5.1.1 任意角 导学案

任意角学习目标：（1）结合具体实例，认识角的概念推广的必要性；（2）初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角，并能熟练写出与已知角终边相同的角的集合．学习重点、难点：重点：将0°～360°的角的概念推广到任意角．难点：角的概念推广；终边相同的角的表示．学习过程：一、设计问题、创设情境问题1．回忆初中我们是如何定义一个角的？所学的角的范围什么？问题2．在体操、花样游泳、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体1080°”、“转体1260°”这样的解说。

这里的1080°、1260°，怎么刻画？问题3、如果要对主动轮和从动轮的旋转角进行描述，旋转方向相反，该如何刻画呢？问题4、你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1．25小时，你应当如何将它校准？当时间校准后，分针旋转了多少度？二、自主探究、尝试解决：【探究一：任意角的概念】思考1：怎样升级角的定义，让它更科学更合理？新知1、任意角的概念思考2：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？新知2、角的分类问题5、你能否以同一条射线为始边作出下列角呢？210°，-150°，-660°．【探究二：象限角】新知2、象限角的概念：例1：已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角：（1）-120°（2）640 °（3） -950 ° 12'练习：1、锐角是第几象限的角？2、第一象限的角是否都是锐角？3、小于90°的角都是锐角吗？【探究三：终边相同的角】思考3：与30°角终边相同的角有多少个？这些角与30°角在数量上相差多少？思考4：所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？新知3、终边相同的角的表示三、合作探究例2 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β＜7200的元素β写出来（1）600（2）-210（3）363014’变式、写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360º~720º间的角写出来： (1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′.例3 写出终边在y轴上的角的集合．变式：写出终边在x轴上的角的集合．例4、写出终边落在阴影部分（包括边界）的各角的集合例5.如果 α 是第三象限角,那么2α 角终边的位置如何?2α 是哪个象限的角?四、课堂小结(1) 你知道角是如何推广的吗?(2) 象限角是如何定义的呢?(3) 你熟练掌握具有终边相同的角α的表示了吗?五、当堂检测：1、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A ．30° B ．-30° C ．630° D ．-630°2、460︒是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角 B. 第四象限角3、下列说法中，正确的是（ ）A ．第一象限的角是锐角B ．锐角是第一象限的角C ．小于90°的角是锐角D ．终边相同的角一定相等4、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是（ ）A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°5、在0360︒︒~范围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，并判定它是第几象限角.-54°18′ -395°8′ -1119°30′。

5.1.1 任意角一、教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》（人教A版）第五章《三角函数》，本节课是第1课时，本节主要介绍推广角的概念,引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示法。

树立运动变化的观点,并由此进一步理解推广后的角的概念。

教学方法可以选用讨论法,通过实际问题，如时针与分针、体操等等都能形成角的流念,给学生以直观的印象,形成正角、负角、零角的概念,明确规定角的概念，通过具体问题让学生从不同角度理解终边相同的角,从特殊到一般归纳出终边相同的角的表示方法。

二、课标要求了解任意角的概念和弧度，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性三、教学目标与核心素养A.了解任意角的概念；B.掌握正角、负角、零角及象限角的定义，理解任意角的概念；C.掌握终边相同的角的表示方法；D.会判断角所在的象限。

四、学情分析学生在初中时已接触到角的概念(角的范围仅限于0°～360°)，在前面又学习了集合内容，具备了一定的基础知识，同时具备了一定的观察能力和数形结合能力.由于刚刚将角的概念推广，学生还不是很适应终边相同的角的“周而复始”这个现象的本质，在理解终边相同的角的表示方法上，学生会出现障碍，另外，学生在用集合和数学符号语言正确地表示象限角时也可能会出现障碍.五、教学重点任意角的概念，象限角的表示六、教学难点终边相同角的表示，区间角的集合书写七、教学过程的角，与按顺时针方向旋转60°所形成的角是否相等？2.角的概念：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.3.角的构成要素：终边、始边、顶点。

4.规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.这样，我们就把角的概念推广到了任意角.︒︒︒-=-= =660,150 210.5γβα负角，负角画出下列各角：正角【解析】6.。

第五章三角函数5．1 任意角和弧度制5．1.1 任意角1．了解任意角的概念及角的分类．2．理解象限角的概念．3．理解终边相同的角的概念,并能熟练写出终边相同的角的集合表示．1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图,射线的端点是圆心O,它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OP,形成一个角α,射线OA,OP分别是角α的始边和终边．“角α”或“∠α”可以简记成“α”．(3)角的分类(4)相等角与相反角①设角α由射线OA绕端点O旋转而成,角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称α＝β.②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.③设α,β是任意两个角．我们规定,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是α＋β.④角的减法可以转化为角的加法．2．象限角把角放在平面直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和．温馨提示：对终边相同的角的理解(1)α为任意角,“k∈Z”这一条件不能漏．(2)k·360°与α中间用“＋”连接,如k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)．1．在坐标系中,将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°,这种说法是否正确？[答案]不正确．在坐标系中,将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时,是按顺时针方向旋转的,故它形成的角为－90°2．初中我们学过对顶角相等．依据现在的知识试判断一下图中角α,β是否相等？[答案]不相等．角α为逆时针方向形成的角,α为正角；角β为顺时针方向形成的角,β为负角3．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)当角的始边和终边确定后,这个角就确定了．( )(2)－30°是第四象限角．( )(3)钝角是第二象限的角．( )(4)终边相同的角一定相等．( )(5)第一象限的角是锐角．( )[答案](1)×(2)√(3)√(4)×(5)×题型一任意角的概念【典例1】下列命题正确的是( )A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角[思路导引] 对角的概念的理解关键是弄清角的终边与始边及旋转方向和大小．[解析]终边与始边重合的角还可能是360°,720°,…,故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍,如30°与－330°,故B错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角,所以不一定是钝角,C正确；小于90°的角可以是0°,也可以是负角,故D错误．[答案] C理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧：判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可．[针对训练]1．若将钟表拨慢10分钟,则时针转了______度,分针转了________度．[解析] 由题意可知,时针按逆时针方向转了10×360°12×60＝5°,分针按逆时针方向转了10×360°60＝60°.[答案] 5° 60°题型二 终边相同的角的表示【典例2】 已知角α＝2020°.(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角；(2)求θ,使θ与α终边相同,且－360°≤θ<720°.[思路导引] 解题关键是理解与角α终边相同的角的表示形式．[解] (1)由2020°除以360°,得商为5,余数为220°.∴取k ＝5,β＝220°,α＝5×360°＋220°.又β＝220°是第三象限角,∴α为第三象限角．(2)与2020°终边相同的角为k·360°＋2020°(k∈Z)．令－360°≤k·360°＋2020°<720°(k∈Z),解得－6109180≤k<－31118(k ∈Z)． 所以k ＝－6,－5,－4.将k 的值代入k·360°＋2020°中,得角θ的值为－140°,220°,580°.(1)求适合某种条件且与已知角终边相同的角的方法先求出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k 的值．(2)求终边落在直线上的角的集合的步骤①写出在0°～360°范围内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并的一定要合并,使结果简洁．[针对训练]2．如图所示,求终边落在直线y＝3x上的角的集合．[解]终边落在射线y＝3x(x>0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°,k∈Z},终边落在射线y＝3x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°,k∈Z},于是终边落在直线y＝3x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°,k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°,k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°,k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°,k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°,n∈Z}.题型三象限角的判断【典例3】已知角的顶点与坐标原点重合,始边落在x轴的非负半轴上,作出下列各角,并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.[思路导引] 作出图形,根据象限角的定义确定．[解]作出各角,其对应的终边如图所示．(1)由图①可知－75°是第四象限角．(2)由图②可知855°是第二象限角．(3)由图③可知－510°是第三象限角．象限角的判断方法 (1)根据图形判定,在直角坐标系中作出角,角的终边落在第几象限,此角就是第几象限角；(2)根据终边相同的角的概念把角转化到0°～360°范围内,转化后的角在第几象限,此角就是第几象限角．[针对训练]3．已知α是第二象限的角,则180°－α是第________象限的角．[解析] 由α是第二象限的角可得90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z),则180°－(180°＋k·360°)<180°－α<180°－(90°＋k·360°)(k∈Z),即－k·360°<180°－α<90°－k·360°(k ∈Z),所以180°－α是第一象限的角．[答案] 一题型四 角αn,nα(n∈N *)所在象限的确定 【典例4】 若α是第二象限角,则α2是第几象限的角？ [思路导引] 已知角α是第几象限角,判断αn所在象限,主要方法是解不等式并对k 进行分类讨论,考查角的终边位置．[解] ∵α是第二象限角,∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z),∴45°＋k·180°<α2<90°＋k·180°(k∈Z)． 解法一：①当k ＝2n(n ∈Z)时,45°＋n·360°<α2<90°＋n·360°(n∈Z),即α2是第一象限角； ②当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时,225°＋n·360°<α2<270°＋n·360°(n∈Z),即α2是第三象限角． 故α2是第一或第三象限角．解法二：∵45°＋k·180°表示终边为一、三象限角平分线的角,90°＋k·180°(k∈Z)表示终边为y轴的角, ∴45°＋k·180°<α2<90°＋k·180°(k∈Z)表示如图中阴影部分图形．即α2是第一或第三象限角． [变式] (1)若本例条件不变,求角2α的终边的位置．(2)若本例中的α改为第一象限角,则2α,α2分别是第几象限角？ [解] (1)∵α是第二象限角,∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z)．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上．(2)因为α是第一象限角,所以k·360°<α<90°＋k·360°,k ∈Z.所以2k·360°<2α<180°＋2k·360°,k ∈Z.所以2α是第一或第二象限角,或是终边落在y 轴的正半轴上的角． 同理,k·180°<α2<45°＋k·180°,k ∈Z. 当k 为偶数时,α2为第一象限角, 当k 为奇数时,α2为第三象限角．分角、倍角所在象限的判定思路(1)已知角α终边所在的象限,确定αn终边所在的象限用分类讨论法,要对k 的取值分以下几种情况进行讨论：k 被n 整除；k 被n 除余1；k 被n 除余2,…,k 被n 除余n －1.然后方可下结论．(2)已知角α终边所在的象限,确定nα终边所在的象限,可依据角α的范围求出nα的范围,再直接转化为终边相同的角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况．[针对训练]4．已知α是第一象限角,则角α3的终边可能落在________．(填写所有正确的序号) ①第一象限 ②第二象限 ③第三象限 ④第四象限[解析] ∵α是第一象限角,∴k·360°<α<k·360°＋90°,k ∈Z, ∴k 3·360°<α3<k 3·360°＋30°,k ∈Z. 当k ＝3m,m ∈Z 时,m·360°<α3<m·360°＋30°, ∴角α3的终边落在第一象限． 当k ＝3m ＋1,m ∈Z 时,m·360°＋120°<α3<m·360°＋150°, ∴角α3的终边落在第二象限． 当k ＝3m ＋2,m ∈Z 时,m·360°＋240°<α3<m·360°＋270°, ∴角α3的终边落在第三象限,故选①②③. [答案] ①②③课堂归纳小结1．对角的理解,初中阶段是以“静止”的眼光看,高中阶段应用“运动”的观点下定义,理解这一概念时,要注意“旋转方向”决定角的“正负”,“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．2．把任意角化为α＋k·360°(k∈Z,且0°≤α<360°)的形式,关键是确定k,可以用观察法(α的绝对值较小),也可以用除法．3．已知角的终边范围,求角的集合时,先写出边界对应的一个角,再写出0°～360°内符合条件的角的范围,最后都加上k·360°,得到所求.1．下列说法正确的是( )A ．三角形的内角一定是第一、二象限角B ．钝角不一定是第二象限角C ．终边与始边重合的角是零角D ．钟表的时针旋转而成的角是负角[解析] A 错,若一内角为90°,则不属于任何象限；B 错,钝角一定是第二象限角；C 错,若角的终边作了旋转,则不是零角；D 对．[答案] D2．－215°是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由于－215°＝－360°＋145°,而145°是第二象限角,故－215°也是第二象限角,选B.[答案] B3．已知α为第三象限角,则α2所在的象限是( ) A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限[解析] 由于k·360°＋180°<α<k·360°＋270°,k ∈Z,得k 2·360°＋90°<α2<k 2·360°＋135°,k ∈Z. 当k 为偶数时,α2为第二象限角； 当k 为奇数时,α2为第四象限角． [答案] D4．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°,k ∈Z)的形式是________．[解析] 因为－885°÷360°＝－3…195°,且0°≤α<360°,所以k ＝－3,α＝195°,故－885°＝195°＋(－3)·360°.[答案] 195°＋(－3)·360°5．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°,k ∈Z}中,(1)有几种终边不相同的角？(2)若－360°<α<360°,则集合中的α共有多少个？[解] (1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种,分别是与45°、135°、－135°、－45°终边相同的角．(2)令－360°<k·90°＋45°<360°,得－92<k<72. 又∵k ∈Z,∴k ＝－4,－3,－2,－1,0,1,2,3,∴满足条件的角共有8个．课后作业(三十七)复习巩固一、选择题1．下列是第三象限角的是( )A ．－110°B ．－210°C ．80°D ．－13°[解析] －110°是第三象限角,－210°是第二象限角,80°是第一象限角,－13°是第四象限角．故选A.[答案] A2．与600°角终边相同的角可表示为( )A．k·360°＋220°(k∈Z)B．k·360°＋240°(k∈Z)C．k·360°＋60°(k∈Z)D．k·360°＋260°(k∈Z)[解析]与600°终边相同的角α＝n·360°＋600°＝n·360°＋360°＋240°＝(n＋1)·360°＋240°＝k·360°＋240°,n∈Z,k∈Z.[答案] B3．设A＝{小于90°的角},B＝{锐角},C＝{第一象限角},D＝{小于90°而不小于0°的角},那么有( )A．B?C?A B．B?A?CC．D?(A∩C) D．C∩D＝B[解析]显然第一象限角不是都小于90°,且小于90°的角不都在第一象限,故A,B错；0°不属于任何象限,故C错；锐角为小于90°而大于0°的角,∴C∩D＝B,选D.[答案] D4．终边在直线y＝－x上的所有角的集合是( )A．{α|α＝k·360°＋135°,k∈Z}B．{α|α＝k·360°－45°,k∈Z}C．{α|α＝k·180°＋225°,k∈Z}D．{α|α＝k·180°－45°,k∈Z}[解析]因为直线y＝－x为二、四象限角平分线,所以角终边落到第四象限可表示为k·360°－45°＝2k·180°－45°,k∈Z；终边落到第二象限可表示为k·360°－180°－45°＝(2k－1)·180°－45°,k∈Z,综上可得终边在直线y＝－x上的所有角的集合为{α|α＝k·180°－45°,k∈Z}．[答案] D5．给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角,其中真命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个[解析]①正确；②正确；③中475°＝360°＋115°,因为115°为第二象限角,所以475°也为第二象限角,正确；④中－315°＝－360°＋45°,因为45°为第一象限角,所以－315°也为第一象限角,正确．[答案] D二、填空题6．50°角的始边与x轴的非负半轴重合,把其终边按顺时针方向旋转3周,所得的角是________．[解析]顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1080°,又50°＋(－1080°)＝－1030°,故所得的角为－1030°.[答案]－1030°7．已知角α＝－3000°,则与角α终边相同的最小正角是________．[解析]设与角α终边相同的角为β,则β＝－3000°＋k·360°,k∈Z,又因为β为最小正角,故取k＝9,则β＝－3000°＋360°×9＝240°.[答案]240°8．若角α与β的终边在一条直线上,则α与β的关系是______________________．[解析]因为α与β的终边在一条直线上,所以α与β相差180°的整数倍．[答案]α＝β＋k·180°,k∈Z三、解答题9．在0°～360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限的角．(1)－120°；(2)660°；(3)－950°08′.[解](1)∵－120°＝240°－360°,∴在0°～360°范围内,与－120°角终边相同的角是240°角,它是第三象限的角．(2)∵660°＝300°＋360°,∴在0°～360°范围内,与660°角终边相同的角是300°角,它是第四象限的角．(3)∵－950°08′＝129°52′－3×360°,∴在0°～360°范围内,与－950°08′终边相同的角是129°52′,它是第二象限的角．10．如图,分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．[解](1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°,k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°,k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°,k∈Z}．综合运用11．若角α,β的终边相同,则α－β的终边在( )A．x轴的非负半轴B．y轴的非负半轴C．x轴的非正半轴D．y轴的非正半轴[解析]∵角α,β终边相同,∴α＝k·360°＋β(k∈Z),∴α－β＝k·360°(k∈Z),故α－β的终边在x轴的非负半轴上．[答案] A12．已知角2α的终边在x轴的上方,那么α是( )A．第一象限角B．第一、二象限角C．第一、三象限角D．第一、四角限角[解析]由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z),故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z),按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时,n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z),∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时,180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z),∴α在第三象限．故α在第一或第三象限．[答案] C13．已知角α的终边与角－690°的终边关于y轴对称,则角α＝____________________.[解析]－690°＝－720°＋30°,则角α的终边与30°角的终边关于y轴对称,而与30°角的终边关于y轴对称的角可取150°,故α＝k·360°＋150°,k∈Z.[答案]k·360°＋150°,k∈Z14．已知－990°<α<－630°,且α与120°角的终边相同,则α＝________.[解析]∵α与120°角终边相同,故有α＝k·360°＋120°,k∈Z.又∵－990°<α<－630°,∴－990°<k·360°＋120°<－630°,即－1110°<k·360°<－750°.当k＝－3时,α＝(－3)·360°＋120°＝－960°.[答案]－960°15．已知α,β都是锐角,且α＋β的终边与－280°角的终边相同,α－β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小．[解]由题意可知,α＋β＝－280°＋k·360°,k∈Z,∵α,β都是锐角,∴0°<α＋β<180°.取k＝1,得α＋β＝80°.①∵α－β＝670°＋k·360°,k∈Z.∵α,β都是锐角,∴{0°<α<90°－90°<－β<0°, ∴－90°<α－β<90°.取k＝－2,得α－β＝－50°.②由①②,得α＝15°,β＝65°.。

课题：任意角 课型：新授课 课时：1 【学习目标】
①理解任意角的概念，学会建立直角坐标系讨论任意角； ②能判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写。

【学习过程】 一、课题引入
1、初中学过的角定义是什么？角有范围吗？
2、你的手表慢了15分钟，你会怎样将它校准？又假若你的手表快了5.1个小时，你会怎样将它校准？当时间校准后，分钟旋转了多少度？
3、初中角的定义和范围能解决上述问题吗？怎么办？
二、预习达标
预习课本第2，3面，完成以下知识点填空
1、角的定义
角可以看成平面内一条_______绕着______从一个位置________到另一个位置所成的图形。

①按___________方向旋转形成的角叫做正角 2、角的分类 ②按___________方向旋转形成的角叫做负角
③如果一条射线没有作任何旋转，我们称它为_________ 3、象限角
在直角坐标系中，我们使角的顶点与________重合，___________与x 轴的正半轴重合，那么，角的_________在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

特别地，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角____________________。

三、预习反馈
1、你的手表慢了15分钟，校准时要将分针旋转__________度
你的手表快了5.1个小时，校准时要将分针旋转__________度
（教师“复备”栏或学生笔记栏）
说明：为了
简单起见，“角α”或“α∠”都可简记
为“α”
提醒：想想旋转时是顺时针还
顶点
终边
始边。

【新教材】5.1.1任意角 教学设计（人教A 版）学生在初中学习了o0～o360，但是现实生活中随处可见超出o0～o360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法． 数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义； 难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、 情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o0～o360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o0～o360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角一条射线没有作任何旋转形成零角的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）① （2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( ) A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止． 2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z 表示，在运用时需注意以下四点：(1)k 是整数，这个条件不能漏掉． (2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z. (4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍． 跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( ) A ．230°12′ B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________． 【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}． 题型三 任意角终边位置的确定和表示 例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角 (2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合； ②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k ·360°，k ∈Z}＝{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示 为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示） 1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α<x <β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． 提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异． 2．nα或所在象限的判断方法： (1)用不等式表示出角nα或αn 的范围； (2)用旋转的观点确定角nα或αn 所在象限．跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.。

教学单元学习目标第5章三角函数教学内容教学目标L l. l侵童角l理解任意角的概念．2. 掌握终边相同角的含义及其表示．（重点、难点）3. 掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法．（难点、易混点）核心素养1. 了解任意角的概念，区分正角、负角与零角，培养直观想象的核心素养；2理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合，提升数学抽象的核心素养；3. 了解象限角的概念，强化数学抽象的核心素养。

教学重难点重点：任意角的概念，象限角的表示；难点：终边相同角的表示，区间角的集合书写。

学情分析学生过去接触的角都在0°~360°'关千角的认识形成一定的思维定势，这就需要通过实际问题，如时针与分针、体操等都能形成角的流念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确规定角的概念，通过具体问题让学生从不同角度理解终边相同的角，从特殊到一般归纳出终边相同的角的表示方法。

教学环节情境导入教学过程教师活动学生活动设计意图在花样滑冰比赛中，运动员的动作【提不】有公共端点的两射线通过复习初中角的概念，引是那么优美！尤其是原地转身和空中翻组成的几何图形叫角角的范入本节新课，在原1建立知识间的转动作都让我们叹为观止．运动员围：0° �360°。

联系，提高学地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转1【提示】上述问题中，角的度生概括、类比十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰I数已经不再局限在360度内，推理的能力。

美丽而危险．你能算出他们在一次原地，所以角的概念需进行推广。

1通过复习初中新知讲授转身三圈的动作中转过的角度吗？【思考1】初中学过角的概念是什么？范围是多大？【思考2】(1)体操中有转体两周或转体两周半，如何度量这些角度呢？(2)经过1小时，秒针、分针各转了多少度？(3)在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的．一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转．你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60°所形成的角，与按顺时针方向旋转60°所形成的角是否相等？【知识一：任意角的概念】1. 角的概念：规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角这样，我们就把角的概念推广到了任意角．2. 相等角与相反角CD把角的概念推广到了任意角(anyangle), 包括正角、负角和零角．设角a由射线OA绕端点0旋转而成，角fJ由射线O'A'绕端点O'旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那角的概念，引入本节新课。

任意角学习目标1、了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念；2、正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示. 学习重点、难点：重点：理解任意角及象限角的概念 难点：终边相同的角的正确表示学习过程 ※ 知识要点 知识点1：1、角的概念的推广① 正角： ② 负角: ③ 零角: ④ 象限角： .问题：你对锐角与第一象限角的理解，钝角呢？2、终边相同的角概念在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重合，则 （1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

例如：30,390,330-都是第一象限角；300,60-是第四象限角。

（2）非象限角（也称轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

例如：90,180,270等等。

说明：角的始边“与x 轴的非负半轴重合”不能说成是“与x 轴的正半轴重合”。

因为x 轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线。

知识点2：与α终边相同的角的集合为： 注意：（1）k z ∈； （2）α是任意角；（3）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同。

终边相同的角有无限多个，它们相差360的整数倍。

说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。

※ 典型例题例1、在00到0360的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角： （1）0650 （2）0150- （3）0'99015-练习：1. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角（1） 420︒ (2) -75︒ （3） 855︒ （4） -510︒2、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720︒≤β＜360︒的元素β写出来 （1） －225 （ 2） 270︒ （ 3） 180︒例2、写出终边在y 轴上的角的集合。

一、情景引入二、新知讲授1、从旋转的角度认识角我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．这样，零角的始边与终边重合． ,0αα=︒如果是零角那么这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle），包括正角、负角和零角2、相等角、角的加减相等角：设∠α由射线OA绕端点O旋转而成，∠β由射线OA绕端点O旋转而成.如它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β.角的加减：设α，β是任意角，我们规定：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β. 类似于实数t的相反数是-t，我们引入角α的相反角的概念.则α-β=α+(-β).【练习】如果固定始边为一条水平的射线，试着动手画画120°、−240°、480°得出结论：即使两个角的始边与终边重合，旋转过程不同的表示的角是不同的3、象限角我们通常在坐标系内讨论角.为了方便，我们把角的顶点固定在原点，角的终边始终与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角.如果角的终边落在坐标轴上，那就认为这个角不属于任何一个象限，也叫轴线角。

【练习】这几个角分别是第几象限的？①30° ②210° ③−225° ④270°4、终边相同的角探究将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应．反之，对于直角坐标系内任意一条射线，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？A、彼此之间相差整数倍圈B、度数差是360°的整数倍,,{|360,,,Z}S k k ααββααα==+⋅︒∈所有与角终边相同的角连同角在内可构成一个集合即任一与角终边相同的角都可以表示成角与整数一般地我们有：个周角的和.【练习】在0°～360°范围内，找出与-1014°50′角终边相同的角，并判定它是第几象限角.【练习】1.写出终边在y 轴上的角的集合.【练习】2.写出终边在直线y=x 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式-360°≤α＜720°的元素β写出来.【举一反三】写出直线y=-x 上的角的集合。