浙江省黄岩中学高中数学《2.3.4平面向量共线的坐标表示》练习题 新人教版必修4

高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示课时作业 新人A 教版必修4基础巩固一、选择题1．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥b ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向[答案] D[解析] ∵c ∥d ，∴c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )，又a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，k ＝－1..∴c ＝－d ，∴c 与d 反向．2．(陕西高考文)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B ． 2 C ．－2或 2 D ．0[答案] C[解析] 本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等．由a ∥b 知1×2＝m 2，即m ＝2或m ＝－ 2.3．(2015·北京西城高三第一学期期末)已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] C[解析] AB →＝(3，y －1)，又AB →∥a ， 所以(y －1)－2×3＝0，解得y ＝7.4．(2015·新课标全国Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4)[答案] A[解析] 设C (x ，y )，∵A (0,1)，AC →＝(－4，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，∴C (－4，－2)，又B (3,2)，∴BC →＝(－7，－4)，选A ．5．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,1)，若a ＋2b 与3a ＋λb 平行，则λ的值等于( ) A ．－6 B ．6 C ．2 D ．－2[答案] B[解析] a ＋2b ＝(5,5)，3a ＋λb ＝(3＋2λ，9＋λ)， 由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0， ∴λ＝6.6．(2015·济南模拟)若a ＝(1,2)，b ＝(－3,0)，(2a ＋b )∥(a －m b )，则m ＝( ) A ．－12B ．12C ．2D ．－2 [答案] A[解析] 2a ＋b ＝2(1,2)＋(－3,0)＝(－1,4)，a －mb ＝(1,2)－m (－3,0)＝(1＋3m,2)∵(2a ＋b )∥(a －m b ) ∴－1＝(1＋3m )×2 ∴6m ＝－3，解得m ＝－12二、填空题7．(2015·北京东城区模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)，若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ的值为________．[答案] 12[解析] a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2) ∵(a ＋λb )∥c ，∴4(1＋λ)－3×2＝0，∴λ＝12.8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)．若λa ＋u b 与a ＋b 共线，则λ与u 的关系为________．[答案] λ＝u[解析] ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)， ∴a ＋b ＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa ＋u b ＝λ(1,2)＋u (－2,3)＝(λ－2u,2λ＋3u )．又∵(λa ＋u b )∥(a ＋b )，∴(－1)×(2λ＋3u )－5(λ－2u )＝0.∴λ＝u . 三、解答题9．已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A 、B 、C 三点共线，求k 的值． [解析] ∵AB →＝(4－k ，－7)，BC →＝(－k －4,5)，因A 、B 、C 三点共线，即AB →∥BC →， ∴7(k ＋4)－5(4－k )＝0，∴k ＝－23.10．已知A (3,5)，B (6,9)，且|AM →|＝3|MB →|，M 是直线AB 上一点，求点M 的坐标． [解析] 设点M 的坐标为(x ，y )，由于|AM →|＝3|MB →|， 则AM →＝3MB →或AM →＝－3MB →.由题意，得AM →＝(x －3，y －5)，MB →＝(6－x,9－y )． 当AM →＝3MB →时，(x －3，y －5)＝3(6－x,9－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝36－x ，y －5＝39－y ，解得x ＝214，y ＝8.当AM →＝－3MB →时，(x －3，y －5)＝－3(6－x,9－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－36－x ，y －5＝－39－y ，解得x ＝152，y ＝11.∴点M 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫214，8或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，11.能力提升一、选择题1．已知向量a ＝(－2,4)，b ＝(3，－6)，则a 和b 的关系是( ) A ．共线且方向相同 B ．共线且方向相反 C ．是相反向量 D ．不共线[答案] B[解析] 因为a ＝(－2,4)，b ＝(3，－6)，所以a ＝－23b ，由于λ＝－23<0，故a 和b共线且方向相反．2．(2015·福州高一检测)设a ＝(32，sin α)，b ＝(cos α，13)，且a ∥b ，则锐角α为( )A ．30°B ．60°C ．75°D ．45°[答案] D[解析] 32×13＝sin αcos α，sin2α＝1,2α＝90°，α＝45°.3．(重庆高考文)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2[答案] D[思路点拨] 分别求出a ＋b,4b －2a ，将向量共线的条件转化为坐标运算，从而求出x 的值．[解析] 因为a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，所以a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)，由于a ＋b 与4b －2a 平行，得6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2.4．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R }，则M ∩N ＝( )A ．{(1,1)}B ．{(1,2)，(－2，－2)}C ．{(－2，－2)}D ．Ø[答案] C[解析] 设a ∈M ∩N ，则存在实数λ和中μ，使得(1,2)＋λ(3,4)＝(－2，－2)＋μ(4,5)，即(3,4)＝(4μ－3λ，5μ－4λ)．∴⎩⎪⎨⎪⎧4μ－3λ＝35μ－4λ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝0，∴a ＝(－2，－2)． 二、填空题5．(北京高考)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.[答案] 1[解析] a －2b ＝(3，3)．因为a －2b 与c 共线， 所以k3＝33，解得k ＝1. 6．已知点P 1(2，－1)，点P 2(－1,3)，点P 在线段P 1P 2上，且|P 1P →|＝23|PP 2→|，则求点P的坐标为________．[答案] (45，34)[解析] 设点P 的坐标为(x ，y )，由于点P 在线段P 1P 2上，则有P 1P →＝23PP 2→，又P 1P →＝(x －2，y ＋1)，PP 2→＝(－1－x,3－y )， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝23－1－x ，y ＋1＝233－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝35，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.三、解答题7．平面内给定三个向量：a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 和n ； (3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .[解析] (1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．(2)∵a ＝m b ＋n c ，m ，n ∈R ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.∴m ＝59，n ＝89.(3)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)． 又∵(a ＋k c )∥(2b －a )，∴(3＋4k )×2－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－1613.8．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.(1)求E ，F 的坐标； (2)判断EF →与AB →是否共线．[解析] (1)设E (x 1，y 1)、F (x 2，y 2)， 依题意得AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)．由AE →＝13AC →可知(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝23y 1＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－13y 1＝23，∴E (－13，23)．由BF →＝13BC →可知(x 2－3，y 2＋1)＝13(－2,3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3＝－23y 2＋1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝73，y 2＝0.∴F (73，0)，即E 点的坐标为(－13，23)，F 点的坐标为(73，0)．(2)由(1)可知EF →＝OF →－OE →＝(73，0)－(－13，23)＝(83，－23)，(O 为坐标原点)，又AB →＝(4，－1)， ∴EF →＝23(4，－1)＝23AB →，即EF →与AB →共线．。

2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、A组1.若a=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),则下列结论成立的是()A.a-c与b共线B.b+c与a共线C.a与b-c共线D.a+b与c共线解析:∵b=(5,7),c=(2,4),∴b-c=(3,3).∴b-c=a.∴a与b-c共线.答案:C2.(2016·河南郑州高一期末)平面向量a=(1,-2),b=(-2,x),若a∥b,则x等于()A.4B.-4C.-1D.2解析:∵平面向量a=(1,-2),b=(-2,x),且a∥b,∴1·x-(-2)·(-2)=0,解得x=4.故选A.答案:A3.如果向量a=(k,1)与b=(6,k+1)共线且方向相反,那么k的值为()A.-3B.0C.-D.-2解析:∵向量a=(k,1)与b=(6,k+1)共线且方向相反,∴(k,1)=λ(6,k+1),λ<0.∴k=6λ,1=(k+1)λ,解得k=-3.故选A.答案:A4.已知向量a=(,1),b=(cos α,-sin α),且α∈,若a∥b,则α=()A.B.C.D.解析:由a∥b,得-sin α-cos α=0,∴sin α=-cos α,∴tan α=-.∵α∈,∴α=.答案:D5.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(m+1,m-2),若点A,B,C能构成三角形,则实数m应满足的条件是()A.m≠-2B.m≠C.m≠1D.m≠-1解析:若点A,B,C能构成三角形,则A,B,C三点不共线,即不共线,又=(1,2),=(m,m+1),∴m+1-2m≠0,∴m≠1.答案:C6.已知A(2,3),B(6,-3),P是线段AB上靠近A的一个三等分点,则点P的坐标是.解析:设P(x,y),由题意得,即(x-2,y-3)=(4,-6),解方程组答案:7.已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则点B的坐标为.解析:设点B的坐标为(x,y),则b==(x-1,y-2).∵a∥b,∴-2(y-2)-3(x-1)=0,即3x+2y-7=0.又点B在坐标轴上,∴当x=0时,y=;当y=0时,x=.∴点B的坐标为.答案:8.(2016·广东揭阳惠来一中检测)已知A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),α∈.若,O为坐标原点,则角α的值是.解析:=(-3,3),=(cos α,sin α).∵,∴-3sin α-3cos α=0,∴tan α=-1.∵α∈,∴α=.答案:9.已知A,B,C,D四点的坐标分别为A(0,-1),B(3,2),C(1,3),D(-1,1),证明四边形ABCD是梯形.证明:∵=(3,3),=(-2,-2),∴=-,∴,AB∥CD.又=(-1,2),=(-2,1),且-1×1-2×(-2)=3≠0,∴不平行,即AD与BC不平行.∴四边形ABCD是梯形.10.已知向量=(4,3),=(-3,-1),点A(-1,-2).(1)求线段BD的中点M的坐标;(2)若点P(2,y)满足点P,B,D三点共线,求y的值.解:(1)设B(x1,y1),∵=(4,3),A(-1,-2),∴(x1+1,y1+2)=(4,3),∴∴B(3,1).同理可得D(-4,-3),设BD的中点M(x2,y2),则x2==-,y2==-1.∴M.(2)=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).∵P,B,D三点共线,∴.∴-4+7(1-y)=0.∴y=.二、B组1.已知e1=(1,0),e2=(0,1),a=2e1+e2,b=λe1-e2,当a∥b时,实数λ等于()A.-1B.0C.-D.-2解析:∵e1=(1,0),e2=(0,1),a=2e1+e2,b=λe1-e2,∴a=2(1,0)+(0,1)=(2,1),b=λ(1,0)-(0,1)=(λ,-1).∵a∥b,∴2×(-1)-1×λ=0,解得λ=-2.故选D.答案:D2.已知a=(-2,1-cos θ),b=,且a∥b,则锐角θ等于()A.45°B.30°C.60°D.30°或60°解析:由a∥b,得-2×=1-cos2θ=sin2θ,∵θ为锐角,∴sin θ=.∴θ=45°.答案:A3.已知=(k,2),=(1,2k),=(1-k,-1),且相异三点A,B,C共线,则实数k等于()A.1B.1或-C.-D.-1或解析:=(1-k,2k-2),=(-k,-1-2k),由已知得,,即(1-k)(-1-2k)-(2k-2)·(-k)=0,解得k=1或-.当k=1时,=(1,2),=(1,2),即A,B两点相同,与已知矛盾.∴k=-.答案:C4.已知点A(,1),B(0,0),C(,0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于E,那么有=λ,则λ等于()A.2B.C.-3D.-解析:如图,由已知得,∠ABC=∠BAE=∠EAC=30°,∠AEC=60°,|AC|=1,∴|EC|=.∵=λ,λ<0,∴|λ|==3.∴λ=-3.答案:C5.已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,),若a-2b与c共线,则k=. 解析:∵a=(,1),b=(0,-1),∴a-2b=(,1)-(0,-2)=(,3).又c=(k,),且a-2b与c共线,∴3k=3.∴k=1.答案:16.已知=(-2,m),=(n,1),=(5,-1),若点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,则m+n=.解析:=(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m),=(5,-1)-(n,1)=(5-n,-2).因为A,B,C共线,所以共线,所以-2(n+2)=(1-m)(5-n).①又m=2n, ②解①②组成的方程组得所以m+n=9或.答案:9或7.在平面直角坐标系中,O是坐标原点,已知两点F1(2,1),F2(-2,1),若点P满足=λ+(1-λ),λ∈R,则点P的轨迹方程是.解析:依题意,设=(x,y),则(x,y)=λ(2,1)+(1-λ)·(-2,1)=(4λ-2,1),所以x=4λ-2,y=1.也就是说点P的轨迹方程为直线y=1.答案:y=18.(2016·新疆阿克苏高一期末)已知向量a=(1,-2),b=(3,4).(1)求向量3a+4b的坐标;(2)当实数k为何值时,k a-b与3a+4b共线.解:(1)向量a=(1,-2),b=(3,4),向量3a+4b=(3,-6)+(12,16)=(15,10).(2)k a-b=(k-3,-2k-4),3a+4b=(15,10).由k a-b与3a+4b共线,可得10k-30=-30k-60,解得k=-.9.已知向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),求:(1)3a+b-2c;(2)若a=m b+n c,求实数m,n的值;(3)当k为何实数时,a+k c与2b-a平行,平行时它们是同向还是反向?解:(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(0,6).(2)∵a=m b+n c,∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).∴解得(3)a+k c=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2).∵(a+k c)∥(2b-a),∴2(3+4k)-(2+k)(-5)=0.∴k=-.。

2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、基础过关1． 已知三点A (－1,1)，B (0,2)，C (2,0)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点坐标是 ( )A ．(1,0)B ．(－1,0)C ．(1，－1)D ．(－1,1)2． 已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线3． 若a ＝(2cos α，1)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan α等于( )A ．2B.12C ．－2D ．－124． 已知A 、B 、C 三点在一条直线上，且A (3，－6)，B (－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )A ．－13B ．9C ．－9D ．135． 已知向量a ＝(2x ＋1,4)，b ＝(2－x,3)，若a ∥b ，则实数x 的值等于________． 6． 若三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线，则x 的值为________．7． 设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________. 8． 平面上有A (－2,1)，B (1,4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12BC →，连接DC ，点E 在CD 上，且CE →＝14ED →，求E 点坐标．二、能力提升9． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( )A ．－1B ．－12C.12D ．110．已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向11．已知两点A (3，－4)，B (－9,2)在直线AB 上，求一点P 使|AP →|＝13|AB →|.12. 如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)、B (6,4)、C (5,0)、D (1,0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标． 三、探究与拓展13. 如图所示，已知△AOB 中，A (0,5)，O (0,0)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标．答案1．C 2.C 3.A 4.C 5.12 6.3 7.28． 解 ∵AC →＝12BC →，∴2AC →＝BC →，∴2AC →＋CA →＝BC →＋CA →，∴AC →＝BA →，设C 点坐标为(x ，y )． 则(x ＋2，y －1)＝(－3，－3)， ∴x ＝－5，y ＝－2.∴C (－5，－2)，∵CE →＝14ED →，∴4CE →＝ED →，∴4CE →＋4ED →＝5ED →，∴4CD →＝5ED →. ∴设E 点坐标为(x ′，y ′)， 则4(9，－1)＝5(4－x ′，－3－y ′)．∴⎩⎪⎨⎪⎧20－5x ′＝36－15－5y ′＝－4，∴⎩⎨⎧x ′＝－165y ′＝－115.∴E 点坐标为⎝⎛⎭⎫－165，－115. 9．B 10.D11．解 设点P 的坐标为(x ，y )，①若点P 在线段AB 上，则AP →＝12PB →，∴(x －3，y ＋4)＝12(－9－x,2－y )．解得x ＝－1，y ＝－2，∴P (－1，－2)． ②若点P 在线段BA 的延长线上， 则AP →＝－14PB →，∴(x －3，y ＋4)＝－14(－9－x,2－y )．解得x ＝7，y ＝－6，∴P (7，－6)．综上可得点P 的坐标为(－1，－2)或(7，－6)． 12．解 设P (x ，y )，则DP →＝(x －1，y )，DB →＝(5,4)，CA →＝(－3,6)， DC →＝(4,0)．由B ，P ，D 三点共线可得 DP →＝λDB →＝(5λ，4λ)．又∵CP →＝DP →－DC →＝(5λ－4,4λ)， 由于CP →与CA →共线得， (5λ－4)×6＋12λ＝0. 解之得λ＝47，∴DP →＝47DB →＝⎝⎛⎭⎫207，167， ∴P 的坐标为⎝⎛⎭⎫277，167.13．解 ∵OC →＝14OA →＝14(0,5)＝⎝⎛⎭⎫0，54， ∴C (0，54)．∵OD →＝12OB →＝12(4,3)＝⎝⎛⎭⎫2，32，∴D ⎝⎛⎭⎫2，32. 设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)， AD →＝⎝⎛⎭⎫2－0，32－5＝⎝⎛⎭⎫2，－72. ∵AM →∥AD →， ∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①又CM →＝⎝⎛⎭⎫x ，y －54，CB →＝⎝⎛⎭⎫4，74，∵CM →∥CB →，∴74x －4⎝⎛⎭⎫y －54＝0， 即7x －16y ＝－20.② 联立①②解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫127，2.。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.3.4 平面向量共线的坐标表示课时训练 新人教版必修4一、选择题1．设k ∈R ，下列向量中，与向量a ＝(1，－1)一定不平行的向量是( ) A ．b ＝(k ，k ) B ．c ＝(－k ，－k ) C ．d ＝(k 2＋1，k 2＋1)D ．e ＝(k 2－1，k 2－1)【解析】 由向量共线的判定条件，当k ＝0时，向量b ，c 与a 平行；当k ＝±1时，向量e 与a 平行．对任意k ∈R,1·(k 2＋1)＋1·(k 2＋1)≠0，∴a 与d 不平行． 【答案】 C2．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)【解析】 由a ∥b 得m ＋2×2＝0，∴m ＝－4， ∴b ＝(－2，－4)．∴2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)． 【答案】 B3．在▱ABCD 中，已知AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 、BD 相交于O 点，则CO →的坐标是( )A ．(－12，5)B ．(－12，－5)C ．(12，－5)D ．(12，5)【解析】 ∵CO →＝－12AC →＝－12(AB →＋AD →)＝－12(－2,3)－12(3,7)＝(－12，－5)．【答案】 B4．已知向量a ＝(32，sin α)，b ＝(sin α，16)，若a ∥b ，则锐角α为( )A ．30°B ．60°C ．45°D ．75°【解析】 ∵a ∥b ，∴sin 2α＝32×16＝14，∴sin α＝±12.∵α为锐角，∴α＝30°.【答案】 A5．与a ＝(12,5)平行的单位向量为( ) A ．(1213，－513)B ．(－1213，－513)C ．(1213，513)或(－1213，－513)D ．(±1213，±513)【解析】 设与a 平行的单位向量为e ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，12y －5x ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1213，y ＝513，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1213，y ＝－513.【答案】 C 二、填空题6．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(0，－1)，(2,3)，(－1，－3)，则A ，B ，C 三点的位置关系是________．【解析】 AB →＝(2,4)，AC →＝(－1，－2)，∴AB →＝－2AC →. ∴A ，B ，C 三点共线． 【答案】 共线7．(2013·福州高一检测)设向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(6,2)共线，则实数λ＝________.【解析】 λa ＋b ＝λ(1,0)＋(1,1)＝(λ＋1,1)，因为向量λa ＋b 与c ＝(6,2)共线，所以(λ＋1)×2＝6×1，∴λ＝2.【答案】 28．(2013·宿州高一检测)已知：AB →＝(6,1)，BC →＝(4，k )，CD →＝(2,1)．若A 、C 、D 三点共线，则k ＝________.【解析】 ∵AB →＝(6,1)，BC →＝(4，k )，CD →＝(2,1)， ∴AC →＝AB →＋BC →＝(10，k ＋1)，又∵A 、C 、D 三点共线， ∴AC →∥CD →.∴10×1－2(k ＋1)＝0， 解得k ＝4. 【答案】 4 三、解答题9．已知向量AB →＝(6,1)，CD →＝(－2，－3)，BC →＝(x ，y ) 且|BC →|＝5，BC →∥DA →，求x ，y 的值．【解】 由题意得DA →＝－A D →＝－(AB →＋BC →＋CD →)＝－[(6,1)＋(x ，y )＋(－2，－3)]＝(－x －4，－y ＋2)， BC →＝(x ，y )．又∵BC →∥DA →， ∴x (－y ＋2)－y (－x －4)＝0. 化简得x ＋2y ＝0.即x ，y 应满足的关系为x ＋2y ＝0.① 又∵|BC →|＝5，即x 2＋y 2＝5.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.10．已知A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，试证明四边形ABCD 是梯形．【证明】 ∵AB →＝(3,3)，CD →＝(－2，－2)， ∴AB →＝－32CD →.又∵A 、B 、C 、D 四点不共线，∴AB →∥CD →. 又∵AD →＝(0,2)－(1,0)＝(－1,2)， BC →＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)．且－1×1－2×(－2)≠0，∴AD 与BC 不平行， ∴四边形ABCD 是梯形．11．已知四边形ABCD 是边长为6的正方形，E 为AB 的中点，点F 在BC 上，且BF ∶FC ＝2∶1，AF 与EC 相交于点P ，求四边形APCD 的面积．【解】 以A 为坐标原点，AB →为x 轴建立直角坐标系，如图所示，∴A (0,0)，B (6,0)，C (6,6)，D (0,6)． ∴F (6,4)，E (3,0)， 设P (x ，y )，AP →＝(x ，y )， AF →＝(6,4)，EP →＝(x －3，y )，EC →＝(3,6)． 由点A ，P ，F 和点C ，P ，E 分别共线，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －6y ＝0，6x －3－3y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝3.∴S 四边形APCD ＝S 正方形ABCD －S △AEP －S △CEB ＝36－12×3×3－12×3×6＝452.【教师备课资源】1．向量在平面几何问题中应用【典例】 已知ABCD 是正方形，BE ∥AC ，AC ＝CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于点F ，求证：AF ＝AE .【思路探究】 建立直角坐标系，将几何证明问题转化为坐标运算问题． 【自主解答】 建立如图所示的直角坐标系，为了研究方便．不妨设正方形ABCD 的边长为1，则B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (x ，y )，这里y >0，于是AC →＝(1,1)，BE →＝(x －1，y )．∵AC →∥BE →，∴1×y －(x －1)×1＝0⇒y ＝x －1.① ∵AC ＝OC ＝CE (已知)，∴CE 2＝OC 2⇒(x －1)2＋(y －1)2＝2.②由y >0，联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋32，y ＝1＋32，即E (3＋32，1＋32)．AE ＝OE ＝3＋322＋1＋322＝3＋1.设F (t,0)，则FC →＝(1－t,1)，CE →＝(1＋32，－1＋32)．∵F 、C 、E 三点共线，∴FC →∥CE →.∴(1－t )×－1＋32－1＋32×1＝0，解得t ＝－1－ 3.∴AF ＝OF ＝1＋3，∴AF ＝AE .1．解决本题的关键是建立直角坐标系，分别求出点A 、E 、F 的坐标．2．用向量解决平面几何问题，首先要建立坐标系，将平面几何中的证明问题转化为向量的计算问题，计算时要充分利用向量共线、向量相等的条件．如图所示，已知△AOB 中，A (0,5)，O (0,0)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC相交于点M ，求点M 的坐标．【解】 ∵OC →＝14OA →＝14(0,5)＝(0，54)，∴C (0，54)．∵OD →＝12OB →＝12(4,3)＝(2，32)，∴D (2，32)．设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)，AD →＝(2－0，32－5)＝(2，－72)．∵AM →∥AD →，∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①又CM →＝(x ，y －54)，CB →＝(4，74)，∵CM →∥CB →，∴74x －4(y －54)＝0，即7x －16y ＝－20.②联立①②解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为(127，2)．2．知识拓展 三点共线问题再探究坐标平面内的三点A 、B 、C 共线时，当且仅当存在三个均不为零的实数l ，m ，n 使l ·OA →＋m ·OB →＋n ·OC →＝0，且l ＋m ＋n ＝0；反之亦成立．理由如下： ①一方面：∵l ＋m ＋n ＝0，∴－m l －n l＝1， ∴－m l ＝1＋n l.又∵l ·OA →＋m ·OB →＋n ·OC →＝0， ∴OA →＝－m l OB →－n lOC →＝(1＋n l )OB →－n lOC →＝OB →＋n l (OB →－OC →)＝OB →－n lBC →，∴OA →－OB →＝－n l BC →，∴BA →＝－n lBC →，∴A 、B 、C 三点共线．②另一方面： ∵A 、B 、C 三点共线，∴存在常数λ使BA →＝λBC →(λ≠0且λ≠1)， ∴OA →－OB →＝λ(OC →－OB →)， ∴OA →＋(λ－1)OB →－λOC →＝0.即l ＝1，m ＝λ－1，n ＝－λ，由λ≠0，且λ≠1知，l 、m 、n 均不为零， ∴l ·OA →＋m ·OB →＋n ·OC →＝0，且l ＋m ＋n ＝0.。

2. 3.4平面向量共线的坐标表示（练）1．已知向量a ＝(4,2)，b ＝(x,3)，且a ∥b ，则x 的值是( )A ．6B ．－6C ．9D ．12[答案] A[解析] ∵a ∥b ，∴x 4＝32，∴x ＝6.2．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13C ．－13D ．－23[答案] A[解析] ∵AD →＝2DB →，∴AD →＝23AB →，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →＝13CA →＋λCB →，∴λ＝23，故选A.3．已知点A 、B 的坐标分别为(2，－2)、(4,3)，向量p 的坐标为(2k －1,7)，且p ∥AB →，则k 的值为( )A ．－910B.910C ．－1910D.1910[答案] D[解析] 由A(2，－2)，B(4,3)得，AB →＝(2,5)，而p ＝(2k －1,7)，由平行的条件x1y2－x2y1＝0得，2×7－(2k －1)×5＝0，∴k ＝1910，选D.4．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．垂心C ．内心D ．重心[答案] D[解析] 设AB →＋AC →＝AD →，则可知四边形BACD 是平行四边形，而AP →＝λAD →表明A 、P 、D 三点共线．又D 在BC 的中线所在直线上，于是点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心．5．已知a ＝(2,1)，b ＝(x ，－2)且a ＋b 与2a －b 平行，则x 等于( )A ．－6B ．6C ．－4D ．4[答案] C[解析] ∵(a ＋b)∥(2a －b)．又a ＋b ＝(2＋x ，－1),2a －b ＝(4－x,4)，∴(2＋x)×4－(－1)×(4－x)＝0，解得x ＝－4.6．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,1)，若a ＋2b 与3a ＋λb 平行，则λ的值等于( )A ．－6B ．6C ．2D ．－2[答案] B[解析] a ＋2b ＝(5,5),3a ＋λb ＝(3＋2λ，9＋λ)，由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，∴λ＝6.7．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝ka ＋b(k ∈R)，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向[答案] D[解析] c ＝(k,0)＋(0,1)＝(k,1)，d ＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，c ∥d ⇒k×(－1)－1×1＝0，∴k ＝－1.∴c ＝(－1,1)与d 反向，∴选D.8．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x2)，则向量a ＋b( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线[答案] C[解析] a ＋b ＝(0,1＋x2)，由1＋x2≠0及向量的性质可知，C 正确．二、填空题9．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A(1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．[答案] ⎝⎛⎭⎫0，72或⎝⎛⎭⎫73，0 [解析] 由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设B(x ，y)，则AB →＝(x －1，y －2)＝b.由⎩⎪⎨⎪⎧ －2λ＝x －13λ＝y －2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2λy ＝3λ＋2.又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B ⎝⎛⎭⎫0，72或⎝⎛⎭⎫73，0. 10．若三点A(－2，－2)，B(0，m)，C(n,0)(mn≠0)共线，则1m ＋1n 的值为________．[答案] －12[解析] ∵A 、B 、C 共线，∴AB →∥AC →，∵AB →＝(2，m ＋2)，AC →＝(n ＋2,2)，∴4－(m ＋2)(n ＋2)＝0，∴mn ＋2m ＋2n ＝0，∵mn≠0，∴1m ＋1n ＝－12.11．在平面直角坐标系中，O 为原点，已知两点A(1，－2)，B(－1,4)，若点C 满足OC →＝αOA →＋βOB →，其中0≤α≤1且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为________．[答案] 3x ＋y －1＝0(－1≤x≤1)[解析] ∵α＋β＝1，∴β＝1－α，又∵OC →＝αOA →＋βOB →＝αOA →＋(1－α)OB →，∴OC →－OB →＝α(OA →－OB →)，∴BC →∥BA →，又BC →与BA →有公共点B ，∴A 、B 、C 三点共线，∵0≤α≤1，∴C 点在线段AB 上运动，∴C 点的轨迹方程为3x ＋y －1＝0(－1≤x≤1)．12．已知向量OA →＝(k,6)，OB →＝(4,5)，OC →＝(1－k ，10)，且A 、B 、C 三点共线，则k ＝______.[答案] 176[解析] 解法一：∵A 、B 、C 三点共线，∴6－5k －4＝10－51－k －4，解得k ＝176. 解法二：AB →＝(4－k ，－1)，BC →＝(－3－k,5)，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥BC →，∴5(4－k)－(－1)·(－3－k)＝0，∴k ＝176.三、解答题13．a≠0，b≠0，a 与b 不平行．求证：a ＋b 与a －b 不平行．[证明] ∵a≠0，b≠0，∴a ＋b 与a －b 不可能同时为0，不妨设a －b≠0.假设a ＋b 与a －b 平行，则存在实数λ，使a ＋b ＝λ(a －b)，∴(1－λ)a ＝(－1－λ)b ， ∵a 与b 不平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝0－1－λ＝0矛盾无解， ∴a ＋b 与a －b 不平行．[点评] 本题体现了“正难则反”的策略，也可引入坐标，通过坐标运算求解．设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ＋b ＝(x1＋x2，y1＋y2)，a －b ＝(x1－x2，y1－y2)．假设(a ＋b)∥(a －b)，则有(x1＋x2)(y1－y2)－(y1＋y2)(x1－x2)＝0，即x1y1＋x2y1－x1y2－x2y2－x1y1－x1y2＋x2y1＋x2y2＝0，整理得2(x2y1－x1y2)＝0，∴x2y1－x1y2＝0.∵a≠0，b≠0，∴a ∥b.这与已知矛盾，故假设不成立．即a ＋b 与a －b 不平行．14．已知四点A(x,0)、B(2x,1)、C(2，x)、D(6,2x)．(1)某某数x ，使两向量AB →、CD →共线．(2)当两向量AB →与CD →共线时，A 、B 、C 、D 四点是否在同一条直线上？[解析] (1)AB →＝(x,1)，CD →＝(4，x)．∵AB →∥CD →，∴x2－4＝0，即x ＝±2.∴当x ＝±2时，AB →∥CD →.(2)当x ＝－2时，BC →＝(6，－3)，AB →＝(－2,1)，∴AB →∥BC →.此时A 、B 、C 三点共线，从而，当x ＝－2时，A 、B 、C 、D 四点在同一条直线上．但x ＝2时，A 、B 、C 、D 四点不共线．15．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，回答下列问题：(1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(3)若(a ＋kc)∥(2b －a)，某某数k.[解析] (1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(0,6)．(2)∵a ＝mb ＋nc ，∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2.解之得⎩⎨⎧ m ＝59，n ＝89.(3)∵(a ＋kc)∥(2b －a)，又a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k),2b －a ＝(－5,2)．∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，∴k ＝－1613.16．已知O(0,0)、A(2，－1)、B(1,3)、OP →＝OA →＋tAB →，求(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第四象限？(2)四点O 、A 、B 、P 能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由．[解析] (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(t ＋2,3t －1)．若点P 在x 轴上，则3t －1＝0，∴t ＝13；若点P 在y 轴上，则t ＋2＝0，∴t ＝－2；若点P 在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧t ＋2>03t －1<0，∴－2<t<13. (2)OA →＝(2，－1)，PB →＝(－t －1，－3t ＋4)，OP →＝(t ＋2,3t －1)，AB →＝(－1,4)．①由四边形OABP 为平行四边形知，OA →＝PB →.∴⎩⎪⎨⎪⎧－t －1＝2－3t ＋4＝－1无解． ②由四边形OAPB 为平行四边形知，OA →＝BP →，∴t ＝1.③由四边形OPAB 为平行四边形知，OP →＝BA →，此时无解．综上知，四点O 、A 、B 、P 可以成为平行四边形的四个顶点．且当t ＝1时，四边形OAPB 为平行四边形．17．已知A(1,3)、B(－2，0)、C(2,1)为三角形的三个顶点，L 、M 、N 分别是线段BC 、CA 、AB上的点，满足|BL →||BC →|＝|CM →||CA →|＝|AN →||AB →|＝13，求L 、M 、N 三点的坐标．[解析] ∵A(1,3)，B(－2,0)，C(2,1)，∴OA →＝(1,3)，OB →＝(－2,0)，OC →＝(2,1)．又∵|BL →||BC →|＝|CM →||CA →|＝|AN →||AB →|＝13， ∴BL →＝13BC →＝⎝⎛⎭⎫43，13，∴OL →＝OB →＋BL →＝(－2,0)＋⎝⎛⎭⎫43，13 ＝⎝⎛⎭⎫－23，13； 同理可得OM →＝⎝⎛⎭⎫53，53，ON →＝(0,2)， ∴L ⎝⎛⎭⎫－23，13、M ⎝⎛⎭⎫53，53、N(0,2)为所求．。

学习资料第二章平面向量2．3平面向量的基本定理及坐标表示2．3.4平面向量共线的坐标表示［A组学业达标］1．已知向量a＝(－1，2)，b＝（1，－2y）．若a∥b,则y的值是() A．2B．－2C．－1 D．1解析：因为a∥b，所以(－1)×(－2y）＝2×1，解得y＝1。

答案:D2．已知向量a＝（1,2)，b＝(1，0)，c＝（3,4)．若λ为实数，（a＋λb)∥c，则λ＝（）A.错误!B.错误!C．1 D．2解析：由题意可得a＋λb＝（1＋λ，2)．由(a＋λb)∥c，得（1＋λ)×4－3×2＝0,解得λ＝错误!。

答案：B3．已知向量a＝(1,－2），｜b|＝4|a|，a∥b，则b可能是(）A．（4，8）B．（8，4)C．（－4,－8) D．（－4，8)解析：∵a＝(1,－2)＝－错误!（－4，8)，｜b｜＝4|a|，∴b可能是(－4，8）．答案：D4．已知向量a＝(2，6），b＝（－1，λ）．若a∥b，则λ＝______．解析：∵a＝（2，6)，b＝（－1，λ)，a∥b，∴2λ－6×(－1)＝0，∴λ＝－3.答案:－35．已知A，B，C三点共线，错误!＝－错误!错误!，点A，B的纵坐标分别为2,5，则点C的纵坐标为________．解析：设点C的纵坐标为y.∵A，B，C三点共线，错误!＝－错误!错误!，A,B的纵坐标分别为2，5，∴2－5＝－错误!(y－2），∴y＝10。

答案:106．已知向量a＝（1，－2）,|b|＝2错误!,且a∥b，则b＝________．解析:设b＝(x，y)，由已知可得错误!解得错误!或错误!所以b＝(2，－4)或(－2，4）．答案：（2，－4)或（－2，4）7．已知a＝错误!，点B的坐标为(1，0)，b＝（－3，4),c＝（－1，1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．解析：∵b＝（－3，4)，c＝（－1,1)，∴3b－2c＝3(－3，4）－2（－1，1）＝(－9,12)－(－2，2）＝(－7,10)，即a＝(－7,10)＝错误!。

平面向量共线的坐标表示（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分，共30分)1.下列各组向量，共线的是( )A.a=(-2，3)，b=(4，6)B.a=(2，3)，b=(3，2)C.a=(1，-2)，b=(7，14)D.a=(-3，2)，b=(6，-4)2.(2013·桂林高一检测)已知向量a=(1，m)，b=(3m，1)，且a∥b，则m2的值为( )A.-B.-C.D.3.设k∈R，下列向量中，与向量a=(1，-1)一定不平行的向量是( )A.(k，k)B.(-k，-k)C.(k2+1，k2+1)D.(k2-1，k2-1)4.若=i+2j，=(3-x)i+(4-y)j(其中i，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单位向量).与共线，则x，y的值可能分别为( )A.1，2B.2，2C.3，2D.2，45.向量=(k，12)，=(4，5)，=(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为( )A.-2B.11C.-2或11D.2或-11二、填空题(每小题8分，共24分)6.(2013·无锡高一检测)已知向量a=(，1)，b=(0，-1)，c=(k，)，2a-b与c平行，则实数k= .7.向量a=(1，-2)，向量b与a共线，且|b|=4|a|，则b= .8.已知=(-2，m)，=(n，1)，=(5，-1)，若点A，B，C在同一条直线上，且m=2n，则m+n= .三、解答题(9题～10题各14分，11题18分)9.已知向量a=(1，2)，b=(x，1)，u=a+2b，v=2a-b，且u∥v，求实数x的值.10.已知=(6，1)，=(x，y)，=(-2，-3)，且∥，试确定x，y的关系式.11.(能力挑战题)过原点O的直线与函数y=log8x的图象交于A，B两点，过A，B分别作x轴的垂线交函数y=log2x的图象于C，D两点.求证：O，C，D三点在一条直线上.答案解析1.【解析】选D.A.因为(-2)×6-3×4≠0，所以a与b不共线.B.因为2×2-3×3≠0，所以a与b不共线.C.因为1×14-(-2)×7≠0，所以a与b不共线.D.因为(-3)×(-4)-2×6=0，所以a与b共线.2.【解析】选C.因为a=(1，m)，b=(3m，1)，且a∥b，所以1×1-m·(3m)=0，解得m2=.【变式备选】已知点A(-1，1)，点B(2，y)，向量a=(1，2)，若∥a，则实数y的值为( )A.5B.6C.7D.8【解析】选C.因为A(-1，1)，B(2，y)，所以=(2，y)-(-1，1)=(3，y-1).又因为∥a，向量a=(1，2)，所以3×2-(y-1)·1=0，解得y=7.3.【解析】选C.对于选项A和B，当k=0时，向量(k，k)，(-k，-k)都是零向量，都与向量(1，-1)平行. 对于选项C，因为1·(k2+1)-(-1)·(k2+1)=2k2+2≠0，所以向量(1，-1)与向量(k2+1，k2+1)不共线.对于选项D，因为1·(k2-1)-(-1)·(k2-1)=2k2-2.由2k2-2=0得k=±1，所以当k=±1时，向量(1，-1)与向量(k2-1，k2-1)共线.4.【解析】选B.因为i，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单位向量，所以=i+2j=(1，2)，=(3-x)i+(4-y)j=(3-x，4-y)，若与共线，则1·(4-y)-2·(3-x)=0，整理得2x-y=2，经检验可知x，y的值可能分别为2，2.5.【解析】选C.=-=(k，12)-(4，5)=(k-4，7)，=-=(k，12)-(10，k)=(k-10，12-k).因为A，B，C三点共线，所以∥，所以(k-4)(12-k)-7(k-10)=0，整理得k2-9k-22=0，解得k=-2或11.6.【解析】因为a=(，1)，b=(0，-1)，所以2a-b=2(，1)-(0，-1)=(2，3)，又c=(k，)，2a-b与c平行，所以2×-3k=0，解得k=2.答案：27.【解析】因为|b|=4|a|，且b与a共线，所以b=-4a，或b=4a，故b=-4(1，-2)=(-4，8)，或b=4(1，-2)=(4，-8).答案：(-4，8)或(4，-8)8.【解题指南】由点A，B，C在同一条直线上可得与共线，进而可得关于m，n的方程，与m=2n联立即可求出m，n，进而求出m+n.【解析】=-=(n，1)-(-2，m)=(n+2，1-m)，=-=(5，-1)-(n，1)=(5-n，-2).因为A，B，C共线，所以与共线，所以-2(n+2)=(1-m)(5-n). ①又m=2n，②解①②组成的方程组得或所以m+n=9或.答案：9或9.【解析】因为a=(1，2)，b=(x，1)，所以u=a+2b=(1，2)+2(x，1)=(2x+1，4)，v=2a-b=2(1，2)-(x，1)=(2-x，3)，又因为u∥v，所以3(2x+1)-4(2-x)=0，解得x=.【拓展提升】向量共线的坐标表示在两个方面的应用(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.解答此类问题要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.解答此类问题要注意方程思想的应用，向量共线的条件、向量相等的条件等都可作为列方程的依据.10.【解析】因为=(6，1)，=(x，y)，=(-2，-3)，所以=++，=(6，1)+(x，y)+(-2，-3)=(4+x，y-2).又因为∥，所以∥，所以x(y-2)-y(4+x)=0，xy-2x-4y-xy=0，故x+2y=0.11.【解题指南】设A(x1，log8x1)，B(x2，log8x2)，由O，A，B三点在一条直线上可以推出关于x1，x2的等量关系.借助此关系式可以证与共线，进而得O，C，D三点在一条直线上.【证明】设A(x1，log8x1)，B(x2，log8x2)，则=(x1，log8x1)，=(x2，log8x2)，根据已知与共线，所以x1log8x2-x2log8x1=0.又根据题设条件可知C(x1，log2x1)，D(x2，log2x2)，所以=(x1，log2x1)，=(x2，log2x2). 因为x1log2x2-x2log2x1=x1lo-x2lo=3(x1log8x2-x2log8x1)=0，所以与共线，又与有公共点O，所以O，C，D三点在一条直线上.。

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）2.3.4 平面向量共线的坐标表示班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________课后练习基础过关1．已知点A(1,-2),B(2,3),向量p=(k+1,2k-3),且p∥,则k的值为A. B. C. D.-2．已知向量a=(1，2)，b=(x，6)，且a∥b，则x的值为A.1B.2C.3D.43．已知向量a,b不共线,若=ma+b,=a+(2m-1)b,则使得A,B,C三点共线的m的值为A.1 B.- C.-1或 D.1或-4．设a=(3,s i nα),,且a∥b,则锐角α为________.5．已知向量a b，且a b，则实数 .6．下列各组的两个向量共线的是________.①a1=(-2,3),b1=(4,6)；②a2=(1,-2),b2=(7,14)；③a3=(2,3),b3=(3,2)；④a4=(-3,2),b4=(6,-4).7．设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.8．已知梯形ABCD,如图所示,其中AB ∥CD,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),求点D 的坐标.能力提升1．已知向量i 与j 不共线，且,,1AB i m j AD ni j m =+=+≠，若,,A B D 三点共线，则实数,m n 满足的条件是A.1m n +=B.1m n +=-C.1mn =D.1mn =-2．已知a =(1,0),b =(2,1).(1)当k 为何值时,k a -b 与a +2b 共线?(2)若 =2a +3b ,=a +m b 且A ,B ,C 三点共线,求m 的值.2.3.4 平面向量共线的坐标表示 详细答案【基础过关】1．D【解析】由已知得 =(1,5),因为p ∥ ,所以(2k-3)-5(k+1)=0,解得k=-. 【备注】本题主要考查了向量的坐标运算以及两向量平行的充要条件.向量的坐标运算在高考中经常以选择题、填空题的形式进行考查.2．C【解析】因为a ∥b ，所以1620x ⨯-=，解得3x =，故选C.3．D【解析】要使A,B,C 三点共线,只需 , 共线.因为≠0,所以根据向量共线的充要条件可知,存在实数λ使得=λ ,即ma+b=λ[a+(2m -1)b],由于向量a,b 不共线,则根据平面向量基本定理得 ,消去λ得m=1或m=- . 4．3π 5．－4【解析】本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量共线的条件.向量a b ，且a b,故 .6．④7．【解析】本题主要考查平面向量平行的基础知识,意在考查考生对基础知识的掌握情况. 由于λa +b 与a +2b 平行,所以存在μ∈R ,使得λa +b =μ(a +2b ),即(λ-μ)a +(1-2μ)b =0,因为向量a ,b 不平行,所以λ-μ=0,1-2μ=0,解得λ=μ=. 8．∵在梯形ABCD 中,DC=2AB,∴ =2 .设点D 的坐标为(x,y).∵ = -=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y), = - =(2,1)-(1,2)=(1,-1),∴(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2),∴ ,解得, 故点D 的坐标为(2,4).【能力提升】1．C【解析】本题考查平面向量的线性运算。

课时作业(二十四) 2.3.4 平面向量共线的坐标表示1．下列向量中，能作为表示它们所在平面所有向量的基底的是( ) A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7) C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(12，－34)答案 B2．已知向量a ＝(4，2)，向量b ＝(x ，3)，且a ∥b ，则x 等于( ) A ．9 B ．6 C ．5 D ．3答案 B3．已知向量a ＝(3，4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan α＝( ) A.34 B ．－34C.43 D ．－43答案 A解析 a ∥b ⇒3cos α＝4sin α，∴tan α＝34.4．已知向量a ＝(1，－2)，|b |＝4|a |，a ∥b ，则b 可能是( ) A ．(4，8) B ．(8，4) C ．(－4，－8) D ．(－4，8)答案 D解析 a ＝(1，－2)＝－14(－4，8)．即b ＝－4a ，∴b 可能是(－4，8)．5．若P 1(1，2)，P(3，2)且P 1P →＝2PP 2→，则P 2的坐标为( ) A. (7，2) B ．(－7，－2) C ．(－4，－2) D ．(4，2)答案 D解析 设P 2(x ，y)，则由P 1P →＝2PP 2→得(2，0)＝2(x －3，y －2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －6＝2， y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，即P 2＝(4，2)． 6．已知A(2，－1)，B(3，1)，若AB →与向量a 平行且方向相反，则a 的坐标可以是( ) A ．(1，12)B ．(2，1)C ．(－1，2)D ．(－4，－8)答案 D解析 AB →＝(3－2，1＋1)＝(1，2)，设a ＝(x ，y)． ∵a ∥AB →且方向相反，∴y ＝2x<0. 令x ＝－4，y ＝－8.7．已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，x)，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2答案 D解析 依题意得a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6，4x －2)，∵a ＋b 与4b －2a 平行，∴3(4x －2)＝6(x ＋1)，由此解得x ＝2，选D.8．(高考真题·北京卷)已知a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________． 答案 19．已知向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，x)方向相反，则x ＝________． 答案 －1解析 由题意知a 与b 共线，则x 2＝1，∴x ＝±1， 又∵a 与b 反向，∴x ≠1，∴x ＝－1.10．(高考真题·陕西卷)已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m)，c ＝(－1，2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________． 答案 －1解析 由已知a ＋b ＝(1，m －1)，c ＝(－1，2)，由(a ＋b )∥c 得1×2－(m －1)×(－1)＝m ＋1＝0，所以m ＝－1.11．若点P(x ，1)在A(2，－4)、B(5，11)这两点的连线上，则x ＝________． 答案 312．平面内给出三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)，求解下列问题： (1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ； (3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k.解析 (1)3a ＋b －2c ＝3(3，2)＋(－1，2)－2(4，1)＝(0，6)． (2)∵a ＝m b ＋n c ，∴(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(3)∵a ＋k c ＝(3，2)＋k(4，1)＝(3＋4k ，2＋k)， 2b －a ＝2(－1，2)－(3，2)＝(－5，2)，又(a ＋k c )∥(2b －a )，∴(3＋4k)·2＝(2＋k)·(－5)．∴k＝－1613.►重点班·选做题13．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝S △PBC S △ABC ，λ2＝S △PCA S △ABC ，λ3＝S △PABS △ABC ，定义f(P)＝(λ1，λ2，λ3)．若G 是△ABC 的重心，f(Q)＝(12，13，16)，则( )A ．点Q 在△GAB 内 B ．点Q 在△GBC 内 C ．点Q 在△GCA 内D ．点Q 与点G 重合答案 A14．设A(x ，1)，B(2x ，2)，C(1，2x)，D(5，3x)，当x 为何值时，AB →与CD →共线且方向相同，此时A ，B ，C ，D 能否在同一直线上？解析 AB →＝(x ，1)，CD →＝(4，x)，AB →与CD →共线，则x 2＝4，x ＝±2. 又∵AB →，CD →同向，∴x ＝2.此时BC →＝(－3，2)，AB →与BC →不共线． ∴A 、B 、C 、D 不在同一直线上．15．已知点A(2，0)，B(2，2)，C(1，3)，O 为坐标原点，求AC 与OB 的交点D 的坐标． 解析 由题意知OB →，OD →共线，故存在实数λ，使OD →＝λOB →＝(2λ，2λ)．又AD →＝OD →－OA →＝(2λ－2，2λ)．AC →＝OC →－OA →＝(－1，3)，又∵AC →与AD →共线，∴(2λ－2)×3－2λ×(－1)＝0，解得λ＝34.故点D 的坐标为(32，32)．1．已知a ＝(－2，1－cos θ)，b ＝(1＋cos θ，－14)，且a ∥b ，则锐角θ等于( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．15°答案 A解析 由a ∥b 得－2(－14)－(1－cos θ)(1＋cos θ)＝0即12＝1－cos 2θ＝sin 2θ，即sin θ＝±22， 又∵θ为锐角，∴sin θ＝22，θ＝45°，故选A. 2．已知a ＝(2，－4)，b ＝(1，2)，c ＝(1，－2)，d ＝(－2，－4)，其中的共线向量有( ) A ．a 和b ；c 和d B ．a 和d ；b 和c C ．a 和c ；b 和d D ．以上都正确答案 C3．以下命题错误的是( )A ．若i 、j 分别是与x 轴、y 轴同向的单位向量，则|i ＋j |＝|i －j |B ．若a ∥b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则必有x 1y 1＝x 2y 2C ．零向量的坐标表示为(0，0)D ．一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标 答案 B4．(高考真题·广东卷)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)，若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2答案 B5．已知A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，0)，D(x ，y)，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________． 答案112解析 ∵AC →＝(－2，0)－(－1，－2)＝(－1，2)，BD →＝(x ，y)－(2, 3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4，2y －6)＝(－1，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝－1，2y －6＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112.6．设a ＝(1，2)，b ＝(－2，3)，若向量m a ＋b 与向量c ＝(－3，2)共线，则m ＝________． 答案 －587．在直角坐标系xOy 中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C 是∠AOB 的平分线与AB 的交点，则C 坐标为________．答案 (－12，32)8．已知a ＝(3，2)，b ＝(2，－1)，若λa ＋b 与a ＋λb (λ∈R )平行，求λ的值． 解析 λa ＋b ＝(3λ＋2，2λ－1)，a ＋λb ＝(3＋2λ，2－λ)． ∵λa ＋b 与a ＋λb (λ∈R )平行，∴(3λ＋2)(2－λ)－(2λ－1)(3＋2λ)＝0，即－7λ2＋7＝0，解得λ＝±1. 9．已知向量AB →＝(4，3)，AD →＝(－3，－1)，点A(－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P(2，y)满足PB →＝λBD →(λ∈R )，求y 与λ的值．解析 (1)设B(x ，y)．∵A(－1，－2)，∴AB →＝(x ＋1，y ＋2)＝(4，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝4，y ＋2＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.即B(3，1)．同理可得D(－4，－3)．∴线段BD 的中点M 的坐标为(3－42，1－32)，即M(－12，－1)． (2)∵PB →＝(1，1－y)，BD →＝(－7，－4)， ∴由PB →＝λBD →得(1，1－y)＝λ(－7，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，解得y ＝37，λ＝－17.10．已知a ＝(1，1)，b ＝(x ，1)，n ＝a ＋2b ，v ＝2a －b . (1)若n ＝3v ，求x ；(2)若n ∥v ，并说明此时两向量方向相同还是相反．解析 ∵a ＝(1，1)，b ＝(x ，1)，∴n ＝a ＋2b ＝(1，1)＋(2x ，2)＝(2x ＋1，3)，v ＝2a －b ＝(2，2)－ (x ，1)＝(2－x ，1)．(1)∵n ＝3v ，∴(2x ＋1，3)＝3(2－x ，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝6－3x ，3＝3，解得x ＝1.(2)∵n ∥v ，∴2x ＋1＝3 (2－x)，∴x ＝1.此时，n ＝(3，3)，v ＝(1，1)，n ＝3v ，∴n 与v 方向相同．11．在△ABC 中，已知点A(3，7)、B(－2，5)．若线段AC 、BC 的中点都在坐标轴上，求点C 的坐标．解析 (1)若AC 的中点在y 轴上，则BC 的中点在x 轴上，设点C 的坐标为(x ，y)，由中点坐标公式，得3＋x 2＝0，y ＋52＝0，∴x ＝－3，y ＝－5，即C 点坐标为(－3，－5)．(2)若AC 的中点在x 轴上，则BC 的中点在y 轴上，则同理可得C 点坐标为(2，－7)． 综合(1)(2)，知C 点坐标为(－3，－5)或(2，－7)．12．设点P 是线段P 1P 2上的一点，P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)、(x 2，y 2)． (1)当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2)当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标． 解析 (1)如图，由向量的线性运算可知OP →＝12(OP 1→＋OP 2→)＝(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．所以点P 的坐标是(x 1＋x 22，y 1＋y 22)(2)如图，当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，有两种情况，即P 1P PP 2＝12或P 1P PP 2＝2.如果P 1P PP 2＝12，那么OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋13P 1P 2＝OP 1→＋13(OP 2→－OP 1→)＝23OP 1→＋13OP 2→＝(2x 1＋x 23，2y 1＋y 23)，即点P 的坐标是(2x 1＋x 23，2y 1＋y 23)．同理，如果P 1P PP 2＝2，那么点P 的坐标是(x 1＋2x 23，y 1＋2y 23)．点评 本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式．教师充分让学生思考，并提出这一结论可以推广吗？即当P 1PPP 2＝λ时，点P 的坐标是什么？师生共同讨论，一起探究，可按照求中点坐标的解题思路类比推广，有学生可能提出如下推理方法：由P 1P →＝λPP 2→，知(x －x 1，y －y 1)＝λ(x 2－x ，y 2－y)， 即 ⎩⎪⎨⎪⎧x －x 1＝λ（x 2－x ），y －y 1＝λ（y 2－y ），⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ这就是线段的定比分点公式，教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探索，这是学习数学的重要品质．时间允许的话，可以探索λ的取值符号对P 点位置的影响，也可鼓励学生课后探索．13．设a ＝(6，3a)，b ＝(2，x 2－2x)且满足a ∥b 的实数x 存在，求实数a 的取值范围． 解析 由a ∥b 的条件得6(x 2－2x)－3a×2＝0. 即x 2－2x －a ＝0. ①根据题意，方程①有实数解，故有Δ＝4＋4a≥0，即a≥－1.。