2018版高中数学人教B版选修1-1学案：第二单元 2-3-2 抛物线的几何性质二 含答案 精品

2．3.1抛物线及其标准方程学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．知识点一抛物线的定义思考1如图，在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF 上，在拉链D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？思考2抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？梳理从定义可以看出，抛物线不是双曲线的一支，双曲线有渐近线，而抛物线没有．对抛物线定义的理解应注意定点不在定直线上，否则，动点的轨迹是一条________．知识点二抛物线的标准方程思考1抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？思考2抛物线标准方程的特点？思考3已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？梳理抛物线的标准方程有四种类型类型一抛物线标准方程及求解命题角度1由抛物线方程求焦点坐标或准线方程例1已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程．(1)y 2＝－6x ；(2)3x 2＋5y ＝0； (3)y ＝4x 2；(4)y 2＝a 2x (a ≠0)．反思与感悟 如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向．一次项的变量若为x (或y )，则x 轴(或y 轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向．跟踪训练1 (1)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1D. 3(2)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝_____________________________________， 准线方程为____________．命题角度2 求解抛物线标准方程例2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为(－2,0)； (2)准线为y ＝－1； (3)过点A (2,3)； (4)焦点到准线的距离为52.反思与感悟 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可．若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．焦点在x 轴上的抛物线方程可设为y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可设为x 2＝ay (a ≠0)． 跟踪训练2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1) 过点(3，－4)；(2) 焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上．类型二 抛物线定义的应用例3 已知点A (3,2)，点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12. (1)求点M 的轨迹方程；(2)是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．反思与感悟 (1)抛物线定义具有判定和性质的双重作用．本题利用抛物线的定义求出点的轨迹方程，又利用抛物线的定义，“化曲折为平直”，将两点间的距离的和转化为点到直线的距离求得最小值，这是平面几何性质的典型运用．(2)通过利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行转化，从而简化问题的求解过程．在解决抛物线问题时，一定要善于利用其定义解题．跟踪训练3 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A.172 B ．3 C. 5 D.921．抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－22．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x3．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( )A ．4B ．2C ．1D ．84．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.115 D.37165．若抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M 点的坐标．1．焦点在x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y 2＝mx (m ≠0)，此时焦点为F (m4，0)，准线方程为x ＝－m4；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2＝my (m ≠0)，此时焦点为F (0，m 4)，准线方程为y ＝－m4.2．设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径．若M (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF |＝x 0＋p2.3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．答案精析问题导学 知识点一思考1 平面内到一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．思考2 不能，若l 经过点F ，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F 且垂直于l 的一条直线． 梳理 直线 知识点二思考1 p 是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向．思考2 (1)原点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p 为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于p2.思考3 一次项变量为x (或y )，则焦点在x 轴(或y 轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定． 题型探究例1 解 (1)由方程y 2＝－6x ，知抛物线开口向左， 2p ＝6，p ＝3，p 2＝32，所以焦点坐标为(－32，0)，准线方程为x ＝32.(2)将3x 2＋5y ＝0变形为x 2＝－53y ，知抛物线开口向下， 2p ＝53，p ＝56，p 2＝512，所以焦点坐标为(0，－512)，准线方程为y ＝512.(3)将y ＝4x 2化为x 2＝14y ，知抛物线开口向上， 2p ＝14，p ＝18，p 2＝116，所以焦点坐标为(0，116)，准线方程为y ＝－116.(4)由方程y 2＝a 2x (a ≠0)知抛物线开口向右， 2p ＝a 2，p ＝a 22，p 2＝a 24，所以焦点坐标为(a 24，0)，准线方程为x ＝－a 24.跟踪训练1 (1)B (2)2 x ＝－1例2 解 (1)由于焦点在x 轴的负半轴上，且p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线标准方程为y 2＝－8x . (2)∵焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，∴p ＝2，∴抛物线标准方程为x 2＝4y .(3)由题意，抛物线方程可设为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝ny (n ≠0)， 将点A (2,3)的坐标代入，得32＝m ·2,22＝n ·3， ∴m ＝92，n ＝43.∴所求抛物线方程为y 2＝92x 或x 2＝43y .(4)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52.∴所求抛物线方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .跟踪训练2 解 (1)方法一 ∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p 1y (p 1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ，得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)， 即2p ＝163，2p 1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .方法二 设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)或x 2＝by (b ≠0)． 把点(3，－4)分别代入，可得a ＝163，b ＝－94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(2)令x ＝0得y ＝－5； 令y ＝0得x ＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x .例3 解 (1)由于动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等，由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，∴p ＝1,2p ＝2，故轨迹方程为y 2＝2x .(2)如图，由于点M 在抛物线上，所以|MF |等于点M 到其准线l 的距离|MN |，于是|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MN |，所以当A 、M 、N 三点共线时，|MA |＋|MN |取最小值，亦即|MA |＋|MF |取最小值，这时M 的纵坐标为2，可设M (x 0,2)，代入抛物线方程得x 0＝2， 即M (2,2)．跟踪训练3 A [如图，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离等于点P 到焦点F 的距离．因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0,2)的距离与点P 到点F 的距离之和，其最小值为点M (0,2)到点F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为 4＋14＝172.]当堂训练 1．A 2.D3．C [如图，F (14，0)，过A 作AA ′⊥准线l ， ∴|AF |＝|AA ′|， ∴54x 0＝x 0＋p 2＝x 0＋14， ∴x 0＝1.]4．A [如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为到点F 的距离，由图可知，距离和的最小值，即F 到直线l 1的距离d ＝|4＋6|42＋(－3)2＝2.] 5．解 由抛物线定义，设焦点为F ⎝⎛⎭⎫－p2，0. 则该抛物线准线方程为x ＝p2，由题意设点M 到准线的距离为|MN |，则|MN |＝|MF |＝10， 即p2－(－9)＝10，∴p ＝2. 故抛物线方程为y 2＝－4x .将M (－9，y 0)代入抛物线方程，得y 0＝±6. ∴M 点的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．。

2.3.2 抛物线的简单几何性质1.掌握抛物线的几何性质及抛物线性质的应用.(重点))2.掌握直线与抛物线的位置关系.(难点[基础·初探]教材整理抛物线的简单几何性质阅读教材P60思考～例3以上部分，完成下列问题.1.抛物线的几何性质2.直线与抛物线的位置关系及判定判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线是中心对称图形.( ) (2)抛物线没有渐近线.( )(3)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p .( )(4)直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×[小组合作型]16，则抛物线方程为________.【自主解答】 因为过焦点且与对称轴y 轴垂直的弦长等于p 的2倍，所以2p ＝16. 故所求抛物线方程为x 2＝±16y . 【答案】 x 2＝±16y(2)已知抛物线的方程为y ＝ax 2(a ≠0)，求该抛物线的焦点坐标和准线方程. 【导学号：97792029】【自主解答】 抛物线方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1ay (a ≠0).当a ＞0时，抛物线开口向上，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a .当a ＜0时，抛物线开口向下，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a . 综上所述，抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a .把握三个要点确定抛物线简单几何性质1.开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y ，一次项的系数是正还是负.2.关系：顶点位于焦点与准线中间、准线垂直于对称轴.3.定值：焦点到准线的距离为p ；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p ；离心率恒等于1.[再练一题]1.抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.【解】 椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上， ∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p ＞0). ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3.已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k (k ∈R ).当k为何值时，直线l 与抛物线只有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？【精彩点拨】 要解决这个问题，只需讨论直线l 的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况，由方程组解的情况判断直线l 与抛物线的位置关系.【自主解答】 由题意可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，把直线l 的方程和抛物线的方程联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x ＋，y 2＝4x ，(*)消去x 得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0，①(1)当k ＝0时，由方程①得y ＝1.把y ＝1代入y 2＝4x 中，得x ＝14.这时，直线l 与抛物线只有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. (2)当k ≠0时，方程①的判别式为 Δ＝－16(2k 2＋k －1). ①由Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0， 解得k ＝－1或k ＝12.于是，当k ＝－1或k ＝12时，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解.这时，直线l 与抛物线只有一个公共点.②当Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12.于是，当－1<k <12且k ≠0时，方程①有两个解，从而方程组(*)有两个解.这时，直线l与抛物线有两个公共点.③由Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k <－1或k >12.于是，当k <－1或k >12时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解，这时，直线l与抛物线没有公共点.综上，我们可得：当k ＝－1或k ＝12或k ＝0时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k <－1或k >12时，直线l 与抛物线没有公共点.1.直线与抛物线的位置关系判断方法通常使用代数法：将直线的方程与抛物线的方程联立，整理成关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，利用判别式解决.Δ＞0⇒相交；Δ＝0⇒相切；Δ＜0⇒相离.(2)当a ＝0时，方程只有一解x ＝－cb，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合. 2.直线与抛物线相切和直线与抛物线公共点的个数的关系：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，但是不能把直线与抛物线有且只有一个公共点统称为相切，这是因为平行于抛物线的对称轴的直线与抛物线只有一个公共点，而这时抛物线与直线是相交的.[再练一题]2.设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B.[－2,2] C.[－1,1]D.[－4,4]【解析】 抛物线y 2＝8x 的准线(直线x ＝－2)与x 轴的交点为Q (－2,0)，于是，可设过点Q (－2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x ＋，消去y ，得k 2x 2＋(4k2－8)x ＋4k 2＝0，由其判别式Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＝－64k 2＋64≥0，可解得－1≤k ≤1.故选C.【答案】 C[探究共研型]探究 直线过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，能否用A ，B 点的坐标表示弦长|AB |?【提示】 由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，故|AB |＝x 1＋x 2＋p .已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为π4的直线，被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程.【精彩点拨】 本题考查抛物线的焦点弦的性质及抛物线的标准方程问题，可根据已知条件利用待定系数法求解.【自主解答】 当抛物线焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线的标准方程是y 2＝2px (p ＞0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l 的方程为y ＝x －p2.设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过A 、B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A 1、B 1.则|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1| ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ＝6，∴x 1＋x 2＝6－p .①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＝2px ，即x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p .代入①式，得3p ＝6－p ，∴p ＝32.∴所求抛物线的标准方程是y 2＝3x .当抛物线焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y 2＝－3x .1.解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解.2.设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.[再练一题]3.过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________. 【导学号：97792030】【解析】 抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线的定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7， 得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52，因此点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72.【答案】 721.设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )A.(6，＋∞)B.[6，＋∞)C.(3，＋∞)D.[3，＋∞)【解析】 ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， ∴p2＝3，即p ＝6. 又抛物线上的点到准线的距离的最小值为p2，∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞). 【答案】 D2.已知直线y ＝kx －k 及抛物线y 2＝2px (p >0)，则( ) A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 【解析】 ∵直线y ＝kx －k ＝k (x －1)，∴直线过点(1,0).又∵点(1,0)在抛物线y 2＝2px 的内部，∴当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点. 【答案】 C3.过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为________. 【解析】 由抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x ，得(x －2)2＝8x ，即x 2－12x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝12，弦长＝x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.【答案】 164.已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是________. 【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由抛物线2x 2＝y ，可得p ＝14，∵|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝4， ∴y 1＋y 2＝4－14＝154，故AB 的中点的纵坐标是y 1＋y 22＝158. 【答案】1585.如图2­3­3，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .图2­3­3(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.【导学号：97792031】【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2－4x －4b ＝0，(*) 因为直线l 与抛物线C 相切， 所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0. 解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0.解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1，故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离. 即r＝|1－(－1)|＝2.所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.。

2.4.2 抛物线的几何性质知识与技能目标使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力过程与方法目标复习与引入过程1．抛物线的定义是什么？请一同学回答．应为：“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．”2．抛物线的标准方程是什么？再请一同学回答．应为：抛物线的标准方程是y2=2px(p＞0)，y2=-2px(p＞0)，x2=2py(p＞0)和x2=-2py(p＞0)．下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)出发来研究它的几何性质．（2）新课讲授过程（i）抛物线的几何性质通过和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？学生和教师共同小结：(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为1．注意：这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了简单几何性质可从以下几个要点讲解：1．范围2．对称性3．顶点4．离心率对于其它几种形式的方程，列表如下：（通过对照完成下表）标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率()022>=ppxyxyO Fl原点x轴 F 图中直线 1()022>-=ppxyxyOFl原点x轴 F 图中直线 1()022>=ppyx原点y轴 F 图中直线 1()022>-=ppyx原点y轴 F 图中直线 1（ii）例题讲解与引申例题已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则准线方因为抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离得p=4．xyOFlxyOFl因此，所求抛物线方程为y2=-8x．又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)．解法二：由题设列两个方程，可求得p和m．由学生演板．由题意在抛物线上且|MF|=5，故例4过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图2-34)．证明：(1)当AB与x轴不垂直时，设AB方程为：此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，则有y1y2=-p2．或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2．综合上述有y1y2=-p2又∵A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线上的两点，练习：P63，1、2、3 作业：P64，1、2。

2.4.2抛物线的几何性质[学习目标] 1.掌握抛物线的简单几何性质.2.能运用抛物线的简单几何性质解决与抛物线有关的问题.知识点一抛物线的几何性质x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0x∈R，y≤0直线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，AF＝x1＋p2，BF＝x2＋p2，故AB＝x1＋x2＋p.知识点三直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点.当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点.题型一抛物线的几何性质例1已知双曲线方程是x28－y29＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.解因为双曲线x28－y29＝1的右顶点坐标为(22，0)，所以p2＝22，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为y 2＝82x ，其准线方程为x ＝－2 2.反思与感悟 (1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程.跟踪训练1 已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M (1，－2).求抛物线的标准方程和准线方程.解 (1)当抛物线的焦点在x 轴上时， 设其标准方程为y 2＝mx (m ≠0). 将点M (1，－2)代入，得m ＝4. ∴抛物线的标准方程为y 2＝4x . (2)当抛物线的焦点在y 轴上时， 设其标准方程为x 2＝ny (n ≠0). 将点M (1，－2)代入，得n ＝－12.∴抛物线的标准方程为x 2＝－12y .故所求的抛物线的标准方程为y 2＝4x 或x 2＝－12y .准线方程为x ＝－1或y ＝18.题型二 抛物线的焦点弦问题例2 已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且AB ＝52p ，求AB 所在的直线方程.解 由题意知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥x 轴，则AB ＝2p <52p ，不满足题意.所以直线AB 的斜率存在，设为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2. 所以AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝ ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2·(y 1－y 2)2 ＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2＝52p ， 解得k ＝±2.所以AB 所在的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －p 2 或y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －p2. 反思与感悟 (1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解. (2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.跟踪训练2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点. (1)若直线l 的倾斜角为60°，求AB 的值； (2)若AB ＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离. 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝3，又F ⎝⎛⎭⎫32，0. 所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32， 消去y 得x 2－5x ＋94＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5， 而AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p . 所以AB ＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知 AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3，又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.题型三 直线与抛物线的位置关系例3 已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 有： (1)一个公共点； (2)两个公共点； (3)没有公共点.解 将直线l 和抛物线C 的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程(*)只有一个解，为x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与抛物线C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴. 当k ≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2，①当Δ>0，即k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点，此时直线l 与抛物线C 相交； ②当Δ＝0，即k ＝1时，直线l 与抛物线C 有一个公共点，此时直线l 与抛物线C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点，此时直线l 与抛物线C 相离. 综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与抛物线C 有一个公共点； (2)当k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点； (3)当k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点.反思与感悟 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况.跟踪训练3 如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4,2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC 交抛物线于B ，C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值.证明 设k AB ＝k (k ≠0)， ∵直线AB ，AC 的倾斜角互补， ∴k AC ＝－k (k ≠0)，∴直线AB 的方程是y ＝k (x －4)＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)＋2，y 2＝x ，消去y 后，整理得k 2x 2＋(－8k 2＋4k －1)x ＋16k 2－16k ＋4＝0. ∵A (4,2)，B (x B ，y B )是上述方程组的解.∴4·x B ＝16k 2－16k ＋4k 2，即x B ＝4k 2－4k ＋1k 2.以－k 代换x B 中的k ，得x C ＝4k 2＋4k ＋1k 2，∴k BC ＝y B －y C x B －x C ＝k (x B －4)＋2－[－k (x C －4)＋2]x B －x C＝k (x B ＋x C －8)x B －x C ＝k (8k 2＋2k 2－8)－8kk 2＝－14.∴直线BC 的斜率为定值.分类讨论思想的应用例4 已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线y ＝2x ＋1截得的弦长为15，求抛物线的标准方程.分析 由于抛物线的开口有两种可能性：向左或向右，其标准方程可以设为y 2＝2px (p ＞0)或y 2＝－2px (p ＞0).解 设直线和抛物线相交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). (1)当抛物线开口向右时，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝2x ＋1，消去y ，得4x 2－(2p －4)x ＋1＝0. 所以x 1＋x 2＝p －22，x 1x 2＝14.AB ＝(x 1－x 2)2＋[(2x 1＋1)－(2x 2＋1)]2 ＝5·(x 1－x 2)2 ＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝5·(p －22)2－4×14＝15， 则p 24－p ＝3，整理，得p 2－4p －12＝0， 解得p ＝－2(负值舍去)或p ＝6， 故抛物线的标准方程为y 2＝12x .(2)当抛物线开口向左时，设抛物线的标准方程为 y 2＝－2p 1x (p 1＞0)，同理可得p 1＝2，此时所求抛物线的标准方程为y 2＝－4x .综上所述，抛物线的标准方程为y 2＝－4x 或y 2＝12x .解后反思 分类讨论思想在解决抛物线问题时经常用到，如对抛物线的开口方向进行讨论，对直线的斜率是否存在进行讨论，对判别式Δ的取值范围进行讨论等.1.以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为__________________. 答案 y 2＝8x 或y 2＝－8x解析 设抛物线y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)， 依题意得x ＝p2，代入y 2＝2px 或y 2＝－2px ，得|y |＝p ，∴2|y |＝2p ＝8，p ＝4. ∴抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .2.若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为____________. 答案 (18，±24)解析 由题意知，点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上，而F (14，0)，所以点P 的横坐标为18，代入抛物线方程得y ＝±24，故点P 的坐标为(18，±24). 3.抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为__________. 答案 (12，1)解析 因为y ＝4x 2与y ＝4x －5不相交，设与y ＝4x －5平行的直线方程为y ＝4x ＋m .则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x 2，y ＝4x ＋m ，⇒4x 2－4x －m ＝0.① 设此直线与抛物线相切，此时有Δ＝0， 即Δ＝16＋16m ＝0，∴m ＝－1. 将m ＝－1代入①式，x ＝12，y ＝1，故所求点的坐标为(12，1).4.经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是____________. 答案 6x －4y －3＝0解析 设直线l 的方程为3x －2y ＋c ＝0，抛物线y 2＝2x 的焦点F (12，0)，所以3×12－2×0＋c＝0，所以c ＝－32，故直线l 的方程是6x －4y －3＝0.5.已知直线x －y ＋1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________. 答案 －14解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x －1＝0， ∵直线与抛物线相切，∴a ≠0且Δ＝1＋4a ＝0. ∴a ＝－14.1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.2.直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点.尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.3.判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果. (2)代数法：设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x (或y )的一元二次方程形式：Ax 2＋Bx ＋C ＝0(或Ay 2＋By ＋C ＝0).相交：①有两个交点：⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ>0；②有一个交点：A ＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；相切：有一个公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＝0；相离：没有公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ<0.直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件.。

2.3抛物线课堂导学三点剖析一、利用抛物线定义求最值【例1】 在抛物线x 2=8y 上求一点P ，使得P 点到焦点的距离与P 点到定点A (1，3)的距离之和最小，并求出这个最小距离.解析：过A 作直线l 与准线垂直交于点A ′，与抛物线交于点P ，则P 点即为所求. 将P (1，y )代入x 2=8y 中，则y =81，于是点P 的坐标为(1,81)，且最小距离d =5. 温馨提示此题解法中将点P 到焦点F 与点A 的最小距离，转化为线段AA ′的长，是紧扣定义得到的，这一方法在解决圆锥曲线问题时经常用到.二、焦点弦问题【例2】 已知过抛物线y 2=4x 的焦点F 的弦长为36，求弦所在的直线方程.思路分析：弦所在的直线经过焦点(1，0)，只需求出直线的斜率，因为弦长为36，所以可以判断直线的斜率是存在的且不为0.解析：由题意可设弦所在的直线的斜率为k ，且与抛物线交于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点. ∵抛物线y 2=4x 的焦点F (1，0)，∴直线方程为y =k (x -1).由,4)1(2⎩⎨⎧=-=xy x k y 整理得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0.∴x 1+x 2=2242kk +. ∴｜AB ｜=｜AF ｜+｜BF ｜=x 1+x 2+2=2242k k ++2. 又｜AB ｜=36，∴2242kk ++2=36, 解得k 2=81,即k =±42. ∴所求直线方程为y =42(x -1)或y =-42(x -1). 温馨提示 (1)此题也可以先求出两交点坐标，再根据两点间的距离公式列出等式求出k ，但是计算复杂，一般不采用.(2)也可以利用弦长公式｜AB ｜=21k +｜x 1-x 2｜来求，这个方法普遍适用于求二次曲线的弦长.(3)因为本题的弦是过焦点的，是特殊位置的弦，所以结合抛物线的定义得到｜AB ｜=x 1+x 2+p ,解起来更简捷.三、直线与抛物线的位置关系【例3】 直线l ：y =kx +1,抛物线C ：y 2=4x ，当k 为何值时l 与C 有(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点.解析：将l 和C 的方程联立,412⎩⎨⎧=+=xy kx y 消去y ，得k 2x 2+(2k -4)x +1=0.(*) 当k =0时，方程(*)只有一个解x =41,∴y =1. ∴直线l 与C 只有一个公共点(41，1)，此时直线l 平行于对称轴. 当k ≠0时，方程(*)是一个一元二次方程.(1)当Δ＞0，即k ＜1,且k ≠0时，l 与C 有两个公点，此时称直线l 与C 相交；(2)当Δ=0，即k =1时，l 与C 有一个公共点，此时称直线l 与C 相切；(3)当Δ＜0,即k ＞1时，l 与C 没有公共点，此时称直线l 与C 相离.综上所述，可知：当k =1或k =0时，直线l 和C 有一个公共点；当k ＜1,且k ≠0时，直线l 和C 有两个公共点；当k ＞1时，直线l 和C 没有公共点.温馨提示一般地，直线与抛物线相切，直线与抛物线只有一个公共点；反过来，直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线不一定是相切的(如图).因此，直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要而非充分条件.各个击破类题演练1给定抛物线y 2=2x ，设A (a ,0),a ＞0，P 是抛物线上的一点，且｜PA ｜=d ,试求d 的最小值. 解析：设P (x 0,y 0),(x 0≥0),则y 20=2x 0,∴d =｜PA ｜=.12)]1([2)()(200202020-+-+=+-=+-a a x x a x y a x∵a ＞0,x 0≥0,∴(1)当0＜a ＜1时，1-a ＞0,此时当x 0=0时，d 最小=.12)1(2a a a =-+- (2)当a ≥1时，1-a ≤0,此时当x 0=a -1时，d 最小=12-a变式提升1抛物线y 2=2px 动弦AB 长为a (a ≥2p ),弦AB 中点到y 轴最短距离是( ) A.2a B.2p C.22p a + D.22p a - 答案：D类题演练2 过抛物线y 2=2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点.求证：.2||1||1pFB FA =+ 证明：设A (x 1,y 1),B(x 2,y 2),则｜FA ｜=x 1+2p ,｜FB ｜=x 2+2p ,｜AB ｜=x 1+x 2+p 当AB ⊥x 轴时，结论显然成立；当AB 不垂直于x 轴时，⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(2消去y 得k 2x 2-p (k 2+2)x +422p k =0, 则x 1+x 2=22)2(kk p +,x 1x 2=42p , .24)(2)2)(2(||1122121212121p p x x p x x p x x p x p x p x x FB |FA|=+++++=++++=+变式提升2(2006湖北黄冈中学综合能力测试(三)，14)已知椭圆E 的离心率为e ，两焦点为F 1，F 2，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点，若||||21PF PF =e ，则e 的值为_________. 解析：如图，抛物线准线为x =-3c ,,||||21e PF PF =又｜PF 2｜=｜P H ｜，∴||1PH PF =e ,∴x =-3c 也为椭圆E 的准线.∴-c a 2=-3c ⇒e =33.答案：33 类题演练3 设双曲线22ax -y 2=1(a ＞0)与直线x +y =1相交于两个不同的点A 、B ，求a 的取值范围. 解析：由C 与l 相交于两个不同的点， 故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y a x 有两个不同的实数解，消去y 并整理得(1-a 2)x 2+2a 2x -2a 2=0 ①所以⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-0)1(84012222a a a a 解得0＜a ＜2且a ≠1. 故a 的取值范围是(0，1)∪(1，2)变式提升3设抛物线y 2=2px (p ＞0)上各点到直线3x +4y +12=0的距离的最小值为1，求p 的值. 解析：由题意可知，抛物线必在直线3x +4y +12=0的上方.则直线3x +4y +12=0上方且和它相距为1的直线方程为3x +4y +7=0. 由题意⎩⎨⎧=++=074322y x px y 只有一解.消去x 得：py 232+4y +7=0. 由Δ=16-4×p23×7=0,所以p =821.。

2．3.2 抛物线的几何性质(一)学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一抛物线的几何性质思考1 类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？思考2 类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线y2＝2px(p>0)的范围、对称性、顶点坐标吗？思考3 参数p对抛物线开口大小有何影响？梳理知识点二 焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：类型一 由抛物线的几何性质求标准方程例1 已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．引申探究等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是( ) A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2反思与感悟 把握三个要点确定抛物线的几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y ，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p ；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p ；离心率恒等于1.跟踪训练1 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P 到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线的方程．类型二抛物线的焦点弦问题例2 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．引申探究本例中，若A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，求∠A1FB1.反思与感悟(1)抛物线的焦半径设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可．跟踪训练2 直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为________________．类型三抛物线的实际应用例3 某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货的木船露在水面上的部分高为0.75 m，货物的宽与木船相同，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？反思与感悟 在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．跟踪训练3 如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB 时宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD ，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度从警戒线开始上升，则再持续多少小时才能到拱桥顶？(平面直角坐标系是以桥顶点为点O 的)1．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x 轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y2．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A ．(14，±24)B ．(18，±24)C ．(14，24)D ．(18，24)3．已知过抛物线y 2＝8x 的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 的值为________．4．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．符合抛物线方程为y2＝10x的条件是________．(要求填写合适条件的序号)5．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；(2)顶点是双曲线16x2－9y2＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴．1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．3．设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．答案精析问题导学 知识点一思考1 范围、对称性、顶点、离心率．思考2 范围x ≥0，关于x 轴对称，顶点坐标(0,0)．思考3 参数p (p >0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点F 且垂直于对称轴的弦的长度是2p ，所以p 越大，开口越大． 梳理 (0,0) 1 题型探究例1 解 由题意，设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)， 焦点F (m 2，0)．直线l ：x ＝m2，所以A ，B 两点坐标为(m 2，m )，(m2，－m )，所以|AB |＝2|m |. 因为△OAB 的面积为4， 所以12²|m2|²2|m |＝4，所以m ＝±2 2.所以抛物线的标准方程为y 2＝±42x . 引申探究B [因为抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p ，所以易得A ，B 两点的坐标分别为(2p,2p )和(2p ，－2p )． 所以|AB |＝4p ，所以S △AOB ＝12³4p ³2p ＝4p 2.]跟踪训练1 解 设抛物线的方程为y 2＝2ax (a ≠0)，点P (x 0，y 0)．因为点P 到对称轴距离为6，所以y 0＝±6.因为点P 到准线距离为10， 所以|x 0＋a2|＝10.①因为点P 在抛物线上，所以36＝2ax 0， ②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，x 0＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18，x 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，x 0＝－9.所以所求抛物线的方程为y 2＝±4x 或y 2＝±36x . 例2 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝5. 而|AB |＝|AF |＋|BF | ＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，所以线段AB 的中点M 的横坐标是3. 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.引申探究解 由抛物线定义|AA 1|＝|AF |，得 ∠AA 1F ＝∠AFA 1， 又AA 1∥x 轴， ∴∠OFA 1＝∠AA 1F ， ∴∠OFA 1＝∠AFA 1， 同理得∠OFB 1＝∠BFB 1， ∴∠A 1FO ＋ ∠B 1FO ＝90°， 即∠A 1FB 1＝90°.跟踪训练2 x ＋y －1＝0或x －y －1＝0例3 解 以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y 轴建立直角坐标系．(如图) 设抛物线的方程是x 2＝－2py (p >0)， 由题意知A (4，－5)在抛物线上， 故16＝－2p ³(－5)⇒p ＝85，则抛物线的方程是x 2＝－165y (－4≤x ≤4)，设水面上涨，木船货物上表面两侧与抛物线形拱桥接触于B ，B ′时，木船开始不能通航．设B (2，y ′)，∴22＝－165y ′⇒y ′＝－54.∴54＋0.75＝2. 故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2 m 时，木船开始不能通航．跟踪训练3 解 设所求抛物线的解析式为y ＝ax 2. 设D (5，b )，则B (10，b －3)， 把D 、B 的坐标分别代入y ＝ax 2得⎩⎪⎨⎪⎧25a ＝b ，100a ＝b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－125，b ＝－1，∴y ＝－125x 2.∵b ＝－1，∴拱桥顶O 到CD 的距离为1，10.2＝5.即再持续5小时水位到达拱桥顶． 当堂训练1．C 2.B 3.10 4.②⑤5．解 (1)由抛物线标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为p 2，故p2＝4，p ＝8.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝±16x 或x 2＝±16y .(2)双曲线方程16x 2－9y 2＝144化为标准形式为x 29－y 216＝1，中心为原点，左顶点为(－3,0)，故抛物线顶点在原点，准线为x ＝－3.由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，可得p2＝3，故p ＝6.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝12x .。

2．2.2　双曲线的几何性质学习目标　1.了解双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质．知识点一　双曲线的几何性质类比椭圆的几何性质，结合图象得到双曲线的几何性质如下表：标准方程－＝1x 2a 2y 2b 2(a ＞0，b ＞0)－＝1y 2a 2x 2b 2(a ＞0，b ＞0)图形范围对称性对称轴：________对称中心：________对称轴：________对称中心：________顶点坐标渐近线y ＝±xb a y ＝±xa b 性质离心率e ＝，e ∈(1，＋∞)ca 知识点二　双曲线的离心率思考1　如何求双曲线的渐近线方程？思考2　椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？梳理　双曲线的半焦距c 与实半轴a 的比叫做双曲线的 ，其取值范围是________．e 越大，双曲线的开口________．类型一　已知双曲线的标准方程求其简单性质例1　求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程反思与感悟　由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值．(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质．跟踪训练1　求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．类型二　由双曲线的几何性质确定标准方程例2　求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)虚轴长为12，离心率为；54(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±x ；32(3)求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程．反思与感悟　(1)求双曲线的标准方程的步骤：①确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴；②设双曲线的标准方程；③根据已知条件或几何性质列方程，求待定系数；④求出a ，b ，写出方程．(2)①与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)．x 2a 2y 2b 2x 2a 2－λy 2b 2＋λ②与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．x 2a 2y 2b 2x 2a 2y 2b 2③渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)．跟踪训练2　求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；135(2)双曲线过点(3,9)，离心率e ＝；2103(3)渐近线方程为y ＝±x ，且经过点A (2，－3)．12 类型三　与双曲线有关的离心率问题例3　分别求适合下列条件的双曲线的离心率．(1)双曲线的渐近线方程为y ＝±x ；32(2)双曲线－＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距x 2a 2y 2b 2离为c .34 反思与感悟　求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a ，b ，c 的关系式，再根据c 2＝a 2＋b 2，直接求a ，c 的值．而在解题时常把或视为整体，把关系式转化为关于或的c a ba c a ba 方程，解方程求之，从而得到离心率的值．在本题的(2)中，要注意条件0<a <b 对离心率的限制，以保证题目结果的准确性．跟踪训练3　已知F 1，F 2是双曲线－＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 2a 2y 2b 2x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率． 类型四　直线与双曲线的位置关系例4　已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1.(1)如果直线与双曲线有两个公共点，求a 的取值范围；(2)如果直线与双曲线只有一个公共点，求a 的取值范围；(3)如果直线与双曲线没有公共点，求a 的取值范围．反思与感悟　直线与双曲线的位置关系问题的求解要注意常用方法的应用，即将直线方程代入双曲线的标准方程，得到一元二次方程，这个方程的根就是直线与双曲线交点的横(纵)坐标．利用根与系数的关系可以解决有关弦长、弦中点、轨迹等问题．(1)直线与双曲线的位置的判断方法直线与双曲线位置关系的判定有时通过联立方程组求解，有时也要结合图形进行求解．联立Error!消去y ，得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2kmx －a 2m 2－a 2b 2＝0.①当b 2－a 2k 2＝0时，①式为一次方程，仅有一解，此时直线与双曲线的渐近线平行，与双曲线有一个公共点，相交；当b 2－a 2k 2≠0时，若Δ>0，直线与双曲线有两个公共点，相交；若Δ＝0，直线与双曲线有一个公共点，相切；若Δ<0，直线与双曲线没有公共点，相离．(2)对于弦长的问题，通常结合两点间的距离公式或弦长公式求解．跟踪训练4　设双曲线C ：－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于不同的两点A ，B ，求双x 2a 2曲线C 的离心率e 的取值范围．1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )A ．2 B ．22C ．4D ．422．设双曲线＋＝1的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )x 2a y 29A ．－4 B ．－3C ．2D ．13．已知双曲线－＝1(a ＞0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )x 2a 2y 25 A. B.3414324C.D.32434．设双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为x 2a 2y 2b 23____________．5．若双曲线的顶点在坐标轴上，两顶点的距离为8，离心率是，求双曲线的标准方程．54　1．渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程－＝1(a >0，b >0)右x 2a 2y 2b 2边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．答案精析问题导学知识点一x ≥a 或x ≤－a y ≥a 或y ≤－a 坐标轴　原点　坐标轴　原点A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )知识点二思考1　将方程－＝1(a >0，b >0)右边的“1”换成“0”，即由－＝0得±＝0，如图，x 2a 2y 2b 2x 2a 2y 2b 2x a yb 作直线±＝0，在双曲线－＝1的各支向外延伸时，与两直线逐渐接近，把这两条直线x a yb x 2a 2y 2b 2叫做双曲线的渐近线．思考2　双曲线－＝1的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取x 2a 2y 2b 2决于的值，设e ＝，则＝＝.ba ca ba c 2－a 2ae 2－1当e 的值逐渐增大时，的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大．ba 梳理　离心率　(1，＋∞)　越开阔题型探究例1　解　将9y 2－4x 2＝－36变形为－＝1，即－＝1，x 29y 24x 232y 222所以a ＝3，b ＝2，c ＝，13因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)；焦点坐标为(－，0)，(，0)；1313实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4；离心率e ＝＝；ca 133渐近线方程为y ＝±x ＝±x .b a 23跟踪训练1　解　把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程－＝1.y 242x 232由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3；c ＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；a 2＋b 242＋32离心率e ＝＝；c a 54渐近线方程为y ＝±x .43例2　解　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a >0，b >0)．x 2a 2y 2b 2y 2a 2x 2b 2由题意知2b ＝12，＝，ca 54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.x 264y 236y 264x 236(2)设以y ＝±x 为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．32x 24y 29当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝2＝6⇒λ＝；4λ94当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2＝6⇒λ＝－1.－9λ∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.x 29y 2814y 29x 24(3)设与双曲线－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y 2＝λ(λ≠0)．x 22x 22将点M (2，－2)代入双曲线方程，得λ＝－(－2)2＝－2，222∴双曲线的标准方程为－＝1.y 22x 24跟踪训练2　解　(1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，又＝，∴a ＝5，b ＝＝12，c a 135c 2－a 2故所求双曲线的标准方程为－＝1.y 225x 2144(2)由e 2＝，得＝，109c 2a 2109设a 2＝9k (k >0)，则c 2＝10k ，b 2＝c 2－a 2＝k .∴设所求双曲线方程为－＝1①或－＝1②.x 29k y 2k y 29k x 2k 将(3,9)代入①，得k ＝－161，与k >0矛盾，无解；2将(3,9)代入②，得k ＝9.2故所求双曲线方程为－＝1.y 281x 29(3)方法一　∵双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，12若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a >0，b >0)，则＝.①x 2a 2y 2b 2ba 12∵A (2，－3)在双曲线上，∴－＝1.②4a 29b 2联立①②，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a >0，b >0)，则＝.③y 2a 2x 2b 2ab 12∵A (2，－3)在双曲线上，∴－＝1.④9a 24b 2联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.y 28x 232方法二　由双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，可设双曲线方程为－y 2＝λ(λ≠0)．12x 222∵A (2，－3)在双曲线上，∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.2222∴所求双曲线的标准方程为－＝1.y 28x 232例3　解　(1)若焦点在x 轴上，则＝，b a 32∴e ＝ ＝；b 2a 2＋1132若焦点在y 轴上，则＝，ab 32即＝，b a 23∴e ＝ ＝.b 2a 2＋1133综上可知，双曲线的离心率为或.132133(2)依题意，直线l ：bx ＋ay －ab ＝0.由原点到l 的距离为c ，34得＝c ，aba 2＋b 234即ab ＝c 2，∴16a 2b 2＝3(a 2＋b 2)2，34即3b 4－10a 2b 2＋3a 4＝0，∴3()2－10×＋3＝0.b 2a 2b 2a 2解得＝或＝3.b 2a 213b 2a 2又∵0<a <b ，∴＝3，b 2a 2∴e ＝＝2.1＋b 2a 2跟踪训练3　解　设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得－＝1，那么y ＝±；c 2a 2y 2b 2b 2a ∴|PF 1|＝.b 2a 由双曲线对称性，知|PF 2|＝|QF 2|.又∠PF 2Q ＝90°，∴|F 1F 2|＝|PQ |＝|PF 1|，12∴＝2c ，则b 2＝2ac .b 2a ∴c 2－2ac －a 2＝0，∴()2－2×－1＝0.ca ca 即e 2－2e －1＝0，∴e ＝1＋或e ＝1－(舍去)．22∴所求双曲线的离心率为1＋.2例4　解　把y ＝ax ＋1代入3x 2－y 2＝1，整理得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.(1)∵直线与双曲线有两个公共点，∴判别式Δ＝4a 2＋8(3－a 2)＝24－4a 2>0，且3－a 2≠0，得－<a <且a ≠±.663故当－<a <且a ≠±时，直线与双曲线有两个公共点．663(2)∵直线与双曲线只有一个公共点，∴Error!或3－a 2＝0，故当a ＝±或a ＝±时，63直线与双曲线只有一个公共点．(3)∵直线双曲线没有公共点，∴Error!∴a >或a <－.66故当a >或a <－时，直线与双曲线没有公共点．66跟踪训练4　解　(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线－y 2＝1(a >0)中，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.x 2a 2因为双曲线C 与直线l 相交于不同两点，所以Error!解得0<a <且a ≠1.2又双曲线的离心率e ＝＝ ，1＋a 2a1a 2＋1所以e >且e ≠.622当堂训练1．C 2.A 3.C 4.y ＝±x225．解　由题设，①当焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1(a >0，b >0)．x 2a 2y 2b 2∵2a ＝8，∴a ＝4，由e ＝＝，54c a 得c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9.此时双曲线标准方程为－＝1.x 216y 29②当焦点在y 轴上时，设双曲线标准方程为－＝1(a >0，b >0)，y 2a 2x 2b 2同理可求得a ＝4，b 2＝9.此时双曲线标准方程为－＝1.y 216x 29因此所求双曲线标准方程为－＝1或－＝1.x 216y 29y 216x 29。

课标分析从抛物线知识结构来讲，研究抛物线主要内容有：抛物线的定义及标准方程，利用标准方程讨论抛物线几何性质，抛物线性质在实际中的应用。

本节课正是在学生已有抛物线定义、标准方程的基础上对其几何性质的研究，为利用性质解决实际问题提供了理论依据。

根据新课标要求，考虑到高二学生的心理、思维日渐成熟，初步具备了运用所学知识方法探究新知识的能力，我将本节课的教学目标设定为：1、掌握抛物线的简单几何性质，并根据几何性质会求抛物线的标准方程2、通过对比四种不同形式的标准方程，培养对问题的分析、归纳能力，提高运算和解决问题的能力3、在解题过程中注意运用数形结合的思想一、素材的选取体现数学的本质、联系实际、适应学生的特点，充分考虑学生的心理特征和认知水平。

我选择了两张桥梁图片，一张跳水图片，正好是离学生们不远的地方，平时可能没注意，这样更能激发他们学习数学的兴趣。

二、体现知识的发生发展过程，促进学生的自主探索课程内容的呈现，结合人们的认识规律，体现从具体到抽象、特殊到一般的原则。

通过设置具有启发性、挑战性的问题，激发学生进行思考，鼓励学生自主探索，并在独立思考的基础上进行合作交流三体现相关内容的联系，通过复习旧知，学习新知，知识应用让学生的学习循序渐进、逐步发展的。

教材分析：《抛物线的几何性质》位于高中人教B版数学教材选修1-1第二章第三节第二小节，本节通过类比之前学过的椭圆、双曲线的几何性质及其研究方法, 并结合抛物线的标准方程研究了抛物线的简单几何性质,让学生再一次体会用曲线的方程研究曲线性质的方法。

本节课的教学目标为：1、掌握抛物线的简单几何性质，并根据几何性质会求抛物线的标准方程2、通过对比四种不同形式的标准方程，培养对问题的分析、归纳能力，提高运算和解决问题的能力3、在解题过程中注意运用数形结合的思想教学重点：对抛物线几何性质的掌握与应用教学难点：抛物线的几何性质的应用．本届最开始以开口向右的方程为例，研究了范围、对称性、顶点以及离心率。