[配套K12]2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.2 两直线的位置关系真题演练集训 理 新人教A版

2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程真题演练集训 理 新人教A 版[2015·新课标全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点．(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．解：(1)由题设，可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )或M (－2a ，a )，N (2a ，a )． 又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，则C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )， 即ax －y －a ＝0； y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，则C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )， 即ax ＋y ＋a ＝0. 故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0.(2)存在符合题意的点．证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程，得x 2－4kx －4a ＝0.故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2 ＝2kx 1x 2＋a －bx 1＋x 2x 1x 2＝k a ＋b a. 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意．课外拓展阅读忽视斜率不存在而致误分析[典例] 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，则过点P (－1,1)的圆的切线方程为________．[审题视角] 首先验证过P (－1,1)斜率不存在的直线是否与圆相切，然后利用直线和圆相切的条件列出方程求解．[解析] (1)当直线的斜率不存在时，方程为x ＝－1.此时圆心C (1，－2)到直线x ＝－1的距离d ＝|－1－1|＝2，故该直线为圆的切线．(2)当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则其方程为y －1＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋1＝0.由已知，圆心到直线的距离等于圆的半径， 即|k ×1－－＋k ＋1|k 2＋－2＝2， 整理得|2k ＋3|k 2＋1＝2， 解得k ＝－512， 故此时切线方程为－512x －y ＋712＝0， 即5x ＋12y －7＝0.综上，所求圆的切线方程为x ＝－1或5x ＋12y －7＝0.[答案] x ＝－1或5x ＋12y －7＝0温馨提醒求解过定点的直线问题，首先要检验斜率不存在的直线是否符合题意，这是非常容易遗漏的问题．在处理相关问题时，也可根据图形判断所求直线的条数，进而避免此类失误．。

若在 C 上存在一点 P. 使 PF1⊥PF2, 且∠ PF1F2=30°, 则 C 的离心率为 ___________.
16、（ 2013 年高考辽宁卷
（文
15））已知 F 为双曲线
x2 C:
y2 1的左焦点 , P, Q 为 C 上
9 16
的点 , 若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍 , 点 A 5,0 在线段 PQ 上 , 则 PQF 的周长为
（ C） 1 或 2 2
（ D） 1 或 3 22
二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线 上)
13．【北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学文】已知双曲线中心在原点，一个焦
点为 F1 ( 5 ,0) ，点 P 在双曲线上，且线段 PF1的中点坐标为（ 0 ， 2 ），则此双曲线
的方程是
，离心率是 .
14. （ 2013 年高考江西卷（文 14）） 若圆 C 经过坐标原点和点 (4,0), 且与直线 y=1 相切 , 则圆
C的方程是 _________.
x2 y2
15、（ 2013 年高考湖南（文 14）） 设 F1,F 2 是双曲线 C,
a2
b2
1 (a>0,b>0) 的两个焦点 .
____________.
三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤 )
17． (本小题满分 10 分 ) （ 2013 年高考四川卷（文））
已知圆 C 的方程为 x2 ( y 4)2 4 , 点 O 是坐标原点 . 直线 l : y kx 与圆 C 交于
双曲线的标准方程为（ ）
A ． x2 y2 1 3

§9.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程考纲展示►1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式．2．掌握确定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系．考点1 直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l ________之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴________时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l 的倾斜角的取值范围是________． 答案：(1)向上方向 平行或重合 (2)[0，π) 2．直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角α不是90°，则斜率k ＝________.(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 答案：(1)tan α斜率与倾斜角的两个易错点：斜率与倾斜角的对应关系；倾斜角的范围． (1)当a ＝3时，直线ax ＋(a －3)y －1＝0的倾斜角为________． 答案：90°解析：当a ＝3时，直线ax ＋(a －3)y －1＝0可化为3x －1＝0，其倾斜角为90°. (2)直线x cos α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π解析：设直线的倾斜角为θ. 依题意知，斜率k ＝－cos α. ∵cos α∈[－1,1]，∴k ∈[－1,1]， 即tan θ∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，∴θ∈ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.求斜率或倾斜角：公式法．已知直线l 经过A (－cos θ，sin 2θ)，B (0,1)两个不同的点，则直线l 的斜率为________，倾斜角的取值范围是________．答案：cos θ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪ ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π解析：当cos θ＝0时， sin 2θ＝1－cos 2θ＝1，此时A ，B 两点重合，∴cos θ≠0， ∴斜率k ＝cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，因此倾斜角的取值范围是 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪ ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.[典题1] (1)设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A ．[0，π) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 [答案] C[解析] 当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0， 其倾斜角α＝π2；当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝tan α＝－1cos θ. ∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 又α∈[0，π)， ∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4.综上知，倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，故选C.(2)若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是________．[答案] [－3，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 [解析] 当π6≤α<π4时，33≤tan α<1，∴33≤k <1. 当2π3≤α<π时，－3≤tan α<0， 即－3≤k ＜0. ∴k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1∪[－3，0)． (3)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．[答案] (－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞) [解析] 如图所示，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3， ∴直线l 斜率的取值范围为(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)．[题点发散1] 若将本例(3)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围．解：∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，3)， ∴k AP ＝1－0－2－－＝13， k BP ＝3－00－－＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. [题点发散2] 若将本例(3)的条件改为“经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点”，求直线l 的倾斜角α的取值范围．解：解法一：如图所示，k PA ＝－2－－1－0＝－1，k PB ＝1－－2－0＝1，由图可得，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.解法二：由题意知，直线l 存在斜率． 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＋1＝kx ，即kx －y －1＝0. ∵A ，B 两点在直线的两侧或其中一点在直线l 上．∴(k ＋2－1)(2k －1－1)≤0， 即2(k ＋1)(k －1)≤0. ∴－1≤k ≤1.∴直线l 的倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.[点石成金] 求倾斜角的取值范围的两个步骤及一个注意点 (1)两个步骤：①求出斜率k ＝tan α的取值范围；②利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． (2)一个注意点：求倾斜角时要注意斜率是否存在．考点2 直线方程直线方程的五种形式答案：y －y 0＝k (x －x 0) y ＝kx ＋b y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)(1)[教材习题改编]直线l 的倾斜角为60°，且在x 轴上的截距为－13，则直线l 的方程为________．答案：3x －3y ＋1＝0解析： 由题意可知，直线l 的斜率为3，且该直线过 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，∴直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，即3x －3y ＋1＝0. (2)[教材习题改编]若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示与两条坐标轴都相交的直线(不与坐标轴重合)，则应满足的条件是________．答案：A ≠0且B ≠0解析：直线Ax ＋By ＋C ＝0与x轴相交，即方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，y ＝0有唯一解，所以A ≠0.同理，直线Ax ＋By ＋C ＝0与y 轴相交时，有B ≠0.直线方程的易错点：方程形式的变形及转化．(1)给出下列直线方程：①x －3y ＝6；②2x －3y ＝0；③ax ＋by ＝c ，其中一定能化为截距式方程的是________．答案：①解析：(1)x －3y ＝6化为截距式方程为x6＋y－2＝1；2x －3y ＝0不能化为截距式方程；当a ，b ，c 中有1个或2个为0时，ax ＋by ＝c 不能化为截距式方程．(2)过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________________． 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点，设直线方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a ， 则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线方程为x ＋y ＋1＝0.综上，所求直线方程为4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0.[典题2] 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.[解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线的方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0. (2)由题设知，横、纵截距不为0， 设直线方程为x a ＋y12－a＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线的方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线的方程为x －5＝0，满足题意． 当斜率存在时，设其斜率为k ， 则所求直线的方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋10－5k ＝0， 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5， 解得k ＝34.故所求直线的方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线的方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.[点石成金] 根据各种形式的方程，采用待定系数的方法求出其中的系数，在求直线方程时，凡涉及斜率的要考虑其存在与否，凡涉及截距的要考虑是否为零截距以及其存在性.求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍； (3)经过点B (3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解：(1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即l 过点(0,0)和(4,1)， ∴l 的方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵l 过点(4,1)，∴4a ＋1a＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0.(2)由已知，设直线y ＝3x 的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 又直线经过点A (－1，－3)，∴所求直线的方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又直线过点(3,4)，由点斜式，得y －4＝±(x －3)． 故所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.考点3 直线方程的综合应用[考情聚焦] 直线方程的综合应用是常考内容之一，它与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．主要有以下几个命题角度：角度一与基本不等式相结合的最值问题[典题3] 若直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 [答案] C[解析] 将(1,1)代入直线x a ＋y b＝1，得1a ＋1b＝1，a >0，b >0，故a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b 时等号成立，故a ＋b 的最小值为4.角度二与导数的几何意义相结合的问题[典题4] 设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12B ．[－1,0]C ．[0,1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1[答案] A[解析] 由题意知，y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则在点P 处的切线的斜率k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.角度三与圆相结合求直线方程问题[典题5] 在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：x 2＋y 2＝2(x ≥0)上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过点H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是________．[答案]3x ＋y －3－1＝0[解析] 直线OA 的方程为y ＝x ，代入半圆方程，得A (1,1)， 所以H (1,0)，直线HB 的方程为y ＝x －1， 代入半圆方程，得B ⎝⎛⎭⎪⎫1＋32，－1＋32.所以直线AB 的方程为y －1－1＋32－1＝x －11＋32－1，即3x ＋y －3－1＝0.[点石成金] 处理直线方程综合应用的两大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．(1)证明：直线l 的方程可变形为k (x ＋2)＋(1－y )＝0， 令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)解：由直线l 的方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线l 不经过第四象限， 则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意．故k ≥0， 即k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)解：由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB | ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·＋2k 2k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， 等号成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12， ∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.[方法技巧] 1.直线的斜率k 与倾斜角θ之间的关系2.(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程． (2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程．[易错防范] 1.利用两点式计算斜率时，易忽视x 1＝x 2时斜率k 不存在的情况．2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误．3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0的情况，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－AB.真题演练集训[2015·新课标全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点．(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．解：(1)由题设，可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，则C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )， 即ax －y －a ＝0；y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，则C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )， 即ax ＋y ＋a ＝0. 故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0.(2)存在符合题意的点．证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程，得x 2－4kx －4a ＝0.故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2 ＝2kx 1x 2＋a －bx 1＋x 2x 1x 2＝k a ＋b a. 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意．课外拓展阅读忽视斜率不存在而致误分析[典例] 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，则过点P (－1,1)的圆的切线方程为________．[审题视角] 首先验证过P (－1,1)斜率不存在的直线是否与圆相切，然后利用直线和圆相切的条件列出方程求解．[解析] (1)当直线的斜率不存在时，方程为x ＝－1.此时圆心C (1，－2)到直线x ＝－1的距离d ＝|－1－1|＝2，故该直线为圆的切线．(2)当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则其方程为y －1＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋1＝0.由已知，圆心到直线的距离等于圆的半径， 即|k ×1－－＋k ＋1|k 2＋－2＝2， 整理得|2k ＋3|k 2＋1＝2，解得k＝－5 12，故此时切线方程为－512x－y＋712＝0，即5x＋12y－7＝0.综上，所求圆的切线方程为x＝－1或5x＋12y－7＝0.[答案]x＝－1或5x＋12y－7＝0温馨提醒求解过定点的直线问题，首先要检验斜率不存在的直线是否符合题意，这是非常容易遗漏的问题．在处理相关问题时，也可根据图形判断所求直线的条数，进而避免此类失误．。

第九章 平面解析几何 9.2 两条直线的位置关系教师用书 理 苏教版1.两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解.2.几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离P 1P 2＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.【知识拓展】 1.直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C ). (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋n ＝0(n ∈R ). 2.两直线平行或重合的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行或重合的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0. 3.两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 4.过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.5.点到直线与两平行线间的距离的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( × ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1、B 1、C 1、A 2、B 2、C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( √ )(4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.( × ) (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ )(6)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB 的中点在直线l 上.( √ )1.(2016·某某模拟)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是______________. 答案 x －2y －1＝0解析 直线x －2y －2＝0可化为y ＝12x －1，所以过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程可设为y ＝12x ＋b ，将点(1,0)代入得b ＝－12.所以所求直线方程为x －2y －1＝0.2.(教材改编)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝____________. 答案2－1解析 依题意得|a －2＋3|1＋1＝1.解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.3.已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是____________. 答案 x －y ＋3＝0解析 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)， 又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直， 所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.4.(2016· 某某模拟)已知两点A (1,2)，B (5,5)到直线l 的距离分别是3和2，则满足条件的直线共有______条. 答案 3解析 以A (1,2)为圆心，3为半径的圆A ：(x －1)2＋(y －2)2＝9，以B (5,5)为圆心，2为半径的圆B ：(x －5)2＋(y －5)2＝4，根据题意所要满足的条件，则l 是圆A 与圆B 的公切线，因为A (1,2)，B (5,5)两点间的距离d ＝5，即d ＝r 1＋r 2，所以圆A 与圆B 相外切，所以有3条公切线.5.(教材改编)若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________. 答案 0或1解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.题型一 两条直线的平行与垂直例1 (1)(2017·苏北四市联考)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值为________. 答案 25解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a b －3＝2b >0，a >0，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >3，所以a ＝2bb －3. 所以2a ＋3b ＝4b b －3＋3b ＝4＋12b －3＋3(b －3)＋9 ≥13＋212b －3·3b －3＝25(当且仅当12b －3＝3(b －3)，即b ＝5时取等号).(2)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. ①试判断l 1与l 2是否平行； ②当l 1⊥l 2时，求a 的值.解 ①方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)， l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a，－3≠－a ＋1，解得a ＝－1.综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2. 方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0， 得a (a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧aa －1－1×2＝0，a a 2－1－1×6≠0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a a 2－1≠6⇒a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2.②方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1与l 2不垂直； 当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由(－a 2)·11－a ＝－1⇒a ＝23.方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0⇒a ＝23.思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0，求α的值，使得： (1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.解 (1)方法一 当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α. 要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±22.所以α＝k π±π4，k ∈Z ，此时两直线的斜率相等.故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得2sin 2α－1＝0， 所以sin α＝±22，所以α＝k π±π4，k ∈Z . 又B 1C 2－B 2C 1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1. 故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)因为A 1A 2＋B 1B 2＝0是l 1⊥l 2的充要条件，所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝k π，k ∈Z . 故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2. 题型二 两条直线的交点与距离问题例2 (1)(2016·宿迁模拟)求经过两条直线l 1：x ＋y －4＝0和l 2：x －y ＋2＝0的交点，且与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为________________.(2)直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为_______. 答案 (1)x ＋2y －7＝0 (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，∴l 1与l 2的交点坐标为(1,3).设与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为x ＋2y ＋c ＝0， 则1＋2×3＋c ＝0，∴c ＝－7. ∴所求直线方程为x ＋2y －7＝0.(2)方法一 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|， ∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意. 故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 方法二 当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 的中点时，AB 的中点为(－1,4). ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法：求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等.(1)(2016·某某模拟)若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，则P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是________.答案 5 2解析 设P 1P 2的中点为P (x ，y )， 则x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.∵x 1－y 1－5＝0，x 2－y 2－15＝0. ∴(x 1＋x 2)－(y 1＋y 2)＝20，即x －y ＝10. ∴y ＝x －10，∴P (x ，x －10)， ∴P 到原点的距离d ＝x 2＋x －102＝2x －52＋50≥50＝5 2.(2)如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y －3＝0所截的线段的中点在直线l 3：x －y －1＝0上，求其方程.解 与l 1、l 2平行且距离相等的直线方程为x ＋2y －2＝0. 设所求直线方程为(x ＋2y －2)＋λ(x －y －1)＝0， 即(1＋λ)x ＋(2－λ)y －2－λ＝0.又直线过点(－1,1)， ∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0. 解得λ＝－13.∴所求直线方程为2x ＋7y －5＝0.题型三 对称问题命题点1 点关于点中心对称例3 (2016·某某模拟)过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________. 答案 x ＋4y －4＝0解析 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 命题点2 点关于直线对称例4 如图，已知A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是________.答案 210解析 直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0).则光线经过的路程为CD ＝62＋22＝210.命题点3 直线关于直线的对称问题例5 (2016·某某模拟)已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程.解 在直线m 上任取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上. 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，∴M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013. 设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3).又∵m ′经过点N (4,3).∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 思维升华 解决对称问题的方法 (1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程； (3)直线l 关于(1,2)的对称直线.解 (1)设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)， ∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y2＋3＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4x ＋3y －95， ③y ′＝3x ＋4y ＋35. ④把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7). (2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ， 得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.(3)在直线l ：3x －y ＋3＝0上取点M (0,3)关于(1,2)的对称点M ′(x ′，y ′)， ∴x ′＋02＝1，x ′＝2，y ′＋32＝2，y ′＝1，∴M ′(2,1).l 关于(1,2)的对称直线平行于直线l ，∴k ＝3，∴对称直线方程为y －1＝3×(x －2)， 即3x －y －5＝0.20.妙用直线系求直线方程一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系.典例1 求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程.思想方法指导 因为所求直线与3x ＋4y ＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠1). 规X 解答解 依题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠1)， 又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11. 因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0. 二、垂直直线系由于直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件为A 1A 2＋B 1B 2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系.可以考虑用直线系方程求解. 典例2 求经过A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程. 思想方法指导 依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解. 规X 解答解 因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋C 1＝0，又直线过点(2,1)，所以有2－2×1＋C 1＝0，解得C 1＝0，即所求直线方程为x －2y ＝0. 三、过直线交点的直线系典例3 求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程.思想方法指导 可分别求出直线l 1与l 2的交点及直线l 的斜率k ，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解. 规X 解答解 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0,2).因为l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，所以直线l 的斜率为－43，由斜截式可得l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.方法二 设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.1.(2016·某某模拟)过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为______. 答案 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0解析 ①若直线过原点，则k ＝－43， 所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0. ②若直线不过原点，设直线方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a ，则a ＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0.2.(2016·某某模拟)已知直线l 1：x －2my ＋3＝0，直线l 2的方向向量为a ＝(1,2)，若l 1⊥l 2，则m 的值为______.答案 －1解析 由直线l 2的方向向量是a ＝(1,2)，知直线l 2的斜率为k 2＝2.∵l 1⊥l 2，∴直线l 1的斜率存在，且k 1＝12m. 由k 1·k 2＝－1，即12m·2＝－1，得m ＝－1. 3.(2016·某某省实验中学质检)从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为____________________.答案 x ＋2y －4＝0解析 由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式求得方程为x ＋2y －4＝0.4.一只虫子从点O (0,0)出发，先爬行到直线l ：x －y ＋1＝0上的P 点，再从P 点出发爬行到点A (1，1)，则虫子爬行的最短路程是________.答案 2解析 点O (0,0)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为O ′(－1,1)，则虫子爬行的最短路程为O ′A ＝1＋12＋1－12＝2.5.若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则PQ 的最小值为______. 答案 2910 解析 因为36＝48≠－125，所以两直线平行， 由题意可知PQ 的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|－24－5|62＋82＝2910，所以PQ 的最小值为2910. 6.(2016·某某模拟)将一X 坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.答案 345解析 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋n 2＝2×7＋m 2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345. 7.(2016·某某模拟)正方形的中心为点C (－1,0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －5＝0，其他三边所在直线的方程分别为____________、____________、____________. 答案 x ＋3y ＋7＝0 3x －y －3＝0 3x －y ＋9＝0解析 点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105. 设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)，则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离d ＝|－1＋m |1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7， 所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0.设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0，则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n |1＋9＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0.8.(2016·某某模拟)已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为________.答案 －1 1 2 2解析 若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan π4＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－－3|1＋1＝2 2. 9.如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到l 1，l 2之间的距离分别为3和2，点B 是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为________.答案 6解析 以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设B (a ，－2)，C (b,3).∵AC ⊥AB ，∴ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a. Rt△ABC 的面积S ＝12a 2＋4·b 2＋9 ＝12a 2＋4·36a 2＋9＝1272＋9a 2＋144a 2 ≥1272＋72＝6. 10.在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________.答案 (2,4)解析 如图，设平面直角坐标系中任一点P ，P 到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和为PA ＋PB ＋PC ＋PD ＝PB ＋PD ＋PA ＋PC ≥BD ＋AC ＝QA ＋QB ＋QC ＋QD ，故四边形ABCD 对角线的交点Q 即为所求距离之和最小的点.∵A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，直线BD 的方程为y －5＝－(x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧ y －2＝2x －1，y －5＝－x －1，得Q (2,4).11.已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2，2).(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.证明 (1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线. ∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2).(2)过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知PQ ≤PM ，当且仅当Q 与M 重合时，PQ ＝PM ，k PM ＝－1，直线与PM 垂直，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴M 与Q 不可能重合，而PM ＝42，∴PQ <42，故所证成立.12.已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点.(1)若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值.解 (1)易知l 不可能为l 2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，∵点A (5,0)到l 的距离为3，∴|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或λ＝12， ∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤PA (当l ⊥PA 时等号成立).∴d max ＝PA ＝5－22＋0－12＝10.*13.已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510. (1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件：①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12； ③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由.解 (1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋－12＝7510， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72， 又a ＞0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0).若点P 满足条件②，则点P 在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116， 所以直线l ′的方程为2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0； 若点P 满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝25×|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0； 由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝12(舍去)；联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝19，y 0＝3718.所以存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件.。