【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第15章 选考部分 矩阵与变换教学案 苏教版选修4

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二阶矩阵与平面列向量的乘法考纲下载：1。

掌握行矩阵与列矩阵的乘法规则;2.用求二阶矩阵与平面列向量相乘的结果.一、【知识回顾】1。

12⨯行矩阵与12⨯列向量的乘法：2。

变换：3。

二阶矩阵与平面列向量的乘法：二、【自学检测】1。

计算(1)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡121111 ； =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡13412３ .2. 已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡111210y x ，试求⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 。

3. 向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α 在矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0121对应的变换下,求向量α M 。

三、【应用举例】探究1计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x探究2（1）已知变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡2341''y x M y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ,试将它写成坐标变换的形式;（2）已知变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y y x y x y x 3'',试将它写成矩阵乘法的形式；探究3若点A 12⎫⎪⎪⎭在矩阵cos sinsin cosαααα-⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的点为（0，1），求α四、【检测反思】1、计算:123103103013 ,,, 244014014104-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦2、已知变换11232x x yxy x yy+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦,试将它写成矩阵的乘法形式3、求点A（3，6）在矩阵11331133⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的点4、如图，△ABO中，顶点坐标分别是A（4，2）,B（2，4），O（0，0）计算并画图感受矩阵11 11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,把这三个顶点变到了何处？。

反射变换与旋转变换一、【知识回顾】1.反射变换的有关概念2.常用的几种反射变换矩阵3．旋转变换的概念二、【自学检测】1.关于x 轴的反射变换的坐标公式为T ：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y →⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝ ，对应的二阶矩阵为 ；2. 关于y 轴的反射变换的坐标公式为T ：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y →⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝ ，对应的二阶矩阵为 ；3.旋转变换的坐标变换公式为T ：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y →⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝ ，对应的二阶矩阵为 .4.已知直线ＡＢ过（２,１），（－２，－２）两点,求:(1) 直线AB 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1010对应变换下的方程；(2) 直线AB 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1010对应变换下的方程.（3）已知A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩形ABCD绕原点逆时针旋转900后所得到的图形，并求出其顶点坐标.三、【应用举例】探究1求直线y=4x在矩阵1⎡⎢⎣1⎤⎥⎦作用下变换所得的图形.探究2求曲线(x≥0)在矩阵1⎡⎢⎣1⎤⎥-⎦作用下变换所得的图形.探究3若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos αsin α －sin αcos α对应变换作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M ． .四、【检测反思】1. 将图形变换为关于x 轴对称的图形的变换矩阵为 . 将图形变换为关于y 轴对称的图形的变换矩阵为 . 将图形变换为关于原点对称的图形的变换矩阵为 .2.求△ABC 在矩阵M=10-⎡⎢⎣ 01⎤⎥⎦作用下变换得到的图形, 其中A(1 , 1) , B(4 , 2) , C(3 , 0) .3.求出曲线y=1x (x>0)在矩阵M=10-⎡⎢⎣ 01⎤⎥-⎦作用下变换得到的曲线.4.求曲线y=lgx(x>0), 在矩阵M=1⎡⎢⎣1⎤⎥⎦作用下变换得到的曲线.5.求曲线经M1=1⎡⎢⎣1⎤⎥-⎦和M2=1⎡⎢⎣1⎤⎥⎦作用下变换得到的曲线.。

矩阵的概念考纲下载：1.掌握矩阵相关概念，会判断矩阵是否相等.2.会用矩阵的方法处理一些实际问题。

一、【知识回顾】1.矩阵的概念2.矩阵的记法3.2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵表示的意义4.相等矩阵5.零矩阵：6.行矩阵，列矩阵：二、【自学检测】1.设O (0, 0)，P (2, 3)，则向量OP →(2, 3)，将OP →的坐标排成一列，用矩阵表示为： .2.某电视台举办歌唱比赛，甲乙两名选手初、复赛成绩如下表， 初赛 复赛用矩阵表示为 .3.设M 是一个22⨯矩阵，且规定其元素,2,1,2,1,32==-=j i j i a ij 试求M.三、【合作探究】探究1用矩阵表示下图中的ABC ∆，其中A(-1,0),B(0,2),C(2,0)探究2某种水果的产地为21,A A ,销地为21,B B ，请用矩阵表示产地i A 运到销地j B 水果数量)(ij a ，其中,2,1,2,1==j i探究3已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=243xA ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21z yB ，若A=B ，试求z y x ,,四、【检测反思】1、将方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=3524302y x z x x 中未知数z y x ,,的系数写成矩阵形式。

2、已知200,0202x y x A B y x y +⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦，若A=B ，求x ，y3、已知平面上一个正方形的四个顶点用矩阵表示为0002a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a ，b ，c ， d 及正方形的面积.。

选考4-2最新考纲1. 二阶矩阵与平面向量了解矩阵的有关概念，掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法.2. 几种常见的平面变换理解矩阵对应的变换，把平面上的直线变成直线，即A(λ1α+λ2β)＝λ1A α+λ2A β.理解几种常见的平面变换：恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换；了解单位矩阵.3. 矩阵的复合与矩阵的乘法掌握二阶矩阵的乘法，理解矩阵乘法的简单性质（不满足交换律、满足结合律、不满足消去律）.4. 逆变换与逆矩阵理解逆矩阵的意义，掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件.理解逆矩阵的唯一性和()111AB B A ---=等简单性质，并了解其在变换中的意义.会从几何变换的角度求出AB 的逆矩阵.了解二阶行列式的定义,会用二阶行列式求逆矩阵.了解用变换与映射的观点解二元线性方程组的意义.会用系数矩阵的逆矩阵解二元线性方程组.理解二元线性方程组解的存在性、唯一性.5. 特征值与特征向量掌握二阶矩阵特征值与特征向量的意义.会求二阶矩阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）.会用二阶矩阵的特征值、特征向量解决简单的问题.了解三阶或高阶矩阵.了解矩阵的简单应用.基础热身1. 矩阵的相关概念(1) 矩阵定义：在数学中，我们把形如2809023,,38688324m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦这样的 阵列称为矩阵.同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的 ，同一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做矩阵的 ，而组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的 .（2）上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前.（3）矩阵相等：行数、列数分别 ,对应的元素也分别 的两个矩阵，此时记作A=B.（4）行矩阵：［a 11,a 12］（仅有一行），列矩阵：1121a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（仅有一列）. （5）向量a=(x,y)，平面上的点P(x,y)都可以看成行矩阵［x,y ］或列矩阵x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，规定所有的平面向量均写成向量xy 的形式.(6)重点在于对矩阵概念的理解，二阶矩阵与平面列向量的乘法运算.明确一个二阶矩阵和一个平面向量的乘法对应着一个变换，它把平面上的一个向量变成另一个向量.2. 二阶矩阵与平面向量的乘法（1）定义：规定行矩阵[]1112a a 与列矩阵1121b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的乘法规则为[]11111221b a a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦= ，二阶矩阵11122122a a a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦与列向量00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的乘法规则为0111202122x a a y a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦= . （2）由矩阵M 确定的变换T 通常记作M T ，要求能够熟练地进行矩阵的乘法形式与坐标形式之间的转换，并能从几何的角度理解这种变换.3. 二阶矩阵与线性变换（1）一些常见的基本的变换矩阵，如：101020101010,,,,,1010101010102⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦cos sin 01010110011001111110,,,,,,,,,,sin sin 10101010011001000111θθθθ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦等，理解这些变换的几何意义.（2）二阶矩阵对于平面向量所实施的变换，都是，即有M （λ1α+λ2β）=λ1M α+λ2M β，这样，我们在研究多边形以及直线在矩阵的变换作用下所形成的图形时，只须考虑端（顶）点的变化结果即可，这也是后面运用特征值与特征向量求解问题的依据.（3）伸压、反射、切变变换这三种几何变换称为 ，对应的变换矩阵称为 .4. 变换的复合、矩阵的乘法以及矩阵乘法的简单性质（1）数乘平面向量：由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或的 复合.（2）矩阵的乘法：一般地，对于矩阵1112111221222122,a a b b a a b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，规定乘法法则为 111211121111212111121222212221222111222121122222a a b b a b a b a b a b a a b b a b a b a b a b ⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦. (3)性质：设A 、B 、C 为三个不相等的非零矩阵，则①AB ≠BA （即矩阵不满足交换律）.②A （BC ）=（AB ）C （即矩阵满足结合律）.③若AB=AC ，但B ≠C （即矩阵不满足消去律）.5. 二阶行列式与逆矩阵、逆矩阵与二元一次方程组（1）逆矩阵的定义：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB=BA= ，则称A 是可逆的，B 称为A 的 .逆矩阵是唯一的.（2）性质：①若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且()1AB -= . ②已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB=AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则 .（3）行列式定义：我们把a b c d称为 ，它的运算结果是一个 ，记为det(A)=a b ad bc c d=-. 6. 特征值与特征向量（1）定义：设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个 向量a ，使Aa=λa ，那么 称为A 的一个特征值，而a 称为A 的属于特征值λ的一个 .（2）特征多项式：设A=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是一个二阶矩阵，λ∈R,我们把行列式f(λ)=a b c d λλ--⎡⎤⎢⎥--⎣⎦= 称为A 的特征多项式. 基础达标1. 111⎡⎡⎤⎥⎦= .2. 点M （1，3）在矩阵1001⎡⎤⎢⎥-⎣⎦作用下变换得到点M 1，点M 1在矩阵1001-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦作用下变换得到点M 2，则M 2的坐标是 .3. 曲线y=2log x 在M=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用下变换的结果是曲线方程 . 4. 已知方程AX=B ，其中A=1223⎡⎤⎢⎥⎣⎦,B=21⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则X= . 5. 已知向量α1=13⎡⎤⎢⎥⎣⎦,α2=11-⎡⎤⎢⎥⎣⎦,α=24⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，若α=m α1+n α2，则m,n 的值分别为 .互动学案典例分析【例1】（1）已知变换'11'10x x x y y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，试将它写成坐标变换的形式； （2）已知变换''x x x y y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，试将它写成矩阵乘法的形式. 分析 对矩阵变换的基础知识，首先要理解二阶矩阵与平面向量的乘法对应着平面向量之间的变换，并掌握这种变换的坐标形式与矩阵乘法的形式.解 （1）T ：''x x x y y y x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. （2）T ：'10'01x x x x y y y y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤→==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 举一反三1. 向量α=34⎡⎤⎢⎥-⎣⎦在矩阵1221-⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用下变换得到的向量是 . 【例2】计算下列各式，并从变换角度说明其几何意义.（1）105012⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦；（2）015102⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦; （3）115012-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 分析 运用二阶矩阵与平面向量的乘法法则进行计算，通过比较变换前后的点的坐标说明其几何意义.解 （1）10550122⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，显然变换前后点的横坐标不变，纵坐标相反，这是关于x轴对称的反射变换.（2）01521025⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，变换前后点的横、纵坐标交换，这是关于直线y=x对称的反射变换.（3）()1153151201220512-⎡⨯+-⨯⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯+⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，此变换保持点的纵坐标不变，横坐标按纵坐标的一倍减少，这是沿x轴负方向的切变变换. 举一反三2. 直线y=-3x在矩阵M=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用下变换得到的图形是 .【例3】按要求解方程组3523x yx y-=⎧⎨+=-⎩.（1）用行列式求解；（2）用逆矩阵求解.分析用行列式求解二元一次方程组，就是求相应的D,D x,D y，而运用矩阵解方程组，首先要把方程组改写为AX=B的形式，再由X=1BA-求解.解 (1)因为D=3112-=3×2-(-1)×1=7，D x=5132--=5×2-(-1)×(-3)=7,D y=3513-=3×(-3)-5×1=-14，所以7171427xyDxDDyD⎧===⎪⎪⎨-⎪===-⎪⎩，即12xy=⎧⎨=-⎩,即原方程组的解为12 xy=⎧⎨=-⎩.（2）设A=3112-⎡⎤⎢⎥⎣⎦,X=xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦,B=53⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，则方程组可以表示为AX=B的形式，因为1A -=21771377⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，所以X =1A -B =2157713377⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=()()21531771325377⎡⎤⨯+⨯-⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎛⎫⎢⎥⎣⎦-⨯+⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则原方程组的解为12x y =⎧⎨=-⎩.举一反三3. 利用逆矩阵解下列方程组.(1)2343x y x y +=⎧⎨-=⎩；（2）38233x y x y +=⎧⎨-=⎩.【例4】求下列矩阵的特征值和特征向量.（1）0110-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦；（2）1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦. 分析 常规方法应是根据矩阵写出特征多项式f(λ)，由f(λ)=0求出特征值，代入方程A α=λα求出相应的特征向量，但若矩阵变换有明显的几何意义，则可根据变换特点写出特征值与特征向量.解 （1）从变换的几何意义来看，矩阵0110-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦的作用是关于直线y=-x 的反射变换，因此，与直线y=-x 平行的向量保持变换前后的大小与方向都不变，有特征值λ1=1及相应的特征向量（1，-1）；又与直线y=-x 垂直的向量保持变换前后大小不变而方向相反，故有特征值λ2=-1及相应的特征向量（1，1）.（2）特征多项式f(λ)=1214λλ---=2λ-5λ+6.由f（λ）=0，解得λ1=2，λ2=3.当λ1=2时()()212022401x y xx y y--=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨+-==⎪⎩⎩；λ2=3时，()()312013401x y xx y y--=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨+-==⎪⎩⎩.综上所述，矩阵1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦有特征值λ1=2及相应的特征向量（2，1）；特征值λ2=3及相应的特征向量（1，1）. 举一反三4. 设矩阵A=122xx-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为-1，则x的值是 .【例5】为了保证信息安全传输，设计一种密码系统，其加密、解密原理如下图：现在加密方式为：把发送的数字信息X写为“a11a21a12a22”的形式，先左乘矩阵A=14 22⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，再左乘矩阵B=625514855⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，得到密文Y，现在已知接收方得到的密文是4,12,32,64，试破解该密码.分析加密的过程经过了两次矩阵变换，可以先运用矩阵的乘法求出其变换的复合，再求其逆矩阵破解密码.解由题意，BA=621424 551482268 55⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦,()1 B A-=1123144⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦,（BA）X=4321264⎡⎤⎢⎥⎣⎦，X=()11143213220212643112640844B A-⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.即发送的数据信息是2008.举一反三5. 当兔子和狐狸处于同一栖息地时，若忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，两个种群的变化有如下规律：①由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%；②由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍；③第n年时，兔子数量用R n表示，狐狸数量用F n表示；④初始时刻（即第0年），兔子数量有R0=100只，狐狸数量有F0=30只.请用所学知识解决如下问题：（1）列出兔子与狐狸的生态模型；（2）求出R n、F n关于n的关系式；（3）讨论：当n越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由.易错警示【例1】求AB的逆矩阵,其中A=2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B=1004⎡⎤⎢⎥⎣⎦.错解 ()1111110002211001044B A B A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 错解分析 运用公式()111B B A A ---=求出AB 的逆矩阵，而“错解”中错将公式记忆成()111B A B A ---=.正解 ∵110201A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，110104B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦， ∴()1111101002211001044B B A A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 【例2】求矩阵5242⎡⎤⎢⎥-⎣⎦的特征值和特征向量. 错解 特征多项式f(λ)=5242λλ---+=2λ-3λ+2. 由f(λ)=0，解得λ1=1，λ2=2.错解分析 行列式的运算公式运用错误导致特征值求错.常规方法应是根据矩阵写出特征多项式f(λ)，由f(λ)=0求出特征值，代入方程A α=λα求出相应的特征向量.正解 特征多项式f(λ)= 5242λλ---+=2λ-3λ-18. 由f(λ)=0,解得λ1=6,λ2=-3.当λ1=6时，()()6520246201x y x x y y --=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨-++==⎪⎩⎩； 当λ2=-3时，()()3520143204x y x x y y ---=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨-+-+==-⎪⎩⎩. 综上所述，矩阵5242⎡⎤⎢⎥-⎣⎦有特征值λ1=6及相应的特征向量(2,1)；特征值λ2=-3及相应的特征向量（1，-4）.考点演练1. 向量α=24⎡⎤⎢⎥-⎣⎦在矩阵1221⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用下变换得到的向量是 .2. 如果矩阵1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦把点A 变成点B （3，1），则点A 的坐标是 . 3. 计算103025-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦= ; 1132211522⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦= .4. 已知点P(x,y)在矩阵M 的作用下变换为点P ′(-y,-x)，则矩阵M = .5. 若23x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=x,则x= . 6. 若曲线2x +4xy+22y =1在矩阵11a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的作用下变换成曲线2x -22y =1，则a+b= . 7. 已知矩阵M =0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦,N =1001⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，则()1MN -= .8. 若N 42323121-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，则N = . 9. 已知二阶矩阵A 有特征值λ1=3及对应特征向量α1=11⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 特征值λ2=-1及对应特征向量α2=11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,则矩阵A = .10. 已知A =0324⎡⎤⎢⎥⎣⎦,B =1203-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,若AX=B ，则X = . 11. 研究函数y=2sinx 在矩阵M =10103⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下的结果.12. 已知矩阵M =3212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，α=93⎡⎤⎢⎥⎣⎦,β=39⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求5M α, 5M β.参 考 答 案选考4-2基础梳理1. (1) 矩形数字（或字母） 行 列 元素（3）相等 相等2. （1）［a 11×b 11+a 12×b 21］111200212200a a a a y x y x ⎡⎤⨯+⨯⎢⎥⎢⎥⨯+⨯⎣⎦ 3. （2）线性变换 (3)初等变换 初等变换 矩阵4. （1）多次5. （1）E 逆矩阵(2)11B A -- B=C （3）二阶行列式数值6. （1）非零 λ 特征向量 （2）2λ-(a+d)λ+ad-bc基础达标1. 2-⎡⎤⎢⎣ 解析：(11121111⎡⎡⨯+-⎡⎤⎡⎤⎢==⎢⎢⎥⎥⎣+⎦⎣⎦. 2. （-1，3） 解析：10111011,01330133-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 3. y=2x 解析：由T M ：0110x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即T M :''x x y y y x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，显然T M 实施的是关于直线y=x 的对称变换，曲线y=2log x 关于直线y=x 对称的方程是y=2x .4. 43-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 解析：由AX=B 得X =1A -B .因为A =1223⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以1A -=3221-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ ，即X =1A -B =32242113--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 5. 12-，52- 解析：由α=m α1+n α2得1223452m m n m n n ⎧⎧=-⎪⎪-=⎪⎪⎨⎨+=-⎪⎪=-⎪⎪⎩⎩，解得举一反三1. 112⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 解析:()()()13241231123142142⨯+-⨯-⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯+⨯--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 2. y=13-x 解析：由0110x y y x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦知T M ：''x x y y y x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即有''''x y x y y x y x ⎧==⎧⇒⎨⎨==⎩⎩,所以x ′=-3y ′, 即y ′=13-x ′. 3. （1）设A =1241⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，X =x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B =33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则方程组可表示为AX=B , 又112994199A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，则X =1123199413199A B -⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 即原方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩.（2）设A =3123⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,X =y x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,B =83⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则方程组可表示为AX=B ， 又1311111231111A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 则X =1312781111112337111111A B -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 即原方程组的解为2711711x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 4. 1± 解析：矩阵A 的特征多项式为f(λ)=2λ-(x+2-x)λ+x(2-x)+2=0，所以f(-1)=1+2+x(2-x)+2=0，整理得2x -2x-5=0，解得x=15. （1）11111.10.150.10.85n n n n n n R R F F R F ----=-⎧⎪⎨=+⎪⎩(n ≥1).（2）设αn =n n R F ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,M =1.10.150.10.85-⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ∴αn =M αn-1=M(M αn-2)=…=n M α0.又矩阵M 的特征多项式f(λ)= 1.10.150.10.85λλ---=2λ-1.95λ+0.95=(λ-1)(λ-0.95). 令f(λ)=0,得λ1=1,λ2=0.95.特征值λ1=1对应的一个特征向量α1=32⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 特征值λ2=0.95对应的一个特征向量为α2=11⎡⎤⎢⎥⎣⎦,且α0=10031701103021⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=70α1-110α2，∴αn =n M α0=701n λα1-1102n λα2=3170110210.95n ⎡⎤⎡⎤-⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=2101101401100.950.95n n ⎡⎤-⨯⎢⎥⎢⎥-⨯⎣⎦,∴2101101401100.950.95n n n nR F ⎧=-⨯⎪⎨=-⨯⎪⎩. (3)当n 越来越大时，0.95n 越来越接近于0，R n ,F n 分别趋向于常量210，140.即随着时间的增加，兔子与狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子与狐狸的数量将达到一个稳定的平衡状态.考点演练1. 60-⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：()()1224122622142140⨯+⨯-⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯+⨯--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 2. （2，1） 解析：设A （x,y ），则有113011x x y y y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以3211x y x y y ⎧+==⎧⇒⎨⎨==⎩⎩. 3. 310-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：()()13051033032502510⨯-+⨯⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯-+⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦；()()111135312222115111352222⎡⎤⎡⎤⨯-+⨯⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⨯-+⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.4. 0110-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ 解析：设M =11122122a a a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由题意得M x y y x -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,即11122122a a x y a a y x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即11111212212221220110a a x a y y a a x a y x a a ⎧=⎧⎪⎪+=-=-⎪⎪⇒⎨⎨+=-=-⎪⎪⎪⎪=⎩⎩. M =0110-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦5. -2或3 解析：23x x =2x -6.由2x -6=x,得2x -x-6=0，解得x=-2或x=3.6. 2 解析:由11a x x ay b y bx y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，知''x x ayy bx y =+⎧⎨=+⎩.∵()()2221''x y -=，∴()()2221x ay bx y -=++，即()()()2222122221a b xy y b x a -+---=，比较系数得()2212122224a b b a ⎧-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，所以a+b=2.7. 0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：由矩阵变换的几何意义不难得出10110M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,11001N -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦, ()111100*********MN N M ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 8. 972542⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦解析：4231⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵是112322⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，N =1917322221352422⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥-⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 9. 1221⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 解析：设A =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则有11311a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 1111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦,即有31a b a b +=⎧⎨-=-⎩，及31c d c d +=⎧⎨-=⎩，解得a=1,b=2,c=2,d=1，所以A =1221⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 10. 21361233⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦解析：∵12132103A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， ∴X =12121123236103120333B A -⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 11. 任取函数y=2sinx 图象上一点P(x 0,y 0)，它在矩阵10103⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为P ′()00,''y x ，则有000010103''x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即0000'1'3x x y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦, 故0000'3'x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩.因为点P(x 0 y 0)在函数y=2sinx 的图象上，所以y 0=2sinx 0,即有002s i n 3''y x =，即002sin 3''y x =,所以函数y=2sinx 在矩阵M =10103⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦作用下变为函数y=23sinx. 12. 由f(λ)=3212λλ----=2λ-5λ+4=0,解得λ1=1，λ2=4，代入特征方程组求出相应的的特征向量分别为α1=11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,α2=21⎡⎤⎢⎥⎣⎦.由α=m α1+n α2，解得m=1,n=4；由β=h α1+k α2,解得h=-5,k=4.所以5M α=13551211281931411409512142⎡⎤+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦; 5Mβ=()13551251281875411410152142⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.。

课时作业69 坐标系与参数方程1．已知直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，它与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)相交于A ，B 两点，求AB 的长．2．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．3．(2012苏北四市二模)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的左焦点与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝－4＋2t (t 为参数)垂直的直线的参数方程．4．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，设直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3t ＋2，y ＝4t(t 为参数)．判断直线l 和曲线C 的位置关系．5.在极坐标系中，极点为O .曲线C ：ρ＝5，过点A (3,0)作两条互相垂直的直线与C 分别交于点P ，Q 和M ，N .(1)当|PQ ||MN |＋|MN ||PQ |＝2时，求直线PQ 的极坐标方程；(2)求|PQ ||MN |＋|MN ||PQ |的最大值．6．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝sin θ1－sin 2θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，M 点坐标为(0,2)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)线段MA ，MB 长度分别记|MA |，|MB |，求|MA |·|MB |的值．参考答案1．解：极坐标直线方程θ＝π4(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝x .参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4.所以圆心(1,2)到直线y ＝x 的距离d ＝|1－2|2＝22.所以|AB |＝24－12＝14，即AB 的长为14.2．解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1， 解得a ＝－8，或a ＝2. 故a 的值为－8或2.3．解：椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的普通方程为x 225＋y 29＝1，左焦点为(－4,0)，直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝－4＋2t(t 为参数)的普通方程为2x －y －6＝0，所以所求直线方程为y ＝－12(x ＋4)，即x ＋2y ＋4＝0.4．解：曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ，由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，可得曲线C的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.将直线l 的参数方程化为直角坐标方程得4x ＋3y －8＝0.又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0,1)，半径r ＝1，则圆心C 到直线l 的距离为|3×1－8|42＋32＝1＝r ， ∴直线l 与圆C 相切．5．解：(1)因为|PQ ||MN |＋|MN ||PQ |≥2|PQ ||MN |·|MN ||PQ |＝2， 故|MN |＝|PQ |.所以直线PQ 的倾斜角为45°或135°，即直线PQ 的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ＝3，或ρcos θ－ρsin θ＝3. (2)因为8≤|MN |≤10,8≤|PQ |≤10， 故810≤|PQ ||MN |≤108. 又函数f (x )＝x ＋1x在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增， 所以|PQ ||MN |＋|MN ||PQ |≤108＋810＝4120，当PQ 为极轴所在的直线，MN 为过点A 且垂直于极轴的直线时，等号成立．因此|PQ ||MN |＋|MN ||PQ |的最大值为4120.6．解：(1)直线l 的普通方程为3x －y ＋2＝0.∵ρcos 2θ＝sin θ，∴ρ2cos 2θ＝ρsin θ.∴曲线C 的直角坐标方程为y ＝x 2.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝2＋32t代入y ＝x 2得t 2－23t －8＝0，由参数t 的几何意义知|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝8.。

—————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————反射变换与旋转变换一、【知识回顾】1.反射变换的有关概念2. 常用的几种反射变换矩阵3．旋转变换的概念二、【自学检测】1.关于x 轴的反射变换的坐标公式为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝ ，对应的二阶矩阵为 ；2. 关于y 轴的反射变换的坐标公式为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝ ，对应的二阶矩阵为 ；3.旋转变换的坐标变换公式为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝ ，对应的二阶矩阵为 .4.已知直线ＡＢ过（２,１），（－２，－２）两点,求:(1) 直线AB 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1010对应变换下的方程；(2) 直线AB 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1010对应变换下的方程.（3）已知A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩形ABCD 绕原点逆时针旋转900后所得到的图形，并求出其顶点坐标.三、【应用举例】探究1求直线y=4x 在矩阵01⎡⎢⎣ 10⎤⎥⎦作用下变换所得的图形.探究2求曲线≥0)在矩阵10⎡⎢⎣01⎤⎥-⎦作用下变换所得的图形.探究3若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤cos αsin α －sin αcos α对应变换作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M ．.四、【检测反思】1. 将图形变换为关于x 轴对称的图形的变换矩阵为 . 将图形变换为关于y 轴对称的图形的变换矩阵为 . 将图形变换为关于原点对称的图形的变换矩阵为 .2.求△ABC 在矩阵M=10-⎡⎢⎣ 01⎤⎥⎦作用下变换得到的图形, 其中A(1 , 1) , B(4 , 2) , C(3 , 0) .3.求出曲线y=1x(x>0)在矩阵M=1-⎡⎢⎣1⎤⎥-⎦作用下变换得到的曲线.4.求曲线y=lgx(x>0), 在矩阵M=1⎡⎢⎣1⎤⎥⎦作用下变换得到的曲线.5.求曲线经M1=1⎡⎢⎣1⎤⎥-⎦和M2=1⎡⎢⎣1⎤⎥⎦作用下变换得到的曲线.。

《志鸿优化设计》2022年高考数学（苏教版）一轮复习题库：第15章选考部分4－1几何证明选讲练习1．如图，已知梯形ABCD为圆内接四边形，AD∥BC，过C作该圆的切线，交AD的延长线于E，求证：△ABC∽△EDC.2．(2021江苏苏北四市期末)如图，∠PAQ是直角，圆O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B，C.求证：BT平分∠OBA.3．如图，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过点C作圆O的切线l，过点A作l的垂线AD，D为垂足，且AD与圆O交于点E，求∠DAC的度数及线段AE的长．4．如图，已知⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为M，P是CD延长线上一点，PE切⊙O于点E，连结BE交CD于点F，证明：(1)∠BFM＝∠PEF；(2)PF2＝PD·PC.5．如图，已知AD是∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC.[来源:1ZXXK](1)求证：FB＝FC；(2)求证：FB2＝FA·FD；(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求A D的长．参考答案1．证明：因为CE 为圆的切线，因此∠DCE ＝∠DAC.因为AD ∥BC ，因此∠DAC ＝∠BCA.因此∠DCE ＝∠BCA.因为梯形ABCD 为圆内接四边形，因此∠EDC ＝∠ABC.因此△ABC ∽△EDC.2．证明：连结OT.因为AT 是切线，因此OT ⊥AP.又因为∠PAD 是直角，即AQ ⊥AP ，因此AB ∥OT ，因此∠TBA ＝∠BTO.又OT ＝OB ，因此∠OTB ＝∠OBT ，因此∠OTB ＝∠TBA ，即BT 平分∠OBA.[来源:1ZXXK]3．解：连结OC ，因BC ＝OB ＝OC ＝3，因此∠CBO ＝60°，由于∠DCA ＝∠CBO ，因此∠DCA ＝60°.又AD ⊥DC ，故∠DAC ＝30°.又因为∠ACB ＝90°，得∠CAB ＝30°，那么∠EAB ＝60°，连结BE ，则∠ABE ＝30°，因此AE ＝12AB ＝3.4．证明：(1)连结OE ，∵PE 切⊙O 于点E ，∴OE ⊥PE.∴∠PEF ＋∠FEO ＝90°.又∵AB ⊥CD ，∴∠B ＋∠BFM ＝90°.又∵∠B ＝∠FEO ，[来源:1ZXXK]∴∠BFM ＝∠PEF.(2)∵∠EFP ＝∠BFM ，∴∠EFP ＝∠PEF.∴PE ＝PF. 又∵PE2＝PD ·PC ，[来源:1]∴PF2＝PD ·PC.5．(1)证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠DAC.∵四边形AFBC 内接于圆， ∴∠DAC ＝∠FBC.[来源:1]∵∠EAD ＝∠FAB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB.∴FB ＝FC.(2)证明：∵∠FAB ＝∠FCB ＝∠FBC ，∠AFB ＝∠BFD ，∴△FBA ∽△FDB.∴FB FD ＝FA FB .∴FB2＝FA ·FD.(3)解：∵AB 是圆的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠EAC ＝120°，∴∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠BAC ＝60°.∴∠D ＝30°.∵BC ＝6，∴AC ＝2 3.∴AD ＝2AC ＝43(cm)．。

14.2 矩阵与变换解答题1. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的变换下得到曲线F ，求F 的方程．解析 设P (x ，y )是椭圆4x 2＋y 2＝1上的任意一点，点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2y ＝y ′.又因为点P (x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝1上， 所以4(x ′2)2＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.故曲线F 的方程为x 2＋y 2＝1.【点评】 线性变换是基本变换，解这类问题关键是由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 得到点P ′(x ′，y ′)与点P (x ，y )的坐标关系．2．已知在一个二阶矩阵M 对应变换的作用下，点A (1,2)变成了点A ′(7,10)，点B (2,0)变成了点B ′(2,4)，求矩阵M . 解析 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤710，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝7，c ＋2d ＝10，2a ＝2，2c ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，c ＝2，d ＝4.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1324.3．求圆C ：x 2＋y 2＝4在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001的变换作用下的曲线方程．解析 设P ′(x ′，y ′)是圆C ：x 2＋y 2＝4上的任一点，设P (x ，y )是P ′(x ′，y ′)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1对应变换作用下新曲线上的对应点， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ′ y ′， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2，y ′＝y .将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2，y ′＝y代入x 2＋y 2＝4，得x 24＋y 2＝4，故方程为x 216＋y 24＝1.4．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b4对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0，求实数a ，b 的值．解析 在直线l ：x ＋y ＋2＝0上取两点A (－2,0)，B (0，－2)．A 、B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A ′、B ′.因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －2 －2b ，所以点A ′的坐标为(－2，－2b )； ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a －8，所以点B ′的坐标为(－2a ，－8)． 由题意，点A ′、B ′在直线m ：x －y －4＝0上，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2－－2b －4＝0，－2a －－8－4＝0.解得a ＝2，b ＝3.5．求曲线C ：xy ＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 1对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程． 解析 设P (x 0，y 0)为曲线C ：xy ＝1上的任意一点，它在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－1 1对应的变换作用下得到点Q (x ，y ) 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－11⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＝x ，－x 0＋y 0＝y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －y2，y 0＝x ＋y2.因为P (x 0，y 0)在曲线C ：xy ＝1上，所以x 0y 0＝1. 所以x －y 2×x ＋y2＝1，即x 2－y 2＝4.所以所求曲线C 1的方程为x 2－y 2＝4. 6. 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属 于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α．求矩阵A 的逆矩阵． 解析 由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡11＝6⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，即6=+d c ； 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α可得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23， 即223-=-d c ，解得⎩⎨⎧==,4,2d c 即A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡4233，A 逆矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2131-21-32. 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2，0)，C (－2,1)，设k 为非零实数，M＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值．解析 由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 10.由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －2，可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)． 计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，则由题设知|k |＝2×1＝2. 所以k 的值为－2或2.8．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.在平面直角坐标系中，设直线2x －y ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线F ，求曲线F 的方程．解析 由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，设(x ，y )是直线2x －y ＋1＝0上任意一点，点(x ，y )在矩阵MN 对应的变换作用下变为(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x －y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝－y ′.因为点(x ，y )在直线2x －y ＋1＝0上，从而2x ′－(－y ′)＋1＝0，即2x ′＋y ′＋1＝0， 所以曲线F 的方程为2x ＋y ＋1＝0.。

江苏省2014届一轮复习数学试题选编37：矩阵与变换 填空题 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））设矩阵的逆矩阵为,a+b+c+d=_________________. 【答案】0 解答题 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）(选修4—2:矩阵与变换) 已知矩阵的一个特征值为,其对应的一个特征向量为,已知,求.【答案】 ．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）B 选修4 - 2:矩阵与变换若矩阵有特征值,,它们所对应的特征向量分别为和,求矩阵. 【答案】选修4 - 2:矩阵与变换解.设,由 得,即,, 所以 ．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题 ）B.选修4-2:(矩阵与变换)已知二阶矩阵M有特征值=3及对应的一个特征向量,并且矩阵M对应的变换将点(-1,2)变换成(9,15),求矩阵M. 【答案】B.选修4-2:(矩阵与变换)设,则,故 ,故 联立以上两方程组解得,故=．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）选修4-2:矩阵与变换 已知,若矩阵所对应的变换把直线:变换为自身,求.【答案】对于直线上任意一点,在矩阵对应的变换作用下变换成点,则,因为,所以, 所以解得所以, 所以 ．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）选修4-2:矩阵与变换设曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为,求矩阵M的逆矩阵.【答案】【解】设曲线上任一点在矩阵对应的变换下的像是,由,得因为在圆上,所以,化简可得 依题意可得,或而由可得 故, ．（2010年高考（江苏））矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中,A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k≠0,k∈R,M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1,B1,C1,△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍,求实数k的值 【答案】，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（，-2）。