变化率与导数及计算

(2)曲线 y＝f(x)在“点 P(x0，y0)处的切线与”过点 P(x0，y0)的切 线的关系
曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线是指 P 为切点，若切线斜率 存在时，切线斜率为 k＝f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线 y＝f(x) 过点 P(x0，y0)的切线，是指切线经过 P 点，点 P 可以是切点，也可 以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
3．基本初等函数的导数公式 原函数
f(x)＝c(c 为常数) f(x)＝xα(α 是实数)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax
f(x)＝ex
f(x)＝logax
f(x)＝lnx
导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝αxα－1 f′(x)＝cos_x f′(x)＝－sin_x f′(x)＝axln_a
(2)f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是
2．导数的概念
(1)f(x)在 x＝x0 处的导数
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是
fx0＋Δx－fx0＝ Δx
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ΔΔxy，称其为函数 y＝f(x)在 x＝x0
处的导数，记作 f′(x0)＝
fx0＋ΔΔxx－fx0.
(2)导函数
如果一个函数 f(x)在区间(a，b)上的每一点 x 处都有导数，导数
◆一条原则 函数求导的原则： 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导 时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导 的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不 必要的运算失误．
◆两个关系 (1)“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的关系 ①函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)是一个常数； ②函数 y＝f(x)的导函数，是针对某一区间内任意点 x 而言的．如 果函数 y＝f(x)在区间(a，b)内每一点 x 都可导，是指对于区间(a，b) 内的每一个确定的值 x0 都对应着一个确定的导数 f′(x0)．这样就在 开区间(a，b)内构成了一个新函数，就是函数 f(x)的导函数 f′(x)．在 不产生混淆的情况下，导函数也简称导数．
∴f′(x)＝liΔmx→0
Δy Δx
＝liΔmx→0
－1 x＋2x＋2＋Δx
＝－x＋1 22.
考向二 导数的计算 求下列函数的导数．(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；
(2)y＝x2sin x； (3)y＝xl2n＋x1； (4)y＝ln(2x＋5)． 【审题视点】 观察所给的函数形式，化简变形后，利用导数 公式和求导法则求导．
f′(x)＝ex f′(x)＝xl1na
f′(x)＝1x
4.导数运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)gfxx′＝f′xgx[g－ xf]2xg′x(g(x)≠0)．
【基础自测】
1．f′(x)是函数 f(x)＝13x3＋2x＋1 的导函数，则 f′(－1)的值为
第11课时 变化率与导数、导数的计算
1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义． 3．能根据导数定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3， y＝1x，y＝ x的导数． 4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法 则求简单函数的导数．
【知识梳理】 1．平均变化率及瞬时变化率 (1)f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率是ΔΔxy＝fxx22－ －fx1x1.
值记作 f′(x)：f′(x)＝
fx＋ΔΔxx－fx，则 f′(x)是关于 x 的
函数，称 f′(x)为 f(x)的导函数，通常也简称为导数．
(3)导数的几何意义 函数 y＝f(x)在 x0 处的导数，是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的 切线的斜率． (3)导函数也简称导数．所以 “导数”f导x函在数一点x0处的导数个别与 一般 (4)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在点 x ＝x0 处的函数值．
考向一 导数的定义 用导数定义，求函数 y＝ x在 x＝1 处的导数．
【审题视点】 利用导数定义求解．
【解】 ∵f(x)＝ x，
∴Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ 1＋Δx－1，
∴ΔΔxy＝ 1＋ΔΔxx－1＝Δx1＋1＋ΔxΔ2x－＋112
＝ Δx
Δx 1＋Δx＋1
＝ 1＋1Δx＋1.
当 Δx→0 时，ΔΔxy→12，∴f′(1)＝12.
【方法总结】 根据导数的定义，求函数 y＝f(x)在 x＝x0 处导 数的方法是：
(1)求函数值的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0；
(3)计算导数 f′(x0)＝liΔmx→0
Δy Δx.
1．用导数定义求函数 f(x)＝x＋1 2的导数． 解：ΔΔxy＝fx＋ΔΔxx－fx ＝x＋21＋ΔΔxx－x＋1 2 ＝Δxx＋x2＋－2xx＋＋22＋＋ΔΔxx ＝x＋2－x＋12＋Δx，
3x－y－3＝0.
答案：C
3．已知函数 y＝f(x)＝2x2 图像上一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2
＋Δy)，则ΔΔxy等于(
)
A．3＋2Δx B．4＋Δx C．4＋2Δx D．3＋Δx
解析：∵Δy＝2(1＋Δx)2－2＝2Δx2＋4Δx，
∴ΔΔxy＝2Δx2Δ＋x 4Δx＝2Δx＋4，故选 C.
()
A．1
B．3
C．1 或 3
解析：∵f′(x)＝x2＋2，∴f′(－1)＝3.
D．4
答案：B
2．曲线 y＝x2－1x在点(1,0)处的切线方程为(
)
A．3x－y＋3＝0
B．x＋3y－3＝0
C．3x－y－3＝0
D．x＋3y－1＝0
解析：∵k＝f′(1)＝2x＋x12＝3，∴切线方程为 y＝3(x－1)，即
答案：C
4．(教材改编题)函数 f(x)＝(x＋2a)(x－a)2 的导数为________． 解析：f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)． 答案：3(x2－a2) 5．(2011·高考江西卷改编)若 f(x)＝x2－2x－4ln x，则 f′(x)>0 的解集为________． 解析：令 f′(x)＝2x－2－4x＝2x－2xx＋1>0，解得 x>2. 答案：(2，＋∞)