利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解

二次函数易错清单1.二次函数与方程、不等式的联系.【例1】(2014·湖北孝感)抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(-1,2),与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论:①b2-4ac<0;②a+b+c<0;③c-a=2;④方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根.其中正确结论的个数为().A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac>0;由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线-1,则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,所以当x=1时,y<0,则a+b+c<0;由抛物线的顶点为D(-1,2)得a-b+c=2,由抛物线的对称轴为直线=1,得b=2a,所以c-a=2;根据二次函数的最大值问题,当x=-1时,二次函数有最大值为2,即只有x=1时,ax2+bx+c=2,所以说方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根.【答案】∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,所以①错误.∵顶点为D(-1,2),∴抛物线的对称轴为直线x=-1.∵抛物线与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间.∴当x=1时,y<0.∴a+b+c<0,所以②正确.∵抛物线的顶点为D(-1,2),∴a-b+c=2.∵抛物线的对称轴为直线=1,∴b=2a.∴a-2a+c=2,即c-a=2,所以③正确.∵当x=-1时,二次函数有最大值为2,即只有x=1时,ax2+bx+c=2,∴方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根,所以④正确.故选C.【误区纠错】本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线,当a>0,抛物线开口向上;对称轴为直线-;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c);当b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当b2-4ac<0,抛物线与x轴没有交点.2.用二次函数解决实际问题.【例2】(2014·江苏泰州)某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热,并立即将材料分为A,B两组,采用不同工艺做降温对比实验,设降温开始后经过x min时,A,B两组材料的温度分别为y A℃,y B℃,y A,y B与x的函数关系式分别为y A=kx+b, (部分图象如图所示),当x=40时,两组材料的温度相同.(1)分别求y A,y B关于x的函数关系式;(2)当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度是多少?(3)在0<x<40的什么时刻,两组材料温差最大?【解析】(1)首先求出y B函数关系式,进而得出交点坐标,即可得出y A函数关系式;(2)首先将y=120代入求出x的值,进而代入y B求出答案;(3)得出y A-y B的函数关系式,进而求出最值即可.解得m=100.∴y B=(x-60)2+100.解得y B=200.∴y A=-20x+1000.(2)当A组材料的温度降至120℃时,120=-20x+1000,解得x=44.∴B组材料的温度是164℃.∴当x=20时,两组材料温差最大为100℃.【误区纠错】此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识,得出两种材料的函数关系式是解题关键.3.二次函数存在性问题的讨论.(1)求该抛物线的解析式;(2)求点A关于直线y=2x的对称点A'的坐标,判定点A'是否在抛物线上,并说明理由;(3)点P是抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交线段CA'于点M,是否存在这样的点P,使四边形PACM是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;(2)首先求出对称点A'的坐标,然后代入抛物线解析式,即可判定点A'是否在抛物线上.本问关键在于求出A'的坐标.如答图所示,作辅助线,构造一对相似三角形Rt△A'EA∽Rt△OAC,利用相似关系、对称性质、勾股定理,求出对称点A'的坐标;(3)本问为存在型问题.解题要点是利用平行四边形的定义,列出代数关系式求解.如答图所示,平行四边形的对边平行且相等,因此PM=AC=10;利用含未知数的代数式表示出PM的长度,然后列方程求解.【误区纠错】本题是二次函数的综合题型,考查了二次函数的图象及性质、待定系数法、相似、平行四边形、勾股定理、对称等知识点,涉及考点较多,有一定的难度.第(2)问的要点是求对称点A'的坐标,第(3)问的要点是利用平行四边形的定义列方程求解.名师点拨1.能通过画二次函数图象求一元二次方程的近似解,能说明二次函数与一元二次方程的联系与区别.2.会借助函数思想及图象求不等式的解集.3.借助二次函数思想解决实际问题.提分策略1.抛物线对称性的应用.(1)二次函数的图象是抛物线,是轴对称图形,充分利用抛物线的轴对称性,是研究利用二次函数的性质解决问题的关键.(2)已知二次函数图象上几个点的坐标,一般用待定系数法直接列方程(组)求二次函数的解析式.(3)已知二次函数图象上的点(除顶点外)和对称轴,便能确定与此点关于对称轴对称的另一点的坐标.【例1】如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3.(1)求该抛物线所对应的函数关系式;(2)求△ABD的面积;(3)将三角形AOC绕点C逆时针旋转90°,点A对应点为点G,问点G是否在该抛物线上?请说明理由.【解析】(1)在矩形OCEF中,已知OF,EF的长,先表示出C,E的坐标,然后利用待定系数法确定该函数的关系式.(2)根据(1)的函数关系式求出A,B,D三点的坐标,以AB为底、点D纵坐标的绝对值为高,可求出△ABD的面积.(3)首先根据旋转条件求出点G的坐标,然后将点G的坐标代入抛物线对应的函数关系式中直接进行判断即可.∴抛物线所对应的函数解析式为y=-x2+2x+3.(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴抛物线的顶点坐标为D(1,4).∴△ABD中边AB的高为4.令y=0,得-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3.所以AB=3-(-1)=4.(3)△AOC绕点C逆时针旋转90°,CO落在CE所在的直线上,由(2)可知OA=1,∴点A对应点G的坐标为(3,2).当x=3时,y=-32+2×3+3=0≠2,∴点G不在该抛物线上.2.利用二次函数解决抛物线形问题.利用二次函数解决抛物线形问题,一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系,设出合适的二次函数的解析式,把实际问题中已知条件转化为点的坐标,代入解析式求解,最后要把求出的结果转化为实际问题的答案.【例2】如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2 m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与点O 的水平距离为9 m,高度为2.43 m,球场的边界距点O的水平距离为18m.(1)当h=2.6时,求y与x的关系式;(不要求写出自变量x的取值范围)(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由;(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.3.二次函数的实际应用.【例3】某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务,想转行经营服装专卖店又缺少资金.“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金,并约定利用经营的利润偿还债务(所有债务均不计利息).已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元,该品牌服装日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的关系可用图中的一条折线(实线)来表示.该店应支付员工的工资为每人每天82元,每天还应支付其他费用为106元(不包含债务).(1)求日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系式;(2)若该店暂不考虑偿还债务,当某天的销售价为48元/件时,当天正好收支平衡(收人=支出),求该店员工的人数;(3)若该店只有2名员工,则该店最早需要多少天能还清所有债务,此时每件服装的价格应定为多少元?【解析】(1)根据待定系数法,可得函数解析式;(2)根据收入等于指出,可得一元一次方程,根据解一元一次方程,可得答案;(3)分类讨论40≤x≤58,或58≤x≤71,根据收入减去支出大于或等于债务,可得不等式,根据解不等式,可得答案.综合两种情形,得b≥380,即该店最早需要380天能还清所有债务,此时每件服装的价格应定为55元.4.二次函数在几何图形中的应用.二次函数在几何图形中的应用,实际上是数形结合思想的运用,将代数与几何融为一体,把代数问题与几何问题进行互相转化,充分运用三角函数解直角三角形,相似、全等、圆等来解决问题,充分运用几何知识求解析式是关键.二次函数与三角形、圆等几何知识结合时,往往涉及最大面积、最小距离等问题,解决的过程中需要建立函数关系,运用函数的性质求解.【例4】如图,在边长为24 cm的正方形纸片ABCD上,剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形,再沿图中的虚线折起,折成一个长方体形状的包装盒(A,C,D四个顶点正好重合于上底面上一点).已知E、F在边AB上,是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=BF=x(cm).(1)若折成的包装盒恰好是个正方体,试求这个包装盒的体积V;(2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)面积S最大,试问x应取何值?(2)利用已知表示出包装盒的表面积,进而利用函数最值求出即可.∵0<x<12,∴当x=8时,S取得最大值384cm2.专项训练一、选择题1. (2014·山东聊城模拟)如图,抛物线y=x2与直线y=x交于点A,沿直线y=x平移抛物线,使得平移后的抛物线顶点恰好为A点,则平移后抛物线的解析式是().A. y=(x+1)2-1B. y=(x+1)2+1C. y=(x-1)2+1D. y=(x-1)2-1(第1题)(第2题)2.(2014·四川乐山模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标为(1,n),与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包含端点).有下列结论:A. ①②B. ③④C. ①③D. ①③④(第3题)3.(2013·浙江宁波北仑区一模)如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠ACB=90°,AB=AD,AC=4BC,设CD的长为x,四边形ABCD的面积为y,则y与x之间的函数关系式是().二、填空题4.(2014·吉林四平育才中学模拟)点P在抛物线y=(x-2)2+1上,设点P的坐标为(x,y),当0≤x≤3时,y的取值范围为.5.(2014·江苏常州模拟)已知二次函数y=ax2+bc+c中,函数y与自变量y=(x>0)的部分对应值如下表:若A(m,y1),B(m+1,y2)两点都在该函数的图象上,当m= 时,y1=y2.6.(2013·辽宁葫芦岛一模)已知点A(m,0)是抛物线y=x2-2x-1与x轴的一个交点,则代数式2m2-4m+2 013的值是.三、解答题7. (2014·山东济南外国语学校模拟)如图,矩形OABC在平面直角坐标系xOy中,点A在x 轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=4,OC=3,若抛物线的顶点在边BC上,且抛物线经过O,A两点,直线AC交抛物线于点D.(1)求抛物线的解析式;(2)求点D的坐标.(第7题)8. (2014·山东日照模拟)已知抛物线经过A(2,0).设顶点为点P,与x 轴的另一交点为点B.(1)求b的值,求出点P、点B的坐标;(2)如图,在直线上是否存在点D,使四边形OPBD为平行四边形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,使△AMP≌△AMB?如果存在,试举例验证你的猜想;如果不存在,试说明理由.(第8题)(1)填空:点C的坐标是,b= ,c= ;(2)求线段QH的长(用含t的式子表示);(3)依点P的变化,是否存在t的值,使以P,H,Q为顶点的三角形与△COQ相似?若存在,求出所有t的值;若不存在,说明理由.(第9题)参考答案与解析1. C[解析] 得出A点的坐标是(1,1),所以平移后以A点为顶点的解析式为y=(x-1)2+1.2.D[解析]①由抛物线的对称轴为直线x=1,一个交点A(-1,0),得到另一个交点坐标,利用图象即可对于选项①作出判断;②根据抛物线开口方向判定a的符号,由对称轴方程求得b与a的关系是b=-2a,将其代入(3a+b),并判定其符号;利用c的取值范围可以求得n的取值范围.4. 1≤y≤5[解析]将x=0,x=2分别代入y=(x-2)2+1求出y的取值范围为1≤y≤5,注意本题切忌直接将x=0,x=3代入,要考虑二次函数的对称轴二边增减性,5. 1.5[解析]二次函数的解析式为y=x2-4x+5,∵y1=y2,∴m2-4m=(m+1)2-4(m+1),解得m=1.5.6. 2015[解析]依题意知m2-2m-1=0,得m2-2m=1,所以2m2-4m+2013=2(m2-2m)+2013=2015.7. (1)设抛物线顶点为E,根据题意,得E(2,3),设抛物线解析式为y=a(x-2)2+3,(3)符合条件的点M存在.证明如下:过点P作x轴的垂线,垂足为C,则PC=2,AC=2,由勾股定理,可得AP=4,PB=4,又AB=4,所以△APB是等边三角形.只要作∠PAB的平分线交抛物线于M点,连接PM,BM,由于AM=AM,∠PAM=∠BAM,AB=AP,可得△AMP≌△AMB.因此存在这样的点M,使△AMP≌△AMB.由题意,得△BHP∽△BOC,∵OC∶OB∶BC=3∶4∶5,∴HP∶HB∶BP=3∶4∶5.∵PB=5t,∴HB=4t,HP=3t.∴OH=OB-HB=4-4t.∴OQ=4t.①当H在Q,B之间时,QH=OH-OQ=(4-4t)-4t=4-8t.②当H在O,Q之间时,QH=OQ-OH=4t-(4-4t)=8t-4.综合①②,得QH=|4-8t|.。

煤炭化学成分与煤的燃烧性质的关联性研究煤炭作为一种重要的能源资源，其化学成分和燃烧性质之间存在着密切的关联性。

研究煤炭的化学成分对于深入了解煤的燃烧性质具有重要意义。

本文将探讨煤炭的主要化学成分及其对燃烧性质的影响。

煤炭主要由碳、氢、氧、氮和硫等元素组成，其中碳是其主要成分。

煤炭的碳含量直接影响着其燃烧性质。

碳含量高的煤炭燃烧时会产生较高的热量，因此被广泛应用于能源领域。

同时，碳含量高的煤炭燃烧时产生的烟尘和二氧化碳排放量也相对较高，对环境造成一定的影响。

因此，在煤炭的利用过程中，需要综合考虑其碳含量对燃烧性质和环境的影响。

除了碳含量，煤炭中的氢含量也对其燃烧性质有一定的影响。

氢是煤炭中的可燃元素之一，其含量高低直接影响着煤炭的燃烧速度和热值。

氢含量高的煤炭燃烧时会产生较高的热量，具有较高的燃烧效率。

此外，氢含量高的煤炭燃烧时所产生的水蒸气会稀释烟气中的氧气，降低燃烧温度，从而减少氮氧化物的生成。

因此，氢含量高的煤炭在燃烧过程中具有较低的氮氧化物排放量，对环境友好。

煤炭中的氧含量和硫含量也对其燃烧性质有一定的影响。

氧是煤炭中的氧化剂，其含量高低直接影响着煤炭的可燃性。

氧含量高的煤炭燃烧时会产生较高的热量，燃烧速度较快。

然而，氧含量高的煤炭燃烧时也容易产生较多的烟尘和二氧化碳，对环境造成一定的影响。

因此，在煤炭的利用过程中，需要综合考虑其氧含量对燃烧性质和环境的影响。

硫是煤炭中的一种常见元素，其含量对煤炭的燃烧性质有着重要的影响。

硫在煤炭燃烧时容易生成二氧化硫等有害气体，对环境和人体健康造成危害。

因此，降低煤炭中的硫含量对于减少大气污染具有重要意义。

目前，对于高硫煤的利用，常常采取脱硫技术来降低燃烧过程中的硫排放。

除了煤炭的化学成分，煤的燃烧性质还受到煤质结构的影响。

煤质结构包括煤的孔隙结构和煤的结晶结构。

煤的孔隙结构对于煤的燃烧速度和热值有一定的影响。

孔隙结构较发达的煤炭燃烧时，氧气可以更好地进入煤体内部，提高燃烧效率。

21.3 二次函数与一元二次方程（第二课时）实验中学-余志高一、教材分析：《利用二次函数的图像解一元二次方程》选自义务教育课程教科书《数学》（沪科版）九年级上册第21章第3节，这节课是在学生学习了二次函数与一元二次方程的关系，知道二次函数的图像与x 轴交点个数的不同对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况下继续经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验及了解一元二次不等式的解集.．这也突出了课标的要求：注重数形结合。

二、教学目标【知识与技能】掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解集.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验．【过程与方法】经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系.利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想．【情感、态度与价值观】进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.重点难点【重点】用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集.【难点】利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根【教学方法】学生合作交流学习法三、教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y＝0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可．但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算．本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根．Ⅱ．讲授新课【例】用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间.先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下观察上表可以发现,当x分别取-2.5和-2.4时,对应的y由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4.同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根.方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.函数图象求一元二次不等式的解集.：画出函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象，不等式ax2+bx+c>0的解集为图象在x轴上方的点所对应的x值所组成的集合，不等式ax2+bx+c<0的解集为图象在x轴下方的点所对应的x值所组成的集合.如下表：ax2+bx+c>0(a>0)的解集是x<x1或x>x2ax2+bx+c<0(a>0)的解集是x1<x<x2ax2+bx+c>0(a<0)的解集是x1<x<x2ax2+bx+c<0(a<0)的解集是x<x1或x>x2Ⅲ．课堂练习P34随堂练习Ⅳ．课时小结本节课学习的内容：1．经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系；2．经历了用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得了用图象法求方程近似根的体验．3．了解一元二次方程不等式的解集可由二次函数图象直接得出结论。

专题22.4 二次函数与一元二次方程【六大题型】【人教版】【题型1 抛物线与x 轴的交点情况】....................................................................................................................1【题型2 抛物线与x 轴交点上的四点问题】........................................................................................................3【题型3 由二次函数解一元二次方程】................................................................................................................6【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】....................................................................................9【题型5 由二次函数的图象解不等式】..............................................................................................................11【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】 (13)【题型1 抛物线与x 轴的交点情况】【例1】（2022春•西湖区校级期末）抛物线y ＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）+mx +n 与x 轴只有一个交点（x 1，0）．下列式子中正确的是（ ）A．x1﹣x2＝m B．x2﹣x1＝m C．m（x1﹣x2）＝n D．m（x1+x2）＝n【分析】由抛物线与x轴只有一个交点（x1，0）可得抛物线顶点式，从而可得x1，x2与m的关系．【解答】解：∵抛物线经过（x1，0），且抛物线与x轴只有一个交点，∴抛物线顶点坐标为（x1，0），y＝（x﹣x1）2，∴x2﹣2x1x+x21=（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n＝x2﹣（x1+x2﹣m）x+x1x2+n，∴x1+x2﹣m＝2x1，即x2﹣x1＝m，故选：B．【变式1-1】（2022春•澧县校级月考）抛物线y＝x2+2x﹣3与坐标轴的交点个数有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】由b2﹣4ac的大小可判断抛物线与x轴交点个数，由c的大小可判断抛物线与y轴的交点，进而求解．【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3，∴a＝1，b＝2，c＝﹣3，∴b2﹣4ac＝22+12＝16＞0，∴抛物线与x轴有2个交点，∵c＝﹣3，∴抛物线与y轴交点为（0．﹣3），∴抛物线与坐标轴有3个交点，故选：D．【变式1-2】（2022•广阳区一模）已知抛物线y＝﹣3x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m﹣2，n），B（m+4，n），则n的值为（ ）A．﹣9B．﹣16C．﹣18D．﹣27【分析】根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是直线x＝m+1．故设抛物线解析式为y＝﹣3（x﹣m ﹣1）2，直接将A（m﹣2，n）代入，通过解方程来求n的值．【解答】解：∵抛物线y＝﹣3x2+bx+c过点A（m﹣2，n）、B（m+4，n），∴对称轴是直线x＝m+1，又∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，∴顶点为（m+1，0），∴设抛物线解析式为y＝﹣3（x﹣m﹣1）2，把A（m﹣2，n）代入，得：n＝﹣3（m﹣2﹣m﹣1）2＝﹣27，即n＝﹣27．故选：D．【变式1-3】（2022春•汉滨区期中）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为x ＝3，则抛物线的顶点P关于x轴对称的点P'的坐标是（ ）A．（3，9）B．（3，﹣9）C．（﹣3，9）D．（﹣3，﹣9）【分析】根据抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6．对称轴为直线x＝3，可以得到b、c的值，然后即可得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点P的坐标，然后根据关于x 轴对称的点的特点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点P关于x轴的对称点的坐标．【解答】解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6，对称轴为直线x＝3，=3，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，−b2×1∴（﹣b）2﹣4×c＝36，b＝﹣6，解得：c＝0，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，∴顶点P的坐标为（3，﹣9），∴点P关于x轴的对称点的坐标是（3，9），故选：A．【题型2 抛物线与x轴交点上的四点问题】【例2】（2022•武汉模拟）二次函数与一元二次方程有着紧密的联系，一元二次方程问题有时可以转化为二次函数问题．请你根据这句话所提供的思想方法解决如下问题：若s，t（s＜t）是关于x的方程1+（x﹣m）（x﹣n）＝0的两根，且m＜n，则m，n，s，t的大小关系是（ ）A．s＜m＜n＜t B．m＜s＜n＜t C．m＜s＜t＜n D．s＜m＜t＜n【分析】由y＝（x﹣m）（x﹣n）可得抛物线与x轴交点坐标为（m，0），（n，0），开口向上，则抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与直线y＝﹣1的交点坐标为（s，﹣1），（t，﹣1），从而可得m，n，s，t 的大小关系．【解答】解：由1+（x﹣m）（x﹣n）＝0可得（x﹣m）（x﹣n）＝﹣1，由y＝（x﹣m）（x﹣n）可得抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点坐标为（m，0），（n，0），抛物线开口向上，则抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与直线y＝﹣1的交点在x轴下方，坐标为（s，﹣1），（t，﹣1），∴m＜s＜t＜n．故选：C．【变式2-1】（2022•定远县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是（ ）A．x1＜﹣1＜5＜x2B．x1＜﹣1＜x2＜5C．﹣1＜x1＜5＜x2D．﹣1＜x1＜x2＜5【分析】方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根即为抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣3交点的横坐标，据此可判断选项．【解答】解：令y＝a（x+1）（x﹣5），则抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与y＝ax2+bx+c形状相同、开口方向相同，且与x轴的交点为（﹣1，0）、（5，0），函数图象如图所示，由函数图象可知方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根即为抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣3交点的横坐标，∴x1＜﹣1＜5＜x2，故选：A．【变式2-2】（2022•张店区期末）已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0），方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的两根分别为m，n（m＜n），方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的两根分别为p，q（p＜q），判断m，n，p，q的大小关系是（ ）A．p＜q＜m＜n B．p＜m＜n＜q C．m＜p＜q＜n D．m＜n＜p＜q【分析】在平面直角坐标系中画出二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）的图象，再作出直线y ＝1，y＝3，它们与抛物线交于A，B和C，D，分别过交点作x轴的垂线，则垂足对应的数值为题干中方程的根，利用数形结合的方法即可得出结论．【解答】解：在平面直角坐标系中画出二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）的图象如下图：作直线y＝1与抛物线y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）交于A，B，分别经过A，B作x轴的垂线，垂足对应的数值分别为m，n，∴m，n是方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的两根；作直线y＝3与抛物线y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）交于C，D，分别经过AC，D作x轴的垂线，垂足对应的数值分别为p，q，∴p，q是方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的两根．由图象可知m，n，p，q的大小关系是：p＜m＜n＜q．故选：B．【变式2-3】（2022•河东区期末）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别α，β（α＜β），而x2+bx+c﹣2＝0的两根为M、N（M＜N），则α、β、M、N的大小顺序为（ ）A．α＜β＜M＜N B．M＜α＜β＜N C．α＜M＜β＜N D．M＜α＜N＜β【分析】依题意画出函数y＝（x﹣α）（x﹣β）和y＝2的图象草图，根据二次函数的图象可直接求解．【解答】解：依题意，画出函y＝（x﹣α）（x﹣β）的图象，如图所示．函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为α，β（α＜β），方程x2+bx+c﹣2＝0的两根是抛物线y＝（x﹣α）（x﹣β）与直线y＝2的两个交点．由M＜N，可知对称轴左侧交点横坐标为M，右侧为N．由图象可知，M＜α＜β＜N，故选：B．【题型3 由二次函数解一元二次方程】【例3】（2022•娄底一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（ ）A．﹣2或4B．﹣2或0C．0或4D．﹣2或5【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点求对称轴，后面两个方程二次项、一次项系数没变，所以两根的和也不变还是2．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（3，0）与（﹣1，0）两点，∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为3和﹣1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣3，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，如图，∵0＜n＜m，∴﹣m＞﹣m，∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，∴直线y＝﹣n与y＝ax2+bx+c的交点的横坐标为﹣2，4，∴这关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，是﹣2或4，故选：A．【变式3-1】（2022•潮南区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是　x1＝﹣1，x2＝3　．【分析】利用二次函数y＝ax2﹣2ax+c的解析式求得抛物线的顶点坐标，利用抛物线的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点，再利用抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系得出结论．【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+c，=1．∴抛物线的对称轴为直线x=−−2a2a∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴该抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）．∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是：x1＝﹣1，x2＝3．故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．【变式3-2】（2022•咸宁一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的y与x的部分对应值如下表：x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣46则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是　x1＝﹣4，x2＝1　．【分析】由抛物线经过点（﹣5，6），（2，6）可得抛物线对称轴，根据抛物线对称性及抛物线经过（﹣4，0）求解．【解答】解：由抛物线经过点（﹣5，6），（2，6）可得抛物线抛物线对称轴为直线x=−522=−32，∵抛物线经过（﹣4，0），对称轴为直线x=−32，∴抛物线经过（1，0），∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣4，x2＝1．故答案为：x1＝﹣4，x2＝1．【变式3-3】（2022•永嘉县校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（ ）A．5B．7C．12D．﹣7【分析】先由二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，求出b、c，再把b、c代入方程﹣x2+bx+c+d＝0后，由方程的根是6求出d．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，∴−1−b+c=0−25+5b+c=0，解得：b=4 c=5，将b＝4，c＝5代入方程﹣x2+bx+c+d＝0，可得：﹣x2+4x+5+d＝0，又∵关于x的方程﹣x2+4x+5+d＝0有两个根，其中一个根是6，∴把x＝6代入方程﹣x2+4x+5+d＝0，得：﹣36+4×6+5+d＝0，解得：d＝7，经验证d＝7时，Δ＞0，符合题意，∴d＝7．故选：B．【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】【例4】（2022•平度市期末）如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解为（ ）x… 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5…y…﹣1.39﹣0.76﹣0.110.56 1.25…A．2.2B．2.3C．2.4D．2.5【分析】根据函数值，可得一元二次方程的近似根．【解答】解：如图：x＝2.3，y＝﹣0.11，x＝2.4，y＝0.56，x2+2x﹣10＝0的一个近似根是2.3．故选：B．【变式4-1】（2022•灌云县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是　6.18＜x＜6.19　．x 6.17 6.18 6.19 6.20y﹣0.03﹣0.010.020.04【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可．【解答】解：由表格数据可得，当x＝6.18时，y＝﹣0.01，当x＝6.19时，y＝0.02，于是可得，当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为6.18＜x＜6.19，故答案为：6.18＜x＜6.19．【变式4-2】（2022•渠县一模）如图，是二次函数y＝ax2+bx﹣c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx＝c的两个根可能是　x1＝0.8，x2＝3.2合理即可　．（精确到0.1）【分析】直接利用抛物线与x 轴交点的位置估算出两根的大小．【解答】解：由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2+bx ＝c 的两个根可能是：x 1＝0.8，x 2＝3.2合理即可．故答案为：x 1＝0.8，x 2＝3.2合理即可．【变式4-3】（2022秋•萍乡期末）代数式ax 2+bx +c （a ≠0，a ，b ，c 是常数）中，x 与ax 2+bx +c 的对应值如下表： x ﹣1−12 0121 322 523ax 2+bx +c﹣2−141742741−14 ﹣2请判断一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 是常数）的两个根x 1，x 2的取值范围是下列选项中的（ ）A ．−12＜x 1＜0，32＜x 2＜2B ．﹣1＜x 1＜−12，2＜x 2＜52C ．−12＜x 1＜0，2＜x 2＜52D ．﹣1＜x 1＜−12，32＜x 2＜2【分析】观察表格可知，在x ＜1时，随x 值的增大，代数式ax 2+bx +c 的值逐渐增大，x 的值在−12～0之间，代数式ax 2+bx +c 的值由负到正，故可判断ax 2+bx +c ＝0时，对应的x 的值在−12～0之间，在x ＞1时，随x 的值增大，代数式ax 2+bx +c 逐渐减小，x 的值在2～52之间，代数式ax 2+bx +c 的值由正到负，故可判断ax 2+bx +c ＝0时，对应的x 的值在2～52之间，【解答】解：根据表格可知，代数式ax 2+bx +c ＝0时，对应的x 的值在−12～0和2～52之间，即：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是常数）的两个根x1，x2的取值范围是−12＜x1＜0，2＜x2＜52故选：C．【题型5 由二次函数的图象解不等式】【例5】（2022秋•垦利区期末）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为（ ）A．x＞﹣1B．x＜3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣3或x＞1【分析】由抛物线与直线交点横坐标确定直线在抛物线上方时x的取值范围．【解答】解：∵A（﹣1，p），B（3，q），∴﹣1＜x＜3时，直线在抛物线上方，即﹣1＜x＜3时，ax2+c＜mx+n，∴不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为﹣1＜x＜3．故选：C．【变式5-1】（2022•定远县二模）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…请求出当y＜0时x的取值范围　x＜﹣2或x＞3　．【分析】把点（0，6）代入求出c，把点（﹣1，4）和（1，6）代入抛物线的解析式列方程组，解出可得a、b，即可得抛物线的解析式，进而可列不等式求出y＜0时x的取值范围．【解答】解：由表得，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6），∴c＝6，∵抛物线y＝ax2+bx+6过点（﹣1，4）和（1，6），∴a−b+6=4a+b+6=6，解得：a=−1 b=1，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+x+6，所以令﹣x2+x+6＜0，解得：x＜﹣2或x＞3．故答案为：x＜﹣2或x＞3．【变式5-2】（2022•工业园区校级模拟）若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式a（x+2）2+b（x+2）+c＜0的解集为　x＜﹣1或x＞1　．【分析】根据图象可得x＜1或x＞3时ax2+bx+c＜0，则a（x+2）2+b（x+2）+c＜0时x+2＜1或x+2＞3，进而求解．【解答】解：由图象可得x＜1或x＞3时ax2+bx+c＜0，∴当a（x+2）2+b（x+2）+c＜0时，x+2＜1或x+2＞3，解得x＜﹣1或x＞1，故答案为：x＜﹣1或x＞1．【变式5-3】（2022•驿城区校级期末）如图，二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与y轴交于点C，点B是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．则满足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范围是（ ）A．x≤1或x≥4B．1≤x≤4C．x≤1或x≥5D．1≤x≤5【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线x＝2，从而可得点B横坐标，进而求解．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m，∴抛物线对称轴为直线x＝2，∵点B和点C关于直线x＝2对称，∴点B横坐标为4，∵点A横坐标为1，∴1≤x≤4时，kx+b≥x2﹣4x+m，故选：B．【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】【例6】（2022•虞城县三模）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）．（1）若抛物线与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点．①求抛物线和直线的函数解析式；②直接写出当a（x﹣2）2+c＞mx+n时自变量x的取值范围．（2）若a＝c，线段AB的两个端点坐标分别为A（0，3），B（3，3），当抛物线与线段AB有唯一公共点时，直接写出a的取值范围．【分析】（1）①利用待定系数法求解析式即可，②抛物线开口向上，数形结合直接写出答案；（2）结合抛物线和线段AB，分情况讨论求a的取值范围．【解答】解：（1）①∵抛物线y＝a（x﹣2）2+c与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点，∴a+c=09a+c=8，m+n=05m+n=8，解得a=1c=−1，m=2n=−2，∴抛物线和直线的函数解析式分别为y＝（x﹣2）2﹣1，y＝2x﹣2．②∵a＞0，抛物线开口向上，抛物线与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点，∴当a（x﹣2）2+c＞mx+n时自变量x的取值范围为x＜1或x＞5．（2）若a＝c，则抛物线y＝a（x﹣2）2+a（a＞0），∴开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，a），当抛物线顶点在线段AB上时有唯一公共点，此时a＝3，当抛物线顶点在线段AB下方时，当经过B（3，3）时，a+a＝3，解得a=32，当经过A（0，3）时，4a+a＝3，解得a=35，∴当抛物线与线段AB有唯一公共点时，a的取值范围为35≤a＜32或a＝3．【变式6-1】（2022•余姚市一模）已知：一次函数y1＝2x﹣2，二次函数y2＝﹣x2+bx+c（b，c为常数），（1）如图，两函数图象交于点（3，m），（n，﹣6）．求二次函数的表达式，并写出当y1＜y2时x的取值范围．（2）请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由．【分析】（1）将（3，m），（n，﹣6）代入直线解析式求出点坐标，然后通过待定系数法求解，根据图象可得y1＜y2时x的取值范围．（2）﹣x2+bx+c＝2x﹣2，由Δ＝0求解．【解答】解：（1）将（3，m）代入y1＝2x﹣2得m＝6﹣2＝4，将（n，﹣6）代入y1＝2x﹣2得﹣6＝2n﹣2，解得n＝﹣2，∴抛物线经过点（3，4），（﹣2，﹣6），将（3，4），（﹣2，﹣6）代入y2＝﹣x2+bx+c得4=−9+3b+c−6=−4−2b+c，解得b=3 c=4，∴y＝﹣x2+3x+4，由图象可得﹣2＜x＜3时，抛物线在直线上方，∴y1＜y2时x的取值范围是﹣2＜x＜3．（2）令﹣x2+bx+c＝2x﹣2，整理得x2+（2﹣b）x﹣（2+c）＝0，当Δ＝（2﹣b）2+4（2+c）＝0时，两函数图象只有一个公共点，∴b＝2，c＝﹣2，满足题意．【变式6-2】（2022•河南模拟）小新对函数y＝a|x2+bx|+c（a≠0）的图象和性质进行了探究．已知当自变量x的值为0或4时，函数值都为﹣3；当自变量x的值为1或3时，函数值都为0．探究过程如下，请补充完整．（1）这个函数的表达式为　y＝|x2﹣4x|﹣3　；（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质：　函数关于直线x＝2对称　；（3）进一步探究函数图象并解决问题：①直线y＝k与函数y＝a|x2+bx|+c有三个交点，则k＝　1　；②已知函数y＝x﹣3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式a|x2+bx|+c≤x﹣3的解集：　x＝0或3≤x≤5　．【分析】（1）将x＝0，y＝﹣3；x＝4，y＝﹣3；x＝1，y＝0代入y＝a|x2+bx|+c（a≠0），得到：c＝﹣3，b＝﹣4，a＝1，即可求解析式为y＝|x2﹣4x|﹣3；（2）描点法画出函数图象，函数关于x＝2对称；（3）①从图象可知：当x＝2时，y＝1，k＝1时直线y＝k与函数y＝|x2﹣4x|﹣3有三个交点；②y＝x﹣3与y＝x2﹣4x﹣3的交点为x＝0或x＝5，结合图象，y＝|x2﹣4x|﹣3≤x﹣3的解集为3≤x≤5．【解答】解：（1）将x＝0，y＝﹣3；x＝4，y＝﹣3；x＝1，y＝0代入y＝a|x2+bx|+c（a≠0），得到：c＝﹣3，b＝﹣4，a＝1，∴y＝|x2﹣4x|﹣3，故答案为：y＝|x2﹣4x|﹣3；（2）如图：函数关于直线x＝2对称，故答案为：函数关于直线x＝2对称；（3）①当x＝2时，y＝1，∴k＝1时直线y＝k与函数y＝|x2﹣4x|﹣3有三个交点，故答案为1；②y＝x﹣3与y＝|x2﹣4x|﹣3的交点为x＝0或x＝3，结合图象，y＝|x2﹣4x|﹣3≤x﹣3的解集为x＝0或3≤x≤5，故答案为：x＝0或3≤x≤5．x+t与函数y＝【变式6-3】（2022•海珠区一模）令a、b、c三个数中最大数记作max{a，b，c}，直线y=12 max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象有且只有3个公共点，则t的值为　1或65　．16【分析】只需画出函数y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象，然后结合图象并运用分类讨论的思想，就可解决问题．【解答】解：在直角坐标系中画出函数y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象，如图所示．当直线y =12x +t 经过（﹣2，0）或与抛物线y ＝﹣x 2+4相切时，直线y =12x +t 与函数y ＝max {﹣x 2+4，x ﹣2，﹣x ﹣2}的图象有且只有3个公共点．①若直线y =12x +t 经过（﹣2，0），则有0=12×（﹣2）+t ，解得t ＝1；②若直线y =12x +t 与抛物线y ＝﹣x 2+4相切，则关于x 的方程12x +t ＝﹣x 2+4即x 2+12x +t ﹣4＝0有两个相等的实数根，则△＝（12）2﹣4×1×（t ﹣4）＝0，解得t =6516．综上所述：t ＝1或6516．故答案为1或6516．。

【学习目标】1 .通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2 .会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3 .会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题；4 .会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 【知识网络】y —or 2（aK0）,y-ar 2+c （a #C ）y=。

（工-A*+上（。

户o ）.y=ar 2+&r+r （a 声0）-F年二次方程与二次函数的关系 _利用三次函数的图豪求二元三次」方程的解刹车距离 最大面积是多少【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果y =2■3是常数，4H0）,那么V 叫做五的二次函数. 要点诠释：如果y=ax'+bx+c （a,b,c 是常数，aWO ）,那么y 叫做x 的二次函数.这里，当a=O 时就不是二次函 数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零.a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质L 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y 二"/；®y=ax 2,③y=工一人『；@y=a （x-hY_ p i~ .其中我二一二，k=————;⑤）7=&/+£次+二.（以上式子aWO ）《二次函数》全章复习与巩固知识讲解（基础）用函数观点看 一元二次方程实际问题与二次函数何时获得最大利润二次函数的概念二次函数的对称轴,顶点坐标二次函数实际问题2a4a几种特殊的二次函数的图象特征如下:2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.⑴［的符号决定抛物线的开口方向：当以>0时，开口向上；当以<0时，开口向下；4相等，抛物线的开口大小、形状相同.（2）平行于v轴（或重合）的直线记作x=h.特别地，丁轴记作直线x=o.3.抛物线y=ar2+bx+c（aWO）中，。

用二次函数的图象求一元二次方程的近似解课标要求会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.中招考点用二次函数图象求一元二次方程的近似解．例1 阅读材料回答问题：有如下一道题：画图求方程22+-=x x 的解.两位同学的解法如下：甲：将方程22+-=x x 化为022=-+x x ，画出22-+=x x y 的图象，观察它与x 轴的交点，得出方程的解．乙：分别画出函数2x y =和2+-=x y 的图象，观察它们的交点， 把交点的横坐标作为方程的解．你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．归纳反思上面甲、乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线2x y =的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，两线交点的横坐标即为方程的解．所以建议同学们以后尽量用乙的方法.例2利用函数的图象，求下列方程的解：（1）0322=-+x x ；（2）02522=+-x x ．解：（1）先把方程化成x 2=-2x+3.如图：在同一直角坐标系中分别画出函数2x y =和32+-=x y 的图象，得到它们的交点（-3，9）和（1，1），则方程0322=-+x x 的解为x=–3或x=1．（2）先把方程02522=+-x x 化为 01252=+-x x ，然后在同一直角坐标系中画出函数2x y =和125-=x y 的图象，如图，得到它们的交点（21，41）和（2，4）， 则方程02522=+-x x 的解为 21，2． 归纳反思一般地，求一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的近似解时，通常先把方程化成a c x a b x --=2的形式，然后在同一直角坐标系中分别画出y=x 2和ac x a b y --=两个函数的图象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解．例3 利用函数的图象，求下列方程组的解： (1)213,22.y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（2）236,2.y x y x x =+⎧⎨=+⎩ 分析：（1）可以通过直接画出函数2321+-=x y 和2x y =的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解；（2）也可以同样解决．解：（1）在同一直角坐标系中画出函数2x y =和2321+-=x y 的图象，如图.得到它们的交点（23-，49）和（1，1）， 则方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=22321x y x y 的解为:12213,1,29 1..4x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩ （2）在同一直角坐标系中画出函数x x y 22+=和63+=x y 的图象，如图.得到它们的交点（-2，0）.（3，15），则方程组⎩⎨⎧+=+=x x y x y 2632的解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=153,022211y x y x ．思考：（2）中的抛物线画出来比较麻烦，你能想出更好的解决此题的方法吗？比如利用抛物线2x y =的图象，请尝试一下．强化练习1．已知二次函数432--=x x y 的图象如图，（1）则方程0432=--x x 的解是 ，（2）不等式0432>--x x 的解集是 ，（3）不等式0432<--x x 的解集是 ．2．利用函数的图象，求方程组22.y x y x =-+⎧⎨=⎩，的解.。

2019中考数学专题练习-利用二次函数图像求一元二次方程的近似根（含解析）一、单选题1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表：﹣﹣若，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1 ， x2的取值范围是（）A. ﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3B. ﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2C. 0＜x1＜1，1＜x2＜2D. ﹣2＜x1＜﹣1，3＜x2＜42.根据下列表格的对应值：）A. 8＜x＜9B. 9＜x＜10 C. 10＜x＜11 D. 11＜x＜123.下列表格是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）A. ﹣2＜x＜﹣2.14B. ﹣2.14＜x＜2.13C. ﹣2.13＜x＜﹣2.12 D. ﹣2.12＜x＜﹣2.114.根据下列表格中的对应值，关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x得范围正确的是（）A. 3＜x＜3.23B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.265.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）上B. 抛物线与y轴交于负半轴C. 当x=3时，y＜D. 方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根6.根据下列表格对应值：判断关于x的方程ax2+bx+c=0 的一个解x的范围是（）A. x＜3.24B. 3.24＜x＜3.25 C. 3.25＜x＜3.26 D. 3.25＜x＜3.287.已知二次函数y=ax2+2ax﹣3的部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+2ax﹣3=0的两个根分别是x1=1.3和x2=（）A. ﹣1.3B. ﹣2.3C. ﹣0.3 D. ﹣3.38.下列表格是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值．由此可以判断方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根在（）A. 6.17~6.18之间B. 6.18~6.19之间 C. 6.19~6.20之间 D. 不确定9.根据下表中二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的对应值：A. 3.23＜x ＜3.24B. 3.24＜x ＜3.25 C. 3.25＜x ＜3.26 D. 不能确定10.根据下列表格对应值：）A. x ＜3.24B. 3.24＜x ＜3.25C. 3.25＜x ＜3.26 D. 3.25＜x ＜3.2811.根据下列表格对应值：A. x ＜3B. x ＜2C. 4＜x ＜5 D. 3＜x ＜412.根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a 、b 、c 为常数）一个解的范围是（ ）A. 3＜x ＜3.23B. 3.23＜x ＜3.24 C. 3.24＜x ＜3.25 D. 3.25＜x ＜3.2613.根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的根的个数是（ ）B. 1C. 2D. 1或214.根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的个数是（）B. 1C. 2D. 1或2二、填空题15.已知二次函数y=﹣x2+2x+m的图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的根为________ ；不等式﹣x2+2x+m＞0的解集是________ ；当x________ 时，y随x的增大而减小．16.我们把一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解看成是抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点的横坐标，如果把方程x2﹣2x﹣3=0适当地变形，那么方程的解还可以看成是函数________与函数________的图象交点的横坐标（写出其中的一对）．17.小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c=0的实数根，作出了如图所示的图象，观察得一个近似根为x1=﹣4.5，则方程的另一个近似根为x2=________ （精确到0.1）．18.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(－3，0)，(2，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是________.19.利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x﹣10=0的根：（1）（2）20.试写出一个二次函数关系式，使它对应的一元二次方程的一个根为0，另一个根在1到2之间：________．21.抛物线y=2x2﹣4x+m的图象的部分如图所示，则关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m=0的解是________．22.根据下列表中的对应值：判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解的取值范围为________ ．三、解答题23.利用函数图象判断方程2x2﹣3x﹣4=0有没有解．若有解，求出它的近似解（精确到0.1）．24.画图求方程x2=﹣x+2的解，你是如何解决的呢？我们来看一看下面两位同学不同的方法．甲：先将方程x2=﹣x+2化为x2+x﹣2=0，再画出y=x2+x﹣2的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解；乙：分别画出函数y=x2和y=﹣x+2的图象，观察它们的交点，并把交点的横坐标作为方程的解．你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．四、综合题25.二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：﹣﹣﹣2（1）当x=3时，y=________ ；（2）当x= 1 时，y有最________ 值为________（3）若点A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）是该二次函数图象上的两点，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，试比较两函数值的大小：y1________ y2（4）若自变量x的取值范围是0≤x≤5，则函数值y的取值范围是________26.画出函数y=﹣2x2+8x﹣6的图象，根据图象回答：（1）方程﹣2x2+8x﹣6=0的解是什么（2）当x取何值时，y＞0（3）当x取何值时，y＜0答案解析部分一、单选题1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表：﹣﹣若，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1 ， x2的取值范围是（）A. ﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3B. ﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2C. 0＜x1＜1，1＜x2＜2D. ﹣2＜x1＜﹣1，3＜x2＜4【答案】A【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】∵，∴﹣1＜m ﹣2＜﹣，＜m ﹣＜1，∴函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点的纵坐标为0．由表中数据可知：y=0在y=m ﹣2与y=m ﹣之间，故对应的x 的值在﹣1与0之间，即﹣1＜x1＜0，y=0在y=m ﹣2与y=m ﹣之间，故对应的x 的值在2与3之间，即2＜x2＜3．故选：A ．【分析】根据函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0两个根的范围．2.根据下列表格的对应值：）A. 8＜x ＜9B. 9＜x ＜10 C. 10＜x ＜11 D. 11＜x ＜12【答案】C【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】依题意得当8＜x ＜12，y 随x 的增大而增大，而﹣0.38＜0＜1.2，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围是10＜x ＜11．故选C ．【分析】根据表格知道8＜x ＜12，y 随x 的增大而增大，而﹣0.38＜0＜1.2，由此即可推出方程ax2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围．3.下列表格是二次函数y=ax2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围是（ ）A. ﹣2＜x ＜﹣2.14B. ﹣2.14＜x ＜2.13C. ﹣2.13＜x ＜﹣2.12 D. ﹣2.12＜x ＜﹣2.11【答案】C【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y=0在y=﹣0.01与y=0.02之间，∴对应的x 的值在﹣2.13与﹣2.12之间，即﹣2.13＜x1＜﹣2.12，故选C ．【分析】根据函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个根的范围．4.根据下列表格中的对应值，关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x得范围正确的是（）A. 3＜x＜3.23B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26【答案】C【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】根据表格可知，ax2+bx+c=0时，对应的x的值在3.24～3.25之间．故选C．【分析】观察表格可知，y随x的增大而增大，ax2+bx+c的值在3.24～3.25之间由负到正，故可判断ax2+bx+c=0时，对应的x的值在3.24～3.25之间．5.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）上B. 抛物线与y轴交于负半轴C. 当x=3时，y＜D. 方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根【答案】C【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】∵由图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），∴二次函数解析式为：y=a（x﹣1）2+3，再将（0，1）点代入得：1=a（﹣1）2+3，解得：a=﹣2，∴y=﹣2（x﹣1）2+3，∵a＜0，∴A，抛物线开口向上错误，故：A错误；,∵y=﹣2（x﹣1）2+3=﹣2x2+4x+1，与y轴交点坐标为（0，1），故与y轴交于正半轴，故：B错误；∵x=3时，y=﹣5＜0，故：C正确；∵方程ax2+bx+c=0，△=16+4×2×1=22＞0，此方程有两个不相等的实数根，故：D．方程有两个相等实数根错误；故选：C．【分析】结合图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），借助（0，1）两点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质．6.根据下列表格对应值：判断关于x的方程ax2+bx+c=0 的一个解x的范围是（）A. x＜3.24B. 3.24＜x＜3.25 C. 3.25＜x＜3.26 D. 3.25＜x＜3.28【答案】B【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根【解析】【解答】由图表可知，ax2+bx+c=0时，3.24＜x＜3.25．故答案为：B．【分析】根据表中数据得到x=3.24时，ax2+bx+c=-0.02＜0；x=3.25时，ax2+bx+c=0.01＞0，于是可判断x在3.24和3.25之间取某一值时，ax2+bx+c=0，由此得到方程ax2+bx+c=0（x≠0）的一个解x的范围。

银川市第四中学互助小组作业设计
班级：小组：姓名：日期：
九年级数学（下）第二章第五节《二次函数与一元二次方程2》
一、学习目标：
1、利用二次函数的图象求一元二次方程近似解.
2、经历探索用二次函数图象求解一元二次方程近似解的过程，体会用二次函数函数图象求一元二次
方程解的方法.
3、通过图象，体会数与形的完美结合，体会解决问题的方法，培养学生合作交流的意识和探索精神.
二、知识回顾：
观察函数图象，完成填空：
1、（1）抛物线y =x2 + 2x - 3与x轴有个交点，
它们的横坐标是；
（2）方程x2+2x-3=0的根是。

2、（1）抛物线y =x2 - 4x + 4与x轴有个交点，
它们的横坐标是；
（2）方程x2 - 4x + 4=0的根是。

三、探索新知：
（1）观察y=x2+2x-10的图象，抛物线与x轴有个交点
(2)你能准确找出方程x2 +2x-10=0的根吗？
（3）由图象可知，方程x2 +2x-10=0有个根，一个根在
和之间，另一个根在和 . （填整数）
（4）估计方程x2+2x-10=0的近似根是。

（精确到0.1）（5）你能用一元二次方程求根公式验证一下，看是否有相同的结果。

四、拓展提高：
（1）请利用下图求x2+2x-10=3的近似根。

（2）你还能利用下图求一元二次方程 x2+2x-10=3的近似根吗？
∙x 3
–6
∙x + 4
y。

2023年中考数学一轮复习专题讲义与练习二次函数和一元二次方程【课标要求】1、会用对立统一的辨证观点，把一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的问题转化为相应的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的相关问题；2、能根据二次函数的图像与x 轴的位置关系判断相应的一元二次方程的根的情况；3、会利用二次函数的图像求出一元二次方程的近似解.4、掌握分析图像的方法，并结合图像解决简单的实际问题. 图像信息题是指由图像（表）来获取信息．从而达到解题目的的题型. 【要点梳理】二次函数与一元二次方程的关系1、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当y ＝0时，就变成了ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．2、一般地，如果二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴有两个公共点（x 1，0），（x 2，0），那么一元二次方程ax 2+bx+c ＝0有两个不相等的实数根x ＝x 1，x ＝x 2，反之亦成立.3、（1）当△＝b 2－4ac ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有＿＿＿个公共点； （2）当△＝b 2－4ac ＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有＿＿＿＿个公共点； （3）当△＝b 2－4ac ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴＿＿＿＿＿公共点．4、二次函数y ＝2ax bx c ++的图像是一条抛物线，这条抛物线的形状（开口方向、开口大小）是由二次项系数a 决定的．a ＞0⇔抛物线的开口向上；a ＜0⇔抛物线的开口向下；|a |相同⇔抛物线的形状相同． 2、抛物线y ＝2ax bx c 与y 轴的交点的位置是由常数项c 决定的．c ＞0⇔抛物线与y 轴相交于正半轴上； c ＝0⇔抛物线与y 轴相交于原点； c ＜0⇔抛物线与y 轴相交于负半轴上．3、抛物线y ＝2ax bx c ++的对称轴的位置是由a 和b 联合决定的．a 与b 同号⇔对称轴在y 轴的左侧；a 与b 异号⇔对称轴在y 轴的右侧；b ＝0⇔对称轴就是y 轴．4、抛物线与x 轴交点的个数由24b ac ∆=-的符号决定的．24b ac -＞0⇔抛物线与x 轴有2个交点； 24b ac -＝0⇔抛物线与x 轴有1个交点； 24b ac -＜0⇔抛物线与x 轴有0个交点．5、解图像信息题的关键是“识图”和“用图”．解这类题的一般步骤是：（1）观察图像，获取有效信息；（2）对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；（3）选择适当的数学工具，通过建模解决问题。

5.6二次函数的图像与一元二次方程教材分析：这节课是在学生学习了二次函数的概念、图象、性质及其相关应用的基础上，让学生继续探索二次函数与一元二次方程的关系，教材通过具体的二次函数的图像与x 轴交点个数的不同创设三个问题，这三个问题对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况.这样，学生结合图像就能直观地对二次函数与一元二次方程的关系有很好的体会；从而得出用二次函数的图象求一元二次方程的方法.教学设想：本节课主要采用自主学习与小组交流两种学习方式，在整节课的教学过程中，要注意循序渐进的认知规律．以前已经学习了一次函数与一元一次不等式的关系和解一元二次方程的代数方法，对旧知识的复习为本节课的学习奠定基础．学习目标：知识与技能：1.经历图象法求解一元二次方程近似值的过程，并体验用图象法解一元二次方程．2.利用二次函数的图象，求一元二次方程的近似值，提高科学估算的能力．过程与方法：经历利用二次函数的图象求出一元二次方程的近似解的过程，培养学生分析问题，解决问题的能力．情感态度和价值观：使学生在数学应用增强自信心，在合作学习中增强集体责任感，加强学生数形结合思想的应用．学习重难点：重点：正确运用函数的图象求出一元二次方程的近似值.难点：从实际问题中抽象出二次函数的模型.课前准备教具准备教师准备PPT课件教学过程：引入新课：问题：比较二次函数的表达式y=x²-2x-3与一元二次方程x²-2x-3=0，你能说出二者之间有什么关系吗？(4)一元二次方程x²-2x-3=0的实根与二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴的交点的横坐标有什么关系？(5)通过以上探索活动，你发现一元二次方程x²-x+1/4=0与二次函数y=x²-x+1/4的图像有什么关系？(6)一般的，如果一元二次方程ax²+bx+c=0有实根，那么该方程的实根与二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的公共点的横坐标有什么关系？归纳总结：如果一元二次方程ax²+bx+c=0有实根，那么二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴有公共点，且公共点的横坐标是这个一元二次方程的实数根；反之，如果二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴有公共点，那么公共点的横坐标就是一元二次方程ax²+bx+c=0的实数根．【设计意图】：对相应的问题组织学生自己独立完成，然后小组讨论得出结论.例题讲解：例2.利用二次函数的图象讨论一元二次方程x2-2x+3=0的根．解:(1)画出二次函数y=x2-2x+3的图象如图.(2)由于图象与x轴没有公共点，所以一元二次方程x2-2x+3=0 没有实根．【设计意图】：通过例题讲解引导学生再一次经历探索过程，有助于对那点的突破，同时激发学生思维的宽度与广度.当堂检测：1．如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3 ,x2=＿＿＿2．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则关于x的方程ax2+bx+c-3=0根的情况是( ) A．有两个同号的实数根B．有两个异号的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根3．已知抛物线y=ax²+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)抛物线与x轴有两个公共点？(2)抛物线与x轴只有一个公共点？(3)抛物线与x轴没有公共点？4．根据下列表格的对应值:判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( )A．3< x < 3.23 B．3.23 < x < 3.24C．3.24 <x< 3.25 D．3.25 <x< 3.265．你能利用二次函数的图象解一元二次方程 x2+2x-10=0的根吗？(1)用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；(2)观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标；由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.3和2.3(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).(3)确定方程x2+2x-10=0的解;由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.课堂小结:二次函数y=ax²+bx+c与一元二次方程ax²+bx+c=0关系：△=b²-4ac≥0 一元二次方程ax²+bx+c=0有实数根抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点△=b²-4ac ＜0一元二次方程ax²+bx+c=0无实数根抛物线y=ax²+bx+c与x轴没有交点作业:课本 P.49第1,2题板书设计:5.6二次函数的图像与一元二次方程引入新课：归纳总结：例1例2。

中考数学专项练习利用二次函数图像求一元二次方程的近似根（含解析）【一】单项选择题1.二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕中，自变量x与函数y的对应值如下表：2假设，那么一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1 ，x2的取值范围是〔〕A.﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3B.﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2C.0＜x1＜1，1＜x2＜2D.﹣2＜x1＜﹣1，3＜x2＜4判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的一个解x的范围是〔〕A.8＜x＜9 B.9＜x＜10 C.10＜x＜11 D.11＜x＜123.以下表格是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的一个解x的范围是〔〕A.﹣2＜x＜﹣2.14B.﹣2.14＜x＜2.13 C.﹣2.13＜x＜﹣2.12 D.﹣2. 12＜x＜﹣2.114.根据以下表格中的对应值，关于x的方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的一个解x得范围正确的选项是〔〕A.3＜x＜3.23B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.265.二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：那么以下判断中正确的选项是〔〕A.抛物线开口向上B.抛物线与y轴交于负半轴C.当x=3时，y＜D.方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根判断关于x的方程ax2+bx+c=0 的一个解x的范围是〔〕A.x＜3.24B. 3.24＜x ＜3.25C. 3.25＜x＜3.26 D. 3.25＜x＜3.287.二次函数y=ax2+2ax﹣3的部分图象〔如图〕，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+2ax﹣3=0的两个根分别是x1=1.3和x2=〔〕A.﹣1.3B.﹣2.3C.﹣0.3D.﹣3.38.以下表格是二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的自变量x与函数y的一些对应值．由此可以判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的一个根在〔〕A. 6.17~6.18之间B. 6. 18~6.19之间C. 6.19~6.20之间 D.不确定判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的一个解x的范围是〔〕A. 3.23＜x＜3.24 B. 3.24＜x＜3.25 C. 3.25＜x＜3.26 D.不能确定判断关于x的方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是〔〕A.x＜3.24B. 3.24＜x ＜3.25C. 3.25＜x＜3.26 D. 3.25＜x＜3.28判断关于x的方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是〔〕A.x＜3B.x＜2C.4＜x＜5D.3＜x＜412.根据以下表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a、b、c为常数〕一个解的范围是〔〕A.3＜x＜3.23B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.2613.根据以下表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c 为常数〕的根的个数是〔〕A.0B.1C.2D.1或214.根据以下表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c 为常数〕的根的个数是〔〕A.0B.1C.2D.1或2【二】填空题15.二次函数y=﹣x2+2x+m的图象如下图，那么关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的根为________；不等式﹣x2+2x+m＞0的解集是_____ ___；当x________时，y随x的增大而减小．16.我们把一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解看成是抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点的横坐标，如果把方程x2﹣2x﹣3=0适当地变形，那么方程的解还可以看成是函数________与函数________的图象交点的横坐标〔写出其中的一对〕．17.小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c=0的实数根，作出了如下图的图象，观察得一个近似根为x1=﹣4.5，那么方程的另一个近似根为x2=________〔精确到0.1〕．18.抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(－3，0)，(2，0)，那么方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是________.19.利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x﹣10=0的根：〔1〕________是方程的一个近似根．〔2〕________ 是方程的另一个近似根．20.试写出一个二次函数关系式，使它对应的一元二次方程的一个根为0，另一个根在1到2之间：________．21.抛物线y=2x2﹣4x+m的图象的部分如下图，那么关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m=0的解是________．判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的一个解的取值范围为________．【三】解答题23.利用函数图象判断方程2x2﹣3x﹣4=0有没有解．假设有解，求出它的近似解〔精确到0.1〕．24.画图求方程x2=﹣x+2的解，你是如何解决的呢？我们来看一看下面两位同学不同的方法．甲：先将方程x2=﹣x+2化为x2+x﹣2=0，再画出y=x2+x﹣2的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解；乙：分别画出函数y=x2和y=﹣x+2的图象，观察它们的交点，并把交点的横坐标作为方程的解．你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．【四】综合题的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：﹣﹣根据表格中的信息，完成以下各题〔1〕当x=3时，y=________；〔2〕当x=1时，y有最________值为________〔3〕假设点A〔x1 ，y1〕、B〔x2 ，y2〕是该二次函数图象上的两点，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，试比较两函数值的大小：y1________y 2〔4〕假设自变量x的取值范围是0≤x≤5，那么函数值y的取值范围是________26.画出函数y=﹣2x2+8x﹣6的图象，根据图象回答：〔1〕方程﹣2x2+8x﹣6=0的解是什么〔2〕当x取何值时，y＞0〔3〕当x取何值时，y＜0【一】单项选择题1.二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕中，自变量x与函数y的对应值如下表：2假设，那么一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1 ，x2的取值范围是〔〕A.﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3B.﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2C.0＜x1＜1，1＜x2＜2D.﹣2＜x1＜﹣1，3＜x2＜4【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】∵，∴﹣1＜m﹣2＜﹣，＜m﹣＜1，∴函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y= ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0．由表中数据可知：y=0在y= m﹣2与y=m﹣之间，故对应的x的值在﹣1与0之间，即﹣1＜x1＜0，y =0在y=m﹣2与y=m﹣之间，故对应的x的值在2与3之间，即2＜x2＜3．应选：A、【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2 +bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0两个根的范围．判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的一个解x的范围是〔〕A.8＜x＜9 B.9＜x＜10 C.10＜x＜11 D.11＜x＜12【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】依题意得当8＜x＜12，y随x的增大而增大，而﹣0. 38＜0＜1.2，∴方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的一个解x的范围是10＜x＜11．应选C、【分析】根据表格知道8＜x＜12，y随x的增大而增大，而﹣0.38＜0＜1.2，由此即可推出方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的一个解x的范围．3.以下表格是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的一个解x的范围是〔〕A.﹣2＜x＜﹣2.14B.﹣2.14＜x＜2.13 C.﹣2.13＜x＜﹣2.12 D.﹣2. 12＜x＜﹣2.11【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+ bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y=0在y=﹣0.01与y=0.02之间，∴对应的x的值在﹣2.13与﹣2.12之间，即﹣2.13＜x1＜﹣2.12，应选C、【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个根的范围．4.根据以下表格中的对应值，关于x的方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的一个解x得范围正确的选项是〔〕A.3＜x＜3.23B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】根据表格可知，ax2+bx+c=0时，对应的x的值在3.2 4～3.25之间．应选C、【分析】观察表格可知，y随x的增大而增大，ax2+bx+c的值在3.24～3.2 5之间由负到正，故可判断ax2+bx+c=0时，对应的x的值在3.24～3.25之间．5.二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：那么以下判断中正确的选项是〔〕A.抛物线开口向上B.抛物线与y轴交于负半轴C.当x=3时，y＜D.方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】∵由图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为〔1，3〕，∴二次函数解析式为：y=a〔x ﹣1〕2+3，再将〔0，1〕点代入得：1=a〔﹣1〕2+3，解得：a=﹣2，∴y=﹣2〔x﹣1〕2+3，∵a＜0，∴A，抛物线开口向上错误，故：A错误；,∵y=﹣2〔x﹣1〕2+3=﹣2x2+4x+1，与y轴交点坐标为〔0，1〕，故与y轴交于正半轴，故：B错误；∵x=3时，y=﹣5＜0，故：C正确；∵方程ax2+bx+c=0，△=16+4×2×1=22＞0，此方程有两个不相等的实数根，故：D、方程有两个相等实数根错误；应选：C、【分析】结合图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为〔1，3〕，借助〔0，1〕两点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质．判断关于x的方程ax2+bx+c=0 的一个解x的范围是〔〕A.x＜3.24B. 3.24＜x ＜3.25C. 3.25＜x＜3.26 D. 3.25＜x＜3.28【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根7.二次函数y=ax2+2ax﹣3的部分图象〔如图〕，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+2ax﹣3=0的两个根分别是x1=1.3和x2=〔〕A.﹣1.3B.﹣2.3C.﹣0.3D.﹣3.3【考点】图象法求一元二次方程的近似根8.以下表格是二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的自变量x与函数y的一些对应值．由此可以判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的一个根在〔〕A. 6.17~6.18之间B. 6. 18~6.19之间C. 6.19~6.20之间 D.不确定【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x 应取对应的范围．应选B、【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的一个解x的范围是〔〕A. 3.23＜x＜3.24 B. 3.24＜x＜3.25 C. 3.25＜x＜3.26 D.不能确定【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】由表可以看出，当x取3.24与3.25之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根．ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为3.24＜x＜3.25．应选：B、【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可．判断关于x的方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是〔〕A.x＜3.24B. 3.24＜x ＜3.25C. 3.25＜x＜3.26 D. 3.25＜x＜3.28【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】由图表可知，ax2+bx+c=0时，3.24＜x＜3.25．应选B、【分析】根据图表数据确定出代数式的值为0的x的取值范围即可．判断关于x的方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是〔〕A.x＜3B.x＜2C.4＜x＜5D.3＜x＜4【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】由图表可知，ax2+bx+c=0时，3＜x＜4．应选D、【分析】根据图表数据确定出代数式的值为0的x的取值范围即可．12.根据以下表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a、b、c为常数〕一个解的范围是〔〕A.3＜x＜3.23B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程a x2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y=0在y=﹣0.02与y=0.03之间，∴对应的x的值在3.24与3.25之间，即3.24＜x＜3.25．应选：C、【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个解的范围．13.根据以下表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c 为常数〕的根的个数是〔〕A.0B.1C.2D.1或2【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】∵当x=6.17时，y=0.02；当x=6.18时，y=﹣0.01；当x=6.19时，y=0.02；∴方程的一个根在6.17﹣6.18之间，另一个根在6.18﹣6.19之间，应选C、【分析】由表格中的对应值可得出，方程的一个根在6.17﹣6.18之间，另一个根在6.18﹣6.19之间．14.根据以下表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c 为常数〕的根的个数是〔〕A.0B.1C.2D.1或2【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】∵当x=6.17时，y=0.02；当x=6.18时，y=﹣0.01；当x=6.19时，y=0.02；∴方程的一个根在6.17～6.18之间，另一个根在6.18～6.19之间．应选C、【分析】由表格中的对应值可得出，方程的一个根在6.17～6.18之间，另一个根在6.18～6.19之间．【二】填空题15.二次函数y=﹣x2+2x+m的图象如下图，那么关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的根为________；不等式﹣x2+2x+m＞0的解集是_____ ___；当x________时，y随x的增大而减小．【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】解：∵对称轴为x=1，一个根为3，∴=1，∴x=﹣1，∴﹣x2+2x+m=0的根为x1=﹣1，x2=3，∴不等式﹣x2+2x+m＞0的解集是﹣1＜x＜3，当x＞1时，y随x的而减小．【分析】根据二次函数y=﹣x2+2x+m的图象可以得到其对称轴和与x轴一个交点，由此可以得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后就可得m的值，那么解方程就能求得一元二次方程的解，可得到函数与x轴的交点，那么x轴上方的函数图象所对应的x的取值即为不等式﹣x2+2x+m＞0的解集，对称轴的右侧，y随x的增大而减小．16.我们把一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解看成是抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点的横坐标，如果把方程x2﹣2x﹣3=0适当地变形，那么方程的解还可以看成是函数________与函数________的图象交点的横坐标〔写出其中的一对〕．【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】解：∵x2﹣2x﹣3=0可以变为x2=2x+3，∴x2﹣2x﹣3 =0的解还可以看成是函数y=x2与函数y=2x+3的图象交点的横坐标．【分析】由于一个方程组的解即是组成方程组的两个函数的图象的交点坐标，所以抛物线x2﹣2x﹣3=0可看作两个函数组合而成，而将y=x2和y=2 x+3相减即可得到x2﹣2x﹣3=0，所以方程的解还可以看成是函数y=x2与函数y=2x+3的图象交点的横坐标．17.小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c=0的实数根，作出了如下图的图象，观察得一个近似根为x1=﹣4.5，那么方程的另一个近似根为x2=_ _______〔精确到0.1〕．【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】解：由函数图象可知，此函数的对称轴为x=﹣1，设函数的另一根为x，那么=﹣1，解得x=2.5．【分析】由函数的图象可求出函数的对称轴方程，再根据对称轴与方程两根之间的关系建立起方程，求出未知数的值即可．18.抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(－3，0)，(2，0)，那么方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是________.【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根19.利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x﹣10=0的根：〔1〕________是方程的一个近似根．〔2〕________ 是方程的另一个近似根．【考点】图象法求一元二次方程的近似根20.试写出一个二次函数关系式，使它对应的一元二次方程的一个根为0，另一个根在1到2之间：________．【考点】图象法求一元二次方程的近似根21.抛物线y=2x2﹣4x+m的图象的部分如下图，那么关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m=0的解是________．【考点】图象法求一元二次方程的近似根判断方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的一个解的取值范围为________．【考点】图象法求一元二次方程的近似根【三】解答题23.利用函数图象判断方程2x2﹣3x﹣4=0有没有解．假设有解，求出它的近似解〔精确到0.1〕．描点，连线，画出函数y=2x2﹣3x﹣4的图象，如答图所示，故方程2x2﹣3x﹣4=0的解为x1≈﹣0.8，x2≈1.8．【考点】图象法求一元二次方程的近似根24.画图求方程x2=﹣x+2的解，你是如何解决的呢？我们来看一看下面两位同学不同的方法．甲：先将方程x2=﹣x+2化为x2+x﹣2=0，再画出y=x2+x﹣2的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解；乙：分别画出函数y=x2和y=﹣x+2的图象，观察它们的交点，并把交点的横坐标作为方程的解．你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【分析】利用函数图象求一元二次方程的解的方法，从画图角度比较两种方法即可．【四】综合题的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：﹣﹣根据表格中的信息，完成以下各题〔1〕当x=3时，y=________；〔2〕当x=1时，y有最________值为________〔3〕假设点A〔x1 ，y1〕、B〔x2 ，y2〕是该二次函数图象上的两点，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，试比较两函数值的大小：y1________y 2〔4〕假设自变量x的取值范围是0≤x≤5，那么函数值y的取值范围是________【考点】图象法求一元二次方程的近似根26.画出函数y=﹣2x2+8x﹣6的图象，根据图象回答：〔1〕方程﹣2x2+8x﹣6=0的解是什么〔2〕当x取何值时，y＞0〔3〕当x取何值时，y＜0【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【分析】利用描点连线的方法画出函数y=﹣2x2+8x﹣6的图象．再根据图象判断函数的增减性．。

研究运用二次函数求解一元二次方程的解叶荣彦摘要：在初中的数学内容中，不仅二次函数的知识点以及一元二次方程非常重要，而且它们之间的关系也是需要掌握重要的知识点。

可以利用这一关系，从而实现运用二次函数求解一元二次方程的解，如果初中生能很好地掌握这些知识，则对考试将非常有帮助。

因此，在本文中，首先简要介绍了二次函数以及一元二次方程之间的关系，然后分析了解题思路，并对具体的案例进行解析。

关键词：二次函数；求解；一元二次方程在初中的第二年，开始学习“二次函数以及一元二次方程，这一时候可以发现尽管两者之间存在很大的不同点，但是也存在着一定的共同点，因此可以借助这一点来一次函数来求解一元一次方程的解。

也就是说，可以使用一次函数的图像来解决一元一次方程相关的问题，使用图像来求解这一问题，可以直观且方便的得出答案。

遵循类似的研究哲学，可以自然地考虑二次函数的图像是否也可以用于解决一元二次方程式的问题，并提供直观且方便的解决途径。

一、理解二次函数以及一元二次方程之间的关系（一）二次函数以及一元二次方程的含义通常初中的数学教学中，形式为y=ax2+bx+c（a≠0）（a，b以及c均为常数）的函数称为二次函数。

同时，这种表达式的a、b、c、x以及y分别被称为二次系数、线性系数、常数项、自变量以及因变量。

等号的右侧最大的自变量需要小于等于2。

同时，二次函数还包括顶点表达式y=a（x-h）2+k（a≠0）（a、h、k都为常数）以及两个根表达式y=a（x-x1）（x-x2）。

在一元二次方程当中，一元代表着方程的未知数只有一个，而二次代表着未知项的最高阶是2。

将两者结合起来的方程就叫做一元二次方程。

该方程可以表示成ax2+bx+c=0（a≠0），这是一元二次方程标准的形式。

（二）二次函数与一元二次方程之间的关系如前所述，从形式上看，二次函数以及一元二次方程相互之间存在十分密切的关系。

将二次函数的因变量设置为0，则会生成一元二次方程。