带电粒子在有界磁场中运动的分析方法

带电粒子在有界磁场中运动时间问题的解题策略作者：冯守灿来源：《中学物理·高中》2013年第10期求解带电粒子在有界磁场中运动时间问题是磁场中一种常见题型，求解粒子运动时间的基本方法是：根据粒子圆周运动的周期T和轨道所对应的圆心角，并根据求得。

除粒子运动时间计算问题之外，还有磁场中粒子运动时间的定性分析问题，比如：不同粒子在磁场中运动时间的比较以及粒子在磁场中运动时间的最值问题，此类问题除了用常规方法求解之外，还可以结合题目所给条件，从不同角度加以分析判断，效果更好，现结合实例从两方面分析如下：1、如何求解粒子在磁场运动时间1.1利用周期和圆心角求时间例1、如图所示，有界匀强磁场的磁感应强度B=2×10-8 T；磁场宽度L=0.2 m、一带电粒子电荷量q=-3.2×10-19 C，质量m=6.4×10-27 kg，以v=4×104 m/s的速度沿OO′垂直射入磁场，在磁场中偏转后从右边界射出.求：（1）大致画出带电粒子的运动轨迹；（画在题图上）（2）带电粒子在磁场中运动的轨道半径；（3）带电粒子在磁场中运动时间？解析：（1）轨迹如图.（2）带电粒子在磁场中运动时，由牛顿运动定律，有qvB=mv2R R=mvqB=6.4×10-27×4×1043.2×10-19×2×10-3 m=0.4 m.（3）带点粒子在磁场中运动的周期为设粒子在磁场中运动对应的圆心角为，由上图可知：所以粒子在磁场中运动的时间为1.2利用周期和速度偏转角求时间例2、如图所示，一束电子（质量为m，电量为e）以速度v0沿水平方向由S点射入垂直于纸面向里，磁感应强度为B，而宽度为d的匀强磁场。

射出磁场时的速度方向与竖直边界成30°，则穿过磁场所用的时间是多少？解析：已知初速度和末速度的方向，易得速度的偏转角，由几何知识可知：粒子运动的圆弧对应的圆心角等于粒子速度的偏转角。

带电粒子在有界匀强磁场中的运动归类解析一、单直线边界磁场1．进入型：带电粒子以一定速度υ垂直于磁感应强度B 进入磁场. 规律要点：（1）对称性：若带电粒子以与边界成θ角的速度进入磁场，则一定以与边界成θ角的速度离开磁场.如图1所示.（2）完整性：比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场，则它们运动的圆弧轨道恰构成一个完整的圆；正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场时，两粒子轨道圆弧对应的圆心角之和等于2πrad ，即2+-+=ϕϕπ，且2-=ϕθ（或2+=ϕθ）.2．射出型：粒子源在磁场中，且可以向纸面内各个方向以相同速率发射同种带电粒子.规律要点：（以图2中带负电粒子的运动轨迹为例）（1）最值相切：当带电粒子的运动轨迹小于12圆周时且与边界相切（如图2中a 点），则切点为带电粒子不能射出磁场的最值点（或恰能射出磁场的临界点）；（2）最值相交：当带电粒子的运动轨迹大于或等于12圆周时，直径与边界相交的点（图2中的b 点）为带电粒子射出边界的最远点.图2中，在ab 之间有带电粒子射出，设ab 距离为x ，粒子源到磁场边界的距离为d ，带电粒子的质量为m ，速度为υ，则m υr=Bqa O r-d二、双直线边界磁场规律要点：最值相切：当粒子源在一条边界上向纸面内各个方向以相同速率发射同一种粒子时，粒子能从另一边界射出的上、下最远点对应的轨道分别与两直线相切.图3所示.对称性：过粒子源S 的垂线为ab 的中垂线.在图3中，ab 之间有带电粒子射出，可求得ab=最值相切规律可推广到矩形区域磁场中.例1．一足够长的矩形区域abcd 内充满磁感应强度为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad 宽为L ，现从ad 中点O 垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为0υ方向与ad 边夹角为30°，如图4所示。

已知粒子的电荷量为q ，质量为m （重力不计）。

（1）若粒子带负电，且恰能从d 点射出磁场，求0υ的大小；（2）若粒子带正电，使粒子能从ab 边射出磁场，求0υ的取值范围以及此范围内粒子在磁场中运动时间t 的范围。

专题：带电粒子在有界磁场中的运动三维目标：一、知识与技能（1）掌握求解带电粒子在有界磁场中的圆运动的基本方法：找圆心、求半径、求周期、确定圆心角，熟练运用草图描绘带电粒子运动的轨迹，应用几何知识求解问题；（2）培养学生的分析、解决问题的能力，应用数学知识求解物理问题的能力。

二、过程与方法讲解与学生练习相结合三、情感、态度与价值观进行思维方法教育训练，培养辩证唯物主义观点．【重难点】一．处理有界磁场问题的一般方法：①解答有关运动电荷在有界匀强磁场中的运动问题时，可以将有界磁场视为无界磁场让粒子能够做完整的圆周运动。

②根据边界条件确定粒子运动的路径，进而确定粒子圆周运动的圆心。

③作好辅助线，充分利用圆的有关特性和公式定理、 圆的对称性等几何知识表达出粒子运动的半径与偏转角度。

④根据牛顿第二定律，列出动力学方程从而解出有关的物理量。

二．确定圆心常用的方法：①圆心必在洛仑兹力所在的直线上，两个位置洛仑兹力方向的交点即为圆心位置。

②速度方向的垂线一定经过圆心，则任意两条速度垂线的交点既为圆心。

③弦的垂直平分线与速度垂线的交点。

三．粒子在磁场中运动时间的确定：①利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于2π计算出圆心角α的大小，由公式2t T απ=可求出粒子在磁场中的运动时间． ②利用弧长与线速度的关系确定时间。

【典型例题】一、带电粒子在“单边磁场区域”中的运动例题1：如图所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy 平面并指向纸面里，磁场的磁感应强度为B ；一带正电的粒子以速度V0从O 点射入磁场中，入射方向在xy 平面内，与x 轴正方向的夹角为θ；若粒子射出磁场的位置与O 点的距离为L 。

求①该粒子的电荷量和质量比②粒子在磁场中的运动时间。

二、带电粒子在“圆形磁场区域”中的运动例题2：在以坐标原点 O 为圆心、半径为 r 的圆形区域内，存在磁感应强度大小为 B 、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示． 一个不计重力的带电粒子从磁场边界与 x 轴的交点 A 处以速度 v 沿－x 方向射入磁场，恰好从磁场边界与 y 轴的交点 C 处沿+y 方向飞出．（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q/m ；（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为 B ，该粒子仍从 A 处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了 60°角，求磁感应强度 B 多大？此次粒子在磁场中运动所用时间 t是多少？三、带电粒子在“长方形磁场区域”中的运动例3. 如图所示，一带正电的质子从O 点垂直射入，两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场，已知两板之间距离为d ，板长为d ，O 点是板的正中间，为使粒子能射出两板间，试求磁感应强度B 的大小（质子的带电量为e ，质量为m ）。

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题“临界问题”大量存在于高中物理的许多章节中，如“圆周运动中小球能过最高点的速度条件”“动量中的避免碰撞问题”等等，这类题目中往往含有“最大”、“最高”、“至少”、“恰好”等词语，其最终的求解一般涉及极值，但关键是找准临界状态。

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题，在解答上除了有求解临界问题的共性外，又有它自身的一些特点。

一、解题方法画图T动态分析T找临界轨迹。

（这类题目关键是作图，图画准了，问题就解决了一大半，余下的就只有计算了——这一般都不难。

）二、常见题型（B为磁场的磁感应强度，V。

为粒子进入磁场的初速度）分述如下：第一类问题：例1如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B,宽度为d,边界为CD和EF。

一电子从CD边界外侧以速率V。

垂直匀强磁场射入，入射方向与CD边界夹角为9。

已知电子的质量为m电荷量为e,为使电子能从磁场的另一侧EF射出，求电子的速率v o至少多大？分析：如图2，通过作图可以看到：随着V。

的增大，圆半径增大，临界状态就是圆与边界EF 相切，然后就不难解答了。

第二类问题：例2如图3所示，水平线MN下方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，在MN线上某点0正下方与之相距L的质子源S,可在纸面内360°范围内发射质量为m电量为e、速度为v o=BeL/ m的质子，不计质子重力，打在MN上的质子在O点右侧最远距离OP，打在O点左侧最远距离OO ___ 。

分析：首先求出半径得r=L,然后作出临界轨迹如图4所示（所有从S发射出去的质子做圆周运动的轨道圆心是在以S为圆心、以r=L为半径的圆上，这类问题可以先作出这一圆——就是圆心的集合，然后以圆上各点为圆心，作出一系列动态圆），【练习】如图5所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。

P为屏上的一小孔，PC与MN垂直。

一群质量为m带电荷量为一q的粒子(不计重力)，以相同的速率v,从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域。

带电粒子在有界磁场中的加速运动带电粒子在有界磁场中的运动是一个重要的物理现象，在理论物理和应用领域都有广泛的研究。

磁场对带电粒子施加力的作用下，使其在磁场方向上受到加速运动，并呈现出一系列特征和规律。

本文将对带电粒子在有界磁场中的加速运动进行探讨。

一、洛伦兹力和带电粒子加速运动洛伦兹力是描述带电粒子在磁场中运动的基本力学定律。

当一个带电粒子以速度v进入磁场时，它会受到磁场力的作用，该力的方向垂直于磁场方向和粒子的速度方向，符合右手定则。

这个力被称为洛伦兹力，用F表示。

洛伦兹力的数学表达式为F = qvBsinθ，其中q是带电粒子的电荷量，v是带电粒子的速度，B是磁场的磁感应强度，θ是速度方向和磁场方向之间的夹角。

根据洛伦兹力公式，可以看出带电粒子在磁场中的加速运动与速度的大小、粒子的电荷量和磁感应强度等因素有关。

速度的大小越大，洛伦兹力的大小也越大；电荷量越大，洛伦兹力也越大；磁感应强度越大，洛伦兹力也越大。

二、带电粒子的轨迹带电粒子在有界磁场中的加速运动会使其沿特定轨迹运动。

根据洛伦兹力的方向以及带电粒子的起始速度和初始位置，可以推导出带电粒子的轨迹。

对于带电粒子在有界磁场中的运动，有两种典型的轨迹，即圆形轨迹和螺旋线轨迹。

1. 圆形轨迹当带电粒子的速度与洛伦兹力垂直时，其轨迹为圆形。

这是因为洛伦兹力的作用方向垂直于速度方向，使得粒子受到一个向心力，使其维持圆形的轨迹。

2. 螺旋线轨迹当带电粒子的速度与洛伦兹力有一个非零的夹角时，其轨迹为螺旋线。

带电粒子在磁场力的作用下不仅会维持圆形运动，还会沿着磁场方向进行螺旋运动。

这是因为洛伦兹力的方向会随着带电粒子的运动而不断改变，使得粒子沿着螺旋线运动。

三、带电粒子加速运动的应用带电粒子在有界磁场中的加速运动不仅有理论上的重要性，还在实际应用中发挥着重要作用。

1. 粒子加速器带电粒子在磁场中的加速运动是粒子加速器工作的基本原理。

通过施加电场和磁场，可以对带电粒子进行加速和聚焦，使其能够达到较高的能量和较高的速度。

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧带电粒子（质量m 、电量q 确定）在有界磁场中运动时，涉及的可能变化的参量有——入射点、入射所有这些问题，其通用解法是：①第一步，找准轨迹圆圆心可能的位置，②第二步，按一定顺序．．．．．尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆（一般至少5画个轨迹圆），③第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆，从而抓住解题的关键点。

类型一：已知入射点和入射速度方向，但入射速度大小不确定（即轨道半径不确定） 这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。

【例1】如图所示，长为L 的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B ，板间距离也为L ，板不带电．现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是A ．使粒子的速度v <BqL 4mB ．使粒子的速度v >5BqL4mC ．使粒子的速度v >BqL mD ．使粒子的速度BqL 4m <v <5BqL4m【分析】粒子初速度方向已知，故不同速度大小的粒子轨迹圆圆心均在垂直初速度的直线上（如图甲），在该直线上取不同点为圆心，半径由小取到大，作出一系列圆（如图乙），其中轨迹圆①和②为临界轨迹圆。

轨道半径小于轨迹圆①或大于轨迹圆②的粒子，均可射出磁场而不打在极板上。

【解答】 AB类型 已知参量 类型一 ①⑩ 入射点、入射方向；出射点、出射方向 类型二 ②⑧ 入射点、速度大小；出射点、速度大小 类型三 ③ 入射点、出射点 类型四 ⑦ 入射方向、出射方向 类型五 ⑤⑨ 入射方向、速度大小；出射方向、速度大小； 类型六 ④⑥ 入射点、出射方向；出射点，入射方向 图乙图甲 ①②入射点 入射方向入射速度大出射点出射方向 ① ② ③ ④ ⑧ ⑨ ⑤⑥⑦⑩粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O 点，有 r 12＝L 2＋(r 1－L 2)2 ， 得 r 1＝5L4由 r 1＝mv 1Bq ，得 v 1＝5BqL 4m ，所以v >5BqL4m时粒子能从右边穿出．粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O ′点，有 r 2＝L4由 r 2＝mv 2Bq ，得 v 2＝BqL 4m ，所以v <BqL4m时粒子能从左边穿出．类型二：已知入射点和入射速度大小（即轨道半径大小），但入射速度方向不确定 这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”上——所谓“圆心圆”，是指以入射点为 圆心，以mvr qB=为半径的圆。

带电粒子在有界磁场中的运动带电粒子在磁场中的运动一直是物理界研究的热门话题之一。

当带电粒子在磁场中运动时，它会受到洛伦兹力的影响，这个力的方向垂直于磁场的方向和粒子的速度方向，并且它的大小与粒子电荷的大小、粒子运动速度和磁场强度有关。

在有界磁场中，带电粒子的运动会受到限制，并且会形成某些特定的运动轨迹，这些轨迹的特征与磁场的形状和强度有关。

以下是对有界磁场中带电粒子运动的探讨。

一、磁场的基本概念磁场是指由带电粒子或磁化物质产生的物理现象。

磁场的大小与磁场中带电粒子的数量、粒子的电荷和速度、以及磁场的强度和形状有关。

磁场有两个重要的特征：方向和大小。

磁场的方向是指磁场力线的方向，如果一个带电粒子在磁场中运动，则它会沿着磁场力线运动。

磁场的大小用磁感应强度或磁场强度来描述，这些量的单位是特斯拉（T）或高斯（G）。

二、带电粒子在磁场中的运动当带电粒子进入磁场中时，它会受到洛伦兹力的作用，这个力的大小与带电粒子的电荷和速度有关，方向垂直于磁场的方向和粒子的速度方向。

由于这个力的方向与带电粒子的速度方向垂直，所以带电粒子会在垂直磁场方向上产生一定的偏移，这个偏移的大小与带电粒子的速度和磁场强度有关。

如果带电粒子的速度和磁场方向垂直，则它会产生一个圆周运动。

在圆周运动中，带电粒子的速度保持不变，而其运动方向会随着磁场方向的改变而改变。

圆周运动的半径与带电粒子的速度和磁场强度有关，可以用以下公式来计算：r =mv/qB，其中，m是带电粒子的质量，v是带电粒子的速度，q 是带电粒子的电荷，B是磁场强度。

当速度和磁场方向不垂直时，则带电粒子会既在垂直于磁场的方向上运动，也在磁场方向上运动。

在这种情况下，带电粒子的轨迹可以用螺旋线来描述。

三、有界磁场中带电粒子的运动在有界磁场中，带电粒子的运动会受到磁场的限制。

在一个有限大小的磁场中，带电粒子不可能一直进行圆周运动或螺旋线运动。

带电粒子的轨迹将会在磁场边界处进行反射，在某些情况下，带电粒子的哪些轨迹是允许的，哪些轨迹是禁止的，这与磁场的形状和强度有关。

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题“临界问题”大量存在于高中物理的许多章节中，如“圆周运动中小球能过最高点的速度条件”“动量中的避免碰撞问题”等等，这类题目中往往含有“最大”、“最高”、“至少”、“恰好”等词语，其最终的求解一般涉及极值，但关键是找准临界状态。

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题，在解答上除了有求解临界问题的共性外，又有它自身的一些特点。

一、解题方法画图→动态分析→找临界轨迹。

（这类题目关键是作图，图画准了，问题就解决了一大半，余下的就只有计算了──这一般都不难。

）二、常见题型（B为磁场的磁感应强度，v0为粒子进入磁场的初速度）分述如下：第一类问题：例1 如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B，宽度为d，边界为CD和EF。

一电子从CD边界外侧以速率v0垂直匀强磁场射入，入射方向与CD边界夹角为θ。

已知电子的质量为m，电荷量为e，为使电子能从磁场的另一侧EF射出，求电子的速率v0至少多大？分析：如图2，通过作图可以看到：随着v0的增大，圆半径增大，临界状态就是圆与边界EF相切，然后就不难解答了。

第二类问题：例2如图3所示，水平线MN下方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，在MN线上某点O正下方与之相距L的质子源S，可在纸面内360°范围内发射质量为m、电量为e、速度为v0=BeL/m 的质子，不计质子重力，打在MN上的质子在O点右侧最远距离OP=________，打在O点左侧最远距离OQ=__________。

分析：首先求出半径得r=L，然后作出临界轨迹如图4所示（所有从S发射出去的质子做圆周运动的轨道圆心是在以S为圆心、以r=L为半径的圆上，这类问题可以先作出这一圆──就是圆心的集合，然后以圆上各点为圆心，作出一系列动态圆），OP=，OQ=L。

【练习】如图5所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。

P为屏上的一小孔，PC与MN垂直。

一群质量为m、带电荷量为－q的粒子（不计重力），以相同的速率v，从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域。

一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法1．圆心的确定因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。

2．半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即φ=α=2θ。

②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。

3．粒子在磁场中运动时间的确定若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。

4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。

a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标）b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y见所图标）c、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。

②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。

a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角可由求出；（θ、r和R见图标）b、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。

例1．如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入横截面是一正方形的匀强磁场，下列判断正确的是（ B ）A．电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹越长B．电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线一定重合D．电子的速率不同，它们在磁场中运动的时间一定不相同例2．如图所示，在一矩形区域内，不加磁场时，不计重力的带电粒子以某一初速度垂直左边界射入，穿过此区域的时间为t.若加上磁感应强度为B水平向外的匀强磁场，带电粒子仍以原来的初速度入射，粒子飞出时偏离原方向60°，利用以上数据可求出下列物理量中的( )A．带电粒子的比荷B．带电粒子在磁场中运动的周期C．带电粒子的初速度D．带电粒子在磁场中运动的半径解析：由带电粒子在磁场中运动的偏向角，可知带电粒子运动轨迹所对的圆心角为60°，因此由几何关系得磁场宽度l ＝R sin 60°＝mv 0qB sin 60°，又未加磁场时有l ＝v 0t ，所以可求得比荷q m ＝sin 60°Bt，A 项对；周期T ＝2πm qB可求出，B 项对；但初速度未知，所以C 、D 项错． 答案：AB例3．如右图所示为圆柱形区域的横截面，在该区域加沿圆柱轴线方向的匀强磁场．带电粒子(不计重力)第一次以速度v 1沿截面直径入射，粒子飞入磁场区域时，速度方向偏转60°角；该带电粒子第二次以速度v 2从同一点沿同一方向入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转90°角．则带电粒子第一次和第二次在磁场中运动的( )A ．半径之比为3∶1 B．速度之比为1∶ 3C ．时间之比为2∶3 D．时间之比为3∶2答案：AC1．如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两个质量和电量均相同的正、负离子，从O 点以相同的速度射入磁场中，射入方向均与边界成 角。

1．圆心的确定因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。

2．半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即φ=α=2θ。

②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。

3．粒子在磁场中运动时间的确定若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。

4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。

a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标）b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y见所图标）c、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。

②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。

a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角可由求出；（θ、r和R见图标）b、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。

1．给定有界磁场（1）确定入射速度的大小和方向，判定带电粒子出射点或其它1. 【例1】（2001年江苏省高考试题）如图5所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为B。

一带正电的粒子以速度v0从O 点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为θ。

有界磁场下带电粒子的轨迹方程推导在物理学中，电磁场是一种用来描述电荷或电流产生的物理现象的数学模型。

有界磁场是一种限制在一定区域内的磁场，它对带电粒子的运动轨迹产生影响。

本文将推导有界磁场中带电粒子的轨迹方程。

1. 假设我们有一个有界磁场，磁感应强度为B，该磁场位于xy平面上，且只在某一区域内存在。

2. 假设一个带电粒子带电量为q，质量为m。

该粒子在有界磁场中运动，我们关注其运动轨迹。

3. 由洛伦兹力定律可知，在磁场中，带电粒子受到的洛伦兹力为F=qvB，其中v为粒子的速度。

4. 由牛顿第二定律F=ma可知，粒子在磁场中的加速度a为a=qvB/m。

5. 假设粒子在x和y方向上的速度分别为vx和vy，则有vx' = a*t = B*q*vy/m 和 vy' = -a*t = -B*q*vx/m，其中t为时间。

6. 将以上两个微分方程相加得到vx'' = -B^2*q*vx/m 和 vy'' = -B^2*q*vy/m。

7. 进一步，我们可以得到粒子在x和y方向上的加速度分别为vx'' = -omega^2x 和 vy'' = -omega^2y，其中omega = B*q/m。

8. 这是一个简单谐振动的微分方程，解的一般形式为x =A*cos(omega*t + phi) 和 y = B*sin(omega*t + psi)，其中A、B、phi和psi为常数。

9. 所以带电粒子在有界磁场中的轨迹方程为：x = A*cos(omega*t + phi)y = B*sin(omega*t + psi)通过以上推导，我们得到了带电粒子在有界磁场中的轨迹方程，即x = A*cos(omega*t + phi)和y = B*sin(omega*t + psi)。

在这个方程中，A、B、phi和psi是确定粒子在磁场中具体轨迹的常数。

定性比较带电粒子在有界磁场中运动时间的方法作者：邓思平来源：《广东教育·高中》2014年第11期有界匀强磁场是指只在局部空间存在的匀强磁场.带电粒子垂直磁场方向从磁场边界进入，由于入射速度和磁感应强度的可变性，造成它在磁场中运动的圆弧轨迹各不相同，对应的运动时间也各不相同.定性比较带电粒子在有界磁场中运动时间的方法有两种.一种是通过比较圆心角的大小来比较时间的长短，适用于磁感应强度不变的情况，其计算公式是t=·T；另一种是通过比较弧长（弦长）的长短来比较时间的长短，适用于速度大小不变的情况，其计算公式是t=.从教学实践来看，由于求解磁场中运动时间的计算题练习量较大，学生运用第一种方法的意识比较到位.而第二种方法往往多用于定性分析，不经常用来定量计算，学生往往重视不够，训练不多，不能形成意识.本文拟就这两种方法的应用范围和选择依据通过实例进行分析，以期帮助读者掌握比较此类运动时间的方法.一、其它不变，仅入射粒子的速率改变的情况，适用公式t=·T.【例1】如图所示圆形区域（图1-A）和矩形区域（图1-B）内，有垂直于纸面方向的匀强磁场，一束质量和带电量都相同的带电粒子，以不相等的速率，沿着相同的方向，垂直边界射入匀强磁场中，又都从该磁场中射出，这些粒子在磁场中的运动时间有的较长，有的较短，若带电粒子在磁场中只受磁场力的作用，试比较三条轨迹①②③对应运动时间的长短.【解析】同一粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与速率无关，当粒子的速率改变时，周期不变，在磁场中的运动时间t与偏转角度θ（圆心角）成正比，宜用公式t=·T.比较图1-A所示区域中三条轨迹①②③对应的圆心角，发现θ1=θ2=π>θ3，则运动时间t1=t2>t3.比较图1-B所示区域中三条轨迹①②③对应的圆心角，发现θ1>θ2>θ3，则运动时间t1>t2>t3.二、其它不变，仅磁感应强度B的大小发生变化的情况，适用公式t=.若将例1的条件更改成带电粒子的入射速度相同，且满足前一粒子射出磁场时，后一粒子才进入，每一个粒子进入时的磁场不同.依旧比较三条轨迹①②③对应运动时间的长短时，就会发现，第③条轨迹对应的磁场的磁感应强度B最弱，运动周期T最大，但偏转角度θ最小，公式t=·T已经不能直接用来判断时间的长短.若注意到粒子的入射速度相同，而三条轨迹①②③的长度不同，那么公式t=正适合用来比较运动时间的长短.比较粒子在两个磁场区域中运动时间的结果均为t1【例2】如图2-A所示在半径为R的绝缘圆筒内有匀强磁场，方向垂直纸面向里，圆筒正下方有一小孔C，一带电量为+q、质量为m的带电粒子（重力忽略不计），以速度v0从小孔C处向着圆心射入磁场.已知带电粒子与筒壁的碰撞无电荷量的损失，且每次碰撞时间极短，碰后以原速率返回.若施加的磁感应强度B合适时，此粒子能在最短的时间内从小孔C处射出，求粒子与筒壁的碰撞次数.【解析】初看这道题，涉及到时间，很多学生自然地想到了周期公式T=，认为B越大，则T越小，从而认为B越大越好.殊不知，B越大时，根据r=，带电粒子运动的轨道半径也将越小，这就意味着带电粒子与筒内壁碰撞次数将增多，情形如图B、C、D所示从几何知识容易得到，碰撞的最小次数必须是3次.碰撞次数越多，则轨道半径r越小，带电粒子的轨迹长度也将越长，所以图2-B所示的带电粒子的轨迹长度即三段弧长总和s最短；而粒子在运动过程中，速率不变，从而根据公式t=，得到时间t必然最短.三、其它不变，仅粒子入射方向可以任意的情况，适用公式t=.【例3】如图所示圆形区域（图3-A）和条形区域（图3-B）内，有垂直于纸面方向的匀强磁场，一束电子（电荷量为-e，质量为m）自点O以速率v射入磁感应强度为B的匀强磁场中，圆形区域的半径为d，条形区域的宽度也为d.已知d①用最长时间穿过圆形磁场区域的粒子的出射位置；②以最短时间穿过条形磁场区域的粒子的出射位置.【解析】由于电子运动速率相同，则不同方向射入的电子的运动半径相同，由几何知识可知，轨迹弧均为劣弧，弧长与弦长成正比.在图3-A中，弦OP最长，对应弧长也最长，由t=可知时间最长.在图3-B中，弦OP最短，对应弧长也最短，由t=可知时间最短.本题也可用比较圆心角的方法来判断，但较为繁琐.四、结论从以上列举的三种情况及相关实例的解析来看，比较带电粒子在有界匀强磁场中的运动时间时，要依据具体情况选择判断公式.总之，定性比较磁场中运动时间时，若入射速率相同，优先选用公式t=；若入射速率不同，只能选用公式t=·T.（作者单位：梅州市梅县区高级中学）责任编校李平安。