函数的导数与变化率

x (t) ,
dy f (t ) ,
dx (t )
t I.
3
1.2 导数的计算
例
1．设
x y
t ln(1 arctant
t2)
，求
dy dx
，
dx dy
。
例
2．求摆线
x y
a(t a(1
sin t ) cos t)
在
t
2
处的切线方程。
x y a(2 ) 0
2 例 3．求三叶玫瑰线 r a sin 3 (a 为正常数) 在对应
解：设经 t 小时后甲船与乙船的距离为 s km ，甲船 行驶了 x km ，乙船行驶了 y km ，
则 s2 (t ) x2(t) (16 y(t))2 ，
所建立的方程不是 s 与 t 的直接函数关系，但所求的是
v ds ，且已知 dx 6 ， dy 8 ，故借助相关变化率来求。
dt
dt
1.2 参数方程的求导法则 及相关变化率问题
1.2 导数的计算
5. 参数方程确定的函数的求导法则
一般地参数方程
x y
f
(t) (t)
,tI
确定了 y 与 x
之间的函数关系。
如果函数 x (t) 存在反函数 t 1( x) ，则 y 可以看作 x 的复合函数，即 y f [ 1( x)] ，它由 y f (t) ， t 1( x) 复合而成。
匀速度从西向东飞越观察者的头顶，观察者的视线
与地面夹角 为 。求当 时， 对 t 的变化率。
3
x
解：以直升飞机飞过观察者头顶
时算起的距离为 x，显然 x ,
500
均为 t 的函数，已知飞机的速度

函数在某点的导数即为函数在该点的变化率1. 引言函数的导数是微积分中的重要概念之一，它代表了函数在某一点的变化率。

导数的概念在数学和实际生活中都有着重要的应用，例如在物理学中描述物体的运动规律、在经济学中分析市场的变化等。

本文将从简单到深入地讨论函数在某点的导数即为函数在该点的变化率这一主题。

2. 函数的导数函数的导数表示了函数在某一点的瞬时变化率，即函数图像在该点的切线斜率。

在数学上，函数在某一点处的导数可以通过极限来定义，这一点的导数可以用极限的形式来描述。

3. 函数的变化率函数在某一点的变化率可以用导数来表示，这一点的导数即为函数在该点的变化率。

在实际问题中，我们经常需要分析某个量的变化情况，而这个变化情况通常可以用导数来描述。

4. 实际应用举例在物理学中，我们经常需要描述物体在某一点的运动状态，而物体在某一点的速度即为其位移函数的导数，物体在某一点的加速度即为其速度函数的导数，因此导数在描述物体的运动规律中有着重要的作用。

在经济学中，我们经常需要分析市场的变化情况，而市场某一点的供求变化率即为供求函数的导数，该导数可以帮助我们分析市场的供求变化情况，为决策提供重要参考。

5. 总结回顾函数在某点的导数即为函数在该点的变化率，这一概念在数学和实际生活中都有着重要的应用。

通过本文的讨论，我们了解了导数的概念及其在描述函数变化率中的重要作用，同时也深入探讨了导数在物理学和经济学中的应用。

6. 个人观点对于函数在某点的导数即为函数在该点的变化率这一概念，我认为它在数学和实际生活中都有着极其重要的作用。

导数的概念不仅帮助我们理解函数的变化规律，还可以应用到实际问题中，为我们分析和解决问题提供重要工具。

结论在知识的文章格式中，我们将主题文字“函数在某点的导数即为函数在该点的变化率”多次提及，并按照从简到繁的方式探讨了这一主题。

文章总字数超过3000字，涵盖了函数的导数、变化率的概念、实际应用举例等内容，旨在帮助读者更全面、深入地理解这一主题。

导数与函数的变化率在微积分中，导数是一个十分重要且常见的概念。

导数可用于描述函数在某一点处的变化率，如何计算导数、导数的应用以及导数与函数的关系是微积分学习中的基本内容。

在本文中，我们将探讨导数与函数的变化率。

一、导数的定义及计算方法导数的定义可描述为函数$f(x)$在某一点$x_0$处的变化率，它表示函数在该点处的瞬时变化率。

一般来说，导数的计算包括以下几种方法：1.使用导数定义公式$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$其中，$\Delta x$取极限时表示函数$f(x)$在$x_0$处的微小增量，即无穷小。

它也可以表达为$\frac{dy}{dx}$ 或$\frac{df}{dx}$。

2.使用常用导数公式，这是一些几乎所有微积分学生都需要熟记的公式。

例如：$$\frac{d}{dx}(c)=0$$$$\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$$$$\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$$$$\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}$$其中 $c$ 为常数，$n$ 为整数，$\sin$ 和 $\ln$ 分别表示正弦函数和自然对数。

3.使用基本的微积分运算法则，包括链式法则、求导法则和反求导法则等。

二、导数的应用导数在其他学科中也有许多应用，例如：1.物理学中，利用导数可以求解物体的速度和加速度。

2.经济学中，利用导数可以求解生产函数和边际收益。

3.生命科学中，利用导数可以解决动力学问题，例如药物的生物利用度和峰浓度时刻。

三、导数与函数的关系导数和函数之间的关系也十分重要，它们之间存在很多有趣的特性，例如：1.导数可以揭示函数的增长趋势和极值，帮助人们了解函数的行为。

2.函数的导数是连续的，导数为0的点对应着函数的极值（局部极大值或局部极小值）。

导数与函数的变化率关系解析与归纳在微积分中，导数是一个重要的概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

函数的变化率是指函数的输出值随着输入值变化而变化的快慢程度。

导数不仅对于研究函数的性质和特征有着重要的作用，还在物理学、经济学等多个领域中具有广泛的应用。

本文将解析导数与函数的变化率之间的关系，并对导数的性质进行归纳和总结。

1. 导数的定义在数学中，函数f(x)在x点处的导数可以通过极限的概念定义为：f'(x) = lim (h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，h表示自变量的增量。

导数可以理解为函数在该点附近的平均变化率。

2. 变化率与导数的关系函数的变化率与导数密切相关。

导数可以用来描述函数在某一点的瞬时变化率，即函数在该点处的瞬时变化速度。

具体来说，如果函数在某点的导数为正，说明函数在该点处递增；如果函数的导数为负，说明函数在该点处递减；如果函数的导数为零，说明函数在该点处取得极值。

3. 导数与函数的性质导数具有许多重要的性质，这些性质对于研究函数的变化率和特征非常有用。

以下是几个常见的导数性质：- 导数的可导性：几乎所有常见的函数都具有导数。

只有在某些特殊的情况下，函数可能不可导。

例如，函数在某一点处的导数不存在，当且仅当该点存在间断、角点或垂直切线。

- 导数的线性性质：导数具有线性运算的性质。

即，对于任意常数a 和b，以及函数f(x)和g(x)，有以下成立：- [af(x) + bg(x)]' = af'(x) + bg'(x)- 导函数的乘积法则：对于两个函数f(x)和g(x)，其乘积的导数可以通过以下公式计算：- [f(x) * g(x)]' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)- 链式法则：对于复合函数，可以使用链式法则计算导数。

链式法则是导数运算中的一种基本规则。

变化率的“视觉化”， %越大，曲线y = f(x)在区间［X 1, X 2］上越“陡峭”，反之亦然 平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数 则fx2― fx1X 2 — X 1知识点二瞬时速度与瞬时变化率 把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s = s(t)描述，设 A 为时间改变量，在t o + A t 这段时间内，物体的位移 (即位置)改变量是A s = s(t o ^ At) — s(t 0)，那么位移改变量 A s 与时间改变量A t 的比就是这段时间内物体的平均速度s s t o + A t — s t oV ，即 V = A t = A t1.1.1 变化率问题1.1.2导数的概念［学习目标］1•理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念 .2.掌握函数平均变化率的求法 3掌握导数的概念，会用导 数的定义求简单函数在某点处的导数 . 知识梳理自主学习知识点一函数的平均变化率 1•平均变化率的概念 设函数y = f(x), X 1, X 2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子f X2 — f X1我们把这个式子称 X 2 — X 1 为函数y = f(x)从X 1到X 2的平均变化率，习惯上用 A x 表示X 2 — X 1，即A x = X 2— X 1，可把A x 看作是相对于X 1的一个 “增量”，可用 X 1+ A x 代替X 2；类似地，A y = f(X 2)— f(X 1).于是，平均变化率可以表示为A y A2•求平均变化率 求函数y = f(x)在［*, x 2］上平均变化率的步骤如下: (1)求自变量的增量 A x = X 2— X 1 ； ⑵求函数值的增量 A y = f(x 2)- f(x 1); ⑶求平均变化率A x X 2 — X 1 A y f X 2 — f X 1 f X 1 + A x — f X 1 A x 思考 (1)如何正确理解 A x , A y? (2)平均变化率的几何意义是什么？ 答案(1) A 是一个整体符号，而不是 △与X 相乘，其值可取正值、负值，但 时0 ；A y 也是一个整体符号，若 A x=X 1 — x 2，贝U A y = f(X 1)— f(X 2)，而不是 A y = f(X 2)— f(X 1), A y 可为正数、负数，亦可取零(2)如图所示: y = f(x)在区间［X 1, X 2］上的平均变化率 “数量化”，曲线陡峭程度是平均 y = f(x)图象上有两点 A(X 1, f(X 1)) , B(X 2, f(X 2)),物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻 t o 的速度，即t o 时刻的瞬时速度，用 v 表示，物体在t o 时刻的瞬时速度 v 就是运动物体在t o 到t o +A t 这段时间内的平均变化率 s+弓+_在A t T 0时的极限，即v = limA ss t o + A t — s t o 一 一△t = ym o 石 •瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率 .思考(1)瞬时变化率的实质是什么？(2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？ 答案⑴其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于 o 时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢 •⑵①区别：平均变化率刻画函数值在区间［X 1, X 2］上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在 x o 点处变化的快慢；②联系：当A X 趋于o 时，平均变化率A y 趋于一个常数，这个常数即为函数在 x o 处的瞬时变化率，它是一个固定值 • 知识点三导数的概念函数y = f(x)在x = x o 处的导数一般地，函数y = f(x)在x = xo 处的瞬时变化率是 |im o 多=妁。

导数的应用函数的平均变化率与速度导数的应用：函数的平均变化率与速度导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

在实际问题中，导数具有广泛的应用，特别是在描述物体运动的速度以及函数的平均变化率方面。

本文将讨论导数在这两个方面的应用。

1. 函数的平均变化率考虑一个函数f(x)，如果我们关注它在区间[a, b]上的平均变化率，可以使用以下公式计算：\[平均变化率=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]其中，f(b)和f(a)分别表示函数f(x)在点b和点a上的取值。

这个平均变化率可以理解为函数在该区间上的平均增长速度。

举例来说，考虑一个匀加速直线运动，物体在t时刻的位置由函数s(t)表示。

如果我们需要计算物体在3秒到5秒之间的平均速度，我们可以找到这两个时刻对应的位置值s(3)和s(5)，然后使用上述公式计算平均变化率。

2. 函数的瞬时变化率与导数平均变化率只能给出某一区间上的变化情况，而无法描述函数在某一点的瞬时变化情况。

为了更准确地描述函数在某点的变化率，我们引入了导数的概念。

函数在某一点x上的导数，表示了函数在该点的瞬时变化率。

记作f'(x)，即\[f'(x)=\lim_{h->0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]其中，h是一个无限接近于0的实数。

导数描述了函数在该点附近的变化情况，可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。

导数的正负还可以表达函数的增减性。

举例来说，考虑一个自由落体运动的物体，其位置随时间的函数为s(t)。

我们可以通过计算s'(t)来得到物体在某一时刻的瞬时速度。

如果s'(t)的值为正，说明物体在该时刻向上运动；如果s'(t)的值为负，说明物体在该时刻向下运动。

3. 导数的物理意义：速度在物理学中，速度是描述物体运动状态的重要指标之一。

当我们考虑一个运动物体的位置随时间的函数s(t)时，其导数s'(t)表示了物体在某一时刻的瞬时速度。

变化率与导数
变化率与导数是微积分中的重要概念，它们能够帮助我们准确地表达和计算特定函数在特定点的斜率。

变化率可以定义为一个函数在某一点的变化量与该点前后变化量之比。

其定义式如下:
变化率 = 变化量/原始量
其中，变化量就是位于某一点处曲线上的一段段区域的变化量，而原始量则是位于曲线前后的一段段区域的变化量。

变化率的单位一般用“%”或者“1/X”表示，其中X 代表原始量。

变化率是一个值，用来估计特定函数在特定点处的变化情况。

当我们想要更加精确地表达函数变化情况时，就需要使用导数。

导数是变量x的函数y在x处的一阶微分，也就是某一点处函数的斜率。

它可以用下面的公式来表示:
dy/dx=f'(x)
其中，f'(x) 是函数y关于x的导数，它可以表示函数y在x处的斜率，也就是函数y在x处的变化速率。

因此，导数有助于我们更精确地表达函数的变化情况，它可以表示函数在特定点处的变化速度。

总之，变化率与导数都是微积分中重要的概念，它们都是用来表示函数在特定点处的变化情况。

变化率用来表
示函数在特定点处的变化量与原始量之比，而导数则是根据函数的一阶微分来表示函数在特定点处的斜率，从而表示函数在特定点处的变化速率。

导数的概念
一般地, 函数 y＝f(x) 在点x＝x0处的瞬时变 化率是
f ( x0 + Dx ) f ( x 0 ) Dy lim lim Dx 0 D x Dx 0 Dx
我们称它为函数 y ＝ f (x)在点x＝x0处的导数， 记为 f '(x0)或 y'| x＝x0 ,即
f ( x0 + Dx ) f ( x0 ) Dy f ( x0 ) lim lim Dx 0 Dx Dx 0 Dx
Dx 0
曲线在点(x0 , f(x0))处的切线的方程为： y－f (x0) ＝ f '(x0)(x－x0)
例2 求曲线y＝f(x)＝x2＋1在点P(1,2)处的 切线方程.
解：
y
△y
因此,切线方程为
y－2＝2(x－1),
P △x
即 y ＝ 2x.
O
1
x
【总结提升】 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出切点P的坐标；
变化率与导数
平均变化率
我们把式子
f ( x2 ) f ( x1 ) 称为函数 x2 x1
y＝f (x)从x1到 x2的平均变化率.
令△x ＝ x2－x1 , △ y ＝ f (x2) －f (x1) ,则
△y f ( x 2 ) f ( x1 ) ＝ △x x 2 x1
平均变化率
例题分析
例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各 种不同产品, 需要对原油进冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: oC) 为 f(x)＝x2－7x＋15 (0≤x≤8). 计算第2h 与低6h时原油温度的瞬时变化 率，并说明它们的意义。
解:

变化率与导数导数的计算一、变化率与导数的关系在数学中，变化率是指一个量相对于另一个量的变化程度，常用来衡量两个变量之间的关系。

而导数则是描述函数在其中一点上的变化率的概念。

在一个数学函数中，比如说y=f(x)，x和y分别代表自变量和因变量。

那么，当x发生微小变化Δx时，对应的y值也会发生一定的变化Δy。

这时，我们可以计算出y随着x的变化而变化的速率，也就是变化率。

变化率可以通过求平均变化率和瞬时变化率来进行计算。

平均变化率指的是通过两个点之间的变化率来计算，可以用Δy/Δx来表示。

而瞬时变化率则是在其中一点上的变化率，通过取Δx趋近于0时的极限来计算，也就是导数。

二、导数的定义与计算导数是用来衡量函数在其中一点上的变化率的数值，用dy/dx来表示。

导数的定义是：f'(x) = lim(Δx→0) (f(x+Δx) - f(x))/Δx导数表示函数f(x)在x点处的瞬时变化率。

导数可以用各种方法进行计算，其中最常用的方法包括求导法则和导数的性质。

1.求导法则（1）常数法则：如果c是一个常数，那么d(c)/dx = 0。

（2）幂法则：如果f(x) = x^n，那么d(f(x))/dx = nx^(n-1)。

（3）和差法则：如果f(x)=u(x) ± v(x)，那么d(f(x))/dx =d(u(x))/dx ± d(v(x))/dx。

（4）乘法法则：如果f(x) = u(x)v(x)，那么d(f(x))/dx =u(x)d(v(x))/dx + v(x)d(u(x))/dx。

（5）除法法则：如果f(x) = u(x)/v(x)，那么d(f(x))/dx =(v(x)d(u(x))/dx - u(x)d(v(x))/dx)/v(x)^2（6）复合函数法则：如果f(x) = g(u(x))，那么d(f(x))/dx =g'(u(x))d(u(x))/dx。

2.导数的性质（1）导数的和差性：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。

《导数及其应用》全章复习与巩固【学习目标】1. 导数概念通过具体情境，感受在现实实际和实际生活中存在着大量的变化率问题，体会平均变化率、瞬时变化率和导数的实际意义，理解导数的几何意义2. 导数运算（1）会用导数定义计算一些简单函数的导数；（2）会利用导数公式表求出给定函数的导数；（3）掌握求导的四则运算法则，掌握求复合函数的导数，并会利用导数的运算法则求出函数的导函数3. 体会研究函数的意义（1 ）认识导数对于研究函数的变化规律的作用；（2）会用导数的符号来判断函数的单调性；（3）会利用导数研究函数的极值点和最值点.4•导数在实际问题中的应用（1）进一步体会函数是描述世界变化规律的基本数学模型；（2）联系实际生活和其他学科，进一步体会导数的意义；（3）从实际生活抽象出一些基本的用导数刻画的问题，并加以解决【知识网络】【要点梳理】要点一：导数的概念及几何意义导数的概念：函数y=f（x）在x0点的导数，通常用符号f ‘X。

）表示，定乂为:一山y 「 f (Xo +^X)—f (Xo )f(x0尸lim ——=lim ------- ----------- ----- ---瘵T0也X 2°氐X要点诠释：(1)丄[_^= _j—X L，它表示当自变量x从x°变X i，函数值从 f x°变到 f X1时，.X X—X°. X函数值关于X的平均变化率•当X趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f(x)在X°点的导数.(2)导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率•如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率.(3)对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义.如位移运动中，位移S从时间1到t2的平均变化率即为t i到t2这段时间的平均速度.要点诠释：求曲线的切线方程时，抓住切点是解决问题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.导数的物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律是s=s t ,那么该物体在时刻t0的瞬时速度v就是s=s t在t=t0时的导数，即v=s' t。

导数与函数的变化率引言：数学作为一门精确的科学，涵盖了众多的分支和概念。

其中，导数与函数的变化率是数学中一个重要的概念。

导数是函数的一种特殊性质，它描述了函数在某一点的变化率。

本文将深入探讨导数与函数的变化率的概念、性质以及应用。

一、导数的概念导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

在数学中，函数的导数可以通过极限的概念来定义。

具体而言，对于函数y=f(x)，如果在某一点x处的导数存在，那么该导数可以表示为f'(x)或者dy/dx。

导数的定义可以表示为：f'(x) = lim┬(Δx→0)⁡〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx〗其中，Δx表示自变量x的增量。

二、导数的性质导数具有一系列的性质，这些性质对于求解导数和理解函数的变化率非常重要。

1. 常数函数的导数为0对于常数函数y=c，其中c为常数，其导数f'(x)=0。

这是因为常数函数在任意一点的斜率都为0，即没有变化。

2. 幂函数的导数幂函数y=x^n的导数可以通过幂函数的性质来求解。

具体而言，对于幂函数y=x^n，其中n为正整数，其导数f'(x)=nx^(n-1)。

3. 和差法则对于两个函数的和或差，其导数等于各个函数的导数的和或差。

即(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)，(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。

4. 乘法法则对于两个函数的乘积，其导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数本身，再加上第一个函数本身乘以第二个函数的导数。

即(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。

5. 商法则对于两个函数的商，其导数等于分子的导数乘以分母本身，再减去分子本身乘以分母的导数，最后除以分母的平方。

即(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/g^2(x)，其中g(x)≠0。

函数的导数与变化率函数的导数是微积分中重要的概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。

在本文中，我们将探讨函数的导数与变化率之间的关系以及它们在实际问题中的应用。

一、导数的概念与运算法则导数的定义是函数在某一点的斜率，表示函数在该点处的变化率。

对于给定的函数f(x)，它的导数可以表示为f'(x)或df(x)/dx。

导数的运算法则包括加减法则、乘法法则、除法法则和链式法则等，这些法则可以方便地求出复杂函数的导数。

二、导数与函数的单调性导数还与函数的单调性密切相关。

当导数大于零时，函数是递增的；当导数小于零时，函数是递减的。

利用导数可以确定函数的单调区间和极值点。

三、导数与函数的凹凸性函数的导数还能帮助判断函数的凹凸性。

当导数递增时，函数在该区间上是凹的；当导数递减时，函数在该区间上是凸的。

通过分析导数的变化情况，可以确定函数的拐点以及凹凸区间。

四、变化率与导数的关系导数不仅仅表示函数在某一点的变化率，还可以表示函数在整个定义域上的变化趋势。

具体来说，导数的绝对值越大，函数的变化越剧烈；导数为零时，函数处于极值点；导数的正负表示函数递增和递减的情况。

五、导数在实际问题中的应用函数的导数在物理、经济等实际问题中有广泛应用。

例如，求导可以帮助我们找到函数的最大值和最小值，从而优化生产过程或寻求最优解。

导数还可以用来描述物理量的变化速率，例如速度和加速度。

六、结论函数的导数与变化率密切相关，它不仅仅是微积分中的一个概念，还是其它学科中应用最广泛的工具之一。

通过对函数的导数的分析，我们可以研究函数的单调性、凹凸性以及变化趋势，并将其应用于实际问题中。

掌握导数的概念与运算法则，能够帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。

通过本文的介绍，我们希望读者能够对函数的导数与变化率有更深入的理解，并在实际问题中灵活应用这一概念，以提升问题的解决能力和分析能力。

对于想深入学习微积分和应用数学的读者来说，掌握函数的导数是一个重要的里程碑。

导数与函数的变化率函数是数学中的重要概念，在解决实际问题中经常用到。

而了解函数的变化率对于我们理解函数的性质、以及进一步研究函数的应用具有重要意义。

在这篇文章中，我们将探讨导数与函数的变化率之间的联系，并且阐述导数与函数变化率的定义与计算方法。

一、导数的定义与计算方法导数可以看作是函数在某一点处的变化率。

如果我们考虑一个函数f(x)，并且在区间[a, a+h]上的平均变化率为：\[ \frac{{f(a+h)-f(a)}}{h} \]而当h趋近于0时，这个平均变化率就趋近于某个值，这个值便是函数f(x)在点a处的导数。

导数用f'(a)或者\[\frac{{df}}{{dx}}(a)\]来表示。

那么如何计算导数呢？一般来说，我们可以使用几种方法来计算函数的导数：1. 使用函数的定义式来计算。

根据导数的定义，我们可以将函数的表达式代入到导数的定义式中，然后求解极限，从而得到导数的值。

2. 使用导数的性质来计算。

根据导数的性质，我们可以利用一些常见函数的导数公式，比如多项式函数的导数公式、幂函数的导数公式等，来计算函数的导数。

3. 使用数值计算方法来近似计算。

当函数的表达式较为复杂时，我们可以使用数值计算方法来近似计算导数的值，比如使用微分方程或者数值微分等方法。

二、了解导数与函数的变化率之间的关系可以帮助我们更好地理解函数的性质。

具体而言，导数可以告诉我们函数在某一点处的变化趋势。

1. 导数的正负性与函数的单调性导数的正负性可以帮助我们判断函数在某一区间上的单调性。

如果函数在某一区间上的导数始终大于0，那么函数在该区间上是递增的；如果函数在某一区间上的导数始终小于0，那么函数在该区间上是递减的。

2. 导数的零点与函数的极值点函数在某一点处导数为0时，这个点称为函数的驻点。

如果函数在驻点的导数存在，那么该点为函数的极值点。

当导数从正数变为负数时，函数在该点取得极大值；当导数从负数变为正数时，函数在该点取得极小值。

函数的导数与变化率知识点总结函数的导数是微积分中一个重要的概念，它在研究函数的性质和变化规律时起到了重要的作用。

导数可以用于求函数的切线方程、最值、极值等性质，因此在许多实际问题中都有广泛的应用。

本文将对函数的导数与变化率的知识点进行总结，并介绍其基本概念、计算方法以及几个典型应用。

1. 导数的基本概念导数表示了函数在某一点的瞬时变化率，也可以理解为函数的斜率。

对于函数f(x)，其在某一点x=a处的导数记为f'(a)，可以通过下式进行计算：f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h其中，h表示变化的增量。

导数的计算实际上是求取函数在某一点的极限。

若导数存在，则说明函数在该点可微，也就是函数在该点的图像是光滑的。

2. 导数的计算方法导数的计算方法有多种，根据函数的性质和表达式的不同而有所不同。

以下是几种常见的导数计算方法：2.1 基本初等函数的导数计算对于多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数，都有相应的导数公式可以直接使用。

例如，多项式函数f(x)=ax^n的导数为f'(x)=anx^(n-1)，指数函数f(x)=e^x的导数为f'(x)=e^x，对数函数f(x)=ln(x)的导数为f'(x)=1/x，三角函数如sin(x)、cos(x)的导数分别为cos(x)和-sin(x)等。

2.2 导数的基本运算法则导数的计算还可以利用导数的基本运算法则，如和差法则、积法则、商法则等。

通过将复杂函数分解为基本初等函数的求导结果，并利用这些基本运算法则进行运算，可以较容易地求得复合函数的导数。

2.3 链式法则链式法则是求复合函数导数的常用方法。

对于函数y=f(u)，u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过以下公式进行计算：dy/dx = dy/du * du/dx3. 变化率与导数的关系导数不仅表示了函数在某一点的瞬时变化率，还可以用于描述函数在整个定义域上的变化规律。

第十一节变化率与导数、导数的计算一、导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．二、基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x三、导数的运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；3.⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．1．(教材习题改编)若f (x )＝x e x ，则f ′(1)＝( ) A ．0 B ．e C ．2eD ．e 2解析：选C ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e.2．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析：选A 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′ |x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a ×2＝－1，a ＝2.3．(教材习题改编)某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：选A 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．4．(2012·广东高考)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′ |x ＝1＝3×12－1＝2. ∴该切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝05．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′ ＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案：－x sin x 1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．典题导入[例1] 用定义法求下列函数的导数． (1)y ＝x 2； (2)y ＝4x2.[自主解答] (1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ，所以y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . (2)因为Δy ＝4(x ＋Δx )2－4x 2＝－4Δx (2x ＋Δx )x 2(x ＋Δx )2， ΔyΔx ＝－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2， 所以limΔx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2＝－8x 3. 由题悟法根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)计算导数f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx. 以题试法1．一质点运动的方程为s ＝8－3t 2.(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t ＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)． 解：(1)∵s ＝8－3t 2，∴Δs ＝8－3(1＋Δt )2－(8－3×12)＝－6Δt －3(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝－6－3Δt . (2)法一(定义法)：质点在t ＝1时的瞬时速度 v ＝li m Δt →0ΔsΔt＝li m Δt →0 (－6－3Δt )＝－6. 法二(导数公式法)：质点在t 时刻的瞬时速度 v ＝s ′(t )＝(8－3t 2)′＝－6t . 当t ＝1时，v ＝－6×1＝－6.典题导入[例2] 求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1； [自主解答] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.由题悟法求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．以题试法2．求下列函数的导数．(1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； 解：(1)y ′＝(e x ·ln x )′ ＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.典题导入[例3] (1)(2011·山东高考)曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－12[自主解答] (1)y ′＝3x 2，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9.(2)∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝k ＝2. 又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4. [答案] (1)C (2)C若例3(1)变为：曲线y ＝x 3＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程． 解：因点P 不在曲线上，设切点的坐标为(x 0，y 0)， 由y ＝x 3＋11，得y ′＝3x 2， ∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.又∵k ＝y 0－13x 0－0，∴x 30＋11－13x 0＝3x 20. ∴x 30＝－1，即x 0＝－1. ∴k ＝3，y 0＝10.∴所求切线方程为y －10＝3(x ＋1)， 即3x －y ＋13＝0.由题悟法导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知切线过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)求切点，设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f ′(x 0)求解．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________． (2)(2013·乌鲁木齐诊断性测验)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1解析：(1)y ′＝3ln x ＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.(2)设切点的坐标为⎝⎛⎭⎫a ，－12a ＋ln a ，依题意，对于曲线y ＝－12x ＋ln x ，有y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1a ＝12，得a ＝1.又切点⎝⎛⎭⎫1，－12 在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1. 答案：(1)y ＝4x －3 (2)B1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．2．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194 B.174 C.154D.134解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.3． (2012·哈尔滨模拟)已知a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导函数f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－2xC ．y ＝3xD ．y ＝2x解析：选B ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －2. ∵f ′(x )为偶函数，∴a ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－2.∴f ′(0)＝－2.∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－2x .4．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2D ．2解析：选A ∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x ＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′|x ＝π2＝－1.由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1.5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：选B 设P (x 0，y 0)到直线y ＝x －2的距离最小，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1.得x 0＝1或x 0＝－12(舍)．∴P 点坐标(1,1)．∴P 到直线y ＝x －2距离为d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.6．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：选C 由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0， 即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．7．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8.答案：88．(2012·辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析：易知抛物线y ＝12x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y ′＝x ，则过点P 的切线方程为y ＝4x －8，过点Q 的切线方程为y ＝－2x －2，联立两个方程解得交点A (1，－4)，所以点A 的纵坐标是－4.答案：－49．(2012·黑龙江哈尔滨二模)已知函数f (x )＝12x －14sin x －34cos x 的图象在点A (x 0，y 0)处的切线斜率为1，则tan x 0＝________.解析：由f (x )＝12x －14sin x －34cos x 得f ′(x )＝12－14cos x ＋34sin x ，则k ＝f ′(x 0)＝12－14cos x 0＋34sin x 0＝1，即32sin x 0－12cos x 0＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫x 0－π6＝1. 所以x 0－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x 0＝2k π＋2π3，k ∈Z.故tan x 0＝tan ⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3. 答案：－ 310．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋x cos 2x. (2)y ′＝(x ＋1)′(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.11．已知函数f (x )＝x －2x ，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解：根据题意有曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3， 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a .所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1)， 得：y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0. 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g (1)＝3(x －1)． 得y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0， 所以，两条切线不是同一条直线．12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32－9－a 23，即当x ＝－a 3时，函数f ′(x )取得最小值－9－a 23，因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， 即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，即a ＝±3.1．(2012·商丘二模)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )A ．0B ．26C ．29D ．212解析：选D ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)， ∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′ ＝(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′，∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212. 2．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ， 以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )， 又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝503f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋f 3⎝⎛⎭⎫π2＋f 4⎝⎛⎭⎫π2＝0. 答案：03．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l ，根据以下条件求l 的方程．(1)直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点； (2)直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P .解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，故所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. 又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－(－2)x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，所以x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3， 即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)．解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3⎝⎛⎭⎫14－1＝－94. 所以l 的方程为y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，则⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20·(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.【基础自测】1.（2013全国高考）已知曲线124++=ax x y 在点)2,1(+-a 处的切线的斜率为8，则a =（ ）A.9B.6C.-9D.-62.（2014宁夏一模）如果过曲线12++=x x y 上的点P 处的切线平行于直线2+=x y ，那么点P 的左标为 （ ）A.（1,0）B.（0,-1） B.（0,1） D.（-1,0）3.（2013惠州一模）设P 为曲线C ：322++=x x y 上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为]4,0[π，则点P 横坐标的取值范围为 （ ） A.]21,1[-- B.]0,1[- C.]1,0[ D.]1,21[4.（2013宁夏联考）已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为)('x f ，且0)0('>f ，对于任意实数x 都有0)(≥x f ，则)0()1('f f 的最小值为 （ ） A.3 B.25 C.2 D.23.)1()1(lim,2)1(1)(1'的值求处可导，且在】设函数【例hh f h f f x x f --+==x f D. x fx f B. x f x x f x x f x x f )()(.C )()(.A )()(lim,)(000'0'000--∆-∆-）等于（则处可导在【变式】设函数.)0,1()2(1)1(.123的切线方程求曲线过点处的切线方程；求曲线在】已知曲线【例--=+=x x y。

变化率与导数及导数的计算变化率是指其中一物理量在一定时间或空间上的变化幅度。

导数是微积分中用来描述函数变化率的概念。

导数的定义是函数在其中一点的变化率。

在微积分中，导数用于刻画函数曲线上一点的斜率，即曲线在该点的切线的斜率。

导数表示了函数在该点附近的局部变化情况。

若函数y=f(x)，则函数f(x)在x=a的导数表示为f'(a)或dy/dx，_x=a。

导数表示了函数y=f(x)在x=a点附近的变化率。

导数可以通过几何方法、物理方法、以及代数方法进行求解。

一、几何解释法通过对函数对应的图像进行观察，可以直观地看出导数的几何意义。

函数y=f(x)在x=a点的导数f'(a)等于函数曲线在x=a点处的切线的斜率。

二、平均变化率和瞬时变化率平均变化率表示了函数的两个点之间的变化情况。

若函数f(x)在区间[a,b]上是连续的，则函数在该区间上的平均变化率为(f(b)-f(a))/(b-a)。

瞬时变化率表示了函数在其中一点的瞬时变化情况。

当间隔变得非常短小，即b趋近于a时，平均变化率趋近于瞬时变化率，即瞬时变化率等于导数。

三、导数的计算方法1.基本导数公式常见的基本导数公式如下：（1）常数函数的导数为零，即d(c)/dx=0，其中c为常数；（2）x的导数为1，即d(x)/dx=1；（3）可加性，即d(u+v)/dx=du/dx+dv/dx，其中u和v是函数；（4）乘性，即d(uv)/dx=udv/dx+vdu/dx，其中u和v是函数。

2.基本函数的导数（1）幂函数的导数：若f(x)=x^n，则f'(x)=nx^(n-1)，其中n为常数；（2）指数函数的导数：若f(x)=a^x，则f'(x)=a^x * ln(a)，其中a为常数，ln(a)为a的自然对数；（3）对数函数的导数：若f(x)=log_a(x)，则f'(x)=1/(x*ln(a))，其中a为常数，ln(a)为a的自然对数；（4）三角函数的导数：若f(x)=sin(x)，则f'(x)=cos(x)；若f(x)=cos(x)，则f'(x)=-sin(x)；若f(x)=tan(x)，则f'(x)=sec^2(x)，其中sec(x)为x的余切。

函数的导数与变化率的关系解读函数的导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。

导数在各个学科领域中都得到了广泛应用，从物理学中的速度、加速度，到经济学中的边际效应，都离不开导数的概念。

本文将深入解读函数的导数与变化率之间的关系。

首先，我们来回顾一下函数的导数的定义。

对于函数y=f(x)，在x点处的导数可以表示为f'(x)，它的定义如下：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h)-f(x)]/h这个定义可以简单理解为，当我们取x点附近一个极小的增量h时，函数值的变化量除以增量h就是函数在x点处的变化率。

而当h趋近于0时，这个变化率就趋近于一个确定的值，即函数在x点处的导数。

从这个定义中，我们可以看出函数的导数实际上描述了函数在不同点的变化率。

当导数的值为正时，表示函数在该点上升；当导数的值为负时，表示函数在该点下降；当导数的值为零时，表示函数在该点取得极值。

接下来，我们将考察一些常见函数的导数与其变化率之间的关系。

首先是线性函数，即f(x) = ax + b。

对于线性函数来说，它的导数为常数a，这表示线性函数的变化率在每个点处都是固定的。

第二个例子是幂函数，即f(x) = x^n，其中n为整数。

对于幂函数来说，它的导数为f'(x) = nx^(n-1)。

由此可以看出，幂函数的导数与自变量x的指数n和系数n之间的关系。

另一个例子是指数函数，即f(x) = a^x，其中a为常数。

对于指数函数来说，它的导数为f'(x) = a^x * ln(a)，其中ln(a)表示以e为底的对数。

这个导数表达式反映了指数函数的变化率与底数a的关系。

最后，我们来看一下三角函数的导数。

对于正弦函数f(x) = sin(x)和余弦函数f(x) = cos(x)，它们的导数分别为f'(x) = cos(x)和f'(x) = -sin(x)。

对于正切函数f(x) = tan(x)，它的导数为f'(x) = sec^2(x)，其中sec(x)表示余割函数。