x |x 2－1>0}，其他条件不变，则a 的取值范围是________．解析：由题意，得B ＝{x |x >1，或x <－1}，对于集合A ，①当a >0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1a . 因为A ⊆B ，所以1a≥1.又a >0，所以0<a ≤1.②当a <0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a. 因为A ⊆B ，所以1a ≤－1，又a <0，所以－1≤a <0，综上所述，0<a ≤1，或－1≤a <0.答案：[－1,0)∪(0,1]由集合的关系求参数的关键点由两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且常要对参数进行讨论，注意区间端点的取舍．提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况．[跟踪训练]1．若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0}的子集只有两个，则实数a＝________.解析：∵集合A的子集只有两个，∴A中只有一个元素，即方程ax2＋ax＋1＝0只有一个根．当a＝0时方程无解．当a≠0时，Δ＝a2－4a＝0，∴a＝4.故a＝4.答案：42．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.解析：由log2x≤2，得0<x≤4，即A＝{x|0<x≤4}，而B＝(－∞，a)．由于A⊆B，如图所示，则a>4，即c＝4.答案：4考点三集合的基本运算(多维探究)[命题角度1]求交集、并集1．(2019·全国Ⅱ卷)设集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝()A．(－1，＋∞)B．(－∞，2)C．(－1,2) D．∅解析：C[A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x＜2}，∴A∩B＝(－1,2)．]2．(2017·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则()A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅解析：A[A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}＝{x|x<0}，所以A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}．] [命题角度2]集合的交、并、补的综合运算3．(2019·全国Ⅰ卷)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁U A ＝()A．{1,6} B．{1,7}C．{6,7} D．{1,6,7}解析：C[∵∁U A＝{1,6,7}，∴B∩∁U A＝{6,7}．]4．(2019·长春市模拟)已知集合A＝{x|x2－x＋4＞x＋12}，B＝{x|2x－1＜8}，则A∩(∁R B)＝()A．{x|x≥4} B．{x|x＞4}C．{x|x≥－2} D．{x|x＜－2或x≥4}解析：B[由题意易得，A＝{x|x＜－2或x＞4}，B＝{x|x＜4}，则A∩(∁R B)＝{x|x＞4}．故选B.][命题角度3]利用集合的基本运算求参数的取值(范围)5．(2017·全国Ⅱ卷)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝() A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}解析：C[由题意知x＝1是方程x2－4x＋m＝0的解，代入解得m＝3，所以x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，从而B＝{1,3}．]6．已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是________．解析：∁R B＝{x|x＜1，或x＞2}，要使A∪(∁R B)＝R，则a≥2.答案：[2，＋∞)解集合运算问题应注意以下三点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键．(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图．提醒：Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．1．(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝()A．{3}B．{5}C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}解析：C[A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，∴A∩B＝{3,5}，故选C.]2．(2019·全国Ⅰ卷)已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则M∩N＝() A．{x|－4＜x＜3} B．{x|－4＜x＜－2}C ．{x |－2＜x ＜2}D ．{x |2＜x ＜3}解析：C [∵x 2－x －6＜0，∴－2＜x ＜3， 即N ＝{x |－2＜x ＜3}，∴M ∩N ＝{x |－2＜x ＜2}，故选C.]3．如图所示，I 为全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．(M ∩P )∩SB ．(M ∩P )∪SC ．(M ∩P )∩(∁I S )D ．(M ∩P )∪(∁I S )解析：C [图中的阴影部分是M ∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集的子集，即是∁I S 的子集，则阴影部分所表示的集合是(M ∩P )∩(∁I S )．故选C.]4．(2019·漳州模拟)满足{2 018}⊆A{2 018,2 019，2 020}的集合A 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：C [满足{2 018}⊆A {2 018,2 019,2 020}的集合A 可得：A ＝{2 018}，{2 018,2 019}，{2 018,2 020}．因此满足的集合A 的个数为3.]5．已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：C [因为P ∪M ＝P ，所以M ⊆P ，即a ∈P ， 得a 2≤1，解得－1≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－1,1]．]6．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )＝( ) A.⎣⎡⎭⎫0，12 B ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫0，12 D ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析：D [A ＝{y |y ＝x 2－1}＝[0，＋∞)，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}＝⎝⎛⎭⎫0，12， 所以A ∩B ＝⎝⎛⎭⎫0，12，所以∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞.] 7．(2019·合肥模拟)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎡⎦⎤12，1C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：A [因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.] 8．(2019·石家庄模拟)函数y ＝x －2与y ＝ln(1－x )的定义域分别为M ，N ，则M ∪N ＝( )A ．(1,2]B ．[1,2]C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪[2，＋∞)解析：D [使x －2有意义的实数x 应满足x －2≥0，∴x ≥2，∴M ＝[2，＋∞)，y ＝ln(1－x )中x 应满足1－x ＞0，∴x ＜1，∴N ＝(－∞，1)，所以M ∪N ＝(－∞，1)∪[2，＋∞)，故选D.]9．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，y ＝4x 2－1}，则A ∩B 的元素个数是________．解析：集合A 是以原点为圆心，半径等于1的圆周上的点的集合，集合B 是抛物线y ＝4x 2－1上的点的集合，观察图象可知，抛物线与圆有3个交点，因此A ∩B 中含有3个元素．答案：310．已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________． 解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]11．对于集合M 、N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋2，x ∈R }，则A ⊕B ＝________________.解析：由题意得A ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }＝{y |y >0}，B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋2，x ∈R }＝{y |y ≤2}，故A －B ＝{y |y >2}，B －A ＝{y |y ≤0}，所以A ⊕B ＝{y |y ≤0，或y >2}．答案：(－∞，0]∪(2，＋∞)12．(2019·淮南一模)若A ＝{x |ax 2－ax ＋1≤0，x ∈R }＝∅，则a 的取值范围是________． 解析：∵A ＝{x |ax 2－ax ＋1≤0，x ∈R }＝∅，∴a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝(－a )2－4a <0，解得0≤a ＜4.∴a 的取值范围是[0,4)．答案：[0,4)。

秘籍05平面解析几何1．已知直线l1:ax+2y-1=0,直线l2:8x+ay+2-a=0,若l1∥l2,则实数a的值为( )A.4±B.-4C.4D.2±【答案】B解析:由2a-2×8=0,得a=±4.当a=4时,l1:4x+2y-1=0,l2:8x+4y-2=0,l1与l2重合.当a=-4时,l1:-4x+2y-1=0,l2:8x-4y+6=0,l1∥l2.综上所述,a=-4.故选:B由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.2.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．2√3B．2C．√6D．√3【答案】A【解析】：根据题意：直线方程为：y=√3x，∵圆x2+y2﹣4y=0，∴圆心为：（0，2），半径为：2，圆心到直线的距离为：d=1，∴弦长为2√4−1=2√3，故选：A．3．直线l 过点（﹣4，0）且与圆（x +1）2+（y ﹣2）2=25交于A 、B 两点，如果|AB|=8，那么直线l 的方程为（ ） A ．5x+12y+20=0 B ．5x ﹣12y+20=0或x+4=0C ．5x ﹣12y+20=0D ．5x+12y+20=0或x+4=0【答案】D解析：当切线的斜率不存在时，直线l 的方程为 x+4=0，经检验，此直线和圆相切，满足条件． 当切线的斜率存在时，设直线l 的方程为 y ﹣0=k （x+4 ），即 kx ﹣y+4k=0， 则圆心（﹣1，2）到直线l 的距离为 d=|−k−2+4k|√k 2+1=|3k−2|√k 2+1．再由 d 2+(AB2)2=r 2，得|3k−2|√k 2+1=3，∴k=﹣512，∴直线l 的方程为 y ﹣0=﹣512（x+4），即 5x+12y+20=0． 故选：D ．1．涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：一是利用半径长r 、弦心距d 、弦长l 的一半构成直角三角形，结合勾股定理222()2ld r +=求解；二是若斜率为k 的直线l 与圆C 交于1122,,()()A x y B x y ，两点，则212||1||AB k x x =+-.2．求两圆公共弦长一般有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解；二是求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题.4．己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为( ) A ．12B ．22C ．23D ．63【答案】D 解析：如图，由题意可得，2b c =，则222b c =， 即2222()a c c -=，则2223a c =，∴2223c a =，即63c e a ==．故选：D ．5．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且123F PF π∠=，若△12F PF 的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当4R r =时，椭圆的离心率为( ) A ．45B ．23C ．12D ．25【答案】B【解析】：椭圆的焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c ，12||2F F c =， 根据正弦定理可得1212||2432sin 3sin 3F F c cR F PF π===∠， 233c R ∴=，1346cr R ==． 设1||PF m =，2||PF n =，则2m n a +=， 由余弦定理得，2222242cos()3433c m n mn m n mn a mn π=+-=+-=-，224()3a c mn -∴=， 122213()sin 233F PF a c S mn π-∴==V ，又1213()(2)26F PF c a c S m n c r +=++=V g ， ∴223()3()36a c a c c-+=，即22230a c ac --=，故2320e e +-=， 解得：23e =或1e =-（舍)．故选：B ．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法： （1）求出a ,c ，代入公式c e a=. （2）只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =－转化为a ,c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）.6．已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为( )A ．233B ．263C ．3D ．2【答案】A【解析】：双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则3tan63π=， 所以该条渐近线方程为33y x =； 所以233a =， 解得6a =；所以226222c a b =+=+=， 所以双曲线的离心率为222336c e a ===． 故选：A ．7．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，12||F F 为半径的圆与C 的公共点为P ，若△12PF F 是直角三角形，则C 的离心率为( ) A ．2-1B ．51-C ．21+D ．51+【解析】：由题意知121||2||F F c PF ==，若△12PF F 是直角三角形，则122PF F π∠=，且2||22PF c =，又由双曲线的定义，可得21||||2PF PF a -=， 可得2||2222PF a c c =+=，即2(222)a c=-， 由121c e a ==-，解得21e =+， 故选：C ．求双曲线的离心率一般有两种方法（1）由条件寻找,a c 满足的等式或不等式，一般利用双曲线中a b c ，，的关系222c a b =+将双曲线的离心率公式变形，即2222111c b e a abc ==+=-，注意区分双曲线中a b c ，，的关系与椭圆中a b c ，，的关系，在椭圆中222a b c =+，而在双曲线中222c a b =+.（2）根据条件列含,a c 的齐次方程，利用双曲线的离心率公式ce a=转化为含e 或2e 的方程，求解可得，注意根据双曲线离心率的范围1()e ∈+∞,对解进行取舍.8．如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F ，过抛物线上一点A （3，y ）作准线l 作垂线，垂直为B ，若△ABF 为等边三角形，则抛物线的标准方程是（ ）A ．y 2=12xB ．y 2＝xC ．y 2＝2xD ．y 2＝4x【解析】：设直线l交x轴于点C∵AB⊥l，l⊥x轴，∴AB∥x轴，可得∠BFC＝∠ABF＝60°，Rt△BCF中，|CF|＝|BF|cos60°＝p，解得|BF|＝2p，由AB⊥y轴，可得3+p2=2p，∴p＝2，∴抛物线的标准方程是y2＝4x．故选：D．9．已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点P(a,4)在抛物线C上，O为坐标原点，|PF|=5，且|OP|>5.（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F，且斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线l′交抛物线C于M，N 两点，求四边形AMBN的面积.【解析】（1）将P(a,4)代入抛物线的方程y2=2px，得a=8p ，所以P(8p,4)，因为|PF|=5，所以8p +p2=5，整理得p2−10p+16=0，解得p=2或p=8，当p=2时，P(4,4)，满足|OP|>5；当p=8时，P(1,4)，|OP|<5，不符合题意，舍去.所以抛物线C的方程为y2=4x.（2）因为l的方程为x=y+1，代入C：y2=4x，得y2−4y−4=0.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=4，y1y2=−4，故AB的中点为D(3,2)，|AB|=√12+1√(y1+y2)2−4y1y2=8.又因为l′的斜率为-1，所以l′的方程为y−2=−(x−3)，即x=−y+5.将上式代入C：y2=4x，并整理得y2+4y−20=0.设M(x3,y3)，N(x4,y4)，则y3+y4=−4，y3y4=−20，故|MN|=√(−1)2+1√(y3+y4)2−4y3y4=8√3.所以四边形AMBN的面积S=12|AB|⋅|MN|=12×8×8√3=32√3.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.1．已知直线l1：x•sinα+y﹣1=0，直线l2：x﹣3y•cosα+1=0，若l1⊥l2，则sin2α=（）A．23B．±35C．﹣35D．35【答案】D【解析】：因为l1⊥l2，所以sinα﹣3cosα=0，所以tanα=3，所以sin2α=2sinαcosα=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=35．故选：D．两条直线的位置关系斜截式→111222::l y k x b l y k x b =+=+一般式→11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1l 与2l 相交 12k k ≠12210A B A B -≠ 1l 与2l 垂直121k k =-12120A A B B +=1l 与2l 平行 12k k =且12b b ≠1221122100A B A B B C B C -=⎧⎨-≠⎩或122112210A B A B AC A C -=⎧⎨-≠⎩ 1l 与2l 重合 12k k =且12b b =1221122112210A B A B AC A C B C B C -=-=-=2．圆x 2+y 2-4x=0在点P (1,√3)处的切线方程为( )A.x +√3y-2=0 B .x +√3y-4=0 C .x-√3y +4=0 D .x-√3y +2=0 【答案】D【解析】:∵点P (1,√3)在圆x 2+y 2-4x=0上,∴点P 为切点.从而圆心与点P 的连线应与切线垂直. 又∵圆心为(2,0),设切线斜率为k ,∴0−√32−1·k=-1,解得k=√33. ∴切线方程为x-√3y +2=0.故选:D3.若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=相切，则a 等于( ) A ．1或3- B ．1-或3-C ．1或3D ．1-或3【答案】A【解析】：根据题意，圆22()2x a y -+=的圆心为(,0)a ，半径2r =， 若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=相切， 则圆心到直线的距离|1|22a d +==，即|1|2a +=，解可得：1a =或3-， 故选：A ．1．求过圆上的一点00(,)x y 的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k ，若k 不存在，则由图形可写出切线方程为0y y =;若0k =,则由图形可写出切线方程为0x x =;若k 存在且k ≠0，则由垂直关系知切线的斜率为1k-，由点斜式方程可求切线方程. 2．求过圆外一点00(,)x y 的圆的切线方程： （1）几何方法当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=.由圆心到直线的距离等于半径长，即可得出切线方程. （2）代数方法当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即00y kx kx y =-+,代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0∆=,求得k ,切线方程即可求出.3．在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线3y b =与双曲线C 的右支相交于P ，若122PF PF =，则双曲线C 的渐近线方程为 A ．32y x =±B ．23y x =±C ．52y x =±D ．255y x =±【答案】C【解析】由222231y b x y ab =-=⎧⎪⎨⎪⎩，解得P(2a,√3b)，根据双曲线的定义有|PF 1|−|PF 2|=|PF 2|=2a ，双曲线的焦点F 2(c,0)， 故|PF 2|=√(2a −c )2+(√3b)2=2a ，两边平方化简得4c 2−4ac −3a 2=0， 即4e 2−4e −3=0，解得e =32， 故(b a )2=e 2−1=54，所以b a=√52，即双曲线的渐近线方程为y =±√52x .故选C ．对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式： （1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a ,b 的关系，结合已知条件可解.4．已知椭圆E : 22221(0)x y a b a b+=>>与y 轴的正半轴相交于点M ,点F 1,F 2为椭圆的焦点,且12△MF F 是边长为2的等边三角形,若直线l :y =kx+2√3与椭圆E 交于不同的两点A ,B . (1)直线MA ,MB 的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由; (2)求△ABM 的面积的最大值.【解析】(1)因为12△MF F 是边长为2的等边三角形,所以2c =2,b =√3c ,a =2, 所以a =2,b =√3,所以椭圆E :x 24+y 23=1,点M (0,√3).将直线l :y =kx+2√3代入椭圆E 的方程, 整理得(3+4k 2)x 2+16√3kx+36=0. (*) 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则由(*)式可得Δ=(16√3k )2-4(3+4k 2)×36=48(4k 2-9)>0, 所以k ∈(-∞,-32)∪(32,+∞),x 1+x 2=216334kk-+,x 1x 2=23634k +. 则直线MA ,MB 的斜率之积为k MA ·k MB =()()121212123333kx kx y y x x x x ++--⋅=()1221233k x x k x x ++=+22216333343634k k k k k ⎛⎫-⋅+ ⎪+⎝⎭=++=k 2+9−36k 236=14, 所以直线MA ,MB 的斜率之积是定值14. (2)记直线l :y =kx+2√3与y 轴的交点为N (0,2√3)， 则S △ABM =|S △ANM -S △BNM |=12|MN|·|x 2-x 1|= 2221212222223316336649()4()42234343463,1224949k k x x x x k k k k k --+-=-⋅=+++=≤-+-当且仅当4k 2-9=12,即k =±212∈(-∞,-32)∪(32,+∞)时等号成立,所以△ABM 的面积的最大值为32. 5．已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，直线y =4与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q，且|QF|=2|PQ|.（1）求p 的值；（2）已知点T(t,−2)为C 上一点，M,N 是C 上异于点T 的两点，且满足直线TM 和直线TN 的斜率之和为−83，证明直线MN 恒过定点，并求出定点的坐标.【解析】（1）设()0,4Q x ，由抛物线的定义，得02pQF x =+， 又2QF PQ =，即0022p x x =+，解得02p x =， 将点,42p Q ⎛⎫⎪⎝⎭代入抛物线方程，解得4p =. （2）由（1）知C 的方程为28y x =，所以点T 的坐标为1,22⎛⎫-⎪⎝⎭， 设直线MN 的方程为x my n =+，点221212,,,88y y M y N y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由28x my ny x=+=⎧⎨⎩得2880y my n --=，所以12128,8y y m y y n +==-，所以12221212228811228282MT NT y y k k y y y y +++=+=+---- ()()121212832643282481643y y m y y y y n m +--===--++--+，解得1n m =-，所以直线MN 的方程为x +1=m(y +1)，恒过点(−1,−1).定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.1．与直线 3x −2y =0 平行，且过点 (−4,3) 的直线方程为 ( ) A. y −3=−32(x +4) B. y +3=32(x −4) C. y −3=32(x +4)D. y +3=−32(x −4)2． 已知直线 l ：y =x +b 与曲线 C ：y =3−√4x −x 2 有公共点，则 b 的取值范围为 ( ) A. [−3,3] B. [3,1+2√2] C. [1−2√2,3]D. [1−2√2,1+2√2]3．圆 C:(x −1)2+y 2=25，过点 P (2,−1) 作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是 ( ) A. 10√3 B. 9√21 C. 10√23 D. 9√114．若当方程 x 2+y 2+kx +2y +k 2=0 所表示的圆取得最大面积时，则直线 y =(k −1)x +2 的倾斜角 α= ( ) A.3π4 B. π4C.3π2D.5π45．已知A （3，﹣1），B （5，﹣2），点P 在直线x+y=0上，若使|PA|+|PB|取最小值，则点P 的坐标是（ ） A ．（1，﹣1） B ．（﹣1，1）C ．（135，﹣135）D ．（﹣2，2）6．已知过点M （﹣3，﹣3）的直线l 被圆x 2+y 2+12x +4y +15=0截得的弦长为8，则直线l 的方程为（ ） A ．y=﹣3或4x ﹣3y+3=0 B ．y=﹣3或4x+3y+21=0C ．x=﹣3或4x ﹣3y+3=0D ．x=﹣3或4x+3y+21=07．已知⊙C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y ﹣3=0，点 M （﹣2，0）是⊙C 外一点，则过点 M 的圆的切线的 方程是（ ）A．x+2=0，7x﹣24y+14=0 B．y+2=0，7x+24y+14=0C．x+2=0，7x+24y+14=0 D．y+2=0，7x﹣24y+14=08．平面内，已知点A为定圆O外的一个定点，点B为圆O上的一个动点，点A关于点B的对称点为点C，若BD⊥AC且CD∥OB，则点D的轨迹是（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆9．若直线l:ax−by=2(a>0,b>0)平分圆x2+y2−2x+4y=0，则1a +1b的最小值为A．2√2B．2C．12(3+2√2)D．3+2√210．圆x2+(y+1)2=3绕直线kx-y-1=0旋转一周所得的几何体的表面积为()A.36πB.12πC.4√3πD.4π11．己知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的右焦点为F，过点F作圆222x y b+=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为()A．12B．22C．23D．6312．椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左右焦点分别为1F，2F，A为椭圆上一动点（异于左右顶点），若△12AF F的周长为6且面积的最大值为3，则椭圆的标准方程为()A．22143x y+=B．22132x y+=C．2212xy+=D．2214xy+=13．已知椭圆22:186x yC+=的左、右顶点分别为A、B，点P为椭圆C上不同于A、B两点的动点，若直线PA斜率的取值范围是[1，2]，则直线PB斜率的取值范围是()A．[2-，1]-B．3[2-，3]4-C．[1-，1]2-D．3[4-，3]8-14．已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线212yx=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为()A．42B．5C．3D．515．已知双曲线221(0)x ym nm n-=>>和椭圆22154x y+=有相同的焦点，则14m n+的最小值为()A．2B．4C．6D．916．已知双曲线22:1(0)3x C y x -=>，点(2,0)F ，点M 是曲线C 上的一个动点，点N 满足0NM NF =u u u u r u u u r g ，则点N 到原点的最短距离为( ) A ．2B ．3C ．2D ．117．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，12||F F 为半径的圆与C 的公共点为P ，若△12PF F 是直角三角形，则C 的离心率为( ) A ．2-1B ．51-C ．21+D ．51+18．设双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，命题p ：双曲线E 离心率2e =，命题q ：双曲线E 的渐近线互相垂直，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件19．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，点P 为抛物线上的任意一点，(1,2)M 为平面上点，则||||PM PF +的最小值为( ) A ．3B ．2C ．4D ．2320. 若直线 l 过抛物线 y 2=4x 的焦点，与抛物线交于 A ，B 两点，且线段 AB 中点的横坐标为 2，则弦AB 的长为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 821.已知A ，B 为抛物线C ：y2＝4x 上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若AB →=5FB →，则|AB|＝（ ）A ．252B ．10C ．254 D ．622.已知椭圆x 2+2y 2=4，则以（1，1）为中点的弦的长度是（ ）A ．3√2B ．2√3C ．√303D ．3√6223．已知圆C 1:x 2+y 2-6x -7=0与圆C 2:x 2+y 2-6y -27=0相交于A,B 两点,则直线AB 的方程是 . 24．已知动圆C 与圆22(1)1x y ++=及圆22(1)25x y -+=都内切，则动圆圆心C 的轨迹方程为 ．25．与曲线2212449x y +=共焦点，而与曲线2213664x y -=共渐近线的双曲线方程为26．在椭圆x 216+y 24=1内以点P （﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为27．过椭圆C ：x 225+y 29=1右焦点F 的直线l 交C 于两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且A 不在x 轴上． （Ⅰ）求|y 1y 2|的最大值； （Ⅱ）若|AF||FB|=14，求直线l 的方程．28． 已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线为 y =√3x ，右焦点 F (4,0)，左右顶点分别为 A 1，A 2，P 为双曲线上一点（不同于 A 1，A 2），直线 A 1P ，A 2P 分别与直线 x =1 交于 M ，N 两点；（1）求双曲线的方程；（2）求证：FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值，并求此定值．29．已知双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的离心率 e =2√33，直线 l 过 A (a,0) 、 B (0,−b ) 两点，原点O 到直线 l 的距离是√32． （1）求双曲线的方程；（2）过点 B 作直线 m 交双曲线于 M 、 N 两点，若 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23，求直线 m 的方程．30． 已知椭圆 E 的方程是x 24+y 23=1，左、右焦点分别是 F 1，F 2，在椭圆 E 上有一动点 A ，过 A ，F 1 作一个平行四边形，使顶点 A ，B ，C ，D 都在椭圆 E 上，如图所示．（1）判断四边形ABCD能否为菱形，并说明理由．（2）当四边形ABCD的面积取到最大值时，判断四边形ABCD的形状，并求出其最大值．1.【答案】C【解析】因为所求直线与直线3x−2y=0的斜率相等，即为k=32，直线经过点(−4,3)，所以y−3=3 2[x−(−4)]=32(x+4)．2. 【答案】C3.【答案】C【解析】提示：最长弦为过点P的直径，最短弦经过点P且与CP垂直.4. 【答案】A【解析】方程x2+y2+kx+2y+k2=0表示的圆的半径r=√4−3k22，当k=0时，r有最大值，这时圆的面积也取得最大值，所以直线y=(k−1)x+2的斜率为−1，从而倾斜角为3π4．5.【答案】C【解析】：如下图所示：点A （3，﹣1），关于直线l ：x+y=0的对称点为C （1，﹣3）点， 由BC 的方程为：x−14=y+31，即x ﹣4y ﹣13=0，可得直线BC 与直线l 的交点坐标为：（135，﹣135）， 即P 点坐标为：（135，﹣135）时，|PA|+|PB|最小． 故选：C ． 6.【答案】C【解析】：圆x 2+y 2+12x +4y +15=0的圆心C （﹣6，﹣2），半径r=5， 若过点M （﹣3，﹣3）的直线l 被圆x 2+y 2+12x +4y +15=0截得的弦长为8， 则圆心C 到直线l 的距离d=3， 由直线l 过点M （﹣3，﹣3），当直线斜率不存在时，直线l 的方程为x=﹣3满足要求；当直线斜率存在时，设直线l 的方程为y+3=k （x+3），即kx ﹣y+3k ﹣3=0， 则|−6k+2+3k−3|√k 2+1=3，解得：k=43，故直线l 的方程为43x ﹣y+1=0，即4x ﹣3y+3=0 故选：C ． 7.【答案】C【解析】：⊙C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y ﹣3=0， 即（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=16，故圆心是（2，3），半径是4， 点 M （﹣2，0）是⊙C 外一点， 显然x+2=0是过点 M 的圆的一条切线， 设另一条切线和圆相切于P （a ，b ）， 则MP 的斜率是ba+2，直线直线MP 的方程是：bx ﹣（a+2）y+2b=0， 故{3−b2−a ⋅ba+2=−12b−3(a+2)+2b √b 2+(a+2)2=4，解得：{a =−26b =7，故切线方程是7x+24y+14=0， 故选：C ． 8.【答案】B【解析】：如图：延长DC ，交直线OA 与A ′，因为点A 关于点B 的对称点为点C ，若BD ⊥AC 且CD ∥OB ，所以OB ∥CA ′，BC=12CA ′， CD=DA ，所以DA ′﹣DA=CA ′=2OB 定值．2OB ＜AA ′，所求的D 轨迹是双曲线． 故选：B ．9．【答案】C【解析】将x 2+y 2−2x +4y =0化为(x −1)2+(y +2)2=5， 因为直线l:ax −by =2平分圆x 2+y 2−2x +4y =0， 所以a +2b =2，又a >0,b >0，则1a+1b=12(a +2b)(1a+1b)=12（3+2b a+ab)≥3+2√22， 当且仅当2ba =ab ，即a =√2b 时取等号. 故选C ．【名师点睛】本题考查直线和圆的位置关系、基本不等式等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力． 10.【答案】B【解析】由题意,圆心为(0,-1).又直线kx-y-1=0恒过点(0,-1),所以旋转一周所得的几何体为球,球心即为圆心,球的半径即是圆的半径,所以S=4π(√3)2=12π. 故选：B ． 11.【答案】D 【解答】：如图，由题意可得，2b c =，则222b c =， 即2222()a c c -=，则2223a c =，∴2223c a =，即63c e a ==．故选：D ． 12.【答案】A【解答】：由椭圆的定义可得2()6a c +=， 所以3a c +=①，当A 在上（或下）顶点时，△12AF F 的面积取得最大值， 即最大值为3bc =②，由①②及222a c b =+联立求得2a =，3b =，1c =，可得椭圆方程为22143x y +=，故选：A ． 13.【答案】D【解答】：设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点分别为(,0)A a -，(,0)B a ，0(P x ，0)y 为椭圆上不同于A ，B 的任意一点，则00PA y k x a =+，00PB y k x a=-， ∴20220PA PBy k k x a =-g ，由P 在椭圆上，得2200221x y a b+=， 则2202220y b x a a=--． 由椭圆22:186x y C +=，得6384PA PB k k =-=-g ，[1PA k ∈Q ，2]，∴33[44PB PA k k =-∈-，3]8-． 故选：D ． 14.【答案】B【解析】：Q 抛物线212y x =的焦点坐标为(3,0)， 依题意，249b +=， 25b ∴=．∴双曲线的方程为：22145x y -=，∴其渐近线方程为：52y x =±， ∴双曲线的一个焦点(3,0)F 到其渐近线的距离等于|530|554d ±⨯-==+．故选：B ． 15.【答案】D【解析】：椭圆22154x y +=是焦点在x 轴上的椭圆，且2541c =-=． Q 双曲线221(0)x y m n m n -=>>和椭圆22154x y +=有相同的焦点，1(0)m n m n ∴+=>>，∴141444()()5529n m n m m n m n m n m n m n+=++=+++=g …． 当且仅当4n mm n=，即13m =，23n =时取等号．∴14m n+的最小值为9． 故选：D ． 16.【答案】B【解析】：由0NM NF =u u u u r u u u rg ，得点N 的轨迹是以MF 为直径的圆，设||2MF r =，1O 为MF 的中点，(2,0)F '-， 则点N 到原点的最短距离为1111||||||23222O O r MF MF a a '-=-=⨯==， 故选：B ．17.【答案】C【解析】：由题意知121||2||F F c PF ==，若△12PF F 是直角三角形，则122PF F π∠=，且2||22PF c =，又由双曲线的定义，可得21||||2PF PF a -=， 可得2||2222PF a c c =+=，即2(222)a c =-， 由121c e a ==-，解得21e =+， 故选：C ． 18.【答案】C【解析】：双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，离心率为ce a=，由2e =，可得2c a =，即有22222c a a b ==+，可得a b =， 即有渐近线方程为y x =±，可得两渐近线垂直； 若两渐近线垂直，可得a b =，可得2e =，即有p 是q 的充要条件， 故选：C ． 19.【答案】A【解析】：抛物线标准方程24x y =，2p =，焦点(0,1)F ， 准线方程为1y =-．设p 到准线的距离为PA ，（即PA 垂直于准线，A 为垂足）， 则||||||||||3PM PF PA PM AM +=+=…， （当且仅当P 、A 、M 共线时取等号）， 故选：A ． 20.【答案】C【解析】因为抛物线为 y 2=4x ，所以 p =2， 设 A ，B 两点横坐标分别为 x 1，x 2， 因为线段 AB 中点的横坐标为 2，则 x 1+x 22=2，即 x 1+x 2=4，故 ∣AB ∣=x 1+x 2+p =4+2=6． 故选：C 21.【答案】C【解析】：设A （x1，y1），B （x2，y2），则|AB|＝（x2﹣x1，y2﹣y1）， 又F （1，0），∴FB →=(x 2−1，y 2)，∴x2﹣x1＝5x2﹣5，y2﹣y1＝5y2， ∴{x 1=5−4x 2y 1=−4y 2，由{y 22=4x 2(−4y 2)2=4(5−4x 2)，得x 2=14，x 1=4， ∴|AB|=x 1+x 2+2=254．故选：C ． 22.【答案】C【解析】：设弦的两端的端点为（a ，b ）和（2﹣a ，2﹣b ） 列方程组{a 2+2b 2=4(2−a)2+2(2−b)2=4解得a=1+√63，b=1﹣√66或a=1﹣√63，b=1+√66两端点的坐标为（1﹣√63，1+√66）和（1+√63，1﹣√66）弦长为√[(1−√63)−(1+√63)]2+[(1+√66)−(1−√66)]2=√303．故选：C ．23.【答案】:3x -3y -10=0解析:两圆的方程相减得-6x+6y+20=0,即3x -3y -10=0.24.【答案】.22143x y +=【解析】：设圆22(1)1x y ++=的圆心1(1,0)O -，半径11r =；圆22(1)25x y -+=的圆心2(1,0)O ，半径25r =． 设动圆C 的圆心(,)C x y ，半径R ．Q 动圆C 与圆22(1)1x y ++=及圆22(1)25x y -+=都内切，1||1O C R ∴=-，2||5O C R =-． 1212||||514||2O C O C O O ∴+=-=>=，因此动点C 的轨迹是椭圆，设其标准方程为：22221x y a b+=．则24a =，22c =，解得2a =，1c =，2223b a c ∴=-=．因此动圆圆心C 的轨迹方程是22143x y +=．故答案为：22143x y +=．25.【答案】221169y x -=【解析】：由题意得，曲线2212449x y +=是焦点在y 轴上的椭圆，且2249245c a b =-=-=， 所以双曲线焦点的坐标是(0、5)、(0,5)-，因为双曲线与曲线2213664x y -=共渐近线，所以设双曲线方程为22(0)3664x y λλ-=<， 即2216436y x λλ-=--，则643625λλ--=，解得14λ=-， 所以双曲线方程为221169y x -=. 26.【答案】x ﹣2y+4=0【解析】：设以点P （﹣2，1）为中点的弦所在的直线与椭圆x 216+y 24=1交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵点P （﹣2，1）是线段AB 的中点， ∴{x 1+x 2=−4y 1+y 2=2， 把A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）代入椭圆x 2+4y 2=16，得{x 12+4y 12=16①x 22+4y 22=16②，①﹣②得（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）+4（y 1+y 2）（y 1﹣y 2）=0， ∴﹣4（x 1﹣x 2）+8（y 1﹣y 2）=0， k=y 1−y 2x 1−x 2=12，∴以点P （﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为y −1=12(x +2)， 整理，得x ﹣2y+4=0． 故答案为：x ﹣2y+4=0．27.【解析】：（Ⅰ）椭圆C ：x 225+y 29=1右焦点F 为（4，0），设AB 的直线方程为x=ky+4，由{x 225+y 29=1x =ky +4，消x 可得（9k 2+25）y 2+72ky ﹣81=0， ∴|y 1y 2|=819k 2+25，当k=0时，|y 1y 2|有最大值，最大值为8125， （Ⅱ）∵|AF||FB|=14， ∴|FB|=4|AF|， ∴FB →=4AF →， ∴y 2=﹣4y 1， 由（Ⅰ）可得y 1y 2=﹣819k 2+25=﹣4y 12，y 1+y 2=﹣72k9k 2+25=﹣3y 1，∴(24k)2(9k 2+25)2=814(9k 2+25)，解得k=±3√77， ∴直线方程为x=±3√77y+4，∴√7x ±3y ﹣4√7=0． 28. 【解析】（1） 由已知可得{c =4,ba =√3,c 2=a 2+b 2,⇒{a =2,b =2√3. 故双曲线方程为 x 24−y 212=1．（2） 设 P (x 0,y 0)，则 A 1P:y =y 0x 0+2(x +2)，A 2P:y =y 0x 0−2(x −2)，所以 M (1,3y 0x 0+2)，N (1,−y 0x 0−2)，所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,3y 0x 0+2)⋅(−3,−y 0x0−2)=9−3y 02x 02−4=9−3y 02y 023=0.即 FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值 0． 29.【解析】 （1） 依题意，l 的方程为 xa +y−b =1，即 bx −ay −ab =0， 由原点 O 到直线 l 的距离为 √32，得 ab √a 2+b2=ab c=√32， 又 e =ca =2√33，所以 b =1，a =√3．故所求双曲线方程为x 23−y 2=1．（2） 显然直线 m 不与 x 轴垂直，设 m 方程为 y =kx −1，则点 M 、 N 坐标 (x 1,y 1) 、 (x 2,y 2) 是方程组 {y =kx −1x 23−y 2=1 的解，消去 y ，得(1−3k 2)x 2+6kx −6=0 ⋯⋯① 依题意，1−3k 2≠0，由根与系数关系知x 1+x 2=6k 3k 2−1,x 1x 2=63k 2−1.OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)⋅(x 2,y 2)=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1−1)(kx 2−1)=(1+k 2)x 1x 2−k (x 1+x 2)+1=6(1+k 2)3k 2−1−6k 23k 2−1+1=63k 2−1+1.因为 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23，所以 63k 2−1+1=−23，k =±12． 当 k =±12 时，方程 ① 有两个不等的实数根． 故直线 m 的方程为 x −2y −2=0 或 x +2y +2=0． 30. 【解析】（1） 由椭圆方程：x 24+y 23=1，F 1(−1,0)，如图，直线 AB 的斜率存在且不为 0，设直线 AB 的方程为 x =my −1，点 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 联立方程，{3x 2+4y 2−12=0,x =my −1, 得 (3m 2+4)y 2−6my −9=0，所以 y 1+y 2=6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， 若四边形 ABCD 为菱形，则 OA ⊥OB ，即 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以 x 1x 2+y 1y 2=0， 又 x 1x 2=(my 1−1)(my 2−1)=m 2y 1y 2−m (y 1+y 2)+1， 所以 (m 2+1)y 1y 2−m (y 1+y 2)+1=0，得到 −12m 2−53m 2+4=0，显然这个方程没有实数解，故四边形 ABCD 不能是菱形．（2） 由题 S ABCD =4S △AOB ，而 S △AOB =12∣OF 1∣∣y 1−y 2∣， 又 ∣OF 1∣=1，即 S ABCD =2∣OF 1∣∣y 1−y 2∣=2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2， 由（1）知 y 1+y 2=6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， 所以S ABCD =2√36m 2+36(3m 2+4)(3m 2+4)2=24√m 2+1(3m 2+4)2=24√19(m 2+1)+1m 2+1+6,因为函数 f (t )=9t +1t ，t ∈[1,+∞)，在 t =1 时，f (t )min =10， 所以 S ABCD 的最大值为 6，此时 m 2+1=1，即 m =0 时， 此时直线 AB ⊥x 轴，即四边形 ABCD 是矩形．。

2020年新课标高考数学23道题必考考点各个击破（按题号与考点编排）主题01 分段函数与函数的图象【主题考法】本热点为选择题和填空题,常与函数、方程、不等式等知识结合，重点考查集合概念、集合间的关系、集合的运算，偶尔有创新题型，是基础题.2020年的高考将会继续以选择填空题形式，与函数、方程、不等式等知识结合考查集合运算、集合间关系，仍为基础题，分值5分。

【主题考前回扣】1.集合的运算性质：①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔∁U A⊇∁U B.2.子集、真子集个数计算公式：对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.3.集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．【易错点提醒】1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．2．易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}．3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．4．空集是任何集合的子集．由条件A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A时，务必分析研究A＝∅的情况．【主题考向】 考向一 集合间关系【解决法宝】①对两集合的关系判定问题，常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻 找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．②已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析，未明确说明集合非空时,要考虑到集合为空集的可能性.③对子集个数的问题，若集合A 有n 个元素,则集合A 的子集有2n 个,真子集有21n -个,非空真子集有22n -个.例1已知集合，集合，集合，若A B C ⋃⊆，则实数m 的取值范围是______________.【分析】先求出B A ⋃，再对m 分类讨论，求出C ，利用A B C ⋃⊆，即可求出m 的取值 范围.考向二 集合的并、交、补运算【解决法宝】对集合运算问题，先正确理解集合的含义，弄清集合元素的属性及元素所代 表的意义，再集合进行化简，最好求出具体集合，若是离散的集合，直接依据并、交、补的定义求解，若是连续实数集，常利用数轴进行计算，若是抽样集合，常用文氏图法.例2 已知全集U R =，集合2{|24},{|60}A x x B x x x =<<=--≤，则()R A C B ⋂等于（ ） A. ()1,2 B. ()3,4 C. ()1,3 D. ()()1,23,4⋃【分析】先求出B 集合，再根据补集的定义和数轴法求出B 的补集，再利用数轴法求出()R A C B ⋂.【解析】由题意知 {}|23B x x =-≤≤，则{}|23U C B x x x =-或， ∴ (){}|34U A C B x x ⋂=<<，故选B. 考向三 与集合有关的参数问题【解决法宝】对含参数的集合运算及关系问题，先对已知集合化简，若是连续实数集合常 用将集合在数轴上表示出来，根据集合运算的概念，列出关于参数的不等式，即可解出参数的范围，注意空集的情况；若离散集合，则根据集合运算或集合间关系的概念，列出关于参数的方程，即可解出参数的值，注意要检验集合元素的互异性．例3已知集合()()4{,|21},{,|1}23y A x y ax y B x y x -=+===+，若A B φ⋂=，则实数a 的值是 （ ）A. 4-B. 4C.143 D. 4-或143【分析】由题知，B 集合表示270x y -+=上的点除去点3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭之外的点组成的集合，分成直线直线21ax y +=与直线270x y -+=平行和直线21ax y +=过点3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭两种情况分别求出a 即可.考向四 与新概念有关的集合问题【解决法宝】对与新概念有关的集合问题，认真阅读试题，理解新定义，利用新定义将集 合问题转化为普通集合间的关系问题或集合运算问题，或直接利用新概念对问题求解.例4用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()()()()()()()(),*{,C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥=-<，若}2,1{=A ，B =ax x ax x x ++22)((|{ +}0)2=且*1A B =，设实数a 的所有可能取值集合是S ，则()C S =（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【分析】根据新定义B 要么是单元素集，要么是三元素集,分两种情况分别分析求出方程20x ax +=和220x ax ++=解得情况，即可求出a 值，从而求出S ，进而求出)(S C .【主题集训】1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =,集合{}{}1,2,4,2,4,6A B ==,则)(B C A U ⋂=（ ） A. {}1 B. {}2 C. {}4 D. {}1,2 【答案】A【解析】∵全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}{}1,2,4,2,4,6A B ==，∴}5,3,1{=B C U ， ∴)(B C A U ⋂={1}，故选A 。

《高等数学辅导讲义》练习题解答第一章 函数、极限、连续 1. 【解】应选（D）.由于+∞=−→xx xe x tan lim 2π，则)(x f 无界.2. 【解】应选（B）. 由于x x x x sin ,1sin都在),0(+∞上连续.且01sin lim 0=→x x x ，;11sin lim =+∞→xx x 1sin lim 0=→x x x ，0sin lim =+∞→x x x .故xxx x sin ,1sin 都在),0(+∞上有界. 3. 【解】应选（D）.由于)]()([t f t f t −+是奇函数，则∫−+xt t f t f t 0d )]()([是偶函数.4. 【解】应选（D）.反证：否则，若n x 和n y 都有界，则n n y x 有界，与题设矛盾。

（A）的反例：L ,0,3,0,1:n x ；.,4,0,2,0:L n y （B）的反例：L ,1,3,1,1:n x ；.,4,1,2,1:L n y （C）的反例: L ,0,3,0,1:n x ；.,4,0,2,0:L n y 5. 【解】应选（A）.反例见上题.6. 【解】应选（C）.若}{n a 收敛，由 1+≤≤n n n a b a 及夹逼原理知}{n b ；反之若}{n b 收敛，则}{n b 上有界，由 1+≤≤n n n a b a 知}{n a 单调增且上有界，故}{n a 收敛.7.【解】选（A）.若附加条件,0)(≠x ϕ则应选（D）. 8.【解】选（B）.)1(1)1(1lim 1)11(1sinlim )11()11(1lim11sin≠−=−+=+−+−∞→−∞→∞→ααααxxx x x x e x x xx9.【解1】选（C）.20)()21ln(lim xx xf x x ++→2220)()](2)2(2[lim x x xf x x x x ++−=→ο,12)(2lim0=−+=→x x f x 则 ,3)(2lim 0=+→x x f x【解2】20)()21ln(lim x x xf x x ++→20)](2[2)21ln(lim xx xf x x x x ++−+=→ ,1)(2lim 2)21ln(lim 020=++−+=→→xx f x x x x x 又.2)2(21lim 2)21ln(lim 22020−=−=−+→→xx x x x x x 则 ,3)(2lim 0=+→x x f x 10.【解1】应选（D）.直接法: 由2cos 1)(lim 0=−→x x f x 知 221)(lim20=→x x f x .即2~)(x x f n x n xx n x x x x x dt t x t t f 60sin 020sin 00sin 31lim lim d )(lim 22→→→==∫∫.0≠=a 则6=n . 【解2】 排除法：由2cos 1)(lim 0=−→xx f x 知，取2)(x x f =显然符合题设条件，此时∫∫==x x x x t t t t f 22sin 0sin 0662.31~sin 31d d )( 则（A）（B）（C）均不正确，故应选（D） 11. 【解】应选（D）.若,2=a 则bx xx x g x f x x 22ln 2sin arctan lim )()(lim−=→→2ln 222ln 2limb bx x x x −=−=→，显然（B）不正确，则,1=a 且 3002sin arctan lim )()(lim x b x x x g x f x x −=→→302][sin ][arctan lim x b x x x x x −−−=→ 33302]61[]31[lim x b x x x −−−=→,131261lim 330=−=−=→b xb x x 故应选（D）. 12. 【解】应选（C）. k x x cx x x x g x f 3sin sin 3lim )()(lim00−=→→k x cxx x x x ]33[sin ]3sin 3[lim 0−−−=→ k x kx cx x cx x x 303304lim 6)3([)]61(3[lim →→=−−−=13. 【解】应选（D）（A）)(21)](21[)](211[1222244242x x x x x x ex x οοο+−=++−++=−+ （2阶）或]1[]11[1242422−−−+=−+x x ex ex 22~24x x −2~2x −（B）221~)cos 1(tan sin tan x x x x x x −=− （3阶） （C）3sin 02sin 02)(sin 31~sin x dt t dt t xx =∫∫ （3阶）（D）25cos 1023cos 1023)cos 1(52~sin x dt t tdt xx −=∫∫−−252)21(52~x （5阶）14.【解】应选（A）. 验证知2,1π±==x x 为)(x f 的无穷间断点，而1)(lim ,1)(lim 00−==−+→→x f x f x x .15.【解】应选（D）.)(x f 在1,0±=x 处可能间断，验证可知1−=x 为无穷间断点.16.【解】应选（C）. xx x x x f xln )1(1)(+−=在1,0,1−=x 处没定义，x x x e x x x x x f xx x xx x ln )1(1limln )1(1lim )(lim ln 111+−=+−=−→−→−→=∞=+=+−→−→11lim ln )1(ln lim 11x x x x x x x x x x x e x x x x x f xx x xx x ln )1(1limln )1(1lim )(lim ln 000+−=+−=→→→111lim ln )1(ln lim 00=+=+=→→x x x x x x x x x x x e x x x x x f xx x xx x ln )1(1limln )1(1lim )(lim ln 111+−=+−=→→→=2111lim ln )1(ln lim 11=+=+→→x x x x x x x x 故0=x 和1=x 为可去间断点. 17.【解】 应选（C）. 由函数be x a x xf x+−+=122)1)(()(在),(+∞−∞上有一个可去间断点和一个跳跃间断点可知，0<b ，否则)(x f 只有一个间断点.0=x显然0=x 是)(x f 的一个间断点，而另一个间断点只能是.1=x 而.e b −=,)(lim 20ea x f x =−→ .0)(lim 0=+→x f x ee x a x xf xx x −−+=→→12211)1)((lim)(lim e e x a x x −−+=→112)1(lim )1(e a e xa xx 21212111lim )1(+−=−+=→则1=x 为可去间断点，而0≠a 时，0=x 为跳跃间断点。

<2021艺体生文化课 -百日突围系列>专题7 三角函数同角三角函数的根本关系﹑诱导公式【背一背根底知识】1. 掌握同角三角函数的根本关系式：22sin cos 1αα+=,sin tan cos ααα=. 2. 诱导公式诱导公式一：sin(2)sin k απα+= ,cos(2)cos k απα+= ,tan(2)tan k απα+= ,其中k Z ∈诱导公式二： sin(180)α+=sin α-； cos(180)cos αα+=- ,tan(180)tan αα+= 诱导公式三： sin()sin αα-=-； cos()cos αα-= ,tan()tan αα-=-诱导公式四：sin(180)sin αα-=； cos(180)cos αα-=- ,tan(180)tan αα-=- 诱导公式五：sin(360)sin αα-=-； cos(360)cos αα-= ,tan(360)tan αα-=- 诱导公式六：sin(90)cos αα-=； cos(90)sin αα-= ,tan(90)cot αα-= 诱导公式七：sin(90)cos αα+=； cos(90)sin αα+=- ,tan(90)tan αα+=-记忆方法：可用十个字概括为 "奇变偶不变 ,符号看象限〞 ,要把角化成形式为90k α⋅±(k 为常整数 )；奇变偶不变是指：当k 为偶数时 ,三角函数名称不变 ,即前面假设是正弦 ,后面也是正弦 ,名称不变 ,当k 为偶数时 ,三角函数名称变 ,即前面假设是正弦 ,后面也是余弦 ,名称变；符号看象限是指：把α看成锐角时 ,为第几象限角 ,由原三角函数在各象限符号决定正负号 ,具体一二象限正弦为正 ,一四象限余弦为正 ,一三象限正切为正 ,其它为负． 【讲一讲根本技能】 1.必备技能：(1 )同角三角函数的根本关系式包括:(1)平方关系,(2)商数关系. 解题时常用的变形措施有：大角化小 ,切割化弦等 ,应用 "弦化切〞的技巧 ,即分子、分母同除以一个不为零的cos α ,得到一个只含tan α的教简单的三角函数式 .需注意的是:①这是一组同角关系式,②利用平方关系式进行开方运算时,需注意运算结果的正负符号,③计算中应尽可能少用平方关系式.(2 ) 正、余弦三兄妹 "sin cos x x ±、sin cos x x ⋅〞的应用sin cos x x ±与sin cos x x ⋅通过平方关系联系到一起 ,即2(sin cos )12sin cos x x x x ±=± ,2(sin cos )1sin cos ,2x x x x +-=21(sin cos )sin cos .2x x x x --=即sin cos αα-=(根据α判断正负 )；因此在解题中假设发现题设条件有三者之一 ,就可以利用上述关系求出或转化为另外两个.应用同角关系式的两点技巧:(1)"1"的代换: 22sin cos 1αα+=,(2)整体代换:为了计算或化简需要可将计算式作适当变形,使得所给条件可整体代入. (3 )如何利用 "切弦互化〞技巧(1 )弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式 ,这样减少了变量 ,统一为 "切〞得表达式 ,进行求值. 常见的结构有:① sin ,cos αα的二次齐次式 (如22sin sin cos cos a b c αααα++ )的问题常采用 "1〞代换法求解；②sin ,cos αα的齐次分式 (如sin cos sin cos a b c d αααα++ )的问题常采用分式的根本性质进行变形．(2 )切化弦：利用公式tan α=sin cos αα,把式子中的切化成弦.一般单独出现正切、余切的时候 ,采用此技巧. 温馨提示：(1 )求同角三角函数有知一求三规律 ,可以利用公式求解 ,最||好的方法是利用画直角三角形速解 .(2 )利用平方关系求三角函数值时 ,注意开方时要结合角的范围正确取舍 "±〞号 .sin cos αα、的求值技巧：当sin 4πα⎛⎫± ⎪⎝⎭ ,cos 4πα⎛⎫± ⎪⎝⎭时 ,利用和、差角的三角函数公式展开后都含有sin cos αα+或sin cos αα- ,这两个公式中的其中一个平方后即可求出2sin cos αα ,根据同角三角函数的平方关系 ,即可求出另外一个 ,这两个联立即可求出sin cos αα、的值．或者把sin cos αα+、sin cos αα-与22sin cos αα+=1联立 ,通过解方程组的方法也可以求出sin cos αα、的值． (4 )应用诱导公式的重点是对"函数名称"与"正负号"的正确判断, 关键抓住题中的整数k 是表示2π的整数倍 ,所以做题时须把k 分成奇数和偶数两种类型 ,分别加以讨论 .给角求值问题 ,利用诱导公式找到给定角和常见特殊角的联系求出值． 常用结论：sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭i. 利用诱导公式求值 给角求值的原那么和步骤(1)原那么：负化正、大化小、化到锐角为终了. (2)步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为02π之间角的三角函数 ,然后求值 ,其步骤为：给值求值的原那么:寻求所求角与角之间的联系 ,通过相加或相减建立联系 ,假设出现2π的倍数 ,那么通过诱导公式建立两者之间的联系,然后求解. 常见的互余与互补关系 (1)常见的互余关系有：3πα+与6πα-；3πα-与6πα+；4πα+与4πα-等.(2)常见的互补关系有：3πα+ 与23πα-;4πα+与34πα-等.遇到此类问题 ,不妨考虑两个角的和 ,要善于利用角的变换的思想方法解决问题. ii. 利用诱导公式化简、证明利用诱导公式化简三角函数的原那么和要求(1)原那么：遵循诱导公式先行的原那么 ,即先用诱导公式化简变形 ,到达角的统一 ,再进行三角函数名称转化 ,以保证三角函数名称最||少.(2)要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少 ,次数尽可能低 ,结构尽可能简单 ,能求值的要求出值. iii.证明三角恒等式的主要思路(1)由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简.(2)左右归一法：使两端化异为同 ,把左右式都化为第三个式子. (3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形 ,再证明.提醒：由终边相同的角的关系可知 ,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算 ,如()()cos 5cos cos παπαα-=-=-. 2.典型例题： 例153)sin(=+απ ,且α为第四象限的角 ,那么)2cos(πα- = ．【答案】54 分析：等式利用诱导公式化简求出sin α的值 ,根据α为第四象限角 ,利用同角三角函数间的根本关系求出cos α的值 ,所求式子利用诱导公式化简后将cos α的值代入计算尽快求出值．此题考查了运用诱导公式化简求值 ,熟练掌握诱导公式是解此题的关键． 【解析】例2假设5sin 13α=- ,且α为第四象限角 ,那么tan α的值等于 ( ) A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-【答案】D【解析】由5sin 13α=-,且α为第四象限角 ,那么212cos 1sin 13αα=-= ,那么sin tan cos ααα= 512=-,应选D ． 【考点定位】同角三角函数根本关系式．【名师点睛】此题考查同角三角函数根本关系式 ,在sin α、cos α、tan α三个值之间 ,知其中的一个可以求剩余两个 ,但是要注意判断角α的象限 ,从而决定正负符号的取舍 ,属于根底题． 【练一练趁热打铁】 1. 21sin()34πα-= ,那么sin()3πα+= . 【答案】14-【解析】221sin()sin[()]sin()3334πππααπα+=-+=--=-.2. sin α＋2cos α＝0 ,那么2sin αcos α－cos 2α的值是______________. 【答案】－1 【解析】【考点定位】本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等根底知识 ,考查综合处理问题的能力.【名师点睛】同角三角函数(特别是正余弦函数)求值问题的通常解法是：结合sin 2α＋cos 2α＝1 ,解出sin α与cos α的值 ,然后代入计算 ,但这种方法往往比较麻烦 ,而且涉及符号的讨论.利用整体代换思想 ,先求出tan α的值 ,对所求式除以sin 2α＋cos 2α(＝1)是此类题的常见变换技巧 ,通常称为 "齐次式方法〞 ,转化为tan α的一元表达式 ,可以防止诸多繁琐的运算.属于中档题.三角函数的图象与变换【背一背根底知识】 1.三角函数线三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法 .利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时 ,十分方便 . 以坐标原点为圆心 ,以单位长度1为半径画一个圆 ,这个圆就叫做单位圆 (注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米 ) .当角α为第|一象限角时 ,那么其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ,过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ,根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α== .α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点 ,规定：当线段OM 与x 轴同向时 ,OM的方向为正向 ,且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时 ,OM 的方向为负向 ,且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有：cos OM x α== 同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点 ,规定：当线段MP 与y 轴同向时 ,MP 的方向为正向 ,且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时 ,MP 的方向为负向 ,且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有sin MP y α== .像MP OM 、这种被看作带有方向的线段 ,叫做有向线段.如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有：tan yAT xα==我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线 ,统称为三角函数线 .sin y x = ,余弦函数cos y x = ,正切函数tan y x =的图象与性质性质sin y x =cos y x =tan y x =图象O xya 角的终P TM A2．函数()sin()f x A x ωϕ=+的问题： (1) "五点法〞画图：分别令30,,,,222x ππωϕππ+= ,求出五个特殊点； (２) 由sin y x =的图象变换出()sin()f x A x ωϕ=+的图象一般有两个途径 ,只有区别开这两个途径 ,才能灵活进行图象变换 . i.函数图像的变换 (平移变换和上下变换 ) 平移变换：左加右减 ,上加下减把函数()y f x =向左平移()0ϕϕ>个单位 ,得到函数()y f x ϕ=+的图像; 把函数()y f x =向右平移()0ϕϕ>个单位 ,得到函数()y f x ϕ=-的图像; 把函数()y f x =向上平移()0ϕϕ>个单位 ,得到函数()y f x ϕ=+的图像; 把函数()y f x =向下平移()0ϕϕ>个单位 ,得到函数()y f x ϕ=-的图像. 伸缩变换:把函数()y f x =图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的1ω,得到函数()()01y f x ωω=<<的图像;把函数()y f x =图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的1ω,得到函数()()1y f x ωω=>的图像;把函数()y f x =图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A ,得到函数()()1y Af x A =>的图像;把函数()y f x =图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的A ,得到函数()()01y Af x A =<<的图像.ii.由sin y x =的图象变换出()sin y x ωϕ=+()0ω>的图象一般有两个途径 ,只有区别开这两个途径 ,才能灵活进行图象变换 .利用图象的变换作图象时 ,提倡先平移后伸缩 ,但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形 ,请切记每一个变换总是对字母x 而言 ,即图象变换要看 "变量〞起多大变化 ,而不是 "角变化〞多少 .途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位 ,再将图象上各点的再将图象上各点的纵坐标不变 ,横坐标变为原来的1ω倍(0ω>) ,便得()sin y x ωϕ=+的图象途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将sin y x =的图象上各点的纵坐标不变 ,横坐标变为原来的1ω倍(0ω>) ,再沿x 轴向左(0ϕ>)或向右(0ϕ<)平移ωϕ||个单位 ,便得()sin y x ωϕ=+的图象 .注意：函数sin() y x ωϕ=+的图象 ,可以看作把曲线sin y x ω=上所有点向左(当0ϕ>时)或向右(当0ϕ<时)平行移动ϕω个单位长度而得到 . 【讲一讲根本技能】1.必备技能：利用图象的变换作图象时 ,提倡先平移后伸缩 ,但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形 ,请切记每一个变换总是对字母x 言 ,即图象变换要看 "变量〞起多大变化 ,而不是 "角变化〞多少 .研究类似于()sin()f x A x ωϕ=+的性质时 ,一般是通过整体代换的方法 ,将其化归成sin y x =的形式．这样就可通过sin y x =的性质来研究()sin()f x A x ωϕ=+的性质．对于()cos()f x A x ωϕ=+和()tan()f x A x ωϕ=+用同样的方法来处理 ,在进行三角函数图象的左右平移时应注意以下几点：一要弄清楚是平移哪个函数的图象 ,得到哪个函数的图象；二要注意平移前后两个函数的名称一致 ,假设不一致 ,应先利用诱导公式化为同名函数；三是由()sin f x A x ω=的图象得到()sin()f x A x ωϕ=+)的图象时 ,需平移的单位数应为ϕω而不是ϕ. 2.典型例题：例1要得到函数4y sinx =-（3π）的图象 ,只需要将函数4y sin x =的图象 ( ) (A )向左平移12π个单位 (B )向右平移12π个单位 (C )向左平移3π个单位 (D )向右平移3π个单位 【答案】B 【解析】【考点定位】三角函数图象的变换.【名师点睛】此题考查三角函数图象的变换 ,解答此题的关键 ,是明确平移的方向和单位数 ,这取决于x 加或减的数据.此题属于根底题 ,是教科书例题的简单改造 ,易错点在于平移的方向记混.例2a 是实数 ,那么函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是 ( )分析：函数()1sin f x a ax =+的图象是一个正弦曲线型的图 ,其振幅为a ,周期为2T aπ=,周期与振幅成反比 ,从这个方向观察四个图象．由于函数的解析式中只含有一个参数 ,这个参数影响振幅和周期 ,故振幅与周期相互制约 ,这是此题的关键． 【答案】D【解析】对于振幅大于1时 ,三角函数的周期为2,1,2T a T aππ=>∴< ,而D 不符合要求 ,它的振幅大于1 ,但周期反而大于了2π．答案：D【练一练趁热打铁】1. 将函数x y 2sin = (R ∈x )的图像分别向左平移m (0>m )个单位 ,向右平移n (0>n )个单位 ,所得到的两个图像都与函数⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y 的图像重合 ,那么n m +的最||小值为 ( ) A ．32π B ．65π C ．π D ．34π 【答案】C【解析】2.如图 ,某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin (6πx ＋Φ)＋k ,据此函数可知 ,这段时间水深(单位：m )的最||大值为____________.【答案】8 【解析】【考点定位】三角函数的图像和性质.【名师点睛】1.此题考查三角函数的图像和性质 ,在三角函数的求最||值中 ,我们经常使用的是整理法 ,从图像中知此题sin()16x π+Φ=-时 ,y 取得最||小值 ,继而求得k 的值 ,当sin()16x π+Φ=时 ,y 取得最||大值.2.此题属于中档题 ,注意运算的准确性.求三角函数的解析式【背一背根底知识】1. 由()sin y A x ωϕ=+的图象求其函数式：函数()sin y A x ωϕ=+的图象求解析式时 ,常采用待定系数法 ,由图中的最||高点、最||低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定ϕ常根据 "五点法〞中的五个点求解 ,其中一般把第|一个零点,0ϕω⎛⎫-⎪⎝⎭作为突破口 ,可以从图象的升降找准第|一个零点的位置． 由()sin()f x A x b ωϕ=++的图象求其函数式 ,确定()sin()f x A x b ωϕ=++的解析式的步骤：(1)求,A b 确定函数的最||大值M 和最||小值m ,那么_,22M m M mA b +==. (2)求ω ,确定函数的周期T ,那么2Tπω=. (3)求ϕ ,常用方法有：①代入法：把图象上的一个点代入(此时,,A b ω)或代入图象与直线y b =的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定ϕ值时 ,往往以寻找 "五点法〞中的第|一零点,0ϕω⎛⎫-⎪⎝⎭作为突破口．具体如下： "第|一点〞(即图象上升时与x 轴的交点)为0x ωϕ+=； "第二点〞(即图象的 "峰点〞)为2x πωϕ+=； "第三点〞(即图象下降时与x 轴的交点)为x ωϕπ+=； "第四点〞(即图象的 "谷点〞)为32x πωϕ+=； "第五点〞为2x ωϕπ+=. 2.利用图象变换求解析式：由sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位 , ,得到函数()sin y x ϕ=+ ,将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>) ,便得()sin y x ωϕ=+ ,将图象上各点的纵坐标变为原来的A 倍(0A >) ,便得()sin y A x ωϕ=+.有关变换法需注意两点:①周期变换、相位变换、振幅变换可按任意次序进行;②在不同的变换次序下平移变换的量可能不同. 【讲一讲根本技能】1.必备技能：求三角函数的解析式须注意ϕ的值 ,ϕ是由函数图象的位置确定 ,但ϕ的值是不确定的 ,它有无数个 ,事实上 ,如果0ϕ是满足条件的一个ϕ值 ,那么()02,k k Z πϕ+∈都是满足条件的ϕ值 ,故这类题目一般都会限制ϕ的取值范围 ,假设没限制ϕ的取值范围 ,也能根据所给的图象去判断．适时关注题设条件中ϕ的取值范围或数形结合 ,避开此类问题的陷阱． ：例1把函数sin ()y x x R =∈图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变) ,再把图像上所有的点向左平行移动6π个单位长度 ,得到的图像所表示的函数是 ( ) A ．sin 2)()3y x x R π=-∈（ B ． sin+)()26x y x R π=∈（ C ． sin2+)()3y x x R π=∈（ D ． 2sin 2+)()3y x x R π=∈（ 分析：先根据横坐标缩短到原来的12倍时 ,ω变为原来的2倍进行变换 ,再根据左加右减的原那么进行平移 ,即可得到答案．平移变换时注意都是对单个的x 或y 来运作的．【答案】C【解析】把函数sin ()y x x R =∈图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变) ,得x y 2sin =；再把图像上所有的点向左平行移动6π个单位长度 ,得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 62sin ππx x y ,应选C.例2函数 ()cos ()f x A x ωϕ=+ (0,0,2A πωϕ>><) 的局部图象如上图所示 ,那么)(x f 的函数解析式为 ．分析：根据函数图象求出,A T ,求出ω ,利用点,02π⎛⎫⎪⎝⎭在曲线上 ,求出ϕ ,得到解析式 ,由()cos ()f x A x ωϕ=+的局部图象确定其解析式 ,正确视图 ,选择适当的点的坐标 ,能够简化计算过程 ,解题的关键是初相的求法要注意．【答案】3cos()24x y π=+【解析】【练一练趁热打铁】1. 函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的局部 图象如下列图 ,那么函数()y f x =对应的解析式为 ( ) A.sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C.cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D.cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】Oxy 1 π611π122. 函数()sin (0,0)f x A x A ωω=>>的最||小正周期为2 ,且1()16f = ,那么函数()y f x =的图象向左平移13个单位所得图象的解析式为 ( )(A )2sin()3y x ππ=+ (B )1sin()23y x ππ=- (C)12sin()3y x π=+(D)11sin()23y x π=+【答案】A【解析】由最||小正周期为2 ,得22πω= ,那么ωπ= ,又1()16f = ,所以sin 16A π= ,2A = ,所以()2sin f x x π= ,向左平移13个单位得到2sin()3y x ππ=+.三角函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性【背一背根底知识】经过恒等变形化成"sin()y A x ωφ=+ ,cos()y A x ωφ=+ ,tan()y A x ωφ=+〞的形式 ,利用x y sin = ,x y cos = ,x y tan =的单调性、奇偶性、对称性和周期性来解1. 三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈ ,递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈ ,递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈ ,x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈2. 对称轴与对称中|心：sin y x =的对称轴为2x k ππ=+ ,对称中|心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π= ,对称中|心为(,0)2k ππ+；tan y x =无对称轴 ,对称中|心为(,0) 2k k Z π∈. 3. 求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成 "sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+〞的形式 ,在利用周期公式ωπ2=T ,另外还有图像法和定义法.4. 判断三角函数的奇偶性的常用方法：一般根据函数的奇偶性的定义解答 ,首||先必须考虑函数的定义域 ,如果函数的定义域不关于原点对称 ,那么函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称 ,那么继续求()f x -；最||后比较()f x -和()f x 的关系 ,如果有()()f x f x -= ,那么函数是偶函数 ,如果有()()f x f x -=- ,那么函数是奇函数 ,否那么是非奇非偶函数 .5．在做这一类题时经常用到三角恒等变化,要用到下面公式: 两角和与差的三角函数:βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.二倍角公式:αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan ααα=-.降幂公式:ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=. 辅助角公式:()sin cos sin a x b x x ϕ+=+ ,sin cos ϕϕ==其中【讲一讲根本技能】1.必备技能：三角函数性质的求解方法(1)三角函数的性质问题 ,往往都要先化成sin()y A x ωφ=+的形式再求解．(2)要正确理解三角函数的性质 ,关键是记住三角函数的图象 ,根据图象并结合整体代入的根本思想即可求三角函数的单调性 ,最||值与周期．[易错提示] (1)在求三角函数的最||值时 ,要注意自变量x 的范围对最||值的影响 ,往往结合图象求解．(2)求函数sin()y A x ωφ=+的单调区间时 ,要特别注意,A ω的正负,只有当0ω>时 ,才可整体代入并求其解 ,当0ω<时 ,需把ω的符号化为正值后求解． 2.典型例题：例1函数()2sin 23sin2x f x x =-． (I )求()f x 的最||小正周期； (II )求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最||小值． 【答案】 (I )2π； (II )3-. 【解析】考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最||值.【名师点晴】此题主要考查的是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最||小正周期和三角函数的最||值 ,属于中档题．解题时要注意重要条件 "20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦〞 ,否那么很容易出现错误．解此题需要掌握的知识点是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最||小正周期和三角函数的图象 ,即211sin cos 222αα=-+ ,()22sin cos a x b x a b x ϕ+=++ ,函数()()sin f x x ωϕ=A + (0A > ,0ω> )的最||小正周期是2πωT =．例2函数()f x =cos()x ωϕ+的局部图像如下列图 ,那么()f x 的单调递减区间为( ) (A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B)13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ (C)13(,),44k k k Z -+∈ (D)13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D 【解析】【考点定位】三角函数图像与性质【名师点睛】此题考查函数cos()y A x ωϕ=+的图像与性质 ,先利用五点作图法列出关于ωϕ，方程 ,求出ωϕ， ,或利用利用图像先求出周期 ,用周期公式求出ω ,利用特殊点求出ϕ ,再利用复合函数单调性求其单调递减区间 ,是中档题 ,正确求ωϕ，使解题的关键.【练一练趁热打铁】1. 函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++ (0,||)2πωϕ><的最||小正周期为π ,且满足()()f x f x -= ,那么 ( )(A ))(x f 在)2,0(π上单调递减 (B ))(x f 在)43,4(ππ上单调递减 (C ))(x f 在)2,0(π上单调递增 (D ))(x f 在)43,4(ππ上单调递增 【答案】A【解析】()sin()cos()2sin()4f x x x x πωϕωϕωϕ=+++=++ ,∵函数()f x 的最||小正周期为π , ∴2T ππω== ,∴2ω= ,∴()2sin(2)4f x x πϕ=++ ,又∵()()f x f x -= ,∴4πϕ=,∴()2cos2f x x = ,∵02x π<<,∴02x π<< ,∴()f x 在)2,0(π上单调递减.2. 函数()2103sincos 10cos 222x x xf x =+． (Ⅰ )求函数()f x 的最||小正周期； (Ⅱ )将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度 ,再向下平移a (0a > )个单位长度后得到函数()g x 的图象 ,且函数()g x 的最||大值为2 ,求函数()g x 的解析式； 【答案】 (Ⅰ )2π； (Ⅱ ) ()10sin 8g x x =-． 【解析】正弦定理、余弦定理【背一背根底知识】 1.正、余弦定理在△ABC 中 ,假设角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,R 为△ABC 外接圆半径 ,那么2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径) ,并可由此计算R ,r .【讲一讲根本技能】1.必备技能： (1 )利用正、余弦定理解三角形的关键是合理地选择正弦或余弦定理进行边角互化 ,解题过程中注意隐含条件的挖掘以确定解的个数 ,注意应用A +B +C =π． (2 )正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高|考的热点 ,主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题 ,常与三角变换、三角函数的性质交汇命题．2.典型例题：例1如图 ,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 ,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上 ,行驶600m 后到达B 处 ,测得此山顶在西偏北75的方向上 ,仰角为30 ,那么此山的高度CD _________m.AB【答案】1006. 【解析】【考点定位】此题考查解三角形的实际应用举例 ,属中档题.【名师点睛】以实际问题为背景 ,将抽象的数学知识回归生活实际 ,凸显了数学的实用性和重要性 ,表达了 "数学源自生活 ,生活中处处有数学〞的数学学科特点 ,能较好的考查学生识记和理解数学根本概念的能力和根底知识在实际问题中的运用能力. 例2设ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为,,a b c ,且12,cos ,4a C3sin 2sin A B ,那么c =________. 【答案】4 【解析】由3sin 2sin AB 及正弦定理知：32a b =,又因为2a =,所以2b = ,由余弦定理得：22212cos 49223()164c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-= ,所以4c =;故填：4.【考点定位】正弦定理与余弦定理.【名师点睛】此题考查正弦定理与余弦定理的应用 ,先由正弦定理将3sin 2sin AB 转化为3a =2b 结合即可求得b 的值 ,再用余弦定理即可求解.此题属于根底题 ,注意运算的准确性及最||后结果还需开方. 【练一练趁热打铁】1.在ABC ∆中 ,6=AB , 75=∠A ,45=∠B ,那么=AC .【答案】2【解析】由正弦定理可知：45sin )]4575(180sin[AC AB =+-245sin 60sin 6=⇒=⇒AC AC【考点定位】此题主要考查正弦定理的应用.【名师点睛】熟练掌握正弦定理的适用条件是解决此题的关键 ,此题考查了考生的运算能力.C ∆AB 中 ,3a =,b =23π∠A =,那么∠B= ． 【答案】4π 【解析】由正弦定理 ,得sin sin a b A B = ,=所以sin 2B = ,所以4B π∠=.【考点定位】正弦定理.【名师点晴】此题主要考查的是正弦定理 ,属于容易题．解题时一定要注意检验有两解的情况 ,否那么很容易出现错误．解此题需要掌握的知识点是正弦定理 ,即sin sin a b=A B．（一） 选择题 (12*5 =60分 )1. cos540° = ( ).A ．0B ．1C ． -1D ． 1/2 【答案】C【解析】cos540cos(360180)cos1801=+==-. 2. 为了得到函数)32sin(π+=x y 的图像 ,只需将函数x y 2sin =的图像 ( )(A )向右平移3π个单位 (B )向右平移6π个单位 (C )向左平移3π个单位 (D )向左平移6π个单位分析：函数sin(2)sin 2()36y x x ππ=+=+ ,再根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律 ,得出结论 ,函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换的平移规律为： "左加右减〞、 "上加下减〞． 【答案】D 【解析】2()sin 22sin sin 2f x x x x =-⋅ ,那么()f x 是 ( )A ．最||小正周期为π的偶函数B ．最||小正周期为π的奇函数C ．最||小正周期为2π的偶函数D ．最||小正周期为2π的奇函数 【答案】D分析：利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为1sin 42x ,从而得到函数的周期性和奇偶性,解这一类题的关键是,通过角函数的恒等变换,把它化为一个角的一个三角函数. 【解析】4. 假设sin cos tan (0)2παααα+=<<,那么α∈( )A ．(0,)6πB ．(,)43ππC ．(,)64ππD ．(,)32ππ【答案】Ｂ【解析】sin cos 24πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ ,因为02πα<< ,所以1224πα⎛⎫<+< ⎪⎝⎭故1tan 23α<<<所以43ππα<<．5. 角α的终边上一点)2,(-x P ,且αcos =31-,那么x =A ．21B ．22-C ．22D ．22±【答案】B.【解析】由余弦函数的定义知 ,31)2(cos 22-=-+=x xα ,解之得 ,212=x ,又0<x ,所以22-=x ,故应选 B. 6. 假设11tan,tan()32,那么tan = ( ) (A) 17 (B) 16 (C) 57 (D) 56【答案】A【解析】11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯ ,应选A. 【考点定位】正切差角公式及角的变换.【名师点睛】此题考查角的变换及正切的差角公式 ,采用先将未知角β用角α和αβ+表示出来 ,再用正切的差角公式求解.此题属于根底题 ,注意运算的准确性. 7. 设函数f (x ) =sin (2x +) ,那么以下结论正确的选项是 ( )A ． f (x )的图象关于直线x =对称B ． f (x )的图象关于点 ( ,0 )对称C ． f (x )的最||小正周期为πD ． f (x )在[0 ,]上为增函数【答案】C 【解析】8. 函数()sin()(0,0)f x A x A ωθω=+>>的局部图象如下列图 ,那么()f x = ( )Aπ)6x -π)3x -π)3x +π)6x +【答案】B【解析】由图知()f x 在5π12x =时取到最||且最||小正周期T 满足 35ππ+.4123T =故A =32π3π,2,4ωω⨯==5π)12θ⨯+=5πsin()1,6θ+= 5πππ2π,2π,623k k k θθ+=+=-∈Z .所以π()(2).3x f x -= 或由5(π)12f =π()(2).3x f x -=9. "sin cos αα=〞是 "cos 20α=〞的 ( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要【答案】A【解析】22cos20cossin 0(cos sin )(cos sin )0ααααααα=⇒-=⇒-+= ,所以sin cos αα=或sin cos αα=- ,故答案选A . 【考点定位】1.恒等变换；2.命题的充分必要性.【名师点睛】1.此题考查三角恒等变换和命题的充分必要性 ,采用二倍角公式展开cos 20α= ,求出sin cos αα=或sin cos αα=-.2.此题属于根底题 ,高|考常考题型.10. 函数()sin()f x x ωφ=+ (其中||2πφ<)的图象如下列图 ,为了得到sin y x ω=的图象 ,只需把)(x f y =的图象上所有点 ( )个单位长度.6π12π6π12π。

<2021艺体生文化课 -百日突围系列>专题五导数变化率与导数、导数的计算【背一背根底知识】1．函数f(x)在点x0处的导数(1)定义函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率limΔx→000()()f x x f xx+-＝l ,通常称为f(x)在点x0处的导数 ,并记作f′(x0) ,即limΔx→000()()f x x f xx+-＝f′(x0)．(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0 ,f(x0))的切线的斜率等于f′(x0)．2．函数f(x)的导函数如果f(x)在开区间(a ,b)内每一点x导数都存在 ,那么称f(x)在区间(a ,b)可导．这样 ,对开区间(a ,b)内每个值x ,都对应一个确定的导数f′(x)．于是 ,在区间(a ,b)内,f′(x)构成一个新的函数 ,我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数 ,记为f′(x)(或y′x、y′)．3．根本初等函数的导数公式4(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3) 2()'()()'()()'()()f x f xg x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢⎥⎣⎦ (g(x)≠0)． 5．复合函数的导数复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u) ,u ＝g(x)的导数间的关系为y′x ＝y′u ·u′x ,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．【讲一讲根本技能】必备技能：1.根据导数的定义求函数()y f x =在点0x 处导数的方法： ①求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③得导数00()lim x yf x x∆→∆'=∆ ,简记作：一差、二比、三极限.2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数 ,而导数值是导函数在某一点的函数值 ,导数值是常数3.运用可导函数求导法那么和导数公式 ,求函数()y f x =在开区间 (a,b )内的导数的根本步骤：①分析函数()y f x =的结构和特征； ②选择恰当的求导法那么和导数公式求导； ③整理得结果.4.对较复杂的函数求导数时 ,先化简再求导 ,特别是对数函数真数是根式或分式时 ,可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便.5.复合函数的求导方法求复合函数的导数 ,一般是运用复合函数的求导法那么 ,将问题转化为求根本函数的导数解决.①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些根本函数复合而成的 ,适中选定中间变量； ②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导 ,而其中特别要注意的是中间变量； ③根据根本函数的导数公式及导数的运算法那么 ,求出各函数的导数 ,并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后 ,中间步骤可以省略 ,不必再写出函数的复合过程. 典型例题例1函数()f x 在1x =处的导数为1 ,那么 0(1)(1)3limx f x f x x→--+ =A ．3B ．23-C ．13D ．32-【答案】B例2．求以下函数的导数.()()()()()()()222x x x 251y 2x 1(3x 1)x x 12y x x 13y 3e 2elnx 4y x 15y 32x =-+-+=++=-+=+=-【答案】 (1 )21843x x +-； (2 )22222(1)x x x +-+； (3 )()3322x xe ln e ln -； (4 )2222ln )1x((11)x x x -++；(5 )()41032.x --【练一练趁热打铁】1. 假设)(x f 在R 上可导,3)2('2)(2++=x f x x f ,那么=')3(f ( )A.2-B.2C.12-D.12 【答案】 A2. 求以下函数的导数： (1)y ＝e x·ln x； (2) 2311y=x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭导数的几何意义【背一背根底知识】函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0 ,f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地 ,切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．【讲一讲根本技能】必备技能：1.求函数()f x 图象上点00(,())P x f x 处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k ,由导数的几何意义知0'()k f x = ,故当0'()f x 存在时 ,切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-.2.要深入体会切线定义中的运动变化思想：①两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点)；②割线→切线.3.可以利用导数求曲线的切线方程 ,由于函数()y f x =在0x x =处的导数表示曲线在点00(,())P x f x 处切线的斜率 ,因此 ,曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程 ,可按如下方式求得：第|一 ,求出函数()y f x =在0x x =处的导数 ,即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率；第二 ,在切点坐标和切线斜率的条件下 ,求得切线方程000'()()y y f x x x =+-；如果曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时 ,由切线的定义可知 ,切线的方程为0x x =. 典型例题 例1函数在点处的切线方程是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】C例2函数x x x f +=ln )( ,那么函数)(x f 点P (1 ,)1(f )的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 .【答案】41【练一练趁热打铁】1. 函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7 ,那么a = .xe xf x ln )(=))1(,1(f )1(2-=x e y 1-=ex y )1(-=x e y ex y -=【答案】1 【解析】试题分析：∵2()31f x ax '=+ ,∴(1)31f a '=+ ,即切线斜率31k a =+ , 又∵(1)2f a =+ ,∴切点为 (1 ,2a + ) ,∵切线过 (2,7 ) ,∴273112a a +-=+- ,解得a =1.考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；【名师点睛】对求过某点的切线问题 ,常设出切点 ,利用导数求出切线方程 ,将点代入切线方程得到关于切点横坐标的方程 ,解出切点的横坐标 ,即可求出切线方程 ,思路明确 ,关键是运算要细心.2. 函数x y xe =在其极值点处的切线方程为____________. 【答案】1y e=-【解析】()()(1)x xy f x xe f x x e '==⇒=+ ,令()01f x x '=⇒=- ,此时1(1)f e-=- 函数xy xe =在其极值点处的切线方程为1y e=-【考点定位】：导数的几何意义.【名师点睛】1.此题考查导数的几何意义 ,利用导数研究曲线上某点处切线方程等根底知识 ,考查运算求解能力.2.解决导数几何意义的问题时要注意抓住切点的三重作用：○1切点在曲线上；○2切点在切线上；○3切点处导函数值等于切线斜率. 3. 曲线31y x =+．(1 )求曲线在1x =-处的切线方程； (2 )求曲线过点(1,0)-的切线方程．【答案】 (1 )330x y -+=； (2 )330x y -+=或3430x y -+= 【解析】导数与函数的单调性、极值【背一背根底知识】1．函数的单调性在某个区间(a ,b)内 ,如果f′(x)>0 ,那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0 ,那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地 ,当函数f(x)在点x0处连续时 ,①如果在x 0附近的左侧f′(x)>0 ,右侧f′(x)<0 ,那么f(x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f′(x)<0 ,右侧f′(x)>0 ,那么f(x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负 ,那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正 ,那么f(x)在这个根处取得极小值． 3．函数的最||值(1)在闭区间[a ,b]上连续的函数f(x)在[a ,b]上必有最||大值与最||小值．(2)假设函数f(x)在[a ,b]上单调递增 ,那么f(a)为函数的最||小值 ,f(b)为函数的最||大值；假设函数f(x)在[a ,b]上单调递减 ,那么f(a)为函数的最||大值 ,f(b)为函数的最||小值．(3)设函数f(x)在[a ,b]上连续 ,在(a ,b)内可导 ,求f(x)在[a ,b]上的最||大值和最||小值的步骤如下：①求f(x)在(a ,b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a) ,f(b)进行比较 ,其中最||大的一个是最||大值 ,最||小的一个是最||小值．【讲一讲根本技能】必备技能：1.导数法证明函数()f x 在(,)a b 内的单调性的步骤 (1)求'()f x ；(2)确认'()f x 在(,)a b 内的符号；(3)作出结论：'()0f x ≥时为增函数；'()0f x ≤时为减函数． 2.求函数的单调区间方法一：①确定函数()y f x =的定义域； ②求导数''()y f x =；③解不等式'()0f x ≥ ,解集在定义域内的局部为单调递增区间； ④解不等式'()0f x ≤ ,解集在定义域内的局部为单调递减区间． 3.求函数的单调区间方法二：①确定函数()y f x =的定义域；②求导数''()y f x = ,令f′(x)＝0 ,解此方程 ,求出在定义区间内的一切实根；③把函数()f x 的间断点(即()f x 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来 ,然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成假设干个小区间；④确定'()f x 在各个区间内的符号 ,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性． 4.求函数f(x)极值的步骤：(1)确定函数的定义域； (2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0 ,求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x 0左右两侧值的符号 ,如果左正右负 ,那么f(x)在x 0处取极大值 ,如果左负右正 ,那么f(x)在x 0处取极小值． 5. 求函数f(x)在[a ,b]上的最||大值和最||小值的步骤 (1)求函数在(a ,b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a) ,f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a) ,f(b)比较 ,其中最||大的一个为最||大值 ,最||小的一个为最||小值． 典型例题例1函数f (x )＝－2lnx ＋x 2－2ax ＋a 2 ,其中a >0. 设g (x )为f (x )的导函数 ,讨论g (x )的单调性； 【答案】【解析】由 ,函数f (x )的定义域为(0 ,＋∞)g (x )＝f '(x )＝2(x －1－lnx －a ) 所以g '(x )＝2－22(1)x x x-= 当x ∈(0 ,1)时 ,g '(x )＜0 ,g (x )单调递减 当x ∈(1 ,＋∞)时 ,g '(x )＞0 ,g (x )单调递增 例2设函数()x x x x f 2141ln 2--=. (1 )求()x f 的单调区间和极值； (2 )假设()()⎪⎭⎫⎝⎛++=1412x x f x x g ,当1>x 时 ,()x g 在区间()1,+n n 内存在极值 ,求整数n 的值.例3函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2(a ,b∈R)．(1)假设函数f(x)在x＝1处有极值10 ,求b的值；(2)假设对于任意的a∈[－4 ,＋∞) ,f(x)在x∈[0,2]上单调递增,求b的最||小值．【答案】(1 )b＝－11；( 2 )16 3.【练一练趁热打铁】1.函数()2xf x e x =-的单调递增区间是_______________. 【答案】(ln 2,)+∞2. 函数()ln()x f x e x m =-+．x ＝0是f(x)的极值点 ,那么m = ,函数的增区间为 ,减区间为 . 【答案】1,(0,),(1,0).+∞-3. 函数()ln(1)2ex f x f x '=-⋅ ,32()()2x a g x f x x=-- (其中a R ∈ ). (1 )求()f x 的单调区间；(2 )假设函数()g x 在区间[2,)+∞上为增函数 ,求a 的取值范围； 【答案】 (1 )单调增区间为(0,2) ,单调减区间为(2,)+∞. (2 )3a ≥-.（一） 选择题 (12*5 =60分 )1. 假设21()(2)ln 2f x x b x =--+在(1 ,＋∞)上是减函数 ,那么b 的取值范围是( ) A ．[－1 ,＋∞) B ．(－1 ,＋∞) C ．(－∞ ,－1] D ．(－∞ ,－1)【答案】C2. 函数的图象如以下列图所示 ,那么导函数的图象的大致形状是 ( )【答案】D ．)('x f y =)(x f y =3.曲线32y x x =-在(1,1)-处的切线方程为( )A ．20x y --=B ．20x y -+=C ．20x y +-=D ．20x y ++= 【答案】A4.如图 ,是函数的导函数的图象 ,那么下面判断正确的选项是 ( )A ．在区间 (－2 ,1 )上是增函数B ．在区间 (1 ,3 )上是减函数C ．在区间 (4 ,5 )上是增函数D ．当时 ,取极大值． 【答案】C5. 对二次函数2()f x ax bx c =++ (a 为非零常数 ) ,四位同学分别给出以下结论 ,其中有且仅有一个结论是错误的 ,那么错误的结论是 ( )A ．1-是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值D . 点(2,8)在曲线()y f x =上)(x f 4=x )(x f )(x f )(x f )(x f ')(x f y =【答案】 A的定义域为 ,的导函数 ,且满足 ,那么不等式的解集是 ( )A ．B ．C ． (1 ,2 )D ． 【答案】D7. 设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+-- ,那么()f x 是( )A 、奇函数 ,且在 (0,1 )上是增函数B 、奇函数 ,且在 (0,1 )上是减函数C 、偶函数 ,且在 (0,1 )上是增函数D 、偶函数 ,且在 (0,1 )上是减函数 【答案】A 【解析】函数()ln(1)ln(1)f x x x =+-- ,函数的定义域为 ( -1 ,1 ) ,函数()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-所以函数是奇函数．()2111'111f x x x x =+=+-- ,在 (0,1 )上()'0f x > ,所以()f x 在(0,1)上单调递增 ,应选A. 【考点定位】利用导数研究函数的性质【名师点睛】利用导数研究函数()f x 在(a ,b)内的单调性的步骤：(1)求()'f x ；(2)确认),2(+∞),1(+∞)1,0()1()1()1(2-->+x f x x f )()(x f x x f '-<)()(x f x f 为'),0(+∞)(x f()'f x 在(a ,b)内的符号；(3)作出结论：()'0f x >时为增函数；()'0f x <时为减函数．研究函数性质时 ,首||先要明确函数定义域.8. 定义在R 上的奇函数)(x f y =满足0)3(=f ,且不等式)()(x f x x f '->在),0(+∞上恒成立 ,那么函数)(x g =1lg )(++x x xf 的零点的个数为 ( ) A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】∵不等式)()(x f x x f '->在),0(+∞上恒成立 ,∴'(())0xf x > ,∴函数()y xf x =在(0,)+∞上为增函数 ,又∵)(x f y =在R 上为奇函数 ,∴函数()y xf x =在(,0)(0,)-∞+∞上为偶函数 ,且过(3,0)和(3,0)-和(0,0) ,∴函数)(x g=1lg )(++x x xf 的零点的个数为3个.9. 函数()()()3223110f x mx m x m m =+--+>的单调递减区间是()0,4 ,那么m =( )A.3B.13C.2D.12【答案】B【解析】()()2361f x mx m x '=+- ,那么0与4是方程()0f x '=的两根 ,那么由韦达定理得()214m m-=-, 10. 假设定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ,其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ,那么以下结论中一定错误的选项是 ( )A ．11f k k⎛⎫<⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ． 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【答案】C11. 定义域为的可导函数的导函数为 ,满足,且那么不等式的解集为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B12. 对二次函数2()f x ax bx c =++ (a 为非零常数 ) ,四位同学分别给出以下结论 ,其中有且仅有一个结论是错误的 ,那么错误的结论是 ( )A ．1-是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值D . 点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A【解析】假设选项A 错误时 ,选项B 、C 、D 正确 ,()2f x ax b '=+ ,因为1是()f x 的极值点 ,3是()f x 的极值 ,所以()()1013f f '=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,即203a b a b c +=⎧⎨++=⎩ ,解得：23b a c a =-⎧⎨=+⎩ ,因为点()2,8在曲线()y f x =上 ,所以428a b c ++= ,即()42238a a a +⨯-++= ,解得：5a = ,所以10b =- ,8c = ,所以()25108f x x x =-+ ,因为()+∞,2()2,∞-()+∞,0()0,∞-()1<xe xf (),10=f ()()x f x f '>()x f '()x f y =R()()()21511018230f -=⨯--⨯-+=≠ ,所以1-不是()f x 的零点 ,所以选项A 错误 ,选项B 、C 、D 正确 ,应选A ．【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．【名师点晴】此题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值 ,属于难题．解题时一定要抓住重要字眼 "有且仅有一个〞和 "错误〞 ,否那么很容易出现错误．解推断结论的试题时一定要万分小心 ,除了作理论方面的推导论证外 ,利用特殊值进行检验 ,也可作必要的合情推理．（二） 填空题 (4*5 =20分 )13. 设函数()f x 在(0)∞，＋内可导 ,且()x x f e x e ＝＋，那么2'1f ⎛⎫⎪⎝⎭＝________. 【答案】314. 函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,假设()13f '= ,那么a 的值为 ．【答案】3【解析】因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==. 【考点定位】此题主要考查导数的运算法那么.【名师点睛】此题考查内容单一,求出()()1ln f x a x '=+由,再由()13f '=可直接求得a 的值,因此可以说此题是一道根底题,但要注意运算的准确性,由于填空题没有中间分,一步出错,就得零分,故运算要特别细心.15.向量2=(e ,-x)2xx a + ,1()b t ＝， ,假设函数()·f x a b ＝在区间(－1,1)上存在增区间 ,那么t 的取值范围为________．【答案】()1e ∞－，＋16. 设函数. 曲线在点(1,(1))f 处的切线与直线a 的值.【答案】1a =. 【解析】由题意知 ,曲线在点(1,(1))f 处的切线斜率为2 ,所以'(1)2f = ,又'()ln 1,af x x x=++所以1a =.公众号：惟微小筑。

2020年高考理科数学三角函数与解三角形备考艺体生百日冲刺系列典型试题命题规律三角函数与解三角形这部分内容，高考一般命制一大两小或一大一小. 考查的主要方向有：1.三角恒等变换为主的化简、求值问题；2.三角函数的图象和性质；3.三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先化简、后研究函数的性质；4.正弦定理、余弦定理的应用问题，往往与三角恒等变换相结合，近几年，综合考查正弦定理与余弦定理应用问题，呈现一种新趋势. 本专题主要围绕主观题进行讲练.基本技能一、同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z 二、六组诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号” 三、三角函数的图象和性质 1.三角函数的基本性质：2.三角函数图象变换（1）平移变换：（2）周期变换：（3）振幅变换：四、两角和与差的三角函数公式的应用 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β； S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；sin y x =0)((0))||ϕϕϕ><u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r 向左(向右平移单位sin()y x ϕ=+sin y x ω=(0)ω>0)((0))||ϕϕϕω><u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r向左(向右平移单位sin()y x ωϕ=+sin y x =1ωu u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u uu u u u u u u u r向横坐标变为原来的单位，纵坐标不变sin y x ω=(0)ω>sin y x =A u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r 纵坐标变为原来的单位，横坐标不变sin (0)y A x A =>S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β； T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；.sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f(α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 五、二倍角的正弦、余弦、正切公式： S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.变形公式：降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)21±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2±co s α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2六、正弦定理 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，以解决不同的三角形问题．面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B七、余弦定理余弦定理： ， ， .)4sin(2cos sin πααα±=±2222cos a b c ab C +-=2222cos b c a ac A +-=2222cos c a b ac B +-=变形公式cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，os C ＝a 2＋b 2－c 22ab技能点拨【典例1】（2018·浙江高考真题）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455--，）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 【答案】（Ⅰ）45；（Ⅱ）5665- 或1665.【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得sin α，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得cos α，再根据同角三角函数关系得()cos αβ+，最后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式求结果. 详解：（Ⅰ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得4sin 5α=-， 所以()4sin πsin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得3cos 5α=-，由()5sin 13αβ+=得()12cos 13αβ+=±. 由()βαβα=+-得()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=.【典例2】（2018·江苏高考真题）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=． （1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值． 【答案】（1）725-；（2）211- 【解析】分析：先根据同角三角函数关系得2cos α，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得tan2α，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=，因此，27cos22cos 125αα=-=-．（2）因为,αβ为锐角，所以()0,παβ+∈．又因为()cos αβ+=()sin αβ+== 因此()tan 2αβ+=-． 因为4tan 3α=，所以22tan 24tan21tan 7ααα==--，因此，()()()()tan2tan 2tan tan 21+tan2tan 11ααβαβααβααβ-+⎡⎤-=-+==-⎣⎦+． 【规律方法】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.【典例3】（2019·北京北理工附中高三）已知函数()22sin cos 23f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．(I)求()f x 的最小正周期；(Ⅱ)求()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值．【答案】(Ⅰ) πT =1. 【解析】分析：（Ⅰ）利用降幂公式和两角和的余弦公式把()f x 化成3sin 2cos 2122x x -+，再用辅助角公式把213x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，从而可求()f x 的最小正周期等．（Ⅱ）直接计算出22333x πππ-≤-≤，利用正弦函数的性质得到()f x 的最大值． 详解：（Ⅰ）因为2()2sin sin(2)3f x x x π=-+1cos 2(cos 2cossin 2sin )33x x x ππ=---32cos2122x x =-+213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期22T ππ==．（Ⅱ）因为02x π≤≤，所以22333x πππ-≤-≤．当232x ππ-=，即512x π=时，()f x1． 【典例4】（2019·浙江高考真题）设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++ 的值域. 【答案】（1）3,22ππ；（2）1⎡+⎢⎣⎦. 【解析】分析：(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定θ的值；(2)首先整理函数的解析式为()sin y a x b ωϕ=++的形式，然后确定其值域即可. 详解：(1)由题意结合函数的解析式可得：()()sin f x x θθ+=+，函数为偶函数，则当0x =时，()02k k Z πθπ+=+∈，即()2k k Z πθπ=+∈，结合[)0,2θ∈π可取0,1k =，相应的θ值为3,22ππ.(2)由函数的解析式可得：22sin sin 124y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 21cos 26222x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+ 11cos 2cos 2226x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦111cos 2sin 2sin 2222x x x ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭1312sin 222x x ⎫=--⎪⎪⎝⎭1226x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.据此可得函数的值域为：1,122⎡-+⎢⎣⎦. 【总结提升】①在求解三角函数的基本性质时，首先一般要将三角函数解析式利用和差角公式、降幂公式和辅助角公式将三角函数解析式化为或，然后利用整体法并借助正弦函数或余弦函数进行求解；②已知三角函数图象求解析式问题，常有两种思路，思路1：先根据图象求出周期和振幅，利用周期公式求出，再由特殊点（常用最值点）求出；思路2：先根据图象求出振幅，再利用“五点点作图法”列出关于的方程，即可求出.③在处理图象变换问题时，先把函数化成系数为正同名三角函数，再利用图象变换知识解题，注意用“加左减右，加上减下”判定平移方向，先平移后周期变换和先周期变换后平移平移单位不同. 【典例5】（2019·全国高考真题（理））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 【答案】(1) 3B π=;(2). 【解析】分析：(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABC S ac B =⋅V ，又根据正弦定理和1c =得到ABC S V 关于C 的函数，由于ABC V 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABC S C V 的值域.详解：(1)根据题意sin sin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=． ()sin A x b ωϕ++()cos A x b ωϕ++u x ωϕ=+ωϕA sin()y A x ωϕ=+ωϕ，ωϕ，0<B π<，02A C π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A C B +=，又因为A B C π++=，代入得3B π=，所以3B π=. (2)因为ABC V 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABC C a A S ac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=V 22sin cos cos sin 2123133(sin cos )sin 3tan 38tan C C C C C ππππ-==-=又因,tan 62C C ππ<<>318tan C <+<故82ABC S <<V . 故ABC S V的取值范围是 【典例6】（2019·全国高考真题（理））V ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ． 【答案】（1）3A π=；（2）sin 4C =【解析】分析：（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：222b c a bc +-=，从而可整理出cos A ，根据()0,A π∈可求得结果；（2sin 2sin A B C +=，利用()sin sin B A C =+、两角和差正弦公式可得关于sin C 和cos C 的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果. 详解：（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,πA ∈Q 3A π\=（2）2b c +=Q sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin C C =22sin cos 1C C +=Q (()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin C =因为sin 2sin 2sin 0B C A C ==->所以sin C >，故sin C =（2）法二：2b c +=Q sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C +=整理可得：3sin C C =，即3sin 6C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+sin sin()46C ππ=+=. 【规律方法】利用正弦定理与余弦定理解三角形，要根据题中边角的已知条件类型选择合适的定理求解.在已知条件中，若等式或分式中边的次数相同或正弦值的次数相等时，可以利用正弦定理将边与对应的角的正弦值进行互化，结合余弦定理或三角变换等知识进行计算；已知条件中，若给定的是三条边的平方关系或或两边的和，一般选择余弦定理进行求解；在已知三角形给定的条件中，若给定的条件是一边与其对角以及另外一边，一般选择余弦定理求解三角形较为方便；求三角形的面积时，要选择一个角及其两条邻边，围绕这三个元素来进行计算.【典例7】（2020·天津南开中学高三月考）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：2B A π-=； （2）求sin sin A C +的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）9]28. 【解析】(Ⅰ)由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA b B==，∴sin cos B A =， 即sin sin()2B A π=+，又B 为钝角，因此(,)22A πππ+∈， 故2B A π=+，即2B A π-=；(Ⅱ)由（1）知，()C A B π=-+(2)2022A A πππ-+=->，∴(0,)4A π∈，于是sin sin sin sin(2)2A C A A π+=+-2219sin cos 22sin sin 12(sin )48A A A A A =+=-++=--+，∵04A π<<，∴0sin 2A <<，因此21992(sin )2488A <--+≤，由此可知sin sin A C +的取值范围是9]8．【典例8】（2019·北京北师大实验中学高三月考）已知向量(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，[0,]x π∈. （1）若a b ∥，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.【答案】(1) 56x π=.(2) 0x =时，()f x 取到最大值3；当56x π=时，()f x 取到最小值- 【解析】（1）因为(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，a b ∥，所以3sin x x =. 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠.于是tan x =又[0,]x π∈，所以56x π=.（2）()(cos ,sin )(3,3cos 6f x x x x x x π⎛⎫=⋅=⋅==+⎪⎝⎭a b .因为[0,]x π∈，所以7,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而1cos 62x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭剟. 于是，当66x ππ+=，即0x =时，()f x 取到最大值3；当6x ππ+=，即56x π=时，()f x 取到最小值-【方法技巧】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝2M m -，b ＝2M m +；(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πω；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝2π；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝32π. 【典例9】（2018·天津高考真题（理））在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.【答案】(Ⅰ)3π；(Ⅱ)b =【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得tanB =，则B =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理可得b ．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得()2sin A B -= 详解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理a bsinA sinB=，可得bsinA asinB =， 又由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得π6asinB acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即π6sinB cos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得tanB = 又因为()0πB ∈，，可得B =π3． （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有22227b a c accosB =+-=，故b ．由π6bsinA acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得sinA =a <c ，故cosA =．因此22sin A sinAcosA ==212217cos A cos A =-=．所以，()222sin A B sin AcosB cos AsinB -=-=11727214⨯-⨯= 【典例10】（2017·上海高考真题）已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x x x p =-+?． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC V 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC V 的面积．【答案】（1）,2p p 轹÷ê÷÷êøë；（2【解析】（1）依题意()()2211()cos sin cos 20,π22f x x x x x =-+=+?，由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -≤≤，令1k =得ππ2x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2p p 轹÷ê÷÷êøë. （2）由于a b <，所以A 为锐角，即π0,02π2A A <<<<.由()0f A =，得11cos 20,cos 222A A +==-，所以2ππ2,33A A ==. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，2560c c -+=，解得2c =或3c =.当2c =时，222cos 02a c b B ac +-==<，则B 为钝角，与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以3c =.所以三角形ABC 的面积为11sin 532224bc A =⨯⨯⨯=. 【规律方法】1.解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面： (1)利用三角恒等变形化简三角函数式进行解三角形。

专题1.3复数高考主要考查复数的概念（复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等），复数相等的充要条件，复数的四则运算，复数的几何意义等．一般的，复数代数形式的运算与其它知识点综合考查较多，突出运算求解能力与数形结合思想的应用.稳定为选择题、填空题，难度较低.一．复数的概念及其几何意义1．形如a bi +(),a b R ∈的数叫复数，其中i 叫做复数的虚数单位，且21i =-，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．复数集用集合C 表示． 2．复数的分类：对于复数z a bi =+(),a b R ∈① 当0b =时，z 是实数； ② 当0b ≠时，z 是虚数； ③ 当0a =且0b ≠时，z 是纯虚数． 3．复数相等：若1z a bi =+(),a b R ∈，2z c di =+(),c d R ∈，则12z z =的充要条件是a c =且b d =． 特别地：若0a bi +=(),a b R ∈的充要条件是0a b ==．4．共轭复数：实部相等，虚部互为相反数．若z a bi =+(),a b R ∈，则它的共轭复数z a bi =-． 5．复数z a bi =+(),a b R ∈与复平面内的点(),Z a b 一一对应．复数z a bi =+(),a b R ∈与复平面内所有以原点O 为起点的向量OZ uuu r一一对应．z a bi =+(),a b R ∈，与它的共轭复数z a bi =-对应的点关于x 轴对称．复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．6．复数的模：向量OZ uuu r 的模叫做复数z a bi =+(),a b R ∈的模，记作z 或a bi +，且||z =二．复数四则运算1.复数的加法、减法、乘法、除法运算：加法、减法法则：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±；乘法法则：()()()()2a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i +⋅+=+++=-++；除法法则：()()()()2222a bi c di a bi ac bd bc adi c di c di c di c d c d+-++-==+++-++． 2.共轭与模是复数的运算性质有：(1)1212z z z z ±=±；(2)1212z z z z ⨯=⨯；(3)22z z z z ⋅==； (4)121212z z z z z z -≤±≤+； (5)1212z z z z =⨯；(6)1121z z z z =.【典例1】（2017课标1，文3）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A ．i(1+i)2 B ．i 2(1-i) C ．(1+i)2 D ．i(1+i)【答案】C 【解析】由2(1)2i i +=为纯虚数知选C ． 【典例2】（2018·浙江高考真题）复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是（ ） A ．1+i B ．1−iC ．−1+iD ．−1−i【答案】B 【解析】分析：化简已知复数z ，由共轭复数的定义可得．详解：化简可得z=21i -()()()21+=111i i i i =+-+ ∴z 的共轭复数为1﹣i. 故选B ．【典例3】（2017·全国高考真题（理））(2017高考新课标III ，理3)设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=（ ） A ．12B．2CD ．2【解析】 由题意可得2i1i z =+，由复数求模的法则可得1121z z z z =，则2i 1i z ===+故选C.【典例4】（2017·上海高考真题）已知复数z 满足30z z+=，则||z =_____________．【解析】分析：设(,)z a bi a b R =+∈，代入23z =-，由复数相等的条件列式求得,a b 的值得答案． 详解：由30z z+=，得23z =-， 设(,)z a bi a b R =+∈，由23z =-得222()23a bi a b abi +=-+=-，即22320a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得0,a b ==，所以z =，则z =．【典例5】（2019·江苏高考真题）已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____. 【答案】2. 【解析】2(a 2)(1i)222(2)i a ai i i a a i ++=+++=-++Q ，令20a -=得2a =. 【方法总结】1.复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ＋bi(a ，b∈R)的形式，再根据题意求解．复数a +bi(a,b ∈R)的实部为a 、虚部为b 、模为√a 2+b 2、共轭复数为a −bi .2.一般的，先运算化简复数，在进一步解题.【典例6】（2019·全国高考真题（理））设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则（ ） A ．22+11()x y += B ．22(1)1x y -+= C ．22(1)1x y +-= D ．22(+1)1y x +=【解析】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -则22(1)1x y +-=．故选C ．【典例7】（2018·北京高考真题（文））在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】11111(1)(1)22i i i i i +==+--+的共轭复数为1122i - 对应点为11(,)22-，在第四象限，故选D.【典例8】（2017·北京高考真题（理））若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（–∞，1） B ．（–∞，–1） C ．（1，+∞） D ．（–1，+∞）【答案】B 【解析】设()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-，因为复数对应的点在第二象限，所以1010a a +<⎧⎨->⎩，解得：1a <-，故选B. 【总结提升】1．复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →.2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．3. 复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)平面向量OZ uuu r.4.提醒：|z |的几何意义：令z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2，由此可知表示复数z 的点到原点的距离就是|z |的几何意义；|z 1－z 2|的几何意义是复平面内表示复数z 1，z 2的两点之间的距离． 【典例9】（2019·全国高考真题（文））若(1i)2i z +=，则z =（ ） A ．1i -- B ．1+i -C ．1i -D ．1+i【答案】D 【解析】()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ． 【典例10】（2019·北京高考真题（文））已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（ ）A B C ．3 D ．5【答案】D 【解析】∵z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-= 故选D. 【总结提升】复数四则运算的解题策略(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算．(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化．(3)在含有z ，z ，|z|中至少两个的复数方程中，可设z ＝a ＋bi ，a ，b ∈R ，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a ，b 的方程组，求出a ，b ，从而得出复数z.（4）注意应用： (a +bi)(c +di)=(ac −bd)+(ad +bc)i(a,b,c,d ∈R)，a+bi c+di=(ac+bd)+(bc−ad)ic 2+d 2(a,b,c,d ∈R)，.（5）注意应用：①(1±i)2＝±2i；②＝i,＝－i.1．（2018·全国高考真题（文））(1)(2)i i +-=（ ） A ．3i -- B ．3i -+C ．3i -D ．3i +【答案】D 【解析】()()21i 2i 2i 2i 3i i +-=-+-=+故选D.2．（2019·全国高考真题（理））设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C 【解析】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ． 3．（2019·全国高考真题（文））设3i12iz -=+，则z =（ ）A ．2 BC D ．1【答案】C 【解析】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==，故选C ． 4．（2010·山东高考真题（文））已知2a ib i i+=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】因为22222a i ai i ai b i i i+--==-=+- ，,a b ∈R ， 所以2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则+1a b =，故选B.5．（2020·黑龙江大庆中学高二期末（理））已知i 为虚数单位，复数z 满足()11z i +=，则z 的共轭复数z =( ) A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+i D ．1122i -- 【答案】A 【解析】由()1i 1z +=，得()()11i 1111i,i 1i 1i 1i 2222z z -===-∴=+++-，故选A.6．（2020·黑龙江大庆中学高二期末（文））已知(),a bi a b +∈R 是11ii-+是共轭复数，则a b +=（ ） A ．1- B ．12-C ．12D ．1【答案】D 【解析】 由1(1)(1)1(1)(1)i i i i i i i ---==-++-，从而知a b +=i i ， 由复数相等，得0a =，1b =， 从而1a b +=. 故选：D.7．（2020·四川高三月考（文））已知i 为虚数单位，复数()23z i i =+，则其共扼复数z =（ ） A ．23i - B ．23i --C ．32i -D ．32i --【答案】D 【解析】因为()23z i i =+32i =-+, 所以32i z =--. 故选:D8．（2020·江西南昌十中高三期末（理））已知i 为虚数单位，211z i i⋅=--，则关于复数z 的说法正确的是（ ） A ．||1z = B ．z 对应复平面内的点在第三象限 C ．z 的虚部为i - D ．2z z +=【答案】A 【解析】 已知211z i i⋅=--， 所以2(1i)2z i -==-，所以||1z =. 故选：A.9.（2014·陕西高考真题（理））原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12=z z ”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ） A ．真，假，真 B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【答案】B 【解析】设复数1z a bi =+，则21z z a bi ==-，所以12z z ==12z z =，则12,z z 互为共轭复数；如134z i =+，243z i =+，且125z z ==，但此时12,z z 不互为共轭复，故逆命题为假；否命题：若12,z z 不互为共轭复数，则12z z ≠；如134z i =+，243z i =+，此时12,z z 不互为共轭复，但125z z ==，故否命题为假；原命题和逆否命题的真假相同，所以逆否命题为真；故选B. 10.（2019·重庆南开中学高三月考（理））已知复数21aii+-为纯虚数，则实数a =（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】因为()2(1)22(2)221(1)(1)222+++++--+===+--+ai i ai a i a a a i i i i 为纯虚数， 所以202a-=，因此2a =. 故选：C11.（2019·天津高考真题（文））i 是虚数单位，则51ii-+的值为__________.【解析】5(5)(1)231(1)(1)i i i i i i i ---==-=++-． 12. （2016·天津高考真题（理））已知a,b ∈R ，i 是虚数单位，若（1+i ）（1−bi ）=a ，则ab 的值为_______. 【答案】2 【解析】试题分析：由(1+i)(1−bi)=1+b +(1−b)i =a ，可得{1+b =a 1−b =0，所以{a =2b =1 ，a b =2，故答案为2．13．（2019·浙江高考真题）复数11z i=+（i 为虚数单位），则||z =________.【解析】1|||1|2z i ===+. 14．（2019·天津高考真题（理））i 是虚数单位，则51ii-+的值为__________.【解析】5(5)(1)231(1)(1)i i i i i i i ---==-=++-. 15．（2018·上海高考真题）已知复数z 满足()117i z i +=-（i 是虚数单位），则z = ． 【答案】5 【解析】由（1+i ）z=1﹣7i ， 得()()()()1711768341112i i i iz i i i i -----====--++-，则5=． 故答案为：5．16．（2018·江苏高考真题）若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________． 【答案】2 【解析】因为i 12i z ⋅=+，则12i2i iz +==-，则z 的实部为2.。

<2021艺体生文化课 -百日突围系列>算法初步【背一背根底知识】算法的三种根本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．1．顺序结构：顺序结构是最||简单的算法结构 ,语句与语句之间 ,框与框之间是按从上到下的顺序进行的 ,它是由假设干个依次执行的处理步骤组成的 ,它是任何一个算法都离不开的一种根本算法结构．顺序结构在程序框图中的表达就是用流程线将程序框自上而下地连接起来 ,按顺序执行算法步骤．在示意图中 ,A 框和B 框是依次执行的 ,只有在执行完A 框指定的操作后 ,才能接着执行B 框所指定的操作． 2．条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断 根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构条件P 是否成立而选择执行A 框或B 框．无论P 条件是否成立 ,只能执行A 框或B 框之一 ,不可能同时执行A 框和B 框 ,也不可能A 框、B 框都不执行．一个判断结构可以有多个判断框．条件结构主要应用于一些需要依据条件进行判断的算法中 ,如分段函数的的求值、数据大小关系等问题中 ,常常用条件结构来设计算法．条件？步骤A是否条件？步骤A步骤B是否3．循环结构的两种根本类型： (a )当型循环：当给定的条件成立时 ,反复执行循环体 ,直至||条件不成立为止；(b )直到型循环：先第|一次执行循环体,再判断给定的条件是否成立,假设成立,跳出循环体；否那么,执行循环体,直至||条件第|一次不成立为止．循环结构一般用于一些有规律的重复计算的算法中,如累加求和、累乘求积等问题常常用循环结构来解决．【讲一讲根本技能】1.必备技能：求解循环结构的算法问题时,只需将各次循环的结构一一进行列举,或寻找规律,适当地进行归纳总结,利用归纳得到的等式进行求解；求解条件结构的算法问题时,一般只需根据变量的取值范围选择不同的条件分支进行求解,选择适宜的表达式求解．2.典型例题例1阅读下边的程序框图,运行相应的程序,那么输出i的值为 ( )(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)5【答案】C【考点定位】此题主要考查程序框图及学生分析问题解决问题的能力.【名师点睛】天津卷程序框图常以客观题形式出现,属于根底题,解决此类问题的关键是确定循环次数,当循环次数不多时,可以逐次列出计算结果,天津卷2021年第3题和此题是同一类问题,希望考生留意这种命题方式.例2根据右边框图 ,当输入x 为6时 ,输出的y = ( ) A ．1 B ．2 C ．5 D ．10【答案】D【考点定位】程序框图的识别.【名师点睛】1.此题考查程序框图的识别 ,解题的关键是判断什么时候退出循环.2.考查逻辑思维能力、计算能力.此题属于根底题 ,常考题型.例3．执行如图3所示的程序框图 ,假设输出15S = ,那么框图中①处可以填入 ( )A ．4n >B ．8n >C ．16n >D ．16n <开始①输出结束是否0,1S n ==S S n=+2n n=图3S【分析】此题是一道考查算法与程序框图中有关循环结构判断条件的选择．对于此类问题的处理 ,一般只需将每次循环的结果一一进行列举 ,并对控制变量在倒数第二次循环与最||后一次循环的值是否满足判断条件进行选择 ,主要是抓住倒数第二次循环控制变量不满足判断条件 ,而最||后一次循环控制变量满足判断条件来进行筛选．【练一练趁热打铁】1．执行如图2所示的程序框图 ,如果输入n =3 ,中输入的S =( )A、67B、37C、89D、49【答案】B【考点定位】程序框图【名师点睛】识别运行算法流程图和完善流程图是高|考的热点．解答这一类问题 ,第|一 ,要明确流程图的顺序结构、条件结构和循环结构；第二 ,要识别运行流程图 ,理解框图所解决的实际问题；第三 ,按照题目的要求完成解答．对流程图的考查常与数列和函数等知识相结合 ,进一步强化框图问题的实际背景．2．假设某图的程序框图如图5所示,那么该程序运行后的值是________．开始输出结束是否i1,0a i ==1i i =+1a i a =⨯+50a >图5【答案】4．3．阅读如下列图的程序框图 ,运行相应的程序．假设输入x 的值为1 ,那么输出y 的值为 ( )A ．2B ．7C ．8D ．128【答案】 C【考点定位】程序框图．【名师点睛】此题考查程序框图 ,关键在于读懂框图有什么功能 ,要注意依序进行 ,认真判断条件来决定程序的执行方向．理解每个变量和框图的关系．运算量不大 ,重在理解 ,重在细心 ,属于根底题．复数的概念及其几何意义【背一背根底知识】1．形如a bi +(),a b R ∈的数叫复数 ,其中i 叫做复数的虚数单位 ,且21i =- ,a 叫做复数的实部 ,b 叫做复数的虚部．复数集用集合C 表示． 2．复数的分类：对于复数z a bi =+(),a b R ∈① 当0b =时 ,z 是实数； ② 当0b ≠时 ,z 是虚数； ③ 当0a =且0b ≠时 ,z 是纯虚数．开始输入x是2?x ≥2xy =输出y 9y x =-结束否3．复数相等：假设1z a bi =+(),a b R ∈ ,2z c di =+(),c d R ∈ ,那么12z z =的充要条件是a c =且b d =．特别地：假设0a bi +=(),a b R ∈的充要条件是0a b ==． 4．复数z a bi =+(),a b R ∈与复平面内的点(),Z a b 一一对应．复数z a bi =+(),a b R ∈与复平面内所有以原点O 为起点的向量OZ 一一对应． 5．复数的模：向量OZ 的模叫做复数z a bi =+(),a b R ∈的模 ,记作z 或a bi + ,且22||z a b =+．【讲一讲根本技能】1．必备技能：对于复数的根本概念及其几何意义的考查 ,一般首||先通过复数的根本运算将复数利用一般形式进行表示 ,然后利用相关知识与公式进行求解． 2．典型例题例1．i 是虚数单位 ,假设复数(1)(2)ai i ++是纯虚数 ,那么实数a 等于 ( )A ．2-B ．2C ．12-D ．12【分析】此题是考查复数的根本概念 ,所以首||先应该将复数利用一般形式表示出来 ,然后对其实部或虚部加以相应的限制条件 ,求解出相应的参数即可． 【答案】B【解析】(1)(2)2(21)ai i a a i ++=-++是纯虚数 ,故20,210, 2.a a a -=+≠∴= 例2．复数(12i)i 的实部为________. 【答案】 -2【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】此题考查复数的概念和运算 ,利用复数的乘法法那么进行求解.此题属于根底题 ,注意复数实部的概念.例3．i 是虚数单位 ,假设()234m i i +=- ,那么实数m 的值为 ( )A ．2-B ．2±C ．2±D ．2【分析】此题是考查复数相等的充要条件 ,首||先借助复数的根本运算将两个复数化为一般形式 ,利用复数相等的充要条件 ,得到两个复数的实部相等 ,虚部相等 ,列方程组求解． 【解析】因为()()21234m i m mi i +=-+=- ,那么有21324m m ⎧-=⎨=-⎩ ,解得2m =- ,应选A ．例4．设i 是虚数单位 ,那么复数()2z i i =-在复平面内对应的点位于 ( )A ．第|一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】此题是考查复数的几何意义 ,首||先应该借助复数的根本运算将复数表示成一般形式 ,确定复数的实部与虚部 ,便可确定所对应的点的坐标 ,进而对问题进行解答．例5．i 是虚数单位 ,11z i=+ ,那么z = ( )A ．0B ．1C ．2D ．2【分析】此题是考查复数模的计算 ,首||先应该借助复数的根本运算将复数表示成一般形式 ,确定复数的实部与虚部 ,最||后利用公式计算复数的模． 【解析】111z i i=+=- ,()22112z ∴=+-=,应选C ．【练一练趁热打铁】1．i 是虚数单位 ,R b a ∈, ,那么 "1==b a 〞是 "i bi a 2)(2=+〞的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当1a b ==时 ,()()2212a bi i i +=+= ,反过来()22222a bi a b abi i +=-+= ,那么220,22a b ab -== ,解得1,1a b ==或1,1a b =-=- ,故1a b ==是()22a bi i +=的充分不必要条件 ,应选A2．设1aiz i-=,假设复数z 为纯虚数 (其中i 是虚数单位 ) ,那么实数a 等于 ( ) A ．1- B ．0 C ．1 D ．12【答案】B 【解析】由于1aiz a i i-==--为纯虚数 ,那么0a -= ,解得0a = ,应选B ． 3．i 是虚数单位 ,那么复数()312z i i =⋅-+的虚部为 ( )A ．2iB ．iC ．2D ．1 【答案】D【解析】因为()()()32121222z i i i i i i i =⋅-+=-⋅-+=-=+ ,所以复数z 的虚部为1 ,应选D ．4．a 、b R ∈ ,i 为虚数单位 ,假设211ia bi i-+=+ ,那么实数a b += ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】B5．设复数113z i =- ,21z i =- ,那么12z z +在复平面内对应的点在 ( )A ．第|一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】()()1213124z z i i i +=-+-=- ,对应点的坐标为()2,4- ,所以复数12z z +在复平面内对应的点在第四象限 ,应选D ． 6．复数21ii+的模是 ． 2【解析】因为()()()()()21212111112i i i i ii i i i i i --===-=+++- ,所以2221121i i =+=+．复数四那么运算【背一背根底知识】1．共轭复数：实部相等 ,虚部互为相反数．假设z a bi =+(),a b R ∈ ,那么它的共轭复数z a bi =-．2．复数的加法、减法、乘法、除法运算：加法、减法法那么：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±；乘法法那么：()()()()2a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i +⋅+=+++=-++；除法法那么：()()()()2222a bi c di a bi ac bd bc adi c di c di c di c d c d+-++-==+++-++． 【讲一讲根本技能】1．必备技能：对于复数的根本运算 ,首||先确定复数的实部与虚部 ,然后利用复数四那么运算的根本运算法那么进行即可． 2．典型例题例1．假设(1)(23)i i a bi ++-=+ (,,a b R i ∈是虚数单位 ) ,那么,a b 的值分别等于 ( )A ．3,2-B ．3,2C ．3,3-D ．1,4- 【答案】A【考点定位】复数的概念．【名师点睛】此题考查复数相等的充要条件和复数运算 ,利用复数相等可以确定参数的取值 ,属于根底题 ,但是要注意运算准确．例2．i 是虚数单位 ,那么复数()21i += ( )A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i 【答案】D【解析】()221121212i i i i i +=++=+-= ,应选D ．【名师点晴】此题主要考查的是复数的乘法运算 ,属于容易题．解题时一定注意()21i +的展开 ,否那么很容易出现错误．解此题需要掌握的知识点是复数的乘法运算 ,即()2222a bi a b abi +=-+ ,21i =-．例3．设103iz i=+ ,那么z 的共轭复数为 ( ) A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i -【分析】此题是考查复数的共轭复数的计算 ,首||先应该借助复数的四那么运算将复数化为一般形式 ,确定其实部与虚部 ,然后根据共轭复数的定义求出其共轭复数． 【答案】D ． 【解析】()()()1031013,333i i i z i z i i i -===+∴++-的共轭复数为13i - ,应选D ． 例4 i 是虚数单位,计算12i2i-+ 的结果为 ． 【答案】 -i【解析】()2i i 212i i 2i i 2i 2i 2i-+---===-+++. 【考点定位】此题主要考查复数的乘除运算..【名师点睛】复数题也是每年高|考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高|考中复数考查频率较高的内容有:复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性.【练一练趁热打铁】1．i 为虚数单位 ,607i = ( ) A ．i - B ．i C ．1- D ．1【答案】A .【解析】因为6072303()i i i i =⋅=- ,所以应选A . 【考点定位】此题考查复数的概念及其运算 ,涉及分数指数幂的运算性质.【名师点睛】将复数的幂次运算和分数指数幂运算结合在一起 ,不仅考查了复数的概念 ,也考查了分数指数幂的运算性质 ,充分表达了学科内知识之间的联系性 ,能够较好的反响学生根底知识的识记能力和计算能力.2．设i 为虚数单位 ,那么复数2ii+等于 ( ) A ．1255i + B ．1255i -+ C ．1255i -D ．1255i --【答案】A3．假设复数Z 满足1zi-i = ,其中i 为虚数单位 ,那么Z =( ) (A )1i - (B )1i + (C )1i -- (D )1i -+ 【答案】A【解析】由题意(1)1,z i i i =-=+所以 ,1z i =- ,应选A . 【考点定位】1.复数的运算；2.共轭复数.【名师点睛】此题考查复数的概念和运算 ,采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解.此题属于根底题 ,注意运算的准确性.4. 复数z 满足(1)1z i i -=+ ,那么z = ( )(A ) 2i -- (B )2i -+ (C )2i - (D )2i +【答案】C【考点定位】复数运算【名师点睛】此题考查复数的运算 ,先由(1)1z i i -=+解出z ,再利用复数的除法运算法那么求出复数z ,此题也可以设出复数z ,利用两个复数相等的充要条件 ,解出复数z ,解复数题目的关键熟悉复数的相关概念 ,掌握复数的运算法那么.（一） 选择题 (12*5 =60分 )1．执行如下列图的程序框图 ,输出的S 值为 ( )A ．1 B ．3 C ．7 D ．15 开始输出结束是否【答案】C2．阅读右图所示的程序框图 ,运行相应的程序 ,输出的n 的值为 ( ).1.2.3.4A B C D【答案】B ．【解析】执行程序 ,1n = ,满足条件22nn > ,2n =；不满足条件22nn > ,输出2,n =选B ．3．执行如下列图的程序框图 ,假设输出k 的值为6 ,那么判断框内可填入的条件是 ( ) A.12s>B ．35s >C ．710s > D ．45s >【答案】C4．2(1)i z- =1i + (i 为虚数单位 ) ,那么复数z = ( )A 、1i +B 、1i -C 、 1i -+D 、1i -- 【答案】D【解析】由题22(1)(1)22(1i)1,1112i i i i i z i z i i -----=+∴====--++ ,应选D. 【考点定位】复数的运算【名师点睛】在对复数之间进行乘法运算时 ,直接利用多项式的乘法分配律进行计算 ,在最||后一步的计算中 ,根据21i =- ,最||后根据复数的加法原那么 ,实部与实部相加 ,虚部与虚部相加便可得到最||终结果；在进行复数的除法运算时 ,首||先将分式的分子分母同时乘以分母的共轭复数 ,分子的运算遵循复数的乘法运算法那么 ,从而得到相应的结果. 5．复数的11z i =-模为 ( ) A ．12 B 2 C 2 D ．2 【答案】B 【解析】()()1111111111222i i z i i i i i ----=====----+-+-- ,因此复数z 的模为z = 2211222⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,应选B ． 6．复数21iz i+=+ ,那么复数z 在复平面内对应的点在 ( )A ．第|一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D7．复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于 ( ).23A i -- .23B i -+ .23C i - .23D i +【答案】C【解析】依题意可得32,23z i z i =+∴=-．应选C ． 8．复数z 满足()3425i z += ,那么z = ( )A ．34i -B ．34i +C ．34i --D ．34i -+ 【答案】A【解析一】由题意得()()()()25342534253434343425i i z i i i i --====-++- ,应选A ． 【解析二】设(),z a bi a b R =+∈ ,那么()()()()()3434344325i z i a bi a b a b i +=++=-++= ,由复数相等得3425430a b a b -=⎧⎨+=⎩ ,解得34a b =⎧⎨=-⎩ ,因此34z i =- ,应选A ．9．复数1z i =- (i 为虚数单位 ) ,z 为z 的共轭复数 ,那么以下结论正确的选项是 ( ) A ．1z i =-- B ．1z i =-+ C ．2z = D ．2z =【答案】D 【解析】1z i =- ,1z i ∴=+ ,22112z ∴=+=,应选D ．10．执行如下列图的程序框图 ,输出的k 的值为 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【考点定位】程序框图.【名师点晴】此题主要考查的是程序框图 ,属于容易题．解题时一定要抓住重要条件 "14a <〞 ,否那么很容易出现错误．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算 ,直到到达输出条件即可．11．i为虚数单位 ,那么211i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭( )A ． 1B ． 1-C ．iD ．i - 【答案】B【解析】因为212112i ii i --⎛⎫==- ⎪+⎝⎭,应选B ． 12．某算法的程序框图如下列图 ,如果输出的结果是26 ,那么判断框内应为 ( ) A ．1k > B ．2k > C ．3k > D ．4k >开始输出结束是否0,1S k ==2S S k=+1k k =+S图7【答案】C（二） 填空题 (4*5 =20分 )13．阅读如下列图的程序框图 ,运行相应的程序 ,假设输入n 的值为9 ,那么输出S 的值为 ．【答案】1067【解析】依题意：该程序框图是计算1067921222921=+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=S ,故输出1067=S ．14．执行右边的程序框图 ,假设输入的x 的值为1 ,那么输出的y 的值是 .【答案】13 【解析】【考点定位】算法与程序框图.【名师点睛】此题考查算法与程序框图 ,在理解条件分支结构的根底上 ,准确地加以计算. 此题属于根底题 ,考查算法与程序框图的根本概念和根本结构 ,此题给定数据较小 ,循环次数少 ,大大降低了题目的难度.15．设i 是虚数单位 ,那么复数1i i-＝_________. 【答案】2i【解析】12i i i i i-=+=【考点定位】此题考查复数的概念 ,复数代数形式的四那么运算等根底知识.【名师点睛】解决此题的关键取决于对复数运算的熟练程度 ,也就是1i＝－i 的运算 ,容易误解为1i＝i ,从而导致答案错误.一般地 ,i 4n ＝1 ,i 4n ＋1＝i ,i4n ＋2＝－1 ,i4n ＋3＝－i ,而1i＝i －116．【2021高|考上海 ,文3】假设复数z 满足i z z +=+13 ,其中i 是虚数单位 ,那么=z .【答案】i 2141【考点定位】复数的概念 ,复数的运算.【名师点睛】此题用待定系数法求复数.复数不能比较大小 ,两个复数相等 ,实部与虚局部别相等.共轭复数的实部相等虚部互为相反数.共轭复数的模相等.。

第1讲 复数1.2.复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的．3.复数的运算(1)复数的运算法则设z 1(2)题型一复数的概念、复数的代数运算 【例1】当m(1) z 是实数； (2) z 是虚数； (3) z 是纯虚数; (4) z 是零．【例2】(1)复数z ＝2＋i 的共轭复数为________．(2)设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(3)[019江苏2]0，其中为虚数单位，则实数a 的值是 .【例2】[2019全国I 理2]设复数z 满足，z 在复平面内对应的点为(x ，y)，则【例3】(1)[2014·山东，1]已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a ＋i ＝2－b i ，则(a ＋b i)2＝( )A ．3－4iB ．3＋4iC ．4－3iD ．4＋3i(2)[2015·课标2，2]若a 为实数，且2＋a i1＋i＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4练习1、若复数是纯虚数，则实数 a 的值为( )A ．1B ．2C ．1 或 2D ．－12．若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则等于( )A ．2－3iB ．2＋3iC ．3＋2iD ．3－2i题型二 复数的几何意义 【例1】(1)设复数z 满足(1i)22i z -=+,其中i 是虚数单位,则z的值为__ .(2)[2014·课标1，3]设z ＝11＋i＋i ，则|z |＝( ) A.12 B.22 C.32D ．2(3)[2015·江苏，3]设复数z 的模为________．【例2】(1) [2019全国II 理2]设z =-3+2i ，则在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)[2017北京]若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是A ．(,1)-∞B ．(,1)-∞-C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞(3)设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i=1i z -(4)[2018北京]在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(5)[2013·广东，3]若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A ．(2，4) B ．(2，－4) C ．(4，－2) D ．(4，2)【高考真题】1.[2019全国2文2]设z =i(2+i)，则=A.1+2iB.–1+2iC.1–2iD.–1–2i2.[2019北京文2]已知复数z =2+i ，则A.C.3D.53.[2019全国1文1]设，则=A.2D.14.[2019天津文9]是虚数单位，则的值的值为__________.5.[2019浙江11]复数（为虚数单位），则=___________.6.[2019全国3文2]若，则 A.B.C. D.7.[2017新课标Ⅲ]设复数z 满足(1i)2z i +=，则||z =A ．12B ．2 C D ．28.[2017山东]已知，i 是虚数单位，若za =+，4z z ⋅=，则a =A ．1或-1BC ．- D9.[2015高考新课标1，理1]设复数z 满足11zz+-=i ，则|z|=( ) A. 1 B. C.D. 210.[2016高考新课标理数1]设(1i)1i xy +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +()A. 1B.2 C.3 D. 2第2讲 集合的概念与运算一、集合及其运算 1．集合的基本概念(1)集合中元素的三大特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系：a ∈A 或a ∉A . (3) (4)2．V enn 图A B (或B A )3.A ∪BA ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }∁A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }4.子集的个数：集合的子集、真子集个数的规律为：含n 个元素的集合有2n 个子集，有2n －1个真子集(除集合本身)，有2n －1个非空子集，有2n －2个非空真子集(除集合本身和空集，此时n ≥1)． 题型一 集合的基本概念 【例1】[2013·江西，2]若集合A ＝{}x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0中只有一个元素，则a ＝( )A ．4B ．2C ．0D ．0或4【例2】已知集合{}23,,02+-=m mm A ，且A ∈2，则实数m 的值为（ ）A ．3B ．2C ．0或3D ．0,2,3均可[练习] (1)若集合A ＝{－1，1}，B ＝{0，2}，则集合z ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2(2)已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A.3B.6C.8D.10(3)集合A ＝{1,2,3,4,5},B ＝{1,2,3},C ＝{z |z ＝xy ,x ∈A 且y ∈B },则集合C 中的元素个数为( ) A.3 B.8 C.11 D.12【例3】[2015高考新课标1，1]已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A xx n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为( )A. 5B. 4C. 3D.2题型二 集合间的关系 【例1】(1)[2013·福建，3]若集合A ＝{1，2，3}，B ＝{1，3，4}，则A ∩B 的子集个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．16(2)已知集合A ＝{x |－1<x <0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)(3)已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围为________．z z =3i12iz -=+zi 51i i-+11iz=+i ||z (1i)2i z +=z =1i --1+i -1i -1+i a R ∈题型三 集合的基本运算 【例1】(1)[2015·福建，2]若集合M ＝{x |－2≤x <2}，N ＝{0，1，2}，则M ∩N 等于( )A ．{0}B ．{1}C ．{0，1，2}D ．{0，1}(2)[2018全国卷1]已知集合2{20}=-->A x x x ，则A =RA.{12}-<<x x B ．{12}-≤≤x x C ．{|1}{|2}<->x x x x D ．{|1}{|2}-≤≥x x x x(3)[2013·湖北理，2]已知全集R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪()12x ≤1，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩(∁R B )＝( )A.{x |x ≤0}B.{x |2≤x ≤4}C.{x |0≤x ＜2或x ＞4}D.{x |0<x ≤2或x ≥4}(4)已知全集为，集合，则A ．B ．{}|24x x ≤≤ C ． D ．(5)设全集U ＝R ，A ＝{x |x (x ＋3)<0}，B ＝{x |x <－1}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |－3<x <－1}B ．{x |－3<x <0}C ．{x |－1≤x ＜0}D ．{x |x <－3}(6)则A ∩B ＝( )A.{x |－1≤x ＜0}B.{x |0<x ≤1}C.{x |0≤x ≤2}D.{x |0≤x ≤1}(7)设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B AA ． [0,2]B ．(1,3)C ． [1,3)D ． (1,4)【高考真题】1.[2019全国Ⅰ文2]A ．B ．C ．D ．2.[2019全国Ⅱ文1]已知集合，，则A ∩B =A ．(–1，+∞)B ．(–∞，2)C ．(–1，2)D ．3.[2019全国Ⅲ文1]已知集合，则A ．B ．C ．D ．4.[2019北京文1]已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =A.（–1，1）B.（1，2）C.（–1，+∞）D.（1，+∞）5.[2019天津文1]A.{2}B.{2，3}C.{-1，2，3}D.{1，2，3，4}6.[2019江苏1]已知集合，，则.7.[2019浙江1]已知全集，集合，，则=A ．B ．{}0,1 C ．D ．8.[2018全国卷Ⅱ]已知集合22{(,)|3}=+∈∈Z Z ≤，，A x y x y x y ，则A 中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．49.[2017新课标Ⅲ]已知集合22{(,)|1}A x y x y =+=，{(,)|}B x y y x ==，则A B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．010.[2017山东]设函数y =的定义域A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则AB =A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(2,1)-D ．[2,1)-11.[2016年山东]设集合 则=A ．B ．C ．D ．R R AC B ={}|0x x ≤{}|024x x x ≤<>或{}|024x x x <≤≥或{}1,6{}1,7{}6,7{}1,6,7={|1}A x x >-{|2}B x x =<∅2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，A B ={}1,0,1-{}0,1{}1,1-{}0,1,2{1,0,1,6}A =-{|0,}B x x x =>∈R A B ={}1,0,1,2,3U =-{}0,1,2A ={}1,0,1B =-UA B {}1-{}1,2,3-{}1,0,1,3-2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R AB (1,1)-(0,1)(1,)-+∞(0,)+∞第3讲 集合的概念与运算一、四种命题及其关系 1．四种命题的结构及关系二、充分条件与必要条件 (1)如果，则p 是q 的充分不必要条件 (2)如果，则p 是q 的必要不充分条件(3)如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件 三、逻辑联结词、全称量词与存在量词 1．p ，p ∨q ，p ∧q 的真假判断2.3.4.【例】(1)[2015·山东，5]若m ∈R ，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m≤0(2)[2012·湖北，4]命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数(3)[2014·江西，6]下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0” B ．若a ，b ，c ∈R，则“ab 2>cb2”的充要条件是“a >c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β(4)[2012·湖南，2]( ) A，则B C ．若D题型二 充分、必要条件的判断 【例1】(1)[2015·天津，4]设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)[2019天津文3]”是的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(3)[2019浙江5]若a ＞0，b ＞0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(4)是“函数上单调递减”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(5)下列结论：①命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”； ②“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件；③命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题；④命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”． 其中正确的序号是________．【例2】[2015·安徽望江中学调研，14]已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.条件，则实数a 的取值范围是________．【练习】1.已知p ：x ∈A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：x ∈B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．若p 实数m 的取值范围是________．2.设命题p ：2x －1x －1<0，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．题型三 含逻辑联结词的命题的真候判断1.[2012·山东，5]设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真【例】[2015·湖北，3]命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( ) A ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1 B．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1 C ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1D ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1【例】(1)[2013·课标Ⅰ，5]已知命题p ：∀x ∈R ，2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧qB ．p ∧qC ．p ∧qD ．p ∧q(2)下列四个命题： p 1：∃x ∈(0，＋∞ p 2：∃x ∈(0，1) p 3：∀x ∈(0，＋∞p 4：∀x ∈()0，13其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4( 3)已知命题p ：关于x 的不等式a x >1(a >0，且a ≠1)的解集是{x |x <0}，命题q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围为__________．⌝⌝⌝⌝⌝⌝【高考真题】1.[2019北京文6] 设函数f（x）=cos x+b sin x（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.[2019全国Ⅲ文11]记不等式组表示的平面区域为D.命题下面给出了四个命题①②③④这四个命题中，所有真命题的编号是A．①③B．①②C．②③D．③④3.[2018天津]设x∈R，则“38x>”是“||2x>”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.[2017山东]已知命题p：,x∃∈R210x x-+≥；命题q：若22a b<，则a b<．下列命题为真命题的是A．p q∧B．p q⌝∧C．p q⌝∧D．p q⌝⌝∧5.[2014·天津，3]已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)·e x>1，则p为()A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1 B．∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1C．∀x>0，总有(x＋1)e x≤1 D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤16.[2014·安徽，2]命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0 C．∃x0∈R，|x0|＋x20<0 D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥07.[2014·重庆，6]已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是() A．p∧(q) B．(p)∧q C．(p)∧(q) D．p∧q8.[2017山东，文5]已知命题p：,命题q下列命题为真命题的是A．p q∧ B.p q∧⌝ C. D.p q⌝∧⌝9.[2016·四川，5]设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10.[2015·安徽，3]设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件11.[2014·广东，7]在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的()A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件p q∨p q⌝∨p q∧⌝p q⌝∧⌝⌝⌝⌝⌝⌝。

2020年湖北省普通高等学校招生中职毕业生技能高考模拟试题数学部分（第一套）参考答案四、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 19.C 20.D 21.B 22.C 23.B 24.D 五、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）25. 101 -5 26.]2,0031-（），（ 27.100 28.cm 2六、解答题（本大题共3小题，共40分） 29.(1)解析：由任意角的直角函数的定义得m=-1,21cos ,23sin -=-=αα， 原式==---ααααcos sin 3sin cos(2)原式===+--+-++6sin3cos 4tan6cos 6sin )66sin()32cos()42tan()63cos(62-sin πππππππππππππππ）（30. （1）设点A （x, y ）则AB =(1-x, 1-y) 又AB (-7,10)b 2-a 3==所以⎩⎨⎧=--=-10171y x 解得⎩⎨⎧-==98y x 点A （8，-9）（2）)4,3(+--=+λλλb a又)(b aλ+∥AB所以2871030--=--λλ解得32-=λ （3）)4,3(μμμ--=-b a因为⊥-)(b aμAB所以⋅-)(b aμAB 01040721=-+-=μμ 解得1761=μ31.（1）直线1l 的方程可化为0224=+-a y x ，则直线21与l l 的距离 105724)1(222=+--=a d 解得4或3-==a a(2)解析：设过点P 的直线方程为Y-3=k(x-2)即kx-y-2k+3=0,圆心到该直线的距离等于半径即113212=++--k k k 解得43=k 求得切线方程为2020年湖北省普通高等学校招生中职毕业生技能高考模拟试题数学部分（第二套）参考答案四、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）19.C 20.B 21.C 22.C 23.D 24.C 五、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 25. 212- 26. 27. 28.六、解答题（本大题共3小题，共40分） 29.(1)解析：原式=434tan )6sin (3cos 4tan 3cos 4tan6sin)4tan()6sin(32cos()47tan()312cos()43tan()62sin(=-----=--+-+--++-+--+πππππππππππππππππππππ）(2) 原式=1tan 1tan 4cos sin cos 2sin 4-=-+αααααα由已知得3tan -=α代入原式=30.(1)182)(62)(652616=+=+=a a a a S 解得45=a(2)1254-=a S ①1265-=a S ② 由②-①得565653即2a a a a a =-=因为{}n a 为等比数列，所以356==a a q31.(1)联立21与l l 的方程可得交点坐标（-1，3）由题意可设直线l 的方程为03=+-a y x将交点坐标代入即可得6=a 即所求直线方程为063=+-y x (2)因为直线与圆相切，所以圆心P(-3,4)到直线的距离等于半径 即222543=-+-==r d 故圆的标准方程为8)4()3(22=-++y x 转化为一般方程为0178622=+-++y x y x2020年湖北省普通高等学校招生中职毕业生技能高考模拟试题数学部分（第三套）参考答案四、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）19.A 20.C 21.B 22.B 23.C 24.A五、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 25. 32-31-26. 27.(2,-6) 28.六、解答题（本大题共3小题，共40分） 29.(1)原式=3tan 4cos 23sin )34tan(44-cos 2)33sin(ππππππππα---=--++-+）（ =（2）解析由34tan ,53cos 2354sin 54)sin(=-=∴∈-==+ααππαααπ），（又得 原式==-αααcos tan sin 230.(1)因为{}n a 为等差数列，所以⎩⎨⎧=+=+1045342a a a a 可转化为⎩⎨⎧=+=+532211d a d a 解得⎩⎨⎧=-=341d a故95291010110=⨯+=d a S (2)因为{}n b 为等比数列，⎩⎨⎧==162652a a 所以27253==a a q 解得3=q 2a 1= 故132-⨯=n n b 31.(1)圆的方程可转化为03213222=+-+++k k y x y x由0)321(4914222>+--+=-+k k F E D可得1或5<>k k (2)圆心（2，-1）到直线0434=+-y x 的距离354)1(324=+-⨯-⨯=d3==r d 所以直线与圆相切2020年湖北省普通高等学校招生中职毕业生技能高考模拟试题数学部分（第四套）参考答案四、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 19.B 20.B 21.D 22.B 23.B 24.D 五、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 25.13426.]322,1，（）（ 27. 28.12π六、解答题（本大题共3小题，共40分）29.(1)解析：原式=02200002260cos 30sin 3tan 4sin )60720cos()30720sin()34(tan )46(sin ++=+-++--+-ππππππ= (2)由已知得94cos sin 31cos sin =-=+-αααα两边平方得 原式=αααααααcos sin sin tan tan )cos (sin 2=--= 30.(1)1),(b a +=+λλλ 因为a b a⊥+)(λ所以-1得0)(==⋅+λλa b a(2)b因为∥c所以1262-=⨯-=k2251032,cos -=⋅--=⋅⋅>=<b a b a b a因为],0[,π>∈<b a所以43,π>=<b a31.（1）直线0723=--y x 得斜率为23 则与之垂直直线得斜率为32-点斜式方程为)3(324+-=-x y 即0632=-+y x （2）点P(1，0) 因为直线与圆相切所以1)5(211222=++⨯==r d故圆的标准方程为1)1(22=+-y x2020年湖北省普通高等学校招生中职毕业生技能高考模拟试题数学部分（第五套）参考答案四、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 19.B 20.D 21.B 22.B 23.C 24.B 五、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 25.-7 0 26.]6，3（）3，2（ 27 .3 28 .六、解答题（本大题共3小题，共40分）29.原式12332)3(023130cos 23tan 2cos6cos2sin 3tan2cos 23tan )23cos()64cos()22sin()34tan(222-=--+-=--+-=-+++-+--++πππππππππππππππ（2）原式αααααααα2222cos tan sin )cos (tan tan )cos (sin -=-=-⋅⋅--⋅=30.(1)因为{}n a 为等差数列，所以44543233b a a a a==++ 即442a b = 242416a b = 所以44=a 84=b(2){}n a 为等差数列 11=a4314=+=d a a 所以1=d故n d n a a n =-+=)1(1{}n b 为等比数列 11=b8314==q b b 所以2=q故1112--==n n n q b b31.(1)直线平分圆即直线过圆心（1，2）点斜式方程)1(212-=-x y 即032=+-y x (2)因为直线与圆相切 所以圆心（0，3）到直线032=+-y x 的距离 55353320=+⨯-==r d 故圆的标准方程为59)3(22=-+y x 转化为一般方程为0536622=+-+y y x2020年湖北省普通高等学校招生中职毕业生技能高考模拟试题数学部分（第六套）参考答案四、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）19.D （两直线重合） 20.D 21.B 22.B 23.C 24.B （生活常识，冰水共存实例。