高中数学说题比赛集锦李玉超说题共24页

04 中考数学解题技 巧探讨
选择题解题技巧
01
02
03
排除法
根据题目条件，逐步排除 错误选项，缩小选择范围 。
特殊值法
通过取特殊值或特殊位置 ，快速判断选项正确性。
图形结合法
利用图形直观展示题目条 件，便于分析和选择。
填空题解题技巧
观察法
观察题目所给数列、图形 等的变化规律，预测未知 项。
转化法
解答题解析
题目类型
解题技巧
解答题是中考数学中难度较大的题型 之一，主要考察学生的综合能力和数 学素养。
解答解答题时，首先要认真审题，明 确题目要求；其次要仔细分析题目所 给条件，找出解题的关键点；接着要 运用所学的数学知识和方法进行推理 和计算；最后要注意检查过程和结果 的正确性。
典型例题
例如，题目“已知抛物线 y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) 的顶点为 (1, -4)，且过 点 (3, 0)，求该抛物线的解析式。”， 通过分析可知，该抛物线的顶点式为 y = a(x - h)^2 + k，其中 (h, k) 为顶点 坐标。将顶点坐标和已知点坐标代入 解析式，可以求出 a、b、c 的值，进 而得到该抛物线的解析式。
仔细审题
认真阅读题目，理解题 意，明确题目要求和限
制条件。
分析问题
对问题进行深入分析， 找出问题的关键点和突
破口。
寻求解法
根据问题的特点，选择 合适的解题方法，如代 数法、几何法、数形结
合等。
严谨求解
在解题过程中，要保持 严谨的态度，注意细节
和计算准确性。
压轴题的实战演练
选择典型题目
选取具有代表性的压轴题进行 实战演练，帮助学生熟悉压轴

试题出处：2011年高考数学辽宁理科第21题已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-（1）讨论()f x 的单调性；（2）设0a >，证明：当10x a <<时，11()()f x f x a a+>-； （3）若函数()y f x =的图像与x 轴交于A B 、两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：0()0f x '<1说题目立意（1）考查常见函数的导数公式（包括形如()f ax b +的复合函数求导）及导数的四则运算法则；（2）考查对数的运算性质；（3）导数法判断函数的单调性；（4）考查用构造函数的方法证明不等式；（5）考查分类讨论、数形结合、转化化归等思想。

2说解法解：()f x 的定义域为(0,)+∞ 定义域优先原则1(21)(1)()2(2)x ax f x ax a x x+-'=-+-=- 若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增；若0a >，则由()0f x '=，得1x a=， 当1(0,)x a ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增； 分类讨论的思想 当1(+)x a ∈∞，时，()0f x '<，()f x 单调递减；归纳小结：本问主要考查导数法确定函数单调性，属导数中常规问题。

（2）分析：在函数、导数的综合题中，不等式证明的实质就是转化成函数求最值。

本问只要考查构造函数法，完成不等式的证明。

形如11()()f x f x a a +>-的不等式叫“二元不等式”，二元不等式的证明，多采用“主元法”。

方法一：构造以x 为主元的函数 设函数11()()()g x f x f x a a=+--则()ln(1)ln(1)2g x ax ax ax =+---32222()2111a a a x g x a ax ax a x '=+-=+-- 当10x a<<时，()0g x '>，而(0)0g =，所以()0g x > 故当10x a <<时，11()()f x f x a a+>-。

二、解题分析
1、策略分析
二、解题分析
2、解题分析及评价：第1问
解法 1：利用基本元与基本关系求解（等差数列通常转化为首项和公差来求解）——方程思想 由题知 sn sn1 (n 1)d a1 (n 1)d sn a1 2(n 1)d a1 (n 1)2 d 2 当 n 2时 an sn sn1 2d a1 3d 2 2nd 2 （﹡） 又 2a2 a1 a3 2(2d a1 d 2 ) a1 2d a1 3d 2 得 a1 d 代入（﹡）得当 n 2时 an (2n 1)d 2 又 a1 d 2 适合上式 所以 an (2n 1)d 2 (n N )
点评：从等差数列定义出发，利用等差中项的知识把问题转发为对 sn 的前 3 项研究，
最后化归为对an 的研究，体现了有一般到特殊及化归思想。
二、解题分析
2、解题分析及评价：第1问
解法 4：利用数列性质求解： sn 是公差差数列，则从第 2 项起an 是等差数列，
n 3
an an1 (sn sn1) (sn1 sn2 ) ( sn sn1 )( sn sn1 ) ( sn1 2d 2
二、解题分析
3、变式与拓展：不改变题目条件下由题目背景及推广可产生一系列变式题
第①问
变式 1：求 a1
变式 2：求证数列an 为等差数列
第②问 变式 3：设 c 为实数，对满足 m n tk （ t 为非零常数）且 m n 的任意正整数，
不等式 sm
sn
csk 都成立，求证 c
t2 2
（或求 c 的取值范围）
②《新课程标准》要求在数列的教学中，应保证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习， 掌握数列中各量之间的基本关系，注重应用，关注学生对等差等比数学模型本质的理解，探 究并掌握它们的一些基本关系，感受这两种模型的应用，并利用它们来解决实际问题。

1 3x
AM

1 3y
AN
三.例谈命题
（3）M、N、G 三点共线
A
M
G N
【论题】M、N、G 三点共线，A 为平面内一点，若 AG xAN y AM, 则 x y 1
【论证】M、N、G 三点共线，存在实数 ，使得 MG MN(0 1)
即 AG AM (AN AM) ， 所 以 AG AN (1 )AM xAN y AM, 而
人教 A 版八年级数学上册：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 【论题】重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1，
（如图，D、E 分别是 ABC的边 BC,AB 的中点，AD 与 CE 交于点 G，求证：AG: GD 2 :1 ）
A
【论证】
E
F
G
B
C
D
过 D 作 DF // CE 交 AB 于 F，因为 D 为 BC 中点，所以 F 为 BE 中点，（平行线分线段
选择题 12
填空题 15
解答题 21
改编：
原创
试题来源：模拟试题 试题来源：联考测试题，
难度 0.3，区分度 0.29 难度 0.45，区分 0.41
原创，试题来源：
1、教材 P32B 组 1（4 2、 2017 年（全国 II 卷（理）
难度 0.25，区分 0.4
创新性：由形到数
创新性，指数运算，整 化归与转化，类比思想、运
.
一.试题呈现
【解答题】
21.已知函数f
(x)

ln
x,
f
(x
1)

ax在其定义域内恒成立, 数列an 满足a1

递减，
x (1, x0 ) ， 使F (x) 0 ，这时不合题意.
综上，实数 a 的取值范围是 (,0] .
拓展引伸
解：（3）要证明 ex1 2ln x x 1 x对[1,)
成立，
只需证明 (ex1 ln x 1) (x ln x) 0 x 对[1,)
成立.
由（2）求解知，当 a 0 时，ex1 ln x 1 0 x对[1,)
2.导数的运算
①能根据导数定义求函数 y C(c为常数），
②y能利x,用y下 面x2给, y出 的x3基,y 本1x初, y等函数x 的导数的公导式数和导数的四则运
算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形
如 f (ax b) ）的复合函数的导数。
试题立意
一、高考考纲
ห้องสมุดไป่ตู้
3.导数在研究函数中的应用 ①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调 性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。 ②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求 函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）； 会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不 超过三次）。
4.生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题。
试题立意
二、试题考察目标
本题考查导数的计算、导数的应用、导数的几何意义以及利用导数讨 论函数的单调区间和极值的方法,考查考生灵活应用导数工具分析问题、解 决问题的能力。
试题立意
三、学情分析
1. 目前学生的状况是基础知识，基本技能掌握不牢，尤其 是对平时容易忽视，混淆的知识点。
且在 x [0,) 上f，''(x) (1 4x x2 )ex 0

1、选题为解三角形题，是历年高考的必考点。一题为2022年全国甲卷第16题， 二题为2020年新课标2卷理科第17题
2、解三角形在高考中主要以简单、基础题出现，考察内容与三角函数、向量、 均值不等式结合的较多。题型设置主要是一道选择题加一道解答题，难度以简单基 础为主。因此，高考中是学生必须拿下的一块阵地，也是学生学习、考试由浅入深 的关口。
一题多解，多题归一
各位老师，您们好： 我今天要说的题目是:
一、已知
中，点D在边BC上，
二、△ABC中，sin²A- sin²B- sin²C =sinBsinC. （1）求A; （2）若BC=3，求△ABC周长的最大值。
．当 取得最小值时，
________．
1
2
3
题目背景 解题思路 变式迁移
一、题目背景
3、考察学生代数推导、数学运算、解题优化的思想和能力。
二、解题思路
一．填空题【2022年全国甲卷】已知
中，点D在边BC上，
．当
取得最小值时，
________．
【分析】 利用余弦定理表示出
后，结合均值不等式即可得解.
【解】 设
，则在
中，
，在 ，所以
中，
，当且仅当
即
时，等号成立，所以当
取最小值时，
二、解答题【2020年新课标2卷理科】
四、反思
1、 在日常教学中，通过不断的变式，运用数学转化的思 想，加深对题意的理解，让学生在充分的交流与合作中加深 对问题的认识。
2、引导他们探索数学问题的解题方法，做一题，通一类， 会一片。更重要的是可以提高学生的化归迁移的思维能力和 思维灵活性。引领学生善于思考，提高他们分析问题和解决 问题，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．

3、利用几何法化简式子，也进行了消元，但在 解题中忽略了判别式，缺乏严谨性；
已知直线 y k (x 2)(k 0)与抛物线 C:y 2 8x 相交 A、B 两
点，F 为 C 的焦点.若 FA 2 FB ,求 k 的值.
(
设 A、B 两点坐标分别为（x1,y1）,( x2,y2)
BN = 2 AM
解 法 一 ：
结束语
我想，如果拿到一个题目，作为教师都能这 样深入去观察、分析、解决与反思，那必能起到 以一当十、以少胜多的效果，既可以增大课堂的 容量，又可以培养学生各方面的能力，特别是自 主探索，不断创新的能力。如果在教学中能够尝 试让学生自己说题，讲题，相信教学的效果会更 好。
我想今后我会继续努力深入去研究课本的例 题、习题和全国各地的高考试题，不断追求新知， 完善自己，将说题的意识进行到底。
说拓展
变式1（类比）： 已知直线 y k (x 2)与抛物线 C:y 2 8x 相交 A、B 两点， F 为 C 的焦点.若 FA 2 FB ,求 k 的值.
变式2（进一步提升）：
已知直线 y k (x a)与抛物线 C: y 2 8x 相交 A、B 两 点，F 为 C 的焦点.若 FA 2 FB ,求 k 的值.
x1 x2
8 4k 2 k2
x1x 2 4
(2x 2 2)x 2 4 x 2 2(舍)或x 2 1
y2 2 2
k 22 3
缺乏严谨性
已知直线 y k (x 2)(k 0)与抛物线 C:y 2 8x 相交 A、B 两
点，F 为 C 的焦点.若 FA 2 FB ,求 k 的值.
设 A、B 两点坐标分别为（x1,y1）,( x2,y2)
翻译——代数讨论——翻译

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2013年农垦总局赛课
题目出处：

2012年普通高等学校招生全国统一 考试（北京卷）数学文科第5题
1 函数 f x x 的零点个数 2
1 2 x

D.3
A.0
B.1
C.2
母题可见于必修1第三章复习参考题第六题
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2013年农垦总局赛课

2 3、若二次函数 y x mx m 2 的零点为整数，求m的值。
解法一
解法二
解法三
采用零 点分析法
利用 韦达 定理法
变形 联立方 程组法
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2013年农垦总局赛课

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2013年农垦总局赛课
参赛者：李英杰
农垦九三分局第二高级中学
2013年农垦总局赛课

说题引入 试题内容结构 试题背景
解法分析 拓展变式
高考链接
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2013年农垦总局赛课

说题引入
数学解题是数学 学习中不可缺少的 核心内容，数学解 题的思维实质是发 生教学。解题是一 种认识活动，是对 概念、定理的继续 学习，是对方法的 继续熟练，而不仅 仅是“规则的简单 重复”
或“操作的生硬执 行”。寻找解题思 路的过程就是寻找 条件知识与结论知 识之间的逻辑联系 或转化轨迹的过程. 在这个过程中，激 活知识、检索知识、 提取知识、组织知 识，使解题与发展 同行。
2013年农垦总局赛课
当0<a<1时1解或3解
y
10
1.2
9
8
y
1
7

2、拓展（阿基米德三角型 ） 过任意抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线 交与A、B两点，分别过A、B两点做抛物线的 切线L1,L2相交于P点。那么△PAB称作阿基 米德三角型。该三角形满足以下特性： 1、P点必在抛物线的准线上 ； 2、△PAB为直角三角形，且角P为直角 ； 3、PF⊥AB（即符合射影定理）； ……
题目：
已知直线 y k ( x 2)(k 0) 与抛物线C:
y 2 8x
相交A、B两点，F为C的焦点.若 FA 2 FB ,求k的值.
一、说题目
学生读题后认识大致有下列四个层次：
1.看到了两个方程（直线方程和抛物线方程）和一个等量关系：
y k ( x 2)(k 0) y 8x
8 ky 8 y 16k 0. 于是 y1 y 2 , y1 y 2 16. k
2
由抛物线定义将条件
FA 2 FB 转化为
2 2 y1 y2 。 2 2( 2), 即 ， 8 8
y 2 y 16
2 1 2 2
2 2 y 2 y 解得 1 2 ，从而解得 k 3
1
,
1 (2) 3 点评：解析几何的问题首先是几 何问题。本题是这种思想的深刻 体现和典型范例，通过巧妙利用 几何关系，以及抛物线相关基础 知识，而使得问题得到解决。这 归功于熟练的几何意识与平时训 练有素的练习。
三、说背景
1、本质： 我认为这题的本质是：经过焦点的 两条焦点弦倾斜角互补则端点弦所 在直线恒过准线与对称轴的交点。 （能够证明）
2 由 x1 x 2 4 得 2( x2 1) x2 4 x2 x2 2 0 x2 1
或ห้องสมุดไป่ตู้

直线AC：y=-6x-2
E(1,0)
直线AB：y=-2x+2
Ｓ＝ED×h÷2=8/3
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D(1,0)
四、说思想
本题是一道一次函数与反比例函数的综合性问题， 并结合三角形相似进行考察，难度偏低，主要考察 学生基础内容的掌握与灵活运用的能力。
本题渗透数形结合思想、方程思想，启发学生灵 活利用几何和代数方法解题的意识，培养学生图形 识别和观察能力，提升了学生学以致用的能力。
分析：题目中没有给出某一个点的具体坐标， 所以需要我们寻找突破点S△AOB=3.利用代 数法求解本题较为简单。设A（x，m/x）， 所以S△AOB=x·m/x÷2=3，m=6. m求出后，利用一次函数的图像，△ACB的 面积便可以顺利求解。
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拓展延伸二：数形结合解难题
如图，正比例函数
y
1 2
x的图象与反比例函数
y
k x
(k
0)在第一象限的图象
交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果为反比例函数在第一象限图象上的点（点与点不重合），且点的
横坐标为1，在轴上求一点P，使PA+PB最小。
解析：
B
P C
【总结】在解决函数与几何综合题目时，不仅需要清楚函数知识，而且 还需要掌握好几何知识，画出图形，利用数形结合的思想解题。
本题分为两个小题，由易到难。对学生的识图辩图能 力、分析能力、计算能力的要求较高，总之本题立足课 标，注重基础，强调能力，综合性较强，关注学生能力 的发展。
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三、说解答策略
本题第一问：求一次函数与反比例函数的解析式

高中数学,说题稿篇一：高中数学说题稿会做得全分——“讲好，练好，考好”基础考点考题佛冈一中数学科组各位评委，各位老师，大家好。

我是8号邓顺平。

基于三角函数在高考中主要以简单、基础题出现，我的说题标题是《会做得全分——“讲好，练好，考好”基础考点考题》，我将从以下六方面展开：一、原题背景：17．（本小题满分12分）已知函数f?2cosx?1，x?R．（Ⅰ）求函数f的最小正周期；（Ⅱ）求函数f在区间??上的最小值和最大值．84这是一道07年天津理科高考试卷第17题，也是第一道大题。

主要考查的是高中数学人教版必修4的三角函数。

条件是有关三角函数的解析式，问题是求相关性质：周期，给定定义域范围内最值。

虽然这是一道老题，但这恰恰体现了他的经典。

这一章节知识内容也是我们广东历年高考的必考内容，因为他能够涉及较多高中数学学习的基础内容，思想方法，逻辑思维等。

他的题型设置主要是一道选择题加一道解答题，分值一般17分，考查内容与解三角形、向量结合的较多。

考查难度以简单基础为主。

因此对于数学学的比较薄弱的学生是一个必须拿下的阵地，也是学生学习、考试由浅入深的关口。

该题通过考查三角函数中特殊角三角函数值、倍角公式、化一公式、函数y?Asin的图像性质等基础知识，考查基本运算能力．实现高考考试大纲要求。

（考纲）2．三角函数理解任意角三角函数的定义。

能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y?Asin 的图像，了解三角y?Asin 函数的周期性。

理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质，理解正切函数在定义域内的单调性。

理解同角三角函数的基本关系式：了解三角函数的物理意义；能画出三角函数的图像。

了解参数对函数图像变化的影响。

会用三角函数解决一些简单实际问题，了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

二、解题方法此题第一问主要是考查倍角公式，化一公式，参数对函数性质影响，周期公式，数学运算变形技巧等方面。

将多个三角函数化为一角一函数化归思想cossincossincossin是一条对称轴由于三角函数对称轴处恰为解法五导数法sin2cos已知函数则实数sincostan所在的直线为已知函数sincoscossincossin202032416的范围可以是于直线对称202032418202032419定义域为函数图象关于r满足定义函数y则函数图象关于原点奇函数中心函数y则函数定义域为r周期为t满足定义函数周期为t2定义域为r满足关于函数y则函数周期为t2定义域为r满足数周期为t4知识准备知识准备1
（y轴、偶函数）
拓 展
抽象函数对称性
2.函数y=f (x)定义域为R，满足
f (a x) f (b x)则函数图象
特例关：于点
a
2
b
,
0对称
1）若f (a x) f (ax),则?对称中心a，0
拓 展
2）若f (2ax) f (x),则对称中心a，0
fx = cosx
4 5 6 x
4 5 6
（ 2014湖 南 ， 理 9） 已 知 函 数 f(x)sin （ x-）
2
且3 0
f(x)dx0， 则 函 数 的 一 条 对 称 轴
A．x
5 6
B．x 7
12
C．x
3
D．x 6
高 考
0
， 4

B．
4
， 2

变 式
C． 2
，3 4

D． 34
，


抽象函数对称性
1.函数y=f (x)定义域为R，满足 f (a x) f (b x)则函数图象
关于x= a b 对称 特例： 2 1）若f (a x) f (a x)，则对称轴为x a 2）若f (2a x) f (x)，则对称轴为x a 3）若f (x) f (x)，则对称轴为x 0