第3讲矩阵的秩与矩阵的初等变换.

矩阵与线性方程组问题1：矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系？答：对矩阵施行初等变换后得到的矩阵与原矩阵等价，而等价的矩阵有相同的等价标准型，从而有相同的秩。

换言之，对矩阵施行初等变换不改变秩。

于是利用这一性质，可以求出矩阵的秩。

其过程可以描述为A 经过一系列初等变换化为阶梯形，阶梯形中非零行的行数即为矩阵的秩。

问题2： 线性方程组解的判定与矩阵的秩之间有何关系？答：齐次线性方程组0=⨯x A n m 必有解：当n A r =)(时，只有零解；当n A r <)(时，有非零解。

非齐次线性方程组b x A n m =⨯分有解和无解的情况，有解时分有唯一解还是无穷多解：b x A n m =⨯无解)~()(A r A r ≠⇔b x A n m =⨯有解)~()(A r A r =⇔有解的情况下：b AX n A r A r =⇒==)~()(有唯一解；b AX n A r A r =⇒==)~()(有无穷多解。

其中),(~b A A = 为增广矩阵。

问题3：已知A 是n m ⨯矩阵，B 是s n ⨯矩阵，且O AB =，证明：.)()(n B r A r ≤+ 分析：由于齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数和系数矩阵的秩有直接关系，因此关于矩阵的秩的问题可以转化为齐次线性方程组的问题来处理。

证明：将B 按列分块),...,,(21s b b b B =，则由题可知O Ab Ab Ab b b b A AB s s ===),...,,(),...,,(2121即s i Ab i ,...,2,1,0==换言之，B 的每个列向量均是齐次线性方程组0=Ax 的解，即s b b b ,...,,21均可由0=Ax 的一组基础解系线性表示，设r A r =)(，则r n -ξξξ,...,,21为0=Ax 的一组基础解系。

则r n b b b r s -≤),...,,(21，故)()(A r n B r -≤，从而.)()(n B r A r ≤+问题4：设非齐次线性方程组b Ax =，其中A 是n m ⨯矩阵，则b Ax =有唯一解的充要条件是（ ）(A) n A r =)~(；(B)n A r =)(；(C)m A r =)~(；(D)n A r =)(,且b 为A 的列向量的线性组合. 分析：n m ≠，故Crame 法则失效；(A)n A r n A r =⇒/=)()~((或1-n ):若n A r =)(,有唯一解；若1)(-=n A r ,无解。

第3章 矩阵的初等变换与矩阵的秩３．１ 矩阵的初等变换矩阵的初等行（列）变换：（１） 交换第i 行（列）和第j 行（列）；（２） 用一个非零常数乘矩阵某一行（列）的每个元素；（３） 把矩阵某一行（列）的元素的k 倍加到另一行（列）．对矩阵施行初等变换时，由于矩阵中的元素已经改变，变换后的矩阵和变换前的矩阵已经不相等，所以在表达上不能用等号，而要用箭号＂→＂．例1 求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=042111210A 的逆矩阵．３．２ 初等矩阵单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵叫初等矩阵．概括起来，初等矩阵有３类，分别是（１）交换第行和第i j 行（交换第列和第i j 列）⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1101111011).(%"""###%###"""%j i E（２）用常数λ乘第行（i λ乘第i 列）⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111))((%%λλi E （３）第i 行的k 倍加到第j 行（第j 列的k 倍加到第列） i⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111))((%"%#%k k ij E显然，初等矩阵都可逆，其逆矩阵仍是初等矩阵，且有),(),(1j i E j i E =−；⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−λλ1))((1i E i E ； ))(())((1k ij E k ij E −=−．初等矩阵与初等变换有着密切的关系：左乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等行变换．例如要将矩阵的第１行和第３行交换，则左乘一个初等矩阵A )3,1(E ：⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛001010100⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ＝⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛131211232221333231a a a a a a a a a ． 右乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等列变换．例2 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=231322122111333231232221a a a a a a a a a a a a B ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=1000100111E ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=0010101002E ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1000010103E ．则以下选项中正确的是B A E E E A =321)(；B E E AE B =321)(；B A E E EC =123)(；B E E AE D =123)(．例３ 设是３阶可逆矩阵，将的第１行和第３行对换后得到的矩阵记作．A AB （１） 证明可逆；B （２） 求． 1−AB例4 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=011431321A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=000110101B ，是否存在可逆矩阵P ，使得B PA =？若存在，求P ；若不存在，说明理由．例5 设是3阶方阵，将的第1列与第2列交换得，再把的第2列加到第3列得C ，A AB B 则满足C AQ =的可逆矩阵Q 为(A) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛101001010 (B) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100101010 (C) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛110001010 (D) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100001110３．３ 矩阵的等价与等价标准形 若矩阵B 可以由矩阵经过一系列初等变换得到，则称矩阵和等价．A AB 矩阵的等价是同型矩阵之间的一种关系，它具有如下性质：（１） 反身性：任何矩阵和自己等价；（２） 对称性：若矩阵和矩阵等价，则矩阵和A B B矩阵也等价；A （３） 传递性：若矩阵和矩阵等价，矩阵和矩阵C 等价，则矩阵和矩阵C 等价．A B B A 形如⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E 的矩阵称为矩阵的等价标准形． 任意矩阵A 都与一个等价标准形⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E 等价．其中r E 是r 阶单位矩阵．这个r 是一个不变量，它就是矩阵的秩．任何矩阵总存在一系列的初等矩阵s P P P ,,,21"，和初等矩阵t Q Q Q ,,,21"使得11P P P s s "−A t Q Q Q "21＝⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E ． 令P ＝，Q ＝11P P P s s "−t Q Q Q "21，于是对任意的矩阵，总存在m 阶可逆矩阵n m ×A P 和n 阶可逆矩阵Q ，使得PAQ ＝⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E ．例6 设阶矩阵与等价，则必有n A B (A) 当)0(≠=a a A 时，a B =．(B) 当)0(≠=a a A 时，a B −=． (C) 当0≠A 时，0=B ． (D) 当0=A 时，0=B ．３．4 矩阵的秩在矩阵中，任取n m ×A k 行k 列，位于这k 行k 列交叉处的2k 个元素按其原来的次序组成一个k 阶行列式，称为矩阵的一个A k 阶子式．若矩阵中有一个A r 阶子式不为零，而所有1+r 阶子式全为零，则称矩阵的秩为A r ．矩阵的秩记作．A )(A r 零矩阵的秩规定为零．显然有 ⇔≥r A r )(A 中有一个r 阶子式不为零；中所有A r A r ⇔≤)(1+r 阶子式全为零．若n 阶方阵，有A n A r =)(，则称是满秩方阵． A 对于n 阶方阵， A 0)(≠⇔=A n A r ．矩阵的初等变换不改变矩阵的秩．例7 求矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=45532511014132232211A 的秩． 例8 求阶矩阵n ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=a b b b a b b b a A """""""的秩， 2≥n ．例9 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=71534321101111a b A ，已知3)(=A r ， 求．b a , 常用的矩阵的秩的性质： （１）；)()(T A r A r =（２）)()()(B r A r B A r +≤+；（３）))(),(min()(B r A r AB r ≤，（４）)()(00B r A r B A r +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛； （５）)()(0B r A r B C A r +≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛；（６）若0=AB ，则n B r A r ≤+)()(，其中n 为矩阵的列数．A （７）若可逆，则A )()(B r AB r =（８）若列满秩，则A )()(B r AB r =（９）若行满秩，则B )()(A r AB r =例10 设B A ,都是阶方阵，满足n E AB A =−22，求=+−)(A BA AB r ？例１1 设是矩阵，A 34× ,301020201,2)(⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==B A r 求．)(AB r 例１2 已知⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=62321321t A ，是３阶非零B 矩阵，且满足0=AB ，则4)(=t A 时，的秩必为１；B 4)(=t B 时，的秩必为２；B 4)(≠tC 时，的秩必为１；B 4)(≠t D 时，的秩必为２．B 例13 设B A ,都是阶非零矩阵，且满足n 0=AB ， 则A 和的秩B)(A必有一个等于零； )(B都小于n ； )(C一个小于n ，一个等于； n )(D 都等于n ．例14 设是矩阵，B 是A n m ×m n ×矩阵，若 m n < 证明：0=AB ．例15 设是２阶方阵，已知A 05=A ，证明． 02=A３． 5 伴随矩阵设 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A """""""212222111211， 记的代数余子式为，令ij a ij A ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nn n nn n A A A A A A A A A A """""""212221212111* 为矩阵的伴随矩阵．因此，若A ()ij a A =，则 ()T ij A A =*．伴随矩阵的基本关系式：E A A A AA ==**． *11A A A =−，或 1*−=A A A ． 1*−=n A A ．⎪⎩⎪⎨⎧−<−===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r例16 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=122212221A ，求的伴随矩阵． A *A 例17 设⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=1111,23212121A A , ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−12100A A B 则 *B =？ 例18 设是３阶矩阵，A 21=A ，求*12)3(A A −−． 例19 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=8030010100100001*A ，且E XA AXA 311+=−−，求X ．。

第三讲 矩阵的初等变换一、概念1.定义矩阵的初等变换：下面的三种变换称为矩阵的初等变换(1) j i r r ↔；j i c c ↔.（换行或换列）(2) k r i ⨯；k c i ⨯（数0≠k ）（倍行或倍列）(3) j i kr r +；j i kc c +..（倍行加或倍列加）2.矩阵A 与B 等价：n m A ⨯经过有限次的初等变换变成B . 记作~A B .（1）等价的性质：反身性 ~A A ；对称性 若~A B ，则~B A ；传递性 若~,~A B B C ，则~A C .（2）任何矩阵n m A ⨯都等价于一个标准形矩阵,即()()()()()r r r n r m n m n n r r n r n r E O A F r O O ⨯⨯-⨯⨯-⨯-⨯-⎛⎫→= ⎪⎝⎭． 即存在有限个初等矩阵l P P P ,,,21 , 使121()k k l m n PP P AP P F r +⨯= .且矩阵的等价标准形惟一确定.（3）行阶梯矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全是零；每个台阶只有一行，台阶数为非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元.例如1210104112140110301113,00013000130000000000A A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上述两矩阵均为行阶梯矩阵.（4）行最简形矩阵：非零行的非零首元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为零的行阶梯矩阵.110104011030001300000A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭为行最简形矩阵. 例1 求所给矩阵A 的行阶梯矩阵、行最简形矩阵以及等价标准型矩阵. 123221112112141121421112 ~ 46224231123697936979r r r A ↔÷---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 4221323141r 222311214112140331603316 ~ 05536011160334300039~r r r r r r r r r +------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭2333243r 3(4)311214112140111601116000412000130003900000~~r r r r r r +÷-↔---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（行阶梯矩阵） 1232321010401103 ~ 0001300000r r r r r --+-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭315132525434433451000001000 ~0010000000c c c c c c c c c c c c F +-+++⨯↔⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. （行最简形矩阵） （等价标准型矩阵）3.初等矩阵的概念（1）定义初等矩阵：由单位矩阵E 只经过一次初等变换得到的方阵.①j i r r ↔或j i c c ↔ 均对应初等方阵),(j i E :行第行第j i j i E ←←⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1101111011),(②k r i ⨯或k c i ⨯ )0(≠k 均对应初等矩阵))((k i E :行第i k k i E ←⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111))((③j i kr r +或i j kc c + 均对应初等矩阵))(,(k j i E :行第行第j i kk j i E ←←⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111))(,(（2）初等矩阵行列式的性质(,)1;(())(0);(,())1E i j E i k k k E i j k =-=≠= .重要结论：初等矩阵是可逆矩阵，且逆矩阵仍然是初等矩阵.(3)初等矩阵的逆矩阵①),(),(1j i E j i E =-;② ))1(())((1k i E k i E =-, )0(≠k ;③))(,())(,(1k j i E k j i E -=-.(4)初等矩阵的转置也是初等矩阵.①),(),(j i E j i E T =;② ))(())((k i E k i E T =, )0(≠k ;③))(,())(,(k i j E k j i E T =.4.矩阵初等变换的重要性质【性质1】 设A 是一个m n ⨯的矩阵，对A 实施一次初等行(列)变换，相当于在A 的左边(右边)乘以相应的m 阶（n 阶）初等矩阵.【性质2】 方阵m m A ⨯可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵 12,,,n P P P ，使得12n A PP P = ，即~rA E .【定理】设A 与B 为m n ⨯矩阵，则①~rA B ⇔存在m 阶可逆矩阵P ,使PA B =.②~cA B ⇔存在n 阶可逆矩阵Q ,使AQ B =.③~rc A B ⇔分别存在m 、n 阶可逆矩阵P 、Q ,使PAQ B =.5.用初等变换求逆矩阵或解矩阵方程的方法①若A 可逆,则1-A 也可逆,于是存在初等矩阵12,,,n P P P ,使12n A PP P = ，又1AA E -= 即112n PP P A E -= ，所以111121n A P P P ----= , 用分块矩阵运算表示为111(,)(,)A A E A A A ---=⇔ 1(,)~(,)rA E E A -.1111~CA A E AA A E E A A ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇔ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.②用初等变换求解矩阵方程，求解线性方程组(1)解矩阵方程AX B =，其中A 可逆，则1X A B -=即 111(,)(,)(,)~(,)r A A B E A B A B E A B ---=⇔.(2)解线性方程组Ax b =，其中A 可逆.则1x A b -=，即 1(,)~(,)rA b E A b -.(3)解矩阵方程XA B =，其中A 可逆，则1X BA -=即 111~cA E A E AB BA B BA ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇔ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【定理6】 矩阵方程 AX B =有解的充要条件是 ()(,)R A R A B =.例2设1221311122,2,013225A b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求线性方程组 12,Ax b Ax b ==的解.解 设1212(,),(,)X x x B b b ==12211231321110122220(,,)1222033113512205005~r r r r A b b r r ↔⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭322123320001222142522000000111130030031212~~r r r r r r r r ↔⎛⎫⎛⎫--÷-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()1112,,E A b A b --=.因为~r A E ，所以A 可逆，且1420132X A B -⎛⎫- ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭，即线性方程组12,Ax b Ax b ==都有惟一解，且解依次为111122420,132x A b x A b ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.3.矩阵的秩（1）定义矩阵A 的k 阶子式：在n m ⨯矩阵A 中，任取k 行与k 列，位于这些行列相交处的2k 个元素，按原相对位置构成的k 阶行列 式.（{}1min ,k m m ≤≤） kk k k kkkk j i j i j i j i j i j i j i j i j i i i i j j j a a a a a a a a a A 2122212121112121)( =.A 的k 阶子式共有kn k m C C 个.例3 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121021121021A 的k 阶子式： (1) 1阶子式如：12()A ：2,共有121413=C C 个. (2) 2阶子式如：1324()A ：2111-,共有182423=C C 个. (3) 3阶子式如：123124()A ：121212011-,共有43433=C C 个.（2）定义矩阵A 的秩——设矩阵A 中有一个非零的r 阶子式D ,而且所有1+r 阶子式(如果存在的话)值全为0，则D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数r 称为矩阵A 的秩,记作()R A ,即()R A r =.注：①零矩阵的秩规定为0.②A 的最高阶非零子式称为矩阵A 的秩子式.例4 显然矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000100001A 的秩为2；(())m n R F r r ⨯=.(3)矩阵秩的性质①0()min(,)m n R A m n ⨯≤≤.（结论显然成立）②若n A 可逆,则()n R A n =（也称非奇异矩阵或满秩矩阵）.此时0A ≠. 若n A 不可逆,()n R A n <，即方阵是降秩矩阵（也称为奇异矩阵）. 此时有0A =(注意：降秩与满秩矩阵都是对方阵而言的)③()()T R A R A =.④初等变换不改变矩阵的秩,即()()()R PA R AQ R A ==，(~r A B ;~c A M ~rc A W ),其中Q P , 为初等矩阵.若Q P ,均可逆,则()()()()R PA R AQ R PAQ R A ===.若~A B ,则()()R A R B =.⑤max{(),()}(,)()()R A R B R A B R A R B ≤≤+.特别地，当B b =时，有()(,)()1R A R A b R A ≤≤+.证 因为A 的最高阶非零子式总是(,)A B 的非零子式,所以()(,)R A R A B ≤.同理有()(,)R B R A B ≤，所以max{(),()}(,)R A R B R A B ≤.设(),()R A r R B t ==.把A 与B 分别作列变换化为列阶梯形 A 和 B ，则 A 和 B 中分别含有r,t 个非零列，设 12~(,,,,0,,0)c r A A a a a = ， 12~(,,,,0,,0)ct B B b b b = . 则 (,)~(,)c A B A B由于 (,)A B 中只含r t +个非零列，因此 (,)R A B r t ≤+,而(,)(,)R A B R A B =，故 (,)R A B r t ≤+，即 (,)()()R A B R A R B ≤≤+.综上所述 max{(),()}(,)()()R A R B R A B R A R B ≤≤+.⑥()()()R A B R A R B +≤+.证 不妨设A B 、为m n ⨯，则 (1,2)(,)(,)~i n i c c i n A B B A B +-=+ ，于是 ()(,)(,)()()R A B R A B B R A B R A R B +≤+=≤+.⑦设,m n n s A B ⨯⨯，则()()()min{(),()}R A R B n R AB R A R B +-≤≤. 证 一方面： 设()R A r =，则000r E A P Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭.其中,P Q 分别为,m n 阶可逆矩阵，又设12C QB C C ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()()R B R C =，且1120000r C E C AB P P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以1()()()()R AB R C R C R B =≤=.又()[()][]()()T T T T R AB R AB R B A R A R A ==≤=，所以 ()min{(),()}R AB R A R B ≤.另一方面：由 1122()()()C C R C R C R C C ⎛⎫=⇒≤+ ⎪⎝⎭且1()()R C R AB =，()()R C R B =又由2C 为()n r s -⨯形矩阵知2()()R C n r n R A ≤-=-，所以 ()()()R B R AB n R A ≤+-，即 ()()()R A R B n R AB +-≤. 综上所述 ()()()min{(),()}R A R B n R AB R A R B +-≤≤.结论：若0m n n l A B ⨯⨯=,则()()R A R B n +≤.结论：①将一个矩阵左乘一个列满秩矩阵时，其秩不变.②将一个矩阵右乘一个行满秩矩阵时，其秩不变.③矩阵的初等行变换不改变秩子式的列位置；矩阵的初等列变换不改 变秩子式的行位置.子式的行位置.二、提问1.下列矩阵（ ）不是初等矩阵（A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001020100(B)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001(C)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100410001 (D)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100030001. 2.已知 102013231A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（ ）（A ）T A A =；（B ）A 可逆；（C ）1A A -为对称矩阵（1490A =--≠）; （D ）001231010013100102A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(所有答案正确)3.（799P ） 求作一个秩为4 的方阵，它的两个行向量是()()10100,11000-解 1000011000101000001000000⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭4.解方程 010100143100001201001010120X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.解 因为010100100(1,2),001(2,3)001010E E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且11(1,2)(1,2),(2,3)(2,3)E E E E --==，故方程的解为 11143(1,2)201(2,3)120X E E ---⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭143(1,2)201(2,3)120E E -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭201210143(2,3)134120102E --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. 练习： 解方程 120(1,3)(2(2))314053E XE ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭.答案： 50321342110⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭5.（92年数一）设111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，其中0,0(1,2,,)i i a b i n ≠≠= ，则()R A = 1 .提示：()1212n n a a A b b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，A 为非零矩阵⇒()1R A ≥ 又因为()min{(),()}R AB R A R B ≤即得结论.6.(93年数三)当44A ⨯且()2R A =时，则*()R A = 0 .7.（96年数一）设43A ⨯且()2R A =，又100020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则()R AB ＝ 2 .（注意B 为可逆矩阵）.8.（09.3.4）设A ,P 均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002TP AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若()123,,P ααα=，()1223,,Q αααα=+,则 T Q AQ 为（ A ）（A ）210110002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 110120002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D) 100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭提示：()()1223123100,,,,110(2,1(1))001Q PE ααααααα⎛⎫⎪=+== ⎪ ⎪⎝⎭100[(2,1(1))][(2,1(1))](2,1(1))010(2,1(1))002T T T Q AQ PE A PE E E ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭100110210(1,2(1))010(2,1(1))010(2,1(1))110002002002E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.9.矩阵 222111a a A b b c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,()3R A =，则 （ C ） （A ）,,a b c 都不等于1；（B ）,,a b c 都不等于0；（C ）,,a b c 互不相等；（D ）a b c ==.10.设 33()ij A a ⨯=，212223111213311132123313a a a B a a a a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭，1010100001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100010101P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则 （ C ）（A ）12APP B =；（B ）21AP P B =；（C ）12PP A B =（D ）21P PA B =. 11.78797P - 在秩为r 的矩阵中有没有等于零的1r -阶子式，有没有等于零的r 阶子式？答：都有可能.至少有一个秩为r 的子式，秩子式不一定惟一；只有当矩阵是可逆矩阵时秩子式才是惟一的.注意秩子式是行列式而不 是矩阵.12.（78798P -） 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ，问A 与B 秩的关系？ 答：()1()()R A R B R A -≤≤.13.（06。

矩阵与线性⽅程组问题1矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系答矩阵与线性⽅程组问题1：矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系？答：对矩阵施⾏初等变换后得到的矩阵与原矩阵等价，⽽等价的矩阵有相同的等价标准型，从⽽有相同的秩。

换⾔之，对矩阵施⾏初等变换不改变秩。

于是利⽤这⼀性质，可以求出矩阵的秩。

其过程可以描述为A 经过⼀系列初等变换化为阶梯形，阶梯形中⾮零⾏的⾏数即为矩阵的秩。

问题2：线性⽅程组解的判定与矩阵的秩之间有何关系？答：齐次线性⽅程组0=?x A n m 必有解：当n A r =)(时，只有零解；当n A r <)(时，有⾮零解。

⾮齐次线性⽅程组b x A n m =?分有解和⽆解的情况，有解时分有唯⼀解还是⽆穷多解：b x A n m =?⽆解)~()(A r A r ≠?b x A n m =?有解)~()(A r A r =?有解的情况下：b AX n A r A r =?==)~()(有唯⼀解；b AX n A r A r =?==)~()(有⽆穷多解。

其中),(~b A A = 为增⼴矩阵。

问题3：已知A 是n m ?矩阵，B 是s n ?矩阵，且O AB =，证明：.)()(n B r A r ≤+ 分析：由于齐次线性⽅程组的基础解系中解向量的个数和系数矩阵的秩有直接关系，因此关于矩阵的秩的问题可以转化为齐次线性⽅程组的问题来处理。

证明：将B 按列分块),...,,(21s b b b B =，则由题可知O Ab Ab Ab b b b A AB s s ===),...,,(),...,,(2121即s i Ab i ,...,2,1,0==换⾔之，B 的每个列向量均是齐次线性⽅程组0=Ax 的解，即s b b b ,...,,21均可由0=Ax 的⼀组基础解系线性表⽰，设r A r =) (，则r n -ξξξ,...,,21为0=Ax 的⼀组基础解系。

则r n b b b r s -≤),...,,(21，故)()(A r n B r -≤，从⽽.)()(n B r A r ≤+问题4：设⾮齐次线性⽅程组b Ax =，其中A 是n m ?矩阵，则b Ax =有唯⼀解的充要条件是（）(A) n A r =)~(；(B)n A r =)(；(C)m A r =)~(；(D)n A r =)(,且b 为A 的列向量的线性组合. 分析：n m ≠，故Crame 法则失效；(A)n A r n A r =?/=)()~((或1-n ):若n A r =)(,有唯⼀解；若1)(-=n A r ,⽆解。

矩阵的初等行变换与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：1.互换矩阵两行的位置（对换变换）；2.用非0常数遍乘矩阵的某一行（倍乘变换）；3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行（倍加变换）上。

二、阶梯形矩阵满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵1.各个非0行（元素不全为0的元素）的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大；2.如果矩阵有0行，0行在矩阵的最下方。

例如重要定理一任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。

例题注意：一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一例如：三、矩阵的秩矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩，记作秩（A）或r(A) 例如下列矩阵的秩分别为2、3、4⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000049201321、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100980201、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---50000301000783013002例题 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=35222232111201107033A 秩及秩(TA ) 解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=35222232111201107033A ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−35222232110703312011,②① ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−−→−-+-+-+11200112003100012011)2()1()3(①④①③①② ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−→−-+00000112003100012011)1(③④()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−00000310001120012011,③② 所以，秩(A)=3⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32105327220021132113A T⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−→−-⨯++32101101220000002113)2(①④①②⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−00002113220032101101,,⑤②④①⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−−→−-⨯+00001210220032101101)3(①④⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−−→−-⨯+00004400220032101101)1(②④⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−→−⨯+000000002200321011012③④所以，()3AT=秩可以证明：对于任意矩阵A ，()()TA A 秩秩=；矩阵的秩是唯一的。

矩阵的初等行变换与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：1.互换矩阵两行的位置（对换变换）；2.用非0常数遍乘矩阵的某一行（倍乘变换）；3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行（倍加变换）上。

二、阶梯形矩阵满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵1.各个非0行（元素不全为0的元素）的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大；2.如果矩阵有0行，0行在矩阵的最下方。

例如重要定理一任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。

例题注意：一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一例如：三、矩阵的秩矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩，记作秩（A）或r(A) 例如下列矩阵的秩分别为2、3、4⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000049201321、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100980201、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---50000301000783013002例题 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=35222232111201107033A 秩及秩(TA ) 解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=35222232111201107033A ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−35222232110703312011,②① ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−−→−-+-+-+11200112003100012011)2()1()3(①④①③①② ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−→−-+00000112003100012011)1(③④()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−00000310001120012011,③② 所以，秩(A)=3⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32105327220021132113A T⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−→−-⨯++32101101220000002113)2(①④①②⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−00002113220032101101,,⑤②④①⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−−→−-⨯+00001210220032101101)3(①④⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−−→−-⨯+00004400220032101101)1(②④⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−→−⨯+000000002200321011012③④所以，()3AT=秩可以证明：对于任意矩阵A ，()()TA A 秩秩=；矩阵的秩是唯一的。