人教版初中数学三角形难题汇编含答案
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人教版初中数学三角形难题汇编附答案一、选择题1.如图,在ABC ∆中,AB 的垂直平分线交BC 于D ,AC 的中垂线交BC 于E ,20DAE ∠=o ,则BAC ∠的度数为( )A .70oB .80oC .90oD .100o【答案】D【解析】【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB,EA=EC,在由等边对等角,根据三角形内角和定理求解.【详解】如图所示:∵DM 是线段AB 的垂直平分线,∴DA=DB,B DAB ∠=∠ ,同理可得:C EAC ∠=∠ ,∵ 20DAE ∠=o ,180B DAB C EAC DAE ︒∠+∠+∠+∠+∠=,∴80DAB EAC ︒∠+∠=∴100BAC ︒∠=故选:D【点睛】本题考查了线段的垂直平分线和三角形的内角和定理,解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.2.如图,在平行四边形ABCD 中,用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ,若BF=6,AB=5,则AE 的长为( )A .4B .8C .6D .10【答案】B【解析】【分析】【详解】 解:设AG 与BF 交点为O ,∵AB=AF ,AG 平分∠BAD ,AO=AO ,∴可证△ABO ≌△AFO ,∴BO=FO=3,∠AOB=∠AOF=90º,AB=5,∴AO=4,∵AF ∥BE ,∴可证△AOF ≌△EOB ,AO=EO ,∴AE=2AO=8,故选B .【点睛】本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质.3.如图,OA =OB ,OC =OD ,∠O =50°,∠D =35°,则∠OAC 等于( )A .65°B .95°C .45°D .85°【答案】B【解析】【分析】 根据OA =OB ,OC =OD 证明△ODB ≌△OCA ,得到∠OAC=∠OBD ,再根据∠O =50°,∠D =35°即可得答案.【详解】解:OA =OB ,OC =OD ,在△ODB 和△OCA 中,OB OA BOD AOC OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ODB ≌△OCA (SAS ),∠OAC=∠OBD=180°-50°-35°=95°,故B 为答案.【点睛】本题考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.4.AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC 交AC 于点F .S △ABC =7,DE=2,AB=4,则AC 长是( )A .4B .3C .6D .2【答案】B【解析】【分析】 首先由角平分线的性质可知DF=DE=2,然后由S △ABC =S △ABD +S △ACD 及三角形的面积公式得出结果.【详解】解:AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线,∠EAD=∠FADDE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC 交AC 于点F ,∴DF=DE ,又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ,DE=2,AB=4, 11742222AC ∴=⨯⨯+⨯⨯ ∴AC=3. 故答案为:B【点睛】本题主要考查了角平分线的性质,熟练掌握角平分线的性质、灵活运用所学知识是解题的关键.5.如图,在矩形ABCD 中, 3,4,AB BC ==将其折叠使AB 落在对角线AC 上,得到折痕,AE 那么BE 的长度为( )A .1B .2C .32D .85【答案】C【解析】【分析】由勾股定理求出AC 的长度,由折叠的性质,AF=AB=3,则CF=2,设BE=EF=x ,则CE=4x -,利用勾股定理,即可求出x 的值,得到BE 的长度.【详解】解:在矩形ABCD 中,3,4AB BC ==,∴∠B=90°,∴5AC ==,由折叠的性质,得AF=AB=3,BE=EF ,∴CF=5-3=2,在Rt △CEF 中,设BE=EF=x ,则CE=4x -,由勾股定理,得:2222(4)x x +=-, 解得:32x =; ∴32BE =. 故选:C .【点睛】本题考查了矩形的折叠问题,矩形的性质,折叠的性质,以及勾股定理的应用,解题的关键是熟练掌握所学的性质,利用勾股定理正确求出BE 的长度.6.△ABC 中,∠A :∠B :∠C =1:2:3,最小边BC =4cm ,则最长边AB 的长为( )cmA .6B .8CD .5【答案】B【解析】【分析】根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三角形中角的度数,然后根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可.【详解】设∠A =x ,则∠B =2x ,∠C =3x ,由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C =x+2x+3x =180°,解得x =30°,即∠A =30°,∠C =3×30°=90°,此三角形为直角三角形,故AB =2BC =2×4=8cm ,故选B .【点睛】本题考查了三角形内角和定理,含30度角的直角三角形的性质,熟练掌握“直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键.7.下列长度的三条线段能组成三角形的是()A.2, 2,5B.1,3,3C.3,4,8D.4,5,6【答案】D【解析】【分析】三角形的任何一边大于其他两边之差,小于两边之和,满足此关系的可组成三角形,其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立.【详解】根据三角形三边关系可知,三角形两边之和大于第三边.A、2+2=4<5,此选项错误;B、1+3<3,此选项错误;C、3+4<8,此选项错误;D、4+5=9>6,能组成三角形,此选项正确.故选:D.【点睛】此题考查三角形三边关系,解题关键在于掌握三角形两边之和大于第三边.即:两条较短的边的和小于最长的边,只要满足这一条就是满足三边关系.8.如图,折叠直角三角形纸片的直角,使点C落在AB上的点E处,已知BC=24,∠B=30°,则DE的长是()A.12 B.10 C.8 D.6【答案】C【解析】【分析】由折叠的性质可知;DC=DE,∠DEA=∠C=90°,在Rt△BED中,∠B=30°,故此BD=2ED,从而得到BC=3BC,于是可求得DE=8.【详解】解:由折叠的性质可知;DC=DE,∠DEA=∠C=90°,∵∠BED+∠DEA=180°,∴∠BED=90°.又∵∠B=30°,∴BD=2DE.∴BC=3ED=24.∴DE=8.故答案为8.【点睛】本题考查的是翻折的性质、含30°锐角的直角三角形的性质,根据题意得出BC=3DE是解题的关键.9.如图,在菱形ABCD中,对角线AC=8,BD=6,点E,F分别是边AB,BC的中点,点P在AC上运动,在运动过程中,存在PE+PF的最小值,则这个最小值是()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】先根据菱形的性质求出其边长,再作E关于AC的对称点E′,连接E′F,则E′F即为PE+PF 的最小值,再根据菱形的性质求出E′F的长度即可.【详解】解:如图∵四边形ABCD是菱形,对角线AC=6,BD=8,∴2234,作E关于AC的对称点E′,连接E′F,则E′F即为PE+PF的最小值,∵AC是∠DAB的平分线,E是AB的中点,∴E′在AD上,且E′是AD的中点,∵AD=AB,∴AE=AE′,∵F是BC的中点,∴E′F=AB=5.故选C.10.如图,已知△ABD和△ACD关于直线AD对称;在射线AD上取点E,连接BE, CE,如图:在射线AD上取点F连接BF, CF,如图,依此规律,第n个图形中全等三角形的对数是()A.n B.2n-1 C.(1)2n nD.3(n+1)【答案】C【解析】【分析】根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等;图2中可证出△ABD≌△ACD,△BDE≌△CDE,△ABE≌△ACE有3对全等三角形;图3中有6对全等三角形,根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数.【详解】∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠CAD.在△ABD与△ACD中,AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD,∴△ABD≌△ACD.∴图1中有1对三角形全等;同理图2中,△ABE≌△ACE,∴BE=EC,∵△ABD≌△ACD.∴BD=CD,又DE=DE,∴△BDE≌△CDE,∴图2中有3对三角形全等;同理:图3中有6对三角形全等;由此发现:第n 个图形中全等三角形的对数是()12n n +.故选C.【点睛】考查全等三角形的判定,找出数字的变化规律是解题的关键.11.满足下列条件的两个三角形不一定全等的是( )A .有一边相等的两个等边三角形B .有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形C .周长相等的两个三角形D .斜边和一条直角边对应相等的两个等腰直角三角形【答案】C【解析】A.根据全等三角形的判定,可知有一边相等的两个等边三角形全等,故选项A 不符合;B.根据全等三角形的判定,可知有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等,故选项B 不符合;C.根据全等三角形的判定,可知周长相等的两个三角形不一定全等,故选项C 符合;D.根据全等三角形的判定,可知斜边和直角边对应相等的两个等腰直角三角形全等,故选项B 不符合.故本题应选C.12.如图,直线a b ∥,点A 、B 分别在直线a 、b 上,145∠︒=,若点C 在直线b 上,105BAC ∠︒=,且直线a 和b 的距离为3,则线段AC 的长度为( )A .32B .33C .3D .6【答案】D【解析】【分析】 过C 作CD ⊥直线a ,根据30°角所对直角边等于斜边的一半即可得到结论.【详解】过C 作CD ⊥直线a ,∴∠ADC =90°.∵∠1=45°,∠BAC =105°,∴∠DAC =30°.∵CD =3,∴AC =2CD =6.故选D .【点睛】本题考查了平行线间的距离,含30°角的直角三角形的性质,正确的理解题意是解题的关键.13.如图,⊙O过点B、C,圆心O在等腰直角△ABC的内部,∠BAC=90°,OA=1,BC=6,则⊙O的半径为()A.23B.13C.4 D.32【答案】B【解析】【分析】如下图,作AD⊥BC,设半径为r,则在Rt△OBD中,OD=3-1,OB=r,BD=3,利用勾股定理可求得r.【详解】如图,过A作AD⊥BC,由题意可知AD必过点O,连接OB;∵△BAC是等腰直角三角形,AD⊥BC,∴BD=CD=AD=3;∴OD=AD-OA=2;Rt△OBD中,根据勾股定理,得:22+BD OD13故答案为:B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用,解题关键是利用等腰直角三角形ABC判定点O在AD上.14.将一根 24cm 的筷子,置于底面直径为 15cm,高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中,设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm,则 h 的取值范围是()A .h≤15cmB .h≥8cmC .8cm≤h≤17cmD .7cm≤h≤16cm【答案】C【解析】【分析】 筷子浸没在水中的最短距离为水杯高度,最长距离如下图,是筷子斜卧于杯中时,利用勾股定理可求得.【详解】当筷子笔直竖立在杯中时,筷子浸没水中距离最短,为杯高=8cmAD 是筷子,AB 长是杯子直径,BC 是杯子高,当筷子如下图斜卧于杯中时,浸没在水中的距离最长由题意得:AB=15cm ,BC=8cm ,△ABC 是直角三角形∴在Rt △ABC 中,根据勾股定理,AC=17cm∴8cm ≤h ≤17cm故选:C【点睛】本题考查勾股定理在实际生活中的应用,解题关键是将题干中生活实例抽象成数学模型,然后再利用相关知识求解.15.如图,四边形ABCD 和EFGH 都是正方形,点E H ,在ADCD ,边上,点F G ,在对角线AC 上,若6AB ,则EFGH 的面积是( )A .6B .8C .9D .12【答案】B【解析】【分析】 根据正方形的性质得到∠DAC =∠ACD =45°,由四边形EFGH 是正方形,推出△AEF 与△DFH是等腰直角三角形,于是得到DE =2EH =2EF ,EF =2AE ,即可得到结论. 【详解】解:∵在正方形ABCD 中,∠D =90°,AD =CD =AB ,∴∠DAC =∠DCA =45°,∵四边形EFGH 为正方形,∴EH =EF ,∠AFE =∠FEH =90°,∴∠AEF =∠DEH =45°,∴AF =EF ,DE =DH ,∵在Rt △AEF 中,AF 2+EF 2=AE 2,∴AF =EF =2AE ,同理可得:DH =DE EH 又∵EH =EF ,∴DE =2EF =2×2AE =12AE , ∵AD =AB =6,∴DE =2,AE =4,∴EH DE =,∴EFGH 的面积为EH 2=()2=8,故选:B .【点睛】本题考查了正方形的性质,等腰直角三角形的判定及性质以及勾股定理的应用,熟练掌握图形的性质及勾股定理是解决本题的关键.16.如图,在ABC ∆中,AB AC =,分别是以点A ,点B 为圆心,以大于12AB 长为半径画弧,两弧交点的连线交AC 于点D ,交AB 于点E ,连接BD ,若40A ∠=︒,则DBC ∠=( )A .40︒B .30︒C .20︒D .10︒【答案】B【解析】【分析】 根据题意,DE 是AB 的垂直平分线,则AD=BD ,40ABD A ==︒∠∠,又AB=AC ,则∠ABC=70°,即可求出DBC ∠.【详解】解:根据题意可知,DE 是线段AB 的垂直平分线,∴AD=BD ,∴40ABD A ==︒∠∠,∵AB AC =, ∴1(18040)702ABC ∠=⨯︒-︒=︒, ∴704030DBC ∠=︒-︒=︒;故选:B.【点睛】 本题考查了垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,以及三角形的内角和,解题的关键是熟练掌握所学的性质,正确求出DBC ∠的度数.17.满足下列条件的是直角三角形的是( )A .4BC =,5AC =,6AB =B .13BC =,14AC =,15AB = C .::3:4:5BC AC AB =D .::3:4:5A B C ∠∠∠= 【答案】C【解析】【分析】要判断一个角是不是直角,先要知道三条边的大小,用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较,如果相等,则三角形为直角三角形;否则不是.【详解】A .若BC=4,AC=5,AB=6,则BC 2+AC 2≠AB 2,故△ABC 不是直角三角形;B.若13BC =,14AC =,15AB =,则AC 2+AB 2≠CB 2,故△ABC 不是直角三角形; C .若BC :AC :AB=3:4:5,则BC 2+AC 2=AB 2,故△ABC 是直角三角形;D .若∠A :∠B :∠C=3:4:5,则∠C <90°,故△ABC 不是直角三角形;故答案为:C .【点睛】 本题主要考查了勾股定理的逆定理,如果三角形的三边长a ,b ,c 满足a 2+b 2=c 2,那么这个三角形就是直角三角形.18.下列几组线段中,能组成直角三角形的是( )A .2,3,4B .3,4,6C .5,12,13D .2,5,5【答案】C【解析】【分析】要验证是否可以组成直角三角形,根据勾股定理的逆定理,只要验证三边的关系是否满足两边平方是否等于第三边的平方即可,分别验证四个选项即可得到答案.【详解】A .222234+≠,故不能组成直角三角形;B. 222346+≠,故不能组成直角三角形;C .22251213+=,故可以组成直角三角形;D .222255+≠,故不能组成直角三角形;故选C .【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理(如果三角形两边的平方等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形),掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.19.如图,已知AC=FE,BC=DE,点A,D,B,F 在一条直线上,要利用“SSS”证明△ABC ≌△FDE,还可以添加的一个条件是( )A .AD=FBB .DE=BDC .BF=DBD .以上都不对【答案】A【解析】∵AC=FE ,BC=DE , ∴要利用“SSS”证明△ABC ≌△FDE ,需添加条件“AB=DF”或“AD=BF”.故选A.20.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是()A.2cm,3cm,5cm B.7cm,4cm,2cm C.3cm,4cm,8cm D.3cm,3cm,4cm 【答案】D【解析】【详解】A.因为2+3=5,所以不能构成三角形,故A错误;B.因为2+4<6,所以不能构成三角形,故B错误;C.因为3+4<8,所以不能构成三角形,故C错误;D.因为3+3>4,所以能构成三角形,故D正确.故选D.。
人教版初中数学三角形易错题汇编及答案解析一、选择题1.如图,在ABC V 中,90C ∠=︒,60CAB ∠=︒,按以下步骤作图:①分别以A ,B 为圆心,以大于12AB 的长为半径画弧,两弧分别相交于点P 和Q . ②作直线PQ 交AB 于点D ,交BC 于点E ,连接AE .若4CE =,则AE 的值为( ) A .6B .2C .43D .8 【答案】D【解析】【分析】根据垂直平分线的作法得出PQ 是AB 的垂直平分线,进而得出∠EAB =∠CAE =30°,即可得出AE 的长.【详解】由题意可得出:PQ 是AB 的垂直平分线,∴AE =BE ,∵在△ABC 中,∠C =90°,∠CAB =60°,∴∠CBA =30°,∴∠EAB =∠CAE =30°, ∴CE =12AE =4, ∴AE =8.故选D .【点睛】 此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中,30°所对直角边等于斜边的一半,根据已知得出∠EAB =∠CAE =30°是解题关键.2.把一副三角板如图(1)放置,其中∠ACB =∠DEC =90°,∠A =45°,∠D =30°,斜边AB =4,CD =5.把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1(如图2),此时AB 与CD 1交于点O ,则线段AD 1的长度为( )A.13B.5C.22D.4【答案】A【解析】试题分析:由题意易知:∠CAB=45°,∠ACD=30°.若旋转角度为15°,则∠ACO=30°+15°=45°.∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°.在等腰Rt△ABC中,AB=4,则AO=OC=2.在Rt△AOD1中,OD1=CD1-OC=3,由勾股定理得:AD1=13.故选A.考点: 1.旋转;2.勾股定理.3.把一副三角板如图甲放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A-45°,∠D=30°,斜边AB=6,DC=7,把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图乙),此时AB与CD1交于点O,则线段AD1的长度为()A.32B.5 C.4 D31【答案】B【解析】【分析】【详解】由题意易知:∠CAB=45°,∠ACD=30°,若旋转角度为15°,则∠ACO=30°+15°=45°.∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°.在等腰Rt△ABC中,AB=6,则AC=BC=32同理可求得:AO=OC=3.在Rt △AOD1中,OA=3,OD 1=CD 1-OC=4,由勾股定理得:AD 1=5.故选B .4.长度分别为2,7,x 的三条线段能组成一个三角形,的值可以是( )A .4B .5C .6D .9 【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系可判断x 的取值范围,进而可得答案.【详解】解:由三角形三边关系定理得7-2<x <7+2,即5<x <9.因此,本题的第三边应满足5<x <9,把各项代入不等式符合的即为答案.4,5,9都不符合不等式5<x <9,只有6符合不等式,故选C .【点睛】本题考查的是三角形的三边关系,属于基础题型,掌握三角形的三边关系是解题的关键.5.如图,OA =OB ,OC =OD ,∠O =50°,∠D =35°,则∠OAC 等于( )A .65°B .95°C .45°D .85°【答案】B【解析】【分析】 根据OA =OB ,OC =OD 证明△ODB ≌△OCA ,得到∠OAC=∠OBD ,再根据∠O =50°,∠D =35°即可得答案.【详解】解:OA =OB ,OC =OD ,在△ODB 和△OCA 中,OB OA BOD AOC OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ODB ≌△OCA (SAS ),∠OAC=∠OBD=180°-50°-35°=95°,故B 为答案.【点睛】本题考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.6.如图,ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点O ,AD BD ⊥,30ABD ∠=︒,若23AD =.则OC 的长为( )A .3B .3C 21D .6【答案】C【解析】【分析】 先根据勾股定理解Rt ABD △求得6BD =,再根据平行四边形的性质求得3OD =,然后根据勾股定理解Rt AOD △、平行四边形的性质即可求得21OC OA ==【详解】解:∵AD BD ⊥∴90ADB ∠=︒∵在Rt ABD △中,30ABD ∠=︒,23AD =∴243AB AD ==∴226BD AB AD =-=∵四边形ABCD 是平行四边形∴132OB OD BD ===,12OA OC AC == ∴在Rt AOD △中,23AD =3OD = ∴2221OA AD OD += ∴21OC OA ==故选:C【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点,熟练掌握相关知识点是解决问题的关键.7.如图,11∥l 2,∠1=100°,∠2=135°,则∠3的度数为( )A.50°B.55°C.65°D.70°【答案】B【解析】【分析】如图,延长l2,交∠1的边于一点,由平行线的性质,求得∠4的度数,再根据三角形外角性质,即可求得∠3的度数.【详解】如图,延长l2,交∠1的边于一点,∵11∥l2,∴∠4=180°﹣∠1=180°﹣100°=80°,由三角形外角性质,可得∠2=∠3+∠4,∴∠3=∠2﹣∠4=135°﹣80°=55°,故选B.【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质,熟练运用平行线的性质是解决问题的关键.∆中,AB的垂直平分线交BC于D,AC的中垂线交BC于E,8.如图,在ABC∠=o,则BAC20DAE∠的度数为( )A.70o B.80o C.90o D.100o【答案】D【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB,EA=EC,在由等边对等角,根据三角形内角和定理求解.【详解】如图所示:∵DM 是线段AB 的垂直平分线,∴DA=DB,B DAB ∠=∠ ,同理可得:C EAC ∠=∠ ,∵ 20DAE ∠=o ,180B DAB C EAC DAE ︒∠+∠+∠+∠+∠=,∴80DAB EAC ︒∠+∠=∴100BAC ︒∠=故选:D【点睛】本题考查了线段的垂直平分线和三角形的内角和定理,解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.9.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC =8,BD =6,点E ,F 分别是边AB ,BC 的中点,点P 在AC 上运动,在运动过程中,存在PE +PF 的最小值,则这个最小值是( )A .3B .4C .5D .6【答案】C【解析】【分析】 先根据菱形的性质求出其边长,再作E 关于AC 的对称点E′,连接E′F ,则E′F 即为PE+PF 的最小值,再根据菱形的性质求出E′F 的长度即可.【详解】解:如图∵四边形ABCD是菱形,对角线AC=6,BD=8,∴AB=2234=5,作E关于AC的对称点E′,连接E′F,则E′F即为PE+PF的最小值,∵AC是∠DAB的平分线,E是AB的中点,∴E′在AD上,且E′是AD的中点,∵AD=AB,∴AE=AE′,∵F是BC的中点,∴E′F=AB=5.故选C.10.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D,则∠D的度数为()A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°【答案】A【解析】【分析】先根据角平分线的定义得到∠1=∠2,∠3=∠4,再根据三角形外角性质得∠1+∠2=∠3+∠4+∠A,∠1=∠3+∠D,则2∠1=2∠3+∠A,利用等式的性质得到∠D=12∠A,然后把∠A的度数代入计算即可.【详解】解答:解:∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∠ACE =∠A +∠ABC ,即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A ,∴2∠1=2∠3+∠A ,∵∠1=∠3+∠D ,∴∠D =12∠A =12×30°=15°. 故选A .【点睛】点评:本题考查了三角形内角和定理,关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析.11.对于图形的全等,下列叙述不正确的是( )A .一个图形经过旋转后得到的图形,与原来的图形全等B .一个图形经过中心对称后得到的图形,与原来的图形全等C .一个图形放大后得到的图形,与原来的图形全等D .一个图形经过轴对称后得到的图形,与原来的图形全等【答案】C【解析】A. 一个图形经过旋转后得到的图形,与原来的图形全等,正确,不符合题意;B. 一个图形经过中心对称后得到的图形,与原来的图形全等,正确,不符合题意;C. 一个图形放大后得到的图形,与原来的图形不全等,故错误,符合题意;D. 一个图形经过轴对称后得到的图形,与原来的图形全等,正确,不符合题意, 故选C.【点睛】本题考查了对全等图形的认识,解题的关键是要明确通过旋转、轴对称、平移等都可以得到与原图形全等的图形,而通过放大或缩小只能得到与原图形形状一样的图形,得不到全等图形.12.如图,90ACB ∠=︒,AC CD =,过D 作AB 的垂线,交AB 的延长线于E ,若2AB DE =,则BAC ∠的度数为( )A .45°B .30°C .22.5°D .15°【答案】C【解析】【分析】连接AD ,延长AC 、DE 交于M ,求出∠CAB=∠CDM ,根据全等三角形的判定得出△ACB ≌△DCM ,求出AB=DM ,求出AD=AM ,根据等腰三角形的性质得出即可.【详解】解:连接AD ,延长AC 、DE 交于M ,∵∠ACB=90°,AC=CD ,∴∠DAC=∠ADC=45°,∵∠ACB=90°,DE ⊥AB ,∴∠DEB=90°=∠ACB=∠DCM ,∵∠ABC=∠DBE ,∴∠CAB=∠CDM ,在△ACB 和△DCM 中CAB CDM AC CDACB DCM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACB ≌△DCM (ASA ),∴AB=DM ,∵AB=2DE ,∴DM=2DE ,∴DE=EM ,∵DE ⊥AB ,∴AD=AM ,114522.522BAC DAE DAC ︒︒∴∠=∠=∠=⨯= 故选:C .【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定,等腰直角三角形,等腰三角形的性质和判定等知识点,能根据全等求出AB=DM 是解此题的关键.13.如图,已知A ,D,B,E 在同一条直线上,且AD = BE, AC = DF,补充下列其中一个条件后,不一定能得到△ABC ≌△DEF 的是( )A .BC = EFB .AC//DFC .∠C = ∠FD .∠BAC = ∠EDF【答案】C【解析】【分析】 根据全等三角形的判定方法逐项判断即可.【详解】∵BE =CF ,∴BE +EC =EC +CF ,即BC =EF ,且AC = DF ,∴当BC = EF 时,满足SSS ,可以判定△ABC ≌△DEF ;当AC//DF 时,∠A=∠EDF ,满足SAS ,可以判定△ABC ≌△DEF ;当∠C = ∠F 时,为SSA ,不能判定△ABC ≌△DEF ;当∠BAC = ∠EDF 时,满足SAS ,可以判定△ABC ≌△DEF ,故选C.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定方法,掌握全等三角形的判定方法是解题的关键,即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL .14.如图,在ABC ∆中,AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交BC 于点E .ABC ∆的周长为19,ACE ∆的周长为13,则AB 的长为( )A .3B .6C .12D .16【答案】B【解析】【分析】 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论.【详解】∵AB 的垂直平分线交AB 于点D ,∴AE=BE ,∵△ACE 的周长=AC+AE+CE=AC+BC=13,△ABC 的周长=AC+BC+AB=19,∴AB=△ABC 的周长-△ACE 的周长=19-13=6,故答案为:B .【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质:垂直平分线垂直且平分其所在线段;垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.15.在直角三角形中,自锐角顶点引的两条中线为10和35,则这个直角三角形的斜边长是( )A .3B .23C .25D .6【答案】D【解析】【分析】根据题意画出图形,利用勾股定理解答即可.【详解】设AC =b ,BC =a ,分别在直角△ACE 与直角△BCD 中,根据勾股定理得到:2222 10235,2a b b a ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩两式相加得:2236a b +=,根据勾股定理得到斜边36 6.==故选:D.【点睛】考查勾股定理,画出图形,根据勾股定理列出方程是解题的关键.16.如图,AD ∥BC ,∠C =30°, ∠ADB:∠BDC= 1:2,则∠DBC 的度数是( )A.30°B.36°C.45°D.50°【答案】D【解析】【分析】直接利用平行线的性质得出∠ADC=150°,∠ADB=∠DBC,进而得出∠ADB的度数,即可得出答案.【详解】∵AD∥BC,∠C=30°∴∠ADC=150°,∠ADB=∠DBC∵∠ADB:∠DBC=1:2∴∠ADB=13×150°=50°,故选D.【点睛】熟练掌握平行线的性质是本题解题的关键.17.如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,连接OC交⊙O于点D,连接BD,∠C=40°.则∠ABD的度数是()A.30°B.25°C.20°D.15°【答案】B【解析】试题分析:∵AC为切线∴∠OAC=90°∵∠C=40°∴∠AOC=50°∵OB=OD ∴∠ABD=∠ODB ∵∠ABD+∠ODB=∠AOC=50°∴∠ABD=∠ODB=25°.考点:圆的基本性质.18.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架,如图.要使这个木架不变形,他至少还要再钉上几根木条?().A .0根B .1根C .2根D .3根【答案】B【解析】 三角形具有稳定性,连接一条对角线,即可得到两个三角形,故选B19.如图,在ABC V 中,分别以点A 和点B 为圆心,以相同的长(大于12AB )为半径作弧,两弧相交于点M 和点N ,作直线MN 交AB 于点D ,交AC 于点E ,连接CD .已知CDE △的面积比CDB △的面积小4,则ADE V 的面积为( )A .4B .3C .2D .1【答案】A【解析】【分析】 由作图步骤可知直线MN 为线段AB 的垂直平分线,根据三角形中线的性质可得S △CDA =S △CDB ,根据△CDE 的面积比△CDB 的面积小4即可得答案.【详解】由作图步骤可知直线MN 为线段AB 的垂直平分线,∴CD 为AB 边中线,∴S △CDA =S △CDB ,∵△CDE 的面积比△CDB 的面积小4,∴S △ADE =S △CDA -S △CDE =S △CDB -S △CDE =4.故选:A .【点睛】本题考查尺规作图——垂直平分线的画法及三角形中线的性质,三角形的中线,把三角形分成两个面积相等的三角形;熟练掌握三角形中线的性质是解题关键.20.如图,在ABC ∆中,33B ∠=︒,将ABC ∆沿直线m 翻折,点B 落在点D 的位置,则12∠-∠的度数是( )A.33︒B.56︒C.65︒D.66︒【答案】D【解析】【分析】由折叠的性质得到∠D=∠B,再利用外角性质即可求出所求角的度数.【详解】解:如图,由折叠的性质得:∠D=∠B=33°,根据外角性质得:∠1=∠3+∠B,∠3=∠2+∠D,∴∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+2∠B=∠2+66°,∴∠1-∠2=66°.故选:D.【点睛】此题考查了翻折变换以及三角形外角性质的运用,熟练掌握折叠的性质是解本题的关键.折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.。
全等三角形难题(含答案)1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD解:延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中 AD=DE∠BDE=∠ADC BD=DC∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2∵在△ABE 中 AB-BE <AE <AB+BE ∵AB=4即4-2<2AD <4+2 1<AD <3 ∴AD=22. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12CD AB延长CD 与P ,使D 为CP 中点。
连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形ADBC∴AB=CP=1/2AB3. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2证明:连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。
∵ ∠ABC=∠AED 。
∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ,可得,∠EFD =CGD DE =DC∠FDE =∠GDC (对顶角)BA CDF2 1 E∴△EFD≌△CGDEF=CG∠CGD=∠EFD又,EF∥AB∴,∠EFD=∠1∠1=∠2∴∠CGD=∠2∴△AGC为等腰三角形,AC=CG又 EF=CG∴EF=AC5.已知:AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠CA证明:延长AB取点E,使AE=AC,连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠CAD∵AE=AC,AD=AD∴△AED≌△ACD (SAS)∴∠E=∠C∵AC=AB+BD∴AE=AB+BD∵AE=AB+BE∴BD=BE∴∠BDE=∠E∵∠ABC=∠E+∠BDE∴∠ABC=2∠E∴∠ABC=2∠C6.已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE证明:在AE上取F,使EF=EB,连接CF∵CE⊥AB∴∠CEB=∠CEF=90°∵EB=EF,CE=CE,∴△CEB≌△CEF∴∠B=∠CFE∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°∴∠D=∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC=∠FAC∵AC=AC∴△ADC≌△AFC(SAS)∴AD=AF∴AE=AF+FE=AD+BE12. 如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。
人教版初中数学三角形全集汇编含答案一、选择题1.如图,四边形ABCD 和EFGH 都是正方形,点E H ,在ADCD ,边上,点F G ,在对角线AC 上,若6AB ,则EFGH 的面积是( )A .6B .8C .9D .12【答案】B【解析】【分析】 根据正方形的性质得到∠DAC =∠ACD =45°,由四边形EFGH 是正方形,推出△AEF 与△DFH 是等腰直角三角形,于是得到DE =22EH =22EF ,EF =22AE ,即可得到结论. 【详解】解:∵在正方形ABCD 中,∠D =90°,AD =CD =AB ,∴∠DAC =∠DCA =45°,∵四边形EFGH 为正方形,∴EH =EF ,∠AFE =∠FEH =90°,∴∠AEF =∠DEH =45°,∴AF =EF ,DE =DH ,∵在Rt △AEF 中,AF 2+EF 2=AE 2,∴AF =EF 2AE , 同理可得:DH =DE =22EH 又∵EH =EF ,∴DE =22EF =22×22AE =12AE , ∵AD =AB =6,∴DE =2,AE =4,∴EH =2DE =22,∴EFGH 的面积为EH 2=(22)2=8,故选:B .【点睛】本题考查了正方形的性质,等腰直角三角形的判定及性质以及勾股定理的应用,熟练掌握图形的性质及勾股定理是解决本题的关键.2.如图,在矩形ABCD 中, 3,4,AB BC ==将其折叠使AB 落在对角线AC 上,得到折痕,AE 那么BE 的长度为( )A .1B .2C .32D .85【答案】C【解析】【分析】 由勾股定理求出AC 的长度,由折叠的性质,AF=AB=3,则CF=2,设BE=EF=x ,则CE=4x -,利用勾股定理,即可求出x 的值,得到BE 的长度.【详解】解:在矩形ABCD 中,3,4AB BC ==,∴∠B=90°,∴22345AC =+=,由折叠的性质,得AF=AB=3,BE=EF ,∴CF=5-3=2,在Rt △CEF 中,设BE=EF=x ,则CE=4x -,由勾股定理,得:2222(4)x x +=-,解得:32x =; ∴32BE =. 故选:C .【点睛】本题考查了矩形的折叠问题,矩形的性质,折叠的性质,以及勾股定理的应用,解题的关键是熟练掌握所学的性质,利用勾股定理正确求出BE的长度.3.如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=12,D是BC的中点,DE⊥AB于点E,则DE的长为()A.65B.85C.125D.245【答案】D【解析】【分析】连接AD,根据已知等腰三角形的性质得出AD⊥BC和BD=6,根据勾股定理求出AD,根据三角形的面积公式求出即可.【详解】解:连接AD∵AB=AC,D为BC的中点,BC=12,∴AD⊥BC,BD=DC=6,在Rt△ADB中,由勾股定理得:22221068AB BD=+=,∵S△ADB=12×AD×BD=12×AB×DE,∴DE=8624105 AD BDAB⨯⨯==,故选D.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质(等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合)、勾股定理和三角形的面积,能求出AD的长是解此题的关键.4.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是()A.2cm,3cm,5cm B.7cm,4cm,2cm C.3cm,4cm,8cm D.3cm,3cm,4cm 【答案】D【解析】【详解】A .因为2+3=5,所以不能构成三角形,故A 错误;B .因为2+4<6,所以不能构成三角形,故B 错误;C .因为3+4<8,所以不能构成三角形,故C 错误;D .因为3+3>4,所以能构成三角形,故D 正确.故选D .5.如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,以点B 为圆心,适当长为半径的画弧,分别交BA ,BC 于点M 、N ;再分别以点M 、N 为圆心,大于12MN 的长为半径画弧,两弧交于点P ,作射线BP 交AC 于点D ,则下列说法中不正确的是()A .BP 是∠ABC 的平分线B .AD=BDC .:1:3CBD ABD S S V V D .CD=12BD 【答案】C【解析】【分析】 A 、由作法得BD 是∠ABC 的平分线,即可判定;B 、先根据三角形内角和定理求出∠ABC 的度数,再由BP 是∠ABC 的平分线得出∠ABD =30°=∠A,即可判定;C ,D 、根据含30°的直角三角形,30°所对直角边等于斜边的一半,即可判定.【详解】解:由作法得BD 平分∠ABC ,所以A 选项的结论正确;∵∠C =90°,∠A =30°,∴∠ABC =60°,∴∠ABD =30°=∠A ,∴AD =BD ,所以B 选项的结论正确;∵∠CBD =12∠ABC =30°, ∴BD =2CD ,所以D 选项的结论正确;∴AD =2CD ,∴S △ABD =2S △CBD ,所以C 选项的结论错误.故选:C .【点睛】此题考查含30°角的直角三角形的性质,尺规作图(作角平分线),解题关键在于利用三角形内角和进行计算.6.如图,在菱形ABCD 中,AB =10,两条对角线相交于点O ,若OB =6,则菱形面积是( )A .60B .48C .24D .96【答案】D【解析】【分析】 由菱形的性质可得AC ⊥BD ,AO =CO ,BO =DO =6,由勾股定理可求AO 的长,即可求解.【详解】解:∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD ,AO =CO ,BO =DO =6,∴AO 22100368AB OB -=-=,∴AC =16,BD =12, ∴菱形面积=12162⨯=96, 故选:D .【点睛】本题考查了菱形的性质,勾股定理,掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键.7.将一个边长为4的正方形ABCD 分割成如图所示的9部分,其中ABE △,BCF V ,CDG V ,DAH V 全等,AEH △,BEF V ,CFG △,DGH V 也全等,中间小正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等,且ABE △是以AB 为底的等腰三角形,则AEH △的面积为( )A .2B .169C .32D .2【答案】C【解析】【分析】【详解】 解:如图,连结EG 并向两端延长分别交AB 、CD 于点M 、N ,连结HF ,∵四边形EFGH 为正方形,∴EG FH =,∵ABE △是以AB 为底的等腰三角形,∴AE BE =,则点E 在AB 的垂直平分线上,∵ABE △≌CDG V ,∴CDG V 为等腰三角形,∴CG DG =,则点G 在CD 的垂直平分线上,∵四边形ABCD 为正方形,∴AB 的垂直平分线与CD 的垂直平分线重合,∴MN 即为AB 或CD 的垂直平分线,则,EM AB GN CD ^^,EM GN =,∵正方形ABCD 的边长为4,即4AB CD AD BC ====,∴4MN =,设EM GN x ==,则42EG FH x ==-,∵正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等,即2114(42)22x x ?-,解得:121,4x x ==,∵4x =不符合题意,故舍去,∴1x =,则S 正方形EFGH 14122==⨯⨯=V ABE S , ∵ABE △,BCF V ,CDG V ,DAH V 全等,∴2====V V V V ABE BCF CDG DAH S S S S ,∵正方形ABCD 的面积4416=⨯=,AEH △,BEF V ,CFG △,DGH V 也全等, ∴1(4=V AEH S S 正方形ABCD − S 正方形EFGH 134)(16242)42-=⨯--⨯=V ABE S , 故选:C .【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质,解题的关键是求得ABE △的面积.8.(11·十堰)如图所示为一个污水净化塔内部,污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材料表面,流向如图中箭头所示,每一次水流流经三角形两腰的机会相同,经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个。
三角形重难点题型汇编(十一大题型)【题型01:三角形的三边关系】【题型02:三角形中线与面积问题】【题型03:三角形中线与周长问题】【题型04:根据三角形的三边关系化简】【题型05:三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】【题型06:三角形内角和定理与折叠问题综合】【题型07:三角形内角和定理与新定义问题综合】【题型08:多边形的对角线】【题型09:截角问题】【题型10:多边形内角和和外角和的综合运算】【题型11:多边形内角和和外角和的综合实际应用】【题型01:三角形的三边关系】1.已知三角形的两边长分别为4cm和7cm,则下列长度的四条线段中能作为第三边的是()A.12cm B.11cm C.6cm D.3cm【答案】C【分析】本题主要考查了三角形的三边关系,解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边;三角形的两边差小于第三边.根据三角形的三边关系可得7―4<x<7+4,再解不等式可得答案.【详解】解:设三角形的第三边为x cm,由题意可得:7―4<x<7+4,即3cm<x<11cm,故选:C.2.若三角形三边长为4 ,2x+1,11 ,则x 的取值范围是()A.3<x<6B.1<x<3C.1<x<5D.3<x<7【答案】D【分析】本题考查三角形三条边的关系和一元一次不等式的解法,根据三角形任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边,列不等式求解即可得出答案.【详解】解:根据三角形三边关系可得出11―4<2x+1<11+4,解得:3<x<7,故选:D.3.在△ABC中,AB=AC,若其周长为20,则AB边的取值范围是()A.1<AB<4B.5<AB<10C.4<AB<8D.4<AB<10【答案】B【分析】本题考查三角形的三边关系、等腰三角形的性质;设AB=AC=x,由三角形的三边关系定理得出x>5,再由边长为正数得出x<10,即可得出结果.掌握三角形的三边关系定理是解题的关键.【详解】解:设AB=AC=x,∵在△ABC中,AB=AC,若其周长为20,∴BC=20―2x,∵AB+AC>BC,即x+x>20―2x,解得:x>5,又∵BC=20―2x>0,解得:x<10,∴5<x<10,即5<AB<10.故选:B.4.若一个三角形的边长均为整数,且两边长分别为3和5,则这样的三角形共有个.【答案】5【分析】本题主要考查了三角形的三边关系,解题的关键是掌握三角形三边关系定理:三角形两边之和大于第三边.三角形的两边差小于第三边.设第三边的长为x,根据三角形的三边关系的定理可以确定x的取值范围,进而得到答案.【详解】解:设第三边的长为x,则5―3<x<5+3,所以2<x<8.∵x为整数,∴x可取3,4,5,6,7.∴这样的三角形共有5个,故答案为:5.5.一个三角形的两边长分别为5和7,若x为最长边且为整数,则此三角形的周长为.【题型02:三角形中线与面积问题】6.如图,在△ABC中,D是BC的中点,若△ABC的面积是4,则△ADC的面积是( )A.1B.2C.2.5D.3【答案】B【分析】本题考查了三角形的面积和中线的性质:三角形的中线将三角形分为相等的两部分,知道中线将三角形面积分为相等的两部分是解题的关键.根据中线将三角形面积分为相等的两部分即可求解.【详解】∵在△ABC中,D是BC的中点,△ABC的面积是4,∴△ADC的面积是△ABC的面积的一半∴△ADC的面积是2故选:B.7.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,AD是BC边上的中线,则△ABD的面积为()A.3B.4C.5D.68.如图,已知AD和DE分别是△ABC和△ABD的中线,若△ABC的面积是8,则△BDE的面积是()A.2B.3C.4D.5【答案】A10.如图所示,在△ABC中,已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点,且△ABC的面积为96,则△BEF的面积是()A.48B.32C.24D.1611.如图,把△ABC的三边BA、CB和AC分别向外延长一倍,将得到的点A′、B′、C′顺次连接成△A′B′C′,若△ABC的面积是5,则△A′B′C′的面积是.由题意得:AB=AA′,BC∴S△AA′B′=S△ABB′=S△ABC=5,∴S△A′B′C′=S△AA′B′+S△ABB【题型03:三角形中线与周长问题】12.如图,在△ABC中,点D是BC边上的中点,若△ABD和△ACD的周长分别为16和11,则AB―AC的值为()A.5B.11C.16D.2713.如图,CM是△ABC的中线,BC=8cm,若△BCM的周长比△ACM的周长大2cm,则AC的长为cm.【答案】6【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义,根据中线的定义得出AM=BM,由△BCM 的周长比△ACM的周长大2cm,得BC―AC=2,代入即可求解,熟练掌握三角形中线的有关计算是解题的关键.【详解】∵CM是△ABC的中线,∴AM=BM,由△BCM的周长为BC+BM+MC,△ACM的周长AC+AM+MC,∵△BCM的周长比△ACM的周长大2cm,∴BC+BM+MC―(AC+AM+MC)=BC―AC=2,∵BC=8cm,∴AC=6cm,故答案为:6.14.如图,在△ABC中,点E是BC的中点,AB=7,AC=10,△ACE的周长是25,则△ABE 的周长是.【答案】22【分析】根据点E是BC的中点,得到CE=BE,根据AC=10,△ACE的周长是25,得到AE+CE=25―10=15继而得到AE+BE=15,结合AB+AE+BE=15+7=22解答即可.本题考查了中点的意义,三角形周长的计算,熟练掌握中点和三角形周长的意义是解题的关键.【详解】解:∵△ACE的周长是25,,∴AE+CE+AC=25,∵AC=10,∴AE+CE=25―10=15,∵点E是BC的中点,∴CE=BE,∴△ABE的周长AB+AE+BE=15+7=22,故答案为:22.15.如图,E是边BC的中点,若AB=4,△ACE的周长比△AEB的周长多1,则AC=.【答案】5【分析】本题考查了三角形的中线,掌握理解三角形中线的定义是解题关键.先根据三角形中线的定义可得BE=CE,再根据三角形的周长公式即可得.【详解】解:∵E是边BC的中点,∴BE=CE,∵△ACE的周长比△AEB的周长多1,且AB=4,∴AC+AE+CE―(AB+AE+BE)=1,即AC―4=1,∴AC=5,故答案为:5.16.如图,在△ABC中,AB=9,AC=7,AD是中线.若△ABD的周长为19,则△ACD 的周长为.【答案】17【分析】本题考查了三角形的中线,三角形的周长公式,根据三角形的中线的定义可得BD=CD,然后求出△ABD与△ACD的周长之差=AB―AC,掌握中线的定义及三角形的周长公式是解题的关键.【详解】解:∵AD为中线,∴BD=CD,∴△ABD的周长为:AB+AD+BD,△ACD的周长为:AC+AD+CD,∴△ABD与△ACD的周长差为:AB―AC=9―7=2,∵△ABD的周长为19,∴△ACD的周长为17,故答案为:17.【题型04:根据三角形的三边关系化简】17.已知△ABC三边分别是a、b、c,化简|a+b―c|―|c―a+b|+|b―a―c|=【答案】3a―b―c【分析】本题考查三角形的三边关系,绝对值的性质,整式的加减运算.根据三角形的任意两边之和大于第三边可得a+b>c,a+c>b,c+b>a,再根据绝对值的性质去掉绝对值符号,然后利用整式的加减运算进行计算即可得解.【详解】解:∵a、b、c分别为△ABC的三边长,∴a+b>c,a+c>b,c+b>a∴a+b―c>0,b―a―c<0,c―a+b>0,∴|a+b―c|―|c―a+b|+|b―a―c|=a+b―c―(c―a+b)+(―b+a+c)=a+b―c―c+a―b―b+a+c=3a―b―c故答案为:3a―b―c.18.已知a、b、c是三角形的三边长,化简:|a―b―c|―|b―a―c|=.【答案】2b―2a【分析】本题考查了三角形三边关系的应用,绝对值的意义,整式的加减运算,掌握三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边是解题关键.根据三角形的三边关系可知,a<b+c,b<a+c,进而去绝对值符号,合并同类项即可.【详解】解:a、b、c是三角形的三边长,∴a<b+c,b<a+c,∴a―(b+c)=a―b―c<0,b―(a+c)=b―a―c<0,∴|a―b―c|―|b―a―c|=b+c―a―(a+c―b)=b+c―a―a―c+b=2b―2a,故答案为:2b―2a.19.已知a、b、c是一个三角形的三边长.(1)若a=3,b=5,则c的取值范围是_______.(2)试化简:|b+c―a|+|b―c―a|+|c―a―b|.【答案】(1)2<c<8(2)a+b+c【分析】本题考查三角形三边关系,化简绝对值,关键是掌握三角形三边关系定理:三角形两边之和大于第三边,三角形的两边差小于第三边;正有理数的绝对值是它本身,负有理数的绝对值是它的相反数.(1)由三角形三边关系定理即可得到答案;(2)由绝对值的意义和三角形三边关系定理即可化简.【详解】(1)解:由三角形三边关系定理得:5―3<c<3+5,∴2<c<8.故答案为:2<c<8.(2)解:∵b+c>a,a+c>b,a+b>c,∴|b+c―a|+|b―c―a|+|c―a―b|=b+c―a+a+c―b+a+b―c=a+b+c.20.已知△ABC的三边长是a,b,c.(1)若a=6,b=8,且三角形的周长是小于22的偶数,求c的值;(2)化简|a+b―c|+|c―a―b|.【答案】(1)c=4或6(2)2a+2b―2c【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值,熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键.(1)由三角形三边关系结合三角形的周长是小于22的偶数,得出2<c<8,即可得出答案;(2)由三角形三边关系得a+b>c,再利用绝对值的性质化简即可.【详解】(1)解:∵△ABC的三边长是a,b,c,a=6,b=8,∴8―6<c<8+6,即2<c<14,∵三角形的周长是小于22的偶数,∴2<c<8,∴c=4或6;(2)解:由三角形三边关系得:a+b>c,∴a+b―c>0,c―a―b=c―(a+b)<0,∴|a+b―c|+|c―a―b|=a+b―c―(c―a―b)=a+b―c―c+a+b=2a+2b―2c.21.已知a,b,c是△ABC三边的长.(1)若a,b,c满足|a―b|+|b―c|=0,试判断△ABC的形状;(2)化简|a+b―c|+|a―b―c|+|c―a―b|+|b―a―c|.【答案】(1)等边三角形(2)2a+2b【分析】本题考查化简绝对值、不等式的性质、三角形的三边关系和三角形分类;(1)根据非负数的性质,可得出a=b=c,进而得出结论;(2)利用三角形的三边关系得到a―b―c<0,b―c―a<0,c―a―b<0,然后去绝对值符号后化简即可.【详解】(1)∵|a―b|+|b―c|=0,∴a―b=0且b―c=0,∴a=b=c,∴△ABC为等边三角形;(2)∵a,b,c是△ABC的三边长,∴b+c>a,a+c>b,a+b>c,∴a―b―c<0,b―a―c<0,c―a―b<0,∴|a+b―c|+|a―b―c|+|c―a―b|+|b―a―c|=a+b―c―a+b+c―c+a+b―b+a+c=2a+2b.【题型05:三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】22.如图,在△ABC中,∠B=46°,∠C=80°,AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC交BC于点E,DF⊥AE于点F.(1)求∠BAE的度数;(2)求∠ADF的度数.23.如图,△ABC中,∠B<∠C,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC交BC于E,(1)当∠B=30°,∠C=50°时,求∠DAE的度数;(2)猜想:∠DAE与∠B、∠C有什么关系,并说明理由.24.△ABC中,∠C>∠B,AD是高,AE是三角形的角平分线.(1)当∠B=24°,∠C=68°时,求∠DAE的度数;(2)根据第(1)问得到的启示,∠C―∠B与∠DAE之间有怎样的等量关系,并说明理由.25.如图所示,在△ABC中,AD是高,AE、BF是角平分线,它们相交于点O,∠BAC= 60°,∠C=70°.(1)求∠EAD的度数;(2)求∠BOA的度数.【题型06:三角形内角和定理与折叠问题综合】26.如图,将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠,点C的对应点为点E,BE交AD于点O.若∠CBD=31°,则∠BOD的度数为()A.118°B.111°C.101°D.62°27.如图,把三角形纸片ABC折叠,使得点B,点C都与点A重合,折痕分别为DE,MN,若∠BAC=110°,则∠DAM的度数为()A.40°B.60°C.70°D.80°【答案】A【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质,由三角形内角和定理得出∠B+∠C=70°,由折叠的性质可得:∠B=∠DAE,∠C=∠CAM,从而得出∠BAD+∠CAM=70°,即可得出答案.【详解】解:∵∠B+∠C+∠BAC=180°,∠BAC=110°,∴∠B+∠C=180°―∠BAC=70°,由折叠的性质可得:∠B=∠DAE,∠C=∠CAM,∴∠BAD+∠CAM=70°,∵∠BAD+∠CAM+∠DAM=110°,∴∠DAM=40°,故选:A.28.如图,△ABC是一张纸片,把∠C沿DE折叠,点C落在点C′的位置,若∠C=30°,则α+β的度数是()A.30°B.40°C.50°D.60°【答案】D【分析】此题考查了翻折变换(折叠问题)三角形内角和定理以及平角的定义,熟练掌握折叠的性质是解本题的关键.由折叠的性质得到∠C′=∠C,∠CED=∠C′ED,∠CDE=∠C′DE,再利用三角形内角和定理及平角的定义即可求出所求α+β的度数.【详解】解:由折叠的性质得:∠C′=∠C,∠CED=∠C′ED,∠CDE=∠C′DE,∴∠C′ED+∠C′DE=180°―∠C′=150°,∴∠CED+∠C′ED+∠CDE+∠C′DE=300°,∵∠α+∠β+∠C′ED+∠CED+∠C′DE+∠CDE=360°,∴α+β=360°―300°=60°,故选:D.29.如图,将△ABC沿DE折叠,点A落在点F处,已知∠1+∠2=100°,则∠F=度.30.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在B边上,将△CBD沿CD折叠,使点B恰好落在AC边上的点E处.若∠A=22°,则∠CDE度数为.【答案】67°/67度【分析】根据折叠的性质和直角三角形的有关知识求解即可.本题考查的是直角三角形和折叠的性质,解题的关键是根据折叠的性质找到对应相等的角.【详解】解:∵将△CBD沿CD折叠,使点B恰好落在AC边上的点E处,∠ACB=90°,∴∠BCD=∠ECD=45°,∠B=∠CED,∵∠A=22°,∴∠B=90°―22°=68°,∴∠CED=∠B=68°,∴∠CDE=180°―45°―68°=67°,故答案为:67°.31.如图甲所示三角形纸片ABC中,∠B=∠C,将纸片沿过点B的直线折叠,使点C落到AB 边上的E点处,折痕为BD(如图乙).再将纸片沿过点E的直线折叠,点A恰好与点D重合,折痕为EF(如图丙),则∠ABC的大小为°.32.如图,把长方形纸片ABCD沿折痕EF折叠,使点B与点D重合,点A落在点G处,∠DFG=70°,则∠BEF的度数为.33.如图,△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,连接CD,将△BDC沿CD对折得到△EDC,点E恰好在AC上,若∠ADE=20°,则∠B=.【答案】55°/55度【分析】本题考查折叠的性质,三角形的内角和定理,根据折痕是角平分线,求出∠BCD,∠BDC 的度数,进而求出∠B的度数即可.【题型07:三角形内角和定理与新定义问题综合】34.新定义:在△ABC中,若存在最大内角是最小内角度数的n倍(n为大于1的正整数),则称△ABC为“n倍角三角形”. 例如,在△ABC中,若∠A=90°,∠B=60°,则∠C=30°,因为∠A最大,∠C最小,且∠A=3∠C,所以△ABC为“3倍角三角形”.(1)在△DEF中,若∠E=40°,∠F=60°,则△DEF为“_______倍角三角形”.(2)如图,在△ABC中,∠C=36°,∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D,若△ABD为“6倍角三角形”,请求出∠ABD的度数.【答案】(1)2(2)18°或54°【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠D,根据n倍角三角形的定义判断;(2)根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠ADB,n倍角三角形的定义分情况讨论计算,得到答案.【详解】(1)解:在△DEF中,∠E=40°,∠F=60°,则∠D=180°﹣∠E﹣∠F=80°,∴∠D=2∠E,∴△DEF为“2倍角三角形”,故答案为:2;(2)解:∵∠C=36°,35.定义:在一个三角形中,如果有一个角是另一个角的1,我们称这两个角互为“友爱角”,2这个三角形叫作“友爱三角形”.例如:在△ABC中,如果∠A=80°,∠B=40°,那么∠A与∠B 互为“友爱角”,△ABC为“友爱三角形”(1)如图1,△ABC是“友爱三角形”,且∠A与∠B互为“友爱角”(∠A>∠B),∠ACB=90°.①求∠A、∠B的度数.②若CD是△ABC中AB边上的高,则△ACD、△BCD都是“友爱三角形”吗?为什么?(2)如图2,在△ABC中,∠ACB=70°,∠A=66°,D是边AB上一点(不与点A,B重合),连接CD,若△ACD是“友爱三角形”,直接写出∠ACD的度数.【答案】(1)①∠A=60°,∠B=30°;②△ACD、△BCD都是“友爱三角形”,理由见解析(2)33°或38°∴∠A+3∠ACD=180°,即3∠ACD=114°,∴∠ACD=38°,综上所述,∠ACD的度数为33°或38°.36.【定义】如果两个角的差为30°,就称这两个角互为“伙伴角”,其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”.例如:α=50°,β=20°,α―β=30°,即α是β的“伙伴角”,β也是α的“伙伴角”.(1)已知∠1和∠2互为“伙伴角”,且∠1+∠2=90°,则∠1=.(2)如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,过点C作AB的平行线CM,∠ABC的平分线BD 分别交AC,CM于D、E两点①若∠A>∠BEC,且∠A和∠BEC互为“伙伴角”,求∠A的度数;②如图2所示,∠ACM的平分线CF交BE于点F,当∠A和∠BFC互为“伙伴角”时,∠A的度数为多少?【题型08:多边形的对角线】37.过多边形的一个顶点可以作4条对角线,则这个多边形的边数是()A.六B.七C.八D.九【答案】B【分析】本题考查了多边形的对角线,掌握过n边形的一个顶点可以作(n―3)条对角线是解题关键.过n边形的一个顶点可以作(n―3)条对角线,据此解答即可.【详解】解:设多边形的边数是n,由题意得:n―3=4,∴n=7.∴这个多边形的边数是七.故选:B.38.从某多边形一个顶点出发连接其余各顶点得7条对角线,则这个多边形的边数为()A.7B.8C.9D.1039.某多边形由一个顶点引出的对角线可以将该多边形分成10个三角形,则这个多边形的边数是()A.11B.12C.13D.14【答案】B【分析】此题考查了多边形对角线条数,n边形从一个顶点出发可以引出(n―3)条对角线,把多边形分成(n―2)个三角形,据此作答即可.【详解】解:设这个多边形的边数是n,则n―2=10,解得n=12,即这个多边形的边数是12,故选:B.40.从多边形的一个顶点出发,可以作8条对角线,则该多边形的边数是()A.九B.十C.十一D.十二【答案】C【分析】本题主要考查了多边形的对角线,掌握n边形从一个顶点出发可引出(n―3)条对角线求解即可.【详解】解:设多边形边数为n,由题意得:n―3=8,∴n=11,故选:C.【题型09:截角问题】41.将一张正方形的纸片减去一个角后,剩下纸片的角的个数为()A.5B.3或4C.4或5D.3或4或5∴剩下纸片的角的个数为3或4或5;故选D.【点睛】本题主要考查了在不同情况下正方形的不同剪法,做此题考虑要全面不要遗漏,42.若一个多边形截去一个角后变成了六边形,则原来多边形的边数可能是()A.5或6B.6或7C.5或6或7D.6或7或8【答案】C【分析】实际画图,动手操作一下,可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到.【详解】解:如图,原来多边形的边数可能是5,6,7.故选C【点睛】本题考查的是截去一个多边形的一个角,解此类问题的关键是要从多方面考虑,注意不能漏掉其中的任何一种情况.43.一个n边形削去一个角后变成(n+1)边形,其内角和变为2 520°,则原多边形的边数是()A.7B.10C.14D.15【答案】D【分析】根据多边形内角和公式可得:(n+1)边形内角和=(n+1-2)×180=2520度,可求得结果.【详解】因为(n+1)边形内角和=(n+1-2)×180=2520度所以多边形边数n=2520÷180+1=15故选D【点睛】本题考查了多边形内角和公式,熟练掌握公式是解题的关键.44.一个多边形截去一个角后,形成一个六边形,那么原多边形边数为.【答案】5或6或7【分析】实际画图,数形结合,可知六边形可以是五边形,六边形,七边形截去一个角后得到.【详解】解:如图所示:六边形可以是五边形,六边形,七边形截去一个角后得到.故答案为:5或6或7.【点睛】本题主要考查了多边形,此类问题要从多方面考虑,注意不能漏掉其中的任何一种情况.【题型10:多边形内角和和外角和的综合运算】45.若正多边形的一个外角的度数为45°,则这个正多边形的内角和度数为()A.540°B.720°C.1080°D.1440°【答案】C【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理及多边形的内角和公式.先根据多边形的外角和定理求出多边形的边数,再根据多边形的内角和公式求出这个正多边形的内角和.【详解】解:正多边形的边数为:360°÷45°=8,则这个多边形是正八边形,所以该正多边形的内角和为(8―2)×180°=1080°.故选:C.46.一个正多边形,它的每个内角都等于相邻外角的5倍,则这个正多边形是()A.正五边形B.正十边形C.正十二边形D.不存在47.若一个多边形的内角和是外角和的3倍,则这个多边形的边数是()A.5B.6C.8D.10【答案】C【分析】本题考查了多边形的内角和和外角和问题,设这个多边形的边数为n,根据多边形的内角和公式和外角和并结合题意得出等式,计算即可得出答案.【详解】解:设这个多边形的边数为n,由题意得:(n―2)⋅180°=360°×3,解得:n=8,故这个多边形的边数是8,故选:C.48.如图所示,七边形ABCDEFG中,AB,ED的延长线相交于点O,若图中∠1,∠2,∠3,∠4的和为240°,则∠BOD的度数为()A.40°B.45°C.50°D.60°∵任意多边形的外角和均为360°且∠1,∠2,∠3,∠4的和为∴∠CDO+∠HCD+∠OBH=即:∠OHB+∠OBH=120°49.一个正多边形的一个内角是与其相邻的一个外角的3倍,则这个正多边形的边数是.【答案】8【分析】首先设正多边形的一个外角等于x°,由在正多边形中,一个内角的度数恰好等于它相邻的外角的3倍,即可得方程:x+3x=180,解此方程即可求得答案.此题考查了多边形的内角和与外角和的知识.此题难度不大,方程思想的应用是解题的关键.【详解】解:设正多边形的一个外角等于x°,∵一个内角的度数恰好等于它相邻的外角的3倍,∴这个正多边形的一个内角为:3x°,∴x+3x=180,解得:x=45,∴这个正多边形的边数是:360°÷45°=8.故答案为:8.50.一个多边形的内角和比外角和的4倍少180度,求这个多边形的边数.【题型11:多边形内角和和外角和的综合实际应用】51.创客小组的同学给机器人设定了如图的程序,机器人从点O出发,沿直线前进3米后左转18°,再沿直线前进3米,又向左转18°……照这样走下去,机器人第一次回到出发地O点时,一共走的路程是()A.18米B.54米C.60米D.90米【答案】C【分析】本题考查了多边形的外角和定理的应用.由题意可知机器人所走的路线为一个正多边形,根据多边形的外角和,即可求出答案.【详解】解:由题意可知机器人所走的路线为一个正多边形,该正多边形的边数为:360°÷18°=20,∴他需要走20次才会回到原来的起点,即一共走了20×3=60(米).故选:C.52.某科技小组制作了一个机器人,它能根据指令要求进行行进和旋转,某一指令规定:机器人先向前方行走5m,然后左转20°,若机器人反复执行这一指令,则从出发到第一次回到原处,机器人一共走了()A.45m B.60m C.90m D.120m53.如图,蚂蚁先从点A出发前进6cm,向右转72°,再前进6cm,又向右转72°,…,这样一直走下去,那么蚂蚁第一次回到出发点A时,一共走了cm.【答案】30【分析】本题主要考查了多边形内角与外角的应用,解题的关键是判断出蚂蚁所走的路线为正多边形,牢记任何一个多边形的外角和都是360°,正多边形的每一个外角都相等.由题意可知蚂蚁所走的路线为正多边形,根据多边形的外角和定理即可求出答案.【详解】解:∵蚂蚁从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形,∴根据外角和定理可知正多边形的边数为n=360°÷72°=5,则一共走了5×6=30(厘米).故答案为:30.54.小宇阅读了一篇《东方窗棂之美》的文章,文章中有一张如图1所示的图片,图中有许多不规则的多边形组成,代表一种自然和谐美.如图2是从图1图案中提取的由六条线段组成的图形,若∠1=60°,则∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是.。
人教五四学制版七年级下册数学第18章全等三角形含答案一、单选题(共15题,共计45分)1、下列命题:如图,正方形ABCD中,E、F分别为AB、AD上的点,AF=BE,CE、BF交于H,BF交AC于M,O为AC的中点,OB交CE于N,连OH.下列结论中:①BF⊥CE;②OM=ON;③ ;④ .其中正确的命题有()A.只有①②B.只有①②④C.只有①④D.①②③④2、在△ABC中,AB=3,AC=4,延长BC至D,使CD=BC,连接AD,则AD的长的取值范围为()A.1<AD<7B.2<AD<14C.2.5<AD<5.5D.5<AD<113、如图,线段AC与BD交于点0,且OA=OC,请添加一个条件,使△AOB≌△COD,这个条件是( )A.AC=BDB.OD=OCC.∠A=∠CD.OA=OB4、如图,等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点,M为EF的中点,延长AM交BC于点N,连接DM,下列结论:①AE=AF;②DF=DN;③AE=CN;④△AMD和△DMN的面积相等,其中错误的结论个数是()A.3个B.2个C.1个D.0个5、如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点O 作EF∥BC,EF与AB、CD分别相交于点E、F,则△DOF的面积与△BOA的面积之比为()A.1:2B.1:4C.1:8D.1:166、如图,将两根钢条 AA',BB' 的中点连接在一起,使AA',BB' 可以绕着点O自由转动,就做成了一个测量工具(卡钳),则图中AB的长等于内槽宽A′B′ ,那么判定△OAB≌△OA′B′ 的理由是( )A.边角边B.边边边C.角边角D.角角边7、如图,在中,,,,BD平分,则点D到AB的距离等于( )A.4B.3C.2D.18、如图,在等边△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,过点D作DE⊥BC于点E,且CE=1.5,则AB的长为()A.3B.4.5C.6D.7.59、如图,四边形ABCD是正方形,直线a,b,c分别通过A、D、C三点,且a∥b∥c.若a与b之间的距离是5,b与c之间的距离是7,则正方形ABCD的面积是()A.70B.74C.144D.14810、如图所示,在下列条件中,不能判断△ABD≌△BAC的条件是()A.∠D=∠C,∠BAD=∠ABCB.∠BAD=∠ABC,∠ABD=∠BACC.BD=AC,∠BAD=∠ABCD.AD=BC,BD=AC11、如图,∠B=∠D=90°,CB=CD,∠1=30°,则∠2=()A.30°B.40°C.50°D.60°12、如图,已知,添加下列条件还不能判定≌ 的是()A. B. C. D.13、如图,有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上.已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是()A.60°B.90°C.120°D.150°14、如图,过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC 延长线一点,当PA=CQ时,连结PQ交AC于D,则DE的长为()A. B. C. D.15、如图,是三条两两相交的笔直公路,某物流公司现要修建一个货物中转站,使它到三条公路的距离相等,这个货物中转站可选的位置有()A.1个B.3个C.4个D.5个二、填空题(共10题,共计30分)16、如图,△ABC 中,AB=4,AC=2,D 是 BC 中点,若 AD 的长是整数,则AD=________.17、如图,已知AB⊥CD,垂足为B,BC=BE,若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE,则需要添加的一个条件是________18、如图,矩形ABCD中,AB=8,点E是AD上的一点,有AE=4,BE的垂直平分线交BC的延长线于点F,连结EF交CD于点G.若G是CD的中点,则BC的长是________.19、如图,已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上,O是坐标原点,则对角线OB长的最小值为________.20、在中,,截三边所得的线段相等,那么的度数是________.21、如图,AD和CB相交于点E,BE=DE,请添加一个条件,使△ABE≌△CDE (只添一个即可),你所添加的条件是________.22、如图,在△ABC中,D为BC边中点,P为AC边中点,E为BC上一点且BE =CE,连接AE,取AE中点Q并连接QD,取QD中点G,延长PG与BC边交于点H,若BC=6,则HE=________.23、如图,在中,,为边上一点,,平分的外角,且.连接交于为边上一点,满足,连接交于H.以下结论:①;② ;③ ;④若平分,则平分正确的是________.24、如图,在正方形OABC中,点A的坐标是(-3,1),点B的纵坐标是4,则B点的横坐标是________.25、如图,△ABD≌△CBD,若∠A=100˚,∠ABC=80˚,则∠BDC=________.三、解答题(共5题,共计25分)26、如图,∠C=∠D=90°,DA=CB,∠CBA=28°,求∠DAC.27、如图,点B、E、C、F在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证:AB∥DE.28、如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BF=DE,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.(1)求证:△ABE≌△CDF;(2)若AC与BD交于点O,求证:AO=CO.29、如图,△ABC中,AB=AC,M是BC的中点,过点M作ME⊥AB、MF⊥AC,垂足分别为E、F.求证:ME=MF.30、已知:如图,已知点在同一直线上,是垂足,,求证:.参考答案一、单选题(共15题,共计45分)1、B2、D3、C4、D5、A6、A7、C8、C9、B11、D12、A13、B14、A15、C二、填空题(共10题,共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题,共计25分)27、29、。
三角形与角有关的压轴题训练多边形内角和(n−3602∵AMD EMF ∠=∠,180AMD FAD ADE ∠+∠+∠=︒,180E F EMF ∠+∠+∠=︒ E F ADE FAD ∴∠+∠=∠+∠∴BAF B C CDE E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠BAD ADC B C =∠+∠+∠+∠360=; 故答案为:360°(2)如图,连接AE ,FE 交AH 于点M∴360F G H FMH ∠+∠+∠+∠=︒,180AME MAE MEA ∠+∠+∠=︒ ∵AME FMH ∠=∠∴()180360F G H MAE MEA ∠+∠+∠+︒−∠−∠=︒ ∴180MAE MEA F G H ∠+∠=∠+∠+∠−︒∵()52180540BAM B C D MED MEA MAE ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=−⨯︒= ∴()180540BAM B C D MED F G H ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠−︒= ∴540180720BAM B C D MED F G H ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=+︒=︒ ∴二环四边形的内角和为:720︒∵二环三角形的内角和为:()36036032︒=︒⨯− 二环四边形的内角和为:()720360236042︒=︒⨯=︒⨯−∴二环五边形的内角和为:()360521080︒⨯−=︒ ∴二环n 边形的内角和为:()3602n − 故答案为:720,1080,()3602n −.【点睛】本题考查了多边形内角和、对顶角、数字规律的知识;解题的关键是熟练掌握三角形内角和、多边形内角和、数字规律的性质,从而完成求解.3.如图,ACP PCD ∠=∠,ABP PBD ∠=∠,且80A ∠=︒,120D ∠=︒,则P ∠的度数为 °.【答案】100【分析】设ACP PCD x ∠=∠=,ABP PBD y ∠=∠=,根据三角形内角和公式可求得1002AEC x ∠=︒−,602DEB y ∠=︒−,推得20x y =+,根据三角形内角和公式可求得120P x y ∠=︒−+,将20x y =+代入即可求解.【详解】解:设ACP PCD x ∠=∠=,ABP PBD y ∠=∠=,如图:∵80A ∠=︒,120D ∠=︒,在ACE △中,1801808021002AEC ACE A x x ∠=︒−∠−∠=︒−︒−=︒−, 在DBE 中,1801801202602DEB DBE D y y ∠=︒−∠−∠=︒−︒−=︒−, 又∵AEC DEB ∠=∠,∴1002602x y ︒−=︒−,故20x y =+, 在DBF 中,180********DFB DBF D y y ∠=︒−∠−∠=︒−︒−=︒−, 在DBF 中,60PFC DFB y ∠=∠=︒−,()180********P PCE DFB x y x y ∠=︒−∠−∠=︒−−︒−=︒−+,将20x y =+代入可得12020100P ∠=︒−=︒;故答案为:100.【点睛】本题考查了三角形内角和定理,熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.4.(1)如图①,你知道∠BOC=∠B+∠C+∠A的奥秘吗?请用你学过的知识予以证明;(2)如图②,设x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E,运用(1)中的结论填空.x=____________°;x=____________°;x=____________°;(3)如图③,一个六角星,其中∠BOD=70°,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=________°.【答案】(1)证明见解析. (2)180;180;180;(3)140【分析】(1)首先延长BO交AC于点D,可得BOC=∠BDC+∠C,然后根据∠BDC=∠A+∠B,判断出∠BOC=∠B+∠C+∠A即可.(2)a、首先根据外角的性质,可得∠1=∠A+∠B,∠2=∠C+∠D,然后根据∠1+∠2+∠E=180°,可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180,据此解答即可.b、首先根据外角的性质,可得∠1=∠A+∠B,∠2=∠C+∠D,然后根据∠1+∠2+∠E=180°,可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180,据此解答即可.c、首先延长EA交CD于点F,EA和BC交于点G,然后根据外角的性质,可得∠GFC=∠D+∠E,∠FGC=∠A+∠B,再根据∠GFC+∠FGC+∠C=180°,可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°,据此解答即可.(3)根据∠BOD=70°,可得∠A+∠C+∠E=70°,∠B+∠D+∠F=70°,据此求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是多少即可.【详解】(1)证明:如图,延长BO交AC于点D,则∠BOC=∠BDC+∠C,又∵∠BDC=∠A+∠B,∴∠BOC=∠B+∠C+∠A.(2)180;180;180;(3)140【点睛】(1)此题主要考查了三角形的内角和定理,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:三角形的内角和是180°.(2)此题还考查了三角形的外角的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①三角形的外角和为360°.②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.③三角形的一个外角角度之间的数量关系ABC 中, 【变式拓展】当点E 与点A 不重合时,连接ED ,设ADE α∠=,ACB β∠=. (1)如图2,BED ∠的平分线交BD 于点O . ①当50α=︒,80β=︒时,EOD ∠=____________︒; αβ在ABC内部和点在ABC外部,利用角平分线的定义,三角形内角)ABC中,∠=BAC∠=ABC∠=︒)C mAO平分∠=ADE∠=ACB②ADE α∠=,ACB β∠=,CDG α∴∠=,180ACG β∠=︒−,180G CDG ACG βα∴∠=︒−∠−∠=−, 180180ABG BEG G αβ∴∠+∠=︒−∠=︒+−,在ABC 内部时,令 ACB β∠=,CF 平分∠1122ACF ACB β∴∠=∠=,ADE ACF CHD ∠=∠+∠AED ∠+EF 平分F DEF ∠+∠ABC ∠+∠在ABC 外部时,令 ACB β∠=,CF 平分ACB ∠,1122ACF ACB β∴∠=∠=, 12CKB A ACF A β∴∠=∠+∠=∠+,1AED ∠=F FEK ∠+∠COD ∠= (1)如图2,一束光线DE 射到平面镜AB 上,被AB 反射到平面镜BC 上,又被BC 反射,若被射出的光线FM (与光线DE 平行,且120EFM ∠=︒,则AED =∠_______°,B ∠=______°;(2)如图3,有三块平面镜AB ,BC ,CH ,入射光线DE 与镜面AB 的夹角35AED ∠=︒,镜面BC 的夹角115B ∠=︒,当光线DE 经过平面镜AB ,BC ,CH 的三次反射后,入射光线DE 光线MN 平行时,请求出FMN ∠的度数;根据题意,AED BEF∠=∠,EFB∠120EFM∠=︒,∴180120302EFB CFM︒−︒∠=∠== ED FM∥,18012060DEF∠=︒−︒=︒,在BEF中,由三角形内角和定理可得ED MN∥,ED FG MN ∴∥∥,180DEF EFG ∴∠+∠=︒,180NMF MFG ∠+∠=︒,360DEF EFM FMN ∴∠+∠+∠=︒,35AED ∠=︒,35BEF AED ∴∠=∠=︒,则180352110DEF ∠=︒−︒⨯=︒,在BEF 中,35BEF ∠=︒,115B ∠=︒,则由三角形内角和定理可得1803511530BFE ∠=︒−︒−︒=︒, 30MFC BFE ∴∠=∠=︒,则180302120EFM ∠=︒−︒⨯=︒,∴360120110130FMN ∠=︒−︒−︒=︒;(3)解:如图所示:由(2)知120EFM ∠=︒,130FMN ∠=︒,35BEF ∠=︒,115B ∠=︒,由于一个四边形可以分成两个三角形,由三角形内角和定理可知,在四边形FMQI 中,360FIQ EFM FMN PQM ∠+∠+∠+∠=︒,AEG BEP ∠=∠,115B ∠=︒,18011565BPE AEG AEG ∴∠=︒−︒−∠=︒−∠,则65QPF BPE AEG ∠=∠=︒−∠,()18065115QPB AEG AEG ∴∠=︒−︒−∠=︒+∠,由于一个四边形可以分成两个三角形,由三角形内角和定理可知,在四边形PBEI 中,360BEI EIP QPB B ∠+∠+∠+∠=︒,EIP FIQ ∠=∠,∴由360FIQ EFM FMN PQM ∠+∠+∠+∠=︒与360BEI EIP QPB B ∠+∠+∠+∠=︒,代入已知角度有120130360FIQ PQM ∠+︒+︒+∠=︒与35115360EIP QPB ∠+︒+∠+︒=︒,可得100QPB PQM ∠−∠=︒,(1)=a ___________,b =___________;(2)如图2,若AC BC BQ ⊥,平分ABC ∠交AC 于点Q ,交OC 于点P ,求证:CPQ CQP ∠∠=(3)如图3,若点A 、点B 分别在x 轴负半轴和正半轴上运动,ACB ∠的角平分线交x 轴于点N 在x 轴上,且BCM DCN ∠=∠,请补全图形,探究OCM ACN∠∠的值的变化情况,并直接写出结论BQ 平分CBA ∠,∴OBP CBQ ∠=∠,AC BC ⊥Q ,90ACB ∴∠=︒,理由:AC BC ⊥Q ,90ACB ∴∠=︒,∴90ACD BCF ∠+∠=︒,CB 平分ECF ∠,∴ECB ∠=(1)如图①,若90AOB ∠=︒,求C ∠的度数;(2)若AOB n ∠=,则C ∠=________(结果用含n 的代数表示(3)如图②,若点E 是射线OM 上一点,连接BE BF EF ,、为BOE 的角平分线.①随着点A B E 、、的移动,C ∠与BFE ∠存在什么样的数量关系,②过点F 作FK MN ∥交BE 于点K ,则BGO ∠,KFE ∠为BOE的角平分线,1为BOE的角平分线,定值问题在ABC 中,αC ∠=(1)当80α=︒,30β=︒时,求E ∠的度数;(2)试问E ∠与B ∠、C ∠之间存在着怎样的数量关系,试用,αβ表示E ∠,并说明理由(3)若EFB ∠与BAE ∠平分线交于点P (如图2),当点E 在AD 线上运动时,P ∠是否发生变化,若不变,请用,αβ表示P ∠;若变化,请说明理由【答案】(1)25︒)解:80B ∠=︒3070−︒=︒,AD 平分EF BC⊥)EDF∠= EFD∠=AD平分AP平分(1)求点C 的坐标.(2)如图2,设D 为线段OB 上一动点,当AD AC ⊥时,ODA ∠的角平分线与向延长线交于点P ,求APD ∠的度数;(点E 在x 轴的正半轴)(3)在(2)的基础上,如果将“ODA ∠的角平分线与CAE ∠的角平分线的反向延长线交于点AGC S =∵()2340a b −++=,∴30a −=,40b +=,解得:3a =,4b =−,AGC S =∠,MN平分∵AN平分OAD,在ABC 中, (1)若40C ∠=︒.①求P ∠的度数;DE BC ∥AB AC 、AP平分AP平分∠−APE。
人教版初中数学三角形难题汇编及答案一、选择题1.如图,□ABCD的对角线AC、BD交于点O,AE平分BAD交BC于点E,且∠ADC=60°,AB=12BC,连接OE.下列结论:①AE=CE;②S△ABC=AB•AC;③S△ABE=2S△AOE;④OE=14BC,成立的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°,∠BAD=120°,利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形,然后推出AE=BE=12BC,再结合等腰三角形的性质:等边对等角、三线合一进行推理即可.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠ADC=60°,∠BAD=120°,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形,∴AE=AB=BE,∠AEB=60°,∵AB=12 BC,∴AE=BE=12 BC,∴AE=CE,故①正确;∴∠EAC=∠ACE=30°∴∠BAC=90°,∴S△ABC=12AB•AC,故②错误;∵BE=EC,∴E为BC中点,O为AC中点,∴S△ABE=S△ACE=2 S△AOE,故③正确;∵四边形ABCD是平行四边形,∴AC=CO,∵AE=CE,∴EO⊥AC,∵∠ACE=30°,∴EO=12 EC,∵EC=12 AB,∴OE=14BC,故④正确;故正确的个数为3个,故选:C.【点睛】此题考查平行四边形的性质,等边三角形的判定与性质.注意证得△ABE是等边三角形是解题关键.2.把一副三角板如图甲放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A-45°,∠D=30°,斜边AB=6,DC=7,把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图乙),此时AB与CD1交于点O,则线段AD1的长度为()A.32B.5 C.4 D31【答案】B【解析】【分析】【详解】由题意易知:∠CAB=45°,∠ACD=30°,若旋转角度为15°,则∠ACO=30°+15°=45°.∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°.在等腰Rt△ABC中,AB=6,则AC=BC=32.同理可求得:AO=OC=3.在Rt△AOD1中,OA=3,OD1=CD1-OC=4,由勾股定理得:AD1=5.故选B.3.△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,最小边BC=4cm,则最长边AB的长为()cm A.6 B.8 C.5D.5【答案】B【解析】【分析】根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三角形中角的度数,然后根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可.【详解】设∠A=x,则∠B=2x,∠C=3x,由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C=x+2x+3x=180°,解得x=30°,即∠A=30°,∠C=3×30°=90°,此三角形为直角三角形,故AB=2BC=2×4=8cm,故选B.【点睛】本题考查了三角形内角和定理,含30度角的直角三角形的性质,熟练掌握“直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键.4.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,如图,其中正确的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】欲求证是否为直角三角形,这里给出三边的长,只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.【详解】A 、72+242=252,152+202≠242,(7+15)2+202≠252,故A 不正确;B 、72+242=252,152+202≠242,故B 不正确;C 、72+242=252,152+202=252,故C 正确;D 、72+202≠252,242+152≠252,故D 不正确,故选C .【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.勾股定理的逆定理:若三角形三边满足a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形.5.如图,在ABC V 中,AB AC =,点E 在AC 上,ED BC ⊥于点D ,DE 的延长线交BA 的延长线于点F ,则下列结论中错误的是( )A .AE CE =B .12DEC BAC ∠=∠ C .AF AE =D .1902B BAC ∠+∠=︒ 【答案】A【解析】【分析】 由题意中点E 的位置即可对A 项进行判断;过点A 作AG ⊥BC 于点G ,如图,由等腰三角形的性质可得∠1=∠2=12BAC ∠,易得ED ∥AG ,然后根据平行线的性质即可判断B 项;根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可判断C 项;由直角三角形的性质并结合∠1=12BAC ∠的结论即可判断D 项,进而可得答案. 【详解】 解:A 、由于点E 在AC 上,点E 不一定是AC 中点,所以,AE CE 不一定相等,所以本选项结论错误,符合题意;B 、过点A 作AG ⊥BC 于点G ,如图,∵AB =AC ,∴∠1=∠2=12BAC ∠, ∵ED BC ⊥,∴ED ∥AG ,∴122DEC BAC ∠=∠=∠,所以本选项结论正确,不符合题意;C 、∵ED ∥AG ,∴∠1=∠F ,∠2=∠AEF ,∵∠1=∠2,∴∠F =∠AEF ,∴AF AE =,所以本选项结论正确,不符合题意;D 、∵AG ⊥BC ,∴∠1+∠B =90°,即1902B BAC ∠+∠=︒,所以本选项结论正确,不符合题意.故选:A .【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质以及直角三角形的性质等知识,属于基本题型,熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键.6.图中的三角形被木板遮住了一部分,这个三角形是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .以上都有可能【答案】D【解析】 从图中,只能看到一个角是锐角,其它的两个角中,可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角,故选D.7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D,则∠D的度数为()A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°【答案】A【解析】【分析】先根据角平分线的定义得到∠1=∠2,∠3=∠4,再根据三角形外角性质得∠1+∠2=∠3+∠4+∠A,∠1=∠3+∠D,则2∠1=2∠3+∠A,利用等式的性质得到∠D=12∠A,然后把∠A的度数代入计算即可.【详解】解答:解:∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∠ACE=∠A+∠ABC,即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A,∴2∠1=2∠3+∠A,∵∠1=∠3+∠D,∴∠D=12∠A=12×30°=15°.故选A.【点睛】点评:本题考查了三角形内角和定理,关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析.8.如图,⊙O过点B、C,圆心O在等腰直角△ABC的内部,∠BAC=90°,OA=1,BC=6,则⊙O的半径为()A.23B.13C.4 D.32【答案】B【解析】【分析】如下图,作AD⊥BC,设半径为r,则在Rt△OBD中,OD=3-1,OB=r,BD=3,利用勾股定理可求得r.【详解】如图,过A作AD⊥BC,由题意可知AD必过点O,连接OB;∵△BAC是等腰直角三角形,AD⊥BC,∴BD=CD=AD=3;∴OD=AD-OA=2;Rt△OBD中,根据勾股定理,得:OB= 22+=BD OD13故答案为:B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用,解题关键是利用等腰直角三角形ABC判定点O在AD上.9.如图,在菱形ABCD中,对角线AC=8,BD=6,点E,F分别是边AB,BC的中点,点P在AC上运动,在运动过程中,存在PE+PF的最小值,则这个最小值是()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】先根据菱形的性质求出其边长,再作E 关于AC 的对称点E′,连接E′F ,则E′F 即为PE+PF 的最小值,再根据菱形的性质求出E′F 的长度即可.【详解】解:如图∵四边形ABCD 是菱形,对角线AC=6,BD=8,∴AB=2234+=5, 作E 关于AC 的对称点E′,连接E′F ,则E′F 即为PE+PF 的最小值,∵AC 是∠DAB 的平分线,E 是AB 的中点,∴E ′在AD 上,且E′是AD 的中点,∵AD=AB ,∴AE=AE ′,∵F 是BC 的中点,∴E ′F=AB=5.故选C .10.如图,在ABC V 中,90C ∠=︒,60CAB ∠=︒,按以下步骤作图:①分别以A ,B 为圆心,以大于12AB 的长为半径画弧,两弧分别相交于点P 和Q .②作直线PQ 交AB 于点D ,交BC 于点E ,连接AE .若4CE =,则AE 的值为( )A.46B.42C.43D.8【答案】D【解析】【分析】根据垂直平分线的作法得出PQ是AB的垂直平分线,进而得出∠EAB=∠CAE=30°,即可得出AE的长.【详解】由题意可得出:PQ是AB的垂直平分线,∴AE=BE,∵在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=60°,∴∠CBA=30°,∴∠EAB=∠CAE=30°,∴CE=12AE=4,∴AE=8.故选D.【点睛】此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中,30°所对直角边等于斜边的一半,根据已知得出∠EAB=∠CAE=30°是解题关键.11.如图,Rt△ABC中,∠C =90°,∠ABC的平分线BD交AC于D,若AD =5cm,CD=3cm,则点D到AB的距离DE是()A.5cm B.4cm C.3cm D.2cm【答案】C【解析】∵点D到AB的距离是DE ,∴DE⊥AB,∵BD平分∠ABC,∠C =90°,∴把Rt△BDC沿BD翻折后,点C在线段AB上的点E处,∴DE=CD,∵CD =3cm,∴DE=3cm.故选:C.12.如图,四边形ABCD 和EFGH 都是正方形,点E H ,在ADCD ,边上,点F G ,在对角线AC 上,若6AB ,则EFGH 的面积是( )A .6B .8C .9D .12【答案】B【解析】【分析】 根据正方形的性质得到∠DAC =∠ACD =45°,由四边形EFGH 是正方形,推出△AEF 与△DFH 是等腰直角三角形,于是得到DE =22EH =22EF ,EF =22AE ,即可得到结论. 【详解】解:∵在正方形ABCD 中,∠D =90°,AD =CD =AB ,∴∠DAC =∠DCA =45°,∵四边形EFGH 为正方形,∴EH =EF ,∠AFE =∠FEH =90°,∴∠AEF =∠DEH =45°,∴AF =EF ,DE =DH ,∵在Rt △AEF 中,AF 2+EF 2=AE 2,∴AF =EF 2AE , 同理可得:DH =DE =22EH 又∵EH =EF ,∴DE =22EF =22×22AE =12AE , ∵AD =AB =6,∴DE =2,AE =4,∴EH =2DE =22,∴EFGH 的面积为EH 2=(22)2=8,故选:B .【点睛】本题考查了正方形的性质,等腰直角三角形的判定及性质以及勾股定理的应用,熟练掌握图形的性质及勾股定理是解决本题的关键.13.如图,正方体的棱长为6cm ,A 是正方体的一个顶点,B 是侧面正方形对角线的交点.一只蚂蚁在正方体的表面上爬行,从点A 爬到点B 的最短路径是( )A .9B .310C .326+D .12【答案】B【解析】【分析】 将正方体的左侧面与前面展开,构成一个长方形,用勾股定理求出距离即可.【详解】解:如图,AB=22(36)3310++= .故选:B .【点睛】此题求最短路径,我们将平面展开,组成一个直角三角形,利用勾股定理求出斜边就可以了.14.如图,在ABC ∆中,AB AC =,分别是以点A ,点B 为圆心,以大于12AB 长为半径画弧,两弧交点的连线交AC 于点D ,交AB 于点E ,连接BD ,若40A ∠=︒,则DBC ∠=( )A .40︒B .30︒C .20︒D .10︒【答案】B【解析】【分析】 根据题意,DE 是AB 的垂直平分线,则AD=BD ,40ABD A ==︒∠∠,又AB=AC ,则∠ABC=70°,即可求出DBC ∠.【详解】解:根据题意可知,DE 是线段AB 的垂直平分线,∴AD=BD ,∴40ABD A ==︒∠∠,∵AB AC =,∴1(18040)702ABC ∠=⨯︒-︒=︒, ∴704030DBC ∠=︒-︒=︒;故选:B.【点睛】 本题考查了垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,以及三角形的内角和,解题的关键是熟练掌握所学的性质,正确求出DBC ∠的度数.15.下列条件中,不能判断一个三角形是直角三角形的是( )A .三条边的比为2∶3∶4B .三条边满足关系a 2=b 2﹣c 2C .三条边的比为1∶12D .三个角满足关系∠B +∠C =∠A【答案】A【解析】【分析】根据直角三角形的判定方法,对选项进行一一分析,排除错误答案.【详解】A 、三条边的比为2:3:4,22+32≠42,故不能判断一个三角形是直角三角形;B 、三条边满足关系a 2=b 2-c 2,即a 2+c 2=b 2,故能判断一个三角形是直角三角形;C 、三条边的比为1:1:2,12+12=(2)2,故能判断一个三角形是直角三角形; D 、三个角满足关系∠B+∠C=∠A ,则∠A 为90°,故能判断一个三角形是直角三角形. 故选:A .【点睛】此题考查勾股定理的逆定理的应用.解题关键在于掌握判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可;若已知角,只要求得一个角为90°即可.16.如图,在ABC ∆,90C=o ∠,以A 为圆心,任意长为半径画弧,分别交AC ,AB 于点M ,N ,再分别以M ,N ,为圆心,大于12MN 长为半径画弧,两弧交于点O ,作弧线AO ,交BC 于点E .已知3CE =,5BE =,则AC 的长为( )A .8B .7C .6D .5【答案】C【解析】【分析】 直接利用基本作图方法得出AE 是∠CAB 的平分线,进而结合全等三角形的判定与性质得出AC=AD ,再利用勾股定理得出AC 的长.【详解】过点E 作ED ⊥AB 于点D ,由作图方法可得出AE 是∠CAB 的平分线,∵EC ⊥AC ,ED ⊥AB ,∴EC=ED=3,在Rt △ACE 和Rt △ADE 中,AE AE EC ED ⎧⎨⎩==, ∴Rt △ACE ≌Rt △ADE (HL ),∴AC=AD,∵在Rt△EDB中,DE=3,BE=5,∴BD=4,设AC=x,则AB=4+x,故在Rt△ACB中,AC2+BC2=AB2,即x2+82=(x+4)2,解得:x=6,即AC的长为:6.故答案为:C.【点睛】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识,正确得出BD 的长是解题关键.17.如图,AD∥BC,∠C =30°,∠ADB:∠BDC= 1:2,则∠DBC的度数是( )A.30°B.36°C.45°D.50°【答案】D【解析】【分析】直接利用平行线的性质得出∠ADC=150°,∠ADB=∠DBC,进而得出∠ADB的度数,即可得出答案.【详解】∵AD∥BC,∠C=30°∴∠ADC=150°,∠ADB=∠DBC∵∠ADB:∠DBC=1:2∴∠ADB=13×150°=50°,故选D.【点睛】熟练掌握平行线的性质是本题解题的关键.18.如图,已知AE=AD,AB=AC,EC=DB,下列结论:①∠C=∠B ;②∠D=∠E ;③∠EAD=∠BAC ;④∠B=∠E ;其中错误的是( ) A .①②B .②③C .③④D .只有④【答案】D【解析】【分析】【详解】解:因为AE =AD ,AB =AC ,EC =DB ;所以△ABD ≌△ACE(SSS);所以∠C =∠B ,∠D =∠E ,∠EAC=∠DAB ;所以 ∠EAC-∠DAC=∠DAB-∠DAC ;得∠EAD=∠CAB .所以错误的结论是④,故选D .【点睛】此题考查了全等三角形的判定方法,根据已知条件利用SSS 证明两个三角形全等,还考查了全等三角形的性质:全等三角形的对应角相等,全等三角形的对应边相等.19.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架,如图.要使这个木架不变形,他至少还要再钉上几根木条?( ).A .0根B .1根C .2根D .3根【答案】B【解析】三角形具有稳定性,连接一条对角线,即可得到两个三角形,故选B20.下列说法不能得到直角三角形的( )A .三个角度之比为 1:2:3 的三角形B .三个边长之比为 3:4:5 的三角形C .三个边长之比为 8:16:17 的三角形D .三个角度之比为 1:1:2 的三角形【答案】C【解析】【分析】三角形内角和180°,根据比例判断A 、D 选项中是否有90°的角,根据勾股定理的逆定理判断B 、C 选项中边长是否符合直角三角形的关系.【详解】A 中,三个角之比为1:2:3,则这三个角分别为:30°、60°、90°,是直角三角形; D 中,三个角之比为1:1:2,则这三个角分别为:45°、45°、90°,是直角三角形;B 中,三边之比为3:4:5,设这三条边长为:3x 、4x 、5x ,满足:()()()222345x x x +=,是直角三角形;C 中,三边之比为8:16:17,设这三条边长为:8x 、16x 、17x ,()()()22281617x x x +≠,不满足勾股定理逆定理,不是直角三角形故选:C【点睛】本题考查直角三角形的判定,常见方法有2种;(1)有一个角是直角的三角形;(2)三边长满足勾股定理逆定理.。
人教版八年级数学上册《三角形基础分类》专项练习题-附含答案1.在三角形中一定能将其面积分成相等两部分的是()A.中线B.高线C.角平分线D.某一边的垂直平分线【答案】A【解答】解:根据同底等高的两个三角形面积相等可知在三角形中三角形的中线一定能将其面积分成相等两部分故选:A.2.如图为估计池塘岸边A、B的距离小方在池塘的一侧选取一点O测得OA=17米OB=9米A、B间的距离不可能是()A.23米B.8米C.10米D.18米【答案】B【解答】解:∵OA=17米OB=9米∴17﹣9<AB<17+9即:8<AB<26故选:B3.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点那么这个三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定【答案】C【解答】解:A、锐角三角形三条高线交点在三角形内故错误;B、钝角三角形三条高线不会交于一个顶点故错误;C、直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点可以得出这个三角形是直角三角形故正确;D、能确定C正确故错误.故选:C.4.如图AD是△ABC的中线已知△ABD的周长为25cm AB比AC长6cm则△ACD的周长为()A.19cm B.22cm C.25cm D.31cm 【答案】A【解答】解:∵AD是BC边上的中线∴BD=CD∴△ABD和△ACD周长的差=(AB+BD+AD)﹣(AC+AD+CD)=AB﹣AC ∵△ABD的周长为25cm AB比AC长6cm∴△ACD周长为:25﹣6=19cm.故选:A.5.在△ABC中AB=3 AC=2 BC=a a的值可能是()A.1B.3C.5D.7【答案】B【解答】解:∵△ABC中AB=3 AC=2 BC=a∴1<a<5∴B符合故选:B.6.下列长度的三条线段能组成三角形的是()A.3cm5cm7cm B.3cm3cm7cmC.4cm4cm8cm D.4cm5cm9cm【答案】A【解答】解:A.∵A3+5=8>7∴能组成三角形符合题意;B.∵3+3<7∴不能组成三角形不符合题意;C.∵4+4=8∴不能组成三角形不符合题意;D.∵4+5=9∴不能组成三角形不符合题意.故选:A.7.如图所示四个图形中线段BE能表示三角形ABC的高的是()A.B.C.D.【答案】B【解答】解:由题意线段BE能表示三角形ABC的高时BE⊥AC于E.A选项中BE与AC不垂直;C选项中BE与AC不垂直;D选项中BE与AC不垂直;∴线段BE是△ABC的高的图是B选项.故选:B.8.如图已知△ABC中点D、E分别是边BC、AB的中点.若△ABC的面积等于8 则△BDE的面积等于()A.2B.3C.4D.5【答案】A【解答】解:∵点D是边BC的中点△ABC的面积等于8∴S△ABD=S△ABC=4∵E是AB的中点∴S△BDE=S△ABD=4=2故选:A.9.若△ABC的三边长分别为m﹣2 2m+1 8.(1)求m的取值范围;(2)若△ABC的三边均为整数求△ABC的周长.【解答】解:(1)根据三角形的三边关系解得:3<m<5;(2)因为△ABC的三边均为整数且3<m<5 所以m=4.所以△ABC的周长为:(m﹣2)+(2m+1)+8=3m+7=3×4+7=19.10.若三角形三个内角度数比为2:3:4 则这个三角形一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【答案】A【解答】解:设三个内角度数为2x、3x、4x由三角形内角和定理得2x+3x+4x=180°解得x=20°则三个内角度数为40°、60°、80°则这个三角形一定是锐角三角形故选:A.11.如图直线a∥b在Rt△ABC中点C在直线a上若∠1=58°∠2=24°则∠A的度数为()A.56°B.34°C.36°D.24°【答案】B【解答】解:如图∵∠1=54°a∥b∴∠3=∠1=58°.∵∠2=24°∠A=∠3﹣∠2∴∠A=58°﹣24°=34°.故选:B.12.如图将一副直角三角板按如图所示叠放其中∠C=90°∠B=45°∠E=30°则∠BFD的大小是()A.10°B.15°C.25°D.30°【答案】B【解答】解:∵∠B=45°∴∠BAC=45°∴∠EAF=135°∴∠AFD=135°+30°=165°∴∠BFD=180°﹣∠AFD=15°故选:B.13.如图在△ABC中∠A=70°∠B=60°∠ACD是△ABC的一个外角∠ACD的度数为()A.50°B.60°C.70°D.130°【答案】D【解答】解:∵△ABC中∠A=70°∠B=60°∴∠ACB=180°﹣70°﹣60°=50°∴∠ACD=180°﹣50°=130°故选:D.14.如图已知△ABC为直角三角形∠C=90°若沿图中虚线剪去∠C则∠1+∠2等于()A.90°B.135°C.270°D.315°【答案】C【解答】解:∵四边形的内角和为360°直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2=360°﹣(∠A+∠B)=360°﹣90°=270°.故选:C.15.如图直线AB∥CD如果∠EFB=31°∠END=70°那么∠E的度数是()A.31°B.40°C.39°D.70°【答案】C【解答】解:∵直线AB∥CD∴∠EMB=∠END=70°∵∠EFB=31°∠EMB=∠E+∠EFB∴∠E=70°﹣31°=39°故选:C.16.如图在△ABC中∠BCA=40°∠ABC=60°.若BF是△ABC的高与角平分线AE相交于点O 则∠EOF的度数为()A.130°B.70°C.110D.100°【答案】A【解答】解:∵∠BCA=40°∠ABC=60°∴∠BAC=180°﹣∠BCA﹣∠ABC=180°﹣40°﹣60°=80°.∵AE是∠BAC的平分线∴∠EAC=∠BAC=40°.∵BF是△ABC的高∴∠BF A=90°.∴∠AOF=90°﹣∠EAC=90°﹣40°=50°.∴∠EOF=180°﹣∠AOF=180°﹣50°=130°.故选:A.17.如图已知△ABC的外角∠CAD=120°∠C=80°则∠B的度数是()A.30°B.40°C.50°D.60°【答案】B【解答】解:∵∠CAD=∠B+∠C∠CAD=120°∠C=80°∴∠B=∠CAD﹣∠C=120°﹣80°=40°故选:B18.如图在△ABC中AD是BC边上的高AE BF分别是∠BAC∠ABC的平分线.∠BAC=50°∠ABC=60°.则∠DAE+∠ACD等于()A.75°B.80°C.85°D.90°【答案】A【解答】解:∵AD是BC边上的高∠ABC=60°∴∠BAD=30°∵∠BAC=50°AE平分∠BAC∴∠BAE=25°∴∠DAE=30°﹣25°=5°∵△ABC中∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°.故选:A.19.已知直线a∥b Rt△DCB按如图所示的方式放置点C在直线b上∠DCB=90°若∠B=20°则∠1+∠2的度数为()A.90°B.70°C.60°D.45°【答案】B【解答】解:如图延长BD交直线b于点M.∵∠DCB=90°∠B=20°∴∠BDC=90°﹣20°=70°∵a∥b∴∠1=∠BMC∵∠BDC=∠DMC+∠2=∠1+∠2∴∠1+∠2=70°故选:B20.如图在△ABC中∠A=50°∠1=30°∠2=40°∠D的度数是()A.110°B.120°C.130°D.140°【答案】B【解答】解:∴∠A=50°∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°∴∠DBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB﹣∠1﹣∠2=130°﹣30°﹣40°=60°∴∠BDC=180°﹣(∠DBC+∠DCB)=120°故选:B.21.如图将△ABC沿MN折叠使MN∥BC点A的对应点为点A' 若∠A'=32°∠B=112°则∠A'NC的度数是()A.114°B.112°C.110°D.108°【答案】D【解答】解:∵MN∥BC∴∠MNC+∠C=180°又∵∠A+∠B+∠C=180°∠A=∠A′=32°∠B=112°∴∠C=36°∠MNC=144°.由折叠的性质可知:∠A′NM+∠MNC=180°∴∠A′NM=36°∴∠A′NC=∠MNC﹣∠A′NM=144°﹣36°=108°.故选:D.22.已知:如图点D、E、F、G都在△ABC的边上DE∥AC且∠1+∠2=180°(1)求证:AD∥FG;(2)若DE平分∠ADB∠C=40°求∠BFG的度数.【解答】证明:(1)∵DE∥AC∴∠2=∠DAC∵∠l+∠2=180°∴∠1+∠DAC=180°∴AD∥GF(2)∵ED∥AC∴∠EDB=∠C=40°∵ED平分∠ADB∴∠2=∠EDB=40°∴∠ADB=80°∵AD∥FG∴∠BFG=∠ADB=80°23.在△ABC中CD平分∠ACB交AB于点D AH是△ABC边BC上的高且∠ACB=70°∠ADC=80°求:(1)∠BAC的度数.(2)∠BAH的度数.【解答】解:(1)∵CD平分∠ACB∠ACB=70°∴∠ACD=∠ACB=35°∵∠ADC=80°∴∠BAC=180°﹣∠ACD﹣∠ADC=180°﹣35°﹣80°=65°;(2)由(1)知∠BAC=65°∵AH⊥BC∴∠AHC=90°∴∠HAC=90°﹣∠ACB=90°﹣70°=20°∴∠BAH=∠BAC﹣∠HAC=65°﹣20°=45°.24.如图在△ABC中点E在AC上点F在AB上点G在BC上且EF∥CD∠1+∠2=180°.(1)求证:GD∥CA;(2)若CD平分∠ACB DG平分∠CDB且∠A=40°求∠ACB的度数.【解答】证明:(1)∵EF∥CD∴∠1+∠3=180°.∵∠1+∠2=180°∴∠2=∠3.∴AC∥GD.(2)∵CD平分∠ACB DG平分∠CDB∴∠3=∠ACB∠2=∠GDB=∠CDB.∵∠CDB=∠A+∠3 ∠2=∠3∴2∠3=∠A+∠3.∴∠3=∠A=40°.∴∠ACB=80°.25.如图在△ABC中∠B=31°∠C=55°AD⊥BC于D AE平分∠BAC交BC于E DF⊥AE于F求∠ADF的度数.【解答】解:∵∠B=31°∠C=55°∴∠BAC=94°∵AE平分∠BAC∴∠BAE=∠BAC=47°∴∠AED=∠B+∠BAE=31°+47°=78°∵AD⊥BC DF⊥AE∴∠EFD=∠ADE=90°∴∠AED+∠EDF=∠EDF+∠ADF∴∠ADF=∠AED=78°.26.如图在△ABC中AD平分∠BAC AE⊥BC若∠BAD=40°∠C=70°求∠DAE的度数.【解答】解:∵AD平分∠BAC∴∠BAC=2∠BAD=80°∵∠C=70°∴∠B=180°﹣∠BAC﹣∠C=180°﹣70°﹣80°=30°∴∠ADE=∠B+∠BAD=30°+40°=70°∵AE⊥BC∴∠AEB=90°∴∠DAE=90°﹣∠ADE=90°﹣70°=20°.27.一个正多边形它的一个内角恰好是一个外角的3倍则这个正多边形是()A.正十二边形B.正十边形C.正八边形D.正六边形【答案】C【解答】解:设这个正多边的一个外角为x°由题意得:x+3x=180解得:x=45360°÷45°=8.故选:C.28.若一个多边形的内角和等于1800°这个多边形的边数是()A.6B.8C.10D.12【答案】D【解答】解:设这个多边形是n边形根据题意得(n﹣2)×180=1800解得n=12∴这个多边形是12边形.故选:D.29.如图足球图片中的一块黑色皮块的内角和是()A.720°B.540°C.360°D.180°【答案】B【解答】解:∵黑色皮块是正五边形∴黑色皮块的内角和是(5﹣2)×180°=540°.故选:B.30.如图已知∠1+∠2+∠3=240°那么∠4的度数为()A.60°B.120°C.130°D.150°【答案】B【解答】解:∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°∠1+∠2+∠3=240°∴∠4=360°﹣(∠1+∠2+∠3)=360°﹣240°=120°故选:B.31.若一个正多边形的每个内角都是120°则这个正多边形是()A.正六边形B.正七边形C.正八边形D.正九边形【答案】A【解答】解:解法一:设所求正多边形边数为n则120°n=(n﹣2)•180°解得n=6 ∴这个正多边形是正六边形.解法二:∵正多边形的每个内角都等于120°∴正多边形的每个外角都等于180°﹣120°=60°又∵多边形的外角和为360°∴这个正多边形边数=360°÷60°=6.故选:A.32.小丽利用最近学习的数学知识给同伴出了这样一道题:假如从点A出发沿直线走6米后向左转θ接着沿直线前进6米后再向左转θ……如此下法当他第一次回到A点时发现自己走了72米θ的度数为()A.28°B.30°C.33°D.36°【答案】B【解答】解:∵第一次回到出发点A时所经过的路线正好构成一个正多边形∴多边形的边数为:72÷6=12.根据多边形的外角和为360°∴他每次转过的角度θ=360°÷12=30°.故选:B.33.将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放公共顶点为O且正六边形的边AB与正五边形的边DE 在同一条直线上则∠COF的度数是()A.74°B.76°C.84°D.86°【答案】C【解答】解:由题意得:∠EOF=108°∠BOC=120°∠OEB=72°∠OBE=60°∴∠BOE=180°﹣72°﹣60°=48°∴∠COF=360°﹣108°﹣48°﹣120°=84°故选:C.34.小明把一副含45°30°的直角三角板如图摆放其中∠C=∠F=90°∠A=45°∠D=30°则∠α+∠β等于()A.280°B.285°C.290°D.295°【答案】B【解答】解:∵∠C=∠F=90°∠A=45°∠D=30°∴∠2+∠3=180°﹣∠D=150°∵∠α=∠1+∠A∠β=∠4+∠C∵∠1=∠2 ∠3=∠4∴∠α+∠β=∠A+∠1+∠4+∠C=∠A+∠C+∠2+∠3=45°+90°+150°=285°故选:B.35.如图若干全等正五边形排成环状.图中所示的是前3个五边形要完成这一圆环还需()个五边形.A.6B.7C.8D.9【答案】B【解答】解:五边形的内角和为(5﹣2)×180°=540°所以正五边形的每一个内角为540°÷5=108°如图延长正五边形的两边相交于点O则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°360°÷36°=10∵已经有3个五边形∴10﹣3=7即完成这一圆环还需7个五边形.故选:B.36.一个多边形它的内角和比外角和的4倍多180°求这个多边形的边数.【解答】解:根据题意得(n﹣2)•180=1620解得:n=11.则这个多边形的边数是11 内角和度数是1620度.。
人教版初中数学三角形难题汇编含答案一、选择题1.如图,已知A ,D,B,E在同一条直线上,且AD = BE, AC = DF,补充下列其中一个条件后,不一定能得到△ABC≌△DEF 的是()A.BC = EF B.AC//DF C.∠C = ∠F D.∠BAC = ∠EDF 【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可.【详解】∵BE=CF,∴BE+EC=EC+CF,即BC=EF,且AC = DF,∴当BC = EF时,满足SSS,可以判定△ABC≌△DEF;当AC//DF时,∠A=∠EDF,满足SAS,可以判定△ABC≌△DEF;当∠C = ∠F时,为SSA,不能判定△ABC≌△DEF;当∠BAC = ∠EDF时,满足SAS,可以判定△ABC≌△DEF,故选C.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定方法,掌握全等三角形的判定方法是解题的关键,即SSS、SAS、ASA、AAS和HL.2.AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC于点F.S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是()A.4 B.3 C.6 D.2【答案】B【解析】首先由角平分线的性质可知DF=DE=2,然后由S △ABC =S △ABD +S △ACD 及三角形的面积公式得出结果.【详解】解:AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线,∠EAD=∠FADDE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC 交AC 于点F ,∴DF=DE ,又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ,DE=2,AB=4, 11742222AC ∴=⨯⨯+⨯⨯ ∴AC=3.故答案为:B【点睛】本题主要考查了角平分线的性质,熟练掌握角平分线的性质、灵活运用所学知识是解题的关键.3.如图,在△ABC 中,AC =BC ,D 、E 分别是AB 、AC 上一点,且AD =AE ,连接DE 并延长交BC 的延长线于点F ,若DF =BD ,则∠A 的度数为( )A .30B .36C .45D .72【答案】B【解析】【分析】 由CA=CB ,可以设∠A=∠B=x .想办法构建方程即可解决问题;【详解】解:∵CA=CB ,∴∠A=∠B ,设∠A=∠B=x .∵DF=DB ,∴∠B=∠F=x ,∵AD=AE ,∴∠ADE=∠AED=∠B+∠F=2x ,∴x+2x+2x=180°,∴x=36°,故选B .本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.4.如图,在ABC V 中,AB AC =,30A ∠=︒,直线a b ∥,顶点C 在直线b 上,直线a 交AB 于点D ,交AC 与点E ,若1145∠=︒,则2∠的度数是( )A .30°B .35°C .40°D .45°【答案】C【解析】【分析】 先根据等腰三角形的性质和三角形内角和可得ACB ∠度数,由三角形外角的性质可得AED ∠的度数,再根据平行线的性质得同位角相等,即可求得2∠.【详解】∵AB AC =,且30A ∠=︒, ∴18030752ACB ∠︒-︒==︒, 在ADE ∆中,∵1145A AED ∠∠∠=+=︒,∴14514530115AED A ∠∠=︒-=︒-︒=︒,∵//a b ,∴2AED ACB ∠∠∠=+,即21157540∠=︒-︒=︒,故选:C .【点睛】 本题考查综合等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质以及平行直线的性质等知识内容.等腰三角形的性质定理:等腰三角形两底角相等;三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180︒;三角形外角的性质:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和;两直线平行,同位角相等.5.如图,在菱形ABCD 中,AB =10,两条对角线相交于点O ,若OB =6,则菱形面积是( )A .60B .48C .24D .96【答案】D【解析】【分析】 由菱形的性质可得AC ⊥BD ,AO =CO ,BO =DO =6,由勾股定理可求AO 的长,即可求解.【详解】解:∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD ,AO =CO ,BO =DO =6,∴AO =22100368AB OB -=-=,∴AC =16,BD =12,∴菱形面积=12162⨯=96, 故选:D .【点睛】 本题考查了菱形的性质,勾股定理,掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键.6.如图,直线a b ∥,点A 、B 分别在直线a 、b 上,145∠︒=,若点C 在直线b 上,105BAC ∠︒=,且直线a 和b 的距离为3,则线段AC 的长度为( )A .32B .33C .3D .6【答案】D【解析】【分析】 过C 作CD ⊥直线a ,根据30°角所对直角边等于斜边的一半即可得到结论.【详解】过C 作CD ⊥直线a ,∴∠ADC =90°.∵∠1=45°,∠BAC =105°,∴∠DAC =30°.∵CD =3,∴AC =2CD =6.故选D .【点睛】本题考查了平行线间的距离,含30°角的直角三角形的性质,正确的理解题意是解题的关键.7.如图,⊙O过点B、C,圆心O在等腰直角△ABC的内部,∠BAC=90°,OA=1,BC=6,则⊙O的半径为()A.23B.13C.4 D.32【答案】B【解析】【分析】如下图,作AD⊥BC,设半径为r,则在Rt△OBD中,OD=3-1,OB=r,BD=3,利用勾股定理可求得r.【详解】如图,过A作AD⊥BC,由题意可知AD必过点O,连接OB;∵△BAC是等腰直角三角形,AD⊥BC,∴BD=CD=AD=3;∴OD=AD-OA=2;Rt△OBD中,根据勾股定理,得:22BD OD13+故答案为:B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用,解题关键是利用等腰直角三角形ABC判定点O在AD上.8.如图,□ABCD的对角线AC、BD交于点O,AE平分BAD交BC于点E,且∠ADC=60°,AB=12BC,连接OE.下列结论:①AE=CE;②S△ABC=AB•AC;③S△ABE=2S△AOE;④OE=14BC,成立的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°,∠BAD=120°,利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形,然后推出AE=BE=12BC,再结合等腰三角形的性质:等边对等角、三线合一进行推理即可.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠ADC=60°,∠BAD=120°,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形,∴AE=AB=BE,∠AEB=60°,∵AB=12 BC,∴AE=BE=12 BC,∴AE=CE,故①正确;∴∠EAC=∠ACE=30°∴∠BAC=90°,∴S△ABC=12AB•AC,故②错误;∵BE=EC,∴E为BC中点,O为AC中点,∴S△ABE=S△ACE=2 S△AOE,故③正确;∵四边形ABCD是平行四边形,∴AC=CO,∵AE=CE,∴EO⊥AC,∵∠ACE=30°,∴EO=12 EC,∵EC=12 AB,∴OE=14BC,故④正确;故正确的个数为3个,故选:C.【点睛】此题考查平行四边形的性质,等边三角形的判定与性质.注意证得△ABE是等边三角形是解题关键.9.如图,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于点D,PE⊥OB 于点E.如果点M是OP的中点,则DM的长是()A.2 B2C3D.3【答案】C【解析】【分析】由OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,易得△OCP是等腰三角形,∠COP=30°,又由含30°角的直角三角形的性质,即可求得PE的值,继而求得OP的长,然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可求得DM的长.【详解】解:∵OP平分∠AOB,∠AOB=60°,∴∠AOP=∠COP=30°,∵CP∥OA,∴∠AOP=∠CPO,∴∠COP=∠CPO,∴OC=CP=2,∵∠PCE=∠AOB=60°,PE⊥OB,∴∠CPE=30°,∴CE=12CP=1,∴PE=22CP CE3-=,∴OP=2PE=23,∵PD⊥OA,点M是OP的中点,∴DM=12OP=3.故选C.考点:角平分线的性质;含30度角的直角三角形;直角三角形斜边上的中线;勾股定理.10.如图,在□ABCD中,延长CD到E,使DE=CD,连接BE交AD于点F,交AC于点G.下列结论中:①DE=DF;②AG=GF;③AF=DF;④BG=GC;⑤BF=EF,其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【分析】由AAS证明△ABF≌△DEF,得出对应边相等AF=DF,BF=EF,即可得出结论,对于①②④不一定正确.【详解】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,即AB∥CE,∴∠ABF=∠E,∵DE=CD,∴AB=DE,在△ABF和△DEF中,∵===ABF EAFB DFEAB DE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩,∴△ABF≌△DEF(AAS),∴AF=DF ,BF=EF ;可得③⑤正确,故选:B .【点睛】此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质;熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形全等是解题的关键.11.如图,△ABC ≌△A E D ,∠C =40°,∠E AC =30°,∠B =30°,则∠E AD =( );A .30°B .70°C .40°D .110°【答案】D【解析】【分析】【详解】∵△ABC ≌△AED , ∴∠D=∠C=40°,∠C=∠B=30°,∴∠E AD=180°-∠D -∠E =110°,故选D.12.如图为一个66⨯的网格,在ABC ∆,A B C '''∆和A B C ''''''∆中,直角三角形有( )个A .0B .1C .2D .3【答案】C【解析】【分析】 根据题中的网格,先运用勾股定理计算出各个三角形的边长,再根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形即可.【详解】设网格的小正方形的边长是1,由勾股定理(两直角边的平方等于斜边的平方)可知,ABC ∆的三边分别是:AB=10,AC=5 ,BC=5;由于()()()2225510+=, 根据勾股定理的逆定理得:ABC ∆是直角三角形; '''A B C ∆的三边分别是:''A B =10, ''B C =5 ,''AC =13; 由于()()()22210513+?, 根据勾股定理的逆定理得:'''A B C ∆不是直角三角形;A B C ''''''∆的三边分别是:A B ''''=18,B C ''''=8 ,A C ''''=26;由于()()()22218826+=, 根据勾股定理的逆定理得:A B C ''''''∆是直角三角形;因此有两个直角等三角形;故选C .【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理,能灵活运用所学知识是解题的关键.13.如图,ABC V 中,5AB AC ==,AE 平分BAC ∠交BC 于点E ,点D 为AB 的中点,连接DE ,则DE 的长为( )A .2B .2.5C .3D 5【答案】B【解析】【分析】 根据等腰三角形三线合一可得AE ⊥BC ,再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得DE 的长度.【详解】解:∵5AB AC ==,AE 平分BAC ∠,∴AE ⊥BC ,又∵点D 为AB 的中点, ∴1 2.52DE AB ==, 故选:B .【点睛】 本题考查等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线.熟练掌握相关定理,并能正确识图,得出线段之间的关系是解题关键.14.如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍,那么斜边长扩大到原来的( )A .1倍B .2倍C .3倍D .4倍【答案】B【解析】设原直角三角形的三边长分别是,且,则扩大后的三角形的斜边长为,即斜边长扩大到原来的2倍,故选B.15.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架,如图.要使这个木架不变形,他至少还要再钉上几根木条?( ).A .0根B .1根C .2根D .3根【答案】B【解析】三角形具有稳定性,连接一条对角线,即可得到两个三角形,故选B16.如图,在方格纸中,以AB 为一边作△ABP ,使之与△ABC 全等,从P 1,P 2,P 3,P 4四个点中找出符合条件的点P ,则点P 有( )A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】C【解析】【分析】【详解】要使△ABP与△ABC全等,必须使点P到AB的距离等于点C到AB的距离,即3个单位长度,所以点P的位置可以是P1,P2,P4三个,故选C.17.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A的度数为( )A.30°B.45°C.36°D.72°【答案】A【解析】∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD,又∵∠BDC=∠A+∠ABD,∴∠BDC=∠C=∠ABC=2∠A,∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∴∠A+2∠A+2∠A=180°,即5∠A=180°,∴∠A=36°.故选A.18.如图,Rt△ABC中,∠C =90°,∠ABC的平分线BD交AC于D,若AD =5cm,CD=3cm,则点D到AB的距离DE是()A.5cm B.4cm C.3cm D.2cm【答案】C【解析】∵点D到AB的距离是DE ,∴DE⊥AB,∵BD平分∠ABC,∠C =90°,∴把Rt△BDC沿BD翻折后,点C在线段AB上的点E处,∴DE=CD,∵CD =3cm,∴DE=3cm.故选:C.19.对于图形的全等,下列叙述不正确的是()A.一个图形经过旋转后得到的图形,与原来的图形全等B.一个图形经过中心对称后得到的图形,与原来的图形全等C.一个图形放大后得到的图形,与原来的图形全等D.一个图形经过轴对称后得到的图形,与原来的图形全等【答案】C【解析】A. 一个图形经过旋转后得到的图形,与原来的图形全等,正确,不符合题意;B. 一个图形经过中心对称后得到的图形,与原来的图形全等,正确,不符合题意;C. 一个图形放大后得到的图形,与原来的图形不全等,故错误,符合题意;D. 一个图形经过轴对称后得到的图形,与原来的图形全等,正确,不符合题意,故选C.【点睛】本题考查了对全等图形的认识,解题的关键是要明确通过旋转、轴对称、平移等都可以得到与原图形全等的图形,而通过放大或缩小只能得到与原图形形状一样的图形,得不到全等图形.20.如图,△ABC的角平分线CD、BE相交于F,∠A=90°,EG∥BC,且CG⊥EG于G,下列结论:①∠CEG=2∠DCB;②∠ADC=∠GCD;③CA平分∠BCG;④∠DFB=12∠CGE.其中正确的结论是( )A.②③B.①②④C.①③④D.①②③④【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案.【详解】①∵EG∥BC,∴∠CEG=∠ACB,又∵CD是△ABC的角平分线,∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB,故正确;②∵∠A=90°,∴∠ADC+∠ACD=90°,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD,∴∠ADC+∠BCD=90°.∵EG∥BC,且CG⊥EG,∴∠GCB=90°,即∠GCD+∠BCD=90°,∴∠ADC=∠GCD,故正确;③条件不足,无法证明CA平分∠BCG,故错误;④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB,∠DCB+∠ABC=∠ADC,∴∠AEB+∠ADC=90°+12(∠ABC+∠ACB)=135°,∴∠DFE=360°-135°-90°=135°,∴∠DFB=45°=12∠CGE,,正确.故选B.【点睛】本题主要考查了角平分线的定义,平行线的性质,三角形内角和定理及多边形内角和,三角形外角的性质,熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键.。