提取公因式法

4.2 提取公因式法教案【教学内容分析】“提取公因式法”是因式分解的最基本、最常用的方法.它的理论依据是逆用分配律，因此，学生接受起来并不难，但因题目各有其特点，形式变化多，所以需要学生具有观察、分析能力和应变能力，这就需要在教学中加以指导、训练.例题讲授及练习题的匹配都要由浅入深，形式多样化.利用这个方法，首先对要分解的多项式进行考察，发现特点及多项式各项之间的内在联系，适当变形.（可利用计算机辅助教学手段，增大教学的容量和教学质量，改变传统的言传身教的方式.）【教学目标】认知目标：⑴在具体情境中认识公因式⑵通过对具体问题的分析及逆用分配律，使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因式法分解因式能力目标：⑴树立学生“化零为整”、“化归”的数学思想，培养学生完整地、辨证地看问题的思想.⑵树立学生全面分析问题，认识问题的思想，提高学生的观察能力，分析问题及逆向思想能力.情感目标：在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性.【教学重点、难点】1．教学重点∶掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则.2．教学难点∶正确地找出公因式【教学方法】理论与实例相结合（采用设问式、启发式）【教学工具】应用投影仪（计算机）【教学过程】㈠创设情境，提出问题如图，一块菜园由两个长方形组成，这些长方形的长分别是3.8m,6.2m,宽都是3.7 m,如何计算这块菜园的面积呢？3.8列式：3.7×3.8+3.7×6.2(学生思考后列式)3.7 有简便算法吗?=3.7×(3.8+6.2)=3.7×10=37(m2)在这一过程中,把3.7换成m,3.8换成a,6.2换成b,于是有:ma＋mb =m(a＋b)利用整式乘法验证: m(a＋b)=ma＋mb可能有学生会提出把两个小的长方形补成一个大的长方形,那就更好,或其他的方法，教师都应该及时肯定学生思维中的闪光点.（使学生初步意识到因式分解可以使运算简便,同时起到使知识进行迁移化归.）【以问题引入能引起学生的学习兴趣，符合学生的认知规律.本课时用“复习引入”亦是一种好办法，即先复习分配律，同时可让学生说出整式乘法与因式分解的联系与区别，以便复习上一节的内容，然后让学生观察引出新内容.】㈡观察分析，探究新知让学生观察多项式：ma+mb（让学生说出其特点：都有m，含有两种运算乘法、加法；然后教师规范其特点，从而引出新知.）各项都含有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式.【把主动权交给学生，尽量让他们自己说，也可尝试让他们取名，使他们体验到成功的喜悦.】注意：公因式是一个多项式中每一项都含有的相同的因式.又如：b是多项式ab-b2各项的公因式2xy是多项式4x2y-6xy2z各项的公因式让学生说出公因式，学生可能会说是2或者是x 、y、2x、2y、2xy等，最后一起确定公因式2xy，让学生初步体会到确定公因式的方法.㈢独立练习，巩固新知。

提公因式的方法
提公因式是一种简化代数式的方法，其基本思想是将多个代数式中的公共因式提取出来，从而简化式子，减少计算量。

下面介绍几种常见的提公因式方法。

1. 提取单项式公因式
对于一个多项式，如果其中每一项都含有相同的单项式因子，那么就可以将这个单项式提取出来，得到一个新的表达式。

例如：将式子3x^2 + 6x^3提取公因式x^2，得到3x^2(1 + 2x)。

2. 提取多项式公因式
对于一个多项式，如果其中每一项都可以被一个相同的多项式整除，那么就可以将这个多项式提取出来，得到一个新的表达式。

例如：将式子6x^2y^2 + 12x^3y^2提取公因式6x^2y^2，得到6x^2y^2(1 + 2x)。

3. 将多项式转化为因式分解式
将一个多项式进行因式分解，可以将其表示为若干个单项式的乘积形式，其中每个单项式都是原多项式的因子之一。

例如：将式子x^2 + 5x + 6进行因式分解，得到(x + 2)(x + 3)。

通过以上三种方法，我们可以将复杂的代数式化简为更简单的形式，提高计算效率。

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提取公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。

当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

口诀：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)ma(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。

注意：把变成不叫提公因式公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。

平方差公式：反过来为完全平方公式：反过来为反过来为注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

两根式：立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)完全立方公式：a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)例如：a2+4ab+4b2 =(a+2b)21．分解因式技巧掌握：①分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。

②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。

③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。

④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

一元二次方程因式分解法的四种方法【实用版3篇】目录（篇1）一、引言二、一元二次方程的概述三、因式分解法概述四、四种因式分解方法1.提取公因式法2.完全平方公式法3.平方差公式法4.完全平方公式与平方差公式的结合法五、每种方法的例题解析六、总结正文（篇1）一、引言在解决一元二次方程时，因式分解法是一种常用的方法，它可以帮助我们快速找到方程的解。

本文将为大家介绍四种因式分解的方法，以帮助大家更好地理解和运用这一方法。

二、一元二次方程的概述一元二次方程是指形如 ax+bx+c=0 的方程，其中 a、b、c 为常数，且 a≠0。

在这个方程中，a、b、c 分别称为二次项系数、一次项系数和常数项。

三、因式分解法概述因式分解法是将一元二次方程的左边化为两个一次因式的积的形式，从而得到方程的解。

通过因式分解，我们可以将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，从而简化了解题过程。

四、四种因式分解方法1.提取公因式法提取公因式法是指在方程的两边同时提取公因式，以达到简化方程的目的。

这种方法适用于当方程的一次项系数 b 为零的情况。

2.完全平方公式法完全平方公式法是指利用完全平方公式 (a+b)=a+2ab+b将方程进行因式分解。

这种方法适用于当方程的二次项系数 a 为 1 的情况。

3.平方差公式法平方差公式法是指利用平方差公式 (a+b)(a-b)=a-b将方程进行因式分解。

这种方法适用于当方程的一次项系数 b 不等于零且二次项系数 a 不等于 1 的情况。

4.完全平方公式与平方差公式的结合法当方程的二次项系数 a 不为 1，一次项系数 b 不为 0 时，我们可以将完全平方公式和平方差公式结合使用，以达到因式分解的目的。

五、每种方法的例题解析这里我们分别对四种因式分解方法进行例题解析，以便大家更好地理解和掌握这些方法。

六、总结因式分解法是一种解决一元二次方程的有效方法，掌握四种因式分解方法有助于我们在解题过程中更加灵活地选择合适的方法。

提取公因式的方法在代数表达式的化简和因式分解中，提取公因式是一种常见的方法。

通过提取公因式，可以简化表达式，使得计算更加方便和高效。

下面将介绍几种常见的提取公因式的方法。

首先，我们来看一元二次多项式的提取公因式。

对于形如ax^2 + bx + c的二次多项式，我们可以通过找出其中的公因式来进行提取。

例如，对于表达式3x^2 +6x，我们可以提取公因式3x，得到3x(x + 2)。

这样就将原来的二次多项式进行了因式分解，得到了更简化的表达式。

其次，对于多项式中的其他类型的提取公因式，我们可以利用公因式分解的原理来进行。

例如，对于表达式3a^3b + 6ab^2，我们可以提取公因式3ab，得到3ab(a^2 + 2b)。

同样地，对于更复杂的多项式，我们也可以通过找出其中的公因式来进行提取，使得表达式更加简化。

除了多项式外，对于分式表达式，我们同样可以利用提取公因式的方法进行化简。

例如，对于分式表达式(2x^2 + 4x)/(2x)，我们可以提取公因式2x，得到2x(x + 2)/2x，进一步化简为x + 2。

这样就将原来的分式表达式进行了化简，得到了更简单的形式。

在实际应用中，提取公因式的方法常常用于简化代数表达式、解决方程和不等式等问题。

通过提取公因式，可以使得表达式更加清晰明了，从而更方便进行后续的计算和分析。

总之，提取公因式是一种常见且重要的代数方法，通过找出表达式中的公因式，可以使得表达式更加简化和方便计算。

在学习和应用代数知识时，我们可以灵活运用提取公因式的方法，从而更加高效地解决问题。

希望本文介绍的提取公因式的方法能够对大家有所帮助，也希望大家在学习和工作中能够灵活运用这一方法，提高解决问题的效率和准确性。

因式分解的四种方法
1. 因式分解法一：提取公因式法
这种方法适用于多项式中存在公共因式的情况。

首先，找出多项式中的公共因式，然后将其提取出来，在剩下的部分进行进一步的因式分解。

例如，对于多项式2x² + 4x，可以提取公因式2x，得到2x(x + 2)。

2. 因式分解法二：二次因式法
这种方法适用于多项式中存在二次因式的情况。

具体步骤是将多项式进行因式分解，将其表示为一个二次因式乘以一个一次因式的形式。

例如，对于多项式x² - 4，可以通过差平方公式进行因式分解，得到(x - 2)(x + 2)。

3. 因式分解法三：分组法
这种方法适用于多项式中存在四项以上的情况。

具体步骤是将多项式中的项进行分组，然后在每个组内因式分解，最后再进行合并。

例如，对于多项式x³ + 8y³ + 2xy² + 16y²，可以将其分为(x³ + 2xy²) + (8y³ + 16y²)，然后在每个组内因式分解，得到x(x² + 2y²) + 8y²(y + 2)，最后合并得到(x + 2y)(x² + 8y²)。

4. 因式分解法四：完全平方式
这种方法适用于多项式是平方差的形式。

具体步骤是将多项式表示为两个完全平方数的差，然后应用差平方公式进行因式分解。

例如，对于多项式x⁴ - 16，可以将其表示为(x²)² - 4²，然后应用差平方公式得到(x² - 4)(x² + 4)。

提取公因式的方法在数学中，提取公因式是一种常见的代数运算方法，它可以帮助我们简化表达式，化简计算过程，提高解题效率。

本文将介绍提取公因式的方法及其应用。

首先，我们来看一些常见的代数表达式，比如2x+4、3a-6、5xy+10y等。

这些表达式中都存在着公因式，我们可以通过提取公因式的方法将它们化简。

那么，提取公因式的具体方法是什么呢？提取公因式的方法可以总结为以下几步：1. 观察表达式中是否存在公共因子，即是否可以找到一个公共的因子可以被所有项整除。

2. 将这个公共因子提取出来，并将每一项都除以这个公共因子。

3. 将提取出的公共因子与剩下的部分相乘，得到化简后的表达式。

举个例子，比如表达式2x+4，我们可以发现2是这两个项的公共因子，因此我们可以将2提取出来，得到2(x+2)，这就是化简后的表达式。

再比如3a-6，我们可以提取出3，得到3(a-2)。

这样一来，我们就可以将原来的表达式化简为一个更简洁的形式。

提取公因式的方法在解决代数问题时非常有用，它可以帮助我们更快地进行计算，更清晰地展现代数关系。

在解决因式分解、方程求解、多项式运算等问题时，都可以运用提取公因式的方法，使问题变得更加简单明了。

除了简单的一元一次表达式外，提取公因式的方法在多项式中同样适用。

对于多项式而言，我们可以先观察各项之间是否存在公共因子，然后按照上述方法进行提取和化简。

这样可以大大减少计算的复杂度，提高解题效率。

总之，提取公因式是一种简化代数表达式的有效方法，通过观察和提取公共因子，我们可以将复杂的表达式化简为更简洁的形式，从而更方便地进行计算和分析。

在学习代数和解决代数问题时，我们可以运用提取公因式的方法，使问题变得更加清晰和易于理解。

通过本文的介绍，相信读者对提取公因式的方法有了更深入的了解。

在日常的数学学习和解题中，希望大家能够灵活运用提取公因式的方法，提高解题效率，更好地掌握代数知识。

提取公因式的方法在代数学中，提取公因式是一种常见的运算方法，它可以帮助我们简化代数表达式，使得计算更加方便和高效。

本文将介绍提取公因式的方法，希望能够帮助大家更好地掌握这一技巧。

首先，我们来看一下什么是公因式。

在代数表达式中，如果一个代数式可以被两个或多个代数式整除，那么这个代数式就是这些代数式的公因式。

提取公因式就是将这些公因式提取出来，从而简化表达式。

提取公因式的方法一般可以分为以下几个步骤：1. 观察代数表达式，找出公因式。

首先，我们需要观察代数表达式，找出其中的公因式。

通常，公因式是指代数表达式中多个项的公共部分，可以是数字、字母或字母的幂。

例如，在代数表达式2x+4xy中，公因式就是2x，因为它可以整除每一项。

2. 将公因式提取出来。

一旦找到了公因式，我们就可以将它提取出来。

具体做法是，将每一项中的公因式提取出来，然后用括号括起来。

例如，对于代数表达式2x+4xy，我们可以将公因式2x提取出来，得到2x(1+2y)。

3. 化简表达式。

最后，我们需要化简提取出来的表达式，使得它更加简洁和清晰。

这一步通常需要根据具体的代数表达式进行合并、约分等操作，以得到最简形式的表达式。

除了以上的基本方法外，提取公因式还有一些特殊情况和技巧需要注意。

例如，当代数表达式中含有平方差公式、完全平方公式等特殊形式时，我们可以利用这些公式来进行公因式的提取，从而简化表达式。

另外，对于含有多项式的代数表达式，我们还可以利用分组法来提取公因式，使得计算更加方便。

总之，提取公因式是代数学中的一项重要技巧，它可以帮助我们简化代数表达式，化繁为简。

通过观察、提取和化简，我们可以更好地掌握代数运算，提高计算效率。

希望本文介绍的方法能够帮助大家更好地理解和运用提取公因式的技巧，从而在代数学习中取得更好的成绩。

一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。

例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。

常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。

公因式提取的方法公因式提取是在多项式中提取一个共同的因子，这个因子是每个项都具有的，也就是公共的因子。

比如，对于式子3x+6，公因式就是3。

a ×b + a ×c = a × (b + c)其中，a就是公因式，b和c是多项式中的项。

公因式提取的步骤如下：步骤一：找到多项式中的公共因子。

首先，要找到多项式中所有项的公共因子。

比如，对于多项式12x^2+8x，公共因子为4x。

步骤二：将公共因子提取出来。

将公共因子提取出来，并用括号括起来。

对于上面的例子，公共因子4x可以提取出来，得到4x(3x+2)。

步骤三：化简。

咱们要化简公因式提取的结果，也就是将括号里面的内容再乘以公因式。

4x(3x+2)=4x×3x+4x×2=12x^2+8x化简后得到的结果应该与原多项式相同，这样才证明公因式提取的步骤正确。

1. 求多项式6x^2-12x的公因式。

因此，公共因子为6x。

6x( x -2)化简一下，得到原多项式。

6x^2-12x=6x(x-2)这个多项式中每个项都可以被4x整除。

因此，公共因子是4x。

提取公因式得到4x( x^2-2x+3)。

公因式提取可以帮助我们更方便地化简多项式，从而更容易地求解问题。

比如，在解方程或者求导数等问题中，公因式提取都是经常使用的技巧。

例如，在求解方程的过程中，我们经常需要将式子化为标准形式，这是公因式提取的重要应用。

在求导数的过程中，我们需要将多项式化为简单的形式，这也需要用到公因式提取。

总之，公因式提取是数学中一个极其重要的基础概念，我们需要仔细学习并且灵活运用。

提取公因式的方法在代数中，我们经常需要对多项式进行因式分解，而提取公因式是一种常见的方法。

通过提取公因式，我们可以简化多项式的表达形式，使得计算和理解变得更加方便。

本文将介绍提取公因式的方法，帮助读者更好地掌握这一代数技巧。

首先，我们来看一个简单的例子，4x+8y。

这个多项式中，4和8都可以被整除，因此我们可以提取公因式4，得到4(x+2y)。

在这个例子中，4就是公因式，提取公因式的过程就是将公因式提取出来，并将剩余部分用括号括起来。

这样，我们就得到了一个因式分解后的简化形式。

除了简单的一元一次多项式外，提取公因式的方法同样适用于更复杂的多项式。

对于多项式ax+ay，我们同样可以提取公因式a，得到a(x+y)。

而对于多项式ax^2+bx，我们则可以提取公因式x，得到x(ax+b)。

通过这些例子，我们可以看到，提取公因式的方法实际上是一种将多项式进行因式分解的简单而有效的方式。

除了一元一次多项式外，提取公因式的方法同样适用于高次多项式。

例如，对于多项式3x^2y-6xy，我们可以提取公因式3xy，得到3xy(x-2)。

同样地，对于多项式4a^3-8a^2，我们可以提取公因式4a^2，得到4a^2(a-2)。

通过这些例子，我们可以看到，提取公因式的方法在处理高次多项式时同样具有很好的效果。

提取公因式的方法不仅适用于单项式的因式分解，还可以应用于多项式的因式分解。

例如，对于多项式2x^3-4x^2+6x，我们可以先提取公因式2x，得到2x(x^2-2x+3)，然后再对括号中的二次三项式进行因式分解。

通过这一步骤，我们就可以将原来复杂的多项式转化为更简单的形式。

在实际应用中，提取公因式的方法可以帮助我们更好地理解和计算多项式。

通过提取公因式，我们可以简化多项式的表达形式，使得计算和理解变得更加方便。

因此，掌握提取公因式的方法对于学习代数和解决实际问题都具有重要的意义。

总之，提取公因式是一种常见且有效的因式分解方法。

提取公因式的方法提取公因式是在代数式计算中常见的一种方法，通过提取公因式可以简化计算过程，使得代数式更加简洁、易于处理。

下面我们将介绍几种常见的提取公因式的方法。

一、提取公因式的基本原理。

在代数式中，如果多个项有一个共同的因子，那么我们就可以将这个共同的因子提取出来，这个过程就是提取公因式。

提取公因式的基本原理就是找出代数式中各项的最大公因式，然后将其提取出来，从而简化代数式的形式。

二、提取公因式的方法。

1. 查找公因式。

在进行提取公因式的时候，首先需要对代数式进行分解，然后找出各项的公因式。

通常情况下，我们可以通过观察各项中的变量和常数的因子，来找出它们的最大公因式。

2. 提取公因式。

找到各项的最大公因式之后，我们就可以将其提取出来，形成一个公因式和一个括号内的代数式相乘的形式。

这样可以使得代数式更加简洁，方便后续的计算和化简。

3. 化简代数式。

提取公因式之后，我们还可以进一步对代数式进行化简。

通过提取公因式，可以将复杂的代数式化简成简单的形式，从而更容易进行计算和分析。

三、提取公因式的应用。

1. 因式分解。

在因式分解的过程中，提取公因式是非常重要的一步。

通过提取公因式，可以将复杂的代数式分解成简单的因式，从而更容易进行后续的计算和分析。

2. 求解方程。

在求解方程的过程中，有时候我们需要对方程进行化简，这时候提取公因式就可以发挥作用。

通过提取公因式，可以将方程化简成简单的形式，从而更容易求解方程的根。

3. 求解不定积分。

在求解不定积分的过程中，有时候我们需要对被积函数进行化简，这时候提取公因式也可以发挥作用。

通过提取公因式，可以将被积函数化简成简单的形式，从而更容易进行积分运算。

四、总结。

提取公因式是代数运算中常见的一种方法，通过提取公因式可以简化代数式的形式，使得计算更加简洁高效。

在实际应用中，提取公因式有着广泛的应用，可以用于因式分解、方程求解、不定积分等方面。

因此，掌握提取公因式的方法对于代数运算是非常重要的。