高考数学一轮 一课双测A B精练(十四)变化率与导数、导数的计算 文

高考数学一轮强化训练 2.11变化率与导数、导数的计算 文新人教A 版强化训练1.若曲线2y x ax b =++在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( )A.a =1,b =1B.a =-1,b =1C.a =1,b =-1D.a =-1,b =-1 答案:A解析:∵y ′=2x +a ,∴曲线2y x ax b =++在(0,b )处的切线方程斜率为a ,切线方程为y -b =ax ,即ax -y +b =0.∴a =1,b =1.2.若42()f x ax bx c =++满足f ′(1)=2,则f ′(-1)等于( )A.-4B.-2C.2D.4答案:B解析:求导后导函数为奇函数,所以选择B.3.某市在一次降雨过程中,降雨量y (mm)与时间t (min)的函数关系可近似地表示为()y f t ==则在时刻t =40 min 的降雨强度为( )A.20 mm/minB.400 mm/minC.12 mm/minD.14mm/min 答案:D解析:f ′()10t ==∴f ′1(40)4==,选D. 4.f ′(x )是31()213f x x x =++的导函数,则f ′(-1)的值是 . 答案:3解析:f ′2()2x x =+,故f ′(-1)=3.5.函数y =x cos x 在3x π=处的导数值是 .答案:12解析:y ′=cos x -x sin x ,当3x π=时,y ′12=-.6.已知函数f (x )=ln 21()(2x g x x a a ,=+为常数),直线l 与函数f (x ),g (x )的图象都相切,且l 与函数f (x )、g (x )图象的切点的横坐标为1,求直线l 的方程及a 的值.解:由f ′(x )|11x ==,故直线l 的斜率为1,切点为(1,f (1)),即(1,0),∴l :y =x -1. ①又∵g ′(x )=x =1,切点为1(1)2a ,+. ∴l :1()12y a x -+=-, 即12y x a =-+. ② 比较①和②的系数得112a -+=-, ∴12a =-.见课后作业B题组一 导数的概念和计算1.设f (x )=x ln x ,若f ′0()2x =,则0x 等于( )A.e 2B.eC.ln22D.ln2 答案:B解析:f ′1()1x x x=⋅+⋅ln x =1+ln x , 由1+ln 02x =,知0x =e.2.设0()f x =cos 10()x f x f ,=′21()()x f x f ,=′(x ),…,1()n n f x f +=′()x n ,∈N ,则2010()f x 等于( )A.sin xB.-sin xC.cos xD.-cos x答案:D 解析:∵1()(f x =cos x )′=-sin 2()x f x ,=(-sin x )′=-cos 3()(x f x ,=-cos x )′=sin x , 4()(f x =sin x )′=cos x ,…,由此可知()n f x 的值周期性重复出现,周期为4,故20102()()f x f x ==-cos x .3.设函数32sin ()3f x x x θ=++tan θ,其中5[0]12θπ∈,,则导数f ′(1)的取值范围是( )A.[-2,2]B.C.2]D.2] 答案:D解析:∵f ′(x )=sin 2x θ⋅cos x θ⋅,∴f ′(1)=sin θ+2θ=sin ()3θπ+. ∵5[0]12θπ∈,, ∴3[]433θπππ+∈,.∴sin ()1]3θπ+∈.∴f ′(1)2]∈.4.已知221()x f x x+=的导函数为f ′(x ),则f ′(i)等于(i 为虚数单位)( ) A.-1-2iB.-2-2iC.-2+2iD.2-2i答案:D 解析:因为f ′2422(21)()x x x x x -+=,所以f ′(i)242i 2i(2i 1)242i -+==-+-i=2-2i. 5.设函数f (x )=x (x +k )(x +2k )(x -3k ),且f ′(0)=6,则k 等于( )A.0B.-1C.3D.-6答案:B解析:f ′(x )=(x +k )(x +2k )(x -3k )+x [(x +k )(x +2k )(x -3k )]′,故f ′3(0)6k =-.又f ′(0)=6,故k =-1.题组二 导数的几何意义6.(2011江西高考,文4)曲线y =e x 在点A(0,1)处的切线斜率为( )A.1B.2C.eD.1e答案:A解析:y ′=e x ,当x =0时,e 01=,即y ′=1.7.若曲线2()f x ax =+ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是 . 答案:(0)-∞,解析:f ′1()2x ax x=+. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线,∴f ′(x )=0有解,即120ax x+=有解. ∴212a x=-. ∴(0)a ∈-∞,.8.已知函数3()16f x x x =+-.(1)求曲线y =f (x )在点(2,-6)处的切线的方程;(2)直线l 为曲线y =f (x )的切线,且经过原点,求直线l 的方程及切点坐标;(3)如果曲线y =f (x )的某一切线与直线14y x =-+3垂直,求切点坐标与切线的方程. 解:(1)∵f ′3()(16)x x x =+-′231x =+,∴在点(2,-6)处的切线的斜率为k =f ′(2)=13.∴切线的方程为y =13(x -2)+(-6),即y =13x -32.(2)法一:设切点为00()x y ,,则直线l 的斜率为f ′200()31x x =+,∴直线l 的方程为200(31)()y x x x =+-+30x +016x -. 又∵直线l 过点(0,0),∴2300000(31)()16x x x x =+-++-.整理得308x ,=-.∴02x =-.∴30(2)(2)1626y =-+--=-,23(2)113k =⨯-+=.∴直线l 的方程为y =13x ,切点坐标为(-2,-26).法二:设直线l 的方程为y =kx ,切点为00()x y ,,则3000000160y x x k x x -+-==,- 又∵k =f ′200()31x x =+, ∴3200001631x x x x +-=+.解之得02x =-. ∴30(2)(2)1626y =-+--=-,23(2)113k =⨯-+=.∴直线l 的方程为y =13x ,切点坐标为(-2,-26).(3)∵切线与直线34x y =-+垂直, ∴切线的斜率k =4.设切点的坐标为00()x y ,,则f ′200()314x x =+=,∴01x =±.∴00114x y =,⎧⎨=-,⎩ 或00118x y =-,⎧⎨=-.⎩切线方程为y =4(x -1)-14或y =4(x +1)-18.即y =4x -18或y =4x -14.题组三 导数的灵活运用9.曲线2x y x =+在点(-1,-1)处的切线方程为( ) A.y =2x +1B.y =2x -1C.y =-2x -3D.y =-2x -2 答案:A解析:y ′22(2)x =+|12x =-=, 所以切线方程为y +1=2(x +1),即为y =2x +1.10.已知直线x +2y -4=0与抛物线24y x =相交于A 、B 两点,O 是坐标原点,P 在抛物线的弧AOB上,当△PAB 面积最大时,P 点坐标为 .答案:(4,-4)解析:|AB |为定值,△PAB 面积最大,只要P 到AB 的距离最大,只要点P 是抛物线上平行于AB 的切线的切点,设P (x ,y ).由图可知,点P 在x 轴下方的图象上,∴2y x =-.∴y ′1x=-. ∵12AB k =-, ∴112x-=-. ∴x =4,代入24(0)y x y =<得y =-4.∴P (4,-4).11.对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠,定义:设f ″(x )是函数y =f (x )的导函数y =f ′(x )的导数,若f ″(x )=0有实数解0x ,则称点0(x ,0())f x 为函数y =f (x )的”拐点”.现已知32()322f x x x x =-+-,请解答下列问题:(1)求函数f (x )的”拐点”A 的坐标;(2)求证f (x )的图象关于”拐点”A 对称.解:(1)f ′2()362x x x f =-+,″(x )=6x -6.令f ″(x )=6x -6=0得 x =13(1)1322f ,=-+-=-2.∴拐点A (1,-2).(2)证明:设00()P x y ,是y =f (x )图象上任意一点,则320000322y x x x =-+-,因为00()P x y ,关于A(1,-2)的对称点为P ′0(2x -04)y ,--,把P ′代入y =f (x )得左边3200004322y x x x =--=-+--,右边=0(2)x -33-0(2)x -202(2)x +--2=32000322x x x -+--. ∴左边=右边.∴P ′00(24)x y -,--在y =f (x )图象上.∴y=f(x)的图象关于点A对称.。

高考数学一轮复习定时检测 3.1变化率与导数、导数的计算（带详细解析） 理 新人教A 版第三编 导数及其应用§3.1 变化率与导数、导数的计算一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2010·佛山模拟)一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t2＋2t ，那么速度为零的时刻是 ( ) A ．0秒 B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末解析 ∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t )＝t 2－3t ＋2，令v ＝0，得t 1＝1，t 2＝2. 答案 D2．(2009·临沂模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 ( )A ．1 B. 2 C.22 D. 3解析 过点P 作y ＝x －2的平行直线，且与曲线y ＝x 2－ln x 相切，设P (x 0，x 20－ln x 0)，则k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0，∴2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12(舍去)．∴P (1,1)，∴d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.答案 B3．(2009·潮州一模)若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析 y ′＝4x 3＝4，得x ＝1，即切点为(1,1)，所以过该点的切线方程为y －1＝4(x －1)， 整理得4x －y －3＝0. 答案 A4．(2010·聊城模拟)曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2 D.e 22解析 ∵点(2，e 2)在曲线上，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝e x |x ＝2＝e 2，∴切线的方程为y －e 2＝e 2(x －2)．即e 2x －y －e 2＝0.与两坐标轴的交点坐标为(0，－e 2)，(1,0)，∴S △＝12×1×e 2＝e 22.答案 D5．(2009·全国Ⅰ理，9)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2解析 设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )，又y ′＝1x ＋a，∴y ′| x ＝x 0＝1x 0＋a＝1，即x 0＋a ＝1.又y 0＝ln(x 0＋a )，∴y 0＝0，∴x 0＝－1，∴a ＝2. 答案 B6．(2009·安徽文，9)设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是 ( ) A ．[－2,2] B ．[2，3] C ．[3，2] D ．[2，2]解析 由已知f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3， 又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12.∴π3≤θ＋π3≤3π4，∴22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤1，∴2≤f ′(1)≤2.答案 D二、填空题(每小题6分，共18分)7.（2010·厦门调研）如图所示，函数f(x)的图象是折线段 ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f （f （0））= ；0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝________.(用数字作答)解析 由A (0,4)，B (2,0)可得线段AB 所在直线的方程为f (x )＝－2x ＋4 (0≤x ≤2)．同理BC所在直线的方程为f (x )＝x －2 (2<x ≤6)． 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4 (0≤x ≤2)，x －2 (2<x ≤6)，所以f (0)＝4，f (4)＝2..2)1()1()1(lim-='=∆-∆+→∆f xf x f x答案 2 －28．(2009·福建理，14)若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵f ′(x )＝5ax 4＋1x，x ∈(0，＋∞)，∴由题知5ax 4＋1x＝0在(0，＋∞)上有解．即a ＝－15x5在(0，＋∞)上有解． ∵x ∈(0，＋∞)，∴－15x5∈(－∞，0)．∴a ∈(－∞，0)． 答案 (－∞，0)9．(2009·江苏，9)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________．解析 设P (x 0，y 0)(x 0<0)，由题意知：y ′|x ＝x 0＝3x 20－10＝2，∴x 20＝4.∴x 0＝－2，∴y 0＝15.∴P 点的坐标为(－2,15)． 答案 (－2,15) 三、解答题(共40分)10．(13分)(2009·衡阳模拟)求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．解 f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.设切线的斜率为k . (1)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2， 所以所求曲线的切线方程为y ＝2x .(2)当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)，则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，① 又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，② 由①②得x 0＝32，k ＝y 0x 0＝－14.∴所求曲线的切线方程为y ＝－14x .11．(13分)(2010·绍兴月考)设t ≠0，点P (t,0)是函数f (x )＝x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线．试用t 表示a ，b ，c . 解 因为函数f (x )，g (x )的图象都过点(t,0)，所以f (t )＝0，即t 3＋at ＝0.因为t ≠0，所以a ＝－t 2. g (t )＝0，即bt 2＋c ＝0，所以c ＝ab .又因为f (x )，g (x )在点(t,0)处有相同的切线， 所以f ′(t )＝g ′(t )．而f ′(x )＝3x 2＋a ，g ′(x )＝2bx ，所以3t 2＋a ＝2bt .将a ＝－t 2代入上式得b ＝t .因此c ＝ab ＝－t 3.故a ＝－t 2，b ＝t ，c ＝－t 3.12．(14分)(2010·厦门模拟)设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，通过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限． (1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解 (1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1.①y 1＝－x 21＋92x 1－4.②①代入②得x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －92x 1＋4＝0.∵P 为切点，∴Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －922－16＝0，得k ＝172或k ＝12.当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17.当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1.∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③将③代入抛物线方程得x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9，∴x 2＝92，y 2＝－4.∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4.。

第十一节变化率与导数、导数的计算[知识能否忆起]一、导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0fx 0＋Δx －f x 0Δx.(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx为f (x )的导函数．二、基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x三、导数的运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)．(理)4.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[小题能否全取]1．(教材习题改编)若f (x )＝x e x，则f ′(1)＝( ) A ．0 B ．e C ．2eD ．e 2解析：选C ∵f ′(x )＝e x＋x e x，∴f ′(1)＝2e.2．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析：选A 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′ |x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a×2＝－1，a＝2.3．(教材习题改编)某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s时，它的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：选A 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．4．(2012·广东高考)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′ |x ＝1＝3×12－1＝2.∴该切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝05．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′ ＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .答案：－x sin x 1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．利用导数的定义求函数的导数典题导入[例1] 用定义法求下列函数的导数． (1)y ＝x 2； (2)y ＝4x2.[自主解答] (1)因为Δy Δx ＝fx ＋Δx －f xΔx＝x ＋Δx 2－x 2Δx＝x 2＋2x ·Δx ＋Δx 2－x2Δx＝2x ＋Δx ，所以y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝limΔx →0 (2x ＋Δx )＝2x . (2)因为Δy ＝4x ＋Δx2－4x 2＝－4Δx 2x ＋Δx x 2x ＋Δx 2， Δy Δx ＝－4·2x ＋Δxx 2x ＋Δx2，所以lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4·2x ＋Δx x 2x ＋Δx 2＝－8x 3.由题悟法根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的步骤(1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率Δy Δx＝fx 0＋Δx －f x 0Δx；(3)计算导数f ′(x 0)＝li m Δx →0 ΔyΔx. 以题试法1．一质点运动的方程为s ＝8－3t 2.(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t ＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)． 解：(1)∵s ＝8－3t 2，∴Δs ＝8－3(1＋Δt )2－(8－3×12)＝－6Δt －3(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝－6－3Δt . (2)法一(定义法)：质点在t ＝1时的瞬时速度v ＝li m Δt →0ΔsΔt＝li m Δt →0 (－6－3Δt )＝－6. 法二(导数公式法)：质点在t 时刻的瞬时速度v ＝s ′(t )＝(8－3t 2)′＝－6t .当t ＝1时，v ＝－6×1＝－6.导数的运算典题导入[例2] 求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x＋1e x －1；[自主解答] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝e x＋1′e x －1－e x＋1e x－1′e x －12＝exe x－1－e x＋1e xe x －12＝－2exe x －12.则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.由题悟法求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．以题试法2．求下列函数的导数．(1)y ＝e x·ln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；解：(1)y ′＝(e x·ln x )′ ＝e x ln x ＋e x ·1x＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x .(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x3.导数的几何意义典题导入[例3] (1)(2011·山东高考)曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－12[自主解答] (1)y ′＝3x 2，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9.(2)∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝k ＝2. 又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4. [答案] (1)C (2)C若例3(1)变为：曲线y ＝x 3＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程． 解：因点P 不在曲线上，设切点的坐标为(x 0，y 0)， 由y ＝x 3＋11，得y ′＝3x 2， ∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.又∵k ＝y 0－13x 0－0，∴x 30＋11－13x 0＝3x 20.∴x 30＝－1，即x 0＝－1. ∴k ＝3，y 0＝10.∴所求切线方程为y －10＝3(x ＋1)， 即3x －y ＋13＝0.由题悟法导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知切线过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)求切点，设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f x 1－f x 0x 1－x 0＝f ′(x 0)求解．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________． (2)(2013·乌鲁木齐诊断性测验)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1解析：(1)y ′＝3ln x ＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.(2)设切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－12a ＋ln a ，依题意，对于曲线y ＝－12x ＋ln x ，有y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1a ＝12，得a ＝1.又切点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b＝－1.答案：(1)y ＝4x －3 (2)B1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．2．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194 B.174 C.154D.134解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.3． (2012·哈尔滨模拟)已知a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导函数f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－2xC ．y ＝3xD ．y ＝2x解析：选B ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －2. ∵f ′(x )为偶函数，∴a ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－2.∴f ′(0)＝－2.∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－2x .4．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1 B.12 C ．－2D ．2解析：选A ∵y ′＝－sin 2x －1＋cos xcos x sin 2x ＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′|x ＝π2＝－1.由条件知1a＝－1，∴a ＝－1.5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1B.2C.22D.3解析：选B 设P (x 0，y 0)到直线y ＝x －2的距离最小，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1.得x 0＝1或x 0＝－12(舍)．∴P 点坐标(1,1)．∴P 到直线y ＝x －2距离为d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.6．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：选C 由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0， 即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．7．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x－2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：88．(2012·辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析：易知抛物线y ＝12x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y ′＝x ，则过点P 的切线方程为y ＝4x －8，过点Q 的切线方程为y ＝－2x －2，联立两个方程解得交点A (1，－4)，所以点A 的纵坐标是－4.答案：－49．(2012·黑龙江哈尔滨二模)已知函数f (x )＝12x －14sin x －34cos x 的图象在点A (x 0，y 0)处的切线斜率为1，则tan x 0＝________.解析：由f (x )＝12x －14sin x －34cos x 得f ′(x )＝12－14cos x ＋34sin x ，则k ＝f ′(x 0)＝12－14cos x 0＋34sin x 0＝1，3 2sin x0－12cos x0＝1，即sin⎝⎛⎭⎪⎫x0－π6＝1.即所以x 0－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x 0＝2k π＋2π3，k ∈Z.故tan x 0＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3.答案：－310．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x＝tan x ＋xcos 2x.(2)y ′＝(x ＋1)′(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.11．已知函数f (x )＝x －2x，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解：根据题意有曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3， 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a . 所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1)， 得：y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0. 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g (1)＝3(x －1)． 得y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0， 所以，两条切线不是同一条直线．12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 32－9－a 23，即当x ＝－a 3时，函数f ′(x )取得最小值－9－a 23，因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，即a ＝±3.1．(2012·商丘二模)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )A ．0B ．26C ．29D ．212解析：选D ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)， ∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′ ＝(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′，∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212.2．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n∈N *，n ≥2)，则f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 012⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________.解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )， 又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 012⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝503f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0.答案：03．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l ，根据以下条件求l 的方程．(1)直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点； (2)直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P .解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，故所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. 又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－－2x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，所以x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3，即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)．1 2，解得x0＝1(舍去)或x0＝－故所求直线的斜率为k ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1＝－94. 所以l 的方程为y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，则⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20·(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

变化率与导数导数的计算一、变化率与导数的关系在数学中，变化率是指一个量相对于另一个量的变化程度，常用来衡量两个变量之间的关系。

而导数则是描述函数在其中一点上的变化率的概念。

在一个数学函数中，比如说y=f(x)，x和y分别代表自变量和因变量。

那么，当x发生微小变化Δx时，对应的y值也会发生一定的变化Δy。

这时，我们可以计算出y随着x的变化而变化的速率，也就是变化率。

变化率可以通过求平均变化率和瞬时变化率来进行计算。

平均变化率指的是通过两个点之间的变化率来计算，可以用Δy/Δx来表示。

而瞬时变化率则是在其中一点上的变化率，通过取Δx趋近于0时的极限来计算，也就是导数。

二、导数的定义与计算导数是用来衡量函数在其中一点上的变化率的数值，用dy/dx来表示。

导数的定义是：f'(x) = lim(Δx→0) (f(x+Δx) - f(x))/Δx导数表示函数f(x)在x点处的瞬时变化率。

导数可以用各种方法进行计算，其中最常用的方法包括求导法则和导数的性质。

1.求导法则（1）常数法则：如果c是一个常数，那么d(c)/dx = 0。

（2）幂法则：如果f(x) = x^n，那么d(f(x))/dx = nx^(n-1)。

（3）和差法则：如果f(x)=u(x) ± v(x)，那么d(f(x))/dx =d(u(x))/dx ± d(v(x))/dx。

（4）乘法法则：如果f(x) = u(x)v(x)，那么d(f(x))/dx =u(x)d(v(x))/dx + v(x)d(u(x))/dx。

（5）除法法则：如果f(x) = u(x)/v(x)，那么d(f(x))/dx =(v(x)d(u(x))/dx - u(x)d(v(x))/dx)/v(x)^2（6）复合函数法则：如果f(x) = g(u(x))，那么d(f(x))/dx =g'(u(x))d(u(x))/dx。

2.导数的性质（1）导数的和差性：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。

专题3.1 变化率与导数、导数的计算1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数；4. 能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数。

知识点1． 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝0lim x ∆→ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ∆→ΔyΔx＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).知识点2.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝0lim x ∆→f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.知识点3.基本初等函数的导数公式若f ′(x )，g ′(x )存在，则有：(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0).【特别提醒】1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f （x ）′＝－f ′（x ）[f （x ）]2.3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.考点一 导数的运算【典例1】(2018·天津卷)已知函数f (x )＝e xln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________. 【解析】由题意得f ′(x )＝e x ln x ＋e x·1x，则f ′(1)＝e.【答案】e 【方法技巧】1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解。

2021年高考数学一轮复习 第三章 第1讲 变化率与导数、导数的运算 文（含解析）一、选择题1．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( )A ．－15B ．0 C.15D ．5解析 因为f (x )是R 上的可导偶函数，所以f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )在x ＝0处取得极值，即f ′(0)＝0，又f (x )的周期为5，所以f ′(5)＝0，即曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为0，选B. 答案 B2．函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的可导函数，且满足f (x )>0，xf ′(x )＋f (x )<0，则对任意正数a ，b ，若a >b ，则必有( )．A ．af (b )<bf (a )B ．bf (a )<af (b )C ．af (a )<f (b )D ．bf (b )<f (a )解析 构造函数F (x )＝f x x (x >0)，F ′(x )＝xf ′x －f xx 2，由条件知F ′(x )<0，∴函数F (x )＝f x x在(0，＋∞)上单调递减，又a >b >0，∴f aa<f b b，即bf (a )<af (b )．答案 B3．已知函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋1ax (a >0)，则f (2)的最小值为( )．A ．1232B ．12＋8a ＋1aC ．8＋8a ＋2aD ．16解析f(2)＝8＋8a＋2a，令g(a)＝8＋8a＋2a，则g′(a)＝8－2a2，由g′(a)>0得a>12，由g′(a)<0得0<a<12，∴a＝12时f(2)有最小值．f(2)的最小值为8＋8×12＋212＝16.故选D.答案 D4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝( )．A．－e B．－1 C．1 D．e解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1x ，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.答案 B5．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝( )．A．26 B．29 C．212 D．215解析函数f(x)的展开式含x项的系数为a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212，而f′(0)＝a1·a2·…·a8＝212，故选C.答案 C6．已知函数f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则 ( )．A．h(1)<h(0)<h(－1)B．h(1)<h(－1)<h(0)C．h(0)<h(－1)<h(1)D．h(0)<h(1)<h(－1)解析由图象可知f′(x)＝x，g′(x)＝x2，则f(x)＝12x2＋m，其中m为常数，g(x)＝13x3＋n，其中n为常数，则h(x)＝12x2－13x3＋m－n，得h(0)<h(1)<h(－1)．答案 D二、填空题7．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．解析 ∵y ＝x (3ln x ＋1)，∴y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x＝3ln x ＋4，∴k ＝y ′|x ＝1＝4，∴所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3. 答案 y ＝4x －38．若过原点作曲线y ＝e x的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．解析 y ′＝e x，设切点的坐标为(x 0，y 0)则y 0x 0＝e x 0，即e x 0x 0＝e x 0，∴x 0＝1.因此切点的坐标为(1，e)，切线的斜率为e. 答案 (1，e) e9．已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的导数f ′(1)＝________.解析 ∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8， ∴x ＝1时，f (1)＝2f (1)－1＋8－8， ∴f (1)＝1，即点(1,1)，在曲线y ＝f (x )上． 又∵f ′(x )＝－2f ′(2－x )－2x ＋8，x ＝1时，f ′(1)＝－2f ′(1)－2＋8，∴f ′(1)＝2. 答案 210．同学们经过市场调查，得出了某种商品在2011年的价格y (单位：元)与时间t (单位：月)的函数关系为：y ＝2＋t 220－t (1≤t ≤12)，则10月份该商品价格上涨的速度是______元/月．解析 ∵y ＝2＋t 220－t(1≤t ≤12)，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋t 220－t ′＝2′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 220－t ′＝t 2′20－t －t 220－t ′20－t 2＝40t －t 220－t2.由导数的几何意义可知10月份该商品的价格的上涨速度应为y ′|t ＝10＝40×10－10220－102＝3.因此10月份该商品价格上涨的速度为3元/月． 答案 3 三、解答题11．求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋1)n，(n ∈N *)； (2)y ＝ln (x ＋1＋x 2)；(3)y ＝e x＋1e x －1； (4)y ＝2x sin(2x ＋5)．解 (1)y ′＝n (2x ＋1)n －1·(2x ＋1)′＝2n (2x ＋1)n －1.(2)y ′＝1x ＋1＋x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 21＋x 2＝11＋x 2. (3)∵y ＝e x＋1e x －1＝1＋2e x －1∴y ′＝－2exe x－12.(4)y ′＝2sin(2x ＋5)＋4x cos(2x ＋5)．12．设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l . (1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；(2)若方程f (x )＋g (x )＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1<x 2，且对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，求实数m 的取值范围．解析 (1)f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3，由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线，故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1，由此解得a ＝－2，b ＝5； 切线l 的方程为：x －y －2＝0.(2)由(1)得f (x )＋g (x )＝x 3－3x 2＋2x ，依题意得：方程x (x 2－3x ＋2－m )＝0有三个互不相等的根0，x 1，x 2，故x 1，x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两个相异实根，所以Δ＝9－4(2－m )>0⇒m >－14；又对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，特别地，取x ＝x 1时，f (x 1)＋g (x 1)－mx 1<－m 成立，即0<－m ⇒m <0，由韦达定理知：x 1＋x 2＝3>0，x 1x 2＝2－m >0，故0<x 1<x 2，对任意的x ∈[x 1，x 2]，有x －x 2≤0，x －x 1≥0，x >0，则f (x )＋g (x )－mx ＝x (x －x 1)(x －x 2)≤0； 又f (x 1)＋g (x 1)－mx 1＝0，所以函数在x ∈[x 1，x 2]上的最大值为0，于是当m <0时对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立．综上：m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，013．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．(1)解 方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由f ′(x )＝1＋3x2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x20·(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)． 令x ＝0得，y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6.14．设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b ，为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切． (1)求a ，b 的值；(2)证明：当0<x <2时，f (x )<9x x ＋6. (1)解 由y ＝f (x )过(0,0)点，得b ＝－1. 由y ＝f (x )在(0,0)点的切线斜率为32，又y ′|x ＝0＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋12x ＋1＋a x ＝0＝32＋a ，得a ＝0.(2)证明 当x >0时，2x ＋1·1<x ＋1＋1＝x ＋2，故x ＋1<x 2＋1.记h (x )＝f (x )－9xx ＋6，则h ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1－54x ＋62＝2＋x ＋12x ＋1－54x ＋62<x ＋64x ＋1－54x ＋62＝x ＋63－216x ＋14x ＋1x ＋62. 令g (x )＝(x ＋6)3－216(x ＋1)，则当0<x<2时，g′(x)＝3(x＋6)2－216<0.因此g(x)在(0,2)内是递减函数，又由g(0)＝0，得g(x)<0，所以h′(x)<0.因此h(x)在(0,2)内是递减函数，又h(0)＝0，得h(x)<0.于是当0<x<2时，f(x)<9xx＋6.5w!L=UxJ%33163 818B 膋JH35395 8A43 詃25295 62CF 拏u。

变化率与导数及导数的计算变化率是指其中一物理量在一定时间或空间上的变化幅度。

导数是微积分中用来描述函数变化率的概念。

导数的定义是函数在其中一点的变化率。

在微积分中，导数用于刻画函数曲线上一点的斜率，即曲线在该点的切线的斜率。

导数表示了函数在该点附近的局部变化情况。

若函数y=f(x)，则函数f(x)在x=a的导数表示为f'(a)或dy/dx，_x=a。

导数表示了函数y=f(x)在x=a点附近的变化率。

导数可以通过几何方法、物理方法、以及代数方法进行求解。

一、几何解释法通过对函数对应的图像进行观察，可以直观地看出导数的几何意义。

函数y=f(x)在x=a点的导数f'(a)等于函数曲线在x=a点处的切线的斜率。

二、平均变化率和瞬时变化率平均变化率表示了函数的两个点之间的变化情况。

若函数f(x)在区间[a,b]上是连续的，则函数在该区间上的平均变化率为(f(b)-f(a))/(b-a)。

瞬时变化率表示了函数在其中一点的瞬时变化情况。

当间隔变得非常短小，即b趋近于a时，平均变化率趋近于瞬时变化率，即瞬时变化率等于导数。

三、导数的计算方法1.基本导数公式常见的基本导数公式如下：（1）常数函数的导数为零，即d(c)/dx=0，其中c为常数；（2）x的导数为1，即d(x)/dx=1；（3）可加性，即d(u+v)/dx=du/dx+dv/dx，其中u和v是函数；（4）乘性，即d(uv)/dx=udv/dx+vdu/dx，其中u和v是函数。

2.基本函数的导数（1）幂函数的导数：若f(x)=x^n，则f'(x)=nx^(n-1)，其中n为常数；（2）指数函数的导数：若f(x)=a^x，则f'(x)=a^x * ln(a)，其中a为常数，ln(a)为a的自然对数；（3）对数函数的导数：若f(x)=log_a(x)，则f'(x)=1/(x*ln(a))，其中a为常数，ln(a)为a的自然对数；（4）三角函数的导数：若f(x)=sin(x)，则f'(x)=cos(x)；若f(x)=cos(x)，则f'(x)=-sin(x)；若f(x)=tan(x)，则f'(x)=sec^2(x)，其中sec(x)为x的余切。

••>必过数材美1. 导数的概念⑴函数y= f(x)在x = x o处的导数：函数y= f(x)在x= x o处的瞬时变化率li附0牛li碍0W fxo为函数y= f(x)在x= x0处的导数，记作f' (x o)或y' |x = x o，即f' (x o) = li 知0 严=ligO fxo+A x~ fxo .(2) 导数的几何意义：函数f(x)在点X o处的导数f' (X o)的几何意义是在曲线y= f(x)上点P(x o，y>)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地，切线方程为y—y o= f' (x o)(x —x o)_(3) 函数f(x)的导函数：称函数f' (x)= li A xrto ~x+ A xx^f-为f(x)的导函数.2. 基本初等函数的导数公式原函数导函数n *f' (x)= n x n 1 2f(x)= x (n € Q)f(x)= sin x f' (x) = cos xf(x)= cosx f' (x)=—sin xx ln axf(x)= a (a>o)f' (x)= af(x) = e x f' (x) = £f(x)= log a x(a>o,且a* 1) f (x)= xln af(x) = In x1f' (x)=- ' 'x3.1 [f(x) dg(x)] '= f'(X) ±'(X)；2 [f(x) g(x)]'= f' (x)g(x)+ f(x)g' (x);［小题体验］1.下列求导运算正确的是(, 1B . (log2x)=而22+ x (cos x)' = 2xcosx — x sin x . 2.曲线y = x 3 — x + 3在点(1,3)处的切线方程为 答案：2x — y + 1 = 0必过易措关1.利用公式求导时要特别注意不要将幕函数的求导公式 导公式(a%)' = ^In a 混淆.2.求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而 后者包括了前者.3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有 差别.［小题纠偏］1.函数y =呼的导函数为 答案：y '= —e 戶xe12. (2018杭州模拟)函数f(x) = x 2 + 一的图象在点(1, f(1))处的切线方程为( )f 'xgx — fxg x(g(Z0). ［gx ］4.复合函数的导数复合函数y = f(g(x))的导数和函数 y = f(u), u = g(x)的导数间的关系为 y x '= y u ' u x ',即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与 u 对x的导数C . (3x )'= 3xlog 3e 2D . (xcosx)'=— 2sin x解析：选B1 x y2 =1 — ~2； (3 )' = 3 In 3; x cosxx, )'=(x 2)zcos x 故选B.(x a )' = ax a "与指数函数的求A . x — y + 1 = 0B .3x — y — 1 = 0C . x — y — 1 = 0 3x —y +1 = 0切点为(1,2),可得图象在点 (1, f(1))处的切线方程为y — 2= x — 1,解析：选A1函数f(x) = x 2+1的导数为f '(x)=2x -x 2，可得图象在点 (1, f(1))处的切线斜率为k = 2— 1= 1,即为x — y + 1 = 0.故选A.』=鶴當°會闻奧館 圍詢^舎悔啄 酪圃區 金伺爾匪愿考点一导数的运算基础送分型考点一一自主练透［题组练透］求下列函数的导数. (1) y = x 2sin x ; 1(2) y = In x + X ；(3)y =讐； (4)(易错题)y = xsin 2x + 2 cos 2 (5)y = ln(2x — 5).解：(1)y ‘ = (x )' sin x + x (sin x)2=2xsin x + x cosx.1 1=_—飞 x xsin x + cosxxe(4) ■/ y = xsin 1 1=^xsin(4x + n= — ^xsin 4x , . / …y 1 1 =—^sin 4x — ^x 4cos 1=—2sin 4x — 2xcos 4c.(5)令 u = 2x — 5, y = In u ,［谨记通法］求函数导数的3种原则2x +n ； (2)y 'ln x +=(In x)(3)y '=讐'cosx 'e x — cosx e x (e )则 y ' = (In u)' u1 2 2x — 5 2= 2x — 5,即y '2 2x — 5.2x + n bosg +［提醒］复合函数求导时，先确定复合关系， 由外向内逐层求导，必要时可换元.考点二 导数的几何意义 题点多变型考点 一一多角探明 ［锁定考向］导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在 解答题的第 ⑴问中，难度偏小，属中低档题.常见的命题角度有： (1) 求切线方程; (2) 求切点坐标; (3)求参数的值(范围).［题点全练］角度一：求切线方程x 一 11.曲线y =——在点(0 , - 1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )X + 1程为y + 1= 2x ，即y = 2x — 1,与两坐标轴的交点坐标分别为 (0,— 1), ；，0 ,所以与两1 1 1坐标轴围成的三角形的面积S = 2X |— 1|X 1 = 4.角度二：求切点坐标2. (2018湖州模拟)曲线f(x) = X 3 + X — 2在P o 处的切线平行于直线 y = 4x — 1，贝V P 。