广东省2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练：平面向量

1. 【2019高考福建卷第8题】在下列向量组中，能够把向量()2,3=a 表示出来的是（ ） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e2. 【2019高考广东卷理第5题】已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60的是（ ） A.()1,1,0- B. ()1,1,0- C.()0,1,1- D.()1,0,1-3. 【2019高考湖南卷第16题】在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD =1，则OA OB OD ++的最大值是_________.【答案】17+【解析】因为C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程4. 【2019高考江苏卷第12题】如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是 .5. 【2019陕西高考理第13题】设20πθ<<，向量()()1cos cos 2sin ，，，θθθb a=，若b a //，则=θtan _______.6. 【2019高考安徽卷理第10题】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =+.曲线{cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域{0,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<.若CΩ为两段分离的曲线，则( )A. 13r R <<<B.13r R <<≤C.13r R ≤<<D.13r R <<<考点：1.平面向量的应用；2.线性规划.7. 【2019高考北京版理第10题】已知向量a 、b 满足1||=a ，)1,2(=b ，且0b a =+λ（R λ∈），则||λ= .8. 【2019高考湖北卷理第11题】设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ= .【答案】3±10. 【2019江西高考理第15题】已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β= .11. 【2019辽宁高考理第5题】设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ） A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q ∨⌝12. 【2019全国1高考理第15题】已知C B A ,,为圆O 上的三点，若()AC AB AO +=21，则AB 与AC 的夹角为_______．【考点定位】1、平面向量基本定理；2、圆的性质．13. 【2019全国2高考理第3题】设向量a,b 满足|a+b |=10，|a-b |=6，则a ⋅b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 514. 【2019高考安徽卷理第15题】已知两个不相等的非零向量,,b a 两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成.记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=，min S 表示S 所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有准确命题的编号）. ①S 有5个不同的值. ②若,b a ⊥则min S 与a 无关. ③若,b a ∥则min S 与b 无关. ④若a b 4>，则0min >S .⑤若2min||2||,8||b a Sa ==，则a 与b 的夹角为4π2222min 34()8||cos 4||8||S S a b b a a a θ==⋅+=+=，∴2cos 1θ=，∴3πθ=，故⑤错误.所以准确的编号为②④.考点：1.平面向量的运算；2.平面向量的数量积.15. 【2019四川高考理第7题】平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．216. 【2019浙江高考理第8题】记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y x y x x y≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+17. 【2019重庆高考理第4题】已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =（ ）9.2A -.0B .C 3 D.15218. 【2019天津高考理第8题】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD?，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =．若1AE AF?，23CE CF ?-，则l m += （ ） （A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）71219. 【2019大纲高考理第4题】若向量,a b 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （ ）A ．2B ．2C ．1D ．22。

广东省13市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编平面向量一、选择、填空题1、（潮州市高三上学期期末）已知向量a ，b 满满足|a |=5，|b |=3，a •b =﹣3，则a 在b 的方向上的投影是 ﹣1 ．2、（东莞市高三上学期期末）设D 为△ABC 所在平面内一点，且3BC CD =，则3、（佛山市高三教学质量检测（一））一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB 、AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AC 于K ，若2=，3=，)(R ∈=λλ，则=λ（ ）A ．2B ．25C ．3D ．5 4、（广州市高三12月模拟）已知抛物线:C x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与曲线C 相交于M ，N 两点，若3=，则=MN (Ａ)221(Ｂ)332 (Ｃ) 10 (Ｄ) 115、（惠州市高三第三次调研）若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) （A ）等腰三角形（B ）直角三角形（C ）正三角形 （D ）等腰直角三角形 6、（江门市高三12月调研）在中，是边的中点，，，则A ．B ．C ．D ．7、（揭阳市高三上学期期末）设D 为△ABC 所在平面内一点，且3BC BD =,则AD =（A ）2133AB AC + （B ）1233AB AC + （C ）4133AB AC + （D ）2533AB AC + 8、（茂名市高三第一次综合测试）过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点2(,0)F c 作圆222a y x =+的切线，切点为M ，延长2M F 交抛物线24y cx =-于点,P 其中O 为坐标原点，若21()2OM OF OP =+，则双曲线的离心率为（ ） A ．7224- B ．7224+ C ．231+ D ．251+9、（清远市清城区高三上学期期末）已知向量 b a , 3且、,)(b b a ⊥+则a与b 的夹角β为10、（汕头市高三上学期期末）在平面内，定点D C B A ,,,满足||||||DC DB DA ==，2-=⋅=⋅=⋅，动点M P ,满足1||=，=，则2||的最大值是（ ） A ．443B ．449 C. 43637+ D ．433237+11、（韶关市高三1月调研）已知平面非零向量,a b 满足()1b a b ⋅+=，且1b =，则a 与b 的夹角为12、（肇庆市高三第二次模拟）已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且AB AC AP ABAC=+，当t 变化时，PB PC ⋅ 的最大值等于（A ）-2 （B ）0 （C ）2 （D ）413、（珠海市高三上学期期末）已知平面向量a ，b 满足a （a ＋b ）=5，且|a |=2， |b |＝1，则向量a 与b 的夹角为A.6π B.3πC.23πD.56π 14、（东莞市高三上学期期末）设向量a ＝(,2)x ，b ＝（1，－1），且a 在b 方向上的投影为，则的值是_________.15、（广州市高三12月模拟）已知菱形A B C D 的边长为2，60ABC ∠=, 则BD CD ⋅=________．16、（江门市高三12月调研）如图，空间四边形中，点分别上，，则A ．B ．C ．D ．二、解答题1、（潮州市高三上学期期末）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，→m =（a ，c ）与→n =（1+cosA ，sinC ）为共线向量． （1）求角A ；（2）若3bc=16﹣a 2，且S △ABC =，求b ，c 的值．2、（江门市高三12月调研）已知是锐角三角形，内角所对的边分别是，满足．（Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若，，求的周长．3、（茂名市高三第一次综合测试）设,x y R ∈，向量,i j 分别为直角坐标平面内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(3)a x i y j =++, (3)b x i y j =-+,且||||4a b +=．（Ⅰ）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设椭圆22:1164x y E +=，P 为曲线C 上一点，过点P 作曲线C 的切线=+y kx m 交椭圆E 于A 、B 两点，试证：∆OAB 的面积为定值.参考答案 一、选择、填空题1、【解答】解：由向量、满足||=5，||=3， •=﹣3则在的方向上的投影是==﹣1，故答案为：﹣12、A3、D4、B5、【解析】因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，即CB →·(AB →＋AC →)＝0，∵AB →－AC →＝CB →，∴(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|， 所以△ABC 是等腰三角形，故选A. 6、D 7、A8、D 解：如图9，∵21M (OP)2O OF =+，∴M 是2F P 的中点.设抛物线的焦点为F 1，则F 1为（- c ，0），也是双曲线的焦点. 连接PF 1，OM .∵O 、M 分别是12F F 和2PF 的中点，∴OM 为 △PF 2F 1的中位线.∵OM=a ，∴|PF 1|=2 a.∵OM ⊥2PF ，∴2PF ⊥PF 1，于是可得|2PF 2b =，设P （，y ），则 c - =2a ，于是有=c-2a ， y 2=4c （c 2 a ），过点2F 作轴的垂线，点P 到该垂线的距离为2a. 由勾股定理得 y 2+4a 2=4b 2， 即4c(c-2a)+4 a 2=4(c 2- a 2)，变形可得c 2-a 2=ac ，两边同除以a 2有 210e e --=, 所以12e += ,负值已经舍去. 故选D . 9、65π 10、B 11、2π12、B 13、B 14、4 15、6 16、B二、解答题1、【解答】解：（1）由已知得asinC=c （cosA +1），∴由正弦定理得sinAsinC=sinC （cosA +1），． …（2分）∴sinA ﹣cosA=1，故sin （A ﹣）=．…由0＜A ＜π，得A=； …（2）在△ABC 中，16﹣3bc=b 2+c 2﹣bc ， ∴（b +c ）2=16，故b +c=4． ①…（9分）又S △ABC ==bc ，∴bc=4．②…（11分）联立①②式解得b=c=2．…（12分） 解：⑴……⑵由，得①……7分由⑴知3π=A ，所以bc=24 ②……8分由余弦定理知a 2=b 2+c 2-2bccosA ，将72=a 及①代入可得c 2+b 2=52③……10分 ③+②×2，得（c+b ）2=100，所以c+b=10，△ABC 的周长是7210+……12分 3、 (Ⅰ)解：∵ (3)a x i y j =++ ， (3)b x i y j =-+ ，且||||4a b +=4=∴ 点M （，y ）到两个定点F 1（0），F 2，0）的距离之和为4…………2分 ∴ 点M 的轨迹C 是以F 1、F 2为焦点的椭圆，设所求椭圆的标准方程为22221(0),x y a b a b +=>>则c =, 2a = ∴2221b a c =-= ………………3分 其方程为2214x y += …………………………………………………………………4分（Ⅱ）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将=+y kx m 代入椭圆E 的方程，消去x 可得222(14)84160+++-=k x kmx m 显然直线与椭圆C 的切点在椭圆E 内，由韦达定理则有,0>∆∴：122814+=-+kmx x k，212241614-=+m x x k . ……………………………………………5分所以122||14-=+x x k …………………………………………………6分因为直线=+y kx m 与y 轴交点的坐标为(0,)m ，所以∆OAB 的面积1221|||||214=-=+m S m x x k …………………7分== …………8分 设2214=+m t k将=+y kx m 代入椭圆C 的方程，可得222(14)8440+++-=k x kmx m ………10分由0∆=，可得2214=+m k 即1=t ， …………………………………………11分又因为==SS为定值. …………………………………………………………………12分故。

广东省14市2019届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编平面向量一、选择、填空题1、（东莞市2019届高三上学期期末）已知向量a =(l ，1)，b ＝(2，x)，a ⊥(a －b )，则实数x 的值为A 、－2B 、0C 、1D 、22、（广州市2019届高三12月调研考试）已知向量,a b r r 的夹角为45︒ ，且1,a b ==r r 则a b -=r r ____________．3、（惠州市2019届高三第三次调研考试）在ABC ∆中，点D 是AC 上一点，且4AC AD =u u u r u u u r ，P 为BD 上一点，向量()AP AB AC λμλμ=+>0,>0u u u r u u u r u u u r ，则值为（ ）A ．16B ．8C ．4D ．24、（江门市 2019届普通高中高三调研）若()()1,2,21a b a b a b ==+⋅-=-r r r r r r ，则向量a r 与b r 的夹角为（ ）5、（揭阳市2019届高三上学期期末）若向量(1,)a x =r 、(1,2)b =--r不共线，且()()a b a b +⊥-r r r r ，则a b ⋅=r r _______； 6、（雷州市2019届高三上学期期末）已知O 是正方形ABCD 的中心．若−→−−→−−→−+=AC AB DO μλ，其中λ、μR ∈，则A ．2-BCD 7、（茂名市2019届高三上期末）已知向量a ＝(1，2），b ＝（m ，－1)，若a ∥（a ＋b ）， 则m ＝8、（清远市2019届高三上期末）设向量()2,1-=a ，若单位向量．．．．满足()b a a 3-⊥，则b a ⋅= .9、（汕头市2019届高三上学期期末）已知向量 a = (5, m )，b = (2，-2)，若(a - b ) ⊥ b ， 则 m =A.－1 B 、1 C 、2 D.－210、（汕尾市2019届高三上学期期末）设向量()()1,2,2,1=-=-a b x ，若λ=a b ，则=xA ．12B ．14C ．4D ．2 11、（韶关市2019届高三上学期期末）在△ABC 中，D 为AC 边的中点，若(,)AB BD BC R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r ，则A 、λ＝2，μ＝－1B 、λ＝－1，μ＝2 C 、 λ＝－2，μ＝1 D 、λ＝1，μ＝2 12、（肇庆市2019届高三上学期期末）已知ABC ∆的边BC 上有一点D 满足3BD DC =u u u r u u u r ，则AD u u u r 可表示为A ．1344AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r B ．3144AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r C ．2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r D ．1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r 13、（珠海市2019届高三上学期期末）在△ABC 中，BD DC =u u u r u u u r ，AP PD =u u u r u u u r ，且BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+＝（ ）A 、1B 、12C 、－12D 、1414、（佛山市2019届高三上学期期末）参考答案一、填空题1、B2、13、A4、C5、36、A7、12-8、35 9、B 10、B 11、C 12、A 13、C 14、A二、解答题1、（惠州市2019届高三第二次调研考试）在 ∆ABC 中， ∠ A ，∠ B ，∠ C , 所对边分别为 a ，b ，c。

2019届高三数学一轮复习测试卷平面向量本卷测试要点：平面向量的概念、线性运算与数量积运算。

一．填空题：1. 已知向量()4,2a =，向量(),3b x =，且a //b ,则x =________. [解析]4320,x ⨯-⨯=则6x =.2. 设1e 与2e 是两个不共线向量，1232AB e e =+，12CB ke e =+，1232CD e ke =-， 若,,A B D 三点共线，则=k ．[解析]12(3)(21)BD CD CB k e k e =-=--+，设AB BD λ=.则3(3)k λ=-，2(21)k λ=--，解得94k =-．3． 已知向量)1,(λ=a ，)1,2(+=λb ，若a b a b +=-，则实数λ的值为 ．[解析] 22222201a b a b a a b b a a b b a b λ+=-⇒+⋅+=-⋅+⇒⋅=⇒=-．4.已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ▲ ．【解析】21111112()242424OA OC OA OB OA =+=+⨯⨯-=，设OA →与OC →的夹角为θ，2211142OC OA OA OB OB =++=，则114cos 122θ==，所以OA →与OC →的夹角为θ为60︒。

5. 如图，在△ABC 中，=，P 是BN 上的一点，若=m +，则实数的值为______. 解析 ,设 则， AN 31NC AP AB 112AC m 123,.41144AP AC NP mAB AC NP mAB AC =+=+=-()3144NB NC CB AC AB AC AB AC =+=+-=-,NP NB λ=14AB AC λλ-=344mAB AC -3.11m λ==6. 如图，已知，的夹角为，若， ，为的中点，则= ．[解析]11()322AD AB AC p q =+=-，228,9,6pq p q ==⋅=， 所以222211225(3)93244AD P q p q p q =-=+-⋅=.152AD ∴=． 7.如图，在ABC ∆中，已知4,6,60A B A C B A C ==∠=︒，点,D E 分别在边,A B A C 上，且2,3AB AD AC AE ==，点F 为DE 中点，则BF DE 的值为 .[解析]1132DE AE AD AC AB =-=-, ()111311226432BF DE BD DF DE AB DE DE AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=-+⋅=-⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213141883AC AB AB AC =+-⋅=．8.如图，将 45直角三角板和 30直角三角板拼在一起，其中 45直角三角板的斜边与 30直角三角板的30角所对的直角边重合．若DB x DC y DA =⋅+⋅，则,x y 等于 ． [解析]以D 为坐标原点建立直角坐标系，不妨设1==DC DA则)1,0(),0,1(C A ,(,),DB x DC y DA y x →→→∴=+=， 由AC AB BC ===；2222(1)8(1)6y x y x ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩，联立两式得1x y =+=（舍负）||22p =||3q =,p q 4π52AB p q =+3AC p q =-D BC ||AD ADFEBC9. 如图，一直线与平行四边形的两边分别交于两点，且交其对角线于，其中，，，，则的值为 ．解析 因为点,,F K E 共线， 故可设21(1)52mAK mAE m AF mAB AD -=+-=+ 又()AK AC AB AD λλ==+, 2152mm λ-∴==. 92=∴λ． 10.在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =，CA CE λ=，若14A DB E ⋅=-，则λ的值为 ．[解析] 在边长为1的正三角形ABC 中，所以2211,2AB AC AB AC ==⋅=.由已知可得：11()()2AD BE AB AC BC CA λ→→→→→→⋅=+⋅+11()()2AB AC AC AB AC λ→→→→→=+⋅--4143])11[()(21-=-=--⋅+=→→→→λλAB AC AC AB , 3=∴λ．11. 已知A 为椭圆22195x y +=上的动点，MN 为圆C ：22(1)1x y -+=的一条直径，则AM AN 的最大值为 ．解析：()[].,3,3A m n m ∈-, ()()()()21AM AN AC CM AC CN AC CM AC CM AC ⋅=+⋅+=+⋅-=-()()2222241115(1)12699m m n m m m =-+-=-+--=-+, 3-=∴m 时，取到最大值15.12．在ABC ∆中，若对任意的，||||CA mCB AB -≥恒成立，则ABC ∆的形状为 ． 解析： |||||CB |CA mCB AB CA -=-≥，两边平方整理得到：22222CB m CB mCA CB CB CA -⋅-+⋅0≥.根据题意对任意的m R ∈，不等式恒成立，因此()()222242CB 0CA CBCB CB CA ∆=⋅--+⋅≥，根据向量数量积的定义化简不等式得：cos b C a =，再利用余弦定理得到：2222a b c b a ab+-⋅=，化简即得222a c b +=.故ABC ∆是直角三角形． R m ∈13如图ABC ∆中，3,AB BC CA PQ ===是以A 为圆心，以1为半径的圆的一条直径．问：BC 与PQ 的夹角θ为何值时，BP CQ ⋅的最小值为__________________．解析 11,22BP AP AB PQ AB CQ AQ AC PQ AC =-=--=-=-uu r uu u r uu u r uu ur uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r ，()211112242BP CQ PQ AB PQ AC PQ AB AC PQ AC AB⎛⎫⎛⎫⋅=---=-+⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu r uu u r uu u r uu u r uu u r uuu r uu ur uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r 211(2)cos 42r bc A PQ BC =-++⋅uu u r uu u r 222211()2cos 22r b c a r a θ=-++-+⋅⋅22221cos ()2ar b c a r θ=++--， 当cos 1θ=-，即πθ=时，()2222min11()(239)131622BP CQb c a r ar ⋅=+---=+---⨯=-uu r uu u r ．14.设O 是ABC ∆的外心，,,a b c 分别为角,,A B C 对应的边，已知2220b b c -+=，则B C A O --→--→⋅的范围是 _________________.【解析】设D 为BC 的中点,则AO AD DO =+,得())BC AO BC AD DO BC AD BC DO BC AD ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅,又由()1,2BC AC AB AD AC AB =-=+ ,则()()()()()22222221111(2)2222BC AD AC AB AC AB AC AB b c b b b b b ⋅=-⋅+=-=-=--=-, 又因2220,c b b =->解得02b <<,结合2BC AD b b ⋅=-可求得1<24BC AD -≤⋅． 二．解答题： 15.已知向量()22,,sin ,cos ,22m n x x ⎛⎫=-=⎪⎝⎭π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）若m n ⊥，求x tan 的值；（2）若m 与的夹角为π3，求x 的值． 解析 （Ⅰ）0022m n m n x x ⊥⇒⋅=⇒-=，即1tan =x . BQACP（Ⅱ）∵1,m n ==2πsin 11cos 3m n x x ⋅==⋅⋅, π1sin 42x ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭. ∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, ∴πππ,444x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.∴64ππ=-x ,即125π=x ．16.在ABC ∆中，角,,A B C 对边分别为,,a b c ．设向量(),m a b =，()sin ,sin n B A =，()2,2p b a =--． （1）若→→n m //，求证：ABC ∆为等腰三角形； （2）已知2,3c C π==，若m p ⊥，求ABC ∆的面积S ．[解析]（1）因为→→n m //所以sin sin a A b B =sin sin a A b B =由正弦定理得22a b =，即a b =. 所以ABC ∆为等腰三角形．（2）因为m p ⊥，所以()()220a b b a -+-=，即a b ab +=①，又因为2,3c C π==，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得224a b ab +-=, 即()234a b ab +-=. 把①代入得()234ab ab -=. 解得4ab =（1ab =-舍去）.所以ABC ∆的面积1sin 2S ab C == 17．已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且m ⊥n . (1)求cos 2α的值； (2)若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求角β的值． 解：法一：(1)由m ⊥n 得，2cos α－sin α＝0，即sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝15，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255， 所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝⎝⎛⎭⎫552－⎝⎛⎭⎫2552＝－35.(2)由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. 因为sin(α－β)＝1010，所以cos(α－β)＝31010. 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22.因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4. 18.已知过点且斜率为k 的直线l 与圆C ：交于N M ,两点. （1）求k 的取值范围；（2），其中O 为坐标原点，求. [解析]（1）由题设，可知直线l 的方程为.因为l 与C 交于两点，所以,解得. （2）设.将代入方程,整理得,所以 21212121224(1)1()81k k OM ON x x y y k x x k x x k+⋅=+=+++=++, 由题设可得，解得，所以l 的方程为.故圆心()3,2C 在直线l 上，所以.19. 已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，)121(,,2<<==→→→→λλλBC BF BA BE , 过点F 作BC DF ⊥交AC 边于点D ，交BA 的延长线于点E ．（1）当32=λ时，设→→→→==b BC a BA ,，用向量→→b a ,表示；（2）当λ为何值时，AE FC ⋅取得最大值，并求出最大值．[解析]（1）由题意可知：2,3BF b →→=且2,BF →=4,BE →=，()1,0A ()()22231x y -+-=12OM ON ⋅=MN 1y kx=+1<k <1122(,),(,)M x y N x y 1y kx =+()()22231x y -+-=22(1)-4(1)70k x k x +++=1212224(1)7,.11k x x x x k k ++==++24(1)8=121k k k +++=1k 1y x =+||2MN =故4433BE BA a →→→==， 4233EF BF BE a b →→→→→=-=-+ .（2）由题意，3,33BF FC λλ→→==-，6,63BE AE λλ→→==-，2279(63)(33)c o s 60922AE FC λλλλ→→⋅=--=-+-. 当27312,19242λ⎛⎫=-=∈ ⎪-⨯⎝⎭时，→→⋅FC AE 有最大值169．20．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cos A )，向量n ＝(cos C ，c )，且m ·n ＝3b cos B .(1)求cos B 的值；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A ＋1tan C 的值．解：(1)因为m ·n ＝3b cos B ， 所以a cos C ＋c cos A ＝3b cos B .由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝3sin B cos B ， 所以sin(A ＋C )＝3sin B cos B ，所以sin B ＝3sin B cos B . 因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B ＝13.(2)因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac .由正弦定理，得sin 2B ＝sin A sin C . 因为cos B ＝13，B 是△ABC 的内角，所以sin B ＝223. 所以1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝cos A sin C ＋sin A cos C sin A sin C ＝sin A ＋Csin A sin C＝sin B sin A sin C ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝324.。

专题25 平面向量的模长问题【热点聚焦与扩展】平面向量中涉及模长的问题，常用解法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，因此，解答这类问题时可以利用数形结合的思想，利用代数和几何特征，会加快解题速度. 本专题拟通过典型例题，介绍代数法和几何法两种思路，以期对大家有所启发. （一）代数法利用代数方法处理向量的模长问题，主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式1、模长平方：通过22cos0a a a a =⋅=可得：22a a =，将模长问题转化为数量积问题，从而能够与条件中的已知向量（已知模长，夹角的基向量）找到联系.要注意计算完向量数量积后别忘记开方 2、坐标运算：若(),a x y =，则2a x =+某些题目如果能把几何图形放入坐标系中，则只要确定所求向量的坐标，即可求出（或表示）出模长3、有关模长的不等问题：通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题 （二）几何法1、向量和差的几何意义：已知向量,a b ，则有：（1）若,a b 共起点，则利用平行四边形法则求a b +，可得a b +是以,a b 为邻边的平行四边形的对角线 （2）若,a b 首尾相接，则利用三角形法则求出a b +，可得a b +，,a b 围成一个三角形 2、向量数乘的几何意义：对于a λ（1）共线（平行）特点：a λ与a 为共线向量，其中0λ>时，a λ与a 同向；0λ<时，a λ与a 反向 （2）模长关系：a a λλ=⋅ 3、与向量模长问题相关的定理：（1）三角形中的相关定理：设ABC 三个内角,,A B C 所对的边为,,a b c ① 正弦定理：sin sin sin a b cA B C== ② 余弦定理：2222cos a b c bc A =+-（2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线特别的，对于底角60的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形. （3）矩形：若四边形ABCD 的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长【经典例题】例1.【浙江省部分市学校（新昌一中、台州中学等）2019届高三上学期9+1联考】如图，点C 在以AB 为直径的圆上，其中2AB =，过A 向点C 处的切线作垂线，垂足为P ，则AC PB ⋅的最大值是（ ）A. 2B. 1C. 0D. 1- 【答案】B【解析】连结BC ，则=90ACB ∠︒ ∵AP PC ⊥∴()21AC PB PC⋅=≤∴AC PB ⋅的最大值为1 故选B点睛：（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题；（3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 例2.已知向量,a b 的夹角为45，且1,210a a b =-=，则b =（ ）2 C. 【答案】D【解析】思路：本题利用几何图形可解，运用向量加减运算作出如下图形：可知2,,4AB B AC π===只需利用余弦定理求出BC 即可.解1：如图可得：b BC =，在ABC 中，有：2222cos AC AB BC AB BC B =+-例3. 已知向量,a b ，且1,2a b ==，则2b a -的取值范围是（ ）A. []1,3B. []2,4C. []3,5D. []4,6【答案】[]3,5解2：222244174cos ,178cos ,b a b a b a a b a b a b -=-⋅+=-=- 因为[]cos ,1,1a b ∈- []229,25b a ∴-∈即[]23,5b a -∈例4.【2019届浙江省杭州市高三第二次检测】记的最大值和最小值分別为和.若平面向量满足则（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】由已知可得：，建立平面直角坐标系，，，可得：点睛：本题主要考查的知识点是向量的数量积及模的关系.通过建立平面直角坐标系将其转化为点与圆的位置关系，就可以求出距离的最值，解答本题的关键是转化，理解并掌握本题的解题方法.有一定的难度.例5.【2019届北京市城六区高三一模】已知点在圆上，点在圆上，则下列说法错误的是A. 的取值范围为B. 取值范围为C. 的取值范围为D. 若，则实数的取值范围为【答案】B【解析】∵M在圆C1上，点N在圆C2上，∴∠MON≥90°，∴≤0，又OM≤+1，ON≤+1，∴当OM=+1，ON=+1时，取得最小值（+1）2cosπ=﹣3﹣2，故A正确；设M （1+cos α，1+sin α）， N （﹣1+cos β，﹣1+sin β），则=（cos α+cos β，sin α+sin β），∴2=2cos αcos β+2sin αsin β+2=2cos （α﹣β）+2， ∴0≤≤2，故B 错误；故选B ．例6.【2017浙江，15】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】【名师点睛】本题通过设入向量,a b 的夹角θ，结合模长公式， 解得54cos a b a b ++-=+转化能力和最值处理能力有一定的要求．例7.【2017课标1，理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .【答案】【解析】试题分析：222|2|||44||4421cos60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=所以|2|12a b +==秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2a b +的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为例8.【2019届山西省孝义市高三下学期一模】已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是__________． 【答案】【解析】分析：先根据题意画出平行四边形，再解三角形得解.详解：如图所示，∴∵，∴∴所以向量与的夹角是120°. 故填120°.例9.【2019届湖北省高三4月调研】已知向量a 与b 的夹角为30°，2a b -=，则a b +的最大值为_________．【答案】4+【解析】分析：由题意2a b -=，利用基本不等式和向量的运算，求的a b ⋅≤进而可求得a b +的最大值.所以()2222024444cos30423a ba ba b a b a b a b a b +=+=++⋅=+⋅=+⋅=+⋅428≤+=+a b =时，等号成立，所以28164a b +≤+=+.点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决． 例10.已知平面向量,,a b c 满足1,2a b ==，且1a b ⋅=-，若向量,a c b c --的夹角为60，则c 的最大值是_________.【答案】32sin BD d R BAD===，即max 221c =答案：3D【精选精练】1．已知正方形ABCD 的边长为1， 则等于（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据平面向量的基本定理，得到，即可求解其模．详解：因为正方形的边长为，，则，因为，所以，故选C．点睛：本题考查了两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量的模模的方法，运用向量和三角形法则求出向量的和是解题的关键．2.【2019届山东省栖霞市第一中学高三4月模拟】已知向量，，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D3.【浙江省嘉兴第一中学2019届高三9月基础知识测试】若，且，，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】故选：D. 4．对于任意向量，下列说法正确的是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意，根据向量加法的三角形法则，且三角形两边之差小于第三边，则，同理，所以，故正确答案为A.5．已知向量a ， b 满足： 324,a b a b ==+=，，，则a b =﹣3 【答案】D【解析】分析：利用向量的数量积运算及向量的模运算即可求出．详解：∵|a |=3，|b |=2，|a +b |=4， ∴|a +b |2=|a |2+|b |2+2a b ⋅=16，∴2a b ⋅=3，∴|a ﹣b |2=|a |2+|b |2﹣2a b ⋅=9+4﹣3=10，∴|a ﹣b ， 故选：D ．6．【2019届四川省绵阳市三诊】ABC ∆中， 5AB =， 10AC =， 25AB AC ⋅=，点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点，且3255AP AB AC λ=- R λ∈（），则AP 的最大值是（ ）A.2C. 39D. 41 【答案】B因为10λ-≤≤，所以2AP 的最大值为37，故maxAP= B.点睛：本题中向量,AB AC 的模长、数量积都是已知的，故以其为基底计算2216129AP λλ=-+，其中λ的取值范围可以由P 的位置来确定.7．【2019届辽宁省部分重点中学协作体高考模拟】已知是边长为1的正三角形，若点满足，则的最小值为（ ）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】分析：以为原点，以为轴，建立坐标系，可得，，利用配方法可得的最小值.，故选C.点睛：本题主要考查向量的模与平面向量的坐标运算，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则；（２）三角形法则；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与求范围问题往往运用坐标运算来解答）. 8．【2019届湖南省永州市三模】在中，，，，是上一点，且，则等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】在中，，，是是上一点，且，如图所示，设，所以，所以，解得，所以，故选C ．8.【浙江省台州市2019届高三上学期期末】已知m ， n 是两个非零向量，且1m =， 23m n +=，则m n n ++的最大值为（ ）C. 4D. 5 【答案】B 【解析】9．【2019届四川省蓉城名校高三4月联考】已知圆1C ： ()2251x y ++=， 2C ： ()225225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=，则CM 的最小值为（ ）A. 4 D. 【答案】A【解析】∵圆1C ： ()2251x y ++=，圆2C ： ()225225x y -+=，088,x -≤≤minCM∴=== ，选A.10．设向量a ， b ， c 满足1a b ==， 1·2a b =-， ,60a c b c --=︒则c 的最大值等于（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A【解析】∵1a b ==，且1·2a b =-，∴a b ，的夹角为120°， 设,,OA a OB b OC c ===则,CA a c CB b c =-=- 如图所示， 则∠AOB=120°；∠ACB=60° ∴∠AOB+∠AOC=180° ∴A，O ，B ，C 四点共圆，∵AB b a =-， 2222|||2?|3AB a b a a b b =-=-+= ∴ 3.AB =由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=2sin ABACB=∠.当OC 为直径时， c 最大，最大为2．故选：A ．点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、余弦定理的应用，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，·cos ·a b a b θ=（此时·a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影， a 在b 上的投影是a bb⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.11.，与的夹角为，则的最小值是______,的最小值是_______．【答案】,,即的最小值是.12.【2019届天津市十二校二模】已知直角梯形中，，，，，，是腰上的动点，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：以为轴，为原点,过与垂直的直线为轴，建立坐标系，可设，可得，，利用二次函数配方法可得结果.详解：以为轴，为原点,过与垂直的直线为轴，建立坐标系，，即的最小值为，故答案为.。

专题07 平面向量1．【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足，且b ，则a 与b 的夹角为||2||=a b ()-a b ⊥A ．B ．π6π3C ． D ．2π35π6【答案】B【解析】因为b ，所以=0，所以，所以=()-a b ⊥2()-⋅=⋅-a b b a b b 2⋅=a b b cos θ22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为，故选B ．π3【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．[0,]π2．【2019年高考全国II 卷理数】已知=(2,3)，=(3，t )，=1，则=ABAC BC AB BC ⋅A ．−3B ．−2C ．2D ．3【答案】C【解析】由，，得，则，(1,3)BC AC AB t =-=- 1BC == 3t =(1,0)BC = ．故选C ．(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．3．【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“与的夹角为锐角”是“”AB AC||||AB AC BC +> 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】与的夹角为锐角，所以，即ABAC2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅，因为，所以|+|>||；22||||AB AC AC AB +>- AC AB BC -= AB AC BC当|+|>||成立时，|+|2>|-|2•>0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以AB AC BC AB AC AB AC AB ⇒ AC与的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件,故选C ．AB AC AB AC AB AC BC【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.4．【2019年高考全国III 卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若，则___________.2=c a cos ,=a c 【答案】23【解析】因为，，2=-c a 0⋅=a b所以，22⋅=⋅a c a b 2=，所以，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ||3=c 所以 ．cos ,=a c 22133⋅==⨯⋅a c a c 【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．5．【2019年高考天津卷理数】在四边形中，，点ABCD ,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥E 在线段的延长线上，且，则_____________．CB AE BE =BD AE ⋅=【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，则，.5,AB AD ==B 5)2D 因为∥，，所以，AD BC 30BAD ∠=︒30ABE ∠=︒因为，所以，AE BE =30BAE ∠=︒所以直线，其方程为，BEy x =-直线的斜率为.AE y x =由得，yx y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x =1y =-所以.1)E -所以.5)1)12BD AE =-=- 【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.6．【2019年高考江苏卷】如图，在中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于ABC △点.若，则的值是_____.O 6AB AC AO EC⋅=⋅ABAC【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．，()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭得即2213,22AB AC = AB = ABAC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.7．【2019年高考浙江卷】已知正方形的边长为1，当每个取遍时，ABCD (1,2,3,4,5,6)i i λ=±1的最小值是________；最大值是_______.123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++【答案】0；所以当时，有最大值1256341,1λλλλλλ======-max y ===故答案为0；【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.8．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】在矩形中，,ABCD 4AB =u u u r 2AD =．若点，分别是，的中点，则M N CD BC AM MN ⋅=A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：，12AM AD DM AD AB =+=+ .1122MN CN CM CB CD =-=- 11112222BC DC AD AB =-+=-+ ∴.111222AM MN AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111||||41622424AD AB =-⋅+⋅=-⋅+⋅= 故选：C ．【名师点睛】本题主要考查基底向量的设立，以及向量数量积的运算，属基础题．9．【福建省漳州市2019届高三下学期第二次教学质量监测数学试题】已知向量，满足，a b ||1=a ||=b 且与的夹角为，则a b 6π()(2)+⋅-=a b a b A ．B ．1232-C ．D ．12-32【答案】A【解析】.()()221222312+-=-+⋅=-+=a b a b a b a b 故选A.【名师点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．10．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学试题】已知向量，，(1,2)=a (2,3)=-b ，若，则实数(4,5)=c ()λ+⊥a b c λ=A ．B ．12-12C ．D ．2-2【答案】C【解析】因为，，(1,2)=a (2,3)=-b 所以，()12,23λλλ-+a +b =又，所以，()λ+⊥a b c ()0λ+⋅=a b c 即，解得.()()4125230+=λλ-+2λ-= 故选C.【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型.11．【2019届北京市通州区三模数学试题】设，均为单位向量，则“与夹角为”是“”a b a b 2π3||+=a b 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】因为，均为单位向量，a b 若与夹角为，a b 2π3则，||1+===a b因此，由“与夹角为”不能推出“”；a b 2π3||+=a b若，则||+=a b ||+===a b 解得，即与夹角为，1cos ,2=a b a b π3所以，由“”不能推出“与夹角为”||+a b a b 2π3因此，“与夹角为”是“”的既不充分也不必要条件.a b 2π3||+=a b 故选D【名师点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，以及向量的数量积运算，熟记充分条件与必要条件的概念，以及向量的数量积运算法则即可，属于常考题型.12．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试数学（二)】在中，，ABC △2AB AC AD += AE DE +=0，若，则EB xAB y AC =+A ．B ．3y x=3x y=C ．D ．3y x =-3x y=-【答案】D【解析】因为，所以点是的中点，又因为，所以点是的2AB AC AD += D BC AE DE +=0E AD 中点，所以有：，因此11131()22244BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+⨯+=-+，故题选D.31,344x y x y =-=⇒=-【名师点睛】本题考查了向量加法的几何意义、平面向量基本定理.解题的关键是对向量式的理解、对向量加法的几何意义的理解.13．【2019年辽宁省大连市高三5月双基考试数学试题】已知直线y =x +m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O为坐标原点，若，则实数m =32AO AB ⋅=A ．B ．1±C ．D ．12±【答案】C【解析】联立 ，得2x 2+2mx +m 2−1=0，221y x mx y =+⎧⎨+=⎩∵直线y =x +m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，∴=-2m 2+8＞0，解得，∆x <<设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−m ，，21221-=m x x y 1y 2=（x 1+m ）（x 2+m ）=x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2，=（-x 1，-y 1），=（x 2-x 1，y 2-y 1），AOAB∵+y 12-y 1y 2=1+m 2-m 2=2-m 2=，21123,2AO AB AO AB x x x ⋅=∴⋅=- 221122m m ----23解得m =．±故选：C ．【名师点睛】本题考查根的判别式、根与系数的关系、向量的数量积的应用，考查了运算能力，是中档题．14．【天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学试题】已知菱形的边长ABCD 为2，，点，分别在边，上，，，若，120BAD ∠=︒E F BC DC 3BC BE =DC DF λ=1AE AF ⋅=则的值为λA ．3B ．2C ．D ．2352【答案】B【解析】由题意可得：()()113AE AF AB BE AD DF AB BC BC AB λ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22111133AB BC AB BC λλ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭且：，224,22cos1202AB BC AB BC ==⋅=⨯⨯=-故，解得：.()44112133λλ⎛⎫+++⨯-= ⎪⎝⎭2λ=故选：B.【名师点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算法则，平面向量基本定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学试题】在矩形中，与相ABCD 3,4,AB AD AC ==BD 交于点，过点作，垂足为，则O A AE BD ⊥E AE EC ⋅=A ．B ．57214425C ．D ．1252512【答案】B【解析】如图：由，得：，3AB =4=AD 5BD ==125AB AD AE BD ⋅==又()AE EC AE EO OC AE EO AE OC AE EO AE AO ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅ ，，AE BD ⊥ 0AE EO ∴⋅= 又2144cos 25AE AE AO AE AO EAO AE AO AE AO⋅=∠=⋅== .14425AE EC ∴⋅= 故选B.【名师点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够通过线性运算将问题转化为模长和夹角已知的向量之间的数量积问题.16．【湖师范大学附属中学2019届高三数学试题】如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE的中点，则AF =A ．B ．3144AB AD + 1344AB AD + C ．D ． 12AB AD + 3142AB AD + 【答案】D 【解析】根据题意得：，又，，所以1()2AF AC AE =+ AC AB AD =+ 12AE AB = .故选D.1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+ 【名师点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题.17．【2019年北京市高考数学试卷】已知向量=（－4，3），=（6，m ），且，则m =__________.a b ⊥a b 【答案】8.【解析】向量4,36,m =-=⊥（），（），，a b a b 则.046308m m ⋅=-⨯+==，，a b 【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.18．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】已知圆的弦的22450x y x ++-=AB 中点为，直线交轴于点，则的值为__________.(1,1)-AB x P PA PB ⋅ 【答案】8.【答案】5-【解析】设，圆心，(1,1)M -(2,0)C -∵，10112MC k -==-+根据圆的性质可知，，1AB k =-∴所在直线方程为，即，AB 1(1)y x -=-+0x y +=联立方程可得，，224500x y x x y ⎧++-=⎨+=⎩22450x x +-=设，，则，11(,)A x y 22(,)B x y 1252x x =-令可得，0y =(0,0)P ，12121225PA PB x x y y x x ⋅=+==- 故答案为：5．-【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及直线与圆相交性质的简单应用，属于常考题型.。

2019年高考数学试题分项版——平面向量（解析版）一、选择题1．(2019·全国Ⅰ文，8)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A.B.C.D.答案 B解析 设a 与b 的夹角为α，∵(a －b )⊥b ，∴(a －b )·b ＝0，∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |，∴cos α＝，∵α∈[0，π]，∴α＝，故选B.2．(2019·全国Ⅱ文，3)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(3,2)，则|a －b |等于( ) A. B ．2 C ．5 D ．50 答案 A解析 ∵a －b ＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)， ∴|a －b |＝ ＝ . 即2x ＋y －2π＋1＝0.3．(2019·全国Ⅰ理，7)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A.B.C.D.答案 B解析 设a 与b 的夹角为α，∵(a －b )⊥b ，∴(a －b )·b ＝0，∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |，∴cos α＝，∵α∈[0，π]，∴α＝，故选B.4．(2019·全国Ⅱ理，3)已知 ＝(2,3)， ＝(3，t )，| |＝1，则 · 等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 答案 C解析 因为＝ － ＝(1，t －3)，所以| |＝ ＝1，解得t ＝3，所以 ＝(1,0)，所以 · ＝2×1＋3×0＝2，故选C.5．(2019·北京理，7)设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【思路分析】“AB 与AC 的夹角为锐角” ⇒ “||||AB AC BC +>”，“ ||||AB AC BC +>” ⇒ “AB 与AC 的夹角为锐角”，由此能求出结果． 【解析】：点A ，B ，C 不共线，“AB 与AC 的夹角为锐角” ⇒ “||||AB AC BC +>”， “||||AB AC BC +>” ⇒ “AB 与AC 的夹角为锐角”，∴设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的充分必要条件． 故选：C ．【归纳与总结】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 二、填空题1．(2019·全国Ⅲ文，13)已知向量a ＝(2,2)，b ＝(－8,6)，则cos 〈a ，b 〉＝________. 答案 －解析 ∵a ＝(2,2)，b ＝(－8,6)， ∴a ·b ＝2×(－8)＋2×6＝－4，|a |＝ ＝2 ，|b |＝ ＝10. ∴cos 〈a ，b 〉＝＝＝－. 2．(2019·北京文，9)已知向量a ＝(－4,3)，b ＝(6，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. 答案 8解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0. 又∵a ＝(－4,3)，b ＝(6，m )， ∴－4×6＋3m ＝0，解得m ＝8.3．(2019·浙江，17)已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i ＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1 ＋λ2 ＋λ3 ＋λ4 ＋λ5 ＋λ6 |的最小值是________，最大值是________． 答案 0 2解析 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，所以λ1 ＋λ2 ＋λ3 ＋λ4 ＋λ5 ＋λ6 ＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当 时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1 ＋λ2 ＋λ3 ＋λ4 ＋λ5 ＋λ6 |取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1 ＋λ2 ＋λ3 ＋λ4 ＋λ5 ＋λ6|取得最大值＝2.4.(2019·江苏，12)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若·＝6·，则的值是_________．答案解析方法一以点D为坐标原点，BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，不妨设B(－a,0)，C(a,0)，A(b，c)，a>0，c>0，由BE＝2EA得E，则直线OA：y＝x，直线CE：(b－2a)y＝c(x－a)，联立可得O，则·＝(－a－b，－c)·(a－b，－c)＝b2＋c2－a2，·＝·＝，由·＝6·得b2＋c2－a2＝2(b2＋c2－2ab)，化简得4ab＝b2＋c2＋a2，则＝＝＝.方法二由A，O，D三点共线，可设＝λ，则＝(＋)，由E，O，C三点共线可设＝μ，则－＝μ(－)，则＝(1－μ)＋μ＝(1－μ)＋μ，由平面向量基本定理可得解得μ＝，λ＝，则＝(＋)，＝－＝－，则6·＝6×(＋)·＝＝·，化简得32＝2，则＝.5．(2019·全国Ⅲ理，13)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________.答案解析设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则c＝(2，－)，所以cos〈a，c〉＝＝. 6．(2019·天津理，14)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E 在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.答案－1解析方法一在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，则·＝(－)·(＋)＝·＋·－2－·＝5×2×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－2×2×cos 150°＝15－10－12＋6＝－1.方法二在△ABD中，由余弦定理可得BD＝＝，所以cos∠ABD＝＝－，则sin ∠ABD＝.设与的夹角为θ，则cos θ＝cos(180°－∠ABD＋30°)＝－cos(∠ABD－30°)＝－cos∠ABD·cos 30°－sin∠ABD·sin 30°＝－，在△ABE中，易得AE＝BE＝2，故·＝×2×＝－1.。

向量 1a b ==，a 与） Ａ．12 Ｂ．32 Ｃ．312+ Ｄ．2(2008年高考广东卷第3小题)已知平面向量a =（1，2），b =（－2，m ），且a ∥b ，则2a + 3b =（B ）A. （－5，－10）B. （－4，－8）C. （－3，－6）D. （－2，－4）(2009年高考广东卷第3小题)已知平面向量a=,1x （） ，b=2,x x （－）， 则向量+a b （ ） A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线 [:【解析】+a b 2(0,1)x =+,由210x +≠及向量的性质可知,C 正确.[: (2019年高考广东卷第5小题)若向量a =（1,1），b =（2,5），c =(3,x)满足条件 (8a －b )·c =30，则x = (C) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 (2019年高考广东卷第3小题)已知向量(1,2),(1,0),(3,4)a b c ===．若λ为实数,()//,a b c λλ+=则 (B)A ．14 B.12C.1D. 2 (2019年高考广东卷第3小题)若向量(1,2),(3,4)AB BC ==，则AC =(A)A ． (4,6)B ． (4,6)--C ． (2,2)--D ． (2,2)(2019年高考广东卷第10小题) 对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且αβ和βα都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b =(D) A ．52 B ． 32 C ． 1 D ． 12① (2019年高考广东卷第10小题)设a r 是已知的平面向量且0a ≠r r ，关于向量a r 的分解，有如下四个 给定向量b r ，总存在向量c r ，使a b c =+r r r ； ② 给定向量b r 和c r ，总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+r r r ； ③ 给定单位向量b r 和正数μ，总存在单位向量c r 和实数λ，使a b c λμ=+r r r ； ④ 给定正数λ和μ，总存在单位向量b r 和单位向量c r ，使a b c λμ=+r r r . 上述命题中的向量b r ，c r 和a r 在同一平面内且两两不共线，则真A. 1B. 2C. 3D. 4 (2019年高考广东卷第3小题)已知向量()1,2a =，()3,1b =，则b a -=（ B ）A.()2,1-B.()2,1-C.()2,0D.()4,3。

《平面向量基本定理及坐标表示》专题一、相关知识点1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，该平面内的任一向量a 可表示成a ＝xi ＋yj ，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )． 3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 5．常用结论(1)若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.(2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，如果x 2≠0，y 2≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2.(3)已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22；已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33题型一 平面向量基本定理及其应用1．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________. 2．下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－343．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)4．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则2x －y ＝_______.5．在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →等于( )A ．b －12aB ．b ＋12aC ．a ＋12bD ．a －12b6．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →＝( )A ．13a ＋13bB ．－13a ＋13bC ．13a －13bD ．－13a －13b7．如图，在△ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是边BE 的中点，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AO →＝( )A ．12a ＋12bB ．12a ＋13bC ．14a ＋12bD ．12a ＋14b8．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F 是线段DC 上的点．若DC ＝3DF ，设AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b9．在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC ―→＝3EC ―→，F 为AE 的中点，则BF ―→＝( )A.23AB ―→－13AD ―→B.13AB ―→－23AD ―→ C ．－23AB ―→＋13AD ―→ D ．－13AB ―→＋23AD ―→10．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则λ＋μ等于( )A.15B.25C.35D.4511．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝_______.12．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM―→＝t CP ―→，则实数t 的值为________．13．在△ABC 所在平面上有三点P ，Q ，R ，满足PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝AB ―→，QA ―→＋QB ―→＋QC ―→＝BC ―→，RA ―→＋RB ―→＋RC ―→＝CA ―→，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比是( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶514．已知G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 分别交于点M ，N ，且AM ―→＝x AB ―→，AN ―→＝y AC ―→(x ，y >0)，则3x ＋y 的最小值是( )A.83B.72C.52D.43＋23315．在△ABC 中，点D 满足BD →＝34BC →，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ＋1μ的最小值为________．16．如图，已知△OCB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，D 是将OB →分为2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．题型二 平面向量的坐标运算1．若a ＝(2,3)，b ＝(－1,4)，则2a －b ＝________.2．如果向量a ＝(1,2)，b ＝(4,3)，那么a －2b ＝3．已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,3)，那么|a ＋b |等于4．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．5．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝6．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c 等于( )A ．3a ＋bB ．3a －bC ．－a ＋3bD ．a ＋3b7．已知a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，c ＝2a －b ，则|c |＝8．已知A (1,4)，B (－3,2)，向量BC ―→＝(2,4)，D 为AC 的中点，则BD ―→＝________.9．已知在平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO ―→的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，5B.⎝⎛⎭⎫12，5C.⎝⎛⎭⎫－12，－5D.⎝⎛⎭⎫12，－510．已知点 A (1,3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是( )A ．⎝⎛⎭⎫35，－45B ．⎝⎛⎭⎫45，－35C ．⎝⎛⎭⎫－35，45D ．⎝⎛⎭⎫－45，3511．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC ―→|＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝12．已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于13．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．14．平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C (－1，c )，(c ＞0)，且|OC →|＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则实数λ＋μ的值为________．题型三 平面向量共线的坐标表示1．已知向量a ＝(1，－1)，则下列向量中与向量a 平行且同向的是( )A ．b ＝(2，－2)B ．b ＝(－2,2)C ．b ＝(－1,2)D ．b ＝(2，－1)2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若m a －n b 与2a ＋b 共线(其中n ∈R ，且n ≠0)，则mn ＝________.3．已知向量a ＝(m ,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.5．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，若a ，b 方向相反，则实数x 的值为________．6．已知A (－2，－3)，B (2,1)，C (1,4)，D (－7，t )，若AB →与CD →共线，则t ＝________.7已知向量a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，c ＝(x,3)，若(2a ＋b )∥c ，则x ＝________.8．已知向量OA ―→＝(k ,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→＝(－k ,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是9．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为____.10．向量a ＝⎝⎛⎭⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos 2α＝11．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝12．已知点A (2,3)，B (4,5)，C (7,10)，若AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→(λ∈R)，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ＝13．已知平面向量a ＝(1，m )，b ＝(－3,1)且(2a ＋b )∥b ，则实数m 的值为14．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．15．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(m ,3m －4)，b ＝(1,2)，且平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，4)∪(4，＋∞)D ．(－∞，＋∞)16．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．17．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，ka －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋mb 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．18．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(2)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .19．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k ；(2)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标．。

广东省高三数学理科一轮复习专题突破训练：平面向量一、选择题1、（2015年全国I 卷）设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（ ）（A ）1433AD AB AC =-+ (B)1433AD AB AC =-（C ）4133AD AB AC =+ (D)4133AD AB AC =- 2、（佛山市2015届高三二模）已知向量a ()32, 0-=，b ()3, 1=，则向量a 在b 上的投影为（ ）A ．3-B ．3-C ．3D ．33、（惠州市2015届高三4月模拟）在ABC ∆中，2=AB ，3=AC ，3AB AC ⋅=，则=BC ( ) A ．3 B ．7 C ．19 D ．234、（茂名市2015届高三二模）在△ABC 中,54sin =A ,6=•AC AB ,则△ABC 的面积为（ ）. A ．3B ．125C ．6D ．45、（深圳市2015届高三二模）平面向量(1,2)=-a ，(2,)x =-b ，若a // b ，则x 等于A ．4B ．4-C ．1-D ．2 6、（河北保定2015届高三11月模拟）在△ABC 中，若•=•=•，且||=||=||=2，则△ABC 的周长为（ ） A ．B ． 2C ． 3D ．67、（冀州中学2015届高三上学期第一次月考）已知向量,a b 的夹角为45︒，且1a =，210a b -=，则b =（ ）（A 2 （B ）2 （C ） 22 （D ）32 8、（开封市2015届高三上学期定位考试模拟）若()2,2,a b a b a ==-⊥，则,a b 的夹角是A.512π 3π C. 6π D. 4π9、（洛阳市2015届高三上学期期中考试）已知向量=（2，0），向量=（2，2），向量=（cosα，sinα），则向量与向量的夹角范围为（ ）A ． [0，]B ． [，] C ． [，] D ． [，]10、（潮州市2015届高三上期末）若向量()2,1a =-，()0,2b =，则以下向量中与a b +垂直的是（ ）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()2,1D ．()0,211、（佛山市2015届高三上期末）已知两个单位向量12,e e 的夹角为45︒,且满足()121λ⊥-e e e ,则实数λ的值是( )A ．1B 2C ．33D ．2 12、（广州市2015届高三上期末）设向量(,1)x =a ，(4,)x =b , 若,a b 方向相反, 则实数x 的值是A ．0B ．2±C ．2D ．2-13、（肇庆市2015届高三上期末）设a ，b 为非零向量，||2||=，两组向量4321,,,x x x x 和4321,,,y y y y 均由2个和2个排列而成. 若44332211y x y x y x y x ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为2||4，则与的夹角为 A ．32π B ．2π C ．3π D ．6π二、填空题1、（2014年全国I 卷）已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 .2、（2013年全国I 卷）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c =0，则t =_____.3、（广州市2015届高三二模）在边长为1的正方形ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a ，2a ，3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c ，2c ，3c ．若m 为()()ijst +•+a a cc 的最小值，其中{}{},1,2,3i j ⊆，{}{},1,2,3s t ⊆，则m = ．4、（惠州市2015届高三上期末）已知(1,2)a =，(0,1)b =，(,2)c k =-，若(2)a b c +⊥，则实数k =______5、（汕头市2015届高三上期末）下列关于向量c b a ,,的命题中，正确的有 。

广东省2019届高三数学文一轮复习专题突破训练平面向量2019年广东省高考将采用全国卷，下面是近三年全国卷的高考试题及2019届广东省部分地区的模拟试题，供同学们在复习时参考。

一、选择题1、已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =（A ）(7,4)--（B ）(7,4)（C ）(1,4)-（D ）(1,4)2、设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EBA. ADB.12ADB. C.12BCD.BC3、（佛山市2019届高三二模）已知向量(1,0)a =-，13(,)22b = ，则向量a 与b的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π4、（广州市2019届高三一模）已知向量()3,4a =，若5λ=a ，则实数λ的值为A ．15B ．1C ．15± D ．1±5、（华南师大附中2019届高三三模）称d （,→a )→b =→→-b a 为两个向量,→a →b 间距离，若,→a →b 满足①1b =→；②≠→a →b ；③对任意实数t ，恒有d （,→a t )→b ≥d （,→a )→b ，则(***)A ．（+→a →b ）⊥（-→a →b ）B.→b ⊥（-→a →b ）C.→a ⊥→b D.→a ⊥（-→a →b ）6、（惠州市2019届高三4月模拟）已知点(1,1)A ，(4,2)B 和向量a (2,)λ=，若a //AB，则实数λ的值为（） A ．32-B ．23C ．32D ．23-7、（茂名市2019届高三二模）已知向量(2,1)=a ，(,2)x =-b ，若a ∥b ，则+a b 等于（）A.（-2，-1）B.（2，1）C.（3，-1）D.（-3，1）8、（梅州市2019届高三一模）已知向量(1,cos ),(1,2cos )a b θθ=-= a b ⊥，则cos 2θ等于A 、0B 、－1C 、12D 、229、（深圳市2019届高三二模）平面向量(1,2)=-a ，(2,)n =-b ，若a // b ，则n 等于A ．4B ．4-C ．1-D ．210、（湛江市2019届高三二模）已知向量()1,2a =- ，()1,1b =- ，()3,1c =-，则()c a b ⋅+= （）A ．()6,3B ．()6,3-C ．3-D ．911、（东莞市2019届高三上期末）已知向量(1,1),(4,3),||AB AC BC =-== 则（）A 、5B 、29C 、2D 、212、（汕头市2019届高三上期末）已知平面向量a ，b 满足3a = ，2b = ，且()a b a -⊥ ，则a 与b的夹角为（） A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π13、（肇庆市2019届高三上期末）设D ，E ，F 分别为∆ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则=+FC EBA ．BCB ．ADC ．BC 21D ．AD 2114、（清远市2019届高三上期末）设向量(2,0),(1,1)a b ==，则下列结论中正确的是（） A 、2a b = B 、||||a b = C 、a b ⊥ D 、//a b15、（汕尾市2019届高三上期末）已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c === ,且(23)a b c -⊥ ,则实数k =（）A.92-B.3C.152D.0二、填空题1、已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，(1)=+-c ta t b ，若0⋅=b c ，则t ＝________．2、（广州市2019届高三一模）已知函数()11f x x =+，点O 为坐标原点,点()(),(n A n f n n ∈N *)，向量()0,1=i ，n θ是向量n OA 与i 的夹角，则201512122015cos cos cos sin sin sin θθθθθθ+++的值为. 3、（韶关市2019届高三上期末）设x R ∈，向量(,1)x =a ，(1,2)=-b ，且⊥a b ，则=a +b _________4、（珠海市2019届高三上期末）已知正ABC ∆的边长为3，点F 是边AB 上一点，且13BF BA =，则CF CA ⋅ ＝5、（肇庆市2019届高三上期末）已知)2,1(=a ，),4(k b =，若b a ⊥，则=k ▲. 三、解答题1、（珠海市2019届高三二模）ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，8sin 2sin 5A A =，3b =，),(c b a c m +-=，),(c b a n -=，m n ⊥．(1)求sin A ； (2)求角B 与c ．2、（惠州市2019届高三上期末）已知向量(cos sin ,2sin ),(cos sin ,cos )a x x x b x x x =+=-r r.令()f x a b =⋅r r ，（1）求()f x 的最小正周期； （2）当3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的值.3、（汕头市2019届高三上期末）已知向量()1,cos2a x =，()sin 2,3b x =-，函数()f x a b =⋅．()1若3x π=，求a；()2若26235f απ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求512f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；()3若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域． 参考答案一、选择题 1、【答案】A2、【答案】：A【解析】：()()EB FC EC BC FB BC EC FB +=-++=+=()111222AB AC AB AC AD +=+=,选A. 3、C 4、D 5、B6、C 【解析】试题分析：根据A 、B 两点的坐标可得AB ＝（3，1），∵a ∥AB，∴2130λ⨯-=，解得23λ=7、C 8、A 9、A 10、D11、A12、A13、B14、A15、D 二、填空题1、2[解析]2(1)=+-bc tab t b ＝·[t＋(1－t)]＝t·＋(1－t)2＝12t ＋(1－t)＝1－12t ＝0，即t ＝2.2、201520163、104、65、－2 三、解答题1、解：(1) ABC ∆中，82sin cos sin 2sin 5A A A A ==…………………………………………２分∴4cos 5A =…………………………………………３分 ),0(π∈A ∴3sin 5A =…………………………………………４分(2) m n ⊥∴2220m n ac a b c ⋅=-+-=…………………………………………５分即2221cos 22a cb B ac +-==…………………………………………６分 0B π<<…………………………………………７分∴3B π=…………………………………………８分∴23A C π+=…………………………………………９分 ∴231343sin sin()cos sin 3223413251025C A A A π=⨯+=⨯+=-=+，…………………１０分sin sin c b C B=…………………………………………１１分∴3433sin 34310sin 532b Cc B+⋅+===…………………………………………１２分2、【解析】()(cos sin )(cos sin )2sin cos f x x x x x x x =+-+⋅………………………….2分22cos sin 2sin cos cos 2sin 2x x x x x x =-+=+……………………...4分2sin(2)4x π=+………………………………………………………5分（1）由最小正周期公式得：22T ππ==…………………………………………6分 （2）]43,4[ππ∈x ，则372[,]444x πππ+∈…………………………………………7分 令3242x ππ+=，则58x π=，……………………………………………….8分从而)(x f 在5[,]48ππ单调递减，在53[,]84ππ单调递增……………….10分 即当58x π=时，函数)(x f 取得最小值2-……………………………12分【思路点拨】先利用平方差公式把原式展开，再利用辅助角公式进行化简，（1）由最小正周期公式得结果；（2）借助于三角函数的单调性求出单调区间，同时求出最大值。

专题07 平面向量【母题来源一】【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3 C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3， 故选B ．【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．【母题来源二】【2018年高考全国I 卷理数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC -C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-.故选A.【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.【母题来源三】【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【答案】3【解析】方法一：222|2|||44||4421cos 60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=a b a a b b ， 所以|2|1223+==a b .方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为3【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.【命题意图】高考对本部分的考查主要涉及平面向量的数量积和向量的线性运算，以运算求解和数形结合为主，重点掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义等，注重转化与化归思想的应用. 【命题规律】1．平面向量的数量积一直是高考的一个热点，尤其是平面向量的数量积，主要考查平面向量的数量积的运算、向量的几何意义、模与夹角、两向量的垂直等问题．题型一般以选择题、填空题为主.2．平面向量的基本定理及坐标表示是高考中的一个热点内容，尤其是用坐标表示的向量共线的条件是高考考查的重点内容，一般是通过向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解决，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也作为解答题中的条件，应用向量的平行或垂直关系进行转换． 【方法总结】（一）平面向量线性运算问题的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果.（二）用平面向量基本定理解决问题的一般思路：（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.（三）平面向量数量积的类型及求法：（1）平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式⋅=a b ||||cos θa b ；二是坐标公式⋅=a b1212x x y y +.（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. （3）两个应用：①求夹角的大小：若a ，b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos θ=||||⋅a ba b (夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．②确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. （四）平面向量的模及其应用的类型与解题策略：（1）求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式2||==⋅a a a a ，或坐标公式22||x y =+a 的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解． （2）求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围． （3）由向量的模求夹角．对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用. （五）向量与平面几何综合问题的解法：（1）坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． （2）基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．1．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校际联合考试数学试题】已知1=a ，2=b ，且()⊥-a a b ，则向量a 在b 方向上的投影的数量为 A ．1B 2C ．12D ．2【答案】D【解析】由()⊥-a a b 得()0⋅-=a a b ，所以1⋅=⋅=a b a a ， 所以向量a 在b 方向上的投影的数量为2cos ,22⋅===a b a a b b ， 故选D.【名师点睛】本题主要考查向量的投影，熟记向量数量积的几何意义即可，属于常考题型.求解时，先由()⊥-a a b 求出⋅a b ，再由cos ,a a b 即可求出结果.2．【河北省保定市2019年高三第二次模拟考试数学试题】把点()3,2A 按向量()1,4=a 移到点B ，若2OB BC =-（O 为坐标原点），则C 点坐标为A ．()1,1-B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()2,3D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为点()3,2A 按向量()1,4=a 移动后得到点()4,6， 所以()4,6B ，设(),C x y ，则()4,6OB =，()4,6BC x y =--，又2OB BC =-，所以()()424626x y ⎧=--⎪⎨=--⎪⎩，解得：23x y =⎧⎨=⎩，所以()2,3C . 故选C.【名师点睛】本题主要考查了平移知识，还考查了向量数乘的坐标运算，考查计算能力及方程思想，属于较易题.求解时，点()3,2A 按向量()1,4=a 移动后得到点()4,6，设(),C x y ，求得OB ，BC ，再利用2OB BC =-列方程组可得：()()424626x y ⎧=--⎪⎨=--⎪⎩，解方程组即可.3．【广东省东莞市2019届高三第二学期高考冲刺试题（最后一卷）数学试题】已知非零向量,m n 满足4=n m ，且()2⊥+m m n ，则,m n 的夹角为A ．π6B ．π3 C ．π2D ．2π3【答案】D【解析】∵4=n m ，且()2⊥+m m n ，∴()22222||cos ,0⋅+=+⋅=+=m m n m m n m m n m n ，且0,0≠≠m n ， ∴2||cos ,0+=m n m n ，∴21cos ,2=-=-mm n n ， 又0,π≤…m n ，∴2π,3=m n ．故选D ．【名师点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的范围，属于基础题．求解时，根据()2⊥+m m n ，得()20⋅+=m m n ，再根据4=n m 进行数量积的运算即可求出cos ,m n 的值，根据向量夹角的范围即可求出夹角．4．【湖南师范大学附属中学2019届高三数学试题】如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =A ．3144AB AD + B ．1344AB AD + C ．12AB AD +D ．3142AB AD +【答案】D【解析】连接AC ，根据题意得：1()2AF AC AE =+，又AC AB AD =+，12AE AB =， 所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+.故选D.【名师点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题.解答本题时，根据题意得：1()2AF AC AE =+，结合向量加法的四边形法则及平面向量的基本定理可求.5．【山西名师联盟2019届高三5月内部特供卷数学试题】已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)m m +==a b b ，且a 在b 25，则实数m = A ．2± B ．2 C ．5±D 5【答案】A【解析】因为向量,a b 满足2(1,2),(1,)m m +==a b b ，22(0,)m =+-=a a b b ，所以20,,22m m ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭a ab ，设向量,a b 的夹角为θ，则2225||(||cos )12mm =+=⋅=θb a a b ， 所以42516160m m --=，即()()225440m m +-=，解得2m =±. 故选A.【名师点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos ⋅=θa b a b ，二是1212x x y y ⋅=+a b ，主要应用以下几个方面: （1）求向量的夹角，cos ⋅=⋅θa ba b（此时⋅a b 往往用坐标形式求解）； （2）求投影，a 在b 上的投影是⋅a bb； （3）若向量,a b 垂直，则0⋅=a b ；（4）求向量m n +a b 的模（平方后需求⋅a b ）.6．【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月）质量检查考试数学试题】若已知向量()1,2=-a ，()1,m =-b ，若//a b ，则⋅a b 的值为A ．5B ．4C ．4-D ．5-【答案】D【解析】∵向量()1,2=-a ，()1,m =-b ，且//a b ， ∴20m -=，即()1,2=-b ， ∴145⋅=--=-a b ， 故选D.【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及向量平行的充要条件，数量积坐标运算，考查计算能力，属于基础题.求解时，利用向量平行的充要条件得到m ，进而利用数量积的坐标运算得到结果. 7．【广东省2019届高三适应性考试数学试题】已知ABC △中，点M 是边BC 的中点，若点O 满足23OA OB OC ++=0，则A ．0OM BC ⋅=B ．0OM AB ⋅=C ．OM BC ∥D ．OM AB ∥【答案】D【解析】由点M 是边BC 的中点，可得2OM OB OC =+， 由23OA OB OC ++=0，可得OA OC ++2（OB OC +）23OA OBOA +=-+4OM =0， 即2（OA OB -）+12OM =0， 可得AB =6OM ，即OM ∥AB ， 故选D ．【名师点睛】本题考查向量的中点表示，以及向量的加减运算和向量共线定理的运用，考查化简运算能力，属于基础题．解答时，由向量的中点表示和加减运算、以及向量的共线定理，即可得到结论． 8．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学试题】已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ，(4,5)=c ，若()+⊥λa b c ，则实数=λA ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】C【解析】因为(1,2)=a ，(2,3)=-b ，所以()12,23-+λλλa +b =，又()+⊥λa b c ，所以()0+⋅=λa b c ，即()()412+523=0-+λλ，解得= 2-λ. 故选C.【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型.求解时，由,a b 的坐标，表示出λa +b ，再由()+⊥λa b c ，得到()()412+523=0-+λλ，进而可求出结果. 9．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测数学试题】若向量,a b 的夹角为120︒，1=a ，27-=a b ，则=bA ．12B 7C ．1D ．2【答案】C【解析】因为222244cos ,-=+-a b a b a b a b ， 又,120=︒a b ，1=a ，27-a b ， 所以27=142++b b ，解得32=-b (舍去)或1=b . 故选C.【名师点睛】本题考查求平面向量的模，常用方法是用数量积或22=a a 求解.求解时，先对27-=a b 两边同时平方，代入已知条件，即可解得b .10．【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三）数学试题】已知向量a ，b 满足2=a ，且()40+=>λλa b a ，则当λ变化时，⋅a b 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．(,1)-∞-C ．(0,)+∞D ．(1,)-+∞【答案】D【解析】由已知，(1)4-=λa b ，得2(1)4-=⋅λa a b ，因为||2,0=>λa ，所以11⋅=->-λa b ， 故选D.【名师点睛】本题考查向量数量积，向量的线性运算，是基础题.求解时，由向量数量积得1⋅=-λa b 即可求解.11．【福建省泉州市2019届高三第二次（5月）质检数学试题】已知向量,a b 满足1=a ，(),2t t =-b ，-a b与a 垂直，则-a b 的最小值为A ．22B ．1C 2D ．2【答案】B【解析】由题意知-a b 与a 垂直，则()0-⋅=a b a ，可得21⋅==a b a ． 又由222+-=-⋅a b a a b b ()22=12+[2]t t -+-()2=211t -+ 所以当1t =时，-a b 取得最小值1． 故选B ．【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算及其应用，以及向量的垂直条件和向量的模的计算，其中解答中熟记向量的模、数量积和向量的坐标运算，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．求解时，根据向量的模与数量积的运算，求得()2211t -=-+a b 根据二次函数的性质，即可求解．12．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模）数学试题】如图，已知等腰梯形ABCD 中，24,5,AB DC AD BC E ====是DC 的中点，P 是线段BC 上的动点，则EP BP ⋅的最小值是A ．95- B ．0 C ．45-D ．1【答案】A【解析】由等腰梯形的知识可知cos B =， 设BP x =，则5CP x =， ∴2565()1()(5)(1)EP BP EC CP BP EC BP CP BP x x x x ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅-=-， 05x 剟，∴当355x =时，EP BP ⋅取得最小值95-． 故选A ．【名师点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．求解时，计算cos B ，设BP x =，把EP EC CP =+代入得出关于x 的函数，根据x 的范围得出最小值．13．【江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试数学试题】已知向量()3,4=a ，()1,k =-b ，且⊥a b ，则4+a b 与a 的夹角为________．【答案】4π 【解析】因为⊥a b ，故0⋅=a b ，所以340k -+=，故34k =，故()41,7+=-a b ， 设4+a b 与a 的夹角为θ， 则2cos 5025525θ===⨯⨯， 因为[]0,π∈θ，故π4=θ， 故填4π. 【名师点睛】解答时，先计算出k ，再求出4+a b 与a 的坐标，计算出它们的夹角的余弦后可求夹角的大小.向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用=⋅a a a ；（2）计算角，cos ,⋅=a b a b a b.特别地，两个非零向量,a b 垂直的等价条件是0⋅=a b . 14．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三压轴数学试题】已知向量()cos ,sin =θθa ，向量(1,=-b ，则3-a b 的最大值是______.【答案】6【解析】由题意，向量()cos ,sin =θθa ，则()33cos ,3sin =θθa ，所以向量3a 的终点在以原点为圆心，3为半径的圆上，又由||3=b ，则其终点也在此圆上，当3a 与b 反向时，3-a b 最大，最大值为6.【名师点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的坐标表示的应用，其中解答中熟练应用向量的几何意义和向量的坐标表示是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．求解时，由向量()cos ,sin =θθa ，得到向量3a 的终点在以原点为圆心，3为半径的圆上，又由||3=b ，则其终点也在此圆上，当3a 与b 反向时，即可求解，得到答案．15．【湖南省郴州市2019届高三第三次质量检测数学试题】在ABC △中，D 为BC 的中点，且33BC AD ==，则AB AC ⋅=_______． 【答案】54- 【解析】()()22AD DB A AB A D DC C AD BD =++=-⋅⋅95144=-=-. 【名师点睛】本题主要考查向量的基向量表示及向量运算，选择已知信息较多的向量作为基底，是求解这类问题的重要策略.求解时，用AD 表示出所求向量，利用数量积相乘可得结果.。

广东11大2019年高三数学（理）一模试题分类汇编7：平面向量平面向量【一】选择、填空题1、〔肇庆市2018届高三3月第一次模拟考试〕向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c 、假设λ为实数，()λ+⊥b a c ，那么λ=A 、311-B 、113-C 、12D 、35答案：A 2、〔佛山市2018届高三教学质量检测〔一〕〕(1,2)=a ，(0,1)=b ，(,2)k =-c ，假设(2)+⊥a b c ，那么k =A 、2B 、 2-C 、8D 、8-答案：C3、〔江门市2018届高三2月高考模拟〕在复平面内，O 是原点，向量对应的复数是i -2〔其中， i 是虚数单位〕，假如点A 关于实轴的对称点为点B ，那么向量OB 对应的复数是A 、i --2B 、i +-2C 、i +2D 、i 21-答案：C4、〔揭阳市2018届高三3月第一次高考模拟〕在四边形ABCD 中，“AB DC =uu u r uuu r ，且0AC BD ⋅=uu u r ”是“四边形ABCD 是菱形”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 答案：C5、〔汕头市2018届高三3月教学质量测评〕在三角形ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝θ，假设D 为BC 的三等分点〔靠近点B 一侧〕、那么的取值范围为＿＿＿＿、6、〔韶关市2018届高三调研考试〕假设向量(1,1),(2,5),(3,)a b c x ===满足条件(8)a b c -＝30，那么x ＝＿＿＿答案：47、〔茂名市2018届高三第一次高考模拟考试〕向量(1,2),(2,1)a x b =-=,那么a b ⊥的充要条件是〔 〕A 、0x =B 、5x =C 、1x =-D 、12x =- 答案：A＞a ，那么a ＜3”；命题q ：“设M 为平面内任意一点，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件是存在角α，使22sin cos MB MA MC αα=+⋅”，那么A 、p q ∧为真命题B 、p q ∨为假命题C 、p q ⌝∧为假命题D 、p q ⌝∨为真命题答案：C解析：P 正确，q 错误：22sin cos MB MA MC αα=+⋅，<==>BA=MA-MB=(cosa)^2*(MC-MB)=(cosa)^2*BC,==>A,B,C 三点共线。

广东省2019届高三最新模拟试题分类汇编：平面向量数学（理科）一、选择、填空题 1、（广东省2019届高三3月一模）已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足031216=--OC OB OA ，则A ．AC AB OA 312+=B ．AC AB OA 312-= C ．AC AB OA 312+-=D ．AC AB OA 312--=2、（广州市2019届高三3月综合测试（一））若等边三角形ABC 的边长为1，点M 满足2CM CB CA =+，则MA MB =B.2C.D.33、（广州市天河区2019高考二模）在△ABC 中，||＝||，||＝||＝3，则＝（ ）A ．3B ．﹣3C ．D ．﹣4、（江门市2019高三一模）直角坐标系Oxy 中，已知两点A （2，1），B （4，5），点C 满足，其中λ、μ∈R ，且λ+μ＝1．则点C 的轨迹方程为（ ）A ．y ＝2x ﹣3B ．y ＝x +1C ．x +2y ＝9D ．（x ﹣3）2+（y ﹣3）2＝55、（揭阳市2019年高三一模）已知向量(1,2),(2,1),(1,)a b c λ==-=，若()a b c +⊥，则λ的值为 A ．3-B ．13-C ．13D ．36、（梅州市2019高三3月一模）如图在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ， 且＝2，则＝（ ）A ．B ．C ．D ．7、（汕头市2019届高三第一次（3月）模拟考试）已知向量(3,1),(1,3),(,2)a b c k ===-，若()//a c b -，则向量a b +与向量c 的夹角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π8、（汕尾市2019高三一模）设D 为△ABC 所在平面内一点，，若，则λ﹣μ＝（ ） A ．B ．C ．D ．9、（深圳市2019届高三第一次（2月）调研考试）在△ABC 中，∠ABC=60°，BC ＝2AB＝2，E 为AC 的中点，则AB BE ＝（A ）一2 （B ）一l （C ）0 （D ）l10、（肇庆市2019高三二模）已知△ABC 的边BC 上有一点D 满足＝3，则可表示为（ ）A ．＝﹣2+3B ．＝+C ．＝+D ．＝+11、（湛江2019高三一模）在正三角形ABC 中，AB ＝2，1,2BD DC AE EC ==，且AD 与BE 相交于点O ，则OA OB ＝ A 、－45 B 、－34 C 、－23 D 、－1212、（广州市天河区2019高考二模）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O 为△ABC 外接圆的圆心，若a ＝，且c +2cos C ＝2b ，＝m+n，则m +n的最大值为 ．13、（江门市2019高三一模）ABCD 是球O 内接正四面体，若球O 的半径为1，则＝（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案1、A2、D3、C4、A5、A6、C7、D8、A9、B 10、C 11、B 12、 13、B 、。

广东省2023届高三数学一轮总复习专题训练平面向量一、单项选择题1、在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（ ） A. 32m n -B. 23m n -+C. 32m n +D. 23m n +2、己知点(0,1),(2,3)A B ，向量(3,1)BC =-，则向量AC =（ ） A. (1,2)-B. (1,2)-C. (1,3)-D. (1,3)-3、已知向量a b =，102b a b ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，则a 与b 的夹角为（ ） A.30° B.60° C.90° D.150°4、如图3，在ABC ∆中，,1,3,==⊥AD BD BC AB AD 则=⋅AD AC （ ）A ．3B ．3C ．3-D ．-35、在矩形ABCD 中，3AB =，4AD =，AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则(AE EC = )A ．725B ．1225C ．125D ．144256、已知向量a ，b 满足2=a ，1=b ，且+223=a b ,则a 与b 的夹角为 A.π6 B.π3 C. 2π3 D. 5π67、若向量a ，b 满足12a b ==，，且3a b -=，则向量a ，b 的夹角为 A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°8、如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ，AB BC ⊥，1AD =，2BC =，P 是线段AB 上的动点，则|4|PC PD +的最小值为A ．35B ．6C ．25D ．49、已知向量,a b 满足1a = ，2b = ，0a b ⋅= ，若向量c 满足21a b c +-= ，则c 的取值范围是（ ）A. 1,51⎡⎤-⎣⎦B. 3131,22⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦C. 5151,22⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦D. 515,22⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ 10、∆ABC 中，2=AB ，4π∠=ACB ，O 是∆ABC 外接圆圆心，则⋅+⋅OC AB CA CB 的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ．3 D ．5二、多项选择题1、四边形ABCD 为边长为1的正方形，M 为边CD 的中点，则( ) A ．2AB MD =B ．DM CB AM -=C ．AD MC MA += D ．1AM BC ⋅=2、已知平面向量，)1,2(),,1(=-=AC k AB 若ABC ∆是直角三角形，则k 的可能取值是( ) 7 .D 5 .C 2 .B 2 .A -3、“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O 的半径为2，点P 是圆O内的定点，且2OP =，弦AC 、BD 均过点P ，则下列说法正确的是（ ）A .()0OD OB DB +⋅= B .PA PC ⋅为定值C .OA OC ⋅的取值范围是[－2，0]D . 当AC BD ⊥时，AB CD ⋅为定值 4、ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则（ ） A. 2b = B. 2a b ⋅=-C. ()4a b BC +⊥D. 1a b -=5、三、填空题1、已知向量(1,2)=-a ，(2,)b m =，且//a b ，则ab =______.2、已知向量(12,)a k =，(2,14)b k =+，若a b ⊥，则实数k =__________．3、在边长为1的等边三角形ABC 中,设BC =2,BD CA =3CE ,则·AD BE =_____.4、已知四边形ABCD 中，AB CD ，33AB CD ==，2AD BC ==，点E 是CD 的中点，则AE BD →→⋅=______.5、桌面上有一张边长为2的正三角形的卡纸，设三个顶点分别为A ，B ，C ，将卡纸绕顶点C 顺时针旋转56π，得到A 、B 的旋转点分别为1A 、1B ，则11AA BB ⋅=_________. 6、如图，已知扇形AOB 的半径为10，以O 为原点建立平面直角坐标系， ()10,0OA =，()6,8OB =，则AB 的中点C 的坐标为__________.7、已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，点P 在BC 边上（包括端点），则AD AP ⋅的取值范围是 ．8、如图，在ABC ∆中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB AC ，所在的直线分别交于点M N ，若AM AB λ=，,(0,0)AN AC μλμ=>>，λμ+的最小值为__________9、菱形ABCD 中，1,,32AB A ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，点E ，F 分别是线段,AD CD 上的动点（包括端点），AE CF =，则()AE CF AC +⋅=________，ED EB ⋅的最小值为________．10、如图，已知△ABC 中，D 为AB 的中点，13AE AC =，若DE AB BC λμ=+，则λ＋µ＝11、（遂宁市2020届高三零诊考试）如图，在△ABC 中，AC AD 85=，PD BP 52=，若AP AB AC λμ=+，则λμ的值为参考答案一、单项选择题1、B2、D3、B4、A5、D6、B7、B8、B如图，以B 点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设AB a =，BP t =(0)t a ，因为1AD =，2BC =，所以(0,)P t ，(2,0)C ，(1,)D a ， 所以(2,)PC t =-，(1,)PD a t =-，4(4,44)PD a t =-， 则4(6,45)PC PD a t +=-，2|4|36(45)6PC PD a t +=+-，当450a t -=，即45t a =时，|4|PC PD +的最小值为6．故选B ． （2法）：设PA tBA =，则()()44PC PD PB BC PA AD +=+++43PB PA BC =++=435353PA BA PA BC PA BA BC tBA BA BC -++=-+=-+=()513t BA BC -+=()2513t BA BC ⎡⎤-+⎣⎦=()222519t BA BC -+=()225136t BA -+36 6.≥=9、C解：1a =，2b =，0a b ⋅=， 以a 为y 轴，b 为x 轴，建立直角坐标系设()01OA a ==，，()20OB b ==，，()OC c x y ==，， 所以()22212a b c x y +-=--，， 由21a b c +-=，可得()()2222121x y -+-= ，化简可得()22211122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以C 点的轨迹为以112⎛⎫ ⎪⎝⎭，为圆心，以12r =为半径的圆， 原点()00，到112⎛⎫ ⎪⎝⎭，的距离为2215122d ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 所以22c x y =+的取值范围是[]d r d r -+，，即5151.22⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，故选：C ． 10、二、多项选择题1、BD2、BD3、【解析】ABD ；因为OD ，OB 在DB 上的投影向量是相反向量，则()0OD OB DB +⋅=，故A 正确；如图，设直线PO与圆O交于E，F，则PA PC PA PC ⋅=-()()22||||2EP PF OE PO OE PO PO EO =-=--⋅+=-=-，故B正确；取AC的中点M ，连接OM，则()()OA OC OM MA OM MC ⋅=+⋅+=()22222424OM MC OM OMOM -=--=-，而220||2OM OP ≤≤=．故OA OC 的取值范围是[－4，0]，故C 错误；当AC BD ⊥时，AB CD ⋅()()AP PB CP PD =+⋅+AP CP PB PD =⋅+⋅AP CP PB PD =-⋅-⋅2EP PF=-4=-，故D 正确．4、AC【详解】由题意可知，(2)2b a b a AC AB BC =+-=-=，则||||2b BC ==， 故选项A 正确； 对于选项B ，1111||||cos12022()12222a b AB BC AB BC →→︒⋅=⋅=⋅=⨯⨯⨯-=-，故选项B 错误； 对于选项C ，22(4)(4)44(1)20a b BC a b b a b b →→→→→→→→+⋅=+⋅=⋅+=⨯-+=,则(4)a b BC →→+⊥，故选项C 正确；对于选项D ，222||212(1)471a b a a b b →→→→→→-=-⋅+=-⨯-+=≠，即||1a b →→-≠, 故选项D 错误. 故选：AC 5、BC三、填空题 1、10 2、－12133、14-4、－25、423+ 6．()45,25【详解】由三角函数定义得：63cos 105BOA ∠==， 232cos 1cos 5COA BOA ∠-=∠=，425cos 55COA ∴∠==，25sin 1cos 5COA COA ∴∠=-∠=， 10cos 45C x COA ∴=∠=，10sin 25C y COA =∠=， C ∴点坐标为()45,25.故答案为：()45,25. 7、[2-，2]解：建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)D ，(1,3)C ，(1,3)D - 当点P 在BC 上时，设(,3)P x ，[1x ∈-，1]，(2,0)AD =，(,3)AP x =， 则2[2AD AP x ⋅=∈-，2]． 故答案为：[2-，2]．8、1+223解：，，又，，；又P 、M 、N 三点共线，，，当且仅当时取“”，的最小值为．9、0 1410、16 11、C ．41。