[推荐学习]2018-2019学年数学高考一轮复习训练：滚动测试卷1

滚动测试卷一(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2017辽宁沈阳一模)若P={x|x<4},Q={x|x2<4},则()A.P⊆QB.Q⊆PC.P⊆∁R QD.Q⊆∁R P2.不等式-x2+|x|+2<0的解集是()A.{x|-2<x<2}B.{x|x<-2,或x>2}C.{x|-1<x<1}D.{x|x<-2,或x>1}3.若幂函数的图象经过点(3,),则该函数的解析式为()A.y=x3B.y=C.y=D.y=x-14.下列判断错误的是()A.命题“若am2≤bm2,则a≤b”是假命题B.命题“∀x∈R,x3-x2-1≤0”的否定是“∃x0∈R,-1>0”C.“若a=1,则直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的逆否命题为真命题D.命题“p∨q为真命题”是命题“p∧q为真命题”的充分不必要条件5.下列函数中,既是奇函数,又在(0,+∞)内单调递增的是()A.y=sin xB.y=-x2+C.y=x3+3xD.y=e|x|6.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为,则m的取值范围是()A.(0,4]B.C.D.7.设函数f(x)=若f=8,则m=()A.2B.1C.2或1D.8.(2017福建宁德一模)已知函数f(x)=e x+e-x,则y=f'(x)的图象大致为()9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且最小正周期为2,当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(-1)+f(-2 017)=()A.0B.C.1D.210.(2017辽宁鞍山一模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)+f(1-x)=2.当x>1时,f(x)=,则关于x的方程f(x)+2a=0没有负实根时实数a的取值范围是()A.(-∞,-1]∪B.(0,1)C.D.11.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时,不等式f(x)+x·f'(x)<0成立,若a=30.2·f(30.2),b=(logπ2)·f(logπ2),c=·f,则a,b,c的大小关系为()A.c>b>aB.c>a>bC.b>a>cD.a>c>b12.已知函数f(x)=+sin πx在[0,1)内的最大值为m,在(1,2]上的最小值为n,则m+n=()A.-2B.-1C.1D.2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知曲线f(x)=ln x在点(x0,f(x0))处的切线经过点(0,1),则x0的值为.14.(2017江苏,11)已知函数f(x)=x3-2x+e x-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是.15.已知函数f(x)=的值域是[0,2],则实数a的取值范围是.。

2018-2019学年数学⾼考⼀轮复习训练：滚动测试卷2滚动测试卷⼆(时间:120分钟满分:150分)⼀、选择题(本⼤题共12⼩题,每⼩题5分,共60分)1.已知集合A=,集合B={y|y=x2,x∈A},则A∩B=()A. B.{2} C.{1} D.?2.复数=()A.1-2iB.1+2iC.-1+2iD.-1-2i3.下列结论正确的是()A.若命题p:?x>0,都有x2>0,则p:?x0≤0,使得≤0B.若命题p和p∨q都是真命题,则命题q也是真命题C.在△ABC中,a,b,c是内⾓A,B,C所对的边,则acos BD.命题“若x2+x-2=0,则x=-2或x=1”的逆否命题是“x≠-2或x≠1,则x2+x-2≠0”4.命题“存在x∈[0,2],x2-x-a≤0为真命题”的⼀个充分不必要条件是()A.a≤0B.a≥-1C.a≥-D.a≥35.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)=-log2(-2x),则f(32)=()A.-32B.-6C.6D.646.(2017⼭西实验中学3⽉模拟)已知函数f(x)=ln x-x2与g(x)=(x-2)2+-m(m∈R)的图象上存在关于(1,0)对称的点,则实数m的取值范围是()A.(-∞,1-ln 2)B.(-∞,1-ln 2]C.(1-ln 2,+∞)D.[1-ln 2,+∞)7.设x0是函数f(x)=-log2x的零点.若0A.f(a)=0B.f(a)<0C.f(a)>0D.f(a)的符号不确定8.在四边形ABCD中,AC⊥BD,且AC=2,BD=3,则的最⼩值为()A. B.- C. D.-9.若不等式≤a≤在t∈(0,2]上恒成⽴,则a的取值范围是()A. B. C. D.10.(2017⼭东临沂⼀模)函数f(x)=的图象可能是()11.在△ABC中,内⾓A,B,C的对边分别是a,b,c.若cos B==2,且S△ABC=,则b=()A.4B.3C.2D.112.定义在R上的函数f(x)满⾜f(1)=1,且对任意的x∈R,都有f'(x)<,则不等式f(log2x)>的解集为()A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,2)D.(2,+∞)⼆、填空题(本⼤题共4⼩题,每⼩题5分,共20分)13.已知|a|=,|b|=2,若(a+b)⊥a,则a与b的夹⾓是.14.已知函数f(x)=(其中e为⾃然对数的底数),则函数y=f(f(x))的零点是.15.已知⾮零向量a,b的夹⾓为60°,且|a-b|=1,则|a+b|的最⼤值是.16.在△ABC中,内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=1,则c=.三、解答题(本⼤题共6⼩题,共70分)17.(10分)设向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β).(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;(2)求|b+c|的最⼤值;(3)若tan αtan β=16,求证:a∥b.18.(12分)请你设计⼀个包装盒,如图所⽰,四边形ABCD是边长为60 cm的正⽅形硬纸⽚,切去阴影部分的四个全等的等腰直⾓三⾓形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成⼀个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,且E,F是被切去的等腰直⾓三⾓形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.(1)若⼴告商要求包装盒侧⾯积S(单位:cm2)最⼤,试问x应取何值?(2)若⼴告商要求包装盒容积V(单位:cm3)最⼤,试问x应取何值?并求出此时包装盒的⾼与底⾯边长的⽐值.19.(12分)函数f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所⽰.(1)求f(x)的解析式;(2)设g(x)=,求函数g(x)在x∈上的最⼤值,并确定此时x的值.20.(12分)(2017辽宁沈阳三模)如图,已知△ABC中,D为BC上⼀点,∠DAC=,cos∠BDA=-,AC=4.(1)求AD的长;(2)若△ABD的⾯积为14,求AB的长.21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2-x+c,且a=f'.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)设函数g(x)=(f(x)-x3)·e x,若函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增,求实数c的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)=x2-a ln x(a∈R).(1)若函数f(x)在x=2处的切线⽅程为y=x+b,求a,b的值;(2)若函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,求a的取值范围;。

阶段滚动检测（一） 检测范围：第一单元至第四单元一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U 是实数集R ，Venn 图表示集合M ＝{x |x >2}与N ＝{x |1<x <3}的关系，那么阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |x <2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |x >3}D ．{x |x ≤1}解析：选D 由Venn 图可知，阴影部分表示(∁U M )∩(∁U N )，因为M ＝{x |x >2}，N ＝{x |1<x <3}，所以∁U M ＝{x |x ≤2}，∁U N ＝{x |x ≤1或x ≥3}， 则阴影部分表示的集合为(∁U M )∩(∁U N )＝{x |x ≤1}． 2．函数f (x )＝x lg(2－x )的定义域为( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．(0,2]D ．[0,2)解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2－x >0，解得0≤x <2.3．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪14≤⎝⎛⎭⎫12m≤4，m ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2x －1≥1，则M ∩N ＝( ) A ．∅B ．{2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{－2，－1,0,1,2}解析：选B 由题意知，M ＝{m |－2≤m ≤2，m ∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，N ＝{x |1<x ≤3}，故M ∩N ＝{2}．4．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝－lg |x |D ．y ＝－2x解析：选C y ＝x 2为偶函数，但在(0，＋∞)上单调递增，排除A ；y ＝x ＋1，y ＝－2x为非奇非偶函数，故排除B 、D ，只有选项C 符合．5．设m ∈R 且m ≠0，“不等式m ＋4m >4”成立的一个充分不必要条件是( ) A ．m >0 B ．m >1 C ．m >2D ．m ≥2解析：选C 当m >0时，m ＋4m ≥4，当且仅当m ＝2时，等号成立，所以m >0且m ≠2是“不等式m ＋4m >4”成立的充要条件，因此，“不等式m ＋4m >4”成立的一个充分不必要条件是m >2，故选C.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x，x ≥0，2x －1，x <0，则函数f (x )是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析：选C 易知f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，－f (x )＝2－x －1，而－x <0，则f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x <0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x ，而－x >0，则f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C.7．若m ＝⎠⎛01e x d x ，n ＝⎠⎛1e 1xd x ，则m 与n 的大小关系是( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．无法确定解析：选A m ＝⎠⎛01e x dx ＝e x ⎪⎪⎪1＝e －1，n ＝⎠⎛1e 1x d x ＝ln x ⎪⎪⎪⎪e＝1，则m >n .8．函数y ＝x 3x 2－1的图象大致是( )解析：选A 由x 2－1≠0，得x ≠±1，当x >1时，y ＝x3x 2－1>0，排除D ；当x <－1时，y ＝x3x 2－1<0，排除C ；当0<x <1时，y ＝x3x 2－1<0，排除B ，故选A.9．定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )>1－f ′(x )，f (0)＝0，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e x f (x )>e x －1(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选B 设g (x )＝e x f (x )－e x ＋1，因为f (x )>1－f ′(x )， 所以g ′(x )＝e x (f (x )＋f ′(x )－1)>0， 所以函数g (x )是R 上的增函数，又因为f (0)＝0，g (0)＝e 0f (0)－e 0＋1＝0， 所以不等式e x f (x )>e x －1的解集为(0，＋∞)．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x ＜0，log a (x ＋1)＋1，x ≥0(a ＞0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，23 B.⎣⎡⎦⎤23，34 C.⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34D.⎣⎡⎭⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34解析：选C 由y ＝log a (x ＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0＜a ＜1. 又由f (x )在R 上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧02＋(4a －3)·0＋3a ≥1，3－4a 2≥0⇒13≤a ≤34.如图所示，在同一坐标系中作出函数y ＝|f (x )|和y ＝2－x 的图象．由图象可知，在[0，＋∞)上|f (x )|＝2－x 有且仅有一个解， 故在(－∞，0)上|f (x )|＝2－x 同样有且仅有一个解．当3a ＞2，即a ＞23时，由x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x (其中x ＜0)，得x 2＋(4a －2)x ＋3a －2＝0(其中x ＜0)，则Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0，解得a ＝34或a ＝1(舍去)；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤23时，由图象可知，符合条件．综上所述，a ∈⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 .故选C.11．已知奇函数f (x )是定义在R 上的连续函数，满足f (2)＝53，且f (x )在(0，＋∞)上的导函数f ′(x )<x 2，则不等式f (x )>x 3－33的解集为( )A ．(－2,2)B ．(－∞，2) C.⎝⎛⎭⎫－∞，12 D.⎝⎛⎭⎫－12，12 解析：选B 令g (x )＝f (x )－x 3－33，因为奇函数f (x )是定义在R 上的连续函数，所以函数g (x )是定义在R 上的连续函数，则g ′(x )＝f ′(x )－x 2<0，所以函数g (x )＝f (x )－x 3－33在R 上是减函数，又g (2)＝f (2)－23－33＝0，所以不等式f (x )>x 3－33的解集为(－∞，2)．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数g (x )＝f (f (x ))－12的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选B 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，所以g (x )＝f (f (x ))－12＝0等价于f (x )＋1＝12或log 2f (x )＝12，则f (x )＝－12或f (x )＝2，当f (x )＝－12时，x ＝－32或x ＝22；当f (x )＝2时，x ＝22，故函数g (x )＝f (f (x ))－12的零点个数是3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．已知a ＝log 2.10.6，b ＝2.10.6，c ＝log 0.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析：由指数函数与对数函数的性质可知，a ＝log 2.10.6<0，b ＝2.10.6>1，c ＝log 0.50.6∈(0,1)，所以b >c >a .答案：b >c >a14．函数y ＝log 12(－x 2＋4x －3)的单调增区间为________．解析：设t ＝－x 2＋4x －3，则函数可化为y ＝log 12t 是减函数．由－x 2＋4x －3>0，得1<x <3.因为函数t ＝－x 2＋4x －3在(2,3)上是减函数， 所以由复合函数的单调性可得函数y ＝log 12(－x 2＋4x －3)的单调增区间为(2,3)．答案：(2,3)15．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x ＜0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：原不等式变形为m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x ， 因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数， 所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x 恒成立等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2. 答案：(－1,2)16．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－2,0)时，f (x )＝2x ＋12，则f (2 017)＝________.解析：由f (－x )＝－f (x )可得函数f (x )是奇函数． 由f (x －2)＝f (x ＋2)可得f (x ＋4)＝f (x )， 所以函数f (x )是周期为4的周期函数． 因为当x ∈(－2,0)时，f (x )＝2x ＋12，所以f (2 017)＝f (1)＝－f (－1)＝32.答案：32三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设函数f (x )＝lg(x 2－x －2)的定义域为集合A ，函数g (x )＝3－|x |的定义域为集合B .(1)求A ∩B ；(2)若C ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，C ⊆B ，求实数m 的取值范围． 解：(1)要使函数f (x )有意义，则x 2－x －2>0， 解得x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}． 要使函数g (x )有意义，则3－|x |≥0， 解得－3≤x ≤3，即B ＝{x |－3≤x ≤3}． 故A ∩B ＝{x |－3≤x <－1或2<x ≤3}． (2)若C ＝∅，则m ≤－2，C ⊆B 恒成立； 若C ≠∅，则m >－2，要使C ⊆B 成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧m >－2，m －1≥－3，2m ＋1≤3，解得－2<m ≤1.综上，m ≤1，即实数m 的取值范围为(－∞，1]． 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(2－a )ln x ＋1x ＋2ax . (1)当a ＝2时，求函数f (x )的极值； (2)当a <0时，求函数f (x )的单调增区间． 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝2时，f (x )＝1x ＋4x ，则f ′(x )＝－1x 2＋4.令f ′(x )＝－1x 2＋4＝0，得x ＝12或x ＝－12(舍去)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝4，无极大值． (2)f ′(x )＝2－a x －1x 2＋2a ＝(2x －1)(ax ＋1)x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝－1a .当－2<a <0时，由f ′(x )>0，得12<x <－1a ，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫12，－1a 上单调递增； 当a ＝－2时，f ′(x )≤0，所以函数f (x )无单调递增区间；当a <－2时，由f ′(x )>0，得－1a <x <12，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－1a ，12上单调递增． 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx ＋c 图象上的点P (1，－2)处的切线方程为y ＝－3x ＋1.(1)若函数f (x )在x ＝－2时有极值，求f (x )的表达式；(2)若函数f (x )在区间[－2,0]上单调递增，求实数b 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .因为函数f (x )在x ＝1处的切线斜率为－3， 所以f ′(1)＝－3＋2a ＋b ＝－3，即2a ＋b ＝0. ① 又f (1)＝－1＋a ＋b ＋c ＝－2，即a ＋b ＋c ＝－1. ② 因为函数f (x )在x ＝－2时有极值，所以f ′(－2)＝－12－4a ＋b ＝0，即4a －b ＝－12. ③ 由①②③解得a ＝－2，b ＝4，c ＝－3， 所以f (x )＝－x 3－2x 2＋4x －3.(2)由(1)知a ＝－b2，所以f ′(x )＝－3x 2－bx ＋b ，因为函数f (x )在区间[－2,0]上单调递增，所以f ′(x )＝－3x 2－bx ＋b 在区间[－2,0]上的值恒大于等于零，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－2)＝－12＋2b ＋b ≥0，f ′(0)＝b ≥0，解得b ≥4， 所以实数b 的取值范围为[4，＋∞)． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax ＋a －2x＋2－2a (a >0)． (1)当a ＝1时，求函数f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)若f (x )≥2ln x 在[1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x －1x ，f ′(x )＝1＋1x 2，则f (2)＝32，f ′(2)＝54，所以函数f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －32＝54(x －2)，即5x －4y －4＝0.(2)函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}， 则f ′(x )＝a －a －2x 2＝ax 2＋(2－a )x 2(a >0)，当0<a ≤2时，f ′(x )≥0恒成立，所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，无单调递减区间； 当a >2时，令f ′(x )＝0，即ax 2＋2－a ＝0， 解得x 1＝－a －2a ，x 2＝a －2a ，由f ′(x )>0，得x >x 2或x <x 1； 由f ′(x )<0，得x 1<x <0或0<x <x 2， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－ a －2a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a ，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －2a ，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －2a . (3)因为f (x )≥2ln x 在[1，＋∞)上恒成立，有ax ＋a －2x ＋2－2a －2ln x ≥0(a >0)在 [1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝ax ＋a －2x ＋2－2a －2ln x ，则g ′(x )＝a －a －2x 2－2x ＝ax 2－2x －a ＋2x 2＝(x －1)[ax ＋(a －2)]x 2.令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－a －2a ，若－a －2a ＝1，即a ＝1时，g ′(x )≥0，函数g (x )在[1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝0，所以f (x )≥2ln x 在[1，＋∞)上恒成立；若－a －2a >1，即0<a <1，当x ∈⎝⎛⎭⎫－a －2a ，＋∞时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫1，－a －2a 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以g (x )在[1，＋∞)上的最小值为g ⎝⎛⎭⎫－a －2a . 因为g (1)＝0，所以g ⎝⎛⎭⎫－a －2a <0，不合题意． 若－a －2a <1，即a >1，当(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， 所以g (x )在[1，＋∞)上的最小值为g (1)， 又因为g (1)＝0，所以f (x )≥2ln x 恒成立， 综上，实数a 的取值范围是[1，＋∞)．21．(本小题满分12分)(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝13x 3－12(a ＋2)x 2＋x (a ∈R)．(1)当a ＝0时，记f (x )图象上动点P 处的切线斜率为k ，求k 的最小值；(2)设函数g (x )＝e －e xx (e 为自然对数的底数)，若对于∀x ＞0，f ′(x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝x 2－(a ＋2)x ＋1.设P (x ，y )，由于a ＝0，∴k ＝x 2－2x ＋1≥0，即k min ＝0.(2)由g (x )＝e －e xx ，得g ′(x )＝e x (1－x )x 2，易知g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴g (x )≤g (1)＝0，由条件知f ′(1)≥g (1)，可得a ≤0.当a ≤0时，f ′(x )＝x 2－(a ＋2)x ＋1＝(x －1)2－ax ≥(x －1)2≥0. ∴f ′(x )≥g (x )对∀x ∈(0，＋∞)成立． 综上，实数a 的取值范围为(－∞，0]． 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ln x ＋a .(1)若对定义域内任意x ，f (x )>0恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若0<x 1<x 2，求证：对∀x ∈(x 1，x 2)，不等式f (x )－f (x 1)x －x 1<f (x )－f (x 2)x －x 2恒成立．解：(1)f (x )＝x ln x ＋a 的导数为f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e＋a . 因为对定义域内任意x ，f (x )>0恒成立，所以－1e ＋a >0，所以a >1e ，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞. (2)证明：易知f ′(x )＝ln x ＋1在(0，＋∞)上为增函数． 欲证f (x )－f (x 1)x －x 1<f (x )－f (x 2)x －x 2，从图象分析可证f (x )－f (x 1)x －x 1<f ′(x )<f (x )－f (x 2)x －x 2.先证f (x )－f (x 1)x －x 1<f ′(x )＝ln x ＋1,0<x 1<x <x 2，即证f (x )－f (x 1)－(x －x 1)(ln x ＋1)<0，设F (x )＝f (x )－f (x 1)－(x －x 1)(ln x ＋1)，0<x 1<x <x 2，则F ′(x )＝f ′(x )－(ln x ＋1)－x －x 1x ＝(ln x ＋1)－(ln x ＋1)－⎝⎛⎭⎫1－x 1x ＝x 1x －1<0， 所以F (x )＝f (x )－f (x 1)－(x －x 1)(ln x ＋1)在(x 1，x 2)上为减函数， 所以F (x )<F (x 1)＝0，故f (x )－f (x 1)x －x 1<ln x ＋1对于∀x ∈(x 1，x 2)成立，欲证ln x ＋1<f (x )－f (x 2)x －x 2，即证f (x )－f (x 2)－(x －x 2)(ln x ＋1)<0，令G (x )＝f (x )－f (x 2)－(x －x 2)(ln x ＋1)，0<x 1<x <x 2，则G ′(x )＝f ′(x )－(ln x ＋1)－x －x 2x ＝(ln x ＋1)－(ln x ＋1)－⎝⎛⎭⎫1－x 2x ＝x 2x －1>0， 所以G (x )＝f (x )－f (x 2)－(x －x 2)(ln x ＋1)在(x 1，x 2)内为增函数， 所以G (x )<G (x 2)＝0，故ln x ＋1<f (x )－f (x 2)x －x 2成立．综上，对∀x ∈(x 1，x 2)，不等式f (x )－f (x 1)x －x 1<f (x )－f (x 2)x －x 2恒成立．。

阶段滚动检测(一)检测范围：第一单元至第四单元(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U 是实数集R ，Venn 图表示集合M ＝{x |x >2}与N ＝{x |1<x <3}的关系，那么阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |x <2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |x >3}D ．{x |x ≤1}解析：选D 由Venn 图可知，阴影部分表示(∁U M )∩(∁U N )，因为M ＝{x |x >2}，N ＝{x |1<x <3}，所以∁U M ＝{x |x ≤2}，∁U N ＝{x |x ≤1或x ≥3}，则阴影部分表示的集合为(∁U M )∩(∁U N )＝{x |x ≤1}．2．函数f (x )＝x lg(2－x )的定义域为( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．(0,2]D ．[0,2)解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2－x >0，解得0≤x <2.3．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪ 14≤⎝⎛⎭⎫12m ≤4，m ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2x －1≥1，则M ∩N ＝( ) A ．∅B ．{2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{－2，－1,0,1,2}解析：选B 由题意知，M ＝{m |－2≤m ≤2，m ∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，N ＝{x |1<x ≤3}，故M ∩N ＝{2}．4．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝－lg |x |D ．y ＝－2x解析：选C y ＝x 2为偶函数，但在(0，＋∞)上单调递增，排除A ；y ＝x ＋1，y ＝－2x为非奇非偶函数，故排除B 、D ，只有选项C 符合．5．设m ∈R 且m ≠0，“不等式m ＋4m >4”成立的一个充分不必要条件是( )A ．m >0B ．m >1C ．m >2D ．m ≥2解析：选C 当m >0时，m ＋4m ≥4，当且仅当m ＝2时，等号成立，所以m >0且m ≠2是“不等式m ＋4m >4”成立的充要条件，因此，“不等式m ＋4m >4”成立的一个充分不必要条件是m >2，故选C.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x，x ≥0，2x －1，x <0，则函数f (x )是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析：选C 易知f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，－f (x )＝2－x －1，而－x <0，则f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x <0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x ，而－x >0，则f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C.7．(2018·重庆一测)设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2＋a (x >0)关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＝2f (－1)，则a ＝( )A ．0 B.13 C.23D ．1解析：选C 依题意得，曲线y ＝f (x )即为－x ＝(－y )2＋a (其中－y >0，即y <0，注意到点(x 0，y 0)关于直线y ＝－x 的对称点是点(－y 0，－x 0))，化简后得y ＝－－x －a ，即f (x )＝－－x －a ，于是有－2－a ＝－21－a ，由此解得a ＝23，选C.8．函数y ＝x 3x 2－1的图象大致是( )解析：选A 由x 2－1≠0，得x ≠±1，当x >1时，y ＝x 3x 2－1>0，排除D ；当x <－1时，y ＝x 3x 2－1<0，排除C ；当0<x <1时，y ＝x 3x 2－1<0，排除B ，故选A.9．定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )>1－f ′(x )，f (0)＝0，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e x f (x )>e x －1(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选B 设g (x )＝e x f (x )－e x ＋1，因为f (x )>1－f ′(x )，所以g ′(x )＝e x (f (x )＋f ′(x )－1)>0，所以函数g (x )是R 上的增函数，又因为f (0)＝0，g (0)＝e 0f (0)－e 0＋1＝0，所以不等式e x f (x )>e x －1的解集为(0，＋∞)．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x ＜0，log a (x ＋1)＋1，x ≥0(a ＞0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，23 B.⎣⎡⎦⎤23，34 C.⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34D.⎣⎡⎭⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34解析：选C 由y ＝log a (x ＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0＜a ＜1. 又由f (x )在R 上单调递减，则⎩⎨⎧02＋(4a －3)·0＋3a ≥1，3－4a 2≥0⇒13≤a ≤34.如图所示，在同一坐标系中作出函数y ＝|f (x )|和y ＝2－x 的图象． 由图象可知，在[0，＋∞)上|f (x )|＝2－x 有且仅有一个解，故在(－∞，0)上|f (x )|＝2－x 同样有且仅有一个解．当3a ＞2，即a ＞23时，由x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x (其中x ＜0)，得x 2＋(4a －2)x ＋3a －2＝0(其中x ＜0)，则Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0，解得a ＝34或a ＝1(舍去)；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤23时，由图象可知，符合条件．综上所述，a ∈⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.故选C.11．已知奇函数f (x )是定义在R 上的连续函数，满足f (2)＝53，且f (x )在(0，＋∞)上的导函数f ′(x )<x 2，则不等式f (x )>x 3－33的解集为( )A ．(－2,2)B ．(－∞，2) C.⎝⎛⎭⎫－∞，12 D.⎝⎛⎭⎫－12，12 解析：选B 令g (x )＝f (x )－x 3－33，因为奇函数f (x )是定义在R 上的连续函数，所以函数g (x )是定义在R 上的连续函数，则g ′(x )＝f ′(x )－x 2<0，所以函数g (x )＝f (x )－x 3－33在R 上是减函数，又g (2)＝f (2)－23－33＝0，所以不等式f (x )>x 3－33的解集为(－∞，2)．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数g (x )＝f (f (x ))－12的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选B 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，所以g (x )＝f (f (x ))－12＝0等价于f (x )＋1＝12或log 2f (x )＝12，则f (x )＝－12或f (x )＝2，当f (x )＝－12时，x ＝－32或x ＝22；当f (x )＝2时，x ＝22，故函数g (x )＝f (f (x ))－12的零点个数是3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．已知a ＝log 2.10.6，b ＝2.10.6，c ＝log 0.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析：由指数函数与对数函数的性质可知，a ＝log 2.10.6<0，b ＝2.10.6>1，c ＝log 0.50.6∈(0,1)，所以b >c >a .答案：b >c >a14．函数y ＝log 12(－x 2＋4x －3)的单调增区间为________．解析：设t ＝－x 2＋4x －3，则函数可化为y ＝log 12t 是减函数．由－x 2＋4x －3>0，得1<x <3.因为函数t ＝－x 2＋4x －3在(2,3)上是减函数，所以由复合函数的单调性可得函数y ＝log 12(－x 2＋4x －3)的单调增区间为(2,3)．答案：(2,3)15．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x ＜0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：原不等式变形为m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x ， 因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数， 所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x 恒成立等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2. 答案：(－1,2)16．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f (x ＋1)＝f (x －1)，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝________. 解析：由f (x ＋1)＝f (x －1)可知函数f (x )是周期为2的周期函数，又因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当0<x <1时，f (x )＝4x ，所以f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－2，令x ＝0，则f (x ＋1)＝f (x －1)可化为f (1)＝f (－1)＝－f (1)，所以f (1)＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝－2. 答案：－2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设函数f (x )＝lg(x 2－x －2)的定义域为集合A ，函数g (x )＝3－|x |的定义域为集合B .(1)求A ∩B ；(2)若C ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，C ⊆B ，求实数m 的取值范围． 解：(1)要使函数f (x )有意义，则x 2－x －2>0， 解得x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}． 要使函数g (x )有意义，则3－|x |≥0， 解得－3≤x ≤3，即B ＝{x |－3≤x ≤3}． 故A ∩B ＝{x |－3≤x <－1或2<x ≤3}． (2)若C ＝∅，则m ≤－2，C ⊆B 恒成立；若C ≠∅，则m >－2，要使C ⊆B 成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧m >－2，m －1≥－3，2m ＋1≤3，解得－2<m ≤1.综上，m ≤1，即实数m 的取值范围为(－∞，1]． 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(2－a )ln x ＋1x ＋2ax . (1)当a ＝2时，求函数f (x )的极值； (2)当a <0时，求函数f (x )的单调增区间．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝2时，f (x )＝1x ＋4x ，则f ′(x )＝－1x 2＋4.令f ′(x )＝－1x 2＋4＝0，得x ＝12或x ＝－12(舍去)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝4，无极大值． (2)f ′(x )＝2－a x －1x 2＋2a ＝(2x －1)(ax ＋1)x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝－1a .当－2<a <0时，由f ′(x )>0，得12<x <－1a ，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫12，－1a 上单调递增； 当a ＝－2时，f ′(x )≤0，所以函数f (x )无单调递增区间；当a <－2时，由f ′(x )>0，得－1a <x <12，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－1a ，12上单调递增． 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx ＋c 图象上的点P (1，－2)处的切线方程为y ＝－3x ＋1.(1)若函数f (x )在x ＝－2时有极值，求f (x )的表达式；(2)若函数f (x )在区间[－2,0]上单调递增，求实数b 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .因为函数f (x )在x ＝1处的切线斜率为－3， 所以f ′(1)＝－3＋2a ＋b ＝－3， 即2a ＋b ＝0.①又f (1)＝－1＋a ＋b ＋c ＝－2， 即a ＋b ＋c ＝－1.②因为函数f (x )在x ＝－2时有极值，所以f ′(－2)＝－12－4a ＋b ＝0，即4a －b ＝－12.③ 由①②③解得a ＝－2，b ＝4，c ＝－3， 所以f (x )＝－x 3－2x 2＋4x －3.(2)由(1)知a ＝－b2，所以f ′(x )＝－3x 2－bx ＋b ，因为函数f (x )在区间[－2,0]上单调递增，所以f ′(x )＝－3x 2－bx ＋b 在区间[－2,0]上的值恒大于等于零，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－2)＝－12＋2b ＋b ≥0，f ′(0)＝b ≥0，解得b ≥4，所以实数b 的取值范围为[4，＋∞)． 20．(本小题满分12分)已知函数g (x )＝a ln x ＋12x 2＋(1－b )x .(1)若g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为8x －2y －3＝0，求a ，b 的值；(2)若b ＝a ＋1，x 1，x 2是函数g (x )的两个极值点，试比较－4与g (x 1)＋g (x 2)的大小． 解：(1)由题意可得，g ′(x )＝ax ＋x ＋(1－b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＝52，g ′(1)＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧12＋1－b ＝52，a ＋1＋1－b ＝4，解得a ＝1，b ＝－1. (2)∵b ＝a ＋1，∴g (x )＝a ln x ＋12x 2－ax ，则g ′(x )＝ax ＋x －a ＝x 2－ax ＋a x. 根据题意可得x 2－ax ＋a ＝0在(0，＋∞)上有两个不同的根x 1，x 2.则⎩⎪⎨⎪⎧a2>0，a 2－4a >0，a >0，解得a >4，且x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝a .∴g (x 1)＋g (x 2)＝a ln(x 1x 2)＋12(x 21＋x 22)－a (x 1＋x 2)＝a ln a －12a 2－a . 令f (x )＝x ln x －12x 2－x (x >4)，则f ′(x )＝ln x ＋1－x －1＝ln x －x .令h (x )＝ln x －x ，则当x >4时，h ′(x )＝1x －1<0， ∴h (x )在(4，＋∞)上为减函数， 即h (x )<h (4)＝ln 4－4<0，f ′(x )<0， ∴f (x )在(4，＋∞)上为减函数， 即f (x )<f (4)＝8ln 2－12， ∴g (x 1)＋g (x 2)<8ln 2－12.又∵8ln 2－12－(－4)＝8ln 2－8＝8(ln 2－1)<0， ∴8ln 2－12<－4， ∴g (x 1)＋g (x 2)<－4.21．(本小题满分12分)(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝13x 3－12(a ＋2)x 2＋x (a ∈R)．(1)当a ＝0时，记f (x )图象上动点P 处的切线斜率为k ，求k 的最小值；(2)设函数g (x )＝e －e xx (e 为自然对数的底数)，若对于∀x ＞0，f ′(x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝x 2－(a ＋2)x ＋1.设P (x ，y )，由于a ＝0，∴k ＝x 2－2x ＋1≥0，即k min ＝0.(2)由g (x )＝e －e xx ，得g ′(x )＝e x (1－x )x 2，易知g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴g (x )≤g (1)＝0，由条件知f ′(1)≥g (1)，可得a ≤0.当a≤0时，f′(x)＝x2－(a＋2)x＋1＝(x－1)2－ax≥(x－1)2≥0.∴f′(x)≥g(x)对∀x∈(0，＋∞)成立．综上，实数a的取值范围为(－∞，0]．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2e x＋2ax－a2，a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若x≥0时，f(x)≥x2－3恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)f′(x)＝2e x＋2a，①当a≥0时，f′(x)>0恒成立，∴函数f(x)在R上单调递增．②当a<0时，由f′(x)>0，得x>ln(－a)；由f′(x)<0，得x<ln(－a)，∴函数f(x)在(－∞，ln(－a))上单调递减，在(ln(－a)，＋∞)上单调递增．综合①②知，当a≥0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a<0时，f(x)的单调递增区间为(ln(－a)，＋∞)，单调递减区间为(－∞，ln(－a))．(2)令g(x)＝f(x)－x2＋3＝2e x－(x－a)2＋3，x≥0，则g′(x)＝2(e x－x＋a)．又令h(x)＝2(e x－x＋a)，则h′(x)＝2(e x－1)≥0，∴h(x)在[0，＋∞)上单调递增，且h(0)＝2(a＋1)．①当a≥－1时，h(x)≥0，即g′(x)≥0恒成立，∴函数g(x)在[0，＋∞)上单调递增，从而需满足g(0)＝5－a2≥0，解得－5≤a≤5，又a≥－1，∴－1≤a≤5；②当a<－1时，则∃x0>0，使h(x0)＝0，且x∈(0，x0)时，h(x)<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(0，x0)上单调递减，x∈(x0，＋∞)时，h(x)>0，即g′(x)>0，∴g(x)在(x0，＋∞)上单调递增．∴g(x)min＝g(x0)＝2e x0－(x0－a)2＋3≥0，又h(x0)＝2(e x0－x0＋a)＝0，从而2e x0－(e x0)2＋3≥0，解得0<x0≤ln 3，又由h (x 0)＝0，得a ＝x 0－e x 0. 令M (x )＝x －e x,0<x ≤ln 3，则M ′(x )＝1－e x <0，∴M (x )在(0，ln 3]上单调递减， ∴M (x )≥M (ln 3)＝ln 3－3，又M (x )<M (0)＝－1， 故ln 3－3≤a <－1，综上，实数a 的取值范围为[]ln 3－3，5.阶段滚动检测(二)检测范围：第一单元至第八单元(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x 2－11x －12<0}，B ＝{x |x ＝2(3n ＋1)，n ∈Z}，则A ∩B 等于( ) A ．{2} B ．{2,8} C ．{4,10}D ．{2,4,8,10}解析：选B A ＝{x |－1<x <12}，B ＝{x |x ＝6n ＋2，n ∈Z}，则A ∩B ＝{2,8}． 2．下列说法正确的是( )A ．a ∈R ，“1a <1”是“a >1”的必要不充分条件B ．“p 且q 为真命题”是“p 或q 为真命题”的必要不充分条件C ．命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋2x 0＋3<0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0”D ．若命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋c os x ≤2”，则綈p 是真命题解析：选A 若1a <1，则a >1或a <0，所以“1a <1”是“a >1”的必要不充分条件，故A 正确．3．(2018·广州模拟)设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b <a <c B ．a <c <b C ．c <b <aD ．c <a <b解析：选D 1＝log 33<a ＝log 37<log 39＝2，b ＝21.1>21＝2，c ＝0.83.1<0.80＝1，所以c <a <b . 4．已知曲线f (x )＝ax 2x ＋1在点(1，f (1))处切线的斜率为1，则实数a 的值为( )A.32B ．－32C ．－34D.43解析：选D f ′(x )＝ax 2＋2ax(x ＋1)2，由题意可得f ′(1)＝a ＋2a 4＝1，则a ＝43.5．若cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α的值为( ) A .78 B ．－78C .716D ．－716解析：选A 因为sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝14， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝78. 6．(2018·重庆模拟)若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝( ) A ．e-12B ．2e-12C ．e 12D ．2e 12解析：选B 依题意，设直线y ＝a x 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 0，ax 0＝2ln x 0＋1，解得x 0＝e ，a ＝2x 0＝2e －12，选B .7．函数f(x)＝xx 2＋a的图象可能是( )A ．①③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④解析：选C 因为f(－x )＝－xx 2＋a ＝－f(x)，所以函数f(x)＝xx 2＋a 是奇函数，图象关于原点对称，若a ＝0，则f(x)＝1x ，④符合题意；若a >0，且x>0时，f(x)＝1x ＋a x ≤12a，故－12a ≤f(x)≤12a，②符合题意；当a <0时，取a ＝－1，f(x)＝xx 2－1是奇函数且定义域为{x|x ≠±1}，故③符合题意，故选C .8．已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n ＋3，且∀n ∈N *，a n ＋2n 2≥0，则a 3的取值范围是( )A ．[－2,15]B ．[－18,7]C ．[－18,19]D ．[2,19]解析：选D 因为a n ＋2n 2≥0，所以a 1≥－2，a 2≥－8，由a n ＋1＋a n ＝4n ＋3，得a 1＋a 2＝7，a 2＋a 3＝11，所以a 3＝a 1＋4≥－2＋4＝2，a 2＝11－a 3≥－8，即a 3≤19，综上可得，a 3的取值范围为[2,19]．9．已知函数f (x )＝(e x －e －x )x ，f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤15，1 B ．[1,5]C.⎣⎡⎦⎤15，5D.⎝⎛⎤－∞，15∪[5，＋∞) 解析：选C ∵f (x )＝(e x －e －x )x ， ∴f (－x )＝－x (e －x －e x )＝(e x －e －x )x ＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数．∵f ′(x )＝(e x －e －x )＋x (e x ＋e －x )＞0在(0，＋∞)上恒成立． ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，∴2f (log 5x )≤2f (1)，即f (log 5x )≤f (1)， ∴|log 5x |≤1，∴15≤x ≤5.故选C.10．若函数y ＝k sin(kx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2与函数y ＝kx －k 2＋6的部分图象如图所示，则函数f (x )＝sin(kx －φ)＋c os(kx －φ)图象的一条对称轴的方程可以为( )A ．x ＝－π24B ．x ＝37π24C ．x ＝17π24D ．x ＝－13π24解析：选B 由图象可知－k 2＋6＝k (k >0)，则k ＝2，又2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝0，|φ|<π2，则φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋c os ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π12，令2x ＋5π12＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝π24＋k π2，k ∈Z ，令k ＝3，得x ＝37π24，故选B. 11．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法一定正确的是( ) A ．若a 3>0，则a 2 017<0 B ．若a 4>0，则a 2 018<0 C ．若a 3>0，则S 2 017>0 D ．若a 4>0，则S 2 018>0解析：选C 设首项为a 1，公比为q ，若a 3＝a 1q 2>0，则a 1>0，所以a 2 017＝a 1q 2 016>0，S 2 017＝a 1(1－q 2 017)1－q>0，若a 4＝a 1q 3>0，则a 2 018＝a 1q 2 017＝a 4q 2 014>0. S 2 018＝a 1(1－q 2 018)1－q ＝a 4(1－q 2 018)(1－q )q 3，因为q 值不确定，所以S 2 018的值不一定大于0，如q ＝－1时，S 2 018＝0，故选C. 12．已知函数g (x )＝a －x 21e ≤x ≤e ，e 为自然对数的底数与h (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，e 2－2] B.⎣⎡⎦⎤1，1e 2＋2 C.⎣⎡⎦⎤1e 2＋2，e 2－2 D ．[e 2－2，＋∞)解析：选A 令f (x )＝h (x )＋g (x )＝2ln x ＋a －x 2，因为函数g (x )＝a －x 2⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 与h (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，所以函数f (x )有零点，f ′(x )＝2x －2x ＝2－2x 2x ，当1e ≤x <1时，f ′(x )>0；当1<x ≤e 时，f ′(x )<0，又f (e )－f ⎝⎛⎭⎫1e ＝2－e 2＋2＋1e 2<0，即f (e )<f ⎝⎛⎭⎫1e ，所以f (e )≤0且f (1)≥0，解得1≤a ≤e 2－2.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．向量AB ―→，AC ―→的夹角为60°，且AB ―→·AC ―→＝2，点D 是线段BC 的中点，则|AD ―→|的最小值为________．解析：由题意可得AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，因为AB ―→·AC ―→＝2，所以|AB ―→|·|AC ―→|＝4， 所以|AD ―→|＝12AB ―→2＋2AB ―→·AC ―→＋AC ―→2＝12|AB ―→|2＋4＋|AC ―→|2≥124＋2|AB ―→|·|AC ―→|＝3，当且仅当|AB ―→|＝|AC ―→|＝2时，等号成立，故|AD ―→|的最小值为 3. 答案： 314．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋12，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则函数f (x )的单调递增区间为________________．解析：因为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋12，且f (α)＝－12，f (β)＝12，|α－β|的最小值为3π4，所以函数f (x )的最小正周期T ＝3π，所以ω＝23，由－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π，k ∈Z ，则函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z. 答案：⎣⎡⎦⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z 15．数列{a n }满足a 1＝1且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项和为________．解析：因为a 1＝1且a n ＋1－a n ＝n ＋1，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝n (n ＋1)2，则1a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项和为2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011. 答案：201116．已知函数f (x )＝e 2x ，g (x )＝ln x ＋12，对∀a ∈R ，∃b ∈(0，＋∞)，使得f (a )＝g (b )，则b －a 的最小值为________．解析：因为f (x )＝e 2x，g (x )＝ln x ＋12，所以f －1(x )＝12ln x ，g －1(x )＝e 1-2x ，令h (x )＝g －1(x )－f －1(x )＝e1-2x －12ln x ，则b －a 的最小值即为h (x )的最小值，h ′(x )＝e 1-2x －12x，令h ′(x )＝ex －12－12x ＝0，得x ＝12，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，h ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，h ′(x )>0，故当x ＝12时，h (x )取得最小值1＋ln 22. 答案：1＋ln 22三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝2c os 2x ＋23sin x ·c os x ＋a ，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最小值为2.(1)求a 的值，并求f (x )的单调区间；(2)先将函数y ＝f (x )的图象上的点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，再将所得到的图象向右平移π12个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求方程g (x )＝4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上所有根之和．解：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1， 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 所以f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋a ＋1＝2， 解得a ＝2.由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z ， 同理可得函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z. (2)由题意，得g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6＋3， 当g (x )＝4时，sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝12， 所以4x －π6＝2k π＋π6或4x －π6＝2k π＋5π6，k ∈Z.因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以解得x 1＝π12，x 2＝π4， 所以g (x )＝4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上所有根之和为x 1＋x 2＝π3. 18．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝n 2a n －n 2(n －1)，且a 1＝12. (1)令b n ＝n ＋1n S n，证明：b n －b n －1＝n (n ≥2)； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)证明：因为S n ＝n 2(S n －S n －1)－n 2(n －1)， 所以nn －1S n －1＝n ＋1n S n －n ，即b n －b n －1＝n (n ≥2)．(2)由已知及(1)得，b 1＝1，b n －b n －1＝n ，b n －1－b n －2＝n －1，…，b 2－b 1＝2， 累加得b n ＝n 2＋n2，∴S n ＝n 22，a n ＝S n －S n －1＝2n －12(n ≥2)，经检验a 1＝12符合a n ＝2n －12，∴a n ＝2n －12.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三内角A ，B ，C 的对边，且3cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋A ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＋2sin 2A . (1)求角B 的值；(2)若b ＝23，求三角形ABC 的周长l 的最大值．解：(1)因为3cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋A ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＋2sin 2A ＝2⎝⎛⎭⎫32cos A ＋12sin A ⎝⎛⎭⎫32cos A －12sin A ＋2sin 2A ＝32c os 2A ＋32sin 2A ＝32，所以c os B ＝12，因为B 是三角形的内角，所以B ＝π3.(2)由正弦定理得a sin A ＝c sin C ＝23sinπ3＝4，所以a ＝4sin A ，c ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ，因此三角形ABC 的周长l ＝4sin A ＋4sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＋23＝43sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋2 3. 因为0<A <2π3，所以当A ＝π3时，l m a x ＝6 3.20．(本小题满分12分)(2018·兰州诊断)设函数f (x )＝1x ＋2ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)如果对所有的x ≥1，都有f (x )≤ax ，求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －1x 2，所以当0<x <12时，f ′(x )<0，当x >12时，f ′(x )>0，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增． (2)当x ≥1时，f (x )≤ax ⇔a ≥2ln x x ＋1x2， 令h (x )＝2ln x x ＋1x2(x ≥1)，则h ′(x )＝2－2ln x x 2－2x 3＝2(x －x ln x －1)x 3，令m (x )＝x －x ln x －1(x ≥1)，则m ′(x )＝－ln x ，当x ≥1时，m ′(x )≤0，所以m (x )在[1，＋∞)上为减函数，所以m (x )≤m (1)＝0，因此h ′(x )≤0，于是h (x )在[1，＋∞)上为减函数， 所以当x ＝1时，h (x )有最大值h (1)＝1，故a ≥1， 即实数a 的取值范围是[1，＋∞)．21．(本小题满分12分)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＝3，S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)(n ≥2，n ∈N *)，又b 1＋2b 2＋22b 3＋…＋2n －2b n －1＋2n －1b n ＝a n ，对任意n ∈N *都成立．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解：(1)∵当n ≥2时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)， ∴S n ＋2＋S n ＝2(S n ＋1＋1)， 两式相减得：a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，∴当n ≥2时， 数列{a n }是公差为2的等差数列， ∴a n ＝3＋2(n －2)＝2n －1(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝1也符合上式，∴a n ＝2n －1. ∵b 1＋2b 2＋22b 3＋…＋2n －2b n －1＋2n －1b n ＝a n ， ∴b 1＋2b 2＋22b 3＋…＋2n －2b n －1＝a n －1，两式相减得2n －1b n ＝a n －a n －1＝2，∴b n ＝22－n (n ≥2)．∵b 1＝1不满足b n ＝22－n，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，22－n ，n ≥2.(2)设c n ＝a n ·b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，(2n －1)·22－n，n ≥2，则T n ＝1＋3＋5×2－1＋7×2－2＋…＋(2n －1)×22－n ， 12T n ＝12＋3×2－1＋5×2－2＋7×2－3＋…＋(2n －1)×21－n ， 两式相减得12T n ＝72＋2×(2－1＋2－2＋2－3＋…＋22－n )－(2n －1)×21－n ＝72＋2×2－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －21－12－(2n －1)×21－n ＝112－(2n ＋3)×21－n ，∴T n ＝11－(2n ＋3)×22－n .22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x .(1)当a ＝1时，求函数f (x )在[1，e]上的最小值和最大值；(2)是否存在实数a ，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>a 恒成立．若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝12x 2－2ln x －x .则f ′(x )＝x －2x －1＝(x ＋1)(x －2)x ，x ∈[1，e]， ∴当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，e)时，f ′(x )>0. ∴f (x )在(1,2)上单调递减，在(2，e)上单调递增．∴当x ＝2时，f (x )取得最小值，其最小值为f (2)＝－2ln 2. 又f (1)＝－12，f (e)＝e 22－e －2.f (e)－f (1)＝e 22－e －2＋12＝e 2－2e －32<0，∴f (e)<f (1)， ∴f (x )max ＝f (1)＝－12.(2)假设存在实数a ，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>a 恒成立，不妨设0<x 1<x 2，若f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>a ，则f (x 2)－ax 2>f (x 1)－ax 1.设g (x )＝f (x )－ax ＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x －ax ＝12x 2－2a ln x －2x .要满足题意，只需g (x )在(0，＋∞)为增函数即可， ∵g ′(x )＝x －2ax －2＝x 2－2x －2a x ＝(x －1)2－1－2a x.要使g ′(x )≥0在(0，＋∞)恒成立，只需－1－2a ≥0，解得a ≤－12.故存在a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－12满足题意． 阶段滚动检测(三)检测范围：第一单元至第十二单元(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设命题p ：∀x ＞0，log 2x ＜2x ＋3，则綈p 为( ) A ．∀x ＞0，log 2x ≥2x ＋3 B ．∃x 0＞0，log 2x 0≥2x 0＋3 C ．∃x 0＞0，log 2x 0＜2x 0＋3 D ．∀x ＜0，log 2x ≥2x ＋3解析：选B 由全称命题否定的定义可知，答案为B.2．已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{－1,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．[0,2] B ．{0,1,2} C ．(－1,2)D ．{－1,0,1}解析：选B 因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{－1,0,1,2}，则A ∩B ＝{0,1,2}．3．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．22B ．4C ．32D ．6解析：选C 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0得C (2，－2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0得D (－1,1)． 所以|AB |＝|CD |＝(2＋1)2＋(－2－1)2＝3 2.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2θ＝－79，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ的值为( ) A.13 B ．±13C ．－19D.19解析：选B 因为c os ⎝⎛⎭⎫2π3－2θ＝－79，即c osπ－⎝⎛⎭⎫π3＋2θ＝－79， 所以c os ⎝⎛⎭⎫π3＋2θ＝79， 由二倍角公式可得1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝79， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝±13. 5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A ．64－16π3B ．64－32π3C ．64－16πD ．64－64π3解析：选A 由三视图可知，该几何体是一个正方体中间挖去两个顶点相接的圆锥，其中，两个圆锥的体积和是V 锥＝13Sh ＝13×π×22×4＝163π，∴V ＝V 正方体－V 锥＝43－163π＝64－163π. 6．若a ，b ，c ∈R ＋，且ab ＋ac ＋bc ＋25＝6－a 2，则2a ＋b ＋c 的最小值为( )A.5－1B.5＋1 C ．25＋2D ．25－2解析：选D 因为a ，b ，c ∈R ＋，且ab ＋ac ＋bc ＋25＝6－a 2，所以(2a ＋b ＋c )2＝4a 2＋b 2＋c 2＋4ab ＋4ac ＋2bc ≥4(a 2＋ab ＋ac ＋bc )＝4(6－25)＝4(5－1)2，所以2a ＋b ＋c ≥25－2，即2a ＋b ＋c 的最小值是25－2.7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为( )A ．15B ．16 C.503D.533解析：选C 由三视图可知，该几何体是如图所示的以俯视图为底面、高为5的四棱锥P -ABCD ，则该几何体的体积V ＝13×12×4×4＋12×2×2×5＝503.8．已知函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫a －1e x ，曲线y ＝f (x )上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围为( )A ．(－e 2，＋∞)B ．(－e 2,0) C.⎝⎛⎭⎫－1e 2，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－1e 2，0 解析：选Df ′(x )＝a －1e x ＋xe x ，因为曲线y ＝f (x )上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，所以f ′(x )＝a －1e x ＋x e x ＝0有两个不同的解．即a ＝1e x －xe x 有两个不同的解，令g (x )＝1e x －x e x ，g ′(x )＝－2e x ＋xex ，由g ′(x )>0，得x >2，由g ′(x )<0，得x <2，所以g (x )在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以当x ＝2时，函数g (x )取得极小值g (2)＝－1e 2，当x →－∞时，g (x )→＋∞，当x →＋∞时，g (x )→0，画出函数g (x )的大致图象如图所示，要满足题意，则需－1e2<a <0.9．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172B ．210C.132D ．310解析：选C 如图，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝⎝⎛⎭⎫522＋62＝132.10.如图，△ABC 是边长为23的正三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上任意一点，则AP ―→·BP ―→的取值范围是( )A ．[1,13]B ．(1,13)C ．(4,10)D ．[4,10]解析：选A 取AB 的中点D ，连接CD ，CP ，则CA ―→＋CB ―→＝2CD ―→，所以AP ―→·BP ―→＝(CP ―→－CA ―→)·(CP ―→－CB ―→)＝CA ―→·CB ―→－2CD ―→·CP ―→＋1＝(23)2cos π3－2×3×1×cos 〈CD ―→，CP ―→〉＋1＝7－6cos 〈CD ―→，CP ―→〉，所以当c os 〈CD ―→，CP ―→〉＝1时，AP ―→·BP ―→取得最小值为1；当cos 〈CD ―→，CP ―→〉＝－1时，AP ―→·BP ―→取得最大值为13，因此AP ―→·BP ―→的取值范围是[1,13]．11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋1ω>0,0≤φ≤π2的图象相邻两条对称轴之间的距离为π，且在x ＝π3时取得最大值2，若f (α)＝85，且π3<α<5π6，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为( ) A.1225 B ．－1225C.2425D ．－2425解析：选D 由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋1ω>0,0≤φ≤π2的图象相邻两条对称轴之间的距离为π可知，函数的周期T ＝2π，则ω＝1.又因为函数在x ＝π3时取得最大值2，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，且0≤φ≤π2，所以φ＝π6，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1，又f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋1＝85，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，又π3<α<5π6，所以π2<α＋π6<π，则c os ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2sin α＋π6·c os ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－2425.12．对于函数f (x )，若关于x 的方程f (2x 2－4x －5)＋sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6＝0只有9个根，则这9个根之和为( )A ．9B ．18C ．πD ．0解析：选A 因为函数y ＝2x 2－4x －5的对称轴为x ＝1，所以f (2x 2－4x －5)关于直线x ＝1对称．由f (2x 2－4x －5)＋sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6＝0可得f (2x 2－4x －5)＝－sin π3x ＋π6关于直线x ＝1对称，因为方程f (2x 2－4x －5)＋sin π3x ＋π6＝0只有9个根，且其中一个根是1，其余8个根关于x＝1对称，所以这9个根之和为9.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．已知向量|AB ―→|＝2，|CD ―→|＝1，且|AB ―→－2CD ―→|＝23，则向量AB ―→和CD ―→的夹角为________．解析：因为向量|AB ―→|＝2，|CD ―→|＝1，且|AB ―→－2CD ―→|＝23，所以AB ―→2－4|AB ―→||CD ―→|c os 〈AB ―→，CD ―→〉＋4CD ―→2＝12，则c os 〈AB ―→，CD ―→〉＝－12，所以〈AB ―→，CD ―→〉＝2π3.答案：2π314．已知函数f (n )＝n 2c os(n π)，数列{a n }满足a n ＝f (n )＋f (n ＋1)(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝________.解析：因为f (n )＝n 2c os(n π)，a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，所以a 1＝f (1)＋f (2)＝－12＋22，a 2＝22－32，a 3＝－32＋42，a 4＝42－52，…，当n 是偶数时，a n ＝n 2－(n ＋1)2，当n 是奇数时，a n ＝－n 2＋(n ＋1)2，则a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(－12＋22)＋(22－32)＋(－32＋42)＋(42－52)＋…＋[－(2n －1)2＋(2n )2]＋[(2n )2－(2n ＋1)2]＝1×3－1×5＋1×7－1×9＋...＋(4n －1)－(4n ＋1) ＝－2－2－ (2)个－2＝－2n .答案：－2n15．已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3BC ，则△ABC 面积的最大值是________． 解析：令BC ＝x ，则AC ＝3x ，角A 是锐角，由余弦定理可得c os A ＝123⎝⎛⎭⎫x ＋2x ，则sin A ＝1238－x 2－4x 2，S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝128x 2－x 4－4，当x ＝2时，△ABC 的面积最大，最大值为 3.答案： 316．若对任意m ∈(－2，－1)，f (x )＝mx 2－(5m ＋n )x ＋n 在x ∈(3,5)上存在零点，则实数n 的取值范围是________．解析：由f (x )＝0，可得x ＝5m ＋n ±25m 2＋6mn ＋n 22m.易知x ＝5m ＋n ＋25m 2＋6mn ＋n 22m<0，舍去，所以x ＝5m ＋n －25m 2＋6mn ＋n 22m∈(3,5)，化简可得n －5m >25m 2＋6mn ＋n 2>n －m .由n －5m >25m 2＋6mn ＋n 2两边平方，化简可得n >0，由25m 2＋6mn ＋n 2>n －m 两边平方，化简可得n <－3m 恒成立，所以n ≤3，综上可得，0<n ≤3. 答案：(0,3]三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A .(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围．解：(1)由正弦定理可得sin A ＝2sin B sin A . 因为sin A ≠0，所以sin B ＝12.因为B 是锐角，所以B ＝π6.(2)c os A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－A ＝cos A ＋12cos A ＋32sin A＝3⎝⎛⎭⎫sin A cos π3＋cos A sin π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3. 因为C ＝5π6－A <π2，所以π3<A <π2，所以2π3<A ＋π3<5π6，12<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32，所以32<3sin A ＋π3<32， 所以c os A ＋sin C ∈⎝⎛⎭⎫32，32.18．(本小题满分12分)如图，三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P -ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PMMC 的值．解：(1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P -ABC 的高． 又PA ＝1，所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA ＝36.(2)证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM .由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC . 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM . 在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32.由MN ∥PA ， 得PM MC ＝AN NC ＝13.19．(本小题满分12分)已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2. 因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项， 所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4.即2(4q ＋2)＝4＋4q 2，化简得q 2－2q ＝0. 因为公比q ≠0，所以q ＝2.所以a n ＝a 2q n －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *)． (2)因为a n ＝2n ，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1. 所以a n b n ＝(2n －1)2n .则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)2n ，① 2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －1)2n ＋1.②①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1＝2＋2×4(1－2n －1)1－2－(2n －1)2n ＋1＝－6－(2n －3)2n ＋1，所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，△PCD 为等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD ＝2BC ＝2，AB ＝3，点E ，F 分别为AD ，CD 的中点．(1)求证：BE ∥平面PCD ； (2)求证：平面PAF ⊥平面PCD .证明：(1)∵AD ＝2BC ＝2，且E 为AD 的中点， ∴BC ＝ED .又∵AD ∥BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，∴BE ∥CD .∵CD ⊂平面PCD ，BE ⊄平面PCD ，∴BE ∥平面PCD .(2)∵在等边△PCD 中，F 是CD 的中点，∴CD ⊥PF . 又BC ∥AD ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥BC ，连接AC ， ∵AB ＝3，BC ＝1，∴AC ＝2， 又AD ＝2，∴AC ＝AD ，∴CD ⊥AF ，又∵PF ∩AF ＝F ，∴CD ⊥平面PAF . ∵CD ⊂平面PCD ，∴平面PAF ⊥平面PCD .21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －ax ，当x 0∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y ＝1ex －e.(1)求a 的值；(2)求证：函数f (x )在定义域内单调递增． 解：(1)由题意，得f ′(x )＝ln x ＋1x ＋1－a ，所以函数f (x )的图象在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)， 即y －(x 0＋1)ln x 0＋ax 0＝⎝⎛⎭⎫ln x 0＋1x 0＋1－a (x －x 0)， 即y ＝⎝⎛⎭⎫ln x 0＋1x 0＋1－a x ＋ln x 0－x 0－1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1x 0＋1－a ＝1e ，x 0－ln x 0＋1＝e.令g (x )＝x －ln x ＋1，则g ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，故当x ∈(1，＋∞)时，g (x )单调递增． 又因为g (e)＝e ，所以x 0＝e ，将x 0＝e 代入ln x 0＋1x 0＋1－a ＝1e ，得a ＝2.(2)证明：由a ＝2，得f ′(x )＝ln x ＋1x －1(x >0)． 令h (x )＝ln x ＋1x ，则h ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，故当x ∈(0,1)时，h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )单调递增，故h (x )≥h (1)＝1. 因此当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＝h (x )－1≥0，当且仅当x ＝1时，f ′(x )＝0. 所以f (x )在定义域内单调递增．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ln x ＋(x －c )2，x ≥c ，a ln x －(x －c )2，0＜x ＜c (其中a ＜0，c ＞0)． (1)当a ＝2c －2时，若f (x )≥14对任意x ∈(c ，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围；(2)设函数f (x )的图象在两点P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))处的切线分别为l 1，l 2，若x 1＝ －a 2，x 2＝c ，且l 1⊥l 2，求实数c 的最小值．解：(1)当x ＞c ，a ＝2c －2时， f ′(x )＝ax ＋2(x －c )＝2x 2－2cx ＋a x ＝2(x －1)[x －(c －1)]x .∵a ＜0，c ＞0，且c ＝a2＋1，∴0＜c ＜1.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴函数f (x )在(c ，＋∞)上的最小值为f (1)＝(1－c )2＝14a 2.∴要使f (x )≥14恒成立，只需14a 2≥14恒成立，即a ≤－1或a ≥1(舍去)． 又∵c ＝a2＋1＞0，∴a ＞－2.∴实数a 的取值范围是(－2，－1]． (2)由l 1⊥l 2可得，f ′⎝⎛⎭⎫－a 2·f ′(c )＝－1，。

高三文科数学一轮复习滚动检测卷滚动检测一第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2,3}，集合B ＝{3,4}，则(∁U A )∪B 等于( ) A ．{4} B ．{2,3,4} C ．{3,4,5}D ．{2,3,4,5}2．“x <0”是“xx ＋1<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知命题p 与命题q ，若命题(綈p )∨q 为假命题，则下列说法正确的是( ) A ．p 真，q 真 B ．p 假，q 真 C ．p 真，q 假D ．p 假，q 假4．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2－m －1)x －m －1为减函数，则实数m 的取值集合为( )A ．{2}B ．{－1}C ．{2，－1}D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ≠1＋52 5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥5，f (x ＋2)，x <5，则f (2)的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．56．函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致区间为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(e,3)D ．(e ，＋∞)7．已知函数f (x )的定义域为R ，对任意x 都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2 015)＋f (2 018)的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．28．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )9．若a>0，b>0，ab>1，log12a＝ln 2，则log a b与log12a的关系是()A．log a b<log12aB．log a b＝log12aC．log a b>log12aD．log a b≤log12a10．已知f(x)是偶函数，x∈R，若将f(x)的图象向右平移一个单位得到一个奇函数，若f(2)＝－1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)等于()A．－1 003 B．1 003C．1 D．－111．(2017·天津市河西区模拟)已知命题p ：∀x ∈[1,2]，e x －a ≥0.若綈p 是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，e 2] B ．(－∞，e] C ．[e ，＋∞)D ．[e 2，＋∞)12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，lg x ，x >1，g (x )＝3－x ，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．0第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知g (x )是定义在[－2,2]上的偶函数，当x ≥0时，函数g (x )单调递减，当g (1－m )－g (m )<0时，实数m 的取值范围为________．14．(2018·保定模拟)已知命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q ：如果函数y ＝f (x －3)的图象关于原点对称，那么函数y ＝f (x )的图象关于点(3,0)对称，则命题p ∨q 为________(填“真”或“假”)命题．15．如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x －1)，那么函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为________．16．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝2x＋m2x ，设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >1，f (－x )，x ≤1，若函数y ＝g (x )－t 有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2018届衡水市武邑中学月考)已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |x 2－3x ≤10}．(1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ⊆Q ，求实数a 的取值范围．18．(12分)已知p ：函数f (x )＝x 2－2mx ＋4在[2，＋∞)上单调递增；q ：关于x 的不等式mx 2＋4(m－2)x＋4>0的解集为R.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．19.(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －a －ab (a ≠0)，当x ∈(－1,3)时，f (x )>0；当x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)时，f (x )<0.(1)求f (x )在(－1,2)内的值域；(2)若方程f (x )＝c 在[0,3]上有两个不相等实根，求c 的取值范围．20．(12分)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求当年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？21.(12分)已知函数f (x )＝22x －52·2x ＋1－6.(1)当x ∈[0,4]时，求f (x )的最大值和最小值；(2)若存在x ∈[0,4]，使f (x )＋12－a ·2x ≥0成立，求实数a 的取值范围．22．(12分)(2017·广东深圳一模)已知函数f(x)满足f(log a x)＝aa2－1(x－x－1)(其中a>0，a≠1)．(1)求f(x)的表达式；(2)对于函数f(x)，当x∈(－1,1)时，f(1－m)＋f(1－m2)<0，求实数m的取值范围；(3)当x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值为负数，求a的取值范围．答案精析1．C 2.B 3.C 4.A 5.B 6.B7．B [根据f (x ＋2)＝－f (x )可知，函数的最小正周期为4，故f (2 015)＋f (2 018)＝f (3)＋f (2)＝－f (1)－f (0)＝－1.]8．A [因为f (－x )＝f (x )，所以函数图象关于y 轴对称，排除C ；又f (x )＝ln(x 2＋1)≥ln 1＝0，所以排除B ，D ，故选A.]9．A [由log 12a ＝ln 2>0，得0<a <1，b >1，log a b <0.]10．D [f (x －1)是奇函数，而f (x )是偶函数，∴f (x )的最小正周期是4， f (－1)＝f (1)＝f (3)＝0，f (0)＝－f (2)＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝－1.] 11．B [由命题p ：∀x ∈[1,2]，使得e x －a ≥0， ∴a ≤(e x )min ＝e ，若綈p 是假命题，∴p 是真命题，∴a ≤e. 则实数a 的取值范围为(－∞，e]．]12．A [函数h (x )的零点满足f (x )－g (x )＝0，即f (x )＝g (x )，绘制函数f (x )与g (x )的图象，如图 所示，交点的个数即函数h (x )零点的个数，观察可得，函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是2.故选A.] 13.⎣⎡⎭⎫－1，12 解析 根据题意， 由g (1－m )<g (m )，得⎩⎪⎨⎪⎧|1－m |>|m |，1－m ∈[－2，2]，m ∈[－2，2]，解得⎩⎪⎨⎪⎧m <12，－1≤m ≤3，－2≤m ≤2，即－1≤m <12.14．真解析 ∵y ＝log a []a ×(－1)＋2a ＝1，∴命题p 为真；∵y ＝f (x －3)的图象关于原点对称，则函数y ＝f (x )的图象关于点(－3,0)对称，∴命题q 为假，因此命题p ∨q 为真． 15．4解析 根据f (1＋x )＝f (－x )，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称．又函数f (x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增，故f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，12上单调递减， 则函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为f (－2)＋f (0)＝f (1＋2)＋f (1＋0)＝f (3)＋f (1)＝log 28＋log 22＝4. 16.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋m ·2x ＝－(2x ＋m ·2－x )，解得m ＝－1，故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－x ，x >1，2－x －2x ，x ≤1，作出函数g (x )的图象(如图所示)．当x >1时，g (x )单调递增，此时g (x )>32；当x ≤1时，g (x )单调递减，此时g (x )≥－32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－32，32时，y ＝g (x )－t 有且只有一个零点． 17．解 (1)因为a ＝3，所以P ＝{x |4≤x ≤7}，∁R P ＝{x |x <4或x >7}．又Q ＝{x |x 2－3x ≤10}＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |－2≤x <4}．(2)当P ≠∅时，由P ⊆Q ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a ＋1.解得0≤a ≤2；当P ＝∅时，2a ＋1<a ＋1，解得a <0，此时有P ＝∅⊆Q ， 综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．18．解 若命题p 为真，因为函数f (x )的图象的对称轴为x ＝m ，则m ≤2；若命题q 为真，当m ＝0时，原不等式为－8x ＋4>0，显然不成立．当m ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝16(m －2)2－16m <0，解得1<m <4. 由题意知，命题p ，q 一真一假，故⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤2，m ≤1或m ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧m >2，1<m <4， 解得m ≤1或2<m <4.19．解 (1)由题意知，－1,3是方程ax 2＋bx －a －ab ＝0的两根， 可得a ＝－1，b ＝2，则f (x )＝－x 2＋2x ＋3在(－1,2)内的值域为(0,4]．(2)方程－x 2＋2x ＋3＝c ，即x 2－2x ＋c －3＝0在[0,3]上有两个不相等实根， 设g (x )＝x 2－2x ＋c －3，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)<0，g (0)≥0，g (3)≥0，解得3≤c <4.20．解 (1)每吨平均成本为yx (万元)．则y x ＝x 5＋8 000x－48≥2x 5·8 000x－48＝32， 当且仅当x 5＝8 000x，即x ＝200时取等号．所以当年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元． (2)设年获得总利润为R (x )万元， 则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210)．因为R (x )在[0,210]上是增函数，所以当x ＝210时，R (x )有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1660.所以当年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元． 21．解 (1)f (x )＝(2x )2－5·2x －6，设2x ＝t ，∵x ∈[0,4]，则t ∈[1,16]，∴h (t )＝t 2－5t －6，t ∈[1,16]． ∵当t ∈⎝⎛⎦⎤1，52时函数h (t )单调递减； 当t ∈⎝⎛⎦⎤52，16时函数h (t )单调递增， ∴f (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫52＝－494，f (x )max ＝h (16)＝170. (2)∵存在x ∈[0,4]，使f (x )＋12－a ·2x ≥0成立，而t ＝2x >0， ∴存在t ∈[1,16]，使得a ≤t ＋6t－5成立．令g (t )＝t ＋6t －5，则g (t )在[1，6]上单调递减，在[6，16]上单调递增，而g (1)＝2<g (16)＝918，∴g (t )max ＝g (16)＝918， ∴a ≤g (t )max ＝g (16)＝918， ∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，918. 22．解 (1)设log a x ＝t ，则x ＝a t ， 代入原函数，得f (t )＝a a 2－1(a t －a －t )， 则f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(其中a >0，a ≠1)．(2)当a >1时，a x 是增函数，a －x 是减函数，且a a 2－1>0，所以f (x )是定义域R 上的增函数，同理，当0<a <1时，f (x )也是R 上的增函数， 又f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数． 由f (1－m )＋f (1－m 2)<0得f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－m <1，－1<1－m 2<1，1－m <m 2－1，解得1<m < 2.则实数m 的取值范围是(1，2)． (3)因为f (x )是增函数，所以当x ∈(－∞，2)时，f (x )－4∈(－∞，f (2)－4)， 又当x ∈(－∞，2)时，f (x )－4的值为负数， 所以f (2)－4≤0，则f (2)－4＝a a 2－1(a 2－a －2)－4＝a a 2－1·a 4－1a 2－4＝a 2＋1a －4≤0，解得2－3≤a ≤2＋3且a ≠1，所以a 的取值范围是{a |2－3≤a ≤2＋3且a ≠1}．滚动检测二考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝x －1＋lg(x ＋1)的定义域是( ) A ．(－1,1] B ．(－1,1) C ．[－1,1]D ．[1，＋∞)2．设集合A ，B ，则“A ⊆B ”是“A ∪B ＝B ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2018·大同调研)给定函数：①y ＝x 12，②y ＝1x ，③y ＝|x |－1，④y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ，其中既是奇函数又在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④4．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－1，则f ⎝⎛⎭⎫23，f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫13的大小关系是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫23>f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫13B ．f ⎝⎛⎭⎫23>f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫32C ．f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫23>f ⎝⎛⎭⎫13D ．f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫235．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈(－2，－1]时，f (x )的最小值为( ) A ．－116 B ．－18 C ．－14D ．06．在f (x )＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为( ) A ．3x ＋y －11＝0 B ．3x －y ＋6＝0 C ．x －3y －11＝0D ．3x －y －11＝07．(2017·哈尔滨市九中二模)函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的图象大致是( )8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(4a －3c )cos B ＝3b cos C ，a ，b ，c 成等差数列，若b ＝22，则△ABC 的面积为( ) A.677 B.72 C.776 D.4759．将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的图象向右平移π12个单位长度后所得图象的一条对称轴的方程是( ) A ．x ＝π6B ．x ＝π4C ．x ＝π3D ．x ＝π1210．(2018届大庆实验中学期中)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向右平移π8个单位长度，得到的图象关于原点对称，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4 C ．0D ．－π411．己知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，已知当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－(x ＋1)2＋1，函数y 1＝f (x )的图象和函数y 2＝lg|x |的图象的交点个数为( )A ．8B ．9C ．16D ．1812．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪{1} 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2017·安徽皖西教学联盟)命题“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的否定为____________________．14．(2017·揭阳联考)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝45，－π2<α<0，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝________. 15．(2017·唐山一模)将函数f (x )＝cos ωx 的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4的图象，则正数ω的最小值为________． 16．定义：如果函数f (x )在[m ，n ]上存在x 1，x 2(m <x 1<x 2<n )满足f ′(x 1)＝f (n )－f (m )n －m ，f ′(x 2)＝f (n )－f (m )n －m.则称函数f (x )是[m ，n ]上的“双中值函数”，已知函数f (x )＝x 3－x 2＋a 是[0，a ]上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是________________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪18≤2x －2≤16，B ＝{x |2m ＋1≤x ≤3m －1}． (1)求集合A ；(2)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．18．(12分)(2018届重庆一中月考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3(0<φ<2π)，若f (x )－f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝0对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (0)． (1)求y ＝f (x )的解析式和单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2时，求y ＝f (x )的值域．19．(12分)(2018·葫芦岛调研)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本25万元，此外每生产1件这样的产品，还需增加投入0.5万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为⎝⎛⎭⎫5t －1200t 2 万元． (1)设该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为f (x )，求f (x )；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大．20．(12分)已知函数f (x )＝(ax －1)e x ，a ∈R ，e 是自然对数的底数． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的极值；(2)若函数f (x )在区间(0,1)上是单调递增函数，求实数a 的取值范围．21.(12分)在△ABC 中，设边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C .A ，B ，C 都不是直角，且ac cos B ＋bc cos A ＝a 2－b 2＋8cos A . (1)若sin B ＝2sin C ，求b ，c 的值； (2)若a ＝6，求△ABC 面积的最大值．22．(12分)(2017·沈阳大东区质检)已知函数f(x)＝2x－1x－a ln x(a∈R)．(1)当a＝3时，求f(x)的单调区间；(2)设g(x)＝f(x)－x＋2a ln x，且g(x)有两个极值点x1，x2，其中x1<x2，若g(x1)－g(x2)>t恒成立，求t的取值范围．答案精析1．D 2.C 3.D 4.A 5.A6．D [由题意得，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3，则当x ＝－1时，f ′(x )min ＝3.又f (－1)＝－14，则曲线y ＝f (x )在x ＝－1处的切线方程为y －(－14)＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.] 7．D [∵函数f (x )＝2x －4sin x ，∴f (－x )＝－2x －4sin(－x )＝－(2x －4sin x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，所以函数f (x )＝2x －4sin x 的图象关于原点对称，排除A ，B ；函数f ′(x )＝2－4cos x ，由f ′(x )＝0，得cos x ＝12，故x ＝2k π±π3(k ∈Z )，所以当x ＝±π3时函数取得极值，排除C ，故选D.]8．A [由题意可知，4sin A cos B －3sin C cos B ＝3sin B cos C ， 可得4sin A cos B ＝3sin(B ＋C )＝3sin A ，∵sin A ≠0，∴cos B ＝34，∴sin B ＝1－cos 2B ＝74.∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a ＋c )2－b 2－2ac 2ac ＝34，∴ac ＝487，则S △ABC ＝12ac sin B ＝677.]9．A [将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的图象向右平移π12个单位长度后所得图象的函数解析式为 y ＝cos ⎣⎡⎦⎤π6－2⎝⎛⎭⎫x －π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 因为函数在函数图象的对称轴处取得最值，经检验x ＝π6成立，故选A.]10．B [将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向右平移π8个单位长度，可得sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋φ. ∵图象关于原点对称，∴－π4＋φ＝k π，k ∈Z .解得φ＝k π＋π4.当k ＝0时，可得φ＝π4.]11．D [函数y 1＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 故f (1＋x )＝f (1－x )．函数f (x )是定义在R 上的偶函数，故f (1－x )＝f (x －1)， 因此f (x ＋1)＝f (x －1)，从而函数f (x )是周期为2的函数．可根据函数性质作出函数y 1＝f (x )的图象和函数y 2＝lg|x |的图象，因为函数f (x )的值域为[0,1]，所以只需要考虑区间[－10,10]，数形结合可得交点个数为18.故选D.]12．C [函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (x )恰有两个零点，转化为ln x －ax 2＋ax ＝0，即方程ln x x ＝a (x －1)恰有两解，设g (x )＝ln xx ，则g ′(x )＝1－ln x x 2，当0<x <e 时，g ′(x )>0，当x >e 时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，e)上是增函数， 在(e ，＋∞)上是减函数，且g (1)＝0，当x >e 时，g (x )>0，g ′(1)＝1，作出函数y 1＝g (x )和函数y 2＝a (x －1)的图象如图所示，由图可知，两个函数有两个交点的充要条件是0<a <1或a >1，故选C.] 13．若ab ＝0，则a ≠0且b ≠0解析 若“ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的否定为“若ab ＝0，则a ≠0且b ≠0”． 14．－435解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝45，－π2<α<0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝35， 而sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋2π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3· cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3sin π3＝3－4310， ∴sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋2π3－2π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3cos 2π3－cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3sin 2π3＝－3－4310， sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝3－4310＋－3－4310＝－435. 15.32解析 f (x )向右平移π2个单位长度后得g (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π2ω. ∵sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫ωx －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －3π4， ∴ωx －π2ω＝ωx －3π4＋2k π(k ∈Z )，∴ω＝32－4k (k ∈Z )，∴正数ω的最小值为32.16.⎝⎛⎭⎫12，1解析 因为f (x )＝x 3－x 2＋a ，所以由题意可知，f ′(x )＝3x 2－2x 在区间[0，a ]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<a )，满足f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝f (a )－f (0)a －0＝a 2－a ，所以方程3x 2－2x ＝a 2－a 在区间(0，a )上有两个不相等的实根． 令g (x )＝3x 2－2x －a 2＋a (0<x <a )， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12(－a 2＋a )>0，g (0)＝－a 2＋a >0，g (a )＝2a 2－a >0，解得12<a <1.17．解 (1)18≤2x －2≤16,2－3≤2x －2≤24，∴－3≤x －2≤4，∴－1≤x ≤6，∴A ＝{x |－1≤x ≤6}． (2)若B ＝∅，则2m ＋1>3m －1，解得m <2，此时满足题意；若B ≠∅且B ⊆A ，∴必有⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≤3m －1，－1≤2m ＋1，3m －1≤6，解得2≤m ≤73.综上所述，m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ≤73. 18．解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3， 由f (x )－f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝0可知，x ＝π8为函数的对称轴， 则2×π8＋φ＋π3＝k π＋π2，φ＝－π12＋k π，k ∈Z ，由0<φ<2π可知，φ＝11π12或φ＝23π12.又由f ⎝⎛⎭⎫π2>f (0)可知，－sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3>sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3， 则sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3<0， 验证φ＝11π12和φ＝23π12，则φ＝11π12符合，所以y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π， 得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ， 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2，所以2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π12，5π4， 则f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－1，22. 所以f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 19．解 (1)当0＜x ≤500时，f (x )＝5x －1200x 2－x2－25；当x ＞500时，f (x )＝5×500－1200×5002－x2－25，故f (x )＝⎩⎨⎧－1200x 2＋92x －25，0<x ≤500，－12x ＋1 225，x >500.(2)当0＜x ≤500时，f (x )＝－1200(x －450)2＋19752. 故当x ＝450时，f (x )max ＝1 9752＝987.5； 当x ＞500时，f (x )<－12×500＋1 225＝975，故当该公司的年产量为450件时，当年获得的利润最大． 20．解 (1)因为f ′(x )＝(ax ＋a －1)e x ， 所以当a ＝1时，f ′(x )＝x e x ， 令f ′(x )＝0，解得x ＝0，所以当x 变化时f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：↘↗所以当x ＝0时，f (x )取得极小值f (0)＝－1.(2)因为f ′(x )＝(ax ＋a －1)e x ，函数f (x )在区间(0,1)上是单调递增函数， 所以f ′(x )≥0对x ∈(0,1)恒成立，又e x >0，所以只要ax ＋a －1≥0对x ∈(0,1)恒成立， 要使ax ＋a －1≥0对x ∈(0,1)恒成立， 因为x >0，所以a ≥1x ＋1对x ∈(0,1)恒成立，因为函数g (x )＝1x ＋1在(0,1)上单调递减，所以只要a ≥g (0)＝10＋1＝1，所以a 的取值范围是[1，＋∞)．21．解 (1)∵ac ·a 2＋c 2－b 22ac ＋bc ·b 2＋c 2－a 22bc＝a 2－b 2＋8cos A ，∴b 2＋c 2－a 2＝8cos A ，∴2bc cos A ＝8cos A ， ∵cos A ≠0，∴bc ＝4. 又∵sin B ＝2sin C ，由正弦定理，得b ＝2c ，∴b ＝22，c ＝ 2. (2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ≥2bc －2bc cos A ， 即6≥8－8cos A ，∴cos A ≥14，当且仅当b ＝c 时取等号．∴sin A ≤154，∴S ＝12bc sin A ≤152， ∴△ABC 面积的最大值为152. 22．解 (1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝3时，f (x )＝2x －1x －3ln x ，f ′(x )＝2＋1x 2－3x ＝2x 2－3x ＋1x 2，令f ′(x )>0，得0<x <12或x >1，令f ′(x )<0，得12<x <1.∴f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，12和(1，＋∞)， 单调递减区间是⎝⎛⎭⎫12，1.(2)由已知得g (x )＝x －1x ＋a ln x ，x ∈(0，＋∞)，g ′(x )＝1＋1x 2＋a x ＝x 2＋ax ＋1x 2，令g ′(x )＝0，得x 2＋ax ＋1＝0， ∵g (x )有两个极值点x 1，x 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4>0，x 1＋x 2＝－a >0，x 1x 2＝1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <－2，x 2＝1x 1，a ＝－(x 1＋x 2).又∵x 1<x 2，∴x 1∈(0,1)， ∴g (x 1)－g (x 2)＝g (x 1)－g ⎝⎛⎭⎫1x 1＝x 1－1x 1＋a ln x 1－⎝⎛⎭⎫1x 1－x 1＋a ln 1x 1 ＝2⎝⎛⎭⎫x 1－1x 1＋2a ln x 1＝2⎝⎛⎭⎫x 1－1x 1－2⎝⎛⎭⎫x 1＋1x 1ln x 1. 设h (x )＝2⎝⎛⎭⎫x －1x －2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ln x ，x ∈(0,1)， ∵h ′(x )＝2⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－1x 2ln x ＋⎝⎛⎭⎫x ＋1x 1x＝2(1＋x )(1－x )ln xx 2，当x ∈(0,1)时，恒有h ′(x )<0，∴h (x )在(0,1)上单调递减， ∴h (x )>h (1)＝0，∴g (x 1)－g (x 2)>0，又∵g (x 1)－g (x 2)>t 恒成立，∴t ≤0.滚动检测三考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·云南河州统一检测)已知集合A ＝{x |x 2≤1}，B ＝{x |0<x <1}，则A ∩B 等于( ) A ．(0,1) B ．[－1,1) C ．[－1,1]D ．(－1,1)2．(2018届中原名校质量考评)函数y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3在x ∈[－2π，2π]上的单调递减区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤－5π3，π3 B.⎣⎡⎦⎤－2π，5π3 C.⎣⎡⎦⎤π3，2πD.⎣⎡⎦⎤－2π，5π3和⎣⎡⎦⎤π3，2π 3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 等于( ) A ．－14B.14C.78D.11164．(2018·新余模拟)在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2.则满足条件的三角形的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．05．已知定义在R 上的函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f ⎝⎛⎭⎫log 123，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜a ＜c B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜cD ．a ＜c ＜b6．已知f (x )＝x 3－ax 在(－∞，－1]上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．[3，＋∞) C ．(－∞，3)D ．(－∞，3]7．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝lg|x |C ．y ＝cos xD ．y ＝x 2＋2x8．(2017·重庆三诊)已知a ＝(2,1)，b ＝(m ，－1)，且a ⊥(a －b )，则实数m 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．(2018届洛阳联考)已知点O 是锐角△ABC 的外心，若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则( ) A ．m ＋n ≤－2 B ．－2≤m ＋n <－1 C ．m ＋n <－1D ．－1<m ＋n <010．(2017·河南第一高级中学适应性测试)已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝a ＋λb (λ∈R )，向量d 如图所示，则( )A ．∃λ0>0，使得c ⊥dB ．∃λ0>0，使得〈c ，d 〉＝60°C ．∃λ0<0，使得〈c ，d 〉＝30°D ．∃λ0>0，使得c ＝m d (m 是不为0的常数)11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，若f (x )满足f (x ＋π)＝－f (x )，且f (0)＝12，则函数h (x )＝2cos(ωx ＋φ)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A ．[－1，3] B ．[－2，3] C ．[－3，2]D ．[1，3]12．对任意的正数x ，都存在两个不同的正数y ，使x 2(ln y －ln x )－ay 2＝0成立，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12e B.⎝⎛⎭⎫－∞，12e C.⎝⎛⎭⎫12e ，＋∞D.⎝⎛⎭⎫12e ，1第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2018届四川绵阳丰谷中学月考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3e x －1，x <3，log 3(x 2－6)，x ≥3，则f (f (3))的值为________．14．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，BM →＝λBC →.若AM →·BC →＝－173，则实数λ的值为______．15．(2017·石嘴山三模)给出下列命题： ①已知a ，b 都是正数，且a ＋1b ＋1＞a b，则a ＜b ；②已知f ′(x )是f (x )的导函数，若∀x ∈R ，f ′(x )≥0，则f (1)＜f (2)一定成立；③命题“∃x 0∈R ，使得x 20－2x 0＋1＜0”的否定是真命题； ④“x ≤1且y ≤1”是“x ＋y ≤2”的充要条件． 其中正确的命题的序号是________．16．(2018·九江模拟)已知f (x )＝x 3－3x ＋m ，若在区间[0,2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f (a )，f (b )，f (c )为边长的三角形，则实数m 的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2018届河南信阳高级中学考试)已知a ，b ，c 分别为锐角△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C . (1)求∠A 的大小；(2)若f (x )＝3sin x 2·cos x 2＋cos 2x2，求f (B )的取值范围．18．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(sin C －sin A )＝sin B . (1)求bc －a的值； (2)若b ＝2，BA →·BC →＝32，求△ABC 的面积．19.(12分)已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)分别求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13， f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14的值； (2)归纳猜想一般性结论，并给出证明；(3)求值：f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＋f ⎝⎛⎭⎫12 011＋f ⎝⎛⎭⎫12 010＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)．20．(12分)已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，设向量m ＝(sin x ，cos x )，n ＝⎝⎛⎭⎫32，12. (1)若m ∥n ，求x 的值；(2)若m·n ＝35，求sin ⎝⎛⎭⎫x －π12的值．21.(12分)某河道中过度滋长一种藻类，环保部门决定投入生物净化剂净化水体. 因技术原因，第t 分钟内投放净化剂的路径长度p (t )＝140－|t －40|(单位：m)，净化剂净化水体的宽度q (单位：m)是时间t (单位：分钟)的函数：q (t )＝1＋a 2t (a 由单位时间投放的净化剂数量确定，设a为常数，且a ∈N *)．(1)试写出投放净化剂的第t 分钟内净化水体面积S (t )(1≤t ≤60，t ∈N *)的表达式； (2)求S (t )的最小值．22．(12分)已知函数f(x)＝e x－ax－1(a∈R)．(1)若f(x)有极值0，求实数a，并确定该极值为极大值还是极小值；(2)在(1)的条件下，当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥mx ln(x＋1)恒成立，求实数m的取值范围．答案精析1．A 2.A 3.A 4.B 5.A 6.D 7.B8．C [由a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b )＝0,6－2m ＝0，解得m ＝3，故选C.] 9．C [∵O 是锐角△ABC 的外心，∴O 在三角形内部，不妨设锐角△ABC 的外接圆的半径为1， 又OC →＝mOA →＋nOB →，∴|OC →|＝|mOA →＋nOB →|， 可得OC →2＝m 2OA →2＋n 2OB →2＋2mnOA →·OB →， 而OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|cos ∠AOB <|OA →|·|OB →|＝1. ∴1＝m 2＋n 2＋2mnOA →·OB →<m 2＋n 2＋2mn ，∴m ＋n <－1或m ＋n >1，如果m ＋n >1则O 在三角形外部，三角形不是锐角三角形， ∴m ＋n <－1，故选C.]10．D [由图知d ＝(5,5)－(1,2)＝(4,3)，则c ＝a ＋λb ＝(1，λ)，若c ⊥d ，则4＋3λ＝0，得λ＝－43，故A 错；若夹角为60°，则有4＋3λ＝51＋λ2cos 60°，即11λ2＋96λ＋39＝0，有两个负根，故B 错；若夹角为30°，则有4＋3λ＝51＋λ2cos 30°，即39λ2－96λ＋11＝0有两个正根，故C 错；若两个向量共线，则有4λ＝3，解得λ＝34，故D 对．]11．A [因为f (x ＋π)＝－f (x )，所以函数f (x )的周期为2π，ω＝1，由f (0)＝sin φ＝12且|φ|＜π2，得φ＝π6，所以h (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2知π6≤x ＋π6≤2π3， 所以－12≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32，h (x )∈[－1，3]， 故选A.]12．A [由x 2(ln y －ln x )－ay 2＝0(x ＞0，y ＞0)，得a ＝x 2(ln y －ln x )y 2＝ln y x⎝⎛⎭⎫y x 2，令t ＝yx (t ＞0)，所以a ＝ln t t 2.设g (t )＝ln tt 2(t >0)，g ′(t )＝1t ·t 2－(ln t )2t t 4＝1－2ln t t 3，令g ′(t )＞0，得0＜t ＜e ，g (t )单调递增；令g ′(t )＜0，得t ＞e ，g (t )单调递减．所以g (t )最大值为g (e)＝12e.又当t ＞1时，g (t )＞0；当0＜t ＜1时，g (t )＜0，故当a ∈⎝⎛⎭⎫0，12e 时，存在两个正数t ，使a ＝ln tt 2成立，即对任意的正数x ，都存在两个不同的正数y ，使x 2(ln y －ln x )－ay 2＝0成立，故选A.] 13．3解析 因为f (3)＝log 3(32－6)＝log 33＝1， 所以f (f (3))＝f (1)＝3e 1－1＝3. 14.13解析 ∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理可得BC ＝19，又根据余弦定理可得cos ∠ABC ＝419，AM →·BC →＝(BM →－BA →)·BC →＝λBC →2－BA →·BC →＝19λ－3×19×419＝－173，解得λ＝13.15．①③解析 ①已知a ，b 都是正数，a ＋1b ＋1＞ab ，ab ＋b ＞ab ＋a ，则a ＜b 正确；②若f (x )是常函数，则f (1)＜f (2)不成立，③命题“∃x 0∈R ，使得x 20－2x 0＋1＜0”是假命题，则它的否定是真命题；④“x ≤1且y ≤1”⇒“x ＋y ≤2”，反之不成立，则“x ≤1且y ≤1”是“x ＋y ≤2”的充分不必要条件．正确的命题序号为①③. 16．(6，＋∞)解析 三角形的边长为正数，而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形，故只需求出函数在区间[0,2]上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解． 令f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0， 则x 1＝1，x 2＝－1(舍去)，∵函数的定义域为[0,2]，∴当x ∈[0,1)时，f ′(x )＜0， 当x ∈(1,2]时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )在区间[0,1)上单调递减，在区间(1,2]上单调递增， 则f (x )min ＝f (1)＝m －2，f (x )max ＝f (2)＝m ＋2，f (0)＝m ， 由题意知，f (1)＝m －2＞0；①由f (1)＋f (1)＞f (2)，得－4＋2m ＞2＋m ，② 由①②得m >6.17．解 (1)由(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 及正弦定理，可得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ， 化为b 2＋c 2－a 2＝bc . 由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)f (x )＝3sin x 2·cos x 2＋cos 2x2＝32sin x ＋1＋cos x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋12， 在锐角△ABC 中，由A ＝π3，知π6<B <π2，∴π3<B ＋π6<2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6∈⎝⎛⎦⎤32，1， ∴f (B )的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1＋32，32.18．解 (1)由正弦定理，得2(c －a )＝b ，即bc －a ＝2；(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2(c －a )＝b ，b ＝2，BA →·BC →＝ca cos B ＝32，即⎩⎪⎨⎪⎧c －a ＝1，ca ·a 2＋c 2－b 22ac ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，所以cos B ＝34，所以sin B ＝74，所以S ＝12ac sin B ＝74. 19．解 (1)∵f (x )＝x 21＋x 2，∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝221＋22＋122＋1＝1， 同理可得f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1. (2)由(1)猜想f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1.证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝1. (3)令S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＋f ⎝⎛⎭⎫12 011＋f ⎝⎛⎭⎫12 010＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)， 则S ＝f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 011＋f (2 011)＋f (2 010)＋…＋f (2)＋f (1)， 则2S ＝4 022，故S ＝2 011.20．解 (1)因为m ＝(sin x ，cos x )，n ＝⎝⎛⎭⎫32，12，且m ∥n ，所以sin x ·12＝cos x ·32，即tan x ＝3，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以x ＝π3. (2)因为m ＝(sin x ，cos x )，n ＝⎝⎛⎭⎫32，12，且m·n ＝35， 所以32sin x ＋12cos x ＝35， 即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35，令θ＝x ＋π6， 则x ＝θ－π6，且sin θ＝35，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，故θ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2， 所以cos θ＝1－sin 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π12＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6－π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin θcos π4－cos θsin π4 ＝35×22－45×22＝－210.21．解 (1)由题意， 得S (t )＝p (t )·q (t )＝(140－|t －40|)⎝⎛⎭⎫1＋a 2t ＝⎩⎨⎧100＋a 2＋t ＋100a 2t，1≤t ＜40，t ∈N *，180－a 2－t ＋180a2t，40≤t ≤60，t ∈N *.(2)当40≤t ≤60且t ∈N *时，S (t )＝180－a 2－t ＋180a 2t， 当t 增加时180a 2t 减小，所以S (t )在40≤t ≤60上单调递减，所以当t ＝60时，S (t )有最小值2a 2＋120. 当1≤t ＜40且t ∈N *时，S (t )＝100＋a 2＋t ＋100a 2t≥100＋a 2＋20a (当且仅当t ＝10a 时，等号成立)，①若a ＝1或2或3；当t ＝10a 时，上述不等式中的等号成立， S (t )在1≤t ＜40范围中有最小值a 2＋20a ＋100. 又在40≤t ≤60时S (t )有最小值2a 2＋120.当a ＝1时，100＋a 2＋20a ＝121＜122＝2a 2＋120， 故S (t )有最小值121；当a ＝2或a ＝3时，100＋a 2＋20a ＞2a 2＋120， 故S (t )有最小值2a 2＋120. ②若a ≥4且1≤t ＜40时，因为S (t ＋1)－S (t )＝1＋100a 2t ＋1－100a 2t ＝1－100a 2t (t ＋1)<0，所以S (t ＋1)<S (t )，故S (t )在1≤t <40时单调递减；又S (t )在40≤t ≤60时单调递减，且100＋a 2＋40＋100a 240＝180－a 2－40＋180a 240， 所以S (t )在1≤t ≤60时单调递减． 所以，当t ＝60时，S (t )有最小值2a 2＋120. 综上，若a ＝1，当t ＝10时，S (t )有最小值121； 若a ≥2且a ∈N *，当t ＝60时，S (t )有最小值2a 2＋120. 22．解 (1)f ′(x )＝e x －a .①若a ≤0，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，不符合题意； ②若a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减；当x ∈(ln a ，＋∞)时， f ′(x )＞0，f (x )在(ln a ，＋∞)上单调递增．所以，当x ＝ln a 时，f (x )取到极小值，f (ln a )＝e ln a －a ln a －1＝0，即a ln a －a ＋1＝0. 令φ(a )＝a ln a －a ＋1(a >0)， 则φ′(a )＝ln a ＋a ·1a－1＝ln a ，当0＜a ＜1时，φ′(a )＜0，φ(a )单调递减； 当a ＞1时，φ′(a )＞0，φ(a )单调递增． 又φ(1)＝0，所以a ln a －a ＋1＝0有唯一解a ＝1. (2)由(1)知，f (x )＝e x －x －1， 当x ≥0时，f (x )≥mx ln(x ＋1)恒成立，即e x －x －mx ln(x ＋1)－1≥0(x ∈[0，＋∞))恒成立． 令g (x )＝e x －x －mx ln(x ＋1)－1(x ∈[0，＋∞))， 则g ′(x )＝e x －1－m ln(x ＋1)－mxx ＋1(x ∈[0，＋∞))，令h (x )＝e x －1－m ln(x ＋1)－mxx ＋1(x ∈[0，＋∞))， 则h ′(x )＝e x －m ⎣⎡⎦⎤1(x ＋1)2＋1x ＋1，h ′(0)＝1－2m,0＜1(x ＋1)2＋1x ＋1≤2(当且仅当x ＝0时取“＝”)．①当m ≤0时，h ′(x )＞0，h (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以h (x )min ＝h (0)＝0，即h (x )≥0，即g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以g (x )min ＝g (0)＝0，所以g (x )≥0， 所以e x －x －mx ln(x ＋1)－1≥0， 即f (x )≥mx ln(x ＋1)恒成立．②当0＜m ≤12时，h ′(x )是增函数，h ′(x )min ＝h ′(0)＝1－2m ≥0，所以h ′(x )＞0，故h (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以h (x )min ＝h (0)＝0，即g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以g (x )min ＝g (0)＝0， 所以g (x )≥0，即f (x )≥mx ln(x ＋1)恒成立． ③当m ＞12时，h ′(x )是增函数，h ′(x )min ＝h ′(0)＝1－2m ＜0，当x →＋∞时，e x →＋∞，－m ⎣⎡⎦⎤1(x ＋1)2＋1x ＋1→0，所以h ′(x )→＋∞，则∃x 0＞0，使得h ′(x 0)＝0， 当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )＜0，h (x )在(0，x 0)上单调递减， 此时h (x 0)＜h (0)＝0，即g ′(x )＜0，x ∈(0，x 0)，所以g (x )在(0，x 0)上单调递减，g (x 0)＜g (0)＝0，不符合题意． 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12.滚动检测四考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x |lg x ＜1}，N ＝{x |－3x 2＋5x ＋12＜0}，则( ) A ．N ⊆M B ．∁R N ⊆MC ．M ∩N ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪(3,10) D ．M ∩(∁R N )＝(0,3]2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ－sin 2θ等于( ) A ．－45B ．－35C. 35D. 453．已知函数f (x )＝12x ，则( ) A ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)<0 B ．∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥0C ．∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0D ．∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)>f (x 2)4．(2018·济宁模拟)曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 的坐标是( ) A ．(0,1) B ．(1,0) C ．(1，－1)D ．(1,3)5．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,1)，若向量a －λb 与向量c ＝(5，－2)共线，则λ的值为( ) A.43 B.413 C ．－49D ．46．(2017·贵阳适应性考试)设命题p ：若y ＝f (x )的定义域为R ，且函数y ＝f (x －2)图象关于点(2,0)对称，则函数y ＝f (x )是奇函数，命题q ：∀x ≥0，x 12≥x 13，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∨q C ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )7．已知a ＝⎝⎛⎭⎫1312，b ＝log 1213，c ＝log 312，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >b >cD ．b >a >c8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则b 等于( )A.1＋32B ．1＋ 3 C.2＋32D ．2＋ 39．(2017·大连模拟)设向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝|a ＋b |＝3，则|a ＋2b |等于( ) A ．6 B ．3 2 C ．10 D ．4 210．已知{a n }是等差数列，其公差为非零常数d ，前n 项和为S n ，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和为T n ，当且仅当n ＝6时，T n 有最大值，则a 1d 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－52B ．(－3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－3，－52 D ．(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫－52，＋∞ 11．(2017·河北衡水中学摸底)若以2为公比的等比数列{b n }满足log 2b n ·log 2b n ＋1－2＝n 2＋3n ，则数列{b n }的首项为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．412．对任意的n ∈N *，数列{a n }满足|a n －cos 2n |≤13且|a n ＋sin 2n |≤23，则a n 等于( )A.23－sin 2n B ．sin 2n －23C.13－cos 2n D ．cos 2n ＋13第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．函数f (x )＝1－2x 的定义域为________．14．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝4＋⎝⎛⎭⎫－12n －1，若对于任意的n ∈N *都有1≤x (S n －4n )≤3恒成立，则实数x 的取值范围是________．15. (2017·佛山质检)某沿海四个城市A ，B ，C ，D 的位置如图所示，其中∠ABC ＝60°，∠BCD ＝135°，AB ＝80 n mile ，BC ＝(40＋303) n mile ，CD 现在有一艘轮船从A 出发以50 n mile/h 的速度向D 直线航行， 60 min 因收到指令改向城市C 直线航行，则收到指令时该轮船到城市C 的距离是16．(2017·陆川二模)已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝x 2－2bx ＋4，若对任意x 1∈(0,2)，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数b 的取值范围是______．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知A ＝{x |x 2－2x －3＜0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＞0}． (1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集是A ∩B ，求ax 2＋x －b ＜0的解集．18．(12分)已知函数f (x )＝4cos x ·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋1. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π6的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．19.(12分)(2018届山西五校联考)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知a sin B ＋3b cos A ＝3c . (1)求B ；(2)若△ABC 的面积为332，b ＝7，a ＞c ，求a ，c .。

第一章统计案例滚动训练(一)一、选择题1．根据变量x，y的观测数据得到的散点图如图所示，则( )A．变量x与y正相关B．变量x与y负相关C．变量x与y可能正相关，也可能负相关D．变量x与y没有相关性考点线性回归分析题点回归直线的概念答案 A解析图中的数据y随x的增大而增大，因此变量x与y正相关，故选A.2．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( )A．角度和它的余弦值B．正方形的边长和面积C．正n边形的边数和内角度数和D．人的年龄和身高考点回归分析题点回归分析的概念和意义答案 D解析函数关系就是变量之间的一种确定性关系．A，B，C三项中的两个变量之间都是函数关系，可以写出相应的函数表达式，分别为f(θ)＝cosθ，g(a)＝a2，h(n)＝(n－2)π.D选项中的两个变量之间不是函数关系，对于年龄确定的人群，仍可以有不同的身高，故选D. 3．在建立u与v的回归模型时，选择了4种不同模型，其中拟合最好的为( )A．相关指数R2B．相关指数R2C．相关指数R2D．相关指数R2考点残差分析与相关指数题点残差及相关指数的应用答案 B解析 相关指数R 2的值越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好，故选B.4．两个变量x 与y 的散点图如图，可用如下函数进行拟合，比较合理的是( ) A ．y ＝a ·x bB ．y ＝a ＋b ln xC ．y ＝a ·e bxD ．y ＝a ·e b x答案 B解析 由散点图知，此曲线类似对数型函数曲线，可用函数y ＝a ＋b ln x 进行拟合．故选B. 5．已知以下结论：①事件A 与B 的关系越密切，K 2的值就越大； ②K 2的大小是判定事件A 与B 是否相关的唯一依据； ③若判定两事件A 与B 有关，则A 发生B 一定发生． 其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个考点 独立性检验思想的应用 题点 独立性检验在分类变量中的应用 答案 B解析 ①正确；对于②，判断A 与B 是否相关的方式很多，可以用列联表，也可以借助图形或概率运算，故②错误；对于③，两事件A 与B 有关，说明两者同时发生的可能性相对来说较大，但并不是A 发生了B 一定发生，故③错误．正确的只有1个，故选B.6．在新媒体时代，酒香也怕巷子深，宣传是让大众最快了解自己产品的最有效的手段，已知某种产品的宣传费用x 与销售总额y 的统计数据如下表所示：根据上表求得的线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报宣传费用为6万元时销售额为( )D ．72万元考点 线性回归分析 题点 回归直线的应用 答案 B解析 由数据统计表可得x ＝3.5，y ＝42，根据回归直线的性质得点(3.5,42)在回归直线上，代入方程y ^x ＋a ^可得a ^＝9.1，故线性回归方程为y ^x ＋9.1，因此当x ＝6时，估计销售额y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．故选B.7．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如下表数据：根据以上数据，则A ．种子是否经过处理跟是否生病有关 B ．种子是否经过处理跟是否生病无关 C ．种子是否经过处理决定是否生病 D ．以上都是错误的考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法 答案 B解析 因为K 2的观测值k ＝407×(32×213－101×61)2133×274×93×314≈0.164 1<2.706，所以有90%的把握可判断种子是否经过处理与是否生病无关，故选B.8．对变量x ，y 进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是( ) 考点 残差分析与相关指数 题点 残差及相关指数的应用 答案 A解析 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高． 二、填空题9．若对于变量y 与x 的10组统计数据的回归模型中，相关指数R 2＝0.95，又知残差平方和为120.53，那么i ＝110(y i －y )2＝________.考点 残差分析与相关指数 题点 残差及相关指数的应用解析 依题意，由0.95＝1－，所以i ＝110(y i －y )2＝2 410.6.10．如果由一个2×2列联表中的数据计算得k ＝4.073，那么有________的把握认为两变量有关系，已知P (K 2≥3.841)≈0.05，P (K 2≥5.024)≈0.025. 考点 独立性检验思想的应用题点 独立性检验在分类变量中的应用 答案 95%解析 因为K 2的观测值k ＝4.073>3.841，P (K 2≥3.841)≈0.05，所以有95%的把握认为两变量有关系．11．考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x (cm)与肱骨长度y (cm)的线性回归方程为y ^x －3.660，由此估计，当股骨长度为50cm 时，肱骨长度的估计值为________cm.解析 根据线性回归方程y ^x －3.660，将x ＝50代入，得y ^＝56.19，则肱骨长度的估计值为56.19 cm.三、解答题12．抽测了10名13岁男生的身高x (单位：cm)和体重y (单位：kg)，得到如下数据：(2)你能从散点图中发现身高与体重近似成什么关系吗？(3)如果近似成线性关系，试画出一条直线来近似地表示这种关系． 考点 线性回归分析 题点 回归直线的应用 解 (1)散点图如图所示：(2)从散点图可知，当身高增加时，体重也增加，而且这些点在一条直线附近摆动，因此身高与体重线性相关． (3)作出直线如图所示：13．某学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月11日至3月15日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：小于25”的概率；(2)请根据3月12日至3月14日的三组数据，令昼夜温差为x ，发芽数为y ，求出y 关于x的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所需要检验的数据误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试用3月11日与3月15日的两组数据检验，问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？(参考公式：b ^＝i ＝1n(x i －x )·(y i －y )i ＝1n(x i －x )2或b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b x )考点 线性回归分析 题点 回归直线的应用解 (1)m ，n 的所有取值情况有(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，共有10个．设m ，n “均不小于25”为事件A ，则包含的基本事件有(25,30)，(25,26)，(30,26)，所以P (A )＝310，故事件A 的概率为310.(2)由数据得x ＝12，y ＝27,3x y ＝972，∑i ＝13x i y i ＝977，∑i ＝13x 2i ＝434,3x 2＝432， 由公式，得b ^＝977－972434－432＝52，a ^＝27－52×12＝－3，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝52x －3.(3)当x ＝10时，y ^＝22，|22－23|<2，当x ＝8时，y ^＝17，|17－16|<2， 所以得到的线性回归方程是可靠的． 四、探究与拓展14．在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的( ) A ．预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上 B ．解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上 C ．可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上 D ．可以选择两个变量中任意一个变量在y 轴上 考点 回归分析题点 回归分析的概念和意义 答案 B解析 通常把自变量x 称为解释变量，因变量y 称为预报变量．故选B.15．某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x 与物理成绩y 如下表：数据表明y 与x (1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)该班一名同学的数学成绩为110分，利用(1)中的回归方程，估计该同学的物理成绩； (3)本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀．若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人，填写下面2×2列联表，判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考数据：回归直线的系数b ^＝i ＝1n(x i －x )(y i －y )i ＝1n(x i －x )2，a ^＝y －b ^x .K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，P (K 2≥6.635)＝0.01， P (K 2≥10.828)＝0.001.考点 独立性检验思想的应用题点 分类变量与统计、概率的综合性问题 解 (1)由题意可知x ＝120，y ＝90，故b ^＝i ＝15(x i －x )(y i －y )i ＝15(x i －x )2＝500＋0＋0＋180＋400625＋100＋0＋225＋400＝1 0801 350＝45＝0.8，a ^＝90－120×0.8＝－6，故线性回归方程为y ^x －6.(2)将x ＝110代入上述方程，得y ^＝0.8×110－6＝82.(3)由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36. 抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人， 故全班数学优秀但物理不优秀的共6人． 于是可以得到下面2×2列联表：于是K 2＝60×(30×30×36×24＝10>6.635，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关．。

滚动测试卷一(第一~三章)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2,3},N={3,4,5},则集合{1,2}可以表示为()A.M∩NB.(∁U M)∩NC.M∩(∁U N)D.(∁U M)∩(∁U N)2.不等式-x2+|x|+2<0的解集是()A.{x|-2<x<2}B.{x|x<-2或x>2}C.{x|-1<x<1}D.{x|x<-2或x>1}3.若幂函数的图象经过点(3,),则该函数的解析式为()A.y=x3B.y=C.y=D.y=x-14.下列判断错误的是()A.命题“若am2≤bm2,则a≤b”是假命题B.命题“∀x∈R,x3-x2-1≤0”的否定是“∃x0∈R,-1>0”C.“若a=1,则直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的逆否命题为真命题D.命题“p∨q为真命题”是命题“p∧q为真命题”的充分不必要条件5.下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,+∞)内单调递增的是()A.y=sin xB.y=-x2+C.y=x3+3xD.y=e|x|6.(2017山东,理3)已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2,下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∧(q)C.(p)∧qD.(p)∧(q)7.设函数f(x)=若f=8,则m=()A.2B.1C.2或1D.8.函数y=e sin x(-π≤x≤π)的大致图象为()9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且最小正周期为2,当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(-1)+f(-2 017)=()A.0B.C.1D.210.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年11.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时,不等式f(x)+x·f'(x)<0成立,若a=30.2·f(30.2),b=(logπ2)·f(logπ2),c=·f,则a,b,c的大小关系为()A.c>b>aB.c>a>bC.b>a>cD.a>c>b12.已知函数f(x)=+sin πx在[0,1)内的最大值为m,在(1,2]上的最小值为n,则m+n=()A.-2B.-1C.1D.2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知曲线f(x)=ln x在点(x0,f(x0))处的切线经过点(0,1),则x0的值为.14.方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数是.15.已知函数f(x)=x2+,g(x)=-m.若∀x1∈[1,2],∃x2∈[-1,1],使f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是.16.(2017山东,理15)若函数e x f(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为.①f(x)=2-x②f(x)=3-x③f(x)=x3④f(x)=x2+2三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;(3)求f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 015)的值.18.(12分)如图,在半径为30 cm的四分之一圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC,其中点B在圆弧上,点A,C在两半径上,现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设矩形的边长AB=x cm,圆柱的体积为V cm3.(1)写出体积V关于x的函数解析式;(2)当x为何值时,才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大?19.(12分)(2017全国Ⅲ,理21)已知函数f(x)=x-1-a ln x.(1)若f(x)≥0,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,·…·<m,求m的最小值.20.(12分)已知函数f(x)=,其中a∈R.(1)若a=0,求函数f(x)的定义域和极值.(2)当a=1时,试确定函数g(x)=f(x)-1的零点个数,并证明.21.(12分)已知a∈R,函数f(x)=log2.(1)当a=5时,解不等式f(x)>0;(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰有一个元素,求a的取值范围;(3)设a>0,若对任意t∈,函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)=2ln x-x2+ax(a∈R).(1)若函数f(x)的图象在x=2处的切线斜率为-1,且不等式f(x)≥2x+m在区间上有解,求实数m的取值范围;(2)若函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2,求证:f'<0(其中f'(x)是f(x)的导函数).答案：1.C解析由题意可画出Venn图如下,结合Venn图可知,集合{1,2}=M∩(∁U N),故选C.2.B解析由-x2+|x|+2<0,得x2-|x|-2>0,即(|x|+1)(|x|-2)>0,故|x|-2>0,解得x>2或x<-2.3.B解析设幂函数解析式为y=xα,则=3α,故α=,即y=.故选B.4.D解析A项中,当m=0时,满足am2≤bm2,但a可以大于b,故命题是假命题,故正确;B项显然正确;C项中,原命题是真命题,故其逆否命题也为真命题,故正确;D项中,p∨q为真命题,可知p,q至少有一个为真,但推不出p∧q为真命题,故错误.故选D.5.C解析选项A,C中函数为奇函数,又函数y=sin x在区间(0,+∞)内不是单调函数,故选C.6.B解析对∀x>0,都有x+1>1,所以ln(x+1)>0,故p为真命题.又1>-2,但12<(-2)2,故q为假命题,所以q为真命题,故p∧(q)为真命题.故选B.7.B解析∵f=8,∴f(4-m)=8.若4-m<1,即3<m,可得5(4-m)-m=8,解得m=2,舍去.若4-m≥1,即m≤3,可得24-m=8,解得m=1.故选B.8.D解析取x=-π,0,π这三个值,可得y总是1,故排除选项A,C;当0<x<时,y=sin x是增函数,y=e x也是增函数,故y=e sin x也是增函数,排除选项B,故选D.9.D解析∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,且最小正周期为2,当0≤x≤1时,f(x)=x,∴f(-1)=f(1)=1,f(-2 017)=f(2 017)=f(1)=1,∴f(-1)+f(-2 017)=1+1=2.10.B解析设从2015年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,由已知得130×(1+12%)n>200,∴1.12n>,两边取常用对数得n lg 1.12>lg,∴n>=3.8.∴n≥4,故选B.11.A解析设F(x)=xf(x),当x>0时,F'(x)=[xf(x)]'=f(x)+xf'(x)<0,即函数F(x)在(0,+∞)内单调递减,又y=f(x)在R上是偶函数,则F(x)在R上是奇函数,从而F(x)在R上单调递减,又30.2>1,0<logπ2<1,log2<0,即30.2>logπ2>log2,所以F(30.2)<F(logπ2)<F,即a<b<c.12.D解析可知f(x)=+sin πx=1++sin πx.记g(x)=+sin πx,则当x∈[0,1)时,g(2-x)=+sin π(2-x)=-sin πx=-=-g(x), 即在区间[0,1)∪(1,2]上,函数f(x)关于点(1,1)中心对称,故m+n=2.13.e2解析因为函数f(x)的导数为f'(x)=,所以切线斜率k=f'(x0)=,所以切线方程为y-ln x0=(x-x0).因为切线过点(0,1),所以代入切线方程得ln x0=2,解得x0=e2.14.1解析设f(x)=x3-6x2+9x-10,f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),由此可知函数的极大值为f(1)=-6<0,极小值为f(3)=-10<0,故方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数为1.15.解析∀x1∈[1,2],∃x2∈[-1,1],使f(x1)≥g(x2),只需f(x)=x2+在[1,2]上的最小值大于等于g(x)=-m在[-1,1]上的最小值.因为f'(x)=2x-≥0在[1,2]上恒成立,且f'(1)=0,所以f(x)=x2+在[1,2]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=12+=3.因为g(x)=-m在[-1,1]上单调递减,所以g(x)min=g(1)=-m,所以-m≤3,即m≥-.16.①④解析对①,设g(x)=e x·2-x,则g'(x)=e x=e x·2-x·>0,∴g(x)在R上单调递增,具有M性质;对②,设g(x)=e x·3-x,则g'(x)=e x=e x·3-x<0,∴g(x)在R上单调递减,不具有M性质;对③,设g(x)=e x·x3,则g'(x)=e x·x2(x+3),令g'(x)=0,得x1=-3,x2=0,∴g(x)在(-∞,-3)内单调递减,在(-3,+∞)内单调递增,不具有M性质;对④,设g(x)=e x(x2+2),则g'(x)=e x(x2+2x+2),∵x2+2x+2=(x+1)2+1>0,∴g'(x)>0,∴g(x)在R上单调递增,具有M性质.故填①④.17.解(1)因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x).所以f(x)是周期为4的周期函数.(2)当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2].由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2,所以f(x)=x2+2x.又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.从而求得当x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8.(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)+f(2 015)=0.所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 015)=0.18.解(1)连接OB,因为AB=x cm,所以OA=cm.设圆柱的底面半径为r cm,则=2πr,即4π2r2=900-x2,所以V=πr2x=π··x=,其中0<x<30.(2)由(1)知V=(0<x<30),则V'=.由V'==0,得x=10,可知V=在(0,10)内是增函数,在(10,30)内是减函数.所以当x=10时,V有最大值.19.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞).①若a≤0,因为f=-+a ln 2<0,所以不满足题意;②若a>0,由f'(x)=1-知,当x∈(0,a)时,f'(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(0,a)单调递减,在(a,+∞)单调递增.故x=a是f(x)在(0,+∞)的唯一最小值点.由于f(1)=0,所以当且仅当a=1时,f(x)≥0.故a=1.(2)由(1)知当x∈(1,+∞)时,x-1-ln x>0.令x=1+得ln.从而ln+ln+…+ln+…+=1-<1.故<e.而>2,所以m的最小值为3.20.解(1)当a=0时,函数f(x)=的定义域为{x|x∈R,且x≠-1},f'(x)=.令f'(x)=0,得x=0.当x变化时,f'(x)和f(x)所以f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(-1,0);单调递增区间为(0,+∞).故当x=0时,函数f(x)有极小值f(0)=1.函数f(x)无极大值.(2)函数g(x)存在两个零点.证明过程如下:由题意,函数g(x)=-1.因为x2+x+1=>0,所以函数g(x)的定义域为R.求导,得g'(x)==,:令g'(x)=0,得x1=0,x2=1,当x递增值递减值故函数g(x)的单调递减区间为(0,1);单调递增区间为(-∞,0),(1,+∞).当x=0时,函数g(x)有极大值g(0)=0;当x=1时,函数g(x)有极小值g(1)=-1.因为函数g(x)在(-∞,0)内单调递增,且g(0)=0,所以对于任意x∈(-∞,0),g(x)≠0.因为函数g(x)在(0,1)内单调递减,且g(0)=0,所以对于任意x∈(0,1),g(x)≠0.因为函数g(x)在(1,+∞)内单调递增,且g(1)=-1<0,g(2)=-1>0,所以函数g(x)在(1,+∞)内有且仅有一个x0,使得g(x0)=0,故函数g(x)存在两个零点(即0和x0).21.解(1)由log2>0,得+5>1,解得x∈∪(0,+∞).(2)+a=(a-4)x+2a-5,(a-4)x2+(a-5)x-1=0,当a=4时,x=-1,经检验,满足题意.当a=3时,x1=x2=-1,经检验,满足题意.当a≠3且a≠4时,x1=,x2=-1,x1≠x2.x1是原方程的解当且仅当+a>0,即a>2;x2是原方程的解当且仅当+a>0,即a>1.于是满足题意的a∈(1,2].综上,a的取值范围为1<a≤2或a=3或a=4.(3)当0<x1<x2时,+a>+a,log2>log2,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值分别为f(t),f(t+1).f(t)-f(t+1)=log2-log2≤1即at2+(a+1)t-1≥0,对任意t∈成立.因为a>0,所以函数y=at2+(a+1)t-1在区间上单调递增,t=时,y有最小值a-,由a-≥0,得a≥.故a的取值范围为.22.(1)解由f'(x)=-2x+a,可知切线的斜率k=f'(2)=a-3=-1,故a=2.因此f(x)=2ln x-x2+2x.由f(x)≥2x+m,得m≤2ln x-x2.∵不等式f(x)≥2x+m在区间上有解,∴m≤(2ln x-x2)max.令g(x)=2ln x-x2,则g'(x)=-2x=.∵x∈,∴当g'(x)=0时,x=1.当<x<1时,g'(x)>0;当1<x<e时,g'(x)<0.故g(x)在x=1处取得最大值g(1)=-1,因此m≤-1,即m的取值范围为(-∞,-1).(2)证明∵f(x)的图象与x轴交于两个不同的点A(x1,0),B(x2,0),∴方程2ln x-x2+ax=0的两个根为x1,x2,∴∴a=(x1+x2)-.又f'(x)=-2x+a,∴f'=-(x1+x2)+a=.下证<0,即证+ln <0.设t=,∵0<x1<x2,∴0<t<1.即证μ(t)=+ln t<0在t∈(0,1)内恒成立,∵μ'(t)=,又0<t<1,∴μ'(t)>0,∴μ(t)在区间(0,1)内是增函数,∴μ(t)<μ(1)=0,从而知+ln <0,故<0,即f'<0成立.。

2018-2019标准试卷（含答案）高一（上）滚动练习数学试卷（1）一、填空题1. 已知A ={−1, 2, 3, 4}；B ={y|y =x 2−2x +2, x ∈A}，若用列举法表示集合B ，则B =________．2. 设全集U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，P ={1, 2, 3, 4, 5}，Q ={3, 4, 5, 6, 7}，则P ∩(∁U Q)=________．3. 设集合A ={x|x >−1}，B ={x|x ≤3}，则A ∩B =________．4. 设集合A ={−1, 1, 3}，B ={a +2, a 2+4}，A ∩B ={3}，则实数a =________．5. 若集合A ={x|ax 2−3x +2=0}的子集只有两个，则实数a =________．6. A ={x|x 2+x −6=0}，B ={x|mx +1=0}，且A ∪B =A ，则m 的取值范围是________．7. 函数y =√2−x x 的定义域为________．8. 已知函数f(x)={x +1,x ≥0x 2,x <0，则f[f(−2)]=________．9. 函数y =x +√1−2x 的值域________．10. 已知函数f(x)=x 2−mx +n ，且f(1)=−1，f(n)=m ，则f(−5)=________．11. 若函数y =x 2−3x −4的定义域为[0,32]，则值域为________．12. f(x)={x 2+1(x ≤0)−2x(x >0)，若f(x)=10，则x =________．13. 已知函数f(x)=cx 2x+3(x ≠−32)，满足f[f(x)]=x ，则c =________．14. 已知函数f(x)=x 2，值域为{1, 4}时定义域为________．二、解答题15. 已知数集A ={a 2, a +1, −3}与数集B ={a −3, a −2, a 2+1}，若A ∩B ={−3}，求A ∪B ．16. 求下列函数的定义域：（1）y =√2x +1+√1−2x −13x−1；（2）y =0√|x|−x ；(3)已知函数f(x)的定义域为(0, 2)，求f(2x −1)的定义域．17. 已知A ={1, 2, 3, k}，B ={4, 7, a 4, a 2+3a}，a ∈N ∗，x ∈A ，y ∈B ，f:x →y =3x +1是从定义域A 到值域B 的一个函数，求a ，k 的值．18. 求下列函数解析式：(1)已知f(√x −1)=x +2√x ，求f(x)的解析式；(2)设二次函数y =f(x)的最小值是4，且f(0)=f(2)=6，求f(x)的解析式．19. 如图，△AOB 是边长为2的正三角形，设直线x =t 截这个三角形所得到位于此直线左方的图形面积为S ，求S =f(t)的解析式．20. 是否存在正整数a ，b ，使f(x)=x 2ax−2，且满足f(b)=b 及f(−b)<−1b ，若存在，求出a ，b ，若不存在，说明理由．答案1. 【答案】{2, 5, 10}【解析】利用A ={−1, 2, 3, 4}；B ={y|y =x 2−2x +2, x ∈A}，即可求出集合B ．【解答】解：∵A ={−1, 2, 3, 4}，∴B ={y|y =x 2−2x +2, x ∈A}={5, 2, 10}，故答案为：{2, 5, 10}．2. 【答案】{1, 2}【解析】利用交集和补集的定义求解．【解答】解：∵全集U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，P ={1, 2, 3, 4, 5}，Q ={3, 4, 5, 6, 7}， ∴P ∩(∁U Q)={1, 2, 3, 4, 5}∩{1, 2}={1, 2}．故答案为：{1, 2}．3. 【答案】{x|−1<x ≤3}【解析】直接利用集合的交集的求法求解即可．【解答】解：因为集合A ={x|x >−1}，B ={x|x ≤3}，所以A ∩B ={x|x >−1}∩{x|x ≤3}={x|−1<x ≤3}，故答案为：{x|−1<x ≤3}4. 【答案】1【解析】根据交集的概念，知道元素3在集合B 中，进而求a 即可．【解答】解：∵A ∩B ={3}∴3∈B ，又∵a 2+4≠3∴a +2=3即a =1故答案为15. 【答案】0或98【解析】用描述法表示的集合元素个数问题，用到一元方程解的个数，用判别式与零的关系，当方程有一个解时，判别式等于零．【解答】解：因为集合A ={x|ax 2−3x +2=0}的子集只有两个，所以A 中只含一个元素．当a =0时，A ={23}；当a ≠0时，若集合A 只有一个元素，由一元二次方程判别式△=9−8a =0得a =98．综上，当a =0或a =98时，集合A 只有一个元素．故答案为：0或98．6. 【答案】{0, −12,13}【解析】通过解二次方程化简集合A ，利用A ∪B =A ⇔B ⊆A ；分类讨论求集合B 中的一次方程，利用两个集合间的包含关系求出m 的值．【解答】解：A ={x|x 2+x −6=0}={2, −3}∵A ∪B =A∴B ⊆A当m =0时，B =⌀，满足B ⊆A当m ≠0时，B ={−1m }∵B ⊆A∴−1m =2或−1m =−3解得m =−12或m =13故m 的取值为{0, −12,13}故答案为：{0, −12,13}7. 【答案】(−∞, 0)∪(0, 2]【解析】根据函数解析式的特征可得{2−x ≥0x ≠0然后求出x 的范围即可得解． 【解答】解：∵y =√2−x x∴{2−x ≥0x ≠0∴x ≤2且x ≠0∴定义域为(−∞, 0)∪(0, 2]故答案为(−∞, 0)∪(0, 2]8. 【答案】5【解析】根据函数的解析式先求出 f(−2)=(−2)2=4>0，从而运算 f[f(−2)]=f(4)的值．【解答】解：∵f(−2)=(−2)2=4>0，∴f[f(−2)]=f(4)=4+1=5，故答案为 5．9. 【答案】(−∞, 1]【解析】由1−2x ≥0求出函数的定义域，再设t =√1−2x 且t ≥0求出x ，代入原函数化简后变为关于t 的二次函数，利用t 的范围的二次函数的性质求出原函数的值域．【解答】解：由1−2x ≥0解得，x ≤12，此函数的定义域是(−∞, 12]，令t =√1−2x ，则x =12(1−t 2)，且t ≥0，代入原函数得，y =12(1−t 2)+t =−12t 2+t +12=−12(t −1)2+1，∵t ≥0，∴−12(t −1)2≤0，则y ≤1，∴原函数的值域为(−∞, 1]．故答案为：(−∞, 1]．10. 【答案】29【解析】由题意得方程组，解出m ，n 的值，求出函数的解析式，从而求出f(−5)的值．【解答】解：由题意得；{1−m +n =−1n 2−mn +n =m， 解得：{m =1n =−1， ∴f(x)=x 2−x −1，∴f(−5)=29，故答案为：29．11. 【答案】[−254, −4]【解析】通过函数的解析式求出函数的单调区间，从而求出函数的值域．【解答】解：∵y =x 2−3x −4，∴对称轴x =32，∴函数在[0, 32]递减，∴f(x)max =f(0)=−4，f(x)min =−254，故答案为：[−254, −4]．12. 【答案】−3【解析】分x≤0和x>0两种情况．x≤0时，f(x)=x2+1=10，x>0时，f(x)=−2x=10分别解方程并分析并集即可．【解答】解：x≤0时，f(x)=x2+1=10，x=−3x>0时，f(x)=−2x=10，x=−5（舍去）故答案为：−313. 【答案】−3【解析】首先，求出f[f(x)]的表达式，然后，根据多项式相等，当且仅当，对应项的系数相等，从而确定c的值．【解答】解：因为函数f(x)=cx2x+3(x≠−32)，所以，f[f(x)]=cf(x)2f(x)+3=c2x2x+32cx2x+3+3=c2x2cx+6x+9=c2x(2c+6)x+9=x∴2(c+3)x2+9x=c2x，∴c+3=0且c2=9，∴c=−3，故答案为：−3．14. 【答案】{−1, 1, −2, 2}【解析】根据函数的解析式和值域，求出定义域来．【解答】解：∵函数f(x)=x2，值域为{1, 4}，∴x2=1时，x=±1，x2=4时，x=±2；∴f(x)的定义域为：{−1, 1, −2, 2}．故答案为：{−1, 1, −2, 2}．15. 【答案】解：∵数集A={a2, a+1, −3}与数集B={a−3, a−2, a2+1}，A∩B={−3}，∴a−3=−3，或a−2=−3，当a−3=−3时，a=0，此时A={0, 1, −3}，B={−3, −2, 1}，A∩B={−3, 1}，不成立；当a−2=−3时，a=−1，此时A={1, 0, −3}，B={−4, −3, 2}，A∩B={−3}，成立．∴A∪B={−4, −3, 0, 1, 2}．【解析】由已知得a−3=−3，或a−2=−3，由此能求出A∪B．【解答】解：∵数集A={a2, a+1, −3}与数集B={a−3, a−2, a2+1}，A∩B={−3}，∴a−3=−3，或a−2=−3，当a−3=−3时，a=0，此时A={0, 1, −3}，B={−3, −2, 1}，A∩B={−3, 1}，不成立；当a−2=−3时，a=−1，此时A={1, 0, −3}，B={−4, −3, 2}，A∩B={−3}，成立．∴A∪B={−4, −3, 0, 1, 2}．16. 【答案】解：(1)∵y =√2x +1+√1−2x −13x−1，∴{2x +1≥01−2x >03x −1≠0，解得{x ≥−12x <12x ≠13， 即−12≤x <13，或13<x <12，∴函数y 的定义域是[−12, 13)∪(13, 12)； ; (2)∵y =0√|x|−x ，∴{x +1≠0|x|−x ≠0， 解得x <0，且x ≠−1，∴函数y 的定义域为(−∞, −1)∪(−1, 0)；; (3)∵函数f(x)的定义域为(0, 2)，令0<2x −1<2，∴1<2x <3，∴12<x <32，∴函数f(2x −1)的定义域为(12, 32)．【解析】(1)、(2)根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可；(2)根据函数定义域的概念，得出不等式，求出解集即可．; ;【解答】解：(1)∵y =√2x +1+√1−2x −13x−1，∴{2x +1≥01−2x >03x −1≠0，解得{x ≥−12x <12x ≠13， 即−12≤x <13，或13<x <12，∴函数y 的定义域是[−12, 13)∪(13, 12)； ; (2)∵y =0√|x|−x ，∴{x +1≠0|x|−x ≠0， 解得x <0，且x ≠−1，∴函数y 的定义域为(−∞, −1)∪(−1, 0)；; (3)∵函数f(x)的定义域为(0, 2)，令0<2x −1<2，∴1<2x<3，∴1 2<x<32，∴函数f(2x−1)的定义域为(12, 32 )．17. 【答案】解：若x∈A，y∈B，使B中元素y=3x+1和A中的元素x对应，则当x=1时，y=4；当x=2时，y=7；当x=3时，y=10；当x=k时，y=3k+1；又由a∈N∗，∴a4≠10，则a2+3a=10，a4=3k+1解得a=2，k=5．【解析】由已知中集合A={1, 2, 3, k}，B={4, 7, a4, a2+3a}，且a∈N∗，x∈A，y∈B，使B中元素y=3x+1和A中的元素x对应，我们易构造一个关于a，k的方程组，解方程即可求出答案．【解答】解：若x∈A，y∈B，使B中元素y=3x+1和A中的元素x对应，则当x=1时，y=4；当x=2时，y=7；当x=3时，y=10；当x=k时，y=3k+1；又由a∈N∗，∴a4≠10，则a2+3a=10，a4=3k+1解得a=2，k=5．18. 【答案】解：(1)令√x−1=t，则√x=t+1，x=(t+1)2，(t≥−1)，∴由f(√x−1)=x+2√x，得：f(t)=(t+1)2+2t=t2+4t+1，(t≥−1)，∴f(x)=x2+4x+1，(x≥−1)．; (2)：∵二次函数y=f(x)满足f(0)=f(2)，∴二次函数y=f(x)图象的对称轴为x=0+22=1．又∵二次函数y=f(x)的最小值为4，∴二次函数y=f(x)图象的顶点坐标为(1, 4)，开口向上．∴可设二次函数y=f(x)的解析式为f(x)=a(x−1)2+4(a>0)．∵f(0)=6，∴a=2．∴f(x)的解析式为f(x)=2x2−4x+6．【解析】(1)令√x−1=t，则√x=t+1，x=(t+1)2，(t≥−1)，代入函数的表达式求出即可；; (2)可以根据条件找出抛物线的顶点，利用顶点式设出二次函数的解析式，再用一个点坐标代入，得到二次函数的解析式．【解答】解：(1)令√x−1=t，则√x=t+1，x=(t+1)2，(t≥−1)，∴由f(√x−1)=x+2√x，得：f(t)=(t+1)2+2t=t2+4t+1，(t≥−1)，∴f(x)=x2+4x+1，(x≥−1)．; (2)：∵二次函数y=f(x)满足f(0)=f(2)，∴二次函数y=f(x)图象的对称轴为x=0+22=1．又∵二次函数y =f(x)的最小值为4，∴二次函数y =f(x)图象的顶点坐标为(1, 4)，开口向上．∴可设二次函数y =f(x)的解析式为f(x)=a(x −1)2+4(a >0)． ∵f(0)=6，∴a =2．∴f(x)的解析式为f(x)=2x 2−4x +6．19. 【答案】解：当0<t ≤1时，阴影部分为三角形，设OB 所在直线方程为y 1=kx ，由题可知B(1,√3)，带入直线方程得√3=k ，OB 所在直线方程为y 1=√3x ，所以阴影部分面积为y =√32t 2， 当1<t <2时，阴影部分为四边形，设AB 所在直线为y 2=kx +b ，由题知A(2, 0)B(1, √3)带入方程得，2k +b =0①√3=k +b ②联立①②，解得k =−√3b =2√3，所以方程为y 2=−√3x +2√3，所以阴影部分面积为y =2√3t −√3t 22−√3，当t ≥2时，面积就为△OAB 面积即y =√3；当t <0时，无面积，即y =0．∴S =f(t)={ √32t 2(0<t ≤1)2√3t −√3t 22−√3,(1<t <1)√3,(t ≥2)． 【解析】根据t 所在的范围进行讨论，从而得到阴影部分的面积．【解答】解：当0<t ≤1时，阴影部分为三角形，设OB 所在直线方程为y 1=kx ，由题可知B(1,√3)，带入直线方程得√3=k ，OB 所在直线方程为y 1=√3x ，所以阴影部分面积为y =√32t 2， 当1<t <2时，阴影部分为四边形，设AB 所在直线为y 2=kx +b ，由题知A(2, 0)B(1, √3)带入方程得，2k +b =0①√3=k +b ②联立①②，解得k =−√3b =2√3，所以方程为y 2=−√3x +2√3，所以阴影部分面积为y =2√3t −√3t 22−√3， 当t ≥2时，面积就为△OAB 面积即y =√3；当t <0时，无面积，即y =0．∴S =f(t)={ √32t 2(0<t ≤1)2√3t −√3t 22−√3,(1<t <1)√3,(t ≥2)． 20. 【答案】解：假设存在正整数a ，b ，使f(x)=x 2ax−2，且满足f(b)=b 及f(−b)<−1b ． 则b 2ab−2=b ，b 2−ab−2<−1b ． 化为b +2−ab =0，b 3>ab +2， ∴a =1+2b ，b 可以取1，2，当b =1时，a =3，不满足b 3>ab +2，应舍去； 当b =2时，a =2，满足b 3>ab +2． ∴存在正整数a =b =2，使f(x)=x 2ax−2，且满足f(b)=b 及f(−b)<−1b ．【解析】假设存在正整数a ，b ，使f(x)=x 2ax−2，且满足f(b)=b 及f(−b)<−1b ．可得b 2ab−2=b ，b 2−ab−2<−1b ．利用正整数的性质、对b 分类讨论即可得出． 【解答】解：假设存在正整数a ，b ，使f(x)=x 2ax−2，且满足f(b)=b 及f(−b)<−1b ． 则b 2ab−2=b ，b 2−ab−2<−1b ． 化为b +2−ab =0，b 3>ab +2， ∴a =1+2b ，b 可以取1，2，当b =1时，a =3，不满足b 3>ab +2，应舍去； 当b =2时，a =2，满足b 3>ab +2． ∴存在正整数a =b =2，使f(x)=x 2ax−2，且满足f(b)=b 及f(−b)<−1b ．。

滚动测试卷三(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知集合M={x|x2+x≤0},N=,则M∪N等于()A.[-1,0]B.(-1,0)C.(-2,+∞)D.(-2,0]2.-的虚部为()A.2B.-2C.-2iD.2i3.设命题p:∀x>0,ln x>lg x,命题q:∃x>0,=1-x2,则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.(p)∧(q)C.p∧(q)D.(p)∧q4.已知数列{b n}是等比数列,b9是1和3的等差中项,则b2b16=()A.16B.8C.2D.45.曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()A.30°B.45°C.60°D.120°6.已知sin 2α=,则tan α+=()A.1B.2C.4D.37.函数f(x)=-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为()A.2B.3C.6D.98.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若2a6=a8+6,则S7等于()A.49B.42C.35D.249.已知实数a,b满足2a=3,3b=2,则函数f(x)=a x+x-b的零点所在的区间是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)10.已知函数f(x)=2sin (2x+φ)的图象过点(0,),则函数f(x)的图象的一个对称中心是()A.-B.-C.D.11.已知x,y满足约束条件--则z=-2x+y的最大值是()A.-1B.-2C.-5D.112.如图,半径为2的☉O 切直线MN 于点P ,射线PK 从PN 出发绕点P 逆时针方向旋转到PM ,在旋转过程中,PK 交☉O 于点Q ,设∠POQ=x ,弓形PTQ 的面积为S=f (x ),则f (x )的图象大致是( )二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知a>0,b>0,ab=8,则当a 的值为 时,log 2a ·log 2(2b )取得最大值. 14.已知函数f (x )= - -且f (a )=-3,则f (5-a )= . 15.(2017湖南邵阳一模)设θ∈,向量a =(cos θ,2),b =(-1,sin θ),若a ⊥b,则tan θ= .16.(2017北京,文14)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (ⅰ)男学生人数多于女学生人数; (ⅱ)女学生人数多于教师人数; (ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为 ; ②该小组人数的最小值为 .三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,b cos C=a-c. (1)求角B 的大小;(2)若b=1,求a+c 的最大值.18.(12分)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a2+b2=c2+ab,c=.数列{a n}是等比数列,且首项a1=,公比为.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=,求数列{b n}的前n项和S n.19.(12分)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=b cos C+c sin B.(1)若a=2,b=,求c;(2)若--2sin2-=0,求A.20.(12分)已知在递增等差数列{a n}中,a1=1,a1,a4,a10成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n·3n}的前n项和S n.21.(12分)为稳定房价,某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1 600万元购得一块土地,在该土地上建造10幢楼房的住宅小区,每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为1 000 m2,每平方米的建筑费用与楼层有关,第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k为常数).经测算,若每幢楼为5层,则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元..注:每平方米平均综合费用=购地费用所有建筑费用所有建筑面积(1)求k的值;(2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这10幢楼房建成多少层?此时每平方米的平均综合费用为多少元?22.(12分)已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.参考答案滚动测试卷三(第一~七章) 1.C解析由x2+x≤0,得x(x+1)≤0,即-1≤x≤0,故M=[-1,0];由2x>=2-2,即x>-2,故N=(-2,+∞);因此,M∪N=(-2,+∞),故选C.2.A解析∵--=1+2i,∴-的虚部是2,故选A.3.D解析当x=1时,ln x=lg x=0.故命题p是假命题.画出y=与y=1-x2的图象(图略),可知在x∈(0,+∞)上两个图象有交点,故命题q是真命题.因此(¬p)∧q是真命题.故选D.4.D解析∵b9是1和3的等差中项,∴2b9=1+3,∴b9=2.由等比数列{b n}的性质可得b2b16==4,故选D.5.B解析由y'=3x2-2,得y'=1,即曲线在点(1,3)处的切线斜率为1,故切线的倾斜角为45°.6.D解析∵sin2α=2sinαcosα=,即sinαcosα=,∴tanα+==3.故选D.7.B解析因为y=在R上单调递减,y=log2(x+2)在[-1,1]上单调递增,所以f(x)在[-1,1]上单调递减,所以f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.8.B解析设等差数列{a n}的公差为d.∵2a6=a8+6,∴2(a1+5d)=a1+7d+6,即a1+3d=6,即a4=6.又a1+a7=2a4,∴S7==7a4=7×6=42.故选B.9.B解析∵实数a,b满足2a=3,3b=2,∴a=log23>1,0<b=log32<1.∴函数f(x)=a x+x-b=(log23)x+x-log32在R上单调递增,且其图象是连续的.∵f(0)=1-log32>0,f(-1)=log32-1-log32=-1<0,∴f(x)=a x+x-b的零点所在的区间为(-1,0),故选B.10.B解析由题意,得=2sinφ.又|φ|<,故φ=.因此f(x)=2sin.所以f(x)的图象的对称中心的横坐标满足2x+=kπ,k∈Z,即x=-,k∈Z.所以结合选项可知f(x)的图象的一个对称中心是-.故选B.11.A解析作出约束条件的可行域如图阴影部分所示,平移直线l0:y=2x,可得在点A(1,1)处z取得最大值,最大值为-1.12.D解析由题意可知弓形PTQ的面积f(x)=π×22-×22sin x=2x-2sin x.因为f'(x)=2-2cos x>0在(0,2π)上恒成立,所以f(x)在(0,2π)上为增函数.令g(x)=2-2cos x.由g'(x)=2sin x≥0在x∈(0,π]上恒成立,可知函数f(x)在(0,π]上为凹函数;由g'(x)=2sin x≤0在x∈[π,2π)上恒成立,故函数f(x)在[π,2π)上为凸函数.故选D. 13.4解析由题意知log2a·log2(2b)≤==4,当且仅当log2a=log2(2b),即a=2b时等号成立.又因为ab=8,且a>0,所以a=4.14.-解析当a≤1时,f(a)=2a-2=-3,即2a=-1,不符合题意,舍去;当a>1时,f(a)=-log2(a+1)=-3,解得a=7.故f(5-a)=f(-2)=2-2-2=-.15.解析∵a⊥b,∴a·b=0,即-cosθ+2sinθ=0,∴=tanθ=.16.①6②12解析设男学生人数为x,女学生人数为y,教师人数为z,则有2z>x>y>z,x,y,z∈N+.①教师人数为4,即z=4,8>x>y>4,所以y的最大值为6,故女学生人数的最大值为6.②由题意知2z>x>y>z,x,y,z∈N+.当z=1时,2>x>y>1,x,y不存在;当z=2时,4>x>y>2,x,y不存在;当z=3时,6>x>y>3,x=5,y=4,此时该小组人数最小,最小值为5+4+3=12.17.解(1)∵b cos C=a-c,∴b-=a-c,∴b2-c2=a2-ac,∴b2=a2+c2-ac,∴cos B=.又B∈(0,π),∴B=.(2)∵b2=a2+c2-2ac cos B,∴1=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac.∵ac≤,当且仅当a=c时等号成立,∴(a+c)2≤1,即a+c≤2,∴a+c的最大值为2.18.解(1)∵a2+b2=c2+ab,∴cos C=-.又C为三角形的内角,∴C=.∵,∴a n=.(2)∵b n==,∴S n=1-+…+=1-.19.解(1)∵a=b cos C+c sin B,∴sin A=sin B cos C+sin C sin B,∴cos B sin C=sin C sin B,∴tan B=,∴B=.∵b2=a2+c2-2ac cos B,∴c2-2c-3=0,∴c=3.(2)∵B=,∴--2sin2-=--1+cos-=-+cos---1=--cos--1=2sin--1=0,又<A<,∴A=.20.解(1)∵a1,a4,a10成等差数列,a1=1,∴=a10,即(1+3d)2=1+9d,解得d=(d=0舍去), ∴a n=n+.(2)∵a n·3n=(n+2)·3n-1,∴S n=3×30+4×3+5×32+…+(n+2)·3n-1, ①3S n=3×31+4×32+5×33+…+(n+2)·3n.②∴①-②得-2S n=3+3+32+…+3n-1-(n+2)·3n=·3n.∴S n=·3n-.21.解(1)如果每幢楼为5层,那么所有建筑面积为(10×1000×5)m2,则所有建筑费用为[(k+800)+(2k+800)+(3k+800)+(4k+800)+(5k+800)]×1000×10,因此1270={16000000+[(k+800)+(2k+800)+(3k+800)+(4k+800)+(5k+800)]×1000×10}÷(10×1000×5 ),解得k=50.(2)设小区每幢为n(n∈N+)层,每平方米平均综合费用为f(n),由题设可知f(n)={16000000+[(50+800)+(100+800)+…+(50n+800)]×1000×10}÷(10×1000×n)=+25n+8 25≥2+825=1225,当且仅当=25n,即n=8时,等号成立.故该小区每幢建8层时,每平方米平均综合费用最低,此时每平方米平均综合费用为1225元.22.解(1)由题意可知f'(x)=e x(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4,f'(0)=4.故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4.(2)由(1)知,f(x)=4e x(x+1)-x2-4x,f'(x)=4e x(x+2)-2x-4=4(x+2)·-.令f'(x)=0,得x=-ln2或x=-2.从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(-2,-ln2)时,f'(x)<0.故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)内单调递增,在(-2,-ln2)内单调递减.当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).。

滚动检测(一)(时间：45分钟 满分：75分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩∁U B ＝( )A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}解析：∵U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B ＝{1,3,4,6,7}，∴∁U B ＝{2,5,8}，∴A ∩(∁U B )＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．答案：A2．已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：A ＝{2,5,8,11,14,17，…}，A ∩B ＝{8,14}，故选D. 答案：D3．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆AD ．A ⊆B解析：由A ＝{x |x 2－2x ＞0}得A ＝{x |x ＜0或x ＞2}，又B ＝{x |－5＜x ＜5}，所以A ∪B ＝R .答案：B4．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P *Q 中元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0； 当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝(－1)÷(－2)＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝(－1)÷2＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝1÷(－2)＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝1÷2＝12.故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，－12，该集合中共有3个元素．答案：B5．已知全集U ＝Z ，集合A ＝{x |x 2＝x }，B ＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}解析：由题意得集合A ＝{0,1}，图中阴影部分所表示的集合是不在集合A 中，但在集合B 中的元素的集合，即(∁U A )∩B ，易知(∁U A )∩B ＝{－1,2}，故图中阴影部分所表示的集合为{－1,2}．正确选项为A.答案：A6．若集合P ＝{x |3<x ≤22}，非空集合Q ＝{x |2a ＋1≤x <3a －5}，则能使Q ⊆(P ∩Q )成立的所有实数a 的取值范围为( )A ．(1,9)B ．[1,9]C ．[6,9)D ．(6,9]解析：依题意，P ∩Q ＝Q ，Q ⊆P ， 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1<3a －5，2a ＋1>3，3a －5≤22，解得6<a ≤9，即实数a 的取值范围是(6,9]．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在题中的横线上) 7．已知集合A ＝{0,2,3}，B ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈A 且a ≠b }，则B 的子集有________个． 解析：∵A ＝{0,2,3}，B ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈A 且a ≠b }， ∴B ＝{0,6}，∴B 的子集共有22＝4个． 答案：48．已知集合A ＝{－2,1,2}，B ＝{a ＋1，a }，且B ⊆A ，则实数a 的值是________． 解析：本题主要考查集合的子集关系的逆用．因为集合A ＝{－2,1,2}，B ＝{a ＋1，a }，且B ⊆A ，所以a ∈A ，a ＋1∈A ，且a ≥0.所以a ＝1.答案：19．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．解析：设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A ，B ，C ，同时参加数学和化学小组的有x 人，由题意可得如图所示的Venn 图．由全班共36名同学可得(26－6－x )＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x )＋x ＝36，解得x ＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．答案：810．如果集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0}只有一个元素，则实数a 的值为________． 解析：若集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }只有一个元素， 则方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个解． 当a ＝0时，方程可化为2x ＋1＝0，满足条件；当a ≠0时，二次方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个解，则Δ＝4－4a ＝0，解得a ＝1. 综上满足条件的a 的值为0或1. 答案：0或1三、解答题(本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 11．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－3x －10的两个零点为x 1，x 2(x 1<x 2)，设A ＝{x |x ≤x 1，或x ≥x 2}，B ＝{x |2m －1<x <3m ＋2}，且A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：A ＝{x |x ≤－2，或x ≥5}． 要使A ∩B ＝∅，必有⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥－2，3m ＋2≤5，3m ＋2>2m －1，或3m ＋2≤2m －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12，m ≤1，m >－3，或m ≤－3，即－12≤m ≤1，或m ≤－3.所以m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪－12≤m ≤1或m ≤－3. 12．(本小题满分13分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}， (1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值； (2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围；(3)若U ＝R ，A ∩(∁U B )＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中方程，得a 2＋4a ＋3＝0， 所以a ＝－1或a ＝－3.当a ＝－1时，B ＝{－2,2}，满足条件； 当a ＝－3时，B ＝{2}，也满足条件． 综上得a 的值为－1或－3. (2)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .①当Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)＜0，即a ＜－3时，B ＝∅满足条件； ②当Δ＝0 即a ＝－3时，B ＝{2}，满足要求；③当Δ＞0，即a ＞－3时，B ＝A ＝{1,2}才能满足要求，不可能． 综上可知a 的取值范围是a ≤－3.(3)∵A ∩(∁U B )＝A ，∴A ⊆(∁U B )，∴A ∩B ＝∅. ①当Δ＜0 即a ＜－3时，B ＝∅满足要求；②当Δ＝0 即a ＝－3时，B ＝{2}，A ∩B ＝{2}不满足条件； ③当Δ＞0，即a ＞－3时，此时只需1∉B 且2∉B 即可． 将x ＝2代入B 中方程，得a ＝－1或a ＝－3； 将x ＝1代入B 中方程，得a ＝－1±3， ∴a ＞－3且a ≠－1且a ≠－1±3.综上，a 的取值范围是a ＜－3或－3＜a ＜－1－3或－1－3＜a ＜－1或－1＜a ＜－1＋3或a ＞－1＋ 3.。

2019届高三理科数学一轮复习滚动检测一考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |7<2x <33，x ∈N }，B ＝{x |log 3(x －1)<1}，则A ∩(∁R B )等于( ) A ．{4,5} B ．{3,4,5} C ．{x |3≤x <4}D ．{x |3≤x ≤5}2．“|x －1|<2成立”是“x (x －3)<0成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．(2017·肇庆期末)设命题p ：直线x －y ＋1＝0的倾斜角为135°；命题q ：平面直角坐标系内的三点A (－1，－3)，B (1，1)，C (2,2)共线．则下列判断正确的是( ) A ．綈p 为假 B ．(綈p )且(綈q )为真 C ．p 或q 为真D ．q 为真4．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2－m －1)x －m －1为减函数，则实数m 的取值集合为( )A ．{2}B ．{－1}C ．{2，－1}D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ≠1＋52 5．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )，x ≤0f (x －1)－f (x －2)，x >0， 则f (3)的值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．26．函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致区间为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(e,3)D ．(e ，＋∞)7．已知函数f (x )的定义域为R ，对任意x 都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2 015)＋f (2 018)的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．28．函数f (x )＝e x －1x的图像大致为( )9．若a >0，b >0，ab >1，12log a ＝ln 2，则log a b 与12log a 的关系是( )A ．log a b <12log aB ．log a b ＝12log aC ．log a b >12log aD ．log a b ≤12log a10．已知f (x )是偶函数，x ∈R ，若将f (x )的图像向右平移一个单位得到一个奇函数，若f (2)＝－1，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)等于( ) A ．－1 003 B ．1 003 C ．1D ．－111．(2017·天津市河西区模拟)已知命题p ：任意x ∈[1,2]，e x －a ≥0.若綈p 是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，e 2] B ．(－∞，e] C ．[e ，＋∞)D ．[e 2，＋∞)12．(2017·汕头模拟)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有f (x )－f (－x )＝0，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，若g (x )＝f (x )－log a x 在(0，＋∞)上有三个零点，则a 的取值范围为( ) A ．[3,5] B ．[4,6] C ．(3,5)D ．(4,6)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．定义在R 上的奇函数f (x )，f (－1)＝2，且当x ≥0时，f (x )＝2x ＋(a ＋2)x ＋b (a ，b 为常数)，则f (－10)的值为______．14．(2018·保定模拟)已知命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图像必过定点(－1,1)；命题q ：如果函数y ＝f (x －3)的图像关于原点对称，那么函数y ＝f (x )的图像关于点(3,0)对称，则命题p 或q 为______(填“真”或“假”)命题．15．设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.16．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝2x ＋m2x ，设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >1，f (－x )，x ≤1，若函数y ＝g (x )－t有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2018届衡水市武邑中学月考)已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |x 2－3x ≤10}．(1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ⊆Q ，求实数a 的取值范围．18．(12分)(2018·唐山调研)命题p ：f (x )＝1－x3，且|f (a )|<2；命题q ：集合A ＝{x |x 2＋(a ＋2)x ＋1＝0}，B ＝{x |x >0}且A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围，使命题p ，q 中至少有一个为真命题．19.(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －a －ab (a ≠0)，当x ∈(－1,3)时，f (x )>0；当x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)时，f (x )<0.(1)求f (x )在(－1,2)内的值域；(2)若方程f (x )＝c 在[0,3]上有两个不相等实根，求c 的取值范围．20．(12分)旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为16 000元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35，则飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60.设旅行团的人数为x ，每个人的机票费为y 元，旅行社的利润为Q 元．成本只算飞机费用．(1)写出y 与x 之间的函数关系式；(2)当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大利润？并求出最大利润．21.(12分)已知函数f (x )＝22x －52·2x ＋1－6.(1)当x ∈[0,4]时，求f (x )的最大值和最小值；(2)若存在x ∈[0,4]，使f (x )＋12－a ·2x ≥0成立，求实数a 的取值范围．22．(12分)已知函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k2，k ∈Z ，x ∈R ，且f (x )＋f (2－x )＝0，f (x ＋1)＝－1f (x )，当12<x <1时，f (x )＝3x .(1)证明：f (x )为奇函数；(2)求f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－12上的表达式； (3)是否存在正整数k ，使得当x ∈⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1时，log 3f (x )>x 2－kx －2k 有解？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．答案精析1．A 2.B 3.B 4.A 5.B 6.B 7.B 8.A 9.A 10.D 11.B12．C [∵f (x )－f (－x )＝0，∴f (x )＝f (－x )，∴f (x )是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出函数f (x )的图像如图所示：∵g (x )＝f (x )－log a x 在(0，＋∞)上有三个零点，∴y 1＝f (x )和y 2＝log a x 的图像在(0，＋∞)上有三个交点，作出函数y 2＝log a x 的图像，∴⎩⎪⎨⎪⎧log a 3<1，log a 5>1，a >1，解得3<a <5，故选C.]13．－993 14.真 15．2解析 函数可化为f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin xx 2＋1，令g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，则g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1为奇函数，∴g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1的最大值与最小值的和为0.∴M ＋m ＝2. 16.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 即2－x ＋m ·2x ＝－(2x ＋m ·2－x )，解得m ＝－1，故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－x ，x >1，2－x －2x ，x ≤1， 作出函数g (x )的图像(如图所示)．当x >1时，g (x )是增加的，此时g (x )>32；当x ≤1时，g (x )是减少的，此时g (x )≥－32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－32，32时，y ＝g (x )－t 有且只有一个零点． 17．解 (1)因为a ＝3，所以P ＝{x |4≤x ≤7}， ∁R P ＝{x |x <4或x >7}．又Q ＝{x |x 2－3x ≤10}＝{x |－2≤x ≤5}， 所以(∁R P )∩Q ＝{x |－2≤x <4}．(2)当P ≠∅时，由P ⊆Q ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a ＋1.解得0≤a ≤2；当P ＝∅时，2a ＋1<a ＋1，解得a <0，此时有P ＝∅⊆Q ， 综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]． 18．解 先考虑p ：解得－5<a <7.再考虑q ：①当Δ<0时，A ＝∅，A ∩B ＝∅，此时由(a ＋2)2－4<0，得－4<a <0； ②当Δ≥0时，由A ∩B ＝∅，可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(a ＋2)2－4≥0，x 1＋x 2＝－(a ＋2)<0，x 1x 2＝1>0，解得a ≥0.由①②可知，a >－4.当p ，q 都为假命题时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－5或a ≥7，a ≤－4，解得a ≤－5，所以当a 的取值范围是(－5，＋∞)时， p ，q 中至少有一个为真命题．19．解 (1)由题意知，－1,3是方程ax 2＋bx －a －ab ＝0的两根， 可得a ＝－1，b ＝2，则f (x )＝－x 2＋2x ＋3在(－1,2)内的值域为(0,4]．(2)方程－x 2＋2x ＋3＝c ，即x 2－2x ＋c －3＝0在[0,3]上有两个不相等实根， 设g (x )＝x 2－2x ＋c －3，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)<0，g (0)≥0，g (3)≥0，解得3≤c <4.20．解 (1)依题意知，1≤x ≤60，x ∈N ＋，又当1≤x <20时，800x <16 000，不符合实际情况， 故20≤x ≤60，x ∈N ＋. 当20≤x ≤35时，y ＝800；当35<x ≤60时，y ＝800－10(x －35)＝－10x ＋1 150.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧800，20≤x ≤35，且x ∈N ＋，－10x ＋1 150，35<x ≤60，且x ∈N ＋.(2)当20≤x ≤35，且x ∈N ＋时， Q ＝yx －16 000＝800x －16 000， 此时Q max ＝800×35－16 000＝12 000； 当35<x ≤60，且x ∈N ＋时，Q ＝yx －16 000 ＝－10x 2＋1 150x －16 000 ＝－10⎝⎛⎭⎫x －11522＋34 1252， 所以当x ＝57或x ＝58时，Q 取得最大值，即Q max ＝17 060.因为17 060>12 000，所以当旅行团的人数为57或58时，旅行社可获得最大利润，为17 060元．21．解 (1)f (x )＝(2x )2－5·2x －6， 设2x ＝t ，∵x ∈[0,4]，则t ∈[1,16]， ∴h (t )＝t 2－5t －6，t ∈[1,16]．∵当t ∈⎝⎛⎦⎤1，52时，函数h (t )是减少的； 当t ∈⎝⎛⎦⎤52，16时，函数h (t )是增加的， ∴f (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫52＝－494，f (x )max ＝h (16)＝170. (2)∵存在x ∈[0,4]，使f (x )＋12－a ·2x ≥0成立，而t ＝2x >0，∴存在t ∈[1,16]，使得a ≤t ＋6t －5成立．令g (t )＝t ＋6t －5，则g (t )在[1，6]上是减少的，在[6，16]上是增加的，而g (1)＝2<g (16)＝918， ∴g (t )max ＝g (16)＝918，∴a ≤g (t )max ＝g (16)＝918，∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，918. 22．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝f (x ＋1＋1)＝－1f (x ＋1)＝f (x )，∴f (x )的周期为2，∵f (x )＋f (2－x )＝0，即f (x )＋f (－x )＝0，又∵f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k2，k ∈Z ，x ∈R ，关于原点对称， ∴f (x )为奇函数．(2)解 当－1<x <－12时，12<－x <1，则f (－x )＝3－x .∵f (x )＝－f (－x )，∴当－1<x <－12时，f (x )＝－3－x .(3)解 任取x ∈⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1，则x －2k ∈⎝⎛⎭⎫12，1， ∵f (x )＝f (x －2k )＝3x －2k，log 3(3x－2k)>x 2－kx －2k 在x ∈⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1时有解， 即x 2－(k ＋1)x <0在x ∈⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1时有解，∵k ∈N ＋，∴(0，k ＋1)∩⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1≠∅， ∴k ＋1>2k ＋12(k ∈N ＋)无解．∴不存在这样的k ∈N ＋，使得当x ∈⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1时， log 3f (x )>x 2－kx －2k 有解．滚动检测二考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·辽宁重点高中协作校期中)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，M ＝{3,4,5}，N ＝{1,3,6}，则集合{4,5}等于( ) A ．M ∩(∁U N ) B ．(∁U M )∩(∁U N ) C ．(∁U M )∪(∁U N )D ．M ∪(∁U N )2．(2017·黄山质检)下列命题中正确的是( ) A ．若p 或q 为真命题，则p 且q 为真命题B ．若直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋2＝0平行，则a ＝1C ．若命题“存在x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是a <－1或a >3D ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”3．(2018·大同调研)给定函数：①y ＝x 12，②y ＝1x ，③y ＝|x |－1，④y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ，其中既是奇函数又在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．① B ．②C ．③D ．④4．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且(x －1)f ′(x )>0，a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >a >b C ．b >a >cD ．c >b >a5．已知f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－2,1] B ．[－5,0] C ．[－5,1]D ．[－2,0]6．曲线y ＝e x 在点A (2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A ．e 2 B ．2e 2 C ．eD.e 227．函数y ＝e |ln x |－|x －1|的图像大致是( )8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列．若b ＝3，则a ＋c 的最大值为( ) A.32B ．3C ．2 3D ．99．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4C ．0D ．－π410．(2018届佳木斯市鸡东县二中月考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π8，0，则函数f (x )的递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π－5π8，2k π－π8(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤2k π－π8，2k π＋3π8(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π－5π8，k π－π8(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ) 11．己知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，已知当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－(x ＋1)2＋1，函数y 1＝f (x )的图像和函数y 2＝lg|x |的图像的交点个数为( )A ．8B ．9C ．16D ．1812．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪{1} 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2017·洛阳一模)已知p ：任意x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x <m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是________． 14．若sin(π＋α)＝35，则cos (－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫－α－π2＋1sin (3π－α)－cos ⎝⎛⎭⎫－α－π2的值是________．15．(2017·唐山一模)将函数f (x )＝cos ωx 的图像向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4的图像，则正数ω的最小值为________．16．定义：如果函数f (x )在[m ，n ]上存在x 1，x 2(m <x 1<x 2<n )满足f ′(x 1)＝f (n )－f (m )n －m ，f ′(x 2)＝f (n )－f (m )n －m .则称函数f (x )是[m ，n ]上的“双中值函数”，已知函数f (x )＝x 3－x 2＋a 是[0，a ]上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是______________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪18≤2x －2≤16，B ＝{x |2m ＋1≤x ≤3m －1}． (1)求集合A ；(2)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．18．(12分)(2018届重庆一中月考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3(0<φ<2π)，若f (x )－f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝0对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (0)． (1)求y ＝f (x )的解析式和递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2时，求y ＝f (x )的值域．19．(12分)(2018·葫芦岛调研)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本25万元，此外每生产1件这样的产品，还需增加投入0.5万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为⎝⎛⎭⎫5t －1200t 2 万元． (1)设该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为f (x )，求f (x )；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大．20．(12分)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2＋(1－a )x ＋1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ＝2处的切线方程； (2)求函数f (x )在x ∈[1,2]时的最大值．21.(12分)在△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C.A，B，C都不是直角，且ac cos B＋bc cos A＝a2－b2＋8cos A.(1)若sin B＝2sin C，求b，c的值；(2)若a＝6，求△ABC面积的最大值．22．(12分)已知f(x)＝ln(1＋x)－axx＋1，x∈R.(1)若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为5，求a的值；(2)若函数f(x)的最小值为－a，求a的值；(3)当x>－1时，(1＋x)ln(1＋x)＋(ln k－1)x＋ln k>0恒成立，求实数k的取值范围．答案精析1．A 2.C 3.D 4.B5．D [因为f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数， 如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时恒成立，则|ax ＋1|≤|x －2|，即x －2≤ax ＋1≤2－x .由ax ＋1≤2－x ，得ax ≤1－x ，a ≤1x －1，而1x －1在x ＝1时取得最小值0，故a ≤0.同理，当x －2≤ax ＋1时，a ≥1－3x ，而1－3x 在x ＝1处取最大值－2，所以a ≥－2，所以a 的取值范围是[－2,0]．]6．D [y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点A (2，e 2)处的切线的斜率为e 2，相应的切线方程是y －e 2＝e 2(x －2)，当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×e 2×1＝e 22.]7．D [由y ＝e |ln x |－|x －1|可知，函数过点(1,1)， 当0＜x ＜1时，y ＝e－ln x－1＋x ＝1x ＋x －1，y ′＝－1x2＋1＜0.∴y ＝e －ln x －1＋x 在(0,1)上为减函数；当x ＞1时，y ＝e ln x －x ＋1＝1，故选D.] 8．C [∵a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列， ∴2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，∴2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ， ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )，∵A ＋B ＋C ＝π，∴2sin B cos B ＝sin B ， 又∵sin B ≠0，∴cos B ＝12.∵0<B <π，∴B ＝π3.∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2－ac ＝3， ac ≤⎝⎛⎭⎫a ＋c 22，当且仅当a ＝c 时取等号，∴(a ＋c )2－33≤⎝⎛⎭⎫a ＋c 22， 即(a ＋c )2≤12，∴a ＋c ≤2 3.]9．B [把函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像向左平移π8个单位长度后，得到的图像的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ，该函数是偶函数的充要条件是π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，根据选项检验可知φ的一个可能取值为π4.]10．C [由题意得2×π8＋φ＝k π(k ∈Z )．∵0<φ<π，∴φ＝3π4，因此2k π－π2≤2x ＋3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )．∴k π－5π8≤x ≤k π－π8(k ∈Z )．]11．D [函数y 1＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，故f (1＋x )＝f (1－x )． 函数f (x )是定义在R 上的偶函数，故f (1－x )＝f (x －1)， 因此f (x ＋1)＝f (x －1)，从而函数f (x )是周期为2的函数．可根据函数性质作出函数y 1＝f (x )的图像和函数y 2＝lg|x |的图像，因为函数f (x )的值域为[0,1]，所以只需要考虑区间[－10，10]，数形结合可得交点个数为18.故选D.]12．C [函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (x )恰有两个零点，转化为ln x －ax 2＋ax ＝0，即方程ln x x ＝a (x －1)恰有两解，设g (x )＝ln xx ，则g ′(x )＝1－ln x x 2，当0<x <e 时，g ′(x )>0，当x >e 时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，e)上是增函数， 在(e ，＋∞)上是减函数，且g (1)＝0，当x >e 时，g (x )>0，g ′(1)＝1，作出函数y 1＝g (x )和函数y 2＝a (x －1)的图像如图所示，由图可知，两个函数有两个交点的充要条件是0<a <1或a >1，故选C.] 13.⎝⎛⎭⎫45，1解析 已知p ：任意x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x <m (x 2＋1)，故m >2x x 2＋1，令g (x )＝2xx 2＋1，则g (x )在⎣⎡⎦⎤14，12上是增加的，故g (x )≤g ⎝⎛⎭⎫12＝45，故p 为真时，m >45； q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1＝(2x ＋1)2＋m －2， 令f (x )＝0，得2x ＝2－m －1，若f (x )存在零点，则2－m －1>0，解得，m <1， 故q 为真时，m <1；若“p 且q ”为真命题， 则实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫45，1. 14．－5615.32解析 f (x )向右平移π2个单位长度后得g (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π2ω. ∵sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫ωx －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －3π4， ∴ωx －π2ω＝ωx －3π4＋2k π(k ∈Z )，∴ω＝32－4k (k ∈Z )，∴正数ω的最小值为32.16.⎝⎛⎭⎫12，1解析 因为f (x )＝x 3－x 2＋a ，所以由题意可知，f ′(x )＝3x 2－2x 在区间[0，a ]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<a )，满足f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝f (a )－f (0)a －0＝a 2－a ，所以方程3x 2－2x ＝a 2－a 在区间(0，a )上有两个不相等的实根． 令g (x )＝3x 2－2x －a 2＋a (0<x <a )， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12(－a 2＋a )>0，g (0)＝－a 2＋a >0，g (a )＝2a 2－a >0，解得12<a <1.17．解 (1)18≤2x －2≤16,2－3≤2x －2≤24，∴－3≤x －2≤4，∴－1≤x ≤6，∴A ＝{x |－1≤x ≤6}． (2)若B ＝∅，则2m ＋1>3m －1，解得m <2，此时满足题意； 若B ≠∅且B ⊆A ，∴必有⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≤3m －1，－1≤2m ＋1，3m －1≤6，解得2≤m ≤73.综上所述，m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ≤73. 18．解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3， 由f (x )－f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝0可知，x ＝π8为函数的对称轴， 则2×π8＋φ＋π3＝k π＋π2，φ＝－π12＋k π，k ∈Z ，由0<φ<2π可知，φ＝11π12或φ＝23π12.又由f ⎝⎛⎭⎫π2>f (0)可知，－sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3>sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3， 则sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3<0， 验证φ＝11π12和φ＝23π12，则φ＝11π12符合，所以y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ， 所以f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2，所以2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π12，5π4， 则f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－1，22. 所以f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 19．解 (1)当0＜x ≤500时，f (x )＝5x －1200x 2－x2－25；当x ＞500时，f (x )＝5×500－1200×5002－x2－25，故f (x )＝⎩⎨⎧－1200x 2＋92x －25，0<x ≤500，－12x ＋1 225，x >500.(2)当0＜x ≤500时，f (x )＝－1200(x －450)2＋19752. 故当x ＝450时，f (x )max ＝1 9752＝987.5； 当x ＞500时，f (x )<－12×500＋1 225＝975，故当该公司的年产量为450件时，当年获得的利润最大． 20．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －12x 2＋1，∴f ′(x )＝1x－x ，∴f ′(2)＝－32，即x ＝2处的切线斜率k ＝－32.已知切点为(2，－1＋ln 2)，∴切线的方程为3x ＋2y －4－2ln 2＝0.(2)∵f ′(x )＝－ax 2＋(1－a )x ＋1x ＝(x ＋1)(1－ax )x (1≤x ≤2)，当a ≤0时，f ′(x )>0在[1,2]上恒成立， ∴f (x )在[1,2]上是增加的， ∴f (x )max ＝f (2)＝－4a ＋3＋ln 2；当1a ≥2，即0<a ≤12时，f ′(x )≥0在[1,2]上恒成立， ∴f (x )在[1,2]上是增加的，∴f (x )max ＝f (2)＝－4a ＋3＋ln 2；当1<1a <2，即12<a <1时，f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增加的， 在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减少的，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝12a －ln a ； 当0<1a ≤1，即a ≥1时，f (x )在[1,2]上是减少的，∴f (x )max ＝f (1)＝－32a ＋2.综上所述，f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧－4a ＋3＋ln 2，a ≤12，－ln a ＋12a ，12<a <1，－32a ＋2，a ≥1.21．解 (1)∵ac ·a 2＋c 2－b 22ac ＋bc ·b 2＋c 2－a 22bc＝a 2－b 2＋8cos A ，∴b 2＋c 2－a 2＝8cos A ，∴2bc cos A ＝8cos A ， ∵cos A ≠0，∴bc ＝4. 又∵sin B ＝2sin C ，由正弦定理，得b ＝2c ，∴b ＝22，c ＝ 2. (2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ≥2bc －2bc cos A ， 即6≥8－8cos A ，∴cos A ≥14，当且仅当b ＝c 时取等号．∴sin A ≤154，∴S ＝12bc sin A ≤152， ∴△ABC 面积的最大值为152. 22．解 (1)∵f ′(x )＝x ＋1－a(x ＋1)2，∴f ′(0)＝1－a ＝5，∴a ＝－4.(2)函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝11＋x －a(x ＋1)2＝x ＋1－a (x ＋1)2，令f ′(x )＝0，则x ＝a －1，①当a －1≤－1，即a ≤0时，在(－1，＋∞)上，f ′(x )>0， 函数f (x )是增加的，无最小值．②当a －1>－1，即a >0时，在(－1，a －1)上，f ′(x )<0，函数f (x )是减少的；在(a －1，＋∞)上，f ′(x )>0，函数f (x )是增加的，∴函数f (x )的最小值为f (a －1)＝ln a －a ＋1＝－a ，解得a ＝1e. 综上，若函数f (x )的最小值为－a ，则a ＝1e. (3)由(1＋x )ln(1＋x )＋(ln k －1)x ＋ln k >0，得ln(1＋x )－x x ＋1＋ln k >0，即－ln k <ln(1＋x )－x x ＋1， 令a ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )－x x ＋1， 由(2)可知，当a ＝1时，f (x )在(－1,0)上是减少的，在(0，＋∞)上，f (x )是增加的，∴在(－1，＋∞)上，f (x )min ＝f (0)＝0，∴－ln k <0，即k >1.滚动检测三考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·绵阳一诊)设命题p ：⎝⎛⎭⎫12x ＜1，命题q ：ln x ＜1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．cos(－2 640°)＋sin 1 665°等于( )A.1＋22B ．－1＋22 C.1＋32 D ．－1＋323．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 等于( )A ．－14B.14C.78D.11164．(2018·新余模拟)在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2.则满足条件的三角形的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．05．已知定义在R 上的函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f ⎝⎛⎭⎫log 123，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．a ＜c ＜b6．已知f (x )＝x 3－ax 在(－∞，－1]上是单调函数，则a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(－∞，3]7．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上是增加的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝lg|x |C ．y ＝cos xD ．y ＝x 2＋2x8．(2017·重庆三诊)已知a ＝(2,1)，b ＝(m ，－1)，且a ⊥(a －b )，则实数m 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．49．(2018届洛阳联考)已知点O 是锐角△ABC 的外心，若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则( )A ．m ＋n ≤－2B ．－2≤m ＋n <－1C ．m ＋n <－1D ．－1<m ＋n <010．若M 为△ABC 所在平面内一点，且满足(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，若f (x )满足f (x ＋π)＝－f (x )，且f (0)＝12，则函数h (x )＝2cos(ωx ＋φ)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A ．[－1，3]B ．[－2，3]C ．[－3，2]D ．[1，3]12．对任意的正数x ，都存在两个不同的正数y ，使x 2(ln y －ln x )－ay 2＝0成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12e B.⎝⎛⎭⎫－∞，12e C.⎝⎛⎭⎫12e ，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12e ，1第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13． 10(2x ⎰＋1－x 2)d x ＝________.14．(2018届乐山调研)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，BM →＝λBC →.若AM →·BC →＝－173，则实数λ的值为______．15．(2017·石嘴山三模)给出下列命题：①已知a ，b 都是正数，且a ＋1b ＋1＞a b，则a ＜b ； ②已知f ′(x )是f (x )的导函数，若任意x ∈R ，f ′(x )≥0，则f (1)＜f (2)一定成立；③命题“存在x ∈R ，使得x 2－2x ＋1＜0”的否定是真命题；④“x ≤1且y ≤1”是“x ＋y ≤2”的充要条件．其中正确的命题的序号是________．16．(2018·九江模拟)已知f (x )＝x 3－3x ＋m ，若在区间[0,2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f (a )，f (b )，f (c )为边长的三角形，则实数m 的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2018·泉州模拟)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x 4，f (x )＝m ·n . (1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12c ＝b ，求函数f (B )的取值范围．18．(12分)(2017·长春调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(sin C －sin A )＝sin B .(1)求b c －a的值； (2)若b ＝2，BA →·BC →＝32，求△ABC 的面积．19.(12分)已知函数f (x )＝x 21＋x 2. (1)分别求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13， f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14的值； (2)归纳猜想一般性结论，并给出证明；(3)求值：f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＋f ⎝⎛⎭⎫12 011＋f ⎝⎛⎭⎫12 010＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)．20．(12分)(2018届西安模拟)已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，设向量m ＝(sin x ，cos x )，n ＝⎝⎛⎭⎫32，12. (1)若m ∥n ，求x 的值；(2)若m·n ＝35，求sin ⎝⎛⎭⎫x －π12的值．21.(12分)某河道中过度滋长一种藻类，环保部门决定投入生物净化剂净化水体. 因技术原因，第t 分钟内投放净化剂的路径长度p (t )＝140－|t －40|(单位：m)，净化剂净化水体的宽度q (单位：m)是时间t (单位：分钟)的函数：q (t )＝1＋a 2t(a 由单位时间投放的净化剂数量确定，设a 为常数，且a ∈N ＋)．(1)试写出投放净化剂的第t 分钟内净化水体面积S (t )(1≤t ≤60，t ∈N ＋)的表达式；(2)求S (t )的最小值．22．(12分)已知函数f(x)＝e x－ax－1(a∈R)．(1)若f(x)有极值0，求实数a，并确定该极值为极大值还是极小值；(2)在(1)的条件下，当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥mx ln(x＋1)恒成立，求实数m的取值范围．答案精析1．B [命题p ：⎝⎛⎭⎫12x ＜1，即x ＞0；命题q ：ln x ＜1，即0＜x ＜e ，所以p 是q 成立的必要不充分条件，故选B.]2．B [cos(－2 640°)＝cos 2 640°＝cos(7×360°＋120°)＝cos 120°＝－12， sin 1 665°＝sin(4×360°＋225°)＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22， 故cos(－2 640°)＋sin 1 665°＝－12－22＝－1＋22.] 3．A [在△ABC 中，∵b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，由正弦定理， 得2b ＝3c ，可得a ＝2c ，b ＝32c ，再由余弦定理可得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝⎝⎛⎭⎫32c 2＋c 2－4c 22×32c ×c ＝－14，故选A.] 4．B [由正弦定理，得c sin C ＝b sin B ，sin C ＝32，由于c ＞b ， 所以有两种可能，故选B.]5．A [∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴⎝⎛⎭⎫12|－x －m |－1＝⎝⎛⎭⎫12|x －m |－1，∴|－x －m |＝|x －m |，(－x －m )2＝(x －m )2，∴mx ＝0，m ＝0.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |－1，∴f (x )在[0，＋∞)是减少的，并且a ＝f (|log 123|)＝f (|log 23|)，b ＝f (|log 25|)，c ＝f (0)．∵0＜log 23＜log 25，∴c ＞a ＞b ，故选A.]6．D [因为f (x )＝x 3－ax 在(－∞，－1]上是单调函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，－1]上恒成立，即a ≤(3x 2)min ＝3，故选D.]7．B [对于答案A ，C ，当取x 1＝1，x 2＝2时，显然x 1＜x 2，但y 1＞y 2，故不是递增函数，则两个答案都不正确；对于答案D ，由于f (－1)＝1＋12＝32，f (1)＝1＋2＝3，即f (－1)≠f (1)，故不是偶函数，也不正确；对于答案B 结合所学基本初等函数的图像和性质可知函数f (x )＝lg|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，lg (－x )，x ＜0是偶函数，且在(0，＋∞)上是增加的，故选B.]8．C [由a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b )＝0,6－2m ＝0，解得m ＝3，故选C.]9．C [∵O 是锐角△ABC 的外心，∴O 在三角形内部，不妨设锐角△ABC 的外接圆的半径为1，又OC →＝mOA →＋nOB →，∴|OC →|＝|mOA →＋nOB →|，可得OC →2＝m 2OA →2＋n 2OB →2＋2mnOA →·OB →，而OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|cos ∠AOB <|OA →|·|OB →|＝1.∴1＝m 2＋n 2＋2mnOA →·OB →<m 2＋n 2＋2mn ，∴m ＋n <－1或m ＋n >1，如果m ＋n >1则O 在三角形外部，三角形不是锐角三角形，∴m ＋n <－1，故选C.]10．A [(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝CB →·(MB →－MA →＋MC →－MA →)＝CB →·(AB →＋AC →)＝(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 的形状为等腰三角形．]11．A [因为f (x ＋π)＝－f (x )，所以函数f (x )的周期为2π，ω＝1，由f (0)＝sin φ＝12且|φ|＜π2，得φ＝π6， 所以h (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2知π6≤x ＋π6≤2π3， 所以－12≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32，h (x )∈[－1，3]， 故选A.]12．A [由x 2(ln y －ln x )－ay 2＝0(x ＞0，y ＞0)，得a ＝x 2(ln y －ln x )y 2＝ln y x ⎝⎛⎭⎫y x 2，令t ＝y x (t ＞0)，所以a ＝ln t t 2.设g (t )＝ln t t 2(t >0)，g ′(t )＝1t ·t 2－(ln t )2t t 4＝1－2ln t t 3， 令g ′(t )＞0，得0＜t ＜e ，g (t )是增加的；令g ′(t )＜0，得t ＞e ，g (t )是减少的．所以g (t )最大值为g (e)＝12e.又当t ＞1时，g (t )＞0；当0＜t ＜1时，g (t )＜0，故当a ∈⎝⎛⎭⎫0，12e 时，存在两个正数t ，使a ＝ln t t 2成立，即对任意的正数x ，都存在两个不同的正数y ，使x 2(ln y －ln x )－ay 2＝0成立，故选A.]13．1＋π4解析 由微积分基本定理，得10⎰2x d x ＝x 2|10＝1， 曲线y ＝1－x 2(0<x <1)表示单位圆的四分之一，则10⎰1－x 2d x ＝14×π×12＝π4， 由此可得，10⎰ (2x ＋1－x 2)d x ＝1＋π4. 14.13 解析 ∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理可得BC ＝19，又根据余弦定理可得cos ∠ABC ＝419，AM →·BC →＝(BM →－BA →)·BC →＝λBC →2－BA →·BC →＝19λ－3×19×419＝－173， 解得λ＝13. 15．①③解析 ①已知a ，b 都是正数，a ＋1b ＋1＞a b，ab ＋b ＞ab ＋a ，则a ＜b 正确； ②若f (x )是常函数，则f (1)＜f (2)不成立，③命题“存在x ∈R ，使得x 2－2x ＋1＜0”是假命题，则它的否定是真命题；④“x ≤1且y ≤1”⇒“x ＋y ≤2”，反之不成立，则“x ≤1且y ≤1”是“x ＋y ≤2”的充分不必要条件．正确的命题序号为①③.16．(6，＋∞)解析 三角形的边长为正数，而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形，故只需求出函数在区间[0,2]上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解．令f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0，则x 1＝1，x 2＝－1(舍去)，∵函数的定义域为[0,2]，∴当x ∈[0,1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(1,2]时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )在区间[0,1)上是减少的，在区间(1,2]上是增加的，则f (x )min ＝f (1)＝m －2，f (x )max ＝f (2)＝m ＋2，f (0)＝m ，由题意知，f (1)＝m －2＞0；①由f (1)＋f (1)＞f (2)，得－4＋2m ＞2＋m ，②由①②得m >6.17．解 (1)∵f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12， 而f (x )＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12.又∵2π3－x ＝π－2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 ＝－1＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝－12. (2)∵a cos C ＋12c ＝b ，∴a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b . 即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝12. 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3. 又∵0＜B ＜2π3， ∴π6＜B 2＋π6＜π2，∴f (B )∈⎝⎛⎭⎫1，32. 18．解 (1)由正弦定理，得2(c －a )＝b ，即b c －a＝2； (2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2(c －a )＝b ，b ＝2，BA →·BC →＝ca cos B ＝32， 即⎩⎪⎨⎪⎧ c －a ＝1，ca ·a 2＋c 2－b 22ac ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，所以cos B ＝34， 所以sin B ＝74，所以S ＝12ac sin B ＝74.19．解 (1)∵f (x )＝x 21＋x 2，∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝221＋22＋122＋1＝1， 同理可得f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1. (2)由(1)猜想f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1.证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝1. (3)令S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＋f ⎝⎛⎭⎫12 011＋f ⎝⎛⎭⎫12 010＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)， 则S ＝f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 011＋f (2 011)＋f (2 010)＋…＋f (2)＋f (1)， 则2S ＝4 022，故S ＝2 011.20．解 (1)因为m ＝(sin x ，cos x )，n ＝⎝⎛⎭⎫32，12，且m ∥n ，所以sin x ·12＝cos x ·32，即tan x ＝3，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以x ＝π3. (2)因为m ＝(sin x ，cos x )，n ＝⎝⎛⎭⎫32，12，且m·n ＝35， 所以32sin x ＋12cos x ＝35， 即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35，令θ＝x ＋π6， 则x ＝θ－π6，且sin θ＝35，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，故θ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2， 所以cos θ＝1－sin 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π12＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6－π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin θcos π4－cos θsin π4＝35×22－45×22＝－210.21．解 (1)由题意， 得S (t )＝p (t )·q (t )＝(140－|t －40|)⎝⎛⎭⎫1＋a 2t ＝⎩⎨⎧100＋a 2＋t ＋100a 2t，1≤t ＜40，t ∈N ＋，180－a 2－t ＋180a2t，40≤t ≤60，t ∈N ＋.(2)当40≤t ≤60且t ∈N ＋时，S (t )＝180－a 2－t ＋180a 2t， 当t 增加时180a 2t 减小，所以S (t )在40≤t ≤60上是减少的，所以当t ＝60时，S (t )有最小值2a 2＋120. 当1≤t ＜40且t ∈N ＋时，S (t )＝100＋a 2＋t ＋100a 2t≥100＋a 2＋20a (当且仅当t ＝10a 时，等号成立)，①若a ＝1或2或3；当t ＝10a 时，上述不等式中的等号成立， S (t )在1≤t ＜40范围中有最小值a 2＋20a ＋100. 又在40≤t ≤60时S (t )有最小值2a 2＋120.当a ＝1时，100＋a 2＋20a ＝121＜122＝2a 2＋120， 故S (t )有最小值121；当a ＝2或a ＝3时，100＋a 2＋20a ＞2a 2＋120， 故S (t )有最小值2a 2＋120. ②若a ≥4且1≤t ＜40时，因为S (t ＋1)－S (t )＝1＋100a 2t ＋1－100a 2t ＝1－100a 2t (t ＋1)<0，所以S (t ＋1)<S (t )，故S (t )在1≤t <40时是减少的；又S (t )在40≤t ≤60时是减少的，且100＋a 2＋40＋100a 240＝180－a 2－40＋180a 240， 所以S (t )在1≤t ≤60时是减少的． 所以，当t ＝60时，S (t )有最小值2a 2＋120. 综上，若a ＝1，当t ＝10时，S (t )有最小值121； 若a ≥2且a ∈N *，当t ＝60时，S (t )有最小值2a 2＋120. 22．解 (1)f ′(x )＝e x －a .①若a ≤0，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，＋∞)上是增加的，无极值，不符合题意； ②若a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0，f (x )在(－∞，ln a )上是减少的；当x ∈(ln a ，＋∞)时， f ′(x )＞0，f (x )在(ln a ，＋∞)上是增加的． 所以，当x ＝ln a 时，f (x )取到极小值， f (ln a )＝e ln a －a ln a －1＝0，即a ln a －a ＋1＝0. 令φ(a )＝a ln a －a ＋1(a >0)， 则φ′(a )＝ln a ＋a ·1a－1＝ln a ，当0＜a ＜1时，φ′(a )＜0，φ(a )是减少的； 当a ＞1时，φ′(a )＞0，φ(a )是增加的． 又φ(1)＝0，所以a ln a －a ＋1＝0有唯一解a ＝1. (2)由(1)知，f (x )＝e x －x －1， 当x ≥0时，f (x )≥mx ln(x ＋1)恒成立，即e x －x －mx ln(x ＋1)－1≥0(x ∈[0，＋∞))恒成立． 令g (x )＝e x －x －mx ln(x ＋1)－1(x ∈[0，＋∞))， 则g ′(x )＝e x －1－m ln(x ＋1)－mxx ＋1(x ∈[0，＋∞))，令h (x )＝e x －1－m ln(x ＋1)－mxx ＋1(x ∈[0，＋∞))， 则h ′(x )＝e x －m ⎣⎡⎦⎤1(x ＋1)2＋1x ＋1，h ′(0)＝1－2m,0＜1(x ＋1)2＋1x ＋1≤2(当且仅当x ＝0时取“＝”)．①当m ≤0时，h ′(x )＞0，h (x )在[0，＋∞)上是增加的， 所以h (x )min ＝h (0)＝0，即h (x )≥0，即g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上是增加的， 所以g (x )min ＝g (0)＝0，所以g (x )≥0， 所以e x －x －mx ln(x ＋1)－1≥0， 即f (x )≥mx ln(x ＋1)恒成立． ②当0＜m ≤12时，h ′(x )是增函数，h ′(x )min ＝h ′(0)＝1－2m ≥0，所以h ′(x )＞0，故h (x )在[0，＋∞)上是增加的， 所以h (x )min ＝h (0)＝0，即g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上是增加的，所以g (x )min ＝g (0)＝0， 所以g (x )≥0，即f (x )≥mx ln(x ＋1)恒成立．③当m ＞12时，h ′(x )是增函数，h ′(x )min ＝h ′(0)＝1－2m ＜0，当x →＋∞时，e x →＋∞，－m ⎣⎡⎦⎤1(x ＋1)2＋1x ＋1→0，所以h ′(x )→＋∞，则存在x 0＞0，使得h ′(x 0)＝0， 当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )＜0，h (x )在(0，x 0)上是减少的， 此时h (x 0)＜h (0)＝0，即g ′(x )＜0，x ∈(0，x 0)，所以g (x )在(0，x 0)上是减少的，g (x 0)＜g (0)＝0，不符合题意． 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12.滚动检测四考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x |lg x ＜1}，N ＝{x |－3x 2＋5x ＋12＜0}，则( ) A ．N ⊆M B ．∁R N ⊆MC ．M ∩N ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪(3,10) D ．M ∩(∁R N )＝(0,3]2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ－sin 2θ等于( ) A ．－45B ．－35C. 35D. 453．(2018届衡水联考)已知命题p ：任意x ∈R ，(2－x )12<0，则命题綈p 为( )A ．存在x ∈R ，(2－x )12>0B ．任意x ∈R ，(1－x )12>0C ．任意x ∈R ，(1－x )12≥0D ．存在x ∈R ，(2－x )12≥04．(2018·济宁模拟)曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 的坐标是( ) A ．(0,1) B ．(1,0) C ．(1，－1)D ．(1,3)5．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,1)，若向量a －λb 与向量c ＝(5，－2)共线，则λ的值为( ) A.43 B.413 C ．－49D ．46．(2017·贵阳适应性考试)设命题p ：若y ＝f (x )的定义域为R ，且函数y ＝f (x －2)图像关于点(2,0)对称，则函数y ＝f (x )是奇函数，命题q ：任意x ≥0， 12x ≥13x ，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p 且q B ．(綈p )或q C ．p 且(綈q )D ．(綈p )且(綈q )7．已知a ＝1213⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝121log 3，c ＝31log 2，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >b >cD ．b >a >c8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则b 等于( )A.1＋32B ．1＋ 3 C.2＋32D ．2＋ 39．(2018届吉林松原模拟)已知△ABC 外接圆的圆心为O ，AB ＝23，AC ＝22，A 为钝角，M 是BC 边的中点，则AM →·AO →等于( )。

高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测一第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合M ＝{x ∈R |y ＝lg(2－x )}，N ＝{y ∈R |y ＝2x －1}，则( ) A ．M ＝N B ．M ∩N ＝∅ C ．M ⊇ND ．M ∪N ＝R2．(·广东阳东一中联考)函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)3．已知命题p ：△ABC 中，AB →·AC →<0，命题q ：△ABC 是钝角三角形，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．命题“∃x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0>2”的否定是( )A ．∀x ∈[π2，π]，sin x －cos x <2B ．∃x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0≤2C ．∀x ∈[π2，π]，sin x －cos x ≤2D ．∃x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0<25．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 等于( ) A ．6 B ．－6 C ．0D ．126．(·上海)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]7．(·呼伦贝尔二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m的取值范围是( ) A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，0]∪(1，＋∞)D ．(－∞，1]∪(2，＋∞)8．(·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )等于( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－149．(·广东广雅中学联考)对于非空集合A ，B ，定义运算：A B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }，已知M ＝{x |a <x <b }，N ＝{x |c <x <d }，其中a 、b 、c 、d 满足a ＋b ＝c ＋d ，ab <cd <0，则M N 等于( )A ．(a ，d )∪(b ，c )B ．(c ，a ]∪[b ，d )C ．(a ，c ]∪[d ，b )D ．(c ，a )∪(d ，b )10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ＋a ，x <0，－x 2＋1＋a ，x ≥0，且函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．[－1,0) C ．[－1，＋∞)D ．[－2，＋∞)11．已知命题p ：－4<x －a <4，命题q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(－4,3]B ．[－1,6]C ．[－1,4)D ．[－4,6]12．(·重庆模拟)对于函数f (x )＝4x －m ·2x ＋1，若存在实数x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≤12B ．m ≥12C ．m ≤1D ．m ≥1第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若函数f (x )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f (294)＋f (416)＝________. 14．(·江苏时杨中学月考)已知m ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2，若f (2－m )＝f (2＋m )，则实数m 的值为________．15．若函数f (x )＝log 0.5(3x 2－ax ＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是__________．16．(·北京)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________； (2)若f (x )恰有2个零点，则实数a的取值范围是________________________________________________________________________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(·珠海六校第二次联考)已知集合A ＝{x ||x －a |≤2}，B ＝{x |lg(x 2＋6x ＋9)>0}． (1)求集合A 和∁R B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．18．(12分)(·福建八县(市)一中联考)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(其中a ≠0)，q ：实数x 满足x －3x －2<0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．19.(12分)(·德州第一中学月考)已知函数f (x )的定义域为(－2,2)，函数g (x )＝f (x －1)＋f (3－2x )． (1)求函数g (x )的定义域；(2)若f (x )是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g (x )≤0的解集．20．(12分)设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1的值域，集合C 为不等式(ax －1a )·(x ＋4)≤0的解集．(1)求A ∩B ；(2)若C ⊆∁R A ，求a 的取值范围．21．(12分)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f (t )(万人)与时间t (天)的函数关系近似地满足f (t )＝4＋1t ，人均消费g (t )(元)与时间t (天)的函数关系近似地满足g (t )＝115－|t －15|.(1)求该城市的旅游日收益ω(t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N )的函数关系式； (2)求该城市的旅游日收益的最小值．22．(12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋2是奇函数．(1)求b 的值；(2)判断函数f (x )的单调性并证明；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．答案解析1．D [集合M 是函数y ＝lg(2－x )的定义域，所以M ＝(－∞，2)，集合N 为函数y ＝2x －1的值域，所以N ＝(0，＋∞)，所以M ∪N ＝R .]2．C [∵⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，1＋x >0，∴x >－1且x ≠1，所以C 为正确选项，故选C.]3．A [由于在△ABC 中，AB →·AC →<0，可得A 为钝角，故△ABC 是钝角三角形，反之不成立，可能是B ，C 之一为钝角．故p 是q 的充分不必要条件．]4．C [特称命题的否定是全称命题，改量词并否定结论，所以C 正确．] 5．B [作出函数f (x )的图象，可知函数f (x )在(－∞，－a2]上单调递减，在[－a2，＋∞)上单调递增．又已知函数f (x )的单调递增区间是[3，＋∞)， 所以－a2＝3，解得a ＝－6.]6．D [∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2， 又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0. 当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2， 即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2， ∴a 的取值范围是0≤a ≤2.选D.]7．C [设函数h (x )＝f (x )＋x ，当x ≤0时，h (x )＝x 是增函数，此时h (x )的值域是(－∞，0]；当x >0时，h (x )＝e x ＋x 是增函数，此时h (x )的值域(1，＋∞)． 综上，h (x )的值域是(－∞，0]∪(1，＋∞)．函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点，即方程f (x )＋x －m ＝0有解，也即方程m ＝f (x )＋x 有解．故m 的取值范围是(－∞，0]∪(1，＋∞)．]8．A [若a ≤1，f (a )＝2a －1－2＝－3,2a －1＝－1(无解)； 若a >1，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＝7， f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝14－2＝－74.]9．C [由新定义的概念可知当a ＋b ＝c ＋d ，ab <cd <0时，a <c <d <b .再由题意可知M N ＝(a ，c ]∪[d ，b )，根据选项可知应为C.故选C.]10．B [函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点等价于函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ，x <0，－x 2－x ＋1，x ≥0的图象与直线y ＝－a 有3个不同的交点，作出图象，如图所示，可得当0<－a ≤1时，满足题意，故－1≤a <0.故选B.]11．B [由p ：－4<x －a <4成立，得a －4<x <a ＋4； 由q ：(x －2)(3－x )>0成立，得2<x <3，所以綈p ：x ≤a －4或x ≥a ＋4，綈q ：x ≤2或x ≥3，又綈p 是綈q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6，故答案为[－1,6]．]12．B [若存在实数x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)， 则4－x 0－m ·2－x 0＋1＝－4x 0＋m ·2x 0＋1， 整理得：2m (2x 0＋2－x 0)＝4x 0＋4－x 0， 2m ＝4x 0＋4－x 02x 0＋2－x 0＝(2x 0＋2－x 0)2－22x 0＋2－x 0＝2x 0＋2－x 0－22x 0＋2－x 0，设2x 0＋2－x 0＝t (t ≥2)，2m ＝t －2t ，其在[2，＋∞)上为增函数，当t ＝2时，2m ＝1，m ＝12，所以m ≥12.]13.516解析 因为函数f (x )的周期是4， 则f (294)＝f (8－34)＝f (－34)，∵f (x )是奇函数，∴f (－34)＝－f (34)＝－34×14＝－316，f (416)＝f (8－76)＝f (－76)＝－f (76)＝－sin 7π6 ＝sin π6＝12，则f (294)＋f (416)＝－316＋12＝516.14．8或－83解析 若m >0，则f (2－m )＝3(2－m )－m ＝6－4m ，f (2＋m )＝－(2＋m )－2m ＝－2－3m ，∴6－4m ＝－2－3m ，解得m ＝8.若m <0，则f (2－m )＝－(2－m )－2m ＝－2－m ，f (2＋m )＝3(2＋m )－m ＝6＋2m ，∴－2－m ＝6＋2m ，解得m ＝－83.15．[－8，－6]解析 设g (x )＝3x 2－ax ＋5，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 6≤－1，g (－1)≥0，解得－8≤a ≤－6.16．(1)－1 (2)⎣⎡⎭⎫12，1∪[2，＋∞)解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x <1，4(x －1)(x －2)，x ≥1.当x <1时，f (x )＝2x －1∈(－1,1)，当x ≥1时，f (x )＝4(x 2－3x ＋2) ＝4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －322－14≥－1， ∴f (x )min ＝－1.(2)由于f (x )恰有2个零点，分两种情况讨论： 当f (x )＝2x －a ，x <1没有零点时，a ≥2或a ≤0.当a ≥2时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，有2个零点； 当a ≤0时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时无零点． 因此a ≥2满足题意．当f (x )＝2x －a ，x <1有一个零点时， 0<a <2.f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1有一个零点，此时a <1, 2a ≥1，因此12≤a <1.综上知实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12≤a <1或a ≥2.17．解 (1)∵|x －a |≤2⇔－2≤x －a ≤2⇔a －2≤x ≤2＋a ， ∴集合A ＝{x |－2＋a ≤x ≤2＋a }， ∵lg(x 2＋6x ＋9)>0，∴x 2＋6x ＋9>1，∴集合B ＝{x |x <－4或x >－2}． ∴∁R B ＝[－4，－2]．(2)由A ⊆B ，得2＋a <－4或者－2<－2＋a . 解得a <－6或a >0，所以a 的取值范围为{a |a <－6或a >0}．18．解 (1)当a ＝1时，由x 2－4ax ＋3a 2<0，解得1<x <3，即p 为真时，实数x 的取值范围是(1,3)；由x －3x －2<0，解得2<x <3，即q 为真时，实数x 的取值范围是(2,3)．若p ∧q 为真，则p为真且q 为真，所以实数x 的取值范围是(2,3)． (2)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0.当a >0时，p ：a <x <3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥3，解得1≤a ≤2；当a <0时，p ：3a <x <a ，而⎩⎨⎧3a ≤2，a ≥3无解，不合题意．所以实数a 的取值范围是[1,2]．19．解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－2<x －1<2，－2<3－2x <2，解得12<x <52，∴函数g (x )的定义域为(12，52)．(2)由g (x )≤0得f (x －1)＋f (3－2x )≤0， ∴f (x －1)≤－f (3－2x )．∵f (x )是奇函数，∴f (x －1)≤f (2x －3)． 又∵f (x )在(－2,2)上单调递减， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<x －1<2，－2<2x －3<2，x －1≥2x －3.解得12<x ≤2，∴g (x )≤0的解集为(12，2]．20．解 (1)由－x 2－2x ＋8>0得－4<x <2， 即A ＝(－4,2)，∁R A ＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)． y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1，当x ＋1>0，即x >－1时y ≥2－1＝1， 此时x ＝0，符合要求；当x ＋1<0，即x <－1时，y ≤－2－1＝－3， 此时x ＝－2，符合要求． 所以B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)， 所以A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)．(2)(ax －1a )(x ＋4)＝0有两根x ＝－4或x ＝1a 2. 当a >0时，C ＝{x |－4≤x ≤1a 2}，不可能C ⊆∁R A ； 当a <0时，C ＝{x |x ≤－4或x ≥1a 2}， 若C ⊆∁R A ，则1a 2≥2，∴a 2≤12， ∴－22≤a <0.故a 的取值范围为[－22，0)． 21．解 (1)由题意得，ω(t )＝f (t )·g (t )＝(4＋1t)(115－|t －15|)(1≤t ≤30，t ∈N )， 即ω(t )＝⎩⎨⎧ (4＋1t )(t ＋100)(1≤t <15，t ∈N )，(4＋1t )(130－t )(15≤t ≤30，t ∈N ).(2)①当1≤t <15，t ∈N 时，ω(t )＝(4＋1t)(t ＋100) ＝4(t ＋25t )＋401≥4×225＋401＝441，当且仅当t ＝25t，即t ＝5时取等号，此时ω(t )取最小值，为441；②当15≤t ≤30，t ∈N 时，ω(t )＝(4＋1t )(130－t )＝519＋(130t－4t )，易知ω(t )在[15,30]上单调递减，所以当t ＝30时，ω(t )取最小值，为40313. 因为40313<441，所以该城市旅游日收益的最小值为40313万元． 22．解 (1)∵f (x )在定义域R 上是奇函数，∴f (0)＝0，即b －12＋2＝0，∴b ＝1. (2)由(1)知f (x )＝1－2x2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1. 设x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝12x 1＋1－12x 2＋1＝2x 2－2x 1(2x 1＋1)(2x 2＋1). ∵函数y ＝2x 在R 上是增函数且x 1<x 2，∴2x2－2x1>0.又(2x1＋1)(2x2＋1)>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)∵f(x)是奇函数，∴不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，∵f(x)为减函数，由上式推得t2－2t>k－2t2.即对一切t∈R,3t2－2t－k>0，从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－13.∴k的取值范围是(－∞，－1 3)．。

一、选择题1．如图所示的Venn图中，阴影部分对应的集合是( )A．A∩B B．∁U(A∩B)C．A∩(∁U B) D．(∁U A)∩B2．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是( ) A．“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”B．“若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0”C．“若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0”D．“若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0”3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数f(x)＝11－x2的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∪(∁R N)等于( )A．{x|x<1} B．{x|x≥－1}C．{x|－1<x≤1} D．{x|－1≤x<1}5．下列各组函数中是同一个函数的是( )①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x2与g(x)＝x4；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①②B．①③C．③④D．①④6．若a＝2－3.1，b＝0.53，c＝log3.14，则a，b，c的大小关系是( ) A．c<b<a B．b<c<aC．a<c<b D．a<b<c7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t x，x <2，log t (x 2－1)，x ≥2，且f (2)＝1，则f (1)等于( )A ．8B ．6C ．4D ．28．给出下列四个函数：①y ＝x ·sin x ；②y ＝x ·cos x ；③y ＝x ·|cos x |；④y ＝x ·2x.这四个函数的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①9．已知函数f (x )是偶函数且满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( ) A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－2，－1)∪(0,1)10．已知命题p ：若函数f (x )＝x 2＋|x －a |是偶函数，则a ＝0.命题q ：∀m ∈(0，＋∞)，关于x 的方程mx 2－2x ＋1＝0有解．在①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧q ；④(綈p )∨(綈q )中为真命题的是( ) A ．②③ B ．②④ C ．③④D ．①④11．已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x .若函数g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有2个零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 12．已知定义域为A 的函数f (x )，若对任意的x 1，x 2∈A ，都有f (x 1＋x 2)－f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )为“定义域上的M 函数”，给出以下五个函数：①f (x )＝2x ＋3，x ∈R ；②f (x )＝x 2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12；③f (x )＝x 2＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12；④f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2；⑤f (x )＝log 2x ，x ∈[2，＋∞)．其中是“定义域上的M 函数”的有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个二、填空题13．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝|x |，x ∈R }，则A ∩B 中元素的个数为________．14．已知p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋a ≤0，若p 是错误的，则实数a 的取值范围是__________．(用区间表示)15．已知函数f (x )＝12(31)4,0,(log ),0,a x a x f x x -+<⎧⎪⎨≥⎪⎩若f (4)>1，则实数a 的取值范围是____________．16．若直角坐标平面内不同两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上； ②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )可看成同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k (x ＋1)，x <0，x 2＋1，x ≥0，有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是______________． 三、解答题 17．设p ：f (x )＝2x －m在区间(1，＋∞)上是减函数；q ：若x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，则不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意实数a ∈[－1,1]恒成立．若p 不正确，q 正确，求实数m 的取值范围．18．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |a －1<x <2a ＋1}，B ＝{x |0<x <1}． (1)若a ＝12，求A ∩B ；(2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．19．已知函数f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x )，x ∈[19，9]．(1)若t ＝log 3x ，求t 的取值范围；(2)求f (x )的最值及取得最值时对应的x 的值．20．已知p ：“∃x 0∈(－1,1)，x 20－x 0－m ＝0(m ∈R )”是正确的，设实数m 的取值集合为M .(1)求集合M ；(2)设关于x 的不等式(x －a )(x ＋a －2)<0(a ∈R )的解集为N ，若“x ∈M ”是“x ∈N ”的充分条件，求实数a 的取值范围．21.据某气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示．过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即时间t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．22．已知函数f(x)＝x2＋(x－1)|x－a|.(1)若a＝－1，解方程f(x)＝1；(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；(3)是否存在实数a，使不等式f(x)≥2x－3对任意x∈R恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．答案精析1．C [根据题图可知，阴影部分是由属于A 且不属于B (属于∁U B )的元素组成的集合，观察各选项易得结果．]2．A [逆否命题是将原命题的条件与结论先调换位置，再将新条件与新结论同时否定，故选A.]3．A [A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，若a ＝3，则A ＝{1,3}，所以A ⊆B ；若A ⊆B ，则a ＝2或a ＝3，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．]4．A [M ＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，N ＝{x |1＋x >0}＝{x |x >－1}， 所以M ∪(∁R N )＝{x |－1<x <1}∪{x |x ≤－1}＝{x |x <1}．]5．C [①中，f (x )＝－2x 3＝－x －2x ，故f (x )，g (x )不是同一个函数；②中，g (x )＝x 2＝|x |，故f (x )，g (x )不是同一个函数；易知③④中两函数表示同一个函数．] 6．D [因为a ＝2－3.1，b ＝0.53＝2－3，函数y ＝2x 在R 上单调递增，所以2－3.1<2－3<20＝1，又函数y ＝log 3.1x 在(0，＋∞)上单调递增，所以c ＝log 3.14>log 3.13.1＝1，所以a <b <c .] 7．B [因为f (2)＝1，所以log t (22－1)＝log t 3＝1，解得t ＝3，所以f (1)＝2×31＝6.] 8．A [本题是选择题，可利用排除法．对于①，令y ＝f (x )，∵f (x )的定义域关于原点对称，f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x ·sin x ＝f (x )，∴函数y ＝f (x )为偶函数，故①中的函数对应第1个图象，排除C 和D ；对于③，当x >0时，y ≥0，故③中的函数对应第4个图象，排除B.]9．C [若x ∈[－2,0]，则－x ∈[0,2]，此时f (－x )＝－x －1. ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝－x －1＝f (x )， 即f (x )＝－x －1，x ∈[－2,0]． ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的函数． 若x ∈[2,4]，则x －4∈[－2,0]， ∴f (x )＝f (x －4)＝－(x －4)－1＝3－x ， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－2≤x <0，x －1，0≤x <2，3－x ，2≤x ≤4，作出函数f (x )在[－2,4]上的图象，如图所示，若0<x ≤3，则不等式xf (x )>0等价于f (x )>0，此时1<x <3； 若－1≤x <0，则不等式xf (x )>0等价于f (x )<0，此时－1<x <0； 若x ＝0，显然不等式xf (x )>0的解集为∅.综上，不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为(－1,0)∪(1,3)．]10．D [函数f (x )＝x 2＋|x －a |是偶函数⇒f (－x )＝f (x )⇒a ＝0⇒p 为真命题；关于x 的方程mx 2－2x ＋1＝0有解⇒Δ＝4－4m ≥0⇒m ≤1⇒q 为假命题．故①④为真，故选D.] 11．A [根据题意知，当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]，则f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1，故函数f (x )在(－1,0]上是减函数，在[0,1]上是增函数．函数g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有2个零点，相当于函数f (x )的图象与直线y ＝m (x ＋1)有2个交点，若其中1个交点为(1,1)，则m ＝12，结合函数的图象(图略)，可知m 的取值范围是(0，12]，故选A.]12．C [对于①，∀x 1，x 2∈R ，f (x 1＋x 2)＝2(x 1＋x 2)＋3<2(x 1＋x 2)＋6＝f (x 1)＋f (x 2)，故①满足条件；对于②，∀x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，f (x 1＋x 2)＝x 21＋x 22＋2x 1x 2，f (x 1)＋f (x 2)＝x 21＋x 22，当x 1x 2>0时，不满足f (x 1＋x 2)≤f (x 1)＋f (x 2)，故②不是“定义域上的M 函数”；对于③，∀x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，f (x 1＋x 2)＝x 21＋x 22＋2x 1x 2＋1，f (x 1)＋f (x 2)＝x 21＋x 22＋2，因为x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，所以2x 1x 2≤12<1， 故f (x 1＋x 2)<f (x 1)＋f (x 2)，故③满足条件；对于④，∀x 1，x 2∈[0，π2]，f (x 1＋x 2)＝sin x 1cos x 2＋sin x 2cos x 1≤sin x 1＋sin x 2＝f (x 1)＋f (x 2)，故④满足条件；对于⑤，∀x 1，x 2∈[2，＋∞)，f (x 1＋x 2)＝log 2(x 1＋x 2)，f (x 1)＋f (x 2)＝log 2(x 1x 2)，因为x 1，x 2∈[2，＋∞)，所以1x 1＋1x 2≤1，可得x 1＋x 2≤x 1x 2，即f (x 1＋x 2)≤f (x 1)＋f (x 2)，故⑤满足条件．所以是“定义域上的M 函数”的有①③④⑤，共4个．] 13．3解析 由题意联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝|x |，消去y 得x 2＝|x |，两边平方，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝1，相应的y 值分别为0,1,1，故A ∩B 中元素的个数为3. 14．(1，＋∞)解析 由题意知∀x ∈R ，x 2＋2x ＋a >0恒成立，∴关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0的根的判别式Δ＝4－4a <0，∴a >1.∴实数a 的取值范围是(1，＋∞)． 15.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12解析 由题意知f (4)＝f (log 124)＝f (－2)＝(3a －1)×(－2)＋4a >1，解得a <12.故实数a的取值范围是(－∞，12)．16．(2＋22，＋∞)解析 设点(m ，n )(m >0)是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点(－m ，－n )必在该函数图象上，故⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m 2＋1，－n ＝k (－m ＋1)，消去n ，整理得m 2－km ＋k ＋1＝0.若函数f (x )有两个“伙伴点组”，则该方程有两个不等的正实数根，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝k 2－4(k ＋1)>0，k >0，k ＋1>0，解得k >2＋2 2.故实数k 的取值范围是(2＋22，＋∞)． 17．解 若p 正确，即f (x )＝2x －m在区间(1，＋∞)上是减函数，则m ≤1. 若q 正确，∵x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，a ∈[－1,1]， ∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8≤3.∵不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意实数a ∈[－1,1]恒成立， ∴m 2＋5m －3≥3，∴m 2＋5m －6≥0， 解得m ≥1或m ≤－6. 又p 不正确，q 正确，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m ≥1或m ≤－6，∴m >1.故实数m 的取值范围是{m |m >1}．18．解 (1)若a ＝12，则A ＝{x |－12<x <2}，又B ＝{x |0<x <1}，∴A ∩B ＝{x |0<x <1}． (2)当A ＝∅时，a －1≥2a ＋1， ∴a ≤－2，此时满足A ∩B ＝∅；当A ≠∅时，则由A ∩B ＝∅，B ＝{x |0<x <1}，易得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>a －1，a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>a －1，2a ＋1≤0，∴a ≥2或－2<a ≤－12.综上可知，实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≤－12或a ≥2.19．解 (1)由t ＝log 3x ，x ∈[19，9]，解得－2≤t ≤2.(2)f (x )＝(log 3x )2＋3log 3x ＋2，令t ＝log 3x ，则y ＝t 2＋3t ＋2＝(t ＋32)2－14，t ∈[－2,2]．当t ＝－32，即log 3x ＝－32，即x ＝39时，f (x )min ＝－14； 当t ＝2，即log 3x ＝2， 即x ＝9时，f (x )max ＝12.20．解 (1)由题意知，方程x 2－x －m ＝0在x ∈(－1,1)上有解，故m 的取值集合就是函数y ＝x 2－x 在(－1,1)上的值域，易得M ＝{m |－14≤m <2}．(2)因为“x ∈M ”是“x ∈N ”的充分条件，所以M ⊆N . 当a ＝1时，集合N 为空集，不满足题意； 当a >1时，a >2－a ， 此时集合N ＝{x |2－a <x <a }， 则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，解得a >94；当a <1时，a <2－a ， 此时集合N ＝{x |a <x <2－a }，则⎩⎪⎨⎪⎧a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.综上可知，实数a 的取值范围为{a |a >94或a <－14}．21．解 (1)由题中所给出的函数图象可知，当t ＝4时，v ＝3×4＝12(km/h)， ∴s ＝12×4×12＝24(km)．(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t2＋70t －550.综上可知，s ＝223,[0,10],230150,(10,20],70550,(20,35].t t t t t t t ⎧∈⎪⎪-∈⎨⎪-+-∈⎪⎩(3)∵当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650， ∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650， 解得t 1＝30，t 2＝40. ∵20<t ≤35，∴t ＝30.∴沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．22．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋(x －1)·|x ＋1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x ≥－1，1，x <－1.当x ≥－1时，由f (x )＝1，得2x 2－1＝1，解得x ＝1或x ＝－1； 当x <－1时，f (x )＝1恒成立． ∴方程的解集为{x |x ≤－1或x ＝1}．(2)由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－(a ＋1)x ＋a ，x ≥a ，(a ＋1)x －a ，x <a .若f (x )在R 上单调递增，11 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋14≤a ，a ＋1>0，解得a ≥13.∴实数a 的取值范围为{a |a ≥13}．(3)设g (x )＝f (x )－(2x －3)，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－(a ＋3)x ＋a ＋3，x ≥a ，(a －1)x －a ＋3，x <a ，不等式f (x )≥2x －3对任意x ∈R 恒成立，等价于不等式g (x )≥0对任意x ∈R 恒成立．①若a >1，则1－a <0，即21－a <0，取x 0＝21－a ，此时x 0<a ，∴g (x 0)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－a ＝(a －1)·21－a －a ＋3＝1－a <0，即对任意的a >1，总能找到x 0＝21－a ，使得g (x 0)<0，∴不存在a >1，使得g (x )≥0恒成立．②若a ＝1，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－4x ＋4，x ≥1，2，x <1， ∴g (x )的值域为[2，＋∞)，∴g (x )≥0恒成立．③若a <1，当x ∈(－∞，a )时，g (x )单调递减，其值域为(a 2－2a ＋3，＋∞)． 由于a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2≥2，所以g (x )≥0恒成立．当x ∈[a ，＋∞)时，由a <1，知a <a ＋34，g (x )在x ＝a ＋34处取得最小值．令g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋34＝a ＋3－(a ＋3)28≥0，得－3≤a ≤5，又a <1，∴－3≤a <1.综上，a ∈[－3,1]．。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(-1)的值为（）A. -5B. -2C. 1D. 42. 下列不等式中，正确的是（）A. 3x > 2x + 1B. 3x ≤ 2x + 1C. 3x ≥ 2x + 1D. 3x < 2x + 13. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 = 2，a3 = 8，则d的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 已知等比数列{bn}的公比为q，若b1 = 3，b3 = 27，则q的值为（）A. 3B. 6C. 9D. 125. 若复数z满足|z - 2| = 3，则z的取值范围是（）A. z = 5B. z = 1C. z = 0D. z = -16. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的对称轴为（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 47. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 2，S5 = 50，则公差d为（）A. 4B. 5C. 6D. 78. 已知函数f(x) = |x - 2|，则f(x)在x = 2处的导数为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在9. 若复数z满足|z - 1| = 2，则z的取值范围是（）A. z = 3B. z = 1C. z = 0D. z = -110. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，则f(x)在x = 1处的切线斜率为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 = 3，a4 = 11，则d的值为______。

12. 已知等比数列{bn}的公比为q，若b1 = 4，b3 = 64，则q的值为______。

13. 已知函数f(x) = 2x - 1，则f(-3)的值为______。

14. 已知复数z满足|z - 1| = 2，则z的取值范围是______。

综合检测（一)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设P＝错误!，Q＝错误!,则( )A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P2．下列命题中,真命题的个数是( ）①经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行;④经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直．A．1B．2C．3D．43．(2016·北京朝阳区一模）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( ）A．42 B．19C．8 D．34．已知f（x)＝2sin(2x＋错误!)，若将它的图象向右平移错误!个单位，得到函数g（x)的图象，则函数g(x)的图象的一个对称中心为（）A．（0，0) B．(错误!,0）C．（错误!，0）D．(错误!，0）5．从5位男教师和3位女教师中选出3位教师，派往郊区3所学校支教,每校1人．要求这3位老师中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有( )A．250种B．450种C．270种D．540种6．已知直线x＋y＝a与圆O:x2＋y2＝8交于A，B两点,且OA，→·错误!＝0，则实数a的值为（）A．2 B．2错误!C．2错误!或－2错误!D．4或－47．已知实数x，y满足错误!则错误!的最大值为（）A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!8．（x＋1)2（错误!－1)5的展开式中常数项为( ）A．21 B．19C．9 D．－19．已知抛物线y2＝8x上的点P到双曲线y2－4x2＝4b2的上焦点的距离与到直线x＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（)A.错误!－错误!＝1 B．y2－错误!＝1C.错误!－x2＝1 D。

阶段滚动检测（一）一、选择题1．如图所示的Venn 图中，阴影部分对应的集合是( )A ．A ∩B B ．∁U (A ∩B )C ．A ∩(∁U B )D ．(∁U A )∩B2．命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是( ) A ．“若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0” B ．“若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0” C ．“若a ＝0且b ＝0，则a 2＋b 2≠0” D ．“若a 2＋b 2≠0，则a ≠0且b ≠0”3．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知函数f (x )＝11－x2的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∪(∁R N )等于( ) A ．{x |x <1} B ．{x |x ≥－1} C ．{x |－1<x ≤1}D ．{x |－1≤x <1}5．下列各组函数中是同一个函数的是( ) ①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ； ②f (x )＝x 与g (x )＝x 2； ③f (x )＝x 2与g (x )＝x 4；④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1. A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①④6．若a ＝2－3.1，b ＝0.53，c ＝log 3.14，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．a <c <bD ．a <b <c7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t x，x <2，log t (x 2－1)，x ≥2，且f (2)＝1，则f (1)等于( )A ．8B ．6C ．4D ．28．给出下列四个函数：①y ＝x ·sin x ；②y ＝x ·cos x ；③y ＝x ·|cos x |；④y ＝x ·2x.这四个函数的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①9．已知函数f (x )是偶函数且满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( ) A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－2，－1)∪(0,1)10．已知命题p ：若函数f (x )＝x 2＋|x －a |是偶函数，则a ＝0.命题q ：∀m ∈(0，＋∞)，关于x 的方程mx 2－2x ＋1＝0有解．在①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧q ；④(綈p )∨(綈q )中为真命题的是( ) A ．②③ B ．②④ C ．③④D ．①④11．已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x .若函数g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有2个零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 12．已知定义域为A 的函数f (x )，若对任意的x 1，x 2∈A ，都有f (x 1＋x 2)－f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )为“定义域上的M 函数”，给出以下五个函数：①f (x )＝2x ＋3，x ∈R ；②f (x )＝x 2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12；③f (x )＝x 2＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12；④f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2；⑤f (x )＝log 2x ，x ∈[2，＋∞)．其中是“定义域上的M 函数”的有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个二、填空题13．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝|x |，x ∈R }，则A ∩B 中元素的个数为________．14．已知p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋a ≤0，若p 是错误的，则实数a 的取值范围是__________．(用区间表示)15．已知函数f (x )＝12(31)4,0,(log ),0,a x a x f x x -+<⎧⎪⎨≥⎪⎩若f (4)>1，则实数a 的取值范围是____________．16．若直角坐标平面内不同两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上； ②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )可看成同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k (x ＋1)，x <0，x 2＋1，x ≥0，有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是______________． 三、解答题 17．设p ：f (x )＝2x －m在区间(1，＋∞)上是减函数；q ：若x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，则不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意实数a ∈[－1,1]恒成立．若p 不正确，q 正确，求实数m 的取值范围．18．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |a －1<x <2a ＋1}，B ＝{x |0<x <1}． (1)若a ＝12，求A ∩B ；(2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．19．已知函数f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x )，x ∈[19，9]．(1)若t ＝log 3x ，求t 的取值范围；(2)求f(x)的最值及取得最值时对应的x的值．20．已知p：“∃x0∈(－1,1)，x20－x0－m＝0(m∈R)”是正确的，设实数m的取值集合为M.(1)求集合M；(2)设关于x的不等式(x－a)(x＋a－2)<0(a∈R)的解集为N，若“x∈M”是“x∈N”的充分条件，求实数a的取值范围．21.据某气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示．过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即时间t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．22．已知函数f(x)＝x2＋(x－1)|x－a|.(1)若a＝－1，解方程f(x)＝1；(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；(3)是否存在实数a，使不等式f(x)≥2x－3对任意x∈R恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．答案精析1．C [根据题图可知，阴影部分是由属于A 且不属于B (属于∁U B )的元素组成的集合，观察各选项易得结果．]2．A [逆否命题是将原命题的条件与结论先调换位置，再将新条件与新结论同时否定，故选A.]3．A [A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，若a ＝3，则A ＝{1,3}，所以A ⊆B ；若A ⊆B ，则a ＝2或a ＝3，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．]4．A [M ＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，N ＝{x |1＋x >0}＝{x |x >－1}， 所以M ∪(∁R N )＝{x |－1<x <1}∪{x |x ≤－1}＝{x |x <1}．]5．C [①中，f (x )＝－2x 3＝－x －2x ，故f (x )，g (x )不是同一个函数；②中，g (x )＝x 2＝|x |，故f (x )，g (x )不是同一个函数；易知③④中两函数表示同一个函数．] 6．D [因为a ＝2－3.1，b ＝0.53＝2－3，函数y ＝2x 在R 上单调递增，所以2－3.1<2－3<20＝1，又函数y ＝log 3.1x 在(0，＋∞)上单调递增，所以c ＝log 3.14>log 3.13.1＝1，所以a <b <c .] 7．B [因为f (2)＝1，所以log t (22－1)＝log t 3＝1，解得t ＝3，所以f (1)＝2×31＝6.] 8．A [本题是选择题，可利用排除法．对于①，令y ＝f (x )，∵f (x )的定义域关于原点对称，f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x ·sin x ＝f (x )，∴函数y ＝f (x )为偶函数，故①中的函数对应第1个图象，排除C 和D ；对于③，当x >0时，y ≥0，故③中的函数对应第4个图象，排除B.]9．C [若x ∈[－2,0]，则－x ∈[0,2]，此时f (－x )＝－x －1. ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝－x －1＝f (x )， 即f (x )＝－x －1，x ∈[－2,0]． ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的函数． 若x ∈[2,4]，则x －4∈[－2,0]， ∴f (x )＝f (x －4)＝－(x －4)－1＝3－x ， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－2≤x <0，x －1，0≤x <2，3－x ，2≤x ≤4，作出函数f (x )在[－2,4]上的图象，如图所示，若0<x ≤3，则不等式xf (x )>0等价于f (x )>0，此时1<x <3； 若－1≤x <0，则不等式xf (x )>0等价于f (x )<0，此时－1<x <0； 若x ＝0，显然不等式xf (x )>0的解集为∅.综上，不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为(－1,0)∪(1,3)．]10．D [函数f (x )＝x 2＋|x －a |是偶函数⇒f (－x )＝f (x )⇒a ＝0⇒p 为真命题；关于x 的方程mx 2－2x ＋1＝0有解⇒Δ＝4－4m ≥0⇒m ≤1⇒q 为假命题．故①④为真，故选D.] 11．A [根据题意知，当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]，则f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1，故函数f (x )在(－1,0]上是减函数，在[0,1]上是增函数．函数g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有2个零点，相当于函数f (x )的图象与直线y ＝m (x ＋1)有2个交点，若其中1个交点为(1,1)，则m ＝12，结合函数的图象(图略)，可知m 的取值范围是(0，12]，故选A.]12．C [对于①，∀x 1，x 2∈R ，f (x 1＋x 2)＝2(x 1＋x 2)＋3<2(x 1＋x 2)＋6＝f (x 1)＋f (x 2)，故①满足条件；对于②，∀x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，f (x 1＋x 2)＝x 21＋x 22＋2x 1x 2，f (x 1)＋f (x 2)＝x 21＋x 22，当x 1x 2>0时，不满足f (x 1＋x 2)≤f (x 1)＋f (x 2)，故②不是“定义域上的M 函数”；对于③，∀x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，f (x 1＋x 2)＝x 21＋x 22＋2x 1x 2＋1，f (x 1)＋f (x 2)＝x 21＋x 22＋2，因为x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，所以2x 1x 2≤12<1， 故f (x 1＋x 2)<f (x 1)＋f (x 2)，故③满足条件；对于④，∀x 1，x 2∈[0，π2]，f (x 1＋x 2)＝sin x 1cos x 2＋sin x 2cos x 1≤sin x 1＋sin x 2＝f (x 1)＋f (x 2)，故④满足条件；对于⑤，∀x 1，x 2∈[2，＋∞)，f (x 1＋x 2)＝log 2(x 1＋x 2)，f (x 1)＋f (x 2)＝log 2(x 1x 2)，因为x 1，x 2∈[2，＋∞)，所以1x 1＋1x 2≤1，可得x 1＋x 2≤x 1x 2，即f (x 1＋x 2)≤f (x 1)＋f (x 2)，故⑤满足条件．所以是“定义域上的M 函数”的有①③④⑤，共4个．] 13．3解析 由题意联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝|x |，消去y 得x 2＝|x |，两边平方，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝1，相应的y 值分别为0,1,1，故A ∩B 中元素的个数为3. 14．(1，＋∞)解析 由题意知∀x ∈R ，x 2＋2x ＋a >0恒成立，∴关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0的根的判别式Δ＝4－4a <0，∴a >1.∴实数a 的取值范围是(1，＋∞)． 15.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12解析 由题意知f (4)＝f (log 124)＝f (－2)＝(3a －1)×(－2)＋4a >1，解得a <12.故实数a的取值范围是(－∞，12)．16．(2＋22，＋∞)解析 设点(m ，n )(m >0)是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点(－m ，－n )必在该函数图象上，故⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m 2＋1，－n ＝k (－m ＋1)，消去n ，整理得m 2－km ＋k ＋1＝0.若函数f (x )有两个“伙伴点组”，则该方程有两个不等的正实数根，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝k 2－4(k ＋1)>0，k >0，k ＋1>0，解得k >2＋2 2.故实数k 的取值范围是(2＋22，＋∞)． 17．解 若p 正确，即f (x )＝2x －m在区间(1，＋∞)上是减函数，则m ≤1. 若q 正确，∵x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，a ∈[－1,1]， ∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8≤3.∵不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意实数a ∈[－1,1]恒成立， ∴m 2＋5m －3≥3，∴m 2＋5m －6≥0， 解得m ≥1或m ≤－6. 又p 不正确，q 正确，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m ≥1或m ≤－6，∴m >1.故实数m 的取值范围是{m |m >1}．18．解 (1)若a ＝12，则A ＝{x |－12<x <2}，又B ＝{x |0<x <1}，∴A ∩B ＝{x |0<x <1}． (2)当A ＝∅时，a －1≥2a ＋1， ∴a ≤－2，此时满足A ∩B ＝∅；当A ≠∅时，则由A ∩B ＝∅，B ＝{x |0<x <1}，易得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>a －1，a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>a －1，2a ＋1≤0，∴a ≥2或－2<a ≤－12.综上可知，实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≤－12或a ≥2.19．解 (1)由t ＝log 3x ，x ∈[19，9]，解得－2≤t ≤2.(2)f (x )＝(log 3x )2＋3log 3x ＋2，令t ＝log 3x ，则y ＝t 2＋3t ＋2＝(t ＋32)2－14，t ∈[－2,2]．当t ＝－32，即log 3x ＝－32，即x ＝39时，f (x )min ＝－14； 当t ＝2，即log 3x ＝2， 即x ＝9时，f (x )max ＝12.20．解 (1)由题意知，方程x 2－x －m ＝0在x ∈(－1,1)上有解，故m 的取值集合就是函数y ＝x 2－x 在(－1,1)上的值域，易得M ＝{m |－14≤m <2}．(2)因为“x ∈M ”是“x ∈N ”的充分条件，所以M ⊆N . 当a ＝1时，集合N 为空集，不满足题意； 当a >1时，a >2－a ， 此时集合N ＝{x |2－a <x <a }， 则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，解得a >94；当a <1时，a <2－a ， 此时集合N ＝{x |a <x <2－a }，则⎩⎪⎨⎪⎧a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.综上可知，实数a 的取值范围为{a |a >94或a <－14}．21．解 (1)由题中所给出的函数图象可知，当t ＝4时，v ＝3×4＝12(km/h)， ∴s ＝12×4×12＝24(km)．(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t2＋70t －550.综上可知，s ＝223,[0,10],230150,(10,20],70550,(20,35].t t t t t t t ⎧∈⎪⎪-∈⎨⎪-+-∈⎪⎩(3)∵当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650， ∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650， 解得t 1＝30，t 2＝40. ∵20<t ≤35，∴t ＝30.∴沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．22．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋(x －1)·|x ＋1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x ≥－1，1，x <－1.当x ≥－1时，由f (x )＝1，得2x 2－1＝1，解得x ＝1或x ＝－1； 当x <－1时，f (x )＝1恒成立． ∴方程的解集为{x |x ≤－1或x ＝1}．(2)由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－(a ＋1)x ＋a ，x ≥a ，(a ＋1)x －a ，x <a .若f (x )在R 上单调递增，11 则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋14≤a ，a ＋1>0，解得a ≥13. ∴实数a 的取值范围为{a |a ≥13}． (3)设g (x )＝f (x )－(2x －3)，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－(a ＋3)x ＋a ＋3，x ≥a ，(a －1)x －a ＋3，x <a ，不等式f (x )≥2x －3对任意x ∈R 恒成立，等价于不等式g (x )≥0对任意x ∈R 恒成立．①若a >1，则1－a <0，即21－a<0， 取x 0＝21－a，此时x 0<a ， ∴g (x 0)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－a ＝(a －1)·21－a －a ＋3＝1－a <0， 即对任意的a >1，总能找到x 0＝21－a，使得g (x 0)<0， ∴不存在a >1，使得g (x )≥0恒成立．②若a ＝1，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－4x ＋4，x ≥1，2，x <1，∴g (x )的值域为[2，＋∞)，∴g (x )≥0恒成立．③若a <1，当x ∈(－∞，a )时，g (x )单调递减，其值域为(a 2－2a ＋3，＋∞)． 由于a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2≥2，所以g (x )≥0恒成立．当x ∈[a ，＋∞)时，由a <1，知a <a ＋34，g (x )在x ＝a ＋34处取得最小值． 令g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋34＝a ＋3－(a ＋3)28≥0，得－3≤a ≤5，又a <1，∴－3≤a <1. 综上，a ∈[－3,1]．。