利用函数的图象求一元二次方程近似根

图象法求一元二次方程的近似根（2013•开阳县校级模拟）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2=（）A．﹣1.6B．3.2C．4.4D．以上都不对【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】压轴题．【分析】根据图象知道抛物线的对称轴为x=3，根据抛物线是轴对称图象和已知条件即可求出x2．【解答】解：由抛物线图象可知其对称轴为x=3，又抛物线是轴对称图象，∴抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1，x2，那么两根满足2×3=x1+x2，而x1=1.6，∴x2=4.4．故选C．【点评】此题主要利用抛物线是轴对称图象的性质确定抛物线与x轴交点坐标，是一道较为简单的试题．利用二次函数的图象，求下列一元二次方程的近似根．（1）x2+11x=9；（2）x2+3x+2=0；（3）x2+2x﹣9=0；（4）x2+3=3x．【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】数形结合．【分析】（1）画抛物线y=x2+11x和直线y=9，它们的交点的横坐标为所求；（2）画抛物线y=x2+3x+2，抛物线与x轴的交点的横坐标为所求；（3）画抛物线y=x2+2x﹣9，抛物线与x轴的交点的横坐标为所求；（4）画抛物线y=x2﹣3x+3，抛物线与x轴没有交点，说明方程没有实数解．【解答】解：（1）如图1：方程的近似根为x1=0.8，x2=﹣11.8；（2）如图2：方程的根为x1=﹣1.0，x2=﹣2.0；（3）如图3：方程的近似根为x1=﹣4.2，x2=2.2；（4）如图4：方程没有实数解．【点评】本题考查了利用二次函数图象求一元二次方程的近似根：作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的．（2012•富平县模拟）小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数y=x2+2x﹣10的图象，由图象可知，方程x2+2x﹣10=0有两个根，一个在﹣5和﹣4之间，另一个在2和3之间．利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（）x﹣4.1﹣4.2﹣4.3﹣4.4y﹣1.39﹣0.76﹣0.110.56A．﹣4.1B．﹣4.2C．﹣4.3D．﹣4.4【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】压轴题；探究型．【分析】当y等于0时，x的值即为方程x2+2x﹣10=0的一个根，分析题干中的表格，方程的解应为y最接近0时x的值．【解答】解：当x由﹣4.1向﹣4.3变换过程中y值一直在增大，并越来越接近0，当x=﹣4.4时，y值大于0，则方程的一个根在﹣4.3和﹣4.4之间，x=﹣4.3时的y值比x=﹣4.4时更接近0，所以方程的一个近似根为：﹣4.3．故选C．【点评】当y等于0时等到的x值即为方程x2+2x﹣10=0的解．分析题干中的表格，取y值最接近0时x的值作为方程的近似解．（2012•福州质检）方程x2+3x﹣1=0的根可看作是函数y=x+3的图象与函数y=的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x3﹣x﹣1=0的实数根x0所在的范围是（）A．﹣1＜x0＜0B．0＜x0＜1C．1＜x0＜2D．2＜x0＜3【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】压轴题．【分析】所给方程不是常见的方程，两边都除以x以后再转化为二次函数和反比例函数，画出相应函数的图象即可得到实数根x0所在的范围．【解答】解：方程x3﹣x﹣1=0，∴x2﹣1=，∴它的根可视为y=x2﹣1和y=的交点的横坐标，当x=1时，x2﹣1=0，=1，交点在x=1的右边，当x=2时，x2﹣1=3，=，交点在x=2的左边，又∵交点在第一象限．∴1＜x0＜2，故选C．【点评】本题考查了运用图象法求一元二次方程的近似根，难度中等．解决本题的关键是得到所求的方程为一个二次函数和一个反比例函数的解析式的交点的横坐标．（2011•安徽模拟）先阅读下列表格x… 1.1 1.2 1.3 1.4…x2+12x﹣15…﹣0.590.84 2.29 3.76…由表格可知方程x2+12x﹣15=0的正根的十分位是（）A．0B．1C．2D．3【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】压轴题．【分析】由图表可以得出x2+12x﹣15＜0，以及x2+12x﹣15＞0时对应的x的值，进而得出答案即可．【解答】解：由图表可以得出x2+12x﹣15=﹣0.59时，x由一个值为1.1，x2+12x﹣15=0.84时，x由一个值为1.2，可得出x2+12x﹣15=0的正根一定位于1.1与1.2之间，故方程x2+12x﹣15=0的正根的十分位是：1，故选：B．【点评】此题主要考查了图表法求一元二次方程的近似值，根据已知得出x2+12x﹣15=0的正根一定位于1.1与1.2之间是解题关键．（2009•连云港模拟）下列表格是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）x﹣2.14﹣2.13﹣2.12﹣2.11y=ax2+bx+c﹣0.03﹣0.010.020.04A．﹣2＜x＜﹣2.14B．﹣2.14＜x＜2.13C．﹣2.13＜x＜﹣2.12D．﹣2.12＜x＜﹣2.11【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】压轴题．【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个根的范围．【解答】解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y=0在y=﹣0.01与y=0.02之间，∴对应的x的值在﹣2.13与﹣2.12之间，即﹣2.13＜x1＜﹣2.12，故选C．【点评】掌握函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c=0的根的关系是解决此题的关键所在．（2006•南通）根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0，可列表如下：则方程x2+px+q=0的正数解满足（）x00.51 1.1 1.2 1.3x2+px+q﹣15﹣8.75﹣2﹣0.590.84 2.29A．解的整数部分是0，十分位是5B．解的整数部分是0，十分位是8C．解的整数部分是1，十分位是1D．解的整数部分是1，十分位是2【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】压轴题．【分析】仔细看表，可知x2+px+q的值﹣0.59和0.84最接近于0，再看对应的x的值即可得．【解答】解：根据表中函数的增减性，可以确定函数值是0时，x应该是大于1.1而小于1.2．所以解的整数部分是1，十分位是1．故选：C．【点评】本题考查二次函数和一元二次方程的关系．根据下表，确定方程ax2+bx+c=0的一个解的取值范围是（）x2 2.23 2.24 2.25ax2+bx+c﹣0.05﹣0.020.030.07A．2＜x＜2.23B．2.23＜x＜2.24C．2.24＜x＜2.25D．2.24＜x≤2.25【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】计算题；压轴题．【分析】将方程ax2+bx+c=0的解理解为函数y=ax2+bx+c当y=0时与x轴交点的横坐标，再解答．【解答】解：∵对于函数y=ax2+bx+c，当x=2.23时y＜0，当x=2.24时y＞0，可见，x取2.23与2.24之间的某一值时，y=0，则方程ax2+bx+c=0的一个解的取值范围是2.23＜x＜2.24．故选B．【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟悉函数与方程的关系式解题的关键．（2010•上饶校级模拟）二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：x…﹣3﹣20135…y…70﹣8﹣9﹣57…①抛物线的顶点坐标为（1，﹣9）；②与y轴的交点坐标为（0，﹣8）；③与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（2，0）；④当x=﹣1时，对应的函数值y为﹣5．以上结论正确的是①②④．【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】计算题；压轴题．【分析】由上表得与y轴的交点坐标为（0，﹣8）；与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）；函数图象有最低点（1，﹣9）；有抛物线的对称性可得出可得出与x轴的另一个交点坐标为（4，0）；当x=﹣1时，对应的函数值y为﹣5．从而可得出答案．【解答】解：根据上表可画出函数的图象，由图象可得，①抛物线的顶点坐标为（1，﹣9）；②与y轴的交点坐标为（0，﹣8）；③与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）；④当x=﹣1时，对应的函数值y为﹣5．故答案为：①②④．【点评】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，锻炼了学生数形结合的思想方法．（2005•贵阳）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=﹣3.3．【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】压轴题．【分析】先根据图象找出函数的对称轴，得出x1和x2的关系，再把x1=1.3代入即可得x2．【解答】解：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣1，﹣3.2），则对称轴为x=﹣1；所以=﹣1，又因为x1=1.3，所以x2=﹣2﹣x1=﹣2﹣1.3=﹣3.3．故答案为：﹣3.3【点评】考查二次函数和一元二次方程的关系．（2005•三明）已知二次函数y=x2+px+q（p，q为常数，△=p2﹣4q＞0）的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且A，B两点间的距离为d，例如，通过研究其中一个函数y=x2﹣5x+6及图象（如图），可得出表中第2行的相关数据．（1）在表内的空格中填上正确的数；（2）根据上述表内d与△的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想；（3）对于函数y=x2+px+q（p，q为常数，△=p2﹣4q＞0）证明你的猜想．聪明的小伙伴：你能再给出一种不同于（3）的正确证明吗？我们将对你的出色表现另外奖励3分．y=x2+px+q p q△x1x2dy=x2﹣5x+6﹣561231y=x2﹣x﹣y=x2+x﹣2﹣2﹣23【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】压轴题．【分析】（1）p为一次项系数；q为二次函数的常数项；△为b2﹣4ac；一根为常数项÷另一根；d为较大根于较小根之差；（2）代入相关值后可得相关量之间的关系；（3）令y=0，得出x1+x2=﹣p，x1•x2=q．继而推出d2=（|x1﹣x2|）2=△【解答】解：（1）易得第三行q=0，x1=0，d=；第四行为p=1，△=9，x2=1；（2）猜想：d2=△．例如：y=x2﹣x﹣2中；p=﹣1，q=﹣2，△=9；由x2﹣x﹣2=0得x1=2，x2=﹣1，d=3，d2=9，∴d2=△；（3）证明．令y=0，得x2+px+q=0，∵△＞0设x2+px+q=0的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣p，x1•x2=q，d2=（|x1﹣x2|）2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=（﹣p）2﹣4q=p2﹣4q=△，【点评】本题考查二次函数的性质的综合运用，需注意可根据具体的数值得到相应的量之间的关系．（2015•广州校级模拟）小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x=﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（）A．4.4B．3.4C．2.4D．1.4【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】根据一元二次方程的一个近似根，得到抛物线与x轴的一个交点，根据抛物线的对称轴，求出另一个交点坐标，得到方程的另一个近似根．【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣3.4，0），又抛物线的对称轴为：x=﹣1，∴另一个交点坐标为：（1.4，0），则方程的另一个近似根为1.4，故选：D．【点评】本题考查的是用图象法求一元二次方程的近似根，掌握二次函数的对称性和抛物线与x轴的交点与一元二次方程的解的关系是解题的关键．（2012秋•平和县期中）观察下列表格，求一元二次方程x2﹣x=1.1的一个近似解是（）x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9x2﹣x0.110.240.390.560.750.96 1.19 1.44 1.71A．0.11B．1.6C．1.7D．1.19【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】设y=x2﹣x，根据表格，可以看出y=x2﹣x在区间【1.1，1.9】上是增函数，根据函数是单调性，来确定一元二次方程x2﹣x=1.1的一个近似解．【解答】解：令y=x2﹣x，根据表格，可以看出y=x2﹣x在区间【1.1，1.9】上是增函数，∴当x2﹣x=1.1，即y=1.1时，y=x2﹣x的值域是【0.96，1.19】上，它对应的定义域是【1.6，1.7】，∵与0.96相比，y=1.1更接近于1.19，∴方程x2﹣x=1.1的定义域更接近于1.7．故选C【点评】本题的考查的是二次函数与一元二次方程，在解题过程中，根据表格，来判断函数的单调性，然后根据单调性来解答问题．（2011•花都区一模）已知关于x的方程有一个正的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜0B．k＞0C．k≤0D．k≥0【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】首先由，可得：k=x3+x，然后由关于x的方程有一个正的实数根，可得k的取值范围．【解答】解：∵，∴k=x3+x，∵关于x的方程有一个正的实数根，∴x＞0，∴k＞0．故选B．【点评】此题考查了方程根与方程的关系．注意用x表示出k的值是解此题的关键．（2005•浙江）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（）x 3.23 3.24 3.253.26ax2+bx+c﹣0.06﹣0.020.030.09A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个解的范围．【解答】解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y=0在y=﹣0.02与y=0.03之间，∴对应的x的值在3.24与3.25之间，即3.24＜x＜3.25．故选：C．【点评】掌握函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c=0的根的关系是解决此题的关键所在．（2011秋•大荔县期末）根据下列表格中的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的自变量x与函数y的对应值，判断ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为（）x 1.43 1.44 1.45 1.46y=ax2+bx+c﹣0.095﹣0.0460.0030.052A．1.40＜x＜1.43B．1.43＜x＜1.44C．1.44＜x＜1.45D．1.45＜x＜1.46【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】仔细看表，可发现y的值﹣0.046和0.003最接近0，再看对应的x的值即可得．【解答】解：由表可以看出，当x取1.44与1.45之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根．ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.44＜x＜1.45．故选C【点评】本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．（2015秋•荣成市校级期中）已知二次函数y=ax2+2ax﹣3的部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+2ax﹣3=0的两个根分别是x1=1.3和x2=（）A．﹣1.3B．﹣2.3C．﹣0.3D．﹣3.3【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】根据图象与x轴的交点坐标关于对称轴对称，可得答案．【解答】解：由二次函数y=ax2+2ax﹣3的部分图象，得对称轴是x=﹣1，x1与x2关于对称轴对称，1.3﹣（﹣1）=﹣1﹣x2，解得x2=﹣3.3．故选：D．【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，利用图象与x轴的交点坐标关于对称轴对称是解题关键．（2015秋•普兰店市校级期中）根据下列表格的对应值：x 3.23 3.24 3.25 3.26y=ax2+bx+c﹣0.06﹣0.08﹣0.030.09判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解为x的取值范围是（）A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个解的范围．【解答】解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y=0在y=﹣0.03与y=0.09之间，对应的x的值在3.25与3.26之间，即3.25＜x＜3.26．故选：D．【点评】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，是中考的热点问题之一．掌握函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c=0的根的关系是解决此题的关键．（2015秋•福安市校级期中）根据下列表格对应值：x345ax2+bx+c0.5﹣0.5﹣1判断关于x的方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是（）A．x＜3B．x＜2C．4＜x＜5D．3＜x＜4【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】根据图表数据确定出代数式的值为0的x的取值范围即可．【解答】解：由图表可知，ax2+bx+c=0时，3＜x＜4．故选D．【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据图表信息确定出代数式的值为0的x的取值范围是解题的关键．（2013秋•海宁市期中）二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：x…0134…y…242﹣2…则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=﹣1时y＞0D．方程ax2+bx+c=0的负根在0与﹣1之间【考点】图象法求一元二次方程的近似根；二次函数的性质．【分析】利用表格中数据得出抛物线对称轴以及对应坐标轴交点，进而根据图表内容找到方程ax2+bx+c=0即y=0时x的值取值范围，得出答案即可．【解答】解；A、由图表中数据可得出：x=1.5时，y有最大值，故此函数开口向下，故此选项错误；B、∵x=0时，y=2，故抛物线与y轴交于正半轴，故此选项错误；C、当x=﹣1时与x=4时对应y值相等，故y＜0，故此选项错误；D、∵y=0时，﹣1＜x＜0，∴方程ax2+bx+c=0的负根在0与﹣1之间，此选项正确．故选；D．【点评】本题考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解，解答该题时，充分利用了二次函数图象的对称性得出是解题关键．（2012•贵港一模）根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的个数是（）x 6.176.18 6.196.20y=ax2+bx+c0.02﹣0.010.020.04A．0B．1C．2D．1或2【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】计算题．【分析】由表格中的对应值可得出，方程的一个根在6.17﹣6.18之间，另一个根在6.18﹣6.19之间．【解答】解：∵当x=6.17时，y=0.02；当x=6.18时，y=﹣0.01；当x=6.19时，y=0.02；∴方程的一个根在6.17﹣6.18之间，另一个根在6.18﹣6.19之间，故选C．【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，当函数值由正变为负或由负变为正时，方程的根在这两个自变量之间．（2012•西陵区校级模拟）根据下列表格的对应值：x89101112ax2+bx+c﹣4.56﹣2.01﹣0.38 1.2 3.4判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）A．8＜x＜9B．9＜x＜10C．10＜x＜11D．11＜x＜12【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】根据表格知道8＜x＜12，y随x的增大而增大，而﹣0.38＜0＜1.2，由此即可推出方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围．【解答】解：依题意得当8＜x＜12，y随x的增大而增大，而﹣0.38＜0＜1.2，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是10＜x＜11．故选C．【点评】此题主要考查了抛物线的增减性，利用抛物线的增减来确定抛物线与x轴交点的坐标的可能位置．（2012•富平县模拟）小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数y=x2+2x﹣10的图象，由图象可知，方程x2+2x﹣10=0有两个根，一个在﹣5和﹣4之间，另一个在2和3之间．利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（）x﹣4.1﹣4.2﹣4.3﹣4.4y﹣1.39﹣0.76﹣0.110.56A．﹣4.1B．﹣4.2C．﹣4.3D．﹣4.4【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】压轴题；探究型．【分析】当y等于0时，x的值即为方程x2+2x﹣10=0的一个根，分析题干中的表格，方程的解应为y最接近0时x的值．【解答】解：当x由﹣4.1向﹣4.3变换过程中y值一直在增大，并越来越接近0，当x=﹣4.4时，y值大于0，则方程的一个根在﹣4.3和﹣4.4之间，x=﹣4.3时的y值比x=﹣4.4时更接近0，所以方程的一个近似根为：﹣4.3．故选C．【点评】当y等于0时等到的x值即为方程x2+2x﹣10=0的解．分析题干中的表格，取y值最接近0时x的值作为方程的近似解．（2012•福州质检）方程x2+3x﹣1=0的根可看作是函数y=x+3的图象与函数y=的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x3﹣x﹣1=0的实数根x0所在的范围是（）A．﹣1＜x0＜0B．0＜x0＜1C．1＜x0＜2D．2＜x0＜3【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】压轴题．【分析】所给方程不是常见的方程，两边都除以x以后再转化为二次函数和反比例函数，画出相应函数的图象即可得到实数根x0所在的范围．【解答】解：方程x3﹣x﹣1=0，∴x2﹣1=，∴它的根可视为y=x2﹣1和y=的交点的横坐标，当x=1时，x2﹣1=0，=1，交点在x=1的右边，当x=2时，x2﹣1=3，=，交点在x=2的左边，又∵交点在第一象限．∴1＜x0＜2，故选C．【点评】本题考查了运用图象法求一元二次方程的近似根，难度中等．解决本题的关键是得到所求的方程为一个二次函数和一个反比例函数的解析式的交点的横坐标．（2012•思明区质检）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表：x…﹣2﹣101234…y…m﹣2m m﹣2…若，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2的取值范围是（）A．﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3B．﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2C．0＜x1＜1，1＜x2＜2D．﹣2＜x1＜﹣1，3＜x2＜4【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0两个根的范围．【解答】解：∵，∴﹣1＜m﹣2＜﹣，＜m﹣＜1，∴函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0．由表中数据可知：y=0在y=m﹣2与y=m﹣之间，故对应的x的值在﹣1与0之间，即﹣1＜x1＜0，y=0在y=m﹣2与y=m﹣之间，故对应的x的值在2与3之间，即2＜x2＜3．故选：A．【点评】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似值，掌握函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c=0的根的关系是解决此题的关键所在．（2012秋•昆山市期末）根据下表中二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对应值：x 3.23 3.24 3.25 3.26y﹣0.06﹣0.020.030.09判断方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的范围是（）A．3.23＜x＜3.24B．3.24＜x＜3.25C．3.25＜x＜3.26D．不能确定【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可．【解答】解：由表可以看出，当x取3.24与3.25之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根．ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为3.24＜x＜3.25．故选：B．【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，掌握用表格的方式求函数的值的范围是本题的关键．（2012秋•温岭市校级期末）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0的近似解为（）A．x1≈﹣2.1，x2≈0.1B．x1≈﹣2.5，x2≈0.5C．x1≈﹣2.9，x2≈0.9D．x1≈﹣3，x2≈1【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】先测估计出对称轴右侧图象与x轴交点的横坐标，再利用对称轴x=﹣1，可以算出左侧交点横坐标．【解答】解：依题意得二次函数y=ax2+bx+c的部分图象的对称轴为x=﹣1，而对称轴右侧图象与x轴交点与原点的距离，约为0.5，∴x1=0.5；又∵对称轴为x=﹣1，则=﹣1，∴x2=2×（﹣1）﹣0.5=﹣2.5．故x1≈﹣2.5，x2≈0.5．故选：B．【点评】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要估计图象估计出一个解，再根据对称性计算出另一个解，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，必须估计尽量准确．（2012秋•沙坪坝区校级期中）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：x…﹣1013…y…﹣3131…则方程ax2+bx+c=0的正根介于（）A．3与4之间B．2与3之间C．1与2之间D．0与1之间【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】根据图表内容找到方程ax2+bx+c=0即y=0时x的值取值范围，进而得出答案即可．【解答】解：根据图表所示知：方程ax2+bx+c=0的正根即为y=0时对应x的正值，利用图表可以得出：二次函数对称轴为x=，当x=0时，y=1，当x=3时，y=1，当x=4时，y=﹣3，则方程ax2+bx+c=0的正根介于：3与4之间，故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解，解答该题时，充分利用了二次函数图象的对称性得出是解题关键．（2011•花都区一模）已知关于x的方程有一个正的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜0B．k＞0C．k≤0D．k≥0【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】首先由，可得：k=x3+x，然后由关于x的方程有一个正的实数根，可得k的取值范围．【解答】解：∵，∴k=x3+x，∵关于x的方程有一个正的实数根，∴x＞0，∴k＞0．故选B．【点评】此题考查了方程根与方程的关系．注意用x表示出k的值是解此题的关键．（2011秋•大荔县期末）根据下列表格中的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的自变量x与函数y的对应值，判断ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为（）x 1.43 1.44 1.45 1.46y=ax2+bx+c﹣0.095﹣0.0460.0030.052A．1.40＜x＜1.43B．1.43＜x＜1.44C．1.44＜x＜1.45D．1.45＜x＜1.46【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】仔细看表，可发现y的值﹣0.046和0.003最接近0，再看对应的x的值即可得．【解答】解：由表可以看出，当x取1.44与1.45之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根．ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.44＜x＜1.45．故选C【点评】本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．（2011秋•晋江市期末）根据下列表格中的对应值：判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c 为常数）一个解x的范围最可能是（）x0.750.80.850.9ax2+bx+c﹣0.25﹣0.040.190.44A．x＜0.75B．0.75＜x＜0.8C．0.8＜x＜0.85D．0.85＜x＜0.9【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【专题】图表型．【分析】从表格中的数据可以看出，当x=0.8时，y=﹣0.04；当x=0.85时，y=0.19，函数值由负数变为正数，此过程中存在方程ax2+bx+c=0的一个根．【解答】解：∵当x=0.8时，y=﹣0.04；当x=0.85时，y=0.19，∴方程ax2+bx+c=0的一个根应在0.8﹣0.85之间，故选C．【点评】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，是中考的热点问题之一．。

图象法求一元二次方程的近似值例1．（2017.兰州）下表是一组二次函数y=x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：x 1 1.1 1.2 1.3 1.4y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16那么方程x2+3x﹣5=0的一个近似根是（）A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可．【解答】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5=0的一个近似根为1.2，故选C【点评】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．例2．（2017.徐州模拟）二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4【分析】如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+mx 与直线y=t的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．【解答】解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，当x=1时，y=3，当x=5时，y=﹣5，由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，∴﹣5＜t≤4．故答案为D．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，画出图象是解决问题的关键，属于中考选择题中的压轴题．例3．（2017.山西模拟）小李同学在求一元二次方程﹣2x2+4x+1=0的近似根时，先在直角坐标系中使用软件绘制了二次函数y=﹣2x2+4x+1的图象（如图），接着观察图象与x轴的交点A和B的位置，然后得出该一元二次方程两个根的范围是﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，小李同学的这种方法主要运用的数学思想是（）A．公理化B．类比思想C．数形结合D．模型思想【分析】结合图象解答题目，属于数形结合的数学思想．【解答】解：根据函数解析式得到函数图象，结合函数图象得到抛物线与x轴交点的大体位置，属于数学结合的数学思想．故选：C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．例4．（2015.吴兴区一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）x …﹣1 0 1 2 …y …﹣3 1 3 1 …A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=3时，y＞0 D．方程ax2+bx+c=0的正根在2与3之间【分析】结合图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），借助（0，1）两点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质．【解答】解：∵由图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），∴二次函数解析式为：y=a（x﹣1）2+3，再将（0，1）点代入得：1=a（﹣1）2+3，解得：a=﹣2，∴y=﹣2（x﹣1）2+3，∵a＜0∴A，抛物线开口向上错误，故A错误；∵y=﹣2（x﹣1）2+3=﹣2x2+4x+1，与y轴交点坐标为（0，1），故与y轴交于正半轴，故B错误；∵当x=3时，y=﹣5＜0，故C错误；∵方程ax2+bx+c=0，△=16+4×2×1=22＞0，此方程有两个不相等的实数根，由表正根在2和3之间；故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解，解答该题时，充分利用了二次函数图象的对称性得出是解题关键．例5．（2017.渠县一模）如图，是二次函数y=ax2+bx﹣c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx=c 的两个根可能是．（精确到0.1）【分析】直接利用抛物线与x 轴交点的位置估算出两根的大小．【解答】解：由图象可知关于x 的一元二次方程ax2+bx=c的两个根可能是：x 1=0.8，x2=3.2合理即可．故答案为：x1=0.8，x2=3.2合理即可．【点评】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似值，正确利用函数图象是解题关键．6．（2017.通州区二模）小东根据学习函数的经验，对函数y=﹣x的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：（1）函数y=﹣x的自变量x的取值范围是x≠0；（2）下表是y与x的几组对应值，求m的值；x …﹣4 ﹣3﹣2﹣﹣1﹣ 1 2 3 4 …y …﹣﹣m …（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第二象限内的最低点的坐标是（﹣2，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）当x＞0时，y随x的增大而减小．（5）根据函数图象估算方程﹣x=2的根为x1=﹣3.8，x2=﹣1.8．（精确到0.1）【分析】（1）根据分母不为零分式有意义，可得答案；（2）根据自变量与函数值得对应关系，可得答案；（3）根据描点法画函数图象，可得答案；（4）根据图象的变化趋势，可得答案；（5）根据图象，可得答案．【解答】解：（1）函数y=﹣x的自变量x的取值范围是：x≠0，故答案为：x≠0；（2）把x=4代入y=﹣x得，y=﹣×4=﹣，∴m=﹣，（3）如图所示，（4）当x＞0时，y随x的增大而减小；故答案为当x＞0时，y随x的增大而减小；（5）由图象，得x1=﹣3.8，x2=﹣1.8．故答案为：x1=﹣3.8，x2=﹣1.8．【点评】本题考查了函数的性质，利用描点法画函数图象，利用图象得出函数的性质是解题关键．。

数学《二次函数》优秀教案数学《二次函数》优秀教案数学《二次函数》优秀教案1 教学目的〔一〕教学知识点1、可以利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根、2、进一步开展估算才能、〔二〕才能训练要求1、经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验、2、利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想、〔三〕情感与价值观要求通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，进步估算才能、教学重点1、经历探究二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联络、2、可以利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根、教学难点利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根、教学方法学生合作交流学习法、教具准备投影片三张第一张：〔记作§2、8、2A〕第二张：〔记作§2、8、2B〕第三张：〔记作§2、8、2C〕教学过程Ⅰ、创设问题情境，引入新课[师]上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y=0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可、但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进展估算、本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根、数学《二次函数》优秀教案2 教学目的〔一〕教学知识点1、经历探究二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联络、2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根、3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h〔h是实数〕交点的横坐标、〔二〕才能训练要求1、经历探究二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探究才能和创新精神、2、通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想、3、通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识、〔三〕情感与价值观要求1、经历探究二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探究与创造，感受数学的严谨性以及数学结论确实定性、2、具有初步的创新精神和理论才能、教学重点1、体会方程与函数之间的联络、2、理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根、3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h〔h是实数〕交点的横坐标、教学难点1、探究方程与函数之间的联络的过程、2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系、教学方法讨论探究法、教具准备投影片二张第一张：〔记作§2、8、1A〕第二张：〔记作§2、8、1B〕教学过程Ⅰ、创设问题情境，引入新课[师]我们学习了一元一次方程kx+b=0〔k≠0〕和一次函数y=kx+b〔k≠0〕后，讨论了它们之间的关系、当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数y=kx+b〔k≠0〕的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解、数学《二次函数》优秀教案3 一.学习目的1.经历对实际问题情境分析^p 确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义。

用图象法求一元二次方程的根学习了二次函数之后，可以利用图象求一元二次方程的根。

下面介绍几种具体的方法： 方法一：直接画出函数y=ax2+bx+c 的图象，则图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根.其步骤一般为：（1）作出二次函数y=ax2+bx+c 的图象；（2）观察图象与x 轴交点的个数；（3）若图象与x 轴有交点，估计出图象与x 轴交点的横坐标即可得到一元二次方程的近似根.方法二：先将方程变形为ax2+bx=-c ，再在同一坐标系中画出抛物线y=ax2+bx 和直线y=-c 的图象，则图象交点的横坐标就是方程的根.方法三：可将方程化为a c x ab x ++2=0，移项后为a c x ab x --=2.设y=x2和y=a cx a b --，在同一坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=a cx ab --的图象，则图象交点的横坐标就是方程的根.这种方法显然要比方法一快捷得多，因为画抛物线远比画直线困难得多.例：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图1所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根． （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围． （4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．解：（1）观察图象，抛物线与x 轴交于两点（1，0）、（3，0）故方程20ax bx c ++=的两个根11x =，23x = .（2）不等式20ax bx c ++>，反映在函数图象上，应为图象在x 轴上方的部分，因此不等式20ax bx c ++>的解集应为13x <<.（3）因为抛物线的对称轴为x=2且开口向下，所以在对成轴的右侧y 随x 的增大而减小故自变量x 的取值范围为2x >（4）若使方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，也就是抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象与直线y=k 有2个不同的交点，观察图象可知抛物线的顶点的纵坐标为2，所以只有当2k <才能满足条件.点评：可以看到二次函数2(0)y ax bx c a =++≠和方程20ax bx c ++=及不等式20ax bx c ++>之间都有密切的联系。

专题22.4 二次函数与一元二次方程【六大题型】【人教版】【题型1 抛物线与x 轴的交点情况】....................................................................................................................1【题型2 抛物线与x 轴交点上的四点问题】........................................................................................................3【题型3 由二次函数解一元二次方程】................................................................................................................6【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】....................................................................................9【题型5 由二次函数的图象解不等式】..............................................................................................................11【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】 (13)【题型1 抛物线与x 轴的交点情况】【例1】（2022春•西湖区校级期末）抛物线y ＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）+mx +n 与x 轴只有一个交点（x 1，0）．下列式子中正确的是（ ）A．x1﹣x2＝m B．x2﹣x1＝m C．m（x1﹣x2）＝n D．m（x1+x2）＝n【分析】由抛物线与x轴只有一个交点（x1，0）可得抛物线顶点式，从而可得x1，x2与m的关系．【解答】解：∵抛物线经过（x1，0），且抛物线与x轴只有一个交点，∴抛物线顶点坐标为（x1，0），y＝（x﹣x1）2，∴x2﹣2x1x+x21=（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n＝x2﹣（x1+x2﹣m）x+x1x2+n，∴x1+x2﹣m＝2x1，即x2﹣x1＝m，故选：B．【变式1-1】（2022春•澧县校级月考）抛物线y＝x2+2x﹣3与坐标轴的交点个数有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】由b2﹣4ac的大小可判断抛物线与x轴交点个数，由c的大小可判断抛物线与y轴的交点，进而求解．【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3，∴a＝1，b＝2，c＝﹣3，∴b2﹣4ac＝22+12＝16＞0，∴抛物线与x轴有2个交点，∵c＝﹣3，∴抛物线与y轴交点为（0．﹣3），∴抛物线与坐标轴有3个交点，故选：D．【变式1-2】（2022•广阳区一模）已知抛物线y＝﹣3x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m﹣2，n），B（m+4，n），则n的值为（ ）A．﹣9B．﹣16C．﹣18D．﹣27【分析】根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是直线x＝m+1．故设抛物线解析式为y＝﹣3（x﹣m ﹣1）2，直接将A（m﹣2，n）代入，通过解方程来求n的值．【解答】解：∵抛物线y＝﹣3x2+bx+c过点A（m﹣2，n）、B（m+4，n），∴对称轴是直线x＝m+1，又∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，∴顶点为（m+1，0），∴设抛物线解析式为y＝﹣3（x﹣m﹣1）2，把A（m﹣2，n）代入，得：n＝﹣3（m﹣2﹣m﹣1）2＝﹣27，即n＝﹣27．故选：D．【变式1-3】（2022春•汉滨区期中）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为x ＝3，则抛物线的顶点P关于x轴对称的点P'的坐标是（ ）A．（3，9）B．（3，﹣9）C．（﹣3，9）D．（﹣3，﹣9）【分析】根据抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6．对称轴为直线x＝3，可以得到b、c的值，然后即可得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点P的坐标，然后根据关于x 轴对称的点的特点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点P关于x轴的对称点的坐标．【解答】解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6，对称轴为直线x＝3，=3，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，−b2×1∴（﹣b）2﹣4×c＝36，b＝﹣6，解得：c＝0，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，∴顶点P的坐标为（3，﹣9），∴点P关于x轴的对称点的坐标是（3，9），故选：A．【题型2 抛物线与x轴交点上的四点问题】【例2】（2022•武汉模拟）二次函数与一元二次方程有着紧密的联系，一元二次方程问题有时可以转化为二次函数问题．请你根据这句话所提供的思想方法解决如下问题：若s，t（s＜t）是关于x的方程1+（x﹣m）（x﹣n）＝0的两根，且m＜n，则m，n，s，t的大小关系是（ ）A．s＜m＜n＜t B．m＜s＜n＜t C．m＜s＜t＜n D．s＜m＜t＜n【分析】由y＝（x﹣m）（x﹣n）可得抛物线与x轴交点坐标为（m，0），（n，0），开口向上，则抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与直线y＝﹣1的交点坐标为（s，﹣1），（t，﹣1），从而可得m，n，s，t 的大小关系．【解答】解：由1+（x﹣m）（x﹣n）＝0可得（x﹣m）（x﹣n）＝﹣1，由y＝（x﹣m）（x﹣n）可得抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点坐标为（m，0），（n，0），抛物线开口向上，则抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与直线y＝﹣1的交点在x轴下方，坐标为（s，﹣1），（t，﹣1），∴m＜s＜t＜n．故选：C．【变式2-1】（2022•定远县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是（ ）A．x1＜﹣1＜5＜x2B．x1＜﹣1＜x2＜5C．﹣1＜x1＜5＜x2D．﹣1＜x1＜x2＜5【分析】方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根即为抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣3交点的横坐标，据此可判断选项．【解答】解：令y＝a（x+1）（x﹣5），则抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与y＝ax2+bx+c形状相同、开口方向相同，且与x轴的交点为（﹣1，0）、（5，0），函数图象如图所示，由函数图象可知方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根即为抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣3交点的横坐标，∴x1＜﹣1＜5＜x2，故选：A．【变式2-2】（2022•张店区期末）已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0），方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的两根分别为m，n（m＜n），方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的两根分别为p，q（p＜q），判断m，n，p，q的大小关系是（ ）A．p＜q＜m＜n B．p＜m＜n＜q C．m＜p＜q＜n D．m＜n＜p＜q【分析】在平面直角坐标系中画出二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）的图象，再作出直线y ＝1，y＝3，它们与抛物线交于A，B和C，D，分别过交点作x轴的垂线，则垂足对应的数值为题干中方程的根，利用数形结合的方法即可得出结论．【解答】解：在平面直角坐标系中画出二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）的图象如下图：作直线y＝1与抛物线y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）交于A，B，分别经过A，B作x轴的垂线，垂足对应的数值分别为m，n，∴m，n是方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的两根；作直线y＝3与抛物线y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）交于C，D，分别经过AC，D作x轴的垂线，垂足对应的数值分别为p，q，∴p，q是方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的两根．由图象可知m，n，p，q的大小关系是：p＜m＜n＜q．故选：B．【变式2-3】（2022•河东区期末）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别α，β（α＜β），而x2+bx+c﹣2＝0的两根为M、N（M＜N），则α、β、M、N的大小顺序为（ ）A．α＜β＜M＜N B．M＜α＜β＜N C．α＜M＜β＜N D．M＜α＜N＜β【分析】依题意画出函数y＝（x﹣α）（x﹣β）和y＝2的图象草图，根据二次函数的图象可直接求解．【解答】解：依题意，画出函y＝（x﹣α）（x﹣β）的图象，如图所示．函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为α，β（α＜β），方程x2+bx+c﹣2＝0的两根是抛物线y＝（x﹣α）（x﹣β）与直线y＝2的两个交点．由M＜N，可知对称轴左侧交点横坐标为M，右侧为N．由图象可知，M＜α＜β＜N，故选：B．【题型3 由二次函数解一元二次方程】【例3】（2022•娄底一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（ ）A．﹣2或4B．﹣2或0C．0或4D．﹣2或5【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点求对称轴，后面两个方程二次项、一次项系数没变，所以两根的和也不变还是2．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（3，0）与（﹣1，0）两点，∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为3和﹣1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣3，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，如图，∵0＜n＜m，∴﹣m＞﹣m，∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，∴直线y＝﹣n与y＝ax2+bx+c的交点的横坐标为﹣2，4，∴这关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，是﹣2或4，故选：A．【变式3-1】（2022•潮南区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是　x1＝﹣1，x2＝3　．【分析】利用二次函数y＝ax2﹣2ax+c的解析式求得抛物线的顶点坐标，利用抛物线的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点，再利用抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系得出结论．【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+c，=1．∴抛物线的对称轴为直线x=−−2a2a∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴该抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）．∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是：x1＝﹣1，x2＝3．故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．【变式3-2】（2022•咸宁一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的y与x的部分对应值如下表：x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣46则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是　x1＝﹣4，x2＝1　．【分析】由抛物线经过点（﹣5，6），（2，6）可得抛物线对称轴，根据抛物线对称性及抛物线经过（﹣4，0）求解．【解答】解：由抛物线经过点（﹣5，6），（2，6）可得抛物线抛物线对称轴为直线x=−522=−32，∵抛物线经过（﹣4，0），对称轴为直线x=−32，∴抛物线经过（1，0），∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣4，x2＝1．故答案为：x1＝﹣4，x2＝1．【变式3-3】（2022•永嘉县校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（ ）A．5B．7C．12D．﹣7【分析】先由二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，求出b、c，再把b、c代入方程﹣x2+bx+c+d＝0后，由方程的根是6求出d．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，∴−1−b+c=0−25+5b+c=0，解得：b=4 c=5，将b＝4，c＝5代入方程﹣x2+bx+c+d＝0，可得：﹣x2+4x+5+d＝0，又∵关于x的方程﹣x2+4x+5+d＝0有两个根，其中一个根是6，∴把x＝6代入方程﹣x2+4x+5+d＝0，得：﹣36+4×6+5+d＝0，解得：d＝7，经验证d＝7时，Δ＞0，符合题意，∴d＝7．故选：B．【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】【例4】（2022•平度市期末）如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解为（ ）x… 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5…y…﹣1.39﹣0.76﹣0.110.56 1.25…A．2.2B．2.3C．2.4D．2.5【分析】根据函数值，可得一元二次方程的近似根．【解答】解：如图：x＝2.3，y＝﹣0.11，x＝2.4，y＝0.56，x2+2x﹣10＝0的一个近似根是2.3．故选：B．【变式4-1】（2022•灌云县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是　6.18＜x＜6.19　．x 6.17 6.18 6.19 6.20y﹣0.03﹣0.010.020.04【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可．【解答】解：由表格数据可得，当x＝6.18时，y＝﹣0.01，当x＝6.19时，y＝0.02，于是可得，当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为6.18＜x＜6.19，故答案为：6.18＜x＜6.19．【变式4-2】（2022•渠县一模）如图，是二次函数y＝ax2+bx﹣c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx＝c的两个根可能是　x1＝0.8，x2＝3.2合理即可　．（精确到0.1）【分析】直接利用抛物线与x 轴交点的位置估算出两根的大小．【解答】解：由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2+bx ＝c 的两个根可能是：x 1＝0.8，x 2＝3.2合理即可．故答案为：x 1＝0.8，x 2＝3.2合理即可．【变式4-3】（2022秋•萍乡期末）代数式ax 2+bx +c （a ≠0，a ，b ，c 是常数）中，x 与ax 2+bx +c 的对应值如下表： x ﹣1−12 0121 322 523ax 2+bx +c﹣2−141742741−14 ﹣2请判断一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 是常数）的两个根x 1，x 2的取值范围是下列选项中的（ ）A ．−12＜x 1＜0，32＜x 2＜2B ．﹣1＜x 1＜−12，2＜x 2＜52C ．−12＜x 1＜0，2＜x 2＜52D ．﹣1＜x 1＜−12，32＜x 2＜2【分析】观察表格可知，在x ＜1时，随x 值的增大，代数式ax 2+bx +c 的值逐渐增大，x 的值在−12～0之间，代数式ax 2+bx +c 的值由负到正，故可判断ax 2+bx +c ＝0时，对应的x 的值在−12～0之间，在x ＞1时，随x 的值增大，代数式ax 2+bx +c 逐渐减小，x 的值在2～52之间，代数式ax 2+bx +c 的值由正到负，故可判断ax 2+bx +c ＝0时，对应的x 的值在2～52之间，【解答】解：根据表格可知，代数式ax 2+bx +c ＝0时，对应的x 的值在−12～0和2～52之间，即：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是常数）的两个根x1，x2的取值范围是−12＜x1＜0，2＜x2＜52故选：C．【题型5 由二次函数的图象解不等式】【例5】（2022秋•垦利区期末）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为（ ）A．x＞﹣1B．x＜3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣3或x＞1【分析】由抛物线与直线交点横坐标确定直线在抛物线上方时x的取值范围．【解答】解：∵A（﹣1，p），B（3，q），∴﹣1＜x＜3时，直线在抛物线上方，即﹣1＜x＜3时，ax2+c＜mx+n，∴不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为﹣1＜x＜3．故选：C．【变式5-1】（2022•定远县二模）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…请求出当y＜0时x的取值范围　x＜﹣2或x＞3　．【分析】把点（0，6）代入求出c，把点（﹣1，4）和（1，6）代入抛物线的解析式列方程组，解出可得a、b，即可得抛物线的解析式，进而可列不等式求出y＜0时x的取值范围．【解答】解：由表得，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6），∴c＝6，∵抛物线y＝ax2+bx+6过点（﹣1，4）和（1，6），∴a−b+6=4a+b+6=6，解得：a=−1 b=1，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+x+6，所以令﹣x2+x+6＜0，解得：x＜﹣2或x＞3．故答案为：x＜﹣2或x＞3．【变式5-2】（2022•工业园区校级模拟）若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式a（x+2）2+b（x+2）+c＜0的解集为　x＜﹣1或x＞1　．【分析】根据图象可得x＜1或x＞3时ax2+bx+c＜0，则a（x+2）2+b（x+2）+c＜0时x+2＜1或x+2＞3，进而求解．【解答】解：由图象可得x＜1或x＞3时ax2+bx+c＜0，∴当a（x+2）2+b（x+2）+c＜0时，x+2＜1或x+2＞3，解得x＜﹣1或x＞1，故答案为：x＜﹣1或x＞1．【变式5-3】（2022•驿城区校级期末）如图，二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与y轴交于点C，点B是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．则满足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范围是（ ）A．x≤1或x≥4B．1≤x≤4C．x≤1或x≥5D．1≤x≤5【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线x＝2，从而可得点B横坐标，进而求解．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m，∴抛物线对称轴为直线x＝2，∵点B和点C关于直线x＝2对称，∴点B横坐标为4，∵点A横坐标为1，∴1≤x≤4时，kx+b≥x2﹣4x+m，故选：B．【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】【例6】（2022•虞城县三模）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）．（1）若抛物线与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点．①求抛物线和直线的函数解析式；②直接写出当a（x﹣2）2+c＞mx+n时自变量x的取值范围．（2）若a＝c，线段AB的两个端点坐标分别为A（0，3），B（3，3），当抛物线与线段AB有唯一公共点时，直接写出a的取值范围．【分析】（1）①利用待定系数法求解析式即可，②抛物线开口向上，数形结合直接写出答案；（2）结合抛物线和线段AB，分情况讨论求a的取值范围．【解答】解：（1）①∵抛物线y＝a（x﹣2）2+c与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点，∴a+c=09a+c=8，m+n=05m+n=8，解得a=1c=−1，m=2n=−2，∴抛物线和直线的函数解析式分别为y＝（x﹣2）2﹣1，y＝2x﹣2．②∵a＞0，抛物线开口向上，抛物线与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点，∴当a（x﹣2）2+c＞mx+n时自变量x的取值范围为x＜1或x＞5．（2）若a＝c，则抛物线y＝a（x﹣2）2+a（a＞0），∴开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，a），当抛物线顶点在线段AB上时有唯一公共点，此时a＝3，当抛物线顶点在线段AB下方时，当经过B（3，3）时，a+a＝3，解得a=32，当经过A（0，3）时，4a+a＝3，解得a=35，∴当抛物线与线段AB有唯一公共点时，a的取值范围为35≤a＜32或a＝3．【变式6-1】（2022•余姚市一模）已知：一次函数y1＝2x﹣2，二次函数y2＝﹣x2+bx+c（b，c为常数），（1）如图，两函数图象交于点（3，m），（n，﹣6）．求二次函数的表达式，并写出当y1＜y2时x的取值范围．（2）请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由．【分析】（1）将（3，m），（n，﹣6）代入直线解析式求出点坐标，然后通过待定系数法求解，根据图象可得y1＜y2时x的取值范围．（2）﹣x2+bx+c＝2x﹣2，由Δ＝0求解．【解答】解：（1）将（3，m）代入y1＝2x﹣2得m＝6﹣2＝4，将（n，﹣6）代入y1＝2x﹣2得﹣6＝2n﹣2，解得n＝﹣2，∴抛物线经过点（3，4），（﹣2，﹣6），将（3，4），（﹣2，﹣6）代入y2＝﹣x2+bx+c得4=−9+3b+c−6=−4−2b+c，解得b=3 c=4，∴y＝﹣x2+3x+4，由图象可得﹣2＜x＜3时，抛物线在直线上方，∴y1＜y2时x的取值范围是﹣2＜x＜3．（2）令﹣x2+bx+c＝2x﹣2，整理得x2+（2﹣b）x﹣（2+c）＝0，当Δ＝（2﹣b）2+4（2+c）＝0时，两函数图象只有一个公共点，∴b＝2，c＝﹣2，满足题意．【变式6-2】（2022•河南模拟）小新对函数y＝a|x2+bx|+c（a≠0）的图象和性质进行了探究．已知当自变量x的值为0或4时，函数值都为﹣3；当自变量x的值为1或3时，函数值都为0．探究过程如下，请补充完整．（1）这个函数的表达式为　y＝|x2﹣4x|﹣3　；（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质：　函数关于直线x＝2对称　；（3）进一步探究函数图象并解决问题：①直线y＝k与函数y＝a|x2+bx|+c有三个交点，则k＝　1　；②已知函数y＝x﹣3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式a|x2+bx|+c≤x﹣3的解集：　x＝0或3≤x≤5　．【分析】（1）将x＝0，y＝﹣3；x＝4，y＝﹣3；x＝1，y＝0代入y＝a|x2+bx|+c（a≠0），得到：c＝﹣3，b＝﹣4，a＝1，即可求解析式为y＝|x2﹣4x|﹣3；（2）描点法画出函数图象，函数关于x＝2对称；（3）①从图象可知：当x＝2时，y＝1，k＝1时直线y＝k与函数y＝|x2﹣4x|﹣3有三个交点；②y＝x﹣3与y＝x2﹣4x﹣3的交点为x＝0或x＝5，结合图象，y＝|x2﹣4x|﹣3≤x﹣3的解集为3≤x≤5．【解答】解：（1）将x＝0，y＝﹣3；x＝4，y＝﹣3；x＝1，y＝0代入y＝a|x2+bx|+c（a≠0），得到：c＝﹣3，b＝﹣4，a＝1，∴y＝|x2﹣4x|﹣3，故答案为：y＝|x2﹣4x|﹣3；（2）如图：函数关于直线x＝2对称，故答案为：函数关于直线x＝2对称；（3）①当x＝2时，y＝1，∴k＝1时直线y＝k与函数y＝|x2﹣4x|﹣3有三个交点，故答案为1；②y＝x﹣3与y＝|x2﹣4x|﹣3的交点为x＝0或x＝3，结合图象，y＝|x2﹣4x|﹣3≤x﹣3的解集为x＝0或3≤x≤5，故答案为：x＝0或3≤x≤5．x+t与函数y＝【变式6-3】（2022•海珠区一模）令a、b、c三个数中最大数记作max{a，b，c}，直线y=12 max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象有且只有3个公共点，则t的值为　1或65　．16【分析】只需画出函数y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象，然后结合图象并运用分类讨论的思想，就可解决问题．【解答】解：在直角坐标系中画出函数y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象，如图所示．当直线y =12x +t 经过（﹣2，0）或与抛物线y ＝﹣x 2+4相切时，直线y =12x +t 与函数y ＝max {﹣x 2+4，x ﹣2，﹣x ﹣2}的图象有且只有3个公共点．①若直线y =12x +t 经过（﹣2，0），则有0=12×（﹣2）+t ，解得t ＝1；②若直线y =12x +t 与抛物线y ＝﹣x 2+4相切，则关于x 的方程12x +t ＝﹣x 2+4即x 2+12x +t ﹣4＝0有两个相等的实数根，则△＝（12）2﹣4×1×（t ﹣4）＝0，解得t =6516．综上所述：t ＝1或6516．故答案为1或6516．。

2019中考数学专题练习-利用二次函数图像求一元二次方程的近似根（含解析）一、单选题1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表：﹣﹣若，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1 ， x2的取值范围是（）A. ﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3B. ﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2C. 0＜x1＜1，1＜x2＜2D. ﹣2＜x1＜﹣1，3＜x2＜42.根据下列表格的对应值：）A. 8＜x＜9B. 9＜x＜10 C. 10＜x＜11 D. 11＜x＜123.下列表格是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）A. ﹣2＜x＜﹣2.14B. ﹣2.14＜x＜2.13C. ﹣2.13＜x＜﹣2.12 D. ﹣2.12＜x＜﹣2.114.根据下列表格中的对应值，关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x得范围正确的是（）A. 3＜x＜3.23B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.265.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）上B. 抛物线与y轴交于负半轴C. 当x=3时，y＜D. 方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根6.根据下列表格对应值：判断关于x的方程ax2+bx+c=0 的一个解x的范围是（）A. x＜3.24B. 3.24＜x＜3.25 C. 3.25＜x＜3.26 D. 3.25＜x＜3.287.已知二次函数y=ax2+2ax﹣3的部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+2ax﹣3=0的两个根分别是x1=1.3和x2=（）A. ﹣1.3B. ﹣2.3C. ﹣0.3 D. ﹣3.38.下列表格是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值．由此可以判断方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根在（）A. 6.17~6.18之间B. 6.18~6.19之间 C. 6.19~6.20之间 D. 不确定9.根据下表中二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的对应值：A. 3.23＜x ＜3.24B. 3.24＜x ＜3.25 C. 3.25＜x ＜3.26 D. 不能确定10.根据下列表格对应值：）A. x ＜3.24B. 3.24＜x ＜3.25C. 3.25＜x ＜3.26 D. 3.25＜x ＜3.2811.根据下列表格对应值：A. x ＜3B. x ＜2C. 4＜x ＜5 D. 3＜x ＜412.根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a 、b 、c 为常数）一个解的范围是（ ）A. 3＜x ＜3.23B. 3.23＜x ＜3.24 C. 3.24＜x ＜3.25 D. 3.25＜x ＜3.2613.根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的根的个数是（ ）B. 1C. 2D. 1或214.根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的个数是（）B. 1C. 2D. 1或2二、填空题15.已知二次函数y=﹣x2+2x+m的图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的根为________ ；不等式﹣x2+2x+m＞0的解集是________ ；当x________ 时，y随x的增大而减小．16.我们把一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解看成是抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点的横坐标，如果把方程x2﹣2x﹣3=0适当地变形，那么方程的解还可以看成是函数________与函数________的图象交点的横坐标（写出其中的一对）．17.小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c=0的实数根，作出了如图所示的图象，观察得一个近似根为x1=﹣4.5，则方程的另一个近似根为x2=________ （精确到0.1）．18.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(－3，0)，(2，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是________.19.利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x﹣10=0的根：（1）（2）20.试写出一个二次函数关系式，使它对应的一元二次方程的一个根为0，另一个根在1到2之间：________．21.抛物线y=2x2﹣4x+m的图象的部分如图所示，则关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m=0的解是________．22.根据下列表中的对应值：判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解的取值范围为________ ．三、解答题23.利用函数图象判断方程2x2﹣3x﹣4=0有没有解．若有解，求出它的近似解（精确到0.1）．24.画图求方程x2=﹣x+2的解，你是如何解决的呢？我们来看一看下面两位同学不同的方法．甲：先将方程x2=﹣x+2化为x2+x﹣2=0，再画出y=x2+x﹣2的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解；乙：分别画出函数y=x2和y=﹣x+2的图象，观察它们的交点，并把交点的横坐标作为方程的解．你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．四、综合题25.二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：﹣﹣﹣2（1）当x=3时，y=________ ；（2）当x= 1 时，y有最________ 值为________（3）若点A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）是该二次函数图象上的两点，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，试比较两函数值的大小：y1________ y2（4）若自变量x的取值范围是0≤x≤5，则函数值y的取值范围是________26.画出函数y=﹣2x2+8x﹣6的图象，根据图象回答：（1）方程﹣2x2+8x﹣6=0的解是什么（2）当x取何值时，y＞0（3）当x取何值时，y＜0答案解析部分一、单选题1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表：﹣﹣若，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1 ， x2的取值范围是（）A. ﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3B. ﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2C. 0＜x1＜1，1＜x2＜2D. ﹣2＜x1＜﹣1，3＜x2＜4【答案】A【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】∵，∴﹣1＜m ﹣2＜﹣，＜m ﹣＜1，∴函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点的纵坐标为0．由表中数据可知：y=0在y=m ﹣2与y=m ﹣之间，故对应的x 的值在﹣1与0之间，即﹣1＜x1＜0，y=0在y=m ﹣2与y=m ﹣之间，故对应的x 的值在2与3之间，即2＜x2＜3．故选：A ．【分析】根据函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0两个根的范围．2.根据下列表格的对应值：）A. 8＜x ＜9B. 9＜x ＜10 C. 10＜x ＜11 D. 11＜x ＜12【答案】C【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】依题意得当8＜x ＜12，y 随x 的增大而增大，而﹣0.38＜0＜1.2，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围是10＜x ＜11．故选C ．【分析】根据表格知道8＜x ＜12，y 随x 的增大而增大，而﹣0.38＜0＜1.2，由此即可推出方程ax2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围．3.下列表格是二次函数y=ax2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围是（ ）A. ﹣2＜x ＜﹣2.14B. ﹣2.14＜x ＜2.13C. ﹣2.13＜x ＜﹣2.12 D. ﹣2.12＜x ＜﹣2.11【答案】C【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y=0在y=﹣0.01与y=0.02之间，∴对应的x 的值在﹣2.13与﹣2.12之间，即﹣2.13＜x1＜﹣2.12，故选C ．【分析】根据函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个根的范围．4.根据下列表格中的对应值，关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x得范围正确的是（）A. 3＜x＜3.23B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26【答案】C【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】根据表格可知，ax2+bx+c=0时，对应的x的值在3.24～3.25之间．故选C．【分析】观察表格可知，y随x的增大而增大，ax2+bx+c的值在3.24～3.25之间由负到正，故可判断ax2+bx+c=0时，对应的x的值在3.24～3.25之间．5.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）上B. 抛物线与y轴交于负半轴C. 当x=3时，y＜D. 方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根【答案】C【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】【解答】∵由图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），∴二次函数解析式为：y=a（x﹣1）2+3，再将（0，1）点代入得：1=a（﹣1）2+3，解得：a=﹣2，∴y=﹣2（x﹣1）2+3，∵a＜0，∴A，抛物线开口向上错误，故：A错误；,∵y=﹣2（x﹣1）2+3=﹣2x2+4x+1，与y轴交点坐标为（0，1），故与y轴交于正半轴，故：B错误；∵x=3时，y=﹣5＜0，故：C正确；∵方程ax2+bx+c=0，△=16+4×2×1=22＞0，此方程有两个不相等的实数根，故：D．方程有两个相等实数根错误；故选：C．【分析】结合图表可以得出当x=0或2时，y=1，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），借助（0，1）两点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质．6.根据下列表格对应值：判断关于x的方程ax2+bx+c=0 的一个解x的范围是（）A. x＜3.24B. 3.24＜x＜3.25 C. 3.25＜x＜3.26 D. 3.25＜x＜3.28【答案】B【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根【解析】【解答】由图表可知，ax2+bx+c=0时，3.24＜x＜3.25．故答案为：B．【分析】根据表中数据得到x=3.24时，ax2+bx+c=-0.02＜0；x=3.25时，ax2+bx+c=0.01＞0，于是可判断x在3.24和3.25之间取某一值时，ax2+bx+c=0，由此得到方程ax2+bx+c=0（x≠0）的一个解x的范围。

二次函数与一元二次方程教案二次函数与一元二次方程教学目标(一)教学知识点1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.2.进一步发展估算能力.(二)能力训练要求1.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验.2.利用图象法求一元二次方程的近似根,重要的是让学生懂得这种求解方程的思路,体验数形结合思想.(三)情感与价值观要求通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根,进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系,提高估算能力.教学重点1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.2.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.教学难点利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.教学方法学生合作交流学习法.教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课[师]上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系,懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标,就是y=0时的一元二次方程的根,于是,我们在不解方程的情况下,只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可.但是在图象上我们很难准确地求出方程的解,所以要进行估算.本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根.Ⅱ.讲授新课一、利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根.下图是函数y=x2+2x-10的图象.[师]从图象上来看,二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴交点的横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,所以方程x2+2x-10=0的两个根一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间.这只是大概范围,究竟更接近于哪一个数呢?请大家讨论解决.[生]有关估算问题我们在前面已学习过了,即是用试一试的方法进行的.既然一个根在-5与-4之间,那这个根一定是负4点几,所以个位数就确定下来了,接着确定十分位上的数,这时可以用试一试的方法,即分别把x=-4.1,-4.2,…,-4.9代入方程进行计算,哪一个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成立),则这个值就是方程的根(或近似根).[师]由于计算比较烦琐,所以大家可以用计算器进行计算.[生]从图象上看,x的取值应大于-4.5,所以可以只代入-4.1,-4.2,-4.3,-4.4这四个数进行计算,利用计算器进行探索.x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4y -1.39 -0.76 -0.11 0.56从上表可知,当x取-4.1,-4.2,-4.3,-4.4时,y的值都不等于0,所以x的取值还不准确,应继续估计百分位上的数,十分位上的数字应取y的值和零最接近的数字.所以x应取负的4点3几.再按同样的方法求百分位上的数字.依次类推,即可求出比较准确的x的值.[师]大家的分析非常到位、确实应按这样的步骤进行,但我们的重点是求解方程的思路,而不是求解的结果.因此本书规定用图象法求一元二次方程的近似根时,结果只取到十分位.[生]因此,x=-4.3是方程的一个近似根.[师]有了上面的分析和结果,求另一个近似根就不困难了,请大家继续.[生]另一个根在2与3之间,应是2点几,再用计算器进行探索.x 2.1 2.2 2.3 2.4y -1.39 -0.76 -0.11 0.56由于当x=2.3时,y的值最接近0,所以另一个根的近似值为x=2.3.[师]还有其他的方法吗?[生]有,可以把-5与-4之间的线段十等分再判断交点更接近于哪一个分点.如上题中的两个根可以这样求:二、做一做利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.[师]我们可以根据上面的方法来求方程的近似根.但是还与上面的题型不太一样.上面的题是利用二次函数y=x2+2x-10的图象估计方程x2+2x-10=0的根,现在我们应该利用哪一个函数图象求方程x2+2x-10=3的根呢?[生甲]利用函数y=x2+2x-13的图象求方程x2+2x-10=3的近似根.[生乙]也可以在上题的基础上进行,利用函数y=x2+2x-10的图象与直线y=3的交点的横坐标求方程x2+2x-10=3的解.[师]究竟哪一种方法正确呢?我们下面就来验证一下.[生甲]函数y=x2+2x-13的图象如下图由图可知,图象与x轴的两个交点的横坐标中,一个在-5与-4之间,一个在2与3之间,因此两个根分别为负4点几和2点几,下面用计算器进行探索.x -4.5 -4.6 -4.7 -4.8 -4.9y -1.75 -1.04 -0.31 0.44 1.21因此x=-4.7是方程的一个近似根.另一个根可以类似地求出:x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9y -1.75 -1.04 -0.31 0.44 1.21因此x=2.7是方程的另一个近似根.[生乙]分别画出函数y=x2+2x-10的图象和直线y=3,找它们交点的横坐标即可.由图可知两根分别为x=-4.7和x=2.7.Ⅲ.课堂练习P71随堂练习Ⅳ.课时小结本节课学习的内容:1.经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会了方程与函数之间的联系;2.经历了用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得了用图象法求方程近似根的体验.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标,发展估算能力.Ⅴ.课后作业习题2.10Ⅵ.活动与探究一元二次方程x2-4x+2=-1的根与二次函数y=x2-4x+2的图象有何关系?请你把方程的根在图象上表示出来.解:一元二次方程x2-4x+2=-1的根可以看成函数y=x2-4x+2的图象与直线y=-1的交点的横坐标.图象略.板书设计§2.8.2二次函数与一元二次方程(二)一、1.利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10的根2.做一做(利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根)二、课堂练习三、课时小结四、课后作业。