学案1 山西大学附中任意角学案

任意角学习目标：（1）结合具体实例，认识角的概念推广的必要性；（2）初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角，并能熟练写出与已知角终边相同的角的集合．学习重点、难点：重点：将0°～360°的角的概念推广到任意角．难点：角的概念推广；终边相同的角的表示．学习过程：一、设计问题、创设情境问题1．回忆初中我们是如何定义一个角的？所学的角的范围什么？问题2．在体操、花样游泳、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体1080°”、“转体1260°”这样的解说。

这里的1080°、1260°，怎么刻画？问题3、如果要对主动轮和从动轮的旋转角进行描述，旋转方向相反，该如何刻画呢？问题4、你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1．25小时，你应当如何将它校准？当时间校准后，分针旋转了多少度？二、自主探究、尝试解决：【探究一：任意角的概念】思考1：怎样升级角的定义，让它更科学更合理？新知1、任意角的概念思考2：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？新知2、角的分类问题5、你能否以同一条射线为始边作出下列角呢？210°，-150°，-660°．【探究二：象限角】新知2、象限角的概念：例1：已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角：（1）-120°（2）640 °（3） -950 ° 12'练习：1、锐角是第几象限的角？2、第一象限的角是否都是锐角？3、小于90°的角都是锐角吗？【探究三：终边相同的角】思考3：与30°角终边相同的角有多少个？这些角与30°角在数量上相差多少？思考4：所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？新知3、终边相同的角的表示三、合作探究例2 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β＜7200的元素β写出来（1）600（2）-210（3）363014’变式、写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360º~720º间的角写出来： (1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′.例3 写出终边在y轴上的角的集合．变式：写出终边在x轴上的角的集合．例4、写出终边落在阴影部分（包括边界）的各角的集合例5.如果 α 是第三象限角,那么2α 角终边的位置如何?2α 是哪个象限的角?四、课堂小结(1) 你知道角是如何推广的吗?(2) 象限角是如何定义的呢?(3) 你熟练掌握具有终边相同的角α的表示了吗?五、当堂检测：1、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A ．30° B ．-30° C ．630° D ．-630°2、460︒是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角 B. 第四象限角3、下列说法中，正确的是（ ）A ．第一象限的角是锐角B ．锐角是第一象限的角C ．小于90°的角是锐角D ．终边相同的角一定相等4、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是（ ）A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°5、在0360︒︒~范围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，并判定它是第几象限角.-54°18′ -395°8′ -1119°30′。

【参考教案】《任意角》（人教）一、教学目标1. 让学生理解任意角的概念，掌握任意角的定义及其表示方法。

2. 培养学生运用图形计算器进行角的测量和绘制，提高学生的动手操作能力。

3. 通过对任意角的学习，培养学生对数学的兴趣和探究精神。

二、教学重点与难点1. 教学重点：任意角的概念及其表示方法。

2. 教学难点：任意角的测量和绘制。

三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究任意角的概念和表示方法。

2. 利用图形计算器，让学生亲自动手测量和绘制任意角，提高学生的实践能力。

3. 采用分组讨论法，培养学生团队合作精神，激发学生学习兴趣。

四、教学准备1. 准备图形计算器，确保每个学生都能进行实践操作。

2. 准备相关教案、PPT和教学素材。

3. 准备练习题，巩固学生所学知识。

五、教学过程1. 导入新课：通过提问方式引导学生回顾之前学过的角的概念，为新课学习做好铺垫。

2. 讲解任意角的概念：讲解任意角的概念，并用PPT展示相关图片，让学生形象地理解任意角。

3. 任意角的表示方法：介绍任意角的表示方法，如用弧度制、度分秒制等。

4. 实践操作：让学生使用图形计算器测量和绘制任意角，教师巡回指导，解答学生疑问。

5. 分组讨论：让学生分组讨论任意角的测量和绘制方法，分享彼此的经验和心得。

6. 总结提升：教师引导学生总结任意角的概念和表示方法，强调重点知识点。

7. 布置作业：发放练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

8. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，为的教学做好准备。

六、教学内容与要求1. 教学内容：任意角的定义与表示方法，角的测量与绘制。

2. 教学要求：学生能理解任意角的定义，能用弧度制和度分秒制表示任意角。

学生能够使用图形计算器测量任意角的度数。

学生能够绘制给定度数的任意角。

七、教学过程设计1. 教学活动一：引入新课通过实际生活中的例子（如钟表上的指针、车轮的旋转等）引出角的概念。

提问：我们之前学习的角都是有限制的，有没有无限大的角呢？2. 教学活动二：讲解任意角讲解任意角的定义，强调任意角可以是正向旋转也可以是反向旋转。

【学习目标】（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解任意角以及象限角的概念；（3）掌握所有与角a终边相同的角（包括角a）的表示方法；【重点难点】重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。

难点: 把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。

【学法指导】1、认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分；2、能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性；3、能用集合和数学符号表示象限角；4、能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.【知识链接】1．回忆：初中是任何定义角的？一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。

旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。

在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o”（即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？2.角的概念的推广：3．正角、负角、零角概念4.象限角思考三个问题：1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？4.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？（1）4200；（2）-750；（3）8550；（4）-5100.5.终边相同的角的表示三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点 疑惑内容【学习过程】 例1. 例1在0360︒︒~范围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：0360︒︒－是指0360β︒︒≤<）例2.写出终边在y 轴上的角的集合.例3.写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α︒-≤ 720︒<的元素β写出来.【学习反思】1.尝试练习（1）教材6P 第3、4、5题.（2）补充：时针经过3小时20分，则时针转过的角度为 ，分针转过的角度为 。

§1.1.1 任意角（学案）学习目标：理解任意大小的角、正角、负角和零角概念；掌握终边相同的角的表示；了解象限角、终边在坐标轴上的角的表示.重点与难点：终边相同角与象限角的表不一、预习过程：1、角的概念：角可以看成平面内一条绕着从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图，一条射线山原来的位置0A,绕着它的端点。

按逆时针方向旋转到终止位置0B,就形成角a .旋转开始时的射线0A 叫做角的,。

3叫,射线的端点。

叫做叫a的顶点.思房：时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？（时针旋转度）如果慢了5分钟，又该如何校正？（时针旋转度）角的概念推广：按逆时针方向旋转所形成的角叫—角，按顺时针方向旋转所形成的角叫角，没有作任何旋转所形成的角叫角.2、坐标系中讨论角问题：如何将角放入坐标系中讨论？角的顶点与____ 重合，角的与x轴的非负半轴重合.象限角：角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 试试：在坐标系中表示300。

、390。

、-330°角，判别它们分别在第—、—、—象限.ik、y 、yX X X反思：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限?终边相同的角问题：与60°终边相同的角有、、、…都可以用代数式表示为. 与a终边相同的角表示为.所有与角a终边相同的角，连同a在内，可构成一个集合$=.即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.二、例题分析例1 1）作图判断1040°是第几象限角2）在0。

〜360。

间，找出下列终边相同角，并判定它是第几象限角：（1）-150° ；（2）1040° ；（3）- 950 °12 '例2写出终边在下列位置上的角的集合：（1） y轴；（2）直线y=x；（3）第一象限（4）函数y=lxl的图像上（5）函数y=-E的图像上例3 写出终边落在下列阴影区域的角构成的集合。

任意角学习目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义．自学导引：1．回忆：初中是任何定义角的？2.角的概念的推广：角的定义；三要素3．正角、负角、零角概念4.象限角；坐标轴上的角5.终边相同的角的表示法课堂互动：1.初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？2.角的概念的推广：角的定义；三要素3．正角、负角、零角概念：注：为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可简记为α．4.象限角；坐标轴上的角思考：1.定义中说：角的始边与x 轴的非负半轴重合，如果改为与x 轴的正半轴重合行不行，为什么？2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？4.终边相同的角的表示法例1 在 ～间，找出与列列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角:（1）；（2）0150-；（3）0'99015-．例2 写出与下列各角终边相同的角的集合，并把中适合不等式的元素写出来：（1）；（2）；（3）．例3 用集合表示：（1）第三象限角的集合．（2）终边落在轴右侧的角的集合．课堂练习：（1）一角为，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_______．（2）集合中，各角的终边都在（）A．轴正半轴上， B．轴正半轴上，C．轴或轴上， D．轴正半轴或轴正半轴上（3）请用集合表示下列各角．①～间的角②第一象限角③锐角④小于角．（4）若角与角的终边重合，则与的关系是___________，若角与角的终边在一条直线上，则与的关系是____________．课堂小结：。

第一章三角函数1.1.1任意角学习目标：(1)推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；(2)理解任意角以及象限角的概念；(3)掌握所有与角a终边相同的角(包括角a)的表示方法；学习重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。

学习难点：把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。

新知导学1•角(1) 角的概念：角可以看成平面内______________ 着_____________ 一个位置 ________ 到另一个位置所成的图形.(2) 角的表示：如图①顶点：射线的端点0;②始边：射线的起始位置0A;③终边：射线的终止位置0B.我们常在___________ 内讨论角。

为了讨论问题的方便，使角的 __________ 与 ___________ 合，角的 ___________ 与 ________________________ 合。

那么，角的 _________ （除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是____ 。

如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为______________________ 。

象限角的集合（1）_____________________________________________________________ 第一象限角的集合：__________________________________________________（2）_____________________________________________________________ 第二象限角的集合：__________________________________________________（3）_____________________________________________________________ 第三象限角的集合：_________________________________________________（4）_____________________________________________________________ 第四象限角的集合：__________________________________________________ 轴线角的集合（1）_________________________________________________________________ 终边在x轴正半轴的角的集合：____________________________________________（2）_________________________________________________________________ 终边在x轴负半轴的角的集合：_____________________________________________（3）_________________________________________________________________ 终边在y轴正半轴的角的集合：_____________________________________________（4）_________________________________________________________________ 终边在y轴负半轴的角的集合：_____________________________________________ （5）终边在x轴上的角的集合： ____________________________________________（6）终边在y轴上的角的集合：____________________________________________（7）______________________________________________________________ 终边在坐标轴上的角的集合： _____________________________________________3 •终边相同的角所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S={ B | B = }，即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与■勺和.题型探究类型一角的概念问题【例1】在下列说法中：①0°〜90。

课题：任意角 课型：新授课 课时：1 【学习目标】
①理解任意角的概念，学会建立直角坐标系讨论任意角； ②能判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写。

【学习过程】 一、课题引入
1、初中学过的角定义是什么？角有范围吗？
2、你的手表慢了15分钟，你会怎样将它校准？又假若你的手表快了5.1个小时，你会怎样将它校准？当时间校准后，分钟旋转了多少度？
3、初中角的定义和范围能解决上述问题吗？怎么办？
二、预习达标
预习课本第2，3面，完成以下知识点填空
1、角的定义
角可以看成平面内一条_______绕着______从一个位置________到另一个位置所成的图形。

①按___________方向旋转形成的角叫做正角 2、角的分类 ②按___________方向旋转形成的角叫做负角
③如果一条射线没有作任何旋转，我们称它为_________ 3、象限角
在直角坐标系中，我们使角的顶点与________重合，___________与x 轴的正半轴重合，那么，角的_________在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

特别地，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角____________________。

三、预习反馈
1、你的手表慢了15分钟，校准时要将分针旋转__________度
你的手表快了5.1个小时，校准时要将分针旋转__________度
（教师“复备”栏或学生笔记栏）
说明：为了
简单起见，“角α”或“α∠”都可简记
为“α”
提醒：想想旋转时是顺时针还
顶点
终边
始边。

山西大学附中高中数学（必修4）学案 编号3任意角的三角函数【学习目标】1、借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义。

2、知道正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号。

3、掌握终边相同角的同一三角函数值相等。

【学习重点】任意角的正弦、余弦、正切的定义，终边相同的角的同一三角函数值相等。

【学习难点】用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号；【学习过程】一.、导学（一）用坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数问题①：在初中时我们学了锐角三角函数，你能回忆一下锐角三角函数的定义吗？问题②：根据下图，设线段OP 的长度为r ，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？=αsin=αcos=αtan特别的，当1=r 时： =αsin =αcos =αtan问题③：在引进弧度制后，我们知道，r l =α，当圆的半径为1时，α由谁决定？ 问题④：什么是单位圆？问题⑤：上述P 点就是_________与___________的交点；因此，锐角三角函数可以用______________________表示。

同样的，我们可以利用单位圆定义___________（二）任意角的三角函数根据右图，回答下面问题：（1）y 叫做 __________记作___________ 即____________（2）x 叫做__________ 记作___________ 即__________（3）xy 叫做__________ 记作 __________ 即____________ 当)(2Z k k ∈+=ππα时，α的终边在__________，此时___________无意义。

正弦、余弦、正切都是以_________为自变量，以_________________或坐标的比值为函数值的__________，我们把它们统称为____________。

例1、 求π67与43π-的正弦、余弦、正切值例2、已知α的终边经过点P （-6，8），求α的正弦、余弦和正切值。

任意角学习目标1、了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念；2、正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示. 学习重点、难点：重点：理解任意角及象限角的概念 难点：终边相同的角的正确表示学习过程 ※ 知识要点 知识点1：1、角的概念的推广① 正角： ② 负角: ③ 零角: ④ 象限角： .问题：你对锐角与第一象限角的理解，钝角呢？2、终边相同的角概念在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重合，则 （1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

例如：30,390,330-都是第一象限角；300,60-是第四象限角。

（2）非象限角（也称轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

例如：90,180,270等等。

说明：角的始边“与x 轴的非负半轴重合”不能说成是“与x 轴的正半轴重合”。

因为x 轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线。

知识点2：与α终边相同的角的集合为： 注意：（1）k z ∈； （2）α是任意角；（3）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同。

终边相同的角有无限多个，它们相差360的整数倍。

说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。

※ 典型例题例1、在00到0360的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角： （1）0650 （2）0150- （3）0'99015-练习：1. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角（1） 420︒ (2) -75︒ （3） 855︒ （4） -510︒2、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720︒≤β＜360︒的元素β写出来 （1） －225 （ 2） 270︒ （ 3） 180︒例2、写出终边在y 轴上的角的集合。

§1．1．1 任意角导学案班级姓名学习目标：1.理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系讨论任意角.2.能在0º到360º范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角.3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合.学习重点：将0º到360º的角概念推广到任意角.学习难点：终边相同的角用集合和符号语言正确表示出来.学习过程一、自主学习（一）知识链接：复习1、回忆初中所学的角是如何定义？角的范围？复习2、①体操比赛中术语：“转体720o”（即转体周），“转体1080o”（即转体周）②时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？（二）自主探究：（预习教材P2-P5）探究一：角的概念新知：按逆时针方向旋转所形成的角叫角，按顺时针方向旋转所形成的角叫角，未作任何旋转所形成的角叫角。

这样角的概念推广到了，包括任意大小的角、角和角。

探究二：坐标系中讨论角新知：角的顶点与重合，角的与x轴的非负半轴重合，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

思考三个问题：1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？2.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？探究三：终边相同的角新知：与α角终边相同的角,都可用式子k×360°＋α表示，k∈Z，写成集合为。

反思：给定顶点、终边、始边的角有个，终边相同的角相等；但相等的角，终边相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。

二、合作探究1、在0°～360°间，找出下列终边相同角，并判断它是第几象限角。

（1）1040°；（2）-150º；（3）－940°变式训练：（1）终边落在x、y轴正半轴上的角的集合如何表示？如终边落在x、y轴上呢？（2）终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？2、写出终边在xy 上的角的集合S,并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来。