16-17版 第1部分 专题4 突破点11 空间中的平行与垂直关系

空间几何的平行与垂直关系知识点总结空间几何是研究点、线、面等几何形体在空间中的相互关系和特性的学科。

在空间几何中，平行和垂直是两种重要的关系。

本文将总结空间几何中的平行与垂直关系的知识点。

一、平行关系平行是指两条直线或两个平面在空间中永远不会相交的关系。

平行关系在日常生活和工程建设中经常被应用到。

1. 平行关系的性质- 平行线与同一平面内的直线交线的两个内角是同位角，即两个内角之和等于180度。

- 平行线与同一平面外的直线交线的两个内角也是同位角，同位角性质适用于平行于同一平面内的两条直线。

2. 判定平行关系的方法- 平行线的判定：如果两条直线上有一点与第三条直线上的两个点重合，并且这两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线是平行线。

- 平行面的判定：如果两个平面上有一条直线与第三个平面上的两条直线重合，并且这两个平面分别与第三个平面平行，则这两个平面是平行面。

3. 平行线的性质- 平行线投影性质：平行于同一平面内的两条直线的等角投影相等。

- 平行线的方向性：平行线有确定的方向，可以延长或缩短，但方向不会改变。

二、垂直关系垂直是指两条直线或两个平面相交成直角的关系。

垂直关系在几何学、建筑学和物理学中都有广泛应用。

1. 垂直关系的性质- 垂直关系性质一：两个直角相等。

- 垂直关系性质二：两个互相垂直的直线或两个互相垂直的平面，其中一个与第三个垂直，则它们与第三个也是垂直关系。

- 垂直关系性质三：垂直于同一面的直线与该面的交线垂直。

2. 判定垂直关系的方法- 判定直线垂直关系的方法：如果两条直线上有一点与第三条直线上的两个点重合，并且这两条直线分别与第三条直线垂直，则这两条直线是垂直的。

- 判定面垂直关系的方法：如果两个平面上有一条直线与第三个平面上的两条直线相交成直角，并且这两个平面分别与第三个平面垂直，则这两个平面是垂直的。

三、平行和垂直关系的应用平行和垂直关系在日常生活和工程建设中具有广泛的应用。

空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。

理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。

下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。

一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。

2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。

例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。

证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。

又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。

（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。

2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。

证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。

因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。

又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。

因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。

（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。

2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。

证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。

二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。

空间几何学中的平行与垂直关系空间几何学是研究空间中点、线、面等几何对象的性质和关系的数学学科。

在空间几何学中，平行和垂直是两个基本的关系，它们在我们日常生活和工作中起着重要的作用。

本文将深入探讨空间几何学中的平行与垂直关系，包括定义、性质以及应用。

一、平行关系在空间几何学中，平行是指两条直线或两个平面永远不相交的关系。

具体来说，若两条直线在同一个平面内，且这两条直线上的任意两点的连线都在这个平面内，那么这两条直线是平行的。

同样地，若两个平面没有公共点，且它们上面的任意两点的连线都在这两个平面内，那么这两个平面是平行的。

平行关系具有以下性质：1. 平行关系是对称的。

如果直线l1与l2平行，那么l2与l1也平行；如果平面P1与P2平行，那么P2与P1也平行。

2. 平行关系是传递的。

如果直线l1与l2平行，l2与l3平行，那么l1与l3也平行；如果平面P1与P2平行，P2与P3平行，那么P1与P3也平行。

3. 平行关系与直线与平面的位置无关。

即使两条直线或两个平面不在同一个平面内，只要满足平行关系的定义，它们仍然是平行的。

平行关系在实际生活和工作中有着广泛的应用。

例如，在建筑设计中，平行的墙面可以增加空间的稳定性和美观性；在交通规划中，平行的道路可以提高交通效率；在物流运输中，平行的轨道可以确保车辆的安全行驶等。

二、垂直关系在空间几何学中，垂直是指两条直线或两个平面相交成直角的关系。

具体来说，若两条直线在同一个平面内相交，且相交的角度为90度，那么这两条直线是垂直的。

同样地，若两个平面相交成直角，那么这两个平面是垂直的。

垂直关系具有以下性质：1. 垂直关系是对称的。

如果直线l1与l2垂直，那么l2与l1也垂直；如果平面P1与P2垂直，那么P2与P1也垂直。

2. 垂直关系是传递的。

如果直线l1与l2垂直，l2与l3垂直，那么l1与l3也垂直；如果平面P1与P2垂直，P2与P3垂直，那么P1与P3也垂直。

《空间中平行垂直关系》知识点总结1 直线、平面平行的判定及其性质1.1 直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：a αb β=>a∥αa∥b1.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：a βb βa∩b=P β∥αa∥αb∥α2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

1.3—1.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行，则线线平行。

符号表示：a∥αa βa∥bα∩β= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：α∥βα∩γ= a a∥bβ∩γ= b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2 直线、平面垂直的判定及其性质2.1直线与平面垂直的判定1、定义如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。

如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

Lpα2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.2平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形Al βBα2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

3.3—3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

理解空间几何中的平行和垂直关系及相关定理在空间几何中，平行和垂直关系是非常重要的概念。

理解这些关系及其相关定理对于解决几何问题和应用数学具有重要意义。

本文将深入探讨空间几何中的平行和垂直关系及其相关定理，帮助读者更好地理解和应用。

一、平行关系在空间几何中，平行关系是指两条直线或两个平面永远不会相交。

平行线和平行面之间的关系可通过以下两个定理来判断。

1. 平行线定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这两条直线之间也是平行的。

证明：设有两条平行线l和m，且直线n与l相交于点A，与m相交于点B。

若线段AB垂直于l，由垂直定理可知线段AB也垂直于m。

假设线段AB不平行于m，那么它必定与m相交于某一点C，这样线段AB将会与直线n有两个交点A和C，这与两条平行线的性质相悖。

因此，线段AB必定是与直线m平行的。

2. 平行面定理：如果两个平面都与另一个平面平行，那么这两个平面也是平行的。

证明：设有两个平面α和β，且平面γ与α平行且与β相交。

假设平面γ不平行于β，则它们必定会相交于一条直线。

然而，根据平行面的定义，平面γ与平面α平行，故直线与平面α相交于一点A。

由于直线与平面β相交于一点B，这意味着直线将与两个平面α和β都有交点，与平行面的定义相矛盾。

因此，平面γ与β平行。

二、垂直关系在空间几何中，垂直关系是指两条直线或两个平面之间的相互垂直关系。

垂直关系可以通过以下定理来判断。

1. 垂直定理：如果两条直线相交并且相交的角为直角，则这两条直线是垂直的。

证明：设有两条直线l和m，相交于点O，并且∠AOB为直角。

若直线l和m不是垂直的，即它们不相交于直角，那么它们必然会以某个角度相交，假设∠AOB为θ。

那么根据三角形的性质，我们可以得到∠AOB的余角为180°-θ。

如果直线l和m不垂直，它们的余角将不相等，与∠AOB为直角的前提相矛盾。

因此，直线l和m是垂直的。

2. 垂直平面定理：如果一条直线与一个平面垂直，并且这条直线在这个平面上的一个点，那么这个直线在这个平面上的所有点都垂直于这个平面。

空间几何中的平行与垂直关系平行与垂直关系是空间几何中非常重要的概念，它们在解决平面或立体几何问题时经常被用到。

在本文中，我将介绍平行和垂直的定义和性质，并探讨它们在几何学中的应用。

一、平行关系在空间几何中，当两条线或两个平面没有交点且始终保持相同的距离时，我们称它们是平行的。

换句话说，平行线永远不会相交，平行面之间也永远不会相交。

我们可以使用以下方法来判断线或面是否平行：1. 如果两条线被一条平面所截，且截得的两对同位角相等，则这两条线平行。

2. 如果两个平面被一条直线所截，且截得的两对同位角相等，则这两个平面平行。

平行关系常常在解决与直线、多边形和多面体相关的问题时被应用。

比如，在建筑设计中，设计师常常需要确定两面墙是否平行，以便确保建筑结构的稳定。

在制图学中，要绘制平行线的效果，可以应用平行规或平行尺等工具辅助。

二、垂直关系与平行关系相反，垂直关系指的是两条线、两个平面或两个立体之间相互间的直角关系。

当两条线或两个平面的夹角大小为90度时，它们被认为是垂直的。

同样地，如果两个立体之间的相邻平面的交线是垂直的，则我们称这两个立体是垂直的。

判断垂直关系的方法有：1. 如果两条直线相交，并且相交的四个角中有两个角是直角，则这两条直线是垂直的。

2. 如果两个平面相交，并且相交的交线与两个平面各自的法线垂直，则这两个平面是垂直的。

垂直关系在几何学中有广泛的应用。

在建筑学中，垂直关系被用来确保墙壁与地面之间的角度为直角，以提供良好的结构支持。

在三维计算机图形学中，垂直关系可以用来进行透视变换，使得图像更加逼真。

三、平行和垂直的性质在空间几何中，平行和垂直具有一些重要性质，这些性质可以帮助我们解决几何问题。

1. 如果一条直线与两条平行线相交，则与这两条平行线的交线上的对应角是相等的。

2. 如果两条线分别与第三条线平行，则它们之间的对应角是相等的。

3. 判断两个平面是否垂直的方法之一，是计算它们的法向量之间的夹角。

空间几何中的平行与垂直关系空间几何是研究空间中点、线、面及其相关性质和关系的数学学科。

在空间几何中，平行和垂直是两个基本的关系。

本文将介绍平行和垂直的概念、性质以及它们在空间几何中的应用。

一、平行关系平行是指两条直线或两个面永远不会相交的关系。

在空间几何中，我们可以通过以下方式判断两条直线是否平行：1. 直线的斜率相等：如果两条直线的斜率相等，那么它们是平行的。

这是因为两条直线的斜率相等，意味着它们的倾斜角度相同，在空间中永远不会相交。

2. 直线的方向向量平行：如果两条直线的方向向量平行，那么它们是平行的。

我们可以通过计算两条直线的方向向量，并判断它们是否平行。

3. 直线的截距比相等：如果两条直线的截距比相等，那么它们是平行的。

我们可以通过计算两条直线的截距比，并判断它们是否相等。

平行的性质：1. 平行具有传递性：如果直线l1与直线l2平行，直线l2与直线l3平行，那么直线l1与直线l3平行。

2. 平行具有对称性：如果直线l1与直线l2平行，那么直线l2与直线l1平行。

平行的应用：1. 平行线在平面图形中的应用：平行线在平面图形中有着重要的应用，如矩形、平行四边形等。

在这些图形中，平行线的存在使得我们可以推导出图形的性质和定理。

2. 平行线在建筑设计中的应用：建筑设计中常常需要使用平行线来确定建筑物的边界、墙壁等。

二、垂直关系垂直是指两条直线或两个面之间存在直角的关系。

在空间几何中，我们可以通过以下方式判断两条直线是否垂直：1. 直线斜率之积为-1：如果两条直线的斜率之积为-1，那么它们是垂直的。

这是因为两条直线的斜率之积为-1，意味着它们相互垂直。

2. 直线的方向向量垂直：如果两条直线的方向向量垂直，那么它们是垂直的。

我们可以通过计算两条直线的方向向量，并判断它们是否垂直。

3. 直线的斜率之和为0：如果两条直线的斜率之和为0，那么它们是垂直的。

这是因为两条直线的斜率之和为0，意味着它们相互垂直。

空间直线的平行与垂直关系直线的平行与垂直关系是几何学中的基本概念之一，这个概念在我们日常生活中也是无处不在的。

在建筑、设计、城市规划、工程等领域中，了解直线的平行与垂直关系至关重要。

本文将介绍直线的平行与垂直的定义、性质以及应用。

首先，我们来看直线的平行关系。

当两条直线在平面上永不相交，且在同一平面上的任意两点之间连线都与这两条直线相交，我们可以说这两条直线是平行的。

以字母 "||" 表示直线的平行关系，如果直线a || 直线b，则可以写作 a || b。

直线的平行关系有以下几个重要性质：1. 平行性质一：如果两条直线都与同一平面上的第三条直线平行，那么这两条直线必定平行。

2. 平行性质二：如果两条直线分别与同一平面上的两条平行线平行，那么这两条直线也平行。

3. 平行性质三：如果直线a与b平行，直线b与c平行，那么直线a与c平行。

直线的垂直关系与平行关系相对应。

当两条直线在平面上相交且交角为90度，我们可以说这两条直线是垂直的。

以一个类似于 "⊥" 的符号表示直线的垂直关系，如果直线a ⊥直线b，则可以写作 a ⊥ b。

直线的垂直关系也有几个重要性质：1. 垂直性质一：如果两条直线都与同一平面上的第三条直线垂直，那么这两条直线必定垂直。

2. 垂直性质二：如果一条直线与平面上的一条直线垂直，那么与该平面上的另一条直线平行的直线也与该直线垂直。

3. 垂直性质三：如果直线a与b垂直，直线b与c垂直，那么直线a与c平行。

直线的平行与垂直关系在很多领域中都有广泛的应用。

以下是几个常见的应用实例：1. 建筑和设计：在建筑和设计中，了解平行和垂直关系对于设计合理的建筑和室内布局至关重要。

例如，在设计房间时，我们应该确保墙壁平行或垂直于地面，以获得更美观的效果。

2. 道路和交通：平行和垂直关系在规划和设计道路和交通系统时也非常重要。

道路的平行布局可以提高交通流畅性，而垂直的交叉路口可以确保交通的安全。

.高二数学作业空间中的平行与垂直关系[知识要点]要点1、空间中的平行关系： ◆平行直线：公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

◆线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

推理模式：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒．◆线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行推理模式：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒．◆两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。

定理的模式：//////a b a b P a b ββαβαα⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。

推论模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''=⊂⊂=⊂⊂⇒◆两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面； 〔2〕如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

◆注意体会以下平行问题的转化思路、方向与转化条件、途径：要点2、空间中的垂直关系： ◆线线垂直〔1〕线线垂直的定义：所成的角是直角，两直线垂直。

〔2〕垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。

◆线面垂直〔1〕定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直其中直线l 叫做平面的垂线，平面α叫做直线l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。

直线l 与平bab aααP P ab βαc b a βα2面α垂直记作：l ⊥α。

〔2〕直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

空间几何中的平行与垂直关系及证明方法在空间几何中，平行与垂直是两个重要的关系概念。

平行指的是两条直线或两个平面永远不相交，而垂直则表示两条直线或两个平面相互垂直相交。

这两个概念在几何学中有广泛的应用，并且可以通过一些证明方法来确定两条直线或两个平面是否平行或垂直。

首先，我们来讨论平行关系。

在空间几何中，两条直线平行的条件是它们的方向向量平行。

方向向量是指直线上的两个不同点连线所得到的矢量。

如果两条直线的方向向量平行，那么它们就是平行的。

例如，考虑两条直线L1和L2，它们的方向向量分别为a和b。

如果a与b平行，即a与b的夹角为0度或180度，那么L1和L2就是平行的。

除了方向向量平行外，两条直线还可以通过斜率来确定是否平行。

斜率是指直线上任意两点之间的纵坐标差与横坐标差的比值。

如果两条直线的斜率相等，那么它们也是平行的。

例如，考虑两条直线L1和L2，它们的斜率分别为m1和m2。

如果m1等于m2，那么L1和L2就是平行的。

在空间几何中，垂直关系的确定方法与平行关系类似。

两条直线垂直的条件是它们的方向向量垂直。

如果两条直线的方向向量垂直，那么它们就是垂直的。

例如，考虑两条直线L1和L2，它们的方向向量分别为a和b。

如果a与b垂直，即a与b的内积为0，那么L1和L2就是垂直的。

除了方向向量垂直外，两条直线还可以通过斜率的乘积来确定是否垂直。

如果两条直线的斜率之积为-1，那么它们也是垂直的。

例如，考虑两条直线L1和L2，它们的斜率分别为m1和m2。

如果m1乘以m2等于-1，那么L1和L2就是垂直的。

对于平面的平行与垂直关系，我们可以将其扩展到三维空间中。

两个平面平行的条件是它们的法向量平行。

法向量是指垂直于平面的矢量。

如果两个平面的法向量平行，那么它们就是平行的。

同样地，两个平面垂直的条件是它们的法向量垂直。

如果两个平面的法向量垂直，那么它们就是垂直的。

在证明平行与垂直关系时，我们可以利用向量的性质和运算法则。

空间几何中的平行与垂直关系在空间几何中，平行和垂直关系是两个基本的概念，它们在我们的日常生活和数学应用中扮演着重要角色。

本文将探讨空间几何中的平行和垂直关系，并介绍其定义、特性以及相关的应用。

一、平行关系在空间几何中，平行关系是指两条直线或两个平面永远不相交。

如果我们将其数学表达，可以用以下方式表示：定义1：设直线l和m都在同一个平面内，如果l和m上的任意两点A和B的连线AB与l上的另一点C所在的直线相交，那么l与m平行，记作l ∥ m。

定义2：设平面α和β，如果平面α上任意一条直线与平面β上的任意一条直线所确定的两个轴线互相平行，那么平面α和平面β平行，记作α∥β。

平行关系具有以下特性：性质1：如果两条直线平行，则它们的任意一对相交线段的比值都相等。

性质2：如果一个平面与两个平行平面相交，则它们的任意一对相交线段的比值都相等。

性质3：如果两条直线分别与一组平行直线相交，那么它们的对应角相等。

段平行、平面平行以及平面与线段平行的基本依据。

在工程学和建筑学中，平行关系用于设计和绘图中的垂直标尺、平行线、平行导板等。

此外，在计算机图形学、地理学和导航系统等领域，平行关系也扮演着重要的角色。

二、垂直关系垂直关系是指两条直线或两个平面之间的关系，其中一条直线或一个平面与另一条直线或另一个平面的法线垂直。

我们可以用以下方式表示垂直关系：定义3：设直线l和m在同一个平面内，如果l和m上的任意一对相交直线的法线互相垂直，那么l与m垂直，记作l ⊥ m。

定义4：设平面α和β，如果平面α上的任意一条直线与平面β上的任意一条直线的法线互相垂直，那么平面α和平面β垂直，记作α⊥β。

垂直关系具有以下特性：性质4：如果两条直线垂直，则它们的任意一对相交角互为直角。

性质5：如果一个直线与一个平面垂直，则该直线上的任意一条边与该平面上任意一条边所确定的两个角互为直角。

性质6：如果两个平面垂直，则它们的任意一对相交线互为直角。

空间几何中的平行与垂直关系在空间几何中，平行与垂直关系是两种重要的几何关系。

它们在解决几何问题、计算坐标和推导定理等方面起着至关重要的作用。

通过研究平行和垂直关系，我们可以更好地理解空间中的几何性质，并应用于实际问题的求解。

1. 平行关系平行关系是指两条或多条直线在空间中永远不会相交。

在平行线之间不存在任何交点，它们的方向相同或者互为反向。

为了表示平行关系，我们可以使用"//"符号，如AB // CD。

在三维空间中，平行关系的判断可以通过以下方法确定：- 斜率法：对于两条直线L1和L2，如果它们的斜率相等，则L1与L2平行。

具体计算时，我们可以求两条直线上某一点的斜率，如果斜率相等，则可以判断它们是平行的。

- 向量法：如果两条直线的方向向量是平行的，则它们是平行的。

我们可以通过求取两条直线的方向向量，然后比较它们是否平行来判断平行关系。

平行关系的性质：- 平行线具有相同的斜率。

- 平行线之间的距离是恒定的，任意两点到另一条直线的距离相等。

- 平行线与平面的交线是平行的。

2. 垂直关系垂直关系是指两条直线或直线与平面的交线之间的关系。

在垂直关系中，直线或直线段与垂直交线之间的夹角为90度。

在三维空间中，判断垂直关系的方法有：- 向量法：如果两条直线的方向向量相互垂直，则它们是垂直的。

通过计算两条直线的方向向量，然后判断它们是否相互垂直。

- 斜率法：如果两条直线的斜率的乘积为-1，则它们是垂直的。

具体计算时，我们可以求两条直线上某一点的斜率，然后计算斜率的乘积，如果结果为-1，则可以判断它们是垂直的。

垂直关系的性质：- 垂直关系是相互垂直的直线或者直线与平面之间的关系。

在直角坐标系中，垂直关系可以表示为两直线斜率的乘积为-1。

- 垂直交线之间的夹角为90度。

- 垂直关系通常用于解决与直角、垂直性质相关的问题，例如计算两直线之间的距离、垂直偏移等。

总结：在空间几何中，平行与垂直关系是两种重要的几何关系。

专题限时集训(十一) 空间中的平行与垂直关系建议A、B组各用时：45分钟]A组高考达标]一、选择题1．(2016·南昌一模)设α为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( ) A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若a∥α，a⊥b，则b⊥αB A中，两直线可能平行、相交或异面，故A错；B中，由直线与平面垂直的判定定理可知B正确；C中，b可能平行α，也可能在α内，故C错；D中，b可能平行α，也可能在α内，还可能与α相交，故D错．综上所述，故选B.]2．(2016·济南一模)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥n，m∥β，则n∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β.其中真命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4A对于①，由直线与平面垂直的判定定理易知其正确；对于②，平面α与β可能平行或相交，故②错误；对于③，直线n可能平行于平面β，也可能在平面β内，故③错误；对于④，由两平面平行的判定定理易得平面α与β平行，故④错误．综上所述，正确命题的个数为1，故选A.]图11­53．如图11­5所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是( )A．①②B．①②③C．①D．②③B对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC.又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC.对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA.∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，∴OM∥平面PAC.对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．]4．已知α，β是两个不同的平面，有下列三个条件：①存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β；②存在一条直线a，a⊂α，a⊥β；③存在两条垂直的直线a，b，a⊥β，b⊥α.其中，所有能成为“α⊥β”的充要条件的序号是( )A．①B．②C．③D．①③D对于①，存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β，则α⊥β，反之也成立，即“存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β”是“α⊥β”的充要条件，所以①对，可排除B，C.对于③，存在两条垂直的直线a，b，则直线a，b所成的角为90°，因为a⊥β，b⊥α，所以α，β所成的角为90°，即α⊥β，反之也成立，即“存在两条垂直的直线a，b，a⊥β，b⊥α”是“α⊥β”的充要条件，所以③对，可排除A，选D.]图11­65．(2016·成都二模)在三棱锥P­ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点，则下列说法错误的是( )A．当AE⊥PB时，△AEF一定为直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF一定为直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF一定为直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF一定为直角三角形B因为AP⊥平面ABC，所以AP⊥BC，又AB⊥BC，且PA和AB是平面PAB上两条相交直线，则BC⊥平面PAB，BC⊥AE.当AE⊥PB时，AE⊥平面PBC，则AE⊥EF，△AEF一定是直角三角形，A正确；当EF∥平面ABC时，EF在平面PBC上，平面PBC与平面ABC相交于BC，则EF∥BC，则EF⊥AE，△AEF一定是直角三角形，C正确；当PC⊥平面AEF时，AE⊥PC，又AE⊥BC，则AE ⊥平面PBC，AE⊥EF，△AEF一定是直角三角形，D正确；B中结论无法证明，故选B.]二、填空题6．已知P 为△ABC 所在平面外一点，且PA ，PB ，PC 两两垂直，则下列命题： ①PA ⊥BC ；②PB ⊥AC ；③PC ⊥AB ；④AB ⊥BC . 其中正确命题的个数是________.【导学号：85952041】3 如图所示，∵PA ⊥PC ，PA ⊥PB ，PC ∩PB ＝P ，∴PA ⊥平面PBC . 又∵BC ⊂平面PBC ， ∴PA ⊥BC .同理PB ⊥AC ，PC ⊥AB ，但AB 不一定垂直于BC .]7．在三棱锥C ­ABD 中(如图11­7)，△ABD 与△CBD 是全等的等腰直角三角形，O 是斜边BD 的中点，AB ＝4，二面角A ­BD ­C 的大小为60°，并给出下面结论：①AC ⊥BD ；②AD ⊥CO ；③△AOC 为正三角形；④cos ∠ADC ＝32；⑤四面体ABCD 的外接球表面积为32π.其中真命题是________(填序号)．图11­7①③⑤ 由题意知BD ⊥CO ，BD ⊥AO ，则BD ⊥平面AOC ，从而BD ⊥AC ，故①正确；根据二面角A ­BD ­C 的大小为60°，可得∠AOC ＝60°，又直线AD 在平面AOC 的射影为AO ，从而AD 与CO 不垂直，故②错误；根据∠AOC ＝60°，AO ＝CO 可得△AOC 为正三角形，故③正确；在△ADC中 ，AD ＝CD ＝4，AC ＝CO ＝22，由余弦定理得cos ∠ADC ＝42＋42－2222×4×4＝34，故④错误；由题意知，四面体ABCD 的外接球的球心为O ，半径为22，则外接球的表面积为S ＝4π×(22)2＝32π，故⑤正确．]8．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为线段B 1D 1上的一个动点，则下列结论中正确的是________．(填序号)①AC ⊥BE ； ②B 1E ∥平面ABCD ；③三棱锥E ­ABC 的体积为定值； ④直线B 1E ⊥直线BC 1.①②③ 因为AC ⊥平面BDD 1B 1，故①，②正确；记正方体的体积为V ，则V E ­ABC ＝16V 为定值，故③正确；B 1E 与BC 1不垂直，故④错误．]三、解答题9．(2016·北京高考)如图11­8，在四棱锥P ­ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，DC ⊥AC .图11­8(1)求证：DC ⊥平面PAC . (2)求证：平面PAB ⊥平面PAC .(3)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得PA ∥平面CEF ？说明理由．解] (1)证明：因为PC ⊥平面ABCD ， 所以PC ⊥DC .2分又因为DC ⊥AC ，且PC ∩AC ＝C ， 所以DC ⊥平面PAC .4分(2)证明：因为AB ∥DC ，DC ⊥AC ， 所以AB ⊥AC .因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC ⊥AB . 又因为PC ∩AC ＝C ，所以AB ⊥平面PAC .8分 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAC .9分 (3)棱PB 上存在点F ，使得PA ∥平面CEF .10分 理由如下：取PB 的中点F ，连接EF ，CE ，CF . 又因为E 为AB 的中点，所以EF ∥PA . 又因为PA ⊄平面CEF ，且EF ⊂平面CEF ， 所以PA ∥平面CEF .14分10．(2016·河南六市模拟)如图11­9，四棱锥P ­ABCD ，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是∠ABC ＝60°的菱形，M 为PC 的中点．图11­9(1)求证：PC ⊥AD ；(2)求点D 到平面PAM 的距离．解] (1)证明：法一：取AD 中点O ，连接OP ，OC ，AC ，依题意可知△PAD ，△ACD 均为正三角形，所以OC ⊥AD ，OP ⊥AD ，又OC ∩OP ＝O ，OC ⊂平面POC ，OP ⊂平面POC ，所以AD ⊥平面POC ，又PC ⊂平面POC ，所以PC ⊥AD .5分法二：连接AC ，AM ，DM ，依题意可知△PAD ，△ACD 均为正三角形，又M 为PC 的中点，所以AM ⊥PC ，DM ⊥PC ，又AM ∩DM ＝M ，AM ⊂平面AMD ，DM ⊂平面AMD ， 所以PC ⊥平面AMD ，又AD ⊂平面AMD ，所以PC ⊥AD .5分(2)由题可知，点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离，由(1)可知PO ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，即PO 为三棱锥P ­ADC 的高．在Rt △POC 中，PO ＝OC ＝3，PC ＝6，在△PAC 中，PA ＝AC ＝2，PC ＝6，边PC 上的高AM ＝PA 2－PM 2＝102， 所以S △PAC ＝12PC ·AM ＝12×6×102＝152.8分设点D 到平面PAC 的距离为h ，由V D ­PAC ＝V P ­ACD 得13S △PAC ·h ＝13S △ACD ·PO ，又S △ACD ＝34×22＝3，所以13×152·h ＝13×3×3，解得h ＝2155，所以点D 到平面PAM 的距离为2155.12分B 组 名校冲刺]一、选择题1．(2016·乌鲁木齐三模)如图11­10，在多面体ABC ­DEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，AC ∥GF ，且△ABC 是边长为2的正三角形，四边形DEFG 是边长为4的正方形，M ，N 分别为AD ，BE 的中点，则MN ＝( )图11­10A.7 B ．4 C.19D ．5A 如图，取BD 的中点P ，连接MP ，NP ，则MP ∥AB ，NP ∥DE ，MP ＝12AB ＝1，NP ＝12DE ＝2.又∵AC ∥GF ，∴AC ∥NP .∵∠CAB ＝60°，∴∠MPN ＝120°，∴MN ＝MP 2＋NP 2－2×MP ×NP ×cos 120°＝1＋4－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7，故选A.]2．如图11­11，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A ­BCD .则在三棱锥A ­BCD 中，下列命题正确的是( )图11­11A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABCD ∵在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，∴BD ⊥CD .又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，∴CD ⊥平面ABD ，则CD ⊥AB .又AD ⊥AB ，AD ∩CD＝D ，∴AB ⊥平面ADC ，又AB ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ADC ，故选D.]3．(2016·贵阳二模)如图11­12，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，沿AE ，AF ，EF 把正方形折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为P ，P 点在△AEF 内的射影为O ，则下列说法正确的是( )图11­12A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的内心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心A由题意可知PA，PE，PF两两垂直，∴PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF.∵PO∩PA＝P，∴EF⊥平面PAO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O为△AEF的垂心．故选A.]4．(2016·长沙模拟)如图11­13，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，图11­13E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF＝22，则下列结论中错误的是( )A．AC⊥BFB．三棱锥A­BEF的体积为定值C．EF∥平面ABCDD．异面直线AE，BF所成的角为定值D对于选项A，连接BD，易知AC⊥平面BDD1B1.∵BF⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BF，故A正确；对于选项B，∵AC⊥平面BDD1B1，∴A到平面BEF的距离不变．∵EF＝22，B到EF的距离为1，∴△BEF的面积不变，∴三棱锥A­BEF的体积为定值，故B正确；对于选项C，∵EF∥BD，BD ⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正确；对于选项D，异面直线AE，BF所成的角不为定值，当F与B1重合时，令上底面中心为O，则此时两异面直线所成的角是∠A1AO，当E与D1重合时，点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC1，这两个角不相等，故异面直线AE，BF所成的角不为定值，故D错误．]二、填空题5．(2016·衡水二模)如图11­14，正方形BCDE的边长为a，已知AB＝3BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，关于翻折后的几何体有如下描述：图11­14①AB 与DE 所成角的正切值是2；②AB ∥CE ；③V B ­ACE ＝16a 3；④平面ABC ⊥平面ACD .其中正确的有________．(填序号)①③④ 作出折叠后的几何体直观图如图所示：∵AB ＝3BC ＝3a ，BE ＝a ，∴AE ＝2a .∴AD ＝AE 2－DE 2＝a ，∴AC ＝CD 2＋AD 2＝2a .在△ABC 中，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ×BC＝3a 2＋a 2－2a 223a2＝33. ∴sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝63. ∴tan ∠ABC ＝sin ∠ABCcos ∠ABC＝ 2.∵BC ∥DE ，∴∠ABC 是异面直线AB ，DE 所成的角，故①正确．连接BD ，CE ，则CE ⊥BD ，又AD ⊥平面BCDE ，CE ⊂平面BCDE ，∴CE ⊥AD .又BD ∩AD ＝D ，BD ⊂平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，∴CE ⊥平面ABD .又AB ⊂平面ABD ，∴CE ⊥AB ，故②错误．V B ­ACE ＝V A ­BCE ＝13S △BCE ·AD ＝13×12×a 2×a＝a 36，故③正确．∵AD ⊥平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ，∴BC ⊥AD .又BC ⊥CD ，CD ∩AD ＝D ，CD ，AD ⊂平面ACD ，∴BC ⊥平面ACD .∵BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ACD ，故④正确．故答案为①③④.]6．(2016·太原二模)已知在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠成三棱锥D ­ABC ，当三棱锥D ­ABC 的体积取最大值时，其外接球的体积为________．【导学号：85952042】43π 当平面DAC ⊥平面ABC 时，三棱锥D ­ABC 的体积取最大值．此时易知BC ⊥平面DAC ，∴BC ⊥AD .又AD ⊥DC ，∴AD ⊥平面BCD ，∴AD ⊥BD ，取AB 的中点O ，易得OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝1，故O 为所求外接球的球心，故半径r ＝1，体积V ＝43πr 3＝43π.]三、解答题7．(2016·四川高考)如图11­15，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥CD ，图11­15AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由； (2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .解] (1)取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点.2分 理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM . 所以四边形AMCB 是平行四边形， 所以CM ∥AB .4分又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ， 所以CM ∥平面PAB .6分(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)证明：由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD .8分因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，M 为AD 的中点，连接BM ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ，所以四边形BCDM 是平行四边形，10分所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB .又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面PBD .12分8．(2016·长春二模)已知等腰梯形ABCD (如图11­16(1)所示)，其中AB ∥CD ，E ，F 分别为AB 和CD 的中点，且AB ＝EF ＝2，CD ＝6，M 为BC 中点．现将梯形ABCD 沿着EF 所在直线折起，使平面EFCB ⊥平面EFDA (如图11­16(2)所示)，N 是线段CD 上一动点，且CN ＝12ND .(1) (2)图11­16(1)求证：MN ∥平面EFDA ； (2)求三棱锥A ­MNF 的体积．解] (1)证明：过点M 作MP ⊥EF 于点P ，过点N 作NQ ⊥FD 于点Q ，连接PQ .由题知，平面EFCB ⊥平面EFDA ，又MP ⊥EF ，平面EFCB ∩平面EFDA ＝EF ，∴MP ⊥平面EFDA .又EF ⊥CF ，EF ⊥DF ，CF ∩DF ＝F ，∴EF ⊥平面CFD . 又NQ ⊂平面CFD ，∴NQ ⊥EF .又NQ ⊥FD ，EF ∩FD ＝F ，∴NQ ⊥平面EFDA ，∴MP ∥NQ .2分 又CN ＝12ND ，∴NQ ＝23CF ＝23×3＝2，且MP ＝12(BE ＋CF )＝12×(1＋3)＝2，∴MP 綊NQ ，∴四边形MNQP 为平行四边形.4分 ∴MN ∥PQ .又∵MN ⊄平面EFDA ，PQ ⊂平面EFDA ， ∴MN ∥平面EFDA .6分(2)法一：延长DA ，CB 相交于一点H ，则H ∈CB ，H ∈DA . 又∵CB ⊂平面FEBC ，DA ⊂平面FEAD . ∴H ∈平面FEBC ，H ∈平面FEAD ， 即H ∈平面FEBC ∩平面FEAD ＝EF ，∴DA ，FE ，CB 交于一点H ，且HE ＝12EF ＝1.8分11 / 11 V 三棱锥F ­CDH ＝V 三棱锥C ­HFD ＝13·S △HFD ·CF ＝92， 又由平面几何知识得S △AMN S △CDH ＝29，10分 则V 三棱锥F ­AMN V 三棱锥F ­CDH ＝29， ∴V 三棱锥A ­MNF ＝V 三棱锥F ­AMN ＝29·V 三棱锥F ­CDH ＝29×92＝1.12分 法二：V 三棱台BEA ­CDF ＝13×EF ×(S △BEA ＋S △BEA ·S △CDF ＋S △CDF )＝13×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12×92＋92＝133， V 四棱锥A ­BEFM ＝13×AE ×S 四边形BEFM ＝56，V 三棱锥N ­ADF ＝13×2×S △ADF ＝2，V 三棱锥N ­CFM ＝13×1×S △CFM ＝12，10分V 三棱锥A ­MNF ＝V 三棱台BEA ­CDF －V 三棱锥N ­CFM －V 四棱锥A ­BEFM －V 三棱锥N ­ADF ＝133－12－56－2＝1.12分。

空间几何中的平行与垂直关系在空间几何中，平行与垂直是两种重要的关系。

它们的性质和应用广泛存在于数学、物理学、工程学等领域。

本文将介绍平行和垂直的定义、性质以及相关的定理，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、平行关系1. 定义在空间几何中，平行是指两个或多个直线或平面在同一平面内没有任何交点的特殊关系。

我们可以用符号 "∥" 表示平行关系。

例如，在平面α上有两条直线l和m，如果l ∥ m，则说明直线l和m在平面α上没有交点。

2. 性质平行的直线具有以下性质：- 平行线与同一平面内的第三条直线的相交角相等。

- 平行线与平行线之间的距离在任意两点处相等。

平行的平面具有以下性质：- 平行平面之间没有任何交点。

- 平行平面内的直线与另一平面的交线与平行平面平行。

3. 平行的判定方法判定两条直线是否平行可以采用以下方法：- 垂直判定法：如果两条线分别与同一直线的两条垂线垂直，则这两条线是平行的。

- 夹角判定法：如果两直线与另一直线的夹角相等或互补，则这两条直线是平行的。

二、垂直关系1. 定义在空间几何中，垂直是指两个直线或者平面之间的交角等于90度的特殊关系。

我们可以用符号"⊥" 表示垂直关系。

例如，在平面β上，如果一条直线l与平面β内另一条直线m垂直，则可以表示为 l ⊥ m。

2. 性质垂直关系具有以下性质：- 垂直于同一直线的两条直线平行。

- 如果两个平面相互垂直，则由这两个平面确定的直线与任一平面相交的直线垂直。

3. 垂直的判定方法判定两条直线是否垂直可以采用以下方法：- 两直线斜率之积为 -1，则这两条直线是垂直的。

- 如果两直线的斜率都不存在（即两直线都是垂直于x轴或y轴的），则这两条直线是垂直的。

三、平行与垂直之间的关系平行和垂直的关系是互补的。

具体而言，两条直线或平面如果既不平行也不垂直，则称它们为斜交。

在空间几何中，有一些重要的定理与平行和垂直关系有关。

空间几何的平行与垂直关系知识点总结在空间几何中，平行与垂直关系是非常重要的概念，它们贯穿于整个几何学习的始终。

理解和掌握这些关系对于解决空间几何问题至关重要。

下面，我们就来详细总结一下空间几何中平行与垂直关系的相关知识点。

一、线线平行1、平行线的定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

2、线线平行的判定定理（1）同位角相等，两直线平行。

（2）内错角相等，两直线平行。

（3）同旁内角互补，两直线平行。

3、线线平行的性质定理（1）两直线平行，同位角相等。

（2）两直线平行，内错角相等。

（3）两直线平行，同旁内角互补。

4、空间中直线平行的传递性如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

二、线面平行1、线面平行的定义如果一条直线与一个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面平行。

2、线面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。

3、线面平行的性质定理如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线与交线平行。

三、面面平行1、面面平行的定义如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行。

2、面面平行的判定定理（1）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

（2）如果两个平面都平行于同一条直线，那么这两个平面平行。

3、面面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。

（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

四、线线垂直1、线线垂直的定义如果两条直线所成的角为直角，那么这两条直线互相垂直。

2、线线垂直的判定定理（1）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任意一条直线。

（2）如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。

五、线面垂直1、线面垂直的定义如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。

专题 11 空间中的平行与垂直【2017年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1)主要考查空间概念，空间想象能力，点线面位置关系判断，表面积与体积计算等，A级要求(2)主要考查线线、线面、面面平行与垂直的证明，B级要求【重点、难点剖析】1．直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.2．平行关系的转化两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图．3．直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.4．垂直关系的转化与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图．在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面，当题目中有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化.【题型示例】题型一 空间几何体的认识及表面积与体积的计算【例1】 【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.则它的表面积是（ ） （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A【变式探究】【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为12π2416πS =⋅⋅=，圆锥的侧面积为2π248πS =⋅⋅=，圆柱的底面面积为23π24πS =⋅=，故该几何体的表面积为12328πS S S S =++=，故选C. 【方法技巧】空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．【举一反三】(2015·北京，5)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5解析 该三棱锥的直观图如图所示：过D 作DE ⊥BC ，交BC 于E ，连接AE ，则BC ＝2，EC ＝1，AD ＝1，ED ＝2，S 表＝S △BCD ＋S △ACD ＋S △ABD ＋S △ABC ＝12×2×2＋12×5×1＋12×5×1＋12×2×5＝2＋2 5.答案 C【变式探究】(1)(2014·安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋ 3C ．21D ．18(2)(2014·辽宁)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π4【特别提醒】(1)本题主要考查空间几何体的三视图、直观图，表面积的计算．能够通过几何体的三视图还原出直观图，意在考查考生的空间想象能力，并通过对几何体的表面积计算，考查考生的运算求解能力．(2)本题主要考查三视图、几何体的体积等知识，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力． 【答案】(1)A (2)B【解析】(1)根据几何体的三视图画出其直观图，根据直观图特征求其表面积． 由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示．因此该几何体的表面积为6×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－12＋2×34×(2)2＝21＋ 3.故选A.(2)直观图为棱长为2的正方体割去两个底面半径为1的14圆柱，所以该几何体的体积为23－2×π×12×2×14＝8－π，故选B.【感悟提升】1．根据几何体的三视图求其表面积与体积的三步法 (1)根据给出的三视图判断该几何体的形状；(2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量； (3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解． 2．求解几何体的表面积及体积的技巧(1)求几何体的表面积及体积问题，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．【变式探究】 (2015·浙江，2)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3C.323 cm 3 D.403cm 3解析 该几何体是棱长为2 cm 的正方体与一底面边长为2 cm 的正方形，高为2 cm 的正四棱锥组成的组合体，V ＝2×2×2＋13×2×2×2＝323(cm 3)．故选C.答案 C【规律方法】涉及柱、锥、台、球及其简单组合体的侧面积和体积的计算问题，要在正确理解概念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线(面)，分析几何体的结构特征，选择合适的公式，进行计算．另外要重视空间问题平面化的思想和割补法、等积转换法的运用．【变式探究】(2015·新课标全国Ⅰ，11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 由题意知，2r ·2r ＋12·2πr ·2r ＋12πr 2＋12πr 2＋12·4πr 2＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，解得r ＝2. 答案 B题型二 空间中点线面位置关系的判断【例2】 【2016高考江苏卷】(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ； （2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .【答案】（1）详见解析（2）详见解析（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA ⊥平面A B C 因为11A C ⊂平面111A B C ，所以111AA ⊥A C又因为111111*********,,A C A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂=，平面平面所以11A C ⊥平面11ABB A因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111A C B D ⊥又因为1111111111111C F,C F,B D A A C A A F A A C A F A ⊥⊂⊂=F ，平面平面所以111C F B D A ⊥平面因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.A C F ⊥平面【举一反三】(2015·安徽，5)已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面解析 对于A ，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A 错；对于B ，m ，n 平行于同一平面，m ，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故B 错；对于C ，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D ，若假设m ，n 垂直于同一平面，则m ∥n ，其逆否命题即为D 选项，故D 正确． 答案 D【变式探究】如图，在直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AB ＝AA ′＝AC ＝2，∠BAC ＝2π3，点D ，E分别是BC ，A ′B ′的中点．(1)求证：DE ∥平面ACC ′A ′； (2)求二面角B ′－AD －C ′的余弦值．【解析】(1)证明：取AC 的中点F ，连接DF ，A ′F ， 则DF ∥AB ，又A ′E ∥AB ， 所以DF ∥A ′E ，又因为DF ＝12AB ，A ′E ＝12AB ，所以DF ＝AE ，所以四边形DFA ′E 是平行四边形， 所以ED ∥A ′F ，又A ′F ⊂平面ACC ′A ′， 所以ED ∥平面ACC ′A ′.则由m ·AD →＝0和m ·AB ′→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧32x ＋12y ＝0，3x －y ＋2z ＝0，取m ＝(1，－3，－3)．同理，可取平面C ′AD 的法向量n ＝(1，－3，3)．设二面角B ′－AD －C ′的平面角为θ，易知0<θ<π2，则cos θ＝|m ·n ||m ||n |＝17.【变式探究】设α，β，γ是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命题： ①若α⊥β，l ⊥β，则l ∥α；②若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β；③若l 上有两点到α的距离相等，则l ∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β. 其中正确命题的序号是________．【解析】由线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质定理逐个判断，真命题为②④. 【答案】②④【规律方法】这类题为高考常考题型，其实质为多项选择．主要考查空间中线面之间的位置关系，要求熟悉有关公理、定理及推论，并具备较好的空间想象能力，做到不漏选、多选、错选． 【变式探究】(2015·浙江，13)如图，三棱锥A －BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．解析 连接DN ，作DN 的中点O ，连接MO ，OC .在△AND 中．M 为AD 的中点，则OM 綉12AN .所以异面直线AN ，CM 所成角为∠CMO ，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则AN ＝22，∴OM ＝ 2.在△ACD 中，同理可知CM ＝22，在△BCD 中，DN ＝22，在Rt △ONC 中，ON ＝2，CN ＝1∴OC ＝ 3.在△CMO 中，由余弦定理cos ∠CMO ＝|MC |2＋|MO |2－|OC |22|MC |·|MO |＝8＋2－32×22×2＝78.答案 78题型三 线线、线面、面面平行与垂直的证明 【例3】【2016高考江苏卷】(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ； （2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .【答案】（1）详见解析（2）详见解析（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA ⊥平面A B C 因为11A C ⊂平面111A B C ，所以111AA ⊥A C又因为111111*********,,A C A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂=，平面平面所以11A C ⊥平面11ABB A因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111A C B D ⊥又因为1111111111111C F,C F,B D A A C A A F A A C A F A ⊥⊂⊂=F ，平面平面所以111C F B D A ⊥平面因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.A C F ⊥平面【举一反三】(2015·江苏，16)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.【举一反三】(2014·浙江)如图，在四棱锥A－BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED ＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2.(1)证明：DE ⊥平面ACD ；(2)求二面角B －AD －E 的大小．【命题意图】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力、推理论证和运算求解能力．(2)解法一：作BF ⊥AD ，与AD 交于点F .过点F 作FG ∥DE ，与AE 交于点G ，连接BG .由(1)知DE ⊥AD ，则FG ⊥AD .所以∠BFG 是二面角B －AD －E 的一个平面角．在直角梯形BCDE 中，由CD 2＝BC 2＋BD 2，得 BD ⊥BC .又平面ABC ⊥平面BCDE ，得BD ⊥平面ABC ，从而BD ⊥AB .由于AC ⊥平面BCDE ，得AC ⊥CD .在Rt △ACD 中，由DC ＝2，AC ＝2，得AD ＝ 6.在Rt △AED 中，由ED ＝1，AD ＝6，得AE ＝7.在Rt △ABD 中，由BD ＝2，AB ＝2，AD ＝6，得BF ＝233，AF ＝23AD .从而GF ＝23. 在△ABE ，△ABG 中，分别利用余弦定理，可得cos ∠BAE ＝5714，BG ＝23. 在△BFG 中，cos ∠BFG ＝GF 2＋BF 2－BG 22BF ·GF ＝32. 所以，∠BFG ＝π6，即二面角B －AD －E 的大小是π6. 解法二：以D 为原点，分别以射线DE ，DC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，如图所示．由题意知各点坐标如下：D (0,0,0)，E (1,0,0)，C (0,2,0)，A (0,2，2)，B (1,1,0)． 设平面ADE 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面ABD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)．可算得AD →＝(0，－2，－2)，AE →＝(1，－2，－2)，DB →＝(1,1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AD →＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎨⎧ －2y 1－2z 1＝0，x 1－2y 1－2z 1＝0.可取m ＝(0,1，－2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AD →＝0，n ·DB →＝0，即⎩⎨⎧ －2y 2－2z 2＝0，x 2＋y 2＝0，可取n ＝(1，－1，2)．于是|cos 〈m ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m·n |m ||n |＝33×2＝32. 由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B －AD －E 的大小是π6. 【变式探究】如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明(1)因为ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD. 又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1，又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.【规律方法】证明或探究空间中线线、线面、面面平行与垂直的位置关系，一要熟练掌握所有判定定理与性质定理，梳理好几种位置关系的常见证明方法，如证明线面平行，既可以构造线线平行，也可以构造面面平行．而证明线线平行常用的是三角形中位线性质，或构造平行四边形；二要用分析与综合相结合的方法来寻找证明的思路；三要注意表述规范，推理严谨，避免使用一些虽然正确但不能作为推理依据的结论．【变式探究】如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1.(1)求证：AB ∥平面PCD ；(2)求证：BC ⊥平面PAC ；(3)若M 是PC 的中点，求三棱锥M ­ACD 的体积．(1)证明 ∵AB ∥DC ，且AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD . ∴AB ∥平面PCD .(3)解 ∵M 是PC 中点，∴M 到面ADC 的距离是P 到面ADC 距离的一半 V M ­ACD ＝13S △ACD ·12PA ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1×12＝112.。

空间几何中的平行与垂直关系在空间几何中，平行与垂直是非常重要的概念和关系。

它们在数学中具有着丰富的内容和应用。

本文将介绍空间几何中平行与垂直的定义、性质以及相关定理，旨在帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、平行的定义与性质在空间几何中，平行线是指在同一个平面内永远不会相交的直线。

根据平行线与平面的关系，我们可以得到如下定义和性质：1. 定义一：两条直线L₁和L₂平行，记作L₁∥ L₂，当且仅当它们在同一个平面上且不相交。

2. 定义二：如果两条直线分别与第三条直线相交，在相交点两侧所成的内角互补，则这两条直线是平行的。

平行线的性质也有一些值得注意的地方：1. 性质一：通过同一点外一直线上的两个角互补，则这两条直线是平行的。

2. 性质二：如果一条直线与两条平行线相交，那么它将与这两条平行线之间的内角、外角互补。

3. 性质三：如果两条直线分别与第三条直线平行，那么这两条直线也是平行的。

二、垂直的定义与性质垂直是空间几何中另一个重要的关系，它指的是两条直线或者一个直线与一个平面之间的相互垂直关系。

下面是垂直关系的定义和性质：1. 定义一：两条直线L₁和L₂垂直，记作L₁⊥ L₂，当且仅当它们的内角互补为直角（90度）。

2. 定义二：一条直线和一个平面垂直，当且仅当它与该平面内的任意一条直线相交时，所成的内角为直角（90度）。

垂直关系也有一些性质需要了解：1. 性质一：两条互相垂直的直线在相交点两侧所成的内角是直角。

2. 性质二：如果一条直线垂直于两条相互平行的直线，那么它同时与这两条直线垂直。

3. 性质三：如果两条直线相互垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。

三、平行与垂直的相关定理除了上述基本定义和性质之外，还存在一些关于平行与垂直的重要定理，值得进一步探讨。

1. 平行线的判定定理：如果两条直线分别与同一条直线平行，那么这两条直线也是平行的。

2. 平行线的性质定理：如果两条直线平行，并且分别与第三条直线相交，那么这两条直线分别与第三条直线的内角、外角互补。

空间几何中的平行与垂直关系在空间几何中，平行和垂直是我们常见的几何关系。

平行指两条直线或者两个平面永远不会相交，而垂直指两条直线或者两个平面相互成直角。

这两种关系在数学和实际生活中都有广泛的应用。

本文将探讨平行和垂直的定义、性质以及在几何中的重要应用。

一、平行关系平行线是指两条直线不相交，且永远保持相同的距离。

根据平行线的定义，我们可以得出以下性质：1. 平行线具有传递性，即若线段AB与线段BC平行，则线段AB与线段AC也平行。

2. 平行线之间不存在交点，也不能相互交叉。

3. 平行线与一条直线的交点与另一条直线平行。

4. 平行线具有对称性，即若线段AB与线段CD平行，则线段CD与线段AB也平行。

平行关系在空间几何中有很多应用，比如在平行四边形和三角形的性质证明中经常用到。

平行线也是解决几何难题的重要手段，如求解截面积和体积等问题。

二、垂直关系垂直是指两条直线或者两个平面相互成直角。

根据垂直关系的定义，我们可以得出以下性质：1. 垂直于同一条直线的两条直线彼此平行。

2. 两个平面相互垂直的条件是它们的法向量垂直。

3. 直线与平面垂直，则直线上的任意一条线段与平面上的任意一条线段相互垂直。

垂直关系在几何中也有广泛的应用。

在建筑设计中，垂直关系是测量和布局的基础。

在空间坐标系中，垂直关系可以用来识别空间中的平面，具有重要的实际应用价值。

总结：平行和垂直是空间几何中常见的几何关系。

两条平行线永远不会相交，而两条垂直线相互成直角。

它们在各自的定义中包含了一系列的性质和特点，这些性质和特点为我们解决几何问题提供了重要的线索。

在几何证明中，平行和垂直关系是解决问题的关键步骤之一。

我们可以利用这些关系性质，推导出更多有关几何形状和结构的定理。

在实际生活中，平行和垂直关系也有广泛的应用。

比如在建筑设计、物体测量等方面都需要考虑平行和垂直的关系，以保证结构的稳定性和功能的实现。

通过理解和应用平行和垂直关系，我们可以更好地理解和解决与空间几何相关的问题，提高数学思维能力和几何分析能力。