高一数学《111任意角》学案

甘肃省永昌县第一中学高一数学：§1.1.1 任意角1.理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系讨论任意角.2.能在0º到360º范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角..习重点º的角概念推广到任意角..一、目标展示二、自主学习预习课本第2到第4页，并完成导学预案自主预习内容三、合作探究探究一：角的概念新知：按逆时针方向旋转所形成的角叫角，按顺时针方向旋转所形成的角叫角，未作任何旋转所形成的角叫角。

这样角的概念推广到了，包括任意大小的角、角和角。

探究二：坐标系中讨论角新知：角的顶点与重合，角的与x轴的非负半轴重合，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

反思：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？探究三：终边相同的角新知：与α角终边相同的角,都可用式子k×360°＋α表示，k∈Z，写成集合为。

反思：给定顶点、终边、始边的角有个，终边相同的角相等；但相等的角，360°的整数倍。

360°间，找出下列终边相同角，并判断它是第几象限角。

（1）1040°；（2）－940°例2、写出终边在x轴上的角的集合。

变式：分别表示终边在第一、二、三、四象限角？y 上的角的集合S,并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素例3、写出终边在xβ写出来。

五、达标检测1、－1120°角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2、在0°～360°范围内，与60-︒终边相同的角是（） A. 30︒ B. 60︒ D. 300︒D. 330︒3、一个角为 30°，其终边按逆时针方向旋转一周后的角的度数为。

4、写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________。

1.1.1 任意角导学提纲学习目标：1.了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念2.正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示学习重点、难点：用集合与符号语言正确表示终边相同的角一、导：回忆初中我们是如何定义一个角的？所学的角的范围是什么？二、思：阅读课本2～5页，认真、独立完成以下问题：1.角的概念，角的分类；2.终边相同角的表示；3.象限角、轴线角的概念；象限角的集合：（1）第一象限角的集合：_________________________________；（2）第二象限角的集合：_________________________________；（3）第三象限角的集合：_________________________________；（4）第四象限角的集合：_________________________________；轴线角的集合：（5）终边在x轴上的角的集合：____________________________________；（6）终边在y 轴上的角的集合：____________________________________；（7）终边在坐标轴上的角的集合：__________________________________；三、议：组议思中2，说说{}==+360S k k Z ββα∈，的特点。

四、展：1.终边在y 轴上的角的集合的推导过程.2.已知0240与α角的终边相同，判断2α是第几象限角. 五、评：六、检：1、设060-=α，则与角α终边相同的角的集合可以表示为_________________.2、集合},3690|{00Z k k A ∈-⋅==αα， }180180|{00<<-=ββB ，则._________=⋂B A 3、角α小于0180而大于0180-，它的7倍角的终边又与自身终边重合，求角α。

河北省邯郸市馆陶县第一中学高中数学 1.1.1任意角导学案新人教A版必修4一、学习目标：1.理解并掌握任意角、象限角、终边相同的角的定义。

2.会写终边相同的角的集合并且会利用终边相同的角的集合判断任意角所在的象限。

二、重点、难点：任意角、象限角、终边相同的角的定义是本节课的重点，用集合和符号来表示终边相同的角是本节课的难点三、知识链接：1.初中是如何定义角的？2.什么是周角，平角，直角，锐角，钝角？四、学习过程:（一）阅读课本1-3页解决下列问题。

问题1、按方向旋转形成的角叫做正角，按 - 方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作____旋转，我们称它形成了一个零角。

零角的与重合。

如果α是零角，那么α= 。

问题2、任意角问题3、象限角与象限界角为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标重合；（2）使角的始边和x轴重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，那么这个角就叫做，这个角不属于任何一个象限。

问题4、在平面直角坐标系中作出下列各角并指出它们是第几象限角：（1）420o （2） -75o（3） 855o（4） -510o问题6、以上各角的终边有什么关系？这些有相同的始边和终边的角，叫做 。

把与-32o角终边相同的所有角都表示为 ，所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内可构成集合为 .。

即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。

例1. 在0︒～360︒之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： （１）︒480；（２）︒-760；（３）03932'︒.变式练习 1、 在0︒～360︒之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角：(1)420 º (2)—54 º18′ （3）395º 8 ′ (4)—1190º 30′2、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720o β≤＜360o 的元素 写出来：（1）1303o 18， （2）--225o问题8、(1)写出终边在x 轴上角的集合(2) 写出终边在y 轴上角的集合变式练习 写出终边在直线y ＝x 上角的集合s,并把s 中适合不等式-3600≤β＜720o 元素β写出来。

1。

1.1 任意角疱工巧解牛知识•巧学一、正角、负角、零角1.一条射线的端点是O，它从初始位置OA旋转到终止位置OB,形成一个角α，点O是角α的顶点,射线OA、OB分别是角α的始边、终边。

我们规定,按逆时针方向旋转形成的角叫正角；按顺时针旋转形成的角叫负角；若射线没有作任何旋转，形成的角叫零角，这样就把角的概念推广到了任意角。

旋转一周角的大小记为360°，如图1—1-1.图1—1-12.由于图1-1-1（1）中的α、β分别是按逆时针、顺时针方向旋转的，所以α=45°，β=—315°；图1—1-1(2)中的α=30°,β=390°，γ=-60°。

显然角的大小与旋转的周数有关，角的正负与旋转的方向有关.图1—1—2如图1-1-2，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置,接着再旋转-30°到OC的位置，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+(-30°）=60°。

学法一得引入正角、负角的概念后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即可以转化α—β为α+(-β)，也就是说各角和的旋转量等于各角旋转量的和。

3。

在画图表示角时,常用带箭头的弧来表示旋转的方向,旋转的周数及角的绝对值的大小,旋转生成的角,又常称为转角。

显然,如果以第一个角的终边为始边作第二个角，以第二个角的终边为始边作第三个角，这样一直作下去，那么所有这些角的和等于以第一个角的始边为始边，以最后一个角的终边为终边的角的大小.二、象限角1。

若把角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除顶点外）在第几象限，我们说这个角是第几象限角.图1—1—3例如：由于图1—1-3甲中的角45°、405°、-315°都是始边与x轴的非负半轴重合,终边落在第一象限的角，所以它们都是第一象限角;同理图1-1-3乙中的角480°是第二象限的角，—70°、290°都是第四象限的角.2。

高一数学《必修4》导学案 1.1.1 任意角【课前导学】阅读课本P2到P4回答下列问题。

思考1：在初中角是如何定义的？角的取值范围如何？①体操比赛中术语：“转体720o”（即转体周），“转体1080o”（即转体周）；②时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？思考2：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？小结：我们把按方向旋转所形成的角叫正角。

按旋转所形成的角叫负角，如果一条射线旋转，我们称它形成了一个零角。

思考3：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？如何定义这些角？角的终边在第四象限，我们就说这个角是第象限角；思考：如果角的终边在坐标轴上呢？思考4：与30°角终边相同的角有多少个？这些角与30°角在数量上相差多少？思考5：所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？S=【预习自测】1、课本P5练习1、锐角是第几象限角? 第一象限角都是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题。

2、课本P5练习2、3、已知角的顶点与直角坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角。

（1） -50°是第象限角（2）405°是第象限角（3）210°是第象限角（4）-200°是第象限角4、在直角坐标系中，终边相同的角相等，但相等的角，终边相同（填“一定”或“不一定”）；【课中导学】首先独立思考探究，然后合作交流展示探究一、在0º~360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角。

(1) 1040º；(2) -150º；(3) －940º。

1.1.1任意角一、整体建构、引入课题前面，我们在必修一已经学习了指数函数、对数函数、幂函数等，知道这些函数可以用来刻画现实问题中某些类型的变化规律。

下面我们将再学习一种类型函数------三角函数。

在初中，我们已经学习过锐角三角函数，现在我们要把锐角的三角函数推广到任意角的三角函数，任意角的三角函数到底是一种怎样的函数？具有哪些特有的性质？刻画客观世界中哪些类型问题的变化规律？为了揭开他们神秘的面纱，今天我们学习任意角。

（板书1.1.1任意角）二、复习回顾、奠基新知出示问题1. 在初中，我们已经学习过角，当时研究的角都是在那个范围内取值？角的定义是什么？生1答0º<α≤360º.生2、生3分别回答角的两种定义，师生共同完善生2和生3定义中的不足之处，投影出示角的图形以及角的定义，并说明在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”，可简记成“α”.三、观察联想、形成任意角的概念出示问题2. 观察以下图片，在日常生活中，这些角是怎样形成的？（1）.钟表的秒针旋转转过的角度.（2）. 在体操、跳水等运动中，“转体720º”、“转体1080º”等动作名称中的角度.（1）（2）师：这些角已超出0º<α≤360º的范围，并且在形成的过程中还有旋转方向的区别.显然0º<α≤360º的角已远远不能满足生活的需要，需要把角的范围进行推广.大家继续来看钟表的分针旋转问题.问题3. 你的钟表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的钟表快了1小时，你应当如何将它校准？当时间校准后，分针各旋转了多少度？实物展示如何校准钟表，学生回答提出的问题，感受要准确刻画以上现象的角，需要知道旋转方向和旋转量.问题4. 要准确地描述以上现象中的角，要知道哪些量？学生通过刚才的观察和体会，回答需要知道两个量：旋转方向和旋转量.问题5. 为了满足生活中研究问题的需要，我们需要把角的概念进行推广，你如何把角的概念进行推广？学生思考回答.“按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转形成的角叫做负角；不作任何旋转所形成的角叫零角.”回答不完整的地方，师生一起补充完善，师指出，这里的正负仅仅代表旋转方向，和实数的正负是同样的道理.师板书：⎧⎪⎨⎪⎩正角任意角负角零角；同时投影出示以上内容和图形.四、自主建构，形成象限角和轴线角的概念师在黑板上画出几个正角和负角，始边画的位置不一，从而提出问题6.问题6. 要比较和讨论角，现在不好解决，这就需要一个统一的标准，如何统一标准呢？ 学生思考回答，把角放在平面直角坐标系中.师追问为什么放到平面直角坐标系中，师生一起思考研究函数时，都是先画图象，再研究性质，因此想到把角放到平面直角坐标系中.问题7. 为了研究问题的方便，我们常在平面直角坐标系中内讨论角，如何放置这个角讨论问题更方便？生答“角的顶点与坐标原点重合，角的始边和x 轴的非负半轴重合”.师根据学生的回答，动画演示角的终边落的位置，分别落在四个象限或坐标轴上，让学生分别给这些角起名字，引出角的第二种分类：⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩象限角：角的终边在的位置轴线角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.角：. 师：你能正确认识象限角吗？然后出示练习：1、锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答这两个问题.2. 第二象限角一定比第一象限角大吗？学生代表回答，要求说出为什么，总结规律，“象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.”为下一步引出终边相同的角做铺垫.五、特殊到一般，揭示终边相同的角的规律刚才，同学回答练习中的问题时，指出390o 是第一象限角，与30o 角的终边相同，也就是以30o 角的终边OB 为终边的角不止一个，现在给你一个30o-角，你能画出这个角吗？学生画图，很快画出30o -角，师出示问题8.问题8. 在直角坐标系中，给定30o-角，它的终边唯一确定；反过来，给一条射线OB （30o -角的终边），以射线OB 为终边的角不唯一；以射线OB 为终边的角有哪些呢？请你写出，并观察他们之间有什么关系？学生写出与30o -角终边相同的角，并观察规律.投影展示学生解答，得出规律：与30o -角终边相同的角都可以写成30360,o o k k Z β=-+⋅∈.问题9.能否把得到的与30o-角终边相同的角的这一规律推广到任意角α？学生思考回答.问题10. 在直角坐标系中，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应.反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB ，以它为终边的角不唯一，那么终边相同的角有什么关系？学生回答：与角α终边相同的角都可以写成360,o k k Z βα=+⋅∈.问题11. 与角α终边相同的角能否组成集合？这个集合怎样表示？学生回答，S ={β|β=α+k ·360º,k ∈Z }.问题12. 这个集合中的元素表示的是什么角？与角α终边相同的角都是集合中的元素吗？学生思考回答.师生共同得出结论，师板书：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合S ={β|β=α+k ·360º,k ∈Z }.师多媒体出示三种语言：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合S ={β|β=α+k ·360º,k ∈Z }.也就是说，任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.师举几个简单的角，让学生说出与他们终边相同的角. 六.巩固练习，深化提高例1. 在0º~360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1) 640º； (2) －940º32′.注： 0º~360º是指 . 学生自主思考并作答，师巡视并予以个别指导.师投影展示学生出现的的不同解法以及暴露出的各种问题，并投影展示规范的解题过程.解：（1）640º =280º +360º ，所以在0º~360º范围内,与640º角终边相同的角是280º，它是第三象限角．（2） －940º32′ =139º28′ － 3×360º ，所以在0º~360º范围内,与－940º32′角终边相同的角是139º28′ ，它是第二象限角．0360o o α≤<最后总结提升：在0º~360º范围内找与已知角α终边相同的角β的方法：方法1： α= β+k ·360º(k ∈Z ).方法2： β=α+n ·360º (n ∈Z ).只要取适当的k 、n 值即可（引导学生思考如何找k 、n 值）.其中方法1方便以后的三角运算.师：我们已经学会在0º~360º范围内找与已知角α终边相同的角，如果告诉你角的终边落在一条射线或直线上，你能写出这些角的集合吗？例2 （1）写出终边在x 轴非负半轴上的角的集合；（2）写出终边在x 轴上的角的集合.学生自主思考并作答，师巡视并予以个别指导.师投影展示学生的解法，解决暴露出的各种问题. 并投影展示规范的解题过程.（1） 解：在0º~360º范围内，终边在x 轴非负半轴上角是0º.因此，所有与0º角终边相同的角构成集合 （2）在0º~360º范围内，终边在x 轴上角有两个，即0º和180º.由（1）知，所有与 0º角终边相同的角构成集合 又所有与180º角终边相同的角构成集合 于是，终边在x 轴上的角的集合在讲解（2）题的过程中，在求12S S 时，引导学生适时观察思考，奇数集和偶数集的并集是整数集，此处学生不易想到，是本题的难点，应引导学生对原式进行适当变形；并强调指出：最后结果采用简约的形式.最后总结提升：写出终边在x 轴上的角的集合的方法：方法1：分别写出终边在x 轴的非负半轴和非正半轴上的角的集合，然后再取并集. 方法2：在其中一条终边上找出一个角，然后再加上180o 的整数倍.师：我们已经会熟练写出终边在x 轴上的角的集合，你能熟练写出终边落在其它直线上的角的集合吗？例3.写出终边在直线 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式 的元素β写出来.学生自主思考并作答，师巡视并予以个别指导.师投影展示学生的解法，解决暴露出的各种问题. 并投影展示规范的解题过程. 解：终边在直线 的角的集合 S 中适合 的元素是{}10360,.o o S k k Z ββ==+⋅∈{}10360,,o o S k k Z ββ==+⋅∈{}2180360,,o o S k k Z ββ==+⋅∈{}{}{}{}122(02180,1802180,02180,08,110)o o o o o o o o S S S k k Z k k Z k Z k Z k k ββββββββ===+⋅∈=+⋅∈==+⋅∈=⋅++∈{}180,o n n Z ββ==⋅∈y x =-360720o o β-≤<y x =-{}135180,o o S n n Zββ==+⋅∈360720o o β-≤<1352180225,o o o -⨯=-135118045,o o o -⨯=-强调指出：终边在一条直线上的角，在一周内有两个；而终边落在一条射线上的角，在一周内只有一个，不要多写和漏写.七、反思小结，提炼观点1、这节课你掌握了哪些知识？学到了哪些思想方法？2、你还有什么其它收获？学生思考回答，师生不断补充完善，最后师生投影出示知识结构.八、作业巩固、深化提高1、课本P 9 1、3；2、搜集三角函数发展史资料并进行交流.1350180135,o o o +⨯=1351180315,o o o +⨯=1352180495,o o o +⨯=1353180675.o o o +⨯=。

1.1.1任意角预习课本P2～5，思考并完成以下问题(1)角是如何定义的？角的概念推广后，分类的标准是什么？(2)象限角的含义是什么？判断角所在的象限时，要注意哪些问题？(3)终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？[新知初探]1．任意角(1)角的概念：角可以看成平面内一条绕着端点从一个位置到另一个位置所成的．(2)角的表示：如图，OA 是角α的，OB 是角α的，O 是角α的．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类：名称定义图示正角按方向旋转形成的角负角按方向旋转形成的角零角一条射线作任何旋转形成的角[点睛]对角的概念的理解关键是抓住“旋转”二字：①要明确旋转的方向；②要明确旋转量的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．2．象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的在第几象限，就说这个角是第几；如果角的终边在，就认为这个角不属于任何一个象限．[点睛]象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[点睛]对终边相同的角的理解(1)α为任意角，“k ∈Z ”这一条件不能漏．(2)k ·360°与α中间用“＋”连接，k ·360°－α可理解成k ·360°＋(－α)．(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．终边不同，则表示的角一定不同[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)－30°是第四象限角．()(2)钝角是第二象限的角．()(3)终边与始边重合的角是零角．()2．与－457°角终边相同的角的集合是()A ．{α|α＝k ·360°＋457°，k ∈Z}B ．{α|α＝k ·360°＋97°，k ∈Z}C ．{α|α＝k ·360°＋263°，k ∈Z}D ．{α|α＝k ·360°－263°，k ∈Z}3．下列说法正确的是()A ．锐角是第一象限角B ．第二象限角是钝角C ．第一象限角是锐角D ．第四象限角是负角4．与－1560°角终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是_______．任意角的概念[典例]下列结论：①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③小于90°的角为锐角；④钝角比第三象限角小；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确的结论为________(填序号)．理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．[活学活用]若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为()A ．120°B ．－120°C ．－60°D ．60°终边相同角的表示[典例]已知α＝－315°.(1)把α改写成k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－1080°＜θ＜－360°.1．终边落在直线上的角的集合的步骤(1)写出在0°～360°范围内相应的角；(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；(3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁．2．终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．如图所示，求终边落在直线y ＝3x 上的角的集合．象限角的判断[典例]找出与下列各角终边相同的最小正角和最大负角，并判断它们是第几象限角．(1)660°；(2)－950°8′；(3)10030°.象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．已知α是第四象限角，则270°－α是()A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角角αn，nα(n ∈N *)所在象限的确定[典例]已知α是第二象限角，求角α2所在的象限．[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求角2α的终边的位置．2．[变条件]若本例条件中角α变为第三象限角，求角α2是第几象限角．[新知初探]1．任意角（1）射线旋转图形．(2)始边终边顶点(3)逆时针顺时针没有2．象限角原点终边象限角坐标轴上[小试身手]1．答案：(1)√(2)√(3)×2．解析：选C263°＝－457°＋360°×2，所以263°角与－457°角的终边相同，所以与－457°角终边相同的角可写为{α|α＝k ·360°＋263°，k ∈Z }.3．答案：A4．解析：与－1560°角终边相同的角的集合为{α|α＝k ·360°＋240°，k ∈Z}，所以最小正角为240°，最大负角为－120°.答案：240°－120°任意角的概念[典例][解析]①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；③小于90°的角可以是0°角，也可以是负角，故③不正确；④钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故④不正确；⑤0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确．[答案]②[活学活用]解析：选B由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－412×360°＝－120°.[解](1)因为－315°＝－360°＋45°.又0°＜45°＜360°，所以把α写成k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β＜360°)的形式为α＝－360°＋45°(β＝45°)，它是第一象限角．(2)与－315°终边相同的角为θ＝k ·360°＋45°(k ∈Z)，所以当k ＝－3，－2时，θ＝－1035°，－675°，满足－1080°＜θ＜－360°.即得所求角θ为－1035°和－675°.[活学活用]解：终边落在射线y ＝3x (x >0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z}，终边落在射线y ＝3x (x ≤0)上的角的集合是S 2＝{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z}，于是终边落在直线y ＝3x 上的角的集合是S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z}∪{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z}＝{α|α＝60°＋2k ·180°，k ∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z}＝{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z}.象限角的判断[典例][解](1)∵660°＝360°＋300°＝2×360°－60°，∴与660°角终边相同的最小正角是300°，最大负角是－60°，它们是第四象限角．(2)∵－950°8′＝－3×360°＋129°52′＝－2×360°－230°8′，∴与－950°8′角终边相同的最小正角是129°52′，最大负角是－230°8′，它们是第二象限角．(3)∵10030°＝27×360°＋310°＝28×360°－50°，∴与10030°角终边相同的最小正角是310°，最大负角是－50°，它们是第四象限角．[活学活用]解析：选D由题意知－90°＋360°·k ＜α＜360°·k (k ∈Z)，则－360°·k ＜－α＜－360°·k ＋90°(k∈Z)，270°－360°·k ＜270°－α＜360°－360°·k (k ∈Z)，显然270°－α是第四象限角.角αn，nα(n ∈N *)所在象限的确定[典例][解]法一：∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z)．∴k 2·360°＋45°<α2<k2·360°＋90°(k ∈Z)．n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°，这表明α2是第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z)，得n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，这表明α2是第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．法二：如图，先将各象限分成2等份，再从x 轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为α2的终边所在的区域，故α2为第一或第三象限角．[一题多变]1．解：∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z)．∴k ·720°＋180°<2α<k ·720°＋360°(k ∈Z)．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上．2．解：如图所示，先将各象限分成2等份，再从x 轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角α2的终边所在的区域，故角α2为第二或第四象限角．。

《1.1.1任意角》教学案●三维目标1．知识与技能(1)推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；(2)理解象限角、坐标轴上的角的概念；(3)理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法；(4)能表示特殊位置(或给定区域内)的角的集合；(5)能进行简单的角的集合之间的运算．2．过程与方法以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，类比初中所学的角的概念，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系；引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求．●重点难点1．重点：理解正角、负角和零角及象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断．2．难点：把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．●教学建议1．任意角的概念：建议教师在教学过程中通过拨手表指针问题引导学生感受推广角的概念的必要性．教学时，可以先让学生自己描述“校准”手表的过程，然后引导学生体会仅用0°～360°之间的角已经无法解决当前的问题．2．象限角的概念：建议教师在教学过程中强调角与平面直角坐标系的关系，引导学生发现象限角所在的范围可以用不等式表示，并注意讲解“终边落在坐标轴上的角，它不属于任何一个象限”．3．终边相同的角的表示：建议教师在教学中应当让学生先通过自己的活动形成对“终边相同的角相差360°的整数倍”的直观感知，通过具体角寻找终边相同角的规律，归纳其一般表示形式．教学时，有条件的可以利用信息技术，利用动态的观点，旋转角的终边，观察角的变化规律，从而将数、形联系起来，使角的几何表示和集合表示相结合，从而达到对终边相同角的认知的统一．●教学流程创设问题情境，复习初中角的定义，引出任意角的概念.⇒引导学生结合任意角的定义，理解正角与负角的概念并加以区分，理解角的分类.⇒通过引导学生探究在直角坐标系中，按角的终边的位置不同定义不同的象限角，并理解终边相同的角的表示方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握角的概念及其应用.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握终边相同的角的表示方法及其注意事项.⇒通过例3及其互动探究使学生掌握象限角的表示及其应用.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.1．在初中时我们是如何定义角的？【提示】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．2．如果你的手表慢了10分钟，你是怎样校准的？【提示】校准方法很多，由于分针转一圈为360°，故10分钟分针需要转过60°，且要调快分针可顺时针转，故可让分针顺时针旋转60°.(1)一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边．(2)按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角．如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角．1．如果把一个角的顶点放在直角坐标系的原点，角的始边为x轴正半轴，那么角终边的位置在坐标系中有几种情况？【提示】在第一、二、三、四象限或与坐标轴重合．2．0°角与360°角的终边相同吗？【提示】相同．(1)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．(2)终边相同的角：一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}.例1①终边相同的角一定相等；②第一象限角都是锐角；③锐角都是第一象限角；④小于90°的角都是锐角．(2)下列说法正确的是________．(填序号)①一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大．②在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°.③将钟表调快一个小时，则分针转了360°.④顺时针方向旋转形成的角一定小于逆时针方向旋转形成的角．【思路探究】根据各种角的含义进行判断．【自主解答】(1)对于①，－60°角和300°角是终边相同的角，但它们并不相等，∴应排除①.对于②，390°角是第一象限角，但它不是锐角，∴应排除②.对于④，－60°角是小于90°的角，但它不是锐角，∴应排除④.∵锐角的集合是{α|0°＜α＜90°}，第一象限角的集合是{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}，∴锐角是第一象限角．∴③正确．(2)如果一条射线绕端点顺时针方向旋转，则它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小，故①不正确．在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转，故它形成的角为－90°，故②不正确．将钟表调快一个小时，也是按顺时针转动，故分针转了－360°，③不正确．顺时针方向旋转形成的角为负角，它一定小于逆时针方向旋转形成的正角，故④正确．【答案】(1)③(2)④解答概念辨析题，一是利用定义直接判断；二是利用反例排除错误答案，要说明一个命题不正确，只需举出一个反例即可．下列说法正确的是________．(填序号)①三角形的内角必是第一、二象限角；②第一象限角一定是正角；③第二象限角一定比第一象限角大；④与30°终边相同的角有无穷多个．【解析】90°可以是三角形的内角，但它既不是第一象限角，又不是第二象限角，故①错；－330°是第一象限角，但不是正角，故②错；120°是第二象限角，390°是第一象限角，但390°>120°，故③错；④正确．【答案】④终边相同的角例2在0°～360°范围内，请指出与下列角的终边相同的角，并说出此角是第几象限角．(1)430°(2)909°(3)－60°(4)－1 550°【思路探究】将所给角α写成α＝k·360°＋β(0°≤β＜360°)的形式，则β即为所求．【自主解答】(1)430°＝1×360°＋70°，所以在0°～360°范围内与430°终边相同的角为70°，此角为第一象限角．(2)909°＝2×360°＋189°，所以在0°～360°范围内与909°终边相同的角为189°，此角为第三象限角．(3)－60°＝－1×360°＋300°，所以在0°～360°范围内与－60°终边相同的角为300°，此角为第四象限角．(4)－1 550°＝－5×360°＋250°，所以在0°～360°范围内与－1 550°终边相同的角为250°，此角为第三象限角．将任意角写成α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式的关键是确定k.可用观察法(α绝对值较小时)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，余数是正数．如图1－1－1，分别写出终边落在所示直线上的角的集合．图1－1－1【解】 由于终边落在直线上的角都是180°的整数倍加上相应的角(0°到180°范围内)，因此相对应的角的集合为：(1)S ＝{α|α＝90°＋k ·180°，k ∈Z }； (2)S ＝{α|α＝45°＋k ·180°，k ∈Z }； (3)S ＝{α|α＝135°＋k ·180°，k ∈Z }；(4)S ＝{α|α＝45°＋k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝135°＋k ·180°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·90°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·90°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋k ·90°，k ∈Z }．例3 已知α为第一象限角，求2α，α2，α3所在的象限．【思路探究】 用不等式表示α→求2α，α2，α3的范围→分类讨论→得出结论 【自主解答】 ∵α为第一象限角， ∴360°·k ＜α＜360°·k ＋90°，k ∈Z ， ∴360°·2k ＜2α＜360°·2k ＋180°，k ∈Z ，∴2α是第一或者第二象限角，或是终边在y 轴正半轴上的角． ∵180°·k ＜α2＜180°·k ＋45°，k ∈Z ， 当k 为奇数时，α2是第三象限角； 当k 为偶数时，α2是第一象限角． ∴α2为第一或第三象限角．又∵120°·k ＜α3＜120°·k ＋30°，k ∈Z ，当k ＝3n (k ∈Z )时，360°·n ＜α3＜360°·n ＋30°，n ∈Z ， ∴α3是第一象限角；当k ＝3n ＋1(k ∈Z )时，360°·n ＋120°＜α3＜360°·n ＋150°，n ∈Z ，∴α3是第二象限角； 当k ＝3n ＋2(k ∈Z )时，360°·n ＋240°＜α3＜360°·n ＋270°，n ∈Z ，∴α3是第三象限角． ∴α3为第一、第二或第三象限角．1．用不等式表示象限角的集合是解决这类问题的基本方法． 2．α，α2，2α终边位置关系： α 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 错误第一、三 象限 第一、三 象限 第二、四 象限 第二、四 象限 2α第一、二象限或y 轴 的正半轴第三、四象 限或y 轴 的负半轴第一、二象 限或y 轴 的正半轴第三、四象 限或y 轴 的负半轴把本例中条件改为“若α是第三象限角”，求角2α，α2所在的象限．【解】 由角α是第三象限角可知，k ·360°＋180°＜α＜k ·360°＋270°，k ∈Z ， 于是，2k ·360°＋360°＜2α＜2k ·360°＋540°，k ∈Z ， 即(2k ＋1)·360°＜2α＜(2k ＋1)·360°＋180°，k ∈Z . 所以2α为第一、二象限角或终边在y 轴的正半轴上的角． 因为k ·180°＋90°＜α2＜k ·180°＋135°，k ∈Z ，当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则n ·360°＋270°＜α2＜n ·360°＋315°，n ∈Z ，此时α2为第四象限角；当k 为偶数时，设k ＝2n ，n ∈Z ，则n ·360°＋90°＜α2＜n ·360°＋135°，n ∈Z ，此时α2为第二象限角．因此α2为第二象限角或第四象限角．区间角表示错误图1－1－2典例 用角度表示顶点在原点上，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在图1－1－2所示的阴影区域内的角的集合(含边界)．【错解】因为区域起始、终边边界分别对应的角为300°和45°，所以它表示的角的集合为{α|k·360°＋300°≤α≤k·360°＋45°，k∈Z}．【错因分析】因为45°≤300°，所以上式是错误的，由于没有弄清角的大小而造成了错误，出现了矛盾不等式．【防范措施】表示区间角时，应先按逆时针方向，确定在(0°，360°)范围内区间的起始边界与终止边界所对应的角α，β(α＜β)，再在所得到的范围{x|α＜x＜β}两边加上k·360°，即得区域角的集合{x|k·360°＋α＜x＜k·360°＋β，k∈Z}．【正解】由题意可知300°角与－60°角的终边相同，所以它表示的角的集合为{α|k·360°－60°≤α≤k·360°＋45°，k∈Z}．1．对角的概念的理解关键是抓住“旋转”二字：(1)要明确旋转的方向；(2)要明确旋转的大小；(3)要明确射线未作任何旋转时的位置．2．在运用终边相同的角时，需注意以下几点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉；(2)α是任意角；(3)k·360°与α之间用“＋”连结，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是________．【解析】一条射线绕着端点按顺时针方向旋转所形成的角是负角，且旋转了240°，故填－240°.【答案】－240°2．在148°，475°，－960°，－1 601°，－185°这五个角中，属于第二象限角的个数是________．【解析】148°显然是第二象限角．而475°＝360°＋115°，－960°＝－3×360°＋120°，－185°＝－360°＋175°，都是第二象限角，而－1 601°＝－5×360°＋199°，不是第二象限角．【答案】 43．若角α＝2 008°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．【解析】∵2 008°＝5×360°＋208°，∴与2 008°角终边相同的角的集合为{α|α＝208°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是208°，最大负角是－152°.【答案】208°－152°4．求0°～360°范围内与－30°终边相同的角．【解】与－30°角终边相同的角为k·360°－30°，k∈Z，取k＝1，得1×360°－30°＝330°，0°≤330°＜360°，因此所求角为330°.一、填空题1．(2013·泰安高一检测)钟表经过4小时，时针转过的度数为________，分针转过的度数为________．【解析】分针和时针均按顺时针方向旋转，其中分针连续转过4周，时针转过13周．【答案】－120°－1 440°2．543°是第________象限角．【解析】543°＝183°＋360°，又183°是第三象限角，故543°也是第三象限角．【答案】三3．与405°终边相同的角的集合为________．【解析】405°－360°＝45°，故与405°角终边相同的角可表示为k·360°＋45°，k∈Z.【答案】{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}4．(2013·南京高一检测)已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小正角是________．【解析】与α终边相同的角的集合为{θ|θ＝－3 000°＋k·360°，k∈Z}，与θ终边相同的最小正角是当k＝9时，θ＝－3 000°＋9×360°＝240°.所以与α终边相同的最小正角为240°.【答案】240°5．若α是第二象限角，则180°－α是第________象限角．【解析】因为α是第二象限角，所以k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z，所以k·360°＜180°－α＜k·360°＋90°，k∈Z，所以180°－α是第一象限角．【答案】一6．(2013·曲阜师大附中检测)在－720°～720°内与－1 050°角终边相同的角是________．【解析】与－1 050°终边相同的角可表示为k·360°－1 050°(k∈Z)，k＝1时，1×360°－1 050°＝－690°，k＝2时，2×360°－1 050°＝－330°，k＝3时，3×360°－1 050°＝30°，k＝4时，4×360°－1 050°＝390°.【答案】－690°或－330°或30°或390°7．在－360°～0°内与160°角终边相同的角是________．【解析】与160°角终边相同的角α＝k·360°＋160°，k∈Z.∵－360°≤α＜0°，∴取k＝－1，得α＝－360°＋160°＝－200°.故在－360°～0°内与160°角终边相同的角是－200°.【答案】－200°8．若角α和角β的终边关于x 轴对称，则角α可以用角β表示为________．【解析】 ∵角α和角β的终边关于x 轴对称，∴α＋β＝k ·360°(k ∈Z )．∴α＝k ·360°－β(k ∈Z )．【答案】 k ·360°－β(k ∈Z ) 二、解答题9．写出终边在如图1－1－3所示阴影部分(包括边界)的角的集合．图1－1－3【解】 先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则 (1){α|30°＋k ·360°≤α≤150°＋k ·360°，k ∈Z }； (2){α|－210°＋k ·360°≤α≤30°＋k ·360°，k ∈Z }．10．写出与15°角终边相同的角的集合，并求该集合中满足不等式－1 080°≤β＜720°的元素β.【解】 与15°角终边相同的角的集合为S ＝{β|β＝15°＋k ·360°，k ∈Z }，其中，满足－1 080°≤β＜720°的元素有：k ＝－3时，β＝－1 065°；k ＝－2时，β＝－705°；k ＝－1时，β＝－345°；k ＝0时，β＝15°；k ＝1时，β＝375°，∴集合中满足条件的元素β有－1 065°，－705°，－345°，15°，375°. 11．在角的集合{α|α＝k ·90°＋45°(k ∈Z )}中： (1)有几种终边不相同的角？(2)有几个大于－360°且小于360°的角？ (3)写出其中是第二象限的角的一般表示法．【解】 (1)当k ＝4n ，4n ＋1，4n ＋2，4n ＋3，n ∈Z 时，在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种．(2)由－360°＜k ·90°＋45°＜360°，得－92＜k ＜72. 又k ∈Z ，故k ＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3. ∴在给定的角集合中大于－360°且小于360°的角共有8个． (3)其中是第二象限的角可表示成k ·360°＋135°，k ∈Z .(教师用书独具)已知角α的终边在如图所示的阴影部分所表示的范围内，求角α的取值范围．【思路探究】先在－180°～180°范围内找出终边落在阴影内的角，然后写出角的集合(注意边界)．【自主解答】当角α的终边落在阴影的上半部分时，α∈{α|k·360°＋30°＜α≤k·360°＋150°，k∈Z}，当角α的终边落在阴影的下半部分时，α∈{α|k·360°－150°＜α≤k·360°－30°，k∈Z}．由此可知满足题意的角α为{α|k·180°＋30°＜α≤k·180°＋150°，k∈Z}．1．角的终边为虚线，则不等式中应不带“＝”号．2．本题实质上是求两个范围内角的并集，应注意化简为最简结果．如图所示，写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合为________．【解析】与－30°角终边在一条直线上的角的集合为S1＝{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}＝{α|α＝150°＋k·180°，k∈Z}．与45°＋90°＝135°角终边在同一直线上的角的集合为S2＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}，从而图中阴影部分的角的取值集合为{α|135°＋k·180°≤α≤150°＋k·180°，k∈Z}．【答案】{α|135°＋k·180°≤α≤150°＋k·180°，k∈Z}。

1.1.1任意角学习目标：1.理解任意角的概念（包括正角、负角、零角）与区间角的概念；2.会建立直角坐标系讨论任意角，能判断象限角，会书写终边相同角的集合；3.掌握区间角的集合的书写.学习重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写；学习难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写.学习过程：一、问题情境你的手表慢了 5分钟，你是如何校准的呢？若你的手表快了 1.25小时，你是如何校准的呢？当时间校准后，分针和时针分别转了多少度呢？二、学生活动1.初中角的概念是如何定义的呢？2 .阅读体会：阅读教材P5前两段.3.讨论举例：请同学们举几个“大于360。

的角或按不同方向旋转而成的角”的例子，说明什么问题？如何表示和区分这些角呢？三、建构数学1.用运动的观点定义角：角可以看成 ___________________ 的图形.2.角的分类：_______ :按逆时针方向旋转形成的角._______ :射线没有任何旋转形成的角._______ :按顺时针方向旋转形成的角.注意：（1）在不引起混淆的情况下，“角a”或“Za”可以简化成“a”；（2）零角的终边与始边重合，如果a是零角a = 0° ；（3）角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角.4.了解轴线角的概念；5.探究终边相同角之间的关系：探究：将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应.反之，对于直角坐标系中任意一条射线0B,以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同角有什么关系？结论：所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合：四、数学应用1.例题.例1在0。

〜360。

间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.(1)120°(2) 660°(3) -950° 12'例2 (1)写出终边在v轴非负半轴上的角的集合;(2)写出终边在y轴非正半轴上的角的集合；(3)写出终边在x轴非负半轴上的角的集合；(4)写出终边在；c轴非正半轴上的角的集合.例3 (1)用集合的形式表示终边落在第一象限的角(2)写出终边落在v = ±x(x > 0)所夹区域内的角的集合2.练习.(1)钟表经过4小时，时针与分针各旋转_________ 和_______ (填度数).(2)锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？直角和钝角是第几象限的角？小于90°的角是锐角吗？(3)-角为30° ,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_________ •若按顺时针方向旋转三周后呢？(4)在0度到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是哪个象限的角？①650°②一150°③一990° 15，五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1.掌握正角，负角和零角的概念；2.掌握象限角的概念，并会判断一个角是第几象限角;3.掌握终边相同角的表示方法和判断方法.。

2.若角 与 的终边关于 轴对称，则 与 的关系为。
3.写出下列各边相同的角的集合 ，并把 中适合不等式 的元素 写出来：（1） ；（2） ；（3） ．
4．试写出终边在直线 上所有角的集合，并指出上述集合中介于 与 之间的角。
5．若角 是第三象限角，问 是哪个象限的角？ 是哪个象限的角？
课题：——1.11任意角姓名：
6.－1120°角所在象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7.写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________．
三：课堂研讨
例1在 与 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？
（1） （2） （3）
备注
例2已知 与 角的终边相同，判断 是第几象限角？ 呢？
写出3个与 角终边相同的角：
下列哪些角与 角的终边相同：
（1） （2） （3） （4）
3.试求出与下列各角终边相同的最小正角和最大负角：
（1） （2） （3） （4）
4.在 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断他们是第几象限角：（1） （2） （3）
课外作业——1.1.1任意角姓名：
1.若 为锐角，则 是第象限角。
思考：终边落在 轴正半轴上的角的集合如何表示？
终边落在 轴负半轴上的角的集合如何表示？
终边落在 轴轴上的角的集合如何表示？
终边落在 轴正半轴上的角的集合如何表示？
终边落在 轴负半轴上的角的集合如何表示？
终边落在 轴轴上的角的集合如何表示？
终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？
四：学后反思
课堂检测——1.1.1任意角姓名：
3.我们常在内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的与

1.1.1 任意角【课标要求】1．了解角概念的推广．2．掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义．3.熟练掌握象限角、轴线角、终边相同的角的概念，会用集合表示这些角．【核心扫描】1．各种角的概念．(重点、易混点)2．终边相同的角的表示．(难点)新知导学1．任意角的概念(1)角的概念角可以看成平面内绕着端点从一个位置到另一个位置所成的图形．(2)角的表示：如图①顶点：射线的端点O；②始边：射线的起始位置OA；③终边：射线的终止位置OB.(3)角的分类按旋转方向可将角分为如下三类：①正角：按方向旋转形成的角；②负角：按方向旋转形成的角；③零角：如果一条射线作任何旋转，我们称它形成了一个零角．温馨提示：(1)角度的范围不再局限于[0°，360°]．(2)角的概念是通过角的终边的运动来推广的，根据终边的旋转“方向”可得到正角、负角和零角，因此应当意识到角的终边位置及旋转方向的重要性．(3)当角的始边相同时，若角相等，则终边相同，但终边相同，角不一定相等．2．象限角角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．温馨提示：(1)象限角的前提条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．(2)在学习象限角时，应强调角与平面直角坐标系的关系．在这个统一前提下，才能对象限角进行定义．终边落在坐标轴上是一种“边界”状态．因此，规定它不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．如图所示，角α1、α2、α3为终边相同的角．温馨提示：一般地，终边相同的角的表达式形式不唯一，可利用图形来验证，如α＝90°＋k·180°与β＝－90°＋k·180°(k∈Z)都表示终边在y轴上的角．互动探究探究点1如果一个角的终边和始边重合，那么这个角一定是零角吗？探究点2锐角与第一象限的角有什么区别？探究点3 终边相同的角是相等的角吗？题型探究类型一角的概念问题【例1】在下列说法中：①0°～90°的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角．其中错误说法的序号为________(错误说法的序号都写上)．[规律方法]判断说法错误，只需举一个反例即可．解决本题关键在于正确理解各种角的定义．随着角的概念的推广，对角的认识不能再停留在初中阶段，否则判断容易错误．【活学活用1】A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限角}，则A∩B＝()A．{锐角} B．{小于90°的角}C．{第一象限角} D．以上都不对【例2】已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，指出下列各角是第几象限角，以及0°～360°范围内与其终边相同的角．①485°；②－35°；③770°；④－500°.[规律方法]本题要求在0°～360°范围内，找出与已知角终边相同的角，并判断其为第几象限角，这是为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值打基础．本题虽然简单，但非常重要，因此要引起重视．类型三终边相同的角的应用【例3】在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角．[规律方法]求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．【活学活用3】写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来．【例4】 写出终边落在阴影部分的角的集合．[规律方法] 解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．本题还要注意实线边界与虚线边界的差异．【活学活用4】 如图，若角α的终边落在函数y ＝x (x ≥0)与y ＝－x (x ≤0)的图象所夹的区域(即图中阴影部分，不包括边界)内，求角α的集合．易错辨析 因未能正确理解象限角而出错【示例】 已知α是第三象限角，则α3是第几象限角？ [错解] 由α是第三象限角，得180°<α<270°，∴60°<α3<90°，∴α3是第一象限角． [错因分析] 仅以180°<α<270°表示第三象限角是出错的主要原因．[正解] ∵α是第三象限角，∴180°＋k ·360°<α<270°＋k ·360°(k ∈Z )，∴60°＋k ·120°<α3<90°＋k ·120°(k ∈Z )．当k ＝3n (n ∈Z )时，60°＋n ·360°<α3<90°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α3是第一象限的角；当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，180°＋n ·360°<α3<210°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α3是第三象限的角；当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，300°＋n ·360°<α3<330°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α3是第四象限的角．∴α3是第一、三、四象限的角．[防范措施] 已知角α所在的象限，要求αn(n ∈N *)所在的象限，应把角α写成k ·360°＋β<α<k ·360°＋γ(k ∈Z )的形式，再求出k ·360°n ＋βn <αn <k ·360°n ＋γn(k ∈Z )，分别取k ＝0,1,2，…，n －1，即可确定αn所在的象限. 课堂达标1．下列角中终边与330°相同的角是( )A ．30°B ．－30°C ．630°D ．－630°2．－1 120°角所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．一角为30°，其终边按逆时针方向旋转三周后得到的角的度数为________．4．与2 013°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．5．判断下列各组角中，哪些是终边相同的角．(1)k ·90°与k ·180°＋90°(k ∈Z )；(2)k ·180°±60°与k ·60°(k ∈Z )；(3)(2k ＋1)·180°与(4k ±1)·180°(k ∈Z )；(4)k ·180°＋30°与k ·180°±30°(k ∈Z )．课堂小结1．角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．2．要明确象限角的概念及其内涵，并能依据概念判断一个角是哪一个象限角或象限界角．3．会用集合表示终边相同的角，并要深刻理解终边相同角的含义，会利用概念求得符合 某种条件的角.参考答案新知导学1．(1)一条射线旋转(3)①逆时针②顺时针③没有2．第几象限的角互动探究探究点1提示不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角；若角的终边作了旋转，则这个角不是零点．探究点2提示锐角与第一象限角既有区别又有联系．锐角是第一象限角，而第一象限角不一定是锐角．同样，钝角是第二象限角，而第二象限角不一定是钝角．探究点3 提示不一定，相等的角的终边一定相同；终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.题型探究类型一角的概念问题【例1】①②④【解析】①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象限，所以①不正确．②120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以②不正确．③钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以③正确．④锐角的范围是(0°，90°)，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．【活学活用1】D【解析】小于90°的角由锐角、零角、负角组成，而第一象限的角包含有锐角及其他终边在第一象限的角，所以A∩B是由锐角和终边在第一象限的负角组成的集合，故选D.类型二象限角的判定【例2】【解】①485°＝125°＋360°，所以在0°～360°范围内，与485°终边相同的角是125°，所以485°是第二象限角．②－35°＝325°－360°，所以在0°～360°范围内，与－35°终边相同的角是325°，所以－35°是第四象限角．③770°＝50°＋2×360°，所以在0°～360°范围内，与770°终边相同的角是50°，所以770°是第一象限角．④－500°＝220°－2×360°，所以在0°～360°范围内，与－500°终边相同的角是220°，所以－500°是第三象限角．【活学活用2】D【解析】对于①：如图1所示，－75°角是第四象限角；对于②：如图2所示，225°角是第三象限角；对于③：如图3所示，475°角是第二象限角；对于④：如图4所示，－315°角是第一象限角．类型三终边相同的角的应用【例3】【解】(1)与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，由－360°<k·360°＋10 030°<0°，得－10 390°<k·360°<－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°<k·360°＋10 030°<360°，得－10 030°<k·360°<－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°<k·360°＋10 030°<720°，得－9 670°<k·360°<－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.【活学活用3】【解】由终边相同的角的表示知与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为：{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}．∵－720°≤β<360°，即－720°≤k·360°－1 910°<360°(k∈Z)，∴31136≤k<61136(k∈Z)．故取k＝4,5,6.k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.类型四区域角的表示【例4】【解】设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|k·180°＋30°≤α<k·180°＋105°，k∈Z}．【活学活用4】【解】终边落在函数y＝x(x≥0)的图象上的角的集合是{α|α＝45°＋k·360°，k ∈Z}，终边落在函数y＝－x(x≤0)的图象上的角的集合是{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}．所以所求角的集合是{α|45°＋k·360°<α<135°＋k·360°，k∈Z}．课堂达标1．B【解析】由题意可知330°＝－30°＋1×360°.2．D【解析】由题意，得－1 120°＝－4×360°＋320°，而320°在第四象限，所以－1 120°角也在第四象限．3．1 110°【解析】按逆时针方向旋转得到的角是正角，旋转三周则得30°＋3×360°＝1 110°. 4．213°－147°【解析】与2 013°终边相同的角为2 013°＋k·360°(k∈Z)．当k＝－5时，213°为最小正角；当k＝－6时，－147°为绝对值最小的角．5．【解】(1)由于k·90°表示90°的整数倍，而k·180°＋90°＝(2k＋1)·90°表示90°的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角．(2)由于k·180°±60°＝(3k±1)·60°表示60°的非3的整数倍．而k·60°表示60°的整数倍，故这两个角不是终边相同的角．(3)由于(2k＋1)·180°表示180°的奇数倍，(4k±1)·180°也表示180°的奇数倍，故(2k＋1)·180°与(4k±1)·180°(k∈Z)是终边相同的角．(4)由于k·180°＋30°＝(6k＋1)·30°表示30°的(6k＋1)倍，而k·180°±30°＝(6k±1)·30°表示30°的(6k±1)倍，故这两个角不是终边相同的角．。

1.1.1《任意角》导学案【学习目标】(1)推广角的概念，理解并'学握正角、负角、零角的定义；(2)理解任意角以及象限角的概念；(3)掌握所有与角a终边相同的角(包括角a)的表示方法；［重点难点】重点「理解正几、负角和零勿和彖限几的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。

难点：把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。

【学法指导】1、认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念和区分；2、能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性；3、能用集合和数学符号表示象限角；4、能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.【知识链接】1.冋忆：初中是任何定义角的?一条射线由原来的位置0A,绕着它的端点0按逆时针方向旋转到终止位置0B,就形成角a。

旋转开始时的射线0A叫做角的始边，0B叫终边，射线的端点0叫做叫a的顶点。

在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720"”’ (即转体2周)，“转休1080' ”(即转体3周)；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？2.角的概念的推广：3.正角、负角、零角概念4.象限角思考三个问题：1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？3•是不是任意角都可以归结为是象限和，为什么？4.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420°；(2) -75°；(3) 855°；(4) -510°.5.终边和同的角的表示三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还冇哪些疑惑，请把它填在下面的表格中【学习过程】例1.例1在0 -360范围内，找出与一950° 12*角终边相同的角，并判定它是第儿彖限角. （注：0 -360°是指0 <^<360°）例2.•写出终边在y轴上的角的集合.例3.写出终边直线在y =兀上的角的集合S,并把S中适合不等式—360° 5G < 720°的元素0写出来.【学习反思】1•尝试练习（1）教材人第3、4、5题.（2）补充：时针经过3小时20分，则时针转过的角度为____ ,分针转过的角度为_______ 。

1.1. 1任意角教学目标—知识与技能目标—理解任意角的概念（包括正角、负角、零角）与区间角的概念.—过程与能力目标—会建立直角坐标系讨论任意角，能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写.—情感与态度目标____提高学生的推理能力；2,培养学生应用意识.—教学重点—任意角概念的理解；区间角的集合的书写.—教学难点_终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写.—教学过程—一、引入：___1.回顾角的定义—角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.—角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.——-、新课: ___1.角的有疝念：—角的定义：—角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.—角的名称：_前的分类：—始边终边入4 f负角：按顺时针方向旋转形成的角p A「正角：按逆时针方向旋转形成的角，零角：射线没有任何旋转形成的角图4-3注意：_____⑴在不引起混淆的情况下，“角a”或“Z a ”可以简化成“a”； _⑵零角的终边与始边重合，如果a是零角a =0° ； _⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角.—练习：请说出角a、B、T各是多少度？2.象限角的概念：—①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.例1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？例2.在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角.⑴60° ；(2) 120° ；(3) 240° ；(4) 300° ；(5) 420° ；(6) 480° ；答：分别为1、2、3、4、1、2象限角.3.探究：教材P3面终边相同的角的表示：所有与角。

终边相同的角，连同。

在内，可构成一个集合S=( P B = a + k・360 ° , kM,即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整个周角的和.注意：(1)kM(2)a是任一角；(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；⑷角a + k • 720 °与角a终边相同，但不能表示与角a终边相同的所有角.例3.在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角.⑴一120° ；(2)640 ° ；⑶一950° 12'.答：(1)240。

第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角一、教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360°角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；（4）掌握所有与a角终边相同的角（包括a角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法通过创设情境：“转体720°,逆（顺）时针旋转”，角有大于360°角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点重点：理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点：终边相同的角的表示.三、学法与教学用具之前的学习使義们知道最大的角是周角，最小的角是零角•通过回忆和观察日常生活中实际例子，把对角的理解进行了推广•把角放入坐标系环境中以后，了解象限角的概念•通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法•我们在学习这部分内容时，首先要弄清楚角的表示符号，以及正负角的表示•另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具：电脑、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25 小时，你应当如何将它校准？当吋间校准以后，分针转了多少度？［取出一个钟表，实际操作］我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0°〜360°之间，这正是我们这节课要研究的主要内容一任意角.【探究新知】1.初中时，我们已学习了0°〜360°角的概念，它是如何定义的呢？［展示投影］角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1. 1-L 一条射线由原来的位置04,绕着它的端点0按逆吋针方向旋转到终止位置0B ,就形成角a.旋转开始时的射线0A叫做角的始边，叫终边，射线的端点0叫做叫a的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720°” (即转体2周)，W 1080°”(即转体3周)等,都是遇到大于360°的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下：能否再举出几个现实生活中“大于360°的角或按不同方向旋转而成的角”的例子，这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢？［展示课件］如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角，这些都说明了我们研究推广角概念的必要性.为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺吋针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角(zero angle).［展示课件］如教材图1. 1.3(1)中的角是一个正角，它等于750。