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高中数学说题示例_说课稿
说题题目：已知函数
若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_______.
(1)本题是一个分段函数填空题，分段函数一般都有较真实的生活背景，是新课程加强数学应用的重要体现，是高中数学中的重要函数模型，也是高考中的常考题型之一，应该要求学生具备熟练解决分段函数类的多数问题。
(2)求f(x)=k有两个不同实根时k的范围，看似研究方程，实则是考查学生对函数方法的掌握程度，即通过对f(x)的图像分布和值域的探究为载体，考查学生对反比例函数、三次函数等基本函数的图像及其平移变换以及分类思想的把握，最终采用以形助数的方法得到k的范围。
(3)教学中引导学生画出f(x)的图像时，应指出作反比例函数图像要利用好渐近线，作三次型函数图像时要利用y=x3的图像作为基本模型，然后利用平移实现快速准确作出y=(x-1)3的图像，最后是要注意分段函数的分界点的利用。
根据图像看出答案时，要看学生对端点和边界把握情况，必要时作出强调。
板演：教师在黑板上画出函数f(x)图像并写出准确答案即k的取值范围是(0，1)。
(4)如果学生直接利用方程来解本题，我们不能简单否定。
可以从命题者的立意上引导学生主要从数形结合角度去寻找解题思路，同时，也可以给出从解方程的角度的完整解法如下：。
试题出处：2011年高考数学辽宁理科第21题已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-（1）讨论()f x 的单调性；（2）设0a >，证明：当10x a <<时，11()()f x f x a a+>-； （3）若函数()y f x =的图像与x 轴交于A B 、两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：0()0f x '<1说题目立意（1）考查常见函数的导数公式（包括形如()f ax b +的复合函数求导）及导数的四则运算法则；（2）考查对数的运算性质；（3）导数法判断函数的单调性；（4）考查用构造函数的方法证明不等式；（5）考查分类讨论、数形结合、转化化归等思想。
2说解法解：()f x 的定义域为(0,)+∞ 定义域优先原则1(21)(1)()2(2)x ax f x ax a x x+-'=-+-=- 若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增；若0a >，则由()0f x '=，得1x a=， 当1(0,)x a ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增； 分类讨论的思想 当1(+)x a ∈∞，时，()0f x '<，()f x 单调递减；归纳小结：本问主要考查导数法确定函数单调性，属导数中常规问题。
（2）分析：在函数、导数的综合题中，不等式证明的实质就是转化成函数求最值。
本问只要考查构造函数法，完成不等式的证明。
形如11()()f x f x a a +>-的不等式叫“二元不等式”，二元不等式的证明，多采用“主元法”。
方法一：构造以x 为主元的函数 设函数11()()()g x f x f x a a=+--则()ln(1)ln(1)2g x ax ax ax =+---32222()2111a a a x g x a ax ax a x '=+-=+-- 当10x a<<时，()0g x '>，而(0)0g =，所以()0g x > 故当10x a <<时，11()()f x f x a a+>-。
《2011福州市质量检查数学试题5》说题稿长乐二中 数学组 黄燕云各位.老师你们好：我今天说题的题目是《一题多解，多题归一》，我说题的内容分为以下几个方面：一. 原题再现:本题出自2011年福州市质量检查试卷的选择题第五题：5．已知函数则它的最大值为（ CB . 2 D.二. 能力考查：它选自2011年福州数学质检卷，知识点涉及已知函数求最值问题，可考查学生的观察与归纳，化归与转化，函数与方程，数与形等知识能力三. 设计理念：在教学中引导学生从不同角度、不同知识、不同的思想方法来思考同一个问题，能使各个层次的学生都达到一定的效果，也能使学生从单一的思维模式中解放出来，达到以创新方式来解决问题，培养学生思维的开阔性、发散性和灵活性。
四. 解题指导：（1）、数学思想：转化、数形结合的数学思想（2）、解题方法：四种（3）、解法如下：解法1，函数单调性 1、求导;2、令导数为零，求出相应方程的根;3、求出极值，端点的函数值;4、比较得出最值.解法2，平方法解法3，基本不等式 22max 13443,118y y x x y x y y ⎡⎤⎣⎦==-+++=+=+=-=-=把函数的根据二次函数的性质，显然当时的最大值为，即C ）2222222222222224222a b ab a b a b ab a b a b a b a b +≥++≥+++++⎛⎫≥≤ ⎪⎝⎭在基本不等式，有两边同时除以，整理得，即，y =+3解法4，三角代换五．拓展变化1、变式该题可以从已知求证变，也可以从隐藏条件，式子结构进行变式2、该题的变式题可以设计出如下一些：变式1：变式2：变式3：六、小结：这道简单的模拟题我想到了四种思路解法和三个变式题，一叶而知秋，我们可想数学世界里有多少这样的“数学美”。
所以在我们数学教学的过程中，不能盲目的追求数量不顾质量，采用题海战术，而更应该去教会学生思考，善于思考，进行一道题目多思路解法的训练和变式训练，更能让学生的思维迁移、发散、开拓和活跃，提高学生思维的敏捷性和灵活性，从而提高分析与解答数学题的能力。
高中数学说题示例说题题目：已知函数事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。
不记住那些基础知识,如何会向高层次进军?专门是语文学科涉猎的范畴专门广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时刻让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。
如此,就会在有限的时刻、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。
日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。
若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取值范畴是_______.(1)本题是一个分段函数填空题，分段函数一样都有较真实的生活背景，是新课程加强数学应用的重要表达，是高中数学中的重要函数模型，也是高考中的常考题型之一，应该要求学生具备熟练解决分段函数类的多数问题。
(2)求f(x)=k有两个不同实根时k的范畴，看似研究方程，实则是考查学生对函数方法的把握程度，即通过对f(x)的图像分布和值域的探究为载体，考查学生对反比例函数、三次函数等差不多函数的图像及其平移变换以及分类思想的把握，最终采纳以形助数的方法得到k的范畴。
(3)教学中引导学生画出f(x)的图像时，应指出作反比例函数图像要利用好渐近线，作三次型函数图像时要利用y=x3的图像作为差不多模型，然后利用平移实现快速准确作出y=(x-1)3的图像，最后是要注意分段函数的分界点的利用。
依照图像看出答案时，要看学生对端点和边界把握情形，必要时作出强调。
板演：教师在黑板上画出函数f(x)图像并写出准确答案即k的取值范畴是(0，1)。
一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。
这儿的“师资”，事实上确实是先秦而后历代对教师的别称之一。
《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”因此也指教师。
数学说题稿我所选的题目是第二题：2、已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值． 解题过程解：（Ⅰ）（Ⅱ）下面是我对该题的看法：一．考点分析该题涉及的考点有：三角恒等变换；函数f （x ）=Asin （ωx+φ）+b 的性质。
理由是：三角函数是高中数学的重点章节，而三角函数的核心问题是三角恒等变换，求解三角恒等问题也是高考的热点问题，是每年的必考内容之一。
一般出现在第16题。
二．学情分析及对策该题对学生能力的要求有：要求学生熟悉公式之外还要求学生掌握三角恒等变换的基本思想和方法，能够依据三角函数式的特点建立公式进行变换；要求学生具备相应的推理能力和运算能力，主要体现在变换和建立公式的过程当中会正用、逆用公式；明确三角变换的基本思路：一角二名三结构。
我班学生的具体情况：我班学生是文科普通班的学生，推理能力和运算能力一般，可以通过平时练习进行提高，引导学生发现三角函数式中的差异：如角的差异、函数名的差异以及结构形式的差异，把握解题方向，运用化归思想将题目转化为f （x ）=Asin （ωx+φ）+b 的形式再求解。
三、试题的拓展及变化求函数f（x）最大值（最小值）以及使得f（x）取得最大值（最小值）的x的集合；求函数f（x），x∈π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的值域；求函数f（x），x∈π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的单调曾区间；四、命题的趋势和方向预测给出最小正周期T求ω；求A；三角函数与向量的综合题；三角函数与解三角形的综合题。
说题比赛的题目（高中）一、题目1：已知O 是坐标原点，点()1,1-A ，若点()y x M ,为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点，则OMOA ⋅的取值范围是（ ）A 、[]0,1-B 、[]1,0C 、[]2,0D 、[]2,1-1、题目背景本题是2011年福建高考理科第8题，以向量运算为切入点，以不等式组所表示的平面区域为载体，以对学生数形结合思想、化归转化思想考查为突破口，重点考查了不等式组表示平面区域、向量运算、最值问题等基础知识以及解决数学问题的运算能力．因此，在本题的问题解决过程中，学生要注意以下几个方面：（1）是否掌握了利用不等式组表示平面区域的方法； （2）是否掌握了向量的运算；（3）是否掌握了求最值问题的基本方法； （4）是否掌握了数形结合、化归转化的数学思想与方法．本题可以在课本必修5第91页练习第1题的小题(2)找到原型题．题目：求y x z 53+=的最大值和最小值，使y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤≤+3511535y x x y y x两题目条件一样，解题方法也一样，只是线性目标函数的体现形式不同，但又可以转化为一样：设()y x M ,为可行域内任一点，()5,3A ，则OM OA y x z ⋅=+=53，体现了近年来高考试题“追根溯源，回归课本”，“源于课本，高于课本”的理念，因此我们在高考复习中应当充分重视课本，研究课本，汲取课本的营养价值，发挥课本的示范功能． 2、解法探究 方法一：目标函数法解析：b x y y x OM OA b +=+-=⋅=,，作出可行域如图所示，由图1可知：当直线b x y +=经过D 点时，纵截距b 取得最大值，则2max =b ；经过C点时，纵截距b 取得最小值，则0max =b ．所以，OM OA ⋅的取值范围为[]2,0 [O ，2]，故选C ．评注：解题过程中，关键是利用向量运算y x OM OA +-=⋅，将问题转化为求目标函数b x y +=在可行域内纵截距b 的取值范围，化难为简，注重考查数形结合思想、化归转化思想等，考查学生对基本思想和基本数学方法的掌握程度．根据目标函数的几何性质，通过数形结合寻找最优解，这是解决线性规划问题的常规方法． 方法二：向量法解析：作出可行域如图2所示，AOM AOM OM OA ∠=∠=⋅cos cos ，所以，OM OA ⋅的最值信赖于OM 在OA 方向上的投影的最值，由图可知：当点M 运动到点D 时，OM 在OA 方向上的投影最大，()()()22,01,1max=⋅-=⋅=⋅OD OA OM OA ；当点M 运动到点C 时，OM 在OA 方向上的投影最小，()()()01,11,1min=⋅-=⋅=⋅OD OA OM OA ．所以，OM OA ⋅的取值范围为[]2,0[O ，2]，故选C ．评注：向量中的投影也是实现目标函数几何化的重要载体，为我们解决线性规划问题筑起一个崭新的方法平台，并且利用向量工具解决此类问题，目标函数的几何意义更直观、更形象，解题过程操作性更强． 3、 试题价值平面向量作为一个基本工具，在数学解题中有着极其重要的地位与作用，而将它的思想延伸到解决线性规划问题，可谓匠心独特．这不仅仅是知识层面上的交汇，更重要的是思想上、方法上的交汇，不仅有效实现了数学知识和方法的整合，同时对于学生创新意识的培养大有裨益．引申变式一、已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x ，则1+x y 的最大值为___________．解析：作出可行域如图3所求，设()y x M ,为可行域的任意一点，()01，A -，则()y x AM ,1+=与向量()0,1夹角的余弦为()2211cos yx x +++=θ，由图可知：当点M 在点()2,0D 处时，θcos 取得最小值55，而此时θtan 取得最大值2，故1+x y 的最大值为2．引申变式二、已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x ，则22--=y x z 的最大值为___________．解析：作出可行域如图4所示，将目标函数转化为522522--⋅=--=y x y x z ，则所求的问题化归为求可行域内的点()y x M ,到直线 022=--y x 距离的5倍的最大值．由图可知，当点M 在()2,0D 处时，它到直线022=--y x 距离最大，此时在直线022=--y x 上取一点()0,2N ，则点M 到直线022=--y x 距离的最大值为d =max ，又()()2,1,2,2-=-=n ND，则654255max =+⋅==z ．我们在解决有关线性规划问题时，若能站在向量的角度，利用向量的观点，高屋建瓴，有意识地强化用向量解题，就能变单向思维为多向思维，逐步完善学生的认知结构，提高学生的解题能力．二、题目2：如图1，已知椭圆E 经过点()3,2A ，对称轴为坐标轴，焦点21,F F 在x 轴上，离心率21=e ． (1)求椭圆E 的方程；(2)求21AF F ∠的角平分线所在的直线的方程．1、题目背景这道题是2010年高考数学安徽卷文科第17题，完全符合新课标的目标要求，即“了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题(直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题．”本题是以椭圆为背景考查椭圆的方程及直线的方程．试题背景是大家熟悉的椭圆与角平分线的有机结合，使题目内容饱满、丰富．从知识角度看，能够考查学生对椭圆的方程、直线方程以及角平分线的性质理解程度；从能力角度看，区分学生的运算能力、综合分析能力．有效地考查了学生的层次性和差异性．主要表现在对所提供的条件以及对有关概念的准确理解，通过运算、推理，可以求得问题的正确解答．尤其通过图形，抓住问题的本质，做特殊化处理，得到不同的解题思路，这样既考查了学生能否准确地抓住问题的本质，又能考查学生思维的灵活性和创造性．故此题虽小，其中的“巧”“活”注入了经典题的“灵性”，其中所含的“能力立意”既蕴含数形结合的数学思想方法，也凸现在文字、符号、图形之中，这样的题一定会成为“亮点”题． 2、解法探究对于第一问，容易求得椭圆的方程是1121622=+y x ，下面仅对第二问进行解题探究．1．抓住“角平分线”的概念作为突破口从上述分析可知，题目涉及的知识点除去椭圆及离心率外，剩下的就是“角平分线”这个知识点，也是第二问涉及的一个概念．根据“角平分线”的概念、性质进行联想，角平分线具有对应的角的对称轴、内角平分线定理等等，自然形成下面几种解法．解法1：如图2，1F 关于直线l 的对称点是B 点，对称点B 必然在直线2AF 上，并且有51==AF AB ，由于x AF ⊥2轴，32=AF ，故点B 的坐标为()22-，所以直线B F 1的斜率2122021-=+--=k ，即可得直线l 的斜率是2=k ，所以所求角平分线所在直线l 的方程为()223-=-x y ，即012=--y x ．解法2：由题设知，()()52,3,3,2,0,22122=-==AF a AF AF A F ，设21AF F ∠的角平分线所在的直线交x 轴于点C ，点C 在线段21F F 上，点C 的坐标为()0,m ，根据角平分线的性质定理知2121CF CF AF AF =，则()mm ---=2235，解得21=m ，所以点2203,0,21=--=⎪⎭⎫⎝⎛m k C AC ，由点斜式，可得所求角平分线所在的直线l 的方程为012=--y x ．解法3：由题设知，()()()3,2,0,20,221A F F -，设21AF F ∠的角平分线所在的直线交x 轴于点C ，点C 在线段21F F 上，根据题意易知21AF F ∆为直角三角形，而且54,31212===AF ，F F AF ，根据角平分线的性质定理知352121==AF AF CF CF ，由和比性质335221+=+CF CF CF ，化简得232=CF ，由斜率的定义得2tan 222==∠=CF AF ACF k AC ，故而可得所求角平分线所在的直线l 的方程为012=--y x ． 归纳：上述的三种解题方法，完全利用了角平分线的性质(对称性、角平分线性质定理等)进行解题，方法自然顺畅，容易想到思路，过程简单、简捷．2．抓住“角平分线”的“几何意义”作为突破口由第一问的椭圆性质和角平分线的几何意义可知，条件所涉及的“角平分线”一定通过直角21AF F ∆的内心，再根据直角三角形的内切圆的性质也可以解决；或利用点到直线的距离公式、点关于直线的对称等基础知识来体现解析几何的基本思想方法；或利用向量的几何性质进行解决此问题．故容易得到下列方法．解法4：如图3，由题意可以得到Rt 21AF F ∆，其中54,31212===AF ，F F AF ，借助直角三角形的内切圆的性质得：内切圆的半径1=r ，又x AF ⊥2轴，22=OF ，结合图形易求得内切圆的圆心坐标为()1,1，故角平分线所在的直线的斜率为2=k ，从而可得所求角平分线所在的直线l 的方程为012=--y x ．解法5：根据题意可知，()()0,20,221F F -，直线1AF 的方程为0643=+-y x ，直线2AF 的方程为2=x ．再由点A 在椭圆上的位置可知，直线l 的斜率为正数．设()y x P ,为l 上的任一点，则有方程25643-=+-x y x ，从而可得所求角平分线所在的直线l 的方程为012=--y x ．归纳：内切圆的圆心就是三角形的内角平分线的交点，依此对题目进行剖析，梳理思路，在解题过程应用中显得很“巧”．3．抓“角平分线”的关键词“角”作为突破口角平分线就是这个角的对称轴，借助三角函数的知识，或利用容易求得的焦点三角形的面积公式来体现对应角的关系，或根据在“同圆(等圆)中相等的圆周角所对的弧相等、弦相等”的性质，进而求得角平分线所在直线的斜率，自然可知其方程．依此思路可以得到下面的解法．解法6：根据题意可知，()()()3,2,0,20,221A F F -，且有Rt 21AF F ∆，其中4,3212==F F AF ，可以设()002190,0,2∈=∠ααAF F ，由34tan 1tan 22tan 2=-=ααα，解方程得21tan =α或2tan -=α(舍去)，在Rt 21AF F ∆中，()2cot 90tan 0==-=ααl k ，故所求角平分线所在的直线l 的方程为012=--y x ．解法7：设 ()002190,0,2∈=∠ααAF F ，椭圆的焦点三角形Rt 21AF F ∆的面积公式得αtan 2b S =∆，又122221==⨯∆S AF F F ，从而解得21tan =α，故2cot ==αl k ，从而可得所求角平分线所在直线l 的方程为012=--y x ．归纳：上述解题方法，反映了解析几何问题最常用、最基本的解决方法：解析法、几何法等．都是从“角平分线”的“角”作为突破口进行探索，发现角平分线就是这个角的对称轴的几何特征，借助三角函数的知识，或利用容易求得的焦点三角形的面积公式来体现对应角的关系，或根据在“同圆(等圆)中相等的圆周角所对的弧相等、弦相等”的性质的策略与手段，进而求解得其方程．。
