1.1进位制与计数法

进位计数制及其转换进位计数制是一种数的表示方法，它是人们在数数过程中逐渐形成的一种计数方法。

进位计数制是基于进位原理的，它使用一定的符号或数字来表示数目的大小。

这种计数方法在人们的日常生活中广泛应用，不仅可以用来表示数字，还可以用来表示其他事物的序号，比如标题。

一、进位计数制的基本原理进位计数制是建立在进位原理之上的一种计数方法。

所谓进位原理，就是在计数过程中，当一个位上的数达到一定值时，就要向高位产生进位，同时将该位的值归零。

以十进制为例，当个位上的数达到9时，就需要在十位上进位，并将个位的值变为0。

同样的，当十位上的数达到9时，就需要在百位上进位，并将十位的值变为0。

依次类推，进位计数制可以无限扩展，可以表示任意大的数。

二、进位计数制与标题的转换进位计数制不仅可以用来表示数字，还可以用来表示标题。

在标题中，我们常常使用罗马数字作为进位计数制来表示文章的序号。

罗马数字有七个基本符号：I、V、X、L、C、D、M，分别表示1、5、10、50、100、500、1000。

通过组合这些符号，可以表示任意的数目。

例如，我们可以用罗马数字表示一个标题为"第一章"的文章。

在罗马数字中，"第一"可以用"I"表示，"章"可以用"章"表示。

因此，"第一章"可以表示为"I章"。

同样的，我们可以用罗马数字表示一个标题为"第二十五章"的文章。

在罗马数字中，"第二十五"可以用"XXV"表示，"章"可以用"章"表示。

因此，"第二十五章"可以表示为"XXV章"。

三、进位计数制在生活中的应用进位计数制不仅在数学中有重要的应用，也在我们的日常生活中有广泛的应用。

六年级下册数学1.11.1.1 数制与数形的认识在六年级的数学课程中，我们将学习数制与数形的认识。

数制是指用来表示和计数的符号系统，常见的数制有十进制、二进制、八进制和十六进制等。

在数形的认识上，我们将学习点、线、面等几何概念的基本属性和相互关系。

十进制数制十进制是我们常用的数制，它由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字构成。

十进制中的每一个数字都代表了不同的数目，根据数字的位置不同，可以表示从个位到千位的不同数值。

例如，数字532表示5个百、3个十和2个个。

二进制数制二进制是一种由0和1这两个数字构成的数制。

在二进制中，每一位只能表示0或1，它们的值分别代表了不同的数目。

二进制数是计算机中最基本的计数单位，在计算机科学中起着重要的作用。

八进制数制八进制是一种由0到7这八个数字构成的数制。

八进制中的每一位数都表示从个位到千位的不同数值。

八进制常用于计算机程序设计中的数字表示，尤其是在UNIX系统中。

十六进制数制十六进制是一种由0到9和A到F这十六个数字构成的数制。

在十六进制中，A表示10，B表示11，依此类推，F表示15。

与八进制类似，十六进制在计算机科学中占有重要地位。

几何概念的基本属性和相互关系在数学中，点、线、面等几何概念是非常基础的概念。

它们有着各自独特的属性和相互之间的关系。

•点：点是最基本的几何概念，它没有长度、宽度和高度，只有位置。

点用一个大写字母表示，例如点A、点B等。

•线：线是由无数个点连接而成的，它没有宽度，只有长度。

线用两个点的大写字母表示，例如AB线。

•面：面是由无数个线连接而成的，它有长度和宽度，但没有高度。

面用大写字母加上一个下标表示，例如平面ABC。

在几何学中，点、线、面是构成几何体的基本元素。

它们之间有着特定的关系，例如线是由无数个点连接而成的，而面则是由无数个线连接而成的。

1.1.2 零的性质六年级的数学课程中，我们将学习零的性质。

零是一个特殊的数，有很多独特的性质。

数字的进位与退位认识十位与个位的概念数字的进位与退位是数学中非常基础的概念，它们帮助我们理解数字的表示和计算方法。

在进位制的数学体系中，我们经常使用的是十进制，即以十为基数的计数系统。

而在十进制中，我们常常需要认识十位与个位的概念，这也是数学中最基本的两个位数。

本文将详细介绍数字进位与退位的概念，以及对十位与个位的认识。

一、数字的进位1.1 什么是进位进位是指某一位数的数值达到一定进位值后，将这一位的数值向前一位增加1的操作。

在十进制中进行进位时，当个位数达到10时，就需要向十位进位，十位数增加1。

以具体的数字为例，比如两个数字相加时，如果个位数相加的结果超过了10，就需要进位。

比如：7 + 5 = 12在这个例子中，个位数7和5相加得到12，这时个位数的数值超过了10，需要进行进位操作。

1.2 进位的应用进位的概念在我们日常生活中有着广泛的应用。

比如，当我们进行大数相加时，如果某一位的数值超过了10，就需要进位。

又比如，在计算机中，二进制数也需要通过进位来实现运算。

二、数字的退位2.1 什么是退位退位是指某一位数的数值减少到一定退位值后，将这一位的数值向前一位减少1的操作。

在十进制中进行退位时，当个位数为0时，就需要向十位退位，十位数减少1。

以具体的数字为例，比如两个数字相减时，如果个位数的减数大于被减数，就需要退位。

比如：12 - 5 = 7在这个例子中，个位数2减去个位数5，由于减数大于被减数，需要退位。

十位数的数值减少1，个位数变为7。

2.2 退位的应用退位的概念在数学中也有着广泛的应用。

比如，在进行整数减法运算时，如果被减数小于减数，就需要退位。

又比如，在计算机中，有符号数的补码运算也需要通过退位来实现。

三、十位与个位的概念认识3.1 十位的意义十位是指一个数字的十位数位，即在十进制中的第二位数。

十位上的数字可以是0到9之间的任意一个数字。

十位的位置权重是10。

3.2 个位的意义个位是指一个数字的个位数位，即在十进制中的第一位数。

1．1基本计数原理(一)学习目标 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．[知识链接]1．用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？答因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26＋10＝36(种)不同的号码．2．用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？答编写一个号码要先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字，我们可以用树形图列出所有可能的号码．如图：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6×9＝54(个)不同的号码．[预习导引]分类加法计数原理与分步乘法计数原理题型一 分类加法计数原理的应用例1 高二·一班有学生50人，男30人；高二·二班有学生60人，女30人；高二·三班有学生55人，男35人．(1)从中选一名学生任学生会主席，有多少种不同选法？(2)从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？解 (1)要完成“选一名学生任学生会主席”这件事有三类不同的选法：第一类：从高二·一班选一名，有50种不同的方法；第二类：从高二·二班选一名，有60种不同的方法；第三类，从高二·三班选一名，有55种不同的方法；故任选一名学生任学生会主席的选法共有50＋60＋55＝165种不同的方法．(2)要完成“选一名学生任学生会体育部长”这件事有3类不同的选法：第一类，从高二·一班男生中选有30种不同的方法；第二类，从高二·二班男生中选有30种不同的方法；第三类，从高二·三班女生中选有20种不同的方法．故任选一名学生任学生会体育部长有30＋30＋20＝80种不同的方法．规律方法 应用分类加法计数原理应注意如下问题：(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事．(2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法．即各类方法之间是互斥的，并列的，独立的．(3)不同方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须做到既“不重复”也“不遗漏”．跟踪演练1 在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？解 设个位数字为m ，十位数字为n ，且m ＜n .当m ＝0时，n ＝1,2,3,4,5,6,7,8,9，有9个；当m ＝1时，n ＝2,3,4,5,6,7,8,9，有8个；当m ＝2时，n ＝3,4,5,6,7,8,9，有7个；……当m ＝8时，n ＝9，有1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝9×(1＋9)2＝45(个)．即个位数字小于十位数字的两位数共有45个．解题提示该问题与计数有关，完成的事是组成两位数，当两位数的十位数字、个位数字确定后，这个两位数也就确定了，因而可考虑以排个位上的数字情况进行分类，对于每一个个位上的数字，满足条件的十位上的数字的个数就是完成一件事的一类办法中的不同方法数．题型二分步乘法计数原理的应用例2已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，问：(1)点P可表示平面上多少个不同的点？(2)点P可表示平面上多少个第二象限内的点？解(1)确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第一步确定a的值，有6种不同方法；第二步确定b的值，也有6种不同方法．根据分步乘法计数原理，得到平面上点P的个数为6×6＝36.(2)确定平面上第二象限内的点P，可分两步完成：第一步确定a的值，由于a＜0，所以有3种不同方法；第二步确定b的值，由于b＞0，所以有2种不同方法．由分步乘法计数原理，得到平面上第二象限内的点P的个数为3×2＝6.规律方法应用分步乘法计数原理应注意如下问题：(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某种方法是不是能完成这件事，也就是说要经过几步才能完成这件事．(2)完成这件事要分若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成．即各步之间是关联的，相互依存的，只有前步完成后步才能进行．(3)根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，即分步要做到步骤完整．跟踪演练2布袋里有3个球，颜色分别是红、黄、蓝．试验：(1)从中先摸出一个球，看一下颜色，将它放回布袋，再摸出一个球，看一下颜色，请画出树形图，并写出所有可能的结果．(2)从中先摸出一个球，看一个颜色，不将它放回布袋，再摸出一个球，看一下颜色．请画出树形图，并写出所有可能的结果．解(1)树形图如图1，试验一共有以下9种等可能的结果：红红、红黄、红蓝、黄红、黄黄、黄蓝、蓝红、蓝黄和蓝蓝．(2)如果第一次摸到红球，由于不再把它放回，因此第二次摸时只有从黄、蓝两个球中摸一个．同样，如果第一次摸到其他球，第二次摸都只有两种可能．所以，树形图如图2，试验一共有以下6种等可能的结果：红黄、红蓝、黄红、黄蓝、蓝红和蓝黄．图1图2题型三两个原理的综合应用例3现有高一年级的四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．所以，共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5040(种)．(3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．规律方法(1)在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏．(2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．跟踪演练3某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？解由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．方法一分两类．第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，有6种选法，则说日语的有2＋1＝3(种)选法．此时共有6×3＝18(种)选法．第二类：从不只会英语的1人中选1人说英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法．所以由分类加法计算原理知，共有18＋2＝20(种)选法．方法二设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语．第一类：甲入选．(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×2＝2(种)选法；(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×6＝6(种)选法．故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种)．第二类：甲不入选．可分两步．第一步，从只会英语的6人中选1人有6种选法：第二步，从只会日语的2人中选1人有2种选法．由分步乘法计数原理，有6×2＝12(种)不同的选法．综上，共有8＋12＝20(种)不同选法．课堂达标1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为()A．7 B．12C．64 D．81答案 B解析要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12(种)不同的配法．2．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为()A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9C．3×4×2＝24 D．以上都不对答案 B解析分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法．3．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有________个．答案36解析第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法，根据分步乘法计数原理，共有6×6＝36(种)方法．4．将3封信投入6个信箱内，不同的投法有________种．答案216解析分三步，每一步投一封信．每封信都有6种投法，共有6×6×6＝216(种)不同的投法．课堂小结1．应用两个原理时，要仔细区分原理的不同，加法原理关键在于分类，不同类之间互相排斥，互相独立；乘法原理关键在于分步，各步之间互相依存，互相联系．2．通过对这两个原理的学习，要进一步体会分类讨论思想及等价转化思想在解题中的应用．。

1.1进位制与计数法一、十进位制及其计数法“满十进一”的进位规则称为十进位制。

按十进位制计数的方法叫做十进位制计数法，这是我们最熟悉、最基本、最常用的一种计数法。

在采用十进位制计数法时，用0至9十个阿拉伯数字，计数时，把所用的数字排成一横行，每个数字所在不同的位置，表示不同的计数单位：从右起，第一位上的数字是几就表示几个一，这一位叫做个位；第二个位上的数字是几就表示几个十，这一位叫做十位；以下依次是百位、千位、万位、......例如，326中的3表示3个百，而263中的3表示3个一，263中的2则表示2个百；2459表示其中有2个千，4个百，5个十，9个一.因此，2459可以记为2459=21000+4100+510+9⨯⨯⨯32=210+410+510+9.⨯⨯⨯可见，310，210，110，010是2459的4个计数单位.一般地，十进位制计数单位个、十、百、千、......均可写成10的幂的形式。

由此，我们可以得到十进位制数的一种重要记写形式：设01,,...,n a a a 在0，1，2，...，9这十个数字中任意取值，我们把n+1个数字01,,...,n a a a 组成的十进位制自然数简记为10....n a a a 当0n a ≠时，10...n a a a 表示n+1位十进位制正整数，把它写成不同计数单位的数之和的形式为：1110110...1010...10.n n n n n n a a a a a a a a ---=⨯+⨯++⨯+这种写法在以后表述、解答和证明问题时，将经常用到。

例1 已知313,0,a a b >≠且321123321.a a a a a a b b b -= 求证：3211231089.b b b b b b +=证明：由已知可得11322233110,1109,1.b a a b a a b a a =+-=-+-==-- 所以321233211231132(10010)(10010)101()201089.b b b b b b b b b b b b b b b +=+++++=++= 例2 一个六位数2abcde 与3之积等于9abcde ，求这个六位数。

进位制与计算在数学和计算机科学中，进位制是一种基数系统，用于计数和表示数字。

常见的进位制有十进制、二进制、八进制和十六进制。

每种进位制都有其特定的表示方法和计算规则。

一、十进制十进制是最常用的进位制，使用了0-9这10个数字。

它的计算规则是每个数字的位权是10的幂次方，从右往左逐位相加。

例如，数字123的计算方法如下：1 × 10^2 + 2 × 10^1 +3 × 10^0 = 100 + 20 + 3 = 123二、二进制二进制是计算机系统中最基本的进位制，只使用了0和1这两个数字。

它的计算规则与十进制类似，只是每个数字的位权是2的幂次方。

例如，数字101的计算方法如下：1 × 2^2 + 0 × 2^1 + 1 × 2^0 = 4 + 0 + 1 = 5在计算机中，二进制广泛用于表示和存储数据。

由于计算机内部使用的是二进制，将数据转化为二进制可以更便于计算和处理。

三、八进制八进制使用了0-7这8个数字。

它的计算规则与十进制和二进制类似，每个数字的位权是8的幂次方。

例如，数字47的计算方法如下：4 × 8^1 + 7 × 8^0 = 32 + 7 = 39在计算机领域，八进制不如二进制广泛使用，但在某些特定场景下仍然起到重要作用。

四、十六进制十六进制使用了0-9和A-F这16个数字，其中A-F分别代表10-15。

它的计算规则与其他进位制相同，每个数字的位权是16的幂次方。

例如，数字3A的计算方法如下：3 × 16^1 + 10 × 16^0 = 48 + 10 = 58十六进制在计算机领域中被广泛使用，特别是在表示存储地址和颜色等方面。

总结：进位制是一种基数系统，用于计数和表示数字。

十进制、二进制、八进制和十六进制是常见的进位制。

每种进位制都有其特定的表示方法和计算规则。

十进制是最常用的，二进制是计算机系统中最基本的。

数的进位知识点进位是数学中非常基础的概念，它涉及到整数的表示和运算。

在日常生活和各个学科都会涉及到进位的概念，尤其在计算机科学和金融领域中更为重要。

本文将介绍数的进位的相关知识点，包括进位制、进位运算和进位的应用。

一、进位制进位制是一种计数的方法，根据不同的进位基数，可以分为十进制、二进制、八进制和十六进制等。

具体如下：1. 十进制：十进制是我们常用的计数方式，以0-9的十个数字为基础。

每当个位到达9时，就需要进位到十位，十位到达9时就需要进位到百位，以此类推。

2. 二进制：二进制是计算机中最常用的进位制，只包含0和1两个数字。

每当个位到达1时，就需要进位到十位，十位到达1时就需要进位到百位，以此类推。

3. 八进制：八进制以0-7的八个数字为基础。

每当个位到达7时，就需要进位到十位，十位到达7时就需要进位到百位，以此类推。

4. 十六进制：十六进制以0-9和A-F的共十六个数字表示。

其中A代表10，B代表11，依此类推。

每当个位到达F时，就需要进位到十位，十位到达F时就需要进位到百位，以此类推。

进位制的转换非常常见，可以通过多种方法进行计算和转换。

例如，将十进制转换为二进制可以使用除以2取余法，将十进制转换为八进制可以使用除以8取余法，将十进制转换为十六进制可以使用除以16取余法。

二、进位运算进位运算是指在进行数学运算中，当某一位的结果超过了进位制的基数时，需要把多余的进位向高位进行传递的过程。

进位运算的常见形式包括加法进位和乘法进位。

1. 加法进位：在两个数相加的过程中，当某一位的结果超过了进位制的基数时，就会产生进位。

例如，对于十进制数相加时，当个位相加的结果大于10时，就会产生进位，将个位的进位加到十位上。

2. 乘法进位：在两个数相乘的过程中，当某一位的结果超过了进位制的基数时，也会产生进位。

例如，对于十进制数相乘时，当个位相乘的结果大于10时，就会产生进位，将个位的进位加到十位上。

进位运算在数学计算过程中非常常见，可以通过列竖式的方法进行演算和解决。