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2.4矩阵的秩 第二章矩阵的初等变换与线性方程组 线性代数 课件

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矩阵的秩与初等变换课件

矩阵的秩与初等变换课件

基的唯一性
如果一个向量空间的基所张成的 子空间的秩等于整个向量空间的 秩，则该基是唯一的。
子空间的性质
通过研究矩阵的秩，可以得出关 于子空间的性质，如子空间的维 数、子空间的正交补空间等。
向量空间与初等变换的关系
初等变换
交换矩阵的两行、两列，或者用一个非零常数乘以矩阵的一行或一列。
向量空间与初等变换的关系
03
通过将线性方程组转化为增广矩阵，利用初等行变换化简，可
以得到方程组的解。
04
矩阵的秩与线性方程组的关系
线性方程组的解与矩阵的秩的关系
线性方程组的解与矩阵的秩有密切关 系，矩阵的秩决定了线性方程组解的 个数和性质。
若矩阵的秩等于未知数的个数，则线 性方程组有唯一解；若矩阵的秩小于 未知数的个数，则线性方程组有无穷 多解或无解。
通过矩阵的秩判断线性方程组解的情况
通过计算矩阵的秩，可以判断线性方 程组的解的情况，从而确定解的个数 和性质。
VS
若矩阵的秩小于未知数的个数，可以 通过增加或减少方程来使矩阵变为满 秩，从而得到唯一解。
线性方程组的解与初等变换的关系
01
初等变换是矩阵的一种基本操作，它可以改变矩阵的
秩和行列式值。
矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩。
矩阵的秩与初等变换在解题中的应用
利用矩阵的秩判断方程组是否有解
01
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，方程组有解；否则，方
程组无解。
利用初等变换化简矩阵
02
通过初等行变换或初等列变换可以将一个复杂的矩阵化简为一
个简单的矩阵，从而方便计算。
利用矩阵的秩和初等变换求解线性方程组
秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足以下性质：若$A$是$m times n$矩阵，$B$是$n times p$矩阵，则$AB$的秩不大于$A$的秩和$B$的秩，即$text{rank}(AB) leq text{rank}(A) + text{rank}(B)$。

2.2.4矩阵的初等变换与秩

2.2.4矩阵的初等变换与秩

3 2 2 1 0 0 3 1 2 5 例3. 求矩阵 B 的秩. 0 0 0 4 3 0 0 0 0 0
解: B 的所有 4 阶子式全为零.
2 1 而0 0 3 0
3 2 0, 4
R( B ) 3.
B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，
对第三种初等变换注意
ri krj
把第 j 行所有元素的 k 倍，加到第 i 行对应的元素上去 注意: 此时第 j 行元素没变, 第 i 行元素发生变化 第 i 行的所有元素减去第 j 行对应元素的 k 倍 同样，此时第 j 行元素没变, 第 i 行元素发生变化
ri kr j
1 2 1 r2 2r3 2 1 3 1 1 1 1 2 1 r1 2r2 2 1 3 1 1 1
1 例2. 求矩阵 A 2 4 1 2 解: 在 A 中， 2 3
3 3 5 的秩. 7 1 2
0.
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
几个简单结论 (1) A = 0，则 R(A) = 0 (2)若 A 为 mn 矩阵 则 0 R(A) min{m n} (3)R(AT ) R(A) (4)对于 n 阶矩阵A 当|A| 0时 R(A) n 当|A| 0 时 R(A) n 当R(A) = min{m n}，矩阵称为满秩矩阵 可逆矩阵(非奇异矩阵) 一定是满秩矩阵 (5)初等变换不改变矩阵的秩。
行阶梯矩阵，非零行个数就是矩阵的秩
行阶梯形矩阵.
特点： （1）可划出一条阶梯线； （2）每个阶梯只有一行，阶梯数即是非零行的 行数 (3)每个阶梯的第一个元素为非零元，阶梯下面 的元素全为零．

线性代数第2章矩阵PPT课件

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线性代数第2章矩阵ppt 课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。

第二章 矩阵的运算及与矩阵的秩ppt课件

第二章 矩阵的运算及与矩阵的秩ppt课件

钢笔 100 150
铅笔 300 260
.
§2.1 矩阵的基本运算
每种商品进货单价和销售单价（元）如下表：
圆珠笔 钢笔 铅笔
进货单价 6 9 3
销售单价 8 12 4
.
§2.1 矩阵的基本运算
求每个月的总进货额和总销售额。
金额 月份
总进货额
总销售额
九月 200×6+100×9+300×3 200×8+100×12+300×4
0 0 2 5
0 1 8
0
0 0
A1
A2
0 0 0 3 2 0
A3
0 0 0 0 0 9
.
二、分块矩阵的运算
§2.2 分块矩阵
1．分块矩阵相加、减
设A、B是两个用相同方法分块的同型矩阵
A11
设Amn
A21 M
A12 L A22 L MO
Ap1 Ap2 L
A1q
B11 B12 L
001 a 31 a 32 a 33 a 3 4 a 31 a 32 a 33 a 34
.
§2.1 矩阵的基本运算
1 0 0 0
a11 A(E 2,3)a21
a12 a22
a13 a23
a a1 24 40 0
0 1
1 0
0 0a a1 21 1
a13 a23
a12 a22
a14 a24
P 1 P 2LP sA Q 1 Q 2LQ tB
.
三、矩阵的转置
§2.1 矩阵的基本运算
定义2.3：把m×n矩阵A的行和列依次互换得到的一个 n×m 矩阵，称为A的转置，记作AT或A’.

第2章 线性方程组与矩阵初等变换-郑成勇主编教材配套课件

第2章 线性方程组与矩阵初等变换-郑成勇主编教材配套课件

11
−2
r3
−3r2
0
−10
11
−2
11 3
0
11
r2 r3
−3r1 −11r1
0
−30
33
0
0
0 0 6
最后一个矩阵所对应的线性方程组为
0
x1 + 3x2 x1 −10x2
− 3x3 = 1 +11x3 = −2
.
0x1 + 0x2 + 0x3 = 6
方程组最后一个方程显然矛盾，故方程组无解.
矩阵总可以经过若干次初等变换化为它标准形 F
=
Er O
O
O
mn
，
04 其中 r 为行阶梯形矩阵中非零行的行数.
OPTION
Linear Algebra
2.3 矩阵初等行变换解线性方程组
第2章 线性方程组与矩阵初等变换 14
定义2.1 矩阵的秩 将一个矩阵 A化成行阶梯阵后, 其非零行的行数称为矩阵的
a21
a22
阵
am1 am2
a1n
a2n
amn
x1
未 知
x
=
x2
变
量
xn
b1
常 数 列
b
=
b2
bm
Ax = b
a11 a12
增广矩阵
B =[A
b]
=
a21
a22
am1 am2
a1n b1
a2n
b2
amn bm
A = [a1, a2 , , an ] 其中 ai ( i = 1, 2, , n ) 为矩阵 A 的第i 列，则按分块矩阵乘法运算，

矩阵的初等变换与线性方程组的求解【精品推荐ppt】ppt课件

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a1=q1a2+r1,0<r1<a2, a2=q2r1+r2,0<r2<r1, ……
rm-2=qmrm-1+rm,0<rm<rm-1, rm-1=qm+1rm（m≥1, rm=d）
x1 x2 3x3 x4 x5 3
例1 求线性方程组
或“－1”，若主对角线上某一元素为“－1”，则该
32xx11
2x2 4x3 5x4 x5 4x3 2x4 3x5
4 4
位填充矩阵C是匹配的。
由
得
的一般解。 B是匹配的，故C只能是n×n矩阵， 从而C′
rm-2=qmrm-1+rm,0<rm<rm-1,
而B的填充矩阵为：
1 0
0
1
0 b1,r1 0 b2,r1
b1,r2 b2,r2
b1n
b2n
C
0
0
1 b b r,r1
r ,r 2
brn
(5)
0 0
0 1 0
0
0 0
00 0
1nn
其所有J－列向量为： r+1=(b1,r+1, …,br,r+1, －1,0, …,0) r+2=(b1,r+1, …,br,r+1,0, －1, …,0)
有解，其增广矩阵A经一系列初等行变换化 为行最简形矩阵B，则B的n×(n+1)单位填充
矩阵பைடு நூலகம்所有“J－列向量”构成方程组(7)的导
出组的一个基础解系，而C的最后一列为方 程组(7)的一个特解。
证明 由定理1，前一结论显然。下证Ｃ的最 后一列为方程组的一个特解。
作齐次线性方程组

线性代数课件2-4(1)

A = 1 0 0 0 0 3 0 0 3 2 0 0 2 4 1 0 5 1 2 0 1 0 0 0 3 0 2 4 ≠0 1
至少有一个 3 阶子式不为零 即不为零 子式的最高阶数 是3， 而所有的 4 阶子式 全为零
∴r( A) = 3 .
10
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
例题与讲解
3 3 0 − 2 例2: 设 A = − 1 − 4 3 0 , 1 − 5 6 − 2
0 0 0 1 1 0 0 0 列向量组 : β 1 = 0 , β 2 = 0 , β 3 = 0 , β 4 = 1 , 0 0 0 0
行向量组为 :
α 1 = (1, 0, 0, 0) , α 2 = ( 0, 1, 0, 0 ) , α 3 = ( 0, 0, 0, 1) , α 4 = ( 0, 0, 0, 0 ) ,
α 1 , α 2 , α 3 , α 4 线性 相关, α 1 , α 2 , α 3 线性无关,
∴ r (α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) = 3 , 即A的行秩是 3;
初等行变换
1 2 s 1 2 s
1
2
s
1
2
s
1
2
s
1
2
s
5
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
定理3 矩阵的行秩和列秩相等 . 证明: 当 A = O 时, 显然. 当 A ≠ O 时, 即A的元素不全为零 , 则

第2章_矩阵的初等变换与线性方程组


解
3 − 7 r2 + r1 1 4 r3 − 3r1 r1 ↔ r3 A → − 1 − 3 − 17 4 → 3 2 6 9
3 − 7 3 − 7 1 4 1 4 r3 +10r2 0 1 − 14 − 3 → 0 1 − 14 − 3 0 0 − 143 0 0 − 10 − 3 30
= = = =
B
3 − 7 1 4 即为行阶梯形矩阵。 B = 0 1 − 14 − 3 即为行阶梯形矩阵。 0 0 − 143 0
特点： 特点： (1) 可划出一条阶梯线，线的下方全为零； 可划出一条阶梯线，线的下方全为零； (2) 每个台阶只有一行，阶梯数即是非零行 每个台阶只有一行， 的行数， 的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元 素为非零元，即非零行的非零首元。 素为非零元，即非零行的非零首元。
1 0 0 5 称为行最简形矩阵 行最简形矩阵。 → 0 1 0 − 3 = C 称为行最简形矩阵。 0 0 1 0
r2 + 14 r3 r1 − 59 r3
在具备行阶梯形矩阵特点的同时， 在具备行阶梯形矩阵特点的同时，非零行的 特点： 特点： 非零首元为1，且其所在列的其他元素全为 。 非零首元为 ，且其所在列的其他元素全为0。
将方程组的消元过程与增广矩阵的变换过程 消元过程与增广矩阵的 解 将方程组的消元过程与增广矩阵的变换过程 进行对比。 进行对比。
x1 + 2 x 2 + 3 x 3 2 x1 − x2 + 2 x3 x + 3x 2 1 = −7 = −8 =7
1 2 3 − 7 2 − 1 2 − 8 1 3 0 7

矩阵的秩ppt课件

00
行



0

阶 梯 形 矩 阵

行


最 简
0

←r
行
形 矩 阵
定理1 任一矩阵的等价标准形唯一. >>>
矩阵的秩 如果矩阵 A 的等价标准形为
F


Er O
O O
那么称 F 中单位阵的阶数 r 为矩阵 A 的秩, 记为 R(A).
R( AB) R( A, AB) R( A,O) R( A)
类似可证 R( AB) R(B). 两式合起来, 即为
R(AB) min{R( A), R(B)}
定理2 若 Amn Bnl O, 则 R(A) R(B) n. 证明 存在可逆方阵 P, Q, 使
于是
§2.3 矩阵的秩
0

0
0

0 0
0
r

0 0

0 0
c

Er O
0 a1 00 00
0 a2 00
00
00
00
00
0 a11
00 00
0 0 a12
00
00
00
00
00
O
O

标准形矩阵
0 ar 00
0 0 0 0 a1r
PAQ

F


Er O
O O

,
r
R( A)
FQ1B PAQQ1B PAB O
记
Q1B


C D

,
其中C

矩阵的秩及线性方程组的解.ppt


一些重要的结论:
1. 零 矩 阵 的 秩 等 于0; 2. 若 矩 阵A中 有 某 个s阶 子 式 不 为0,则R( A) s; 3. 若 矩 阵A中 所 有 的t 阶 子 式 为0,则R( A) t;
4. R( A) R( AT ) (因 为AT的 子 式 与A的 子 式 对 应 相 等);
5. 若A为m n矩 阵,则0 R( A) min{m,n }
6. n阶 方 阵A可 逆 的 充 分 必 要 条 件R是( A) n. 当 A 0时, R( A) n, 称A为 满 秩 矩 阵, 也 称 为 非 奇 异 阵,否 则 称 为降 秩 矩 阵(不 可 逆 矩 阵, 或 奇 异 矩 阵).
一
个m
n矩
阵A的k阶
子
式
共
有C
mk C
k n
个.
定 义 2 设 在 矩 阵A中 有 一 个 不 等 于0的r阶 子 式D, 且 所 有 的r 1阶 子 式(如 果 存 在 的 话)全 等 于0,那 么D称 为 矩 阵A的 最 高 阶 非 零 子 式 , 数r称 为 矩 阵A的 秩, 记 作R( A) , 或 记 作r( A).
2 0 0 0
2 2 0 0
1 1 0 0
1 0
1 0
故
R(B) 3 R(A) 2
从矩阵B的行阶梯形矩阵可知，本例中的A与b所对应 的线性方程组Ax=b是无解的，这是因为行阶梯形矩阵 的第三行表示矛盾方程0=1。
三、线性方程组的解
n个 未 知 数m个 方 程 的 非 齐 次 线 性程方组
a11x1 a12x2 a1n xn b1
再 求A的 一 个 最 高 阶 非 零 子.因式R( A) 3, 知 A的
最
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r3 5 r4 r3
1 2 2 1 1 0 0 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
R ( A ) 2 , R ( B ) 3 .
三、小结
1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); (2)初等变换法
(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行 阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).
1.5、矩阵秩的概念
任何矩A阵 mn ,总可经过有限次变初换等 把它变为梯 行形 阶，行 梯阶 形矩阵中非零行 数是唯一确. 定的
定义1 在mn矩阵A中任取k行k列（km, kn），位于这些行列交叉处的k2 个元素,不改 变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式， 称为矩阵A的k阶子式.
m n矩A 阵 的 k阶子C m k 式 •C n k个 共 .
例1
求矩阵 A12
2 3
35的秩 .
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
23
又 A的 3阶子式只 A， 且 有A一 0，个
R (A )2.
Байду номын сангаас另解
对矩A 阵
1 0
3 2
2 1
32做初等变换
2 0 1 5
1 3 2 2 1 3 2 2 0 2 1 3~0 2 1 3,
2 0 1 5 0 0 0 0
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
1 6 4 1 4
r3 3r2
0
4
3
1 1
r4 4r2
0 0
0 0
0 0
4 8 4 8
r4 r3
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R(A)3.
故B中必3有 阶非零.子 且式 共有 4个. 计算B的前三行构成的子式
3 2 5 32 5 2 0 5 2 0 5 3 2 6 6 0 11
25
2
1 60.
6 11
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
设n阶可逆矩A阵 ， A0, A的最高阶非零子A,式为 R(A)n, 故A的标准形为单 E,A位~E 阵.
故 R A T A R A .
3 2 0 5 0
例4
设 A23
2 0
3 1
6 5
13, 求矩阵A的
1 6 4 1 4
秩，并求 A的一个最高阶非零 ．子式
解 对A作初等行变换， 阶变 梯成 形行 矩阵：
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4
1 3
6 2
4 3
1 6
4 1
2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
显然，非零行的行数为2，
R A 2.
此方法简单！
二、矩阵秩的求法
因为对于任A何 mn,总 矩可 阵经过有限次初 等行变换把他梯 变形 为 . 行阶
问题：经过变换矩阵的秩变吗？
定 1 若 A ~ 理 B , 则 R A R B .
初等变换求矩阵秩的方法：
把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
定义2 设在矩阵A中有一个不等于0的r 阶子 式D，且所有r1阶子式（如果存在的话）全等 于0，那末D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r 称为矩阵A的秩，记作R(A).并规定零矩阵的秩 等于零.
mn矩A 阵 的R 秩 (A)是 A中不等于 子式的.最高阶数
对于AT， 显R 有 (A T)R (A ).
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4
r1 r4
0 4
3
1 1
r2 r4
2 0 3 2
1 0
5 3 5 0
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4 r3 2 r1 r4 3 r1
可逆矩阵的秩 ，等 故于 称阶 可数 逆矩 为满秩.奇 矩异阵 矩阵为降秩矩阵.
1 2 2 1 1
例5
设A22
4 4
8 2
0 3
,b32
3 6 0 6 4
求 A 及 矩 B 矩 阵 (A b ) 的 阵 . 秩
解 分析：设 B的行阶梯 B ~(A ~ 形 ,b ~),矩阵
则A ~就是 A的行阶梯形矩阵， 故 B ~ 从 (A ~ ,b ~ )中可 R (同 A )及 R (时 B ). 看
思考题
设 A 为任,一 R (A TA 实 )与 R (A 矩 )是阵 否 ? 相
思考题解答
答 相等. 因为对于任一实x向 0,量当 Ax 0时 , 必A 有 TA x0,反A 之 TA 当 x 0 时 ,有 xTA TA x0
即 AT xAx 0 A x0;
由此可知 A x0与 A TA x0同,解
1 2 2 1 1
B
2 2
4 4
8 2
0 3
2 3
3 6 0 6 4
r2 2 r1 1 2 2 1 1 r3 2 r1 0 0 4 2 0
r4 3r1
0 0
0 0
2 1 5 6 3 1
r2 2 1 2 2 1 1 r3 r2 0 0 2 1 0
0 0 0 0 5 r43r2 0 0 0 0 1
求A的一个最高阶子. 式 R (A ) 3 , 知A的最高阶非零子 3阶式. 为
A的3阶子式共有C 4 3•C 5 34个 0. 考察A的行阶梯形矩阵，
记 A (a 1 ,a 2,a 3,a 4,a 5)则 , B 矩 (a 1 ,a 阵 2,a 4)的行 阶梯形矩阵为
1 6 1 0 4 1 0 0 4 R (B ) 3 , 0 0 0