因式分解提取公因式知识点_考前复习

第六讲 因式分解之提取公因式法一、知识要点1、 因式分解：把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解。

（1） 多项式的乘法与多项式因式分解的区别简单地说：乘法是积．化和．，因式分解是和．化积．。

如：()()22b a b a b a -=-+，从左边到右边的变形属于整式乘法； ()()b a b a b a -+=-22，从左边到右边的变形属于因式分解； （2）因式分解的方法：①提公因式法； ②运用公式法； ③十字相乘法； ④分组分解法2、提公因式法：（1）如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来。

把多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

（2）公因式：多项式ab ＋ac ＋ad 的各项ab 、ac 、ad 都含有相同的因式a ，a 称为多项式各项的公因式。

公因式由两部份构成：系数：各项系数的最大公约数相同字母的指数：取最低次幂（3）用提公因式法时的注意点：① 公因式要提尽，考虑的顺序是，先系数，再单独字母，最后多项式。

如：4a 2(a-2b)-18ab(a-2b)=2a(a-2b)(2a-9b)；② 当多项式的第一项的系数为负数时，把“－”号作为公因式的负号写在括号外，使括号内的第一项的系数为正。

如：-2m 3+8m 2-12m= -2．m(m 2-4m+6)； ③ 提公因式后，另一个多项式的求法是用原多项式除以公因式。

二、知识运用典型例题例1、下列各式由左边到右边的变形中，哪些是因式分解，那些不是，为什么？（1） ()()ab b a b a 422+-=+ （2）()()ab b a b a 422-+=- （3）()()22b a a b -=+- （4）()()22b a b a +=--练习：下列式子从左到右的变形中是因式分解的是（ ）2233.236A a b ab a b ⋅= 2.(1)(1)1B x x x +-=-()22.211C x x x ++=+ ()2.111D x x x x ++=++例2、 若多项式2x mx n ++分解因式的结果是()()65x x -+，则m = ，n = 。

课题：因式分解之提取公因式法和公式法知识精要：一、因式分解的概念1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式） 整式的积（积的形式）整式乘法二、提取公因式法1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++（1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数．2、步骤：（1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式．3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：（1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．（2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式．4、提取公因式法应注意的事项：（1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题．二、公式法1、平方差公式： 22()()a b a b a b -=+-2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底． 精解名题：例1、下列从左到右的变形哪个是分解因式（ C ）A ．223(2)3x x x x +-=+-； B ．()()ma mb na nb m a b n a b +++=+++；C ．221236(6)x x x -+=-；D ．22()22m m n m mn -+=--．例2、多项式3222315520x y x y x y +-的最大公因式是（ C ）A ．5xy ；B ．225x y ；C ．25x y ；D ．235x y ． 例3、把多项式2(2)(2)m a m a -+-分解因式正确的是（ C ）A ．2(2)()a m m -+；B ．(2)(1)m a m -+；C ．(2)(1)m a m --；D ．2(2)()a m m -+． 例4、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ A ）A ．22a b -+；B ．22a b --；C ．22a b +；D ．33a b -．例5、若2(3)4x m x +-+是完全平方式，则实数m 的值是（ D ）A ．5-；B ．3；C ．7 ；D ．7或1-．例6、若二项式24x +加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ C ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．例7、无论x 、y 为任何实数，多项式22428x y x y +--+的值一定是（ A ）A ．正数；B ．负数；C ．零；D ．不确定．例8、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ B ）A ．22m mn n -+；B ．2()4a b ab +-；C ．2124x x -+； D ．221x x +-． 例9、若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ A ）A ．12；B ．6；C ．3；D ．0． 例10、已知221x y -=-，12x y +=，则x y -= ．（2-） 例11、已知3x y +=，则221122x xy y ++=__________.（92） 例12、已知2226100x y x y +-++=，则x y +=________.（2-）例13、因式分解：（第（1）-（6）用提取公因式法；第（7）-（22）用公式法）（1）-+-41222332m n m n mn ； （2） 3423424281535a b a b a b -+；解：原式222(261)mn mn m n =--+ 解：原式22222(2512)15a b ab b a =-+ （3）322x x x ()()---； （4）412132q p p ()()-+-；解：原式(2)(31)x x =-+ 解：原式22(1)(221)p q pq =--+（5）3122+++--+-m m m m ax acx abx x a ；（6）3225(2)(2)3(2)(2)n n x y x y ----- 解：原式23()m ax ax bx c x =--++ 解：原式2(2)(2)[5103(2)]n nx y x y =-----（7）2249x y -； （8）3282(1)a a a -+；解：原式(23)(23)x y x y =+- 解：原式2(31)(1)a a a =+-（9）44116a b -； （10）224()25()x y x y --+； 解：原式22(14)(12)(12)a b ab ab =++- 解：原式(73)(37)x y x y =-++ （11）42241128a b a b -； （12）2233(27)4x x --； 解：原式221(2)(2)8a b a b a b =+- 解：原式9(6)(6)4x x =+- （13）31()7()7x y x y ---； （14）222(4)16x x +-； 解：原式1()(7)(7)7x y x y x y =--+--解：原式22(2)(2)x x =+- （15）29124a a ++； （16）229312554a ab b -+； 解：原式2(32)a =+ 解：原式231()52a b =-（17）2244ab a b --； （18）2318248a a a -+；解：原式2(2)a b =-- 解：原式22(23)a a =-（19）42816x x -+； （20）(6)9a a ++；解：原式22(2)(2)x x =+- 解：原式2(3)a =+（21）2()10()25m n m n ++++；（22）2222()6()9()a b a b a b ++-+-；解：原式2(5)m n =++ 解：原式24(2)a b =-例14、已知12a b -=，18ab =，求22332a b ab a b -++的值． 解：∵12a b -=，18ab =， ∴2233221112()()8232a b ab a b ab a b -++=-=⨯=例15、应用简便方法计算。

数学提公共因式法知识点归纳
数学提公共因式法知识点归纳
1、如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.
如:
2、概念内涵:
(1)因式分解的最后结果应当是"积";
(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;
(3)提公因式法的.理论依据是乘法对加法的分配律,即:
3、易错点点评:
(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;
(2)公因式是否提"干净";
(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.
【数学提公共因式法知识点归纳】。

因式分解---提取公因式法一、教材分析：（一）教材所处的地位学习因式分解一是为解高次方程作准备，二是学习代数式恒等变形。

它是在学生学习了整式运算的基础上提出的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系。

同时也是后续学习分式化简、解方程、解不等式等内容的基础，因此，分解因式这一章在代数部分起到了承上启下的作用。

另外，分解因式体现了“化归”、“整体”以及“逆向”的数学思想，是数学学习的重点。

根据《课标》的要求，介绍最基本的4种分解因式的方法，而运用提公因式法分解因式，作为本部分内容的起始课，具有重要的意义。

（二）说教学目标知识与技能目标理解因式分解的意义；掌握提公因式法，并能够运用提公因式法进行因式分解。

过程与方法目标经历探索提公因式法分解因式的过程,提高学生的观察分析能力、判断能力以及计算能力，同时渗透化归、整体的数学思想。

情感与价值观目标体验运用数学知识解决问题的成就感；引导学生养成积极思考、独立思考的良好学习习惯，同时培养学生合作交流的团队精神。

二、重点、难点分析：本着数学新课程标准的要求，在吃透教材基础上，我确定了以下教学重点和难点：教学重点：找出多项式的公因式，并运用提公因式法分解因式。

教学难点：迅速找出多项式的公因式。

三、教法分析学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导着、合作者。

因此在教学过程中，我以激发学生积极性、主动性、凸显学生主体地位为出发点，采用启发式教学法。

具体地，我将通过引导发现、实例探究、讲练结合等教学过程，让学生积极主动地参与到教学活动中，经历完整的知识形成过程，从而使学生“知其然”，还“知其所以然”。

四、说学法有这样一句话--“现代的文盲不是不懂字的人，而是没有掌握学习方法的人”，因而，我在教学过程中特别重视学法的指导。

让学生从“学会”向“会学”转变，成为学习的真正的主人。

这节课主要采用自主探索、合作交流结合的研讨式学习方式。

学生思考问题，获取知识，掌握方法，同时培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体.五、教学过程设计六、板书设计八、结束语本节课我根据初二年级学生的心理特征及其认知规律，采用直观教学和活动探究的教学方法，放手让学生自主探索的学习，主动地参与到知识形成的整个思维过程，力求使学生在积极、愉快的课堂气氛中提高自己的认识水平，从而达到预期的教学效果。

专题因式分解☞解读考点☞2年中考 【2015年题组】1．（2015北海）下列因式分解正确的是（ ）A ．24(4)(4)x x x -=+-B ．221(2)1x x x x ++=++C ．363(6)mx my m x y -=-D ．242(2)x x +=+ 【答案】D ．考点：1．因式分解-运用公式法；2．因式分解-提公因式法．2．（2015贺州）把多项式22344x y xy x --分解因式的结果是（ ） A ．34()xy x y x -- B ．2(2)x x y -- C ．22(44)x xy y x -- D ．22(44)x xy y x --++ 【答案】B ． 【解析】试题分析：原式=22(44)x x xy y --+=2(2)x x y --，故选B ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．3．（2015宜宾）把代数式3231212x x x -+分解因式，结果正确的是（ ）A ．23(44)x x x -+B ．23(4)x x - C ．3(2)(2)x x x +-D ．23(2)x x -【答案】D ． 【解析】试题分析：原式=23(44)x x x -+=23(2)x x -，故选D ．考点：提公因式法与公式法的综合运用． 4．（2015毕节）下列因式分解正确的是（ ）A ．4322269(69)a b a b a b a b a a -+=-+ B ．2211()42x x x -+=-C ．2224(2)x x x -+=-D ．224(4)(4)x y x y x y -=+- 【答案】B ． 【解析】试题分析：A ．4322269(69)a b a b a b a b a a -+=-+=22(3)a b a -，错误；B ．2211()42x x x -+=-，正确；C ．224x x -+不能分解，错误；D ．224(2)(2)x y x y x y -=+-，错误； 故选B ．考点：1．因式分解-运用公式法；2．因式分解-提公因式法． 5．（2015临沂）多项式2mxm -与多项式221x x -+的公因式是（）A ．1x -B ．1x +C ．21x - D ．()21x -【答案】A ．考点：公因式．6．（2015枣庄）如图，边长为a ，b 的矩形的周长为14，面积为10，则22a b ab +的值为（ ）A ．140B ．70C ．35D ．24 【答案】B ． 【解析】试题分析：根据题意得：a+b=14÷2=7，ab=10，∴22a b ab +=ab （a+b ）=10×7=70；故选B ． 考点：因式分解的应用．7．（2015烟台）下列等式不一定成立的是（ ）A 0)a a b b b =≠B ．3521a a a -•= C ．224(2)(2)a b a b a b -=+- D ．326(2)4a a -=【答案】A ．考点：1．二次根式的乘除法；2．幂的乘方与积的乘方；3．因式分解-运用公式法；4．负整数指数幂．8．（2015杭州）下列各式的变形中，正确的是（ ）A ．22()()x y x y x y ---+=- B ．11xx xx --= C ．2243(2)1x x x -+=-+ D ．21()1x x x x ÷+=+【答案】A ． 【解析】试题分析：A ．22()()x y x y x y ---+=-，正确；B ．211x x x x --=，错误； C ．2243(2)1x x x -+=--，错误； D ．21()1x x x x ÷+=+，错误；故选A ．考点：1．平方差公式；2．整式的除法；3．因式分解-十字相乘法等；4．分式的加减法．9．（2015南京）分解因式()(4)a b a b ab --+的结果是 ．【答案】2(2)a b -．【解析】试题分析：()(4)a b a b ab --+=2254a ab b ab -++=2244a ab b -+=2(2)a b -．故答案为：2(2)a b -．考点：因式分解-运用公式法．10．（2015巴中）分解因式：2242a a -+= ．【答案】22(1)a -．【解析】试题分析：原式=22(21)a a -+=22(1)a -．故答案为：22(1)a -．考点：提公因式法与公式法的综合运用． 11．（2015绵阳）在实数范围内因式分解：23x y y -= ．【答案】)3)(3(-+x x y ． 【解析】试题分析：原式=2(3)y x -=)3)(3(-+x x y ，故答案为：)3)(3(-+x x y ．考点：实数范围内分解因式． 12．（2015内江）已知实数a ，b 满足：211a a +=，211b b +=，则2015a b-|= ．【答案】1．考点：1．因式分解的应用；2．零指数幂；3．条件求值；4．综合题；5．压轴题．13．（2015北京市）分解因式：325105x x x -+= ．【答案】25(1)x x -．【解析】试题分析：原式=25(21)x x x -+=25(1)x x -．故答案为：25(1)x x -．考点：提公因式法与公式法的综合运用．14．（2015甘南州）已知210a a --=，则322015a a a --+= ．【答案】2015． 【解析】试题分析：∵210a a --=，∴21a a -=，∴322015a a a --+=2()+2015a a a a --=2015a a -+=2015，故答案为：2015．考点：1．因式分解的应用；2．条件求值；3．代数式求值；4．综合题．15．（2015株洲）因式分解：2(2)16(2)x x x ---= ．【答案】(2)(4)(4)x x x -+-． 【解析】试题分析：原式=2(2)(16)x x --=(2)(4)(4)x x x -+-．故答案为：(2)(4)(4)x x x -+-．考点：提公因式法与公式法的综合运用． 16．（2015东营）分解因式：2412()9()x y x y +-+-= ．【答案】2(332)x y -+．考点：因式分解-运用公式法．17．（2015菏泽）若2(3)()x x m x x n ++=-+对x 恒成立，则n= ．【答案】4． 【解析】试题分析：∵2(3)()x x m x x n ++=-+，∴22(3)3x x m x n x n ++=+--，故31n -=，解得：n=4．故答案为：4．考点：因式分解-十字相乘法等．18．（2015重庆市）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”． （1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？ 并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x （1≤x≤4，x 为自然数），十位上的数字为y ，求y 与x 的函数关系式．【答案】（1）四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一），能；（2）y=2x（1≤x≤4，x为自然数）．考点：1．因式分解的应用；2．规律型：数字的变化类；3．新定义．【2014年题组】1．（2014年常德中考）下面分解因式正确的是（）A．x2+2x+1=x（x+2）+1 B. （x2﹣4）x=x3﹣4xC. ax+bx=（a+b）xD. m2﹣2mn+n2=（m+n）2【答案】C．【解析】试题分析：A 、x2+2x+1=x （x+2）+1，不是因式分解，故错误；B 、（x2﹣4）x=x3﹣4x ，不是因式分解，故错误；C 、ax+bx=（a+b ）x ，是因式分解，故正确；D 、m2﹣2mn+n2=（m ﹣n ）2，故错误．故选C ． 考点：1.因式分解-运用公式法；2.因式分解-提公因式法． 2.（2014年海南中考）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ） A ．()2a 4a 21a a 421+-=+- B ．()()2a 4a 21a 3a 7+-=-+C ．()()2a 3a 7a 4a 21-+=+-D ．()22a 4a 21a 225+-=+-【答案】B ．考点：因式分解的意义．3.（2014年无锡中考）分解因式：x3﹣4x= ． 【答案】()()x x 2x 2+-． 【解析】 试题分析：()()()32x 4x x x 4x x 2x 2-=-=+-．考点：提公因式法和应用公式法因式分解．4.（2014年株洲中考）分解因式：x2+3x （x ﹣3）﹣9= 【答案】（x ﹣3）（4x+3）． 【解析】试题分析： x2+3x （x ﹣3）﹣9=x2﹣9+3x （x ﹣3）=（x ﹣3）（x+3）+3x （x ﹣3）=（x ﹣3）（x+3+3x ） =（x ﹣3）（4x+3）． 考点：因式分解．5.（2014年徐州中考）若ab=2，a ﹣b=﹣1，则代数式a2b ﹣ab2的值等于 ． 【答案】﹣2． 【解析】试题分析：∵ab=2，a ﹣b=﹣1，∴a2b ﹣ab2=ab （a ﹣b ）=2×（﹣1）=﹣2．考点：1.求代数式的值；2.提公因式法因式分解；3.整体思想的应用．6.（2014年眉山中考）分解因式：225xy x -=__________________．【答案】x （y+5）（y ﹣5）． 【解析】试题分析：原式=x （y2﹣25）=x （y+5）（y ﹣5）． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 7.（2014年绍兴中考）分解因式：2aa - = ．【答案】()a a 1-．【解析】 试题分析：()2a a a a 1-=-．考点：提公因式法因式分解． 8.（2014年台州中考）因式分解3a 4a -的结果是 ．【答案】()()a a 2a 2+-．考点：提公因式法和应用公式法因式分解． 9.（2014年泸州中考）分解因式：23a 6a 3++= .【答案】()23a 1+．【解析】 试题分析：()()2223a 6a 33a 2a 13a 1++=++=+．考点：提公因式法和应用公式法因式分解．10.（2014年北海中考）因式分解：x2y ﹣2xy2= ． 【答案】()xy x 2y -．【解析】 试题分析：()22x y 2xy xy x 2y -=-．考点：提公因式法因式分解． ☞考点归纳归纳 1：因式分解的有关概念 基础知识归纳：因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算． 注意问题归纳：符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式积的形式． 2.因式分解与整式乘法是互逆运算．【例1】下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）()2a 4a 21a a 421+-=+- B ．()()2a 4a 21a 3a 7+-=-+ C ．()()2a 3a 7a 4a 21-+=+- D ．()22a 4a 21a 225+-=+-【答案】B ．考点：因式分解的有关概念． 归纳 2：提取公因式法分解因式 基础知识归纳：将多项式各项中的公因式提出来这个方法是提公因式法，公因式系数是各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂． 提取公因式法：ma ＋mb －mc=m （a+b-c ） 注意问题归纳： 提公因式要注意系数； 要注意查找相同字母，要提净．【例2】若ab=2，a ﹣b=﹣1，则代数式a2b ﹣ab2的值等于 ． 【答案】﹣2．考点：因式分解-提公因式法．【例3】因式分解：2a 3ab += ．【答案】()a a 3+．【解析】()2a 3ab a a 3+=+．考点：因式分解-提公因式法．归纳 3：运用公式法分解因式基础知识归纳：运用平方差公式：a2－b2=（a+b）（a-b）；运用完全平方公式：a2±2ab＋b2=（a±b）2．注意问题归纳：首先要看是否有公因式，有公因式必须要先提公因式，然后才能运用公式，注意公式的特点，要选项择合适的方法进行因式分解．【例4】3x2y－27y= ；【答案】3y（x+3）（x-3）．【解析】原式=3y（x2-9）=3y（x+3）（x-3）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．【例5】将多项式m2n－2mn＋n因式分解的结果是．【答案】n（m-1）2．【解析】m2n-2mn+n，=n（m2-2m+1），=n（m-1）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．归纳 4：综合运用多种方法分解因式基础知识归纳：因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．注意问题归纳：可以提取公因式的要先提取公因式，注意一定要分解彻底．【例6】分解因式：x2+3x（x﹣3）﹣9=【答案】（x﹣3）（4x+3）．考点：因式分解-分组分解法．【例】7分解因式：x3－5x2＋6x=【答案】x（x-3）（x-2）．【解析】x3-5x2+6x=x（x2-5x+6）=x（x-3）（x-2）．考点：因式分解-十字相乘法．☞1年模拟1．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）若多项式x4+mx3+nx-16含有因式（x-2）和（x-1），则mn的值是（）A．100 B．0 C．-100 D．50 【答案】C．【解析】试题分析：设x4+mx3+nx-16=（x-1）（x-2）（x2+ax+b），则x4+mx3+nx-16=x4+（a-3）x3+（b-3a+2）x2+（2a-3b）x+2b．比较系数得：a-3=m，b-3a+2=0，2a-3b=n，2b=-16，解得：a=-2，b=-8，m=-5，n=20，所以mn=-5×20=-100．故选C．考点：因式分解的意义．2．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）因式分解2x2-8的结果是（）A．（2x+4）（x-4） B．（x+2）（x-2）C．2 （x+2）（x-2） D．2（x+4）（x-4）【答案】C．【解析】试题分析：2x2-8=2（x2-4）2（x+2）（x-2）．故选C．考点：提公因式法与公式法的综合运用．3．（2015届河北省中考模拟二）现有一列式子：①552-452；②5552-4452；③55552-44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）A．1.1111111×1016 B．1.1111111×1027C．1.111111×1056 D．1.1111111×1017【答案】D．考点：1．因式分解-运用公式法；2．科学记数法—表示较大的数． 4．（2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模）分解因式：2x2﹣12x+32= ． 【答案】2（x ﹣8）（x+2）． 【解析】试题分析：原式提取2，再利用十字相乘法分解，原式=2（x2﹣6x+16）=2（x ﹣8）（x+2）．故答案为：2（x ﹣8）（x+2）． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．5．（2015届北京市平谷区中考二模）把a ﹣4ab2分解因式的结果是 ．【答案】a （1+2b ）（1﹣2b ）． 【解析】试题分析：先提取公因式，再利用平方差公式法，进而分解因式得出即可．考点：提公因式法与公式法的综合运用． 6．（2015届北京市门头沟区中考二模）分解因式：29ax a -= ．【答案】(3)(3)a x x -+． 【解析】试题分析：29ax a - =2(9)a x -=(3)(3)a x x -+．故答案为：(3)(3)a x x -+．考点：提公因式法与公式法的综合运用．7．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）若a2-3a+1=0，则3a3-8a2+a+231a = ．【答案】2．考点：1．因式分解的应用；2．条件求值．8．（2015届安徽省安庆市中考二模）因式分解：﹣3x2+3x ﹣= ．【答案】﹣3（x ﹣21）2． 【解析】试题分析：原式=﹣3（x2﹣x+41）=﹣3（x ﹣21）2．故答案为：﹣3（x ﹣21）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．9．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）分解因式：a3b-2a2b2+ab3= ． 【答案】ab （a-b ）2． 【解析】试题解析：a3b-2a2b2+ab3=ab （a2-2ab+b2）=ab （a-b ）2．故答案为：ab （a-b ）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．10．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）分解因式：3ax2-3ay2= ．【答案】3a（x+y）（x-y）．【解析】试题分析：3ax2-3ay2=3a（x2-y2）=3a（x+y）（x-y）．故答案为：3a （x+y）（x-y）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．11．（2015届山东省聊城市中考模拟）因式分解：4a3-12a2+9a= ．【答案】a（2a-3）2．【解析】试题分析：4a3-12a2+9a=a（4a2-12a+9）=a（2a-3）2．故答案为：a （2a-3）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．12．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）把3x3-6x2y+3xy2分解因式的结果是．【答案】3x（x-y）2．考点：提公因式法和公式法的综合运用．13．（2015届广东省广州市中考模拟）分解因式：x2+xy= ．【答案】x（x+y）．【解析】试题分析：x2+xy=x（x+y）．故答案为：x（x+y）．考点：因式分解-提公因式法．14．（2015届广东省深圳市龙华新区中考二模）因式分解：2a3-8a= ．【答案】2a（a+2）（a-2）．【解析】试题分析：2a3-8a=2a（a2-4）=2a（a+2）（a-2）．故答案为：2a（a+2）（a-2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．15．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）若a-b=3，ab=2，则a2b-ab2= ．【答案】6．【解析】试题分析：∵a-b=3，ab=2，∴a2b-ab2=ab（a-b）=2×3=6．故答案为：6．考点：因式分解-提公因式法．16．（2015届河北省中考模拟二）若M=（2015-1985）2，O=（2015-1985）×（2014-1986），N=（2014-1986）2，则M+N-2O的值为．【答案】4．【解析】试题分析：∵M=（2015-1985）2，O=（2015-1985）×（2014-1986），N=（2014-1986）2，∴M+N-2O=（2015-1985）2-2（2015-1985）×（2014-1986）+（2014-1986）2=[（2015-1985）-（2014-1986）]2=4．故答案为：4．考点：因式分解-运用公式法．17．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）分解因式：a3﹣9a= ．【答案】a（a+3）（a﹣3）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．18．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）分解因式：xy2﹣2xy+x=__________．【答案】x（y-1）2．【解析】试题分析：先提公因式x，再对剩余项利用完全平方公式分解因式．即xy2-2xy+x=x（y2-2y+1）=x（y-1）2．故答案为：x（y-1）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．19．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）如图1是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．（1）这个几何体模型的名称是．（2）如图2是根据a，b，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图（图中实线表示的长方形），请在网格中画出该几何体的左视图．（3）若h=a+b，且a，b满足14a2+b2﹣a﹣6b+10=0，求该几何体的表面积．【答案】（1）长方体或底面为长方形的直棱柱；（2）图形略；（3）62．考点：1．因式分解的应用；2．由三视图判断几何体；3．作图-三视图．。

高三数学知识点：因式分解提取公因式查字典数学网整理了高三数学知识点：因式分解提取公因式，希望大家能帮到大家，在空余时间进行复习。

1)提公因式。

把各项中相同字母或因式的最低次幂的积作为公因式提出来;当系数为整数时，还要把它们的最大公约数也提出来，作为公因式的系数;当多项式首项符号为负时，还要提出负号。

2)用公因式分别去除多项式的每一项，把所得的商的代数和作为另一个因式，与公因式写成积的形式。

由于题目形式千变万化，解题时也不能生搬硬套。

例如，有的需要先对题目适当整理变形;有的分解因式后多项式因式中有同类项的还要进行合并化简;还有的提取公因式后能用其他方法继续分解。

3)在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式.观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。

随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。

我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。

看得清才能说得正确。

在观察过程中指导。

我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。

有的孩子说“乌云跑得飞快。

”我加以肯定说“这是乌云滚滚。

”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。

”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。

文档初二数学知识点因式分解1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”. 3．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂.注意公式：a+b=b+a ； a-b=-(b-a)； (a-b)2=(b-a)2； (a-b)3=-(b-a)3. 4．因式分解的公式：(1)平方差公式： a 2-b 2=（a+ b ）（a- b ）；(2)完全平方公式： a 2+2ab+b 2=(a+b)2, a 2-2ab+b 2=(a-b)2. 5．因式分解的注意事项：（1）选择因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公式、三 分组、四 十字； （2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性； （3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止； （4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正； （5）因式分解的最后结果要求加以整理；（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.6．因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项.7．完全平方式：能化为（m+n ）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x 2+px+q ， 有“ x 2+px+q 是完全平方式 ⇔ q 2p 2=⎪⎭⎫⎝⎛”.分式1．分式：一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示为B A 的形式，如果B 中含有字母，式子BA 叫文档做分式.2．有理式：整式与分式统称有理式；即 ⎩⎨⎧分式整式有理式.3．对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义. 4．分式的基本性质与应用：（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变； （2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；即 分母分子分母分子分母分子分母分子-=-=-=---（3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单.5．分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解.6．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式. 7．分式的乘除法法则：,bdacd c b a =⋅bcadc d b a d c b a =⋅=÷. 8．分式的乘方：为正整数）（n .b a b a n n n=⎪⎭⎫⎝⎛.9．负整指数计算法则： （1）公式： a 0=1(a ≠0), a -n=na 1(a ≠0)； （2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算；（3）公式：nna b b a ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-，n m m n a b b a =--；（4）公式： （-1）-2=1， （-1）-3=-1.10．分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定最简公分母.文档11．最简公分母的确定：系数的最小公倍数·相同因式的最高次幂. 12．同分母与异分母的分式加减法法则： ;c b a c b c a ±=±bdbcad bd bc bd ad d c b a ±=±=±. 13．含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0(a ≠0)中,x 是未知数,a 和b 是用字母表示的已知数，对x 来说，字母a 是x 的系数，叫做字母系数，字母b 是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：在字母方程中,一般用a 、b 、c 等表示已知数，用x 、y 、z 等表示未知数.14．公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为0.15．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程.16．分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.17．分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母），若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原方程的解；注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.18．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序. 数的开方1．平方根的定义：若x 2=a,那么x 叫a 的平方根，（即a 的平方根是x ）；注意：（1）a 叫x 的平方数，（2）已知x 求a 叫乘方，已知a 求x 叫开方，乘方与开方互为逆运算. 2．平方根的性质：（1）正数的平方根是一对相反数； （2）0的平方根还是0； （3）负数没有平方根.文档3．平方根的表示方法：a 的平方根表示为a 和a -.注意：a 可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算.4．算术平方根：正数a 的正的平方根叫a 的算术平方根，表示为a .注意：0的算术平方根还是0. 5．三个重要非负数： a 2≥0 ,|a|≥0 ，a ≥0 .注意：非负数之和为0，说明它们都是0. 6．两个重要公式： （1）()a a 2=; (a ≥0)（2） ⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 .7．立方根的定义：若x 3=a,那么x 叫a 的立方根，（即a 的立方根是x ）.注意：（1）a 叫x 的立方数；（2）a 的立方根表示为3a ；即把a 开三次方. 8．立方根的性质：（1）正数的立方根是一个正数； （2）0的立方根还是0； （3）负数的立方根是一个负数. 9．立方根的特性：33a a -=-.10．无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：π和开方开不尽的数是无理数. 11．实数：有理数和无理数统称实数.12．实数的分类：（1）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数与无限循环小负有理数正有理数有理数实数0（2）⎪⎩⎪⎨⎧负实数正实数实数0 . 13．数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应.14．无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；（2）要求记忆：414.12= 732.13= 236.25=.三角形几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）文档文档文档文档几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.二常识：1．三角形中，第三边长的判断：另两边之差＜第三边＜另两边之和.2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，文档实用标准文案文档而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段. 3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD ⊥AB ，BE ⊥CA ，则CD ·AB=BE ·CA. 4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和.5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和. 6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即： （1） AC ·CB=CD ·AB ； （2）∠1=∠B ，∠2=∠A . 8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边. 10．等边三角形是特殊的等腰三角形.11．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明. 12．符合“AAA ”“SSA ”条件的三角形不能判定全等.13．几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.14．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.15．会用尺规完成“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”、“HL ”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图. ※18．几何重要图形和辅助线： （1）选取和作辅助线的原则：① 构造特殊图形，使可用的定理增加；ABCEDA BCD 12实用标准文案文档② 一举多得；③ 聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角； ④ 作辅助线必须符合几何基本作图.（2）已知角平分线.（若BD 是角平分线）（3）已知三角形中线（若AD 是BC 的中线）(4) 已知等腰三角形ABC 中，AB=AC（5）其它文档。

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6) a 3±3a 2b+3ab 2±b 3=(a±b)3．例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

因式分解的多种方法----知识延伸，向竞赛过度1. 提取公因式：这种方法比较常规、简单，必须掌握。

常用的公式：完全平方公式、平方差公式例一：0322=-x x解：x(2x-3)=0， x1=0,x2=3/2这是一类利用因式分解的方程。

总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x-a)因式,这对我们后面的学习有帮助。

2. 公式法常用的公式：完全平方公式、平方差公式。

注意：使用公式法前，部分题目先提取公因式。

例二：42-x 分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解：原式=(x+2)(x-2)3. 十字相乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。

注意：它不难。

这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c 分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果例三： 把3722+-x x 分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1；分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解 原式=(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1 c1╳a2 c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c 的一次项系数b ，即a1c2+a2c1=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).这种方法要多实验，多做，多练。

《提公因式法》知识清单一、什么是提公因式法提公因式法是因式分解的一种基本方法。

如果一个多项式的各项有公因式，那么可以把这个公因式提取出来，将多项式化成两个或多个因式乘积的形式。

例如，对于多项式 6x ＋ 9，其中 3 是公因式，可以将其提取出来，得到 3(2x ＋ 3)。

二、提公因式法的关键1、确定公因式公因式的确定是提公因式法的核心步骤。

公因式是多项式各项中都含有的因式。

（1）系数：取各项系数的最大公约数。

例如，对于 12x ＋ 18，系数 12 和 18 的最大公约数是 6。

（2）字母：取各项相同的字母。

如 5x²y ＋ 10xy²中，相同的字母是 x 和 y。

（3）指数：取相同字母的最低次幂。

比如在 8x³y² 12x²y³中，x 的最低次幂是 2，y 的最低次幂是 2，所以公因式是 4x²y²。

2、提出公因式确定公因式后，将公因式提取出来，用原多项式除以公因式，得到另一个因式。

三、提公因式法的步骤1、分解因式首先对多项式的每一项进行仔细观察和分析，确定各项是否存在公因式。

2、提取公因式将确定的公因式提取出来，写在括号外面。

3、化简剩余项用原多项式的每一项除以公因式，将所得的商写在括号内，与公因式相乘。

例如，对于多项式 4x²＋ 8x，先确定公因式为 4x，然后提取出来得到 4x(x ＋ 2)。

四、提公因式法的应用1、简化计算在代数式的运算中，通过提公因式可以简化计算过程。

比如计算：24a ＋ 36ab，提取公因式 12a 得到 12a(2 ＋ 3b)，这样计算更简便。

2、解方程在方程求解中，有时通过提公因式可以使方程更容易求解。

例如方程：6x² 9x ＝ 0，提取公因式 3x 得到 3x(2x 3) ＝ 0，从而解得 x ＝ 0 或 x ＝ 3/2 。

3、证明等式通过提公因式可以对等式进行变形和证明。

因式分解知识点回顾1、因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。

因式分解和整式乘法互为逆运算2、常用的因式分解方法：(1)提取公因式法：ma + mb + mc = m(a + b + c)(2)运用公式法：平方差公式：a2—b2 = (a + b)(a—b)；完全平方公式：a2土2ab + b2= (a土b)2(3)十字相乘法：x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)因式分解的一般步骤：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；(2)提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法； (3)对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。

(4)最后考虑用分组分解法5、同底数幂的乘法法则：a m・a n = a m+n( m, n都是正整数)同底数幕相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

如：(a + b)2•(a + b)3 = (a + b)56、幂的乘方法则：(a m)n = a mn( m, n都是正整数)幕的乘方，底数不变，指数相乘。

如：(-35)2= 310幕的乘方法则可以逆用：即a mn = (a m ) n = (a n ) m如：46 = (42)3 = (43)27、积的乘方法则：(ab)n = a n b n( n是正整数)积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：(一 2 x 3 y 2 z )5 = (-2)5 • (x 3)5 • ( y 2)5 • z 5 = -32 x 15 y 10 z 58、同底数幂的除法法则：a m + a n = a m - n ( a牛0, m, n都是正整数，且m n)同底数幕相除，底数不变，指数相减。

如：(ab)4 + (ab) = (ab)3 = a3b39、零指数和负指数；a 0 = 1，即任何不等于零的数的零次方等于1。

1a - p =——(a中0, p是正整数)，即一个不等于零的数的-p次方等于这个数的P次方的倒数。

八年级数学《14.3 因式分解-提公因式》同步复习资料【1】一．选择题（共15小题）1．若ab=﹣3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是（）A．﹣15 B．15 C．2 D．﹣82．已知a+b=3，ab=2，计算：a2b+ab2等于（）A．5 B．6 C．9 D．13．计算（﹣2）100+（﹣2）99的结果是（）A．2 B．﹣2 C．﹣299D．2994．当a，b互为相反数时，代数式a2+ab﹣2的值为（）A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣15．多项式a n﹣a3n+a n+2分解因式的结果是（）A．a n（1﹣a3+a2）B．a n（﹣a2n+a2）C．a n（1﹣a2n+a2）D．a n（﹣a3+a n）6．若代数式x2+ax可以分解因式，则常数a不可以取（）A．﹣1 B．0 C．1 D．27．多项式（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）可以因式分解成（x+m）（2x+n），则m﹣n的值是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣48．将3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）因式分解，应提的公因式是（）A．3x﹣9y B．3x+9y C．a﹣b D．3（a﹣b）9．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）10．下列各式分解正确的是（）A．12xyz﹣9x2y2=3xyz（4﹣3xy）B．3a2y﹣3ay+3y=3y（a2﹣a+1）C．﹣x2+xy﹣xz=﹣x（x+y﹣z）D．a2b+5ab﹣b=b（a2+5a）11．把多项式m（n﹣2）﹣m2（2﹣n）分解因式得（）A．（n﹣2）（m2+m）B．（n﹣2）（n﹣m）2C．m（n﹣2）（m+1）D．m（n﹣2）（1﹣m）12．若（m+n）3﹣mn（m+n）=（m+n）•A，则A表示的多项式是（）A．m2+n2B．m2﹣mn+n2C．m2﹣3mn+n2D．m2+mn+n213．已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为（）A．12 B．﹣12 C．﹣24 D．2414．把多项式3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2分解因式的结果是（）A．（x﹣y）（3m﹣2x﹣2y） B．（x﹣y）（3m﹣2x+2y）C．（x﹣y）（3m+2x﹣2y）D．（y﹣x）（3m+2x﹣2y）15．把﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）分解因式正确的结果是（）A．（x﹣y）（﹣a﹣b+c）B．（y﹣x）（a﹣b﹣c）C．﹣（x﹣y）（a+b﹣c）D．﹣（y﹣x）（a+b﹣c）二．填空题（共15小题）16．已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b=．17．若a=2，a﹣2b=3，则2a2﹣4ab的值为．18．因式分解：x2﹣2x+（x﹣2）=．19．分解因式：m（x﹣y）+n（y﹣x）=．20．因式分解：6x3y﹣12xy2+3xy=．21．因式分解：mn（n﹣m）﹣n（m﹣n）=．22．因式分解：12x（a+b）﹣4y（a+b）=．23．分解因式：2x2y﹣12xy+18y=．24．因式分解（a+b）（a+b﹣1）﹣a﹣b+1的结果为．25．将3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）分解因式，应提取的公因式是．26．若要把多项式﹣12xy2（x+y）+18x2y（x+y）因式分解，则应提取的公因式为．27．把多项式m2（a﹣2）+m（2﹣a）分解因式等于．28．利用分解因式计算：32013+6×32012﹣32014=．29．长、宽分别为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为．30．分解因式：（m﹣n）2﹣（n﹣m）（m﹣2n）=．三．解答题（共10小题）31．因式分解：（1）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）（2）x（x2﹣xy）﹣（4x2﹣4xy）32．已知（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（17﹣13x）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（30x+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c的值．（1）2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）（2）﹣8a2b+12ab2﹣4a3b3．34．因式分解：（x+y）2（x﹣y）﹣（x+y）（x﹣y）2．35．因式分解：①﹣6（2a﹣b）2﹣4（b﹣2a）2②6（x+y）2﹣2（x﹣y）（x+y）③﹣3（x﹣y）2﹣（y﹣x）3④3a（m﹣n）﹣2b（n﹣m）⑤9（a﹣b）（a+b）﹣3（a﹣b）2⑥3a（a+b）（a﹣b）﹣2b（b﹣a）36．把多项式（a+b﹣c）（a﹣b+c）﹣（b+c﹣a）（c﹣a﹣b）因式分解．37．先化简，再求值：（1）已知a+b=2，ab=2，求a3b+2a2b2+ab3的值．（2）求（2x﹣y）（2x+y）﹣（2y+x）（2y﹣x）的值，其中x=2，y=1．（1）3x2y﹣6xy（2）5x2y3﹣25x3y2（3）﹣4m3+16m2﹣26m（4）2（a﹣3）2﹣a+3（5）3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2（6）18b（a﹣b）2﹣12（a﹣b）3（7）15x3y2+5x2y﹣20x2y3（8）6x（x+y）﹣4y（x+y）（9）a（x﹣a）+b（a﹣x）﹣c（x﹣a）（10）（m+n）（p+q）﹣（m+n）（p﹣q）39．把下列各式因式分解：（1）7（a﹣1）+x（a﹣1）；（2）3（a﹣b）2+6（b﹣a）；（3）2（m﹣n）2﹣m（m﹣n）；（4）x（x﹣y）2﹣y（y﹣x）2；（5）m（a2+b2）+n（a2+b2）；（6）18（a﹣b）2﹣12b（b﹣a）2；（7）（2a+b）（2a﹣3b）﹣3a（2a+b）；（8）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）．40．把下列各式分解因式：（1）18a3bc﹣45a2b2c2；（2）﹣20a﹣15ab；（3）18x n+1﹣24x n；（4）（m+n）（x﹣y）﹣（m+n）（x+y）；（5）15（a+b）2+3y（b+a）；（6）2a（b﹣c）+3（c﹣b）．14.3《因式分解-提公因式》同步复习资料【1】参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．若ab=﹣3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是（）A．﹣15 B．15 C．2 D．﹣8【解答】解：∵ab=﹣3，a﹣2b=5，a2b﹣2ab2=ab（a﹣2b）=﹣3×5=﹣15．故选：A．2．已知a+b=3，ab=2，计算：a2b+ab2等于（）A．5 B．6 C．9 D．1【解答】解：∵a+b=3，ab=2，∴a2b+ab2=ab（a+b）=2×3=6．故选：B．3．计算（﹣2）100+（﹣2）99的结果是（）A．2 B．﹣2 C．﹣299 D．299【解答】解：原式=（﹣2）99[（﹣2）+1]=﹣（﹣2）99=299，故选：D．4．当a，b互为相反数时，代数式a2+ab﹣2的值为（）A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣1【解答】解：由题意得到a+b=0，则原式=a（a+b）﹣2=0﹣2=﹣2，故选C5．多项式a n﹣a3n+a n+2分解因式的结果是（）A．a n（1﹣a3+a2）B．a n（﹣a2n+a2） C．a n（1﹣a2n+a2）D．a n（﹣a3+a n）【解答】解：a n﹣a3n+a n+2=a n（1﹣a2n+a2），故选：C．6．若代数式x2+ax可以分解因式，则常数a不可以取（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：∵代数式x2+ax可以分解因式，∴常数a不可以取0．故选：B．7．多项式（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）可以因式分解成（x+m）（2x+n），则m﹣n的值是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【解答】解：（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）=（x+2）（2x﹣2）=（x+m）（2x+n），可得m=2，n=﹣2，则m﹣n=2﹣（﹣2）=2+2=4，故选C8．将3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）因式分解，应提的公因式是（）A．3x﹣9y B．3x+9y C．a﹣b D．3（a﹣b）【解答】解：将3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）=3x（a﹣b）+9y（a﹣b）因式分解，应提的公因式是3（a﹣b）．故选D9．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）【解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），=b（x﹣3）（b+1）．故选B．10．下列各式分解正确的是（）A．12xyz﹣9x2y2=3xyz（4﹣3xy）B．3a2y﹣3ay+3y=3y（a2﹣a+1）C．﹣x2+xy﹣xz=﹣x（x+y﹣z）D．a2b+5ab﹣b=b（a2+5a）【解答】解：A、应为12xyz﹣9x2y2=3xy（4z﹣3xy）；故本选项错误．B、3a2y﹣3ay+3y=3y（a2﹣a+1）；正确．C、应为﹣x2+xy﹣xz=﹣x（x﹣y+z）；故本选项错误．D、应为a2b+5ab﹣b=b（a2+5a﹣1）；故本选项错误．故选B．11．把多项式m（n﹣2）﹣m2（2﹣n）分解因式得（）A．（n﹣2）（m2+m）B．（n﹣2）（n﹣m）2C．m（n﹣2）（m+1） D．m（n﹣2）（1﹣m）【解答】解：m（n﹣2）﹣m2（2﹣n），=m（n﹣2）+m2（n﹣2），=m（n﹣2）（m+1），故选C．12．若（m+n）3﹣mn（m+n）=（m+n）•A，则A表示的多项式是（）A．m2+n2B．m2﹣mn+n2C．m2﹣3mn+n2D．m2+mn+n2【解答】解：（m+n）3﹣mn（m+n），=（m+n）[（m+n）2﹣mn]，=（m+n）（m2+2mn+n2﹣mn），=（m+n）（m2+mn+n2）．所以A表示的多项式是（m2+mn+n2）．故选D．13．已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为（）A．12 B．﹣12 C．﹣24 D．24【解答】解：∵x+y=6，xy=4，∴x2y+xy2=xy（x+y）=4×6=24．故选：D．14．把多项式3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2分解因式的结果是（）A．（x﹣y）（3m﹣2x﹣2y） B．（x﹣y）（3m﹣2x+2y）C．（x﹣y）（3m+2x﹣2y）D．（y﹣x）（3m+2x﹣2y）【解答】解：3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2，=3m（x﹣y）﹣2（x﹣y）2，=（x﹣y）（3m﹣2x+2y）．故选B．15．把﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）分解因式正确的结果是（）A．（x﹣y）（﹣a﹣b+c）B．（y﹣x）（a﹣b﹣c） C．﹣（x﹣y）（a+b﹣c）D．﹣（y﹣x）（a+b﹣c）【解答】解：﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y），=a（y﹣x）﹣b（y﹣x）﹣c（y﹣x），=（y﹣x）（a﹣b﹣c）．故选B．二．填空题（共15小题）16．已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b=﹣31．【解答】解：（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13），=（3x﹣7）（2x﹣21﹣x+13），=（3x﹣7）（x﹣8）=（3x+a）（x+b），则a=﹣7，b=﹣8，故a+3b=﹣7﹣24=﹣31，故答案为：﹣31．17．若a=2，a﹣2b=3，则2a2﹣4ab的值为12．【解答】解：∵a=2，a﹣2b=3，∴2a2﹣4ab=2a（a﹣2b）=2×2×3=12．故答案为：12．18．因式分解：x2﹣2x+（x﹣2）=（x+1）（x﹣2）．【解答】解：原式=x（x﹣2）+（x﹣2）=（x+1）（x﹣2）．故答案是：（x+1）（x﹣2）．19．分解因式：m（x﹣y）+n（y﹣x）=（x﹣y）（m﹣n）．【解答】解：m（x﹣y）+n（y﹣x）=m（x﹣y）﹣n（x﹣y）=（x﹣y）（m﹣n）．故答案为：（x﹣y）（m﹣n）．20．因式分解：6x3y﹣12xy2+3xy=3xy（2x2﹣4y+1）．【解答】解：6x3y﹣12xy2+3xy=3xy（2x2﹣4y+1）．故答案为：3xy（2x2﹣4y+1）．21．因式分解：mn（n﹣m）﹣n（m﹣n）=n（n﹣m）（m+1）．【解答】解：mn（n﹣m）﹣n（m﹣n），=mn（n﹣m）+n（n﹣m），=n（n﹣m）（m+1）．故答案为：n（n﹣m）（m+1）．22．因式分解：12x（a+b）﹣4y（a+b）=4（a+b）（3x﹣y）．【解答】解：12x（a+b）﹣4y（a+b），=4（a+b）（3x﹣y），故答案为：4（a+b）（3x﹣y）．23．分解因式：2x2y﹣12xy+18y=2y（x﹣3）2．【解答】解：原式=2y（x2﹣6x+9）=2y（x﹣3）2，故答案为：2y（x﹣3）2键．24．因式分解（a+b）（a+b﹣1）﹣a﹣b+1的结果为（a+b﹣1）2．【解答】解：（a+b）（a+b﹣1）﹣a﹣b+1，=（a+b）（a+b﹣1）﹣（a+b﹣1），=（a+b﹣1）（a+b﹣1），=（a+b﹣1）2．25．将3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）分解因式，应提取的公因式是3（a﹣b）．【解答】解：原式=3x（a﹣b）+9y（a﹣b），应提前的公因式为3（a﹣b）．故答案为：3（a﹣b）．26．若要把多项式﹣12xy2（x+y）+18x2y（x+y）因式分解，则应提取的公因式为﹣6xy（x+y）．【解答】解：﹣12xy2（x+y）+18x2y（x+y）因式分解时，公因式是﹣6xy（x+y）．故答案为：﹣6xy（x+y）．27．把多项式m2（a﹣2）+m（2﹣a）分解因式等于m（a﹣2）（m﹣1）．【解答】解：m2（a﹣2）+m（2﹣a）=m2（a﹣2）﹣m（a﹣2）=m（a﹣2）（m﹣1）．故答案为：m（a﹣2）（m﹣1）．28．利用分解因式计算：32013+6×32012﹣32014=0．【解答】解：32013+6×32012﹣32014=32012×（3+6﹣32）=0．故答案为：0．29．长、宽分别为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为70．【解答】解：∵长、宽分别为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，∴a+b==7，ab=10，∴a2b+ab2=ab（a+b）=10×7=70，故答案为：70．30．分解因式：（m﹣n）2﹣（n﹣m）（m﹣2n）=（m﹣n）（2m﹣3n）．【解答】解：（m﹣n）2﹣（n﹣m）（m﹣2n），=（m﹣n）2+（m﹣n）（m﹣2n），=（m﹣n）（m﹣n+m﹣2n），=（m﹣n）（2m﹣3n）．故答案为：（m﹣n）（2m﹣3n）．三．解答题（共10小题）31．因式分解：（1）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）（2）x（x2﹣xy）﹣（4x2﹣4xy）【解答】解：（1）原式=2x（a﹣b）﹣3y（a﹣b）=（a﹣b）（2x﹣3y）；（2）原式=x2（x﹣y）﹣4x（x﹣y）=x（x﹣y）（x﹣4）．32．已知（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（17﹣13x）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（30x+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c的值．【解答】解：（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（17﹣13x）（11x﹣23）=（19x﹣31）（13x﹣17）+（13x﹣17）（11x﹣23）=（13x﹣17）（30x﹣54）∴a=13，b=﹣17，c=﹣54，∴a+b+c=﹣58．33．把下列各式分解因式：（1）2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）（2）﹣8a2b+12ab2﹣4a3b3．【解答】解：（1）2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）=2m（m﹣n）[（m﹣n）+4m]=2m（m﹣n）（5m﹣n）；（2）﹣8a2b+12ab2﹣4a3b3=﹣4ab（2a﹣3b+a2b2）．34．因式分解：（x+y）2（x﹣y）﹣（x+y）（x﹣y）2．【解答】解：（x+y）2（x﹣y）﹣（x+y）（x﹣y）2=（x+y）（x﹣y）[（x+y）﹣（x﹣y）]=2y（x+y）（x﹣y）．35．因式分解：①﹣6（2a﹣b）2﹣4（b﹣2a）2②6（x+y）2﹣2（x﹣y）（x+y）③﹣3（x﹣y）2﹣（y﹣x）3④3a（m﹣n）﹣2b（n﹣m）⑤9（a﹣b）（a+b）﹣3（a﹣b）2⑥3a（a+b）（a﹣b）﹣2b（b﹣a）【解答】解：①﹣6（2a﹣b）2﹣4（b﹣2a）2=﹣10（2a﹣b）2②6（x+y）2﹣2（x﹣y）（x+y）=2（x+y）[3（x+y）﹣（x﹣y）]=2（x+y）（2x+4y）=4（x+y）（x+2y）；③﹣3（x﹣y）2﹣（y﹣x）3=﹣3（x﹣y）2+（x﹣y）3=（x﹣y）2（﹣3+x﹣y）；④3a（m﹣n）﹣2b（n﹣m）=3a（m﹣n）+2b（m﹣n）=（m﹣n）（3a+2b）；⑤9（a﹣b）（a+b）﹣3（a﹣b）2=3（a﹣b）[3（a+b）﹣（a﹣b）]=3（a﹣b）（2a+4b）=6（a﹣b）（a+2b）；⑥3a（a+b）（a﹣b）﹣2b（b﹣a）=3a（a+b）（a﹣b）+2b（a﹣b）=（a﹣b）（3a2+3ab+2b）．36．把多项式（a+b﹣c）（a﹣b+c）﹣（b+c﹣a）（c﹣a﹣b）因式分解．【解答】解：（a+b﹣c）（a﹣b+c）﹣（b+c﹣a）（c﹣a﹣b），=（a+b﹣c）（a﹣b+c）+（b+c﹣a）（a+b﹣c），=（a+b﹣c）[（a﹣b+c）+（b+c﹣a）]，=（a+b﹣c）（a﹣b+c+b+c﹣a），=2c（a+b﹣c）．37．先化简，再求值：（1）已知a+b=2，ab=2，求a3b+2a2b2+ab3的值．（2）求（2x﹣y）（2x+y）﹣（2y+x）（2y﹣x）的值，其中x=2，y=1．【解答】解：（1）原式=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2，当a+b=2，ab=2时，原式=2×22=8；（2）原式=4x2﹣y2﹣（4y2﹣x2）=5x2﹣5y2，当x=2，y=1时，原式=5×22﹣5×12=15．38．把下列各式分解因式：（1）3x2y﹣6xy（2）5x2y3﹣25x3y2（3）﹣4m3+16m2﹣26m（4）2（a﹣3）2﹣a+3（5）3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2（6）18b（a﹣b）2﹣12（a﹣b）3（7）15x3y2+5x2y﹣20x2y3（8）6x（x+y）﹣4y（x+y）（9）a（x﹣a）+b（a﹣x）﹣c（x﹣a）（10）（m+n）（p+q）﹣（m+n）（p﹣q）【解答】解：（1）原式=3xy（x﹣2）；（2）原式=5x2y2（y﹣5x）；（3）原式=﹣2m（2m2﹣8m+13）；（4）原式=2（a﹣3）2﹣（a﹣3）=（a﹣3）（2a﹣7）；（5）原式=3m（x﹣y）﹣2（x﹣y）2=（x﹣y）（3m﹣2x+2y）；（6）原式=6（a﹣b）2（5b﹣2a）；（7）15x3y2+5x2y﹣20x2y3（7）原式=5x2y（3xy+1﹣4y2）；（8）原式=2（x+y）（3x﹣2y）；（9）原式=（x﹣a）（a﹣b﹣c）；（10）原式=2q（m+n）；39．把下列各式因式分解：（1）7（a﹣1）+x（a﹣1）；（2）3（a﹣b）2+6（b﹣a）；（3）2（m﹣n）2﹣m（m﹣n）；（4）x（x﹣y）2﹣y（y﹣x）2；（5）m（a2+b2）+n（a2+b2）；（6）18（a﹣b）2﹣12b（b﹣a）2；（7）（2a+b）（2a﹣3b）﹣3a（2a+b）；（8）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）．【解答】解：（1）7（a﹣1）+x（a﹣1）=（a﹣1）（7+x）；（2）3（a﹣b）2+6（b﹣a）=3（a﹣b）（a﹣b﹣2）；（3）2（m﹣n）2﹣m（m﹣n）=（m﹣n）（2m﹣2n﹣m）=（m﹣n）（m﹣2n）；（4）x（x﹣y）2﹣y（y﹣x）2；=（x﹣y）2（x﹣y）=（x﹣y）3；=（a2+b2）（m+n）；（6）18（a﹣b）2﹣12b（b﹣a）2；=6（a﹣b）2（3﹣2）=6（a﹣b）2；（7）（2a+b）（2a﹣3b）﹣3a（2a+b）=（2a+b）（2a﹣3b﹣3a）=（2a+b）（﹣a﹣b）=﹣（2a+b）（a+b）；（8）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）=x（x+y）（x﹣y﹣1）．40．把下列各式分解因式：（1）18a3bc﹣45a2b2c2；（2）﹣20a﹣15ab；（3）18x n+1﹣24x n；（4）（m+n）（x﹣y）﹣（m+n）（x+y）；（5）15（a+b）2+3y（b+a）；（6）2a（b﹣c）+3（c﹣b）．【解答】解：（1）18a3bc﹣45a2b2c2=9a2bc（2a﹣5bc）；（2）﹣20a﹣15ab=﹣5a（4+3b）；（3）18x n+1﹣24x n=6x n（3x﹣4）；（4）（m+n）（x﹣y）﹣（m+n）（x+y）=（m+n）（x﹣y﹣x﹣y）=﹣2y（m+n）；=3（a+b）[5（a+b）+y]=3（a+b）（5a+5b+y）；（6）2a（b﹣c）+3（c﹣b）=（2a﹣3）（b﹣c）．。

《因式分解-提公因式法》知识点归纳★★知识体系梳理◆因式分解------把一个多项式变成几个整式的积的形式；（化和为积）注意：、因式分解对象是多项式；2、因式分解必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止；3、可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验因式分解的正确性；◆分解因式的作用分解因式是一种重要的代数恒等变形，它有着广泛的应用，常见的用途有化简多项式和进行简便运算，恰当的运用分解因式，常可以使计算化繁为简。

◆分解因式的一些原则（1）提公因式优先的原则．即一个多项式的各项若有公因式，分解时应首先提取公因式。

（2）分解彻底的原则．即分解因式必须进行到每一个多项式因式都再不能分解为止。

（3）首项为负的添括号原则．即如果多项式的首项系数为负，应先添上带“－”号的括号，并遵循添括号法则。

◆因式分解的首要方法—提公因式法、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。

2、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，可以逆用乘法分配律，把各项共有的因式提出以分解因式的方法，叫做提公因式法。

3、使用提取公因式法应注意几点：（1）提取的“公因式”可以是数、单项式，也可以是一个多项式，是一个整体。

（2）公因式必须是多项式的每一项都有的因式，在提取公因式时，要把这些公共的因式全部找出来，并提到括号外面去，才算完成了提取公因式。

（找最高公因式）（3）对多项式中的每一项的数字系数，在提取时要提出这些数字系数的最大公约数，各项都含有相同的字母，要提取相同字母的指数的最低指数。

◆提公因式法分解因式的关键：、确定最高公因式；（各项系数的最大公约数与相同因式的最低次幂之积）2、提出公因式后另一因式的确定；（用原多项式的每一项分别除以公因式）★★典型例题、方法导航◆考点一：因式分解的意义【例1】判断下列变形哪些是因式分解？（1）---------------------------（）（2）-------------------（）（3）--------------------（）（4）----------------------------------（）（5）-------------------------------（）【例2】根据整式乘法与因式分解的关系连线【例3】已知关于的多项式分解因式为，求的值。

提取公因式法因式分解【知识梳理】一．因式分解的意义1、分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．二．公因式1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．三．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．【考点剖析】一．因式分解的意义（共4小题）1．（2022秋•黄浦区期中）下列等式中，从左到右的变形是多项式的因式分解的是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．x2﹣2x+5＝x（x﹣2）+5C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2D．x2+1＝x（x+）【分析】根据因式分解的定义对各选项分析后利用排除法求解．【解答】解：A、（a+b）2＝a2+2ab+b2是多项式的乘法，不是因式分解，故本选项不合题意；B、x2﹣2x+5＝x（x﹣2）+5，等式的右边不是几个整式积的形式，故本选项不合题意；C、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2是因式分解，故本选项符合题意；D、x2+1＝x（x+），右边分母上有字母，不是因式分解，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了因式分解定义，因式分解就是把一个多项式写成几个整式积的形式，是基础题，比较简单．2．（2022秋•静安区校级期中）在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．2a2﹣3a+1＝a（2a﹣3）+1B．C．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1D．﹣4﹣x2y2+4xy＝﹣（2﹣xy）2【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；B、不是因式分解，故本选项不符合题意；C、不是因式分解，故本选项不符合题意；D、是因式分解，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．3．（2022秋•闵行区校级期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+2）+1C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）【分析】把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可．【解答】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；D．符合定义，故选项正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．4．（2022秋•浦东新区校级期末）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（）A．a2+8a+16＝（a+4）2B．（a+4）2＝a2+8a+16C．a2+8a+16＝a（a+8）+16D．a2+8（a+2）＝a2+8a+16【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A．等式由左边到右边的变形属于因式分解，并且正确，故本选符合题意；B．等式由左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；CD．等式由左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．二．公因式（共7小题）5．（2022秋•青浦区校级期中）单项式3a3b与单项式9a2b3的公因式是（）A．3a2b B．3a3b3C．a2b D．a3b3【分析】根据公因式的概念分别求得系数的最大公因数，相同字母的次数的最低次数即可．【解答】解：单项式3a3b与单项式9a2b3的公因式是3a2b．故选：A．【点评】此题考查的是公因式，掌握其定义是解决此题的关键．6．（2020秋•浦东新区期末）多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（）A．x+3B．（x+3）2 C．x﹣3D．x2+9【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．【解答】解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）．故选：C．【点评】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”．7．（2022秋•嘉定区期中）多项式6x3y2﹣3x2y2+12x2y3的公因式是．【分析】直接利用公因式的确定方法：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂，进而得出答案．【解答】解：多项式6x3y2﹣3x2y2+12x2y3的公因式是3x2y2．故答案为：3x2y2．【点评】此题主要考查了公因式，正确把握确定公因式的方法是解题的关键．8．（2019秋•黄浦区校级期中）多项式4a（x﹣y）﹣6a2（x﹣y）中各项的公因式是．：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．【解答】解：多项式4a（x﹣y）﹣6a2（x﹣y）中各项的公因式是2a（x﹣y），故答案为：2a（x﹣y）．【点评】本题主要考查了公因式，多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．9．（2018秋•嘉定区期末）写出多项式x2﹣y2与多项式x2+xy的一个公因式．【分析】先把两个多项式因式分解，再找出它们的公因式．【解答】解：因为x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），x2+xy＝x（x+y），所以两个多项式的公因式为：x+y．故答案为：x+y【点评】本题考查了因式分解的平方差公式和提取公因式法．掌握多项式因式分解的方法是解决本题的关键．10．（2019秋•浦东新区期末）8x3y2和12x4y的公因式是．【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式．【解答】解：系数的最大公约数是4，相同字母的最低指数次幂是x3y，∴公因式为4x3y．故答案为：4x3y．【点评】本题考查公因式的定义，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键，11．（2019秋•松江区期中）多项式：4x（x﹣y）﹣3（x﹣y）的公因式是．【分析】根据公因式的定义：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数解答．【解答】解：4x（x﹣y）﹣3（x﹣y）的公因式是（x﹣y）．故答案为：（x﹣y）．三．因式分解-提公因式法（共14小题）12．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：（x﹣5）（3x﹣2）﹣3（x﹣5）＝．【分析】将原式的公因式（x﹣5）提出即可得出答案．【解答】解：（x﹣5）（3x﹣2）﹣3（x﹣5）＝（x﹣5）（3x﹣2﹣3）＝（x﹣5）（3x﹣5）．故答案为：（x﹣5）（3x﹣5）．【点评】本题考查因式分解﹣提公因式法，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．13．（2022秋•嘉定区期中）分解因式：3x3﹣9x2﹣3x＝．【分析】提取公因式后即可因式分解．【解答】解：3x3﹣9x2﹣3x＝3x（x2﹣3x﹣1），故答案为：3x（x2﹣3x﹣1）．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法因式分解的方法是解题的关键．14．（2022秋•宝山区校级期末）分解因式：4x2y﹣12xy＝．【分析】直接提取公因式4xy进行分解因式即可．【解答】解：4x2y﹣12xy＝4xy（x﹣3），故答案为：4xy（x﹣3）．【点评】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．15．（2021秋•金山区期末）因式分解：6a2﹣8a3＝．【分析】直接找出公因式进而提取公因式得出答案．【解答】解：6a2﹣8a3＝2a2（3﹣4a）．故答案为：2a2（3﹣4a）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．16．（2021秋•奉贤区期末）分解因式：2m2n﹣mn2＝．【分析】直接提取公因式mn进行因式分解即可．【解答】解：2m2n﹣mn2＝mn（2m﹣n）．故答案为：mn（2m﹣n）．【点评】如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．17．（2022秋•嘉定区校级期中）因式分解：﹣15a﹣10ab+5abc＝．【分析】直接提取公因式﹣5a，进而分解因式即可．【解答】解：原式＝﹣5a（3+2b﹣bc）．故答案为：﹣5a（3+2b﹣bc）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．18．（2022秋•嘉定区期中）当a＝3，b＝时，代数式﹣a2+4ab的值为．【分析】将原式变形为﹣a（a﹣4b），把a与b的值分别代入计算即可得到结果．【解答】解：当a＝3，b＝时，﹣a2+4ab＝﹣a（a﹣4b）＝﹣3×（3﹣4×）＝﹣3×2＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】此题考查了代数式求值和因式分解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（2022秋•嘉定区期中）因式分解：6（x+y）2﹣2（x+y）（x﹣y）【分析】直接提取公因式进而分解因式得出答案．【解答】解：6（x+y）2﹣2（x+y）（x﹣y）＝2（x+y）[3（x+y）﹣（x﹣y）]＝2（x+y）（2x+4y）＝4（x+y）（x+2y）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确掌握公因式是解题关键．20．（2022秋•杨浦区期中）分解因式：a2（a+2b）﹣ab（﹣4b﹣2a）．【分析】原式变形可得a2（a+2b）+2ab（a+2b），再提公因式a（a+2b）因式分解即可．【解答】解：a2（a+2b）﹣ab（﹣4b﹣2a）＝a2（a+2b）+2ab（a+2b）＝a（a+2b）（a+2b）＝a（a+2b）2．【点评】本题考查了提公因式法因式分解，正确找出公因式是解答本题的关键．21．（2022秋•浦东新区校级期中）因式分解：（y﹣x）2+2（x﹣y）＝．【分析】利用提公因式法，进行分解即可解答．【解答】解：（y﹣x）2+2（x﹣y）＝（y﹣x）2﹣2（y﹣x）＝（y﹣x）（y﹣x﹣2），故答案为：（y﹣x）（y﹣x﹣2）．【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提公因式法是解题的关键．22．（2022秋•青浦区校级期中）因式分解：15a2b﹣3ab＝．【分析】先确定公因式为3ab，然后提取公因式后整理即可．【解答】解：15a2b ﹣3ab ＝3ab （5a ﹣1）．故答案为：3ab （5a ﹣1）．【点评】本题考查提公因式法分解因式，较为简单，准确找出公因式是解题的关键．23．（2022秋•虹口区校级期中）分解因式：3x 2y ﹣12xy 2＝ ．【分析】得出多项式的公因式进而提取得出即可．【解答】解：3x2y ﹣12xy2＝3xy （x ﹣4y ）．故答案为：3xy （x ﹣4y ）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．24．（2022秋•宝山区校级期中）分解因式：a （a ﹣b ）+b （b ﹣a ）＝ ．【分析】首先把式子变形为：a （a ﹣b ）﹣b （a ﹣b ），再找出多项式的公因式，然后提取公因式法因式分解即可．【解答】解：a （a ﹣b ）+b （b ﹣a ）＝a （a ﹣b ）﹣b （a ﹣b ）＝（a ﹣b ）（a ﹣b ）＝（a ﹣b ）2．故答案为：（a ﹣b ）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法因式分解，根据题意找出公因式是解决问题的关键．25．（2022m （a ﹣c ）﹣5（a ﹣c ）．【分析】直接提取公因式a ﹣c 即可．【解答】解：原式＝（a ﹣c ）（2m ﹣5）．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找到公因式．【过关检测】一、单选题1．（2023·上海·七年级假期作业）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．()2222x y x y xy +=−+ B ．()422211(1x x x x x x ++=++−+） C ．()230130x x x x −−=−−D ．()22121a a a −=−+【答案】B【分析】根据因式分解的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A 、从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；B 、从左到右的变形是因式分解，故本选项符合题意；C 、从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；D 、从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．2．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）分解因式()()222b x b x −+−正确的结果是（ ）A ．()()22x b b −+B ．()()21b x b −+C ．()()22x b b −−D ．()()21b x b −−【答案】D【分析】先将式子变形，再提取公因式分解即可．【详解】解：()()222b x b x −+− ()()222b x b x =−−− ()(2)1b x b =−−．故选：D 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式． 3．（2022秋·上海松江·七年级校考期中）已知多项式2ax bx c ++分解因式得()()32x x −+，则a ，b ，c 的值分别为（ ）A ．1，1−，6B ．1，1，6−C ．1，1−，6−D ．1，1，6 【答案】C【分析】根据多项式乘以多项式运算法则将()()32x x −+展开，分别对应2ax bx c ++即可得出答案．【详解】解：()()2632x x x x =−+−−，∵多项式2ax bx c ++分解因式得()()32x x −+，∴1,1,6a b c ==−=−，故选：C ．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，也可根据十字相乘法因式分解得326,321,111c b a =−⨯=−=−+=−=⨯=进行求解．4．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期末）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（ ） A ．22816(4)a a a ++=+B ．22(4)=816a a a +++C ．2816(8)16a a a a ++=++D ．228(2)816a a a a ++=++ 【答案】A【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据定义即可判断．【详解】A ．把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；B ．是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C ．结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；D ．是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；故选：A【点睛】因式分解是整式的变形，注意结果是整式的乘积的形式，并且变形前后值不变．5．（2020秋·七年级校考课时练习）把多项式-4a 3+4a 2-16a 分解因式( )A ．-a （4a 2-4a+16）B ．a （-4a 2+4a-16）C ．-4（a 3-a 2+4a ）D ．-4a （a 2-a+4） 【答案】D【详解】把多项式-4a3+4a2-16a 运用提取公因式法因式分解，可得-4a3+4a2-16a=-4a （a2-a+4）． 故选D ．【答案】D【分析】根据完全平方公式求出225x y +=，再把原式因式分解后可代入求值．【详解】解：因为2x y −=，12xy =，所以()24x y −=，22425x y xy +=+=所以32233x y x y xy ++()223xy x xy y =++115322134⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭=故选：D【点睛】考核知识点：因式分解的应用．灵活应用完全平方公式进行变形是解题的关键．二、填空题7．（2023·上海·七年级假期作业）若5x y −=，6xy =则22x y xy −=________，2222x y +=________．【答案】 30 74【分析】第一个空先利用提公因式法因式分解，再代入计算即可；第二个空利用完全平方公式变形后，代入计算即可．【详解】解：22()6530x y xy xy x y −=−=⨯=；()222222()22251274x y x y xy ⎡⎤+=−+=⨯+=⎣⎦．故答案为：30，74．【点睛】本题考查代数式求值，掌握因式分解法和熟练利用完全平方公式是解题关键．8．（2022秋·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）分解因式：22615x z yz −+=__________．【答案】()2325z x yz −−【分析】提取公因式即可分解．【详解】解：()222615325x z yz z x yz −+=−−， 故答案为：()2325z x yz −−． 【点睛】本题是一道有关因式分解的题目，解题的关键是掌握提公因式法分解因式的步骤．9．（2022秋·上海浦东新·七年级校考期中）分解因式：223714ab a b −=______．【答案】()2712ab ab −【分析】直接提取公因式进行计算即可．【详解】解：原式()2712ab ab =−．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．10．（2022秋·上海·七年级上海市建平中学西校校考期中）因式分解：2()2()y x x y −+−=___________．【答案】()()2x y x y −−+【分析】直接利用提公因式法分解因式即可． 【详解】()()2()2()2y x x y x y x y −+−=−−+．故答案为：()()2x y x y −−+．【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．【答案】234y x y −【分析】利用提公因式法分解因式求解即可．【详解】()23268234y x y xy y −=−． 故答案为：()2234y x y −． 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．12．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）分解因式：25x y xy +=__________．【答案】()5xy x +【分析】根据提公因式法分解因式即可．【详解】解：()255x y xy xy x +=+．故答案为：()5xy x +．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法．13．（2023秋·上海宝山·七年级校考期末）分解因式：2412x y xy −=______．【答案】()43xy x −【分析】直接提取公因式4xy 进行分解因式即可．【详解】解：2412x y xy −()43xy x =−，故答案为：()43xy x −．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．14．（2022秋·上海松江·七年级校考期中）因式分解：()()()2222a b b a a b −−−+=___________．【答案】()()23a b a b −−【分析】提公因式()2a b −，即可求解．【详解】解：()()()2222a b b a a b −−−+ ()()()2222a b a b a b −+−+=()()222a b a b a b =−−++ ()()23a b a b =−−． 故答案为：()()23a b a b −−．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．15．（2023·上海·七年级假期作业）因式分解：15105a ab abc −−+=___________．【答案】()532a b bc −+−【分析】提出公因式5a −即可．【详解】解：()15105532a ab abc a b bc −−+=−+− 故答案为：()532a b bc −+−． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键．16．（2023·上海·七年级假期作业）已知：()()2111x x x x x +++++=[](1)1(1)x x x x +⋅+++=()()()()31111x x x x ⎡⎤+⋅+⋅+=+⎣⎦，因式分解()()()220221111x x x x x x x ++++++⋅⋅⋅++，结果为_______________． 【答案】()20231x + 【分析】将()()()220221111x x x x x x x ++++++⋅⋅⋅++提出一个()1x +，再将 ()()()()220211111...1x x x x x x x x ⎡⎤+++++++++⎣⎦提出一个()1x +，继续提出一个()1x +，以此类推，直到原式变为()()202211x x ++，再化简即可．【详解】解：()()()220221111x x x x x x x ++++++⋅⋅⋅++ ()()()()220211111...1x x x x x x x x ⎡⎤=+++++++++⎣⎦()()()()2220201111...1x x x x x x x ⎡⎤=+++++++++⎣⎦()()()()3220191111...1x x x x x x x x ⎡⎤=+++++++++⎣⎦…()()2021111x x x x =++++⎡⎤⎣⎦ ()()202211x x =++()20231x =+故答案为：()20231x +【点睛】本题考查了提公因式法，一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成多项式与另一个因式的乘积的形式，在这种分解因式的方法叫做提公因式法．17．（2022秋·上海普陀·七年级统考期中）如果210x x ++=，那么23991x x x x ++++⋅⋅⋅+的值是______．【答案】1【分析】首先需要先将23991x x x x ++++⋅⋅⋅+变形为()()234561x x x x x x +++++++()979899x x x ⋅⋅⋅+++，经过提公因式得到()()242111x x x x x x ++++++()9721x x x +⋅⋅⋅+++ ，将210x x ++=整体代入即可． 【详解】解：23991x x x x ++++⋅⋅⋅+()()234561x x x x x x =+++++++()979899x x x ⋅⋅⋅+++ ()()242111x x x x x x =++++++()9721x x x +⋅⋅⋅+++将210x x ++=代入，得到10001=+++⋅⋅⋅+=． 故答案为：1．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，寻找公因式21x x ++是解题的关键．18．（2023·上海·七年级假期作业）分解因式：(5)(32)3(5)x x x −−−−=___________【答案】()()535x x −−/()()355x x −−【分析】提取公因式()5x −，同类项合并即可解得． 【详解】(5)(32)3(5)x x x −−−−(5)(323)x x =---(5)(35)x x =--【点睛】此题考查了分解因式，解题的关键是熟悉提取公因式法．三、解答题【答案】()()25a c m −−【分析】根据提公因式法分解因式求解即可．【详解】解：2()5()m a c a c −−−()()25a c m =−−【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．20．（2022秋·上海·七年级专题练习）因式分解：()13(1)22n n n a a a a +−−−【答案】)(1n a a +【分析】先计算单项式乘多项式，合并后，再提取公式即可．【详解】解：()13(1)22n n n a a a a +−−−112433n n n n a a a a ++=−−+1n n a a +=+)(1n a a =+．【点睛】本题考查了单项式乘多项式，同底数相乘，提公因式分解因式，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．21．（2022秋·上海·七年级专题练习）因式分解：()()42a x y b y x −−−．【答案】()()22x y a b −+【分析】将原式变为()()42a x y b x y −+−，再利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解：()()42a x y b y x −−− ()()42a x y b x y =−+− ()()22x y a b =−+．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，注意将题目中的y x −变为x y −时符号的变化，正确找到公因式是解答本题的关键．22．（2022秋·上海黄浦·七年级上海市民办立达中学校考期中）因式分解：()22a b a b −−+【答案】()()221a b a b −−−【分析】先把原式化为()()22a b a b −−−，再提取公因式分解因式即可．【详解】解：()22a b a b −−+ ()()22a b a b =−−−()()21a b a b =−−−⎡⎤⎣⎦()()221a b a b =−−−【点睛】本题考查的是提取公因式分解因式，掌握“公因式的确定以及提取公因式的方法”是解本题的关键．23．（2022秋·上海浦东新·七年级校考期中）因式分解：()()()22x y x y x y +−−−【答案】()()3x y x y +−【分析】直接提取公因式()x y −进行分解因式即可． 【详解】解：()()()22x y x y x y +−−−()()()2x y x y x y =+−−−⎡⎤⎣⎦()()22x y x y x y =+−+−()()3x y x y =+−．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 24．（2023·上海·七年级假期作业）把下列各式分解因式：(1)()()33113510m m a b a b a b b a +−−−−；(2)()()()223222122418ab x y a b y x ab y x −+−+−．【答案】(1)13225()(2)m a b a b a b −−+ (2)26()(2433)ab x y b ab x y −+−+【分析】（1）原式利用提公因式法解答；（2）原式利用提公因式法解答．【详解】（1）原式()()33113510m m a b a b a b a b +−=−+−13225()(2)m a b a b a b −=−+；（2）原式()()()223222122418ab x y a b x y ab x y =−+−−−26()[243()]ab x y b ab x y =−+−−26()(2433)ab x y b ab x y =−+−+．【点睛】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意公因式是指每一项中都含有的因式，取相同字母的最低次幂．【答案】3()(32)16x y a b −− 【分析】根据提公因式法因式分解直接求解即可得到答案【详解】解：()()93168a x y b y x −+−()()93168a x y b x y =−−− 3()(32)16x y a b =−−．【点睛】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意提取公因式后，剩余的项的项数与原来的项数相同，并且让系数变为整数．26．（2022秋·上海普陀·七年级统考期中）因式分解：()()32232x a a a x −+−．【答案】()()222x a x a −+【分析】先提取公因式，然后化简即可．【详解】解：原式()()2223x a x a a =−−+ ()()2222x a x a =−+()()222x a x a =−+．【点睛】本题主要考查因式分解，掌握提公因式法是解决因式分解的关键．27．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）分解因式：()()()()2232253x y x y y x x y −+−−+．【答案】()()3243x y x y −+【分析】根据提公因式法分解因式求解即可【详解】解：()()()()2232253x y x y y x x y −+−−+()()()()2232253x y x y x y x y =−++−+ ()()223253x y x y x y =−+++⎡⎤⎣⎦()()2129x y x y =−+()()3243x y x y =−+ 【点睛】此题考查了提公因式法分解因式，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法．28．（2023·上海·七年级假期作业）化简下列多项式：()()()()23200611111x x x x x x x x x ++++++++++．【答案】()20071x +【分析】原式利用提公因式法逐步分解因式得出答案．【详解】原式22005(1)[1(1)(1)(1)]x x x x x x x x =+++++++++222004(1)[1(1)(1)(1)]x x x x x x x x =+++++++++ 322003(1)[1(1)(1)(1)]x x x x x x x x =+++++++++ =()()200611x x =++()20071x =+． 【点睛】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，掌握解答的方法是关键．。

提取公因式法知识点一、公因式的概念。

1. 定义。

- 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

例如，对于多项式6x^2 + 9x，3x就是公因式，因为6x^2=3x×2x，9x = 3x×3。

2. 确定公因式的方法。

- 系数：取各项系数的最大公因数。

例如在多项式12x^3y - 18x^2y^2+24xy^3中，系数12、-18、24的最大公因数是6。

- 字母：取各项相同的字母。

如上述多项式中相同的字母有x和y。

- 字母的指数：取相同字母的最低次幂。

在12x^3y - 18x^2y^2+24xy^3中，x 的最低次幂是1（在24xy^3中），y的最低次幂也是1（在12x^3y中），所以公因式是6xy。

二、提取公因式法分解因式。

1. 提取公因式法的定义。

- 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。

例如，ma + mb+mc=m(a + b + c)。

2. 提取公因式法的步骤。

- 第一步：确定公因式。

- 按照前面确定公因式的方法找出多项式各项的公因式。

例如对于多项式8a^3b^2 - 12ab^3c，先确定系数的最大公因数为4，相同字母有a和b，a的最低次幂是1，b的最低次幂是2，所以公因式是4ab^2。

- 第二步：提取公因式。

- 将公因式提出来，写成公因式与另一个多项式的乘积形式。

对于8a^3b^2 - 12ab^3c，提取公因式4ab^2后得到4ab^2(2a^2 - 3bc)。

3. 注意事项。

- 当多项式的首项系数为负时，一般要提出“ - ”号，使括号内的首项系数为正。

例如，对于-5x^2+10x，先提出“ - ”号，得到-5x(x - 2)。

- 提取公因式后，括号内的项数与原多项式的项数相同。

例如3x^2y+6xy^2 = 3xy(x + 2y)，原多项式有两项，提取公因式后括号内也是两项。

因式分解-提公因式法知识点归纳1. 什么是因式分解-提公因式法？因式分解是将一个多项式写成两个或多个不可再因式分解的多项式相乘的形式。

提公因式法是一种常用的因式分解方法，它通过提取多项式中的公因式来简化多项式的表示。

2. 如何进行因式分解-提公因式法？步骤1：提取公因式首先，观察多项式中是否存在公因式，即是否有因子可以整除多项式的每一项。

如果存在公因式，将其提取出来。

例如：2x^2 + 4x = 2x(x + 2)步骤2：判断多项式的可进一步因式分解性质提取公因式后，判断剩余的部分是否还可以进行进一步因式分解。

常见的因式分解性质包括二次平方差公式、差平方公式等。

例如：x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)3. 因式分解-提公因式法的应用因式分解-提公因式法在解决各种数学问题时广泛应用，包括但不限于以下几个方面：3.1. 简化多项式因式分解-提公因式法可以将复杂的多项式简化为更简洁的形式，从而使问题的求解更加方便。

例如：3x^2 + 6x = 3x(x + 2)3.2. 解方程在解方程时，因式分解-提公因式法可以帮助我们找到方程的根。

例如：x^2 - 4 = 0通过因式分解得到：(x + 2)(x - 2) = 0解得x的值为2和-2。

3.3. 求导数在微积分中，因式分解-提公因式法常常用于求函数的导数。

例如：f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1可以通过因式分解-提公因式法得到导数：f'(x) = 3x^2 + 6x + 33.4. 求极限在求极限的过程中，因式分解-提公因式法可以帮助我们简化复杂的表达式，使得求解更加便利。

例如：lim(x->0) (x^2 - 4x) / x通过因式分解-提公因式法，可以将上述表达式化简为：lim(x->0) x(x - 4) / x = lim(x->0) (x - 4) = -44. 因式分解-提公因式法的重要性因式分解-提公因式法是数学中的基础操作之一，对于深入理解和解决复杂的数学问题至关重要。

因式分解与提取公因式【要点梳理】〖知识点一〗 因式分解的定义问题1．计算下列各题，看谁算得又准又快： ⑴7.6×99.8＋4.3×99.8－1.9×99.8＝ ； ⑵=-2299101 ；⑶=+⨯⨯+22434357257 ． 问题2．把下列多项式写成几个整式乘积的形式： ①=+x x 2；②=-22b a ；③=+-122x x ；④=++mc mb ma定义：把一个多项式化成几个整式积．．．的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 说明：⑴因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算． ⑵因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．问题3．下式从左到右的变形哪些是因式分解? ⑴()12-=-x x x x ；⑵()ab a b a a -=-2；⑶()12122+-=+-a a a a ；⑷()22244-=+-x x x ；⑸⎪⎭⎫⎝⎛+=+a a a 111．〖知识点二〗 提取公因式 问题4．观察问题2中的①和④，你发现什么特点？ 指出：多项式mc mb ma ++中，各项都含有一个公共的因式m ，我们把因式m 叫做这个多项式各项的公因式．问题5．指出下列多项式中各项的公因式：⑴a ay ax ++； ⑵263mx mx -； ⑶22912y x xyz -；⑷c ab ab b a 322224128+- ⑸()()32223143221x y a y x b a ---；⑹()()()()y x z x z y z y x z y x ---+-+--+【典例剖析】例1．用提取公因式法将下列各式因式分解： ⑴4363x x +； ⑵c ab b a 323128+； ⑶()()c b c b a +-+32；⑷()()b a b a b a ---+；⑸()()232x y y x ---；⑹23++-n nna aa ；⑺()()()()y x n m y x n m +--+-2387．例2．计算： ⑴33131939⨯-⨯；⑵20062005200520032005220052323-+-⨯-．【课堂操练】1．把下列各式分解因式：⑴=+2228mn n m ； ⑵=-22912y x xyz ； ⑶()()=---y z b z y a 32 ； ⑷=-+-ma ma ma 126323； 2．分解因式：⑴ab abx aby 61236+-； ⑵x xy x +-632；⑶()()q p q q p p +-+46；⑷xy xy y x -+22；⑸()()()()m y m x m y m x m x -----；⑹()()11+---++b a b a b a ；⑺()()()232x y c x y b y x a -+-+-．⑻()()3222x y xy y x y x --- ⑼11+-+-n n n x x x3．利用因式分解计算： ⑴978×85＋978×7＋978×8；⑵989923⨯+-．4．已知40,13==+ab b a ，求22ab b a +的值． 5．（2011江苏南通）分解因式：3m (2x －y )2－3mn 2＝6．多项式32223320515b a b a b a -+提公因式后的另一个因式是 ．7．多项式b ab b a +-632分解因式的结果是（ ） A ．()b a a 23- B ．()123+-b a a C ．()a a b 632- D ．()1632+-a a b 8．下列各式分解因式正确的是( ) A ．()()()()122-++=+-+b a b a b a b a B ．()y x x x xy x 63632-=-- C ．()b a ab ab b a -=-441412322D ．()c b a a ac ab a -+-=-+- 9．分解因式： ⑴（ 2011重庆江津 ） 2x 3－x 2；⑵（2011四川凉山州）：32214a ab ab -+-；⑶()()23126m n n m ---；⑷()()1315----+ay ax m ay ax m ； ⑸()()()()b a b a b a b a 28287--+--； ⑹()()()334m n n n m m n m -+-+-．10．两个小孩的年龄分别是x ，y ，且992=+xy x ，试求这两个小孩的年龄．【课后巩固】1． 判断下列变形过程，哪个是因式分解？ ⑴()()4222-=+-x x x ；（ ）⑵()()x x x x x 322342++-=+-；（ ）⑶()17777--=--n m n m ；（ ）⑷⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-x x x x 14442．（ ）2．下式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．b a b a 32622⋅=B ．()43432--=--x x x xC ．()222-=-b ab ab abD ．()()2422a a a -=+-3．（2011河北）下列分解因式正确的是（ ） A ．32(1)a a a a -+=-+B ．2a －4b ＋2=2（a －2b ）C ．a 2－4=(a －2)2D ．a 2－2a ＋1=(a －1)24．把()()a m a m -+-222分解因式等于（ ） A ．()()m m a +-22 B ．()()m m a --22C ．()()12--m a mD ．()()12+-m a m 5．因式分解()()x y x 2552-+-的结果是( ) A ．()()y x +-152 B ．()()y x --152 C ．()()y x +-125 D ．()()y x --125 6．分解因式()()3286b a b a a ---时，应提取的公因式是（ ）A ．aB ．()26b a a -C ．()b a a -8D ． ()22b a -7． 200820072121⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-的结果是（ ）A ．21-B ．200821⎪⎭⎫⎝⎛-- C ．200721⎪⎭⎫⎝⎛-- D ．21答案：B8．观察下列各式：①adx abx -；②2262xy y x +；③124823++-m m m ④3223b ab b a a -++；⑤()()()22265q p q p x y x q p +++-+；⑥()()()x y b y x y x a +--+42其中可以用提取公因式法分解因式的有 ．（填序号） 9．()()()()y x z x z y z y x z y x ---+-+--+ 各项的公因式为 ．10．多项式23224128xy z xy y x -+-各项的公因式是 ．11．若()()()A y x y x xy y x ⋅+=+-+3，则A 为 ． 12．将n n y x -分解因式，其结果为()()()y x y x y x-++22，则n 的值为 ．13．下列多项式中，能用提取公因式法分解因式的有（ ）A ．y x -2B ．x x 22+C ．22y x + D ．22y xy x +-14．下列多项式中，公因式是b a 25的是（ ）A ．2222015b a b a +B ．b a ab 221030- C ．322010ab b a + D ．b a ab 2155+ 15．填空：⑴=--x xy x 2422()12--y x ；⑵2232232104b a b a b a =-（ ）； ⑶()=-+-11a mn a ； ⑷()()()=----221m n n m m mn ；⑸()()=+-+y x y x 332；⑹()()=---32a b b a ；16．把下列各式分解因式： ⑴xy x +2 ⑵x x x ++23⑶x xy x 2812242+--⑷()y x a y x +-- ⑸232363a na ma +- ⑹()()2264a b y b a x ---⑺()()232x y x y x -+-⑻()()()()b a b a b a b a +++-+252322 ⑼()()()()y x n m y x n m +--+-2387 ⑽()()x x x x -+-2262217．利用因式分解计算： ⑴6.15×3.16＋13.2×0.316＋2.53×3.16 ⑵2239899⨯--18．计算：=⨯+⨯-31034323；=⨯+⨯-234310343 ；=⨯+⨯-345310343 ；根据计算过程，猜想下列各式的结果：=⨯+⨯-200320042005310343 ； =⨯+⨯-++n n n 31034312 ．19．求证：对于任意自然数n ，n n 224-+能被5整除．20．化简并求值，其中2-=x ，()()()200821111x x x x x x x ++++++++ ．21．若232=+x x ，求x x x 46223-+的值．因式分解与提取公因式参考答案：问题1．⑴998;⑵400;⑶10000 问题2．①x (x ＋1); ②(a ＋b )(a －b );③(x －1)2; ④m (a ＋b ＋c )问题3．⑴⑷。