浙江高考数学专题二立体几何第2讲空间中的平行与垂直课件

例3
如图1，已知菱形 AECD的对角线 AC， DE交于点 F，点 E为AB中点 .
将△ADE沿线段DE折起到△PDE的位置，如图2所示.
(1)求证：DE⊥平面PCF；
证明
(2)求证：平面PBC⊥平面PCF；
证明 因为四边形AECD为菱形， 所以DC∥AE，DC＝AE. 又点E为AB的中点，所以DC∥EB，DC＝EB， 所以四边形DEBC为平行四边形，所以CB∥DE. 又由(1)得，DE⊥平面PCF，所以CB⊥平面PCF. 因为CB⊂平面PBC， 所以平面PBC⊥平面PCF.
所以PD⊥AC.
又四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，
又PD∩BD＝D，PD，BD⊂平面PBD，
所以AC⊥平面PBD.
又AC⊂平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBD.
证明
②若 PD∥平面 EAC，三棱锥 P－EAD 的体积为 18 3，求 a 的值.
解答
思维升华 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下： (1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第 三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的 中位线定理证明线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进 行平行转换. (2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质； ②勾股定理；③线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一条直线 垂直于另一条直线所在的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.
解析
答案
热点二 空间平行、垂直关系的证明
空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定 理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化.
例2
(1)如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 的各棱长均为2， AA1⊥ 平面ABC， E，
F分别为棱A1B1，BC的中点.
①求证：直线BE∥平面A1FC1；
押题依据 命题方向.
以平面图形的翻折为背景，探索空间直线与平面位置关系，
可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，预计将成为今年高考的
押题依据 证明
(2)若BP＝BE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直
线与平面A1BE平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由.
解答
证明
热点三 平面图形的翻折问题
平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化，有的没 有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键 .一 般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上 的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折 以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是解决翻折问 题的主要方法.
中位线，
1 所以 CD＝2AB＝1， 因为二面角P－AB－E是直二面角，平面PAB∩平面EAB＝AB，PA⊂平面
PAB，PA⊥AB，
所以PA⊥平面ABE，
又因为AP＝2，
1 1 1 1 4 所以 VE－PAC＝VP－ACE＝3×2×AE×CD×AP＝3×2×4×1×2＝3.
解答
真题押题精练
真题体验 1.(2017· 全国Ⅰ改编)如图，在下列四个正方体中， A，B为正方体的两个
(1)(2018· 宁波模拟)已知直线l，m与平面α，β，l⊂α，m⊂β，则下列
命题中正确的是 A.若l∥m，则必有α∥β B.若l⊥m，则必有α⊥β C.若l⊥β，则必有α⊥β √ D.若α⊥β，则必有m⊥α
解析
答案
(2)如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，A，C是α内不 同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，B，C， D∉直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点.下列判 断正确的是 A.当CD＝2AB时，M，N两点不可能重合 B.M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交 √ C.当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交 D.当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行
跟踪演练 3
如图，在△PBE 中，AB⊥PE，D 是 AE 的中点，C 是线段 BE
1 上的一点，且 AC＝ 5，AB＝AP＝2AE＝2，将△PBA 沿 AB 折起使得二面 角 P－AB－E 是直二面角.
(1)求证：CD∥平面PAB；
证明
(2)求三棱锥E－PAC的体积. 解 由 (1) 知，直线 CD是 Rt△ABE 的
证明
押题预测 1.不重合的两条直线 m，n分别在不重合的两个平面 α，β内，下列为真命 题的是 A.m⊥n⇒m⊥β C.α∥β⇒m∥β √ B.m⊥n⇒α⊥β D.m∥n⇒α∥β
押题依据
空间两条直线、两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几
何的重点内容，也是高考命题的热点.此类题常与命题的真假性、充分条
证明
②平面A1FC1与直线AB交于点M，指出点M的位置，说明理由，并求三棱 锥B－EFM的体积.
解答
(2)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边 长为a的菱形，PD⊥平面ABCD，∠BAD＝60°， PD＝2a，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点. ①证明：平面EAC⊥平面PBD；
证明 因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
同的平面，下列命题中正确的是
A.若α⊥β，l∥α，则l⊥β
B.若l∥α，l∥β，则α∥β
C.若l⊥α，l∥β，则α∥β
D.若l⊥α，l⊥β，则α∥β √
解析
答案
(2)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面 β的交线，则下列命题正确的是 A.l与l1，l2都相交 B.l与l1，l2都不相交 C.l至少与l1，l2中的一条相交 √ D.l至多与l1，l2中的一条相交
跟踪演练2
如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点
E为棱PB的中点.
(1)若PB＝PD，求证：PC⊥BD；
证明
(2)求证：CE∥平面PAD. 证明 由E为PB的中点，连接EO，则EO∥PD， 又EO⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， 所以EO∥平面PAD. 由∠ADB＝90°及BD⊥CO，可得CO∥AD， 又CO⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以CO∥平面PAD. 又CO∩EO＝O，CO，EO⊂平面COE， 所以平面CEO∥平面PAD， 而CE⊂平面CEO，所以CE∥平面PAD.
证明
(3)在线段PD，BC上是否分别存在点 M，N，使得平面CFM∥平面PEN？ 若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
解答
思维升华 (1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口. (2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得 出矛盾则否定假设，否则给出肯定结论.
解析
答案
思维升华 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本 性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判 定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥 等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到 立体几何中.
跟踪演练1
(1)(2018· 湖州、衢州、丽水质检 )设l为直线，α， β是两个不
顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面
(1) MNQ不平行的是______.( 填序号)
解析
答案
2.(2017· 江 苏 ) 如 图 ， 在 三 棱 锥 A—BCD 中 ， AB⊥AD ， BC⊥BD ， 平 面 ABD⊥ 平面 BCD ，点 E ， F(E 与 A ， D 不重合 ) 分别在棱 AD ， BD 上，且 EF⊥AD. 求证：(1)EF∥平面ABC； 证明 在平面 ABD 内，因为 AB⊥AD ， EF⊥AD ，
[考情考向分析]
1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、 线面和面面平行和垂直的判定定理与性质定理对命题的真假进行判 断，属于基础题. 2. 以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关 系的交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载 体进行考查，难度中档．
内容索引
热点一 空间线面位置关系的判定
空间线面位置关系判断的常用方法 (1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决 问题． (2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线 面位置关系，并结合有关定理来进行判断．
例1
件和必要条件等知识相交汇，意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理
能力.
押题依据 解析 答案
2.如图(1) ，在正△ABC中， E，F分别是AB， AC边上的点，且BE＝AF＝ 2CF. 点 P 为边 BC 上的点，将△AEF 沿 EF 折起到△A1EF 的位置，使平面 A1EF⊥平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图(2)所示. (1)求证：A1E⊥FP；
所以AB∥EF.
又EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
证明
(2)AD⊥AC. 证明 因为平面ABD⊥平面BCD， 平面 ABD∩ 平面 BCD＝ BD， BC⊂平面 BCD ， BC⊥BD， 所以BC⊥平面ABD. 因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD. 又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC， BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC. 又AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.