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带电粒子在磁场中做圆周运动的分析方法湖北省郧西县第二中学王兴青带电粒子在有界、无界磁场中的运动类试题在高考试题中出现的几率几乎为l00％，涉及临界状态的推断、轨迹图象的描绘等。
试题综合性强、分值大、类型多，能力要求高，有较强的选拔功能，故平时学习时应注意思路和方法的总结。
解答此类问题的基本规律是“四找”：找圆心、找半径、找周期或时间、找几何关系。
一、知识点：若v⊥B，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动，如右图所示。
1、轨道半径带电粒子在磁场中受到的洛伦兹力: F=qvB粒子做匀速圆周运动的向心力:v2F向=mrv2粒子受到的洛伦兹力提供向心力: qvB=mrm v所以轨道半径公式: r=Bq带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径跟粒子的运动速率成正比．速率越大．轨道半径也越大．2、周期由r=Bqm v 和T=v r π2得：T= qB m π2 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T 跟轨道半径r 和运动速度v 无关．二、带电粒子在磁场中做圆周运动的分析方法1、圆心的确定带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧，如何确定圆心是解决问题的前提，也是解题的关键。
首先，应有一个最基本的思路：即圆心一定在与速度方向垂直的直线上。
在实际问题中圆心位置的确定极为重要，通常有四种情况：(1)已知入射方向和出射方向，通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图l 所示，图中P 为入射点，M 为出射点)(2)已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图2所示，P为入射点，M 为出射点)。
(3)两条弦的中垂线：如图3所示，带电粒子在匀强磁场中分别经过0、A 、B 三点时，其圆心O ’在OA 、OB 的中垂线的交点上. (4)已知入射点、入射方向和圆周的一条切线：如图4所示，过入射点A 做v 垂线A0．延长v 线与切线CD 交于C 点，做∠ACD 的角平分线交A0于0点，0点即为圆心，求解临界问题常用。
弦切角定理证明-概述说明以及解释1.引言1.1 概述弦切角定理是几何学中一个重要的定理，被广泛应用于圆的相关问题中。
根据该定理，如果一个弦切割了一个圆，并且与该圆的切线相交于切点，那么与这个弦相对的角与这个切线相交的角是相等的。
这个定理基于圆的几何性质而推导得出，它不仅具有理论的重要性，还被大量应用于解决实际问题。
无论是在数理推导中，还是在物理、工程等实际应用中，弦切角定理都被广泛运用。
本文将会系统地介绍弦切角定理的定义、证明要点和应用。
在正文部分，我们将详细阐述定理的定义，解释证明该定理所需的关键要点，并通过推理和几何演绎来证明这一定理的正确性。
同时，我们也将结合实际问题，展示弦切角定理在实际中的应用。
结论部分将对弦切角定理的意义进行总结，并回顾全文的主要内容。
通过阅读本文，读者将能够深入了解弦切角定理的定义、证明过程，并能够灵活运用该定理解决与圆相关的问题。
同时，本文也为读者展示了弦切角定理在实际中的重要性和应用价值。
在接下来的章节中，我们将逐步介绍弦切角定理的定义、证明要点以及其在实际问题中的应用。
希望读者通过对本文的阅读和理解，能够对弦切角定理有一个全面而深入的认识，从而在解决相关问题时能够能够灵活运用并取得理想的结果。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：在本文中，我将探讨弦切角定理的证明。
本文分为引言、正文和结论三部分。
引言部分将对弦切角定理进行概述，介绍其定义、重要性和应用领域。
然后我会详细说明本文的结构以及每个部分的内容。
正文部分将详细介绍弦切角定理的证明。
首先，我将给出弦切角定理的定义，并解释其背后的数学原理。
然后，我会重点讨论证明该定理所需的关键要点。
第一要点将涉及到几何图形的构建和性质推导，第二要点将涉及到角度关系的推理和推导。
通过详细的推导和证明过程，读者将能够全面理解弦切角定理的证明方法。
结论部分将归纳总结弦切角定理的应用和意义。
我将讨论该定理在几何学中的实际应用，以及它对其他几何定理的推导和应用的重要性。
弦切角定理弦切角定理是指在圆上，顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角。
如图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都是弦切角。
弦切角定理指出，弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。
已知AC是⊙O的弦，AB 是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧。
可以证明弦切角定理分三种情况。
切线长定理是指从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
例如，P 是⊙O外一点，PA、PB是⊙O的两条切线，线段PA、PB就是点P到⊙O的切线长。
切线长定理还有一个推论，即圆的外切四边形的两组对边的和相等。
相交弦定理是指圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
例如，若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD。
相交弦定理还有一个推论，即如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
割线定理是指从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
例如，直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD。
切割线定理是指从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
切割线定理是圆幂定理的一种。
由圆的切线定理可知，对于圆上的一点T，连接该点与圆心O的线段OT与切线PT垂直。
同时，设PBA为圆O的一条割线，则根据切割线定理，有PT²=PA·PB。
进一步推论，对于圆外一点P，连接该点到圆上两个交点的线段，两线段的长度之积等于该点到圆的两条割线与圆的交点的两条线段长度之积。
因此，设PBA和PDC为圆O的两条割线，则有PD·PC=PA·PB，即PT²=PA·PB=PC·PD。
接下来，我们来证明切割线定理。
弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另图示一边和圆相切的角叫做弦切角。
(弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都为弦切角。
弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。
∵∠TCB=90-∠OCB ∵∠BOC=180-2∠OCB ∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（圆心角等于圆周角的两倍）∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC 是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧. 求证：（弦切角定理）证明：分三种情况：（1）圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA ∵为半圆, ∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角B点应在A点左侧（2）圆心O在∠BAC的内部. 过A作直径AD交⊙O于D, 若在优弧m所对的劣弧上有一点E 那么，连接EC、ED、EA 则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB ∴∠CEA=∠CAB ∴（弦切角定理）（3）圆心O在∠BAC的外部, 过A作直径AD交⊙O于 D 那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90 ∴∠CDA=∠CAB ∴（弦切角定理）弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60° , AB=a 求BC长. 解：连结OA，OB. ∵在Rt△ABC中, ∠C=90 ∴∠BAC=30°∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半）例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求证：EF∥BC. 证明：连DF. AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC ⊙O切BC于 D ∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDC EF∥BC例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD. 证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90 ∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于 C ∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.。
带电粒子在圆形磁场区域的运动规律处理带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题，关键就是综合运用平面几何知识与物理知识。
最重要的是，画出准确、清晰的运动轨迹。
对于带电粒子在圆形磁场区域中做匀速圆周运动，有下面两个规律，可以帮助大家准确、清晰画出带电粒子的圆周运动的轨迹。
规律一：带电粒子沿着半径方向射入圆形边界内的匀强磁场，经过一段匀速圆周运动偏转后，离开磁场时射出圆形区域的速度的反向延长通过边界圆的圆心。
规律二：入射速度方向（不一定指向区域圆圆心）与轨迹圆弧对应的弦的夹角为θ（弦切角），则出射速度方向与入射速度方向的偏转角为2θ，轨迹圆弧对应的圆心角也为θ2，并且初末速度方向的交点、轨迹圆的圆心、区域圆的圆心都在弧弦的垂直平分线上。
以上两个规律，利用几何知识很容易证明，在解题时，可以直接应用，请看下面的两个例子：例1如图1所示，在平面坐标系xoy 内，第Ⅱ、Ⅲ象限内存在沿y 轴正方向的匀强电场，第I 、Ⅳ象限内存在半径为L的圆形匀强磁场，磁场圆心在M （L ，0）点，磁场方向垂直于坐标平面向外．一带正电粒子从第Ⅲ象限中的Q （一2L ，一L ）点以速度0v 沿x 轴正方向射出，恰好从坐标原点O 进入磁场，从P （2L ，O ）点射出磁场．不计粒子重力，求： （1）电场强度与磁感应强度大小之比 （2）粒子在磁场与电场中运动时间之比 解析：（1）设粒子的质量和所带正电荷分别为m 和q ，粒子在电场中运动，由平抛运动规律得：102t v L =2121at L =，又牛顿运动定律得：ma qE = 粒子到达O 点时沿y +方向分速度为0v at v y ==，1tan 0==v v y α 故045=α，粒子在磁场中的速度为02v v =，应用规律二，圆心角为：0902=α，画出的轨迹如图2所示，由rmv Bqv 2=，由几何关系得L r 2=得：2v B E = （2）在磁场中运动的周期vrT π2=粒子在磁场中运动时间为02241v L T t π==图2图1得412π=t t 例2如图3所示，真空中有一以（r ，O ）为圆心，半径为r 的圆柱形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向里，在y ≤一r 的范围内，有方向水平向右的匀强电场，电场强度的大小为E 。
圆形磁场中的几个典型问题许多同学对带电粒子在圆形有界磁场中的运动问题常常无从下手，一做就错．常见问题分别是“最值问题、汇聚发散问题、边界交点问题、周期性问题”．对于这些问题，针对具体类型，抓住关键要素，问题就能迎刃而解，下面举例说明．一、最值问题的解题关键——抓弦长1．求最长时间的问题例1 真空中半径为R=3×10-2m的圆形区域，有一磁感应强度为B=0.2T的匀强磁场，方向如图1所示一带正电的粒子以初速度v0=106m / s 从磁场边界上直径 ab 一端 a 点处射入磁场，已知该粒子比荷为q/m=108C / kg ，不计粒子重力，若要使粒子飞离磁场时偏转角最大，其入射时粒子初速度的方向应如何？（以 v0与 Oa的夹角 表示）最长运动时间多长？小结：本题涉及的是一个动态问题，即粒子虽然在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动，但因其初速度方向变化，使粒子运动轨迹的长短和位置均发生变化，并且弦长的变化一定对应速度偏转角的变化，同时也一定对应粒子做圆周运动轨迹对应圆心角的变化，因而当弦长为圆形磁场直径时，偏转角最大．2 ．求最小面积的问题例2 一带电质点的质量为m，电量为q，以平行于 Ox 轴的速度v从y轴上的a点射人如图 3 所示第一象限的区域．为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度 v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域，试求此圆形磁场区域的最小面积，重力忽略不计．小结：这是一个需要逆向思维的问题，而且同时考查了空间想象能力，即已知粒子运动轨迹求所加圆形磁场的位置．解决此类问题时，要抓住粒子运动的特点即该粒子只在所加磁场中做匀速圆周运动，所以粒子运动的 1 / 4 圆弧必须包含在磁场区域中且圆运动起点、终点必须是磁场边界上的点，然后再考虑磁场的最小半径．上述两类“最值”问题，解题的关键是要找出带电粒子做圆周运动所对应的弦长．二、汇聚发散问题的解题关键——抓半径当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。
带电粒子在圆形磁场区域的运动规律处理带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题，关键就是综合运用平面几何知识与物理知识。
最重要的是，画出准确、清晰的运动轨迹。
对于带电粒子在圆形磁场区域中做匀速圆周运动，有下面两个规律，可以帮助大家准确、清晰画出带电粒子的圆周运动的轨迹。
规律一：带电粒子沿着半径方向射入圆形边界内的匀强磁场，经过一段匀速圆周运动偏转后，离开磁场时射出圆形区域的速度的反向延长通过边界圆的圆心。
规律二：入射速度方向（不一定指向区域圆圆心）与轨迹圆弧对应的弦的夹角为θ（弦切角），则出射速度方向与入射速度方向的偏转角为2θ，轨迹圆弧对应的圆心角也为θ2，并且初末速度方向的交点、轨迹圆的圆心、区域圆的圆心都在弧弦的垂直平分线上。
以上两个规律，利用几何知识很容易证明，在解题时，可以直接应用，请看下面的两个例子：例1如图1所示，在平面坐标系xoy 内，第Ⅱ、Ⅲ象限内存在沿y 轴正方向的匀强电场，第I 、Ⅳ象限内存在半径为L的圆形匀强磁场，磁场圆心在M （L ，0）点，磁场方向垂直于坐标平面向外．一带正电粒子从第Ⅲ象限中的Q （一2L ，一L ）点以速度0v 沿x 轴正方向射出，恰好从坐标原点O 进入磁场，从P （2L ，O ）点射出磁场．不计粒子重力，求： （1）电场强度与磁感应强度大小之比 （2）粒子在磁场与电场中运动时间之比 解析：（1）设粒子的质量和所带正电荷分别为m 和q ，粒子在电场中运动，由平抛运动规律得：102t v L =2121at L =，又牛顿运动定律得：ma qE = 粒子到达O 点时沿y +方向分速度为0v at v y ==，1tan 0==v v y α 故045=α，粒子在磁场中的速度为02v v =，应用规律二，圆心角为：0902=α，画出的轨迹如图2所示，由rm v Bqv 2=，由几何关系得L r 2=得：2v B E = （2）在磁场中运动的周期vrT π2=粒子在磁场中运动时间为02241v L T t π==图2图1得412π=t t 例2如图3所示，真空中有一以（r ，O ）为圆心，半径为r 的圆柱形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向里，在y ≤一r 的范围内，有方向水平向右的匀强电场，电场强度的大小为E 。
