1任意角学案

第一章三角函数1.1.1任意角——导学案班级: 姓名:一、学习目标1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

2.掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法，区间角的表示。

3.体会运动变化观点，理解推广后的角的概念。

二、学习重难点重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法难点：终边相同的角的表示，区间角的表示。

三:学习过程活动：阅读教材P2-5，完成下列问题角的概念(1)角可以看作是: ；(2)正角: ；(3)负角: ；(4)零角: ；2．象限角(1)象限角: ；(2)轴线角: ；(3)象限角的集合: ；第一象限角的集合: ；第二象限角的集合: ；第三象限角的集合: ；第四象限角的集合: ；3．终边相同的角: 。

（一）课堂练习1、在下列说法中:（1）0°-90°的角是第一象限角;（2）第二象限角大于第一象限角;（3）钝角是第二象限角（4）小于90°都是锐角其中错误的说法是。

2、已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420º，(2)-75º，(3)855º，(4)-510º．3写出终边在x轴上角的集合（二）课堂小结本节课我们学了哪些知识和方法？你有哪些收获？还有什么疑惑？（三）作业布置必做题：1.与120º角终边相同的角是( )A.－600º＋k·360º，ｋ∈ＺB.－120º＋k·360º，ｋ∈ＺC.120º＋(2k＋1）·180º，ｋ∈ＺD.660º＋k·360º，ｋ∈Ｚ2.若角α与β终边相同，则一定有( )A.α＋β＝180ºB.α＋β＝0ºC.α－β＝ｋ·360º，ｋ∈ＺD.α＋β＝ｋ·360º，ｋ∈Z3.在直角坐标系中，作出下列各角(1)360º (2)720º (3)1080º (4)1440º选做题：如图所示，试分别表示出终边落在阴影区域内的角．。

导学案【学习目标】1.理解任意角的概念．2．掌握终边相同角的含义及其表示．(重点、难点)3．掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法．(难点、易混点)【自主学习】一. 任意角1.角的概念：角可以看成平面内一条绕着它的端点所成的.2.角的表示：如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：，终边：，顶点.3.角的分类：名称定义图示正角一条射线绕其端点按方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按方向旋转形成的角零角一条射线做任何旋转形成的角这样，我们就把角的概念推广到了任意角（要注意旋转方向和大小）。

二．象限角1.把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的在第几象限，就说这个角是第几_______；如果角的终边在，就认为这个角不属于任何一个象限.象限角角的集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}第二象限角{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}第三象限角{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}第四象限角{α|k·360°90°<α<k·360°,k∈Z}三．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.【当堂达标基础练】°~360°范围内，找出与950°12′角终边相同的角，并断定它是第几象限角.y轴上的角的集合.y=x上的角的集合S.S中满足不等式−360°≤β≤720°的元素β有哪些？4.什么是锐角? 它是几象限角，反过来成立吗?钝角呢？直角呢？5.今天是星期三, 则7k(k∈Z)天后的那一天是星期几? 7k(k∈Z) 天前的那一天是星期几? 100天后的那一天是星期几?6.已知角的顶点与原点重合, 角的始边与x轴的非负半轴重合, 请作出下列各角，并指出它们各是哪个象限的角？(1)420º, (2)－75º, (3)855º, (4) －510º【当堂达标提升练】一、单选题1．角－870°的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在－360°～0°范围内与角1 250°终边相同的角是()A．170°B．190°C．－190°D．－170°3．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是()A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α4．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在象限是()A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限5．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是()A．第一象限角B．第一、二象限角C．第一、三象限角D．第一、四象限角二、多选题6．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为1S ，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S时，扇面为“美观扇面”2.236）（ ）A ．122S S θπθ=-B ．若1212S S =，扇形的半径3R =，则12S π= C ．若扇面为“美观扇面”，则138θ≈D ．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径20R =，则此时的扇形面积为(20038.已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ）A ．1B ．4C ．2D ．3 9． sin 2（ ）A ．是正数B ．是负数C ．大于cos2D ．大于tan 2 三、填空题10．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.11．与2 019°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．12．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.四、解答题13．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角．14．已知集合A ＝{α|k ·180°＋45°＜α＜k ·180°＋60°，k ∈Z }，集合B ＝{β|k ·360°－55°＜β＜k ·360°＋55°，k ∈Z }．(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；(3)求A ∩B . 【当堂达标素养练】一、单选题1．已知θ为第二象限角，那么θ3是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第一或第四象限角C ．第二或第四象限角D ．第一、二或第四象限角2．角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为( )A ．α＋β＝k ·360°，k ∈ZB ．α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈ZC ．α－β＝k ·360°＋180°，k ∈ZD ．α－β＝k ·360°，k ∈Z二、填空题3．终边落在直线y ＝3x 上的角的集合为________．4．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.三、解答题5．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．6．已知相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮顺时针转动一周时，小轮转动的角是多少度？多少弧度？如果大轮的转速是150r/min ，小轮的半径为10cm ，那么小轮圆周上的点每秒转过的弧长是多少？7．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10OA =，()010OB x x =<<，线段BA ，CD 与BC ，AD 的长度之和为30，圆心角为θ弧度.(1)求θ关于x 的函数表达式；(2)记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.。

1.1.1任意角一、学习目标：1、掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义2、掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法3、体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；二、教学重点、难点重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.难点：终边相同的角的表示.三、教学方法：讲授法、讨论法、媒体课件演示四、内容分析：本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法.树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念.教学方法可以选用讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握.通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的.五、教学过程：（一）创设情境思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？（提出问题，引发学生的认识冲突，说明角的概念扩展的必要性）学生：针对上述问题，组织学生进行讨论。

学生容易回答前面一个问题，但在回答后面一个问题是会发现问题，从而引起认知冲突。

教师：[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要顺时针或逆时针旋转，有时之间，这就是我们本节转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0~360课所要学习的主要内容——任意角。

（二）新概念产生1.角概念的推广在初中，我们对角的定义是从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。

这种概念的，优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是0~360内，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”。

任意角学习目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义．自学导引：1．回忆：初中是任何定义角的？2.角的概念的推广：角的定义；三要素3．正角、负角、零角概念4.象限角；坐标轴上的角5.终边相同的角的表示法课堂互动：1.初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？2.角的概念的推广：角的定义；三要素3．正角、负角、零角概念：注：为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可简记为α．4.象限角；坐标轴上的角思考：1.定义中说：角的始边与x 轴的非负半轴重合，如果改为与x 轴的正半轴重合行不行，为什么？2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？4.终边相同的角的表示法例1 在 ～间，找出与列列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角:（1）；（2）0150-；（3）0'99015-．例2 写出与下列各角终边相同的角的集合，并把中适合不等式的元素写出来：（1）；（2）；（3）．例3 用集合表示：（1）第三象限角的集合．（2）终边落在轴右侧的角的集合．课堂练习：（1）一角为，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_______．（2）集合中，各角的终边都在（）A．轴正半轴上， B．轴正半轴上，C．轴或轴上， D．轴正半轴或轴正半轴上（3）请用集合表示下列各角．①～间的角②第一象限角③锐角④小于角．（4）若角与角的终边重合，则与的关系是___________，若角与角的终边在一条直线上，则与的关系是____________．课堂小结：。

课时1任意角(教学案)
【教学目标】
1. 了解任意角的定义，了解其范围。

2. 掌握任意角的转角。

3. 掌握任意角的度量单位及其互换。

4. 用三角函数表示任意角的方法。

一、导入（5分钟）
1、出示“任意角”的定义：角度大于 0 度和小于 360 度的角称为任意角。

2、通过提问学生介绍一些角度范围（如锐角、直角、钝角等）。

二、新课展现（15分钟）
1、任意角的转角
1）正向旋转：将起始边沿逆时针转到终止边上的转角。

1）圆的一周为 360 度。

2）180 度是一条直线的角度。

3）度与弧度的转换：
① 角度制到弧度制的转换公式：弧度 = 度数× π / 180。

1）辐角和三角函数：由极角为辐角的点所对应的单位圆上矢量，其横坐标和纵坐标分别是该点所对应的余弦和正弦。

2）任一点的三角函数值：此点的坐标让一个半径为 1 的圆统治着。

此点与圆心O所形成的角，其三角函数值就是该点的横坐标和纵坐标。

三角函数的定义域为角度。

四、操练（10分钟）
完成以下题目
1、已知辐角α∈[0，π]，D（cosα，sinα）, 求tanα 的值。

A. 3/5
B. 4/5
C. 5/3
D. 5/4
3、已知辐角α 单位为弧度，则 2 sinα + 2 cos2α =（）。

2、任意角的转角。

转角分为逆向旋转和正向旋转。

4、用三角函数表示任意角的方法。

任意角的三角函数值可以写成其所对应的点的半径为1的单位圆上坐标的横纵坐标。

1.1.1任意角学案2.角的概念的推广：3．正角、负角、零角概念4.象限角思考三个问题：1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？4.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？（1）4200；（2）-750；（3）8550；（4）-5100.5.终边相同的角的表示三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义； （2）理解任意角以及象限角的概念； （3）掌握所有与角a 终边相同的角（包括角a ）的表示方法； 学习重难点： 重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。

难点: 把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。

二、学习过程例1. 例1在0360︒︒~范围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：0360︒︒－是指0360β︒︒≤<） 例2.写出终边在y 轴上的角的集合.例3.写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α︒-≤ 720︒<的元素β写出来.（三）【回顾小结】1.尝试练习 （1）教材6P 第3、4、5题. （2）补充：时针经过3小时20分，则时针转过的角度为 ，分针转过的角度为 。

注意: （1）k Z ∈；（2）α是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍.2.学习小结(1)你知道角是如何推广的吗?(2)象限角是如何定义的呢?(3)你熟练掌握具有相同终边角a的表示了吗?(四)当堂检测1．设第一象限的角｝90{=E，{o=F＝G锐角｝，小于{的角｝　，那么有（）．A．B．C．（）D．2．用集合表示：（1）各象限的角组成的集合．（2）终边落在轴右侧的角的集合．3．在～间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1）；（2）；（3）．3.解：（1）∵∴与角终边相同的角是角，它是第三象限的角；（2）∵∴与终边相同的角是，它是第四象限的角；（3）所以与角终边相同的角是，它是第二象限角．。

1.1.1 任意角教案一、教材分析1、本节教材的地位和作用：本课是数学必修 4 第一章三角函数中第一节的第一课时。

三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型。

这一节中包括任意角、终边相同的角的表示方法和象限角三个内容。

角的概念的推广正是这一思想的体现之一，是初中相关知识的自然延续。

为进一步研究角的和、差、倍、半关系提供了条件，也为今后学习解析几何、复数等相关知识提供有利的工具，所以学生正确的理解和掌握角的概念的推广尤为重要。

2、教学目标：知识与技能目标：（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解任意角以及象限角的概念；（3）掌握所有与角 a 终边相同的角（包括角 a）的表示方法；过程与方法目标：（1）提高学生的计算能力,归纳概括能力和类比思维能力；（2）通过画图和判断角的象限，培养学生数形结合的思想方法；情感态度与价值观目标：（1）创设问题情景，激发分析探求的学习态度，强化参与意识；（2）学会运用运动变化的观点认识事物.3、教学重点、难点：重点：理解任意角中正角、负角和零角和象限角的定义。

难点: 终边相同的角的表示方法。

二、学生情况分析学生在初中就已经学过角的定义。

从学生学过的东西出发，结合实际生活中的例子，将任意角的范围扩展到大于 360 度，可以引发学生的的认知冲突，激发学生的求知欲望，为这节课的顺利进行提供了有利的条件。

三、教法学法教法分析：探索与发现新知识是教学的重点。

所以在教学中主要采用以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得新知识。

学法指导：建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动的建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的知识背景相联系。

在教学中，采用自主探索与合作交流的学习方式，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。

四、教学过程五、教学反思1.学生在初中已经接触到角的定义，角的范围仅限于 0--360 。

1.1 任意角-人教A版必修四教案一、教学目标1.了解角的概念、度数、弧度制。

2.学会用角度和弧度来表示任意角，并能够在不同单位之间进行转换。

3.掌握圆周角的性质和计算方法。

二、教学重点1.角的概念、度数、弧度制。

2.圆周角的定义和计算方法。

三、教学难点1.角度和弧度的相互转换。

2.圆周角和弧角的关系。

四、教学方法讲授法、示范法、探究法五、教学过程1. 角的概念及度数1.引入概念：什么是角？角有哪些特点？2.教师讲解角的度数概念及符号。

3.通过掌握正、负角的概念，进一步了解角的度数。

4.练习：求解几组角的度数。

2. 角的弧度制1.引入概念：什么是弧度制？2.讲解弧度制概念及与角度的换算公式。

3.探究：用弧度制表示任意角。

4.练习：进行角度和弧度的相互转换。

3. 圆周角的定义1.引入概念：什么是圆周角？2.讲解圆周角的定义。

3.通过练习探究：圆周角的性质。

4. 圆周角的计算方法1.讲解圆周角的计算方法。

2.讲解圆周角的补角和余角。

3.练习：利用公式计算圆周角。

5. 任意角的计算1.引入概念：什么是任意角？2.讲解任意角的概念。

3.通过练习探究：任意角的性质和计算方法。

4.练习：利用公式计算任意角。

六、教学反思本节课我采用了讲授法、示范法和探究法相结合的方式进行教学，让学生通过解题和练习的方式来掌握角度和弧度的概念，并进行相互转换和计算。

在教学过程中，学生积极参与，上课气氛活跃，但也发现部分学生对弧度概念和圆周角的理解还不够深入，下一节课需要进一步加强复习和练习。