2018学年广东省高考数学文科第一轮复习辅导资料

第一板块必修1第一章集合与函数概念【学科点悟】传道解惑，高屋建瓴高考纵横:集合与函数是数学中重要的基础概念之一,是学生进一步学习的高等数学的基础课程,包括极限理论、微积分学、微分方程和泛函分析等,无一不是以集合与函数作为基本概念和研究对象的.其它学科,如物理学科等,也是以集合与函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具.集合与函数的教学内容蕴含着极其丰富的辩证思想,是对进行辩证唯物主义观点教育的好素材.通过使用集合语言，有利于简洁、准确地表达数学内容，高中数学课程只将集合作为一门语言来学习，要求学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力．而新课标高考中集合知识的考查主要在于集合语言与集合思想的运用, 以集合为背景的试题具有构思巧妙、独特新颖、解法灵活,其必将是今年高考“出活题,考能力的一个亮点”.新课标高考中函数知识占有极其重要的地位.其试题不但形式多样，而且突出考查学生联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力.知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，是高考考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地.集合的初步知识与简易逻辑知识，是掌握和使用数学语言的基础.命题趋向:1.重思维.有关集合的高考试题.考查重点是集合与集合之间的关系，新课标试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用文氏图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练.2.多层次. 新课标高考题中，函数题低档、中档，高档难度都有，且选择、填空、解答题题型齐全.低档难度一般仅涉及函数本身的内容．诸如定义域、值域、单调性、周期性、图像、反函数，且对能力的要求不高；中、高档难度题多为综合程度较大的问题，或者是函数与其他知识的整合．或者是多种方法的渗透.状元心得:1.在集合的备考时，既要牢固掌握集合基本概念与运算，又要加强集合与其它数学知识的联系，突出集合的工具性，尤其是熟练进行集合的自然语言、图形语言、符号语言的相互转化.2.对函数有关概念，只有做到准确、深刻地理解，才能正确、灵活地加以运用.所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去考虑，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线等问题.3.函数一章的复习中,善于转化命题，引进变量建立函数，运用变化的方法、观点解决数学试题方能够理解掌握常见题的解题方法和思路. 在此基础上需要构建思维模式，并以此为基础进行转化发展，即在造就思维依托的基础上，还要打破框框，发展能力.学科知识体系结构图:第一节 集合【考点点知】知己知彼，百战不殆集合知识点在新课标高考中均以选择填空题形式出现,一般为中档题，考查点往往是与其它章节的一些知识点交汇考查,体现了数形结合、分类讨论等数学思想方法的重要应用.考题中通过集合语言表达出的数学对象也往往是简洁和准确的，体现数学的简洁美. 考点一: 集合的概念（1）集合的定义：某些指定的对象在一起就成为一个集合.自然数集用N 表示,正整数用N *或N +表示,整数集用Z 表示，有理数集用Q 表示，实数集用R 表示.（2）元素与集合的关系：集合中的每个对象叫做这个集合的元素.集合中的元素通常用小写拉丁字母表表示，如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈；如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作a A ∉（或a A ∈）.（3）集合的表示方法：集合的表示方法，常用的有列举法和描述法两种.根据元素个数，集合可分为三类：① 有限集：含有有限个元素；② 无限集：含有无限个元素；③ 空集：不含任何元素，用∅表示.考点二: 子集、全集、补集的概念（1）子集与真子集：①对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，记作A ⊆B （或B ⊇A ），即集合A 是集合B 的子集.空集是任何集合的子集，∅⊆A. 任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A.②对于两个集合A 与B ，如果A ⊆B 并且A ≠B ，就说集合A 是集合B 的真子集，记作A ⊂≠B （或B ⊃≠A ）.③空集是任何非空集合的真子集.（2）全集与补集：①设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即A ⊆S ），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集，记作A S ð，即{|}A x x S x A =∈∉且S ð.②如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示.考点三: 交集、并集的概念（1）交集：①由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ，即A ∩B={x |∈A,且x ∈B}②()A B A ⊆ ，()A B B ⊆ ， A A A = ，A ∅=∅ ，A B B A = .（2）并集：①由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A∪B, 即：A ∪B={x |x ∈A ，或x ∈B}.②()A B A ⊇ ，()A B B ⊇ ， A A A = ，A A ∅= ，A B B A = , (ðU A)∪A=U .【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.(基础·2007·广东卷文科1)已知集合M={x|10x +>}，N={x|101x>-}，则M ∩N= A ．{x|-1≤x ＜0} B ．{x |x>1} C ．{x|-1＜x ＜0} D ．{x |x ≥-1}思路透析:由已知条件可得{|10}{|1}M x x x x =+>=>-,{|10}{|1}N x x x x =->=<,∴{|1}{|1}{|11}M N x x x x x x =>-<=-<< ,故应选C.点评:取交集时要注意不等式中不等号的方向,要看清题意,应用数轴求解该类问题可以提高解题的直观性.例 2.(基础·2007宁夏卷文科1)设集合{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，，则A B = （ ）Ａ．{}|2x x >-Ｂ．{}1x x >-| Ｃ．{}|21x x -<<-Ｄ．{}|12x x -<< 思路透析:由已知条件可得{|1}{|22}{|2}A B x x x x x x =>--<<=>- ,故应选A.点评:两个集合取并集时,“取其最大的范围”,少数考生选择B,需要注意的是并集运算中集合的上下界的确定是关键.例3.(综合·2007山东卷理科2文科2)已知集合{11}M =-，，11|242x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M N = （ ） A ．{11}-，B ．{0}C ．{1}-D ．{10}-， 思路透析:由112222x -+<<,x Z ∈可得112,x x Z -<+<∈∴21,x x Z -<<∈, ∴{1,0}N =-, ∴{1,1}{1,0}{1}M N =--=- ,故应选C.点评:本题以指数不等式为背景,将集合运算与不等式解法相交汇, 考查了整数集合间的交集运算,及对基础题的迅速计算的能力.本题易错点有两个,其一是指数不等式的求解,其二是集合中元素特征的错误认识,对于第二个易错点问题在本题中体现得不明显,集合N 求解错误为(2,1)N =-不影响交集运算的结果.例4.(综合·2006盐城三模)对于两个集合1S 、2S 我们把一切有序对),(y x 所组成的集合（其中21,S y S x ∈∈），叫做1S 和2S 的笛卡尔积，记作21S S ⨯.如果{}2,11=S ，{}1,0,12-=S ，则21S S ⨯的真子集的个数为 个.思路透析:由已知可得21S S ⨯={(1,1),(1,0),(1,1),(2,1),(2,0),(2,1)}--,其真子集的个数为62163-=个.点评:本题考查了新定义下集合的运算性质的探究. “笛卡尔积”可以理解为有序的点坐标对为集合的元素,找出所有的元素再利用公式就可以求得真子集的个数.集合作为工具，渗透在其他知识点里面时，需认真分析其他知识，而集合仅是一种载体.例5.(创新探究·2007陕西,12）设集合S={A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算⊕为：A i ⊕A j =A k ,其中k 为i+j 被4除的余数，i,j=0,1,2,3.满足关系式（x ⊕x ）⊕A 2=A 0的x(x ∈S)的个数为A.4B.3C.2D.1思路透析: 本题考查新定义的认识，取特值验证，逐一研究 . {}()200,1,2,3,,S x x A A =⊕⊕=()()()()()()()00000001120,1113=0113102211022220223303320=02C A A A A A A A ⊕⊕==⊕⊕=≠⊕⊕=≠⊕⊕=≠=⊕⊕=≠=⊕⊕=≠=⊕⊕==满足；，不满足;=，不满足；；；满足，综上研究个满足,选.点评:以集合为背景将其它学科的知识交汇于命题之中,是高考集合命题的一大特色,探究解题时紧扣定义及其相互间的联系,巧妙应用特殊化思想可以使解题的思路更为简捷.例 6.(创新探究·2007北京20）已知集合{}12(2)k A a a a k = ，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合： {}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，． 其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ．若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（I ）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；（II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤； （III ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．思路透析:（I ）集合{}0123，，，不具有性质P ．集合{}123-，，具有性质P ，其相应的集合S 和T 是{}(13)(31)S =--，，，，{}(21)23T =-()，，，．（II ）证明：首先，由A 中元素构成的有序数对()i j a a ，共有2k 个．因为0A ∉，所以()(12)i i a a T i k ∉= ，，，，；又因为当a A ∈时，a A -∉时，a A -∉，所以当()i j a a T ∈，时，()(12j i a a T i j k ∉= ，，，，，．从而，集合T 中元素的个数最多为21(1)()22k k k k --=， 即(1)2k k n -≤． （III ）m n =，证明如下：（1）对于()a b S ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A +∈，从而()a b b T +∈，．如果()a b ，与()c d ，是S 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d +=+与b d =中也至少有一个不成立．故()a b b +，与()c d d +，也是T 的不同元素．可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ≤，（2）对于()a b T ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A -∈，从而()a b b S -∈，．如果()a b ，与()c d ，是T 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d -=-与b d =中也不至少有一个不成立，故()a b b -，与()c d d -，也是S 的不同元素．可见，T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即n m ≤，由（1）（2）可知，m n =．点评:本例主要是培养考生理解新概念的程度和灵活应用知识的能力,新概念的引入不仅要求能深入理解新概念的信息,而且要能够调出已学习过的概念, 进行相互对照.此类题目难度较大，对集合的考查不是很难，关键是其他方面的知识点的问题，需认真分析，等价转化.【画龙点睛】探索规律，豁然开朗1.规律总结:(1)根据元素与集合的关系，可以分析集合中元素的特征、确定性、互异性和无序性.(2)子集与真子集的区别联系：集合A 的真子集一定是其子集，而集合A 的子集不一定是其真子集；若集合A 有n 个元素，则其子集个数为2n ，真子集个数为21n-.(3)全集是一个相对概念，一个全集又可以是另一个集合的子集或真子集，是我们为研究集合关系临时选定的一个集合.(4)子集、全集、补集等概念实质上即是生活中的“部分”、“全体”、“剩余”等概念在数学中的抽象与反映，当A S ⊆时,S A ð的含义是:从集合S 中去掉集合A 的元素后,由所有剩余的元素组成的新集合.集合A 的元素补上S A ð的元素后可合成集合S .(5)两个结论:①若A B=A ，则A ⊆B ，反之也成立;②A ∪B=B ，则A ⊆B ，反之也成立. 应用这两个结论时一定要注意不要忘记集合A =∅这一个特例.(6)对于交集概念的把握要注意以下三方面:①交集仍是一个集合.②交集中的元素都是两个集合的“公共元素”,即若x A B ∈ ,一定有x A ∈且x B ∈. ③交集中包括了两集合的全体公共元素,即若x A ∈且x B ∈,一定有x A B ∈ .（2）对于并集的理解应注意: 若x A B ∈ ,则有三种可能①x A ∈但x B ∉; ②x B ∈但x A ∉; ③x A ∈且x B ∈.2.学以致用:(1)已知全集{1,2,3,4,5,6}U =,集合{1,2,3,4}P =,{2,3,4,6}Q =,则()()P Q U U 痧中元素个数为 ( )A. 0B. 1C. 3D. 5(2)设全集R U =，集合},1|{},1|{2>=>=x x P x x M 则下列关系中正确的是( ) Ａ．N M = Ｂ．P M ⊆ Ｃ．M P ⊆ Ｄ．U M P =∅ ð(3)设数集M ={x |m ≤x ≤m +43}，N ={x |n －31≤x ≤n }，且M 、N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是 ( ) A.31 B.32 C.121 D.125 (4)求集合2160{|}3a a Z Z a ∈∈-且中所有元素的和. 答案:(1) B 解析:由已知可得()(){5,6}{1,5}{5}P Q == U U 痧,该集合中的元素仅有一个,故应选B. (2)B 解析: 由2{|1}{|11}P x x x x x =>=><-或,可得P M ⊆,故应选B.(3)方法一:由已知可得0314m m ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩, 即104m ≤≤ ; 1031n n ⎧-≥⎪⎨⎪≤⎩即 113n ≤≤ .取字母m 的最小值0, 字母n 的最大值1 ,可得3[0,]4M =, 2[,1]3N = . ∴3223[0,][,1][,]4334M N == , 此时得集合M ∩N 的“长度”为3214312-= . 方法二: 从另外一个角度也可得解此题, 集合M 的长度为43、集合N 的长度为31，因M 、N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，而{x |0≤x ≤1}的长度为1，由此得集合M ∩N 的“长度”的最小值是311()14312+-=. 故应选C.(4)解析: 问题需要从2160的约数入手思考, 找出2160的所有约数, 然后将3a -作为一个整体, 应用整体思想去求解. ∵4312160235=⨯⨯ , ∴2160的所有正约数是由2 , 3 , 5 几个基本元素构成的, 其中元素2可以构成新元素02、12、22、32、42 ;元素3可以构成新元素03、13、23、33;元素5可以构成新元素05、15, 将它们相乘即可得正约数, 则数2160的正约数共有54240⨯⨯=个 . 从而可得数2160的正、负约数共有254280⨯⨯⨯=个, 这80个数为40对互为相反的数,即集合2160{|}3a a Z Z a∈∈-且中共有80个元素. 设为1280,,,a a a ⋅⋅⋅, 则12803,3,,3a a a --⋅⋅⋅-为数2160的80个约数, 由于这80个数是40对互为相反的数,故其和为0 , 即1280(3)(3)(3)0a a a -+-+⋅⋅⋅+-= ,∴ 1280380240a a a ++⋅⋅⋅+=⨯=,即集合2160{|}3a a Z Z a ∈∈-且中所有元素的和 为240 .3.易错分析:(1)解题粗心大意，不考虑元素的特征，对数集，点集理解有误；如{}{}{}222,(,)x y x y y x x y y x ===就表示完全不同的三个集合，如不注意它们的区别，很容易出错.(2)要注意集合表示的列举法与描述法在形式上的区别.列举法一般适用于有限集，而描述法一般适合于无限集.要注意集合{∅}与空集∅的区别与联系；{}∅⊆∅，{}∅∈∅.(3)不能准确把握子集、真子集、相等、补集等相关概念，在转化命题时往往出现错误;(4)对空集理解不正确或忽视空集在解题中的地位和作用而产生错误.【能力训练】学练结合，融会贯通一、选择题:1.设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B = 的集合B 的个数是A. 1B. 3C. 4D. 82.已知全集U Z =，2{1,0,1,2},{|}A B x x x =-==，则U A B ð为（ ）A ．{1,2}-B ．{1,0}-C ．{0,1}D ．{1,2}3.设I 为全集，I B A B = ð，则B A 为Ａ．A Ｂ．B Ｃ． I B ð Ｄ．∅4.定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy (x+y )，x ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为A. 0B. 6C. 12D. 185.若}{2228x A x -=∈Z ≤<，{}2R log 1B x x =∈>，则R ()A B ð的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．36.设集合P ={m |－1＜m ≤0}，Q ={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是A.P ⊂≠QB.Q PC.P =QD.P ∩Q =Q二、填空题:7.已知集合A={-1,3，2m -1}，集合B={3，m 2}，若B ⊆A ，则实数m =____8.设A ={x |1＜x ＜2}，B ={x |x ＞a }，若A B ，则a 的取值范围是___________________.9.设集合M ＝{1，2，3，4，5，6}，A ⊆M ，A 不是空集，且满足：a ∈A ，则6－a ∈A ，则满足条件的集合A 共有_____________个．10.已知A ={x ∈R |x 2+2x +p =0}且A ∩{x ∈R |x ＞0}=∅，则p 的取值范围为 .三、解答题:11.设集合P ={1，a ，b }，Q ={1，a 2，b 2}，已知P =Q ，求1+a 2+b 2的值.12.若B ={x |x 2－3x +2＜0}，是否存在实数a ，使A ={x |x 2－（a +a 2）x +a 3＜0}且A ∩B =A ？请说明你的理由13.设}019|{22=-+-=a ax x x A ，}065|{2=+-=x x x B ， }082|{2=-+=x x x C .(Ⅰ)A B =A B ，求a 的值；(Ⅱ)∅⊂≠A B ，且A C =∅，求a 的值； (Ⅲ)A B =A C ≠∅，求a 的值；14.已知集合222|{-+=x x x A ＜}1， B={x | x 2+4x -5>0 }, |||{m x x C -=＜1，}R m ∈.（Ⅰ）求B A ⋂;（Ⅱ）若()A B C ⊆ ，求m 的取值范围.【能力训练】参考答案一、选择题:1. C2. A3. D4. D5. C6. A二、填空题:7. 1 8. a ≤1 9. 7 10. p ≥0三、解答题:11.解析:∵P =Q ，∴⎪⎩⎪⎨⎧==22,b b a a ① 或⎪⎩⎪⎨⎧==.,22a b b a ②解①得a =0或a =1，b =0或b =1.（舍去）由②得a =b 2=a 4，∴a =1或a 3=1.a =1不合题意， ∴a 3=1（a ≠1）.∴a =ω，b =ω2，其中ω=－21+23i. 故1+a 2+b 2=1+ω2+ω4=1+ω+ω2=0.12.解析:∵B ={x |1＜x ＜2}，若存在实数a ，使A ∩B =A ，则A ={x |（x －a ）（x －a 2）＜0}.（1）若a =a 2，即a =0或a =1时，此时A ={x |（x －a ）2＜0}=∅，满足A ∩B =A ， ∴a =0或a =1.（2）若a 2＞a ，即a ＞1或a ＜0时，A ={x |0＜x ＜a 2}，要使A ∩B =A ，则⎩⎨⎧≤≥212a a ⇒1≤a ≤2，∴1＜a ≤2. （3）若a 2＜a ，即0＜a ＜1时，A ={x |a ＜x ＜a 2}，要使A ∩B =A ，则⎩⎨⎧≥≤122a a ⇒1≤a ≤2，∴a ∈∅. 综上所述，当1≤a ≤2或a =0时满足A ∩B =A ，即存在实数a ，使A ={x |x 2－（a +a 2）x +a 3＜0}且A ∩B =A 成立.13. 解析：(Ⅰ)此时当且仅当B A =，有韦达定理可得5=a 和6192=-a 同时成立，即5=a ；(Ⅱ)由于}3,2{=B ，}24{，-=C ，故只可能3A ∈.此时01032=--a a ，也即5=a 或2a =-，由(Ⅰ)可得2a =-.(Ⅲ)此时只可能2A ∈，有01522=--a a ，也即5=a 或3-=a ，由(Ⅰ)可得3-=a .14.解析：（Ⅰ）∵222|{-+=x x x A ＜1} 得2x +2 x -2 <1 ⇔ (x +4)（x -2)<0 ∴4|{-=x A ＜x ＜2} x 2+4x -5>0 ⇔ (x +5)（x -1)>0∴{|51}B x x x =<->或 ,∴{|A B x = 1＜x ＜}2（Ⅱ）∵|||{m x x C -=＜1，}R m ∈,即1|{-=m x C ＜x ＜},1R m m ∈+ .∵()A B C ⊆ , ∴11,12,11,m m m m -≤⎧⎪+≥⎨⎪-<+⎩解之得1≤m ≤2.。

第二节 函数的值域与解析式1．函数的值域在函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值相对应的y 的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域．求函数的值域与最值没有通性通法，只能根据函数解析式的结构特征来选择对应的方法求解，常见的有：(1)形如y ＝ax ＋b cx ＋d(c ≠0)的函数，可用分离常数法，将函数化为y ＝a c ＋m cx ＋d(其中m 为常数)形式． (2)形如y ＝a x ＋b a x ＋c 或y ＝sin x －1sin x ＋2的函数可用反解法． (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)及二次型函数y ＝a [f (x )]2＋b [f (x )]＋c (a ≠0)可用配方法及换元法．(4)形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数，ac ≠0)的函数，可用换元法． 设cx ＋d ＝t (t ≥0)，转化为二次函数求值域．(5)形如y ＝x ＋k x (k >0，x >0)的函数可用均值不等式法或函数单调性求解，注意使用均值不等式时要满足条件“一正二定三相等”．(6)对于分段函数或含有绝对值符号的函数(如y ＝|x －1|＋|x ＋4|)可用分段求值域(最值)或数形结合法．[温馨提示] (1)熟记基本初等函数的值域①y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .②y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞；当a <0时，值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a .③y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ∈R 且y ≠0}．④y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞)．⑤y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R .⑥y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]．⑦y ＝tan x 的值域是R .(2)利用配方法、判别式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是否成立，必要时注明“＝”成立的条件．2．函数解析式的求法(1)换元法：若已知f []g (x )的表达式，求f (x )的解析式，通常是令g (x )＝t ，从中解出x ＝φ(t )，再将g (x )、x 代入已知解析式求得f (t )的解析式，即得函数f (x )的解析式，这种方法叫做换元法，需注意新设变量“t ”的范围．(2)待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数．(3)消去法：若所给解析式中含有f (x )、f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (x )、f (－x )等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f (x )．(4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式．[小题速练]1．(2018·河南平顶山模拟)已知函数f (x )＝2x ＋1(1≤x ≤3)，则( )A ．f (x －1)＝2x ＋2(0≤x ≤2)B ．f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)C ．f (x －1)＝2x －2(0≤x ≤2)D ．f (x －1)＝－2x ＋1(2≤x ≤4)[解析] 因为f (x )＝2x ＋1，所以f (x －1)＝2x －1.因为函数f (x )的定义域为[1,3]，所以1≤x －1≤3，即2≤x ≤4，故f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)．选B.[答案] B2．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2x 2－3xB ．g (x )＝3x 2－2xC ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x[解析] 用待定系数法，设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x ，选B.[答案] B3．函数f (x )＝33x －3的值域为( ) A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)∪(0，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) [解析] 由3x －3≠0，得x ≠1，所以3x －3>－3且3x －3≠0.当－3<3x －3<0时，33x －3<－1；当3x －3>0时，33x －3>0.故f (x )的值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)．[答案] D4．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________. [解析] 令2x ＋1＝t ，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1. ∴f (x )＝lg 2x －1，x ∈(1，＋∞)． [答案] lg 2x －1，x ∈(1，＋∞) 5．函数y ＝x 2＋2x 在x ∈[0,3]时的值域为________．[解析] y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数，∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x 在x ∈[0,3]的值域为[0,15]．[答案] [0,15]考点一 求函数的值域——基础考点求下列函数的值域：(1)y ＝x －3x ＋1； (2)y ＝x －1－2x ；(3)y ＝x 2＋x ＋1x ＋1； (4)y ＝log 3x ＋log x 3－1.[思路引导] (1)分离常数法．(2)换元法，令1－2x ＝t (t ≥0)转化为二次函数的值域或利用函数单调性求最值．(3)去分母，转化为关于x 的二次方程，利用判别式“Δ”求y 的取值范围．(4)均值不等式．[解] (1)y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1. 因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1， 即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}．(2)解法一：令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ≤12. 解法二：函数y ＝f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，所以y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，即函数的值域是⎩⎨⎧ y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ≤12. (3)x ≠－1且由已知得x 2＋(1－y )x ＋1－y ＝0(*)方程有解，∴Δ＝(1－y )2－4(1－y )≥0，即y 2＋2y －3≥0解得y ≥1或y ≤－3由x ＝－1不满足(*)∴函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)(4)函数定义域为{x |x ∈R ，x >0，且x ≠1}．当x >1时，log 3x >0，于是y ＝log 3x ＋1log 3x －1≥2 log 3x ·1log 3x －1＝1；当0<x <1时，log 3x <0，于是y ＝log 3x ＋1log 3x －1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－log 3x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－log 3x －1≤－2－1＝－3.故函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．[拓展探究] (1)若本例中(1)变为y ＝x －3x ＋1，x ∈[1，＋∞)时，其值域如何求？(2)若本例中(3)变为y ＝x 2＋x ＋1x ＋1(x >－1)其值域如何求？ (3)若本例中(3)变为y ＝x 2＋4x ＋1x 2＋1，则其值域是________． [解析] (1)y ＝x －3x ＋1＝1－4x ＋1， ∵函数y ＝1－4x ＋1在[1，＋∞)上是增函数， ∴y ≥1－41＋1＝－1，故该函数的值域为[－1，＋∞)． (2)y ＝x 2＋x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1，当x >－1时，(x ＋1)＋1x ＋1≥2，y ≥1，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时取等号． (3)由原函数整理得(1－y )x 2＋4x ＋1－y ＝0.当1－y ＝0，即y ＝1时，x ＝0；当1－y ≠0，即y ≠1时，Δ＝16－4(1－y )2≥0，即(1－y )2≤4， 解得－1≤y ≤3，所以－1≤y ≤3且y ≠1.综上，所求函数的值域为[－1,3]．[答案] (1)[－1，＋∞) (2)[1，＋∞) (3)[－1,3](1)求函数值域，一定要注意到函数的定义域；(2)利用换元法时，要及时确定新变量的取值范围；(3)本例中(3)及拓展探究(3)均用了判别式“Δ”法，此方法适用y ＝ax 2＋bx ＋c px 2＋qx ＋r(ap ≠0，x ∈R )类型(即f (x )是分式函数且分子或分母至少有一个二次式，且没有公因式．解此类问题一定要检验所求最值，在定义域内是否有对应的x 值，还要注意对二次项系数是否为零的讨论)，但若给定x 一个范围，则此方法不再适用，可考虑转化为其他方法求解，即拓展探究(2)．[跟踪演练]1．函数y ＝5x －14x ＋2，x ∈[－3，－1]的值域为__________． [解析] 由y ＝5x －14x ＋2可得y ＝54－74(2x ＋1).∵－3≤x ≤－1，∴720≤－74(2x ＋1)≤74，∴85≤y ≤3，即y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，3. [答案] y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，3 2．函数y ＝2x ＋1－2x 的值域为__________．[解析] (代数换元法)令t ＝1－2x ，则x ＝1－t 22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54(t ≥0)． ∴当t ＝12，即x ＝38时，y 取最大值，y max ＝54，且y 无最小值，∴函数的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54. [答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54 3．函数y ＝2－sin x 2＋sin x的值域为________．[解析] 解法一：y ＝2－sin x 2＋sin x ＝－1＋42＋sin x，因为－1≤sin x ≤1，所以1≤2＋sin x ≤3，所以43≤42＋sin x ≤4，所以13≤－1＋42＋sin x≤3，故函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. 解法二：由已知得sin x ＝2－2y 1＋y ，∵sin ∈[－1,1]，∴－1≤2－2y 1＋y≤1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2y 1＋y 2≤1，解得13≤y ≤3. [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 4．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．[解析] y ＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋1，x <－1，3，－1≤x ≤2，2x －1，x >2当x <－1时，y >3；当x >2时，y >3，故函数的值域为[3，＋∞)．[答案] [3，＋∞)考点二 求函数的解析式——冷考点求下列函数的解析式：(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )． (2)已知f (1－cos x )＝sin 2x ，求f (x )的解析式．(3)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )．(4)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1，求f (x )．[思路引导] (1)观察x ＋1x 与x 2＋1x 2的关系．(2)令t ＝1－cos x ，换元法求f (t )．(3)待定系数法，令f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．(4)用1x 代替式中x ，解方程组求f (x )．[解] (1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2， 又x ＋1x ≥2或x ＋1x ≤－2.∴f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)．(2)∵f (1－cos x )＝sin 2x ＝1－cos 2x ，设1－cos x ＝t (0≤t ≤2)，则cos x ＝1－t ，∴f (t )＝1－(1－t )2＝－t 2＋2t .故f (x )＝－x 2＋2x (0≤x ≤2)．(3)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (4)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1中，用1x 代替x ， 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )x －1，将f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )x －1代入f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1中，得f (x )＝23x ＋13.本例中(1)看出x ＋1x 与x 2＋1x 2之间的关系，若令t ＝x ＋1x ，则用t表示x 并不好表示，即换元法不易求f (x )，而用配凑法却易找到关系，同时注意到x ＋1x 的范围．本例(2)适宜用换元法．求函数解析式的3种方法：(1)配凑法、换元法：已知f [g (x )]的解析式求f (x )，可考虑配凑或换元法．(2)待定系数法：如本例中(3)，一般已知所求函数的类型或具体形式可用此法．(3)解方程组法：如本例中(4)，只适用于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (x )与f (－x )类型的表达式，代换后通过解方程组求出f (x )，这种方法有局限性．[跟踪演练]1．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )．[解] ∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， 又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．2．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，试求f (x )的表达式．[解] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx .又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，⇒a ＝b ＝12.因此，f (x )＝12x 2＋12x .3．定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．[解] 当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① －x ∈(－1,1)，以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．考点三 函数的综合问题——热考点(1)(2015·山东卷)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.(2)设f (x )＝⎩⎨⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2][思路引导] (1)利用指数函数的单调性→建立关于a ，b的方程组→解出a ，b(2)分别求出每一段的最小值→比较最小值列式→求出a 的范围[解析] (1)当a >1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．当0<a <1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b＝－32.(2)由函数f (x )的解析式，得f (0)＝a 2；当x ≤0时，f (x )≥0；当x >0时，f (x )≥2＋a .∵f (0)是f (x )的最小值，∴a 2≤a ＋2，且a ≥0.解得0≤a ≤2.[答案] (1)－32 (2)D(1)对定义域、值域的综合问题，要注意定义域对函数值域的限制作用．即在定义域内用相应方法求值域．(2)若解析式中含有参数，要注意参数对函数值域的 影响，即要考虑分类讨论．(3)解题时要注意数形结合思想的应用，即借助图象确定函数的值域．[跟踪演练](2018·广东深圳调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x >2，x ＋a 2，x ≤2.若f (x )的值域为R ，则常数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)B ．[－1,2]C ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)D ．[－2,1][解析] 因为f (x )的值域是R ，且两段函数都是递增函数，所以4＋a ≤2＋a 2，解得a ≤－1或a ≥2，故选A.[答案] A利用几何意义或导数法求函数的值域素养解读：函数的值域或最值及其求法是近几年高考考查的重点内容之一．函数的值域是函数在定义域内对应的函数值的取值范围，其求解关键是确定相应的最值．因此，求解函数的值域时要求出定义域内的所有极值和端点处的函数值，并进行比较，得到函数的最值．在高考中主要考查求解函数的值域问题，从而带动对函数的最值等相关问题的考查，其应用广泛，综合性强，且解法灵活多变．在实际求解中，各种方法往往可以相互渗透，也可以多法并举．下面就几何法及导数法进行一简单介绍，后面要继续学习．(1)函数f (x )＝sin x 2－cos x的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33B ．[－1,1]C ．[－2,2]D ．[－3，3](2)求函数f (x )＝ln(1＋x )－14x 2在[0,2]上的值域．[切入点] (1)根据式子的结构特点联想其几何意义，数形结合求解．(2)对于含有对数式的函数的值域问题，利用导数求解即可．[关键点] (1)转化为斜率型函数值域问题．(2)准确求导，利用导数求最值．[规范解答] (1)可以看成过A (2,0)，B (cos x ，－sin x )两点直线的斜率，B 点在单位圆上运动．如图：易求得k 1＝33，k 2＝－33.∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.(2)由题意知，函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)， 又f ′(x )＝11＋x －12x ＝(1－x )(x ＋2)2(1＋x )，令f ′(x )＝0，可得x ＝1或x ＝－2(舍去)．当0≤x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当1<x ≤2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以f (1)＝ln2－14为函数f (x )在[0,2]上的最大值．又f (0)＝0，f (2)＝ln3－1>0，所以f (0)＝0为函数f (x )在[0,2]上的最小值，故函数f (x )＝ln(1＋x )－14x 2在[0,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，ln2－14.[答案] (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，ln2－14(1)几何法求值域步骤(2)求导法可以用来处理高次函数(大于等于三次)、分式函数或含有对数式的函数等相对比较复杂的函数的值域或最值问题，其关键是正确求导，利用导数与单调性的关系来求最值或值域．[感悟体验]1．函数f (x )＝x 2－2x ＋2＋x 2－4x ＋8的值域为________． [解析] f (x )＝(x －1)2＋(0－1)2＋(x －2)2＋(0＋2)2表示x 轴上的动点P (x,0)与两定点A (1,1)和B (2，－2)的距离之和．由图可知，|P A |＋|PB |≥|AB |.|AB |＝10，故函数f (x )的值域为[10，＋∞)． [答案] [10，＋∞)2．(2017·天津红桥区二模)试求函数f (x )＝ln x －12x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值．[解] 由于f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x ，1e ≤x ≤e.令f ′(x )>0，得1e ≤x <1；令f ′(x )<0，得1<x ≤e.故f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1上单调递增，在(1，e]上单调递减，故f (x )max ＝f (1)＝－12.课时跟踪训练(五)[基础巩固]一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，f (x －3)，x >0，则f (5)＝( )A ．32B ．16 C.12D.132[解析] f (5)＝f (5－3)＝f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝2－1＝12，故选C. [答案] C2．(2018·烟台模拟)函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( )A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2B ．(－∞，2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞)[解析] ∵x ∈(－∞，1)∪[2,5)， 则x －1∈(－∞，0)∪[1,4)． ∴2x －1∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2.[答案] A3．(2017·北京东城第一学期联考)若函数f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( )A ．3－cos2xB ．3－sin2xC ．3＋cos2xD ．3＋sin2x[解析] f (sin x )＝3－cos2x ＝2＋2sin 2x ，所以f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝3＋cos2x .[答案] C4．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝15－＋1B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xD ．y ＝1－2x[解析] A 项，因为5－x ＋1>1，所以函数值域为(0,1)；B 、D 项的函数值域为[0，＋∞)；C 项，因为1－x ∈R ，根据指数函数的性质可知函数的值域为(0，＋∞)，故选C.[答案] C5．已知f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( ) A ．(x ＋1)2 B ．(x －1)2 C ．x 2－x ＋1D ．x 2＋x ＋1[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1.[答案] C6．(2018·江西临川一中月考)若函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(－∞，0]∪[3，＋∞)D ．(－∞，0)∪[3，＋∞)[解析] 令f (x )＝ax 2＋2ax ＋3，∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，∴f (x )＝ax 2＋2ax ＋3的函数值取遍所有的非负实数，∴a 为正实数，∴该函数图象开口向上，∴只需ax 2＋2ax ＋3＝0的判别式Δ＝(2a )2－12a ≥0，即a 2－3a ≥0，解得a ≥3或a ≤0(舍去)．故选B.[答案] B 二、填空题7．函数y ＝1－x2x ＋5的值域为________．[解析] y ＝1－x 2x ＋5＝－12(2x ＋5)＋722x ＋5＝－12＋722x ＋5.∵722x ＋5≠0，∴y ≠－12， ∴函数y ＝1－x 2x ＋5的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－12. [答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－128．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________.[解析] ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2(x ≠0)，∴f (x )＝x 2＋2，∴f (3)＝32＋2＝11.[答案] 119．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为________．[解析] 设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知， f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时， f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.所以0≤a ≤1. [答案] [0,1] 三、解答题10．求下列函数的值域： (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x ＋1x ＋1； (4)y ＝x ＋4－x 2.[解] (1)y ＝1－x 21＋x 2＝－1－x 2＋21＋x 2＝－1＋21＋x 2.由1＋x 2≥1，得0<21＋x 2≤2，所以－1<－1＋21＋x 2≤1.故函数的值域为(－1,1]． (2)y ＝－2x 2＋x ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋258. 由0≤－2⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋258≤258，得0≤y ≤524.故函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，524. (3)当x >0时，x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号，所以x ＋1x ＋1≥3；当x <0时，x ＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1－x ≤－2，当且仅当x ＝－1时取等号，所以x ＋1x ＋1≤－1. 故函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． (4)设x ＝2cos θ(0≤θ≤π)，则y ＝x ＋4－x 2 ＝2cos θ＋4－4cos 2θ＝2cos θ＋2sin θ ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4由0≤θ ≤π，得π4≤θ＋π4≤5π4，所以－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，－2≤y ≤22， 故函数的值域为[－2,22]．[能力提升]11．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x[解析] 选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |,2f (x )＝2|x |，故f (2x )＝2f (x )；选项B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2x －2|x |,2f (x )＝2x －2|x |，故f (2x )＝2f (x )；选项C ，f (2x )＝2x ＋1,2f (x )＝2x ＋2，故f (2x )≠2f (x )；选项D ，f (2x )＝－2x,2f (x )＝－2x ，故f (2x )＝2f (x )．故选C.[答案] C12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [解析] 因为当x ≥1时， f (x )＝ln x ≥0, f (x )的值域为R ，所以当x <1时，f (x )＝(1－2a )x ＋3a 的值域包含一切负数．当a ＝12时，(1－2a )x ＋3a ＝32不成立；当a >12时，(1－2a )x ＋3a >1＋a ，不成立；当a <12时，(1－2a )x ＋3a <1＋a .由1＋a ≥0，得a ≥－1.所以－1≤a <12.故选C.[答案] C13．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于__________．[解析] 由已知得1⊕x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 －2≤x ≤1，x2 1<x ≤2，当x ∈[－2,2]时，2⊕x ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，－2≤x ≤1，x 3－2，1<x ≤2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.[答案] 614．(2013·安徽卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________________.[解析] 当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x )，又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12f (1＋x )＝－x (x ＋1)2.[答案] －x (x ＋1)215．已知函数f (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6. (1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为[0，＋∞)，求实数a 的取值范围． [解] (1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(ⅰ)当a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合要求； (ⅱ)当a ＝－1时， f (x )＝6x ＋6，定义域不为R .②若1－a 2≠0，g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数， ∵f (x )的定义域为R ，∴g (x )≥0，∀x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，Δ＝9(1－a )2－24(1－a 2)≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0⇒－511≤a <1. 综合①②得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－511，1.(2)∵函数f (x )的值域为[0，＋∞)，∴函数g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6取一切非负实数，①当1－a 2≠0时有⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，Δ＝9(1－a )2－24(1－a 2)≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≥0⇒－1<a ≤－511. ②当1－a 2＝0时a ＝±1，当a ＝1时，f (x )＝6不合题意． 当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6的值域为[0，＋∞)，符合题目要求．故所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－511. 16．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a 、b 是常数，且a ≠0)满足条件：f (2)＝0，且方程f (x )＝x 有两个相等实根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m 、n (m <n )，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m,2n ]？如存在，求出m 、n 的值；如不存在，说明理由．[解] (1)方程f (x )＝x ，即ax 2＋bx ＝x ， 亦即ax 2＋(b －1)x ＝0，由方程有两个相等实根，得Δ＝(b －1)2－4a ×0＝0， ∴b ＝1.①由f (2)＝0，得4a ＋2b ＝0，②由①、②得，a ＝－12，b ＝1，故f (x )＝－12x 2＋x . (2)假设存在实数m 、n 满足条件，由(1)知， f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12， 则2n ≤12，即n ≤14.∵f (x )＝－12(x －1)2＋12的对称轴为x ＝1， ∴当n ≤14时，f (x )在[m ，n ]上为增函数．于是有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝2m ，f (n )＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝0，n ＝－2或n ＝0. 又m <n ≤14，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝0.故存在实数m ＝－2，n ＝0，使f (x )的定义域为[m ，n ]，值域为[2m,2n ]．[延伸拓展]设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：∀x∈R ，(f ·g )(x )＝f [g (x )]．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x >0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，则( )A ．(f ·f )(x )＝f (x )B ．(f ·g )(x )＝f (x )C ．(g ·f )(x )＝g (x )D ．(g ·g )(x )＝g (x )[解析] 对于A ，(f ·f )(x )＝f [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )>0，f 2(x )，f (x )≤0，当x >0时，f (x )＝x >0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x <0时，f (x )＝x 2>0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A.[答案] A。

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下面小编为大家整理的广东高考数学一轮复习提高成绩的方法，希望大家喜欢。

广东高考数学一轮复习提高成绩的方法1.如何真正学会数学：预习、复习、上课课前预习，你的课前预习不仅仅是看看书就好了，而应该试图自己理解这节讲什么 (关键是自己理解)，很简单就是你看了一遍三角函数，就合上书想想三角函数是什么?我能用它来干嘛?由于你课前预习了，上课时老师讲的很多东西是在加强你的印象，而且你之前的问题会一个个解开，你也会跟着老师的思路一直听下去，如果你的问题老师也没解决，ok，你碰到了个好问题!所以下课一定要第一时间解决你的疑惑，因为你一放，这个问题你估计就忘了……课下，你应该再读一遍这节课学习的内容，然后每个公式和定义都要自己推导一遍!!这个十分关键。

没有量的积累，哪有质的飞越嘛!我们就是要熟练到，就算在考试中也是行云流水的算题，这都依托于平时的练题。

2.如何刷卷子，做作业平时以及限时训练首先刷卷子，一定要限时做题!因为考试是限时的，你可以在平时写一套卷子用10个小时，做的十分工整……但是考试时谁会给你那么多时间呢?只有你在紧迫下适应了写题的氛围，你才能在考试中达到较好的状态!当然，有人好不容易花了2个小时写完一套卷子，觉得万事大吉了，其实，这错过了最好的检验和纠正自己错误的时机!你做完卷子时，一定要坐下来静心的对答案，并且标明自己的错误，警示自己。

刚开始，你这样写一套卷子，估计会花费5，6个小时，但是你会发现，20套卷子以后，你的错误会越来越少，你的成就感也会越来越强，在考试中也会体现出来的。

3.如何对待错题：改错、错题本用法有些人有些问题今天错了，下回还错，考试也错，有些错题他总也记不住!这是因为，他没有重视错题的价值!他的错误思维在第一次建立，并且没有被改变，一直延续了下去，所以错题是要经常看的，并且反复不断的做，错题和错题本一定要常看常新!有人问不知道自己的薄弱环节在哪?这个很好办，找出你的前5次考试或者前5套卷纸，看看你错的都是什么地方，OK恭喜你，你的弱点就在那里，加油补强他吧!!4.如何养成好习惯：细心、答题、练字很多人考完试都会懊悔自己没有足够细心而丢了很多分数，其实，粗心是不好的生活习惯的一种在学习上的延续，粗心的人他在生活中会有以下行为：被子基本不叠床上桌上乱糟糟、刚才拿的遥控器下一秒就不知道放哪了……这些都是生活中的细节，都表现了这个人不好的习惯：粗心、马虎、神经大条，所以这个习惯自然而然就带到了平时的学习和考试中去。

第5讲 指数与指数函数, )1．根式 (1)根式的概念①若x n＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n ＞1时，xn 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，n ＞1)．②n a n＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mna >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ②负分数指数幂：a －mn ＝1a mn＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质1．辨明三个易误点(1)指数幂的运算容易出现的问题是误用指数幂的运算法则，或在运算变换中方法不当，不注意运算的先后顺序等．(2)指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.(3)在解形如a 2x＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x＋c ≥0(≤0)的指数方程或不等式时，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．2．指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a .1.教材习题改编 化简12－(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9B2.教材习题改编 设x ＋x －1＝3，则x 2＋x －2的值为( ) A ．9 B ．7 C ．5D ．3B 因为x ＋x －1＝3.所以(x ＋x －1)2＝9，即x 2＋x －2＋2＝9， 所以x 2＋x －2＝7. 3．函数f (x )＝ax －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )A ．y ＝1－xB ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x－1 D ．y ＝log 2(2x )A 由f (x )＝ax －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(1，1)，又0＝1－1，知(1，1)不在y ＝1－x 的图象上．4.教材习题改编 若a >1且a3x ＋1>a－2x，则x 的取值范围为________．因为a >1，所以y ＝a x为增函数， 又a3x ＋1>a－2x，所以3x ＋1>－2x ，即x >－15.⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，＋∞ 5．若指数函数y ＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2， 得－2<a <－1或1<a < 2. (－2，－1)∪(1，2)指数幂的运算化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a －12b －1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312. 【解】 (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312 ＝－54a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13b －32＝－54a －12·b －32＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．化简下列各式：(1)(0.027)23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27125－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12.(1)原式＝0.32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252713－ 259＝9100＋53－53＝9100. (2)原式＝2（4ab －1）3210a 32b －32＝16a 32b－3210a 32b －32＝85.指数函数的图象及应用(1)函数f (x )＝ax －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0(2)若方程|3x－1|＝k 有一解，则k 的取值范围为________． 【解析】 (1)由f (x )＝a x －b的图象可以观察出函数f (x )＝ax －b在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝ax －b的图象是在f (x )＝a x的基础上向左平移得到的，所以b <0.(2)函数y ＝|3x－1|的图象是由函数y ＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有唯一的交点， 所以方程有一解．【答案】 (1)D (2){0}∪上单调递减，则k 的取值范围如何？由本例(2)作出的函数y ＝|3x－1|的图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k ∈(－∞，0]．指数函数的图象及应用(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．(2)一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )A 将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是________．方程|a x－1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根转化为函数y ＝|a x－1|与y ＝2a 有两个交点．(1)当0＜a ＜1时，如图①，所以0＜2a ＜1，即 0＜a ＜12；(2)当a ＞1时，如图②，而y ＝2a ＞1不符合要求．所以0＜a ＜12.⎝⎛⎭⎪⎫0，12指数函数的性质及应用(高频考点)指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现．高考对指数函数的性质的考查主要有以下四个命题角度： (1)比较指数幂的大小； (2)解简单的指数方程或不等式； (3)研究指数型函数的性质；(4)求解指数型函数中参数的取值范围．(1)(2016·高考全国卷丙)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b(2)(2017·福州模拟)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x，x ≥0，2a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．(3)若偶函数f (x )满足f (x )＝2x－4(x ≥0)，则不等式f (x －2)＞0的解集为________． 【解析】 (1)因为a ＝243＝1613，b ＝425＝1615，c ＝2513，且幂函数y ＝x 13在R 上单调递增，指数函数y ＝16x在R 上单调递增，所以b ＜a ＜c .(2)当a ＜1时，41－a＝21，所以a ＝12；当a ＞1时，代入不成立． (3)f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝f (－x )＝2－x－4.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－4，x ≥0，2－x －4，x ＜0，当f (x －2)＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，2x －2－4＞0 或⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，2－x ＋2－4＞0， 解得x ＞4或x ＜0.所以不等式的解集为{x |x ＞4或x ＜0}． 【答案】 (1)A (2)12(3){x |x ＞4或x ＜0}有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)求解简单的指数不等式问题，应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．角度一 比较指数幂的大小1．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜aC 因为指数函数y ＝0.6x在(－∞，＋∞)上为减函数， 所以0.60.6＞0.61.5，即a ＞b ，又0＜0.60.6＜1，1.50.6＞1，所以a ＜c ，故选C.角度二 解简单的指数方程或不等式 2．(2015·高考江苏卷)不等式2x 2－x<4的解集为________．因为2x 2－x<4，所以2x 2－x<22，所以x 2－x <2，即x 2－x －2<0，所以－1<x <2. {x |－1<x <2}(或(－1，2))角度三 研究指数型函数的性质3．(2017·太原模拟)函数y ＝2x －2－x是( ) A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减A 令f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，排除C 、D.又函数y ＝－2－x，y ＝2x 均是R 上的增函数，故y ＝2x －2－x在R 上为增函数．角度四 求解指数型函数中参数的取值范围4．已知函数f (x )＝a x＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是，则a ＋b ＝________．当a ＞1时，函数f (x )＝a x＋b 在上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0＜a＜1时，函数f (x )＝a x＋b 在上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b＝－32.－32, )——利用换元法求解指数型函数的值域问题函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在x ∈上的值域是________． 【解析】 因为x ∈，若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8.y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57(1)此题利用了换元法，把函数f (x )转化为y ＝t 2－t ＋1，其中t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，将问题转化为求二次函数在闭区间上的最值(值域)问题，从而减少了运算量．(2)对于同时含有a x 与a 2x (log a x 与log 2a x )(a >0且a ≠1)的函数、方程、不等式问题，通常令t ＝a x(t ＝log a x )进行换元巧解，但一定要注意新元的范围．已知函数f (x )＝2a ·4x－2x－1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈上的值域； (2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围． (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x－2x－1＝2(2x )2－2x－1， 令t ＝2x，x ∈，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1. 故y ＝2t 2－t －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－98，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－98，0. (2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解．记g (m )＝2am 2－m －1， 当a ＝0时，解为m ＝－1<0，不成立． 当a <0时，开口向下，对称轴m ＝14a <0，过点(0，－1)，不成立，当a ＞0时，开口向上， 对称轴m ＝14a ＞0，过点(0，－1)必有一个根为正， 所以a >0.综上所述，a 的取值范围是(0，＋∞)．, )1．化简（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD ．1aD 解析] 原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a－13－12－16·b 12＋13－56＝1a. 2．已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为( )A ．B ．C ．D ． 由f (x )过定点(2，1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9，可知C 正确．3．函数y ＝a x－1a(a >0，a ≠1)的图象可能是()D 当a >1时函数单调递增，且函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1a ，因为0<1－1a<1，故A ，B均不正确；当0<a <1时，函数单调递减，且函数图象恒过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1a ，因为1－1a<0，所以选D.4．(2017·德州模拟)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <aD 因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x为减函数，所以b <c ，又因为y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，所以a >c ， 所以b <c <a ，故选D.5．设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C 当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a <1， 所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3，1)． 6．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．B 由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在上递增，在，则实数a ＝________． 当a >1时，f (x )＝a x－1在上为增函数，则a 2－1＝2，所以a ＝±3，又因为a >1，所以a ＝ 3. 当0<a <1时，f (x )＝a x－1在上为减函数， 又因为f (0)＝0≠2，所以0<a <1不成立． 综上可知，a ＝ 3.38．已知函数f (x )＝e x－e －xe x ＋e －x ，若f (a )＝－12，则f (－a )＝________．因为f (x )＝e x －e －xe x ＋e －x ，f (a )＝－12，所以e a －e －ae a ＋e －a ＝－12.所以f (－a )＝e －a －e a e －a ＋e a ＝－e a －e －ae a ＋e －a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12.129．(2017·济宁月考)已知函数f (x )＝(a －2)a x(a >0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则a 的取值范围是________．当0<a <1时，a －2<0，y ＝a x单调递减，所以f (x )单调递增；当1<a <2时，a －2<0，y ＝a x单调递增，所以f (x )单调递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a >2时，a －2>0，y ＝a x单调递增，所以f (x )单调递增．又由题意知f (x )单调递增，故a 的取值范围是(0，1)∪(2，＋∞)．(0，1)∪(2，＋∞)10．(2017·安徽江淮十校第一次联考)已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．由于f (x )＝max{e |x |，e|x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e 2－x ，x <1. 当x ≥1时，f (x )≥e ，且当x ＝1时，取得最小值e ； 当x <1时，f (x )>e. 故f (x )的最小值为f (1)＝e. e11．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24)．若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．把A (1，6)，B (3，24)代入f (x )＝b ·a x，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3， 结合a >0，且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.所以f (x )＝3·2x.要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥m 在x ∈(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上为减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x有最小值56. 所以只需m ≤56即可．即m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56.12．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系式： ①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个B 函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象如图所示．由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b得，a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a ＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立． 13．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ），由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1. 14．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |，(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈恒成立，求实数m 的取值范围． (1)当x <0时，f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x－2＝0，将上式看成关于2x的一元二次方程， 解得2x ＝2或2x ＝－12，因为2x>0，所以x ＝1.(2)当t ∈时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t－1)≥－(24t－1)，因为22t－1＞0， 所以m ≥－(22t＋1)， 因为t ∈，所以－(22t＋1)∈， 故实数m 的取值范围是[－5，＋∞)．。

课时分层训练(二十三)正弦定理、余弦定理应用举例A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．如图3­7­9所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A 在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )【导学号：31222135】图3­7­9A．a km B.3a kmC.2a km D．2a kmB2．如图3­7­10，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )图3­7­10A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°D3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( ) 【导学号：31222136】A．102海里B．103海里C．203海里D．202海里A4．如图3­7­11，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为 ( )图3­7­11A．8 km/h B．6 2 km/hC．234 km/h D．10 km/hB5．如图3­7­12，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 ( )图3­7­12A．30° B．45°C．60°D．75°B二、填空题6．在地上画一个∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点B，则B与D之间的距离为________米．【导学号：31222137】167．如图3­7­13，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC ＝45°，则塔AB的高是________米. 【导学号：31222138】图3­7­1310 68．如图3­7­14所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分钟．图3­7­1463三、解答题9．某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC＝105°和∠BAC＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD＝90°和∠ABD＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案可保留根号)图3­7­15在△ABD 中，∵∠BAD ＝90°，∠ABD ＝45°， ∴∠ADB ＝45°，∴AD ＝AB ＝80，∴BD ＝80 2.3分 在△ABC 中，BC sin 30°＝ABsin 45°，∴BC ＝AB sin 30°sin 45°＝80×1222＝40 2.6分在△DBC 中，DC 2＝DB 2＋BC 2－2DB ·BC cos 60° ＝(802)2＋(402)2－2×802×402×12＝9 600.∴DC ＝406，航模的速度v ＝40620＝26米/秒. 12分10．如图3­7­16，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．图3­7­16(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．(1)依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α.3分 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC ＝28. 所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/小时.7分(2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°，9分 即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314.12分 B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m 到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是 ( ) 【导学号：31222139】A．50 m B．100 mC．120 m D．150 mA2．(2014·全国卷Ⅰ)如图3­7­17，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.图3­7­171503．已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100米和BN＝200米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了1003米后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．图3­7­18在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝1003，连接QM(图略)，在△PQM中，∠QPM＝60°，3分又PQ＝1003，∴△PQM为等边三角形，∴QM＝100 3.6分在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200，∴BQ＝1005，cos θ＝55.9分在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQ cos θ＝(1005)2，∴BA＝100 5.即两发射塔顶A，B之间的距离是1005米.12分。

目录第一章集合与常用逻辑用语 (1)1．1集合及其运算 (1)1．2命题及其关系、充分条件与必要条件 (8)1．3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 (15)单元测试卷 (20)第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用 (24)2．1函数及其表示 (24)2．2函数的单调性与最大(小)值 (36)2．3函数的奇偶性与周期性 (42)2．4二次函数 (51)2．5基本初等函数(Ⅰ) (61)2．6函数与方程 (74)2．7函数的图象 (79)2．8函数模型及其应用 (86)单元测试卷 (95)第三章导数及其应用 (100)3．1导数的概念及运算 (101)3．2导数的应用(一) (107)3．3导数的应用(二) (115)单元测试卷 (122)第四章三角函数(基本初等函数(Ⅱ)) (127)4．1弧度制及任意角的三角函数 (128)4．2同角三角函数的基本关系及诱导公式 (134)4．3三角函数的图象与性质 (139)4．4三角函数图象的变换 (147)4．5三角函数模型的应用 (154)4．6三角恒等变换 (161)4．7正弦定理、余弦定理及其应用 (169)单元测试卷 (179)第五章平面向量与复数 (183)5．1平面向量的概念及线性运算 (184)5．2平面向量的基本定理及坐标表示 (190)5．3平面向量的数量积 (196)5．4平面向量的应用 (205)5．5复数的概念 (212)5．6复数的四则运算及几何意义 (217)单元测试卷 (220)第六章数列 (224)6．1数列的概念与简单表示法 (224)6．2等差数列 (231)6．3等比数列 (239)6．4数列求和及应用 (246)单元测试卷 (254)第七章不等式 (258)7．1不等关系与不等式 (259)7．2一元二次不等式及其解法............................................................................................. 错误！未定义书签。

第五板块必修3 第一章算法初步选修1-2 第四章框图【学科点悟】传道解惑，高屋建瓴高考纵横:算法是高中数学课程中的新内容，其思想是非常重要的，但不神秘．算法内容是将数学中的算法与计算机技术建立联系，形象化地表示算法，为了有条理、清楚地表示算法，往往需要将解决问题的过程整理成程序框图；为了能在计算机上实现，还需要将自然语言或程序语言翻译成计算机语言．本章的主要目的是体会算法的思想，提高逻辑思维能力．算法的基本思想、算法的基本结构、算法的基本语句是复习的重点，循环结构是复习的难点．在具体问题的解决过程中，理解程序框图的三种基本逻辑结构，能正确选择并运用三种逻辑结构框图表示具体问题的算法，经历将具体问题的程序框图转化为程序语言的过程，理解几种基本算法语句—输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想．命题趋向:新课标高考中初次将算法流程图引入高考命题中,该部分内容是新考纲中的新增内容,其考查点主要集中于对循环结构流程图这一考查点,且均以客观题的形式出现,内容涉及统计与数列知识,并且数列的求和与循环结构的联系非常紧密,因而此类考出现较为自然.基本算法语句的考题体现了算法的基本思想,揭示了算法的重要性和有效性，检验初步形成的“算法思维”, 通过与流程图相呼应考查了考生对构造性数学的意义的理解，检测了考生有条理地思考与表达的能力，逻辑思维能力，理性精神和实践能力.状元心得:1.算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础,同时，算法的学习有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力,对算法有了这些了解，相信你会对算法产生浓厚兴趣的.2.算法设计要将解决问题的每一个步骤写出来，表达清楚，为后面将要学习的流程图和算法语言作好准备，实现由自然语言向图表语言和符号语言的过渡（转化）.如果一个问题有多个算法，我们要选择步骤少，且具有一般性的算法，以优化思维．3.多写写算法程序，多看看算法流程图程序, 算法就是靠日积月累的，渐渐地就写好与学好并掌握好算法.学科知识体系结构图:第一节算法与程序框图【考点点知】知己知彼，百战不殆算法与程序框图一定会在新课标高考中有所体现，可能会以选择题或填空题的形式考查，复习时应注重理解算法的基本概念与特征．注意算法的本质是解决问题的一种程序性方法，体会算法所蕴含的算法思想，学会算法的自然语言、框图程序设计语言等的相互转化.考点一:算法的含义1.算法的概念.算法是解决某类问题的一系列步骤或程序,只要按照这些步骤执行,都能使问题得到解决.2.算法的理解.算法必须包含一系列的有限的步骤, 且这些步骤能够一步一步地操作,每一步操作均能得出相应的结果,当这些步骤操作完之后,使问题得到解决.3.算法的特征：(1)有穷性：算法的步骤序列是有限的.一个算法在对任何合法的输入值必须总是在执行有穷步之后结束，且每一步都可在有穷时间内完成.算法具有穷性是为了让算法不能无休止地执行下去，以致达不到解决问题的目的.(2)确定性：算法必须能有效地执行，并能得到确定的结果.算法的步骤中不能含有模糊不清、容易让人误解的叙述.(3)顺序性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确具体的步骤，前一步骤是后一步骤的前提，后一步骤是前一步骤的后续，且除了最后一步外，每一个步骤只能有一个确定的后续.(4)不唯一性：同一问题的解决算法可以是不唯一的.(5)可行性：算法的可行性包括两个方面：一是算法中的每一个步骤必须是能实现的.例如，在算法中，不允许出现分母为零的情况；在实数范围内不能求一个负数的平方根等.二是算法执行的结果能达到预期的目的.通常，针对实际问题设计的算法，人们总是希望能得到满意的结果.考点二:顺序结构1.按步骤依次执行的一个算法，称为具有“顺序结构”的算法，或者称为算法的顺序结构.2.顺序结构的特点：是直观、清楚，便于检查和交流, 计算机按书写的先后次序，自上而下逐条顺序执行程序语句，中间没有选择或重复执行的过程．考点三:选择结构1.在解决某些具体问题时，有时需要根据不同的条件选择不同的算法，同时，要先判断，根据判断的结果决定后面的步骤，这样的结构通常称作选择结构.2.选择结构的特点：在程序执行过程中出现了分支，要根据不同情况选择其中一个分支执行.其显著特征是事先要判断条件的真假，根据判断执行不同的处理.考点四:变量与赋值1.赋值是对变量的处理，赋值过程一般有以下几种形式：（1）a：=1；{赋予变量常数值}.b：=2a+1；{将含有其他变量的表达式赋予变量}.输出b（2）i：=2；i ：=3i+1；{将含有变量自身的表达式赋予变量，此时赋值号右边的变量的值是2}. （3）i ：=1；s ：=0；s ：=s+i ；{赋值表达式中既含有变量自身，又含有其他变量} 输出s 2.输入语句、输出语句和赋值语句基本上对应于算法中的顺序结构，计算机自上而下按照语句排列的顺序执行这些语句.有了这三种基本语句，就可以编写一些简单的程序了.考点五: 循环结构1.循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构.反复执行的处理步骤称为循环体.控制着循环的开始与结束的变量称为循环变量.决定循环体是否继续执行的判断称为循环的终止条件.2.循环结构，主要由三部分构成，一是控制着循环的开始与结束的循环变量n (如图2所示)； 二是反复执行的循环体(如图3所示)；三是判断是否继续执行循环体的循环的终止条件n >66(如图4所示).【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.(基础·2007宁夏卷理科5文科5)如果执行右面的程 序框图，那么输出的S =（ ） Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652思路透析:由循环结构流程图可得,循环终止条件为50k ≤, 输出021*******S =+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯50(2100)25502+==,故应选C.点评:本题以循环结构流程图的形式给出了一个数列求和的算法,考查了考生对循环结构中理解与掌握及对算法基本含义的理解,对终止条件及循环赋值的变量的理解.不少考生将循环终止最后一轮中的最后数据求解错误,造成求和值不正确,在最后的几步循环中要注意每一步的最后结论的验证,提高运算正确率.例2.(基础·2007山东卷理科10文科10)阅读右边的程序框， 若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是（ ）A ．2550，2500B ．2550，2550C ．2500，2500D ．2500，2550思路透析:由算法流程图可得50(1002)1009896225502S ⨯+=+++⋅⋅⋅+==,50(991)999795125002T ⨯+=+++⋅⋅⋅+==,故应选A.点评:以循环结构流程图的形式给出了两个数列求和的算法,考查了考生对循环结构中理解与掌握及对算法基本含义的理解,对终止条件及循环赋值的变量的理解.不少考生将循环终止最后一轮中的最后数据求解错误,另有不少考没有注意到变量的赋值在最下方又出现 了一次,所的和数列的公差已不在是-1,而是-2,由此造成求和值不正确.一方面,观察流程图时要注意变量的赋值的本质特征,另一方法在最后的几步循环中要注意每一步的最后结论的验证,提高运算正确率.例3.(综合·2007江苏灌云期中)画出求212121+++（共6个2）的值的算法的程序框图.思路透析:这个式子实际上是求和，取倒数；再求和，取倒数；反复五次即达到目的.第一个和为2+21. (1)循环变量和初始条件,设i 为循环变量, 初始条件为1:2A =; (2)循环体:算法中反复执行的部分为1:2A A =+ :1i i =+ (3)终止条件:当5i >时,输出N 算法结束. 其算法流程图如图右所示.点评:只需改变控制循环的条件.如将题设条件改为，212121+++（共n 个2）或111a a a+++ （共n 个a ）,同样可以设计出算法的程序框图.例4.(综合·2007江苏洪泽模)画出解不等式ax +b >0（b ≠0）的程序框图.思路透析:不等式的解问题需要分类讨论,即分0a =,0a >,0a <,0b >,0b ≤分类依次进行讨论,并选择不同的结论,故考虑用选择结构设计算法. 算法流程图如图所示.点评:不等式分类标准0a =,0a >,0a <,0b >,0b ≤,是选择结构的分类依据,每一个分类支就对应着一个选择判断框图,选择框图的两个出口一个是是,一个是否, 是与否往往决定后续分类的各种情形.解决中能够辨析清楚此分界,则可轻松解决此类问题.例5.(创新探究·2007广东卷理科6文科7)图l 是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记 为1A 、2A 、…、m A (如2A表示身高(单位：cm )在[150， 155)内的学生人数)．图2是统计 图l 中身高在一定范围内学生人 数的一个算法流程图．现要统计 身高在160～180cm (含160cm ，不含180cm )的学生人 数，那么在流程图中的判断框内 应填写的条件是A ．9i <B ．8i <C ．7i <D ．6i <思路透析:由条件统计图可得身高在160~180cm (含160cm ,不含180cm )的学生数为4567A A A A +++, 应用循环结构的算法流程图表示时其初始条件为0,4s i ==,终止条件为8i <. (若终止条件为7i <,则输出的456s A A A =++,不符合条件), 故应选B.点评:本题命题角度较为新颖,信息量较大,以条形统计图为知识点铺垫, 介绍了算法流程图中中各个数据的引入来源,其考查点集中于循环结构的终止条件的判断,考查了考生合理化的进行推理与迅速作出判断的解题能力.本题中不少考生误选A 与C,实质本题中的数据并不大,考生完且可以直接从头开始依次按流程图循环观察,依次写出每次循环后的变量的赋值,即可得解.例6.(创新探究·2007山东临沂模)已知n 个正整数排成一行如下：a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n －1，a n ，…，其中下标表示n 个数的排列位置.这一行数满足条件：a 1=1，a 2=2，a n =a n －2-a n －1（n ≥3，n ∈N ）.试画出计算第n 项的程序框图.思路透析:表达式a n =a n －2-a n －1的含义：在这个序列中的第n 个数是它前面两个数的差（从第3项起）.因此给出了前两项，后面各项都可以写出来.(1)循环变量和初始条件,设k 为循环变量,输入n , :1A =; :2B = :2k = (2)循环体:算法中反复执行的部分为 :C A B =- :A B = :B C =(3)终止条件:当n k >时,输出C 算法结束. 其算法流程图如图所示.点评:本例中巧妙应用了变量赋值,引入了三个 变量A,B,C,构成了循环体::C A B =- :A B = :B C =其中:A B =,:B C =的功能作用是实现变量赋值的“前移”作用,即B 的值赋给A,C 的值赋给B.这样就用B 的值替代A 的值，用C 的值替代B 的值，使得A 与B 又有了新的值.在解题过程中要很好的体会,灵活运用变量的赋值,是设计算法的关键.【画龙点睛】探索规律，豁然开朗 1.规律总结:(1)如何理解算法中的步骤或程序?算法的步骤和程序是算法的核心内容，它主要是由一系列“工序”一步一步的操作完成的,其中第一步的操作均可以由程序进行控制,每一步的程序必须是可运行的.算法的步骤和程序为解决实际生活中所遇到的复杂的问题提供了解决的方式方法,如著名的四色问题(用四种颜色,将地图着色,每相邻两个国家颜色不能相同),它曾多年来一直困挠着几代数学家,有了计算机以后,人们通过设计一个算法,编成程序,在几分种的时间内就出色的证明了这个问题.可想而知算法的步骤和程序有着人所不能替代重要作用.(2)顺序结构流程图步骤必须按顺序执行，不能随意的进行互换.若任意交换其中的两个位置的顺序,则算法将无法进行到底,即虚线框内各步是依次执行的，是一个顺序结构.(3)应用选择结构时需要注意以下几点:①必须准确对条件作出是与否的判断,以决定下一步的执行步骤; ②作图过程中要注意是与否条件的后一步骤的正确选择,即A 与B 的位置不可互换;(4)了使大家彼此之间能够读懂各自画出的框图，必须遵守一些共同的规则： ①使用标准的框图符号；②框图一般按从上到下、从左到右的方向画； ③除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号；④一种判断框是“是”与“不是”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一种是多分支判断，有几种不同的结果；⑤在框图符号内描述的语言要非常简练清楚.(5)顺序结构、条件结构、循环结构其各自的特点是:①顺序结构的特点是：按程序的先后次序执行，执行流程是自上而下，没有分支，也不能回头.②条件结构的特点（常见的二分支条件结构）：在两条可能的路径中，根据条件的不同，只能选择执行两条路径中的一条.③循环结构的特点是：在这种结构中，经常出现从某处开始，按照一定的条件，反复执行某一处理步骤的情况.④条件结构和循环结构的区别是：循环结构具有重复性，条件结构具有选择性，不重复.它们的联系是：循环结构中必定包含一个条件结构，用以判断循环的条件. 只有正确区分三种结构的特点，才能在程序中正确运用各种语言.运用条件结构时要正确识别不同的条件执行不同的指令.(6)学习循环结构应当分为三个层次逐步展开循环结构的学习; ①第一层次: 循环结构清晰,变量少,循环体明了.②第二层次: 变量增加,循环变量的确定难度略增,循环体变得复杂一点. ③第三层次: 变量增加,循环体有一定的难度.④第四层次: 变量增加,循环体有一定的难度,循环的次数未知. 2.学以致用:(1)如图1所示，该程序运行后输出的结果为（ ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、16(2)如图2是计算123100+++⋅⋅⋅+的一个程序框图，则条件框内是_____ A. 100>i B. 100<i C. 100≤i D. 100≥i图1 图2(3)图3中的算法输出的结果是 .(4)如图4,下面给出一个程序框图,请说出它的作用: .图3 图4 答案:(1)D 解析:121==b a 时，当＝2； 当 162 3 ;42 242＝时，　当时，=====b a b a ,故应选D ．(2)A 解析:这是一个直到型循环程序,当循环次数超过期作废100时,停止循环.(3)31解析:当1=i 时3121=+=s ；当2=i 时，7322=+=s 当3=i 时，15723=+=s ，当4=i 时，311524=+=s(4)解析:求所给定的三个数的最大数并输出. 3.易错分析: (1)顺序结构、条件结构、循环结构融汇在一起,结构较为复杂,两种循环结构的本质上是相同的,不同的是循环的次数可以由变量赋值设置为不同.(2)多变量的循环结构中,循环变量的确定难度较大,其循环体也加入了一些判断选择,使循环体变得复杂了一点,但设计过程中应按照以下顺序模式进行设计:①提出问题、分析问题.②确定处理方案，建立数学模型，即找出处理此题的数学方法，确定循环体与循环终止条件.③确定操作步骤，写出流程图算法.【能力训练】学练结合，融会贯通一、选择题:1.阅读图1流程图，则输出的结果是 ( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．13图1图22. 图2中所示的是一个算法的流程图，已知31=a ，输出的b=7,则2a 的值是 ( A ．11 B ．17 C ．0.5 D ．123.下面对算法描述正确的一项是：（ ） A 算法只能用自然语言来描述 B 算法只能用图形方式来表示 C 同一问题可以有不同的算法D 同一问题的算法不同，结果必然不同4.将两个数8,17a b ==交换,使17,8a b ==,下面语句正确一组是 ( )ABC D5.给出以下四个问题,①x , 输出它的相反数 ②求面积为6的正方形的周长③求三个数,,a b c 中输入一个数的最大数④求函数1,0()2,0x x f x x x -≥⎧=⎨+<⎩的函数值其中不需要用条件语句来描述其算法的有 ( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 6.如右图，该程序运行后输出的结果为 ( ) A ．1 B ．10 C ．19 D ．28二、填空题: 7.下图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个 第6题图 程序框图,其中判断框内应填入的条件是__________第7题图 第8题图8.如上图所示的程序框图中,语句1(语句1与i 无关)被执行的次数是 .9.如下图所示的程序框图,若a b c >>,则输出的是 ;若13312(),,log 223a b c ===,则输出的数是 .第9题图 第10题图10.如上图所示,下面是求解一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的流程图，在空缺的地方填上适当的标注为: (1) (2) (3) .三、解答题:11.设计出算法流程图,求所有的小于60的能被3整除的正整数的和.12.火车站对乘客退票收取一定的费用，具体办法是：按票价每10元（不足10元按10元计算）核收2元；2元以下的票不退.试写出票价为x 元的车票退掉后，返还的金额y 元的算法的程序框图.13.在音乐唱片超市里，每张唱片售价为25元.顾客如果购买5张以上（含5张）唱片，则按照九折收费；如果顾客购买10张以上（含10张）唱片，则按照八五折收费.请画出这个算法的程序框图.14.,使其精确度为0.005,试画出其算法流程图.【能力训练】参考答案一、选择题:1. D2. A3. C4. B5. A6. D二、填空题:7. 10i >(或填11i =) 8. 24 9. a , a10. （1）Δ＜0 （2）x 1a Δb 2+-，x 2=aΔb 2-- （3）输出x 1，x 2. 三、解答题:11.解析:其算法流程图如图所示.12.解析:用条件结构.用［x ］表示不大于x 的整数部分，如［－8.5］=－9，［7.5］=7，［6］=6.算法流程图如图所示.13.解析:设唱片数a ,则收费C 元的函数关系式为255,22.5510,21.510.a a C aa a a <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩算法步骤为：1. 输入唱片数a ；2. 如果a<5，那么C =25a ；如果5≤a ＜10，那么C =22.5a , 否则C =21.5a ；3. 输出收费C ，结束.算法流程图如图所示：14.解析:如图所示,令2()2f x x =-,则方程()0f x =的算术平方根第一步：令2()2f x x =-，因为f （1）<0，f （2）>0，所以解区间可以确定为端点为1和2. 设x 1=1，x 2=2；第二步：令x =221x x +，判断f （x ）是否为0，若是，则x 即为所求； 若不是，判断f （x 1）·f （x ）大于0还是小于0；第三步：若f （x 1）·f （x ）>0，则令x 1=x ，否则，令x 2=x ； 第四步：确定循环终止条件|x 1－x 2|<c .其算法流程图如图所示：。

2018年高考数学第一轮复习的重点总结高中数学知识量大，考查范围广泛，综合性强。

高三一轮复习的要点在于巩固高二知识点，以及对以前知识的查缺补漏。

很多的准高三生已经正式的进入了复习状态。

现在提醒大家高三数学复习的过程中需要注意的五点问题。

高三期间三个复习阶段第一轮复习一般从8月到12月，以教材的知识体系作为复习的主要线索，以帮助同学们回忆、回顾以前学习过的知识为主，对知识面进行全方位的覆盖，以及对基本方法、基本题型进行总结、反思；第二轮复习大概从2月到4月中旬，在此阶段打破了教材的体系，主要是对高中数学的六大板块进行专题性的复习，在第一轮复习的基础上进一步加强综合性运用，提高解题的准确性、速度性和解答题的规范性；第三轮复习一般从4月中旬到5月中旬，此阶段主要是同学们进行高考试题的模拟考试、训练，以培养同学们的答题技巧、答题方法、考场应变能力。

5月下旬到6月5日期间则是同学们自主复习，以回归教材、错题反思、方法的进一步归纳总结。

所以在整个高三的复习中，第一轮复习所用的时间是最长的，它的复习成效将直接影响后面的复习效果。

所以徐老师对数学学科的第一轮复习提出以下建议：在第一轮复习的过程中，心浮气躁是一个非常普遍的现象。

主要表现为平时复习觉得没有问题，题目也能做，但是到了考试时就是拿不了高分！这主要是因为：（1）对复习的知识点缺乏系统的理解，解题时缺乏思维层次结构。

第一轮复习着重对基础知识点的挖掘，数学老师一定都会反复强调基础的重要性。

如果不重视对知识点的系统化分析，不能构成一个整体的知识网络构架，自然在解题时就不能拥有整体的构思，也不能深入理解高考典型例题的思维方法。

（2）复习的时候心不静。

心不静就会导致思维不清晰，而思维不清晰就会促使复习没有效率。

建议大家在开始一个学科的复习之前，先静下心来认真想一想接下来需要复习哪一块儿，需要做多少事情，然后认真去做，同时需要很高的注意力，只有这样才会有很好的效果。