高三理科数学第一轮复习§2.10：变化率与导数、导数的计算

2．10导数的概念及运算［知识梳理]1．变化率与导数（1）平均变化率(2）导数2．导数的运算[诊断自测] 1．概念思辨(1)f ′(x 0）与（f （x 0））′表示的意义相同．( )（2)f ′(x 0)是函数y ＝f （x ）在x ＝x 0附近的平均变化率．（ ) （3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．（ ) （4）曲线y ＝f （x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P （x 0,y 0)的切线相同．（ ）答案 （1）× （2)× (3）× （4）×2．教材衍化(1）（选修A2－2P 6例1)若函数f (x ）＝2x 2－1的图象上一点（1，1)及邻近一点（1＋Δx,1＋Δy ），则Δy Δx 等于（ ）A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2（Δx ）2答案 C解析 Δy ＝(1＋Δy )－1＝f (1＋Δx ）－f (1）＝2(1＋Δx )2－1－1＝2（Δx )2＋4Δx ，∴错误!＝2Δx ＋4，故选C.（2）（选修A2－2P 18T 7）f （x ）＝cos x 在错误!处的切线的倾斜角为________． 答案错误!解析 f ′（x )＝（cos x )′＝－sin x ，f ′错误!＝－1， tan α＝－1，所以α＝3π4. 3．小题热身（1)（2014·全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln (x＋1）在点（0,0）处的切线方程为y＝2x,则a＝（）A．0 B．1 C．2 D．3答案D解析y′＝a－错误!,当x＝0时，y′＝a－1＝2，∴a＝3，故选D.(2）（2017·太原模拟）函数f(x）＝x e x的图象在点(1，f（1))处的切线方程是________．答案y＝2e x－e解析∵f(x)＝x e x,∴f(1)＝e,f′（x)＝e x＋x e x，∴f′（1)＝2e，∴f(x）的图象在点(1，f（1))处的切线方程为y －e＝2e(x－1),即y＝2e x－e.题型1导数的定义及应用错误!已知函数f(x)＝错误!＋1，则错误!错误!的值为（）A．－错误! B.错误! C.错误!D．0用定义法．答案A解析由导数定义，错误!错误!＝－错误!错误!＝－f′(1),而f′（1)＝错误!，故选A。

第十节变化率与导数、导数的计算知识点一 导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 2．导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．3．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx→0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．1．某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( A )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．2．函数f (x )＝x 2在区间[1,2]上的平均变化率为3，在x ＝2处的导数为4.解析：函数f (x )＝x 2在区间[1,2]上的平均变化率为22－122－1＝3，在x ＝2处的导数为f ′(2)＝2×2＝4.3．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x . 解析：∵y ＝2ln(x ＋1)，∴y ′＝2x ＋1.当x ＝0时，y ′＝2，∴曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x . 知识点二 导数的运算1．几种常见函数的导数2.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．3．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．4．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( B ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos xD ．－x cos x解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 5．已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( B ) A ．e 2 B ．e C.ln22D ．ln2解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.1．求导常见易错点：①公式(x n )′＝nx n －1与(a x )′＝a x ln a 相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )[g (x )]2，(cos x )′＝sin x .2．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.3．曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．考向一 导数的运算【例1】 求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x ； (3)y ＝cos x e x ；(4)y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2. 【解】 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x －1x 2.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x. (4)∵y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin4x ，∴y ′＝－12sin4x －12x ·4cos4x ＝－12sin4x －2x cos4x .(1)对于复杂函数的求导，首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错.(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，不要与求导的乘法公式混淆.(1)函数y ＝sin xx 的导数为y ′＝x cos x －sin x x 2. (2)已知f (x )＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋a )，若f ′(－1)＝2，则f ′(1)＝26. (3)函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)－ln x ，则f ′(2)的值是－74.解析：(1)∵y ＝sin xx ，∴y ′＝x (sin x )′－x ′sin x x 2＝x cos x －sin xx 2.(2)f (x )＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋a )＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋a )＝x 3＋(a ＋3)x 2＋(3a ＋2)x ＋2a ，所以f ′(x )＝3x 2＋2(a ＋3)x ＋3a ＋2，所以f ′(－1)＝3×(－1)2＋2(a ＋3)×(－1)＋3a ＋2＝2，解得a ＝3，所以f ′(x )＝3x 2＋12x ＋11，所以f ′(1)＝3×12＋12×1＋11＝26.(3)∵f (x )＝x 2＋3xf ′(2)－ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)－1x ，令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)－12，解得f ′(2)＝－74. 考向二 导数的几何意义方向1 已知切点求切线方程【例2】 (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x【解析】 解法1：因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以(－x )3＋(a －1)·(－x )2＋a (－x )＝－[x 3＋(a －1)x 2＋ax ]，所以2(a －1)x 2＝0，因为x ∈R ，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D.解法2：因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，所以－1＋a －1－a ＋(1＋a －1＋a )＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D.【答案】 D 方向2 求切点坐标【例3】 设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为________．【解析】 y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，则曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率k 1＝e 0＝1.y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，设P (m ，n )，则曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m >0)．因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．【答案】 (1,1)方向3 未知切点的切线问题【例4】 (1)(2019·西安八校联考)曲线y ＝x 3上一点B 处的切线l 交x 轴于点A ，△OAB (O 为原点)是以∠A 为顶角的等腰三角形，则切线l 的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°(2)(2019·广州市调研测试)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为________．【解析】 (1)解法1：因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2.设点B (x 0，x 30)(x 0≠0)，则k l ＝3x 20，所以切线l 的方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)．取y ＝0，则x ＝23x 0，所以点A (23x 0,0)．易知线段OB 的垂直平分线方程为y －x 302＝－1x 20(x －x 02)，根据线段OB 的垂直平分线过点A (23x 0,0)可得－x 302＝－1x 20(23x 0－x 02)，解得x 20＝33，所以k l ＝3x 20＝3，故切线l 的倾斜角为60°.故选C. 解法2：因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2.设点B (x 0，x 30)(x 0≠0)，则k l ＝3x 20，所以切线l 的方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)．取y ＝0，则x ＝23x 0，所以点A (23x 0,0)．由|OA |＝|AB |，得4x 209＝x 209＋x 60，又x 0≠0，所以x 20＝33，所以k l ＝3x 20＝3，故切线l 的倾斜角为60°.故选C.(2)由y ＝x ln x 得，y ′＝ln x ＋1.设直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切于点P (x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)，又直线y ＝kx －2恒过点(0，－2)，所以点(0，－2)在切线上，把(0，－2)以及y 0＝x 0ln x 0代入切线方程，得x 0＝2，故P (2,2ln2)．把(2,2ln2)代入直线的方程y ＝kx －2，得k ＝1＋ln2.【答案】 (1)C (2)1＋ln21.与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A (x 0，y 0)求斜率k ，即求该点处的导数值，k ＝f ′(x 0). (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .,(3)求过某点M (x 1，y 1)的切线方程时，需设出切点A (x 0，f (x 0))，则切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再把点M (x 1，y 1)代入切线方程，求x 0.2.根据导数的几何意义求参数的值的思路一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解.1．(方向1)已知函数f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x ln(－x )＋x ＋2，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为( B )A ．y ＝2x ＋3B ．y ＝2x －3C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝－2x －3解析：设x >0，则－x <0，∵f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝x ln(－x )＋x ＋2，∴f (x )＝－f (－x )＝－(－x ln x －x ＋2)＝x ln x ＋x －2.∴f (1)＝－1，f ′(x )＝ln x ＋2.∴f ′(1)＝2，∴曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程是y ＝2x －3.故选B.2．(方向2)设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e －x 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( A )A ．ln2B ．－ln2 C.ln22D ．－ln22解析：对f (x )＝e x ＋a ·e －x 求导得f ′(x )＝e x －a e －x ，又f ′(x )是奇函数，故f ′(0)＝1－a ＝0，解得a ＝1，故f ′(x )＝e x －e －x .设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝e x 0－e －x 0＝32，得e x 0＝2或e x 0＝－12(舍去)，得x 0＝ln2.3．(方向3)经过原点(0,0)作函数f (x )＝x 3＋3x 2的图象的切线，则切线方程为y ＝0或9x ＋4y ＝0.解析：当(0,0)为切点时，f ′(0)＝0，故切线方程为y ＝0；当(0,0)不为切点时，设切点为P (x 0，x 30＋3x 20)(x 0≠0)，则切线方程为y －(x 30＋3x 20)＝(x －x 0)(3x 20＋6x 0)，因为切线过原点，所以x 30＋3x 20＝3x 30＋6x 20，所以x 0＝－32，此时切线方程为9x ＋4y ＝0.典例 若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.【分析】 分别求出两个对应函数的导数，设出两个切点坐标，利用导数得到两个切点坐标之间的关系，进而求出切线斜率，求出b 的值．【解析】 解法1：求得(ln x ＋2)′＝1x ，[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.设曲线y ＝ln x ＋2上的切点为(x 1，y 1)，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点为(x 2，y 2)，则k ＝1x 1＝1x 2＋1，所以x 2＋1＝x 1. 又y 1＝ln x 1＋2，y 2＝ln(x 2＋1)＝ln x 1，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， 所以x 1＝1k ＝12，y 1＝ln 12＋2＝2－ln2，所以b ＝y 1－kx 1＝2－ln2－1＝1－ln2.解法2：设直线y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2的切点坐标为A (x 1，ln x 1＋2)，则在点A 处的切线方程为y －(ln x 1＋2)＝1x 1(x －x 1)，即为y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1 ①，设直线y ＝kx ＋b 与y ＝ln(x ＋1)的切点坐标为B (x 2，ln(x 2＋1))，则在点B 处的切线方程为y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，即为y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1②，由①②表示同一直线，则⎩⎨⎧ x 1＝x 2＋1，ln x 1＋1＝ln (x 2＋1)－x 2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，则b ＝ln 12＋1＝1－ln2.【答案】 1－ln2已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝8.解析：法1：∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1x ，y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1 消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.法2：同法1得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)．∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎨⎧ x 0＝－12，a ＝8.。

[备考方向要明了]1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim Δx→0f?x0＋Δx?－f?x0?Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f?x0＋Δx?－f?x0?Δx.(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)．(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝limΔx→0f?x＋Δx?－f?x?Δx为f(x)的导函数．[探究] 1.f′(x)与f′(x0)有何区别与联系？提示：f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值．2．曲线y＝f(x)在点P0(x0，y0)处的切线与过点P0?x0，y0)的切线，两种说法有区别吗？提示：(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．3．过圆上一点P的切线与圆只有公共点P，过函数y＝f(x)图象上一点P的切线与图象也只有公共点P吗？提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点．2．几种常见函数的导数3．(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)f?x?g?x?′＝f′?x?g?x?－f?x?g′?x?[g?x?]2(g(x)≠0)．4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)f′(x)是函数f(x)＝13x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为()A．0B．3C．4 D．－7 3解析：选B∵f(x)＝13x3＋2x＋1，∴f′(x)＝x2＋2.∴f′(－1)＝3.2．曲线y＝2x－x3在x＝－1处的切线方程为() A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0 C．x－y＋2＝0 D．x－y－2＝0 解析：选A∵f(x)＝2x－x3，∴f′(x)＝2－3x2.∴f′(－1)＝2－3＝－1.又f(－1)＝－2＋1＝－1，∴切线方程为y＋1＝－(x＋1)，即x＋y＋2＝0. 3．y＝x2cos x的导数是()A．y′＝2x cos x＋x2sin xB．y′＝2x cos x－x2sin xC．y＝2x cos xD．y′＝－x2sin x解析：选B y′＝2x cos x－x2sin x.4．(教材习题改编)曲线y＝sin xx在点M(π，0)处的切线方程是________．解析：∵f(x)＝sin xx，∴f′(x)＝x·cos x－sin xx2，∴f′(π)＝－ππ2＝－1π.∴切线方程为y＝－1π(x－π)，即x＋πy－π＝0.答案：x＋πy－π＝05．(教材习题改编)如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.解析：由题意知f ′(5)＝－1， f (5)＝－5＋8＝3， ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 答案：2[例1] (1)y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ； (2)y ＝ln xx ； (3)y ＝tan x ； (4)y ＝3x e x －2x ＋e.[自主解答] (1)∵y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1x－x ＝x 12-－x 12，∴y ′＝(x12-)′－(x 12)′＝－12x 32-－12x 12-.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ′＝?ln x ?′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝?sin x ?′cos x －sin x ?cos x ?′cos 2x＝cos x cos x －sin x ?－sin x ?cos 2x ＝1cos 2x .(4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.若将本例(3)中“tan x ”改为“sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4”如何求解？解：∵y ＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝－sin x 2cos x 2＝－12sin x∴y ′＝－12cos x ． ———————————————————求函数的导数的方法(1)求导之前，应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但可在求导前利用代数或三角恒等变形将其化简为整式形式，然后进行求导，这样可以避免使用商的求导法则，减少运算量．1．求下列函数的导数(1)y ＝x ＋x 5＋sin x x 2；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝11－x ＋11＋x；(4)y ＝cos 2xsin x ＋cos x .解：(1)∵y ＝x 12＋x 5＋sin x x 2＝x 32-＋x 3＋sin x x 2，∴y ′＝(x32-)′＋(x 3)′＋(x －2sin x )′＝－32x 52-＋3x 2－2x －3sin x ＋x －2cos x . (2)y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11. (3)∵y ＝11－x＋11＋x＝21－x ， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－2?1－x ?′?1－x ?2＝2?1－x ?2. (4)y ＝cos 2x sin x ＋cos x＝cos x －sin x ，∴y ′＝－sin x －cos x .[例2] 求下列复合函数的导数： (1)y ＝(2x －3)5；(2)y ＝3－x ； (3)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝ln(2x ＋5)．[自主解答] (1)设u ＝2x －3，则y ＝(2x －3)5由y ＝u 5 与u ＝2x －3复合而成，∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 5)′(2x －3)′ ＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x －3)4.(2)设u ＝3－x ，则y ＝3－x 由y ＝u 12与u ＝3－x 复合而成． ∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 12)′(3－x )′ ＝12u －12(－1)＝－12u 12- ＝－123－x ＝3－x 2x －6.(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3， 则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.(4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ， ∴y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. ———————————————————复合函数求导应注意三点一要分清中间变量与复合关系；二是复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的任一环；三是必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其复合关系．2．求下列复合函数的导数： (1)y ＝(1＋sin x )2；(2)y ＝ln x 2＋1； (3)y ＝1?1－3x ?4；(4)y ＝x1＋x 2.解：(1)y′＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′＝2(1＋sin x)·cos x.(2)y′＝(ln x2＋1)′＝1x2＋1·( x2＋1)′＝1x2＋1·12(x2＋1)12-·(x2＋1)′＝xx2＋1.(3)设u＝1－3x，y＝u－4.则y x′＝y u′·u x′＝－4u－5·(－3)＝12?1－3x?5.(4)y′＝(x1＋x2)′＝x′·1＋x2＋x⎝⎛⎭⎫1＋x2′＝1＋x2＋x21＋x2＝1＋2x21＋x2.[例3](1)(2012·P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．(2)已知曲线y＝13x3＋43.①求曲线在点P(2,4)处的切线方程；②求斜率为4的曲线的切线方程．[自主解答](1)y＝x22，y′＝x，∴y′|x＝4＝4，y′|x＝－2＝－2.点P 的坐标为(4,8)，点Q 的坐标为(－2,2)， ∴在点P 处的切线方程为y －8＝4(x －4)，即 y ＝4x －8.在点Q 处的切线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得A (1，－4)，则A 点的纵坐标为－4.(2)①∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上， 且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.②设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝x 20＝4， x 0＝±2.切点为(2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－43，∴切线方程为y －4＝4(x －2)或y ＋43＝4(x ＋2)， 即4x －y －4＝0或12x －3y ＋20＝0. [答案] (1)－4若将本例(2)①中“在点P (2,4)”改为“过点P (2,4)”如何求解？ 解：设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43， 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P ?2，4?在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋\f(4,3)，即x 30－3x 20＋4＝0. ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0.∴x 20?x 0＋1?－4?x 0＋1??x 0－1?＝0.∴?x 0＋1??x 0－2?2＝0.解得x 0＝－1或x 0＝2. 故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. ———————————————————1．求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率； (2)由点斜式方程求得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)． 2．求曲线的切线方程需注意两点(1)当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0；(2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解． 3．已知函数f (x )＝2x ＋1(x >－1)，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线l 分别交x轴和y 轴于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)求x 0＝1时，切线l 的方程；(2)若P 点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，233，求△AOB 的面积． 解：(1)f ′(x )＝1x ＋1，则f ′(x 0)＝1x 0＋1，则曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))的切线方程为 y －f (x 0)＝1x 0＋1(x －x 0)，即y ＝x x 0＋1＋x 0＋2x 0＋1.所以当x 0＝1时，切线l 的方程为x －2y ＋3＝0.(2)当x ＝0时，y ＝x 0＋2x 0＋1；当y ＝0时，x ＝－x 0－2.S △AOB ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2x 0＋1·?x 0＋2?＝?x 0＋2?22 x 0＋1， ∴S △AOB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋222 －23＋1＝839.[例4] 已知a －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 C.[)－1，＋∞D.(]－∞，－1[自主解答] 由题意知曲线上存在某点的导数为1， 所以y ′＝2ax ＋3－1x ＝1有正根， 即2ax 2＋2x －1＝0有正根． 当a ≥0时，显然满足题意；当a <0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a <0. 综上，a ≥－12.[答案] A ———————————————————导数几何意义应用的三个方面导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f ?x 1?－f ?x 0?x 1－x 0求解．4．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ(0<θ<π)，且f (x )＋f ′(x )是奇函数，则θ＝________.解析：∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ， ∴f ′(x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ.于是y ＝f ′(x )＋f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋θ＋π2＝2cos(3x ＋θ)，由于y ＝f (x )＋f ′(x )＝2cos(3x ＋θ)是奇函数， ∴θ＝k π＋π2(k ∈Z )．又0<θ<π，∴θ＝π2. 答案：π21个区别——“过某点”与“在某点”的区别曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．4个防范——导数运算及切线的理解应注意的问题(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． (2)利用导数公式求导数时，只要根据几种基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错．(3)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．(4)曲线未必在其切线的同侧，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧.易误警示——导数几何意义应用的易误点[典例] (2013·杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564 B ．－1或214 C ．－74或－2564D ．－74或7[解析] 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32， 当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A. [答案] A1．如果审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点，则易误选B. 2．解决与导数的几何意义有关的问题时， 应重点注意以下几点： (1)首先确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键；(2)基本初等函数的导数和导数运算法则是正确解决此类问题的保证； (3)熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提． 1．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12 C ．－22 D.22解析：选By ′＝cos x ?sin x ＋cos x ?－?cos x －sin x ?sin x ?sin x ＋cos x ?2＝1?sin x ＋cos x ?2，故y ′⎪⎪⎪4x π=＝12. ∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.2．已知函数f (x )＝x 3＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ，则函数f (x )的图象在点⎝⎛⎭⎪⎫23，f ⎝⎛⎭⎪⎫23处的切线方程是________．解析：由f (x )＝x 3＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ，可得f ′(x )＝3x 2＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －1，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23－1，解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－1，即f (x )＝x 3－x 2－x .则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233－⎝ ⎛⎭⎪⎫232－23＝－2227，故函数f (x )的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝⎛⎭⎪⎫23处的切线方程是 y ＋2227＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23，即27x ＋27y ＋4＝0.答案：27x ＋27y ＋4＝0一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·永康模拟)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( ) 解析：选D 据函数的图象易知，x <0时恒有f ′(x )>0，当x >0时，恒有f ′(x )<0. 2．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的大小关系是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3D ．不确定解析：选C 依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12，f ′(x )＝－sin x ＋1， ∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f ′(x )>0，∴f (x )＝cos x ＋x 是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的增函数，注意到－π3<π3，于是有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.3．已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( ) A ．0 B ．－1 C.12D ．2解析：选C f ′(x )＝3x 2－2tx －4， f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，t ＝12.4．曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1解析：选A 依题意得y ′＝(x ＋1)e x ＋2，则曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率为y ′|x ＝0，故曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即y ＝3x －1.5．(2013·大庆模拟)已知直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 有公共点，则k 的最大值为( ) A ．1 B.1e C.2eD.2e解析：选B 从函数图象知在直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 相切时，k 取最大值．y ′＝(ln x )′＝1x ＝k ，x ＝1k (k ≠0)，切线方程为y －ln 1k ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k ，又切线过原点(0,0)，代入方程解得ln k ＝－1，k ＝1e .6．设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2.下面的不等式在R 上恒成立的是( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )>xD ．f (x )<x解析：选A 由已知，令x ＝0得2f (0)>0，排除B 、D 两项；令f (x )＝x 2＋14，则2x 2＋12＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14′＝4x 2＋12>x 2，但x 2＋14>x 对x ＝12不成立，排除C 项．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 解析：f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2. ∴f ′(x )＝2x －4.∴f ′(0)＝－4. 答案：－48．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0.答案：x －y －2＝09．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 解析：曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解． 又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x ＝0有正实数解． ∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0. 故实数a 的取值范围是(－∞，0)． 答案：(－∞，0)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，求y ＝f (x )的解析式．解：由已知得，－1＋2f (－1)＋5＝0， ∴f (－1)＝－2，即切点为(－1，－2)．又f ′(x )＝?ax －6?′?x 2＋b ?－?ax －6??x 2＋b ?′?x 2＋b ?2＝－ax 2＋12x ＋ab ?x 2＋b ?2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a －61＋b ＝－2，－a －12＋ab ?1＋b ?2＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.∴f (x )＝2x －6x 2＋3.11．如右图所示，已知A (－1,2)为抛物线C ：y ＝2x 2上的点，直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切，直线l 2：x ＝a (a <－1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D .(1)求直线l 1的方程； (2)求△ABD 的面积S 1.解：(1)由条件知点A (－1,2)为直线l 1与抛物线C 的切点． ∵y ′＝4x ，∴直线l 1的斜率k ＝－4. 所以直线l 1的方程为y －2＝－4(x ＋1)， 即4x ＋y ＋2＝0.(2)点A 的坐标为(－1,2)，由条件可求得点B 的坐标为(a,2a 2)， 点D 的坐标为(a ，－4a －2)，∴△ABD 的面积为S 1＝12×|2a 2－(－4a －2)|× |－1－a |＝|(a ＋1)3|＝－(a ＋1)3.12．如图，从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x 于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )．(1)试求x k 与x k －1的关系(k ＝2，…，n )； (2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |. 解：(1)设点P k －1的坐标是(x k －1,0)，∵y ＝e x ，∴y ′＝e x ，∴Q k －1(x k －1，e x k －1)，在点Q k －1(x k －1，e x k －1)处的切线方程是y －e x k －1＝e x k －1(x －x k －1)，令y ＝0，则x k ＝x k －1－1(k ＝2，…，n )． (2)∵x 1＝0，x k －x k －1＝－1， ∴x k ＝－(k －1)， ∴|P k Q k |＝e x k ＝e －(k －1)，于是有|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n | ＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1) ＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－n e －1， 即|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝e －e 1－n e －1.1．设函数f (x )在x 0处可导，则lim Δx →0 f ?x 0－Δx ?－f ?x 0?Δx 等于( )A ．f ′(x 0)B ．－f ′(x 0)C ．f (x 0)D ．－f (x 0)解析：选B lim Δx →0 f ?x 0－Δx ?－f ?x 0?Δx ＝－lim Δx →0f [x 0＋?－Δx ?]－f ?x 0??－Δx ?＝－f ′(x 0)． 2．求下列各函数的导数： (1)(x )′＝12x 12-； (2)(a x )′＝a 2ln x ；(3)(x cos x )′＝cos x ＋x sin x ； (4)⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＋1′＝1x ＋1，其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选B 根据函数的求导公式知只有(1)正确．3．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．解析：∵y ′＝2x ，∴点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12.∴a 3＝4，a 5＝1.∴a 1＋a 3＋a 5＝21.答案：214．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12. 又f ′(x )＝a ＋bx 2， 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0.从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

第十一节变化率与导数、导数的计算一、导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．二、基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x三、导数的运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；3.⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．1．(教材习题改编)若f (x )＝x e x ，则f ′(1)＝( ) A ．0 B ．e C ．2eD ．e 2解析：选C ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e.2．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析：选A 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′ |x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a ×2＝－1，a ＝2.3．(教材习题改编)某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：选A 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．4．(2012·广东高考)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′ |x ＝1＝3×12－1＝2. ∴该切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝05．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′ ＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案：－x sin x 1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．典题导入[例1] 用定义法求下列函数的导数． (1)y ＝x 2； (2)y ＝4x2.[自主解答] (1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ，所以y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . (2)因为Δy ＝4(x ＋Δx )2－4x 2＝－4Δx (2x ＋Δx )x 2(x ＋Δx )2， ΔyΔx ＝－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2， 所以limΔx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2＝－8x 3. 由题悟法根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)计算导数f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx. 以题试法1．一质点运动的方程为s ＝8－3t 2.(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t ＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)． 解：(1)∵s ＝8－3t 2，∴Δs ＝8－3(1＋Δt )2－(8－3×12)＝－6Δt －3(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝－6－3Δt . (2)法一(定义法)：质点在t ＝1时的瞬时速度 v ＝li m Δt →0ΔsΔt＝li m Δt →0 (－6－3Δt )＝－6. 法二(导数公式法)：质点在t 时刻的瞬时速度 v ＝s ′(t )＝(8－3t 2)′＝－6t . 当t ＝1时，v ＝－6×1＝－6.典题导入[例2] 求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1； [自主解答] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.由题悟法求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．以题试法2．求下列函数的导数．(1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； 解：(1)y ′＝(e x ·ln x )′ ＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.典题导入[例3] (1)(2011·山东高考)曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－12[自主解答] (1)y ′＝3x 2，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9.(2)∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝k ＝2. 又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4. [答案] (1)C (2)C若例3(1)变为：曲线y ＝x 3＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程． 解：因点P 不在曲线上，设切点的坐标为(x 0，y 0)， 由y ＝x 3＋11，得y ′＝3x 2， ∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.又∵k ＝y 0－13x 0－0，∴x 30＋11－13x 0＝3x 20. ∴x 30＝－1，即x 0＝－1. ∴k ＝3，y 0＝10.∴所求切线方程为y －10＝3(x ＋1)， 即3x －y ＋13＝0.由题悟法导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知切线过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)求切点，设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f ′(x 0)求解．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________． (2)(2013·乌鲁木齐诊断性测验)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1解析：(1)y ′＝3ln x ＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.(2)设切点的坐标为⎝⎛⎭⎫a ，－12a ＋ln a ，依题意，对于曲线y ＝－12x ＋ln x ，有y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1a ＝12，得a ＝1.又切点⎝⎛⎭⎫1，－12 在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1. 答案：(1)y ＝4x －3 (2)B1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．2．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194 B.174 C.154D.134解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.3． (2012·哈尔滨模拟)已知a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导函数f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－2xC ．y ＝3xD ．y ＝2x解析：选B ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －2. ∵f ′(x )为偶函数，∴a ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－2.∴f ′(0)＝－2.∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－2x .4．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2D ．2解析：选A ∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x ＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′|x ＝π2＝－1.由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1.5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：选B 设P (x 0，y 0)到直线y ＝x －2的距离最小，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1.得x 0＝1或x 0＝－12(舍)．∴P 点坐标(1,1)．∴P 到直线y ＝x －2距离为d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.6．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：选C 由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0， 即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．7．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8.答案：88．(2012·辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析：易知抛物线y ＝12x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y ′＝x ，则过点P 的切线方程为y ＝4x －8，过点Q 的切线方程为y ＝－2x －2，联立两个方程解得交点A (1，－4)，所以点A 的纵坐标是－4.答案：－49．(2012·黑龙江哈尔滨二模)已知函数f (x )＝12x －14sin x －34cos x 的图象在点A (x 0，y 0)处的切线斜率为1，则tan x 0＝________.解析：由f (x )＝12x －14sin x －34cos x 得f ′(x )＝12－14cos x ＋34sin x ，则k ＝f ′(x 0)＝12－14cos x 0＋34sin x 0＝1，即32sin x 0－12cos x 0＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫x 0－π6＝1. 所以x 0－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x 0＝2k π＋2π3，k ∈Z.故tan x 0＝tan ⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3. 答案：－ 310．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋x cos 2x. (2)y ′＝(x ＋1)′(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.11．已知函数f (x )＝x －2x ，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解：根据题意有曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3， 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a .所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1)， 得：y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0. 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g (1)＝3(x －1)． 得y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0， 所以，两条切线不是同一条直线．12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32－9－a 23，即当x ＝－a 3时，函数f ′(x )取得最小值－9－a 23，因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， 即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，即a ＝±3.1．(2012·商丘二模)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )A ．0B ．26C ．29D ．212解析：选D ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)， ∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′ ＝(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′，∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212. 2．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ， 以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )， 又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝503f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋f 3⎝⎛⎭⎫π2＋f 4⎝⎛⎭⎫π2＝0. 答案：03．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l ，根据以下条件求l 的方程．(1)直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点； (2)直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P .解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，故所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. 又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－(－2)x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，所以x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3， 即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)．解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3⎝⎛⎭⎫14－1＝－94. 所以l 的方程为y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，则⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20·(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.【基础自测】1.（2013全国高考）已知曲线124++=ax x y 在点)2,1(+-a 处的切线的斜率为8，则a =（ ）A.9B.6C.-9D.-62.（2014宁夏一模）如果过曲线12++=x x y 上的点P 处的切线平行于直线2+=x y ，那么点P 的左标为 （ ）A.（1,0）B.（0,-1） B.（0,1） D.（-1,0）3.（2013惠州一模）设P 为曲线C ：322++=x x y 上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为]4,0[π，则点P 横坐标的取值范围为 （ ） A.]21,1[-- B.]0,1[- C.]1,0[ D.]1,21[4.（2013宁夏联考）已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为)('x f ，且0)0('>f ，对于任意实数x 都有0)(≥x f ，则)0()1('f f 的最小值为 （ ） A.3 B.25 C.2 D.23.)1()1(lim,2)1(1)(1'的值求处可导，且在】设函数【例hh f h f f x x f --+==x f D. x fx f B. x f x x f x x f x x f )()(.C )()(.A )()(lim,)(000'0'000--∆-∆-）等于（则处可导在【变式】设函数.)0,1()2(1)1(.123的切线方程求曲线过点处的切线方程；求曲线在】已知曲线【例--=+=x x y。

••>必过数材美1. 导数的概念⑴函数y= f(x)在x = x o处的导数：函数y= f(x)在x= x o处的瞬时变化率li附0牛li碍0W fxo为函数y= f(x)在x= x0处的导数，记作f' (x o)或y' |x = x o，即f' (x o) = li 知0 严=ligO fxo+A x~ fxo .(2) 导数的几何意义：函数f(x)在点X o处的导数f' (X o)的几何意义是在曲线y= f(x)上点P(x o，y>)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地，切线方程为y—y o= f' (x o)(x —x o)_(3) 函数f(x)的导函数：称函数f' (x)= li A xrto ~x+ A xx^f-为f(x)的导函数.2. 基本初等函数的导数公式原函数导函数n *f' (x)= n x n 1 2f(x)= x (n € Q)f(x)= sin x f' (x) = cos xf(x)= cosx f' (x)=—sin xx ln axf(x)= a (a>o)f' (x)= af(x) = e x f' (x) = £f(x)= log a x(a>o,且a* 1) f (x)= xln af(x) = In x1f' (x)=- ' 'x3.1 [f(x) dg(x)] '= f'(X) ±'(X)；2 [f(x) g(x)]'= f' (x)g(x)+ f(x)g' (x);［小题体验］1.下列求导运算正确的是(, 1B . (log2x)=而22+ x (cos x)' = 2xcosx — x sin x . 2.曲线y = x 3 — x + 3在点(1,3)处的切线方程为 答案：2x — y + 1 = 0必过易措关1.利用公式求导时要特别注意不要将幕函数的求导公式 导公式(a%)' = ^In a 混淆.2.求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而 后者包括了前者.3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有 差别.［小题纠偏］1.函数y =呼的导函数为 答案：y '= —e 戶xe12. (2018杭州模拟)函数f(x) = x 2 + 一的图象在点(1, f(1))处的切线方程为( )f 'xgx — fxg x(g(Z0). ［gx ］4.复合函数的导数复合函数y = f(g(x))的导数和函数 y = f(u), u = g(x)的导数间的关系为 y x '= y u ' u x ',即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与 u 对x的导数C . (3x )'= 3xlog 3e 2D . (xcosx)'=— 2sin x解析：选B1 x y2 =1 — ~2； (3 )' = 3 In 3; x cosxx, )'=(x 2)zcos x 故选B.(x a )' = ax a "与指数函数的求A . x — y + 1 = 0B .3x — y — 1 = 0C . x — y — 1 = 0 3x —y +1 = 0切点为(1,2),可得图象在点 (1, f(1))处的切线方程为y — 2= x — 1,解析：选A1函数f(x) = x 2+1的导数为f '(x)=2x -x 2，可得图象在点 (1, f(1))处的切线斜率为k = 2— 1= 1,即为x — y + 1 = 0.故选A.』=鶴當°會闻奧館 圍詢^舎悔啄 酪圃區 金伺爾匪愿考点一导数的运算基础送分型考点一一自主练透［题组练透］求下列函数的导数. (1) y = x 2sin x ; 1(2) y = In x + X ；(3)y =讐； (4)(易错题)y = xsin 2x + 2 cos 2 (5)y = ln(2x — 5).解：(1)y ‘ = (x )' sin x + x (sin x)2=2xsin x + x cosx.1 1=_—飞 x xsin x + cosxxe(4) ■/ y = xsin 1 1=^xsin(4x + n= — ^xsin 4x , . / …y 1 1 =—^sin 4x — ^x 4cos 1=—2sin 4x — 2xcos 4c.(5)令 u = 2x — 5, y = In u ,［谨记通法］求函数导数的3种原则2x +n ； (2)y 'ln x +=(In x)(3)y '=讐'cosx 'e x — cosx e x (e )则 y ' = (In u)' u1 2 2x — 5 2= 2x — 5,即y '2 2x — 5.2x + n bosg +［提醒］复合函数求导时，先确定复合关系， 由外向内逐层求导，必要时可换元.考点二 导数的几何意义 题点多变型考点 一一多角探明 ［锁定考向］导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在 解答题的第 ⑴问中，难度偏小，属中低档题.常见的命题角度有： (1) 求切线方程; (2) 求切点坐标; (3)求参数的值(范围).［题点全练］角度一：求切线方程x 一 11.曲线y =——在点(0 , - 1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )X + 1程为y + 1= 2x ，即y = 2x — 1,与两坐标轴的交点坐标分别为 (0,— 1), ；，0 ,所以与两1 1 1坐标轴围成的三角形的面积S = 2X |— 1|X 1 = 4.角度二：求切点坐标2. (2018湖州模拟)曲线f(x) = X 3 + X — 2在P o 处的切线平行于直线 y = 4x — 1，贝V P 。

错误![备考方向要明了]考什么怎么考1.了解导数概念的实际背景.2．理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数ｙ=c（c为常数),ｙ＝ｘ,y＝x2,y＝x３，y＝＼f(１,x)的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.1.对于导数的几何意义，高考要求较高,主要以选择题或填空题的形式考查曲线在某点处的切线问题，如2０１2年广东T12,辽宁T12等.2.导数的基本运算多涉及三次函数、指数函数与对数函数、三角函数等，主要考查对基本初等函数的导数及求导法则的正确利用.[归纳·知识整合]1．导数的概念(1）函数y＝f(x）在x＝x0处的导数:称函数ｙ＝f（x)在ｘ=x０处的瞬时变化率错误!错误!＝错误!错误!为函数y=f(x)在x＝x０处的导数，记作f′(x0)或y′｜x=ｘ，即ｆ′（x０）=错误!错误!=错误!错误!.(2)导数的几何意义：函数f(x）在点ｘ0处的导数f′(x0）的几何意义是在曲线y＝ｆ(x)上点P（x0,y0）处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间ｔ的导数).相应地，切线方程为y-y0=f′（x0）(x －ｘ０).(3）函数f(x)的导函数:称函数f′（x）=错误!错误!为f(x)的导函数．[探究]1．f′(ｘ)与ｆ′(x０)有何区别与联系？提示：f′（ｘ)是一个函数，f′（x0）是常数,f′(x0）是函数f′(ｘ)在x0处的函数值．2.曲线y＝f（x)在点P0(x０,y０)处的切线与过点错误!,y0)的切线,两种说法有区别吗？提示：(1）曲线y＝f(x)在点P(ｘ0,y0）处的切线是指Ｐ为切点,斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线.(２)曲线ｙ＝f(x)过点P(x0，y０)的切线，是指切线经过Ｐ点．点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.３.过圆上一点P的切线与圆只有公共点Ｐ，过函数y=f(x)图象上一点P的切线与图象也只有公共点P吗?提示：不一定，它们可能有2个或３个或无数多个公共点．2.几种常见函数的导数3.导数的运算法则(1)［f(x)±g（x)]′=f′(ｘ)±g′(x)；(2）[ｆ(ｘ）·g(x)］′＝f′(x)ｇ（x)+f（x)ｇ′（x)；(3)错误!′=错误!（g（x)≠0).4．复合函数的导数复合函数y=ｆ（g(x)）的导数和函数y=ｆ(u),u=g（ｘ）的导数间的关系为y x′=y u′·u x′,即y对x的导数等于y对u的导数与ｕ对x的导数的乘积．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)ｆ′(ｘ)是函数f（x)=错误!ｘ３+２ｘ＋１的导函数，则ｆ′(-1)的值为( )Ａ.0 ﻩB ．3 Ｃ.４ ﻩD.－错误!解析：选Ｂ ∵f (ｘ)＝1３ｘ3+2x ＋1,∴f ′(x )＝ｘ2+2.∴f ′(-1)＝３.2．曲线y =２ｘ－x 3在x =－1处的切线方程为( ) Ａ．x ＋y ＋2=0B.ｘ＋ｙ-2=0C.ｘ－y +２＝0 ﻩD.ｘ－ｙ－2=0解析:选A ∵f (x )=2x －x 3，∴ｆ′(ｘ)＝2-3x 2. ∴f ′(-1)=2－３＝-1. 又ｆ(－1）=-2＋1=－1,∴切线方程为y ＋1＝-（x +1),即x +y ＋2＝０． 3.y ＝x 2ｃo ｓ ｘ的导数是( ） A ．ｙ′=２x c ｏｓ ｘ+x 2ｓin x B ．ｙ′=2ｘcos x －x 2s ｉｎ ｘ C ．y =2x ｃos ｘ D ．y ′＝-x 2sin ｘ解析:选B ｙ′＝2x cos ｘ-ｘ２ｓｉn x .４．(教材习题改编)曲线y =错误!在点M (π,0）处的切线方程是＿__＿____． 解析：∵f (ｘ)＝s ｉn xｘ,∴ｆ′（ｘ)＝错误!,∴f ′（π)＝错误!＝－错误!.∴切线方程为y ＝－＼ｆ(1,π)(x －π），即x ＋πy －π＝0. 答案：x ＋πy -π=０5.（教材习题改编）如图,函数y =f (x )的图象在点Ｐ处的切线方程是y ＝-ｘ+8，则f （5)＋f ′(5)=＿___＿___.解析:由题意知ｆ′(5）＝-1,f (５）＝-5＋8=3,∴ｆ(5)＋f ′(５）＝３－1＝2. 答案:2导数的计算[例1] 求下列函数的导数 (1）y ＝(1-＼ｒ(x ))错误!； (2)y ＝＼f(ln x ，ｘ)； (3）y =ta ｎ ｘ; (４）y ＝３ｘｅx -２x +e.[自主解答］ (1）∵y ＝（1－x )错误!＝错误!-错误!=ｘ12--x 12,∴ｙ′＝（x12-)′-（x 12)′=－＼f(１,2)x32-－错误!ｘ12-.(2）y ′=错误!′=错误! ＝错误!＝错误!. (３)ｙ′=错误!′=(si ｎ ｘ)′c ｏs ｘ-sin x (cos x )′cos ２x=错误!=错误!.（4）ｙ′＝（3x e ｘ)′-(２x ）′＋e ′＝（３x )′ｅｘ＋3ｘ(e ｘ)′-(2x ）′＝3ｘ(ｌn ３)·ｅx＋３x ｅx －2x l ｎ 2=(ln 3+1）·（3e)x －2x ｌn 2.若将本例(3）中“ta ｎ x ”改为“si ｎｘ2错误!”如何求解?解:∵ｙ＝ｓｉn 错误!错误!=-sin 错误!cos 错误!=-错误!ｓin x ∴y ′=－错误!ｃｏs ｘ．———————————————————求函数的导数的方法(1)求导之前,应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但可在求导前利用代数或三角恒等变形将其化简为整式形式,然后进行求导，这样可以避免使用商的求导法则，减少运算量.1.求下列函数的导数（1)y＝错误!；(2)ｙ=(ｘ+1)(ｘ＋2）(x+3）；(3)y＝错误!＋错误!；(４）ｙ=错误!.解：(1)∵y＝错误!＝x32-＋x3＋错误!，∴y′=(ｘ32-)′+(x3)′+(x-2ｓin x）′＝－错误!x52-+3x2-２ｘ-３sｉn x+x－2cos x．（2)ｙ＝(ｘ2+3x＋2)(x＋3）=x3＋6ｘ2＋1１ｘ+６,∴y′=3x2＋１2x+11.（3)∵ｙ=错误!+错误!=错误!,∴y′=错误!′＝错误!=错误!.（4)ｙ＝错误!=coｓx－sin x，∴y′=－ｓｉn ｘ－coｓx.[例2]求下列复合函数的导数:（1)ｙ＝(2x－3)5;(2)y=错误!；(3)y＝sin2错误!；(4)y＝ln（2ｘ+5).[自主解答] （1)设ｕ＝2x-3，则y＝（2x-3)5由y=u5与u＝2ｘ－3复合而成,∴y′=f′(u)·u′(ｘ）=(u5)′(2x－3)′=5u４·２＝10u4=１0(2ｘ-3)4.(2)设ｕ=3-x,则y=＼r(3-ｘ)由y=u 12与u＝3-x复合而成.∴y′＝f′(u）·u′(ｘ)=（u 12)′(3－x)′＝＼ｆ(１,2)u －１2(－１）=-＼f(1,2）ｕ12-=－＼f(1,2３－x )＝错误!．（3)设y =u 2，u ＝sin ｖ，v ＝2x ＋＼f （π，３）， 则y ′x ＝ｙ′u ·ｕ′v ·ｖ′ｘ=2u ·co ｓ v ·2 ＝4sin 错误!·cos 错误! ＝２sin 错误!.（４)设y ＝ln ｕ，u =２x +５,则y ′x =y ′u ·u ′x , ∴y ′=12x +5·(２x +5)′＝错误!．———————————————————复合函数求导应注意三点一要分清中间变量与复合关系;二是复合函数求导法则,像链条一样，必须一环一环套下去,而不能丢掉其中的任一环;三是必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其复合关系．2.求下列复合函数的导数：（1)y ＝(1＋si ｎ ｘ）2；(2)y ＝ln 错误!； (3）y ＝＼f(1,(1-3ｘ)4);(4)ｙ=ｘ 错误!. 解：(1)y ′=２（１＋ｓin x )·(1＋si ｎ ｘ)′ =2（1＋ｓin ｘ)·c ｏs ｘ. (２)y ′=(ln ＼ｒ(x ２+１))′ ＝错误!·( 错误!)′ ＝＼f(1,x ２＋1)·错误!（ｘ2+1)12-·(ｘ2＋1）′＝错误!．（3)设u ＝1-3x ,y ＝u -4.则ｙｘ′=ｙｕ′·u ｘ′＝-４u -5·(-3） ＝＼f （12,(１-３ｘ)５). (4)y ′＝(x１+x 2)′=x ′·＼r(１+x 2）+x 错误!′=1+x 2＋错误!=错误! .导数的几何意义［例3］ (1)(２01２·辽宁高考）已知Ｐ，Q 为抛物线x 2＝２ｙ上两点，点P ,Q 的横坐标分别为4,-2,过Ｐ，Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A ,则点A 的纵坐标为＿＿_＿__＿＿．(2)已知曲线y =错误!x 3+错误!. ①求曲线在点P (2，4)处的切线方程； ②求斜率为4的曲线的切线方程． [自主解答］ (1）y ＝x 22，y ′＝x ，∴y ′|x =4＝4，y ′|x ＝－2＝-２．点P 的坐标为（4,8)，点Q 的坐标为(－2,2)， ∴在点Ｐ处的切线方程为ｙ-８＝4(x －4),即 y =4x -8.在点Q 处的切线方程为y -２=－2(x ＋2)，即y ＝-2ｘ-２.解错误!得A （1,－4),则A 点的纵坐标为－4. (2)①∵P (2,4）在曲线y ＝错误!x 3＋错误!上, 且y ′=x 2，∴在点P （２,4）处的切线的斜率k =y ′｜ｘ=2=4. ∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y -4=4(x -２）, 即4x －y -4=0.②设切点为(x ０,y ０),则切线的斜率k =ｘ错误!＝4， x ０＝±2．切点为(2，4)或错误!，∴切线方程为y －4＝4(ｘ-2)或y +错误!=4（x +2）， 即4x －y -4=０或１2x －３y ＋2０=０. ［答案] (1)-４若将本例(２)①中“在点P（2,4）”改为“过点P(2,4)”如何求解？解：设曲线y=错误!x3＋错误!与过点Ｐ(2,4）的切线相切于点Ａ错误!,则切线的斜率k=y′｜x=x0=x错误!.∴切线方程为ｙ-错误!=x错误!(x-x0)，即y＝x错误!·x－错误!ｘ错误!＋错误!.∵点P(２,4)在切线上，∴4=２x＼ｏ＼al(2,0）-错误!x错误!+\f（４,3），即x错误!-3x错误!+4=０.∴x错误!＋x错误!-4x错误!+4=0.∴x错误!(x0+１)-4(x0＋1)(x０－1)=０.∴(x０＋1)(ｘ0－２)2=０．解得x0＝－1或x0=2.故所求的切线方程为4x-y-4＝0或x－y＋２=0.———————————————————1．求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y=ｆ（x)在点x＝ｘ0处的导数，即曲线y＝f（x)在点Ｐ(ｘ0,ｆ(x0）)处切线的斜率;（２）由点斜式方程求得切线方程为y－y0＝f′（x0）·(x－x０)．2.求曲线的切线方程需注意两点(１）当曲线y＝f（x)在点Ｐ(x0,ｆ（x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在）时,切线方程为x＝x0;(2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．3.已知函数f（ｘ）=2＼ｒ(x＋1)（x>－１)，曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线l分别交ｘ轴和y轴于A,Ｂ两点,O为坐标原点.(1)求x0＝1时，切线ｌ的方程;(2)若Ｐ点为错误!,求△AOB的面积.解:（１）ｆ′(ｘ)=错误!，则ｆ′(x0)=错误!,则曲线ｙ=f(x）在点P(x0，f(x0))的切线方程为ｙ-ｆ(x ０)=错误!(x －x 0),即y ＝错误!+错误! .所以当x 0＝１时,切线l 的方程为x －＼r(2)y ＋3＝0． (2)当x =0时，ｙ＝错误!； 当y =０时,x ＝－x ０－２.Ｓ△A ＯB =错误!错误!＝错误!,∴S △ＡO Ｂ=错误!=错误!.导数几何意义的应用［例４] 已知a 为常数,若曲线ｙ=ax ２+3x -ｌn x 存在与直线x +y －1=０垂直的切线,则实数ａ的取值范围是( )Ａ.错误! Ｂ．错误! Ｃ.错误!D.错误![自主解答］ 由题意知曲线上存在某点的导数为１, 所以y ′=２ax +3－１x =1有正根，即２ax 2＋2ｘ-1=0有正根. 当a ≥０时,显然满足题意;当a <0时,需满足Δ≥0，解得-错误!≤a <0. 综上,ａ≥-＼f(1,２). [答案] A ——————————————————— 导数几何意义应用的三个方面导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面: (１)已知切点A （x 0，f (x ０）)求斜率k ,即求该点处的导数值:k =f ′（x 0）; (２)已知斜率k ,求切点A (x 1，f (x 1)）,即解方程f ′(x 1)=ｋ;(3)已知过某点M (ｘ1，f (x 1)）(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点Ａ（ｘ０，f (x 0)）,利用k =错误!求解.４．若函数f(x)=sｉn错误!(０<θ<π)，且f(x)＋ｆ′（ｘ)是奇函数,则θ=＿＿____＿_.解析:∵f(ｘ）=siｎ错误!，∴f′(x)＝＼r（3)cos错误!.于是y＝f′(ｘ)＋f（x)=sｉｎ错误!+错误!cos错误!＝2ｓiｎ错误!=2ｓiｎ错误!＝２cos（错误!x＋θ),由于y=ｆ(ｘ)＋f′(x)＝２ｃos(＼r(3)ｘ+θ）是奇函数，∴θ=ｋπ＋＼ｆ(π,2)（k∈Z)．又０<θ<π，∴θ=π2.答案:错误!1个区别——“过某点”与“在某点”的区别曲线y＝ｆ(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点Ｐ（x0，ｙ０)的切线”的区别:前者P(x ０,y０)为切点,而后者P(x0,y０）不一定为切点．4个防范——导数运算及切线的理解应注意的问题（1）利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.(2)利用导数公式求导数时，只要根据几种基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数公式求解,切不可因判断函数类型失误而出错.(3)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质,直线与曲线只有一个公共点,直线不一定是曲线的切线，同样,直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．(4）曲线未必在其切线的同侧，如曲线y＝x3在其过(0，0)点的切线y＝０的两侧．易误警示——导数几何意义应用的易误点[典例] （20１３·杭州模拟)若存在过点(1,0）的直线与曲线y=x3和y=ax2＋＼f(１５,４)x-９都相切,则ａ等于（)Ａ.－1或-错误!B．-1或错误!Ｃ．－错误!或－错误!ﻩD.-错误!或7[解析］设过(１，0)的直线与y＝x3相切于点（x0,ｘ错误!)，所以切线方程为ｙ-x错误! =3ｘ错误!(x－x0),即ｙ=３x错误!ｘ-2ｘ错误!,又(1，0)在切线上,则x０=0或x０＝错误!，当ｘ０＝0时，由y ＝０与ｙ＝a ｘ２+＼f(1５,4)x -9相切可得a ＝-256４;当x 0=3２时，由y ＝错误!x -错误!与ｙ＝ax 2＋错误!ｘ-９相切可得a =-1，所以选A.[答案］ Ａ 错误!1．如果审题不仔细,未对点(1,０)的位置进行判断，误认为(1,0）是切点，则易误选B ． 2．解决与导数的几何意义有关的问题时, 应重点注意以下几点: (１)首先确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键;(2）基本初等函数的导数和导数运算法则是正确解决此类问题的保证； (3)熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提． 错误!１.曲线y =＼f(sin x ，si ｎ x ＋ｃos ｘ)-错误!在点M 错误!处的切线的斜率为( ) A.－错误!Ｂ.错误!Ｃ．-错误! ﻩD ．错误! 解析:选By ′＝c ｏｓ ｘ(sin x +c ｏs ｘ)－(c ｏｓ x －sin x )sin x (sin x ＋co ｓ x )2=错误!,故y ′错误!未定义书签。