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压缩映射原理在各种方程的解的存在唯一性上的应用林芳数学科学学院 数学与应用数学专业 2010级汉（1）班指导教师 官厅摘 要 本文介绍了不动点原理即压缩映射原理及其在代数方程、微分方程、积分方程解的存在性和惟一性方面的重要应用. 关键词 不动点;压缩映射原理;方程.不动点理论是20世纪数学中的一支奇葩.半个多世纪以来,其影响可以说遍及整个数学.函数的不动点,在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点,即函数()f x 的取值过程中,如果有0x 使00(),f x x =就称0x 为()f x 的一个不动点.对此定义,有两方面的理解:1）代数意义:若方程()f x x =有实数根0x ,则()y f x =有不动点0x . 2）几何意义:若函数()y f x =与y x =有交点00(,)x y ,则0x 为()y f x =的不动点.压缩映射原理是最简单的不动点定理,它不但证明了不动点的存在性与唯一性,同时还提供了求不动点的方法-迭代法.就是说,在完备度量空间中,T 是一个压缩映射,从任意选取的一个"初始值"0x 出发,逐次作点列1(1,2,),n n x Tx n -==这个点列必然收敛到方程Tx x =的解.因此这种方法叫做逐次逼近法.压缩映射原理在线性代数方程组,微分方程,积分方程等方面都有广泛的应用.1相关定义及定理 1.1不动点的定义[1]设X 为一非空集,:T X X →是一个映射,如果有*,x X ∈使得**,Tx x =则称*x 为映射T 的一个不动点.1.2压缩映射的定义[2]设X 是度量空间,:T X X →是一个映射,如果存在一个数α,01,α<<使得对所有的,,(,)(,),x y X d Tx Ty d x y α∈≤则称T 是压缩映射,α称为压缩常数.注 压缩映射在几何上的意思是说点x 和y 经T 映射后,它们像的距离缩短了,不超过(,)d x y 的α倍(1).α<1.3压缩映射原理[2]设X 是完备度量空间,T 是X 上的压缩映射,那么T 有且只有一个不动点(就是说,方程Tx x =有且只有一个解).证明 设0x 是X 中任意一点.21021010,,,,.n n n x Tx x Tx T x x Tx T x -=====我们证明点列{}n x 是X 中柯西点列.事实上,21111212(,)(,)(,)(,)(,)m m m m m m m m m m d x x d Tx Tx d x x d Tx Tx d x x ααα+------=≤=≤ 10(,).m d x x α≤≤由三点不等式,当n m >时,1121(,)(,)(,)(,)m n m m m m n n d x x d x x d x x d x x +++-≤+++1101011()(,)(,).1n mm m n md x x d x x αααααα-+--≤+++=⋅-因01,α<<所以11,n mα--<于是得到01(,)(,)().1mm n d x x d x x n m αα≤>-所以当,m n →∞→∞时,(,)0,m n d x x →即点列{}n x 是X 中柯西点列,由X 完备,存在,x X ∈使(),m x x m →→∞又由三点不等式和条件(,)(,),d Tx Ty d x y α≤我们有1(,)(,)(,)(,)(,).m m m m d x Tx d x x d x Tx d x x d x x α-≤+≤+这个不等式右端当m →∞时趋于0,所以(,)0,d x Tx =即.x Tx =下面证唯一性.如果又有~,x X ∈使得~~,T x x =则由条件得~~~(,)(,)(,).d x x d Tx T x d x x α=≤因01,α<<所以必有~(,)0,d x x =即~.x x =2压缩映射原理在代数方程方面的应用 2.1压缩映射原理在线性代数方程组方面的应用例1[1] 在n 维实向量空间n R 中,n R 是一个完备度量空间,我们定义距离1(,)max ,i i i nd x y ξη≤≤=-其中1212(,,,),(,,,).n n x y ξξξηηη==我们在n R 中讨论下列线性代数方程组1ni ij j i j a b ξξ=-=∑ 1,2,,.i n = (1)在系数满足什么条件时,存在唯一的解.解 首先将(1)式写成下列向量形式:.X AX B =+其中12(,,,);T n X ξξξ=();ij n n A a ⨯=12(,,,).T n B b b b =令,TX AX B =+则(1)式可以写成.TX X =于是求方程组(1)的唯一解的问题就化为T 是否有唯一的不动点的问题.显然T 是n n R R →的一个映射.下面来讨论当()ij a 满足什么条件时,T 是一个压缩映射.任取12112212,,(,,,),(,,,).n T T n n X X R X X ξξξηηη∈==于是121212(,)(,)(,)d TX TX d AX B AX B d AX AX =++=1111max()max nnij jj ij j j i ni nj j a a ξηξη≤≤≤≤===-≤-∑∑1211111max max (max )(,).n nij j j ij i nj ni nj j a a d X X ξη≤≤≤≤≤≤==≤-=∑∑由此可见,当11,nij j a α=≤<∑对一切i 成立时,T 是n R 上的一个压缩映射.于是T 满足压缩映射原理的条件,从而T 有唯一的不动点****12(,,,),n X ξξξ=而*X 就是方程组(1)的唯一解.2.2压缩映射原理在非线性代数方程方面的应用例2 证明Kepler 方程sin x x a ε=+存在唯一解,其中,a ε为已知常数,0 1.ε<<证明 1R 空间是完备度量空间,在其上定义距离(,).d x y x y =- 作映射sin ,Tx x a ε=+则有.Tx x =显然T 是11R R →的映射,且1,,x y R ∀∈有(,)sin sin sin sin cos ,d Tx Ty Tx Ty x y x y x y x y εεεεξε=-=-=-≤-≤-ξ在,x y 之间,令.αε=则0 1.α<<有(,)(,).d Tx Ty d x y α≤所以T 是压缩映射. 由压缩映射原理可知T 存在唯一不动点,即Kepler 方程存在唯一的解.3压缩映射原理在积分方程方面的应用例3[1] 设()f s 为a s b ≤≤上的连续函数,(,)K s t 为形,a s b a t b ≤≤≤≤上的连续函数,且存在常数,M 使得(,).baK s t dt M ≤<+∞⎰则当1Mλ<时,弗雷德霍姆()Fredholm 方程 ()()(,)()b as f s K s t t dt ϕλϕ=+⎰ (2)存在唯一的解[,].C a b ϕ∈证明 在完备度量空间[,]C a b 上定义距离[,]((),())max ()().s a b d x s y s x s y s ∈=-定义映射()()(,)().baT s f s K s t t dt ϕλϕ=+⎰记.M αλ=则 1.,[,],C a b αϕψ<∀∈有 (,)max (,)()(,)()b baaa s bd T T K s t t dt K s t t dt ϕψλϕλψ≤≤=-⎰⎰max (,)()()a s bK s t t t dt λϕψ≤≤≤-⎰max ()()a s bM s s λϕψ≤≤≤-(,)d αϕψ=因此:[,][,]T C a b C a b →是一个压缩映射,根据压缩映射原理,T 有唯一的不动点即方程(2)有唯一的解[,].C a b ϕ∈例3'[3]设()f s 为a s b ≤≤上的连续函数,(,)K s t 为形,a s b a t b ≤≤≤≤上的连续函数,令(,)[,][,]max(,),s t a b a b M k s t ∈⨯=<+∞则在1()M b a λ<-时,弗雷德霍姆()Fredholm 方程 ()()(,)()b as f s K s t t dt ϕλϕ=+⎰ (2) 存在唯一的解[,].C a b ϕ∈证明 在完备度量空间[,]C a b 上定义距离[,]((),())max ()().s a b d x s y s x s y s ∈=-定义映射()()(,)().baT s f s K s t t dt ϕλϕ=+⎰记().M b a αλ=- 1.,[,],C a b αϕψ<∀∈有 (,)max (,)()(,)()b baaa s bd T T K s t t dt K s t t dt ϕψλϕλψ≤≤=-⎰⎰max (,)()()baa s bK s t t t dt λϕψ≤≤≤-⎰()max ()()a s bM b a s s λϕψ≤≤≤--(,)d αϕψ=因此:[,][,]T C a b C a b →是一个压缩映射,根据压缩映射原理,T 有唯一的不动点即方程(2)有唯一的解[,].C a b ϕ∈4压缩映射原理在微分方程方面的应用4.1压缩映射原理证明一阶线性微分方程的解的存在唯一性例4[2]设(,)f t x 是矩形00{(,)|,}D t x t t a x x b =-≤-≤上的二元函数,设(,),(,),f t x M t x D ≤∈又(,)f t x 在D 上关于x 满足利普希茨()Lipschitz 条件,即存在常数L ,使得对任意的(,),(,),t x t y D ∈有(,)(,)f t x f t y L x y -≤- (3)那么方程(,)dxf t x dt=在区间00[,]J t t ββ=-+上有唯一的满足初值条件00()x t x =得连续函数解,其中1min{,,}.b a M L β<证明 设00[,]C t t ββ-+表示区间00[,]J t t ββ=-+上的连续函数全体按距离(,)max ()()t Jd x y x t y t ∈=-所成的完备度量空间.又令C 表示00[,]C t t ββ-+中满足条件0()()x t x M t J β-≤∈得连续函数全体所成的子空间,且C 是闭子空间.则C 也是完备度量空间.令00()()(,())tt Tx t x f t x t dt =+⎰ (4)则T 是C 到C 中的映射.因为,M b β<所以若,x C ∈那么当00[,]t t t ββ∈-+时,(,()).t x t D ∈又因为(,)f t x 是D 上的二元连续函数,所以(4)式右端积分有意义.又对一切000,()()(,()),tt t J Tx t x f t x t dt M t t M β∈-=≤-≤⎰所以有当,x C ∈.Tx C ∈下面证T 是压缩映射.由条件(3),对C 中任意两点x 和y ,有 0(,)max ()()()()max[(,)(,)]tt t Jt Jd Tx Ty Tx t Ty t f t x f t y dt ∈∈=--⎰0max ()()(,).a t bt t L x t y t L d x y β≤≤≤-⋅-≤令,L αβ=则01,α<<且(,)(,).d Tx Ty d x y α≤所以T 是C 上的压缩映射.由压缩映射原理可知,存在唯一的,x C ∈使得.Tx x =即00()(,()).tt x t x f t x t dt =+⎰且00().x t x =两边对t 求导,即得()(,()).dx t f t x t dt =这说明()x t 是方程(,)dxf t x dt=满足初值条件 00()x t x =的解.4.2压缩映射原理证明n 阶线性微分方程的解的存在唯一性一般的n 阶线性微分方程可以写成如下形式:111()()()n n n n n d y d y a x a x y F x dx dx--+++= (5)方程的初值条件记为:(1)000101(),(),,()n n y x c y x c y x c --'=== (6)有如下结论:例5[4] （n 阶线性微分方程初值问题解的存在性与唯一性）设()(1,2,,)i a x i n =和()F x 均于区间I 上连续,则对任一0x I ∈和任意n 个常数011,,,,n c c c -方程(5)恒有且只有一个定义在整个区间I 上且满足初值条件(6)的解.注 有时,映射T 不满足压缩映射原理的条件,但T 的某次幂却满足这些条件,于是,可把压缩映射原理推广到下面的情形:推论 设(,)X d 是完备度量空间,:,T X X →如果存在自然数,,n 使得对所有,,(,)(,).n n x y X d T x T y d x y α∈≤其中01,α≤<则T 有唯一的不动点.下面对定理进行证明:证明 对n 阶线性微分方程(5)(6)作如下变化:设(),n n d yx dxϕ=则0111()n x n n x d y t dt c dxϕ---=+⎰0002121022[()]()()n x u x x n n n n n x x x t d yt dt c du c dt t du c x x c dx ϕϕ------=++=+-+⎰⎰⎰⎰102()()()xn n x x t t dt c x x c ϕ--=-+-+⎰00310233[()()()]n x u n n n n x x d yx t t dt c x x c du c dx ϕ-----=-+-++⎰⎰ 0221020311()()()()2!2!x n n n x x t t dt c x x c x x c ϕ---=-+-+-+⎰01121020100111()()()()()(1)!(1)!(2)!x n n n n n x y x t t dt c x x c x x c x x c n n n ϕ-----=-+-+-++-+---⎰代入原方程得:121212()()n n n n n d y d yx F x a a a y dx dxϕ----=----整理后得到积分方程:()(,)()()xx x k x t t dt f x ϕϕ=+⎰ (7)其中2112311(,)[()()()]2!(1)!n n k x t a a x t a x t a x t n -=-+-+-++--21121023102031()()[()][()()]2!n n n n n n f x F x a c a c x x c a c x x c x x c ------=---+--+-+ 1101001[()()](1)!n n n a c x x c x x c n -----++-+-此方程为第二类Volterra 积分方程,显然(,)k x t 在区域{(,)|,}x t a x b a t b ≤≤≤≤上连续.并且方程(7)与方程(5)(6)等价. 下面考虑积分方程 ()(,)()()xax k x t t dt f x ϕϕ=+⎰[,]t a b ∈(,)k x t 在区域{(,)|,}x t a x b a t b ≤≤≤≤上连续,()[,].f x C a b ∈设,sup (,),a x t bk x t M ≤≤=<+∞考虑映射:[,][,]T C a b C a b →()(,)()()xaT x k x t t dt f x ϕϕ=+⎰ [,]C a b ϕ∀∈则 1221()()(,)(()())xaT x T x k x t x x dt ϕϕϕϕ-=-⎰21sup ()()()a x bM x x x a ϕϕ≤≤≤-- 12()((),())M x a d x x ϕϕ≤- 归纳的,若11111212()()()(,)(1)!n n n n x a T x T x M d n ϕϕϕϕ------≤-则 1212()()(,)(()())xn n n n aT x T x k x t T t T t dt ϕϕϕϕ-=-⎰1121()(,)!x nn a M t a dt d n ϕϕ-≤-⎰ 12()(,)!nnx a Md n ϕϕ-≤ 由此得到对于任何自然数n 有:121212()(,)sup (,)!nnnnnna x bb a d T T T T M d n ϕϕϕϕϕϕ≤≤-=-≤由于()0(),!n nb a Mn n -→→∞于是对于充分大的,n 总可使()0 1.!nn b a M n -≤< 因此对于充分大的,n nT 满足推论中压缩映射原理的条件,所以方程(7)有唯一解.由方程的等价性可知,n 阶线性微分方程(5)(6)有唯一解.5压缩映射原理证明隐函数存在定理例6[2]设函数(,)f x y 在带状域,a x b y ≤≤-∞<<+∞中处处连续,且处处有关于y 的偏导数'(,).y f x y 如果还存在常数m 和M 满足'0(,),,y m f x y M m M <≤≤< 则方程(,)0f x y =在区间[,]a b 上必有唯一的连续函数()y x ϕ= 作为解:(,())0,[,].f x x x a b ϕ≡∈证明 在完备度量空间[,]C a b 中作映射T ,使对任意的函数[,],C a b ϕ∈有1()()()(,()).T x x f x x Mϕϕϕ=-按照题中条件,(,)f x y 是连续的,故()()T x ϕ也连 续,即[,].T C a b ϕ∈所以T 是[,]C a b 到自身的映射.下面证T 是压缩映射. 任取12,[,],C a b ϕϕ∈根据微分中值定理,存在01,θ<<满足21212111()()()()()()((,())(,()))T x T x x x f x x f x x M Mϕϕϕϕϕϕ-=---'21121211()()[,()(()())](()())y x x f x x x x x x Mϕϕϕθϕϕϕϕ=--+-⋅-21()()(1).m x x Mϕϕ≤--由于01,m M <<所以令1,mMα=-则有01,α<<且 2121()()()()(()().T x T x x x ϕϕαϕϕ-≤-按[,]C a b 中距离的定义可知2121(,)(,).d T T d ϕϕαϕϕ≤因此T 是压缩映射. 由压缩映射原理可知,存在唯一的[,]C a b ϕ∈满足,T ϕϕ=即1()()(,()),x x f x x Mϕϕϕ≡-这就是说:(,())0,[,].f x x x a b ϕ≡∈ 根据压缩映射原理,若取00(x)=y ϕ作为初始函数,通过迭代111()()(,()),1,2,n n n x x f x x n Mϕϕϕ--=-=得到的函数列{()}n x ϕ将一致收敛于隐函数()y x ϕ=.参考文献:]1[大华.应用泛函简明教程.华中科技大学.2003.]2[程其襄,奠宙,国强,善文,王漱石.实变函数与泛函分析基础.高等教育,2010. [3]秀芹.非线性分析中的几类不动点定理及其应用.东北大学.2008. [4]汪斌.n 阶线性微分方程解的存在与唯一性.华中师大学.2007.。
python 稀疏矩阵qr分解什么是稀疏矩阵 QR 分解？稀疏矩阵 QR 分解是一种针对稀疏矩阵（元素大部分为零）开发的矩阵分解算法。
它将稀疏矩阵分解为两个矩阵：正交矩阵 Q 和上三角矩阵 R。
QR 分解的步骤QR 分解过程涉及以下步骤：选择支点元素：从矩阵中选择一个非零元素作为支点。
零化支点元素下方：通过一系列行操作，将支点元素下方所有元素零化。
形成正交矩阵：这些行操作形成一个称为正交矩阵的矩阵 Q。
形成上三角矩阵：通过进一步的行操作，将矩阵转换成上三角形式，得到矩阵 R。
稀疏矩阵 QR 分解的实现对于稀疏矩阵，可以通过以下方式实现 QR 分解：压缩存储格式：使用压缩存储格式（例如 CRS 或 CSC）存储稀疏矩阵，以有效地表示其非零元素。
稀疏矩阵库：利用稀疏矩阵库（例如 SciPy 的 sparse 模块）提供的优化算法，这些算法专门针对稀疏矩阵设计。
并行化：将 QR 分解过程分解成多个并行任务，以利用多核处理器或分布式计算环境。
QR 分解的应用QR 分解在各种应用中发挥着重要作用，包括：线性方程组求解： QR 分解提供了求解稀疏线性方程组的有效方法。
最小二乘问题： QR 分解可用于求解过定或欠定最小二乘问题。
奇异值分解（SVD）： QR 分解是奇异值分解（SVD）计算的基石。
图像处理： QR 分解用于图像压缩、去噪和特征提取。
数据分析： QR 分解用于主成分分析（PCA）和线性回归等数据分析技术中。
稀疏矩阵 QR 分解的优势与稠密矩阵 QR 分解相比，稀疏矩阵 QR 分解具有以下优势：存储效率：压缩存储格式有效地表示稀疏矩阵，节省内存。
计算效率：针对稀疏矩阵优化的算法可以大幅提高计算速度。
并行性： QR 分解过程可以并行化，以利用多核处理器或分布式计算环境。
总之，稀疏矩阵 QR 分解是一种强大的技术，用于高效处理和分析稀疏矩阵。
它在科学计算、数据分析和图像处理等广泛领域中有着重要的应用。
压缩映射法
压缩映射法是一种数值分析方法，用于求解非线性方程组的数值解。
它的核心思想是将原问题转化为一个等价的有限维问题，然后通过迭代求解这个有限维问题得到原问题的数值解。
具体来说，假设我们要求解一个非线性方程组F(x)=0，其中
x=(x1,x2,...,xn)是未知变量向量。
首先我们选取一个压缩映射T，将原问题转化为一个有限维问题：x^(k+1)=T(x^k)，其中x^k是第k 次迭代的解向量，x^(k+1)是第k+1次迭代的解向量。
显然，如果找到了一个收敛的迭代序列{x^0,x^1,x^2,...}，它的极限就是原方程组的数值解。
压缩映射法的关键在于如何选取映射T。
一般来说，我们会选择一个具有良好性质的映射，比如说压缩映射或者收缩映射。
最常用的压缩映射是迭代函数法，它将原方程组的每个变量都表示为一个关于其他变量的函数，然后通过迭代求解这些函数得到解向量。
压缩映射法是一种比较通用的数值方法，可以用于求解各种非线性方程组，包括常微分方程组、偏微分方程组等。
它的优点是收敛速度较快，而且不需要求解雅克比矩阵等复杂的数学对象。
不过，它的缺点是需要选取合适的压缩映射，否则可能会出现不收敛或者收敛速度很慢的情况。
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学期结课论文C半群相关问题的探讨姓名：***学号：************日期：年月日摘要本文先简述了半群与其无穷小生成元之间的关系，以及简单介绍了半群的两种表达形式，最后给出了抽象Cauchy问题的解与半群的关系。
本文的重点主要是对在这几方面的学习过程中所出现的问题进行了讨论，并给出了相应的解答。
C半群；抽象Cauchy问题；生成元关键词：目录第一章无穷小生成元的性质 (1)第二章半群与其生成元的关系 (4)第三章半群的表示形式 (14)第一节半群的指数表达形式 (14)第二节半群的积分表达形式 (18)第四章抽象Cauchy问题 (20)第一节线性齐次抽象Cauchy问题 (20)第二节线性非齐次抽象Cauchy问题 (22)结论 (24)参考文献 (25)第一章 无穷小生成元的性质定义1.1[]1 设X 是一个Banach 空间，一族X 到它自身的有界线性算子{}1)(+∈R t t T 称为一个强连续线性算子半群（0C 半群）是指：（1）;1)0(=T（2）;0,),()()(≥∀+=t s t s T t T s T（3）x t T tX x )(, ∈∀在X 模下连续，即 0)()(lim 0=-→x t T x t T t t ，注：联合条件（1）与（2），条件（3）与下列条件等价： （1）,X x ∈∀.0)(lim 0=-→xx t T t（2）[]3.0))((lim ,0=-''∈'∀→x x t T x X x t定理1.1[]2 （半群的指数有界性） 设)(t T 是0C 半群，则存在常数0≥ω和1≥M ，使得tMe t T ω≤)( ）（0≥t证明：首先，存在正数η，使得)(t T 在区间[]η，0上有界。
否则，存在{}nt 满足)(,0∞→∞→>n t tnn且n t T ≥)(。
由共鸣定理可知。
对于X x ∈，xt T n)(无界，（即若xt T n)(有界，则存在常数M ，使得M t T ≤)(，矛盾）由收敛点列一定有界可知xt T n)(无界与)(t T 的强连续性相矛盾。
