2021版高考数学一轮复习《练案 (41)基本不等式》

含解析姓名，年级：时间：含解析第四讲 基本不等式1.[2020四省八校联考］若a >0,b >0,ab =2，则a +2b 的最小值为 ( ）A 。

2√2B 。

4 C.4√2 D.62。

已知关于x 的不等式x 2— 4ax +3a 2〈0(a 〈0)的解集为(x 1，x 2),则x 1+x 2+a x 1x2的最大值是（ ）A.√63B 。

2√33C 。

4√33 D.—4√333。

［2020惠州市二调][双空题]设x ,y 为正数,若x +y2=1,则1x +2y 的最小值是 ，此时x = 。

4.[2020惠州市一调]已知x >54,则函数y =4x +14x -5的最小值为 . 5。

[2020江苏扬州中学阶段检测]已知正数x ,y ,z 满足（x +2y )(y +z ）=4yz ,且z ≤3x ，则3x 2+2y 23xy 的取值范围是 .6.[多选题］已知a 〉1,b >1且ab — （a +b ）=1,那么下列结论正确的是 （ ） A .a +b 有最小值2+2√2 B 。

a +b 有最大值2+2√2 C .ab 有最大值1+√2 D 。

ab 有最小值3+2√27.[2020合肥市调研检测]若直线l :ax — by +2=0(a 〉0，b 〉0）经过圆x 2+y 2+2x— 4y +1=0的圆心,则1a +1b的最小值为 （ ）A.2√2 B 。

√2 C.2√2+1D 。

√2+328.［2019福建宁德市、福鼎市三校联考］已知正数a ，b ，c 满足4a - 2b +25c =0，则lg a +lg c - 2lg b 的最大值为 ( ) A 。

— 2 B 。

2 C 。

— 1 D.19.直线ax +by +1=0与圆x 2+y 2=1相切,则a +b +ab 的最大值为 ( )A 。

1B 。

-1 C.√2+12 D.√2+110.[2020湖南师大附中高三摸底测试]已知正项等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m ·a n =16a 12，则1m +9n 的最小值为 .11。

考点27 基本不等式基本不等式：0,0)2a ba b +≥≥≥ （1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.一、基本不等式12a b+≤（1）基本不等式成立的条件：0,0a b >>. （2）等号成立的条件，当且仅当a b =时取等号． 2．算术平均数与几何平均数设0,0a b >>，则a 、b 的算术平均数为2a b+，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3．利用基本不等式求最值问题（1）如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x y =时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小)（2）如果和x ＋y 是定值P ，那么当且仅当x y =时，xy 有最大值是24P .(简记：和定积最大)4．常用结论（1）222(,)a b ab a b +≥∈R （2）2(,)b aa b a b+≥同号 （3）2()(,)2a b ab a b +≤∈R（4）222()(,)22a b a b a b ++≤∈R（5）2222()()(,)a b a b a b +≥+∈R（6）222()(,)24a b a b ab a b ++≥≥∈R（7）222(0,0)1122ab a b ab a b a b++≥≥≥>>+二、基本不等式在实际中的应用1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解； 2．经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及(0,by ax a x=+> 0)b >等．解答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解．考向一 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的常用技巧：（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变形手段有拆、并、配. ①拆——裂项拆项对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件． ②并——分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值． ③配——配式配系数有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.（3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.典例1 若正数a ，b 满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为 A ．1 B ．6 C ．9 D ．16【答案】B【解析】解法一：因为111a b+=，所以a ＋b =ab ⇒(a −1)·(b −1)=1，所以1911a b +≥--当且仅当43a =，b =4时取“=”). 故1911a b +--的最小值为6. 解法二：因为111a b+=，所以a ＋b =ab ，所以19199910111b a b a a b ab a b -+-+==+-----+119(9)()101910b a b a a b a b =+⋅+-=+++-≥6=(当且仅当43a =，b =4时取“=”)． 故1911a b +--的最小值为6. 解法三：因为111a b +=，所以111b a -=-，所以199(1)6111b a b b +=-+≥=---(当且仅当b =4时取“=”)． 故1911a b +--的最小值为6. 【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．1．函数24()(0)x x f x x x-+-=>的最大值为______，此时x 的值为______.考向二 基本不等式的实际应用有关函数最值的实际问题的解题技巧：（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． （2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． （3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.典例2 2017年，在国家创新驱动战略下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型的创新平台，1400多个北斗基站遍布全国，上万台设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以达到厘米或毫米级.最近北斗三号工程耗资a 元建成一大型设备，已知这台设备维修和消耗费用第一年为b 元，以后每年增加b 元（a 、b 是常数），用t 表示设备使用的年数，记设备年平均维修和消耗费用为y ，即y = (设备单价+设备维修和消耗费用）÷设备使用的年数． （1）求y 关于t 的函数关系式；（2）当a =112500，b =1000时，求这种设备的最佳更新年限．【解析】（1）由题意，设备维修和消耗费用构成以b 为首项，b 为公差的等差数列， 因此年平均维修和消耗费用为()2312b b b tbbt t++++=+(元). 于是有y =b2(t +1)+at=b2+bt 2+at,t >0.（2）由（1）可知，当a =112500，b =1000时，11250022550050050050050050021515500y t t t t ⎛⎫=++=++≥+⨯⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当t =225t,即t =15时，等号成立.答：这种设备的最佳更新年限为15年．【名师点睛】利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的问题背景，通过相关的关系建立关系式.在解题过程中尽量向模型0,0,0)bax a b x x+≥>>>上靠拢.2．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为2200m 的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m 宽的绿化，绿化造价为200元/2m ，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/2m .设矩形的长为m x .（1）将总造价y （元）表示为长度m x 的函数； （2）当x 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.考向三 基本不等式的综合应用基本不等式是高考考查的热点，常以选择题、填空题的形式出现．通常以不等式为载体综合考查函数、方程、三角函数、立体几何、解析几何等问题．主要有以下几种命题方式：（1）应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．（2）条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．（3）求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围.典例3 下列不等式一定成立的是 A ．21lg()lg (0)4x x x +>> B ．1sin 2(,)sin x x k k x+≥≠π∈Z C ．212||()x x x +≥∈R D ．211()1x x >∈+R 【答案】C【解析】对于A ：214x x +≥(当12x =时，214x x +=)，A 不正确；对于B ：1sin 2(sin (0,1])sin x x x +≥∈，1sin 2(sin [1,0))sin x x x+≤-∈-，B 不正确； 对于C ：222||1(||1)0()x x x x -+=-≥∈R ，C 正确； 对于D ：21(0,1]()1x x ∈∈+R ，D 不正确. 故选C.【思路点拨】利用基本不等式判断不等关系及比较大小的思路：基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等.一般地，结合所给代数式的特征，将所给条件进行转换(利用基本不等式可将整式和根式相互转化)，使其中的不等关系明晰即可解决问题.3．设a b c >>，n ∈N ，且218n a b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值是 A ．2 B ．3 C ．4D ．5典例4 设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20176051S =，则4201414a a +的最小值为______． 【答案】32【解析】因为20176051S =，所以120172017()6051,2a a += 则120176,a a +=即420146a a +=.所以()420144201442014141146a a a a a a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭()20144201444113554662a a a a ⎛⎫=++≥⨯+= ⎪⎝⎭.当且仅当420142,4a a ==时取等号. 故答案为：32. 【名师点睛】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．4．已知向量(),2x =a ，()1,y =b 且,x y 为正实数，若满足2xy ⋅=a b ，则34x y +的最小值为 A ．526+ B ．56+ C ．46D ．431．已知x ，()0,y ∈+∞，1x y +=，则xy 的最大值为 A ．1 B ．12 C ．13D ．142．若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2)，则a b +的最小值等于 A ．3B ．4C ．322+D ．422+3．已知236()(0)1x x f x x x ++=>+，则()f x 的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．54．当4x >时，不等式44x m x +≥-恒成立，则m 的取值范围是 A ．8m ≤ B ．8m < C ．8m ≥D ．8m >5．已知正数,m n 满足22100m n +=，则m n + A ．有最大值102B ．有最小值102C ．有最大值10D ．有最小值106．已知()()22log 2log 11a b -+-≥，则2a b +取到最小值时，ab = A ．3B ．4C ．6D ．97．用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，则最短的篱笆是 A ．30 m B ．36 m C ．40 mD ．50 m8．下列式子的最小值等于4的是 A ．4(0)a a a+≠ B ．4sin +sin x x ，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．e 4e x x -+，x ∈RD 29．已知0x >，0y >，满足2210x xy +-=，则2x y +的最小值是ABCD10．△ABC 中，角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等差数列，则角B 的取值范围是A ．π0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．π,π2⎛⎫⎪⎝⎭11．已知0a b >>，则412a a b a b+++-的最小值为A ．4B ．6C ．3D ．12．已知实数0,0a b >>是8a 与2b 的等比中项，则12a b+的最小值是______．13．已知正数a 、b 满足226a b +=，则__________．14．已知直线()600,0ax by a b +-=>>被圆22240x y x y +--=截得的弦长为ab 的最大值为________.15．设实数,x y 满足条件41002800,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b +的最小值为________.16．已知函数()()()()4f x x a x a =--∈R .（1）解关于x 的不等式()0f x >； （2）若1a =，令()()()0f x g x x x=>，求函数()g x 的最小值.17．为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左右两面墙的长度均为x 米(36)x ≤≤．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价． （2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为1800(1)a x x+元(0)a >，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围．1．（2017山东理科）若，且，则下列不等式成立的是 A ． B ． C ． D ． 2．（2018天津理科）已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为 . 3．（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是___________．4．（2018江苏）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为___________． 5．（2019年高考天津卷理数）设0,0,25x y x y >>+=__________．6．（2017年高考天津卷理数）若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________．0a b >>1ab =()21log 2a b a a b b +<<+()21log 2a b a b a b<+<+()21log 2a ba ab b +<+<()21log 2aba b a b +<+<1．【答案】−3 2【解析】因为244()()1x x f x x x x-+-==-++，又0x >，所以44x x+≥=，当且仅当2x =时取等号. 此时244()()1413x x f x x x x-+-==-++≤-+=-.即()f x 的最大值为3-，此时2x =.【名师点睛】本题主要考查求函数的最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.求解时，先将原式化为4()()1f x x x=-++，再由基本不等式，即可求出结果.2．【答案】（1）20018400400y x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，(4,50)x ∈；（2）当x =总造价最低为18400+元.【解析】（1）由矩形的长为x m ，得矩形的宽为200xm ， 则中间区域的长为(4)x -m ，宽为200(4)x-m ， 则200200100(4)4200200(4)4y x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯--+---⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，定义域为(4,50)x ∈. 整理得20018400400y x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，(4,50)x ∈. （2）200x x +≥= 当且仅当200x x=，即(4,50)x =时取等号. 所以当x =时，总造价最低为18400+.【名师点睛】本题主要考查了函数的表示方法，以及基本不等式的应用.在利用基本不等式时保证“一正二定三相等”，属于中等题.（1）根据题意得矩形的长为x m ，则矩形的宽为200xm ，中间区域的长为(4)x -m ，宽为200(4)x -m ，列出函数关系式即可.（2）根据（1）的结果利用基本不等式求解即可. 3．【答案】B【解析】218n a b b c a c+≥---等价于218()()a c n a b b c +-≥--， 而()1818()()a c a b b c a b b c a b b c ⎛⎫+-=+-+- ⎪----⎝⎭8()999b c a b a b b c --=++≥+=+-- 当且仅当8()b c a b a b b c--=--，即)b c a b -=-时取等号，故得到29,n n +≥∈N ，则n 的最大值是3. 故答案为B.【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 4．【答案】A【解析】由题意得112212x y xy y x⋅=+=⇒+=a b ，因为x ，y 为正实数，则11(34)1(34)2x y x y y x ⎛⎫+⨯=++= ⎪⎝⎭3432552x y yx +++≥+=+当且仅当342x y y x =，即x y ==时取等号. 所以选择A.【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积以及基本不等式，在用基本不等式时要满足“一正二定三相等”.属于中等题.1．【答案】D【解析】因为x ，()0,y ∈+∞，1x y +=，所以有2111()24x y xy =+≥≤=，当且仅当12x y ==时取等号，故本题选D. 【名师点睛】本题考查了基本不等式的应用，掌握公式的特征是解题的关键.求解时，直接使用基本不等式，可以求出xy 的最大值. 2．【答案】C【解析】将()1,2代入直线方程得到121a b+=， 122()()33a ba b a b a b b a+=++=++≥+，当1,2a b ==时等号成立.故选C.【名师点睛】本题考查了直线方程，均值不等式，1的代换是解题的关键.求解时，将()1,2代入直线方程得到121a b+=，利用均值不等式得到a b +的最小值. 3．【答案】D【解析】由题意知，()()2211436411111x x x x f x x x x x ++++++===++++++， 因为0x >，所以10x +>，则411151x x +++≥=+（当且仅当411x x +=+，即1x =时取“=”）， 故()f x 的最小值是5. 故答案为D.【名师点睛】本题考查了基本不等式的运用，要注意“=”取得的条件，属于基础题. 4．【答案】A【解析】∵4x >，∴40x ->，∴44444844x x x x +=-++≥=--， 当且仅当444x x -=-，即6x =时取等号， ∵当4x >时，不等式44x m x +≥-恒成立，∴只需min484m x x ⎛⎫≤+= ⎪-⎝⎭． 故选A ．【名师点睛】本题主要考查基本不等式，解题的关键是得出444444x x x x +=-++--，属于一般题. 5．【答案】A【解析】由不等式的性质有：222m n +≥（2m n +）2，当且仅当m n ==2m n +）2≤50， 又m ＞0，n ＞0，所以2m n+≤m n +≤ 故选A ．【名师点睛】本题考查了基本不等式及其应用，转化化归能力，注意等号成立的条件，属中档题. 6．【答案】D【解析】由()()22log 2log 11a b -+-≥，可得20a ->，10b ->且()()212a b --≥. 所以()()22215559a b a b +=-+-+≥≥=， 当()221a b -=-且()()212a b --=时等号成立，解得3a b ==. 所以2a b +取到最小值时339ab =⨯=.故选D.【名师点睛】本题考查基本不等式取得最值的条件，多次用不等式求最值时要注意不等式取等的条件要同时满足. 7．【答案】C【解析】设矩形的长为(m)x ，则宽为100(m)x ，设所用篱笆的长为(m)y ，所以有10022y x x=+⋅，根据基本不等式可知：1002240y x x =+⋅≥=（当且仅当10022x x =⋅，即10x =时取等号），故本题选C.【名师点睛】本题考查了基本不等式的应用，由已知条件构造函数，利用基本不等式求出最小值是解题的关键. 8．【答案】C【解析】选项A ，设1y a a =+，当0a >时，12y a a =+≥=，当且仅当1a =时，取等号；当0a <时，1()2y a a =--+≤-=--，当且仅当1a =-时，取等号，故函数没有最小值；选项B ，4sin sin y x x =+，令sin x a =，π0,,(0,1)2x a ⎛⎫∈∴∈ ⎪⎝⎭，函数4y a a =+在(0,2)a ∈时单调递减，故当(0,1)a ∈时4y a a=+是单调递减函数，所以5y >，没有最小值；选项C ，4e 4e e 4e x x x x -+=+≥=，当且仅当ln 2x =时取等号，故符合题意；选项D ，令2y ==1(2)(2)t t y t t t=≥⇒=+≥，而函数1y t t =+在1t ≥时是单调递增函数，故当2t ≥时，函数1y t t =+也单调递增，所以52y ≥，不符合题意，所以本题选C.【名师点睛】本题考查了基本不等式和函数(0)ay x a x=+>的单调性，利用基本不等式时，一定要注意三点：其一，必须是正数；其二，要有定值；其三，要注意等号成立的条件，简单记为一正二定三相等. 9．【答案】D 【解析】正实数x ，y 满足2210x xy +-=，122xy x ∴=-，13111122323222222x x y x x x x x x x ⎛⎫∴+=+-=+=+⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当x =2x y ∴+故选D.【名师点睛】本题考查了基本不等式的应用问题，解题的关键是31222x y x x+=+，使它能利用基本不等式，是基础题目． 10．【答案】C【解析】由,,a b c 成等差数列，可得2b a c =+，即2a cb +=，则22222222()3()26212cos 22882a c a c a c ba c ac ac ac B acac ac ac ++-+-+--===≥=（当且仅当a c =时取等号）；由于在三角形中(0,π)B ∈，且cos B 在(0,π)上为减函数，所以角B 的取值范围是：π0,3⎛⎤⎥⎝⎦.故选C.【名师点睛】本题考查余弦定理，等差数列的性质，以及基本不等式的应用，求解时，由,,a b c 成等差数列，可得2b a c =+，然后利用余弦定理表示出cos B ，进行化简后，利用基本不等式即可求出cos B 的最小值，根据B 的范围以及余弦函数的单调性，即可求出角B 的取值范围. 11．【答案】B【解析】∵0a b >>，∴41412()()a a b a b a b a b a b a b++=+++-++-+-，∵4()4a b a b ++≥=+，1()2a b a b -+≥=-， ∴4126a a b a b ++≥+-，当且仅当2,1a b a b +=-=，即31,22a b ==时等号成立. 故选B.【名师点睛】本题主要考查均值定理的应用，构造均值定理的结构，利用均值定理求解最小值.使用均值定理求解最值时，一要注意每一项必须为正实数，二是要凑出定值，三是要验证等号成立的条件，三者缺一不可，尤其是等号不要忘记验证. 12．【答案】5+【解析】∵实数00a b >>，是8a 与2b 的等比中项，3822,22a b a b +∴⋅=∴=，即31a b +=．则()121263555b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭b =，即12a b =-=时取等号． 故答案为:5+【名师点睛】本题考查了等比中项，均值不等式，1的代换是解题的关键.是8a 与2b 的等比中项得到31a b +=，利用均值不等式求得最小值. 13．【答案】5【解析】226a b +=，22452b a ++=，当b =1,a b ==. 故答案为5.【名师点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力. 14．【答案】92【解析】圆22240x y x y +--=可化为22(1)(2)5x y -+-=，则圆心为()1,2，半径为r =，又因为直线()+6=00,0ax by a b ->>被圆22240x y x y +--=截得的弦长为2r =， 所以直线()+6=00,0ax by a b ->>过圆心，即260a b +-=，化为26,0,0a b a b +=>>，62a b ∴=+≥2a b =，即33,2a b ==时取等号， 9,2ab ab ∴≤∴的最大值为92，故答案为92.【名师点睛】本题主要考查圆的方程与性质以及基本不等式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题.转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将弦长问题转化为直线过圆心是解题的关键. 15．【答案】256【解析】由可行域可得，当4x =，6y =时，目标函数z ax by =+取得最大值，4612a b ∴+=，即132a b +=，2323131325232666a b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅+=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当且仅当b a a b=，即65a b ==时取等号， 故答案为256.【名师点睛】本题考查了通过目标函数的最大值，得到参数之间的等式，求不等式最小值问题，关键是正确得到参数之间的等式. 16．【答案】（1）见解析；（2）1-.【解析】（1）①当4a >时，不等式()0f x >的解集为{}4x x a x ><或， ②当4a <时，不等式()0f x >的解集为{}4x x x a ><或， ③当4a =时，不等式()0f x >的解集为{}4x x ≠.（2）当1a =时，令()()()21454x x x x g x xx---+==4()551x x=+-≥=-（当且仅当4x x=，即2x =时取等号）. 故函数()g x 的最小值为1-.【名师点睛】本题考查了解不等式，均值不等式，函数的最小值，意在考查学生的综合应用能力. 17．【答案】（1）4米时，28800元；（2）012.25a <<．【解析】（1）设甲工程队的总造价为y 元， 则24163(3002400)144001800()14400(36)y x x x x x=⨯+⨯+=++≤≤，161800()14400180021440028800x x ++≥⨯=． 当且仅当16x x=，即4x =时等号成立． 即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元．（2）由题意可得，161800(1)1800()14400a x x x x+++>对任意的[36]x ∈，恒成立． 即2(4)(1)x a x x x ++>，从而2(4)1x a x +>+恒成立，令1x t ，则22(4)(3)96,1x t t x t t++==+++[4,7]t ∈，又96y t t=++在[4,7]t ∈时为单调增函数，故min 12.25y =． 所以012.25a <<．【名师点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.（1）设甲工程队的总造价为y 元，先求出函数的解析式，再利用基本不等式求函数的最值得解；（2）由题意可得，161800(1)1800()14400a x x x x +++>对任意的[36]x ∈，恒成立，从而2(4)1x ax +>+恒成立，求出左边函数的最小值即得解.1．【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+，所以选B. 2．【答案】14【解析】由a −3b +6=0可知a −3b =−6，且2a +18b =2a +2−3b ，因为对于任意x ，2x >0恒成立，结合基本不等式的结论可得：2a +2−3b ≥2×√2a ×2−3b =2×√2−6=14.当且仅当{2a =2−3ba −3b =6，即{a =3b =−1 时等号成立. 综上可得2a +18b 的最小值为14.【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式： ①22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；221,01,1,log ()log 1,2a ba b a b ><<∴<+>=②,a b +∈R ，a b +≥，当且仅当a b =时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”． 3．【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 4．【答案】9【解析】由题意可知，S △ABC =S △ABD +S △BCD ,由角平分线性质和三角形面积公式得12acsin120°=12a ×1×sin60°+12c ×1×sin60°，化简得ac =a +c,1a +1c =1， 因此4a +c =(4a +c )(1a +1c )=5+ca+4a c≥5+2√c a ⋅4a c=9,当且仅当c =2a =3时取等号，则4a +c 的最小值为9.5．【答案】方法二：0,0,25,x y x y >>+=0,xy ∴>===≥.1 当且仅当3xy =时等号成立，【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.6．【答案】4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥=，（前一个等号成立的条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时成立，当且仅当2224a b ==时取等号）． 【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；②,a b +∈R，a b +≥，当且仅当a b =时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．。

版2021年版高考数学一轮复习第7章不等式4第4讲基本不等式教案理第4讲基本不等式(3)其中1．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．a＋b称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数．2222．几个重要的不等式(1)a＋b≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．?a＋b?(2)ab≤?(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．?2??2a2＋b2?a＋b?2(3)≥?(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．2?2??(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．3．利用基本不等式求最值已知_≥0，y≥0，则baab(1)如果积_y是定值p，那么当且仅当_＝y时，_＋y有最小值是2p．(简记：积定和最小)(2)如果和_＋y是定值s，那么当且仅当_＝y时，_y有最大值是．(简记：和定积最大)判断正误(正确的打“√”，错误的打“_”)(1)函数y＝_＋的最小值是2.( )s241_?a＋b?(2)ab≤?成立的条件是ab>0.( )?2??_yy_32(3)“_>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．( )(4)若a>0，则a＋的最小值是2a.( )答案：(1)_ (2)_ (3)_ (4)_1a2(教材习题改编)设_＞0，y＞0，且_＋y＝18，则_y的最大值为( )B．77A．80D．82C．81?_＋y??18?解析：选C._y≤?＝??＝81，当且仅当_＝y＝9时等号成立，故选C.??2??2?若_221_A．有最小值，且最小值为2B．有最大值，且最大值为2C．有最小值，且最小值为－2D．有最大值，且最大值为－2解析：选D.因为_0，－_＋1≥21＝2，当且仅当_＝－1时，等号成立，所－_若_>1，则_＋解析：_＋以_＋≤－2.1_4的最小值为________．_－144＝_－1＋＋1≥4＋1＝5._－1_－14，即_＝3时等号成立．_－1答案：5当且仅当_－1＝(教材习题改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．解析：设矩形的长为_m，宽为ym，则_＋y＝10，?_＋y?所以S＝_y≤?＝25，当且仅当_＝y＝5时取等号．?2??答案：25 m22利用基本不等式求最值(高频考点)利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度： (1)求不含等式条件的函数最值； (2)求含有等式条件的函数最值； (3)已知不等式恒成立求参数范围． [典例引领](1)函数f(_)＝角度一求不含等式条件的函数最值_(_>0)的最大值为________．_2＋3_＋11的最大值为________．4_－511_·＋3_＝，当且仅当_＝(2)已知_54【解析】 (1)因为_>0，则f(_)＝_1＝≤_2＋3_＋11_＋＋32_151_则f(_)＝4_－2＋时等号成立．(2)因为_0，541?1?＝－?5－4_＋＋3≤－2＋3＝1.5－4_?4_－5??1，即_＝1时，等号成立．5－4_1的最大值为1.4_－515当且仅当5－4_＝故f(_)＝4_－2＋【答案】 (1) (2)1角度二求含有等式条件的函数最值(1)(____·高考山东卷)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________．_yab(2)已知_>0，y>0，_＋2y＋2_y＝8，则_＋2y的最小值为________．【解析】 (1)由题设可得＋＝1，因为a>0，b>0，12ab所以2a＋b＝(2a＋b)?＋?＝2＋＋＋2≥4＋2ab?ab??12?b4ab4a·＝ab??8?当且仅当＝，即b＝2a时，等号成立?.??故2a＋b的最小值为8.(2)因为_>0，y>0，b4aab?_＋2y?所以8＝_＋2y＋_·2y≤(_＋2y)＋?，?2??令_＋2y＝t，则228≤t＋，即t＋4t－32≥0，解得t≥4或t≤－8，t24即_＋2y≥4或_＋2y≤－8(舍去)，当且仅当_＝2y，即_＝2，y＝1时等号成立．【答案】 (1)8 (2)4角度三已知不等式恒成立求参数范围?1a?已知不等式(_＋y)?＋?≥9对任意的正实数_，y恒成立，则正实数a的最小值为?_y?________．ya_?1a?2【解析】 (_＋y)?＋?＝1＋a＋＋≥1＋a＋2a＝(a＋1)(_，y，a>0)，?_y?_y当且仅当y＝a_时取等号，??2所以(_＋y)·?＋?的最小值为(a＋1)，于是(a＋1)≥9恒成立．所以a≥4.【答案】 421a?_y?利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．[通关练习]1．(____·石家庄市教学质量检测(一))已知直线l：a_＋by－ab＝0(a>0，b>0)经过点(2，3)，则a＋b的最小值为________．解析：因为直线l经过点(2，3)，所以2a＋3b－ab＝0，则＋＝1，32ab??所以a＋b＝(a＋b)?＋?＝5＋＋32?ab?3b2a≥5＋26.ab3b2a，ab当且仅当＝即a＝3＋6，b＝2＋6时等号成立．答案：5＋26 2．(____·高考天津卷)若a，b∈R，ab>0，则a4＋4b4＋1的最小值为________．ab14ab·＝4，ab解析：因为ab＞0，所以a4＋4b4＋124a4b4＋14a2b2＋11≥＝＝4ab＋≥2ababababa2＝2b2，??a4＋4b4＋1当且仅当?时取等号，故的最小值是4.1abab＝?2?答案：42_ 3．当_∈R时，3－(k＋1)3＋2>0恒成立，则k的取值范围是________．解析：由3－(k＋1)·3＋2>0，解得k＋12____23_?_因为3＋≥22?当且仅当3_＝，即_＝log32时，?_23_23_ 等号成立))，23__所以3＋的最小值为22.2_又当_∈R时，3－(k＋1)3＋2>0恒成立，所以当_∈R时，k＋1??2?，?min即k＋1答案：(－∞，22－1)利用基本不等式解决实际问题[典例引领]某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本1y(元)与月处理量_(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝_2－200_＋80 000，且每处理一2吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【解】 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝_＋200≥2y_1280 000－_180 000_·－200＝200，2_。

专题 基本不等式一、考点全归纳1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 常用结论已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)二、题型全归纳题型 一 利用基本不等式求最值类型一 通过配凑法利用基本不等式求最值【题型要点】通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．【例1】(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． (2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．【解析】 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎡⎦⎤3x ＋（4－3x ）22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当(x －1)＝3（x －1），即x ＝3＋1时，等号成立．类型二 通过常数代换利用基本不等式求最值【题型要点】常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值．【例2】若a ＞0，b ＞0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．2【解析】 由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝⎪⎭⎫⎝⎛+b a 11(a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4，故选C. 【例3】(2020·北京师大附中模拟)已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝16a 21，则1m ＋9n 的最小值为( ) A.32 B.83 C.114D ．不存在【解析】设正项等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0，由a 7＝a 6＋2a 5得a 6q ＝a 6＋2a 6q， 化简得，q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因为a m a n ＝16a 21，所以(a 1q m －1)(a 1q n －1)＝16a 21， 则q m＋n －2＝16，解得m ＋n ＝6，所以1m ＋9n ＝16⎝⎛⎭⎫1m ＋9n (m ＋n )＝16⎝⎛⎭⎫10＋n m ＋9m n ≥16⎝⎛⎭⎫10＋2n m ·9m n ＝83. 当且仅当n m ＝9mn 时取等号，此时⎩⎪⎨⎪⎧n m ＝9m n ，m ＋n ＝6，解得⎩⎨⎧m ＝32，n ＝92，因为m ，n 取正整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1m ＋9n ＞83，验证可得，当m ＝2，n ＝4时，1m ＋9n 取得最小值为114.类型三 通过消元法利用基本不等式求最值【题型要点】通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围． 【例4】已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【解析】 法一：由已知得x ＋3y ＝9－xy ，又因为x >0，y >0，所以x ＋3y ≥23xy ， 所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时，即x ＝3，y ＝1时取等号，(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0.令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6即x ＋3y ≥6.法二：由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y1＋y，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y （1＋y ）1＋y ＝9＋3y 21＋y ＝3（1＋y ）2－6（1＋y ）＋121＋y＝3(1＋y )＋121＋y－6≥23（1＋y ）·121＋y－6＝12－6＝6.当且仅当3(1＋y )＝121＋y，即y ＝1时等号成立．所以x ＋3y 的最小值为6.类型四 多次利用基本不等式求最值【例5】若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．【解析】 因为ab ＞0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab 的最小值是4. 题型二 基本不等式的综合应用【题型要点】基本不等式的综合运用常见题型及求解策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解． (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．类型一 与其他知识的交汇问题【例1】(1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是________．(2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是________．【解析】 (1)圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6， 所以圆心为C (0，1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5. 因为b ，c >0，所以4c b ＋b c≥24c b ·b c ＝4.当且仅当b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9. (2)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n （1＋n ）2，所以S n ＋8a n ＝n （1＋n ）2＋8n ＝12(n ＋16n ＋1)≥12⎝⎛⎭⎫2n ·16n ＋1＝92， 当且仅当n ＝4时取等号．所以S n ＋8a n 的最小值是92.【例2】．(2020·昆明模拟)如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝4，AD ＝3，点E ，F 分别在BC ，CD 上，且∈EAF ＝45°.设∈BAE ＝θ，当四边形AECF 的面积取得最大值时，则tan θ＝________.【解析】在直角三角形ABE 中，可得BE ＝4tan θ(0<tan θ<1)，在直角三角形ADF 中，DF ＝3tan(45°－θ)，可得四边形AECF 的面积S ＝12－12×4×4tan θ－12×3×3tan(45°－θ)＝12－8tan θ－92×1－tan θ1＋tan θ＝20－8(1＋tan θ)＋92×⎝⎛⎭⎫1－21＋tan θ＝492－8(1＋tan θ)－91＋tan θ≤492－28(1＋tan θ)×91＋tan θ＝492－122，当且仅当8(1＋tan θ)＝91＋tan θ，即tan θ＝324－1，且满足0<tan θ<1，则四边形AECF 的面积取得最大值．类型二 求参数的值或取值范围【例3】已知不等式(x ＋y )⎪⎪⎭⎫⎝⎛+y a x 1≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________． 【解析】 (x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋axy≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)， 当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2，所以(a ＋1)2≥9恒成立．所以a ≥4. 【例4】(2020·河南平顶山一模)若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a ＞15C ．a ＜15D ．a ≤15【解析】因为对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以对x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝⎛⎭⎫x x 2＋3x ＋1max ， 而对x ∈(0，＋∞)，xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x ＋3＝15，当且仅当x ＝1时等号成立，所以a ≥15.故选A. 题型三 基本不等式在实际问题中的应用【题型要点】利用基本不等式求解实际问题的注意事项(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．【例1】(2020·湖北七市(州)教科研协作体联考)如图，将1张长为2 m ，宽为1 m 的长方形纸板按图中方式剪裁并废弃阴影部分，若剩余部分恰好能折叠成一个长方体纸盒(接缝部分忽略不计)，则此长方体体积的最大值为________ m 3.【解析】设长方体底面边长为x m ，宽为y m ，高为z m ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝2，z ＋y ＝1，解得x ＝1－y ，z ＝1－y .所以该长方体的体积为xyz ＝y (1－y )(1－y )＝12×2y (1－y )(1－y )≤12·⎝⎛⎭⎫2y ＋1－y ＋1－y 33＝427，当且仅当2y ＝1－y ，即y ＝13时，等号成立．故此长方体体积的最大值为427m 3.【例2】(2020·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元． 【解析】设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x (k 2≠0)，∈工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元， ∈k 1＝5，k 2＝20，∈运费与仓储费之和为⎝⎛⎭⎫5x ＋20x 万元， ∈5x ＋20x≥25x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20x，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．三、高效训练突破 一、选择题1．(2020·广西钦州期末)已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2＝15－ab ，则ab 的最大值是( ) A ．15 B ．12 C ．5D ．3【解析】：因为a 2＋b 2＝15－ab ≥2ab ，所以3ab ≤15，即ab ≤5，当且仅当a ＝b ＝±5时等号成立．所以ab 的最大值为5.故选C.2．(2020·揭阳模拟)设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋ba ≥2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，即a 2＋b 2≥2ab ，而a b ＋ba ≥2成立的条件是ab ＞0，所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋ba ≥2”成立的必要不充分条件．3．若a >0，b >0，a ＋b ＝ab ，则a ＋b 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】：法一：由于a ＋b ＝ab ≤（a ＋b ）24，因此a ＋b ≥4或a ＋b ≤0(舍去)，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.法二：由题意，得1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.法三：由题意知a ＝b b －1(b >1)，所以a ＋b ＝b b －1＋b ＝2＋b －1＋1b －1≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.4．(2020·郑州外国语学校月考)若a ＞b ＞1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则( )A ．R ＜P ＜QB ．Q ＜P ＜RC ．P ＜Q ＜RD ．P ＜R ＜Q【解析】因为a ＞b ＞1，所以lg a ＞0，lg b ＞0，且lg a ≠lg b ，所以lg a ·lg b ＜12(lg a ＋lg b )，由ab ＜a ＋b 2，得lg ab ＜lga ＋b 2.所以12(lg a ＋lg b )＜lg a ＋b 2，综上知P ＜Q ＜R . 5．设a >0，若关于x 的不等式x ＋ax －1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a 的最小值为( )A ．16B ．9C ．4D ．2【解析】：在(1，＋∞)上，x ＋a x －1＝(x －1)＋ax －1＋1≥2（x －1）×a（x －1）＋1＝2a ＋1(当且仅当x ＝1＋a 时取等号)．由题意知2a ＋1≥5，所以a ≥4. 6．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4【解析】：因为1a ＋2b ＝ab ，所以a ＞0，b ＞0，由ab ＝1a ＋2b≥21a ×2b＝22ab， 所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)，所以ab 的最小值为2 2.7．(2020·福建龙岩一模)已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( )A ．3B ．5C ．7D ．9【解析】：因为x >0，y >0.且1x ＋1＋1y ＝12，所以x ＋1＋y ＝2⎝⎛⎭⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝2(1＋1＋yx ＋1＋x ＋1y )≥2⎝⎛⎭⎪⎫2＋2y x ＋1·x ＋1y ＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时取等号，所以x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7，故选C.8．已知a ＞0，b ＞0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24【解析】：由3a ＋1b ≥m a ＋3b ，得m ≤(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫3a ＋1b ＝9b a ＋a b ＋6.又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12， 当且仅当9b a ＝ab，即a ＝3b 时等号成立，所以m ≤12，所以m 的最大值为12.9．(2020·湖北恩施2月教学质量检测)已知角α，β的顶点都为坐标原点，始边都与x 轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，α，β终边上分别有点A (1，a )，B (2，b )，且α＝2β，则1a ＋b 的最小值为( )A ．1B ． 2 C. 3 D ．2【解析】：由已知得，a >0，b >0，tan α＝a ，tan β＝b2，因为α＝2β，所以tan α＝tan 2β，所以a ＝2·b 21－⎝⎛⎭⎫b 22＝4b 4－b 2，所以1a ＋b ＝4－b 24b ＋b ＝1b ＋3b4≥21b ·3b 4＝3，当且仅当1b ＝3b 4，即b ＝233时，取等号．故1a＋b 的最小值为 3.10．《几何原本》第二卷的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在半径OB 上，且OF ∈AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a ＞0，b ＞0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a ＞0，b ＞0)C.2aba ＋b≤ab (a ＞0，b ＞0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0) 【解析】由图可知OF ＝12AB ＝a ＋b 2，OC ＝a －b 2.在Rt∈OCF 中，由勾股定理可得CF ＝OF 2＋OC 2＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋⎝⎛⎭⎫a －b 22＝a 2＋b 22.∈CF ≥OF ， ∈a 2＋b 22≥a ＋b2(a ＞0，b ＞0)．故选D. 11．(2020·江淮十校模拟)已知函数f (x )＝|ln (x －1)|，若f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围为( ) A ．(4，＋∞) B ．[3＋22，＋∞) C ．[6，＋∞)D ．(4,3＋22]【解析】∈函数f (x )＝|ln (x －1)|，f (a )＝f (b )，且x >1，不妨设a <b ，则1<a <2<b .∈－ln (a －1)＝ln (b －1)，∈1a －1＝b －1，∈b ＝1a －1＋1，∈a ＋2b ＝a ＋2a －1＋2＝a －1＋2a －1＋3≥3＋2(a －1)·2a －1＝3＋22，当且仅当a＝2＋1取等号，∈a ＋2b 的取值范围是[3＋22，＋∞)．12.(2020·河北石家庄模拟)若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2取得最大值时a 的值为( ) A.12 B.32 C.34 D.34【解析】因为圆心到直线的距离d ＝24a 2＋b2，则直线被圆截得的弦长L ＝2r 2－d 2＝24－44a 2＋b2＝23，所以4a 2＋b 2＝4.则t ＝a 1＋2b 2＝122·(22a )·1＋2b 2≤122×12×[(22a )2＋(1＋2b 2)2] ＝142·[8a 2＋1＋2(4－4a 2)]＝928，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝1＋2b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立，此时a ＝34，故选D. 二、填空题1.(2020·洛阳市统考)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则xy ＋x ＋y 的最小值为 ．【解析】：因为1x ＋2y ＝1，所以2x ＋y ＝xy ，所以xy ＋x ＋y ＝3x ＋2y ，因为3x ＋2y ＝(3x ＋2y )(1x ＋2y )＝7＋6x y ＋2yx ，且x >0，y >0，所以3x ＋2y ≥7＋43，所以xy ＋x ＋y 的最小值为7＋4 3.2．(2020·湖南岳阳期末改编)若a >0，b >0，且a ＋2b －4＝0，则ab 的最大值为 ，1a ＋2b 的最小值为 ．【解析】：因为a >0，b >0，且a ＋2b －4＝0，所以a ＋2b ＝4，所以ab ＝12a ·2b ≤12×⎝⎛⎭⎫a ＋2b 22＝2，当且仅当a ＝2b ，即a ＝2，b ＝1时等号成立，所以ab 的最大值为2，因为1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ·a ＋2b4＝14⎝⎛⎭⎫5＋2b a ＋2a b ≥14⎝⎛⎭⎫5＋2·2b a ·2a b ＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以1a ＋2b 的最小值为94. 3．(2020·安徽合肥第二次教学质量检测)若a ＋b ≠0，则a 2＋b 2＋1（a ＋b ）2的最小值为________．【解析】：a 2＋b 2＋1（a ＋b ）2≥（a ＋b ）22＋1（a ＋b ）2≥212＝2，当且仅当a ＝b ＝2－34时，a 2＋b 2＋1（a ＋b ）2取得最小值 2.4．当x ∈R 时，32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，则k 的取值范围是________． 【解析】：由32x －(k ＋1)3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x .因为3x ＋23x ≥22，所以3x ＋23x 的最小值为2 2.又当x ∈R 时，32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，即k ＋1<22，即k <22－1.5.(2020·河南许昌、洛阳第三次质量检测)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则xy ＋x ＋y 的最小值为________．【解析】：因为1x ＋2y ＝1，所以xy ＝y ＋2x ，xy ＋x ＋y ＝3x ＋2y ＝(3x ＋2y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝7＋2y x ＋6xy ≥7＋43(当且仅当y ＝3x ，即x ＝1＋233，y ＝2＋3时取等号)．所以xy ＋x ＋y 的最小值为7＋4 3.6.(2020·陕西榆林)已知正数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则当x ＝________时，1x ＋1y取得最小值，最小值为________．【解析】由基本不等式可得x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x ＝y 时等号成立．∈正数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，∈xy ≤12，当且仅当x ＝y ＝22时等号成立．∈1x ＋1y ≥21xy ≥22，当且仅当x ＝y ＝22时等号成立，∈1x ＋1y的最小值为2 2.7．当0＜m ＜12时，若1m ＋21－2m≥k 2－2k 恒成立，则实数k 的取值范围为________．【解析】因为0<m <12，所以12×2m ×(1－2m )≤12×⎣⎡⎦⎤2m ＋(1－2m )22＝18，当且仅当2m ＝1－2m ，即m ＝14时取等号，所以1m ＋21－2m ＝1m (1－2m )≥8，又1m ＋21－2m ≥k 2－2k 恒成立，所以k 2－2k －8≤0，所以－2≤k ≤4.所以实数k 的取值范围是[－2,4]．8．(2020·天津一中高考模拟)已知关于x 的不等式x 2－5ax ＋2a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是________．【解析】由于a >0，故一元二次方程x 2－5ax ＋2a 2＝0的判别式Δ＝25a 2－4·2a 2＝17a 2>0，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5a ，x 1x 2＝2a 2，则x 1＋x 2＋a x 1x 2＝5a ＋a 2a 2＝5a ＋12a ≥25a ×12a＝10，当且仅当5a ＝12a ，a ＝1010时等号成立．综上可得x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是10.三 解答题1.已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．【解析】：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64. (2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8yx ≥10＋2 2x y ·8yx ＝18. 当且仅当x ＝12，y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18. 2.已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)1x ＋1y的最小值． 【解析】：(1)因为x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .因为2x ＋5y ＝20，所以210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2， 此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1. 所以当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)因为x >0，y >0，所以1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020. 当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.所以1x ＋1y 的最小值为7＋21020.。

第四讲 基本不等式ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 重要不等式a 2＋b 2≥__2ab __(a ，b ∈R )(当且仅当__a ＝b __时等号成立)． 知识点二 基本不等式ab ≤a ＋b2(均值定理) (1)基本不等式成立的条件：__a >0，b >0__； (2)等号成立的条件：当且仅当__a ＝b __时等号成立；(3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的__算术平均数__，ab 叫做正数a ，b 的__几何平均数__．知识点三 利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当__x ＝y __时，x ＋y 有最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24.(简记：“和定积最大”)重要结论常用的几个重要不等式(1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)．(当且仅当a ＝b 时取等号) (2)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R )．(当且仅当a ＝b 时取等号)(3)(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．(当且仅当a ＝b 时取等号)(4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．(当且仅当a ＝b 时取等号)． (5)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b >0当且仅当a ＝b 时取等号)． 双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列命题不正确的是( ABC )A ．“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件B ．若x >0，则x 3＋1x2的最小值为2xC ．不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件D ．两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 题组二 走进教材2．(必修5P 100练习T1改编)若x <0，则x ＋1x ( D )A ．有最小值，且最小值为2B ．有最大值，且最大值为2C ．有最小值，且最小值为－2D ．有最大值，且最大值为－2[解析] 因为x <0，所以－x >0，－x ＋1－x ≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1x≤－2．3．(必修五P 100A 组T2改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__25__m 2．[解析] 设矩形的一边为x m ，面积为y m 2， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，其中0<x <10，∴y ＝x (10－x )≤[x ＋(10－x )2]2＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25． 题组三 考题再现4．(2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__30__．[解析] 总费用为4x ＋600x ×6＝4(x ＋900x )≥4×2900＝240，当且仅当x ＝900x ，即x ＝30时等号成立．5．(2019·天津，13)设x >0，y >0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 92 ．[解析] (x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋5xy ＝2＋5xy ．∵x >0，y >0，∴4＝x ＋2y ≥2x ·2y ，解得0<xy ≤2， 当且仅当x ＝2y ＝2，即x ＝2且y ＝1时“＝”成立．此时1xy ≥12，∴2＋5xy ≥2＋52＝92，故(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为92．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一 利用基本不等式求最值——多维探究角度1 配凑法求最值例1 (1)已知a ，b 是正数，且4a ＋3b ＝6，则a (a ＋3b )的最大值是( C ) A ．98B ．94C ．3D ．9(2)(2020·吉林模拟)已知x >2，若f (x )＝x ＋1x －2在x ＝n 处取得最小值，则n ＝( B )A ．52B ．3C ．72D ．4(3)(2020·重庆南开中学质检)已知实数a ，b >1，且满足ab －a －b ＝5，则2a ＋3b 的最小值为__17__．[解析] (1)∵a >0，b >0,4a ＋3b ＝6，∴a (a ＋3b )＝13·3a (a ＋3b )≤13(3a ＋a ＋3b 2)2＝13×(62)2＝3，当且仅当3a ＝a ＋3b ，即a ＝1，b ＝23时，a (a ＋3b )的最大值是3．(2)由f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4，当且仅当x －2＝1x －2>0，即x ＝3时，取得等号，故选B ．(3)由ab －a －b ＝5⇒6＝(a －1)(b －1) ⇒36＝(2a －2)(3b －3)≤(2a －2＋3b －32)2则2a ＋3b ≥17，当且仅当a ＝4，b ＝3取最小值． [易错警示] 求最值时忽视两项和或积为定值致错利用基本不等式求最值，在保证各项为正数的情况下，必须考虑两项和或两项积为定值，本题解答易忽视两项和为定值的条件，即错误解法为：a (a ＋3b )≤(a ＋a ＋3b2)2，当且仅当a＝a ＋3b ，且4a ＋3b ＝6，即a ＝32，b ＝0时，a (a ＋3b )的最大值为94，从而错选B ．[引申]f (x )＝x ＋1x －2的值域为__(－∞，0]∪[4，＋∞)__． [解析] f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2， ∵|(x －2)＋1x －2|＝|x －2|＋1|x －2|≥2 (当且仅当|x －2|＝1即x ＝3或1时取等号) ∴(x －2)＋1x －2≥2或x －2＋1x －2≤－2，∴f (x )≥4或f (x )≤0，即f (x )的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)． 名师点拨 ☞拼凑法求最值的技巧(1)用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，“二定”不满足时，需变形，“三相等”不满足时，可利用函数单调性．(2)求乘积的最值．同样要检验“一正、二定、三相等”，如例(2)的关键是变形，凑出积为常数．角度2 换元法求最值例2 (1)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为 15 ．(2)(2020·百校联盟尖子生联考)已知a ，b ∈R ＋，且a ＋2b ＝ab －16，则ab 的最小值为( B )A ．16B ．32C ．64D ．128[解析] (1)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1，所以y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4．当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t >0时，即x >1时，y ＝1t ＋4t＋1，因为t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t ＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．(2)ab －16＝a ＋2b ≥22ab ，令ab ＝t ， 则t 2－22t －16≥0⇒t ≥22＋722＝42，故ab ≥32，即ab 最小值为32.(当且仅当a ＝8，b ＝4时取等号)故选B ． 角度3 常数代换法求最值例3 (1)(2020·天津七校期中联考)已知a >0，b >0，且1a ＋1＋1b＝1，求a ＋b 的最小值__3__．(2)(2020·浙江宁波适应性考试)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则1a (b ＋1b )的最小值是( C )A ．112B ．5C ．2＋2 2D ．3＋ 2[解析] (1)∵a >0，b >0，且1a ＋1＋1b ＝1，∴a ＋b ＝[(a ＋1)＋b ]－1＝(1a ＋1＋1b )[(a ＋1)＋b ]－1＝b a ＋1＋a ＋1b ＋1≥2b a ＋1·a ＋1b＋1＝3， 当且仅当a ＋1＝b ，即a ＝1，b ＝2时取等号， ∴a ＋b 的最小值为3，另解：(换元法)由1a ＋1＋1b ＝1得b ＝1＋1a ，(a >0)，∴a ＋b ＝a ＋1a＋1≥2a ·1a＋1＝3， 当且仅当a ＝1，b ＝2时取等号，。

第4讲 基本不等式一、知识梳理 1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．[点拨] 应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略某个条件，就会出错．2．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24．(简记：和定积最大)[点拨] 在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．常用结论几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(3)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 二、习题改编1．(必修5P99例1(2)改编)设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81D ．82解析：选C.xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1822＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立，故选C. 2．(必修5P100A 组T2改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 ．解析：设矩形的长为x m ，宽为y m ，则x ＋y ＝10，所以S ＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝25，当且仅当x ＝y ＝5时取等号．答案：25 m 2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4. ( ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx≥2”的充要条件．( )(4)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏常见误区(1)忽视不等式成立的条件a >0且b >0； (2)忽视定值存在； (3)忽视等号成立的条件． 1．若x <0，则x ＋1x ( )A ．有最小值，且最小值为2B ．有最大值，且最大值为2C ．有最小值，且最小值为－2D ．有最大值，且最大值为－2解析：选D.因为x <0，所以－x >0，－x ＋1－x ≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1x≤－2.2．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为 ．解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：53．设0<x <1，则函数y ＝2x (1－x )的最大值为 ．解析：y ＝2x (1－x )≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝12.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立．答案：12利用基本不等式求最值(典例迁移) 角度一 通过配凑法求最值(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为 ．(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为 ．【解析】 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋（4－3x ）22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ， 即x ＝23时，取等号．(2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2（5－4x ）15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.【答案】 (1)23(2)1通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 角度二 通过常数代换法求最值已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为 ． 【解析】 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝ ⎝⎛⎭⎫2＋b a ·⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．【答案】 9【迁移探究1】 (变问法)若本例中的条件不变，则1a ＋1b 的最小值为 ．解析：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．答案：4【迁移探究2】 (变条件)若本例条件变为：已知a >0，b >0，4a ＋b ＝4，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b的最小值为 ．解析：由4a ＋b ＝4得a ＋b4＝1，⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4b＝⎝⎛⎭⎫2＋b 4a ⎝⎛⎭⎫54＋ab ＝52＋2a b ＋5b 16a ＋14≥114＋258＝114＋102.当且仅当42a ＝5b 时取等号． 答案：114＋102常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 角度三 通过消元法求最值若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是( )A.223B.23C.33D ．233【解析】 因为正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，所以y ＝1－x 26x .由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－x 26x >0，解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x ＝223，当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22，y ＝212时取等号．故x ＋2y 的最小值为223. 【答案】 A通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．1．(2020·辽宁大连第一次(3月)双基测试)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝(ab )32，则ab 的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．4解析：选C.(ab )32＝a ＋b ≥2ab ＝2(ab )12，所以ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故ab 的最小值为2，故选C.2．已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y ＋3yx的最小值为( ) A.53 B.103 C.32D ．3解析：选D.由题意得x >0，y >0，4x x ＋3y ＋3y x ＝4xx ＋3y ＋x ＋3y x －1≥24x x ＋3y ·x ＋3yx－1＝4－1＝3(当且仅当x ＝3y 时等号成立)．3．已知x >0，y >0，且x ＋16y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为 ． 解析：已知x >0，y >0，且x ＋16y ＝xy .即16x ＋1y ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫16x ＋1y ＝16＋1＋16y x ＋xy ≥17＋216y x ·xy＝25，当且仅当x ＝4y ＝20时等号成立，所以x ＋y 的最小值为25. 答案：25利用基本不等式解决实际问题(师生共研)某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【解】 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ·80 000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为x ∈[400，600]，所以S ∈[－80 000，－40 000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．应用基本不等式解决实际问题的基本步骤(1)理解题意，设出变量，建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题； (2)在定义域内，利用基本不等式求出函数的最值； (3)还原为实际问题，写出答案．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)，则泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低．解：设泳池的长为x 米，则宽为200x 米，总造价f (x )＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ＋100×200x ＋60×200＝800×⎝⎛⎭⎫x ＋225x ＋12 000≥1 600x ·225x ＋12 000＝36 000(元)，当且仅当x ＝225x(x >0)，即x ＝15时等号成立．即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低．[基础题组练]1．(2020·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，则1xy 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1.2．下列选项中，正确的是( ) A ．x ＋1x的最小值为2B ．sin x ＋4sin x 的最小值为4，x ∈(0，π)C ．x 2＋1的最小值为2D ．4x (1－x )的最大值为1解析：选D.对于A ，当x <0时，x ＋1x <0，错误；对于B ，当x ∈(0，π)时，0<sin x ≤1，由基本不等式可得sin x ＋4sin x≥2sin x ·4sin x ＝4，当且仅当sin x ＝4sin x，即当sin x ＝2时，等号成立，这与0<sin x ≤1矛盾，错误；对于C ，因为x 2≥0，x 2＋1≥1，当且仅当x ＝0时取等号，所以，x 2＋1的最小值为1；对于D ，由基本不等式可得4x (1－x )≤4·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝1，当且仅当x ＝1－x 时，即当x＝12时，等号成立，正确． 3．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D ．32解析：选A.y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A. 4．若a >0，b >0，a ＋b ＝ab ，则a ＋b 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选B.法一：由于a ＋b ＝ab ≤（a ＋b ）24，因此a ＋b ≥4或a ＋b ≤0(舍去)，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.法二：由题意，得1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4，当且仅当a＝b ＝2时取等号，故选B.法三：由题意知a ＝b b －1(b >1)，所以a ＋b ＝b b －1＋b ＝2＋b －1＋1b －1≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.5．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ．解析：一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：306．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为 ．解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2(x >－1)，所以y ≥21－2＝0，当且仅当x ＝0时，等号成立． 答案：07．(2020·湖南岳阳期末改编)若a >0，b >0，且a ＋2b －4＝0，则ab 的最大值为 ，1a ＋2b的最小值为 ． 解析：因为a >0，b >0，且a ＋2b －4＝0，所以a ＋2b ＝4，所以ab ＝12a ·2b ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 22＝2，当且仅当a ＝2b ，即a ＝2，b ＝1时等号成立，所以ab 的最大值为2，因为1a ＋2b＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ·a ＋2b 4＝14⎝⎛⎭⎫5＋2b a ＋2a b ≥14⎝⎛⎭⎫5＋2·2b a ·2a b ＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以1a ＋2b 的最小值为94.答案：2 948．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．设a >0，若关于x 的不等式x ＋a x －1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a 的最小值为( ) A ．16B ．9C ．4D ．2解析：选C.在(1，＋∞)上，x ＋a x －1＝(x －1)＋a x －1＋1≥2（x －1）×a （x －1）＋1＝2a ＋1(当且仅当x ＝1＋a 时取等号)．由题意知2a ＋1≥5，所以a ≥4.2．(2020·福建龙岩一模)已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( ) A ．3B ．5C ．7D ．9解析：选C.因为x >0，y >0.且1x ＋1＋1y ＝12，所以x ＋1＋y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝2(1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y )≥2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋2y x ＋1·x ＋1y ＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时取等号，所以x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7，故选C.3．已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，①则x 2＋y 2的最小值为 ；②若1x ＋4y≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．解析：因为x ＋y ＝1，所以xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝14，所以x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ≥1－14×2＝12，所以x 2＋y 2的最小值为12. 若a ≤1x ＋4y 恒成立，则a 小于等于⎝⎛⎭⎫1x ＋4y 的最小值，因为1x ＋4y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y )＝5＋y x ＋4x y≥5＋2y x ×4x y ＝9，所以1x ＋4y的最小值为9，所以a ≤9，故实数a 的取值范围是(－∞，9]． 答案：12(－∞，9] 4．(2020·洛阳市统考)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则xy ＋x ＋y 的最小值为 ． 解析：因为1x ＋2y ＝1，所以2x ＋y ＝xy ，所以xy ＋x ＋y ＝3x ＋2y ，因为3x ＋2y ＝(3x ＋2y )(1x＋2y )＝7＋6x y ＋2y x ，且x >0，y >0，所以3x ＋2y ≥7＋43，所以xy ＋x ＋y 的最小值为7＋4 3.答案：7＋4 3。

修51.设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )A.12B ．a 2＋b 2C ．2abD ．a 2．已知x ＜54，则函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值是( ) A ．2 B ．3 C ．1D.12 3．设a 、b 是正实数，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A 、B 的大小关系是( )A ．A ≥B B ．A ≤BC ．A ＞BD ．A ＜B4．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )A ．x ＝a ＋b 2B ．x ≤a ＋b 2C ．x ＞a ＋b 2D ．x ≥a ＋b 25．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D.146．若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b7．若0<x <1，则x (1－x )的最大值为________．8．已知a是正实数，x＝12a，y＝12a＋1，z＝1a＋a＋1，则x、y、z从大到小的顺序是__________．9. 今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的质量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实质量，这种说法对吗？证明你的结论．10.某商场预计全年分批购入每台2 000元的电视机共3 600台．每批都购入x 台(x是自然数)且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元．现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．3.4.1详解答案1. [答案] B[解析] ∵0＜a＜b，∴1＝a＋b＞2a，∴a＜1 2，又∵a2＋b2≥2ab，∴最大数一定不是a和2ab，∵1＝a＋b＞2ab，∴ab＜1 4，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab＞1－12＝12，即a2＋b2＞12..解法2：特值检验法：取a＝13，b＝23，则2ab＝49，a2＋b2＝59，∵59＞12＞49＞13，∴a2＋b2最大．2.[答案] C[解析] ∵x＜54，∴4x－5＜0，y＝4x－2＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋3＝3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－4x＋15－4x≤3－2＝1，等号在5－4x＝15－4x，即x＝1时成立，故选C.3.[答案] C[解析] ∵a＞0，b＞0，∴A＞0，B＞0，A2－B2＝(a＋b＋2ab)－(a＋b)＝2ab＞0，∴A2＞B2，∵A>0，B>0，∴A＞B.[点评] 可取特值检验．4.[答案] B[解析] ∵这两年的平均增长率为x∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∴(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )，由题设a ＞0，b ＞0.∴1＋x ＝1＋a 1＋b ≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b2，∴x ≤a ＋b2，等号在1＋a ＝1＋b 即a ＝b 时成立．5.[答案] B[解析] 根据题意得3a ·3b ＝3，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥4.当a ＝b ＝12时“＝”成立． 6.[答案] D[解析] 解法1：∵0<a <1,0<b <1，∴a 2＋b 2>2ab ，a ＋b >2ab ，a >a 2，b >b 2，∴a ＋b >a 2＋b 2，故选D.解法2：取a ＝12，b ＝13，则a 2＋b 2＝1336，2ab ＝63，2ab ＝13，a ＋b ＝56，显然56最大．7.[答案]14[解析] ∵0<x <1，∴1－x >0， ∴x (1－x )≤[x ＋1－x2]2＝14，等号在x ＝1－x ，即x ＝12时成立， ∴所求最大值为14. 8.[答案] x >z >y [解析] ∵a >0，∴2a <a ＋a ＋1<2a ＋1∴12a >1a ＋a ＋1>12a ＋1，即x >z >y .9.[解析] 不对．设左右臂长分别为l 1，l 2，物体放在左、右托盘称得重量分别为a 、b ，真实重量为G ，则由杠杆平衡原理有：l 1·G ＝l 2·a ，①l 2·G ＝l 1·b ，②①×②得G 2＝ab ，∴G ＝ab ，由于l 1≠l 2，故a ≠b ，由均值不等式a ＋b 2＞ab 知说法不对，真实重量是两次称量结果的几何平均数.10.[解析] 设总费用为y 元(y ＞0)，且将题中正比例函数的比例系数设为k ，则y ＝3 600x ×400＋k (2 000x )，依条件，当x ＝400时，y ＝43 600，可得k ＝5%， 故有y ＝1440000x ＋100x ≥21440000x ·100x ＝24 000(元)． 当且仅当1440000x＝100x ，即x ＝120时取等号． 所以只需每批购入120台，可使资金够用．28380 6EDC 滜737672 9328 錨 A23106 5A42 婂28742 7046 灆 <34015 84DF 蓟40713 9F09 鼉22937 5999 妙30166 75D6 痖31783 7C27 簧。

第03讲 基本不等式一、 考情分析1. 掌握均值不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)和基本不等式的性质； 2.结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.3.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；4.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；5.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．二、 知识梳理1.不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)；(6)可开方：a ＞b ＞0n ∈N ，n ≥2).2.均值不等式：ab ≤a ＋b2(1)均值不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数. 3.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.4.利用均值不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y 有最小值是2p(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s24(简记：和定积最大).5.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.6.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅7.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集a<b a＝b a>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b} {x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a} 8.分式不等式与整式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).(2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.[方法技巧]1.有关分数的性质。

第2讲基本不等式组基础关1．设非零实数a，b,则“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab,而错误!＋错误!≥2成立的条件是ab＞0,所以“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2"成立的必要不充分条件．2．已知a>0，b〉0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋错误!，n＝a＋错误!，则m＋n的最小值是（)A．3 B．4C．5 D．6答案B解析由题意知ab＝1，∴m＝b＋1a＝2b,n＝a＋错误!＝2a，∴m＋n＝2（a＋b)≥4错误!＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故m ＋n的最小值为4.3．已知p＝a＋错误!,q＝错误!x2－2,其中a＞2，x∈R，则p，q的大小关系是(）A．p≥q B．p＞qC．p＜q D．p≤q答案A解析由a＞2，故p＝a＋错误!＝（a－2)＋错误!＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．因为x2－2≥－2,所以q ＝错误!x2－2≤错误!－2＝4，当且仅当x＝0时取等号，所以p≥q.故选A。

4．(2019·郑州外国语学校月考）若a＞b＞1,P＝错误!,Q＝错误!（lg a＋lg b),R＝lg 错误!，则()A．R＜P＜Q B．Q＜P＜RC．P＜Q＜R D．P＜R＜Q答案C解析因为a＞b＞1，所以lg a＞0，lg b＞0,且lg a≠lg b，所以错误!＜错误!（lg a＋lg b)，由错误!＜错误!，得lg错误!＜lg 错误!.所以错误!（lg a＋lg b)＜lg 错误!，综上知P＜Q＜R.5．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30,则xy的最大值是（）A.错误!B．错误!C．2 D．错误!答案C解析由x>0，y〉0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y）＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30,即xy≤2，∴xy的最大值为2.6．《几何原本》第二卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理,很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上,点C在半径OB上，且OF⊥AB,设AC＝a，BC＝b,则该图形可以完成的无字证明为(）A.错误!≥错误!（a＞0，b＞0）B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)C.错误!≤错误!(a＞0，b＞0）D。