任意角导学案

任意角学习目标：（1）结合具体实例，认识角的概念推广的必要性；（2）初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角，并能熟练写出与已知角终边相同的角的集合．学习重点、难点：重点：将0°～360°的角的概念推广到任意角．难点：角的概念推广；终边相同的角的表示．学习过程：一、设计问题、创设情境问题1．回忆初中我们是如何定义一个角的？所学的角的范围什么？问题2．在体操、花样游泳、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体1080°”、“转体1260°”这样的解说。

这里的1080°、1260°，怎么刻画？问题3、如果要对主动轮和从动轮的旋转角进行描述，旋转方向相反，该如何刻画呢？问题4、你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1．25小时，你应当如何将它校准？当时间校准后，分针旋转了多少度？二、自主探究、尝试解决：【探究一：任意角的概念】思考1：怎样升级角的定义，让它更科学更合理？新知1、任意角的概念思考2：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？新知2、角的分类问题5、你能否以同一条射线为始边作出下列角呢？210°，-150°，-660°．【探究二：象限角】新知2、象限角的概念：例1：已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角：（1）-120°（2）640 °（3） -950 ° 12'练习：1、锐角是第几象限的角？2、第一象限的角是否都是锐角？3、小于90°的角都是锐角吗？【探究三：终边相同的角】思考3：与30°角终边相同的角有多少个？这些角与30°角在数量上相差多少？思考4：所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？新知3、终边相同的角的表示三、合作探究例2 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β＜7200的元素β写出来（1）600（2）-210（3）363014’变式、写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360º~720º间的角写出来： (1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′.例3 写出终边在y轴上的角的集合．变式：写出终边在x轴上的角的集合．例4、写出终边落在阴影部分（包括边界）的各角的集合例5.如果 α 是第三象限角,那么2α 角终边的位置如何?2α 是哪个象限的角?四、课堂小结(1) 你知道角是如何推广的吗?(2) 象限角是如何定义的呢?(3) 你熟练掌握具有终边相同的角α的表示了吗?五、当堂检测：1、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A ．30° B ．-30° C ．630° D ．-630°2、460︒是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角 B. 第四象限角3、下列说法中，正确的是（ ）A ．第一象限的角是锐角B ．锐角是第一象限的角C ．小于90°的角是锐角D ．终边相同的角一定相等4、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是（ ）A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°5、在0360︒︒~范围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，并判定它是第几象限角.-54°18′ -395°8′ -1119°30′。

《任意角和弧度制》导学案一、学习目标1、理解任意角的概念，包括正角、负角和零角。

2、掌握象限角的概念及终边相同角的表示方法。

3、理解弧度制的定义，能进行角度与弧度的换算。

4、掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式。

二、知识梳理（一）任意角1、角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

2、正角、负角和零角按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。

3、象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。

（二）终边相同的角所有与角α终边相同的角（包括角α在内），均可表示为：k·360°＋α，k∈Z 。

（三）弧度制1、弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度。

2、角度与弧度的换算180°＝π rad ，1°＝π ／ 180 rad ，1 rad ＝（ 180 ／π ）°（四）弧长公式和扇形面积公式1、弧长公式：l ＝｜α|r ，其中α为圆心角的弧度数，r 为半径。

2、扇形面积公式：S ＝ 1 ／ 2 lr ＝ 1 ／ 2 ｜α|r²三、重点难点（一）重点1、任意角的概念和象限角的判断。

2、终边相同角的表示。

3、弧度制与角度制的换算。

4、弧长公式和扇形面积公式的应用。

（二）难点1、对任意角概念的理解，尤其是负角和零角。

2、终边相同角的准确表示。

3、弧度制概念的理解及弧度与角度的换算。

四、典型例题例 1：已知角α ＝－120°，判断它是第几象限角。

解：因为－120°＝ 240° 360°，而 240°是第三象限角，所以－120°是第三象限角。

1.1.1 任意角导学提纲学习目标：1.了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念2.正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示学习重点、难点：用集合与符号语言正确表示终边相同的角一、导：回忆初中我们是如何定义一个角的？所学的角的范围是什么？二、思：阅读课本2～5页，认真、独立完成以下问题：1.角的概念，角的分类；2.终边相同角的表示；3.象限角、轴线角的概念；象限角的集合：（1）第一象限角的集合：_________________________________；（2）第二象限角的集合：_________________________________；（3）第三象限角的集合：_________________________________；（4）第四象限角的集合：_________________________________；轴线角的集合：（5）终边在x轴上的角的集合：____________________________________；（6）终边在y 轴上的角的集合：____________________________________；（7）终边在坐标轴上的角的集合：__________________________________；三、议：组议思中2，说说{}==+360S k k Z ββα∈，的特点。

四、展：1.终边在y 轴上的角的集合的推导过程.2.已知0240与α角的终边相同，判断2α是第几象限角. 五、评：六、检：1、设060-=α，则与角α终边相同的角的集合可以表示为_________________.2、集合},3690|{00Z k k A ∈-⋅==αα， }180180|{00<<-=ββB ，则._________=⋂B A 3、角α小于0180而大于0180-，它的7倍角的终边又与自身终边重合，求角α。

导学案【学习目标】1.理解任意角的概念．2．掌握终边相同角的含义及其表示．(重点、难点)3．掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法．(难点、易混点)【自主学习】一. 任意角1.角的概念：角可以看成平面内一条绕着它的端点所成的.2.角的表示：如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：，终边：，顶点.3.角的分类：名称定义图示正角一条射线绕其端点按方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按方向旋转形成的角零角一条射线做任何旋转形成的角这样，我们就把角的概念推广到了任意角（要注意旋转方向和大小）。

二．象限角1.把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的在第几象限，就说这个角是第几_______；如果角的终边在，就认为这个角不属于任何一个象限.象限角角的集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}第二象限角{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}第三象限角{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}第四象限角{α|k·360°90°<α<k·360°,k∈Z}三．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.【当堂达标基础练】°~360°范围内，找出与950°12′角终边相同的角，并断定它是第几象限角.y轴上的角的集合.y=x上的角的集合S.S中满足不等式−360°≤β≤720°的元素β有哪些？4.什么是锐角? 它是几象限角，反过来成立吗?钝角呢？直角呢？5.今天是星期三, 则7k(k∈Z)天后的那一天是星期几? 7k(k∈Z) 天前的那一天是星期几? 100天后的那一天是星期几?6.已知角的顶点与原点重合, 角的始边与x轴的非负半轴重合, 请作出下列各角，并指出它们各是哪个象限的角？(1)420º, (2)－75º, (3)855º, (4) －510º【当堂达标提升练】一、单选题1．角－870°的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在－360°～0°范围内与角1 250°终边相同的角是()A．170°B．190°C．－190°D．－170°3．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是()A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α4．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在象限是()A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限5．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是()A．第一象限角B．第一、二象限角C．第一、三象限角D．第一、四象限角二、多选题6．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为1S ，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S时，扇面为“美观扇面”2.236）（ ）A ．122S S θπθ=-B ．若1212S S =，扇形的半径3R =，则12S π= C ．若扇面为“美观扇面”，则138θ≈D ．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径20R =，则此时的扇形面积为(20038.已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ）A ．1B ．4C ．2D ．3 9． sin 2（ ）A ．是正数B ．是负数C ．大于cos2D ．大于tan 2 三、填空题10．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.11．与2 019°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．12．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.四、解答题13．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角．14．已知集合A ＝{α|k ·180°＋45°＜α＜k ·180°＋60°，k ∈Z }，集合B ＝{β|k ·360°－55°＜β＜k ·360°＋55°，k ∈Z }．(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；(3)求A ∩B . 【当堂达标素养练】一、单选题1．已知θ为第二象限角，那么θ3是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第一或第四象限角C ．第二或第四象限角D ．第一、二或第四象限角2．角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为( )A ．α＋β＝k ·360°，k ∈ZB ．α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈ZC ．α－β＝k ·360°＋180°，k ∈ZD ．α－β＝k ·360°，k ∈Z二、填空题3．终边落在直线y ＝3x 上的角的集合为________．4．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.三、解答题5．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．6．已知相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮顺时针转动一周时，小轮转动的角是多少度？多少弧度？如果大轮的转速是150r/min ，小轮的半径为10cm ，那么小轮圆周上的点每秒转过的弧长是多少？7．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10OA =，()010OB x x =<<，线段BA ，CD 与BC ，AD 的长度之和为30，圆心角为θ弧度.(1)求θ关于x 的函数表达式；(2)记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.。

1.1.1《任意角》导学案【学习目标】（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解任意角以及象限角的概念；（3）掌握所有与角a终边相同的角（包括角a）的表示方法；【重点难点】重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。

难点: 把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。

【学法指导】1、认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分；2、能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性；3、能用集合和数学符号表示象限角；4、能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.【知识链接】1．回忆：初中是任何定义角的？一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。

旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。

在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o”（即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？2.角的概念的推广：3．正角、负角、零角概念4.象限角思考三个问题：1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？4.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？（1）4200；（2）-750；（3）8550；（4）-5100.5.终边相同的角的表示三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容【学习过程】例1. 例1在0360︒︒~范围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：0360︒︒－是指0360β︒︒≤<）例2.写出终边在y 轴上的角的集合.例3.写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α︒-≤ 720︒<的元素β写出来.【学习反思】1.尝试练习（1）教材6P 第3、4、5题.（2）补充：时针经过3小时20分，则时针转过的角度为 ，分针转过的角度为 。

任意角学习目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义．自学导引：1．回忆：初中是任何定义角的？2.角的概念的推广：角的定义；三要素3．正角、负角、零角概念4.象限角；坐标轴上的角5.终边相同的角的表示法课堂互动：1.初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？2.角的概念的推广：角的定义；三要素3．正角、负角、零角概念：注：为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可简记为α．4.象限角；坐标轴上的角思考：1.定义中说：角的始边与x 轴的非负半轴重合，如果改为与x 轴的正半轴重合行不行，为什么？2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？4.终边相同的角的表示法例1 在 ～间，找出与列列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角:（1）；（2）0150-；（3）0'99015-．例2 写出与下列各角终边相同的角的集合，并把中适合不等式的元素写出来：（1）；（2）；（3）．例3 用集合表示：（1）第三象限角的集合．（2）终边落在轴右侧的角的集合．课堂练习：（1）一角为，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_______．（2）集合中，各角的终边都在（）A．轴正半轴上， B．轴正半轴上，C．轴或轴上， D．轴正半轴或轴正半轴上（3）请用集合表示下列各角．①～间的角②第一象限角③锐角④小于角．（4）若角与角的终边重合，则与的关系是___________，若角与角的终边在一条直线上，则与的关系是____________．课堂小结：。

课题：任意角 课型：新授课 课时：1 【学习目标】
①理解任意角的概念，学会建立直角坐标系讨论任意角； ②能判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写。

【学习过程】 一、课题引入
1、初中学过的角定义是什么？角有范围吗？
2、你的手表慢了15分钟，你会怎样将它校准？又假若你的手表快了5.1个小时，你会怎样将它校准？当时间校准后，分钟旋转了多少度？
3、初中角的定义和范围能解决上述问题吗？怎么办？
二、预习达标
预习课本第2，3面，完成以下知识点填空
1、角的定义
角可以看成平面内一条_______绕着______从一个位置________到另一个位置所成的图形。

①按___________方向旋转形成的角叫做正角 2、角的分类 ②按___________方向旋转形成的角叫做负角
③如果一条射线没有作任何旋转，我们称它为_________ 3、象限角
在直角坐标系中，我们使角的顶点与________重合，___________与x 轴的正半轴重合，那么，角的_________在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

特别地，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角____________________。

三、预习反馈
1、你的手表慢了15分钟，校准时要将分针旋转__________度
你的手表快了5.1个小时，校准时要将分针旋转__________度
（教师“复备”栏或学生笔记栏）
说明：为了
简单起见，“角α”或“α∠”都可简记
为“α”
提醒：想想旋转时是顺时针还
顶点
终边
始边。

任意角学习目标1、了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念；2、正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示. 学习重点、难点：重点：理解任意角及象限角的概念 难点：终边相同的角的正确表示学习过程 ※ 知识要点 知识点1：1、角的概念的推广① 正角： ② 负角: ③ 零角: ④ 象限角： .问题：你对锐角与第一象限角的理解，钝角呢？2、终边相同的角概念在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重合，则 （1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

例如：30,390,330-都是第一象限角；300,60-是第四象限角。

（2）非象限角（也称轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

例如：90,180,270等等。

说明：角的始边“与x 轴的非负半轴重合”不能说成是“与x 轴的正半轴重合”。

因为x 轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线。

知识点2：与α终边相同的角的集合为： 注意：（1）k z ∈； （2）α是任意角；（3）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同。

终边相同的角有无限多个，它们相差360的整数倍。

说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。

※ 典型例题例1、在00到0360的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角： （1）0650 （2）0150- （3）0'99015-练习：1. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角（1） 420︒ (2) -75︒ （3） 855︒ （4） -510︒2、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720︒≤β＜360︒的元素β写出来 （1） －225 （ 2） 270︒ （ 3） 180︒例2、写出终边在y 轴上的角的集合。

第一章三角函数1。

1.1任意角学习目标：（1）推广角的概念,理解并掌握正角、负角、零角的定义;（2)理解任意角以及象限角的概念；（3）掌握所有与角a终边相同的角（包括角a）的表示方法;学习重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。

学习难点：把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。

新知导学1．角(1）角的概念：角可以看成平面内______________绕着____________从一个位置________到另一个位置所成的图形．(2）角的表示：如图①顶点：射线的端点O；②始边:射线的起始位置OA；③终边：射线的终止位置OB。

（3）角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按________________形成的角负角按________________形成的角零角一条射线________________，称它形成了一个零角2．象限角、轴线角的概念我们常在内讨论角.为了讨论问题的方便,使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。

那么,角的_________(除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是__________________。

如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为____________________.象限角的集合（1）第一象限角的集合：_______________________________________（2）第二象限角的集合：_______________________________________ (3）第三象限角的集合：_______________________________________（4）第四象限角的集合:_______________________________________轴线角的集合（1）终边在x轴正半轴的角的集合:_______________________________________（2）终边在x轴负半轴的角的集合：_______________________________________（3）终边在y轴正半轴的角的集合:_______________________________________（4)终边在y轴负半轴的角的集合：_______________________________________(5)终边在x轴上的角的集合：_______________________________________（6）终边在y轴上的角的集合：_______________________________________（7）终边在坐标轴上的角的集合：_______________________________________3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝｛β|β＝________________},即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与______________的和．题型探究类型一角的概念问题【例1】在下列说法中：①0°~90°的角是第一象限角;②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角．其中错误说法的序号为________（错误说法的序号都写上）．类型二象限角的判定【例2】已知角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,指出下列各角是第几象限角，以及0°～360°范围内与其终边相同的角．①485°；②－35°；③770°；④－500°.类型三终边相同的角的应用【例3】在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1）最大的负角；（2）最小的正角；(3）360°～720°的角．类型四区域角的表示【例4】写出终边落在阴影部分的角的集合．作业设计一、选择题1．与405°角终边相同的角是（)A．k·360°－45°，k∈Z B．k·180°－45°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°,k∈Z2．若α＝45°＋k·180°（k∈Z),则α的终边在（)A．第一或第三象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限3．设A＝｛θ|θ为锐角｝，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ｜θ为第一象限的角｝，D＝｛θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )A．A＝B B．B＝CC．A＝C D．A＝D4．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角5．集合M＝错误!,P＝错误!，则M、P之间的关系为( ）A．M＝P B．M<PC．M〉P D．M∩P＝∅6．已知α为第三象限角，则错误!所在的象限是（）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第一或第三象限 D．第二或第四象限二、填空题7．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在________．8．经过10分钟，分针转了________度．9．如图所示，终边落在阴影部分（含边界)的角的集合是______________________________．10．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°〈θ<360°,则θ＝________。

1．1.1任意角1.角的概念(1)角可以看成□1平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示：如图，OA是角α的□2始边，OB是角α的□3终边，O是角的□4顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．按旋转方向可将角分为如下三类：2．象限角(1)象限角：若角的顶点在□8原点，角的始边与□9x轴非负半轴重合，则□10角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角．(2)轴线角：若角的终边在□11坐标轴上，则这个角□12不属于任何象限．3．终边相同的角设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为□13{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．()(2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．()(3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的．()答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(1)下列说法正确的是()A．最大角是180° B．最大角是360°C．角不可以是负的D．角可以任意大小答案D解析由角的定义，角可以是任意大小的．故选D.(2)下列哪个角是第三象限角()A．15° B．105° C．215° D．315°答案C解析∵215°＝180°＋35°，∴215°是第三象限的角．故选C.(3)(教材改编P5T4)下列各角中，与60°角终边相同的角是()A．－300° B．－60°C．600° D．1380°答案A解析与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，令k＝－1，则α＝－300°.故选A.探究1正确理解角的概念例1下列命题正确的是()A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角解析终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，A错误；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，B错误；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，D错误．故选C.答案C拓展提升理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解任意角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．【跟踪训练1】(1)经过2个小时，钟表上的时针旋转了() A．60° B．－60° C．30° D．－30°(2)射线OA绕端点O顺时针旋转90°到OB位置，接着逆时针旋转100°到OC位置，然后再顺时针旋转240°到OD位置，求∠AOD的大小．答案 (1)B (2)见解析解析 (1)钟表的时针旋转一周是－360°，其中每小时旋转－360°12＝－30°，所以经过2个小时应旋转－60°.故选B.(2)如图，∠AOB ＝－90°，∠BOC ＝100°，∠COD ＝－240°，∠AOD ＝∠AOB ＋∠BOC ＋∠COD ＝(－90°)＋100°＋(－240°)＝－230°.探究2 终边相同的角的表示 例2 (1)写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来；(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．解 (1)与角α＝－1910°终边相同的角的集合为{β|β＝－1910°＋k ·360°，k ∈Z }．∵－720°≤β<360°，∴－720°≤－1910°＋k ·360°<360°，31136≤k <61136.故k ＝4,5,6，k＝4时，β＝－1910°＋4×360°＝－470°，k＝5时，β＝－1910°＋5×360°＝－110°，k＝6时，β＝－1910°＋6×360°＝250°.(2)①{β|β＝k·180°，k∈Z}．②{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．[变式探究]在与角1030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角．解1030°÷360°＝2……310°，所以1030°＝2×360°＋310°，所以与角1030°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋310°，k∈Z}．(1)所求的最小正角为310°.(2)取k＝－1得所求的最大负角为－50°.拓展提升在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．【跟踪训练2】已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________.答案－960°解析∵α与120°角终边相同，故有α＝k ·360°＋120°，k ∈Z .又∵－990°<k ·360°＋120°<－630°，即－1110°<k ·360°<－750°，解得－3112<k <－2112，故当k ＝－3时，α＝(－3)·360°＋120°＝－960°.探究3 象限角的判定例3 (1)已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x 轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①－75°；②855°；③－510°；(2)若角α是第一象限角，问－α，2α，α3是第几象限角？解 (1)作出各角，其对应的终边如图所示：①由图a 可知：－75°是第四象限角．②由图b 可知：855°是第二象限角．③由图c 可知：－510°是第三象限角．(2)∵α是第一象限角，∴k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )．①－k ·360°－90°<－α<－k ·360°(k ∈Z )，∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角．②2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )，∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二象限角或终边落在y 轴的正半轴．③k ·120°<α3<k ·120°＋30°(k ∈Z )．解法一(分类讨论)：当k ＝3n (n ∈Z )时，n ·360°<α3<n ·360°＋30°(n ∈Z )，∴α3是第一象限角；当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋120°<α3<n ·360°＋150°(n ∈Z )，∴α3是第二象限角；当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋240°<α3<n ·360°＋270°(n ∈Z )，∴α3是第三象限角．综上可知：α3是第一、二或第三象限角．解法二(几何法)：如图，先将各象限分成3等份，再从x 轴的正向的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3终边所落在的区域，故α3为第一、二或第三象限角．拓展提升象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．(3)nα所在象限的判断方法确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．(4)αn 所在象限的判断方法已知角α所在象限，要确定角αn 所在象限，有两种方法：①用不等式表示出角αn 的范围，然后对k 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；…；被n 除余n －1.从而得出结论．②作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域就是αn的终边所落在的区域．如此，αn 所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．【跟踪训练3】 若φ是第二象限角，那么φ2和90°－φ都不是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 B解析 ∵φ是第二象限角，∴k ·360°＋90°<φ<k ·360°＋180°，k ∈Z ，∴k ·180°＋45°<φ2<k ·180°＋90°，k ∈Z ，即φ2终边是第一或第三象限角，而－φ显然是第三象限角，∴90°－φ是第四象限角．故选B.探究4区域角的表示例4写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|k·180°＋30°≤α<k·180°＋105°，k∈Z}．[条件探究]将例4改为下图，写出角的终边在图中阴影区域的角的集合(包括边界)．解(1){α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}∪{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|45°＋k·180°≤α≤90°＋k·180°，k∈Z}．(2)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α|－150°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．拓展提升区域角的写法可分三步(1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；(3)用不等式表示区域内的角，组成集合．【跟踪训练4】写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角的集合．解(1)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α|k·360°＋135°<α<k·360°＋300°，k∈Z}．(2){α|k·360°－60°<α<k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|k·360°＋120°<α<k·360°＋225°，k∈Z}＝{α|k·180°－60°<α<k·180°＋45°，k∈Z}．1.角的概念的理解(1)弄清角的始边与终边．(2)结合图形明确这个角从始边到终边转过了多少度．(3)注意逆时针旋转与顺时针旋转的区别．2.研究象限角时应注意的问题(1)前提条件：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．(2)并不是任何角都是象限角，如终边落在坐标轴上的角叫轴线角，轴线角的表示如下表：终边所在的位置角的集合x轴非负半轴{α|α＝k·360°，k∈Z}x轴非正半轴{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}y轴非负半轴{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}y轴非正半轴{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间是“＋”号，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)．(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．(5)终边相同的角的表示不唯一.1．－215°是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 B解析 ∵－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，∴－215°是第二象限角，故选B.2．下列说法正确的是( )A ．终边相同的角一定相等B ．钝角一定是第二象限角C ．第一象限角一定不是负角D ．小于90°的角都是锐角答案 B解析 A 项，因30°和390°的终边相同，但两个角不相等，故A 项错误；B 项，钝角一定是第二象限角，故B 项正确；C 项，因－280°是第一象限角，但此角为负角，故C 项错误；D 项，因－60°是小于90°的角，但它不是锐角，故D 项错误．综上，选B.3．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．答案 －5 －60解析 将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×360°12×60＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×360°60＝60°，所转成的角度是－60°.4．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________.答案150°＋k·360°(k∈Z)解析∵角α，β的终边关于y轴对称，α＝30°，∴β＝180°－30°＋k·360°＝150°＋k·360°(k∈Z)．5．试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解终边在直线y＝－3x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z)∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.A级：基础巩固练一、选择题1．下列说法正确的个数是()①终边在x轴非负半轴上的角是零角；②钝角一定大于第一象限的角；③第二象限的角一定大于第一象限的角；④第四象限角一定是负角．A．0 B．1 C．2 D．3答案A解析①错，终边在x轴非负半轴上的角为k·360°，k∈Z，显然不只是零角；②错，390°是第一象限的角，大于任一钝角α(90°<α<180°)；③错，第二象限角中的－210°小于第一象限角中的30°；④错，285°角为第四象限角，但不是负角．故选A.2．已知角α，β的终边相同，则角(α－β)的终边在()A．x轴的非负半轴上B．y轴的非负半轴上C．x轴的非正半轴上D．y轴的非正半轴上答案A解析 ∵角α，β的终边相同，∴α＝k ·360°＋β，k ∈Z .∴α－β＝k ·360°，k ∈Z ，∴α－β的终边在x 轴的非负半轴上，故选A.3．射线OA 绕端点O 逆时针旋转120°到达OB 位置，由OB 位置顺时针旋转270°到达OC 位置，则∠AOC ＝( )A ．150°B ．－150°C ．390°D ．－390°答案 B解析 各角和的旋转量等于各角旋转量的和．∴120°＋(－270°)＝－150°.故选B.4．若角α和角β的终边关于x 轴对称，则角α可以用角β表示为( )A ．k ·360°＋β(k ∈Z )B ．k ·360°－β(k ∈Z )C ．k ·180°＋β(k ∈Z )D ．k ·180°－β(k ∈Z )答案 B解析 因为角α和角β的终边关于x 轴对称，所以α＋β＝k ·360°(k ∈Z )，所以α＝k ·360°－β(k ∈Z )．故选B.5．若角α为第二象限角，则α3的终边一定不在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 因为角α为第二象限角，所以k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z ，所以k ·120°＋30°<α3<k ·120°＋60°，k ∈Z .对k 进行讨论，当k ＝3n ，k ＝3n ＋1，k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，α3的取值范围分别为(n ·360°＋30°，n ·360°＋60°)，(n ·360°＋150°，n ·360°＋180°)，(n ·360°＋270°，n ·360°＋300°)，n ∈Z ，所以α3的终边落在第一或二或四象限，故选C.二、填空题6．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．答案－30°－360°解析经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.7．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.答案k·360°＋60°，k∈Z解析先求出β的一个角，β＝α＋180°＝60°.再由终边相同角的概念知：β＝k·360°＋60°，k∈Z.8．若集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}，则M________N．(填“”“”)答案解析M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}＝{x|x＝45°·(2k＋1)，k∈Z}，N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}＝{x|x＝45°·(k＋2)，k∈Z}，∵k∈Z，∴k＋2∈Z，且2k＋1为奇数，∴M N.三、解答题9．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．解(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|n·180°＋30°≤x≤n·180°＋60°，n∈Z}．10．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．解由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.取k＝1，得α＋β＝80°.①∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°.取k＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.B级：能力提升练1．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，(1)有几种终边不同的角？(2)写出区间(－180°，180°)内的角；(3)写出第二象限的角的一般表示法．解(1)在α＝k·90°＋45°中，令k＝0,1,2,3知，α＝45°，135°，225°，315°.∴在给定的角的集合中，终边不同的角共有4种．(2)由－180°<k ·90°＋45°<180°，得－52<k <32.又k ∈Z ，故k ＝－2，－1,0,1.∴在区间(－180°，180°)内的角有－135°，－45°，45°，135°.(3)其中第二象限的角可表示为k ·360°＋135°，k ∈Z .2．已知角β的终边在直线3x －y ＝0上．(1)写出角β的集合S ；(2)写出S 中适合不等式－360°<β<720°的元素．解 (1)如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA ，OB 为终边的角的集合为：S 1＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，S 2＝{β|β＝240°＋k ·360°，k ∈Z }，所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋n ·180°，n ∈Z }．(2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n ·180°<720°，n ∈Z .解得－73<n <113，n ∈Z ，所以n ＝－2，－1，0,1,2,3.所以S 中适合不等式－360°<β<720°的元素为： 60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°； 60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°； 60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°.。