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一元定积分

一元定积分
1 2 0 ||T || 0
S x dx lim

i 1
n
2 i
xi
y
y x2
因为定积分存在，对区间 [ 0, 1 ] 取特殊的分割
O
x
1
将区间 [0, 1] 等分成 n 等份, 分点为
1 2 n 1 0 1 n n n
1 每个小区间的长度 xi n i i 1 i 取 i [ , ] n n n (i 1,2, , n)
第九章 定 积 分
§1定积分概念 §2 牛顿—莱布尼茨公式
§3 可积条件
§4 定积分的性质 §5 微积分学基本定理 §6 定积分的计算
9.1 定积分的概念
y
一、问题提出
1. 曲边梯形的面积
设 y = f (x)为区间[a, b] 上连 续函数，且f (x)≥ 0，由曲线 y = f (x)，直线 x = a， x = b
| f (i )xi J |
i 1
n
则称函数 f (x) 在 [a, b] 上可积；数 J 称为 f 在 [a, b] 上的定积分. 记作
J f ( x)dx
a
b
也可用极限符号来表达定积分
J lim f (i )xi f ( x)dx
b ||T || 0 i 1 a
义
二、定积分的定义
定义: 在 [a, b] 内任取一组分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b
将 [a, b] 分成 n个子区间Δi= [xi-1, xi ] i=1, 2, … , n 这些分点构成[a, b] 的一个分割，记为 T = { x0, x1, …, xn } = { Δ1, Δ2, … , Δn }

大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx

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高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。

《大学数学课件一元函数微积分学》

《大学数学课件一元函数微积分学》

曲线长度与曲率
曲线长度公式
曲线长度的计算需要对曲线进行参数化，然 后对其微分求和。实数的曲线长度困难，函 数的曲线长度一般参数化之后再求积分。
计算曲率
曲率定义为在曲线某一点处曲线凝聚程度的 量，凡是具有确定的曲率的曲线上的点组成 的集合，成为曲线的曲率线。
微积分的实际应用举例
金融领域应用
微积分在金融等经济学领域中有广泛的应用，能 够帮助我们更好地理解时间价值、股市价格、股 息、衍生证券等。
龙虾曲线
一种分段光滑的曲线，通过迭代形成，是高阶 导数比较经典的应用之一。
复分析
复函数又叫做复变量函数，它是一个变量为一 个复数的函数。复分析是以复函数为研究对象 的数学分支。
不定积分的概念与求法
基本积分法
通过多种方法计算不定积 分：代换法、分部积分法、 三角函数积分法、有理函 数积分法、分式分解。
应用于牛顿第二定律
在物理领域中，微积分的应用非常广泛，牛顿第 二定律是牛顿—莱布尼茨公式的一个重要应用例 子。
定积分的概念与性质
定积分概念
在一定区间内，用先进（上）的近似值与落后（下）的近似值的平均数来逐 渐缩小误差范围的整个过程，那么最后这个误差的范围越来越小。
牛顿—莱布尼茨公式
定积分的本质意义就是计算曲线下对应的面积，和物理中的质量、体积密度、 功力密度有关，是牛顿—莱布尼茨公式的重要应用场景。
极限概念
当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于一个限的极限。
高阶导数及其应用
高阶导数的定义
高阶导数指的是对导数的导数（即二阶导数、三阶导数……）
泰勒展开式
泰勒公式是一个非常重要的工具.利用泰勒公式，可以把函数转化成为一些比较简单的多项式的和的 形式，从而来研究一些不易计算的函数。

一元函数积分学及其应用(课件)

一元函数积分学及其应用(课件)
注意：利用MATLAB的int函数求不定积分时，只是求出被积函数的一个原函数，不 会自动补充常数项 C 。
18
第、。 二节 不定积分的运算
、
【例 5】求 sin2 x d x 。 2
解
sin2 x d x 1 cos x d x
2
2
1 d x 1 cos x d x
2
2
1 x 1 sin x C 22
1 3
x3
x2
，
所以
1 3
x3
是
x
2
的一个原函数
因此
x2 d x 1 x3 C 。 3
8
第一节 不定积分的概念与性质
【例２】求 1 d x ， x (∞,0)∪(0,∞) 。 x
解 当 x > 0 时，由于 (ln x) 1 ，所以 ln x 是 1 在 (0,∞) 内的一个原函数。因此，在 (0,∞)
该性质可推广到被积函数是有限多个函数代数和（差）的情况，即
[ f1(x) f2 (x) fn (x)]d x f1(x) d x f2 (x) d x fn (x) d x 。
法则 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即
kf (x)d x k f (x)d x ( k 是常数, k 0 )。
第、 一节不定积分的概念与性质
、
三、不定积分的性质 求不定积分和求导数（微分）互为逆运算，即当微分号与积分号放在一起时会“抵 消”掉，显然有以下两条基本性质：
性质 4.1 [ f (x)d x] f (x) 或 d f (x)d x f (x)d x ； 性质 4.2 F(x)d x F(x) C 或 d F(x) F(x) C 。
间 I 内的不定积分，记为 f (x)d x ，即

《数学分析》第五章 一元函数积分学

《数学分析》第五章 一元函数积分学

“求出”来的．例如
∫e
± x2
dx, ∫
dx sin x ,∫ dx,∫ 1 − k 2 sin 2 x dx(0 < k 2 < 1) ln x x
等等，虽然它们都存在，但却无法用初等函数来表示，因此可以说，初等函数的原函数 不一定是初等函数．即在初等函数的范围内，某些初等函数的原函数是不存在的，即使该函 数可积。这类非初等函数可采用定积分形式来表示。
它在[0，1]上必定不可积，这是因为对任何分割 T，在 T 所属的每个小区间都有有理数与无 理数（据实数的稠密性） ，当取 {ξ i }1 全为有理数时，得
n
∑ D(ξ )∆x = ∑ ∆x
I i i =1 i =1
n
n
i
= 1,
当取 {ξ i }1 全为无理数时，得
n
∑ D(ξ )∆x = ∑ 0 ⋅ ∆x
b
x
7. 无穷限反常积分： 设函数／定义在无穷区间[ a,+∞ )上，且在任何有限区间[ a, u ]上可 积．如果存在极限
f ( x)dx = J ， u → +∞ ∫a
lim
u
(1)
则称此极限 J 为函数 f 在[ a,+∞ )上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作
J = ∫a f ( x)dx ，
3. 定积分： 设
f
是定义在
[a, b] 上的一个函数， J 是一个确定的实数．若对任给的正数 [a, b] 的任何分割 T ，以及在其上任意选取的点集 {ξ i } ，
≺ ε ，则称函数 f 在区间 [a , b ] 上可积或黎曼可
ε
，总存在某一正数 δ ，使得对
只要
T ≺δ

第3章 一元函数积分学

第3章 一元函数积分学

( 9 ) csc 2 xdx cot x C
(10 )
1 dx arcsin 1 x2
xC
(11
)
1
1 x
2
dx
arctan
xC
2020/10/29
12
不定积分性质
1. (f(x)dx) f(x) 或 df(x)dx f(x)dx 2. F (x)dx F(x)C 或 dF(x) F(x)C
1 d (cc2 x o ) x o ssc d (2 o c x x ) s 1 o令 sco x u s
ud2u112lnuu 11C
1ln1cosx 2 1cosx
C
12ln(11ccoo2xssx)2
C
lncsxccoxtC
2020/10/29
29
解4 sexcd xln |ta2 xn (4)|C
1 cosx
dx
d x
2
sin x
2
lntan1x C
2 2
lntanx C
2 4
2020/10/29
30
总结如下：
f(a x b )d xa 1f(a x b )d (a x b ) x(fx2)d x1 f(x2)d(x2)
2
f(xlxn )d xf(lxn )d(lxn ) exf(ex)d xf(ex)d(ex)
f(sx)icno xs d x f(sx)id ( nsx)in f(arx c)s1d in xx 2f(arx c)ds(ianrx c)sin
fc(to 2a x xs)n d xf(tax)d n(tax)n
2020/10/29
31
二、第二类换元积分法

高等数学课件第4章 一元函数微分学

高等数学课件第4章 一元函数微分学

要
熟
(1)1cs xcco xtd x csx cC ;
记
(12)
1 dxarcsinxC;
1 x2
(13)
2020/3/22
11x2dx微积分a--r不c定t积a分n 概念x 与性 质 C.
12
例1 求积分 (3x22x1)dx
3x2dx 2xdx 1dx
x3x2xC 注:最后结果
x
2
dx
21a(a1xa1x)dx
21a(d(aaxx)d(aaxx))
1(lnaxlnax)C 1 ln a x C公式!
或
2a1 x2
a2
dx
1 ln 2a
xa xa
2a C
ax
2020/3/22
微积分--不定积分概念与性质
29
例6
1
dx
116x x2
1 d(x3)
20(x3)2
arcsin(x3)C 20
1 a)(x
dx b)
提示：拆项
[注 : 1 1( 1 1)] (xa)(xb) baxa xb
2020/3/22
微积分--不定积分概念与性质
23
作业：
P164： 4-1 (2)(3)(7)(8) 4-3
预习4.2 换元积分法
2020/3/22
微积分--不定积分概念与性质
24
复习: F(x)dx F d(xF)(xC) F(x)C
如果函数 f ( x)在区间 I 内连续， 那 么 在 区 间 I内 存 在 可 导 函 数 F (x )， 使 x I ， 都 有 F ( x ) f ( x ) .
简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？

2014.11高数第五章 一元函数的积分学1-2节

2014.11高数第五章 一元函数的积分学1-2节

x[ a ,b ]
x[a,b]
b
m(b a) ≤
f (x)dx ≤ M (b a)
a
估值定理
证：由于 m≤ f (x)≤M
则
b
b
b
mdx≤ f (x)dx ≤ Mdx
a
a
a
故
m(b a) ≤
b
f (x)dx ≤ M (b a)
a
y
y
y
M
m
x
0a
b x 0a
b x 0a
b
例3. 估计 1 e x2 dx的值. 1
于是，若F(x)是 f (x)的一个原函数则 {F(x)+C|CR}
为f (x) 的全体原函数.
设 f (x)R( [a, b] ), 有
x
a f ( tx)d xt (a≤ x≤b)
称为积分上限函数. 记为
y
Φ (x)
x
f (t)d t
a
0a
x bx
定理1. 若f (x)R([a, b])，则
x0 x x0
x
' (x)=f (x)
推论1. (原函数存在定理). 若 f (x)C( [a, b] ), 则
f (x)在[a, b]上存在原函数，且Φ (x)
x
f (t)d t
a
为 f(x)的一个原函数.
例1.
d x sin t
sin x
[
d t] .
dx 1 t
x
d [ x2 et d t] x2 u d [ u et d t] du
从而 x0, x[a, b]有
|Φ (x) Φ (x0 ) |
x

第三章 一元函数积分学

第三章 一元函数积分学
由不定积分的定义，可以直接得到下列性质:
性质1
df ( x) f ( x) C d 即如果不考虑积分常数C, 积分号 与微分号
f ( x)dx
f ( x) C 或
重叠作用时,不论先后次序,都恰好相互抵消.
说明微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
性质2 kf ( x)dx k f ( x)dx ,其中 k 为常数.
3 23 x 3 C. 2 4
x 例11 求 sin dx. 2 1 1 2 x 解 sin dx (1 cos x)dx (1 cos x)dx 2 2 2 1 1 dx cos xdx ( x sin x) C. 2 2 2 cot xdx . 例12 求
F ( x ) C 都是 f ( x ) 的原函数. ) (2) F ( x) C包括了 f ( x的所有原函数 .
证 (1) 对于任意常数C,
( F ( x) C ) F ( x) f ( x) x I ,
F ( x) C 是f ( x)在区间 I 内的原函数.
1 故 ln x 是 在 (,0) (0,) 上的原函数. x 注意 :关于原函数的三个问题：
一是原函数的存在性 二是原函数的个数 三是原函数之间的关系
原函数存在定理： 定理1 若 f ( x)在区间 I内连续，则f ( x) 在区间 I 内 必定存在原函数。 即连续函数一定有原函数. 定理2 设函数 F ( x)和 f ( x) 定义在同一区间 I内, 则 （1）若 F ( x ) f ( x ) ，则对于任意常数 C ，
其中C为任意常数,称为积分常数.
2 ( x 2) dx. 例1 求
.

微积分课件(定积分及其应用

微积分课件(定积分及其应用

10 圆的渐伸线
11 笛卡儿叶形线
12 双纽线
13 阿基米德螺线
14 双曲螺线
15 求曲线 r 3cosθ 及 r 1 cos θ 分别所围成的图形的公共部分的 面积
16 求曲线 r 2sinθ 及 r2 cos2 θ 分别所围成的图形的公共部分的面 积
2
17 圆ρ 1被心形线 ρ 1 cosθ 分割为两部分，求这两部分的面积。
P
F (a,0)
0
r
F (a,0)
2a . x
. . . . .
.
.
曲线在极点自己相交，与此对应的角度为 = , 3 , 5 , 7 36
. .
44 4 4
么么么么方面
• Sds绝对是假的
12. 例 求双纽线 r 2 2a 2 cos 2 所围面积
由对称性
S
r
(
)d
a cosd
切线所围成图形的面积
。
y
由 y x
。 。
得两切线的斜率为
k , k
l1
l2
故两切线为 l : y x , l : y x
其交点的横坐标为
x
o
3
x
3
S = 2 [4x 3 ( x 2 4x 3)]dx 0
[ x
( x
x
)]dx
–3
8
4. 曲边扇形的面积
分析
1. 曲线关于 y= x 对称
2. 曲线有渐进线 x+y+a = 0
3. 令 y = t x, 得参数式
x
3at t3 1
y
3at 2 t3 1
(- t , t -1)

最新一元函数积分学ppt课件

最新一元函数积分学ppt课件
法和技巧。下面介绍不定积分的两大积分方法:换 元积分法与分部积分法
3.2.1 换元积分法
一、第一类换元积分法（凑微分法）
有一些不定积分，将积分变量进行一定的变换 后，积分表达式由于引进中间变量而变为新的形式， 而新的积分表达式和新的积分变量可直接由基本积 分公式求出不定积分来。
例如 co2sx()dx?
例16 求 si2nxco5x s d.x
解 si2nxco5xs d x si2n xco4xs(dsx i)n
s2 ix n (1 s2 ix ) n 2 d (sx )in
(s 2 x i2 s n 4 i x n s6 i x ) d n (s x )in
1si3n x2si5n x1si7n xC
3.1.2 不定积分的基本公式和运算法则
一、不定积分的基本公式
由不定积分的定义可知，不定积分就是微分运 算的逆运算。因此，有一个导数或微分公式，就 对应地有一个不定积分公式。
基本积分表
序号 F(x)f(x)
1
(kxC)k
2
( 1 x1) x
1
3
(ln x ) 1
x
4
( a x ) a x
ln a
n1
3.f(xlxn)d xf(lxn)dlnx
2.f(xx)dx2f( x)d( x)
4.
f(1)
x x2
dx－
f(1)d(1) xx
5 .(sx )c in x od sfx (sx )d i(nsx )i6n . f(ex)exd xf(ex)dxe
7 .f(tx ) a sn 2 e xc d fx (tx ) a d (n tx ) an
即将 f[(x ) ](x )d拼 x f凑 ((x )d ) 成 (x )

一元函数定积分学分割.ppt

一元函数定积分学分割.ppt
一. 平面薄板的质量 二、平面薄板的重心 * 三、物体的转动惯量*
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一.平面图形的面积
若 f ≡1 则可求得D 的面积 dxdx
D
例10 求抛物线
y x2, y 4 x2所围成的平面图形的面积
解 D-X 型区蜮
2
4x2
dxdy 20
dx x2
dy
4)“取极限”
令
max d (
1k n
k
)
(k ,k )
n
M
lim 0
k 1
(k , k ) k
x
k
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两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同 “分割,近似代替, 求和,取极限”
(2) 所求两个问题结构形式相同
曲顶柱体体积:
n
V
lim
0 k 1
f
(k , k ) k
和式极限
积分表达式
x, y 称为积分变量
积分域 被积函数 面积元素
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如果 f (x, y) 在D上可积, 可用平行坐标轴的直线来划
分区域D , 这时
因此面积元素 也常
记作 dxdy, 二重积分记作
D f (x, y) dxdy.
曲顶柱体体积可写成:
V D f (x, y) d D f (x, y) d x d y
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5.2.1、在直角坐标系下二重积分的计算
z 设曲顶柱体积分区域D为X型区域 y 2 (x)
D
(
x,
y)
1(
x) a
y x
b

一元函数积分学及其应用.ppt

一元函数积分学及其应用.ppt
分号, f(x)称为被积函数, f(x)dx称为被积表达式， x称为积分变量．
如果F(x)是f (x)在区间Ⅰ内的一个原函数，则
f (x)dx F(x) C .
因此，求不定积分只要求出它的一个原函数，再 加一个任意常数即可．
10
函数f (x)的不定积分含有任意常数C，因此对每 一个给定的C，都有一个确定的原函数，在几何 上，相应地就有一条确定的曲线，称为f (x)的积 分曲线．因为C可以取任意数值，因此不定积分表 示f (x)的一族积分曲线，如图5.1.1所示．这族曲线 的特点是，它在横坐标相同的点处，所有的切线 都彼此平行.
柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题 上长期存在的混乱，向分析的全面严格华迈出了 关键的一布。
5
§5.1 不定积分
1. 不定积分的概念与性质
（1）不定积分概念 （2）不定积分的基本性质 （3）基本积分公式
2. 换元积分法
（1）第一类换元积分法
（2）第二类换元积分法 （3）分部积分法
（4）有理函数和三角函数的有理式的积分
证 当x＞0时，(ln| x | )′＝(lnx)′＝
x
当x＜0时，(ln|x|)′＝[ln(x)] 1 x
故 (ln | x |) 1 x
由不定积分定义知
1
x dx ln | x | C 20
例5.1.5 求 x2 xdx
解
x2 xdx
5
x2dx

5 1
柯西努力研读 Laplace 的《天体力学》与 Lagrange 的《函数理论》， 1815年之前，柯西 想在学术圈谋 取教职的心愿一直不顺遂。
2
但1816年，在他获得法国科学院的大奖后，两 年内就成为科学院院士，法兰西学院院士并获得 综合工艺学院的教职。
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D
0
A(xi )xi
A(x)d x
a
i 1
b
[
2 (x) f (x,y) dy ]d x
a 1( x)
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同样, 曲顶柱体积分区域D为Y型区域
D (x, y) 1( y) x 2 ( y), c y d
则其体积可按如下两次积分计算 y
V f (x, y) d
1
2
[(1
2
x)y 4
y2 6
]11 dx
-2 -1
2x
2
2(1
2
x )dx 4
[2x
x2 4
]22
8
例4 计算D xyd , 其中D 是抛物线
及直线
所围成的闭区域.
y
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
2 y2 x y
则
D
:
y2 1
x y
y 2
2
o 1
D
4x
y x2
2 y2
D xyd 1dyy2 xy d x
D
y x2
( 2, 2)
y 4 x2
( 2,2)
2 2 (4 2x2 )dx 16 2
0
3
二、空间立体的体积
例11. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.
解: 设两个直圆柱方程为
z
x2 y2 R2, x2 z2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
R
其曲顶柱体的顶为 z R2 x2
“分割, 近似代替,求和, 求 极限”
解决.
1)“分割”
x
用任意曲线网分D 为 n 个小区域 1, 2, , n ,
相应把薄片也分为小区域 .
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2)“近似代替”
在每个 k中任取一点 (k ,k ),则第 k 小块的质量
3)“求和”
y
n
(k ,k ) k k 1
r 2sin
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例9.计算
其中D : x2 y2 a2.
解:
在极坐标系下D
:
0ra
0 2
,
故
原式 D
r d r d
2
d
0
a rer2 d r
0
(1 ea 2 )
由于 ex2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
坐标计算.
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D
D
o
x
ox
答: (1) 0 ; (2)
2
2
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例8 计算二重积分
其中D 为圆周
所围成的闭区域.
解: 利用极坐标
D :
0 r 2sin
0
原式 r rdrd
D
d
0
2sin r 2dr
0
0
[
r3 3
]2sin 0
d
x2 y2 2y
D
d
[
2 ( y) f (x, y) dx ]d y
c 1( y)
d
x 1(y)
y c
o
x 2(y)
x
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总结利用直角坐标下二重积分计算
若D为 X – 型区域
y y 2 (x)
D
:
1
(
x) a
y x
b
2
(
x)
D x o a y 1(x)b x
则
f (x, y) dx dy
(3)几何上二重积分等于D上各部分区域上的柱体
体积的代数和.
(4) 用二重积分的方法可扩展三重积分,即:
n
f (x, y, z)dxdydz lim f (ii i )ui
0 i1
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5.1.2 二重积分的性质
1. D k f (x, y)d k D f (x, y) d ( k 为常数)
d f (r cos , r sin ) r d r o
0
0
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若 f ≡1 则可求得D 的面积
d 1 2 2 ( ) d
D
20
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
d
D
(1) y r ( )
(2) y r ( )
d ( k )
n
V
lim
0 k 1
f
(k , k ) k
f (k , k )
(k ,k ) k
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例2 非均匀平面薄片的质量
有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 其面密
度为
计算该薄片的质量 M .
设D 的面积为 , 则
M C
若
非均匀 , 仍可用
y D
利用例9可得到一个在概率论与数理统计及工程上
非常有用的广义积分公式
ex2 d x
0
2
①
事实上, 当D 中, a 时D为xoy面
利用例9的结果, 得 故①式成立 .
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5.3二重积分的简单应用
5.3.1 几何上的应用
一.平面图形的面积 二、空间立体的体积
5.3.2 物理及力学上的应用
o
1x
0 y x
D
:
0
x
1
ex2 d xd y e1 x2 dx
x
dy
D
0
0
1 xex2 d x 0
1 (1 1) 2e
说明: 由被积函数考虑交换积分顺序.
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例6 更换下列积分 I 的次序
1
x2
3
1 (3 x)
I dx f (x, y)dy dx 2 f (x, y)dy
3. D f (x, y)d D1 f (x, y) d D2 f (x, y) d
为D 的面积, 则
D1 d D d
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5. 若在D上 f (x, y) (x, y) , 则
D f (x, y) d D (x, y) d
特别, 由于 f (x, y) f (x, y) f (x, y)
D f (x, y)d D f (x, y) d
6. 设
D 的面积为 ,
则有
m D f (x, y) d M
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7.(二重积分的中值定理)
连续, 为D 的面积 , 则至少存在一点
D f (x, y)d f (, )
在闭区域D上
使
5.2 二重积分的计算
二重积分的计算的思想: 把二重积分计算 转化成两个定积分的计算,二重积分计算问题就 解决了.分别讨论直角坐标系下和极坐标系下的 二重积分的计算.
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5.2.1、在直角坐标系下二重积分的计算
z 设曲顶柱体积分区域D为X型区域 y 2 (x)
D
(
x,
y)
1(
x) a
y x
b
2
(
x)
y
D
任取 截面积为
平面
截柱体的
o a xi b x y 1(x)
故曲顶柱体体积为
lim n
b
V
f (x, y) d
第五章 多元函数 积 分学
一元函数定积分学(分割;近似;作和;取极限方法)
扩展
多元函数积分学
二重积分 三重积分 曲线积分 曲面积分
重点研究:二重积分
第五章 多 元 函 数 积 分 学
5.1二重积分概念和性质 5.2二重积分计算 5.3二重积分简单应用
5.1.1 二重积分的概念
例1 曲顶柱体的体积
一. 平面薄板的质量 二、平面薄板的重心 * 三、物体的转动惯量*
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一.平面图形的面积
若 f ≡1 则可求得D 的面积 dxdx
D
例10 求抛物线
y x2, y 4 x2所围成的平面图形的面积
解 D-X 型区蜮
2
4x2
dxdy 20
dx x2
dy
D
bd
d
a [c f (x, y)dy]dx c
db
c [a f (x, y)dx]dy
0a
bx
例3 计算
D
(1
x 4
y 3
)dxdy,
D
:
2
x
2,1
y
1
解: 矩形区域既是X–型区域又是Y –型区域,先对哪个
变量积分都可以.
y
D
(1
x 4
y 3
)dxdy
2
dx
2
1 (1 x y )dy 1 4 3
4)“取极限”
令
max d (
1k n
k
)
(k ,k )
n
M
lim 0
k 1
(k , k ) k
x
k
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两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同 “分割,近似代替, 求和,取极限”
(2) 所求两个问题结构形式相同
曲顶柱体体积:
n
V
lim
0 k 1
f
(k , k ) k
曲顶柱体:
底： xoy 面上的闭区域 D
D