初二数学等边三角形[人教版]

4.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC =2cm,则△ADE 的周长是 12 cm.
是 (B )A ．10° B ．15°C ．20° D ．25°
方法三：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
证明： ∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠A= ∠B= ∠C.∵ DE//BC,∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴ △ADE是等边三角形.想一想： 本题还有其他证法吗？
E D
C
B
变式3：上题中 ,若将条件DE/BC改为AD=AE,△ADE还是等边三角形吗?试说明理由.证明： ∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ AD=AE,∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.∴ △ADE是等边三角形.
3.在等边△ABC中， BD平分∠ABC ，BD=BF，则CDF的度数D EB C
A
5 如图，在△ABC中，已知AB＝AC ，AD为 ∠BAC的平分线，且∠2＝25°，求∠ADB和∠B 的度数.
13.3.2 等边三角形 (第1课时)
两底角相等∠B=∠C (等边对等角) D等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上 的高线互相重合(三线合一)3.等腰三角形的判定方法等角对等边 等腰三角形是轴对称图形
2.等腰三角形有哪些性质？ 等腰三角形的两腰相等AB=AC
并且每一个角都等于60°。
一个三角形满足什么条件就是等边三角形?
9
等边三角形的判定方法：定义法：三条边都相等的三角形判定定理1：三个角都相等的三角形
已知：在△ABC 中， ∠A=∠B=∠C．是等边三角形．证明： ∵ ∠A =∠B ， ∠B =∠C ， ∴ BC =AC， AC =AB．∴ AB =BC =AC．∴ △ABC 是等边三角形．

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二次结构泵https:// 二次结构柱输送泵与传统灌注施工工艺的对比：1、一台构造柱施工设备的施工工作量为200根/天(每根柱子按0.18立方)，相当于48人灌注工人的工作量。经比较构造柱施工设备可缩短灌注工程90%的施工工作周期，并且每日可节省几千元 工资。2、构造柱施工设备一人操作就可开工，但传统的灌注施工工作强度大，因此要时刻面临缺工施工，困难等问题.二次结构柱输送泵是吸收国内外先进技术基础上研制成的一种新型多功能施工机械，该产品具有广泛用途，可用于建筑砂 送，二次结构柱输送泵岩土工程注浆大面积喷涂高、操作方便，安全可靠，易于维修保养，结构紧凑，移动灵活，本产品采用凸轮式转动，二次结构柱输送泵活塞结构自动控压设制，流量大，使用寿命长，能够输送配比1:2.5的砂浆，该产 到国际同行先进水平二次结构柱输送泵，该泵机质量轻，装有行走轮，方便移动，设计独特，可直接放于楼面现场浇注，并且不受泵送高度的限制。有效的解决构造柱浇注过程中出现的顶部接近底梁段难以高质量浇注的问题，二次结构柱 保证构造柱的平整度和观感质量。适用于超高层的细石混凝土输送，建筑楼层群体构造柱浇柱二次结构柱输送泵送效率高，泵送系统是人工施工的数倍，这样有效的提高了生产效率，节省了劳动成本。二次结构柱输送泵的研制，解决了某 工况下的混凝土难以泵送的问题，从而提高了施工的进度，降低了劳动的强度，减少了施工过程中对人工成本的投入二次结构柱输送泵，不仅实现了轻巧与高相结合的概念，还能让你的工作变得更加的安全省力，具体优点如下：公司体积 一般的设备而言显得更小，重量更轻，可以用于隧道、罐桩等领域，在施工的过程中，你可以任意穿梭于热饿和面积较小的场所，操作起来也更加的方便省力。公司液压室内二次结构柱输送泵双泵的冲击小，可靠性更高，使用途中安全可 于新上任的师傅来说心里更加的有自信，操作起来也会变得更加的熟练。公司技术上采用了筛选过滤的技术，防止其他东西进入车身内，造成损伤，增加了元件的使用寿命。 二次构造柱浇筑泵和混凝土地泵，得到了越来越多人的认可。在使用这些设备时安装管道成了一项最重要的工作，安装不当及容易造成故障。下面就为您详细讲解了设备管道的布置方法。构造柱泵和混凝土地泵布管，应根据工程和施工场 点，最大骨料粒径、输送泵型号、输送距离及输送难易程度等进行选择与配置。构造柱泵和混凝土地泵布管时，应尽量缩短管线长度，少用弯管和软管；在同一条管线中，应采用相同管径的混凝土输送管；同时采用新、旧配管时，应将新 在泵送压力较大处，管线应固定牢靠，管接头应严密，不得漏浆；应使用无龟裂，无凹凸损伤和无弯折的配管。构造柱泵和混凝土地泵布管方式：二次构造柱专用泵的操作步骤：1.向下泵送混凝土时，应先把输送管上气阀打开，待输送管下 土有了一定压力时，方可关闭气阀。2.混凝土泵送即将结束前，应正确计算尚需用的混凝土数量，并应及时告知混凝土搅拌处。3.泵送过程中，废弃的和泵送终止时多余的混凝土，应按预先确定的处理方法和场所，及时进行妥善处理。4.泵 时，二次构造柱输送泵，应将混凝土泵和输送管清洗干净。5.排除堵塞，重新泵送或清洗混凝土泵时，布料设备的出口应朝安全方向，以防堵塞物或废浆高速飞出伤人。6.当多台混凝土泵同时泵送或与其他输送方法组合输送混凝土时，应预 各自的输送能力、浇筑区域和浇筑顺序。并应分工明确、互相配合、统一指挥。7.混凝土输送泵在泵送过程中，若需接长3m以上(含3m)的输送管时，仍应预先用水和水泥浆或水泥砂浆，进行湿润和润滑管道内壁。8.混凝土泵送过程中，不 下的输送管内的混凝土撒落在未浇筑的地方构造柱输送泵Байду номын сангаас介：又称混凝土输送泵，是利用压力将混凝土沿管道连续输送的机械。小型混凝土泵车主要由泵体和输送管组成，泵体装在汽车底盘上，再装备可伸缩或屈折的布料杆，就组成泵 1，释放的日益扩大的稳定性。2，确保电源输入是正常。3，去切换确认或推翻转移。4，之前用水湿喂缸,或之前添加一个薄、流动的材料。5，饲料开始工作。6，列窗体，如清朝和次生构造柱泵送料机，打开后您完成其余，然后移动之前 壶嘴插入极板取出。7，停止应休息一会后，干净的水，以防止二次构造柱泵下一步不能正常工作。 二次构造柱泵机械厂家分析机械工业废水处理技术现状从工程设计、施工、设备研发、制造、安装、运营等方面可从事系列服务。近年来在我国北方也逐渐兴起了一些颇具实力的环保企业。今后我国机械工业含油废水处理技术创新发展前 规划磁吸附分离法主要借助磁性物质作为载体，利用油珠的磁化效应，将磁性颗粒与含油废水相结合，使油吸附在磁性颗粒上，再通过分离装置，将磁性物质及其吸附的油留在磁场中，从而达到油水分离的目的。新型二次构造柱泵、二次 浇注专用设备优点如下：二次构造柱泵上料机泵机的使用功率非常小，只有7.5kw，在无电源的情况下只需配一台小型的发电机即可工作。二次构造柱泵上料机是国内体小的混凝土输送泵，是许多狭窄施工环境的理想选择。二次构造柱泵上 量轻，移动方便。二次构造柱泵上料机配置高，全液压操作，性能稳定，结构紧凑，故障率低，寿命长。二次构造柱泵上料机泵机价格实惠，有微型砂浆泵，微型细石混凝土泵，微型混凝土泵三种配置供客户选择。采用活塞结构自动空压 工作压力大，泵送距离远，泵送高度高二次构造柱泵原理：1.全液控换向液压系统，回路优化设计，发热损耗低，二次构造柱液压浇筑泵系统更稳定。2.S管阀采用高锰钢铸造成型，易磨损面堆焊抗磨材料；眼镜板和切割环采用高硬耐磨合 压耐磨。3.活塞采用进口原材料，油缸密封及关键电气部件采用进口元件。4.二次构造柱液压浇筑泵布局合理，维护空间大。设计严谨，兼顾经济性与可靠性，性价比高。二次构造柱专用泵特点：该泵机质量轻，装有行走轮，方便移动，设 特，移动方便，运行平稳，操作简单，使用寿命长。泵送系统是人工施工的10倍，节约时间和劳动成本，提高劳动生产效率。可直接放于楼面现场浇注，并且不受泵送高度的限制。 产业升级是中国经济转型的基本驱动力。虽然经济转型还包括体制改革等方面的内容，但产业升级不仅具有独立于其他因素（如市场机制）的内容，而且是衡量转型是否成功的唯一标志（即生产力标准）。二次构造柱泵有效的解决构造柱 程中出现的顶部接近底梁段难以高质量浇注的问题，保证构造柱的平整度和观感质能够有效的解决构造柱浇注过程中出现的顶部接近底梁段难以高质量浇注的问题。二次构造柱泵优点：1、二次结构细石砂浆专用浇筑泵可实现远距离高层建 混凝土、砂浆等输送。2、分配阀采用先进的S管阀，密封性好、结构简单可靠。眼睛板和浮动切割环采用硬质合金，耐磨性好、寿命长、更换方便，切割环采用可自动补偿间隙结构。3、控制方式用电-液控制，具有完善的电-液过载保护及 示系统；具有反泵操作功能，容易排除堵塞故障；泵送速度可以调节，能满足各种工况需求。4、集中润滑系统由程序自动控制启停及运转时间，有效延长转动件的使用寿命。5、接触器和按钮开关等电器组件，防护等级可达到IP65，采用 制，工作可靠，控制线路简单，电器箱配备开关，便于操作。6、主要密封件采用优质密封件，杜绝了液压系统的内外泄漏。二次构造柱浇筑泵的适用范围：广泛用于一些特殊的施工环境如：铁路公路隧道，引水洞，涵洞，矿洞，桥洞等洞 施工，还包括水利工程，水电工程，边坡支护，地下施工作业，基础的灌装工程，大型群楼建筑的构造柱浇注等等。

三边相等 （定义）
两底角相等 （等边对等角）
相等 每个角都等于60°
是（三线合一） 一条对称轴
是（三线合一） 三条对称轴
细心观察，探索性质
对“等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角 都等于60°”这一结论进行证明.
细心观察，探索性质
已知：△ABC 是等边三角形 求证：∠A =∠B =∠C =60°．
思考 将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能 得到什么结论？
细心观察，探索性质
结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应 的结论吗？
图形 边 角 轴对称图形
等腰 三角形
等边 三角形
两边相等 （定义）
三边相等 （定义）
两底角相等 （等边对等角）
？
是（三线合一） 一条对称轴
？
细心观察，探索性质
结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应 的结论吗？
C
பைடு நூலகம்
细心观察，探索性质
思考 利用所学知识判断，等边三角形是轴对称图 形吗？若是轴对称图形，请画出它的对称轴. A
B
C
细心观察，探索性质
问题 等边三角形除了用定义（即用边）来判定以 外，能否利用角来判定呢？ 思考1 一个三角形的三个内角满足什么条件是等 边三角形？
思考2
形？
一个等腰三角形满足什么条件是等边三角
D
活动操作，探索性质
猜想 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
问题 请说一说你猜想的命题中，条件和结论分别 是什么？并结合图形，用符号语言表述出来. 思考 这个命题是真命题吗？请进行证明．
活动操作，探索性质
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A = 1 30°. 求证：BC = AB．

Rt△ABC 中,∠C =90°,∠B =2∠A,∠B 和∠A 各是多少 度?边AB 与BC 之间有什么关系?
证明:∵∠B+∠A =180°– ∠C=90°, ∠B=2∠A,
∴∠B=60°,∠A=30°. ∴ AB=2BC.
探究新知
素养考点 2 利用直角三角形性质解决实际问题
例4 如图是屋架设计图一部分,点D 是斜梁AB 中点,立柱 BC,DE 垂直于横梁AC,AB =7.4 cm,∠A =30°,立柱BC,DE 有 多长?
∴EF=2EH=2,∠FEO=∠FOE.
∴OF=EF=2．
課堂检测
基础巩固题
1.如图,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,倒下部分
与地面成30°角,这棵树在折断前高度为( ) B
A．6米 B．9米
C．12米 D．15米
2.某市在旧城绿化改造中,计划在一块如图所示△ABC空地上种植
草皮优化环境,已知∠A＝150°,这种草皮每平方米售价a元,则购买
B
图中BC,DE 分别是哪个直角 三角形直角边?它们所对锐角 分别是多少度?
D
A
E
C
探究新知
解:∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °,
∴BC=
1 2
AB,
DE= 1 AD.
2
B
∴BC=
1 2
AB=
1 2
×7.4=3.7(m).
D
又AD=
1 2
AB,
A
E
C
∴DE=
1 2
AD=
1 ×3.7=1.85
2
∴BC
=
1 2
AB．
B
C
D
探究新知 方法点拨

（2）∠A=
；
（3）∠ABD=
，
A
D？
AD=
.
B
10
C
等边三角形的性质（1）：三边相等.
随堂练习：等边三角形的性质
如图，在等边△ABC中，BC=10，BD⊥AC于点D，则：
（1）AC= 10 ；
（2）∠A= 60° ；
（3）∠ABD=
，
A
？
D
AD=
.
B
10
C
等边三角形的性质（2）：等边三角形的
三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
B
A C
小结：等边三角形的判定方法
名称
等边三角形
B
图形
A
判定与边角关系 三条边都相等的三角形 三个角都相等的三角形
有一个角是60°的等腰 三角形
C
例 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，
分别交AB，AC于点D，E．
求证：△ADE是等边三角形.
A
D
E
B
C
分析:
△ABC是等边三角形
A 60°
D
已知：在△ABC 中，∠A=∠B=∠C． 求证：△ABC是等边三角形．
证明：
C
∵ ∠A=∠B, ∠B=∠C,
∴ BC=AC, AC=AB(等角对等边)．
∴ AB=BC=AC．
∴ △ABC是等边三角形．
A
B
探究：等边三角形的判定方法
有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形吗？
分类讨论： （1）顶角是60°; （2）有一个底角是60°.
变式2： △ABC是等边三角形，若点D，E在 边AC，AB 的反向延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解等边三角形的基本概念。等边三角形是三边长度相等的三角形，它具有独特的性质和应用。在几何学中，等边三角形是非常重要的基本图形。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析等边三角形在建筑、艺术等领域的应用，了解它如何帮助我们解决问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了等边三角形的基本概念、判定方法、性质和面积计算。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对等边三角形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-掌握等边三角形面积公式的推导过程：学生需要理解并记住面积公式的推导过程，这涉及到数学抽象和逻辑推理的能力。
-在实际问题中识别和应用等边三角形的知识：学生需要具备一定的观察能力和问题分析能力，才能将等边三角形的知识应用到实际问题中。
举例解释：
-通过对比不同类型的三角形，让学生明确等边三角形的判定条件，并能够识别。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“等边三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调等边三角形的判定方法和面积计算这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。

AB=BC=CA
A
B
C
根据等腰三角形的性质去探讨等边三角形 的性质：
①从边看；②从角看；③从重要线段看
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探索星空：探究性质一
等边三角形的内角都相等吗?为什么?
∵ AB=AC=BC
A
∴ ∠A=∠B=∠C(在同一个
怎样判断三角形ABC是等边三角形？
A
方法一：三角形的三边考虑；
方法二：三角形的三角考虑；
B
C
方法三：有一个角等于60°的等腰三
角形是等边三角形。
你能说明
理由吗？
9
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例：如图，△ABC是等边三角形， DE∥BC,分别交边AB、AC于点D，E. 求证：△ADE是等边三角形.
（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条 ３、等边三角形中，高、中线、角平分线共有（ Ａ）
（A）3条（B）6条（C）9条（D）7条
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在△ABC中，AB=AC，以AB、AC为边在
△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，
三角形中等边对等角)
B
C
∵ ∠A+∠B+∠C=180° ∴ ∠A=∠B=∠C=60°
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探索结论: 等边三角形性质定理
1 .等边三角形的三条边都相等。

A
3、如图， Rt△ABC中， ∠A= 30°，BD平分∠ABC，
且BD=16cm，则AC= 24cm .
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畅谈收获
通过本节课 的学习，你学到 了哪些知识？在 合作学习中你感 受到了什么？你 还有那些疑惑？
这节课— 我学会了… 我发现生活中… 我感受到了… 我感到最高兴的是… 我想我将…
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课堂检测
1.在△ABC中，∠C=900, ∠B=600,BC=7,
则∠A = ---3--0-0----,AB=----1--4----
2.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,
若AB=10,则BC=-----5-----
3、如图Rt△ABC中，CD是斜边AB 上的高，若∠A=300，BD=1cm,
A
DB
A
5、如图△ABC是等边三角形，
AB=5cm,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC,
垂足分别为D、E、F点， E
F
则∠ADF =__60_°___, BD=_2_.5_c_m__，
BE=_1_.2_5_c_m__.
B
C
D
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知识反馈 布置作业
选做题：
A
如图在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ， E
∠BAC＝120°,ＡＣ的垂直平分线
ＥＦ交ＡＣ于点Ｅ，交ＢＣ于点 C

B
Ｆ．求证：ＢＦ＝２ＣＦ．
温馨提示：作业整洁
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已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠BAC=30°
求证：BC=
1 2
AB