第2课时一元二次方程的根及近似解

第2课时一元二次方程的根及近似解【知识与技能】会进行简单的一元二次方程的试解.【过程与方法】根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目.【情感态度】理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力.【教学重点】判定一个数是否是方程的根.【教学难点】会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义.一、情境导入，初步认识学生活动：请同学独立完成下列问题.问题1：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？设梯子底端距墙为xm，那么，根据题意，可得方程为x2+82=102.整理，得x2-36=0.列表：问题2：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为xm，则长为（x+2）m.根据题意，得x（x+2）=120.整理，得x2+2x-120=0.列表：【教学说明】通过列表计算使学生了解一元二次方程的解，确定未知数的大致范围.二、思考探究，获取新知提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？（2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？（1）问题1中x=6是x2-36=0的解；问题2中，x=10是x2+2x-120=0老师点评：的解.（2）如果抛开实际问题，问题1中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解.为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的情况区别，我们也称一元二次方程的解叫做一元二次方程的根.回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是-6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也不满足题意.【教学说明】由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解.三、运用新知，深化理解1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把它代入等式，看它是否能使等式两边相等即可.解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2014(a+b+c)的值.分析:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这一点同学们要深刻理解.3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x2-64=0（2）3x2-6=0（3）x2-3x=0分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义来求解.4.x（x-1）=2的两根为（D）A.x1=0，x2=1B.x1=0，x2=-1C.x1=1，x2=2D.x1=-1，x2=25.方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（B）A.x1=b，x2=aB.x1=b，x2=1/aC.x1=a，x2=1/aD.x1=a2，x2=b26.如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1= 9 ，x2= -9 .7.如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值.解：由已知，得a+b=-3，原式=（a+b）2=（-3）2=98.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根.解：由题意可知：a+c=b，a-b+c=0，把x=-1代入原方程，得ax2+bx+c=a×（-1）2+b×（-1）+c=a-b+c=0∴-1必是该方程的一个根.9.在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（21xx-）2-2×21xx-+1=0，令21xx-=y，则有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法）解决小明给出的问题：求（x2-1）2+（x2-1）=0的根.解：设y=x2-1，则y2+y=0，y1=0，y2=-1，当x2-1=0时，x1=1，x2=-1；当x2-1=-1时，x3=x4=0.∴x1=1，x2=-1，x3=x4=0是原方程的根.【教学说明】让学生先独立完成，而后将不会的问题同各小组交流讨论得出结果.四、师生互动，课堂小结本节课应掌握：1.一元二次方程根的概念；2.一个数是否是一元二次方程的根的判断方法；3.求一元二次方程的根的方法.1.布置作业：教材“习题2.2”第1、2题.2.完成练习册中相应练习.本节课通过列表计算使学生了解一元二次方程的解，确定未知数的大致范围，从而会进行简单的一元二次方程的解的计算.。

第2課時一元二次方程的解及其估算1．經歷一元二次方程的解或近似解的探索過程，增進對方程解的認識；(重點)2．會用“夾逼法”估算方程的解，培養學生的估算意識和能力．(難點)一、情景導入在上一課時情境導入中，苗圃的寬滿足方程x(x＋2)＝120，你能求出該方程的解嗎？二、合作探究探究點一：一元二次方程的解下列哪些數是方程x2－6x＋8＝0的根？0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.解析：把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分別代入方程x2－6x＋8＝0中，發現當x＝2和x＝4時，方程x2－6x＋8＝0成立，所以x＝2，x＝4是方程x2－6x＋8＝0的根．解：2，4是方程x2－6x＋8＝0的根．方法總結：(1)使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根．(2)判斷一個數是否為某個一元二次方程的根，我們只需要將這個數當作未知數的值分別代入原方程的左右兩邊，看左右兩邊代數式的值是否相等，若相等，則這個數是一元二次方程的根；若不相等，則這個數不是一元二次方程的根．探究點二：估算一元二次方程的近似解請求出一元二次方程x2－2x－1＝0的正數根(精確到0.1)．解析：先列表取值，初步確定正數根x在哪兩個整數之間，然後再用類似的方法逐步確定出x的近似正數根．解：(1)列表，依次取x＝0，1，2，3，…x 0123…x2－2x－－1－2－12…1由上表可發現，當2＜x＜3時，－1＜x2－2x－1＜2；(2)繼續列表，依次取x＝2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，…x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5…x2－2x－－0.79－0.56－0.31－0.040.25…1由上表可發現，當2.4＜x＜2.5時，－0.04＜x2－2x－1＜0.25；(3)取x＝2.45，則x2－2x－1≈0.1025.∴2.4＜x＜2.45，∴x≈2.4.方法總結：(1)利用列表法估算一元二次方程根的取值範圍的步驟是：首先列表，利用未知數的取值，根據一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數，a≠0)分別計算ax2＋bx＋c的值，在表中找到使ax2＋bx＋c可能等於0的未知數的大致取值範圍，然後再進一步在這個範圍內取值，逐步縮小範圍，直到所要求的精確度為止．(2)在估計一元二次方程根的取值範圍時，當ax2＋bx＋c(a≠0)的值由正變負或由負變正時，x的取值範圍很重要，因為只有在這個範圍內，才能存在使ax2＋bx＋c＝0成立的x的值，即方程的根．三、板書設計一元二次方程的解的估算，採用“夾逼法”：(1)先根據實際問題確定其解的大致範圍；(2)再通過列表，具體計算，進行兩邊“夾逼”，逐步獲得其近似解．“估算”在求解實際生活中一些較為複雜的方程時應用廣泛．在本節課中讓學生體會用“夾逼”的思想解決一元二次方程的解或近似解的方法．教學設計上，強調自主學習，注重合作交流，在探究過程中獲得數學活動的經驗，提高探究、發現和創新的能力.。

第2课时利用二次函数解一元二次方程【知识与技能】能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.【过程与方法】经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验.【情感态度】通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识.【教学重点】能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根【教学难点】探索方程与函数之间关系的过程.一、情景导入，初步认知上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y=0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可.但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算.本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根二、思考探究，获取新知探究：利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根.下图是函数y=x2+2x-10的图象.从图象上来看，二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴交点的横坐标一个在-5与-4 之间，另一个在2与3之间，所以方程x2+2x-10=0的两个根一个在-5与-4之间，另一个在2与3之间.这只是大概范围，究竟更接近于哪一个数呢？请大家讨论解决.这四个数进行计算，利用计算器进行计算.从上表可知，x=-4.3是方程的一个近似根.有了上面的分析和结果，求另一个近似根就不困难了，请大家继续. 还有其他的方法吗？可以把-5与-4之间的线段十等分，再判断交点更接近于哪一个分点.如上题中的两个根可以这样求：【教学说明】经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验.三、运用新知，深化理解利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.解：画出函数y=x2+2x-13的图象.由图可知，图象与x轴的两个交点的横坐标中，一个在-5与-4之间，一个在2与3之间，因此两个根分别为负4点几和2点几，下面用计算器进行探索.因此x=-4.7是方程的一个近似根.另一个根可以类似地求出：因此x=2.7是方程的另一个近似根.【教学说明】经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得了用图象法求方程近似根的体验.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.1.布置作业：教材“习题”中第1题.2.完成练习册中本课时的练习.本节课的知识比较简单，关键是计算，一定要强调学生计算要仔细.。

21第2课时一元二次方程的解及其估算一元二次方程是一类非常重要的代数方程，它的一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，且a≠0。

在这篇文章中，我们将探讨一元二次方程的解及其估算的方法。

一、一元二次方程的基本解法解一元二次方程的常用方法有两种：配方法和公式法。

（一）配方法通过配方法，我们可以将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，并通过求解平方根来求得方程的解。

首先，我们将方程ax² + bx + c = 0两边同时除以a，得到x² + (b/a)x + c/a = 0。

然后，我们通过求取b²/4a²，将方程中的二次项系数和常数项进行配平：x²+(b/a)x+b²/4a²-b²/4a²+c/a=0。

接下来，我们将x²+(b/a)x+b²/4a²这一部分进行完全平方的处理，并将b²/4a²-b²/4a加入到方程中，得到：(x + b/2a)² = b² - 4ac/4a²。

最后，我们对这个等式的两边同时开平方根来求解x的值，即可得到方程的解。

（二）公式法解一元二次方程的另一种常用方法是公式法，我们称之为一元二次方程的求根公式。

根据求根公式，一元二次方程ax² + bx + c = 0的解为：x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)。

通过带入方程的系数，我们可以直接计算得到方程的解。

需要注意的是，当b² - 4ac小于0时，方程没有实数解，而有两个共轭复数解。

二、一元二次方程解的估算在实际问题中，我们有时需要对一元二次方程的解进行估算。

这可以通过数值方法来实现，包括二分法、割线法和牛顿法等。

（一）二分法二分法是一种迭代逼近解的方法。

具体步骤如下：1.选取一个区间[a,b]，该区间满足方程在a和b处的函数值异号。

第2课时用估算法求一元二次方程的近似解1．能根据实际问题求一元二次方程的近似解．2．经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力．3．进一步提高学生分析问题的能力，培养学生大胆尝试的精神，体验学习数学的乐趣，培养学生的合作学习意识．重点经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解．难点探索一元二次方程的近似解．一、情境导入教师：在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程：(8－2x)(5－2x)＝18，即2x2－13x＋11＝0；(x＋6)2＋72＝102，即x2＋12x－15＝0.上一节课的两个问题是否已经得以完全解决？你能求出各方程中x的值吗？这节课我们一起来研究一元二次方程的解．二、探究新知教师：对于前一节课第一个问题，你能设法估计四周末铺地毯部分的宽度x(m)吗？课件出示一元二次方程(8－2x)(5－2x)＝18，提出问题：(1)x可能小于0吗？可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由，并与同伴进行交流．(2)根据题目的已知条件，你能确定x的大致范围吗？(3)完成下表：x 0 0.5 1 1.5 2 2.52x2－13x＋11(4)你知道所求的宽度x()是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴进行交流．分析：因为x表示的是所求的宽度，学生能意识到x不可能小于0；学生大多数能够从实际情况出发，意识到当x大于4或当x大于2.5时，将分别使地毯的长或宽小于0，不符合实际情况；学生在利用计算器对表格中的数据进行计算的过程中发现，当x＝1时，代数式2x2－13x＋11的值等于0；所求的宽度为1 m.教师：在前一节课的问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x＋6)2＋72＝102，把这个方程化为一般形式为x2＋12x－15＝0.引导学生思考以下问题：(1)小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗？为什么？(2)底端滑动的距离可能是2 m吗？可能是3 m吗？为什么？(3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？(4)x的整数部分是几？十分位是几？学生思考后指名回答，教师进一步讲解：在此题中，梯子滑动的距离x＞0是显而易见的，在下图中，求得BC＝6 m，而BD＜10m，因此CD＜4 m．所以x的取值范围是0＜x＜4.x 0 1 2 3 4x2＋12x－15 －15 －2 13 30 49x的取值是1和2时，所对应代数式的值是－2和13，而且随着x的取值越大，相应代数式的值也越大．因此若想使代数式的值为0，那么x的取值应在1和2之间．从而确定x的整数部分是1.教师启发引导学生在1和2之间继续找方程的解．学生可能有以下的做法．甲同学的做法：x 1 1.5 2x2＋12x－15 －2 5.25 13所以1＜x＜进一步计算：x 1.1 1.2 1.3 1.4x2＋12x－15 －0.59 0.84 2.29 3.76所以1.1＜x＜1.2.因此x的整数部分是1，十分位是1.x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 x2＋12x－15 －0.59 0.84 2.29 3.76 5.25 6.76 8.29因此x的整数部分是1，十分位是1.注意：对于这两种做法，教师要及时地给与肯定和鼓励，并可将二者加以比较．教师：在解决某些实际问题的时候，可以根据实际情况确定出方程的解的大致范围，进而估算出一元二次方程的近似根．一般采用“夹逼法”．采用“夹逼法”求近似值的一般步骤：(1)将方程变为一元二次方程的一般形式；(2)根据实际情况确定方程的解的大致范围；(3)根据方程的解的大致范围，在这个范围内取一个整数值，然后把这个值代入方程左边的代数式进行验证，看是否能使方程左边代数式的值为0，如果为0，则这个数是方程的解；如果不为0，则再找出一个使方程左边的值最接近于0但小于0的整数，这个数就是方程的解的整数部分；(4)保留整数部分不变，小数部分可参照整数部分的方法进行，以此类推可得出该方程更准确的近似根．三、练习巩固五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和．你能求出这五个整数分别是多少吗？四、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．利用“夹逼法”求近似解的一般步骤是什么？五、课外作业教材第35页习题2.2第1～3题．本节课通过日常生活中丰富有趣的问题情境让学生感受方程是刻画现实世界的有效数学模型，体会“夹逼”数学思想在现实生活中随处可见，让学生真正经历“夹逼”数学思想解题的过程，从而更好地理解“夹逼”思想解一元二次方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．由学生探索交流，分析此种方法的优缺点，从而概括出这种方法的实质及解题步骤，这既给学生提供了一个充分从事数学活动的机会，又体现了学生是数学学习的主人的理念．学生亲身经历了知识的形成过程，不但改变了以往学生死记硬背的学习方式，而且在教学活动中培养了学生自主探索、合作交流等良好的学习习惯．本节课多次组织学生合作交流，通过小组合作，为学生提供展示自己聪明才智的机会，在此过程中，教师发现了学生在分析问题和解决问题时出现的独到见解，以及思维的误区，这样使得老师可以更好地指导今后的教学．2 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和性质第2课时 二次函数y =a （x +h ）2的图象和性质教学目标：1．使学生能利用描点法画出二次函数y ＝a(+h)2的图象。