江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校2020届高三联考数学调研测试试题(解析版)

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作南师附中、淮阴、天一、海门数学四校联考数学Ⅰ 必做题部分参考公式：锥体的体积公式：,31Sh V =锥体其中S 是锥体的底面积，h 是高． 一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1. 设集合}2,1,0{=A ，}3,2{2++=a a B ，}1{=B A ，则实数a 的值为________．2. 设复数z 满足5)43(=-z i （i 是虚数单位），则=z ________．3. 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是________．4. 在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为h km /90～h km /120，试估计2000辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 辆．5. 将函数)0)(2sin(πϕϕ<<+=x y 的图象沿x 轴向左平移8π个单位，得到函数 )(x f y =的图象，若函数)(x f y =的图象过原点，则=ϕ_________．6. 已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为21，乙胜的概率为31，则甲胜的概率 为________．7. 设偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)1()12(f x f ≤-的x 的取值范围是_______．8. 在等比数列}{n a 中，已知3252-=a a ，443=+a a ，且公比为整数，则=10a ________．9. 如图，正四棱锥ABCD P -的底面一边AB 长为cm 32，侧面积为238cm ，则它的体积为________．A B C D P10. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线与圆1)2(22=++y x 没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为_________．11. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-2,log 2,)21()(3x x x x f a x （,0>a 且1≠a ）的值域是),2[+∞，则实数a 的取值范围是________．12. 已知ABC ∆外接圆O 的半径为2，且AO AC AB 2=+，||||AO AB =，则=⋅CB CA ________． 13．已知y x ,为正实数，则xy y x x ++22的最小值为________．14．设0))(3(2≤-+b x ax 对任意),0[+∞∈x 恒成立，其中b a ,是整数，则b a +的取值的集合为________． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15． （本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且ac b c a -=+222．（1）求B 的大小；（2）设BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，,1,32==BD AD 求C cos 的值． A B CD16． （本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，BC AD //，且AD BC 2=，CD PB CD AD ⊥⊥,，点E 在棱PD 上，且ED PE 2=．（1）求证:平面⊥PCD 平面PBC ；（2）求证://PB 平面AEC ．PC BD A E17． （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率22=e ，且点)1,2(P 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点B A ,都在椭圆C 上，且AB 中点M 在线段OP （不包括端点）上．①求直线AB 的斜率；②求AOB ∆面积的最大值．18． （本小题满分16分）如图，B A ,是海岸线OM ，ON 的两个码头，Q 为海中一小岛，在水上旅游线AB 上，测得Q km OA MON ,6,3tan =-=∠到海岸线ON OM ,的距离分别为km 2，km 5107． （1）求水上旅游线AB 的长； （2）海中km PQ P 6(=，且OM PQ ⊥处的某试验产生的强水波圆P ，生成t 小时时的半径为km t r 23 66=．若与此同时，一游轮以h km / 218的速度自码头A 开往码头B ，试研究强水波是否波及游轮的航行? O M NP B A Q19． （本小题满分16分）设R b a ∈,，函数a x a e x f x--=ln )(，其中e 是自然对数的底数，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为0)1(=+--b y x e ．（1）求实数b a ,的值；（2）求证:函数)(x f y =存在极小值； （3）若),21[+∞∈∃x ，使得不等式0ln ≤--xm x x e x 成立，求实数m 的取值范围． 20． （本小题满分16分）（2）若2016,21<==m d a ，求m 的最大值；（3）是否存在正整数k ，满足)(3121121m m k k k k a a a a a a a a ++++=++++-++- ?若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．南师附中、淮阴、天一、海门数学四校联考数学Ⅱ 附加题部分【选做题】本题包括D C B A ,,,四个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知圆上是弧AC =弧BD ，过点C 的圆的切线CE 与BA 的延长线交于点E ．（1）求证：BCD ACE ∠=∠；（2）求证：CD AE BD ⋅=2B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121a A 的一个特征值3=λ所对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11e ，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 为θθρsin 2cos 4+=．曲线C 上的任意一点的直角坐标为),(y x ，求y x -的取值范围D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知关于x 的不等式b a x <+||的解集为}42|{<<x x ．（1）求实数b a ,的值；（2）求bt at ++12的最大值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．22． （本小题满分10分）某商场举行抽奖促销活动，在该商场消费的顾客按如下规则参加抽奖活动：消费金额X （元） )1000,500[ )1500,1000[ ),1500[+∞抽奖次数 1 2 4抽奖中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽取一个，且不放回抽取），若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元，（1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，求该顾客获得奖金70元的概率；（2）若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，获奖金ξ 元。

南师附中、淮阴、天一、海门数学四校联考数学Ⅰ 必做题部分 2016.2参考公式：锥体的体积公式：,31Sh V =锥体其中S 是锥体的底面积，h 是高． 一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1. 设集合}2,1,0{=A ，}3,2{2++=a a B ，}1{=B A ,则实数a 的值为 2.设复数z 满足5)43(=-z i （i 是虚数单位），则=z 3.右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是4.在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为h km /90～h km /120,试估计2000辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 辆.5.将函数)0)(2sin(πϕϕ<<+=x y 的图象沿x 轴向左平移8π个单位,得到函数 )(x f y =的图象,若函数)(x f y =的图象过原点,则=ϕ6.已知甲、乙两人下棋,和棋的概率为21，乙胜的概率为31，则甲胜的概率为7.设偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)1()12(f x f ≤-的x 的取值范围是8.在等比数列}{n a 中，已知3252-=a a ，443=+a a ，且公比为整数， 则=10a9.如图，正四棱锥ABCD P -的底面一边AB 长为cm 32， 侧面积为238cm ，则它的体积为10.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线与圆1)2(22=++y x 没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为11.若函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-2,log 2,)21()(3x x x x f a x （,0>a 且1≠a ）的值域是),2[+∞，则实数a 的取值范围是12.已知ABC ∆外接圆O 的半径为2，且AO AC AB 2=+,||||AO AB =, 则=⋅CB CA 13.已知y x ,为正实数，则xyy x x ++22的最小值为 14.设0))(3(2≤-+b x ax 对任意),0[+∞∈x 恒成立，其中b a ,是整数，则b a +的取值的集合为二、解答题: 本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出AB CDPABCDPCBDAE文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且ac b c a -=+222. （1）求B 的大小；（2）设BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ,,1,32==BD AD 求C cos 的值.16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中,BC AD //,且AD BC 2=,CD PB CD AD ⊥⊥,, 点E 在棱PD 上,且ED PE 2=. （1）求证:平面⊥PCD 平面PBC ; （2）求证://PB 平面AEC .17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率22=e ,且点)1,2(P 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程;（2）若点B A ,都在椭圆C 上,且AB 中点M 在线段OP （不包括端点）上. ①求直线AB 的斜率; ②求AOB ∆面积的最大值.18．（本小题满分16分）如图,B A ,是海岸线OM,ON 的两个码头,Q 为海中一小岛,在水上旅游线AB 上, 测得Q km OA MON ,6,3tan =-=∠到海岸线ON OM ,的距离分别为km 2,km 5107.（1）求水上旅游线AB 的长;（2）海中km PQ P 6(=,且OM PQ ⊥处的某试验产生的强水波圆P ,生成t 小时时的半径为km t r 23 66=.若与此同时,一游轮以h km / 218的速度自码头A 开往码头B ,试研究强水波是否波及游轮的航行?19. （本小题满分16分）设R b a ∈,，函数a x a e x f x --=ln )(，其中e 是自然对数的底数，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为0)1(=+--b y x e . （1）求实数b a ,的值;（2）求证:函数)(x f y =存在极小值;（3）若),21[+∞∈∃x ,使得不等式0ln ≤--x m x x e x 成立,求实数m 的取值范围.20．（本小题满分16分）正项数列:*),4(,,,21N m m a a a m ∈≥ ,满足: *),(,,,,1321N k m k a a a a a k k ∈<- 是公差为d 的等差数列, k k m m a a a a a ,,,,,111+- 是公比为2的等比数列. （1）若8,21===k d a ,求数列m a a a ,,,21 的所有项的和m S ; （2）若2016,21<==m d a ,求m 的最大值;OMN PBAQ（3）是否存在正整数k ,满足)(3121121m m k k k k a a a a a a a a ++++=++++-++- ?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由.南师附中、淮阴、天一、海门数学四校联考数学Ⅱ 附加题部分21.【选做题】本题包括D C B A ,,,四个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知圆上是弧AC =弧BD ,过点C 的圆的切线CE 与BA 的延长线交于点E . （1）求证：BCD ACE ∠=∠; （2）求证：CD AE BD ⋅=2B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121a A 的一个特征值3=λ所对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11e ，求矩阵A的逆矩阵1-A .C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系, 曲线C 为θθρsin 2cos 4+=.曲线C 上的任意一点的直角坐标为),(y x ,求y x -的取值范围.D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知关于x 的不等式b a x <+||的解集为}42|{<<x x . （1）求实数b a ,的值;（2）求bt at ++12的最大值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）某商场举行抽奖促销活动,在该商场消费的顾客按如下规则参加抽奖活动:消费金额X （元） )1000,500[ )1500,1000[ ),1500[+∞抽奖次数 1 2 4 抽奖中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽取一个，且不放回抽取），若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元，（1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，求该顾客获得奖金70元的概率；（2）若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，获奖金ξ 元。

南师附中2023—2024高一年级10月学情调研测试数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}220A x x x =−−≥，{}1,0,1,2,3B =−，则A B =（ ）A. {}1,2,3B. {}1,0,1,2−C. {}2,3D. {}1,2,3−【答案】D 【解析】【分析】将集合A 进行一元二次不等式化简然后与集合B 取交集即可. 【详解】(][),12,A =−∞−+∞，{}1,0,1,2,3B =−，则{}1,2,3A B =−，故选：D.2. 命题“2x ∀≤，2280x x +−>”的否定是（ ） A. 2x ∃≤，2280x x +−≤ B. 2x ∀>，2280x x +−> C. 2x ∃≤，2280x x +−> D. 2x ∃>，2280x x +−>【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题的否定，可直接得出结果.【详解】命题“2x ∀≤，2280x x +−>”的否定是：2x ∃≤，2280x x +−≤. 故选：A .3. 已知集合{}20,21,31A a a a =+++，若1A −∈，则实数a ＝（ ）A. －1B. －2C. －3D. －1或－2【答案】B 【解析】【分析】根据1A −∈，便有211a +=−或2311a a ++=−，对于每种情况求出a 的值，代入集合A 中，看是否满足集合元素的互异性，从而得出实数a 的值． 【详解】1A −∈，211a ∴+=−或2311a a ++=−．①当211a +=−时，1a =−，此时2311a a ++=−，与集合的互异性矛盾，舍去；②当2311a a ++=−时，1a =−或2a =−，2a =−时213a +=−，满足条件，1a =−时，211a +=−，与集合的互异性矛盾，舍去， 综上可知2a =−． 故选：B ．4. 已知：0,0,1,a b a b >>+=则下列说法正确的是（ ）A. ab 有最大值14B. ab 有最小值14C.11a b+有最大值4 D.11a b+有最小值14【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式可得14ab ≤和114a b+≥，即可判断. 【详解】0,0,1a b a b >>+=，2a b ab ∴+≥1ab ≤，可得14ab ≤，当且仅当12a b ==时等号成立， ∴ab 有最大值14，故A 正确，B 错误； ()11112224b a b aa ba b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =即12a b ==时等号成立， ∴11a b+有最小值4，故CD 错误. 故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5. 设x ，R y ∈，则“2x y +=”是“1x =且1y =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据必要不充分条件概念求解即可.【详解】2x y +=不能推出1x =且1y =，1x y ==能推出2x y +=， 所以2x y +=是1x =且1y =的必要不充分条件. 故选：B6. 已知集合**46x xM x ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭N N 且，集合24x N x ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ，则（ ）A. MNB. M N ⊆C. *24x M N x ⋅⎧⎫⎪⎪⋂=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N D. 12xM N x⎧⎫⋃=∈⎨⎬⎩⎭Z 【答案】C 【解析】【分析】根据4和6最小公倍数为12，得*N 12xM x⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭∣，而Z 24x N x ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭∣，易得两集合之间关系. 【详解】*N 4x ∈,且*N 6x ∈,*N 12x∴∈,*N 12x M x ⎧⎫∴=∈⎨⎬⎩⎭∣，又Z 24x N x ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭∣， 则集合M 中的元素应为12的正整数倍,集合N 中的元素为24的整数倍,故{12M x x k ==∣,}{}*,24,k N x x k k ∈==∈N Z ∣.可知,当元素满足为24的整数倍时,必满足为12的正整数倍,则M N ⋂*24x x⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭N ∣ 故A,B 错误，对D 选项，若12x =−，则此元素既不在集合M 中，也不在集合N 中，故D 错误， 故选：C.7. 已知a b c >>，且0a b c ++=，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 22ab bc >B. 22ab b c >的C. ()()0ab ac b c −−>D. ()()0ac bc a c −−>【答案】C 【解析】【分析】用不等式的性质判断，不一定成立的不等式可举反例说明．【详解】由题意可知0a >，0c <.当0b =时，220ab bc ==，220ab b c ==，则排除A ，B ； 因为b c >，0a >， 所以ab ac >， 所以0ab ac −>. 因为b c >， 所以0b c −>，所以()()0ab ac b c −−>，则C 一定成立； 因为a b >，0c <， 所以ac bc <， 所以0ac bc −<. 因为a c >， 所以0a c −>，所以()()0ac bc a c −−<，则排除D. 故选：C ．8. 已知正实数,a b 满足21a b +=.则25a ba ab++的最小值为（ ）A. 3B. 9C. 4D. 8【答案】B 【解析】【分析】对不等式变形后利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】a ，b 均为正实数，()()()2454141a a b a b a b a a ab a a b a b a a b a +++⎛⎫⎡⎤==+=+++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭4441529a a b a a ba b a a b a++=+++≥+⋅=++，当且仅当4a a b a b a +=+，即13a b ==时，等号成立. 故选：B二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9. 设{}28150A x x x =−+=，{}10B x ax =−=，若AB B =，则实数a 的值不可以为（ ）A.15B. 0C. 3D.13【答案】C 【解析】【分析】先求出集合{}3,5A =，再结合题目条件，分,B B =∅≠∅两种情况讨论，即可确定实数a 的值. 【详解】由题，得{}{}281503,5A x x x =−+==，因为A B B =，所以B A ⊆，当0a =时，10ax −=无解，此时B =∅，满足题意； 当0a ≠时，得1x a =，所以13a =或15a =，解得13a =或15a =，综上，实数a 的值可以为110,,35，不可以为3. 故选：C10. 已知集合{|13}A x x =−<<，集合{|1}B x x m =<+，则A B ⋂=∅的一个充分不必要条件是（ ） A. 2m ≤− B. 2m <−C. 2m <D. 43m −<<−【答案】BD 【解析】【分析】由A B ⋂=∅可得2m ≤−，再由充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】因为集合{|13}A x x =−<<，集合{|1}B x x m =<+， 所以A B ⋂=∅等价于11m +≤−即2m ≤−， 对比选项，2m <−、43m −<<−均为A B ⋂=∅充分不必要条件.故选：BD.【点睛】本题考查了由集合的运算结果求参数及充分不必要条件的判断，属于基础题.11. 若0a b <<，且0a b +>，则（ ） A.1ab>− B.110a b+> C. a b <D. ()()110a b −−<【答案】AC 【解析】【分析】根据已知条件结合不等式性质判断各个选项即可【详解】A 选项：∵0a b <<，且0a b +>， ∴0b a >−>，可得01ab<−<，即10a b −<<，A 正确；B 选项，110a ba b ab++=<，B 错误； C 选项，0a b <<即a a =−，b b =，由0a b +>可得b a >，C 正确； D 选项，因为当11,32a b =−=，所以()()110a b −−>，D 错误. 故选：AC.12. 下列关于二次函数()221y x =−−的说法正确的是（ ）A. x ∀∈R ，()2211y x =−−≥B. 1a ∀>−，0x ∃∈R ，()2021y x a =−−< C. 1a ∀<−，0x ∃∈R ，()2021y x a =−−= D. 12x x ∃≠，()()22122121x x −−=−− 【答案】BD 【解析】【分析】由于二次函数()221y x =−−，其图象开口向上，对称轴为直线2x =，最小值为－1，再根据对特称命题和全称命题的理解，即可判断得出答案.【详解】解：对于二次函数()221y x =−−，其图象开口向上，对称轴为直线2x =，最小值为－1， 所以x ∀∈R ，()2211y x =−−≥错误，故A 错误；所以1a ∀>−，0x ∃∈R ，()2021y x a =−−<正确，故B 正确； 所以1a ∀<−，0x ∃∈R ，()2021y x a =−−=错误，故C 错误；所以12x x ∃≠，()()22122121x x −−=−−正确，故D 正确. 故选：BD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13. 已知集合{}11A x x =−<<，{}02B x x =≤≤，则A B ⋃=______. 【答案】(]1,2− 【解析】【分析】根据并集运算性质求解即可.【详解】集合{}11A x x =−<<，{}02B x x =≤≤，则{}|12A B x x =−<≤.故答案为：(]1,2−14. 设A ，B 是两个非空集合，定义集合{}A B x x A x B −=∈∉且，若{}05A x N x =∈≤≤，{}27100B x x x =−+<，则A B −=______.【答案】{}0,1,2,5 【解析】【分析】先得集合,A B ，再根据A B −的定义求解即可.【详解】因为{}{}N 050,1,2,3,4,5A x x =∈≤≤=，{}()271002,5B x x x =−+<=，由新定义得{}0,1,2,5A B −=， 故答案为：{}0,1,2,5.15. 已知关于x 的不等式0ax b +>的解集为()3,−+∞，则关于x 的不等式20ax bx +<的解集为_________. 【答案】()3,0− 【解析】【分析】先根据不等式的解集可得,a b 的关系及a 的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】由0ax b +>的解集为()3,−+∞， 可得0a >，且方程0ax b +=的解为3−， 所以3ba−=−，则3b a =， 的所以()222303030ax bx a x x x x x +=+<⇒+<⇒−<<， 即关于x 的不等式20ax bx +<的解集为()3,0−. 故答案为：()3,0−.16. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若B C ∠=∠且222743a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为________． 5 【解析】【详解】试题分析：由B C ∠=∠得，代入222743a b c ++=得，，即，由余弦定理得，，所以，则的面积，当且仅当取等号，此时，所以的面积的最大值为，故答案为．考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理.【方法点晴】本题考查余弦定理，平方关系，基本不等式的应用，以及三角形的面积公式，考查变形、化简能力，对计算能力要求较高，属于中档题；由B C ∠=∠得，代入222743a b c ++=化简，根据余弦定理求出，由平方关系求出，代入三角形面积公式求出表达式，由基本不等式即可求出三角形面积的最大值．四、解答题（本大题共4小题.解析时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知集合{}2430A x x x =++=，{}22230B x x ax a a =−+−−=． （1）当1a =时，求A B ⋃； （2）若{}3AB =−，求a 的值．【答案】（1）{}3,1,3A B ⋃=−−；（2）3−． 【解析】【分析】(1)求出集合A ，把1a =代入求出集合B ，再利用并集的定义即可求解； (2)由已知可得3B −∈，把3x =−代入集合B 的约束条件求出a ，再验证即可得解. 【详解】（1）依题意，{}{}24303,1A x x x =++==−−，当1a =时，{}{}22301,3B x x x =−−==−，所以{}3,1,3A B ⋃=−−； （2）因为{}3AB =−，则3B −∈，于是得()()2232330a a a −−⨯−+−−=，即2560a a ++=，解得2a =−或3a =−，当2a =−时，{}{}24303,1B x x x =++==−−，则{}3,1AB =−−，不符合题意，当3a =−时，{}{}26903B x xx =++==−，则{}3AB =−，符合题意，综上得，a 的值是3−.18. 已知集合{}121P x a x a =+≤≤+，集合{}25Q x x =−≤≤ （1）若3a =，求集合()R C P Q ； （2）若P Q ⊆，求实数a取值范围.【答案】（1）{}24x x −≤<；（2）(,2]−∞ 【解析】【详解】试题分析;（1）将a 的值代入集合P 中的不等式，确定出P ，找出P 的补集，求出补集与Q 的交集即可；（2）根据P 为Q 的子集列出关于a 的不等式组，求出不等式组的解集即可得到a 的范围． 试题解析;(1)当3a =，{|47}P x x =≤≤，{|47}R C P x x x ∴=或,(){|47}{|25}{|24}R C P Q x x x x x x x ∴⋂=⋂−≤≤=−≤<或.（2）①当P φ=时，满足P Q ⊆有21a a +<+1，即0a <的,②当P φ≠时，满足P Q ⊆，则有21121512a a a a +≥+⎧⎪+≤⎨⎪+≥−⎩，02a ∴≤≤综上①②a 的取值范围为(],2−∞ 19. 若,(0,)x y ∈+∞，230x y xy ++=. （1）求xy 的取值范围； （2）求x y +的取值范围.【答案】（1）180xy ≤<；（2）82330x y −≤+<. 【解析】【分析】（1）结合基本不等式整理得()2308xy xy −≥，当且仅当2x y =时取等号，再根据已知的范围即可得答案；（2）由于21302(1)2x y x y xy x y y x x y ++⎛⎫=++=+++≤++ ⎪⎝⎭，故只需解2(1)4(1)1240x y x y +++++−≥并结合已知条件求解即可.【详解】解：（1）因为,(0,)x y ∈+∞，230x y xy ++=， 所以30222xy x y xy −=+≥，当且仅当2x y =时取等号， 整理得：()2308xy xy −≥，解得：18xy ≤或50x ≥， 又因为,(0,)x y ∈+∞，230x y xy ++=，所以030xy <<， 所以180xy ≤<. （2）因为,(0,)x y ∈+∞，21302(1)2x y x y xy x y y x x y ++⎛⎫=++=+++≤++ ⎪⎝⎭，当且仅当1x y +=时取等号，所以2(1)4(1)1240x y x y +++++−≥，解可得，1822x y ++≥或1822x y ++≤−（舍）， 故823x y +≥−.又因为230x y xy ++=，所以82330x y ≤+<.20. 已知关于x 的函数212y x x =−和22416y x =−.（1）若12y y ≥，求x 的取值范围；（2）若关于x 的不等式()21222y t x t y ≥−−≥（其中02t <≤）的解集[],D m n =，求证：15n m −≤【答案】（1）[]22−,【解析】【分析】（1）转化为232160x x +−≤求解；（2）讨论01t <<，1t =，12t <≤，求解()21222y t x t y ≥−−≥，判断15n m −≤.【小问1详解】12y y ≥可得222416x x x −≥−，即232160x x +−≤， 即()()2380x x −+≤，即823x −≤≤，则22x −≤≤， 则实数x 的取值范围是[]22−,； 【小问2详解】因为()21222y t x t y ≥−−≥，所以12y y ≥，由（1）知[]2,2x ∈−，所以[][],2,2D m n =⊆−（i ）01t <<时，当[0,2]x ∈时，()()()22222212222202x x t y x t x tx t t t x x t −−⎡⎤−=−−−+=−+=−≥⎣⎦， 所以当[0,2]x ∈时，()2122y t x t ≥−−恒成立，当[2,0)x ∈−时，令()()2122g x y t x t =−−⎡⎤−⎣⎦()()222222242x x t x t x t x t =+−−+=+−+()y g x =对称轴21x t =−<−，故()y g x =在[1,0)−上为增函数，又()()221124140g t t t −=+−+=+−<，()200g t =>， 所以存在()01,0x ∈−使得0()0g x =故()0g x ≥的解集为[]0,0x ，所以当[]2,2x ∈−时，()2122y t x t ≥−−的解集为[]0,2x ，其中()01,0x ∈− 所以[],(1,2]D m n =⊆−，则315n m −<<（ii ）当1t =时，121y y ≥−≥， 因为()221211y x x x =−=−−，所以11y ≥−恒成立， 由题意知21y −≥的解集为[],D m n =，所以,m n 是方程21416x −=−的两根， 所以1515,22n m ==−，所以15n m −= （iii ）当12t <≤时，当[0,2]x ∈时，由（i ）知()()221220t x x t y t ⎡⎤−=−⎣−−≥⎦， 当[2,0)x ∈−时，令()()()()2122242241022y t x t x t t t x x t ⎡⎤−=+−+=+−+−>⎣⎦−− ∴()2122y t x t ≥−−在[]22−,恒成立，故只需要考虑()2222t x t y −−≥在[]22−,的解集即可. 由()2222t x t y −−≥，可得()22422160x t x t −−+−≤，由题意m ，n 是()22422160xt x t −−+−=的两根， 令()()2242216x x t x t ϕ=−−+−，其对称轴为110,44t x −⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， ()()()222216222164420t t t t t ϕ=−−+=−+−=≥−，()()()2222162221644280t t t t t ϕ+−=−=+−+−−=+>，所以[],2,2m n ∈−， ()22326542t t n m m n mn −−+−=+−=， 又()23265h t t t =−−+在12t <≤为单调减函数，∴()()160h t h <=，∴6015n m −<=，综上，15n m −≤ 【点睛】方法点睛：根据二次不等式的解集确定参数：①根据不等号的方向与解集的形式()[,],(,][,)m n m n −∞+∞可确定开口方向； ②解集的端点值为对应二次方程的根；③若解集为R,∅，则考虑开口方向与∆。

群星闪耀2020年4月数学学科调研测试试卷数学Ⅰ的取值范围为.9.给出下列命题：①如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②如果一个平面的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；③如果两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；④如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中真命题的序号是.10.已知函数()()ϕω+=x x f cos 2)20,0(πϕω<<>的图像过点()2,0，且在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，上单调递减，则ω的最大值为.11.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()42:22=+-y x C ，点A 是直线02=+-y x 上的一个动点，直线AP ，Q A 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为.12.已知正实数x ，y 满足()12=-y x xy ，则y x +的最小值为.13.如图，在梯形ABCD 中，CD AB //且BC AB DC 22==，E 为BC 中点，AC 与DE 交于点O .若OD OA CD CB ⋅=⋅512，则BCD ∠的余弦值为.14.已知周期为6的函数()x f 满足()()x f x f -=+44，当[]4,1∈x 时，()x x x f ln =,则当33e 2≤<a 时(e 为自然对数的底数)，关于x 的不等式()()02<-x af x f 在区间[]15,1上的整数解的个数为.二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱形，M 为PC 中点.(1)求证：//PA 平面BDM ；(2)若PC PA =，求证：平面⊥PBD 平面ABCD .16.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过一点()t ,3-.(1)若4=t ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+4sin πα的值；(2)若3=t 且()πα2,0∈，求()()x x x f cos sin ++=α的单调增区间.第13题图第15题图如图，某大型工厂有三个值班室A,B,C,值班室A在值班室B的正北方向3千米处，值班室C在值班室B的正东方向4千米处.(1)保安沿CA从值班室C出发行至点P处，此时2PC，求PB的距离；=(2)保安甲沿CA从值班室C出发行前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发行前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千已知数列{}()*N n a n ∈的前n 项和为n S ，()()为常数λλ+=n n a n S 2对于任意的*N n ∈恒成立.(1)若11=a ，求λ的值；(2)证明：数列{}a 是等差数列；λ)，2020年4月数学学科调研测试试卷数学Ⅱ（附加题）0cos 2=+θρ.(1)将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求圆C 上的点到直线l 的距离的最小值.C.[选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)已知a ，b ，c 为正实数，满足3=++c b a ，求cb a 941++的最小值.【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）五个自然数1、2、3、4、5按照一定顺序排成一列.(1)求2和4不相邻的概率；(2)定义：若两个数的和为6且相邻，称这两个数为一组“友好数”.随机变量ζ表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数”的组数，求ξ的概率分布和数学期望()ξE .23.（本小题满分10分）已知*N n ∈，数列n a a a T ,,,:21 中的每一项均在集合{}n M ，， 2,1=中，且任意两项不相等，又对于任意整数()n j i j i ≤<≤1,,均有j i a j a i +≤+.例如2=n 时，数列T 为1,2或2,1.(1)当3=n 时，试求满足条件的数列T 的个数.(2)当*N n ∈时，试求所有满足条件的数列T 的个数.。

一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1.已知集合A={x|−1<x⩽1}，B={−1，0，1}，则A∩B=.2.若复数z满足(1−i)z=|1+i|，其中i为虚数单位，则z的实部为.3.若一组样本数据8，9，x，9，10的平均数为9，则该组数据的方差为.4.执行如图所示的伪代码后，输出的i的值是.5.从2名男同学和3名女同学中选2人参加某项活动则至少有1名女同学被选中的概率为.6.双曲线x2−y23=1的准线方程为.7.已知{a n}(n∈N∗)为等差数列，其公差为−2,且a6是a2与a8的等比中项，S n为{a n}的前项和，则S10的值为.8.已知函数f(x)=ln x−12x2+ax，若函数f(x)在区间(1，2)上存在极值，则实数a的取值范围为.9.给出下列命题：1如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直;2如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；3如果两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直;4如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中真命题的序号是.10.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π2)的图象过点(0，√2)，且在区间[ 0，π2]上单调递减，则ω的最大值为.11.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:(x−2)2+y2=4，点A是直线x−y+2=0上的一个动点，直线AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是.12.已知正实数x，y满足x(x−y)=1，则x+y的最小值为.13.如图，在梯形ABCD中,AB CD且DC=2AB=2BC，E为BC的中点，AC与DE交于O.若12# »CB·# »CD=5# »OA·# »OD，则∠BCD的余弦值为.14.已知周期为6的函数y=f(x)满足f(4+x)=f(4−x)，当x∈[1，4]时，f(x)=ln x x，则当525√2<e a⩽3√3时（e为自然对数的底数），关于x的不等式f2(x)−a f(x)<0在区间[1，15]上的整数解的个数为.二.解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)如图，在四棱锥D−ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，M为PC的中点．(1)求证：PA平面BDM；(2)若PA=PC，求证：平面PBD⊥平面ABCD．南师附中、海门中学、淮中、天一中学2020届联合调研测试试卷数学I在平面直角坐标系xOy 中，已知角的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过一点P (−3，0).(1)若t =4,求sin (α+π4)的值；(2)若t =5且α∈(0，2π)，求f (x )=sin (x +α)+cos x 的单调增区间．17.(本小题满分14分)如图，某大型厂区有三个值班室A ，B ，C .值班室A 在值班室B 的正北方向3千米处，值班室C 在值班室B 的正东方向4千米处．(1)保安甲沿CA 从值班室C 出发行至点P 处，此时PC =2,求PB 的距离;(2)保安甲沿CA 从值班室C 出发前往值班室A ，保安乙沿AB 从值班室A 出发前往值班室B ，甲乙同时出发,甲的速度为5千米/小时,乙的速度为3千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3不能通话?在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24+y 2b 2=1(2>b >0)，且直线y =x +√2以原点为圆心，椭圆C 短轴长为直径的圆相切.(1)求b 的值；(2)若直线OA ，OB ，AB 的斜率之和为0,求直线l 的方程;(3)若椭圆C 左右顶点分别为M ，N ，过点P (−2，2)作直线l 与椭圆交于A B 两点，且A ，B 位于第一象限，A 在线段BP 上，1若△AOM 和△BON 的面积分别为S 1，S 2,问是否存在这样的直线l 2直线OP 与直线MA 交于点C ，连结MB ，MC ，记直线MB ，MC 的斜率分别为k 1，k 2.求证：k 1·k 2为定值.19.(本小题满分16分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =n2(a n +λ)(λ为常数)对于任意的n ∈N ∗恒成立.(1)当a 1=1时，求λ的值；(2)证明：数列{a n }是等差数列；(3)若a 2=2,关于m 的不等式|S m −2m |<m +1有且仅有两个不同的整数解，求λ的取值范围．已知函数f(x)=ln xax+1(a∈R，且a为常数).(1)若函数y=f(x)的图象在x=e处的切线的斜率为1e(1−e)2（e为自然对数的底数）,求a的值；(2)若函数y=f(x)在区间(4，2)上单调递增，求a的取值范围;(3)已知x，y∈(02)，且x+y=3.求证：(2x−3)ln xx−1+(2y−3)ln yy−1⩽0.。

江苏省南师附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学2020届高三下学期四校4月联考数学试题一、填空题1.已知集合{}11A x x =-<≤，{}1,0,1B =-，则A B = ______．2.已知复数z 满足()11i z i -=+（i 为虚数单位），则z 的实部为______．3.若一组样本数据8,9,,9,10x 的平均数为9，则该组数据的方差为______．4.根据如图所示伪代码，最后输出的i 的值为______．5.从2名男同学和3名女同学中选2人参加某项活动，则至少有1名女同学被选中的概率为______．6.双曲线2213y x -=的准线方程为______．7.已知{}()*n a n N∈为等差数列，其公差为2-，且6a 是2a 与8a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，则10S 的值为______．8.已知函数()21ln 2f x x x ax =-+，若函数()f x 在区间()1,2上存在极值，则实数a 的取值范围为______．9.给出下列命题：①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；③若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，真命题是________．(填序号)10.已知函数()()2cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图象过点(，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为______．11.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:24C x y -+=，点A 是直线20x y -+=上的一个动点，直线,AP AQ 分别切圆C 于,P Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为______．12.已知正实数,x y 满足()21xy x y -=，则x y +的最小值为______．13.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD 且22DC AB BC ==，E 为BC 的中点，AC 与DE 交于点O ．若125CB CD OA OD →→→→⋅=⋅，则BCD ∠的余弦值为______．14.已知周期为6的函数()f x 满足()()44f x f x +=-，当[]1,4x ∈时，()ln x f x x =，a e <≤时（e 为自然对数的底数），关于x 的不等式()()20f x af x -<在区间[]1,15上的整数解的个数为______．二、解答题15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，M 为PC 的中点．（1）求证：//PA 平面BDM ；（2）若PA PC =，求证：平面PBD ⊥平面ABCD ．16.在平面直角坐标系xOy 中，已知角a 的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过一点()3,P t -．（1）若4t =，求sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）若t =且()0,2απ∈，求()()sin cos f x x x α=++的单调增区间．17.如图，某大型厂区有三个值班室,,A B C ，值班室A 在值班室B 的正北方向3千米处，值班室C 在值班室B 的正东方向4千米处．（1）保安甲沿CA 从值班室C 出发行至点P 处，此时2PC =，求PB 的距离；（2）保安甲沿CA 从值班室C 出发前往值班室A ，保安乙沿AB 从值班室A 出发前往值班室B ，甲乙同时出发，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？18.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为()2221024x y b b+=<<，且直线y x =与以原点为圆心，椭圆C 短轴长为直径的圆相切．（1）求b 的值；（2）若椭圆C 左右顶点分别为,M N ，过点()2,2P -作直线l 与椭圆交于,A B 两点，且,A B 位于第一象限，A 在线段BP 上．①若AOM 和BON △的面积分别为12,S S ，问是否存在这样的直线l 使得121S S +=？请说明理由；②直线OP 与直线NA 交于点C ，连结,MB MC ，记直线,MB MC 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值．19.已知数列{}()*n a n N ∈的前n 项和为n S ，()2n n n S a λ=+（λ为常数）对于任意的*n N ∈恒成立．（1）若11a =，求λ的值；（2）证明：数列{}n a 是等差数列；（3）若22a =，关于m 的不等式21m S m m -<+有且仅有两个不同的整数解，求λ的取值范围．20.已知函数()ln 1x f x ax =+（a ∈R ，且a 为常数）．（1）若函数()y f x =的图象在x e =处的切线的斜率为()211e e -（e 为自然对数的底数），求a 的值；（2）若函数()y f x =在区间()1,2上单调递增，求a 的取值范围；（3）已知(),1,2x y ∈，且3x y +=．求证：()()23ln 23ln 011x x y y x y --+≤--．21.曲线221x y +=在矩阵00a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()0,0a b >>对应的变换下得到曲线2219x y +=．（1）求矩阵A ；（2）求矩阵A 的特征向量．22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程：12212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴（取相同单位长度）建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为：2cos 0ρθ+=．（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆C 上的点到直线l 的距离的最小值．23.已知,,a b c 为正实数，满足3a b c ++=，求149a b c++的最小值．24.五个自然数1、2、3、4、5按照一定的顺序排成一列．（1）求2和4不相邻的概率；（2）定义：若两个数的和为6且相邻，称这两个数为一组“友好数”．随机变量ξ表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数”的组数，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ．25.已知*n N ∈，数列12:,,...,n T a a a 中的每一项均在集合{}1,2,...,M n =中，且任意两项不相等，又对于任意的整数(),1i j i j n ≤<≤，均有i j i a j a +≤+．例如2n =时，数列T 为1,2或2,1．（1）当3n =时，试求满足条件的数列T 的个数；（2）当*n N ∈，求所有满足条件的数列T 的个数．。

江苏省南师附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学2020届高三下学期四校4月联考数学试题一、填空题1. 已知集合{}11A x x =-<≤，{}1,0,1B =-，则A B =______．【答案】{}0,1 【解析】 【分析】由交集定义直接得到结果. 【详解】由交集定义知：{}0,1A B =.故答案为：{}0,1.【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2. 已知复数z 满足()11i z i -=+（i 为虚数单位），则z 的实部为______．【答案】22【解析】 【分析】根据复数的模长和除法运算可求得z ，根据实部定义得到结果. 【详解】()11i z i -=+，)()()121222111122i i z i ii i i ++∴====+---+， z ∴的实部为22.故答案为：22. 【点睛】本题考查复数实部的求解，涉及到复数的模长运算和除法运算，属于基础题. 3. 若一组样本数据8,9,,9,10x 的平均数为9，则该组数据的方差为______． 【答案】0.4 【解析】 【分析】利用平均数构造方程求得x ，根据方差的运算公式可计算得到结果.【详解】8991095x ++++=，9x ∴=，∴方差()()()22221893991090.45s ⎡⎤=⨯-+⨯-+-=⎣⎦.故答案为：0.4.【点睛】本题考查数据的平均数和方差的运算，属于基础题. 4. 根据如图所示伪代码，最后输出的i 的值为______．【答案】7 【解析】 【分析】按照伪代码运行程序，直到满足10S ≥时输出i 即可. 【详解】按照伪代码运行程序，输入1S =，1i =， 则112S =+=，123i =+=，不满足10S ≥，循环；235S =+=，325i =+=，不满足10S ≥，循环；5510S =+=，527i =+=，满足10S ≥，输出7i =.故答案：7.【点睛】本题考查根据循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.5. 从2名男同学和3名女同学中选2人参加某项活动，则至少有1名女同学被选中的概率为______．【答案】910【解析】 【分析】利用组合数可求得所有基本事件和2人中没有女同学的基本事件个数，根据对立事件概率公式可求得结果.【详解】从5名同学中选2人共有：2510C =种选法；选择的2人中没有女同学的情况有221C =种，∴至少有1名女同学的概率1911010p =-=. 故答案为：910. 【点睛】本题考查古典概型概率问题求解，涉及到对立事件概率公式的应用，属于基础题.6. 双曲线2213y x -=的准线方程为______．【答案】12x =± 【解析】 【分析】由双曲线方程可确定,a c 和焦点所在轴，由准线方程的形式可得结果.【详解】由双曲线方程知：1a =，2c ==，焦点位于x 轴上，∴准线方程为212a x c =±=±.故答案为：12x =±. 【点睛】本题考查双曲线准线方程的求解问题，关键是能够根据双曲线方程确定,a c 的值及焦点所在轴，属于基础题. 7. 已知{}()*n a n N∈为等差数列，其公差为2-，且6a 是2a 与8a 的等比中项，n S 为{}na 的前n 项和，则10S 的值为______． 【答案】90 【解析】【分析】根据等比中项定义和等差数列通项公式可构造方程求得1a ，代入等差数列求和公式可求得结果. 【详解】6a 是2a 与8a 的等比中项，2628a a a ∴=，即()()()211110214a a a -=--，解得：118a =，()1010910182902S ⨯∴=⨯+⨯-=. 故答案为：90.【点睛】本题考查等差数列前n 项和的求解问题，涉及到等差数列通项公式和等比中项的应用，属于基础题.8. 已知函数()21ln 2f x x x ax =-+，若函数()f x 在区间()1,2上存在极值，则实数a 的取值范围为______． 【答案】30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据函数在区间()1,2内有极值可知()21g x x ax =-++在()1,2上有变号零点，利用二次函数的图象和性质可构造不等式组，解不等式组求得结果.【详解】由题意得：()211x ax f x x a x x-++'=-+=，若函数()f x 在区间()1,2上存在极值，则()21g x x ax =-++在()1,2上有变号零点，()()()24012230a g g a a ⎧∆=+>⎪∴⎨⋅=-<⎪⎩或()()240122102230a a g a g a ⎧∆=+>⎪⎪<-<⎪∴-⎨⎪=<⎪=-<⎪⎩，解得：302a <<， 即实数a 的取值范围为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查根据函数在区间内有极值求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为二次函数在区间内有变号零点的问题，从而利用二次函数的图象和性质确定不等关系. 9. 给出下列命题：①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ③若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，真命题是________．(填序号) 【答案】①③④ 【解析】【详解】由面面垂直的判定定理可得若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故①正确；如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，但两条直线平行时，得不到平面平行，故②错误；根据空间直线夹角的定义，可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等，故若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直，即③正确；根据面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故④正确，故真命题有①、③、④三个.10. 已知函数()()2cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图象过点(，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为______． 【答案】32【解析】 【分析】根据()02f =可求得ϕ；利用整体代入的方式可确定4x πω+的范围，根据余弦函数的单调区间可确定4x πω+最大值的位置，进而构造不等式求得结果.【详解】由题意得：()02cos 2f ϕ==，2cos 2ϕ∴=，又02πϕ<<，4πϕ∴=；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，,4424x ππππωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，24ππωπ∴+≤，解得：32ω≤，ω∴的最大值为32. 故答案为：32. 【点睛】本题考查根据余弦型函数的单调性求解参数最值的问题，关键是能够采用整体对应的方式，结合余弦函数的单调区间确定角整体的最大取值.11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:24C x y -+=，点A 是直线20x y -+=上的一个动点，直线,AP AQ 分别切圆C 于,P Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为______． 【答案】)22,4⎡⎣ 【解析】 【分析】设AC x =，利用点到直线距离公式可知22x ≥，将PQ 长表示为关于x 的函数，求得函数值域即为所求范围.【详解】由圆的方程知：圆心()2,0C ，半径2r，设AC x =，则x ≥=，,AP AQ 为圆C 的切线，CP AP ∴⊥，CQ AQ ⊥，AP AQ ∴==AC 是PQ 的垂直平分线，2AP PC PQ AC x ⋅∴=⨯==22x ≥，214112x∴≤-<，4PC ∴<，即线段PC 长的取值范围为)4⎡⎣.故答案为：)4⎡⎣.【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到圆的切线的性质；解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用函数求值域的方法求得结果.12. 已知正实数,x y 满足()21xy x y -=，则x y +的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】将已知等式变形为()214x y xy xy+=+，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】()()()2222241xy x y xy x y xy xy x y xy ⎡⎤-=+-=+-=⎣⎦，()2144x y xy xy ∴+=+≥=（当且仅当14xy xy =，即12xy =时取等号），2x y ∴+≥，即x y +的最小值为2.故答案为：2【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够将已知等式变形、配凑成符合基本不等式的形式.13. 如图，在梯形ABCD 中，//AB CD 且22DC AB BC ==，E 为BC 的中点，AC 与DE 交于点O ．若125CB CD OA OD →→→→⋅=⋅，则BCD ∠的余弦值为______．【答案】317【解析】 【分析】取CD 中点G ，连接,AG BG ，且BGAC F =，连接,E F ，根据平行四边形性质和平行线分线段成比例的关系可求得35OA CA →→=，45OD ED →→=，设1CB →=，2CD →=，利用平面向量的线性运算和数量积的运算律化简已知等式可求得511855CB CD →→⋅=，由平面向量数量积的定义可求得结果.【详解】取CD 中点G ，连接,AG BG ，且BGAC F =，连接,E F ，2CD AB =，G 为CD 中点，AB CG ∴=，又//AB CG ，∴四边形ABCG 为平行四边形，F ∴为AC 中点，即12FA CA →→=，又E 为BC 中点，//EF CG ∴且12EF CG =，14EF CD ∴=，14OF EF OC CD ∴==，1114510OF OC CF CA ∴===，即110OF CA →→=， 35OA OF FA CA →→→→∴=+=，又14OE EF OD CD ==，445OD OE DE ∴==，即45OD ED →→=， 3412121155252522OA OD CA ED CB BA CD CE CB CD CD CB →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴⋅=⋅=+⋅-=+⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22221213169625242252525CD CB CD CB CD CB CD CB →→→→→→→→⎛⎫=+⋅-=+⋅- ⎪⎝⎭，不妨设1CB →=，2CD →=，由125CB CD OA OD →→→→⋅=⋅得：249612555CB CD CB CD →→→→⋅=+⋅-，即511855CB CD →→⋅=， 1862cos 5117CB CD BCD →→∴⋅=∠==，3cos 17BCD ∴∠=.故答案为：317.【点睛】本题考查平面向量中的向量夹角的求解问题，关键是能够通过平面向量的线性运算化简已知等式，得到平面向量数量积的结果；本题中的难点是确定OA 与AC 长度的比例关系，需借助于平行线分线段成比例进行推导.14. 已知周期为6的函数()f x 满足()()44f x f x +=-，当[]1,4x ∈时，()ln xf x x=，则a e <≤（e 为自然对数的底数），关于x 的不等式()()20f x af x -<在区间[]1,15上的整数解的个数为______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据抽象函数满足的关系式和周期可知()f x 关于4x =、1x =对称，结合导数可求得()f x 在[]1,4上的单调性，并得到()()()()1,2,3,4f f f f 的值及函数的图象；由a 的范围可将不等式化为()0f x a <<，可确定在[]1,4的整数解个数，结合周期性和对称性可得[]1,15上的其他整数解，进而得到结果.【详解】由()()44f x f x +=-得：()f x 关于4x =对称， 又f x 是周期为6的周期函数，f x 关于1x =对称，当[]1,4x ∈时，()21ln xf x x -'=， ∴当[)1,x e ∈时，0fx；当(],4x e ∈时，0fx ；f x 在[)1,e 上单调递增，在(],4e 上单调递减，()()max 1f x f e e ∴==，且()10f =，()114ln 4ln 242f ==，()12ln 22f =，()13ln 33f =，由此可得()f x 图象如下图所示：当323a e <≤时，11ln 2ln 323a <≤，()()20f x af x ∴-<等价于()0f x a <<，∴当[]1,4x ∈时，整数解为：2x =和4x =；∴当(]4,15x ∈时，整数解为：6x =、8x =、10x =、12x =和14x =；综上所述：不等式()()20f x af x -<在区间[]1,15上的整数解的个数为7个.故答案为：7.【点睛】本题考查利用函数的周期性、对称性和单调性求解不等式的问题，关键能够利用函数周期性、对称性和单调性确定函数的图象，从而利用数形结合的方式确定函数整数解的个数. 二、解答题15. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，M 为PC 的中点．（1）求证：//PA 平面BDM ；（2）若PA PC =，求证：平面PBD ⊥平面ABCD ．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）连接AC 交BD 于O ，连接OM ，由菱形和三角形中位线性质可证得//OM PA ，由线面平行判定定理可证得结论；（2）连接PO ，由菱形对角线互相垂直、等腰三角形三线合一和线面垂直判定可证得AC ⊥平面PBD ，由面面垂直判定定理可证得结论. 【详解】（1）连接AC 交BD 于O ，连接OM ，四边形ABCD 为菱形，O ∴为AC 中点，又M 为PC 中点，//OM PA ∴，OM ⊂平面BDM ，PA ⊄平面BDM ，//PA ∴平面BDM ；（2）连接PO ，PA PC =，O 为AC 中点，PO AC ∴⊥，四边形ABCD 为菱形，BD AC ∴⊥，,PO BD ⊂平面PBD ，PO BD O =，AC ∴⊥平面PBD ，又AC ⊂平面ABCD ，∴平面PBD ⊥平面ABCD .【点睛】本题考查立体几何中的线面平行、面面垂直位置关系的证明，涉及到线面平行和垂直的判定定理、面面垂直判定定理的应用，属于常考题型.16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角a 的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过一点()3,P t -． （1）若4t =，求sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）若t =且()0,2απ∈，求()()sin cos f x x x α=++的单调增区间．【答案】（1）10；（2）()5112,266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦． 【解析】 【分析】（1）由任意角三角函数定义可求得sin ,cos αα，由两角和差正弦公式可求得结果； （2）由任意角三角函数定义可求得sin ,cos αα，由两角和差正弦公式和辅助角公式化简函数为()6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用整体对应的方式，结合余弦函数单调区间可求得结果. 【详解】（1）当4t =时，4sin 5α，3cos 5α=-，43sin sin cos cos sin 444525210πππααα⎛⎫+=+=⨯-⨯=⎝∴⎪⎭；（2）当t =时，1sin 2α=，cos α=，()()3sin cos sin cos cos sin cos cos 2f x x x x x x x x ααα∴=++=++=+6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()226k x k k Z ππππ-+≤+≤∈，解得：()72266k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈， ()f x ∴的单调增区间为72,266k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【点睛】本题考查任意角三角函数值的求解、两角和差正弦公式和辅助角的应用、余弦型函数单调区间的求解问题，是对三角函数和三角恒等变换部分知识的综合考查.17. 如图，某大型厂区有三个值班室,,A B C ，值班室A 在值班室B 的正北方向3千米处，值班室C 在值班室B 的正东方向4千米处．（1）保安甲沿CA 从值班室C 出发行至点P 处，此时2PC =，求PB 的距离；（2）保安甲沿CA 从值班室C 出发前往值班室A ，保安乙沿AB 从值班室A 出发前往值班室B ，甲乙同时出发，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？【答案】（1）55BP =；（2）413小时．【解析】 【分析】（1）在Rt ABC 中求得cos C 后，在PBC 中利用余弦定理可求得结果；（2）设甲乙出发后的时间为t 小时，在AMN 中，利用余弦定理可用t 表示出2MN ，解29MN >可求得结果.【详解】（1）在Rt ABC 中，3AB =，4BC =，则5AC =，4cos 5C ∴=， 在PBC 中，由余弦定理得：2224362cos 1641655BP BC CP BC CP C =+-⋅=+-⨯=， 55BP ∴=； （2）设甲乙出发后的时间为t 小时，甲在线段CA 上的位置为M ，乙在线段AB 上的位置为N ，则55AM t =-，3AN t =，且[]0,1t ∈，由（1）知：3cos 5A =， 在AMN 中，由余弦定理得：2222cos MN AM AN AM AN A =+-⋅， 即()()222218559555268255MN t t t t t t =-+--=-+， 若甲乙不能通话，则3MN >，即25268259t t -+>，解得：413t <或1t >， 又[]0,1t ∈，40,13t ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭， ∴两人不能通话的时间为413小时. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，主要考查了余弦定理的应用，属于基础题.18. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为()2221024x y b b+=<<，且直线2y x =与以原点为圆心，椭圆C 短轴长为直径的圆相切． （1）求b 的值；（2）若椭圆C 左右顶点分别,M N ，过点()2,2P -作直线l 与椭圆交于,A B 两点，且,A B位于第一象限，A 在线段BP 上．①若AOM 和BON △的面积分别为12,S S ，问是否存在这样的直线l 使得121S S +=？请说明理由；②直线OP 与直线NA 交于点C ，连结,MB MC ，记直线,MB MC 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值．【答案】（1）1；（2）①不存在满足条件的直线l ，理由详见解析；②详见解析． 【解析】【分析】（1）利用直线与圆相切可构造方程求得b ； （2）由（1）得到椭圆方程和,M N 坐标；①将直线PA 方程与椭圆方程联立可得到韦达定理的形式，同时根据,A B 位于第一象限可构造不等式组求得t 的范围；利用1212S S y y +=+可构造方程求得t ，可知所求t 不满足所求范围，知直线不存在；②利用,,O P C 三点共线和,,N A C 三点共线可利用11,x y 表示出33,x y ，同韦达定理一起代入12k k ，整理可得定值.【详解】（1）由题意知：直线y x =与圆222x y b +=相切，∴圆心到直线的距离d b ==，1b ∴=；（2）由（1）知：椭圆方程为2214x y +=，则()2,0M -，()2,0N ，①易知直线PA 的斜率不为零，设直线():22PA x t y =--，()11,A x y ，()22,B x y ， 则将直线PA 与椭圆联立整理得：()()222441480t y t t y t t +-+++=，()()()()22212221221611624041044804t t t t t t t y y t t ty y t ⎧∆=+-++>⎪⎪+⎪=>⎨+⎪⎪+=>⎪+⎩，解得：823t -<<-； 2121224414t tS S y y t +∴+=+==+，即23440t t +-=，解得：2t =-或23t =，这与823t -<<-不符，所以不存在满足条件的直线l ； ②设()33,C x y ，由,,O P C 三点共线知：33y x =-， 由,,N A C 三点共线知：331313222y x y x x x ==---，131122y x x y ∴=+-，131122y y x y -=+-，()()()()()2121121221121122222224222y y y y y y k k x x y t y t y t t t y y ---∴⋅=⨯=⨯=++--+--+--()()1212121224y y t t y y y y -=⨯+-++，由①知：()122414t t y y t ++=+，2122484t ty y t +=+()()()()()122421412164428144t t k k t t t t t t t +--∴=⨯==-++-+++，则12k k 为定值.【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、椭圆中三角形面积问题、椭圆中的定值问题；求解定值问题的关键是能够结合韦达定理，利用某一变量表示出12k k ，通过化简消元整理得到定值. 19. 已知数列{}()*n a n N∈的前n 项和为n S ，()2n n nS a λ=+（λ为常数）对于任意的*n N ∈恒成立．（1）若11a =，求λ的值； （2）证明：数列{}n a 是等差数列；（3）若22a =，关于m 的不等式21m S m m -<+有且仅有两个不同的整数解，求λ的取值范围．【答案】（1）1；（2）详见解析；（3）191,,522⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【解析】 【分析】（1）将1n =代入已知等式即可求得结果；（2）利用11n n n S S a ++-=可得到递推关系()1121n n n a n a na λ++=+-+，将1n +换成n 后两式作差可得到112n n n a a a +-+=，从而证得结论；（3）将不等式化为()2312m m m λ-⋅-<+，令22t λ-=，则不等式()31t m m m -<+的正整数解只有两个，通过分析可知除3m =以外只能有1个m 符合要求；当4m ≥时，通过导数可求得()max 1534m m m ⎡⎤+=⎢⎥-⎣⎦，分别讨论54t ≤、5342t <<和32t ≥时m 的取值，得到符合题意的范围后，解不等式求得结果. 【详解】（1）当1n =时，()11112S a a λ=+=，112a a λ∴=+，解得：11a λ==； （2）由（1）知：()()()11221n n n n S n a S n a λλ++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩， ()1121n n n a n a na λ++∴=+-+，*n N ∈，()()1112121n n n nn n a n a na a na n a λλ++-⎧=+-+⎪∴⎨=--+⎪⎩，则()()11122121n n n n n a a n a na n a ++--=+-+-，()()()111121n n n n a n a n a +-∴-+-=-，又2n ≥，*n N ∈，10n ∴->，∴112n n n a a a +-+=对任意2n ≥，*n N ∈成立，∴数列{}n a 是等差数列；（3）由（2）可知：21m S m m -<+，即()11212m m ma d m m -+-<+， 即()()12212m m m m m λλ-+--<+，()2312m m m λ⋅∴--<+， 令22t λ-=，题目条件转化为满足不等式()31t m m m -<+的正整数解只有两个， 若1m =符合，则22t <，即1t <；若2m =符合，则23t <， 1.5t <； 若3m =符合，则t 为任意实数，即除3m =以外只能有1个m 符合要求.当4m ≥，*m N ∈时，()31tm m m -<+，解得：()13m t m m +<-，令15x m =+≥，则()()()1143145m x m m x x x x+==----+， 令()45f x x x =-+，则()222441x f x x x-'=-=， 当5x ≥时，()0f x '>恒成立，()f x ∴在[)5,+∞上单调递增，()()min455f x f ∴==，()max1534m m m ⎡⎤+∴=⎢⎥-⎣⎦，∴当54t ≤时，至少存在2m =、3、4满足不等式，不符合要求； 当5342t <<时，对于任意4m ≥，*m N ∈都不满足不等式，1m =也不满足， 此时只有2m =、3满足； 当32t ≥时，只有3m =符合； 故5342t <<，即523422λ-<<，解得：112λ-<<-或952λ<<； ∴λ的取值范围是191,,522⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查数列知识的综合应用，涉及到数列中的项的求解、根据递推关系式证明数列为等差数列、根据不等式整数解的个数求解参数范围的问题；本题中求解参数范围的关键是能够将不等式进行化简，结合最值采用分类讨论的方式确定整数解的个数，从而构造不等式求得结果，属于难题. 20. 已知函数()ln 1xf x ax =+（a ∈R ，且a 为常数）． （1）若函数()y f x =的图象在x e =处的切线的斜率为()211e e -（e 为自然对数的底数），求a 的值；（2）若函数()y f x =在区间()1,2上单调递增，求a 的取值范围； （3）已知(),1,2x y ∈，且3x y +=．求证：()()23ln 23ln 011x x y y x y --+≤--．【答案】（1）1-或2e e -；（2）{}11,2⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭；（3）详见解析．【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义知()()211f e e e '=-，由此构造方程求得结果；（2）将问题转化为1ln 0ax ax x +-≥且10ax +≠恒成立的问题，令()1ln x ax ax x ϕ=+-，分别在0a =、0a >和102a -≤<或1a ≤-时，结合函数单调性确定最小值，令()min 0x ϕ≥，从而求得a 的取值范围；（3）根据（2）的结论可知()f x 在()1,2上单调递增，分类讨论可确定()()()23ln 32ln 2312x x x x -≤--，将不等关系代入所求不等式左侧，结合对数运算可整理得到结果.【详解】（1）由题意得：()()()()2211ln 1ln 11ax a x ax ax xx f x ax x ax +-+-'==++()y f x =的图象在x e =处的切线的斜率为()211e e -，()()211f e e e '∴=-，()()221ln 111ae ae e e ae e e +-∴=+-，解得：()()2211ae e +=-，()11ae e ∴+=±-，1a ∴=-或2e e-； （2）函数()f x 在()1,2上单调递增，∴对于任意的()1,2x ∈，都有()0f x '≥恒成立即1ln 0ax ax x +-≥且10ax +≠， 当0a =，10≥恒成立，满足题意； 当0a ≠时，由1x a ≠-得：()11,2a-∉，即0a >或102a -≤<或1a ≤-，令()1ln x ax ax x ϕ=+-，则()ln x a x ϕ'=-，①当0a >且()1,2x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ∴在()1,2上单调递减， 要使得1ln 0ax ax x +-≥恒成立，即要求()20ϕ≥， 即212ln 20a a +-≥，解得：122ln 2a -≥-，0a ∴>满足题意；②当102a -≤<或1a ≤-，且()1,2x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ∴在()1,2上单调递增， 要使得1ln 0ax ax x +-≥恒成立，即要求()10ϕ≥， 即1ln10a a +-≥，解得：1a ≥-；102a ∴-≤<或1a =-综上所述：a 的取值范围是{}11,2⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭； （3）由（2）可知：当1a =-时，函数()f x 在()1,2上单调递增，此时()ln ln 11x xf x x x==-+-， 当312x <≤时，()332ln 22f x f ⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭，而230x -≤，()()()3232ln232x f x x ∴-≥--，即()()()ln 3232ln 2312x x x x -≥---， ()()()23ln 32ln 2312x x x x -∴≤--，当322x ≤<时，()332ln 22f x f ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭，而230x -≥， ()()()3232ln 232x f x x ∴-≥--，即()()()2ln 3232ln 2312x x x x -≥---， ()()()23ln 32ln 2312x x x x -∴≤-- 综上，对于任意()1,2x ∈，都有()()()23ln 32ln 2312x x x x -≤--，()()()()()()()23ln 23ln 3332ln 232ln 232ln 22611222x x y y x y x y x y --∴+≤-+-=+---0=，结论得证.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数几何意义的应用、根据函数在区间内的单调性求解参数范围、利用导数证明不等式；本体证明不等式的关键是能够通过分类讨论的方式将()()23ln 1x xx --进行放缩，属于难题.21. 曲线221x y +=在矩阵00a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()0,0a b >>对应的变换下得到曲线2219x y +=． （1）求矩阵A ；（2）求矩阵A 的特征向量．【答案】（1）3001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；（2）10⎡⎤⎢⎥⎣⎦和01⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】 【分析】（1）根据对应关系可得到x axy by''=⎧⎨=⎩，代入椭圆方程整理，结合圆的方程可构造方程组求得,a b ，从而求得结果； （2）由()3001f λλλ-==-可求得1λ=或3，分别在1λ=或3两种情况下求得特征向量.【详解】（1）设曲线221x y +=上的任意一点(),x y 在矩阵A 的对应变换作用下得到的点为(),x y ''，则00a x x b y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，x ax y by =∴=''⎧⎨⎩，222219a x b y ∴+=，22191a b ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩， 又0,0a b >>，3a ∴=，1b =，3001A ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦； （2）由()()()331001fλλλλλ-==--=-得：1λ=或3；当1λ=时，由200000x y x y -+⋅=⎧⎨⋅+⋅=⎩得对应的特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当3λ=时，由000020x y x y ⋅+⋅=⎧⎨⋅+=⎩得对应的特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦；综上所述：矩阵A 的特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦和10⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查矩阵问题中的曲线的变换、特征向量的求解问题，属于常考题型.22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程：12212x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴（取相同单位长度）建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为：2cos 0ρθ+=．（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求圆C 上的点到直线l 的距离的最小值．【答案】（1）直线l的普通方程为1y =++．圆C 的普通方程为()2211x y ++=；（2． 【解析】 【分析】（1）根据参数方程化普通方程方法、极坐标与直角坐标的互化原则可直接化简得到结果； （2）设曲线C 上任一点()[)()1cos ,sin 0,2P θθθπ-+∈，利用点到直线距离公式可将问题转化为三角函数值域的求解问题，由正弦型函数性质可确定6πθ=时，d 最小，进而得到结果.【详解】（1）直线l 的参数方程消去参数t得普通方程为：1y =++由2cos 0ρθ+=得：22cos ρρθ=-，222x y x ∴+=-，∴圆C 的普通方程为()2211x y ++=；（2）在圆C 上任取一点()[)()1cos ,sin 0,2P θθθπ-+∈，则P 到直线l 的距离为d ==当6πθ=时，min12d=，此时1122P ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标与直角坐标的互化、利用参数方程求解曲线上的点到直线距离的最值问题；求解最值问题的关键是能够利用圆的参数方程将问题转化为三角函数值域的求解问题.23. 已知,,a b c 为正实数，满足3a b c ++=，求149a b c++的最小值．【答案】12 【解析】 【分析】利用柯西不等式可知()14936a b c a b c ⎛⎫∴++++≥ ⎪⎝⎭，由此求得结果. 【详解】,,a b c 均为正实数，()222222149a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴++++=++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2212336≥=++=（当且仅当22249b c a ==时取等号）， 又3a b c ++=，14912a b c ++≥∴，即149a b c++的最小值为12.【点睛】本题考查利用柯西不等式求解最值的问题，关键是能够将所求式子配凑成符合柯西不等式的形式.24. 五个自然数1、2、3、4、5按照一定的顺序排成一列． （1）求2和4不相邻的概率；（2）定义：若两个数的和为6且相邻，称这两个数为一组“友好数”．随机变量ξ表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数”的组数，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ． 【答案】（1）35；（2）分布列详见解析，()45E ξ=． 【解析】 【分析】（1）利用插空法可求得2和4不相邻的事件总数，根据古典概型概率公式可求得结果；（2）确定ξ所有可能的取值，结合排列组合知识可求得每个取值对应的概率，进而得到分布列；利用数学期望计算公式计算可得期望.【详解】（1）记“2和4不相邻”为事件A ，则()32345535A A P A A ==； （2）ξ的所有可能取值为0,1,2，()22322355125A A A P A ξ===，()222223552215A A A P A ξ===，()121212242424225522205C A C A C A A P A ξ++===， ξ∴的分布列如下：()22140125555E ξ∴=⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解、离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，涉及到排列组合的相关知识；解题关键是能够准确确定随机变量可能的取值，并利用排列组合的知识求得每个取值对应的概率.25. 已知*n N ∈，数列12:,,...,n T a a a 中的每一项均在集合{}1,2,...,M n =中，且任意两项不相等，又对于任意的整数(),1i j i j n ≤<≤，均有i j i a j a +≤+．例如2n =时，数列T 为1,2或2,1．（1）当3n =时，试求满足条件的数列T 的个数； （2）当*n N ∈，求所有满足条件的数列T 的个数． 【答案】（1）4；（2）12n -． 【解析】 【分析】（1）分别假设13a =，23a =和33a =，根据已知关系式可求得21,a a ，从而得到结果； （2）①当1a n =时，可确定满足条件的数列只有1个；②当()2i a n i n =≤≤时，可知i a n =以后的各项是唯一确定的，根据i a n =之前的满足条件的数列的个数为1i b -可整理得到1112n n n n b b b b ---=+=，由等比数列通项公式可求得12n n b -=，由此可确定结果.【详解】（1）若13a =，则2132a +≤+，故22a =，则31a =； 若23a =，则2323a a +≤+，32a ∴≥，故32a =，则11a =； 若33a =，则11a =，22a =或12a =，23a =；∴当3n =时，满足条件的数列T 为3,2,1；1,3,2；1,2,3；2,1,3；故满足条件的T 的个数为4；（2）设满足条件的数列T 的个数为n b ，显然11b =，22b =，34b =， 不等式i j i a j a +≤+中取1j i =+，则有11i i i a i a ++≤++，即11i i a a +≤+， ①当1a n =时，则21a n =-，同理32a n =-，，1n a =，满足条件的数列只有1个； ②当()2i a n i n =≤≤，则11i a n +=-，同理22i a n +=-，，n a i =，即i a n =以后的各项是唯一确定的，又i a n =之前的满足条件的数列的个数为1i b -，∴当2n ≥时，1211n n n b b b b --=++⋅⋅⋅++（*），当3n ≥时，1211n n b b b --=+⋅⋅⋅++，代入（*）式得到1112n n n n b b b b ---=+=，且满足212b b =，∴对任意2n ≥，都有12n n b b -=成立，又11b =，12n n b -∴=；综上，满足条件的数列T 的个数为12n -．【点睛】本题考查了数列中的新定义运算的问题，关键是能够通过分类讨论的方式确定所求数列个数所构成的数列为等比数列，进而利用等比数列通项公式求得结果.。