第三章一元函数积分学

第三章一元函数微分学不定积分基本概念原函数不定积分原函数的存在性连续函数一定有原函数区间上有第一类间断点，在该区间没有原函数存在第二类间断点，可能有，可能无不定积分的性质基本积分公式三种主要积分法第一类换元法（凑微分法）第二类换元法分部积分法三种常见可积函数积分有理函数积分三角有理式积分①万能代换（一般法）②三角变形，换元，分部（特殊法）简单无理函数积分令根号下的一堆=t反常积分（广义积分）无穷区间上的反常积分定义定理1)比较判别法2）比较法的极限形式3）P积分无界函数的反常积分定义定理1)比较判别法2）比较法的极限形式3）P积分定积分应用几何应用平面图形的面积直角坐标系极坐标系空间体体积旋转体体积二重积分、元素横截面面积的体积常用曲线：双纽线摆线星形线心形线（数三）经济学中的应用常见函数边际函数、边际分析弹性函数、弹性分析注意需求价格弹性的正负！定积分概念分匀合精几何意义一重：线与坐标轴围成的面积二重：线与线围成的面积有正负可积性（存在）充分条件函数在[a,b]连续，积分存在在[a,b]有界，且只有有限个间断点，积分存在在[a,b]上只有有限个第一类间断点，积分存在必要条件积分存在，函数在[a,b]有界计算（值）牛顿莱布尼茨公式换元积分分部积分利用奇偶性、周期性公式点火公式∫(0,π)xf（sinx）dx＝π/2∫(0,π)f（sinx）dx变上限积分定积分性质不等式积分中值定理积分中值定理、广义积分中值定理常见题型不定积分计算不定积分不定积分杂例多做，积累题型定积分概念、性质、存在准则定积分概念、性质、几何意义连乘形式：①夹逼②取对数也有不等式和积分中值定理的使用定积分计算先考虑下奇偶性，但有些题可能直接做更简便总结计算方法变上限积分函数及其应用连续性：f（x）在[a,b]可积，则变上限积分在[a,b]连续可导性：变上限积分在区间除x0点外均连续，则在x0处①连续②可去③跳跃的可导性及值理解！！记住！P112奇偶性：第一章函数奇偶性处理变上限积分常用:洛必达、等价无穷小代换、积分中值定理积分不等式定积分不等式性质变量代换积分中值定理变上限积分可以将f（x）与其导数联系起来柯西积分不等式反常积分反常积分的敛散性1)比较判别法2）比较法的极限形式3）P积分反常积分计算核心用法：换元、分部要积累！定积分应用几何应用先画草图！经济学中的应用关联。

一元函数积分学概论
一元函数积分学指的是对一元函数进行积分的学科，即研究如何求解一元函数的不定积分和定积分。

一元函数是指只有一个自变量的函数，例如$f(x)$，其中$x$是自变量。

一元函数积分学的主要内容包括：定积分的意义、性质和计算方法；不定积分的定义、性质和计算方法；换元积分法、分部积分法、三角函数积分等积分方法；反常积分的概念和判定等。

定积分的意义是求曲线$y=f(x)$和$x$轴之间的面积，其性质包括线性性、可加性、保号性等。

计算方法包括定积分的定义式、图形面积加减法、化成简单积分等方法。

不定积分是指求出函数$f(x)$的原函数$F(x)$，常用的计算方法包括换元积分法、分部积分法、三角函数积分等。

换元积分法是将积分中的自变量用另一个变量代替，使积分式化为更容易求解的形式。

分部积分法是将积分式分解为两部分，然后将其中一部分求导，另一部分积分，最终得到原积分式的解。

三角函数积分是针对含有三角函数的积分进行求解。

反常积分是指积分区间为无限或在有限区间内函数存在无限大或无界时的积分，其判定方法包括比较判别法、极限判别法、积分测试法等。

总的来说，一元函数积分学涉及到多种方法和技巧，需要掌握一定的数学知识和思维方式才能有效求解。

第三章 一元函数的积分学§1 不定积分【考试要求】1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式.2．掌握不定积分的换元积分法和分部积分法.3．会求有理函数、三角函数有理式的积分和简单无理函数的积分.一、基本概念1．原函数与不定积分定义若()()F x f x '=，(,)x a b ∈，则称()F x 是()f x 在(,)a b 内的一个原函数.（一般地，“在区间(,)a b 内”几个字常省略）.若()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C +也是()f x 的原函数（其中C 为任意常数），()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()d f x x ⎰.若()F x 是()f x 的一个原函数，则()d ()f x x F x C =+⎰.2．不定积分与原函数的关系（1）不定积分与原函数是两个不同的概念，前者是个集合，后者是该集合中的一个元素，因此()d ()f x x F x ≠⎰.（2）设()F x ，()G x 是()f x 的任意两个原函数，则()()F x G x C =+（(,)x a b ∈）.（3）原函数的几何意义：称()y F x C =+为()f x 的积分曲线，其上横坐标为x 处的切线互相平行.3．原函数存在定理设()f x 在(,)a b 内连续，则在(,)a b 内必有原函数.4．不定积分的基本性质（1）()d ()d kf x x k f x x =⎰⎰ (k 为常数)；（2）[()()]d ()d ()d f x g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰；（3）求导与求不定积分互为逆运算① (()d )()f x x f x '=⎰ ，d ()d ()d f x x f x x =⎰；② ()d ()f x x f x C '=+⎰，d ()()f x f x C =+⎰；5．基本积分公式(熟练掌握)（1）d k x kx C =+⎰；（2）11d 1x x x C μμμ+=++⎰； （3）1d ln ||x x C x=+⎰； （4）d ln x x a a x C a=+⎰； （5）e d e x x x C =+⎰；（6）sin d cos x x x C =-+⎰；(7) cos d sin x x x C =+⎰；(8) 2sec d tan x x x C =+⎰；（9）2csc d cot x x x C =-+⎰；；（10）sec tan d sec x x x x C ⋅=+⎰；（11）csc cot d csc x x x x C ⋅=-+⎰；（12）d arcsin xx C =+⎰；（13）2d arc ta n 1x x C x=++⎰； （14）tan d ln |cos |x x x C =-+⎰；（15）cot d ln |sin |x x x C =+⎰；（16）d arcsin xx C a =+⎰； （17）22d 1arctan x x C a x a a=++⎰； （18）sec d ln |sec tan |x x x x C =++⎰；（19）csc d ln |csc cot |x x x x C =-+⎰；（20）22d 1ln 2x a x C a x a a x +=+--⎰；（21）d ln x x C =++⎰； （22）21arcsin 22a x x C a =++⎰. 6．初等函数的原函数初等函数在其定义区间内必有原函数，但它的原函数不一定是初等函数．不能用初等函数来表示（积不出来）的不定积分如下：2e d x x ⎰， 2e d x x -⎰， sin d x x x ⎰， cos d x x x⎰， 2sin d x x ⎰， 2cos d x x ⎰， d ln x x ⎰，e d x x x⎰，e ln d x x x ⎰，ln |sin |d x x ⎰等．二、不定积分的积分法1．公式法 将被积函数变形，直接利用公式．2．换元法 引入新的变量，再积分．第一类换元法(凑微分法)设()f u 的原函数为()F u ，()u x ϕ=有连续的导数，则[()]()d f x x x ϕϕ'⋅⎰ [()]d ()f x x ϕϕ=⎰()u x ϕ=()()d [()][()]u x f u u F u C F x C ϕϕ==+=+⎰凑微分 换元 积分 变量还原常见的凑微分公式（1）1()d ()d()f ax b x f ax b ax b a+=++⎰⎰，0a ≠；（2）11()d ()d()n n n n f x x x f x x n -=⎰⎰； （3）(e )e d (e )d(e )x x x x f x f =⎰⎰；（4）d 1(ln )(ln )d(ln )x f x f x x x n =⎰⎰；（5）21111()d ()d()f x f x x x x=-⎰⎰； （6）12f x f =⎰⎰； （7）(sin )cos d (sin )d(sin )f x x x f x x =⎰⎰；（8）(cos )sin d (cos )d(cos )f x x x f x x =-⎰⎰；（9）2(tan )sec d (tan )d(tan )f x x x f x x =⎰⎰；（10）2(cot )csc d (cot )d(cot )f x x x f x x =-⎰⎰；（11）21(arctan )d (arc tan )d(arc tan )1f x x f x x x ⋅=+⎰⎰； （12）1(arcsin )d (arcsin )d(arcsin )f x x f x x ⋅=⎰⎰； （13）d xf x f ⋅=⎰⎰；（14）()d ()d ln |()|()()f x f x x f x C f x f x '==+⎰⎰． 第二类换元法设()x t ϕ=单调，有连续的导数，且()0t ϕ'≠，如果[()]()d ()f t t t F t C ϕϕ'=+⎰，则()d f x x =⎰ ()x x ϕ=[()]()d f t t t ϕϕ'⎰1()[()]t x F t C ϕ-==+1[()]F x C ϕ-=+.换元 积分 变量还原3．分部积分法 设()u u x =，()v v x =具有连续的导数，则d d uv x uv u v x ''=-⎰⎰ 或 d d u v uv v u=-⎰⎰称为分部积分公式.4．特殊函数类的积分有理函数：先化为多项式与简单分式，再逐项积分．三角函数有理式：令tan 2x u =，化为有理函数的积分．简单无理函数：引入代换去掉根号，化为有理函数的积分．常用的分项公式如下：（1）111(1)1x x x x=-++； （2）111(1)1x x x x=+--； （3）2211(1)1x x x x x=-++； （4）22211111(1)(1)(1)1(1)x x x x x x x x x =-=--+++++； （5）2222111(1)1x x x x=-++. 常用的三角公式如下：（1）21cos 2cos 2x x +=；（2）21cos 2sin 2x x -=；（3）21sin (sin cos )22x x x ±=±三、典型例题题型1 直接积分法 （即将被积函数分解为几个简单函数的代数和再分项积分）例1 求下列不定积分（1） 231d 5x xx x ++⎰； （2）10d (2)x x x +⎰；（3） 42d x x x +⎰； 解 原式2222d 111d arctan (1)1x x x C x x xx x ⎡⎤==-=--+⎢⎥++⎣⎦⎰⎰.（4）2222+sin sec d 1x x x x x ⋅+⎰； 解 原式精品文档()()2222221+sin 11sec d sec d d 11xx x x x x xx x +-=⋅=-++⎰⎰⎰tan arctan x x C =-+.题型2 换元积分法（第一类和第二类）例1 求下列不定积分（1）2sin cos d 1sin x xx x ⋅+⎰； （2）d x⎰解原式ln dln d u x x u ========⎰⎰⎰11d()2arcsin arc 12u u C --==+=⎰ .（3）3xx ⎰；解原式23221122u x x x x x u========⎰⎰⎰32111(1(1)d(1)222u u u u =+-=++-⎰⎰⎰535222212211[(1)(1)](1)(125353u u C x =+-++=+-+ . （4）sin 222esin d exxxx ⋅⎰； 解 原式sin 222sin 22sin11esin d e d(sin 22)e44x xx x x x x x --=⋅=--=-⎰⎰（5）1d (1e )xxx x x ++⎰； （6）ln(tan )d sin cos x x x x ⋅⎰.例2 求x ⎰.解：原式2[ln()3x x =+=+⎰例3 求 342e ed e 2e 1x xx xx +-+⎰. 解：原式2222e (e e )d(e e )1d e (e e )(e e )e ex x x x x x x x x x x x x C -----+-===-+---⎰⎰ 例4 求 241d 1x x x ++⎰.解：原式22221111d()1d arctan 11()2x x x x x C x x x x+--===++-+⎰⎰例5 求下列不定积分（1）xx ⎰；（2）3d x x ⎰； 解 令π323sec ,0,d sec tan d 22x t t x t t t ⎛⎫=<<=⋅ ⎪⎝⎭ ，原式23233tan 34tan 4sec tan d d sin 23sec 33sec 2t t t t t t t t =⋅⋅==⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰241231sin 2arccos 324322t t C x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭.（3）d x ⎰.解 令2tan ,d sec d x t x t t ==，原式2222sec d cos d dsin arcta (2tan 1)sec 1sin 1sin t t t t tt t t t ====+++⎰⎰⎰arctanx C =+.注 1ο，令s i n x a t = 或 cos x a t =；2ο，令sec x a t = 或 csc x a t =或 ch x a t =；3ο，令tan x a t = 或 cot x a t =或 sh x a t =；4ο三角代换变量还原时利用辅助三角形． 例6 求下列不定积分（1）d x⎰；解 原式()d31d13xx-==⎰⎰1ln|31|3x C=-++.（2）21d446xx x-+⎰.解原式()()2111212d21arctan221xx C x-=-=⋅+ -+⎰.（注对二次三项式2ax bx c++或其平方根，配方后使用公式）．例7求下列不定积分（1）d x⎰（2）21lnd(ln)xxx x--⎰.（注1xt=称为倒代换，当分母的次数高于分子的次数时，可考虑用此代换）．例8 求e (1e )d x xx +⎰（注 可考虑指数代换e xu =或e sin xt =）．例9 求d x x⎰，（令：t =）解令t =，22tan 1tan d 2tan sec d .t x t x t t t =⇒=+⇒=⋅原式(2222arctan 2sec tan d 2tan d 2sec 1tan t t t t t t t t t t t ⋅=⋅⋅=⋅=⋅+⎰⎰⎰()222sec 1d 2d(tan )2tan tt t t t t t t t =⋅-=-=⋅-⎰⎰⎰22tan 2ln |cos |t t t t C =⋅+-+212ln ||arctan x=⋅+-+22ln ||arctanx =⋅--+.题型3 分部积分法关键：正确地选择u 和v ，选择u ，v 的原则：1οv 好求； 2οd v u ⎰要比d u v ⎰简单．例1 求下列不定积分（1）2(22)e d xx x x +-⎰； （2）2(1)ln d xx x +⎰；（3）e cos d xx x x ⎰； （4）sin ln d x x ⎰ 解 原式1sinln dsinln sinln cosln d x x x x x x x x xx=-=-⋅⋅⎰⎰sinln cosln d sinln cox x x x x x x ⎡=-=-⋅⎣⎰()()1sinln cosln sinln d x x x x x xx=-+-⎰()sinln cosln sinln d x x x x x =--⎰所以 原式()sinln cosln 2xx x C =-+.（5）22arctan d (1)xx x x +⎰； 解 原式22arctan arctan 1d d arctan d(-)arctan d 1x x x x x x x x x =-=-+⎰⎰⎰⎰()221111arctan d arctan 12x x x x x x =-+⋅-+⎰()()22221111arctan d arctan 221x x x x x x =-+-+⎰ 22211111arctan d 212x x x x x ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭⎰()()22111arctan ln ln 122x x x x =-+-+-()22111arctan ln arctan 212x x x x x =-+-+.（6）ln(x x x +⎰.解原式ln(x x x =+⋅⎰dln(x =⋅+-⋅⎰ln(d x x =⋅+-=⎰.例2 求 22sin d (cos sin )xx x x x -⎰. 解 原式2sin sin sin 1d d (cos sin )cos sin x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=⋅= ⎪--⎝⎭⎰⎰sin 11cos sin cos sin x x x x x x x x ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪--⎝⎭⎰2sin 11s d cos sin (cos x x x x x x x x x ⎛⎫=⋅-=⎪-⎝⎭⎰．例3 求ed xx x ⎰．（先换元，后分部积分） 解： 原式222222d d 12ln(1)d 2[ln(1)2d ]1tt x t t ttt t t t t =++=+-+⎰⎰24arctan C =-++.题型4 分项--分部积分法（将积分分成两项（或多项）的积分和，然后利用分部积分抵消不可积部分）例1 求 2ln 1d ln x x x-⎰； 例2求 22e (tan 1)d x x x +⎰． 题型5 有理函数积分例1 求25d 613x x x x +-+⎰； 例2 求221d (1)x x x +⎰.题型6 三角有理函数积分例1 求 d sin 22sin xx x+⎰ 例2 求d 1sin cos xx x --⎰题型7 简单无理函数积分例1求d x⎰； 例2 求d x⎰.例3求d x⎰(0,0)a b x <<>.解：原式2=⎰2arcsin C =+；题型8 分段函数的积分例1 求|1|ed x x -⎰．例2 求2()max(1,)x x ϕ=的一个原函数()F x ，且(0)1F =．题型9 含有抽象函数的不定积分例1设()d arcsin xf x x x C =+⎰，求1d ()x f x ⎰．例2设()f x 为非负连续函数，当0x ≥时，有20()()d e 1xxf x f x t t ⋅-=-⎰，求()d f x x ⎰. 解 方程化为20()()d ()()d =e 1xxxf x f x t t f x f x t t ⋅-=--⎰⎰，()d ()d u x txxf x t t f u u =--====⎰⎰，代入原方程得()20()d e 1xxf x f u u ⋅=-⎰，令()()()()()20()d exxF x f u u F x f x F x F x ''=⇒=⇒⋅=⎰，两边积分()()()2d e 1d xF x F x x x '⋅=-⎰⎰，得()2211e 22xF x x C =-+， 又()()22100,e 212xF C F x x =⇒=-∴=--，()()(F x F x ∴=≥.()()d f x x F x C =+=⎰.例3设(,)f x y 可微，且(,)ff x y x∂=-∂，e cos xf y y-∂=∂，(0,0)0f =，求(,)d f x x x ⎰. 例4设()f x 在[0,)+∞上可导，(0)1f =，且满足01()()()d 01xf x f x f t t x '-+=+⎰，求[()()]e d xf x f x x -'''-⎰.四、不定积分常用的计算技巧总结（考生自看）1．加减常数法例1 求 cos d 1cos xx x-⎰. 解：原式2cos 111()d (1)d 1cos 1cos 2sin (/2)x x x x x x x -=+=-+=----⎰⎰.2．加减函数法例2 求 21d 1exx +⎰. 解：原式2222221e e e 1d (1)d ln(1e )1e 1e 2x x xx x xx x x C +-==-=-++++⎰⎰.例3 求 d (1)nxx x +⎰. 解：原式1111d d d ln ||ln |1(1)1nnn n n nx x x x x x x x x x x x n -+-==-=-+++⎰⎰⎰.3．乘除函数法例4 求 d e ex x x-+⎰.解：原式22e d de arctane 1(e )1(e )x xxx x x C ===+++⎰⎰. 4．分母整体化法例5 求 2100d (1)xx x +⎰. 解：原式2219899100100100(1)(1)d d (2)d u xu u u u u u u uu u=+-----=====-+⎰⎰⎰9798991212979899u u u C ---=-+-+.例6 求 2sin d (sin cos )xx x x +⎰.解：原式π4222πsin()sin csin 114d d π2sin 2sin ()4u x u x u x x u u x =+-=====+⎰⎰⎰2d d(sin )()[l n |csc(4sin sin 4u u x u u =-=+⎰⎰.5．依分母分解法例7 求 3cos 4sin d cos 2sin x xx x x-+⎰. 解：因为cos x 与sin x 的导数互相转化，所以 可设3cos 4sin (cos 2sin )(cos 2s x x A x x B x -=+++(2)cos (2)sin A B x A B x =++- 故得：231,224A B A B A B +=⎧⇒=-=⎨-=-⎩. 原式cos 2sin (cos 2sin )d 2d cos 2sin cos 2sin x x x x x x x x x x '++=-+=-++⎰⎰.6．还原法例8 求 11(1)ed x xx x x++-⎰.解：11121ed (1)ed ed d(ex x x x xxx x x x x x+++=+-=+⎰⎰⎰⎰1111ed eed ex x x x xxxxx x x x C ++++=+-=+⎰⎰.7．待定函数法 例9 (上例)解：因为被积函数是一个函数与1ex x+的乘积，它的一个原函数必定也是某一个函数与1e x x+的乘积.令 111(1)ed ()ex x xxx x F x C x +++-=+⎰，其中()F x 为待定函数， 两边求导数11211(1)e[()()(1)]ex x xxx F x F x xx++'+-=+-，22111(1)()()(1)()x F x F x F x x x'∴+-=+-⇒=， 故 原式1ex xx C +=+.8．相关积分法例10 求 221e sin d x I x x =⎰,221e cos d xI x x =⎰.解：221222211e d e ,21e cos2d e (cos2sin 2),4xx x x I I x C I I x x x x C ⎧+==+⎪⎪⎨⎪-==++⎪⎩⎰⎰ 1I ∴=22111e e (cos2sin 2)224x x x x C⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦2211e e (cos2sin 2)48x xx x C =-++； 2I =22111e e (cos2sin 2)224x x x x C⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦2211e e (cos2sin 2)48x xx x C =+++.五、练习题31-1．若()f x 的导函数是e cos xx -+，则()f x 的一个原函数为（ ）.(A) e cos xx -- (B) esin x x --+ (C)ecos xx --- (D) esin xx -+2．若()f x '为连续函数，则(2)d f x x '=⎰（ ）.(A) (2)f x C + (B) ()f x C + (C)1(2)2f x C + (D) 2(2)f x C + 3．若()f x 是以l 为周期的连续函数，则其原函数（ ）.(A) 是以l 为周期的连续函数 (B)是周期函数，但周期不是l(C) 不是周期函数 (D)不一定是周期函数4．设cos x x 是()f x 的一个原函数，求()d xf x x '⎰． 5．2222221sin cos d d sin cos sin cos x x x x x x x x +=⋅⋅⎰⎰. 6. 22e 1e (1)d (e )d sin sin xxxx x x x--=-⎰⎰.7．11e ed d 1e 1e xxx xx x +-=++⎰⎰. 8.45422sincos d sin (1sin )dsin x x x x x x =⋅-⎰⎰.9．1515sin cos d (sin cos )d(sin cos )(sin cos )x xx x x x x x x +=---⎰⎰.10．21111d d d(1)111n n n nnn n n x x x x x x x x x x --⋅+-==++++⎰⎰⎰. 11．cos sin d(sin cos )d cos sin cos sin x x x x x x x x x-+=++⎰⎰.12．321()arctan d arctan d()33x x x x x x x ++=⎰⎰. 13.2d x x⎰. 14．d 1d(3)3xx =⎰⎰ 15．22222d 2ln 2d d 2d 1d 12(14)2(12)ln 2(1)ln 2xxxu x x x x u x x x u u u =========+++⎰⎰⎰.16．22sin d x x x ⎰.17．arcsin 2arcsin x =-⎰⎰.18．2arctan tan 3d sec d 22ed sin d (1)xx ttx t tx x e t t x ==+====⎰⎰. 19.241d 1x x x -+⎰. 20.421d (1)x x x +⎰21. 1183848282821d d d (1)(1)4(1)x x x x x x x x x x ⋅==+++⎰⎰⎰42221d 4(1)x tt t t =+===⎰2tan 24d sec d 1tan sec d 4sec t u t u u u u u u ======⎰.22. 112d d x x x x +-+=⎰⎰22112d[(1)3]2x =-++⎰⎰.23. 2d d d x xx x x =+⎰⎰⎰.24．313(1)4d d x x x x +-+=⎰⎰.25．d 4sin 3cos 5x x x ++⎰（可令tan 2xt =）；26. 3sin 2cos d 2sin 3cos x x x x x ++⎰（可令tan 2xt =或依分母分解法）；27．设(cos )sin f x x '=(0)x π<<，求()f x ． 28．设()F x 是()f x 的一个原函数，且当0x ≥时，有2e()()2(1)xx f x F x x ⋅=+，又(0)1F =， ()0F x >， 求()f x ．29．()d ()f x x F x C =+⎰，且当0x ≥时，有2()()sin 2f x F x x ⋅=，又(0)1F =，()0F x ≥，求()f x ．30．求2[ln ()ln ()][()()()]d f x f x f x f x f x x ''''++⎰.31．设ln(1)(ln )x f x x +=，计算()d f x x ⎰.32．2()(1)()d exxf x x f x x x '-+⎰. 33．1e (ln )d x x x x +⎰.3-1参考答案1.A2.C3.D 4．2cos sin xx C x--+. 5．tan cot x x C -+.6．e cot xx C ++. 7．ln(1e )xx C -++.8．579111sin sin sin 579x x x C -++9．455(sin cos )4x x C -+.10．1[(1)ln |1|]n nx x C n+-++.11．ln|cos sin|x x C++.12．32arctan36x x xx C+-+.13．arcsin x Cx--+14．1ln|3|3x C++. 15．11(arctan2)ln22xxC-++.16．321sin2cos2sin26448x x xx x x C --++.17．arcsin C-++.18arctan1e+xxC-.1ln C+. 20.311arctan 3x C x x-+++. 21. 44811arctan 881x x C x-⋅++. 22. 2ln |1|x C +-++.23. 1arcsin 22x x C --+. 244ln |1|x C +-++.25. 1tan 22C x -++. 26．125ln |2sin 3cos |1313x x x C -++.27. 1()arcsin 22x f x x C =++. 28．232e()2(1)xx f x x =+.29．2sin 2()xf x =.30．()()[ln ()()1]f x f x f x f x C ''-+. 31．e ln(1e )ln(1e )xxxx C --++-++.32．()ex f x C x +. 33．e ln xx C +.§2 定 积分【考试要求】 1．理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质及定积分中值定理.2．掌握定积分的换元积分法和分部积分法.3．理解积分上限函数，会求它的导数，掌握牛顿 –莱布尼茨公式.4．了解反常(广义)积分的概念，会计算反常（广义）积分.一、基本概念 1．定积分定义设()f x 在[,]a b 上有定义且有界，做下述四步：（1）分割：用1n -个分点分割区间[,]a b011i ia x x x x -=<<<<；（2）作乘积：()i i f x ξ∆，其中1[,]i i i x x ξ-∈，1i i i x x x -∆=-；（3）求和：1()ni i i f x ξ=∆∑；（4）取极限：01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑，其中1max ||i i nx λ≤≤=∆，如果上述极限存在，则称()f x 在[,]a b 上可积，并称上述极限为()f x 在[,]a b 上的定积分，记作1lim ()()d nbi i ai f x f x x λξ→=∆=∑⎰.注 ()d baf x x ⎰的值与对区间[,]a b 的分法无关，与i ξ的取法无关，与积分变量用什么字母表示无关；与[,]a b 有关，与()f x 有关， 即()d ()d bbaaf x x f t t =⎰⎰.2．定积分的存在性定理设()f x 在[,]a b 上连续，或在[,]a b 上有界且只有有限个第一类间断点，则()d ba f x x ⎰一定存在．3．几何意义定积分()d baf x x ⎰表示由曲线()y f x =，,x a x b ==及x 轴所围平面图形面积的代数和．4．定积分的运算性质：（1）()d ()d a abbf x x f x x =-⎰⎰． （4）[()()]d ()d ()d bb baaaf xg x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰.（2）()d 0aaf x x =⎰. （5）()d ()d b baakf x x k f x x =⎰⎰.（3）d bax b a =-⎰. （6）()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰.5．定理定理1 （定积分的比较定理）若在[,]a b 上恒有()()f x g x ≤，则()d ()d bbaaf x xg x x ≤⎰⎰.推论1 若()f x 与()g x 在[,]a b 上连续，()()f x g x ≤，且至少有一点0[,]x a b ∈，使00()()f x g x <，则()d ()d bbaaf x xg x x<⎰⎰.推论2 若在[,]a b 上恒有()0f x ≥，则()d 0baf x x ≥⎰.推论3 ()d ()d bbaaf x x f x x ≤⎰⎰． 定理2（估值定理）若在[,]a b 上，()m f x M ≤≤，则()()d ()ba mba f x x Mb a -≤≤-⎰．定理3（积分中值定理）（1）若()f x 在[,]a b 上连续，则[,]a b ξ∃∈，使()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰．（2）若()f x 在[,]a b 上连续，()g x 在[,]a b 上不变号，且在[,]a b 上可积，则[,]a b ξ∃∈，使()()d ()baf xg x x f ξ=⎰⎰.定理4（变上限积分函数及其导数） 设()f x 在[,]a b 上连续，()()d xa F x f t t =⎰称为变上限积分函数，则导数为d ()()d ()()d xt x aF x f t t f t f x x ='===⎰.推论1 设()()()d x aF x f t t ϕ=⎰，则()d ()()d [()]()d x aF x f t t f x x x ϕϕϕ''==⋅⎰.推论2 设21()()()()d x x F x f t t ϕϕ=⎰，则21()2211()d ()()d [()]()[()](d x x F x f t t f x x f x x x ϕϕϕϕϕϕ'''==⋅-⋅⎰.推论3 设()()()()d x aF x f t g x t ϕ=⎰，则()()()()d x a F x g x f t t ϕ'⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦⎰()()()d ()[()](x ag x f t t g x f x ϕϕϕ''=+⎰.定理5（变上限积分函数与不定积分的关系） 设()f x 在[,]a b 上连续，则变上限积分函数()()d xaF x f t t =⎰是()f x 的一个原函数， 即()d ()d xaf x x f t t C =+⎰⎰.注：不定积分()d f x x ⎰只能作为运算符号，不能表示一个具体的原函数，特别当()f x 为一个抽象的函数时，无法用()d f x x ⎰来讨论它的某一原函数的性质；而()d xa f t t ⎰为某一确定的原函数，可以用它来讨论此原函数的性质.定理6（牛顿－莱布尼兹公式）设()f x 在[,]a b 上连续，()F x 是()f x 的一个原函数，则()d ()()()bb aaf x x F x F b F a ==-⎰． 6．定积分的计算方法（1） 换元法：设()f x 在[,]a b 上连续，()x t ϕ=在[,]αβ上有连续的导数，且当t 从α变到β时，()t ϕ从()a ϕα=单调地变到()b ϕβ=，则()d [baf x x f βαϕ=⎰⎰要点：换元要换限，变量不还原，不换元则不换限．（2）分部积分法：设()u x ，()v x 在[,]a b 上有连续的导数，则d d bbb aaauv x uv u v x ''=-⎰⎰或 d d b b b aaau v uv v u =-⎰⎰．注：求不定积分时适用的积分法，相应地也适用定积分的求法．7．广义积分的概念与计算 （1）无穷限的广义积分ο1 设()f x 在[,)a +∞上连续，则()d lim()d baab f x x f x x +∞→+∞=⎰⎰；ο2 设()f x 在(,]b -∞上连续，则()d lim()d b baa f x x f x x -∞→-∞=⎰⎰；ο3 设()f x 在(,)-∞+∞上连续，则()d lim()d lim ()d bbaaa b f x x f x x f x x +∞-∞→-∞→+∞=+⎰⎰⎰．仅当等式右边的两个极限都存在时，左边的无穷限广义积分收敛，否则发散.注意： ο3式中等式右边的两个极限若有一个不存在，则()d f x x +∞-∞⎰发散.（2）无界函数的广义积分（瑕积分） ο1 设()f x 在(,]a b 上连续，lim ()x af x +→=∞， 则()d lim ()d bbaa f x x f x x εε++→=⎰⎰，x a =称为瑕点．ο2 设()f x 在[,)a b 上连续，lim ()x bf x -→=∞， 则0()d lim ()d bb aaf x x f x x εε+-→=⎰⎰，x b =称为瑕点．ο3 设()f x 在[,]a b 上除点c 外均连续，lim ()x cf x →=∞，则()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x=+⎰⎰⎰12120lim ()d lim ()d c bac f x x f x x εεεε++-+→→=+⎰⎰．x c =称为瑕点．仅当等式右边的极限存在时，瑕积分收敛，否则发散.注意：ο3式中等式右边的两个极限若有一个不存在，则瑕积分()d ba f x x ⎰发散.二、重要结论（1）利用定积分定义求n 项和的极限 设()f x 连续，则ο1 1()d lim ()nban k b a b af x x f a k n n →∞=--=+⋅∑⎰.ο2 111()d lim ()nn k k f x x f n n →∞==⋅∑⎰.（2）奇、偶函数的积分ο1 设()f x 连续，若()f x 为偶函数，则()d xf t t ⎰为奇函数；若()f x 为奇函数，则对任意a ，()d xaf t t ⎰为偶函数.ο2 设()f x 在[,]a a -上连续，则()d [()()]d aaaf x x f x f a x-=+-⎰⎰（3）周期函数的积分设()f x 在(,)-∞+∞上连续，且以T 为周期，则ο1 202()d ()d ()d T a TTT af x x f x x f x x +-==⎰⎰⎰；ο2 0()d ()d nTT a f x x n f x x =⎰⎰；ο3 0()d ()d a nT Taf x x n f x x +=⎰⎰.即：周期函数在每个周期长度区间上的积分均相等，与起点无关．（4）常用结论ο1 ππ22(sin )d (cos )d f x x f x x =⎰⎰， 令π2x t =-；ο2 ππ00π(sin )d (sin )d 2xf x x f x x =⎰⎰， 令πx t =-；ο3 ππ2(sin )d 2(sin )d f x x f x x =⎰⎰，。

一元函数积分学公式在一元函数积分学中，最基本的积分公式是不定积分的基本公式和定积分的基本公式。

一、不定积分的基本公式：1.常数的积分公式：∫kdx = kx + C（其中，k为常数，C为任意常数）2.幂函数的积分公式：∫x^n dx = 1/(n+1) * x^(n+1) + C（其中，n为不为-1的常数，C 为任意常数）3.指数函数的积分公式：∫e^x dx = e^x + C（其中，C为任意常数）4.三角函数的积分公式：(1) ∫sin(x) dx = -cos(x) + C(2) ∫cos(x) dx = sin(x) + C(3) ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C(4) ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C(5) ∫sec(x)*tan(x) dx = sec(x) + C(6) ∫csc(x)*cot(x) dx = -csc(x) + C5.对数函数的积分公式：∫1/x dx = ln，x， + C（其中，C为任意常数）二、定积分的基本公式：1.定积分的基本公式：∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)（其中，F(x)为f(x)的一个原函数）2.牛顿—莱布尼兹公式：∫[a,b] f(x)dx = F(x)，[a,b] = F(b) - F(a)（其中，F(x)为f(x)的一个原函数）此外，还有一些特殊的积分公式：1.分部积分法：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx（其中，u(x)和v(x)是具有足够多次可导性的函数）2.替换法（换元积分法）：如果u=f(g(x)) 是g的一个原函数，则有∫f(u)du =∫f(g(x))g'(x)dx3.瑕积分的计算：当函数在积分区间上有瑕点时，可以通过分解为一般积分和瑕积分的和来计算。

4.反常积分：当函数在积分区间上不满足一些条件时，可以通过极限的概念来处理。

2015届专升本《高等数学》辅导第三章《一元函数积分学》单元测试（测试时间：2015.01.）姓名 班级 快班□ 慢班1□ 慢班2□ 成绩 说明：1-9题每题得分见题首。

10-16题为附加题，每题10分1、（10分）设 ，求()f x 。

（()xf x x e C =++）2、（5分）如果等式11()x x f x e dx e C --=-+⎰成立，则函数()f x =（ D ）221111.;.;.;..A B C D x x x x-- 3、（21分）求下列不定积分1）;(arcsin )x C + )1008)2(2017)2((20162017C x x ++-+3）.(2)x C4、（10分）若 11()21x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，求().f x dx ⎰22112(())112x x C x f x dx x C x ⎧++≤⎪⎪=⎨⎪++>⎪⎩⎰5、（10分）求333412lim .n n n →∞+++130114dx x⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰ 20152)(2)x x dx +⎰(ln )1f x x '=+6、（10分）7、（14分）求下列定积分1）0; 1(arctan )2 2）1sin(ln ).e x dx ⎰1((sin1cos1))22e -+8、（10分）求广义积分2;()2π+∞⎰9、（10分）如图求由曲线1,2,2y x x y x =+==所围图形的面积。

3(l n 2)2+ 22sin 40sin lim .x x x t tdt x →⎰求154（）附加题 10、若()f x 的导函数是sin x ，则()f x 的原函数是 。

()12sin x C x C -++11、已知1(2),(2)02f f '==及20()1f x dx =⎰，求220()x f x dx ''⎰。

（0） 12、求不定积分22arctan 1x xdx x +⎰。

第三章 一元函数积分学第一节 不定积分1．两个概念: 1）原函数： )()(x f x F =' 2）不定积分：⎰+=C x F x x f )(d )( 2．基本积分公式： 1) .arcsin d 22C a x x a x +=-⎰2)⎰+±+=±C a x x ax x ||ln d 22223).arctan 1d 22C ax a x a x +=+⎰ 4) ⎰+-+=-.||ln 21d 22C x a xa a x a x 5) .|tan sec |ln d sec ⎰++=C x x x x 6) ⎰++-=.|cot csc |ln d csc C x x x x 3．三种主要积分法1）第一类换元法（凑微分法）若C x F x x x f C u F u u f +='+=⎰⎰))((d )())((则,)(d )(ϕϕϕ 2）第二类换元法：C x F C t F dt t t f t x x x f +=+='=-⎰⎰))(()()())(()(d )(1ϕϕϕϕt a x a x t a x x a t a t a x x a sec ,iii)tan ,ii))cos (sin ,i)222222=-=+=-3）分部积分法 ⎰⎰-=vdu uv udv “适用两类不同函数相乘”⎰⎰⎰⎰x x e x x x x x x e x xn n xn d sin ,cos )(p ,d sin )(p ,d )(p βαααα， ⎰⎰⎰⎰x x x x x x x x x x xe nnnxd arcsin )(p ,d tan arc )(p ,d ln )(p ,d cos βα4．三类常见可积函数积分 1）有理函数积分 ⎰x x R d )(（1）部分分式法（一般方法）； （2）简单方法（凑微分绛幂）； 2) 三角有理式积分 ⎰x x x R d )cos ,(sin （1）万能代换（一般方法） 令t x =2tan（2）简单方法 （三角变形，换元，分部） 3) 简单无理函数积分 x dcx bax x R nd ),(⎰++令 t dcx bax n=++ 例一 基本题 例3.1 ⎰-=)4(x x dxI解法1 ⎰⎰+-=--=-=c x x dx x x dx I 22arcsin)2(4422解法2 ⎰+=-=c xx x d I 2arcsin 24)(2 例3.2 .sin cos ⎰=x x dxI解 ⎰⎰⎰⎰-=-===x xd x x x d x x xdx x x dx I 222sin 1sin 2sin )sin 1(sin sin cos cos sin cosdt t t t t dt t dt t x )1111()1)(1(212 sin 22224++-=+-=-=⎰⎰⎰令 例3.3 ⎰+=dx xx I 251解法1 令 tan t x =，则tdt dx 2sec =⎰⎰⎰=⋅⋅=⋅=)(sec tan )sec (tan tan sec sec tan 4425t td dt t t t ttdtt I)sec ( )1()(sec )1(sec 2222t u du u t d t =-=-=⎰⎰=c u u u ++-253251=c x x x +++-2421)348(151解法2 ⎰⎰+=+=)1(12124224x d x x dx x I=dx x x x x ⎰+-+2324141=)1(1]1)1[(2122224x d x x x x ++-+-+⎰=c x x x x ++++-+23225224)1(34)1(541 例3.4 dx e xe I xx⎰-=1解 I 121212⎰⎰---=-=dx e e x e xd x x xdt tt dx e x⎰⎰+=-22121 （令t e x=-1） =C t t +-arctan 22则 I c e e e x x x x +-+---=1arctan 41412 例3.5⎰+x xxd 1ln 解法1 原式=⎰+x xd 1ln 2 =dx xxx x ⎰+-+12ln 12dt t t t x dx x x ⎰⎰-=++121122=⎰⎰-+1222t dtdt=C t t t ++-+11ln2 原式=C x x x x x +++-+-+-+1111ln 214ln 12解法2 令t x =+1，则原式=dt t tdt t t ⎰⎰-=-)1ln(22)1ln(22 =dt t t t t ⎰---122)1ln(2222=C x x x x x +++-+-+-+1111ln214ln 12例3.6 ⎰x ee xxd arctan 2 解法1 原式=⎰--x x de e 2arctan 21=dx e e e e xx xx ⎰++---22121arctan 21 =⎰++--)1(21arctan 21222x x x xx e e de e e=C e e e e x x x x +++---]arctan arctan [212 解法2 令t e x =，则 原式=⎰⎰-=231arctan 21arctan t td dt t t =⎰++-dt t t tt )1(1212arctan 222 =c t t tt +---arctan 21212arctan 2=C e e e e x x x x +++---]arctan arctan [212例3.7 ⎰+=dx x x I 91解法1 ⎰⎰⎰+=+=+= )1(81)1()1(8878u u du x x dx x x x dx I （令u x =8） 解法2 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=++=dx x x x x x dx x x I 8788811)1()1( 解法3 c x x dx xx dxI ++-=+-=+=⎰⎰---|1|ln 81181)11(88889 例3.8 ⎰⎰⎰⎰+++=++-+=++=63262246413111111xdx x dx dx x x x x dx x x I 例3.9 ⎰+=xdxI sin 1解法1⎰⎰⎰+=-=x xd dx x dx xx I 222cos cos cos 1cos sin 1 解法2C x x dx x dx I +⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰⎰42tan 24cos 22cos 12πππ 解法3令2212sin 12 2tant t x t dt dx t x +=+== C x C t t dt t t t dt I ++-=++-=+=++⋅+=⎰⎰2tan 1212)1(2121112222 例3.10 ⎰++x x xcos sin 1d解 令t x=2t a n ，则原式=⎰+-++++2222112112t t t t dt t =⎰++=+C t t dt)1ln(1=C x++)2tan 1ln(例3.11 ⎰⋅=xx dxI 4cos sin 解法1I ⎰⎰⎰--=-=⋅=)1(cos )cos 1(cos cos sin sin 424242u u dux x x d x x xdx （令u x =cos ）⎰-+--=4244)1()1(uu u u 解法2⎰⎰⎰⎰⋅++=+=⋅+= cos sin cos sin 3cos 1 cos sin cos sin cos sin cos sin 222324422dx x x x x x x x dx dx x x x x x x I⎰⎰++=xdxx xdx x sin cos sin cos 3123 例3.12 ⎰+=dx xb x a I cos sin 1解 1）若⎰+-===≠c x a x a dx I b a ctg 1sin 0 ,02222) 若⎰+==≠=c x bdx x b I b a tg 1cos 1 0 ,02223）若 )tg (cos 0 ,02222222⎰⎰+=+=≠≠u a b dux a b x dx I b a （令u x =tan ）例3.13⎰-+x x x x d 111。

1第三章一元函数积分学一、选择题1．由定积分的几何意义，可知=-⎰ax x a 022d （）.A．22aπB．2aπC．221a πD．241a π2．若)()(x f x F ='，则（）成立．A．⎰+='C x f x x F )(d )(B．⎰+=C x F x x f )(d )(C．⎰+=Cx f x x F )(d )(D．⎰+='Cx F x x f )(d )(3．已知)(x F 是)(x f 的一个原函数，则（）.A．⎰=)(d )(x F x x f B．)()(x F x f ='C．Cx F x x f +=⎰)(d )(D．Cx f x F +=')()(4．下列四式中正确的是（）.A．)(d )(x f x x f ba ='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰B．0d )(='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ba x x f C．)()(d )(a f b f x x f ba-=⎰D．)(d )(x f x x f ='⎰5．若x x 2sin +是)(x f 的一个原函数，则[]=-⎰x x f d 1)(（）.A．C x x x +-+2cos 21212B．C x x x +--2cos 21212C．Cx +2sin D．Cx +2sin 216．若函数)(x f 的导数是xa ，则)(x f 的一个原函数是（）.A．Cxaa x+2ln B．xa a x+2ln C．Caa x+2ln D．2ln 2+a a x7．函数2)(x xe x f =的一个原函数=)(x F （）.2A．2x eB．xeC．221x e D．x ln 8．已知)(x F 是连续函数)(x f 的一个原函数，则⎰=+xat a t f d )2(（）.A．)()(a F x F -B．)3()2(a F a t F -+C．)3()2(a F a x F -+D．)()(a F t F -9．设x ln 是)(x f 的一个原函数，那么下列函数中也是)(x f 的原函数的是（）.A．axln B．ax aln 1C．a x +ln D．2)(ln 21x 10．设)(x f 为连续函数，则x x f xad )(⎰是（）.A．)(x f '的一个原函数B．)(x f 的全体原函数C．)(x f 的一个原函数D．)(x f '的全体原函数11．下列等式中正确的是（）.A．xx f x x f d )(d )(d =⎰B．)(d )(x f x x f ='⎰C．C x f x x f x +=⎰)(d )(d dD．)()(d x f x f =⎰12．设xe xf =)(，则⎰='x xx f d )(ln （）.A．Cx +B．Cx +-C．C x+1D．C x+-113．设)(x f 的一个原函数是xxln ，则⎰='x x f x d )(（）.A．C xx+ln B．C x x++2ln 1C．C x+1D．C xx+-ln 2114．下列函数中，在区间[]1,1-上不可积的是（）.A．⎩⎨⎧=-=<<-=1,1,011,1)(x x x x f B．xx f =)(C．121)(-=x x f D．⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f315．设)(x f 在),(+∞-∞是连续的，则=++⎰⎰⎰212332d d )(d )(x t t f x x f （）.A．2-B．1-C．0D．116．=⎰204d cos πx x （）.A．π83B．π163C．83D．16317．='⎰bax x f d )3(（）.A．)]3()3([31a f b f -B．)3()3(a f b f -C．[])3()3(3a f b f -D．)3()3(a f b f '-'18．设⎰=121d x x I ，⎰=132d x x I ，则（）.A．21I I =B．21I I >C．21I I <D．无法确定19．⎰=+20d )2sin(ππx x （）.A．2-B．1-C．1D．220．=⎰207d cos πx x （）.A．3516B．π358C．π3516D．356421．⎰-=12d ||3x x x （）.A．－7B．37-C．21D．922．设常数0>a ，则=-⎰-aax x a d 22（）.A．2a πB．24a πC．22a πD．aarcsin 23．⎰=+x xx d 12（）.A．C x +arctan B．Cxx +++21ln C．Cx ++21D．C x ++)1ln(21224．⎰='xat t f d )3(（），其中f '连续．4A．[])()(3a f x f -B．)3()3(a f x f -C．[])3()3(3a f x f -D．[])3()3(31a f x f -25．若⎰⎰-=x x x x x x xf d sin sin d )(，则=)(x f （）.A．x sin B．x cos C．xx sin D．xx cos 26．=''⎰x x f x d )(（）.A．C x f x +')(B．Cx f x f x +-')()(C．Cx f x +')(212D．C x f x +'+)()1(27．)(x f 为[]b a ,上的连续函数，则⎰⎰-babat t f x x f d )(d )(的值是（）.A．小于0B．大于0C．等于0D．不确定28．⎰-=+112d 1x x x（）.A．0B．1C．πD．2π29．=⎰xt x0d 2sin d d （）.A．2sin B．2cos C．0D．2sin x 30．设t t x x xd 1)(0⎰+=Φ，则=Φ')(x （）.A．xx +1B．⎰+++xxx dt t 011C．t x +1D．⎰+xdtt 0131．已知⎰+=22d 2)(xt t x f ，则=')1(f （）.A．3-B．63-C．36-D．332．设()=x ϕ⎰xt t f 20d )(，则()='x ϕ（）.A．)(2x f B．)4(x f C．)2(x f D．)2(2x f 33．设⎰=Φ2d )(x t te x ，则=Φ')1(（）.A．0B．eC．e 2D．e434．设⎰=Φ1d sin )(xt t x ，则=Φ')(x （）.A．xsin B．xsin -C．xcos D．xcos -535．设函数)(x f 在),0(+∞上连续，且⎰+=)1(02d )(x x x t t f ，则=)2(f （）.A．5B．3C．1D．5136．设⎰+=Φ031d )(xtt x ，则=Φ')(x （）.A．3213x x +B．－3213x x +C．311x +D．－311x +37．=⎰→2d sin limxt t x x （）.A．∞B．0C．21D．138．=⎰→xt t xx 020d cos lim（）.A．∞B．1-C．0D．139．=-+⎰→xtt x x cos 1d )1ln(lim（）.A．0B．1-C．1D．∞40．设⎰+=Φ2sin 2d 11)(x t t x ,则=Φ')(x （）.A．x 2sin 11+B．xx 2sin 1cos +C．xx 2sin 1cos +-D．x2sin 11+-41．设3022d )(x t t f x=⎰,则：=⎰10d )(x x f （）.A．1B．2C．3D．442．极限=⎰→42d sin limx t t x x （）.A．21-B．1-C．1D．2143．广义积分⎰+∞1d xx （）.6A．发散B．收敛C．收敛于2D．敛散性不能确定44．下列反常积分收敛的是（）.A．⎰+∞d 2xx B．⎰+∞d xe x C．⎰+∞d xx D．⎰+∞+02d 11x x 45．下列反常积分中发散的是（）.A．xe x d 0⎰+∞-B．⎰+∞12d 1x xC．⎰+∞ex xx d ln 1D．⎰+∞+02d 11x x46．下列反常积分中收敛的是（）.A．⎰+∞132d 1xx B．⎰+∞d xe xC．⎰+∞ex xx d ln 1D．⎰+∞14d 1x x 47．广义积分x x x kd )(ln 12⎰+∞（k 为常数）收敛，则k 满足（）.A．1<k B．1≤k C．1>k D．1≥k 48．广义积分⎰-112d 1x x （）.A．收敛B．敛散性不能确定C．收敛于2-D．发散49．广义积分⎰+∞∞-+x x xd 122（）.A．发散B．收敛C．收敛于πD．收敛于2π50．广义积分⎰+∞12d 1x x （）.A．收敛于1B．发散C．敛散性不能确定D．收敛于251．广义积分⎰+∞22)ln (d x x x（）.A．发散B．收敛于1C．收敛于2ln 1D．的敛散性不能判定52．下列广义积分中发散的是（）.A．⎰+∞-0d xe x B．⎰+∞+02d 11x xC．⎰+∞1d 1x xD．⎰1d 1x x53．广义积分⎰+∞-=1d 2x xe x （）.7A．e21B．e21-C．e D．∞+54．下列广义积分收敛的是（）.A．⎰+∞1d xx B．⎰-22)1(d x x C．⎰+∞+1d 11x xD．⎰-axa x 022d )0(>a 55．广义积分⎰+∞d px x当（）.A．1>p 时收敛，1≤p 时发散B．1≥p 时收敛，1<p 时发散C．1<p 时收敛，1≥p 时发散D．1≤p 时收敛，1>p 时发散56．如果广义积分⎰+∞-02d x x P 收敛，则（）.A．1>P B．1<P C．3>P D．3<P 57．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 绕x 轴旋转得到的旋转体的体积1V 和绕y 轴旋转得到的旋转体的体积2V 之间的关系为（）.A．21V V >B．21V V <C．21V V =D．213V V =58．有连续曲线)(x f y =，直线a x =，b x =，)(b a <及x 轴所围成的平面图形的面积（）.A．xx f bad )(⎰B．xx f bad )(⎰C．xx f bad )(⎰D．[]),)()((b a a b f ∈-ξξ59．曲线x y =2，x y =，3=y 所围图形的面积是（）.A．⎰-312d )(yy y B．⎰-31d )(x x x C．⎰-12d )(yy y D．yy y d )(32⎰-60．由曲线x y ln =，a x =，b x =，)0(b a <<及x 轴所围成的曲边梯形的面积为（）.A．⎰baxx d ln B．⎰bax x d ln C．xa b ln )(-D．⎰baxx d |ln |二、填空题861．说明定积分x x d 1112⎰--的几何意义，并求其值__________．62．设)(x f 是函数x sin 的一个原函数，则=⎰x x f d )(__________．63．设)(x f 的一个原函数为xe x，则='⎰x x f x d )(__________．64．⎰+=-C ex x x f x2d )(，则=)(x f __________．65．若x cos 为)(x f 的一个原函数，则⎰='x x f x d )(___________.66．=+-⎰x x x xx d sin cos sin cos __________．67．⎰=x e xx d 32__________．68．⎰=--2d 2x x x__________．69．设)(x f '在[]b a ,上连续，则='⎰x x f bad )2(__________．70．设)(x f 是连续函数，则[]⎰-=--aax x f x f x d )()(2__________．71．=+⎰--x e x x xd )2(22__________．72．设xe xf =)(，则⎰='''1d )()(x x f x f __________．73．⎰-=--+112d ))()()((2x x f x f e x x __________（其中)(x f 为连续函数）74．=-⎰-2223d 1ππx x x ___________．75．⎰-=+212123d 1x x x __________．76．⎰-=+-1123d 11)sin 1(x x x __________．77．⎰-=+1122d )1(x x x__________．978．=+⎰-x xx d 2112__________．79．⎰-=113d x x _________．80．⎰=ex x 1d ln ______．81．=⎰θθπd tan 402______．82．=⎰-x x d 221______．83．⎰=2121d x x ex______．84．=⎰x x xe d ln cos 11______．85．{}=⎰-x x d ,1max 33______．86．设⎰=+123d )3(x ax x ，则a =_______．87．设)(x f 在[]b a ,上连续，0x 是()b a ,内任一定点，则=⎰t t f xx a d )(d d 0______．88．=⎪⎭⎫⎝⎛⎰102d d d x xe x x ______．89．=⎰-xx t t f xd )(d d ______．90．设⎰=xt t x f 0d sin )(，则()='x f ________．91．设⎰+=Φ031d )(xtt x ，则=Φ')(x ___________．92．求极限=+⎰⎰→02d d )2sin (limxxx tt tt t t ___________．93．无穷限反常积分⎰+∞1d p xx收敛，则p 的取值范围为_________．94．无穷限反常积分⎰+∞-05d x e x =________．1095．无穷限反常积分⎰+∞-=0d x xe x ________．96．⎰∞-=02d x e x ______．97．=-+⎰-1123d 12x xx ______．三、计算题98．θθθd sin cos ⎰．99．⎰-x xx d 22．100．⎰-x xx x d 1arcsin 2．101．⎰-x x d )2(25．102．⎰x a x d 3．103．x xx d cos 2cos 2⎰+．104．x x d sin 3⎰．105．x x x x d )31)(21)(1(⎰---．106．y y n m d ⎰．107．x x x d 1⎰-．108．x x x x d )1()1(3+-+⎰．109．⎰+-x x x e x x x d 323．110．⎰+x x x d 122．111．⎰-x x x d 1ln 2．112．x x x x d 32532⎰⋅-⋅．113．x e e x xd 1⎰+．114．⎰-+te e t t d 1．115．⎰+x x d 9412．116．⎰+--x x x x d 83322．117．⎰+1d 2x x x ．118．x x x d 2532⎰+．119．⎰+1d 32x x x ．120．x x d 3cot 2⎰．121．⎰x x d 3sin 3．122．x x d 32cos ⎰．123．⎰x x x xd sin cos 2cos 22．124．x x xd 2cos 1cos 12⎰++．125．⎰+x x d sin 11．126．⎰x e e x x d )(cos ．127．x x e x d 2⎰-．128．⎰+x x x d sin 1cos 2．129．x xx d 1)(arctan 22⎰+．130．x x x d cos sin 53⎰．131．x x d sec 3⎰．132．x x d tan 4⎰．133．x x e xd sin ⎰．134．x x d arctan ⎰．135．⎰x x d arccos ．136．x x x x d cos sin ⎰．137．⎰+x x x d )1ln(2．138．⎰+x x d )1ln(2．139．⎰x x d tan 4．140．⎰t t td sin 2cos 4．141．⎰+x x xx d sin 1cos sin 4．142．⎰x x x d cos 2．143．x x d cos 3⎰．144．⎰x x x x d sin cos 3．145．⎰+x x x cos sin d ．146．x x x d cos cos ln 2⎰．147．⎰+x x x x d sin cos 2cos ．148．⎰x x x d cos ．149．⎰+x x xx d 1arctan 2．150．x x x x d cos sin 12cos ⎰+．151．x x d tan 4⎰．152．x x xx d sin 1cos sin 22⎰+．153．x x xd arcsin 2⎰．154．⎰-2251d x x．155．⎰-2169d x x．156．⎰+294d x x．157．⎰-44d x xx ．158．⎰-222d x a xx ．159．x xa x d 22⎰-．160．⎰-9d 22x x x ．161．⎰-1d 4x x ．162．⎰-24d x x x ．163．⎰--6d 2x x x ．164．x x x d 11)(3⎰++.165．x x x d 1⎰-．166．⎰+x x x d 122．167．x x x d 922⎰-．168．x x x d )1(43⎰+．169．⎰++x x d 111．170．⎰-x x x d )1(1002．171．⎰-+x ee e x x xd ．172．⎰xe x x d 112．173．⎰-x e x d 52．174．x e e e e x x x x d ⎰--+-．175．x x x d ln 2⎰+．176．⎰+x x x d 33．177．⎰+-x x d )32(112．21178．⎰++544d 2x x x．179．⎰-+223d x x x．180．⎰+2323)1(d x x x ．181．⎰--169d 2x x x．182．⎰+-x x x d 9132．183．⎰+t t21d ．22184．⎰-x x x d 125．185．⎰+)1(d 2x x x ．186．⎰--t e e t t d 112．187．x x x x d ⎰．188．x x x d 1⎰+．189．⎰+x x x d )1ln(3．23190．⎰+22)1(d x x．191．⎰-ax x a 0d (．192．⎰+33121d x x．193．⎰2021d x x ex．194．x x x d 23502⎰+-．195．⎰10d t te t．24196．⎰303d x e x ．197．⎰+ex x x 1d ln 1．198．⎰+10d 1x e e x x．199．⎰+102d 1x x x ．200．⎰-103d 2x xe x ．201．⎰2713d xx ．202．x x ed ln 1⎰．25203．⎰+1023d 1x x x ．204．⎰-51d 1u u u ．205．x x a x a d 0222⎰-．206．⎰+31ln 1d e x x x．207．⎰-212d 1x xx ．208．⎰2121d x xe x ．26209．⎰-+1122)1(d x x x ．210．⎰-++02222d x x x ．211．⎰--20)2)((d aa x a x x ．212．⎰+213d x x x ．213．x x x d cos cos 223⎰--ππ．214．⎰403d tan πθθ．27215．⎰-2102d 1arcsin x x x．216．⎰π0d sin x x x ．217．x x e x d cos 20⎰π．218．x x x d sin 03⎰π．219．x x x d 2cos 212⎰⎪⎭⎫⎝⎛．220．x x d sin 20⎰π．28221．⎰-404d 2cos 1πx x ．222．⎰+ωπϕω002d )(sin t t ．223．⎰π0d cos sin x x x x ．224．x x d 2sin 02⎰π．225．⎰-60d )12cos 2(πθθ．226．x x d 2cos 02⎰π．227．⎰402d tan πθθ．29228．⎰6822cos d ππx x．229．x x x d sin 202⎰π．230．x x e x d sin 20⎰π．231．⎰+∞15d x x．232．⎰+∞-0d x e x．233．⎰+∞-0d x xe x．234．⎰+∞e x x xd ln ．30235．⎰+∞e x x x 2)(ln d ．236．⎰+∞+12)1(d x x x ．237．⎰+∞12d arctan x x x ．238．⎰+∞-04d x e x x ．239．⎰205d sin cos πx x x ．240．⎰+212d 1x x x ．241．⎰+-10ln 2d 2x e xx ．242．⎰+∞++0222d x x x．243．x xe xd 10⎰-．244．x x xe d ln 111⎰+．245．⎰--+1122d )1(x x x ．246．⎰+10.d 11x e x .247．计算⎰20d )(x x f ，其中⎩⎨⎧≤<≤≤=21,510,2)(x x x x f .248．⎰10d arctan x x x ．249．⎰-31d 2x x .250．⎰242d csc ππx x x ．251．⎰-++222d 2||x x x x 252．⎰+202d sin 1cos πx xx .253．⎰+∞+32d 91x x 254．设)(x f 为连续函数，且满足x x f x x x f d )(3)(102⎰-=，求)(x f ．255．证明：若)(x f 在[]1,0上有二阶连续导数，则x x f x x f f x x f d )()1(212)1()0(d )(1010⎰⎰''--+=256．200d arctan lim x t t x x ⎰→．257．求由2x y =，x y =及x y 2=所围成的平面图形的面积及该图形绕x 轴旋转所生成的旋转体的体积．258．求由曲线2=xy 与直线3=+y x 所围成图形的面积．259．求曲线2x y =与直线x y 2=所围成的平面图形的面积A 以及该平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周所得旋转体的体积x V 和y V ．260．求由抛物线542+-=x x y ，横轴及直线3=x ，5=x 所围成图形的面积．261．求由曲线2x xe y -=，横轴及直线0=x ，1=x 所围成图形的面积．262．求由曲线2=xy 与直线3=+y x 所围图形的面积．263．求由抛物线223x x y --=与横轴所围成图形的面积．264．求抛物线342-+-=x x y 及其在点)3,0(-和点)0,3(处的切线所围成的面积．265．求由曲线x e y =，x e y -=及直线1=x 所围成图形的面积．266．求由抛物线)1(42+=x y 及)1(42x y -=所围成图形的面积．267．求由曲线xy 1=与直线2,==x x y 所围成图形的面积．268．求曲线2x y =，直线12-=x y 及x 轴所围成的图形的面积．269．求曲线2x y =，2y x =绕x 轴旋转所产生的旋转体的体积．270．求曲线x y =与1=x ，4=x ，0=y 所围成图形绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积．271．求由曲线xy 1=，直线x y 4=及2=x 所围成的平面图形的面积．272．设平面图形由xe y =，e y =，0=x 所围成，求此平面图形的面积．273．求椭圆12222=+by a x 绕x 轴旋转所得旋转体体积．274．求抛物线)2(x x y -=与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积．275．求由曲线1=xy 与直线2=y ，3=x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积．276．求曲线3x y =与直线2=x ，0=y 所围的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积．277．求由曲线xe y =与直线e y =，y 轴所围成平面图形的面积．278．求由抛物线ax y 42=)0(>a 及直线0x x =)0(0>x 所围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积．279．计算由椭圆12222=+by a x 所围成的图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积．280．求曲线xy 1=与直线1=x ，2=x 及0=y 所围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积．281．求由曲线xy 1=，直线x y 4=及2=x 所围成的平面图形绕x 轴旋转而得的旋转体积．282．由曲线xe y =，y 轴与直线ex y =所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转体的体积．283．一曲边梯形由12-=x y ，x 轴和直线1-=x ，21=x 所围成，求此曲边梯形的面积．284．求由x y =，0=y ，4=x 围成的平面图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积．285．计算抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积.286．求由曲线24x x y -=与直线x y 2=所围成的平面图形的面积及此图形绕x 轴旋转的体积．287．（数一）在一个带q +电荷所产生的电场作用下，一个单位正电荷沿直线从距离点电荷a 处移动到b 处)(b a <，求电场力所作的功．288．（数一）在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体，由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S 的活塞从点a 处移动到点b 处(如图),求移动过程中气体压力所作的功.289．（数一）一蓄满水的圆柱形水桶高为5m ，底圆半径为3m ，试问要把桶中的水全部吸出需作多少功？290．（数一）一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为ρ的液体,求桶的一个端面所受的侧压力．291．（数一）一圆柱形的储水桶高为5米，底半径为2米，桶内水深为3米，试问要把桶内的水全部吸出需做多少功？（其中水的密度为3/米千克ρ）第三章一元函数积分学1.D2.B3.C4.B5.C6.B7.C8.C9.A 10.C 11.A 12.D 13.D 14.C 15.D 16.A 17.A 18.B 19.C 20.A 21.A 22.C 23.C 24.D 25.B 26.B 27.C 28.A 29.A 30.B 31.A 32.D 33.C 34.B 35.D 36.D 37.C 38.D 39.C 40.C 41.C 42.D 43.A 44.D 45.C 46.D 47.C 48.D 49.A 50.A 51.C 52.C 53.A 54.D 55.A 56.C57.B58.C59.A60.D61.2π62.21sin C x C x ++-63.()C xx e x +-264.()x xex--265.C x x x +--cos sin 66.Cx x ++sin cos ln 67.()C e x++23ln 3268.C x x ++-12ln 3169.()()[]a f b f 2221-70.071.262--e72.()1212-e 73.074.075.076.2π77.078.079.80.181.41π-82.583.ee -84.1sin 85.886.487.088.089.()()x f x f -+90.xsin 91.311x +-92.3-93.1>p 94.5195.196.2197.π298.C+θsin 299.()C x+--2122100.Cx x x ++--arcsin 12101.()Cx +--27272102.C aa x+ln 33103.C x +3sin 2arcsin 22104.C x x ++-3cos 31cos 105.Cx x x x +-+-432233113106.C nym y nm n+++107.()Cx x +---1arctan 12108.C x x x x +++-25235223109.Cx e x x++---ln 3223110.Cx x +-arctan 111.C xx+-ln 112.C x x+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-3ln 2ln 3252113.()C e x++1ln 114.Ce t+arctan 115.C x +32arctan 62116.()Cx x ++-83ln 2117.()Cx ++1ln 212118.()Cx ++5632158119.C x ++1323120.C x x +--3cot 31121.C x x +-6sin 1212122.C x +32sin 23123.()C x x ++-tan cot 124.C x x ++2tan 21125.C x x +-sec tan 126.Ce x+sin 127.C e x +--331128.()Cx +sin arctan129.()C x +3arctan 31130.C x x +-68cos 61cos 81131.()C x x x x +++tan sec ln tan sec 21132.C x x x ++-tan tan 313133.()C x x e x+-cos sin 21134.()Cx x x ++-21ln 21arctan 135.Cx x x +--21arccos 136.Cx x x ++-2sin 812cos 41137.()()C xx x x x +-+-++3691ln 131233138.()C x x x x ++-+arctan 221ln 2139.C x x x ++-tan tan 313140.C t t ++-cot cot 313141.()C x +2sin arctan 21142.C x x x x +++2cos 812sin 41412143.Cx x +-3sin 31sin 144.Cx x x x +---21cot 21cot 22145.Cx x+--+-21tan 21tan ln 2222146.C x x x x +-+tan cos ln tan 147.C x x ++cos sin 148.Cx +sin2149.()C x x x x +++-+221ln arctan 1150.()C x ++2sin 2ln 151.C x x x ++-tan tan 313152.C x x +-sin arctan sin 153.Cxx x x +--+-211ln arcsin 1154.C x +5arcsin 51155.C x +34arcsin 41156.C x +32arctan 62157.C x +2arcsin 212158.C x a x a x a +--2222arcsin 2159.Cxaa a x +--arccos 22160.C xx +-9912161.C x x x +-+-arctan 2111ln 41162.C x x x ++-+11ln 211163.Cx x ++-23ln 51164.Cx x x ++-32322165.()Cx x +---1arctan 12166.Cx x x x ++-++-+12112112ln167.Cxx x x +---+99ln 22168.C x x x x x +++++61717658133611243256136113169.()Cx x +++-+11ln 212170.()()()Cx x x +-+---979899119711149111991171.()Ce x ++1ln 212172.Ce x+-1173.C e x +-5221174.()Cee xx ++-ln 175.()C x ++2ln 221176.()C x x x x ++-+-3ln 27923323177.()C x ++32arcsin 21178.C x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+21arctan 41179.C x +-21arcsin 180.C x x x +-+-arctan 2111ln 41181.C x x x +--+-16913ln 312182.()C x x +-+3arctan 319ln 232183.C t ++21ln 21184.()()Cx x x +---+--523221511321185.Cx x x +-+11ln 2186.Ct e t++187.C x x x x +158188.()()C x x ++-+2325132152189.()()()Cx x x x x x x +-+--++--+312arctan 231ln 4121ln 431ln 22232190.Cx x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛++1arctan 212191.62a 192.6π193.ee -194.()63b a -195.1196.()13-e 197.23198.()2ln 1ln -+e 199.2ln 21200.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--31e 123201.12202.1203.()26ln 2521-204.()2arctan 22-205.416a π206.2207.33π-208.e e -209.0210.1211.23ln 1a 212.58ln 21213.41π-214.()2ln 121-215.722π216.π217.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1212πe 218.()62-ππ219.2d 2cos 02ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰x x 220.4221.81645-π222.ω2T223.4π-224.225.623π-226.2π227.41π-228.()1321-229.41162+π230.()1212+xe 231.41232.1233.1234.∞235.1236.2ln 1-237.2ln 214+π238.!4239.61240.34ln 241.()2e 141--242.4π243.e21-244.()12232-245.2246.()2ln 1ln 1++-e 247.6248.()241-π249.1250.2ln 214+π251.3ln 252.4π253.12π254.2332x x +-255.略256.21257.π1559,67258.2ln 223-259.ππ38,1564,34===y x V V A 260.332261.⎪⎭⎫ ⎝⎛-e 1121262.2ln 223-263.332264.49265.2e1e -+266.316267.2ln 23-268.121269.103π270.π8.24271.2ln 2215-272.1273.234ab π274.π1516275.π325276.π7128277.1278.279.b a 234π280.202ax π281.281π282.2e 62ππ-283.2427284.5128π285.18286.34,π532287.akq 288.a bk ln289.3462≈（KJ ）290.332R g ρ291.g πρ42（J ）。