广东省高考数学一轮复习：18 三角函数的图象与性质

三角函数的图像与性质先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

5．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。

6．对称轴与对称中心：sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈；cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+；对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；8．求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。

9．五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图： 五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

二．典例分析考点一：三角函数的定义域与值域典题导入(1)(2013·湛江调研)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．(2)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ． B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54(1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z (2)C若本例(2)中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，试求其值域．解：令t ＝sin x ，则t ∈．∴y ＝t 2＋t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－54.∴y ∈．∴函数的值域为．由题悟法1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法： (1)利用sin x 、cos x 的值域；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2))．以题试法1． (1)函数y ＝2＋log 12x ＋tan x 的定义域为________．(2)(2012·山西考前适应性训练)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3解析：(1)要使函数有意义则⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x ≥0，x >0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4，k π≤x <k π＋π2k ∈Z .利用数轴可得 函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <π2，或π≤x ≤4.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 答案：(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <π2，或π≤x ≤4 (2)B考点二：三角函数的单调性典题导入(2012·华南师大附中模拟)已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，求：(1)函数的周期；(2)求函数在上的单调递减区间．由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 可化为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)周期T ＝2πω＝2π2＝π.(2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以x ∈R 时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .从而x ∈时， y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0.由题悟法求三角函数的单调区间时应注意以下几点：(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx ＋φ看作是一个整体，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )求得函数的增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )求得函数的减区间．(2)形如y ＝A sin(－ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数，可先利用诱导公式把x 的系数变为正数，得到y ＝－A sin(ωx －φ)，由－π2＋2k π≤ωx －φ≤π2＋2k π(k ∈Z )得到函数的减区间，由π2＋2k π≤ωx －φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )得到函数的增区间．(3)对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)等，函数的单调区间求法与y ＝A sin(ωx ＋φ)类似．以题试法2．(1)函数y ＝|tan x |的增区间为________．(2)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，则a ，b ，c的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：(1)作出y ＝|tan x |的图象，观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z . (2)f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，而c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin2π3＝2sin π3＝f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7， 所以c <a <b .答案：(1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z (2)B考点三：三角函数的周期性与奇偶性典题导入(2012·广州调研)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x ∈R )，给出下面四个命题：①函数f (x )的最小正周期为π；②函数f (x )是偶函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称；④函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，则其最小正周期为π，故①正确；易知函数f (x )是偶函数，②正确；由f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，③错误；由f (x )的图象易知函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，故④正确．综上可知，选C.C由题悟法1．三角函数的奇偶性的判断技巧首先要对函数的解析式进行恒等变换，再根据定义、诱导公式去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．2．求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义；(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|； (3)利用图象． 3．三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．以题试法3．(1)(2013·青岛模拟)下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2(2)(2012·遵义模拟)若函数f (x )＝sin ax ＋cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0B ．(0,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0 解析：(1)选A 对于选项A ，注意到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 的周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数．(2)选C 由条件得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π4，又函数的最小正周期为1，故2πa ＝1，∴a＝2π，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π4.将x ＝－18代入得函数值为0.板书设计 三角函数的图像与性质1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间3．函数Bx A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 4．对称轴与对称中心 5．五点法作图教学三角函数的图像与性质是三角函数的重点知识之一，复习时，要让学生熟练记忆三角函数的图。

《三角函数的图像与性质》专题一、相关知识点1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图像五个关键点：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． 余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图像五个关键点：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 4．奇偶性相关结论(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则①f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z)；②f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z)．(2)若f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，则①f (x )为奇函数的充要条件：φ＝k π＋π2，k ∈Z ；②f (x )为偶函数的充要条件：φ＝k π，k ∈Z.题型一 三角函数的定义域1．函数y ＝log 2(sin x )的定义域为________．2．函数y ＝2sin x －3的定义域为( )A ．⎣⎡⎦⎤π3，2π3B ．⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋2π3(k ∈Z) C ．⎝⎛⎭⎫2k π＋π3，2k π＋2π3(k ∈Z) D ．⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋2π3(k ∈Z)3．y ＝2sin x －2的定义域为________________________．4．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈Z C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π8，k ∈Z D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π4，k ∈Z5．x ∈[0,2π]，y ＝tan x ＋－cos x 的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2B.⎝⎛⎦⎤π2，πC.⎣⎡⎭⎫π，3π2D.⎝⎛⎦⎤3π2，2π题型二 三角函数的值域(最值)三角函数值域的不同求法(1)利用sin x 和cos x 的值域直接求(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域(3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域 (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域1．函数f (x )＝4－2cos 13x 的最小值是________，取得最小值时，x 的取值集合为________．2．函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________．3．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( )A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为44．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A ．⎣⎡⎦⎤－32，32 B ．⎣⎡⎦⎤－32，3 C ．⎣⎡⎦⎤－332，332 D ．⎣⎡⎦⎤－332，35．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎝⎛⎭⎫－π6，π6的值域为________．6．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－3B ．0C ．－1D ．－1－ 37．已知f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，若对任意实数x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4，都有|f (x )|<m ，则实数m 的取值范围是________．8．函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________．9．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos π2－x 的最大值为10．函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的值域为_______11．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________．12．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，且x ≠0的值域为________．题型三 三角函数的单调性类型一 求三角函数的单调区间 1．f (x )＝|tan x |；2．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的递增区间是________．4．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎣⎡⎦⎤3π8＋2k π，7π8＋2k π(k ∈Z)B.⎣⎡⎦⎤－π8＋2k π，3π8＋2k π(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z) 5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的减区间为________．6．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为________．7．函数 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6在x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调性递增区间为 ； 递减区间为8．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，x ∈[－2π，2π]的递增区间是( )A ．⎣⎡⎦⎤－2π，－5π3 B ．⎣⎡⎦⎤－2π，－5π3和⎣⎡⎦⎤π3，2π C ．⎣⎡⎦⎤－5π3，π3 D ．⎣⎡⎦⎤π3，2π9．已知函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈[－π，0]，则f (x )的单调递增区间是________．10．若锐角φ满足sin φ－cos φ＝22，则函数f (x )＝sin 2(x ＋φ)的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π－5π12，2k π＋π12(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤2k π＋π12，2k π＋7π12(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z)11．比较大小：sin ⎝⎛⎭⎫－π18________sin ⎝⎛⎭⎫－π10.12．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．13．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.讨论函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的单调性并求出其值域．类型二 已知单调性求参数值或范围 已知单调区间求参数范围的3种方法 1．函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于2．若f (x )＝cos 2x ＋a cos ( π2＋x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．3．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的一个递减区间为⎣⎡⎦⎤π8，5π8，则ω＝________.4．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数，则ω的取值范围是 ．5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)，若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π，3π2上为减函数，则实数ω的取值范围是________．6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω＝________.7．若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝________.8．若函数f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是________．题型四 三角函数的周期性三角函数周期的求解方法1．已知函数f (x )＝cos ⎝⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________. 2．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3的最小正周期为________ 3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为________ 4．函数 ＋ 的最小正周期为______.5．在函数：①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③6．函数f (x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为________题型五 三角函数的奇偶性与三角函数奇偶性相关的结论：三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．常见的结论有：(1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)．(2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)．(3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)． 1．函数y ＝1－2sin 2( x －3π4)是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数2．若函数 是偶函数，则 等于______ 3．若函数是偶函数，则 ________．4．若 是定义在 上的偶函数，其中，则 _____5．将函数 向右平移个单位，得到一个偶函数的图象，则 最小值为__6．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.7．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( ) A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3题型五 三角函数的对称性(1) 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)函数的图象对称轴或对称中心时，都是把“ωx ＋φ”看作一个整体，然后根据三角函数图象的对称轴或对称中心列方程进行求解． (2) 在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，g (x )＝A cos(ωx ＋φ)，x ＝x 0是对称轴方程⇔f (x 0)＝±A ，g (x 0)＝±A ； (x 0,0)是对称中心⇔f (x 0)＝0，g (x 0)＝0.(3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴为x ＝k πω－φω＋π2ω，对称中心为⎝⎛⎭⎫k πω－φω，0；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴为x ＝k πω－φω，对称中心为⎝⎛⎭⎫k πω－φω＋π2ω，0；函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2ω－φω，0.上述k ∈Z 1．下列函数的最小正周期为π且图像关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π32．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( ) A ．(－π，0) B.⎝⎛⎭⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎫3π2，0 D.⎝⎛⎭⎫π2，03．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－cos 2x 的图象的一条对称轴的方程可以是( ) A ．x ＝－π6 B ．x ＝11π12 C ．x ＝－2π3 D ．x ＝7π123．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)( －π2<φ<π2 )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为4．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f ( π6＋x )＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0 D ．－2或05．函数f (x )＝sin x －cos x 的图像( )A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于直线x ＝－π4对称C ．关于直线x ＝π2对称D ．关于直线x ＝－π2对称6．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π27．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－13在区间(0，π)内的所有零点之和为( )A.π6B.π3C.7π6D.4π38．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称C ．关于直线x ＝π6对称 D ．关于直线x ＝π3对称9．(理科)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( )A ．1 B.π2C ．2D ．π10．(理科)设函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，其图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内，且f (x )的最小正周期大于π，则ω的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫12，1 B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[1,2)题型六 三角函数的性质综合运用1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增的奇函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x2．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上为减函数的是( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝2|cos x |C ．y ＝cos x 2D ．y ＝tan(－x )3．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2π B ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减4．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列说法不正确的是( )A ．g (x )的最小正周期为πB ．g ⎝⎛⎭⎫π6＝32C ．x ＝π6是g (x )图象的一条对称轴 D ．g (x )为奇函数5．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为( )A ．－12 B.12 C.716 D.326．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )图像的对称轴方程；(2)求f (x )的递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．7．已知函数f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称中心；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．8．已知函数f (x )＝a ( 2cos 2x 2＋sin x )＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．9．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin 2x －cos 2x ＋ 2. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若存在x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π3满足[f (x )]2－22f (x )－m ＞0，求实数m 的取值范围．。

年级高三学科数学内容标题三角函数的图象与性质编稿老师胡居化一、学习目标：1.能画出三角函数（正弦、余弦、正切）的函数图像.2.通过图像理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.3.理解函数)sin(ϕω+=xAy的图像性质及其图像的变换.4.能利用三角函数的图像解决简单的实际问题.二、重点、难点：重点：（1）掌握三角函数（y=sinx，y=cosx，y=tanx）的图像性质及其简单的应用.（2）理解函数)sin(ϕω+=xAy的图像及其性质.难点：三角函数图像的应用三、考点分析：从新课标高考命题的内容来看：对三角函数的图像与性质这部分知识点进行考查时的题型有选择、填空和中等难度的大题，都以考查基础知识为主.因此第一轮复习的重点是掌握三角函数的基础知识，并能灵活运用基础知识解决问题.三角函数的图像与性质⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧ϕ+ω=→=ϕ+ω=⎪⎩⎪⎨⎧===的图像变换的图像与性质的图像与性质的图像与性质的图像与性质像与性质基本初等三角函数的图)xsin(Ayxsiny)xsin(Aytanxycosxyxsiny知识要点解析：一、三角函数的图像与性质：函数y=sinx y=cosx y=tanx图像定义域 R R 2ππ+≠k x值域 [－1，1][－1，1]R周期性 π2π2π奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性增区间： ［]22,22ππππ+-k k 减区间：]232,22[ππππ++k k 增区间：]2,2[πππk k -减区间：])1(2,2[ππ+k k在开区间：)2,2(ππππ+-k k上是增函数.对称性对称轴方程：直线2ππ+=k x对称中心坐标：)0,(πk对称轴方程： 直线πk x = 对称中心坐标：)0,2(ππ+k对称中心坐标：)0,21(πk 注意：（1）正弦、余弦函数的图像用“五点法”作图，选择（0，0），（)0,2(),1,23(),0,(),1,2ππππ-这五个点可作出草图.（2）三角函数线的概念.二、函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质（)0,0>>A ω1. 图像：利用“五点法”作函数)sin(ϕω+=x A y 的图像.令ππππϕω2,23,,2,0=+x ，然后列表、描点、连线.2. 性质：（1）定义域：),(+∞-∞（2）值域：],[A A -，（当A k x -=-=+min y 22时，ππϕω；当A k x =+=+max y 22时，ππϕω）（3）周期性：ωπ2=T（4）奇偶性：)sin(ϕω+=x A y 是奇函数)Z k (k ∈π=ϕ⇔)sin(ϕω+=x A y 是偶函数)Z k (2k ∈π+π=ϕ⇔ （5）单调性：在区间]22,22[ωϕππωϕππ-+--k k 上递增，在区间]232,22[ωϕππωϕππ-+-+k k 上递减.（6）对称性：对称轴方程：)0,2ωϕπωϕππ--+=k k x ，对称中心（三、函数)sin(ϕω+=x A y +k 的图像变换变换I ：振幅变换→周期变换→相位变换（1）y=sinx 图像的横坐标不变，纵坐标伸长（A>1）或缩短（0<A<1）为原来的A 倍得到y=Asinx 的图像.（2）y=Asinx 图像的纵坐标不变，横坐标伸长（10<ω<）或缩短（1>ω）为原来的ω1倍得到x sin A y ω=的图像. x A y ωsin 3=）（的图像向左平移)0(||)0(<ϕωϕ>ϕωϕ或向右平移个单位得)sin(ϕω+=x A y 的图像.|k |)0k ()0k )x sin(A y 4平移或向下的图像向上（）（<>ϕ+ω=个单位得到k x A y ++=)sin(ϕω的图像.变换II ：振幅变换→相位变换→周期变换（1）y=sinx 图像的横坐标不变，纵坐标伸长（A>1）或缩短（0<A<1）为原来的A 倍得到y=Asinx 的图像.（2）x A y sin =的图像向左平移)0(||)0(<ϕϕ>ϕϕ或向右平移个单位得)sin(ϕ+=x A y 的图像.（3）y=Asin （x+ϕ）图像的纵坐标不变，横坐标伸长（10<ω<）或缩短（1>ω）为原来的ω1倍得到)x sin(A y ϕ+ω=的图像.（4）|k |)0k ()0k )x sin(A y 平移或向下图像向上（<>ϕ+ω=个单位得到k x A y ++=)sin(ϕω的图像.注意上述两种变换的区别.知识点一：函数x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图像与性质例1. 基础题 1. 函数y=x cos 21-的定义域是_____________. 2. 不等式x x cos sin ≥的解集是____________. 3. 函数)4tan(π+=x y 的递增区间是____________. 4. 函数2sin 1sin -+=x x y 的值域是____________.思路分析：1. 由0cos 21≥-x 结合三角函数线或余弦函数图像求x 的取值范围. 2. 利用正、余弦函数图像或三角函数线求不等式的解集. 3. 根据正切函数y=tanx 的递增区间求函数)4tan(π+=x y 的递增区间.4. 用y 表示sinx ，再利用1|sin |≤x 求y 的取值范围.或用分离常数法求解. 解题过程：1. 由已知得：0cos 21≥-x 21cos ≤⇒x ， 由三角函数线知：角x 的取值范围是如图所示的阴影区域. 故函数的定义域是)Z k ](35k 2,3k 2[∈π+ππ+π.2. 在同一坐标系中画出函数y=sinx 与y=cosx 的图像. 由图知：使x x cos sin ≥成立的x 的取值范围（解集）是：)z k ](45k 2,4k 2[∈π+ππ+π3. 设t=t y x tan ,4=+则π，由函数t y tan =的递增区间是)Z k (2k ,2k (∈π+ππ-π）， 故),Z k (4k x 43k )Z k (2k 4x 2k ∈π+π<<π-π⇒∈π+π<π+<π-π 即函数)4tan(π+=x y 的递增区间是)Z k )(4k ,43k (∈π+ππ-π. 4. 由已知得：1y y21x sin y 21x sin )1y (1x sin 2)sinx y -+=⇒+=-⇒+=-（ （)1≠y ，22)1()21(1|121|1|sin |-≤+⇒≤-+⇒≤y y y yx 整理得：02022≤≤-⇒≤+y y y ，即函数的值域是［－2，0］另解：2sin 1sin -+=x x y =2sin 312sin 3)2(sin -+=-+-x x x ，令11sin ≤≤-⇒=t t x231-+=∴t y ，显然y 是t 的减函数，故02≤≤-y ，即函数的值域是［－2，0］用这种方法求解时要注意函数的定义域.如求1sin 2sin --=x x y 的值域，采用分离常数法时要注意：1sin 1<≤-x ，此时1sin 11--=x y ，因1sin 1<≤-x ，故23≥y .若不考虑定义域会误认为：1sin 1≤≤-x 从而得出错误的结果.解题后的思考：利用基本三角函数的性质求函数的值域或求函数的单调区间或求令简单的三角不等式成立的x 的取值范围等问题是高考常见题型，且几乎都是客观题.我们除要掌握基础知识外，还要掌握一些常用的数学思想方法.要做到触类旁通，如求)0ab ,.0mn (nx cos m xcos b a y ≠≠++=的值域问题其实与本例第4题的做法一样.例2. 中等题1. 函数ωππ->ωω=上单调递增，则在区间]32,32[)0(x sin 2)x (f 的最大值是______.2. 函数xxy sin 2cos 1-+=的最大值是M ，最小值是N ，则M+N=_________________.3. 已知函数412sin 21)(),3cos()3cos()(-=-+=x x g x x x f ππ（1）求函数f （x ）的最小正周期.（2）求函数)()()(x g x f x h -=的最大值、单调区间、对称轴方程及取得最大值时x 的取值集合. 思路分析：1. 利用正弦函数递增区间是]4,4[T T -，则可由]4,4[]32,32[TT -⊆-ππ建立ω的不等关系式.2. 求函数xxy sin 2cos 1-+=的值域，可利用)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a 求解.3. （1）化简f （x ）的函数式，用正弦或余弦表示.再利用T=的系数x π2求出周期.（2）先确定h （x ）的函数解析式，然后再求其最值、单调区间、对称轴方程等. 解题过程：1. 由于f （x ）在区间]4,4[TT -上递增（如图）， ]4,4[]32,32[T T -⊆-∴ππ，43,433242324T max =ω≤ω⇒π≥ωπ⇒π≥∴.2. 由xxy sin 2cos 1-+=得：x x y y x x y cos 1sin 2cos 1)sin 2(+=-⇒+=-，12)sin(112cos sin 2-=++⇒-=+∴y x y y x x y ϕ（)1tan y=ϕ，1|112|1|)sin(|,112)sin(22≤+-⇒≤++-=+∴yy x yy x ϕϕ，两边平方，整理得：34,0,340043max min 2==≤≤⇒≤-y y y y y 故， 34=+∴N M . 3. （1）由x x x x x x x f 22sin 43cos 41)sin 23cos 21)(sin 23cos 21()(-=+-= =412cos 21)2cos 1(83)2cos 1(81-=--+x x x . 故函数f （x ）的最小正周期是ππ==22T . （2）)42cos(222sin 212cos 21412sin 21412cos 21)(π+=-=+--=x x x x x x h ，由),Z k (8k x 85k k 24x 2k 2∈π-π≤≤π-π⇒π≤π+≤π-π 由),Z k (83k x 8k k 24x 2k 2∈π+π≤≤π-π⇒π+π≤π+≤π 故函数h （x ）的增区间是]83,8[]8,85[ππππππππ+---k k k k ，减区间是， 最大值是22，此时对应的x 的值是),Z k (8k x k 24x 2∈π-π=⇒π=π+故x 的取值集合是}8|{ππ-=k x x ，对称轴方程：)Z k (8k 21x k 4x 2∈π-π=⇒π=π+. 解题后的思考：对于求形如xn m xb a y cos sin ++=)0mn ,0ab (≠≠的值域问题，及求复杂函数的周期单调时区间、等问题常采用以下变换：)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a .因此这个变换很重要，实质是正、余弦的和（差）角公式的应用.例3. 创新与应用已知向量3)()sin ,cos 2(),sin 32,(sin -⋅===x f x x x x ，定义， （1）求函数的值域)(x f 及对称轴方程. （2）若函数)20)(x (f y π<θ<θ+=为偶函数，求θ的值. 思路分析：（1）由向量的坐标运算，先确定f （x ）的解析式，再确定值域和对称轴方程.（2）由函数)sin(ϕω+=x A y 是偶函数)Z k (2k ∈π+π=ϕ⇔及x 的取值范围确定θ的值.解题过程：（1）3sin 32cos sin 2)(2-+=x x x x f＝)32sin(22cos 32sin 322cos 1322sin π-=-=--⋅+x x x x x 故函数f （x ）的值域是［－2，2］，对称轴方程是),Z k (2k 3x 2∈π+π=π-即Z k ,125k 21x ∈π+π= （2）)]32(2sin[2)(πθθ-+=+x x f ，Z k ,125k 212k 32)x (f ∈π+π=θ⇒π+π=π-θ⇔θ+是偶函数 ，又125,20π=θ∴π<θ<.解题后的思考：三角函数与平面向量的结合一直是新课标高考命题的重要题型.以向量为载体具体考查三角函数的恒等变换及三角函数的图像与性质.我们应该关注这种题型.知识点二：函数)0,0A )(x sin(A y >ω>ϕ+ω=的图像与性质例4. 基础题1. 函数y=sin2x 的图像向左平移4π个单位，再向上平移1个单位所得函数的解析式是________.2. 已知函数)0)(4x cos()x (f >ωπ+ω=的最小正周期是π，将y=f （x ）的图像向左平移||ϕ个单位，所得图像关于原点成中心对称，则||ϕ=_______________.3. 函数)32sin(2π+=x y 在［0，]π上的单调递增区间是______________.思路分析：1. 函数y=sin2x 向左平移4π个单位是：x 2cos )4x (2sin y =π+=.2. 由已知得ω=2，故]4|)|x (2cos[y ||)4x 2cos()x (f π+ϕ+=ϕ→π+=得：向左平移由平移后的函数图像关于原点对称求|ϕ|的值.3. 由正弦函数y=sinx 的增区间得：223222πππππ+≤+≤-k x k ，求出x 的取值区间，再赋予k 的整数值，从而求出符合条件的单调区间. 解题过程：1. 函数y=sin2x 向左平移4π个单位后得：)4x (2sin y π+=，再向上平移1个单位后得：)4x (2sin y π+=x x 2cos 22cos 11=+=+ 2. 由已知得：ω=2，故→π+=)4x 2cos()x (f 向左平移||ϕ得：]4|)|x (2cos[y π+ϕ+=,2k 4||2,4||2x 2cos y π+π=π+ϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛π+ϕ+=称，故此函数图像关于原点对 Z k ,8k 21||∈π+π=ϕ∴. 3. 由已知得：223222πππππ+≤+≤-k x k ⇒Z k ,12k x 125k ∈π+π≤≤π-π ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡π==π∈，，，单调递增区间是时满足条件，即所求的故1271201k ,0k ],,0[x .解题后的思考：对函数图像的平移不仅要注意平移的单位，更要注意平移的方向即：x 轴方向上的平移是“左加右减”，y 轴方向上的平移是“上加下减”，对函数y=)0(,0A ),x cos(A >ω>ϕ+ω的奇偶性的讨论应注意：y=)0,0A (),x cos(A >ω>ϕ+ω是奇函数的充要条件是：)Z k (k ,2k ∈π=ϕπ+π=ϕ是偶函数的充要条件是.例5. 中等题1. 已知函数ωϕ+ω=)(x sin(A )x (f >0，A>0，)2||πϕ<的图像如图，求函数f （x ）的解析式.2. 已知函数x x x x f 2cos 2cos sin 321)(++-=； （1）当x ]2,0[π∈时，求函数的值域.（2）求图像上距原点最近的对称中心坐标.（3）若角βα,的终边不共线，且)tan(),()(βαβα+=求f f .思路分析：1. 根据函数图像，求出A=3，ωπππ⇒=+=46124T 的值，由当x=6π-时，y=0得出ϕ的范围从而求ϕ的值.2. （1）化简函数式为)62sin(2)(π+=x x f ，然后求其值域.（2）由ππk x =+62确定图像上距原点最近的对称中心坐标.（3）由角βα,的终边不共线，且)tan(),(f )(f β+αβ=α求的值.解题过程：1.由图像知：A=3，2,46124=∴=⇒=+=ωππππT T ， 又πϕπk 2)6(2=+-32||)Z k (,3k 2π=ϕ⇒π<ϕ∈π+π=ϕ⇒，故函数)x (f 的解析式为)32sin(3π+=x y .2. （1）)62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f ，当x ]2,0[π∈时，1)62sin(21≤+≤-πx ，2)(1≤≤-∴x f .（2）由ππk x =+6212k 21x π-π=⇒)Z k (∈， 即图像上距原点最近的对称中心坐标是)0,12(π-.（3）由已知得：)62sin(2)62sin(2πβπα+=+，又βα,不共线得：Z k ,3k )Z k (k 2)62()62(∈π+π=β+α⇒∈π+π=π+β+π+α，3)tan(=+∴βα解题后的思考：求解函数k x A y ++=)sin(ϕω的解析式问题时，关键是确定ϕω,,A k ,这四个量)0(>ω，根据函数的最值确定A ，k 的值，由函数的周期确定ω的值，较难确定的是ϕ的值.根据“五点法”作图原理知：在一个周期内，图像上升时与x 轴的第一个交点满足：0=+ϕωx ；第二个点是图像的最高点，满足：2πϕω=+x ；第三个点是图像下降时与x轴的交点，满足：ωπϕ=+x ；第四个点是图像的最低点，满足：23x π=ϕ+ω；第五个点满足：πϕω2=+x .由此确定ϕ的值（同时注意已知条件中的ϕ的取值范围）.例6. 实际应用已知某海滨浴场的海浪的高度y 米是时间t （0)24≤≤t （单位：时）的函数，记作：)(t f y =下表是某日各时浪高的数据： t （时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24y （米）1.51.01.51.01.510.50.991.5ω（1）求函数y=b t A +ωcos 的最小正周期T ，振幅A 及函数解析式.（2）依据规定：当海浪的高度高于1米时才可对冲浪爱好者开放，请根据（1）中的结论判断一天内的上午8：00到晚上20：00之间有多长时间可供冲浪爱好者进行运动？ 思路分析：由表中的数据可以得出：周期T=12，从而求出ω的值，再由表中的数据建立A ，b 的关系式，则可求出函数解析式.由y>1求出时间t 的取值范围，进而确定冲浪的时间. 解题过程：由表中的数据得：T=12，故ω=62ππ=T ，由t=0时，y=1.5得：A+b=1.5， 由t=3时，y=1.0得：b=1.0，21=∴A ，故函数解析式是16cos 21+=t y π，由)Z k (2k 2t 62k 20t 6cos 1y ∈π+π<π<π-π⇒>π>得：，24t 0,3k 12t 3k 12≤≤+<<-∴ ，令k=0，1，2得：24t 21,15t 9,3t 0≤<<<<≤或或，故一天内的上午8：00到晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪爱好者进行运动，即上午9：00到下午的15：00.解题后的思考：本题考查三角函数的实际应用，解题关键是提炼和归纳已知（或图表）中的信息，从而锻炼自己处理数据信息的能力.（答题时间：45分钟）一、选择题1. 函数y=)32sin(π+x 的一条对称轴是（ ）6.D 5.C 127.B 8.A ππππ 2. 将函数)3sin(π-=x y 图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图像向左平移3π个单位，得到函数g （x ）的图像，则g （x ）=（ ） )6x 2sin(y .D )6x 21sin(y .C )2x 21sin(y .B x 21sin y .A π-=π-=π-==3. 函数)2cos(),32sin(|,sin ||,|sin ππ--=+===x y x y x y x y 中，周期都是π的有（ ）个.A . 1B . 2C . 3D . 44. 函数)0)(x 2sin(y π≤ϕ≤ϕ+=是R 上的偶函数，则=ϕ（ ）πππ.D 2.C 4.B 0.A5. 函数)2sin()(ϕ+=x x f 的图像关于直线8π=x 对称，则ϕ的值可能是（ ）43.D 4.C 4.B 2.A ππ-ππ *6. 函数y=sinx －|sinx|的值域是（ ） A . ［－1，0］B . ［0，1］C . ［－1，1］D . ［－2，0］二、填空题*7. 函数xxy cos 2cos 2-+=的最大值是——————.8. 若函数)3tan(2)(π+=kx x f 的最小正周期为T ，且1<T<2，则自然数k 的值是______.*9. )10(x sin 2)x (f <ω<ω=在]3,0[π上的最大值是2，则________=ω.10. 函数)321sin(π--=x y 的单调递减区间是_________________.三、计算题*11. 已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛π<ϕ>ωϕ+ω=2||,0)x sin()x (f （1）若cosϕϕπϕπ，求0sin 43sincos 4=-的值. （2）在（1）的条件下，若函数f （x ）的图像的相邻两条对称轴之间的距离是3π，求函数f （x ）的解析式，并求最小正实数m 使得函数f （x ）的图像向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数.一、选择题1. B 解析：由)Z k (12k 21x 2k 3x 2∈π+π=⇒π+π=π+，当k=1时，127π=x . 2. C 解析：)621sin(]3)3(21sin[)321sin()3sin(πππππ-=-+=→-=→-=x x y x y x y . 3. C 解析：y=sin|x|不是周期函数，其余三个的周期都是π. 4. C 解析：由已知：20,2πϕππϕ==+=时，k k .5. B 解析：由已知：1)4sin(18f ±=+⇒±=ϕππ）（，结合选项知选B .6. D 解析：⎩⎨⎧<≥=)0x (sin x sin 2)0x (sin 0y 02≤≤-⇒y .二、填空题7. 3（解析：由031031|122|122cos cos 2cos 22≤+-⇒≤+-⇒+-=⇒-+=y y yy y y x x x y331≤≤∴y ）. 8. 2或3（解析：得：由21,<<=T k T π32k ,N k ,k 2或故=∈π<<π+）. 9.43（解析：由2)3()(,330]3,0[max ==∴<≤≤⇒∈ωππωπωπf x f x x ，即)43223sin=⇒=ωωπ.10. ]354,34[ππππ+-k k ，Z k ∈. （解析：由2232122πππππ+≤-≤-k x k 得：∈x ]354,34[ππππ+-k k ），Z k ∈）.三、计算题11. 解：（1）由cos0sin 4sin cos 4cos 0sin 43sincos 4=-=-ϕπϕπϕπϕπ得：， 4,2||04cos(πϕπϕϕπ=<=+∴故，）.（2）由已知得：)43sin()(,332T πωπ+=∴=⇒=x x f ， 函数f （x ）的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为：)]33(3sin[]4)(3sin[)(ππ++=++=m x m x x g ，由g （x ）是偶函数Z k ,123k m Z k ,2k 3m 3∈π+π=⇒∈π+π=π+⇔， ∴最小正实数12π=m .。

专题18 三角恒等变换【考点预测】知识点一．两角和与差的正余弦与正切 ①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；②cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；③tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=；知识点二．二倍角公式 ①sin22sin cos ααα=；②2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；③22tan tan 21tan ααα=-； 知识点三：降次（幂）公式2211cos 21cos 2sin cos sin 2;sin ;cos ;222ααααααα-+===知识点四：半角公式sin22αα== sin 1cos tan.21cos sin aαααα-==+知识点五．辅助角公式)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a （其中abb a a b a b =+=+=ϕϕϕtan cos sin 2222，，）． 【方法技巧与总结】 1．两角和与差正切公式变形)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±； 1)tan(tan tan )tan(tan tan 1tan tan ---=++-=⋅βαβαβαβαβα．2．降幂公式与升幂公式ααααααα2sin 21cos sin 22cos 1cos 22cos 1sin 22=+=-=；；； 2222)cos (sin 2sin 1)cos (sin 2sin 1sin 22cos 1cos 22cos 1αααααααααα-=-+=+=-=+；；；．3．其他常用变式αααααααααααααααααααsin cos 1cos 1sin 2tan tan 1tan 1cos sin sin cos 2cos tan 1tan 2cos sin cos sin 22sin 222222222-=+=+-=+-=+=+=；；．3. 拆分角问题：①=22αα⋅；=(+)ααββ-；②()αββα=--；③1[()()]2ααβαβ=++-； ④1[()()]2βαβαβ=+--；⑤()424πππαα+=--．注意 特殊的角也看成已知角，如()44ππαα=--．【题型归纳目录】题型一：两角和与差公式的证明 题型二：给式求值 题型三：给值求值 题型四：给值求角题型五：正切恒等式及求非特殊角 【典例例题】题型一：两角和与差公式的证明例1．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）(1)试证明差角的余弦公式()C αβ-：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+；(2)利用公式()C αβ-推导：①和角的余弦公式()C αβ+，正弦公式()S αβ+，正切公式()T αβ+； ②倍角公式(2)S α，(2)C α，(2)T α.【答案】（1）证明见解析；（2）①答案见解析；②答案见解析 【解析】 【分析】在单位圆里面证明()C αβ-，然后根据诱导公式即可证明()C αβ+和()S αβ+，利用正弦余弦和正切的关系即可证明()T αβ+；用正弦余弦正切的和角公式即可证明对应的二倍角公式.【详解】(1)不妨令2,k k απβ≠+∈Z . 如图，设单位圆与x 轴的正半轴相交于点1,0A ，以x 轴非负半轴为始边作角,,αβαβ-，它们的终边分别与单位圆相交于点()1cos ,sin P αα，()1cos ,sin A ββ，()()()cos ,sin P αβαβ--.连接11,A P AP .若把扇形OAP 绕着点O 旋转β角，则点,A P 分別与点11,A P 重合.根据圆的旋转对称性可知，AP 与11A P 重合，从而，AP ＝11A P ，∴11AP A P =. 根据两点间的距离公式，得：()()2222[cos 1]sin (cos cos )(sin sin )αβαβαβαβ--+-=-+-，化简得：()cos cos cos sin sin .αβαβαβ-=+ 当()2k k απβ=+∈Z 时，上式仍然成立.∴，对于任意角,αβ有：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+. (2)①公式()C αβ+的推导： ()()cos cos αβαβ⎡⎤+=--⎣⎦()()cos cos sin sin αβαβ=-+-cos cos sin sin αβαβ=-.公式()S αβ+的推导：()sin cos 2παβαβ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭cos 2παβ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 22ππαβαβ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin sin cos αβαβ=+正切公式()T αβ+的推导：()()()sin tan cos αβαβαβ++=+sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβ+=-tan tan 1tan tan αβαβ+=-②公式()2S α的推导：由①知，()sin2sin cos sin sin cos 2sin cos ααααααααα=+=+=. 公式()2C α的推导：由①知，()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-.公式()2T α的推导：由①知，()2tan tan 2tan tan2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==-⋅-.例2．（2022·云南·昭通市第一中学高三开学考试（文））已知以下四个式子的值都等于同一个常数 22sin 26cos 343sin 26cos34+-； 22sin 39cos 213sin 39cos 21+-；()()22sin 52cos 1123sin 52cos112-+--；22sin 30cos 303sin 30cos30+-.（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.（2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论. 【答案】（1）选第四个式子，14；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)选第四个式子，由1sin 30,cos302︒=︒=(2)由题意，设一个角为α，另一个角为60α︒-，应用两角差的余弦公式展开三角函数，由同角正余弦的平方和关系化简求值 【详解】（1）由第四个式子：221331sin 30cos 303sin 30cos304444+-=+-= （2）证明：()()22sin cos 603sin cos 60αααα+---2211sin cos cos 22αααααα⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222133sin cos cos sin cos sin 442αααααααα=++-14=【点睛】本题考查了三角函数，利用特殊角的函数值求三角函数式的值，应用两角差余弦公式展开三角函数式及同角的正余弦平方和关系化简求值，属于简单题例3．（2022·陕西省商丹高新学校模拟预测（理））如图带有坐标系的单位圆O 中，设AOx α∠=，BOx β∠=，AOB αβ∠=-，（1）利用单位圆､向量知识证明：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+（2）若π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4cos()5αβ-=-，5tan 12α=-，求cos β的值【答案】（1）证明见解析；（2）6365． 【解析】（1）根据向量的数量积公式即可证明；（2）根据角的范围分别求出正弦和余弦值，利用两角和的余弦公式计算得出答案． 【详解】（1）由题意知：||||1OA OB ==，且OA 与OB 的夹角为αβ-， 所以·11cos()cos()OA OB αβαβ=⨯⨯-=-， 又(cos ,sin )OA αα=，(cos ,sin )OB ββ=， 所以·cos cos sin sin OA OB αβαβ=+， 故cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+．（2）π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且5tan 12α=-，则512sin ,cos 1313αα==-；π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则,02πβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,αβπ∴-∈，4cos(),sin()553αβαβ-=--=，()()()1245363cos cos cos cos sin sin 13513565βααβααβααβ⎛⎫=--=-+-=-⨯-+⨯=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的定义，考查平面向量数量积的坐标运算，考查两角和与差的余弦公式，属于中档题．例4．（2022·全国·高三专题练习）如图，考虑点(1,0)A ，1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，(cos(),sin())P αβαβ++，从这个图出发.（1）推导公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-；（2）利用（1）的结果证明：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-，并计算sin 37.5cos37.5︒︒⋅的值.【答案】（1）推导见解析；（2【解析】 【分析】（1）根据图象可知2212AP PP =，再展开化简，得到两角和的余弦公式；（2）首先令ββ=-，求()cos αβ-，再代入所证明的公式；首先根据二倍角公式和诱导公式化简为11sin 37.5cos37.5sin 75cos1522⋅==，再根据两角差的余弦公式化简. 【详解】（1）因为12(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos(),sin())P P P ααββαβαβ-++， 根据图象，可得2212AP PP =，即2212||AP PP =， 即2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )αβαββαβα+-++=-++. 即cos()cos cos sin sin αββαβα+=-.（2）由（1）可得cos()cos cos sin sin αββαβα+=-， ① cos()cos cos sin sin αββαβα-=+ ②由①+②可得：2cos cos cos()cos()βααβαβ=++- 所以1cos cos [cos()cos()]2βααβαβ=++-，所以()111sin 37.5cos37.5sin 75cos15cos 4530222︒︒︒︒︒︒===-.()1cos 45cos30sin 45sin 302=+1122⎫==⎪⎪⎝⎭【点睛】本题考查两角和差余弦公式的证明，以及利用三角恒等变换求值，重点考查逻辑推理证明，公式的灵活应用，属于基础题型.【方法技巧与总结】推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路.题型二：给式求值例5．（2022·全国·高三专题练习）已知sin α=()cos αβ-=且304πα<<，304πβ<<，则sin β=（ ）A B C D 【答案】A 【解析】易知()()sin sin βααβ=--，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cos α和()sin αβ-，分别在()sin αβ-=和sin β，结合β的范围可确定最终结果.【详解】2sin α=<且304πα<<，04πα∴<<，5cos 7α∴==.又304πβ<<，344ππαβ∴-<-<，()sin αβ∴-==当()sin αβ-=()()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=--=---57==304πβ<<，sin 0β∴>，sin β∴=不合题意，舍去；当()sin αβ-=sin β=.综上所述：sin β=故选：A . 【点睛】易错点睛：本题中求解cos α时，易忽略sin α的值所确定的α的更小的范围，从而误认为cos α的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.例6．（2020·四川·乐山外国语学校高三期中（文））已知sin 15tan 2102α⎛⎫︒-=︒ ⎪⎝⎭，则()sin 60α︒+的值为（ ）A ．13B ．13-C ．23D ．23-【答案】A 【解析】根据题意得到sin 152α⎛⎫︒- ⎪⎝⎭进而得到26cos 1529α⎛⎫︒-= ⎪⎝⎭，()1cos 303α︒-=，从而有()()()sin 60sin 9030cos 30ααα⎡⎤︒+=︒-︒-=︒-⎣⎦.【详解】∵sin 15tan 2102α⎛⎫︒-=︒ ⎪⎝⎭，∴()sin 15tan 210tan 18030tan302α⎛⎫︒-=︒=︒+︒=︒= ⎪⎝⎭则226cos 151sin 15229αα⎛⎫⎛⎫︒-=-︒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221cos 30cos 15sin 15223ααα⎛⎫⎛⎫︒-=︒--︒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()sin 60sin 9030αα⎡⎤︒+=︒-︒-⎣⎦ ()1cos 303α=︒-=， 故选A. 【点睛】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题.例7．（2020·全国·高三专题练习）若7cos(2)38x π-=-，则sin()3x π+的值为（ ）.A ．14B ．78 C ．14±D ．78±【答案】C 【解析】 【分析】利用倍角公式以及诱导公式，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】∵27cos(2)cos[2()]2cos ()13668x x x πππ-=-=--=-， ∴1cos()64x π-=±，∵1sin()cos[()]cos()32364x x x ππππ+=-+=-=±，故选：C. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换解决给值求值问题，属基础题.（多选题）例8．（2022·全国·高三专题练习）设sin()sin 6πββ++=sin()3πβ-=（ ）AB ．12C ．12-D． 【答案】AC 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简已知条件，结合同角三角函数的基本关系式，求得sin 3πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】依题意sin()sin 6πββ++=sin()sin 3233ππππββ⎛⎫-++-+= ⎪⎝⎭1cos()sin )3233πππβββ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭1sin )233ππββ⎛⎫--= ⎪⎝⎭)sin 2cos()133ππββ⎛⎫-+-⎪⎝⎭，)1sin cos()3πβπβ⎛⎫-- ⎪-=22sin cos 133ππββ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)221sin 1sin 3πβπβ⎛⎫⎡⎤⎢⎥⎛⎫-+= ⎪⎝⎭-- ⎪⎦⎣，化简得(()(28sin 2sin 3033ππββ⎛⎫⎛⎫+----+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2，(24sin 2sin 033ππββ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2sin 12sin 033ππββ⎡⎤⎡⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣， 解得1sin 32πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭或sin 3πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭. 故选：AC例9．（2022·全国·模拟预测（文））已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos25β=，()4cos 5αβ+=，则cos α=___________.【解析】 【分析】 由,0,2，()4cos 5αβ+=，即可求得()sin αβ+，用二倍角公式即可求得sin β 和cos β ，用拼凑角思想可表示出()ααββ=+-，用三角恒等变换公式求解即可. 【详解】因为()4cos 5αβ+=，且,0,2，所以()3sin 5αβ+=.又因为23cos 212sin 5ββ=-=，解得sin β=则cos β==故()()()cos cos cos cos sin sin ααββαββαββ=+-=+++⎡⎤⎣⎦4355==. 例10．（2022·上海静安·模拟预测）已知sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为_____________．【答案】12##0.5 【解析】 【分析】由倍角公式以及诱导公式求解即可． 【详解】231cos 212sin 124442ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2cos 2sin 242ππααα⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 22α∴=故答案为：12例11．（2022·江苏泰州·模拟预测）若0θθ=时，()2sin2cos f θθθ=-取得最大值，则0sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【解析】 【分析】首先利用二倍角公式和辅助角公式，化简，再代入求值. 【详解】()()111sin 21cos2sin 2cos2222f θθθθθ=-+=--()112222θθθϕ⎫---⎪⎝⎭（其中cos ϕsin ϕ=， 当()f θ取最大值时，022πθϕ-=，∴022πθϕ=+0sin 2sin cos 2πθϕϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭0cos2cos sin 2πθϕϕ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭∴0sin 24πθ⎛⎛⎫+== ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭【方法技巧与总结】给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.题型三：给值求值例12．（2022·福建省福州第一中学三模）若3sin 5α=-，且3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan21tan2αα-=+（ ）A ．12 B ．12-C ．2D ．-2【答案】D 【解析】 【分析】由2222sin cos2tan222sin 2sincos22sin cos tan 1222ααααααααα===++，可解得tan 2α，即可求解 【详解】3sin 2sincos225ααα==-，故2222sincos2tan32225sin cos tan 1222αααααα==-++， 可解得1tan23α=-或tan 32α=-，又3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 32α=-，故1tan 221tan2αα-=-+， 故选：D例13．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知1sin 64x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．78-B ．78C．D【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，再根据2cos 212sin 36x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解即可.【详解】因为sin sin 66x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 64x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2217cos 2cos 212sin 1236648x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.例14．（2022·湖北·模拟预测）已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且1cos 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A． B．C ．12D【答案】D【解析】 【分析】由已知α的取值范围，求出4πα-的取值范围，再结合1cos 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭即可解得α的值，cos2α即可求解 【详解】 因为22ππα-<<，所以3444πππα-<-< 又1cos 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以43ππα-=-，所以12πα=-所以cos 2cos cos 66ππα⎛⎫=-==⎪⎝⎭故选：D例15．（2022·全国·模拟预测）已知1sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2325B ．2325-C D ． 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式化简，然后利用二倍角公式即得. 【详解】因为1sin cos cos 3665πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22123cos 2cos22cos 121366525πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B ．例16．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知()3sin 455α︒+=，45135α︒<<︒，则cos2=α（ ）A ．2425B ．2425-C ．725D ．725-【答案】B 【解析】 【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出()cos 45α︒+，再利用二倍角公式及诱导公式计算可得； 【详解】解：因为45135α︒<<︒，所以9045180α︒<+︒<︒，又()3sin 455α︒+=，所以()4cos 455α︒+==-，所以()()()3424sin 2452sin 45cos 4525525ααα⎛⎫︒+=︒+︒+=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭。

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第四节三角函数的图象与性质☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1．能画出ｙ=sin x,y=ｃosｘ，y＝ｔan x 的图象,了解三角函数的周期性;２.理解正弦函数、余弦函数在区间［0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间错误!内的单调性。

201６,天津卷,1５,13分(三角函数的周期性、单调性)２016，山东卷,７，5分（三角函数的周期性)20１6,浙江卷，3,5分(三角函数的图象）２015，全国卷Ⅰ,8,5分（三角函数的图象与单调性)以考查基本三角函数的图象和性质为主,是高考的重点内容,题目涉及三角函数的图象、单调性、周期性、最值、零点、对称性。

微知识小题练自|主|排|查1.“五点法”作图原理在确定正弦函数y＝ｓin x在［0,2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是（0，０）、错误!、(π，0)、错误!、（2π,0)。

２．三角函数的图象和性质函数性质y＝siｎx y＝cosｘy=tanｘ定义域错误!错误!{x|x≠kπ+＼ｆ(π,２) (k∈Z）}图象值域[-1，1]［-１,1］R对称性对称轴:x=kπ＋错误!(k∈Z）;对称中心：(kπ，0)（k∈Ｚ）对称轴:x=kπ(k∈Z);对称中心：错误!(k∈Z)对称中心:错误!(k∈Z）周期2π2ππ单调性单调增区间2kπ－错误!,２kπ＋错误!(ｋ∈Z)；单调减区间2kπ+＼f（π，２）,2ｋπ+3π2(k∈Z）单调增区间[２kπ-π，2kπ]（k∈Ｚ)；单调减区间[２kπ，2kπ+π］（ｋ∈Z）单调增区间错误!(ｋ∈Z)奇偶性奇函数偶函数奇函数微点提醒1.判断函数周期不能以特殊代一般，只有x取定义域内的每一个值时，都有f（ｘ+T)=f(ｘ),Ｔ才是函数f(x）的一个周期。

某某省东北师X大学附属中学2015届高考数学一轮复习三角函数的图象及性质教案理知识梳理：(阅读教材必修4第30页—第72页)1、三角函数的图象及性质函数正弦函数余弦函数正切函数图象定义域值域单调性奇偶性周期性对称中心对称轴2、周期函数：对于函数如果存在一个非零常数T，使得当x取定义内的每一个值时，都有=，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做函数的周期；最小正周期：对于周期函数，如果在它的所有周期中，存在一个最小正数，那么这个最小的正数就叫做函数的最小正周期，常把最小正周期叫做函数的周期。

3、三角函数的图象的画法：（1）、利用三角函数线的几何画法；（2）、利用变换法（3）、五点法作图4、三角函数方程与三角不等式的解法主要根据三角函数的图象，先找出在一个周期内的方程或不等式的解，再写出和它们终边相同的角的集合。

探究一：三角函数的定义域问题例1：（1）、求函数的定义域；（2）、求函数的定义域；（3）、求函数的定义域。

探究二：三角函数的最值问题例2：(2014某某)（本小题满分13分）已知函数()23cos sin 3cos 34f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】 （1） π（2）41,21-本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识. 考查基本运算能力. 满分13分.（Ⅰ）解：由已知，有cosx(sinxcos +cosxsin )-= sinxcosx-cos 2x+=+=(1+cos2) +==所以，f x 的最小正周期T==例3：（2014新课标2 理科）.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.探究三：三角函数的图象与性质例4：设函数f(x)的图角的一条对称轴是(1): 求；(2): 求函数的单调区增区间例5：函数在区间[]上的最大值为1，求探究四：三角函数的值域例6：+)例7：sinx+cosx+sinxcosx+1 ，x]例8：一、方法提升1、求三角函数的定义域常用的方法：通过解不等式最后化成一个三角函数值的X围，再利用三角函数的图象或三角函数线求解，若需要解三角不等式组，要注意运用数轴取交集；2、求三角函数的值域或最值常用方法：（1）将三角函数关系式化成一角一函数的形式，利用三角函数的有界性或三角函数的单调性来解；（2）将三角函数关系式化成一个角的三角函数式的二次函数式，利用配方或二次函数的图象求解，要注意变量的X围；（3）数形结合法、换元法。

芯衣州星海市涌泉学校三角函数的图象与性质根底梳理1．“五点法〞描图(1)y＝sinx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)(π，0)(2π，0)(2)y＝cosx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)2.三角函数的图象和性质函数性质y＝sinx y＝cosx y＝tanx 定义域R R {x|x≠kπ＋，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：__x＝kπ＋(k∈Z)___；对称中心：_(kπ，0)(k∈Z)___对称轴：x＝kπ(k∈Z)___；对称中心：_(kπ＋，0)(k∈Z)__对称中心：_(k∈Z)__周期2π_ 2ππ单调性单调增区间_[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)___；单调减区间[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)__单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)____；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)______单调增区间_(kπ－，kπ＋)(k∈Z)___奇偶性奇函数偶函数奇函数3.＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)对函数周期性概念的理解周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数.假设只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或者者找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期.函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.4.求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sinx、cosx的有界性；关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1，所以1叫做y＝sinx，y＝cosx的上确界，－1叫做y＝sinx，y＝cosx的下确界.(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.(3)换元法：把sinx或者者cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y＝sin2x－4sinx＋5，令t＝sinx(|t|≤1)，那么y ＝(t－2)2＋1≥1，解法错误.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再根据根本三角函数的单调区间，求出x所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分以下两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号)(1)y＝sin；(2)y＝sin.热身练习:1．函数y＝cos，x∈R()．A．是奇函数B．既不是奇函数也不是偶函数C．是偶函数D．既是奇函数又是偶函数2．函数y＝tan的定义域为()．A. B.C.D.3．函数y＝sin(2x＋)的图象的对称轴方程可能是()A．x＝－B．x＝－C．x＝D．x＝【解析】令2x＋＝kπ＋，那么x＝＋(k∈Z)∴当k＝0时，x＝，选D.4．y＝sin的图象的一个对称中心是()．A．(－π，0) B.C. D.解析∵y＝sinx的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，∴令x－＝kπ(k∈Z)，x＝kπ＋(k∈Z)，由k＝－1，x＝－π得y＝sin的一个对称中心是.答案B5．以下区间是函数y＝2|cosx|的单调递减区间的是()A.(0，π)B.C.D.6．函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，假设f(x)≤|f()|对任意x∈R恒成立，且f()>f(π)，那么f(x)的单调递增区间是()A．[kπ－，kπ＋](k∈Z)B．[kπ，kπ＋](k∈Z)C．[kπ＋，kπ＋](k∈Z)D．[kπ－，kπ](k∈Z)【解析】当x∈R时，f(x)≤|f()|恒成立，∴f()＝sin(＋φ)＝±1可得φ＝2kπ＋或者者φ＝2kπ－，k∈Z∵f()＝sin(π＋φ)＝－sinφ>f(π)＝sin(2π＋φ)＝sinφ∴sinφ<0∴φ＝2kπ－由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ得x∈[kπ＋，kπ＋](k∈Z)，选C.7.函数f(x)＝cos x∈R的最小正周期为___4π_____．8..y＝2－3cos的最大值为___5_____，此时x＝_____π＋2kπ，k∈Z_________.9．函数y＝(sinx－a)2＋1，当sinx＝1时，y取最大值；当sinx＝a时，y取最小值，那么实数－1≤a≤0.10．函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx在区间[，]上的最大值是.【解析】∵f(x)＝＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin(2x－)＋，又≤x≤，∴≤2x－≤.∴当2x－＝即x＝时，f(x)取最大值.题型一与三角函数有关的函数定义域问题例1求以下函数的定义域：(1)y＝lgsin(cosx)；(2)y＝.解(1)要使函数有意义，必须使sin(cosx)>0.∵－1≤cosx≤1，∴0<cosx≤1.利用单位圆中的余弦线OM ，依题意知0<OM≤1， ∴OM 只能在x 轴的正半轴上，∴其定义域为{x|－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z}. (2)要使函数有意义，必须使sinx －cosx≥0.利用图象.在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sinx 和y ＝cosx 的图象，如下列图. 在[0,2π]内，满足sinx ＝cosx 的x 为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π， 所以定义域为.变式训练1(1)求函数y lg(2sin 1)tan 1cos()28x x x π-+--=+的定义域；解(1)要使函数有意义，那么 ⇒图①如图①利用单位圆得：∴函数的定义域为{x|2kπ＋<x<2kπ＋，k∈Z}. (2)求函数y 122log tan x x =++的定义域.要使函数有意义 那么⇒利用数轴可得图②图②∴函数的定义域是{x|0<x<或者者π≤x≤4}. 题型二、三角函数的五点法作图及图象变换 例2函数f(x)＝4cosxsin(x ＋)－1. (1)用五点法作出f(x)在一个周期内的简图；(2)该函数图象可由y ＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移变换与伸缩变换得到？ 【解析】(1)y ＝f(x)＝4cosxsin(x ＋)－1 ＝4cosx(sinx ＋cosx)－1＝sin2x ＋2cos2x －1 ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋)2x＋0π2πx－y020－20∴函数y＝f(x)在[－，]上的图象如下列图．【点评】“五点法作图〞应抓住四条：①化为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或者者y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式；②求出周期T＝；③求出振幅A；④列出一个周期内的五个特殊点．当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间的特殊点．题型三三角函数图象与解析式的互相转化例3函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0,0<φ<)的部分图象如下列图．(1)求f(x)的解析式；(2)设g(x)＝[f(x－)]2，求函数g(x)在x∈[－，]上的最大值，并确定此时x的值．【解析】(1)由图可知A＝2，＝，那么＝4×∴ω＝.又f(－)＝2sin[×(－)＋φ]＝2sin(－＋φ)＝0∴sin(φ－)＝0∵0<φ<，∴－<φ－<∴φ－＝0，即φ＝∴f(x)＝2sin(x＋)．(2)由(1)可得f(x－)＝2sin[(x－)＋]＝2sin(x＋)∴g(x)＝[f(x－)]2＝4×＝2－2cos(3x＋)∵x∈[－，]∴－≤3x＋≤，∴当3x＋＝π，即x＝时，g(x)max＝4.【点评】根据y＝Asin(ωx＋φ)＋K的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A确实定：根据图象的最高点和最低点，即A＝；②K确实定：根据图象的最高点和最低点，即K＝；③ω确实定：结合图象，先求出周期，然后由T＝(ω>0)来确定ω；④φ确实定：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋K最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－(即令ωx ＋φ＝0，x＝－)确定φ.例4假设方程sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有两个不同的实数根x1，x2，求a的取值范围，并求此时x1＋x2的值．【解析】∵sinx＋cosx＝2sin(x＋)，x∈[0,2π]，作出y＝2sin(x＋)在[0,2π]内的图象如图．由图象可知，当1＜a＜2或者者－2＜a＜1时，直线y＝a与y＝2sin(x＋)有两个交点，故a的取值范围为a∈(－2,1)∪(1,2)．当1＜a＜2时，x1＋＋x2＋＝π.∴x1＋x2＝.当－2＜a＜1时，x1＋＋x2＋＝3π，∴x1＋x2＝.【点评】利用三角函数图象形象直观，可使有些问题得到顺利、简捷的解决，因此我们必须准确把握三角函数“形〞的特征．例4函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的间隔为，且图象上一个最低点为M(，－2)．(1)求f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的解析式，并求满足g(x)≥且x∈[0，π]的实数x的取值范围．【解析】(1)由函数图象的最低点为M(，－2)，得A＝2，由x轴上相邻两个交点间的间隔为，得＝，即T＝π，∴ω＝＝2.又点M(，－2)在图象上，得2sin(2×＋φ)＝－2，即sin(＋φ)＝－1，故＋φ＝2kπ－，k∈Z，∴φ＝2kπ－，又φ∈(0，)，∴φ＝.综上可得f(x)＝2sin(2x＋)．(2)将f(x)＝2sin(2x＋)的图象向右平移个单位，得到f1(x)＝2sin[2(x－)＋]，即f1(x)＝2sin2x的图象，然后将f1(x)＝2sin2x的图象上各点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到g(x)＝2sin(2·2x)，即g(x)＝2sin4x.由得.那么即.故≤x≤或者者≤x≤.题型四、三角函数的奇偶性与周期性及应用例1函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜.(1)假设cos cosφ－sin sinφ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，假设函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的间隔等于，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．【解析】(1)由cos cosφ－sin sinφ＝0得cos(＋φ)＝0.∵|φ|<，∴φ＝.(2)由得＝，∴T＝，ω＝3∴f(x)＝sin(3x＋)．设函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)，那么g(x)＝sin[3(x＋m)＋]＝sin(3x＋3m＋)g(x)是偶函数当且仅当3m＋＝kπ＋(k∈Z)即m＝＋(k∈Z)∴最小正实数m＝.题型五三角函数的单调性与周期性例2写出以下函数的单调区间及周期：(1)y＝sin；(2)y＝|tanx|.解(1)y＝ sin，它的增区间是y＝sin的减区间，它的减区间是y＝sin的增区间.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.故所给函数的减区间为，k∈Z；增区间为，k∈Z.最小正周期T＝＝π.(2)观察图象可知，y＝|tanx|的增区间是，k∈Z，减区间是，k∈Z.最小正周期：T＝π.探究进步(1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或者者y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答.列不等式的原那么是：①把“ωx＋φ(ω>0)〞视为一个“整体〞；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与y ＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的单调区间对应的不等式方向一样(反).(2)对于y＝Atan(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数)，其周期T＝，单调区间利用ωx＋φ∈，解出x的取值范围，即为其单调区间.(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象断定.变式训练2(1)求函数y＝sin＋cos的周期、单调区间及最大、最小值；(2)函数f(x)＝4cosxsin －1.①求f(x)的最小正周期；②求f(x)在区间上的最大值和最小值.解:y ＝sin ＋cos 11cos 4sin 4cos 4sin 42222x x x x =+++ (1)周期为T=242,232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈函数的递增区间为(k∈Z)；3242,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈函数的递减区间为(k∈Z) ymax ＝2；ymin ＝－2 (2)f(x)＝4cosxsin －114cos cos )12x x x =+-2cos 2cos 1x x x =+-2cos 22sin(26)x x x π=+=+x ∈,22[,]663x πππ+∈-最大值为2；最小值为－1题型六、三角函数的对称性与单调性及应用例2向量m ＝(sin2x －1，cosx)，n ＝(1,2cosx)，设函数f(x)＝m n ⋅，x∈R. (1)求函数f(x)图象的对称轴方程；(2)求函数f(x)的单调递增区间． 【解析】(1)f(x)＝m·n＝sin2x －1＋2cos2x ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋) ∴对称轴方程为：2x ＋＝kπ＋，即x ＝＋(k∈Z)． (2)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ得－＋kπ≤x≤kπ＋ ∴f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)． 【点评】对于f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)：①假设求y ＝f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，求出x ； 假设求y ＝f(x)的对称中心的横坐标，只零令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求出x ； ②假设求y ＝f(x)的单调增区间，只需令2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，求出x ； 假设求y ＝f(x)的单调减区间，只需令2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，求出x. 题型七三角函数的对称性与奇偶性例3(1)f(x)＝sinx ＋cosx(x∈R)，函数y ＝f(x ＋φ)的图象关于直线x ＝0对称，那么φ的值是________. (2)假设函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为() A.B.C.D.(1)f (x)＝2sin π()3x +，y ＝f(x ＋φ)＝2sin ()3x πϕ++图象关于x ＝0对称， 即f(x ＋φ)为偶函数．∴＋φ＝＋kπ，k∈Z， 即φ＝kπ＋，k∈Z，所以当k ＝0时，φ＝. (2)A 3cos 4(2)3πϕ⨯+＝3cos 2π(2π)3ϕ++＝3cos 2()0,3πϕ+= ∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z， 取k ＝0，得|φ|的最小值为.应选探究进步假设f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，那么当x ＝0时，f(x)获得最大或者者最小值.假设f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，那么当x ＝0时，f(x)＝0. 假设求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x. 假设求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可.变式训练3(1)函数f(x)＝sinx ＋acosx 的图象的一条对称轴是x ＝，那么函数g(x)＝asinx ＋cosx 的最大值是()A.B.C.D.由题意得f(0)＝f 10()3π，∴a＝－－.∴a＝－,g(x)＝－sinx ＋cosx ＝sin 2()3x π+， ∴g(x)max＝.(2)假设函数f(x)＝asinωx＋bcosωx(0<ω<5，ab≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝，函数f′(x)的图象的一个对称中心是，那么f(x)的最小正周期是________.(1)B(2)π 由题设，有π()4f ω＝±，即(a ＋b)＝±，由此得到a ＝b. 又()08f π'=，所以aω(cos sin )88πωπω-＝0，从而tan ＝1，＝kπ＋，k∈Z，即ω＝8k ＋2，k∈Z，而0<ω<5，所以ω＝2， 于是f(x)＝a(sin2x ＋cos2x)＝asin (2)4x π+故f(x)的最小正周期是π.题型八三角函数的值域与最值的求法及应用 例3(1)求函数y ＝的值域；(2)求函数y ＝sinxcosx ＋sinx ＋cosx 的最值；(3)假设函数f(x)＝1cos 24sin()2x x π++－asin ·cos(π－)的最大值为2，试确定常数a 的值．【解析】22sin (1sin )11sin x x x-+（）y=＝2sinx(1－sinx)＝2sinx －2sin2x ＝－2(sinx －)2＋. ∵1＋sinx≠0，∴－1＜sinx≤1.∴－4＜y≤.故函数y ＝的值域为(－4，]．(2)令t ＝sinx ＋cosx ，那么sinxcosx ＝，且|t|≤. ∴y＝(t2－1)＋t ＝(t ＋1)2－1，∴当t ＝－1时，ymin ＝－1；当t ＝时，ymax ＝＋. (3)f(x)＝＋asincos ＝cosx ＋sinx ＝sin(x ＋φ)，(其中tanφ＝) 由得＝2，解得a ＝±.【点评】求三角函数的最值问题，主要有以下几种题型及对应解法． (1)y ＝asinx ＋bcosx 型，可引用辅角化为y ＝sin(x ＋φ)(其中tanφ＝)．(2)y ＝asin2x ＋bsinxcosx ＋ccos2x 型，可通过降次整理化为y ＝Asin2x ＋Bcos2x ＋C. (3)y ＝asin2x ＋bcosx ＋c 型，可换元转化为二次函数． (4)sinxcosx 与sinx±cosx 同时存在型，可换元转化．(5)y ＝(或者者y ＝)型，可用别离常数法或者者由|sinx|≤1(或者者|cosx|≤1)来解决，也可化为真分式去求解．(6)y ＝型，可用斜率公式来解决．例4函数f(x)＝sin2x ＋acos2x(a∈R，a 为常数)，且是函数y ＝f(x)的一个零点． (1)求a 的值，并求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈[0，]时，求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值．【解析】(1)由是y＝f(x)的零点得f()＝sin＋acos2＝0，求解a＝－2，那么f(x)＝sin2x－2cos2x＝sin2x－cos2x－1＝sin(2x－)－1，故f(x)的最小正周期为T＝＝π.(2)由x∈[0，]得2x－∈[－，]，那么－≤sin(2x－)≤1，因此－2≤sin(2x－)－1≤－1，故当x＝0时，f(x)取最小值－2，当x＝时，f(x)取最大值－1.设a∈R，f(x)＝cosx(asinx－cosx)＋cos2(－x)满足f(－)＝f(0)，求函数f(x)在[，]上的最大值和最小值．【解析】f(x)＝asinxcosx－cos2x＋sin2x＝sin2x－cos2x由f(－)＝f(0)得－·＋＝－1，解得a＝2.∴f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)当x∈[，]时，2x－∈[，]，f(x)为增函数．当x∈[，]时，2x－∈[，]，f(x)为减函数．∴f(x)在[，]上的最大值为f()＝2又∵f()＝，f()＝∴f(x)在[，]上的最小值为f()＝.题型九分类讨论及方程思想在三角函数中的应用例题：函数f(x)＝－2asin＋2a＋b的定义域为，函数的最大值为1，最小值为－5，(1)求a和b的值.(2)假设a＞0，设g(x)＝f且lgg(x)＞0，求g(x)的单调区间．点评①求出2x＋的范围，求出sin(2x＋)的值域.②系数a的正、负影响着f(x)的值，因此要分a>0，a<0两类讨论.③根据a>0或者者a<0求f(x)的最值，列方程组求解.解(1)∵x∈，∴2x＋∈.∴sin∈，∴－2asin∈[－2a，a]．∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.(2)由(1)得a＝2，b＝－5，∴f(x)＝－4sin－1，g(x)＝f＝－4sin－1＝4sin－1，又由lgg(x)＞0得g(x)＞1，∴4sin－1＞1，∴sin＞，∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z，其中当2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z，∴g(x)的单调增区间为，k∈Z.又∵当2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.三角函数的图象与性质练习一一、选择题1．对于函数f(x)＝2sinxcosx，以下选项正确的选项是()A．f(x)在(，)上是递增的B．f(x)的图象关于原点对称C．f(x)的最小正周期为2πD．f(x)的最大值为2【解析】f(x)＝sin2xf(x)在(，)上是递减的，A错；f(x)的最小正周期为π，C错；f(x)的最大值为1，D错；选B.2．假设α、β∈(－，)，那么“α＜β〞是“tanα＜tanβ〞的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】α、β∈(－，)，tanx在此区间上单调递增．当α＜β时，tanα＜tanβ；当tanα＜tanβ时，α＜β.应选C.3．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，那么f(x)的图象()A．关于点(，0)对称B．关于直线x＝对称C．关于点(，0)对称D．关于直线x＝对称【解析】由得ω＝2，那么f(x)＝sin(2x＋φ)设平移后的函数为g(x)，那么g(x)＝sin(2x＋＋φ)(|φ|<)且为奇函数∴φ＝－，f(x)＝sin(2x－)∴图象关于直线x＝对称，选B.4．f(x)＝sinx，x∈R，g(x)的图象与f(x)的图象关于点(，0)对称，那么在区间[0,2π]上满足f(x)≤g(x)的x的取值范围是()A．[，] B．[，]C．[，] D．[，]【解析】设(x，y)为g(x)的图象上任意一点，那么其关于点(，0)对称的点为(－x，－y)，由题意知该点必在f(x)的图象上．∴－y＝sin(－x)，即g(x)＝－sin(－x)＝－cosx，由得sinx≤－cosx⇒sinx＋cosx＝sin(x＋)≤0又x∈[0,2π]∴≤x≤.5．函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)，g(x)＝3cos(ωx＋φ)，假设对任意x∈R，都有f(＋x)＝f(－x)，那么g()＝____.【解析】由f(＋x)＝f(－x)，知y＝f(x)关于直线x＝对称，∴sin(ω·＋φ)＝±1.∴g()＝3cos(ω·＋φ)＝3＝0.6．设函数f(x)＝2sin(＋)，假设对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，那么|x2－x1|的最小值为____.【解析】由“f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立〞，可得f(x1)、f(x2)分别是f(x)的最小值、最大值．∴|x2－x1|的最小值为函数f(x)的半周期，又T＝＝4.∴|x2－x1|min＝2.7．函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导函数．(1)求f′(x)及函数y＝f′(x)的最小正周期；(2)当x∈[0，]时，求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的值域．【解析】(1)f′(x)＝cosx－sinx＝－sin(x－)∴y＝f′(x)的最小正周期为T＝2π.(2)F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋sin(2x＋)∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]∴sin(2x＋)∈[－，1]，∴函数F(x)的值域为[0,1＋]．8．设函数f(x)＝2cosx(sinx＋cosx)－1，将函数f(x)的图象向左平移α个单位，得到函数y＝g(x)的图象．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)假设0＜α＜，且g(x)是偶函数，求α的值．【解析】(1)∵f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)，∴f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)g(x)＝f(x＋α)＝sin[2(x＋α)＋]＝sin(2x＋2α＋)，g(x)是偶函数，那么g(0)＝±＝sin(2α＋)，∴2α＋＝kπ＋，k∈Z.α＝＋(k∈Z)，∵0＜α＜，∴α＝.三角函数的图象与性质练习二1.函数f(x)＝sin 图象的对称轴方程可以为() A.x ＝ B.x ＝C.x ＝ D.x ＝解析令2x ＋＝kπ＋(k∈Z)，得x ＝＋(k∈Z)，令k ＝0得该函数的一条对称轴为x ＝.此题也可用代入验证法来解．答案D2.y ＝sin 的图象的一个对称中心是() A.(－π，0) B.C. D.3.函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝对称，那么φ的可能取值是() A. B.－C. D.二、填空题4.函数y ＝lg(sinx)＋的定义域为____(2k ,2k ]3πππ+(k∈Z)_________. 5.函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全一样.假设x∈[0，]，那么f(x)的取值范围是____32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，3___________. 4．函数f(x)＝2sinωx(ω＞0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω等于________．解析因为f(x)＝2sinωx(ω＞0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sin ω＝，且0＜ω＜，因此ω＝.答案6.关于函数f(x)＝4sin (x∈R)，有以下命题：①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改写为y ＝4cos ；③y＝f(x)的图象关于点对称；④y＝f(x)的图象关于直线x ＝－对称.其中正确命题的序号是___________.②③解析函数f(x)＝4sin 的最小正周期T ＝π，由相邻两个零点的横坐标间的间隔是＝知①错．利用诱导公式得f(x)＝4cos ＝4cos ＝4cos ，知②正确．由于曲线f(x)与x 轴的每个交点都是它的对称中心，将x ＝－代入得f(x)＝4sin ＝4sin0＝0，因此点是f(x)图象的一个对称中心，故命题③正确．曲线f(x)的对称轴必经过图象的最高点或者者最低点，且与y 轴平行，而x ＝－时y ＝0，点不是最高点也不是最低点，故直线x ＝－不是图象的对称轴，因此命题④不正确．答案②③三、解答题7.设函数f(x)＝sin(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间.解(1)－(2)由(1)得：f(x)＝sin，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，因此y＝f(x)的单调增区间为，k∈Z.8.(1)求函数y＝2sin(－<x<)的值域；(2)求函数y＝2cos2x＋5sinx－4的值域.解(1)∵－<x<，∴0<2x＋<，∴0<sin≤1，∴y＝2sin的值域为(0,2].(2)y＝2cos2x＋5sinx－4＝2(1－sin2x)＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝－22＋.∴当sinx＝1时，ymax＝1，当sinx＝－1时，ymin＝－9，∴y＝2cos2x＋5sinx－4的值域为[－9,1].三角函数的图象与性质练习三一、选择题1.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，假设f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sinx，那么f的值是()A.－B.C.－D.2.函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，那么ω的最小值等于()A. B. C.2 D.33.函数f(x)＝cos2x＋sin是()A.非奇非偶函数B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数D.有最大值又有最小值的偶函数二、填空题4.设定义在区间(0，)上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sinx的图象交于点P2，那么线段P1P2的长为___________.5.函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω＝___________.解析因为f(x)＝2sinωx(ω＞0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sinω＝，且0＜ω＜，因此ω＝.答案6.给出以下命题：①函数y＝cos是奇函数；②存在实数α，使得sinα＋cosα＝；③假设α、β是第一象限角且α<β，那么tanα<tanβ；④x＝是函数y＝sin的一条对称轴；⑤函数y＝sin的图象关于点成中心对称图形.其中正确的序号为___________.三、解答题7.假设函数f(x)＝sin2ax－sinax·cosax(a>0)的图象与直线y＝m相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列.(1)求m的值；(2)假设点A(x0，y0)是y＝f(x)图象的对称中心，且x0∈，求点A的坐标.7.解(1)f(x)＝(1－cos2ax)－sin2ax＝－(sin2ax＋cos2ax)＋＝－sin＋.∵y＝f(x)的图象与y＝m相切，∴m为f(x)的最大值或者者最小值，即m＝或者者m＝.(2)∵切点的横坐标依次成公差为的等差数列，∴f(x)的最小正周期为.T＝＝，a>0，∴a＝2，即f(x)＝－sin＋.由题意知sin＝0，那么4x0＋＝kπ(k∈Z)，∴x0＝－(k∈Z).由0≤－≤(k∈Z)得k＝1或者者2，因此点A的坐标为，.三角函数的图象与性质练习四一、选择题1．函数f(x)＝2sinxcosx是()．A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数解析f(x)＝2sinxcosx＝sin2x.∴f(x)是最小正周期为π的奇函数．答案C2．函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为()．A．[－1,1]B.C.D.解析(数形结合法)y＝sin2x＋sinx－1，令sinx＝t，那么有y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]，画出函数图象如下列图，从图象可以看出，当t＝－及t＝1时，函数取最值，代入y＝t2＋t－1可得y∈.答案C3．假设函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么ω＝()．A.B.C．2D．3解析由题意知f(x)的一条对称轴为x＝，和它相邻的一个对称中心为原点，那么f(x)的周期T＝，从而ω＝.答案B4．函数f(x)＝(1＋tanx)cosx的最小正周期为()．A．2πB.C．πD.解析依题意，得f(x)＝cosx＋sinx＝2sin.故最小正周期为2π.答案A5．以下函数中，周期为π，且在上为减函数的是()．A．y＝sin B．y＝cosC．y＝sin D．y＝cos解析(挑选法)∵函数的周期为π.∴排除C、D，∵函数在上是减函数，∴排除B.答案A【点评】此题采用了挑选法，表达了挑选法的方便、快捷、准确性，在解选择题时应注意应用.6．函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的选项是()．A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间上是增函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数解析∵y＝sin ＝－cosx ，∴T＝2π，在上是增函数，图象关于y 轴对称，为偶函数．答案D二、 填空题7.y=－|sin 〔x+4π〕|的单调增区间为___［kπ+π4，kπ+3π4］〔k∈Z〕_____. 8.要得到⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42cos 3πx y 的图象，可以将函数y=3sin2x 的图象向左平移_8π__单位. 9.假设动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，那么MN 的最大值为____.10函数(02x π≤≤)的值域是_____[-1,0]_____. 11.()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，那么ω＝__________．14312、给出下面的3个命题：〔1〕函数|)32sin(|π+=x y 的最小正周期是2π；〔2〕函数)23sin(π-=x y 在区间)23,[ππ上单调递增；〔3〕45π=x 是函数)252sin(π+=x y 的图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是． 13．假设函数f(x)＝cosωxcos(ω＞0)的最小正周期为π，那么ω的值是________．解析f(x)＝cosωxcos＝cosωxsinωx＝sin2ωx，∴T＝＝π.∴ω＝1.答案114．函数y ＝tan 的图象与x 轴交点的坐标是______．解析由2x ＋＝kπ，k∈Z，得：x ＝－，k∈Z，故交点坐标为(k∈Z)．答案(k∈Z)15．函数f(x)＝sin(x ＋θ)＋cos(x ＋θ)是偶函数，那么θ的值是________．解析(回忆检验法)据可得f(x)＝2sin ，假设函数为偶函数，那么必有θ＋＝kπ＋(k∈Z)，又由于θ∈，故有θ＋＝，解得θ＝，经代入检验符合题意．答案三、解答题16．f(x)＝sinx ＋sin.(1)假设α∈[0，π]，且sin2α＝，求f(α)的值；(2)假设x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．解(1)由题设知f(α)＝sinα＋cosα.∵sin2α＝＝2sinα·cosα＞0，α∈[0，π]，∴α∈，sinα＋cosα＞0.由(sinα＋cosα)2＝1＋2sinα·cosα＝，得sinα＋cosα＝，∴f(α)＝.(2)由(1)知f(x)＝sin ，又0≤x≤π，∴f(x)的单调递增区间为.17．设函数f(x)＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f(x)图象的一条对称轴是直线x ＝.(1)求φ；(2)求函数y ＝f(x)的单调增区间．解(1)令2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ＋，k∈Z，又－π＜φ＜0，那么－＜k ＜－，k∈Z，∴k＝－1，那么φ＝－.(2)由(1)得：f(x)＝sin ，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，因此y ＝f(x)的单调增区间为，k∈Z.18、设函数2()sin()2cos 1468x x f x πππ=--+．〔1〕求()f x 的最小正周期． 〔2〕假设函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4[0,]3x ∈时()y g x =的最大值． 解：〔Ⅰ〕()f x =sin cos cos sin cos 46464x x x πππππ--=3cos 424x x ππ-sin()43x ππ- 故()f x 的最小正周期为T=24ππ=8(Ⅱ)解法一：在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于1x =的对称点(2,())x g x -.由题设条件，点(2,())x g x -在()y f x =的图象上，从而=sin[]243x πππ--cos()43x ππ+ 当304x ≤≤时，23433x ππππ≤+≤，因此()y g x =在区间4[0,]3上的最大值为 解法二： 因区间4[0,]3关于x=1的对称区间为2[,2]3，且()y g x =与()y f x =的图象关于x=1对称，故()y g x =在4[0,]3上的最大值为()y f x =在2[,2]3上的最大值由〔Ⅰ〕知()f x sin()43x ππ-当223x ≤≤时，6436ππππ-≤-≤因此()y g x =在4[0,]3上的最大值为max 6g π== 19、设函数()f x =·a b ，其中向量(cos2)m x =，a ，(1sin 21)x =+，b ，x ∈R ，且()y f x =的图象经过点π24⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 〔1〕务实数m 的值；〔2〕求函数()f x 的最小值及此时x 值的集合．(3)求函数的单调区间；(4)函数图象沿向量c 平移得到x y 2sin 2=的图象,求向量c 。