广东省惠州市2015届高三第三次调研考数学文试题及答案

广东省惠州市2015届高三第三次调研数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．（5分）若集合A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，则集合A∪B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{1，2} D．{0}2．（5分）已知0＜a＜2，复数z=a+i（i是虚数单位），则|z|的取值范围是（）A．B．（1，5）C．（1，3）D．3．（5分）函数f（x）=+ln（x+1）的定义域为（）A．（2，+∞）B．（﹣1，2）∪（2，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣1，2]4．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a1=4，则公差d等于（）A．1 B．C．﹣2 D．35．（5分）已知a∈R，则“a2＜2a”是“a＜2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离7．（5分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行8．（5分）设变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．3 B．6 C．D．19．（5分）如图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为（）A．72 B．36 C．24 D．1210．（5分）已知函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，若对于任意两个实数x1≠x2，不等式恒成立，则不等式f（x+3）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣3）B．（4，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣4）二、填空题：（本大题共3小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分15分）（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．11．（5分）已知向量，且，则x=．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，若a=15，b=10，A=，则cosB=．13．（5分）A，B，C是平面内不共线的三点，点P在该平面内且有，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则这粒黄豆落在△PBC内的概率为．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答，按第一题记分【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，满分5分）14．（5分）在极坐标系中，直线，被圆ρ=4截得的弦长为．【几何证明选做题】15．如图，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD切圆O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知向量=（cosx+sinx，2sinx），=（cosx﹣sinx，﹣cosx），f（x）=•，（1）求f（x）的最小正周期；（2）当x∈时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的值．17．（12分）惠州市某县区共有甲、乙、丙三所高中的2015届高三文科学生共有800人，各学校男、女生人数如表：甲高中乙高中丙高中女生153 x y男生97 90 z已知在三所高中的所有2015届高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2．（1）求表中x的值；（2）惠州市第三次调研考试后，该县区决定从三所高中的所有2015届高三文科学生中利用随机数表法抽取100人进行成绩统计分析，先将800人按001，002，…，800进行编号．如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；（下面摘取了随机数表中第7行至第9行）8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 83926301 5316 5916 9275 3862 9821 5071 7512 8673 5807 44391326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931（3）已知y≥145，z≥145，求丙高中学校中的女生比男生人数多的概率．18．（14分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥BC，E、F分别是A1B，AC1的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面AA1B1B；（3）若AB=BC=a，A1A=2a，求三棱锥F﹣ABC的体积．19．（14分）已知递增等差数列{a n}中的a2，a5是函数f（x）=x2﹣7x+10的两个零点．数列{b n}满足，点（b n，S n）在直线y=﹣x+1上，其中S n是数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．20．（14分）已知直线y=﹣2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OP⊥OQ（O为坐标原点），记点P的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）若直线l2是曲线C的一条切线，当点（0，2）到直线l2的距离最短时，求直线l2的方程．21．（14分）已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．（1）若x∈，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|；（3）设函数，求g（x）在x∈时的最小值．广东省惠州市2015届高三第三次调研数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．（5分）若集合A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，则集合A∪B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{1，2} D．{0}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：按照并集的定义直接写出A∪B即可．解答：解：∵A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，∴A∪B={0，1，2，3，4}故答案为：A点评：本题考查集合的运算，求并集及运算．属于基础题．2．（5分）已知0＜a＜2，复数z=a+i（i是虚数单位），则|z|的取值范围是（）A．B．（1，5）C．（1，3）D．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由复数模的公式写出|z|=，再由0＜a＜2求得1＜a2+1＜5，则答案可求．解答：解：∵复数z=a+i，则|z|=，由0＜a＜2，得1＜a2+1＜5，∴|z|∈（1，）．故选：D．点评：本题考查了复数模的求法，考查了函数的值域，是基础的计算题．3．（5分）函数f（x）=+ln（x+1）的定义域为（）A．（2，+∞）B．（﹣1，2）∪（2，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣1，2]考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据二次根式的性质结合对数函数的性质得到不等式组，解出即可．解答：解：由题意得：，解得：﹣1＜x＜2，故选：C．点评：本题考查了二次根式的性质，考查了对数函数的性质，是一道基础题．4．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a1=4，则公差d等于（）A．1 B．C．﹣2 D．3考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由题意可得 S3=6=（a1+a3），且 a3=a1+2d，a1=4，解方程求得公差d的值．解答：解：∵S3=6=（a1+a3），且 a3=a1+2d，a1=4，∴d=﹣2，故选C．点评：本题考查等差数列的定义和性质，通项公式，前n项和公式的应用，属于基础题．5．（5分）已知a∈R，则“a2＜2a”是“a＜2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：先解出a2＜2a，再进行判断即可解答：解：因为a2＜2a，所以0＜a＜2，则“a2＜2a”是“a＜2”的充分而不必要条件；故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查了集合之间的关系，是一道基础题．6．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．解答：解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选B．点评：本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径．7．（5分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：简易逻辑．分析：利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．解答：解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选C．点评：本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属基础题．8．（5分）设变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．3 B．6 C．D．1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：设k=，则k的几何意义为区域内的点P（x，y）到圆点O的斜率，由图象可知，OA的斜率最大，由，解得其中A（1，6），则OA的斜率k=6，故的最大值为6，故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及直线的斜率公式是解决本题的关键．9．（5分）如图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为（）A．72 B．36 C．24 D．12考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：通过三视图，判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．解答：解：由题意可知，几何体是三棱锥，底面三角形的一边长为6，底面三角形的高为：4，棱锥的一条侧棱垂直底面的三角形的一个顶点，棱锥的高为：3．所以几何体的体积：=12．故选D．点评：本题考查三视图视图能力与几何体的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．10．（5分）已知函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，若对于任意两个实数x1≠x2，不等式恒成立，则不等式f（x+3）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣3）B．（4，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣4）考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：对于任意两个实数x1≠x2，不等式恒成立，可得函数f（x）在R上单调递增．由函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，可得f（﹣1）=0，即可解出．解答：解：∵对于任意两个实数x1≠x2，不等式恒成立，∴函数f（x）在R上单调递增．∵函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣1）=0，∴不等式f（x+3）＜0=f（﹣1）化为x+3＜﹣1，解得x＜﹣4，∴不等式的解集为：（﹣∞，﹣4）．故选：D．点评：本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力，属于中档题．二、填空题：（本大题共3小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分15分）（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．11．（5分）已知向量，且，则x=0．考点：平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，得•=0，求出x的值即可．解答：解：∵，且，∴，解得x=0．故答案为：0．点评：本题考查了的知识点是利用平面向量的数量积判断两个平面向量的垂直关系，是基础题．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，若a=15，b=10，A=，则cosB=．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理列出关系式，把a，b，sinA的值代入求出sinB的值，即可求出cosB 的值即可．解答：解：∵△ABC中，a=15，b=10，sinA=，∴由正弦定理=得：sinB===，∵b＜a，∴B＜A，即B为锐角，则cosB==，故答案为：点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．13．（5分）A，B，C是平面内不共线的三点，点P在该平面内且有，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则这粒黄豆落在△PBC内的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由P在该平面内且有，得到PB=PA且P在线段AB上，所以△PBC的面积是△ABC的，由几何概型的概率公式可求．解答：解：由P在该平面内且有，得到PB=PA且P在线段AB上，所以△PBC的面积是△ABC的，由几何概型的概率公式这粒黄豆落在△PBC内的概率为；故答案为：．点评：本题给出点P满足的条件，求P点落在△PBC内的概率，着重考查了平面向量共线的充要条件和几何概型等知识，属于基础题．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答，按第一题记分【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，满分5分）14．（5分）在极坐标系中，直线，被圆ρ=4截得的弦长为4．考点：直线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用弦长公式弦长=2（d 为圆心到直线的距离）即可得出．解答：解：直线，化为=2，∴x+y﹣2=0，圆ρ=4化为x2+y2=16．∴圆心O（0，0）到直线的距离d==2．∴直线被圆截得的弦长=2==4．故答案为：4．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、弦长公式、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．【几何证明选做题】15．如图，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD切圆O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：作CE⊥AD于点E，由已知结合三角形中角的关系得到AE的长度，再由AD=2AE得答案．解答：解：如图，作CE⊥AD于点E，∵∠ABC=30°，∴∠CDA=30°，则∠COA=60°，∴△AOC为正三角形，∴∠CAO=60°，AC=OC，∴∠CAE=30°，AC=CD，又∵CE⊥AD，∴AE=，则AD=2AE=．故答案为：．点评：本题考查了与圆有关的比例线段，考查了直角三角形的解法，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知向量=（cosx+sinx，2sinx），=（cosx﹣sinx，﹣cosx），f（x）=•，（1）求f（x）的最小正周期；（2）当x∈时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）先求得f（x）=cos（2x+），根据周期公式可得f（x）的最小正周期；（2）先求得2x+∈，由函数的单调性质可得当2x+=π即x=时，取到f（x）的最小值﹣．解答：解：f（x）=•=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）+2sinx（﹣cosx）=cos2x﹣sin2x﹣2sinxcosx=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）（1）T==π（2）x∈时，2x+∈∴当2x+=π即x=时，取到f（x）的最小值﹣．点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，平面向量数量积的运算，三角函数的图象与性质，属于基础题．17．（12分）惠州市某县区共有甲、乙、丙三所高中的2015届高三文科学生共有800人，各学校男、女生人数如表：甲高中乙高中丙高中女生153 x y男生97 90 z已知在三所高中的所有2015届高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2．（1）求表中x的值；（2）惠州市第三次调研考试后，该县区决定从三所高中的所有2015届高三文科学生中利用随机数表法抽取100人进行成绩统计分析，先将800人按001，002，…，800进行编号．如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；（下面摘取了随机数表中第7行至第9行）8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 83926301 5316 5916 9275 3862 9821 5071 7512 8673 5807 44391326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931（3）已知y≥145，z≥145，求丙高中学校中的女生比男生人数多的概率．考点：概率的应用．专题：综合题；概率与统计．分析：（1）利用在三所高中的所有2015届高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2，求出表中x的值；（2）根据从第8行第7列的数开始向右读，即可写出最先检测的3个人的编号；（3）y+z=800﹣153﹣97﹣160﹣90=300，y≥145，z≥145，图象为线段y+z=300（145≤y≤155），即可求丙高中学校中的女生比男生人数多的概率．解答：解：（1）∵在三所高中的所有2015届高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2，∴x=800×0.2=160；（2）从第8行第7列的数开始向右读，最先检测的3个人的编号为165、538、629；（3）y+z=800﹣153﹣97﹣160﹣90=300，y≥145，z≥145，图象为线段y+z=300（145≤y≤155）∵丙高中学校中的女生比男生人数多，∴y＞z，∴丙高中学校中的女生比男生人数多的概率为．点评：本题考查概率的应用，考查学生分析解决问题的能力，正确计算是关键．18．（14分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥BC，E、F分别是A1B，AC1的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面AA1B1B；（3）若AB=BC=a，A1A=2a，求三棱锥F﹣ABC的体积．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）连结A1C，可证EF是△A1BC的中位线，即EF∥BC，从而可证EF∥平面ABC．（2）易知BC⊥B1B，又由BC⊥BA，即BC垂直平面ABB1A1，又EF∥BC，即EF⊥平面ABB1A1，即可证明平面AEF⊥平面AA1B1B，（3）由直三棱柱可知V三棱锥F﹣ABC=S△ABC×h=S△ABC××CC1，代入即可求值．解答：证明：（1）连结A1C，由A1C1CA 是矩形，则A1C必过AC1的中点F，即F是A1C的中点，同理E是A1B的中点，则EF是△A1BC的中位线，即EF∥BC，又由BC在平面ABC中，EF在平面ABC外，则EF∥平面ABC．（2）由A1B1C1﹣ABC是直棱柱，则B1B⊥BC，即BC⊥B1B，又由BC⊥BA，即BC垂直平面ABB1A1，又由（1）知EF∥BC，即EF⊥平面ABB1A1，而EF在平面AEF中，则平面AEF⊥平面AA1B1B，（3）∵三棱柱A1B1C1﹣ABC是直三棱柱．∴V三棱锥F﹣ABC=S△ABC×h=S△ABC××CC1=×a×a×a=．点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力，属于中档题．19．（14分）已知递增等差数列{a n}中的a2，a5是函数f（x）=x2﹣7x+10的两个零点．数列{b n}满足，点（b n，S n）在直线y=﹣x+1上，其中S n是数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）先解出两个零点，再利用等差、等比数列的通项公式即可；（2）直接使用错位相减法求之即可．解答：解：（1）因为a2，a5是函数f（x）=x2﹣7x+10的两个零点，则，解得：或．又等差数列{a n}递增，则，所以…3分因为点（b n，S n）在直线y=﹣x+1上，则S n=﹣b n+1．当n=1时，b1=S1=﹣b1+1，即．当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=（﹣b n+1）﹣（﹣b n﹣1+1），即．所以数列{b n}为首项为，公比为的等比数列，即．…6分（2）由（1）知：且，则所以①②．①﹣②得：．所以．…12分点评：本题考查知识点等差、等比数列的通项公式；错位相减法求数列的和，考查分析问题解决问题的能力，20．（14分）已知直线y=﹣2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OP⊥OQ（O为坐标原点），记点P的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）若直线l2是曲线C的一条切线，当点（0，2）到直线l2的距离最短时，求直线l2的方程．考点：抛物线的标准方程；直线的一般式方程．专题：计算题．分析：（1）先设P点坐标，进而得出Q点坐标，再根据OP⊥OQ⇒k OP•k OQ=﹣1，求出曲线方程；（2）设出直线直线l2的方程，然后与曲线方程联立，由于直线l2与曲线C相切，得出二次函数有两个相等实根，求出，再由点到直线距离公式表示出d，根据a+b≥2，求得b的值，即可得到直线方程．解答：解：（1）设点P的坐标为（x，y），则点Q的坐标为（x，﹣2）．∵OP⊥OQ，∴k OP•k OQ=﹣1．当x≠0时，得，化简得x2=2y．（2分）当x=0时，P、O、Q三点共线，不符合题意，故x≠0．∴曲线C的方程为x2=2y（x≠0）．（4分）（2）∵直线l2与曲线C相切，∴直线l2的斜率存在．设直线l2的方程为y=kx+b，（5分）由得x2﹣2kx﹣2b=0．∵直线l2与曲线C相切，∴△=4k2+8b=0，即．（6分）点（0，2）到直线l2的距离=（7分）=（8分）（9分）=．（10分）当且仅当，即时，等号成立．此时b=﹣1．（12分）∴直线l2的方程为或．（14分）点评：本题考查了抛物线和直线的方程以及二次函数的根的个数，对于（2）问关键是利用了a+b≥2，求出b的值．属于中档题．21．（14分）已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．（1）若x∈，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|；（3）设函数，求g（x）在x∈时的最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）根据f（x）≤f′（x），可得x2﹣2x+1≤2a（1﹣x），分离参数，确定右边函数的最大值，即可求a的取值范围；（2）由f（x）=|f′（x）|，可得|x+a|=1+a或|x+a|=1﹣a，再分类讨论，即可得到结论；（3）由f（x）﹣f′（x）=（x﹣1），，对a进行分类讨论，即可确定g（x）在x∈时的最小值．解答：解：（1）因为f（x）≤f′（x），所以x2﹣2x+1≤2a（1﹣x），又因为﹣2≤x≤﹣1，所以在x∈时恒成立，因为，所以．（2）因为f（x）=|f′（x）|，所以x2+2ax+1=2|x+a|，所以（x+a）2﹣2|x+a|+1﹣a2=0，则|x+a|=1+a或|x+a|=1﹣a．①当a＜﹣1时，|x+a|=1﹣a，所以x=﹣1或x=1﹣2a；②当﹣1≤a≤1时，|x+a|=1﹣a或|x+a|=1+a，所以x=±1或x=1﹣2a或x=﹣（1+2a）；③当a＞1时，|x+a|=1+a，所以x=1或x=﹣（1+2a）．（3）因为f（x）﹣f′（x）=（x﹣1），①若，则x∈时，f（x）≥f′（x），所以g（x）=f′（x）=2x+2a，从而g（x）的最小值为g（2）=2a+4；②若，则x∈时，f（x）＜f′（x），所以g（x）=f（x）=x2+2ax+1，当时，g（x）的最小值为g（2）=4a+5，当﹣4＜a＜﹣2时，g（x）的最小值为g（﹣a）=1﹣a2，当a≤﹣4时，g（x）的最小值为g（4）=8a+17．③若，则x∈时，当x∈时，g（x）最小值为g（1﹣2a）=2﹣2a．因为，（4a+5）﹣（2﹣2a）=6a+3＜0，所以g（x）最小值为4a+5．综上所述，．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．。

广东省惠州市惠州市2015届高三第二次调研考试数学（文）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1.设集合{3,2,1,0,1}A=---，集合2{40}B x x=-=，则A B＝( )A．{2}-B．{2}C．{2,2}-D．∅2.复数(1)z i i=⋅+(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知命题:p2,240x R x x∀∈-+≤，则¬p为( )A．2,240x R x x∀∈-+≥B．2000,240x R x x∃∈-+>C．2,240x R x x∀∉-+≤D．2000,240x R x x∃∉-+>4.已知向量(3,7)AB =，(2,3)BC=-，则12AC-=( )A.152⎛⎫-⎪⎝⎭，B.152⎛⎫⎪⎝⎭，C.152⎛⎫-⎪⎝⎭，-D.152⎛⎫⎪⎝⎭，-5.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是( )A．ln(1)y x=-B．|1|y x=-C．12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭D．sin2y x x=+6.若变量,x y满足约束条件22020x yx yx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y=+的最小值为( )A．6-B．2C．3D．47.已知函数()()sinf x A xωϕ=+(0,0,)2Aπωϕ>>≤的部分图象如图所示,则函数()y f x =的表达式是( )A.()2sin(2)3f x x π=-B. ()2sin(2)3f x x π=+C.2()2sin(2)3f x x π=+D. ()2sin()12f x x π=+8.方程20([0,1])x x n n ++=∈有实根的概率为 （ ）A ．12B ．13C ．14D ．349.圆心在(1,2)-，半径为x 轴上截得的弦长等于 ( ) A． B ．6 C． D ．810.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x = ([]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为 ( )A ．[]10x y =B ．3[]10x y +=C ．4[]10x y +=D ．5[]10x y +=二、填空题：（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分20分） （一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．11.抛物线240x y +=的准线方程是 .12.在等比数列{}n a 中，54a =，78a =，则9a = _________.13.在△ABC 中，3A π∠=，3BC =，AB =，则C ∠=_________.（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

广东省惠州市2015届高三第二次调研考试-数学文-Word版含答案惠州市2015届高三第二次调研考试数 学 试 题 (文科） 2014.10本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回．参考公式：锥体的体积公式13V Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1.设集合{3,2,1,0,1}A =---，集合2{40}B x x =-=，则A B I ＝( )A ．{2}-B ．{2}C ．{2,2}-D ．∅2.复数(1)z i i =⋅+ (i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.已知命题:p 2,240x R xx ∀∈-+≤，则¬p 为 ( )A ．2,240x R x x ∀∈-+≥B ．200,240x R xx ∃∈-+>C ．2,240x R x x ∀∉-+≤D ．200,240x R xx ∃∉-+> 4.已知向量(3,7)AB =u u u r，(2,3)BC =-u u u r，则12AC -=u u u r ( )A.152⎛⎫- ⎪⎝⎭， B. 152⎛⎫⎪⎝⎭， C. 152⎛⎫- ⎪⎝⎭，-D.152⎛⎫ ⎪⎝⎭，-5.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是( )A ．ln(1)y x =-B ．|1|y x =-C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．sin 2y x x =+6.若变量,x y 满足约束条件220020x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为( )A ．6- B ．2C ．3D ．47.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>>≤的部分 图象如图所示,则函数()y f x =的表达式是( )A.()2sin(2)3f x x π=- B. ()2sin(2)3f x x π=+ C.2()2sin(2)3f x x π=+ D.()2sin()12f x x π=+8.方程20([0,1])xx n n ++=∈有实根的概率为 （ ）A ．12B ．13C ．14D ．349.圆心在(1,2)-，半径为25x 轴上截得的弦长等于 ( )A ．3B ．6C ．62 D ．810.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，恒谦网当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x = ([]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为 ( )A ．[]10x y =B ．3[]10x y +=C ．4[]10x y += D ．5[]10x y +=二、填空题：（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分20分） （一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．11.抛物线240x y +=的准线方程是 .12.在等比数列{}na 中，54a=，78a=，则9a = _________.13.在△ABC 中，3A π∠=，3BC =，AB =，则C ∠=_________.（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

广东省惠州市2015届高三第一次调研考试数学试题(文科)（本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．）参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的高．一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．复数1iZ i =+（其中i 为虚数单位）的虚部是 （ ） A.12- B.12i C.12 D.12i -2．已知集合(){}lg 3A x y x ==+，{}2B x x =≥，则A B =（ ） A. (3,2]- B.(3,)-+∞ C.[2,)+∞ D.[3,)-+∞ 3．下列函数在定义域内为奇函数的是（ ） A. 1y x x=+B. sin y x x =C. 1y x =-D. cos y x = 4.命题“21,11x x <<<若则-”的逆否命题是（ ）A.21,1,1x x x ≥≥≤-若则或B.若11<<-x ，则12<xC.若1x >或1x <-，则12>xD.若1x ≥或1x ≤-，则12≥x 5．若向量(1,2),BA =(4,5),CA =则BC =A.(5,7)B.(3,3)--C.(3,3)D.(5,7)--6．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，得数据如下：那么方程220x x x +--=的一个最接近的近似根为（ ） A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.57．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为7,则输出的s 的值为（ ） A ．22 B ．16 C ．15 D ．11（7题）（8题）8．函数())(,0,)2f x x x R πωϕωϕ=+∈><的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ） A ．2,3π-B.2,6π-C.4,6π-D. 4,3π 9．若双曲线22221x y a b-=）A.2±B.12±D.2± 10．已知函数222,0()()()2(1),2,0x x x f x f a f a f x x x ⎧+≥⎪=-+≤⎨-<⎪⎩,若则实数a 的取值范围是 A.[)1,0- B.[]0,1 C.[]1,1- D.[]2,2-二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.） （一）必做题（11～13题） 11. 计算33log 18log 2-= ．正视图12．变量x 、y 满足线性约束条件222200x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则目标函数z x y =+的最大值为 .13．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

广东省惠州市2015届高三第三次调研数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．（5分）若集合A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，则集合A∪B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{1，2} D．{0}2．（5分）已知0＜a＜2，复数z=a+i（i是虚数单位），则|z|的取值范围是（）A．B．（1，5）C．（1，3）D．3．（5分）函数f（x）=+ln（x+1）的定义域为（）A．（2，+∞）B．（﹣1，2）∪（2，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣1，2]4．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a1=4，则公差d等于（）A．1 B．C．﹣2 D．35．（5分）已知a∈R，则“a2＜2a”是“a＜2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离7．（5分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行8．（5分）设变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．3 B．6 C．D．19．（5分）如图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为（）A．72 B．36 C．24 D．1210．（5分）已知函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，若对于任意两个实数x1≠x2，不等式恒成立，则不等式f（x+3）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣3）B．（4，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣4）二、填空题：（本大题共3小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分15分）（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．11．（5分）已知向量，且，则x=．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，若a=15，b=10，A=，则cosB=．13．（5分）A，B，C是平面内不共线的三点，点P在该平面内且有，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则这粒黄豆落在△PBC内的概率为．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答，按第一题记分【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，满分5分）14．（5分）在极坐标系中，直线，被圆ρ=4截得的弦长为．【几何证明选做题】15．如图，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD切圆O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知向量=（cosx+sinx，2sinx），=（cosx﹣sinx，﹣cosx），f（x）=•，（1）求f（x）的最小正周期；（2）当x∈时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的值．17．（12分）惠州市某县区共有甲、乙、丙三所高中的2015届高三文科学生共有800人，各学校男、女生人数如表：甲高中乙高中丙高中女生153 x y男生97 90 z已知在三所高中的所有2015届高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2．（1）求表中x的值；（2）惠州市第三次调研考试后，该县区决定从三所高中的所有2015届高三文科学生中利用随机数表法抽取100人进行成绩统计分析，先将800人按001，002，…，800进行编号．如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；（下面摘取了随机数表中第7行至第9行）8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 83926301 5316 5916 9275 3862 9821 5071 7512 8673 5807 44391326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931（3）已知y≥145，z≥145，求丙高中学校中的女生比男生人数多的概率．18．（14分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥BC，E、F分别是A1B，AC1的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面AA1B1B；（3）若AB=BC=a，A1A=2a，求三棱锥F﹣ABC的体积．19．（14分）已知递增等差数列{a n}中的a2，a5是函数f（x）=x2﹣7x+10的两个零点．数列{b n}满足，点（b n，S n）在直线y=﹣x+1上，其中S n是数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．20．（14分）已知直线y=﹣2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OP⊥OQ（O为坐标原点），记点P的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）若直线l2是曲线C的一条切线，当点（0，2）到直线l2的距离最短时，求直线l2的方程．21．（14分）已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．（1）若x∈，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|；（3）设函数，求g（x）在x∈时的最小值．广东省惠州市2015届高三第三次调研数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．（5分）若集合A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，则集合A∪B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{1，2} D．{0}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：按照并集的定义直接写出A∪B即可．解答：解：∵A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，∴A∪B={0，1，2，3，4}故答案为：A点评：本题考查集合的运算，求并集及运算．属于基础题．2．（5分）已知0＜a＜2，复数z=a+i（i是虚数单位），则|z|的取值范围是（）A．B．（1，5）C．（1，3）D．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由复数模的公式写出|z|=，再由0＜a＜2求得1＜a2+1＜5，则答案可求．解答：解：∵复数z=a+i，则|z|=，由0＜a＜2，得1＜a2+1＜5，∴|z|∈（1，）．故选：D．点评：本题考查了复数模的求法，考查了函数的值域，是基础的计算题．3．（5分）函数f（x）=+ln（x+1）的定义域为（）A．（2，+∞）B．（﹣1，2）∪（2，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣1，2]考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据二次根式的性质结合对数函数的性质得到不等式组，解出即可．解答：解：由题意得：，解得：﹣1＜x＜2，故选：C．点评：本题考查了二次根式的性质，考查了对数函数的性质，是一道基础题．4．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a1=4，则公差d等于（）A．1 B．C．﹣2 D．3考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由题意可得 S3=6=（a1+a3），且 a3=a1+2d，a1=4，解方程求得公差d的值．解答：解：∵S3=6=（a1+a3），且 a3=a1+2d，a1=4，∴d=﹣2，故选C．点评：本题考查等差数列的定义和性质，通项公式，前n项和公式的应用，属于基础题．5．（5分）已知a∈R，则“a2＜2a”是“a＜2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：先解出a2＜2a，再进行判断即可解答：解：因为a2＜2a，所以0＜a＜2，则“a2＜2a”是“a＜2”的充分而不必要条件；故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查了集合之间的关系，是一道基础题．6．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．解答：解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选B．点评：本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径．7．（5分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：简易逻辑．分析：利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．解答：解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选C．点评：本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属基础题．8．（5分）设变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．3 B．6 C．D．1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：设k=，则k的几何意义为区域内的点P（x，y）到圆点O的斜率，由图象可知，OA的斜率最大，由，解得其中A（1，6），则OA的斜率k=6，故的最大值为6，故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及直线的斜率公式是解决本题的关键．9．（5分）如图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为（）A．72 B．36 C．24 D．12考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：通过三视图，判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．解答：解：由题意可知，几何体是三棱锥，底面三角形的一边长为6，底面三角形的高为：4，棱锥的一条侧棱垂直底面的三角形的一个顶点，棱锥的高为：3．所以几何体的体积：=12．故选D．点评：本题考查三视图视图能力与几何体的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．10．（5分）已知函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，若对于任意两个实数x1≠x2，不等式恒成立，则不等式f（x+3）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣3）B．（4，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣4）考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：对于任意两个实数x1≠x2，不等式恒成立，可得函数f（x）在R上单调递增．由函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，可得f（﹣1）=0，即可解出．解答：解：∵对于任意两个实数x1≠x2，不等式恒成立，∴函数f（x）在R上单调递增．∵函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣1）=0，∴不等式f（x+3）＜0=f（﹣1）化为x+3＜﹣1，解得x＜﹣4，∴不等式的解集为：（﹣∞，﹣4）．故选：D．点评：本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力，属于中档题．二、填空题：（本大题共3小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分15分）（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．11．（5分）已知向量，且，则x=0．考点：平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，得•=0，求出x的值即可．解答：解：∵，且，∴，解得x=0．故答案为：0．点评：本题考查了的知识点是利用平面向量的数量积判断两个平面向量的垂直关系，是基础题．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，若a=15，b=10，A=，则cosB=．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理列出关系式，把a，b，sinA的值代入求出sinB的值，即可求出cosB 的值即可．解答：解：∵△ABC中，a=15，b=10，sinA=，∴由正弦定理=得：sinB===，∵b＜a，∴B＜A，即B为锐角，则cosB==，故答案为：点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．13．（5分）A，B，C是平面内不共线的三点，点P在该平面内且有，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则这粒黄豆落在△PBC内的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由P在该平面内且有，得到PB=PA且P在线段AB上，所以△PBC的面积是△ABC的，由几何概型的概率公式可求．解答：解：由P在该平面内且有，得到PB=PA且P在线段AB上，所以△PBC的面积是△ABC的，由几何概型的概率公式这粒黄豆落在△PBC内的概率为；故答案为：．点评：本题给出点P满足的条件，求P点落在△PBC内的概率，着重考查了平面向量共线的充要条件和几何概型等知识，属于基础题．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答，按第一题记分【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，满分5分）14．（5分）在极坐标系中，直线，被圆ρ=4截得的弦长为4．考点：直线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用弦长公式弦长=2（d 为圆心到直线的距离）即可得出．解答：解：直线，化为=2，∴x+y﹣2=0，圆ρ=4化为x2+y2=16．∴圆心O（0，0）到直线的距离d==2．∴直线被圆截得的弦长=2==4．故答案为：4．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、弦长公式、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．【几何证明选做题】15．如图，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD切圆O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：作CE⊥AD于点E，由已知结合三角形中角的关系得到AE的长度，再由AD=2AE得答案．解答：解：如图，作CE⊥AD于点E，∵∠ABC=30°，∴∠CDA=30°，则∠COA=60°，∴△AOC为正三角形，∴∠CAO=60°，AC=OC，∴∠CAE=30°，AC=CD，又∵CE⊥AD，∴AE=，则AD=2AE=．故答案为：．点评：本题考查了与圆有关的比例线段，考查了直角三角形的解法，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知向量=（cosx+sinx，2sinx），=（cosx﹣sinx，﹣cosx），f（x）=•，（1）求f（x）的最小正周期；（2）当x∈时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）先求得f（x）=cos（2x+），根据周期公式可得f（x）的最小正周期；（2）先求得2x+∈，由函数的单调性质可得当2x+=π即x=时，取到f（x）的最小值﹣．解答：解：f（x）=•=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）+2sinx（﹣cosx）=cos2x﹣sin2x﹣2sinxcosx=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）（1）T==π（2）x∈时，2x+∈∴当2x+=π即x=时，取到f（x）的最小值﹣．点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，平面向量数量积的运算，三角函数的图象与性质，属于基础题．17．（12分）惠州市某县区共有甲、乙、丙三所高中的2015届高三文科学生共有800人，各学校男、女生人数如表：甲高中乙高中丙高中女生153 x y男生97 90 z已知在三所高中的所有2015届高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2．（1）求表中x的值；（2）惠州市第三次调研考试后，该县区决定从三所高中的所有2015届高三文科学生中利用随机数表法抽取100人进行成绩统计分析，先将800人按001，002，…，800进行编号．如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；（下面摘取了随机数表中第7行至第9行）8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 83926301 5316 5916 9275 3862 9821 5071 7512 8673 5807 44391326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931（3）已知y≥145，z≥145，求丙高中学校中的女生比男生人数多的概率．考点：概率的应用．专题：综合题；概率与统计．分析：（1）利用在三所高中的所有2015届高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2，求出表中x的值；（2）根据从第8行第7列的数开始向右读，即可写出最先检测的3个人的编号；（3）y+z=800﹣153﹣97﹣160﹣90=300，y≥145，z≥145，图象为线段y+z=300（145≤y≤155），即可求丙高中学校中的女生比男生人数多的概率．解答：解：（1）∵在三所高中的所有2015届高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2，∴x=800×0.2=160；（2）从第8行第7列的数开始向右读，最先检测的3个人的编号为165、538、629；（3）y+z=800﹣153﹣97﹣160﹣90=300，y≥145，z≥145，图象为线段y+z=300（145≤y≤155）∵丙高中学校中的女生比男生人数多，∴y＞z，∴丙高中学校中的女生比男生人数多的概率为．点评：本题考查概率的应用，考查学生分析解决问题的能力，正确计算是关键．18．（14分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥BC，E、F分别是A1B，AC1的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面AA1B1B；（3）若AB=BC=a，A1A=2a，求三棱锥F﹣ABC的体积．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）连结A1C，可证EF是△A1BC的中位线，即EF∥BC，从而可证EF∥平面ABC．（2）易知BC⊥B1B，又由BC⊥BA，即BC垂直平面ABB1A1，又EF∥BC，即EF⊥平面ABB1A1，即可证明平面AEF⊥平面AA1B1B，（3）由直三棱柱可知V三棱锥F﹣ABC=S△ABC×h=S△ABC××CC1，代入即可求值．解答：证明：（1）连结A1C，由A1C1CA 是矩形，则A1C必过AC1的中点F，即F是A1C的中点，同理E是A1B的中点，则EF是△A1BC的中位线，即EF∥BC，又由BC在平面ABC中，EF在平面ABC外，则EF∥平面ABC．（2）由A1B1C1﹣ABC是直棱柱，则B1B⊥BC，即BC⊥B1B，又由BC⊥BA，即BC垂直平面ABB1A1，又由（1）知EF∥BC，即EF⊥平面ABB1A1，而EF在平面AEF中，则平面AEF⊥平面AA1B1B，（3）∵三棱柱A1B1C1﹣ABC是直三棱柱．∴V三棱锥F﹣ABC=S△ABC×h=S△ABC××CC1=×a×a×a=．点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力，属于中档题．19．（14分）已知递增等差数列{a n}中的a2，a5是函数f（x）=x2﹣7x+10的两个零点．数列{b n}满足，点（b n，S n）在直线y=﹣x+1上，其中S n是数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）先解出两个零点，再利用等差、等比数列的通项公式即可；（2）直接使用错位相减法求之即可．解答：解：（1）因为a2，a5是函数f（x）=x2﹣7x+10的两个零点，则，解得：或．又等差数列{a n}递增，则，所以…3分因为点（b n，S n）在直线y=﹣x+1上，则S n=﹣b n+1．当n=1时，b1=S1=﹣b1+1，即．当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=（﹣b n+1）﹣（﹣b n﹣1+1），即．所以数列{b n}为首项为，公比为的等比数列，即．…6分（2）由（1）知：且，则所以①②．①﹣②得：．所以．…12分点评：本题考查知识点等差、等比数列的通项公式；错位相减法求数列的和，考查分析问题解决问题的能力，20．（14分）已知直线y=﹣2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OP⊥OQ（O为坐标原点），记点P的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）若直线l2是曲线C的一条切线，当点（0，2）到直线l2的距离最短时，求直线l2的方程．考点：抛物线的标准方程；直线的一般式方程．专题：计算题．分析：（1）先设P点坐标，进而得出Q点坐标，再根据OP⊥OQ⇒k OP•k OQ=﹣1，求出曲线方程；（2）设出直线直线l2的方程，然后与曲线方程联立，由于直线l2与曲线C相切，得出二次函数有两个相等实根，求出，再由点到直线距离公式表示出d，根据a+b≥2，求得b的值，即可得到直线方程．解答：解：（1）设点P的坐标为（x，y），则点Q的坐标为（x，﹣2）．∵OP⊥OQ，∴k OP•k OQ=﹣1．当x≠0时，得，化简得x2=2y．（2分）当x=0时，P、O、Q三点共线，不符合题意，故x≠0．∴曲线C的方程为x2=2y（x≠0）．（4分）（2）∵直线l2与曲线C相切，∴直线l2的斜率存在．设直线l2的方程为y=kx+b，（5分）由得x2﹣2kx﹣2b=0．∵直线l2与曲线C相切，∴△=4k2+8b=0，即．（6分）点（0，2）到直线l2的距离=（7分）=（8分）（9分）=．（10分）当且仅当，即时，等号成立．此时b=﹣1．（12分）∴直线l2的方程为或．（14分）点评：本题考查了抛物线和直线的方程以及二次函数的根的个数，对于（2）问关键是利用了a+b≥2，求出b的值．属于中档题．21．（14分）已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．（1）若x∈，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|；（3）设函数，求g（x）在x∈时的最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）根据f（x）≤f′（x），可得x2﹣2x+1≤2a（1﹣x），分离参数，确定右边函数的最大值，即可求a的取值范围；（2）由f（x）=|f′（x）|，可得|x+a|=1+a或|x+a|=1﹣a，再分类讨论，即可得到结论；（3）由f（x）﹣f′（x）=（x﹣1），，对a进行分类讨论，即可确定g（x）在x∈时的最小值．解答：解：（1）因为f（x）≤f′（x），所以x2﹣2x+1≤2a（1﹣x），又因为﹣2≤x≤﹣1，所以在x∈时恒成立，因为，所以．（2）因为f（x）=|f′（x）|，所以x2+2ax+1=2|x+a|，所以（x+a）2﹣2|x+a|+1﹣a2=0，则|x+a|=1+a或|x+a|=1﹣a．①当a＜﹣1时，|x+a|=1﹣a，所以x=﹣1或x=1﹣2a；②当﹣1≤a≤1时，|x+a|=1﹣a或|x+a|=1+a，所以x=±1或x=1﹣2a或x=﹣（1+2a）；③当a＞1时，|x+a|=1+a，所以x=1或x=﹣（1+2a）．（3）因为f（x）﹣f′（x）=（x﹣1），①若，则x∈时，f（x）≥f′（x），所以g（x）=f′（x）=2x+2a，从而g（x）的最小值为g（2）=2a+4；②若，则x∈时，f（x）＜f′（x），所以g（x）=f（x）=x2+2ax+1，当时，g（x）的最小值为g（2）=4a+5，当﹣4＜a＜﹣2时，g（x）的最小值为g（﹣a）=1﹣a2，当a≤﹣4时，g（x）的最小值为g（4）=8a+17．③若，则x∈时，当x∈时，g（x）最小值为g（1﹣2a）=2﹣2a．因为，（4a+5）﹣（2﹣2a）=6a+3＜0，所以g（x）最小值为4a+5．综上所述，．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．。

惠州市2015届高三第二次调研考试数 学 试 题 (文科） 2014.10本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1.设集合{3,2,1,0,1}A =---，集合2{40}B x x =-=，则AB ＝ ( )A ．{2}-B ．{2}C ．{2,2}-D ．∅2.复数(1)z i i =⋅+ (i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知命题:p 2,240x R x x ∀∈-+≤，则¬p 为 ( )A ．2,240x R x x ∀∈-+≥B ．2000,240x R x x ∃∈-+> C ．2,240x R x x ∀∉-+≤ D ．2000,240x R x x ∃∉-+> 4.已知向量(3,7)AB =，(2,3)BC =-，则12AC -= ( ) A.152⎛⎫- ⎪⎝⎭， B. 152⎛⎫ ⎪⎝⎭， C. 152⎛⎫- ⎪⎝⎭，- D. 152⎛⎫ ⎪⎝⎭，- 5.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是( )A ．ln(1)y x =-B ．|1|y x =-C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．sin 2y x x =+6.若变量,x y 满足约束条件220020x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为( )A ．6-B ．2C ．3D ．4 7.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>>≤的部分图象如图所示,则函数()y f x =的表达式是( ) A.()2sin(2)3f x x π=- B. ()2sin(2)3f x x π=+C.2()2sin(2)3f x x π=+D. ()2sin()12f x x π=+8.方程20([0,1])x x n n ++=∈有实根的概率为 （ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．349.圆心在(1,2)-，半径为x 轴上截得的弦长等于 ( )A． B ．6 C． D ．810.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x = ([]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为 ( ) A ．[]10x y = B ．3[]10x y += C ．4[]10x y += D ．5[]10x y += 二、填空题：（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分20分） （一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 11.抛物线240x y +=的准线方程是 .12.在等比数列{}n a 中，54a =，78a =，则9a = _________. 13.在△ABC 中，3A π∠=，3BC =，AB =，则C ∠=_________.（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

惠州市2015届高三第三次调研考试数 学 试 题 （文科）【试卷综述】试题紧扣教材，内容全面，题型设计合理、规范，体现了新课程数学教学的目标和要求，能较全面的考查学生对数学思想方法的应用及数学知识的掌握情况。

本试题知识点覆盖面广，重视基本概念、基础知识、基本技能的考察，同时也考查了逻辑思维能力，运算能力、空间想象能力以及运用所学数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。

难度、区分度都很好，以基础题为主，但又穿插有一定梯度和灵活性的题目，总体而言，通过这次模拟考试，能够起到查漏补缺，发现薄弱章节，便于调整复习的作用.【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.【题文】1．若集合{0,1,2,3},{1,2,4},A B ==则集合A B =（ ）A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{1,2}D ．{0}【知识点】并集及其运算． B4【答案】【解析】A 解析：直接可得{}0,1,2,3,4A B =,故选A【思路点拨】根据集合A 与B ，求出两集合的并集即可．【题文】2．已知0＜a ＜2，复数z a i =+(i 是虚数单位)，则||z 的取值范围是（ ）A． B ．(1,5) C ．(1,3) D．【知识点】复数求模． B4【答案】【解析】D 解析：12+=a z ，而20<<a ，即5112<+<a ，51<<∴z ，故选D . 【思路点拨】先求出12+=a z ，然后借助于0＜a ＜2求出其取值范围即可. 【题文】3．函数()ln(1)f x x =++的定义域为（ ） A ．(2,)+∞ B ．(1,2)(2,)-+∞ C ．(1,2)- D ．(]1,2-【知识点】函数的定义域.B4 【答案】【解析】C 解析：函数式若有意义需满足条件：10120220x x x x x +>⎧>-⎧⎪-≥⇒⎨⎨<⎩⎪-≠⎩取交集可得：()1,2x ∈-，故选C .【思路点拨】根据题意列出不等式组，然后解之即可.【题文】4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且316,4S a ==，则公差d 等于（ ）A ．1B ．53C ．2-D ．3 【知识点】等差数列的性质；等差数列的前n 项和.B4【答案】【解析】C 解析：等差数列中，由1333()62a a S +==，且14a =得30a =，则31231a a d -==--，故选C . 【思路点拨】先利用316,4S a ==求出30a =，再结合其通项公式可结果.【题文】5．已知a R ∈，则“22a a <”是“2a <”成立的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点】充要条件B4【答案】【解析】A 解析：因为22a a <，所以02a ，则“22a a <”是“2a <”的 充分而不必要条件。

广东省惠州市2015届高三第一次调研考试数学试题(文科）【试卷综评】本试卷特点（1）注重基础知识，基本技能的考查，符合新课程标准和命题的意图及宗旨。

考查的都是基本概念和基本方法，关注学生基本能力的考查的同时，仍然紧扣双基。

总体感觉试题对学生双基的考查既全面又突出重点，对教师的教和学生的学检测到位，同时对后续的教与学又起到了良好的导向和激励。

（2）注重能力考查，更注重数学思想的考查。

试卷对数学思想和数学能力的考查较为突出。

（3）在考查基本知识、基本技能的条件下，适当兼顾了对学生综合能力的考查。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．复数1iZ i =+（其中i 为虚数单位）的虚部是 （ ） A.12-B.12iC.12D.12i -2．已知集合(){}lg 3A x y x ==+，{}2B x x =≥，则AB =（ ）A. (3,2]-B.(3,)-+∞C.[2,)+∞D.[3,)-+∞ 3．下列函数在定义域内为奇函数的是（ ）A.1y x x =+B. sin y x x =C. 1y x =-D. cos y x =4.命题“21,11x x <<<若则-”的逆否命题是（ ）A.21,1,1x x x ≥≥≤-若则或 B.若11<<-x ，则12<x 5．若向量(1,2),BA =(4,5),CA =则BC =A.(5,7)B.(3,3)--C.(3,3)D.(5,7)--6．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，得数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个最接近的近似根为（ ）A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5 7．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为7,则输出的s 的值为（ ）A ．22B ．16C ．15D ．11（7题）（8题）8．函数())(,0,)2f x x x R πωϕωϕ=+∈><的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是 （ ）A ．2,3π-B.2,6π-C.4,6π-D.4,3π9．若双曲线22221x y a b -= ）A.2±B. C.12±D.±10．已知函数222,0()()()2(1),2,0x x x f x f a f a f x x x ⎧+≥⎪=-+≤⎨-<⎪⎩,若则实数a 的取值范围是A.[)1,0- B.[]0,1 C.[]1,1- D.[]2,2-二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.）（一）必做题（11～13题） 11. 计算33log 18log 2-=．12．变量x 、y满足线性约束条件222200x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则目标z x =+的最大值为 .13．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于正视图3 243 第13题图DCBAFE（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

广东省惠州市2015届高三第三次调研数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）若集合A={x||x|≤1，x∈R}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1}D．∅2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，1）上单调递减的函数为（）A．y=B．y=lnx C．y=cosx D．y=x23．（5分）“a＞b＞0”是“a2＞b2”成立的（）条件．A．必要不充分B．充分不必要C．充要D．既不充分也不必要4．（5分）设双曲线﹣=1的虚轴长为2，焦距为2，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）空间中，对于平面α和共面的两直线m、n，下列命题中为真命题的是（）A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m、n与α所成的角相等，则m∥nD．若m⊂α，n∥α，则m∥n6．（5分）某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的发言顺序的种数为（）A．840 B．720 C．600 D．307．（5分）数列{a n}，满足对任意的n∈N+，均有a n+a n+1+a n+2为定值．若a7=2，a9=3，a98=4，则数列{a n}的前100项的和S100=（）A．132 B．299 C．68 D．998．（5分）在平面直角坐标系中，定义两点P（x1，y1）与Q（x2，y2）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．给出下列命题：（1）若P（1，2），Q（sinα，cosα）（α∈R），则d（P，Q）的最大值为；（2）若P，Q是圆x2+y2=1上的任意两点，则d（P，Q）的最大值为2；（3）若P（1，3），点Q为直线y=2x上的动点，则d（P，Q）的最小值为．其中为真命题的是（）A．（1）（2）（3）B．（2）C．（3）D．（2）（3）二、填空题（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分25分）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．（5分）某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到2014-2015学年高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在2014-2015学年高二抽取的学生人数为．2014-2015学年高一2014-2015学年高二2015届高三女生600 y 650男生x z 75010．（5分）已知，，，若，则实数k=．11．（5分）复数，a∈R，且，则a的值为．12．（5分）列∀x∈R，不等式log2（4﹣a）≤|x+3|+|x﹣1|成立，则实数a的取值范围是．13．（5分）A，B，C是平面内不共线的三点，点P在该平面内且有，+2+3=现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则这粒黄豆落在△PBC内的概率为．二.选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题得分．（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．若直线l与圆C有公共点，则实数a的取值范围是．（几何证明选讲选做题）15．（几何证明选讲）如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB=5，BC=3，CD=6，则线段AC的长为．三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．）16．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R，（其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜），其部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知横坐标分别为﹣1、1、5的三点M、N、P都在函数f（x）的图象上，求sin∠MNP 的值．17．（12分）惠州市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，求第二次训练时恰好取到1个新球的概率．参考公式：互斥事件加法公式：P（A∪B）=P（A）+P（B）（事件A与事件B互斥）．独立事件乘法公式：P（A∩B）=P（A）•P（B）（事件A与事件B相互独立）．条件概率公式：．18．（14分）三棱柱ABC﹣A1B1C1的直观图及三视图（主视图和俯视图是正方形，左侧图是等腰直角三角形）如图，D为AC的中点．（1）求证：AB1∥平面BDC1；（2）求证：A1C⊥平面BDC1；（3）求二面角A﹣BC1﹣D的正切值．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和S n=，且a1=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=lna n，是否存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．20．（14分）已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x2+y2=1上．（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）过点F的直线交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知，求证：λ1+λ2为定值．（Ⅲ）直线l交椭圆C2于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P′、Q′，，若点S满足：，证明：点S在椭圆C2上．21．（14分）已知函数，过点P（1，0）作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M，N．（1）当t=2时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n，在区间内，总存在m+1个数a1，a2，…，a m，a m+1，使得不等式g（a1）+g（a2）+…+g（a m）＜g（a m+1）成立，求m的最大值．广东省惠州市2015届高三第三次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）若集合A={x||x|≤1，x∈R}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1}D．∅考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：求出集合A中绝对值不等式的解集，确定出集合A，根据负数没有平方根得出集合B中函数的定义域，确定出集合B，找出两集合的公共部分，即可得到两集合的交集．解答：解：由集合A中的不等式|x|≤1，解得：﹣1≤x≤1，∴集合A={x|﹣1≤x≤1}，由集合B中的函数y=有意义，得到x≥0，∴集合B={x|x≥0}，则A∩B={x|0≤x≤1}．故选C点评：此题属于以绝对值不等式的解法及函数的定义域为平台，考查了交集及其运算，是2015届高考中常考的基本题型．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，1）上单调递减的函数为（）A．y=B．y=lnx C．y=cosx D．y=x2考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数单调性和奇偶性的性质分别进行判断即可．解答：解：首先y=cosx是偶函数，且在（0，π）上单减，而（0，1）⊂（0，π），故y=cosx满足条件．故选C．点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．3．（5分）“a＞b＞0”是“a2＞b2”成立的（）条件．A．必要不充分B．充分不必要C．充要D．既不充分也不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式之间的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：由不等式的性质知，当a＞b＞0时，a2＞b2成立；反之，例如取a=﹣3，b=1，显然a2＞b2，而a＞b＞0不成立．故“a＞b＞0”是“a2＞b2”成立的充分不必要条件，故选B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．4．（5分）设双曲线﹣=1的虚轴长为2，焦距为2，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由条件可得，，再由双曲线的a，b，c的关系，求得a，再由离心率公式计算即可得到．解答：解：双曲线﹣=1的虚轴长为2，焦距为2，则，所以，所以．故选A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．5．（5分）空间中，对于平面α和共面的两直线m、n，下列命题中为真命题的是（）A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m、n与α所成的角相等，则m∥nD．若m⊂α，n∥α，则m∥n考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：阅读型；空间位置关系与距离；空间角．分析：由线面的位置关系，可得n∥α或n⊂α，即可判断A；由线面平行的性质和线线的位置关系，即可判断B；由线面角的概念，结合线线的位置关系，即可判断C；由线面平行的性质以及线线的位置关系，即可判断D．解答：解：对于A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故A错误；对于B．若m∥α，n∥α，又m，n共面，则m，n平行或相交，故B错误；对于C．若m、n与α所成的角相等，则m，n平行或相交，故C错误；对于D．当m⊂α，n∥α时，必有m∥n或m与n异面直线，而m与n是共面的两条直线，则m∥n．故D正确．故选D．点评：本题考查空间直线与直线的位置关系，以及直线与平面的位置关系，考查线面角的概念，考查判断和推理能力，属于基础题和易错题．6．（5分）某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的发言顺序的种数为（）A．840 B．720 C．600 D．30考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．解答：解：分两类．第一类：甲、乙两人中恰有一人参加，方法种数为种，第二类：甲、乙两人同时参加，方法种数为种，根据分类计数原理，满足条件的方法种数为480+240=720种．故选B．点评：本题考查排列、组合的实际应用，正确分类是关键．7．（5分）数列{a n}，满足对任意的n∈N+，均有a n+a n+1+a n+2为定值．若a7=2，a9=3，a98=4，则数列{a n}的前100项的和S100=（）A．132 B．299 C．68 D．99考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：对任意的n∈N+，均有a n+a n+1+a n+2为定值，可得（a n+1+a n+2+a n+3）﹣（a n+a n+1+a n+2）=0，a n+3=a n，于是{a n}是以3为周期的数列，即可得出．解答：解：对任意的n∈N+，均有a n+a n+1+a n+2为定值，∴（a n+1+a n+2+a n+3）﹣（a n+a n+1+a n+2）=0，故a n+3=a n，∴{a n}是以3为周期的数列，故a1=a7=2，a2=a98=4，a3=a9=3，∴S100=（a1+a2+a3）+…+（a97+a98+a99）+a100=33（2+4+3）+a1=299．故选：B．点评：本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于基础题．8．（5分）在平面直角坐标系中，定义两点P（x1，y1）与Q（x2，y2）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．给出下列命题：（1）若P（1，2），Q（sinα，cosα）（α∈R），则d（P，Q）的最大值为；（2）若P，Q是圆x2+y2=1上的任意两点，则d（P，Q）的最大值为2；（3）若P（1，3），点Q为直线y=2x上的动点，则d（P，Q）的最小值为．其中为真命题的是（）A．（1）（2）（3）B．（2）C．（3）D．（2）（3）考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：根据折线距离的定义分别判断（3）个命题的真假，最后综合讨论结果，可得答案．解答：解：对于（1），，∵α∈R，∴d（P，Q）的最大值为，故（1）不正确．对于（2），要使d（P，Q）最大，必有P，Q两点是圆上关于原点对称的两点，可设，则．故（2）正确；对于（3），设Q（x0，2x0），则d（P，Q）=|x0﹣1|+|2x0﹣3|，去掉绝对值后可知当时，d（P，Q）取得最小值．故（3）正确．故选D．点评：本题主要考查了“折线距离”的定义，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分25分）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．（5分）某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到2014-2015学年高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在2014-2015学年高二抽取的学生人数为30．2014-2015学年高一2014-2015学年高二2015届高三女生600 y 650男生x z 750考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：先求出每个个体被抽到的概率，由抽到2014-2015学年高一男生的概率是0.2 求得x的值，可得2014-2015学年高二年级的人数．再用2014-2015学年高二年级的人数乘以每个个体被抽到的概率，即得所求．解答：解：每个个体被抽到的概率等于=，由抽到2014-2015学年高一男生的概率是0.2=，解得 x=800，故2014-2015学年高二年级的人数为 4000﹣600﹣800﹣650﹣750=1200，故在2014-2015学年高二抽取的学生人数为1200×=30，故答案为 30．点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．10．（5分）已知，，，若，则实数k=8．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由向量的加减运算和数乘，运用向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到．解答：解：，，，则，若，则（+2）•=0，即有k﹣8=0解得，k=8．故答案为：8．点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．11．（5分）复数，a∈R，且，则a的值为．考点：复数代数形式的混合运算．分析：先求z2并化简，由于，所以实部等于实部，虚部等于虚部，可得a 的值．解答：解：∵复数，∴z2=∴所以a=故答案为：．点评：本题考查复数代数形式的运算，复数相等的知识，是基础题．12．（5分）列∀x∈R，不等式log2（4﹣a）≤|x+3|+|x﹣1|成立，则实数a的取值范围是故答案为：．点评：本题考查了几何概型的概率求法；关键是求出满足条件的△PBC的面积，然后与△ABC的面积比为所求．二.选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题得分．（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．若直线l与圆C有公共点，则实数a的取值范围是．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线l的距离d≤r，解出即可．解答：解：直线l的参数方程为（t为参数），消去t化为直线l的普通方程为2x﹣y﹣2a=0，圆C的参数方程为（θ为参数），消去参数化为x2+y2=16．故圆心C（0，0）到直线l的距离≤4，解得．∴实数a的取值范围是．故答案为：．点评：本题考查了把参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查了计算能力，属于基础题．（几何证明选讲选做题）15．（几何证明选讲）如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB=5，BC=3，CD=6，则线段AC的长为4.5．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的性质；弦切角．专题：计算题．分析：根据圆的切线和割线，利用切割线定理得到与圆有关的比例线段，代入已知线段的长度求出DB的长，根据三角形的两个角对应相等，得到两个三角形全等，对应线段成比例，得到要求的线段的长度．解答：解：∵过点C的切线交AB的延长线于点D，∴DC是圆的切线，DBA是圆的割线，根据切割线定理得到DC2=DB•DA，∵AB=5，CD=6，∴36=DB（DB+5）∴DB=4，由题意知∠D=∠D，∠BCD=∠A∴△DBC∽△DCA，∴∴AC==4.5，故答案为：4.5点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查三角形的相似的判定定理与性质定理，本题解题的关键是根据圆中的比例式，代入已知线段的长度求出未知的线段的长度，本题是一个基础题．三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．）16．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R，（其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜），其部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知横坐标分别为﹣1、1、5的三点M、N、P都在函数f（x）的图象上，求sin∠MNP 的值．考点：余弦定理；向量在几何中的应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；压轴题；三角函数的图像与性质．分析：（1）根据图象，可得函数的最小正周期T=8，结合周期公式得ω=．再根据f（1）=1是函数的最大值，列式可解出φ的值，得到函数f（x）的解析式；（2）由（1）的解析式，得出M、N、P三点的坐标，结合两点的距离公式得到MN、PN、PM 的长，用余弦定理算出cos∠MNP的值，最后用同角三角函数平方关系，可得sin∠MNP的值．解答：解：（1）由图可知，最小正周期T=（3﹣1）×4=8，所以ω==．又∵当x=1时，f（x）有最大值为1，∴f（1）=sin（+φ）=1，得+φ=+2kπ，k∈Z∵﹣＜φ＜，∴取k=0，得φ=．所以函数的解析式为f（x）=sin（x+）．（2）∵f（﹣1）=0，f（1）=1且f（5）=sin（×5+）=﹣1．∴三点坐标分别为M（﹣1，0），N（1，1），P（5，﹣1），由两点的距离公式，得|MN|=，|PN|=2，|MP|=，∴根据余弦定理，得cos∠MNP==﹣．∵∠MNP∈（0，π）∴sin∠MNP是正数，得sin∠MNP==．点评：本题给出函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，要我们确定确定其解析式，并求一个角的正弦．着重考查了三角函数的图象与性质、余弦定理和同角三角函数的基本关系等知识，属于中档题．17．（12分）惠州市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，求第二次训练时恰好取到1个新球的概率．参考公式：互斥事件加法公式：P（A∪B）=P（A）+P（B）（事件A与事件B互斥）．独立事件乘法公式：P（A∩B）=P（A）•P（B）（事件A与事件B相互独立）．条件概率公式：．考点：条件概率与独立事件；相互独立事件的概率乘法公式．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，设“第一次训练时取到i个新球（即ξ=i）”为事件A i（i=0，1，2），求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望；（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B，则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A0B+A1B+A2B．而事件A0B、A1B、A2B互斥，由此可得结论．解答：解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2设“第一次训练时取到i个新球（即ξ=i）”为事件A i（i=0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以P（A0）=P（ξ=0）==；P（A1）=P（ξ=1）==；P（A2）=P（ξ=2）==，所以ξ的分布列为ξ0 1 2Pξ的数学期望为Eξ=0×+1×+2×=1．（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B，则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A0B+A1B+A2B，而事件A0B、A1B、A2B互斥，所以P（A0B+A1B+A2B）=P（A0B）+P（A1B）+P（A2B）=++=．所以第二次训练时恰好取到一个新球的概率为．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出概率是关键．18．（14分）三棱柱ABC﹣A1B1C1的直观图及三视图（主视图和俯视图是正方形，左侧图是等腰直角三角形）如图，D为AC的中点．（1）求证：AB1∥平面BDC1；（2）求证：A1C⊥平面BDC1；（3）求二面角A﹣BC1﹣D的正切值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：综合题．分析：由三视图可知，几何体为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，侧面B1C1CB为边长为2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AB=BC=2（1）证明AB1∥平面BDC1，证明OD∥AB1即可；（2）证明A1C⊥平面BDC1，利用线面垂直的判定，只需证明BD⊥A1C，B1C⊥A1C；（3）补成正方体，则∠O1OS为二面角的平面角，利用正切函数可得结论．解答：（1）证明：由三视图可知，几何体为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，侧面B1C1CB为边长为2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AB=BC=2…（2分）连B1C交BC1于O，连接OD，在△CAB1中，O，D分别是B1C，AC的中点，∴OD∥AB1，而AB1⊄平面BDC1，OD⊂平面BDC1，∴AB1∥平面BDC1；…..（4分）（2）证明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴AA1⊥BD，∵AB=BC=2，D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面AA1C1C，∴BD⊥A1C①…..（6分）又A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，∴A1B1⊥平面B1C1CB∴A1B1⊥B1C，在正方形B1C1CB中，BC1⊥B1C，∵B1C，A1B1⊂平面A1B1C，B1C∩A1B1⊂=B1，∴B1C⊥平面A1B1C，∴B1C⊥A1C②…..（8分）由①②，又BD∩BC1=B，BD，BC1⊂平面BDC1，∴A1C⊥平面BDC1； (9)（3）解：如图补成正方体，则∠O1OS为二面角的平面角，∵O1O=2，O1S=，∴tan∠O1OS= (14)点评：本题考查线面平行的判定，及线面垂直的判定，考查面面角，解题的关键是掌握线面平行的判定，及线面垂直的判定定理．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和S n=，且a1=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=lna n，是否存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．考点：等比关系的确定；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）直接利用a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）求解数列的通项公式即可（注意要验证n=1时通项是否成立）．（2）先利用（1）的结论求出数列{b n}的通项，再求出b k b k+2的表达式，利用基本不等式得出不存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．解答：解：（1）当n≥2时，，（2分）即（n≥2）．（4分）所以数列是首项为的常数列．（5分）所以，即a n=n（n∈N*）．所以数列{a n}的通项公式为a n=n（n∈N*）．（7分）（2）假设存在k（k≥2，m，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列，则b k b k+2=b k+12．（8分）因为b n=lna n=lnn（n≥2），所以．（13分）这与b k b k+2=b k+12矛盾．故不存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．（14分）点评：本题考查了已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式，根据a n和S n的关系：a n=S n ﹣S n﹣1（n≥2）求解数列的通项公式．另外，须注意公式成立的前提是n≥2，所以要验证n=1时通项是否成立，若成立则：a n=S n﹣S n﹣1（n≥1）；若不成立，则通项公式为分段函数．20．（14分）已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x2+y2=1上．（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）过点F的直线交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知，求证：λ1+λ2为定值．（Ⅲ）直线l交椭圆C2于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P′、Q′，，若点S满足：，证明：点S在椭圆C2上．考点：圆锥曲线的综合；向量在几何中的应用．专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由C1：y2=2px（p＞0）焦点F（，0）在圆O：x2+y2=1上，可求p的值；同理由椭圆的上、下焦点（0，c），（0，﹣c）及左、右顶点（﹣a，0），（a，0）均在圆O：x2+y2=1上可解得椭圆C2的方程；（Ⅱ）设直线AB的方程与抛物线联立，消元，利用韦达定理，结合，从而可求λ1、λ2的值，即可得证；（Ⅲ）设P，Q的坐标，利用，确定S的坐标，利用及P，Q在椭圆上，即可证得结论．解答：（Ⅰ）解：由C1：y2=2px（p＞0）的焦点F（，0）在圆O：x2+y2=1上，得：，解得p=2，∴抛物线C1：y2=4x；由椭圆C2：的上、下焦点（0，c），（0，﹣c）及左、右顶点（﹣a，0），（a，0）均在圆O：x2+y2=1上，可得：a2=1，c2=1，∴a=c=1，则b==，∴椭圆C2：；（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），则N（0，﹣k），直线与抛物线联立，消元可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x1+x2=，x1x2=1，∵，∴λ1（1﹣x1）=x1，λ2（1﹣x2）=x2，∴，，∴λ1+λ2==﹣1为定值；（Ⅲ）证明：设P（x3，y3），Q（x4，y4），则P′（x3，0），Q′（x4，0），∵，∴S（x3+x4，y3+y4），∵，∴2x3x4+y3y4=﹣1 ①，∵P，Q在椭圆上，∴②，③，由①+②+③得（x3+x4）2+=1．∴点S在椭圆C2上．点评：本题考查了抛物线与椭圆的方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是设点的坐标，然后联立方程，利用向量知识求解，是压轴题．21．（14分）已知函数，过点P（1，0）作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M，N．（1）当t=2时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n，在区间内，总存在m+1个数a1，a2，…，a m，a m+1，使得不等式g（a1）+g（a2）+…+g（a m）＜g（a m+1）成立，求m的最大值．考点：函数的单调性及单调区间．专题：综合题；压轴题．分析：解此题的第一个突破点是第一（1）用导数的符号为正求单调区间，（2）求过切点的切线方程，找出两切点关系，再利用两点间的距离公式求解即可，（3）利用函数的单调性转化为恒成立问题．解答：解：（1）当，解得x＞，或x＜﹣．∵x＞0∴函数f（x）有单调递增区间为（2）设M、N两点的横坐标分别为x1、x2，∵，∴切线PM的方程为：．又∵切线PM过点P（1，0），∴有．即x12+2tx1﹣t=0．（1）同理，由切线PN也过点（1，0），得x22+2tx2﹣t=0．（2）由（1）、（2），可得x1，x2是方程x2+2tx﹣t=0的两根，∴=把（*）式代入，得，因此，函数g（t）的表达式为g（t）=（t＞0）（3）易知g（t）在区间上为增函数，∴g（2）≤g（a i）（i=1，2，m+1）．则m•g（2）≤g（a1）+g（a2）+…+g（a m）．∵g（a1）+g（a2）++g（a m）＜g（a m+1）对一切正整数n成立，∴不等式m•g（2）＜g（n+）对一切的正整数n恒成立，即m＜对一切的正整数n恒成立∵，∴．∴．由于m为正整数，∴m≤6．又当m=6时，存在a1=a2═a m=2，a m+1=16，对所有的n满足条件．因此，m的最大值为6．点评：本题第一问比较基础，二三问比较复杂，考切线问题，和数列问题，又渗透了恒成立思想，此题比较新，虽是压轴题但并不像以往压轴题的思路，有突破有创新，值得做．。